数学九年级上浙教版4.4相似三角形的性质课件(精)
4.5相似三角形的性质及其应用课件浙教版数学九年级上册
知识点2 三角形的重心
A
知识点3 相似三角形的周长比、面积比 重点
图形
推理
结论
周长之比
.
周长之比等于相似比.
面积之比
.
面积之比等于相似比的平方.
知识点4 相似三角形的实际应用 重难点
应用相似三角形的性质解决实际问题的关键是根据题意画出示意图，构建出相似三角形模型，从而把实际问题转化为数学问题，进而利用数学知识求解.现对测量物体高的常见方法总结如下：
刘徽的《海岛算经》是中国最早的一部测量数学专著.他在该书中精心选编了九个测量问题,其中第一个问题是测算海岛的高、远问题
测量原理
如图所示, , , , ,即 ._
测量数据
观测者的眼睛与地面的距离 ,观测者与镜子上的标记之间的距离 ,镜子上的标记与旗杆底部之间的距离 .
测量原理
如图所示, , .又 , , ,即 ._
中考常考考点
难度
常考题型
考点1：相似三角形性质的应用，主要考查利用相似三角形的性质求线段的长、图形的周长或面积等.
★★★★
选择题、填空题、解答题
考点2：利用相似三角形的性质解决实际问题.
★★★★
选择题、填空题、解答题
考点1 相似三角形性质的应用
链接教材 本题取材于教材第146页作业题第6题，考查了利用相似三角形的性质求线段长及图形面积.中考真题通过改变教材题中的条件进行Βιβλιοθήκη 式，整体难度相当.测量数据
人的身高 ,人的影长 ,旗杆的影长 .
利用影子测量物体高度时，人的影长和物体的影长必须是同一时刻，同一地点测量得到的
测量原理
如图所示, , . , , .易知 , , . , , , 可测, 可求得 的长度, ._
浙教版初中数学九年级上册相似三角形的性质及应用课件
（1）若BC=9cm,EF=___3_cm_______
A
（2）△AEF与△ABC的周长之比
5E
H
2 F
G
=___1_：_3____
（3）△AEF与△ABC的面积之比
B
D
C
=___1_：__9___
变1:当∠AFE=∠B，AF=2,AB=5时，你能得到哪些结论？ 若AD⊥BC于点D,AG⊥EF于点G,求AD:AG的值. 5：2
∵S△ABC=3.8×2.2÷2=4.18（cm2）
4.18 三角形地块的实际面积
（ 1 ）2 10000
∴三角形地块的实际面积为
4.18×108cm2，即41800m2 NhomakorabeaB
A
2.5
DC
答：估计三角形地块的周长为970cm，实际面积为41800m2。
例题讲授
如图，E、F分别是AB、AC上的点,EF∥BC，AE:AB=1:3
B/
C/
D/
∵△ABC∽△A/B/C/
C
∴ AD A/D/
=
AB A/B/
=k
∴ SΔABC SΔA /B/C/
=
1 2
BC
AD
1 2
B/C/
A/D/
=
BC B/C/
AD A/D/
=k×k=k2
1、已知两个三角形类似，请完成下列表格
类似比 2 周长比 2 面积比 4
1
3
100 m
k
1
3 100 m
解：设正方形PQMN是符合要求的△ABC
的高AD与PN相交于点E。设正方形PQMN 的边长为x毫米。
因为PN∥BC，所以△APN∽ △ABC
九年级数学上册 第四章 相似三角形 4.4 两个三角形相似的判定②课件 (新版)浙教版
知
,∠ABD＝40°.求∠C的度数.
解：在△ABD与△ACB中，∠A=∠A，
•由 AB2 AD AC,
•得
AB AD AC AB
•∴△ABD∽△ACB
•∴∠C=∠ABD=40°.
＝25cm,BC边上的高线长为20cm.小慧给出 一种裁纸方法:如图,将AB,AC分别五等分, 然后连结两边对应的点,并以这些连结线 为一边作矩形.剪下矩形纸条(图中阴影部 分)作为墙报镶边的材料.问:小慧的这种 方法能满足这版墙报镶边的需吗？请说明 理由.
C4
1 5
2 5
3 5
4 5
BC
2BC 2 25 50(cm) 48cm
谢谢大家
(两边对应成比例，且夹角相等的两个三角形相似），
AD AO , 即 5 1，
BC BO
BC 2
BC 25 1（0 cm）
答：容器的内径BC为10cm.
