第一章 刚体力学基础 物体的弹性

N
dM rdF f
圆盘所受摩擦力矩：
Nrdr
πR 2
R
0
2 πr
2Nr 2dr dl R2
0
R
dr
2Nr dr 2 M dM NR 2 0 R 3 M 3 N 圆盘角加速度 J 4 MR
2
r
dl
dF f
停止转动需时
0 3 mR0 t 4 N
v P
第三节 刚体定轴转动的转动动能定律
力的空间累积效应 力矩的空间累积效应 力的功、动能、动能定理 力矩的功、转动动能、动能定理
1.3.1 力矩的功
v v dA F dr Ft ds
d A Md
力矩的功：
Ft rd
d
Ft
v v
w v F
dr
A Md
1
2
o
v r
x
dA d 力矩的功率： P M M dt dt
1.3.2 刚体定轴转动的转动动能
1 1 2 2 1 2 2 Ek mi vi ( mi ri ) J 2 i 2 i 2
1.3.3 刚体定轴转动的转动动能定理 2 d 1 1 2 2 J d J d J J A Md 2 1
转动惯量物理意义：转动惯性的量度 质量连续分布刚体的转动惯量
J mi ri2 r 2dm
i
质量元: d m
注意
转动惯量的大小取决于刚体的质量、形状及转轴的位置
讨论： 一质量为 m 、长为 l 的均匀细长棒，与棒垂直的轴位置不同
O
l 2
r
dr
l 2
O
r
dr
l
dm dr
O´
2
（圆运动）： L rmv mr


2) 刚体定轴转动的角动量
A
v mv

v ri
z
v z v L mv
O
v vi
L J
i
mi
v r

L mi ri vi ( mi ri2 )
i
1.4.2 刚体对定轴的角动量定理
d d( J ) dL M J J dt dt dt
v
dt
m
1 2 Ek mv 2
J r 2 dm
1 J 2 2
例 一根长为l、质量为m的均匀细棒，棒的一端可绕通过O点并垂直于纸面的
轴转动，棒的另一端有质量为 m 的小球。开始时，棒静止地处于水平位置A。 当棒转过 角到达位置 B，棒的角速度为多少?
解: 取小球、细棒和地球为系统, 设 A 位置为重力势能零点。
o
m, l

mg
A
m
B
mg
第四节 刚体定轴转动的角动量 角动量守恒定律
力的时间累积效应
力矩的时间累积效应 动量、动量定理 角动量、角动量定理
1.4.1 刚体对轴的角动量
质点运动状态:
v v p mv
v v 刚体定轴转动运动状态: L J
1 Ek mv 2 2 1 Ek J 2 2
300r
第二节 刚体定轴转动的转动定律
质点: 物体所受力均作用于一点，仅考虑力的大小和方向所产生的作用
刚体: 如何处理？力作用点的位置对物体的运动有影响吗？
v F
v v F 0 , M i i 0
v F
圆盘静止不动
力矩: 反映力作用点的位置对物体 运动的影响
v F
v
i
w F
v
的 轴转动。若有一个与圆盘大小相同的粗糙平面(俗称刹车片)挤压此转动圆 盘，故而有正压力N 均匀地作用在盘面上，从而使其转速逐渐变慢。设正压 力N 和刹车片与圆盘间的摩擦系数均已被实验测出。试问经过多长时间圆盘 才停止转动?
解:
取面积微元 其所受对转轴的摩擦力矩大小 rdF f r 2 dldr πR N dldr 面积微元所受摩擦力矩： rdF f r 2 πR 圆环所受摩擦力矩：
角速度矢量

v
d v lim t 0 t dt
v v
方向: 右手螺旋方向
刚体定轴转动的转动方向可以用角速度的正负来表示
v d 角加速度 dt v
特点:

>0
z v
z
A）每一质点均作圆周运动
v v B）任一质点运动 , , 均相同 v v 但 v, a 不同
水平轴转动。转轴与圆盘之间的摩擦略去不计。圆盘上绕有轻而细的绳索，绳的 一端固定在圆盘上，另一端系质量为 m 的物体。试求物体下落时的加速度、绳 中的张力和圆盘的角加速度。
解：1） 分析受力
2）选取坐标 注意：转动和平动坐标取向一致 3）列方程
牛顿第二定律（质点） mg T may 转动定律（刚体）
设棒的线密度为 ，取一距离转轴 OO´ 为
l/2 2
r 处的质量元
O´
dJ r 2dm r 2dr
转轴过中心垂直于棒
转轴过端点垂直于棒
J 2
0
1 2 J r dr ml 0 3
l 2
1 r dr ml 2 12
例 如图，有一半径为 R 质量为 m 的匀质圆盘，可绕通过盘心 O 垂直盘面的
2 2
1
1
dt
1
2
2
动能定理：合外力矩对绕定轴转动的刚体所作的功 = 刚体转动动能的增量
速度
质 点 运 动 加速度 力 质量 动能
v dv a v dt
v d r v v d t v
F
角速度 刚 体 定 轴 转 动
角加速度
力矩 转动惯量 转动动能
d dt v v d v
v M
Ek
v 2) 匀变速转动公式 恒量
<0
v
质点匀变速直线运动与刚体匀变速转动公式对比
v v0 at 2 x x0 v0t 1 at 2 2 v 2 v0 2a( x x0 )
0 t 2 0 0t 1 t 2
2 2 0 2 ( 0 )
停止转动 。试求:（1）角加速度和在此时间内飞轮所转的圈数； 若已知：
0 5 π rad s1, r 0.2m。求：（2）制动开始后 t = 6 s 时飞轮的角
速度；（3）t = 6 s 时飞轮边缘上一点的线速度、切向加速度和法向加速度 。
解（1） 0 5π rad s1, t = 30 s
刹车片
例 一长为 l 质量为 m 匀质细杆竖直放置，其下端与一固定铰链 O 相接，
并可绕其转动。 由于此竖直放置的细杆处于非稳定平衡状态，当其受到微 小扰动时，细杆将在重力作用下由静止开始绕铰链O 转动。试计算细杆转 动到与竖直线成 角时的角加速度和角速度。
v 解：细杆受重力和铰链对细杆的约束力 FN作用，由转动定律得
匀减速运动
30 s 内转过的角度
转过的圈数
05π π rad s 2 t 30 6 2 2 0 (5 π)2 75 π rad 2 2 ( π 6)
0
0
设 t = 0 s 时 0 0
来自百度文库
N 2 π 37.5 r
解（2 ） 解（3 ）
π 0 t (5 π 6) 4 π rad s 1 6 v r 0.2 4 π 2.5 m s2 π at r 0.2 ( ) 0.105 m s 2 6 an r 2 0.2 (4 π)2 31.6 m s2
式中
得
1 2 J ml 3 3g sin 2l
1 mgl sin J 2
由角加速度的定义
d d d d d dt d dt 3g d sin d
2l
m l
v FN

