第2章 冲击波导论

2.1 波的基本概念 2、声波（sound wave） 声波是一种弱扰动波。弱扰动在介质中的传播速 度就叫声速。它是气体动力学中一个非常重要的 参数。

下面以活塞在直管中移动 所引起的气体扰动的传播 来建立声速c与其它参数 的关系式。如图所示。
2.1 波的基本概念

质量守恒（Conservation of Mass ）：
……(2)
2.2.1气体一维流动的基本方程组
3、能量方程 在不考虑气体的粘性和热传导的情况下，气体的流动是等熵的。 ……(3) dS S S
dt t u x 0
4、状态方程 由于S可表示为p和 的函数，故等熵流动条件可表示为：
S S p, 常数

k p A 对于理想气体，其等熵方程为：
将
T 288K 150 C


代入（13）式可得 340m/s。
2.1 波的基本概念
需要指出的是，只有对于小扰动， 立，扰动才以声速传播。对于
0 d 1 0
才成
0 d 1 0
的扰动，
其传播速度大于声速，扰动越强，传播速度将越 高。
2.1 波的基本概念
3、压缩波和稀疏波
……(10)
2.2.2 以u、c为求解参量的方程组
将（9）、（10）两式相加和相减，整理可得
2 2 c u c u c 0 u t k 1 x k 1 2 2 c u c u c 0 u t k 1 x k 1
流体参数都是均匀分布的，并且在给定坐标x处的流体参 数都只与时间t变化相关的流动。平面一维流动规律的求 解目标是确定一维流场中介质参数随时间t和空间x的变化 规律，如p=p(x,t)，T=T(x,t)，u=u(x,t)，ρ=ρ(x,t)。

一维流动又可分为一维定常流动和一维不定常流动。
2.2.1气体一维流动的基本方程组
2.1 波的基本概念
1、波（Wave）
波通常可以分为两大类：一类是电磁波，另一 类是机械力学波。
当介质（ Medium ）受到外界作用（如振动、
这就是扰动（Disturbance）。 波就是扰动的传播。
冲击等）时，介质的局部状态参量就会发生变化，
2.1 波的基本概念

如果活塞突然向右移动，便有波向右传播。 在扰动传播过程中，扰动介质与未扰动介质之间 存在一个界面，这个界面就叫波阵面(Wave front)。 扰动在介质中的传播速度 叫做波速(Wave velocity)。 （要与介质的质点速度区分）
A0为活塞的截面积。
……（2）
2.1 波的基本概念

动量守恒（Conservation of Momentum ）：气体受到
扰动后的动量等于作用在其上面的冲量。 x x1 A0 0 d u p0 dp p0 A0 t1
化简后得：
dp c u 0 d u
压缩波（Compression Wave）：扰动传过后，介质 的压力、密度、温度等状态参数增加的波称为压缩波。 其特点是波传播的方向与介质质点运动方向相同。 稀疏波（Rarefaction Wave）：扰动传过后，介质的 压力、密度、温度等状态参数下降的波称为稀疏波， 其特点是波传播的方向与介质质点运动方向相反。
dx uc dt
。顺介质流
动方向传播的扰动取正号，逆介质流动方向传播
的扰动取负号。
2.2.2 以u、c为求解参量的方程组

在
dx uc dt
条件下，（11）式可表示为 u
d 2 c 0 u dt k 1 d 2 c 0 u dt k 1
dp k 1 c2 d Ak s
……(5) ……(6)
将（5）式两边微分并同时除以 Ak k 1 ，得
2 dc d k 1 c
2.2.2 以u、c为求解参量的方程组
由（5）式知，
dp c 2 d
……(7)
把（6）式代入（7）式，可得：
……(14)
2.2.3方程组的特征线及一般解
沿着C－特征线
dx uc dt 2 2 d c 0或u c I 常数 u k 1 k 1 dt
……(15)
式中，I+,I-称为黎曼（Riemann）不变量。 它们在u，c平面上可用两簇相互平行的直线来描述， 称为方程组（ 11 ）在速度平面上的特征线。它们在沿着 各自的特征线（C＋和C－）传播时保持不变。如图2－5所 示。
dp 2c dc k 1
……(8)
2.2.2 以u、c为求解参量的方程组
将（6）式代入连续方程（1）式，可得
2 c 2u c u c 0 k 1 t k 1 x x
……(9)
将（8）式代入欧拉方程（2）式，可得
u u 2c c u 0 t x k 1 x
所以理想气体的声速为：
c k p

