控制系统的数学模型
控制工程基础第一章控制系统的数学模型
(t)
m dt
m
1a
2ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
c
式中，
Tm
Ra
Ra J m f m CmCe
为电动机机电时间常数,s；
K1
Ra
f
Cm
C C
m
me
K2
Ra
f
Ra
C C
m
me
为电动机传递系数。
如果电枢电阻Ra和电动机的转动惯量Jm都很小而忽略不计，式（1-9）
还可进一步简化为
C u (t) (t)
em
a
这时，电动机的转速ωm(t)与电枢电压ua(t)成正比，于是电动机可作为
（1）运算放大器Ⅰ。输入量（即给定电压）ug与速度反馈电压uf在此 合成产生偏差电压并经放大，即
u1 K1(ug u f )
式中，
K1
R2 R3
为运算放大器Ⅰ的比例系数。
（2）运算放大器Ⅱ。考虑RC校正网络，u2与u1之间的微分方程为
u2
K（2
d u1
dt
u1）
式中，K 2
R5 R4
为运算放大器Ⅱ的比例系数；τ=R4C为微分时间常数。
m
(t) (t) (t)
m dt
mm
m
c
式中，fm为电动机和负载折合到电动机轴上的黏性摩擦系数；Jm为电
动机和负载折合到电动机轴上的转动惯量。
由式（1-5）、式（1-6）和式（1-7）中消去中间变量ia(t)、Ea及
Mm(t)，便可得到以ωm(t)为输出量，以ua(t)为输入量的直流电动机微
分方程，即
按照其建立的条件，数学模型可分为两种。一是静态数学模型： 静态条件（变量各阶导数为零）下描述变量之间关系的代数方程。 它反映了系统处于稳态时，系统状态有关属性变量之间的关系。二 是动态数学模型：动态条件（变量各阶导数不为零）下描述变量各 阶导数之间关系的微分方程；也可定义为描述实际系统各物理量随 时间演化的数学表达式。它反映了动态系统瞬态与过渡态的特性。 本章以动态数学模型的研究为主。
控制系统的数学模型
[(s
s1 ) m
F (s)]
13
当无重根时：
则：
F(s) C1 C2 Ci
Cn
n
Ci
s s1 s s2
s si
s sn i1 s si
f
(t)
L1[F(s)]
n
L1[
i 1
Ci s si
]
n i1
Ci e si t
其中：
Ci
lim (s
ssi
si ) F(s)
或
B(s)
Ci A' (s) |ssi
例：求F(s)的原函数
F (s)
s2
s
3 2s
2
解：分母多项式的根为： s1 1 j1 ,
s2 1 j1
方法一、F(s)可表示为
F(s)
s3
C1 C2
(s 1 j)(s 1 j) s 1 j s 1 j
其中：
C1
lim (s
s1 j
1
j)
(s
1
s3 j)(s 1
L[eat f (t)] F(s a)
例:
f(t) 1
t1 t2
f (t)=1(t-t1)-1(t-t2)
L[ f (t)] L[1(t t1)] L[1(t t2 )]
t
e t1s 1 e t2s 1
s
s
例:
f (t) e2t cos 3t
L[
f
(t
)]
(s
s2 2)2
9
四、拉氏反变换 拉氏反变换的定义如下
三、拉氏变换基本法则
1. 线性法则： 设：F1(s)=L[f1(t)]， F2(s)=L[f2(t)]，a和b为常数，则
自动控制理论-第二章 控制系统的数学模型
(n) 0 (m) 0 ( n −1 ) 1
y +L+ a y + a y &
n −1 n m −1
=b x+b
( m −1 )
1
Y (s) b s + b s + L + b s + b 两边拉氏变换 G ( s ) = = X (s) a s + a s + L + a s + a x +L+ b x + b x &
4 微分环节 微分环节的传递函数为：
G(s) = C (s) = Ts R( s)
5 二阶环节
二阶环节又称为振荡环节，其的传递函数为
G (s) =
6 延迟环节
G(s) =
C (s) K = R( s) T s + s + 1
2 2
延迟环节的传递函数为：
C ( s) =e R( s)
−τs
第四节 用方块图表示的模型
2
由此可得
X (s) = 1 1 1 1 = = − s + 5s + 4 ( s + 1)( s + 4) 3( s + 1) 3( s + 4)
2
再对 X ( s) 进行逆拉氏变换，可得
e e x(t ) = − 3 3
−t −4 t
第二节 系统输入-输出的传递函数描述
• 传递函数是在控制理论中表示定常系统输入输出关 系的最常用方法，一般只适用于线性定常系统。 • 线性定常系统的传递函数，定义为初始条件为零时， 输出量的拉普拉氏变换与输入量的拉普拉氏变换之比。 • 微分方程与传递函数转变关系：
第二章控制系统的数学模型.
