最新人教版高中数学必修4第二章平面向量的实际背景及基本概念1
最新人教版高中数学必修4第二章《平面向量的实际背景及基本概念》温故知新
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第二章平面向量
2.1 平面向量的实际背景及基本概念
温故知新
新知预习
1.既有大小,又有________________的量叫做向量.而只有大小,没有________________的量称为数量.
2.向量,常用________________表示,________________按一定比例(标度)画出,它的________________表示向量的大小,________________表示向量的方向.
3. ________________的线段叫做有向线段.以A为起点,B为终点的有向线段记作________________.
4.已知,线段AB的长度也叫有向线段的长度,记作________________.有向线段包含三个要素:________________、________________、________________.
5.长度为0的向量叫做________________,记作________________.长度等于1个单位的向量叫做________________.
6.方向________________的非零向量叫做平行向量.向量a、b平行,通常记作________________.规定零向量与任一向量平行.平行向量也叫________________.
7.______________的向量叫做相等向量.
知识回顾
1.我们在物理的学习过程中接触过一些量,如位移、力、速度、温度、路程等,位移、力、速度这些量不仅与大小有关,还与其方向有关,而温度、路程等量却仅与大小相关.在物理学中,将位移、力、速度等量叫做矢量,将温度、路程等量叫做标量.
2.通过物理的学习我们知道,描述矢量的相等除了要说明大小相等外,还应说明其方向是一致的.。
最新人教版高中数学必修4第二章《第2章平面向量》本章概览
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第2章平面向量
本章概览
内容提要
向量是近代数学中重要和基本的数学概念之一,它是沟通代数、几何、三角函数的一种工具,有着极其丰富的实际背景.本章中,我们将了解向量概念的实际背景,理解平面向量及其运算的意义,能用向量语言和方法表述和解决数学和物理中的一些问题,发展运算能力和解决实际问题的能力.
向量的概念是学习向量的基础,学好向量这一章首先要理解向量的基本概念和运算法则,特别要注意向量的加、减、数乘运算结果均为向量,而向量的数量积是一个实数,通过向量的数量积可以计算向量的长度、平面内两点间的距离、两个向量的夹角等问题.
另外,学好向量这一章,还要掌握数形结合的思想方法,结合向量的应用问题,在理解向量知识和应用两方面上下功夫.
学法指导
1.结合向量的实际背景理解向量概念.向量的物理背景是力、速度、加速度等概念,几何背景是有向线段,学习过程中应结合这些背景深刻理解向量概念.
2.理解并正确运用向量的有关运算法则和公式.学习向量的运算法则和公式时要注意与实数的运算法则相类比,同时注意它们之间的区别,防止负迁移.
3.注重向量的实际应用.在了解向量实际背景的基础上,理解平面向量及其运算的意义,能用向量语言和方法表述和解决数学物理中的一些问题.发展运算能力和解决实际问题的能力.。
人教A版高中数学必修4第二章 平面向量2.1 平面向量的实际背景及基本概念教案(1)
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第二章平面向量2.1平面向量的实际背景及基本概念教学设计一、内容和内容解析向量是近代数学中重要和基本的数学概念之一,它是沟通代数、几何和三角函数的一种工具,它有着丰富的现实背景和物理背景。
向量是刻画位置的重要数学工具,在诸如卫星定位、飞船设计等领域有着广泛的应用。
向量也是刻画物理量——力、位移、速度、加速度、动量、电场强度这些物理量的数学工具,它体现了数学和物理的天然联系。
向量的学习有助于学生认识数学和实际生活以及物理学科的紧密联系,体会向量在刻画和解决实际问题中的作用,从中感受数学的应用价值。
在教学中需要引导学生对现实原型的观察分析和比较,得出抽象的数学模型,所以本节内容是渗透“数学抽象”很好的载体。
在本节中,学生将了解平面向量丰富的实际背景,理解平面向量的意义,能用向量的语言和方法表达和解决数学和物理中的一些问题。
