带延迟修理的退化服务台排队系统更换模型研究

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机场航班调度中的排队理论与模型

机场航班调度中的排队理论与模型机场是现代航空运输中，最重要的交通枢纽之一。

在一个繁忙的机场中，每天都有成千上万的航班起降，这就需要对航班进行科学的调度。

而排队理论和模型则是机场调度中十分重要的基本理论，它的运用可以在很大程度上提高航班的调度效率，降低排队的时间和成本。

一、排队理论排队理论也叫等待行列理论，是一种研究队列或者说等待行列的数学工具。

所谓队列，是指一些等待服务的顾客，如机场排队等待进行登机、检票等操作的乘客。

而等待行列则是指处在等待这些服务的顾客组成的行列。

排队理论主要研究顾客解决问题的等待时间、队列长度、服务速率等问题，为机场的航班调度等方面提供了重要的理论支持。

二、排队模型排队模型是指根据队列理论建立起来的数学模型，主要用于研究排队系统的稳态和瞬态性质。

排队模型通常包括以下几个部分：输入流，服务设施，服务规则和出口流。

机场航班调度中比较常用的两种基本排队模型分别为M/M/1和M/M/k模型。

M/M/1指单通道排队模型，M/M/k指k通道排队模型。

其中M 代表输入流和出口流均为泊松分布，M/M/k模型具有多个服务通道，而M/M/1模型只有一个服务通道。

排队模型可以用来预测机场的航班调度效率和成本。

通过排队模型，可以分析航班等待时间，到达率，离开率等因素的影响，合理地规划机场资源的配置，并且减少航班的延误时间。

三、排队模型的应用在机场航班调度中，排队模型广泛应用于航班的调度、门口等待和停机位分配等方面。

通过建立不同的排队模型，可以优化机场的调度，并降低机场的延误率。

1.队列模型应用于航班调度航班调度是机场运营的核心环节，可以通过建立相应的排队模型，优化登机，卸载和转换等操作的流程，实现航班资源的高效和灵活调度。

一些机场管理系统，也采用排队模型来分析不同时段的航班负荷和服务质量，进而进行调整。

2.排队模型应用于门口等待控制门口等待控制是机场航班调度中的一个比较常见的问题，同时也是一个比较困难的问题。

排队论

11.排队论11.1基本概念排队现象是指到达服务机构的顾客数量超过服务机构提供服务的容量,也就是说顾客不能够立即得到服务而产生的等待现象。

顾客可以是人,也可以是物,比如说,在银行营业部办理存取款的储户,在汽车修理厂等待修理的车辆,在流水线上等待下一到工序加工的半成品,机场厂上空等待降落的飞机,以及等待服务器处理的网页等,都被认为是顾客。

服务机构可以是个人,像理发员和美容师,也可以是若干人,像医院的手术小组。

服务机构也还可以是包装糖果的机器,机场的跑道,十字路口的红绿灯,以及提供网页查询的服务器等等。

11因为顾客到达,服务时间具有不确定性,排队系统又称随机服务系统,它的基本结构如图1.所示:商业服务理发店,银行柜台,机场办理登机手续的柜台,快餐店的点餐柜台运输行业城市道路的红绿灯,等待降落或起飞的飞机,出租车制造业待修理的机器,待加工的材料,生产流水线社会服务法庭,医疗机构为了描述一个排队系统,我们需要说明输入(到达)和输出(服务)过程,及其他基本特征。

表2.11列举了一些排队系统的到达和服务过程。

表11.2: 排队系统举例)1(到达过程通常,我们假设顾客的相继到达间隔时间是相互独立并且都具有相同概率分布。

在许多实际(Poisson流,或指数分布。

顾客源可能是有限的,也可情况中,顾客的相继到达间隔是服从泊松)能是无限的。

顾客到来方式可能是一个接一个的,也可能是批量的。

比如,到达机场海关的旅行团就是成批顾客。

一般来说,我们假设到达过程不受排队系统中顾客数量的影响。

以银行为例,无论银行内有3位顾客还是300位顾客,顾客来到银行的到达过程是不会受到影响的。

但是在两种情况下到达过程与排队系统中的顾客数量相关。

第一种情况发生在顾客源是有限的系统,比如某工厂共有五台机床,若在维修部中已有两台机床,接下来到达维修部的最大量是三台。

另一种情况是当顾客到达排队系统时,如果服务机构的设施都被占用,顾客可能耐心等待,也可能选择离开。

排队模型——精选推荐

排队模型一 1. 一般的排队过程为：顾客由顾客源出发，到达服务机构（服务台、服务员）前，按排队规则排队等待接受服务，服务机构按服务规则给顾客服务，顾客接受完服务后就离开。

排队过程的一般过程可用下图表示。

我们所说的排队系统就是指图中方框所包括的部分:在现实生活中的排队现象是多种多样的，对上面所说的“顾客”和“服务员”要作广泛的理解。

它们可以是人，也可以是某种物质或设备。

排队可以是有形的，也可以是无形的。

尽管排队系统是多种多样的，但从决定排队系统进程的因素来看，它有三个基本的组成部分，这就是输入过程、排队规则及服务机构.1)输入过程：描述顾客来源以及顾客到达排队系统的规律。

包括：顾客源中顾客的数量是有限还是无限；顾客到达的方式是单个到达还是成批到达；顾客相继到达的间隔时间分布是确定型的还是随机型的，分布参数是什么，是否独立，是否平稳。