2.2.1传递函数的定义和性质
⑴ 定义 线性定常系统的传递函数,定义为初始条件为零时,输出 量的拉氏变换与输入量的拉氏变换之比,记为G(S),即:
C ( s) G( s) R( s)
(2-4)
注：所有初始条件为零，指的是原系统处于静止状态. 设线性定常系统的n阶线性常微分方程为
dn d n 1 d a0 n c(t ) a1 n 1 c(t ) an 1 c(t ) an c(t ) dt dt dt dm d m1 d b0 m r (t ) b1 m 1 r (t ) bm1 r (t ) bm r (t ) dt dt dt
F(t)
K
F(t) F2(t)
m
f
m
x(t)
F1(t) b)
x(t)
根据牛顿第二运动定律有：
d 2 x (t ) F (t ) F1 (t ) F2 (t ) m dt2
a)
图2-2 机械位移系统
（2-2） 7
式中:
F1 (t ) ——阻尼器阻力。其大小与运动速度成正比，方向 与运动方向相反，阻尼系数为f，即： dx (t ) F1 (t ) f dt F2 (t ) ——弹簧力。设为线性弹簧，根据虎克定律有：
F2 (t ) Kx(t )
K——弹簧刚度 联立以上三式并整理得：
d 2 x (t ) dx(t ) m f Kx (t ) F (t ) 2 dt dt
（2-3） 8
综上所述,列写元件微分方程的步骤可归纳如下: ① 根据元件的工作原理及其在控制系统中的作用,确定其 输入量和输出量; ② 分析元件工作中所遵循的物理规律或化学规律,列写相 应的微分方程; ③ 消去中间变量,得到输出量与输入量之间关系的微分方 程,便是元件时域的数学模型. 9
控制 系统的数学模型
Monday, July 27,
J
d
dt
m
mc
2020
8
控制系统的微分方程
La
di dt
Rai
ea
ua
ea Ce
m Cmia
J
d
dt
m
mc
整理得
La J CeCm
d 2 dt 2
Ra J CeCm
d dt
ua Ce
La CeCm
dmc dt
Ra mc CeCm
TaTm
d 2 dt 2
Tm
d dt
这也是一个两阶定常微分方程。X为输出量，F为输入量。 在国际单位制中，m,f和k的单位分别为：kg, N.s / m, N / m
Monday, July 27,
2020
7
控制系统的微分方程
[例2-3]电枢控制式直流电动机
Ra La
if
i ua
ea
M
ω
这里输入是电枢电压ua和等效到电机
Mc 转轴上的负载转矩Mc，输出是转速
若的取A(某x0,一y0平)。衡A点状附态近为有工点作为点，如下图中y0
例2-1和例2-2称为力-电荷相似系统，在此系统中 x, F, m, f , k
分别与
q,
ui
,
L,
R,
1 C
为相似量。
[作用]利用相似系统的概念可以用一个易于实现的系统来模拟
相对复杂的系统，实现仿真研究。
Monday, July 27,
2020
10
非线性环节微分方程的线性化
2、非线性元件（环节）微分方程的线性化
在经典控制领域，主要研究的是线性定常控制系统。如果 描述系统的数学模型是线性常系数的微分方程，则称该系 统为线性定常系统，其最重要的特性便是可以应用线性叠 加原理，即系统的总输出可以由若干个输入引起的输出叠 加得到。
第二章_控制系统的数学模型
R
a
La
Ea
+
if -
i a (t ) U a (t )
m Mm
Jm fm
MC
dia ( t ) R a i a (t) E a dt E a C e m ( t ) u a La M m (t) M c (t) J m M m (t) C mi a (t) dm ( t ) f m m ( t ) dt
2.2 控制系统的复数域数学模型
1、传递函数的定义
在零初始条件下，线性定常系统输出量的拉普拉斯变 换与输入量的拉普拉斯变换之比，定义为线性定常系统 的传递函数。 即，
传递函数与输入、输出之间的关系，可用结构图表示:
若已知线性定常系统的微分方程为 dnc(t ) dn 1c(t ) dc(t ) a0 a1 a n 1 anc(t ) n n 1 dt dt dt m m 1 d r(t ) d r(t ) dr (t ) b0 b1 b m 1 b mr(t ) m m 1 dt dt dt
设 c(t)和r(t)及其各阶导数初始值均为零，对上 式取拉氏变换，得
(a0s a1s
n m
n 1
an 1s an )C(s)
(b 0s b1s
m 1
bm 1s bm )R(s)
则系统的传递函数为
C(s) b 0sm b1sm 1 bm 1s bm G (s ) R(s) a0sn a1sn 1 an 1s an
L[f (t )] e sF(s)
F ( s ) f ( 1 ) ( 0 ) ( 1 ) L[ f (t )dt ] , f (0) f (t )dt t 0 s s
控制系统的数学模型
第二章控制系统的数学模型第章控制系统的数学模2-1 1 数学模型数学模型本书中主要介绍的几种系统模型图型：信号流程图数学模型描述系统行为特性的数学表达式模方块图信号程图数学模型：微分方程传递函数频率特性一、数学模型：描述系统行为特性的数学表达式。
是对实际物理系统的一种数学抽象。
模型各有特点，使用时可灵活掌握。
若分析研究系统的动态特性，取其数学模型比较方便；若分析研究系统的内部结构情况，取其物理模型比较直观；若两者皆有，则取其图模型比较合理。