本节课是一节概念课,在向量基本概念的形成过程中,需要将学生已有的旧知识作为新知识的固着点和生长点,在探究向量的几何表示时让学生经历以物理中学习力的图示,位移的表示,速度的表示为起点,归纳并确定向量的几何表示以及符号表示,而在探索向量间的特殊关系时,引导学生借助图形进行,这样不仅使研究有序,同时更锻炼学生的直观想象能力,有助于感受向量集数与形于一身的特性。
通过类比学习数量的过程,让学生自然的获得新知识的探究方向,在基本概念的学习中,要让学生体验概念的生成过程,获得这些概念的“基本思路”即获得数学研究对象,认识数学新对象的基本方法,用数学的观点刻画和研究现实事物的方法和途径。
二、目标和目标解析1. 通过对平面向量概念的抽象概括,体验数学概念的形成过程,了解平面向量的实际背景;2. 理解平面向量的意义和两个向量相等的含义;3. 理解平面向量的几何表示和基本要素,会用有向线段表示向量,会判断零向量,单位向量,能做一个向量和已知向量相等,能根据图形判定向量是否是平行,共线,相等向量。
4.通过类比“学习数量的过程”而获得研究的内容与方法的启发,再一次体会研究一类新的数学问题的基本思路.学生已经学习过数量,但是形如确定位置的问题,只用数量是无法满足需要的,这就使得学习新知识是自然的有必要的,同时可以引导学生类比“学习数量的过程”明确研究向量概念的基本方向,因此,复习回顾数量的相关知识是有必要的。
必修4第二章2.1平面向量的实际背景及基本概念
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【变式 1】 下列命题中,正确的是( A.a,b 是两个单位向量,则 a 与 b 相等
).
B.若向量 a 与 b 不共线,则 a 与 b 都是非零向量 C.两个相等的向量,起点、方向、长度必须都相同 D.共线的单位向量必是相等向量 考点 2 向量的表示 【例 2】 在如图所示的坐标纸上(每个小方格边长为 1),用直尺和圆规画出下列向量:
A(起点)
③ 用有向线段的起点与终点字母: AB ; ④ 向量 AB 的大小――长度称为向量的模,记作| AB |. 3.有向线段:具有方向的线段叫做有向线段,三个要素:起点、方向、长度. 4、零向量、单位向量概念: ① 长度为 0 的向量叫零向量,记作 0. 0 的方向是任意的. ② 长度为 1 个单位长度的向 5、平行向量定义: ① 方向相同或相反的非零向量叫平行向量;② 我们规定 0 与任一向量平行. 6、相等向量定义:长度相等且方向相同的向量叫相等向量. 7、共线向量与平行向量关系: 平行向量就是共线向量,这是因为任一组平行向量都可移到同一直线上(与有向线段的起点无 关). 要点解析: 1. 向量与有向线段的区别: (1)向量只有大小和方向两个要素,与起点无关,只要大小和方向相同,则这两个向量就是 相同的向量; (2)有向线段有起点、大小和方向三个要素,起点不同,尽管大小和方向相同,也是不同的 有向线段. 2.向量 a 与 b 相等,记作 a=b;零向量与零向量相等;任意两个相等的非零向量,都可用同一 条有向线段来表示,并且与有向线段的起点无关. 3.零向量、单位向量的定义都只是限制了大小. 4. 平行向量可以在同一直线上,要区别于两平行线的位置关系;共线向量可以相互平行,要区 别于在同一直线上的线段的位置关系.
BO .其中,所有正确的序号为________.
最新人教版高中数学必修四平面向量的实际背景及基本概念优质课件
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例 3:求证: (1)(a+b)=a2-b2.
证明:(2)(a+b)·(a-b)=(a+b)·a-(a+b)·b =a·a+b·a-a·b-
b·b =a2-b2.
例4、 已知 | ar | 6,| br | 4,ar与br 的夹角为
60o ,
uur
CB
rr
a b
rr
a b
r2
a
r2
b
r
| a |2
r
| b |2
r2 r2 0
即 AC CB 0 ,∠ACB=90°
(1)a
b
b
a
(2)(a)
b
(a
b)
a
(b )
(3)(a
b)
c
a
c
b
c
其注中:,a(a、bb)、 c c是a任(b意 c三) 个向量, R
证明运算律(3)
向量a、b、a + b 在c上的射影的数量 分别是OM、MN、 ON, 则
(a + b) ·c = ON |c|
b
a a+b
OM
Nc
设a,b为任意向量,λ,μ为 任意实数,则有:
① λ(μa)=(λμ) a ② (λ+μ) a=λa+μa ③ λ(a+b)=λa+λb
已知两个非零向量a和b,作OA=a, OB=b,则∠AOB=θ (0°≤θ ≤180°) 叫做向量a与b的夹角。
B
θ
O
当θ=0°时,a与b同向; O 当θ=180°时,a与b反向; A 当θ=90°时,称a与b垂直,
记为a⊥b.