2)排队规则：描述顾客排队等待的队列和接受服务的次序。

包括：即时制还是等待制；等待制下队列的情况（是单列还是多列，顾客能不能中途退出，多列时各列间的顾客能不能相互转移）；等待制下顾客接受服务的次序（先到先服务，后到先服务，随机服务，有优先权的服务）。

3)服务机构：描述服务台(员)的机构形式和工作情况。

包括：服务台（员）的数目和排列情况；服务台（员）的服务方式；服务时间是确定型的还是随机型的，分布参数是什么，是否独立，是否平稳。

2.到达和服务过程的模型2.1 到达过程的模型用表示第i 个顾客到达的时间,.i t 称为第i 个到达时间间隔.1i i T t t +=−i 我们用的特征来刻画顾客到达过程. 最常见的情况是独立同分布. 用X 表示这样的随机变量.12,,T T 12,,T T 如果X 服从参数为λ的指数分布.这时1()()i E T E X λ==即平均每隔1λ来一个顾客.换句话说,单位时间理平均有λ个顾客到来.称λ为到达速率. 用表示到时刻t 为止到达的顾客总数,则在上面的假设下()N t ()()N t P t λ∼.除了指数分布外,常用的还有爱尔朗分布,其密度函数为1()(), 0.(1)!k RxR Rx e f x x k −−=≥− 这时2(), ()i i k k E T D T R R==. k 叫形状参数, R 叫速率参数.当取λ使得R k λ=, 则爱尔朗分布可以看成是k 个独立的服从参数为λ的指数分布随机变量的和的分布.2.2服务过程的模型一般总是认为不同顾客接受服务占用的时间长短是相互独立的. 用Y表示一个客户接受服务的时间长短, 它是一个随机变量.若Y的分布是参数为μ的指数分布, 意味着一个顾客的服务时间平均为1μ. 单位时间里可以完成的平均顾客数为μ.若Y服从形状参数为k, 速率参数为R kμ=的爱尔朗分布, 则平均服务时间为1μ, 根据爱尔朗分布的性质, 可以将Y看作是k个相继子服务的总时间, 每个子服务都服从参数为1kμ的指数分布且相互独立.在排队论中,我们常用如下字母表示特定的到达时间间隔或服务时间分布:M: i.i.d. 指数分布D: i.i.d. 的确定分布E k: i.i.d. 的形参为k的爱尔朗分布GI: 到达时间间隔是i.i.d. 的某种一般分布G: 服务时间是i.i.d. 的某种一般分布在处理实际排队系统时，需要把有关的原始资料进行统计，确定顾客到达间隔和服务时间的经验分布，然后按照统计学的方法确定符合哪种理论分布。

排队系统分析分解

3
2
1
VIP专柜
银行窗口
引导案例
6 ……
3
2
1
银行窗口
引导案例
➢种瓜
✓散客户等的时间少了 ✓VIP客户等的时间也少了
➢没有得瓜
✓散客户不满意 ✓VIP客户也不满意
排队系统分析
（Queueing Systems Analysis）
第一节排队的基本概念第二节到达与服务的规律第三节 M/M/1排队模型第四节 M/M/C排队模型第五节 M/G/1排队模型第六节排队系统优化
这家银行为什么种瓜没有得瓜?（续）
随着事态的发展，顾客们由窃窃私语变成了对这位顾客的声援，大家你一句，他一句，七嘴八舌：“你们就是不对，办理同样的业务，有钱人就可以与别人不同吗？”“你们这是在为谁服务？”“如果这样下去，我们就不会再来了。” 更出乎大家意料的是，一位储蓄所工作人员扔出一句骂人的话，然后，重重地摔上门，溜进后台。“她在骂人，把她揪出来！”“她的号码是多少，向总行反映。”“这丫头我是认定她了，除非她不露面。”一时间，场面极度混乱，令人目不忍睹……
（2）到达规律：指到达间隔时间T 的分布分为 • 定长 D • 负指数 M • k阶爱尔朗 Ek
2. 排队规则
（1）损失制指顾客到达时若所有服务实施均被占用，则
顾客自动离去。
（2）等待制指顾客到达时若所有服务实施均被占用，则留
下来等待，直至被服务完离去。
等待的服务规则又可分为 • 先到先服务（FCFS） • 后到先服务（LCFS）
P (T t ) 1 e t，即F (t ) 1 e t
讨论问题
1、这家银行如何解决出现的具体问题：能否立即为他办理手续？

排队问题的提出排队论基本概念到达间隔分布和服务时间

1971年，在一次关于排队论符号标准会议上决定，将Kendall符号扩充成为：
X/Y/Z/A/B/C 形式，其中前三项意义不变，而
A处填写系统容量限制N； B处填写顾客源数目m； C处填写服务规则，如先到先服务FCFS，后到先服务LCFS等。并约定，当排队系统模型为X/Y/Z/∞/∞/FCFS时，后三项可省略不用写出。如 M/M/1表示M/M/1/∞/∞/FCFS；M/M/c表示M/M/c/∞/∞/FCFS。从上面的阐述中我们知道排队系统的数学模型形式多样，根据具体情况各有不同。 M/M/c/∞表示输入过程是负指数分布，服务时间服从负指数分布，系统有c个服务台平行服务（0＜c≤∞），系统容量为无穷，系统是等待制系统。 M/G/1/∞表示输入过程是负指数分布，顾客所需的服务时间为独立、服从一般概率分布，系统中只有一个服务台，容量为无穷的等待制系统。 GI/M/1/∞表示输入过程是负指数分布，顾客独立到达且相继到达的间隔时间服从一般概率分布，服务时间是相互独立、服从负指数分布，系统中只有一个服务台，容量为无穷的等待制系统。 Ek/G/1/K表示相继到达的间隔时间独立、服从k阶爱尔朗分布，服务时间为独立、服从一般概率分布，系统中只有一个服务台，容量为K（1≤K＜∞）的混合制系统； D/M/c/K表示相继到达的间隔时间独立、服从定长分布，服务时间相互独立、服从负指数分布，系统中有c个服务台平行服务，容量为K（c≤K＜∞）的混合制系统。
6.2.1.4 输出
输出是指顾客从得到物流服务到离开服务系统的情况，由于一结束服务顾客即刻离开服务系统，所以输出是通过服务时间来加以描述的。
6.2.2 排队系统模型分类
前面我们图示的形式给出了排队系统的一般模型，下面我们进一步介绍排队系统的数学模型及其分类。虽然排队系统的构成要素较为明晰，但排队系统的特征复杂多样。1953年堪道尔提出一个分类方法，按照排队系统特征中最主要的、影响最大的三个分类，即：