11——1.1. 控制系统的时域数学模型控制系统的时域数学模型微分方程r(t)——输入量c(t)c(t)a dc(t)a c(t)d a d a ++++L L dr(t)r(t)d r(t)db 其中，(i =0,1,2,…….n; j =0,1,2…….m) 均为实数，b a r(t)b b ++++=L L b (,,,;j ,,)实,j i2——定定常条输的变2.2.控制系统的复域数学模型控制系统的复域数学模型传递函数A. 定义：线性定常系统在初始条件为零时，输出量的拉氏变设：输入----r(t)，输出----c(t)，则传递函数：L[c(t)]G()式中C()L[(t)])s (C G(s)==式中：C(s)=L[c(t)]——输出量的拉氏变换式那么：C(s)=R(s)G(s)[R()G()][C()]()11[R(s)G(s)]L [C(s)]c(t)-1-1==推广到一般情况，系统时域数学模型——推广到般情况，系统时域数学模型微分方程：L L c(t)a a a a 011-n 1-n n n ++++r(t)b d b d d b -++++=L L b ()dt dtdt 011-m 1m m m L L R(s)b sR(s)b R(s)sb R(s)s b 01-1m m +++=a. 控制系统传递函数的一般表达形式:s −L L 传式011n n a s a s a a R(s)+++−b.b.表示成典型环节表达形式：111+++−s T s T s T s s R L )))()(21n υ∏∏i C )(s ωω；==11j l pnpnωωm 系统的稳态增益K =——系统的稳态增益；2m m m+=2n n nν++=c 零极点表达形式K C +++++L c. 表示成零、极点表达形式：)())(()(21m r z s z s z s s =−——νjp 系统的极点，个零极点。
自动控制原理：第二章 控制系统数学模型
TaTLma KJe K
dMdML m dtdt
L
Tm
Ra J K eKm
——机电时间常数(秒)；
Ta
La Ra
—电动机电枢回路时间常数 (秒)
若输出为电动机的转角q ，则有
TaTm
d 3q
dt 3
Tm
d 2q
dt 2
dq
dt
1 Ke
ua
Tm J
ML
TaTm J
dM L dt
—— 三阶线性定常微分方程 9
扰动输入为负载转矩ML。 （1）列各元件方程式。电动机方程式为：
TaTm
d 2w
dt 2
测输T速Km出发td为d电wt电测压机速w 反 K馈1e系ua数
Tm J
M反L馈 电TaJT压m
dM L dt
ua Kae ut Ktw e ur ut 12
（2）消去中间变量。从以上各式中消去中间变
量ua，e，ut，最后得到系统的微分方程式
y = Kx
式中， K f 'x0 是比例系数，它是函数f(x)在A点
的切线斜率。
18
对于有两个自变量x1,x2的非线性函数f(x1,x2)，同样 可以工作在某工作点(x10,x20)附近进行线性化。
这种小偏差线性化对控制系统大多数工作状态是可 行的。事实上，自动控制系统在正常情况下都处于 一个稳定的工作状态，即平衡状态，这时被控量与 期望值保持一直，控制系统也不进行控制动作。一 旦被控量偏离期望值产生偏差时，控制系统便开始 控制动作，以便减小这个偏差。因此控制系统中被 控量的偏差一般不会很大，只是“小偏差”。
RC传网0 递络函的数阶G跃(响s)确应立曲了线t 电路输入
第2章 控制系统的数学模型
第2章控制系统的数学模型§1 系统数学模型的基本概念一. 系统模型系统的模型包括实物模型、物理模型、和数学模型等等。
物理本质不同的系统，可以有相同的数学模型，从而可以抛开系统的物理属性，用同一方法进行具有普遍意义的分析研究(信息方法)。
从动态性能看，在相同形式的输入作用下，数学模型相同而物理本质不同的系统其输出响应相似。
相似系统是控制理论中进行实验模拟的基础。
二. 系统数学模型1. 系统数学模型系统的数学模型是系统动态特性的数学描述。
数学模型是描述系统输入、输出量以及内部各变量之间关系的数学表达式，它揭示了系统结构及其参数与其性能之间的内在关系。
2. 系统数学模型的分类数学模型又包括静态模型和动态模型。
(1) 静态数学模型静态条件(变量各阶导数为零)下描述变量之间关系的代数方程。
反映系统处于稳态时，系统状态有关属性变量之间关系的数学模型。
(2) 动态数学模型描述变量各阶导数之间关系的微分方程。
描述动态系统瞬态与过渡态特性的模型。
也可定义为描述实际系统各物理量随时间演化的数学表达式。
动态系统的输出信号不仅取决于同时刻的激励信号，而且与它过去的工作状态有关。
微分方程或差分方程常用作动态数学模型。
动态模型在一定的条件下可以转换成静态模型。
在控制理论或控制工程中，一般关心的是系统的动态特性，因此，往往需要采用动态数学模型。
即，一般所指的系统的数学模型是描述系统动态特性的数学表达式。
三. 系统数学模型的形式对于给定的同一动态系统，数学模型的表达不唯一。
如微分方程、传递函数、状态方程、单位脉冲响应函数及频率特性等等。
对于线性系统，它们之间是等价的。
但系统是否线性这一特性，不会随模型形式的不同而改变。
线性与非线性是系统的固有特性，完全由系统的结构与参数确定。