1.已知:如图,在△ABC中,D,E分别是AB, AC上的点，
AD AE DB EC
.求证:△ADE∽△ABC.
•解：由已知可得
三角形相似还有下面的判定定理：
•两边对应成比例，且夹角相等的两个三 角形相似.
例2 图4 -19是用卡钳测量容器内径的示意图.现量得卡钳上A，D
解 两端点的距离为5㎝，AO DO 1 .求容器的内径BC.
BO CO 2
} AOD BOC
AO DO
△AOD∽△BOC
BO CO
AD DB AE EC
AD
AE
••即 又∵∠A=∠AAADB，
AC AE
浙教版数学九上42《相似三角形》课件
浙教版数学九上42《相似三角形》课件一、教学内容本节课选自浙教版数学九年级上册第42讲《相似三角形》。
教学内容主要包括教材第四章第三节“相似三角形的判定与性质”的相关内容，详细涵盖了相似三角形的定义、判定方法（SSS、SAS、ASA、AAS）、相似三角形的性质及其应用。
二、教学目标1. 理解并掌握相似三角形的定义及判定方法，能够准确地判断两个三角形是否相似。
2. 掌握相似三角形的性质，能够运用性质解决实际问题。
3. 培养学生的观察能力、逻辑思维能力和解决问题的能力。
三、教学难点与重点教学难点：相似三角形的判定方法及性质的应用。
教学重点：相似三角形的定义、判定方法及性质。
四、教具与学具准备教具：多媒体课件、黑板、粉笔。
学具：直尺、圆规、量角器、练习本。
五、教学过程1. 实践情景引入利用多媒体展示一些生活中的相似图形（如相似的建筑、家具等），引导学生观察并提问：“这些图形之间有什么共同点？”从而引出相似三角形的定义。
2. 例题讲解DEF中，DE=3cm，EF=4.5cm，DF=6cm。
判断三角形ABC与三角形DEF是否相似。
（2）已知三角形ABC中，∠A=40°，∠B=60°，∠C=80°；三角形DEF中，∠D=40°，∠E=60°，∠F=80°。
判断三角形ABC与三角形DEF是否相似。
3. 随堂练习（1）已知三角形ABC中，AB=5cm，AC=8cm，BC=10cm；三角形DEF中，DE=4cm，DF=6cm，EF=8cm。
判断三角形ABC与三角形DEF是否相似。
（2）已知三角形ABC中，∠A=30°，∠B=60°，∠C=90°；三角形DEF中，∠D=30°，∠E=60°，∠F=90°。
判断三角形ABC与三角形DEF是否相似。
4. 相似三角形的性质及应用（1）性质：相似三角形的对应角相等，对应边成比例。
相似三角形的性质(精讲PPT课件)
课练习
的地方，把手臂向前伸直且让小尺竖直，看到尺上大约有24个分划恰好 遮住旗杆。已知此同学的臂长约为60cm，求旗杆的大致高度。
解：由已知得：BC=24cm=0.24m，CM=60cm=0.6m，
EN=30m，BC//DE，CM//EN，
堂
∴△ABC∽△ADE，△ACM∽△AEN BC AC ，CM AC ，
探 ∴ 100 CD 40 .
D
120 CD
究 答：点C到直线PQ的距离为240m.
1、要制作两个形状相同的三角形框架，其中一个三角形的三边长分别
练习 为5cm，6cm和9cm，另一个三角形的最短边长为2.5cm，则它的最长边
课 为（ C ） A. 3cm B. 4cm C. 4.5cm
D. 5cm
DE AE EN AE
练 习
BC CM ， DE EN
0.24 0.6， DE 30
∴DE=12m. 答：旗杆大致高12m.
动脑筋
课 堂 通过本节课的学习，你有什么收获与体会？ 小 结
1、已知△ABC∽△DEF，AM，DN分别为△ABC，△DEF的一条中线，
练习 且AM=6cm，AB=8cm，DE=4cm，求DN的长. DN=3cm
作 证明：∵△ABC∽△A′B′C′， ∴∠B=∠B′，∠BAC=∠B′A′C′.