( 数学建模)排队论模型

导出 pn (t ) 满足的微分方程组
p0 (t t ) p0 (t )(1 t ) p1 (t ) t (1 t ) o(t ) p0 (t t ) p0 (t ) p0 (t ) t p1 (t ) t o( t )
(1)流具有平衡性对任何 a 0和 0 t1 t2 tn , x(a ti ) x(a ) (1 i n) 的分布只取决于 t1 , t2 , , tn 而与 a 无关。 (2)流具有无后效性对互不交接的时间区间序列 ai , bi (1 i n) ， x (bi ) x ( ai ) 是一组相互独立的随机变量。 (3)流具有普通性 Prx(a t ) x(a) 1
Prx(t ) k
E x (t ) t
k!
e
(k 0,1,2,)
故参数λ表示单位时间内事件发生次数的平均数。
2.Poisson流的发生时间间隔分布
当流(过程) x(t ) : t 0 构成Poisson过程时，就称为Poisson流。设流发生的时刻依次为 t1 , t2 , , tn ,…，发生的时间间隔记为 n tn tn1 (n 1,2,) ，其中t0 0 。
1.最简单流与Poisson过程
记随机过程｛x（t）：t≥0｝为时间［0，t］内流(事件)发生的次数，例如对于随机到来某电话交换台的呼叫，以x（t）表示该交换台在［0，t］这段时间内收到呼叫的次数；若是服务机构，可以用x（t）表示该机构在［0，t］时间内来到的顾客数。
最简单流应 x(t ) : t 0 具有以下特征称 5 3二、单通道等待制排队问题
（M／M／1排队系统）
对于单通道等待制排队问题主要讨论输入过程为Poisson流，服务时间服从负指数分布，单服务台的情形，即M／M／1排队系统。

运筹学排队论2

现将上式参数引入时间因素 t ,即将
换为 t ,得到
pn
(t)
(t)n
n!
et
,
t
0,
n
0,1,2,.
表示长为t的时间区间内到达n个顾客的概率为 pn (t) ,且服从泊松分布.这称为泊松流或泊松过程或简单流. 设t时间内到达的顾客数为随机变量N(t),则有
E[N(t)] t, D[N(t)] t.
服务台
2.C个服务台,一个公共队伍
服务台1 服务台2 服务台C
3.C个服务台,C个队伍
服务台1 服务台2 服务台C
二.排队系统的三个组成部分
1.输入过程:指顾客按怎样的规律到达. ⑴顾客的总体数或顾客源:指可能到达服务机
构的顾客总数.顾客总体数可以是有限的,也可以是无限的; ⑵顾客到达的类型:顾客是单个到达还是成批到达; ⑶顾客相继到达时间间隔的分布,如按泊松分布,定长分布还是负指数分布.
排队论的创始人是丹麦哥本哈根市电话局的工程师爱尔朗(A.K.Erlang),他早期研究电话理论,特别是电话的占线问题,就是早期排队论的内容.
§2 排队论的基本概念
一.排队现象的共同特征:为了获得某种服务而到达的顾客,如不能立即得到服务而又允许排队等候,则加入等待的队伍,获得服务后离开.我们把包含这些特征的系统称为排队系统. 排队系统的几种情况: 1.单服务台排队系统
例9.1 某仓库全天都可以进行发料业务，假设顾客到达的时间间隔服从均值为1的负指数分布现在有一位顾客正好中午12：00到达领料，试求：
（1）下一个顾客将在下午1：00前到达的概率；（2）在下午1：00与2：00之间到达的概率：（3）在下午2：00以后到达的概率。

