高考数学总复习 基础知识名师讲义 第九章 第六节事件与概率 文

第六节 事件与概率
1.了解随机事件发生的不确定性和频率的稳定性，了解概率的意义，了解频率与概率的区别.
2.了解互斥事件、对立事件的概念，并了解两个互斥事件的概率加法公式.
知识梳理
一、必然事件：在条件S 下，一定会发生的事件，叫相对于条件S 的必然事件．
二、不可能事件：在条件S 下，一定不会发生的事件，叫相对于条件S 的不可能事件．
三、确定事件：必然事件和不可能事件统称为相对于条件S 的确定事件．
四、随机事件：在条件S 下可能发生也可能不发生的事件，叫相对于条件S 的随机事件．
五、频数与频率：在相同的条件S 下重复n 次试验，观察某一事件A 是否出现，称n
次试验中事件A 出现的次数n A 为事件A 出现的频数；称事件A 出现的比例f n (A )＝n A n
为事件A 出现的频率；对于给定的随机事件A ，如果随着试验次数的增加，事件A 发生的频率f n (A )稳定在某个常数上，把这个常数记作P (A )，称为事件A 的概率．
六、频率与概率的区别与联系：随机事件的频率，指此事件发生的次数n A 与试验总次
数n 的比值n A n
，它具有一定的稳定性，总在某个常数附近摆动，且随着试验次数的不断增多，这种摆动幅度越来越小．我们把这个常数叫做随机事件的概率，概率从数量上反映了随机事件发生的可能性的大小．频率在大量重复试验的前提下可以近似地作为这个事件的概率．
七、概率的性质：必然事件的概率为1，不可能事件的概率为0，随机事件的概率为0≤P (A )≤1，必然事件和不可能事件看作随机事件的两个极端情形．
八、事件间关系的基本概念
(1)事件的包含、相等事件、并事件、交事件：
一般地，对于事件A 与事件B ，如果事件A 发生，则事件B 一定发生，这时称事件B 包含事件A (或称事件A 包含于事件B )，记作B ⊇A (或A ⊆B )．不可能事件记作∅，任何事件都包含不可能事件．
如果事件A 发生，则事件B 一定发生，反过来也正确，即B ⊇A ，且A ⊇B ，这时则称这两个事件相等，记作A ＝B .
若某事件发生当且仅当事件A 发生或事件B 发生，则称此事件为事件A 与事件B 的并事件(或和事件)．记作A ∪B (或A ＋B )．
基础自测
1．(2013·茂名一模)气象台预报“茂名市明天降雨的概率是80%”，下列理解正确的是
( )
A ．茂名市明天将有80%的地区降雨
B ．茂名市明天将有80%的时间降雨
C ．明天出行不带雨具肯定要淋雨
D ．明天出行不带雨具会淋雨的可能性很大
解析：茂名市明天降雨的概率是80%的含义是：茂名市明天降雨的可能性达80%，所以选项D 正确．
答案：D
2．某人将一枚质地均匀硬币连掷了1000次，正面朝上的情形出现了600次，若用A 表示正面朝上这一事件，则事件A 发生的( )
A ．概率为35
B ．频率为35
C ．频率为60
D ．概率接近0.6
解析：根据频率和概率的概念知选项B 正确．
答案：B
3．(2012·天津模拟)某班有60名学生，其中女生24人，现任选1人，则选中男生的概率为( )
A.136
B.160
C.25
D.35 解析：由题意知男生有60－24＝36(人)，故选中男生的概率为3660＝35
.故选D. 答案：D
4．从一个鱼池中捕鱼n 尾，并标上记号放回池中，经过一段时间后，再从池中捕出M 尾，其中有记号的有m 尾，则估计鱼池中共有______尾鱼．
答案：Mn m
若某事件发生当且仅当事件A 发生且事件B 发生，则称此事件为事件A 与事件B 的交事件(或积事件)．记作A ∩B (或AB )．
以上概念可分别与集合的包含、相等、并、交等概念进行类比．
九、互斥事件：若A ∩B 为不可能事件，即A ∩B ＝∅，那么称事件A 与事件B 互斥．通俗地说：如果事件A 与B 不能同时发生，那么称事件A ，B 为互斥事件(或称互不相容事件)．
如果事件A 1，A 2，…，A n 中任何两个都是互斥事件，那么称事件A 1，A 2，…，A n 彼此互斥．
互斥事件的概率加法公式：如果事件A ，B 互斥，那么P (A ＋B )＝P (A )＋P (B )； 如果事件A 1，A 2，…，A n 彼此互斥，则P (A 1＋A 2＋…＋A n )＝P (A 1)＋P (A 2)＋…＋P (A n )．
十、对立事件：若A ∩B 为不可能事件，A ∪B 为必然事件，那么称事件A 与事件B 互为对立事件．通俗地说：如果事件A 与B 不能同时发生，且事件A 与B 必有一个发生，则
称事件A 与B 互为对立事件，事件A 的对立事件通常记作A －.