经典控制理论采用的数学模型主要以传递函数为基础。
而现代控制理论采用的数学模型主要以状态空间方程状态空间方程为基础。
而以物理定律及实验规律为依据的微分方程微分方程又是最基本的数学模型，是列写传递函数和状态空间方程的基础。
控制系统的数学模型
控制系统的数学模型在控制系统的分析和设计中，首先要建立系统的数学模型。
自动控制系统的组成可以是电气的、机械的、液压的或气动的，然而描述这些系统的数学模型却可以是相同的。
因此，通过数学模型来研究自动控制系统，可以摆脱各种不同类型的外部特征，研究其内在的共性运动规律。
通过本章的学习，我们要掌握三种数学模型：微分方程、传递函数、动态结构图的建立方法。
熟练掌握自动控制系统传递函数的求取方法。
§2—1 列写微分方程的一般方法微分方程是描述控制系统动态性能的一种数学模型。
建立系统或元件微分方程的一般步骤如下：（1） 根据实际工作情况，确定系统和各元件的输入量和输出量； （2） 根据物理或化学定律，列写系统各组成元件的原始方程；（3） 在可能条件下，对各元件的原始方程进行适当简化，略去一些次要因素或进行线性化处理；（4） 消去中间变量，得出描述输出量和输入量（包括干扰）关系的微分方程，即元件的微分方程；（5） 对求出的系统微分方程标准化。
即将与输出有关的各项放在等号左侧；而将与输入有关的各项置于等号右侧，等号左右侧各项均按降幂形式排列。
例：列写下图所示RC 网络的微分方程。
解：1、明确输入、输出量输入量：RC 网络的电压u r ；输出量：u c2、建立输入、输出量的动态联系根据电路理论的基尔霍夫电压定律，任意时刻，网络的输入电压等于各支路的电压降和，即u u c r Ri += (1)dtd Ci u c= ………（2）（i 为网络电流，是一个中间变量） 3、消除中间变量-+-R L将（2）式代入（1）式得u u u c cr dtd RC+= 4、系统的微分方程的标准化u u u r c cdtd RC =+ 例2：列写下图所示RLC 网络的微分方程。
（零初始条件） 解：1、明确输入、输出量输入量：u i ； 输出量：u c 2、列写个组件的原始方程⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧==++=)3()2()1( dt d C i dt di L iR u u u u u c Lc L i （i 为网络电流，是一个中间变量） 3、消除中间变量将（3）分别代入（1）、（2）则得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=++=)5()4(22 t u d u u u u u d LC dt d RC cL c L c i将（5）代入（4）则得u t u d u u cc c id LC dt d RC++=224、系统的微分方程的标准化u u u tu d i c c cdt d RC d LC =+++22即为所求的微分方程 例3：列写下图所示RL 网络的微分方程。
自动控制原理-第二章 控制系统的数学模型
t
f (t)dt 0
t
f ( )d
n
ki .L[ f (t )]
i 1
sF (s) f (0 )
s2F (s) sf (0 ) f (0 )
snF (s) sn1 f (0 ) sn2 f (0 ) f (n1) (0 )
电枢回路方程为
La
dia (t) dt
Raia (t)
Ea (t)
ua (t)
电磁转矩方程 M m Cmia (t)
电动机轴上转矩平衡方程
Jm
dm (t)
dt
fmm (t)
Mm
MC
(t)
若以角速度 m 为输出量、电枢电压 ua 为输入量，
消去中间变量，直流电动机的微分方程为
(s2+s+1)Uc(s)= Ur(s)+0.1(s+2)
即 U S 1 U S 0.1S 2
C
S2 S 1 r
S2 S 1
通电瞬间, ur(t)=1 或 Ur(s)=L[ur(t)]=1/S
故 U S 1 1 0.1S 2
C
S2 S 1 S S2 S 1
再对上式两边求反拉氏变换：
u c
t
L1 U C
S
L1
S
2
1 S
1
1 S
S
2
1 S
1
=1+1.15e-0.5tSin(0.866t-120°)+ 0.2e-0.5tSin(0.866t+30°)
第二章 控制系统的数学模型
y
y0 y
f
( x0 )
df ( x) dx
x x0
x
1 d 2 f (x) 2! dx 2
(x)2
x x0
略去高阶无穷小项
y
y0 y
f ( x0 )
df ( x) dx
x x0
x
南华大学
§2-1 系统的微分方程
非线性系统输出 z(t) 是两个变量 x(t) 和 y(t)的函数，即 z=f(x, y) 1）确定工作点P(x 0, y 0, z 0) 2）在工作点附近展开成泰勒级数并忽略高阶项
南华大学
主要 内容
第二章 控制系统的数学模型
1. 系统微分方程的建立及非线性方程的线性化 2. 传递函数的定义、性质及典型环节的传递函数 3. 系统传递函数方框图及简化 4. 相似原理
控制理论的研究对象： 系统、输入、输出三者之间的动态关系。 描述系统这种动态关系的是系统的数学模型，
经典控制理论内系统的数学模型有两种：
2）非线性系统：方程中含有非xo(t)、xi(t)
各阶导数的其它函数形式
南华大学
§2-1 系统的微分方程
例：
..