数学建模之排队论模型

第五讲排队论模型
【修理工录用问题】工厂平均每天有一台机器发生故障而需要修理，机器的故障数服从泊松分布。修理一台机器平均花费 20 元。现有技术水平不同的修理工人 A 和 B， A 种修理工平均每天能修理 1.2 台机器，每天工资 3 元； B 种修理工平均每天能修理 1.5 台机器，每天工资 5 元，两种修理工修理机器的时间为负指数分布。问工厂录用哪种工人较合算？
Ls = ∑ np n = ∑ n(1 − ρ )ρ n = ρ /(1 − ρ ) = λ /( µ Nhomakorabea− λ ).
n =0 n =1
∞
∞
(2) 排队长：（等待的平均顾客数）
4
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Lq = ∑ (n − 1) p n = ∑ (n − 1) ρ n (1 − ρ )
本讲主要内容
1. 2. 3. 4. 5. 排队论的基本概念单服务台的排队模型多服务台的排队模型排队系统的最优化问题数学建模实例：校园网的设计和调节收费问题
5.1 排队论的基本概念
5.1.1 什么是排队系统
排队论也称随机服务系统理论，它是 20 世纪初由丹麦数学家 Erlang 应用数学方法在研究电话话务理论过程中而发展起来的一门学科，在实际中有广泛的应用。它涉及的是建立一些数学模型，藉以对随机发生的需求提供服务的系统预测其行为。现实世界中排队的现象比比皆是，如到商店购货、轮船进港、病人就诊、机器等待修理等等。排队的内容虽然不同，但有如下共同特征：（1）有请求服务的人或物，如候诊的病人、请求着陆的飞机等，我们将此称为 “顾客” 。（2）有为顾客提供服务的人或物，如医生、飞机跑道等，我们称此为“服务员” 。由顾客和服务员就组成服务系统。（3）顾客随机地一个一个（或者一批一批）来到服务系统，每位顾客需要服务的时间不一定是确定的，服务过程的这种随机性造成某个阶段顾客排长队，而某些时候服务员又空闲无事。为了叙述一个给定的排队系统，必须规定系统的下列组成部分： 1.输入过程即顾客来到服务台的概率分布。排队问题首先要根据原始资料，由顾客到达的规律、作出经验分布，然后按照统计学的方法（如卡方检验法）确定服从哪种理论分布，并估计它的参数值。我们主要讨论顾客来到服务台的概率分布服从泊松分布，且顾客的达到是相互独立的、平稳的输入过程。所谓“平稳”是指分布的期望值和方差参数都不受时间的影响。 2.排队规则即顾客排队和等待的规则。排队规则一般有即时制和等待制两种。所谓即时制就是服务台被占用时顾客便随即离去；等待制就是服务台被占用时，顾客便排队等候服务。等待制服务的次序规则有先到先服务、随机服务、有优先权的先服务等，我们主要讨论先到先服务的系统。 3.服务机构服务机构可以是没有服务员的，也可以是一个或多个服务员的；可以对单

可修排队系统M_M_M_M_1的几何过程模型_严志凯

p01w ( t ) = e- λt +
[F(n- 1) ( t - u ) - F(n ) ( t - u) ] e- Tu dB(n - 1) ( u )
n= 2 0
∑∫ ∞ t
p0kw ( t ) =
n= 2
[ F( n- 1)*
0
Y( k- 1) ( t - u ) - F(n)*
第 27卷第 1期 1997年 1月
东南大学学报
JO U RN A L O F SO U T HEAS T UN IV ERSIT Y
Vo l. 27 No. 1 Jan. 1997
可修排队系统 M /M ( M /M ) /1的几何过程模型
严志凯毛惠良张元林
(东南大学数学力学系 ,南京 210018)
变量 I ( t ) = kw 或 kf ( k = 1, 2,… ) ,表示 t时刻服务台分别处于第 k 个周期的工作阶段或维修阶
段 ,则 {N ( t ) , I ( t ) , t ≥ 0} 为一个向量 M arkov 过程 ,定义系统状态概率如下:
plkw ( t ) = P { N ( t ) = lw , I ( t ) = kw } , ( l ≥ 0, k ≥ 1)
0) ,其中 M , N 为二次
方程
t2 -
s+
λ+ _ + _
Tt +
λ _
=
0
( 8)
两个根 .
该定理的证明 ,只要利用式 ( 2)、定理 2及式 ( 7) 即可得到 .
由式 ( 3) 及定理 3可得
它的分布函数为 B ( t ) = P {b≤ t } ,其 L S-变换有如下结果 [11, 12 ]:

排队论在超市收银台服务系统的运用与分析

沈阳理工大学学士学位论文目录1 绪论 (1)2 超市收银排队服务系统分析 (2)2.1 超市收银排队服务系统的特征描述 (2)2.2 超市收银排队服务系统的假设 (3)2.3 超市收银排队服务系统模型的建立 (4)3 服务系统数据采集与指标计算 (5)3.1 北京华联综合超市简介 (5)3.2 数据采集 (5)3.3 顾客到达分布的研究 (9)3.4 顾客服务时间服从分布的研究 (11)4 系统指标计算及优化 (14)4.1 系统指标计算 (15)4.2 大型超市各时段最优服务台数确定 (16)5 顾客排队状况的计算机仿真 (20)5.1 排队服务系统模型假设 (20)5.2 顾客活动流程与仿真程序流程分析 (21)5.3 顾客排队状况的计算机仿真 (22)5.4 超市排队服务系统的主要参数技术指标结果分析 (27)6 大型超市服务工作优化设计 (30)6.1 超市收银通道优化 (30)6.2 员工专业度的改进 (30)6.3 对超市发展的建议 (31)结论 (32)参考文献 (33)1 绪论排队现象是我们生活中常遇见的现象，例如：上下班做公共汽车，等待公共汽车的排队，顾客到商店、超市购物形成的排队，售票处购票形成的排队等。

一般来说，当某个时刻要求服务的数量超过服务机构的容量时，就会出现排队现象。

排队论是专门研究由于随机因素的影响而产生拥挤现象的科学，是运筹学的一个重要分支。

它通过研究各种服务系统在排队等待中的概率特性，来解决随机服务系统的最优设计和最优控制。

应该安排排队者排几条队伍、设立几个服务台以及如何调配服务工具才能使效用达到最大化以及如何提高队伍移动的效率来减少拥堵的现象，从而减少顾客的平均等待时间和平均等待队长，这些都是排队论研究的范畴。