l 2
代入初始条件积分得：
3g (1 cos ) l
o
i
v M
F 0 , M
0
圆盘绕圆心转动
1.2.1 力对轴的力矩 v
力对转轴 Z 的力矩：
M
z v
h
v F
v v M r F
h: 力臂
v M rF sin hF
O
v r
*
P

讨论
A）若力不在转动平面内，将力分解为平行和垂直于转轴方向的两个分量 v v v v F Fz F v v Fz 对转轴的力矩为零 v F v v v v v Fz M z k r F k F 对转轴的力矩 v v F
医用物理学
第一章
刚体力学基础 物体的弹性
第一节 刚体运动学
刚体
在外力作用下，物体
形状
大小 组成物体的任意两质点间的距离始终保持恒定 刚体的运动形式 平动 转动
不发生变化
理想模型
1. 刚体的平动
平动： 刚体运动过程中，其上任 一条直线始终保持方向不变 刚体平动 质点运动
2. 刚体的定轴转动
转动：刚体内各个质元都绕同一直线作圆周运动
z
M z rF sin
O
B）合力矩等于各分力矩的矢量和
v r

v v v v M M1 M2 M3 L
1.2.2 刚体定轴转动的转动定律
Fit (mi )at M i ri Fit (mi )at ri
z
O
Q at r Mi (mi )ri 2
M Mi (mi )ri 2 (mi )ri 2
v ri
v Fit
mi
J mi ri2 转动惯量
M J 转动定律：
刚体在外力对定轴的合外力矩作用下，将获得角加速度，角加速度的大小 与合外力矩的大小成正比，与刚体对该轴的转动惯量成反比
1.2.3 刚体相对定轴的转动惯量
例 在高速旋转的微型电机里，有一圆柱形转子可绕垂直其横截面并通过中心
的转轴旋转。开始起动时，角速度为零。起动后其转速随时间变化关系为： 。 求：(1) t = 6s 时电动机 m (t 2 ) ，式中 m 10 rad/s， 2.0s 的转速。(2)起动后，电动机在 t = 6s 时间内转过的圈数。(3)角加速度随时 间变化的规律。
定轴转动 非定轴转动
刚体的平面运动
刚体的一般运动
质心的平动
+
绕质心的转动
刚体定轴转动的角速度和角加速度 1) 角速度和角加速度
角坐标
(t )
z
(t )
规定: 沿逆时针方向转动 沿顺时针方向转动
>0 <0
参考平面
参考轴
x
角位移
(t t) (t)
EkA EpA EkB EpB
EkB 1 J 2 2
EkA EPA 0
1 2 4 2 2 J J1 J 2 ml ml ml 3 3
l EpB (mg sin mgl sin ) 2 3 mgl sin 2 3 3 0 ml 2 2 mgl sin 4 2 3 g sin 1 2 ( ) 2 l
3) 角量与线量的关系

d dt d d 2 2 dt dt

v
v v v ret
at r an r 2
v a v v an r
at
v et v vv
v v 2v a r et r en
例 一飞轮半径为 0.2m、 转速为150r· min-1， 因受制动而均匀减速，经30 s
0, p 0
v
v pi
v 0, p 0
v
v
v
v pj
1) 质点角动量 质点在垂直于 z 轴平面：
质点角动量（相对圆心）： v 大小：
r
z v
v o r
90
方 向 符 合 右 手 法 则
v v v v L r p r mv L rmv sin
解: (1) 将 t = 6s 代入得
( 2)
ω ωm (t 2 ) 1067.6 rad/s d d dt
dt
N
( 3)

m (t 2 - )dt 600 rad
0
6
2π d 2mt 20πtrad / s 2 dt
第4章 刚体的定轴转动
约束条件 转动惯量
T R J
ay R T T J m' R 2 / 2
解得：
m
R o
m
v T
m
a y 2mg (2m m' )
T m' mg /(2m m' )
o R
m
v v T' P y
2mg [(2m m ') R]
例 有一半径为R质量为 m 匀质圆盘，以角速度ω 0绕通过圆心垂直圆盘平面