.
X o(t ) + X o(t ) + X 02(t ) = X i (t )
..
.
X o(t ) + X o(t ) + sin X o(t ) = X i (t )
..Leabharlann .X o(t) + 2 X o(t) + 4 X o(t) = X i(t)
输入（已知）
输出（已知）
黑匣子
南华大学
§2-1 系统的微分方程
第二章 控制系统的数学模型
⇒
QQQr00(((sss)))−−=QQH0c1(((sss)))R=−=1Hcc122s(sHsH)12(s()s)
qc (t)
=
h2 (t) R2
Qc
(s)
=
H2 (s) R2
G(s)
=
Qc (s) Qr (s)
=
R1R 2C1C 2s 2
1 + (R1C1 + R2C2
机理分析法：
依据描述系统运动规律的定律并通过理论推导 来得到数学模型的方法 。
实验辨识法：
通过整理基于系统输入－输出的实验数据来 得到系统的数学模型。本章着重讨论机理分析 法。
建模特点：相似性、简化性、准确性。
数学模型类型： 经典控制理论: 微分方程（连续系统）、
差分方程（离散系统） 、传递函数、系 统方框图和信号流图； 现代控制理论：状态方程
注：如果在第(3)步结束时已经得到符合第(4)步要求的微分方程，则 无须第(4)步。
线性定常系统微分方程的一般形式
an
d nc(t) dt n
+
an−1
d n−1c(t ) dt n−1
+
...
+
a1
dc(t ) dt
+
a0c(t )
=
bm
d mr(t) dt m
+
bm −1
d m−1r(t ) dt m−1
d x(t ) + dt
Kx(t ) = f (t )
当f(t)=f1(t)时，上述方程的解为x1(t)； 当f(t)=f2(t)时，上述方程的解为x2(t)； 如果f(t)=f1(t)+ f2(t) ,方程的解为x(t)= x1(t)+x2(t),这就是叠加性
第二章 控制系统的数学模型
两个输人一个输出的线性系统，可以应用叠加原理进行分析。
如果忽略电枢电阻R 和电动机转动惯量J ，则Tm = 0 。
上式可变为 ω = cd ua 此时，电动机转速与电枢电压成正比。
2．1 控制系统微分方程的建立
三、系统的稳态数学模型
由直流电机例分析 如果电机处于平衡状态，则方程中各阶导数均为零。 此时微分方程变成代数方程，即
3.积分定理
若f(t) n重积分，各重积分在t=0 的值为0时，
2．2拉普拉斯变换及其应用——拉氏变换的几个重要运算定理
4．位移定理 ⑴实位移定理（时间坐标中有一个位移）
该定理又称延迟定理。 ⑵复位移定理（在复数s坐标中有一位移）
2．2拉普拉斯变换及其应用——拉氏变换的几个重要运算定理
5．终值定理 6．初值定理 Nhomakorabea2．1 控制系统微分方程的建立——例3
解 ua为给定输人，ML为干扰输人，ω 为输出。
据KVL 电枢回路方程：
据牛顿转动定律，电机转子的运动方程（动力学方程）：
当激磁磁通不变时，M与ia 成正比:
2．1 控制系统微分方程的建立——例3
将各式联立，消去中间变量M、ed、ia可得：
Ta ：电磁时间常数 Tm ：机电时间常数
4．整理微分方程，使其规范化，
将输出项放到方程左侧， 输人项放到方程右侧， 各阶导数项按阶次从高到低的顺序排列。
2．1 控制系统微分方程的建立
二、举例
例1：已知RLC 电路系
统如图所示，试列写其 输入—输出之间的微分 方程。
2．1 控制系统微分方程的建立
例2：带阻尼的弹簧系统( k-m-f )， 输入力x,输出位移y ， 试列写系统的微分方程。
第二章系统的数学模型
2.2 控制系统的复数域数学模型(传递函数)
一．传递函数
１．线性定常系统的传递函数定义为：
零初始条件下，系统输出量的拉氏变换与输入 量的拉氏变换之比。
R(s) G(s) C(s)
传递函数
输出的拉氏变换 输入的拉氏变换
|零初始条件
C(s) R(s)
G(s)
零初始条件
➢ 零初始条件指的是输入、输出初始条件均为零，即
在给定工作点 ( x0，y0 )附近，将上式展开泰勒级数：
y
f (x)
df f ( x0 ) dx
1 d2 f x x0 ( x x0 ) 2! dx2
(x x0 )2
x x0
若在工作点 ( x0，y0 ) 附近增量 x x0 的变化很小，则可略去式中 ( x x0 )2 项及其后面所有的高阶项，这样，上式近似表示为：
l
s
1)
G(s)
i 1 d
l 1 e
sv (Tjs 1) (Tk2s2 2 kTk s 1)
j 1
k 1
纯微分环节
s
es
积分环节
惯性环节
振荡环节