……(11)
又由 p RT 可得 ：
c kRT
……(12)
2.1 波的基本概念
对于地表面上的空气，可近似地视为理想气体，将
k 1 .4
J mol K R 287.1J kg K 8.3144
c 20.05 T
，代入上式可得： ……(13)
气体在平面一维流动下，满足质量守恒、动量守恒和 能量守恒，其对应的方程分别叫质量方程（连续方 程）、动量方程（欧拉方程）、能量方程。 1、连续方程（质量方程） u ……(1) u 0

t
x
x
该式为一维不定常流动的连续方程。 2、欧拉方程（动量方程）
u u 1 p u 0 t x x
2.1 波的基本概念 在一个连续的，缓慢的压缩过程中，每一小步的

压缩都是一种等熵变化，但由于每经一步压缩后
气体的温度都要上升，气体的声速必将上升，这
样下一步的压缩波的波速逐渐增加，一旦集中起
来，状态参数的变化将不再连续，就会发生突跃， 弱扰动变成强扰动。
2.1 波的基本概念

由于稀疏波的膨胀飞散是按顺序连续进行的，所以稀 疏波传播中介质的状态变化是连续的，如图2－4中的 压力变化。

c ，即扰 这两簇特征线分别描述的是物理状态量 u k 2 1
动波以速度

u c 沿x轴的正向或负向传播的轨迹。
因此，对于一维等熵不定常流动方程组（11）式，有
沿着C＋特征线
dx uc dt 2 2 d c 0或u c I 常数 u dt k 1 k 1
……(11)
这个方程组即是以u、c为变量描述气体一维等熵
不定常流动规律的方程组。
确定气体一维等熵流动过程中气体各参数时的时 间、空间变化规律，归结为解此偏微分方程组。
2.2.2 以u、c为求解参量的方程组

小扰动波在静止介质中是以音速进行传播的，在
一维情况下，静止气体中小扰动波的传播速度为c。 在流动介质中，小扰动波的传播速度为介质流动 速度u与当地音速c的叠加，即
0
1
，因此，（6）式变为： ……(7)
c

dp d
看作等熵过程：
dp c d s
……(8)
2.1 波的基本概念
对于理想（多方）气体，其等熵方程为： ……(9) p A k
则
dp A k p k 1 Ak k k d
……(10)
x A0 0 x x1 A0 0 d
……(1)
式中x为t1时刻扰动传播的距离，x=ct1
x1为时刻活塞运动的距离，x1=ut1 代入（1）式可得： 0 ct1 c u t1 0 d 消去t1后可得：
0 c c u 0 d
2.2.3方程组的特征线及一般解
而过Mi+1点作特征线C＋，其特征方程为：
……(3)
……(4) ……(5)
（2）式代入（3）式得：
dp 0 cu
由（2）式可得：
d u c c 0 d 0 d
Hale Waihona Puke 0c2.1 波的基本概念
把（5）式代入（4）式得：
c2
0 d dp 0 d
……(6)

由于声波为弱扰动波，波阵面过后介质状态变化为一 微小量，故有 d 0
图2－4稀疏波现象
2.1 波的基本概念

在稀疏波扰动过的区域中，任意两相邻端面的参 数都只差一个无穷小量，因此稀疏波的传播过程 属于等熵过程，它的波速等于介质当地的声速或 音速（Local sound speed）。
2.2 气体的平面一维流动
所谓一维流动，是指在某一空间坐标x等于常数的平面上
所确定的状态（或扰动）以速度
dx uc dt
顺气体流动方向（即x轴的正方向）传播；

而由
2 u c k 1
所确定的状态（或扰动）以速度
dx uc dt
逆气体流动方向传播。
2.2.3方程组的特征线及一般解
2.2.3方程组的特征线及一般解
dx/dt=u+c 和 dx/dt=u-c 分别代表一维等熵流动介
2.2.3方程组的特征线及一般解

在x-t平面上,假设曲线AB上的各点状态参数已知。
C＋和C－分别表示AB线上各点发出的不同簇的特征 线，求解流场D内各点的状态参数。
图2－6 特征线法解流场参数
2.2.3方程组的特征线及一般解
dx x 【解】近似认为 dt t