探
又∵AT，A′T′分别平分∠BAC=∠B′A′C′，
∴∠BAT= 1∠BAC，∠B′A′C′= 1 ∠B′A′T′
2
2
∴∠BAT=∠B′A′T′，
究 ∴△ABT∽△A′B′T′， ∴ AT AB . A' T' A' B'
归纳 类似三角形对应角平分线的比等于类似比.
九年级数学上册相似三角形课件(浙教版)
2、已知△ABC与△DEF类似, △ABC的三边为2,3,4, △DEF的一边为8, 求其余两边.
4,6或12,16或16/3,32/3
在方格纸中,每个小格的顶点称为格点,以格点连线为
边的三角形叫做格点三角形,如图所示,在10×10的方格
中,已知△OAB.
y
1.作一个格点三角形与 △OAB全等.
AC
∴△A′B′C′∽△ABC
A
A′ B′
C′
归纳性质
类似三角形的对应角 相等, 对应边成比例.
类似三角形对应边的 B 比, 叫做两个类似三角 形的类似比(或类似系数) (similitude ratio).
A
A′
注意: 两个三B角′形 的前后顺序.
C
C′
如图，AB = 1
AB 2
,
所以△A′B′C′与△ABC的类似比为
1 2
△ABC与△A′B′C′的类似比为2
做一做
如图，△ADE与 △ABC类似,根据图形分别说出两个 三角形的对应边和对应角？
A
D
B （1）
E
C
C
B A
（2） E
A
D
D
E
B
C
（3）
问题探究
１、两个全等三角形一定类似吗？为什么？ A
D
类似. 因为对应角相等, 对应边成比例.
B
CE
F
２、两个直角三角形一定类似吗？为什么？ 两个等腰直角三角形呢？
例2、已知: 如图, D、E分别是△ABC的AB, AC边上 的点, △ABC∽△ADE.
已知 AD:DB=1:2, BC=9cm, 求DE的长.
温馨提醒: AD:DB的比是 △ADE与△ABC的类似 比吗?
浙教版九年级数学上册《相似三角形》课件
浙教版九年级数学上册《相似三角形》课件一、教学内容本节课选自浙教版九年级数学上册第五章《相似三角形》，具体内容包括：5.1相似三角形的判定，5.2相似三角形的性质，5.3相似三角形的应用。
通过本章的学习，让学生掌握相似三角形的判定方法、性质和应用，培养他们的几何思维能力。
二、教学目标1. 知识与技能：掌握相似三角形的判定方法，理解相似三角形的性质，能够运用相似三角形解决实际问题。
2. 过程与方法：培养学生观察、分析、归纳的能力，提高他们的逻辑思维和几何推理能力。
3. 情感、态度与价值观：激发学生学习数学的兴趣，培养他们积极探究、团结合作的精神。
三、教学难点与重点教学重点：相似三角形的判定方法、性质和应用。
教学难点：相似三角形的判定方法的推导和应用，相似三角形性质的理解。
四、教具与学具准备1. 教具：多媒体课件、黑板、粉笔、直尺、圆规等。
2. 学具：练习本、铅笔、直尺、圆规等。
五、教学过程1. 导入：通过展示生活中的相似图形（如建筑物的立面图、衣服上的图案等），引出相似三角形的概念。
3. 例题讲解：讲解相似三角形的判定和应用的相关例题，引导学生运用判定方法解题。
4. 随堂练习：设计有针对性的练习题，让学生巩固所学知识。
5. 知识拓展：介绍相似三角形的性质和应用，引导学生运用性质解决实际问题。
六、板书设计1. 相似三角形的判定方法：① AA相似定理② SSS相似定理③ SAS相似定理④ RHS相似定理2. 相似三角形的性质：① 对应角相等② 对应边成比例③ 对应角平分线、中线、高线成比例3. 相似三角形的应用：七、作业设计1. 作业题目：（1）已知三角形ABC中，D、E分别是AB、AC上的点，且DE∥BC。
证明：三角形ADE与三角形ABC相似。
（2）已知三角形ABC中，D、E分别是AB、AC上的点，且DE∥BC。
若AD：DB=2：3，BE：EC=3：4，求AC：BC的比值。
2. 答案：八、课后反思及拓展延伸1. 反思：本节课学生对相似三角形的判定方法掌握较好，但对性质的理解和应用还需加强。
九年级数学上册 4.4 两个三角形相似的判定课件 (新版)浙教版
平行于三角形一边的直线和其他两边 相交，所构成的三角形与原三角形
有两个角对应相等
方法３ 两边对应成比例,且夹角相等