对立事件A 与A －的概率和等于1，即：P (A )＋P (A －)＝P (A ＋A －)＝1；
当事件A 与B 互斥时，满足加法公式：P (A ∪B )＝ P (A )＋P (B )；若事件A 与B 为对立事件，则A ∪B 为必然事件，所以P (A ∪B )＝ P (A )＋ P (B )＝1，于是有P (A )＝1－P (B )＝1
－P (A －)．
十一、事件的和事件及其概率计算：对于事件A 与B ，如果事件A 发生或事件B 发生，也即A ，B 中有一个发生称为事件A 与B 的和事件．记作：A ＋B .
此时：P (A ＋B )＝P (A )＋P (B )－P ()A ∩B .
1．(2012·江苏卷)现有10个数，它们能构成一个以1为首项，－3为公比的等比数列，若从这10个数中随机抽取一个数，则它小于8的概率为________．
解析：将10个数排成一个以1为首项，－3为公比的等比数列，则a n ＝(－3)n －答案：35
2．某饮料公司对一名员工进行测试以便确定其考评级别，公司准备了两种不同的饮料共5杯，其颜色完全相同，并且其中3杯为A 饮料，另外2杯为B 饮料，公司要求此员工一一品尝后，从5杯饮料中选出3杯A 饮料．若该员工3杯都选对，则评为优秀；若3杯选对2杯，则评为良好；否则评为合格．假设此人对A 和B 两种饮料没有鉴别能力．
(1)求此人被评为优秀的概率；
(2)求此人被评为良好及以上的概率．
杯饮料中选出3杯的所有可能情况为：(123)，(124)，(125)，(134)，(135)，(145)，(234)，(235)，(245)，(345)，可见，共有10种．
令D 表示此人被评为优秀的事件，E 表示此人被评为良好的事件，F 表示此人被评为良好及以上的事件，则
(1)P (D )＝110
. (2)P (E )＝35，P (F )＝P (D )＋P (E )＝710.
1．(2013·江西临川二中、上高二中一月联考)为了解
某校高三学生质检数学成绩分布，从该校参加质检的学生数学成绩中抽取一个样本，
并分成5组，绘成如图所示的频率分布直方图．若第一组至第五组数据的频率之比为1∶2∶8∶6∶3，最后一组数据的频数是6.用频率估计概率的方法，估计该校高三学生质检数学成绩在125～140分之间的概率和样本容量为( )
A.110，60
B.25
，15 C.310，20 D.320
，40 解析：P ＝31＋2＋8＋6＋3＝320
，又6m ＝320，得m ＝40，故选D. 答案：D
2．(2012·合肥模拟)一盒子中装有各色球12个，其中5个红球、4个黑球、2个白球、
1个绿球．从中随机取出1球，求：
(1)取出1球是红球或黑球的概率；
(2)取出的1球是红球或黑球或白球的概率．
解析：(法一) (1)从12个球中任取1球得红球有5种取法，得黑球有4种取法，得红球或黑球共有5＋4＝9种不同取法，任取1球有12种取法．
∴任取1球得红球或黑球的概率为P1＝9
12＝3 4.
(2)从12个球中任取一球得红球有5种取法，得黑球有4种取法，得白球有2种取法．从
而得红或黑或白球的概率为5＋4＋2
12＝
11
12.
(法二) (利用互斥事件求概率)记事件A1＝{任取1球为红球}，A2＝{任取一球为黑球}，
A3＝{任取一球为白球}，A4＝{任取一球为绿球}，则P(A1)＝5
12，P(A2)＝
4
12，P(A3)＝
2
12，P(A4)
＝1
12.
根据题意知，事件A1，A2，A3，A4彼此互斥，由互斥事件概率公式，得
(1)取出1球为红球或黑球的概率为
P(A1＋A2)＝P(A1)＋P(A2)＝
5
12＋
4
12＝
3
4.
(2)取出1球为红球或黑球或白球的概率为
P(A1＋A2＋A3)＝P(A1)＋P(A2)＋P(A3)＝
5
12＋
4
12＋
2
12＝
11
12.
(法三)(利用对立事件求概率的方法)
(1)由法二知，取出1球为红球或黑球的对立事件为取出一白球或绿球，即A1＋A2的对
立事件为A3＋A4.所以取得一红球或黑球的概率为
P(A1＋A2)＝1－P(A3＋A4)＝1－P(A3)－P(A4)＝1－2
12－
1
12＝
3
4.
(2)A1＋A2＋A3的对立事件为A4，所以P(A1＋A2＋A3)＝1－P(A4)＝1－1
12＝11
12.。