A
A
B
O
B
B
人教新课标版数学高二-A版必修四第二章2.1平面向量的实际背景及基本概念
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向三要素构成;而向量只有大小和方向两要素,因此二者是两个完全不同的概念.目标引领把目标板书在黑板的右上角,并引领学生进行解读。
一起朗读目标。
以目标引领学习的全过程。
活动导学1.向量与数量。
(1)向量:既有大小,又有方向的量叫做向量. (2)数量:只有大小,没有方向的量称为数量. 2.向量的几何表示。
(1)带有方向的线段叫做有向线段.它包含三个要素:起点、方向、长度.(2)向量可以用有向线段表示,向量AB →的大小也就是向量 AB →的长度(或称模),记作|AB →|.向量也可以用字母a 、b 、c …表示,也可以用有向线段的起点和终点字母表示,如AB →、CD →. 【问题导思】零向量的方向是什么?两个单位向量的方向相同吗?【提示】零向量的方向是任意的.两个单位向量的方向不一定相同. 名称 定义零向量 长度为0的向量,记作0 单位向量 长度等于1个单位的向量下列说法正确的有________.(1)若|a |=|b |,则a =b 或a =-b ;(2)向量AB →与CD →是共线向量,则A 、B 、C 、D 四点必在同一条直线上; (3)向量AB →与BA →是平行向量; (4)任何两个单位向量都是相等向量.【思路探究】 明确向量的有关概念,根据定义进行判定. 【自主解答】 (1)错误.由|a |=|b |仅说明a 与b 模相等,但不能说明它们方向的关系.(2)错误.共线向量即平行向量,只要方向相同或相反,并不要求两个向量A B →、C D →必须在同一直线上,因此点A 、B 、C 、D 不一定在同学生带着问题去阅读课本。
学生自己动手尝试。
教师通过分析、讲解,帮助学生理解概念。
通过例1来加深对“向量”的理解。
一条直线上.(3)正确.向量A B→与B A→是长度相等,方向相反的两个向量.(4)错误.单位向量不仅有长度,而且有方向;单位向量的方向不一定相同,而相等向量要求长度相等,方向相同.【答案】(3)1.单位向量、零向量是用向量的长度来定义的,共线向量是用表示向量的有向线段所在直线平行或重合来定义的.相等向量是用向量的长度和方向共同定义的.2.对于概念性题目,关键把握好概念的内涵与外延,正确理解向量共线、向量相等的概念,清楚它们的区别与联系.判断下列说法是否正确,并简要说明理由:(1)零向量只有大小没有方向;(2)相等向量一定是平行向量,平行向量不一定是相等向量;(3)若向量a与向量b同向,|a|>|b|,则a>b;(4)若a=b,b=c,则a=c.【解】(1)不正确,零向量的长度为零,方向是任意的,并不是没有方向.(2)正确,相等向量的方向相同,因此必是平行向量,但平行向量的长度不一定相等,因此不一定是相等向量.(3)不正确,向量不能比较大小.(4)正确.∵a=b,∴a,b的长度相等且方向相同;又∵b=c,∴b,c的长度相等且方向相同,∴a,c的长度相等且方向相同,故a=c.(1)已知B,C是线段AD的两个三等分点,分别以图中各点为起点和终点最多可以写出________个互不相等的非零向量.图2-1-1(2)某人从A点出发向东走了5米到达B点,然后改变方向按东北方向走了102米到达C点,到达C点后又改变方向向西走了10米到达D点.①作出向量AB→,BC→,CD→. ②求AD→的模.【思路探究】 1.向量BC→与CB→是相等向量吗?可以从哪两个角度列学生通过两道变式,增强学生的理解与把握。
(完整版)数学必修4-第二章-平面向量知识点,推荐文档
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形法则”
① 三量角b 的形终法点则指:向当被a,减b 有向共量同a起的点终时点,的向a 量b 表。示为从减向
② 平行四边形法则:两个已知向量是要共始点的,差向量是如图
所示的对角线。设
AB
a,
AC
b
则
a
-
b
=
AB
AC
CB
.