方法４ 三边对应成比例
------判定两个三角形相似的方法
三角形相似与全等的三种常用判定方法的区别和联系
判定 两个三角形相似的条件 两个三角形全等的条件 方法
1 两边对应成比例， 两边对应相等，
A
EC
5.如图：在△ABC中，点M是
D
BC上任一点， MD∥AC，
A E
ME∥AB， BD 2,求CE .B 2份 M 3份 C
AB 5 AC
5份
解：∵MD∥AC， ∴△BDM∽△BAC
∴ BBAD=
BBMC=
2 5
，
MC BC
=
3 5
又∵ ME∥AB，
∴△CEM∽△CAB
∴ CE= CA
CM = 3 CB 5
A
C
A
B
（1）所有的等腰三角形都相似。× （2）所有的等腰直角三角形都相似。√ （3）所有的等边三角形都相似。√ （4）所有的直角三角形都相似。× （5）有一个角是100 °的两个等腰三角形都相似。√ （6）有一个角是70 °的两个等腰三角形都相似。× （7）若两个三角形相似比为1，则它们必全等。√ （8）相似的两个三角形一定大小不等。×
学以致用
1、如图判断4×4方格中的两个三角形是否相
似,并说明理由。
D
想一想：找角的关系容易， 还是找边的关系容易？
解：根据勾股定理，得：
EB
CA 2 AB2 2 BC 10
A C
DE 5 EF2 5 FD 5
F
∴△ABC∽△EFD
2如 .如图图在 在正正方方形形网网 格上格 A有1上 B1△C有 1和 Ａ1ＢA2B1Ｃ2C21， 和△ Ａ它2Ｂ们2Ｃ相2,似它吗 们相？似如吗果 ，？相 求 如似 果出相相似似，比 求； 出 如果 相不似相比似 ；如，果请不说相明 似，理请由说。明理由。
2024年浙教版数学九上42《相似三角形》课件
2024年浙教版数学九上42《相似三角形》课件一、教学内容本节课选自2024年浙教版数学九年级上册第42章《相似三角形》。
具体内容包括：相似三角形的定义及性质；相似三角形的判定方法；相似三角形的应用。
二、教学目标1. 理解并掌握相似三角形的定义及性质，能够运用这些性质解决实际问题。
2. 学会运用判定方法判断两个三角形是否相似，并能运用相似三角形的知识解决相关问题。
3. 提高学生的观察能力、逻辑思维能力和解决问题的能力。
三、教学难点与重点1. 教学难点：相似三角形的判定方法，相似三角形性质的应用。
2. 教学重点：相似三角形的定义，相似三角形的性质，相似三角形的判定。
四、教具与学具准备1. 教具：多媒体教学设备，投影仪，几何画板。
2. 学具：三角板，量角器，直尺，练习本。
五、教学过程1. 实践情景引入：通过展示实际生活中相似三角形的例子，如建筑物的立面图、衣服的图案等，让学生感受到相似三角形在生活中的广泛应用。
过程细节：引导学生观察、思考，激发学生的学习兴趣。
2. 例题讲解：讲解相似三角形的定义、性质及判定方法。
过程细节：通过讲解典型例题，让学生理解并掌握相似三角形的知识点。
3. 随堂练习：针对相似三角形的判定和应用进行练习。
过程细节：引导学生独立思考，相互讨论，教师巡回指导。
过程细节：通过提问、讨论等方式，帮助学生巩固所学知识。
六、板书设计1. 相似三角形的定义2. 相似三角形的性质3. 相似三角形的判定方法4. 相似三角形的应用七、作业设计1. 作业题目：（1）已知三角形ABC中，AB=4cm，AC=6cm，D是BC边上的点，使得BD=2cm，CD=3cm。
求证：三角形ABD与三角形ACD相似。
（2）在平面直角坐标系中，已知点A(2,3)，B(4,6)，C(2,3)。
求证：三角形OAB与三角形OBC相似（O为坐标原点）。
2. 答案：（1）证明：由题意得，BD:CD=AB:AC=2:3，且∠B=∠C（公共角），根据相似三角形的判定，得三角形ABD与三角形ACD相似。
新浙教版九年级数学上册《 相似三角形》精品课件
•7、“教师必须懂得什么该讲，什么该留着不讲，不该讲的东西就好比是学生思维的器，马上使学生在思维中出现问题。”“观察是 思考和识记之母。”2021/11/82021/11/8November 8, 2021
B
C
(2)
∵ BC∥DE
∴ ADDEAE
AB BC AC
又∵ ∠A= ∠A ∴ △ABC∽△ADE