延迟环节
典型环节
➢ 比例环节的传递函数为：
Proportional element (link)
C(s) G(s) K R(s)
齿轮传动
方框图为：
➢ 频域数学模型：
频率特性
2.1 线性系统的时域数学模型
本节主要研究描述 线性、定常、集总参量控制系统的微分方程的
建立和求解方法
线性元件的微分方程
一．微分方程：
给定量和扰动量作为系统输入量，被控制量作为系统输出 的一种系统描述方法
第第二章 控制系统的数学模型
1
sa
1
(s a)n
18
拉普拉斯变换简表
f (t)
9
sin t
10
cost
11
1 (1 eat )
a
12
1 a
(a0
(a0
a)eat
)
13
1 a2
(at
1
e at
)
14
a0t a2
(
a0 a2
t)(eat
1)
F (s)
s2 2
s
s2 2
s s(s a)
s a0 s(s a)
1 s2 (s a)
(1)独立性（可加性）：线性系统内各个 激励产生的响应互不影响
xi1(t) xi2(t)
xo1(t) xo2(t)
xi1(t)+xi2(t) xo1(t)+xo2(t)
(2)均匀性（齐次性）
8
线形系统的一般形式
an
dn dtn
y(t) an1
d n1 d t n 1
y(t) ... a1
d dt
dt
s
则
证：
f (0) lim sF (s)
s
由微分定理有：
L( df (t)) sF (s) f (0) dt
两边取极限
lim[ df (t) est dt] lim[sF (s) f (0)]
s 0 dt
s
27
lim[ df (t) est dt] lim[sF (s) f (0)]
0 dt s0
s0
lim est 1
s0
[ df (t) dt] lim[sF (s) f (0)]
控制系统的数学模型
第二章控制系统的数学模型2-1 什么是系统的数学模型？大致可以分为哪些类型？答定量地表达系统各变量之间关系的表达式，称工矿企业数学模型。
从不同的角度，可以对数学模型进行大致的分类，例如：用来描述各变量间动态关系的数学模型为动态模型，用来描述各变量间稳态关系有数学模型为静态模型；数学模型中各变量与几何位置无关的称为集中参数模型，反之与几何位置有关的称为分布参数模型；变量间关系表现为线性的称为线性模型，反之非线性模型；模型参数与时间有关的称为时变模型，与时间无关的称为时不变或定常模型；以系统的输入、输出变量这种外部特征来描述系统特性的数学模型称为输入输出模型，而以系统内部状态变量描述的数学模型称为状态空间模型；等等。
2-2 系统数学模型的获取有哪几种方法？答获取系统数学模型的方法主要有机理分析法和实验测试法。
机理分析法是通过对系统内部机理的分析，根据一些基本的物理或化学变化的规律而导出支配系统运动规律的数学模型，这样得到的模型称为机理模型。
实验测试法是通过对实际系统的实验测试，然后根据测试数据，经过一定的数据处理而获得系统的数学模型，这样得到的模型可称为实测模型或经验模型。
如果将上述两种方法结合起来，即通过机理分析的方法预先得到数学模型的结构或函数形式，然后对其中的某些参数用实验辨识的方法来确定，这样得到的数学模型可称为混合模型。
这是介于上述两种方法之间的一种比较切合实际的应用较为普遍的方法。
2-3 通过机理分析法建立对象微分方程数学模型的主要步骤有哪些？答主要步骤有：⑴根据系统的控制方案和对象的特性，确定对象的输入变量和输出变量。
一般来说，对象的输出变量为系统的被控变量，输入变量为作用于对象的操纵变量或干扰变量。
⑵根据对象的工艺机理，进行合理的假设和简化，突出主要因素，忽略次要因素。
⑶根据对象的工艺机理，从基本的物理、化学等定律出了，列写描述对象运动规律的原始微分方程式（或方程式组）。
⑷消去中间变量，推导出描述对象输入变量与输出变量之间关系的方程式。
第2章控制系统的数学模型
自动控制理论
同一物理系统有不同形式的数学模型，而不同类型的系统 也可以有相同形式的数学模型。
相似系统： 具有相同的数学模型的不同物理系统称为相似系统。例2-1
与例2-3为力－－电荷相似系统。
1/15/2020
自动控制理论
思考题：给出双RC电路的微分方程
i1 ui
R1 ic
C1
R2 i2 u C2
1
C
i1dt R1(i1 i2 ) 0
R1
ui
i2
R2
uO
R2i2 uO
进行拉氏变换
1/15/2020
R1I1 (s) (R1 R2 )I2 (s) Ui (s)
(1 Cs
R1 )I1 (s)
R1I 2 (s)
0
R2 I2 (s) UO (s)
自动控制理论
dt