随着零售业的迅速发展及人们生活水平的不断提高，大型超市的数量大量的增加，这就导致他们之间的竞争日益激烈。

并且随着生活节奏的加快，人们更加珍惜时间，越来越没有耐心长时间排队。

服务台单队列排队系统仿真

服务台单队列排队系统仿真1. 引言排队是我们日常生活中常见的现象之一。

每当我们去银行、超市、餐厅等地方，总会看到人们在服务台前排长队等待接受服务。

而排队系统的效率直接影响到我们的等待时间和满意度。

为了改善排队系统的效率，许多地方引入了服务台单队列排队系统。

这种系统中，所有顾客都将排在同一个队伍中，然后按照先后顺序依次接受服务。

这种系统相比于多个队列排队系统，能够有效减少空闲时间和服务延迟。

为了对服务台单队列排队系统进行评估和优化，我们可以使用仿真技术来模拟系统的运行情况，并对其进行分析。

2. 仿真模型设计在服务台单队列排队系统的仿真模型中，我们需要考虑到以下几个方面的因素：2.1 顾客到达规律在实际排队系统中，顾客的到达时间往往是随机的，我们可以使用随机数生成器来模拟此过程。

通过设定到达时间的概率分布函数，我们可以生成一系列随机数来模拟顾客的到达间隔。

2.2 服务时间每个顾客在服务台的服务时间也是随机的。

同样地，我们可以使用随机数生成器来模拟服务时间。

通过设定服务时间的概率分布函数，我们可以生成一系列随机数来模拟顾客在服务台的停留时间。

2.3 服务台数量为了简化仿真模型，我们假设只有一个服务台。

在实际情况中，可以根据实际需求增加服务台数量，以提高系统的整体效率。

2.4 排队规则在服务台单队列排队系统中，顾客按照先后顺序依次接受服务。

当一个顾客结束服务后，下一个顾客将开始接受服务。

为了模拟这个过程，我们可以使用队列数据结构来管理顾客的排队顺序。

3. 仿真过程在进行仿真过程时，我们可以按照以下步骤进行操作：3.1 初始化仿真参数根据实际情况，我们可以设定好仿真的时间段、顾客到达规律和服务时间的概率分布函数等参数。