∠ADE=∠B,∠AED=∠C，
平行于三角形一边的直线和其他两边(或两 边的延长线)相交，所构成的三角形与原三 角形相似。
用数学符号表示：
A
∵ DE∥BC
E
D
D
E ∴ ΔADE∽ΔABC A
B
C
(1)
F
C
D
思考题
图中有几个三角形相似
已知： DF//BC
A
DE//AC
D
F
EF//AB
C
B
E
问题
如果△ABC∽△A1B1C1 而△A1B1C1 ∽△A2B2C2 那么△ABC与△A2B2C2 是否相似？ 为什么？
相似三角形的传递性：如果
△ABC∽△A1B1C1 ，
而△A1B1C1 ∽△A2B2C2
那么△ABC∽△A2B2C2 。
如果一个三角形的三边长分别为5、12和13， 与其相似的三角形的最长边为39，你知道这个三 角形的其它情况吗？
1．全等三角形是不是相似三角 形？说明你的理由。
２．（１）所有的等腰三角形是 不是相似三角形？
（２）所有的直角三角形是不是 相似三角形？
相似三角形的性质及其应用课件浙教版九年级数学上册(完整版)
三角形的重心分每一条中线成1：2的两条线段.
课堂练习
【知识技能类作业】 必做题：
1.（1）两个相似三角形的相似比为1:2, 则对应高的比为__1_：__2____， 则对应中线的比为__1__：__2___. （2）两个相似三角形对应中线的比为1:4 ，则对应高的比为_1_：__4__ .
A'
D'
C'
新知讲解
解：∵△ABC∽△A'B'C'，∴∠B=∠B'， AB BC . A'B' B'C'
∵ AD，A'D'分别是△ABC与△A'B'C'的中线，
∴BD= 1 BC，B'D'= 1 B'C'，
2
2
BD
BC
AB .
A
B'D' B'C' A'B'
∴△ABD∽△A'B'D'，
AD A'D'
1 2
.
证明：如图，连结DE.
∵BD，CE是△ABC的两条中线，∴
DE
∥=
1 2
BC.
∴∠EDB=∠DBC，∠DEC=∠ECB，
∴△DEP∽△BCP.
DB PP
EP CP
DE BC
1 2
.
新知讲解
例2中，如果再作BC边上的中线，这条中线与AC边上的中线BD的交 点也必定分BD成1：2的两条线段，也就是点P. 这就证明了三角形的三条中线相交于一点.
作业布置
选做题： 3.如图，在△ABC中，BC＝120，高AD＝60，正方形EFGH的一边在 BC上，点E，F分别在AB，AC上，AD交EF于点N，则AN的长为( B). A．15 B．20 C．25 D．30
浙教版数学九上42《相似三角形》课件
浙教版数学九上42《相似三角形》课件一、教学内容本节课的教学内容来自于浙教版数学九年级上册第42章《相似三角形》。
本章节主要内容包括：相似三角形的定义、性质及判定。
具体的教学内容有：1. 相似三角形的定义：如果两个三角形的对应角相等，对应边成比例，那么这两个三角形相似。
2. 相似三角形的性质：相似三角形的对应边成比例，对应角相等。
3. 相似三角形的判定：如果两个三角形的对应角相等，对应边成比例，那么这两个三角形相似。
二、教学目标1. 理解相似三角形的定义，掌握相似三角形的性质和判定方法。
2. 能够运用相似三角形的知识解决实际问题，提高学生的数学应用能力。
3. 培养学生的逻辑思维能力，提高学生的数学素养。
三、教学难点与重点重点：相似三角形的定义、性质和判定。
难点：相似三角形的判定方法的灵活运用。
四、教具与学具准备教具：黑板、粉笔、多媒体课件。
学具：笔记本、尺子、三角板。
五、教学过程1. 实践情景引入：2. 知识讲解：教师运用多媒体课件，详细讲解相似三角形的性质和判定方法。
同时，教师结合例题，让学生跟随步骤，体会相似三角形的判定方法。
3. 随堂练习：教师给出几组三角形，让学生判断它们是否相似。
学生通过自主练习，巩固所学知识。
4. 课堂讲解：教师针对学生在练习中遇到的问题，进行讲解和解答。
5. 板书设计：教师在黑板上板书相似三角形的定义、性质和判定方法，方便学生复习和记忆。
6. 作业设计：（1）判断下列三角形是否相似，并说明理由：题目：如图，在△ABC和△DEF中，AB=DE，BC=EF，AC=DF。
答案：△ABC～△DEF（对应角相等，对应边成比例）。