L[ d 2 f (t) ] s2 F (s) sf (0) f （0） dt 2
L
d
nf dt
(t
n
)
snF (s)
n k 1
s nk
f
(k 1) (0)
⑶积分定理：（设初值为零）
L[
f
(t)dt]
F (s) s
1/15/2020
L[ f (t)(dt)n自]动控F制s(理ns)论
第2章 控制系统的数学模型
主要内容:
数学模型基础 控制系统的微分方程 控制系统的传递函数 控制系统的结构图 信号流图与梅逊公式
1/15/2020
自动控制理论
2.1 数学模型基础
1.数学模型：用数学的方法和形式表示并描述系统中各
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§2.1
系统的数学模型
一、数学模型
定量地描述系统的动态性能，揭示系统的结构、参数与动 态性能之间的数学表达式。
常用的动态模型有：微分方程、传递函数、频率特性。
二、建模方法 ➢运用不同学科的基本定理； ➢对于复杂系统可以忽略一些次要因素； ➢要经过实验验证。
系统的建模步骤：
习题
(2)分支点(信号由某一点分开，也称引出点)移动
（3）综合点位置的交换 将图2.42(a)中两个综合点的位置交换后得到图2.42(b)。
交换前输出量为 交换后输出量为
二者完全相等。所以交换相邻综合点的位置，不会改变结 构图的输入输出关系。
多个相邻综合点的位置也可以任意交换。
（4）相邻引出点位置的交换
xz xz
i1
02
X i z1 X 0 z2
G(s) X 0 (s) z1 K Xi (s) z2
２．惯性环节
•
T x0 x0 Kxi TsX0(s) X0(s) KXi (s) G(s) X0(s) K
Xi(s) Ts 1
式中，K——比例系数或增益；
T——时间常数，代表惯性的大小，T愈大，响应愈 慢。
其中 T c
k
例：求电路图的传递函数。
解：
vi
iR
1 C
idt
v0
1 C
idt
Vi
(
s) V0 (
I( s)
s)
R 1 CS
1I CS I (s)
(
s
)
G(s) V0 (s) 1 1 V (s) RCs 1 Ts 1
i
其中，T=RC
３．微分环节 • x0 (t) T xi (t) X 0 (s) TsX i (s) G(s) X0(s) Ts Xi (s)
换句话说，典型环节和具体元部件不一定是一一对应的， 即典型环节只代表一种特定的运动规律，不一定是一种具体的 元部件。
1．比例环节（放大环节）
c ( t ) = K r( t )
C(s)=KR(s)
G ( S) =C(s)/R(s)= K 式中，K——放大系数或增益。
例：求一齿轮传动副的传递函数。
解：
b1
dxi (t) dt
b0xi (t)
(ansn an1sn1 a1s a0 ) X 0 (s) (bmsm bm1sm1 b1s b0 ) X i (s)
G(s)
X 0 (s) Xi (s)
bmsm bm1sm1 b1s b0 ansn an1sn1 a1s a0
X
01
(s)
1
G (s)G (s)
1
2
G1(s)G2 (s)H
(s)
X
i
(s)
➢ 干扰N(s)作用下系统的输出X02(s)
X
02
(s)
1
G1
G (s) 2
(s)G2 (s)H
(s)
N
(s)
输入和干扰同时作用下的输出X0(S)
X 0 (s) X 01(s) X 02 (s)
1
G1(s)G2 (s) G1(s)G2 (s)H
解：
di
1
L dt Ri C idt ur
1 C
idt
uc
当初始条件为零时，
LsI
(s)
RI(s)
1 cs
I
(s)
U
r
(s)
1 cs I (s) Uc (s)
G(s)
Uc(s) Ur(s)
LCs2
1 RCs 1
s2
n2 2n s
n2
式中 n
1 , R
LC
2
C L
例：求质量－阻尼－弹簧系统的传递函数。
分母代表系统的固有特性，分子代表输入与系统的关系，如 输入点位置、输入方式、测点位置等；
❖ n 表示系统的阶数，且m≤n； ❖ 传递函数可有/无量纲；
❖ 一个传递函数只反映系统的一个输入量和输出量之间关系。
例：上题中若以ur(t)作输入，以u0(t)作输出，求传递函数。
解：①
Ldi(t)/dt+u0(t)= ur(t)
线性系统必须满足两个条件： 1.叠加性
若 x1(t) → y1(t)， x2(t) → y2(t) 则 x1(t) +x2(t) → y1(t)+ y2(t) 线性系统的各输入产生的输出互不影响。 2.均匀性
若 x(t) → y(t)，α为常数 则 α x(t) → α y(t)