3.2 创建顾客队列根据顾客到达规律，我们可以按照一定的间隔时间将顾客加入到队列中。

3.3 顾客进入服务台当顾客队列不为空时，服务台将接受当前队列中的第一个顾客，并开始对其进行服务。

3.4 更新服务时间和队列在服务过程中，服务单位时间递减，直到达到零时，服务结束，当前顾客离开服务台，下一个顾客开始接受服务。

排队论在服务系统优化中的运筹学方法研究

排队论在服务系统优化中的运筹学方法研究服务系统是现代社会中不可或缺的组成部分，如银行、医院、机场等各类场所的服务流程都需要进行优化，以提高效率和用户体验。

排队论作为运筹学的一个重要分支，研究如何合理组织和管理服务系统中的排队现象，对于服务系统优化具有重要意义。

本文将探讨排队论在服务系统优化中的运筹学方法。

一、排队论基本模型排队论是研究排队现象的一门学科，其基本模型由顾客到达过程、顾客排队等待过程和顾客接受服务过程组成。

下面我们将介绍三个基本模型。

1. M/M/1模型M/M/1模型是最简单的排队论模型，代表顾客到达过程和服务过程都符合随机过程。

其中的M表示到达过程和服务过程都满足泊松过程，/表示到达过程和服务过程是独立的，1表示只有一个服务台。

该模型可以通过计算平均等待时间、平均队长等指标，来评估系统的运行效果。

2. M/M/c模型M/M/c模型是多通道排队系统的模型，代表顾客到达过程和服务过程都符合随机过程，但服务台的数量有多个。

该模型可以用于评估多个服务台的效率分配问题，提高服务系统的整体服务水平。

3. M/G/1模型M/G/1模型是顾客到达过程满足泊松分布，而服务过程满足一般分布的排队系统模型。

该模型相比于前两个模型更加复杂，但也更加接近现实服务系统的情况。

通过研究和优化M/G/1模型，可以为实际服务系统提供更准确的优化方案。

二、排队论方法在服务系统中的应用排队论方法在服务系统中的应用十分广泛，涉及到客户流量预测、服务水平评估、服务台数量决策等多个方面。

1. 客户流量预测客户流量预测是排队论方法在服务系统优化中的重要应用之一。

通过对历史数据的分析和建模，可以预测未来客户到达的概率分布，进而确定合理的服务台数量和服务水平指标。

例如，某银行可以通过排队论方法预测未来客户到达和离开的概率，从而优化柜员人数和窗口开放时间，提高客户满意度。

2. 服务水平评估排队论方法可以用于评估服务系统的服务水平，比如平均等待时间、平均队长等指标。

单服务台排队系统建模与仿真研究报告

物流系统建模与仿真单服务台排队系统仿真研究报告——选重庆大学A区门口中国银行分行某一服务窗口为单服务台排队系统研究对象一、系统基本背景社会地进步越来越快，人们地生活节奏也随之越来越快.在科技地发展，新技术地普及下, 我国地银行业以计算机和信息技术、互联网技术为前提, 通过大量资金和科技地投入, 不断地开发出新产品和新业务.另外有网上银行、支付宝等新业务地出现, 大大提高了工作效率.然而现代地金融服务并不是都可以靠刷卡来解决, 许多技术还不完善, 这些新技术也并不适合所有顾客群,去银行办理业务地顾客仍然经常性地出现排队现象.顾客等待时间过长, 造成顾客满意度下降, 矛盾较为突出, 因此本报告试利用单服务台排队论地方法, 定性定量地对具有排队等候现象地银行服务系统进行统计调查与分析研究,希望能帮助改进银行工作效率, 优化系统地运营.本报告研究对象为中国银行重庆大学处分行某一服务窗口，数据取自银行内唯一非现金业务柜台.研究对象地选取虽然不是最典型地，但是综合考虑了研究地域范围和小组成员作业时间有限，另有其他方案由于各种原因无法进行，故选择离学校较近地有代表性地中国银行中地服务窗口作为最终方案.中国银行简介：中国银行是中国历史最为悠久地银行之一，在大家对银行地概念中有着一定地位.中国银行主营传统商业银行业务，包括公司金融业务、个人金融业务和金融市场业务.公司业务以信贷产品为基础，致力于为客户提供个性化、创新地金融服务和融资、财务解决方案.个人金融业务主要针对个人客户地金融需求，提供包括储蓄存款、消费信贷和银行卡在内地服务.作为中国金融行业地百年品牌，中国银行在稳健经营地同时，积极进取，不断创新，创造了国内银行业地许多第一，在国际结算、外汇资金和贸易融资等领域得到业界和客户地广泛认可和赞誉.二、系统描述该银行工作时间为上午8：30至下午16：30（周一至周日），另周末不办理对公业务，属于每天8小时工作制.系统调查对象为银行内唯一非现金业务柜台，可知到达地顾客中，需要办理非现金业务地顾客在正常现金业务柜台忙碌地情况下可以选择该服务台.在队列中，等待服务地顾客和服务台构成了一个排队系统.由于银行前台出纳员逐个接待顾客，当顾客较多地时候就会出现排队等待地现象.其中，顾客地到达是随机地，每两个先后到达地顾客地到达间隔时间是不确定地.本排队系统用顾客地数目、到达模式、服务模式、系统容量和排队规则来描述.为探求此排队系统地规律, 首先需确定顾客流在一定时间内到达地概率分布函数.抵达本银行服务窗口地顾客流量大体上服从Poisson 分布, 顾客流抵达银行便按先后顺序排队, 进入单服务窗口，即排队论中地M/M/1系统.所谓M/M/1排队系统是指这样地一种排队模型: 顾客地到达为Poisson 流, 银行对每位顾客地服务时间独立同负指数分布,顾客按先到先服务( FCFS) 规则排队, 当顾客到达时, 若服务台正在忙碌, 则顾客排成一个队列等待服务.在实际工作中，客户存取款、转账汇款、缴费、理财、开销户等业务是随机发生地，客户办理业务地种类不同，服务时间必然有所差别.本组构思地概念模型如下：三、问题分析（顾客到达内容调查表）共九个表，下面只列出表一举例，所有地表见附表一.表1四、调查表格及其概率计算共九个表，下面只列出表一举例，所有地表见附表二.表1顾客到达间隔时间地概率分布每个顾客被服务时间地概率分布五、建模及其分析根据上面地表格中地数据计算，取其平均值并化整以方便仿真数据，这里举表1地例子稍加讨论：1）顾客到达间隔时间地平均值：4.3min，即262s；2）根据顾客到达间隔时间地平均值算得其方差和标准差：3.7，1.92；3）接受服务时间地平均值：3.7min，即222s；4）根据接受服务时间地平均值算得其方差和标准差：3.6,，1.89.可知，服务时间比顾客到达时间略小，故能够形成排队.通过统计检验地方法,检验顾客到达规律服从Poisson分布, 服务时间服从指数分布, 从而确定为M/M/ 1 模型.下面使用Flexsim6.0版软件建立模型，其中发生器代表顾客到达率地一个表示，传送带代表顾客排队地情况（传送带上有货物停滞代表服务过程有排队地现象），处理器代表银行服务柜台，吸收器代表顾客业务地接收.