（2）已知：在△ABC中，AB=5cm，BC=8cm，AC=10cm。
求△ABC的周长。
答案：△ABC的周长=5+8+10=23cm。
六、课后反思及拓展延伸1. 课后反思：本节课通过实践情景引入，让学生直观地理解相似三角形的定义。
在知识讲解环节，运用多媒体课件，详细讲解相似三角形的性质和判定方法，并结合例题，让学生跟随步骤，体会相似三角形的判定方法。
数学相似三角形的性质和其应用(公开课)课件浙教版九年
在数学竞赛中，利用相似三角形的性质，可以证明一些几何定理或推论。
解决代数方程问题
通过构造相似三角形，可以将代数方程问题转化为几何问题，从而简化解题过程。
THANK YOU
感谢聆听
周长比等于相似比
相似三角形的周长比等于它们的相似 比。
面积比等于相似比的平方
相似三角形的面积比等于它们相似比 的平方。
相似三角形的判定方法
角角角判定
如果两个三角形三个角分别相等，则这两个三角形 相似。
边边角判定
如果两个三角形两边成比例，且夹角相等，则这两 个三角形相似。
三边判定
如果两个三角形三边成比例，则这两个三角形相似 。
02
相似三角形的应用
在几何图形中的应用
相似三角形在几何图形中有着广泛的应用，例如在证明三角形全 等、求解角度和长度等问题中。通过相似三角形的性质，我们可 以推导出许多重要的几何定理和性质。
例如，利用相似三角形的性质，我们可以证明勾股定理、余弦定 理等重要的几何定理。这些定理在解决几何问题中具有非常重要 的作用。
与解三角形的关系
解三角形是指通过已知条件求解三角形各元素的过程，而相似三角形是解三角形 的一种重要工具。
在解三角形的过程中，我们常常需要利用相似三角形的性质来将问题转化为比例 关系，从而简化求解过程。
05
相似三角形的实际应用案例分析
测量中的应用案例
测量建筑物高度
利用相似三角形的性质，通过测量建 筑物的影子长度和同一时刻已知高度 物体的影子长度，计算出建筑物的高 度。
综合运用
在实际解题中，可以根据题目的具体情况，选择合适的证明方法 进行解答。
拓展应用
通过掌握相似三角形的证明方法，可以进一步探索其在几何、代 数等领域的应用。
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C F B
D
3
例2 如图，屋架跨度的一半OP=5m，高度 OQ=2.25m，现要在屋顶上开一个天窗， 天窗高度AC=1.20m，AB在水平位置。求 AB的长度（结果保留3个有效数字）。
Q
A
C P
B
O
4
例3 数学兴趣小组测校内旗杆的高，有以下几种方法：
小雨把长为2.4米的标杆CD直立在地面上， 量出旗杆影长2.8米，标杆影长1.47米
A
测量：人与标尺的距离，人与旗杆的
距离，确认标尺的长度
E
C F D
Gห้องสมุดไป่ตู้H B
依据：相似三角形对应高的比等于相似比。
1、如图，△ABC是一块锐角三角形余料，边 BC=120毫米，高AD=80毫米，要把它加工成正方形 零件，使正方形的一边在BC上，其余两个顶点分 别在AB、AC上，这个正方形零件的边长是多少？
浙教版九（上）
§4.4 相似三角形的性质及其应用(2)
衢江区周家学校 方红忠
1
回顾相似三角形的性质：
1 相似三角形的对应角相等，对应边成比例
2 相似三角形的周长之比等于相似比 3 相似三角形的面积之比等于相似比的平 方 相似三角形对应边上的高之比，对应边上中线 之比，对应角平分线之比等于相似比
2
如图. 有一路灯杆AB，小明在灯光下看 到自己的影子DF，那么 （1）在图中有相似三角形吗？如有，请写出. （2）如果已知BD=3m,DF=1m,小明身高为 A 1.6m,你能求得路灯杆的高吗？
AB BD 那么 EC DC
BD EC 120 50 解得AB 100(米) DC 60
答： 两岸间的大致距离为100米．
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我们还可以在河对岸选定一目标点A，再在河的 一边选点D和 E，使DE⊥AD，然后，再选点B， 作BC∥DE，与视线EA相交于点C。此时，测得 DE , BC, BD, 就可以求两岸间的大致距离AB了。
A
方法一：利用阳光下的影子。