（二）非线性系统 系统的输出与输入间不满足叠加性和均匀性。
二、传递函数性质 ❖ 只适用于线性定常系统在零初始条件下； ❖ 只反映系统传输形式，取决于系统结构参数，与输入信号大
小和性质无关；
不同物理系统可具有相同类型传递函数；
G(s) X0(s) k 1 X i (s) cs k Ts 1
G(s) V0 (s) 1 1 Vi (s) RCs 1 Ts 1
u0(t)=Ri(t)
②
LsI(s)+ U0(s)=Ur(s)
U0(s)=RI(s)
③ G(s)= U0(s) /Ur(s)=R/(Ls+R) 对比 G(s)=I(s)/Ur(s)=1/(Ls+R)
§ 2.3 典型环节的传递函数
典型环节： 是按其数学模型而不是按其作用原理和具体物理结构来进
行划分。
因系统中存在储能元件，如L、C等，对于突变的输入， 输出不能立即复现，而是呈现一定的惯性（即滞后）。
例：求质量－阻尼－弹簧系统的传递函数。
解：若ｍ相对较小，可略去其影响，则
•
c x0 kx0 kxi
csX 0 (s) kX0 (s) kXi (s)
G(s)
X (s) 0
k
1
X i (s) cs k Ts 1
相邻引出点引出的是同一信号，显然，它们的位置是可以 任意交换的(见图2.43)。
图2.47 RLC网络结构图等效变换
解 这是一个多回路的动态结构图。图中的回路互相交错，所 以首先要移动引出点或综合点，消除交叉连接，使各个回路互相 分离开。
为此首先将方框1/Cs之前的引出点后移，将方框1/Ls之后的 综合点前移，前移后与原来最左边的综合点交换位置，得到 2.47(b)，原来互相交叉的三个回路被完全分开。
非惟一的，但是所得结果应是唯一的。例如，可以用图2.48所示 的方法消除图2.47(a)中的交叉连接。
作业：第36到38页 2-2、2-3、2-4 2-7（求微分方程和传递函数）、2-8 （求微 分方 程和传递函数）、 2-9
[4] 王积伟，吴振顺．控制工程基础，高等教育出版社，2008 [5] 董玉红主编，控制工程基础．哈尔滨工业大学出版社，2003
解：
m
d 2 x0 dt 2
k ( xi
x0 ) c
dx0 dt
ms2 X 0 (s) csX 0 (s) kX0 (s) kXi (s)
G(s)
X 0 (s) Xi (s)
ms2
k cs k
s2
n2 2ns n2
其中
n
k m
c
2 mk
作业：第36到37页 2-2、2-3、2-4 2-7（求微分方程和传递函数）、2-8 （求微分方程 和传递函数）、
1 T
X i (s) s
G(s) X 0 (s) 1 X i (s) Ts
例：一齿轮齿条传动机构，齿轮的转速n为输入量，齿
条的位移x为输出量，求传递函数。
解：
dx Dn
dt
G(s) X (s) D / s
N (s)
５．振荡环节 T2 d2x0 (t) / dt2＋2ζTdx0(t) / dt＋x0(t)＝xi(t)
上式进行拉氏变换 LsI(s)+RI(s)=Ur(s)
③由定义，得传递函数 G(s)=I(s)/Ur(s)=1/(Ls+R)
传递函数：线性定常系统在零初始条件下，系统输出量
的拉氏变换与输入量的拉氏变换之比。
an
d n x0 (t) dt n
a1
dx0 (t) dt
a0x0 (t)
bm
d m xi (t) dt m
n
G(s) Gi (s)
i1
２．并联
G1(s)
X1(s) Xi (s)
G2 (s)
X 2(s) Xi (s)
X0(s) X1(s) X 2(s)
图2-35 环节并联
G(s)
X 0 (s) Xi (s)
பைடு நூலகம்
X1(s) X 2(s) Xi (s)
G1(s) G2 (s)
n
G(s) Gi (s) i 1
三、非线性系统线性化 （一）线性系统
an
d n x0 (t) dt n
a1
dx0 (t) dt
a0 x0 (t)
bm
d m xi (t) dt m
b1
dxi (t) dt
b0xi (t)
若an…..a0和bm……b0均为常数，称为线性定常系统或 线性时不变系统。
反之，若各系数均为时间t的函数，称为线性时变系统。
[4] 王积伟，吴振顺．控制工程基础，高等教育出版社，2008 [5] 董玉红主编，控制工程基础．哈尔滨工业大学出版社，2003
习题解答
§ 2.4 系统的方框图及其联接
目的：化简复杂的动态结构图，成为只有一个方框，而 框中是系统总传递函数。
一、环节的基本连接方式 １．串联
G(s) X 0 (s) X 0 (s) X 2 (s) X1(s) G (s)G (s)G (s) Xi (s) X 2(s) X1(s) Xi (s) 1 2 3