模型3D图见下图所示：六、结果分析以及与教材P19~23系统参数进行比较分析下面地表格为仿真30次、每次2小时仿真长度地仿真结果：服务窗口队列情况服务人员工作情况教材中30次地仿真情况可知，该系统在每天8h地工作时间内，平均队长不超过2，最大队长只有8，每个顾客地平均被服务时间小于4min，而顾客地平均排队纯等待时间大多数抽样都小于2min，只有个别抽样接近5min.可见，该系统地服务状况良好，顾客基本得到及时地服务.从业务员地工作量看，一个业务员每天大约要处理100多（输出结果地抽样小于115）位顾客地银行业务，其利用率，也就是其处理业务时间与总工作时间地比在63.1%-82.5%之间.我们运用Flexsim软件仿真地结果为，该系统在每天8点至10点地2h工作时间内，平均队长为2.47，不超过3，最大队长只有7，每个顾客地平均被服务时间为5.5min,顾客地平均纯排队等待时间为11min.可见，该系统地服务状况一般，平均纯等待时间较长.从业务员地工作量看，早上这两个小时大约要处理21位顾客地银行业务，其平均利用率比较高，为96.3%.从参数间对比可知本调查中服务台效率和教材中大不一样，根据分析，我们认为原因有以下几点:首先因为我们时间有限，采集数据不是一整天，而只是早上8点至10点两个小时，所以并不能代表一整天地数据，所以仿真地结果必然有差.其次是顾客数量问题，每个地区地人口密度不同，那么肯定顾客数量不同，这对排队长度以及排队时间都有影响.其次每个银行地服务效率都不尽相同，教材上例子地银行与我们所选取地银行不同，当然服务率也是有差别地，而且我们选取地是非现金业务交易服务台，由于此服务台本身地特殊性，顾客比其他地服务台数量要少.对比来看，本小组仿真地系统虽然业务员利用率高，但是服务台对每个顾客地平均服务时间为5.5min，而每个顾客到达地平均间隔为4.4min，经过两个小时地积累，最大队长就已经达到了6，最大排队等待时间达到了20多分钟，照这样地速率，那么一天8小时，到后面地顾客排队时间越来越长，顾客会失去耐心.七、系统改善本小组认为可以通过一些方法来改善系统：1、细分窗口.银行排队等待产生地原因在于银行业所提供地服务不能满足顾客地需求所导致地结果，解决这个问题除了开辟更多地服务窗口之外，更要注重服务内容地增加，即针对不同地客户，对服务内容进行进一步地细分，并对细分后地服务工程提供专门地服务窗口，以此来增加提供服务地数量.例如现在地开户业务以及一些大额储蓄业务通常都是在一般地储蓄窗口进行地，但是这些业务所占用地时间又较长，使得顾客等待时间增加，因此可以考虑在此类业务比较多地银行开设专门地开户窗口或大额储蓄窗口，将这些处理时间较长地业务分离出来，以缩减客户等待时间.2、提高服务台地工作效率.根据排队论理论指出，如果银行平均服务率低于顾客平均到达率，会使得排队越来越长而只能等到高峰期过后才能得到缓解.因此，降低服务时间提高个人银行排队系统地效率，使得排队系统能够应付更多地顾客，从而降低顾客地等待时间，进而吸引客户并能增加未来业务利润.银行应更有效地利用客户闲置时间开展工作：比如大堂经理可询问每位顾客业务需求，指导填写单据等3、分流客户.1）在最普通，也是最经常为顾客提供服务地储蓄窗口地员工应尽量避免处理其他业务，用最快捷、最有效地方式为顾客提供服务，减少顾客排队地时间；2）可以对团体客户或者存款数额较大地顾客设立预约服务，并开设一个专门地预约窗口，将这些占用时间较多地服务从业务高峰期中划分出来单独处理.4、电子银行国内金融服务供给总体不足，且呈现结构性矛盾，银行客户排队现象由来已久，原因之一就是电子银行及其他自助设备不足，民众办理业务往往只能求助柜台服务，不能很好地分流客户 .而电子银行具有突破时空限制、高效率、低成本等传统服务方式难以比拟地优势，大力推广电子银行业务，能有效降低银行营运成本、分流柜台业务、解决银行排队问题，是解决银行排队问题地根本出路.积极引导客户使用网上银行、手机银行、电话银行、自动柜员机等电子银行，减轻柜台排队压力.把部分存取少量现金地客户分流到自助设备；增加电子银行业务比重；增加ATM机地投放，同时将ATM机每天取款限额上调；积极进行业务创新，比如个人支票业务，有效减少客户提取现金而去排队地麻烦；突破传统银行国际结算业务柜台申请地限制，推出网上贸易结算系统.针对不同层次客户群地服务需求，提供不同地电子银行产品；通过不断提升电子银行普及率，充分发挥电子银行产品对传统银行柜台业务地“替代效应”；实行电子银行产品首用辅导制，积极引导客户通过电话银行、网上银行、手机银行、ATM等渠道进行自助缴费和自动转账，最大限度地发挥电子银行业务地客户分流作用.附表一：表9附表二：表9毕业论文（设计）原创性声明本人所呈交地毕业论文（设计）是我在导师地指导下进行地研究工作及取得地研究成果.据我所知，除文中已经注明引用地内容外，本论文（设计）不包含其他个人已经发表或撰写过地研究成果.对本论文（设计）地研究做出重要贡献地个人和集体，均已在文中作了明确说明并表示谢意.作者签名：日期：毕业论文（设计）授权使用说明本论文（设计）作者完全了解**学院有关保留、使用毕业论文（设计）地规定，学校有权保留论文（设计）并向相关部门送交论文（设计）地电子版和纸质版.有权将论文（设计）用于非赢利目地地少量复制并允许论文（设计）进入学校图书馆被查阅.学校可以公布论文（设计）地全部或部分内容.保密地论文（设计）在解密后适用本规定.作者签名：指导教师签名：日期：日期：注意事项1.设计（论文）地内容包括：1）封面（按教务处制定地标准封面格式制作）2）原创性声明3）中文摘要（300字左右）、关键词4）外文摘要、关键词5）目次页（附件不统一编入）6）论文主体部分：引言（或绪论）、正文、结论7）参考文献8）致谢9）附录（对论文支持必要时）2.论文字数要求：理工类设计（论文）正文字数不少于1万字（不包括图纸、程序清单等），文科类论文正文字数不少于1.2万字.3.附件包括：任务书、开题报告、外文译文、译文原文（复印件）.4.文字、图表要求：1）文字通顺，语言流畅，书写字迹工整，打印字体及大小符合要求，无错别字，不准请他人代写2）工程设计类题目地图纸，要求部分用尺规绘制，部分用计算机绘制，所有图纸应符合国家技术标准规范.图表整洁，布局合理，文字注释必须使用工程字书写，不准用徒手画3）毕业论文须用A4单面打印，论文50页以上地双面打印4）图表应绘制于无格子地页面上5）软件工程类课题应有程序清单，并提供电子文档5.装订顺序1）设计（论文）2）附件：按照任务书、开题报告、外文译文、译文原文（复印件）次序装订。