（太阳光线可以近似的看作平行线）
x m
C 2.4m 1.47m D 2.8m
F
E
B
小商在旗杆前面的地面上平放一面镜子（E），观 测者沿着直线BE后退到点D，调整位置使恰好在镜 子里看到旗杆顶点A.测量出：BE=8m DE=2.8m
CD=1.6m
A
方法二：利用镜子的反射。（入射角等于反射角）
二、测高的方法
测量不能到达顶部的物体的高度,通常用“在同一时刻 物高与影长的比例”的原理解决
三、测距的方法
测量不能到达两点间的距离,常构造相似三角形求解 解决实际问题时（如测高、测距），
一般有以下步骤：①审题 ②构建图形
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③利用相似解决问题
20
21
解：设正方形PQMN是符合要求的△ABC的高AD
与PN相交于点E。设正方形PQMN的边长为x毫米。
A E
N P 因为PN∥BC，所以△APN∽ △ABC AE PN 所以 = AD C BC B Q D M 80–x x = 因此 ，得 x=48（毫米）。答：边长为48毫米。 80 120 9
2、如图，为了估算河的宽度，我们可以在河对岸
选定一个目标作为点A，再在河的这一边选点B和C， 使AB⊥BC，然后，再选点E，使EC⊥BC，用视线确定 BC和AE的交点D． 此时如果测得BD＝120米，DC＝60米，EC＝ 50米，求两岸间的大致距离AB．
A
B
D
C
E
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解： 因为 ∠ADB＝∠EDC，
∠ABC＝∠ECD＝90°， 所以 △ABD∽△ECD，
1
2
3
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变式二
小晨想测量旗杆的高度，他在某一时刻测得1米长的竹竿影长 0. 4米，在同时刻测量旗杆的影长时，影子不全落在地面上， 有一部分落在第一级台阶上，测得此影长为0.2米，一级台阶 高0.3米，此时落在地面上影长为4.4米，求旗杆的高度.
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一 、相似三角形的应用主要有如下两个方面
1 2 测高(不能直接使用皮尺或刻度尺量的) 测距(不能直接测量的两点间的距离)
A
B
D
C
E
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如图，已知零件的外径为a，要求它的 厚度x，需先求出内孔的直径AB，现用一个 交叉卡钳（两条尺长AC和BD相等）去量， 若OA:OC=OB:OD=n，且量得CD=b，求厚度x。
分析：
O
如图，要想求厚度x，根据 条件可知，首先得求出内孔 直径AB。而在图中可构造出 相似形，通过相似形的性质， 从而求出AB的长度。
xm
C
1.6m
D
2.8m E
8m
B
方法三：利用标杆
小明在地面直上立一根标杆EF，沿着直线BF后退到点 D，使眼睛C、标杆的顶点E 、旗杆的顶点A在同一直 线上。 A
测量：人与标杆的距离DF，
人与旗杆的距离DB
人的目高和标杆的高度
E
G H D F B
C
方法四：利用标尺
用手举一根标尺EF，让标尺与地面垂直， 调整人与旗杆的距离或眼睛与标尺的距离， 使标尺刚好挡住旗杆的高度。
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解：∵ OA:OC=OB:OD=n
且∠AOB=∠COD
∴△AOB∽△COD ∵ OA:OC=AB:CD=n
O
又∵CD=b
∵AB=CD ·n = nb 又∵x = ( a － AB )÷2 = ( a － nb )÷2
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测高变式一
小聪想测量旗杆的高度，他在某一时刻测得1米长的竹竿竖直 放置时影长1.5米，在同时刻测量旗杆的影长时，因旗杆靠近 一楼房，影子不全落在地面上，有一部分落在墙上，他测得落 在地面上影长为21米，留在墙上的影高为2米，求旗杆的高度.