排队论系统仿真

于零，即
dPn (t ) 0, 对一切n 。 dt 因为稳态和时间无关，所以将符号简化，用 Pn 代替 Pn(t)，于是
Pn n 1 n 2 0 P0 n n 1 1

i 0 n i 1
——平均服务率，即单位时间内接受服务的顾客数；
C——并列服务台的个数；

——服务强度。
通常，排队论研究的相关问题可大体分成统计问题和最优化问题两大类。统计问题是排队系统建模中的一个组成部分，它主要研究对现实数据的处理问题，在输入数据的基础上，首先要研究顾客相继到达的间隔时间是否独立同分
布，如果是独立同分布，还要研究分布类型以及有关参数的确定问题．类似地，对服务时间也要进行相应的研究。排队系统的优化问题涉及到系统的设计、控制以及有效性评价等方面的内容。排队论本身不是一种最优化方法，它是一种分析工具。常见的系统最优设计问题是在系统设置之前，根据已有的顾客输入与服务过程等资料对系统的前景进行估计或预测，依此确定系统的参数。系统最优控制问题是根据顾客输入的变化而对现有服务系统进行的适度调整，即根据系统的实际情形，制定一个合理的控制策略，并据此确定系统运行的最佳参数。作为一种分析工具，处理排队问题的过程可以概括为以下四步： (1)确定排队问题的各个变量，建立它们之间的相互关系； (2)根据已知的统计数据，运用适当的统计检验方法以确定相关的概率分布； (3)根据所得到的概率分布，确定整个系统的运行特征； (4)根据服务系统的运行特征，按照一定的目的，改进系统的功能。
P0 (t ) e t
T 小于等于 t 的概率 P（T≤t）表示为 F（t）（累积分布函数），有
F (t ) 1 et

多服务台优先排队系统的研究

ｎｔｏｅｆｈｉｒｓｔｓｅｖｒｅｒ．ｎｔＩｉｓｈｃｈａＰｌｅｒ，ｅｐｗｏｉｔｏｎｔｔｕｅｃｈｏｎｉｔｄｉｏｎｗ】ｌｉｈｃｃｎｍａｋａｅｓｅｔｒｕｅｓｈｔｅａｄｙ，
ｓａｔｔｅ翻ｓｔｎａｄｅ闪ｕｈｔａ石ｏｓｎ．Ｕｓ吨ｔｅｒｈｅｌｔｕｓｓｆｃｏｌｓａｉｓｃｑｕｅｕｉｎｇｙｓｓｔｅｍ，ＭｊＭ／／Ｃｏａ，讹。ｂｌａｌｎｅＰｈｔｏｒｂａｂｉｌｙｏｔｉｆｗａｉｔｉｇｑｎｕｅｕｍｇｎａｄｅｄｈｔｉｉｂｒｔｓｕｔｉｏｎ细Ｉｃｔｉｎｏｏｆｗａｉｉｔｇｔｎｉｎｌｅｒｅｏｆａｃｈｃｌｓａｓｃｕ引ｏｌｎｒｅ．丁卜ｅ们ｌｄｓｎｏｃｅｒｈｔｅｍｄｅｏｌｗ１ｈｍｔｏｒｅｓ ’ Ｉｖｒｅｕｎｄｅｒｉｓｈｔ颐丽妙ｄｉｅｓｌｉｎｉｅ．ｎ
析与设计中的重要数学工具之以１．１自从二十世纪初期Ｅｌａｒｎｇ开创排队论以来，取得了一系列重要结果，同时也出现了许多新的研究方向和研究方法．当前排队论的研究热点主要集中在排队网络、矩阵解析
法、数值计算、极限定理以及特殊模型等几个方面，２１］３．
ｎｔＩｅｆｈｉｎｌｌｃｈａＰ沈ｒ，５Ｏｎ１ｅＱｔ１ｅｔＩ１ｎｇＳｙｓ１ｅｎ１Ｓｕ１ｍｉａｔｉｏｓａｎｅｄｒｏｎｅｙＷｉｂｎＱＳＢ．Ｗｅｎｓａｃｅ

修理设备可修且修理有延误的可修排队系统的等待时间

会失效的，与实际中情况不完全相符，际中，理设备往往在修理部件的过程中失效而导致修理不能及时完成，而严这实修从
重影响系统的工作效率．同时，定部件发生故障能及时得到修理，实际情况也不完全相符，如修理工不在现场或需要假与比
③ 服务台修复后，全恢复它的功能，寿命仍然为，完其且＝０时刻服务台和修理设备是新的；
负指数分布Ｈ（）＝Ｐ｛ ≤ ｔ＝ｌ， ≥ ０修理设备失效后立即修理（更换）其修复时间服从一般分布Ｕ（）且平ｔＨ｝ —ｅｔ；或，ｔ，均修复时间为：
．
Ｊｆｌ（ｏｃ）＞）删（＝｜
Ｊｏ
＝
ｆｔ（）＜；ｄｔ系统中有一个服务台，台的寿命为，Ｇ服务且服从参数为ｄ０≤ ≤ ）（的负指数分布ｔ（）＝ＰＸ≤ ｔ｛｝
１一ｅ ‘ｔ ≥
，
０当服务台失效时，不是一定能马上得到修理，是往往有一段随机的延迟修理时间，延迟修理时间为；并而设
台寿命服从指数分布、服务台失效后的修理延迟时间和修理时间以及修理设备失效后的更换时间均服从一般分布、理设备的寿命服从负指数分布的条件下，修通过引入 “ 义修理时间” “ 广和广义服务时间 ” 的概念，究了该系统顾客的等待时间和逗留时间分布，到了一系列重要的研得