3.实数与向量的积
(1)
定义:实数
λ
与向量
a
的积是一个向量,记作
4.平面向量的坐标运算:
①若
a
( x1 ,
y1
),
b
( x2
,
y2
)
,则
a
b
x1
x2
,
y1
y2
;
②若
Ax1 ,
y1
,
Bx2
,
y2
,则
AB
x2
x1,
y2
y1
;
③若
a
=(x,y),则
a
=(
x,
y);
④若
a
( x1 ,
y1 ), b
(x2 ,
y2
)
,则
a
//
b
x1 y2
x2
y1
1.平面向量基本定理:如果 e1 , e2 是同一平面内的两个不共线向量,
那么对于这一平面内的任一向量
a
,有且只有一对实数
λ1,λ2
使
a
=λ1
e1
+λ2
e2
.
注意:(1) 我们把不共线向量e1、e2叫做表示这一平面内所有向量 的一组基底;
(2) 基底不惟一,关键是不共线;
人教版高中数学高一A版必修4 第二章第一节平面向量的实际背景及基本概念
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第二章第一节平面向量的实际背景及基本概念1.丰富多彩的背景,引人入胜的内容.教材首先从力、位移等量讲清向量的实际背景以及研究向量的必要性,接着介绍了平面向量的有关知识.学生将了解向量丰富的实际背景,理解平面向量及其运算的意义,能用向量语言与方法表述和解决数学、物理中的一些问题,发展运算能力和解决实际问题的能力.平面向量基本定理是平面向量正交分解及坐标表示的基础,从学生熟知的功的概念出发,引出了平面向量数量积的概念及其几何意义,接着介绍了向量数量积的性质、运算律及坐标表示.向量数量积把向量的长度和三角函数联系了起来,这样为解决有关的几何问题提供了方便,特别能有效地解决线段的垂直问题.最后介绍了平面向量的应用.2.教学的最佳契机,全新的思维视角.向量具有几何形式和代数形式的“双重身份”,这一概念是由物理学和工程技术抽象出来的.反过来,向量的理论和方法,又成为解决物理学和工程技术的重要工具,向量之所以有用,关键是它具有一套良好的运算性质,通过向量可把空间图形的性质转化为向量的运算,这样通过向量就能较容易地研究空间的直线和平面的各种有关问题.这一章的内容虽然概念多,但大都有其物理上的来源,虽然抽象,却与图形有着密切的联系,向量应用的优越性也是非常明显的.全新的思维视角,恰当的教与学,使得向量不仅生动有趣,而且是培养学生创新精神与能力的极佳契机.3.本章充分体现出新教材特点.以学生已有的物理知识和几何内容为背景,直观介绍向量的内容,注重向量运算与数的运算的对比,特别注意知识的发生过程.对概念、法则、公式、定理等的处理主要通过观察、比较、分析、综合、抽象、概括得出结论.这一章中的一些例题,教科书不是先给出解法,而是先进行分析,探索出解题思路,再给出解法.解题后有的还总结出解决该题时运用的数学思想和数学方法,有的还让学生进一步考虑相关的问题.对知识的处理,都尽量设计成让学生自己观察、比较、猜想、分析、归纳、类比、想象、抽象、概括的形式,从而培养学生的思维能力.向量的坐标实际上是把点与数联系起来,进而可把曲线与方程联系起来,这样就可用代数方程研究几何问题,同时也可以用几何的观点处理某些代数问题.4作者:赵勇,永安三中教师,本教学设计获福建省教学设计大赛三等奖整体设计教学理念新的课程标准要求我们创造性地使用教材,积极开发、利用各种教学资源,创设教学情境,让学生通过主动参与、积极思考、合作交流和创新等过程,获得知识、能力、情感的全面发展.本节课将充分体现以“学生为本”的教学观念,实现课程理念、教学方式和学生学习方式的转变.教学目标1.通过力的分析等实例,了解向量的实际背景;理解向量的概念.2.理解向量的几何表示;掌握零向量、单位向量、平行向量等概念;3.理解相等向量和共线向量等概念,并会辨认图形中的相等向量或作出与某一已知向量的相等向量.教学重点、难点1.通过学生自主探究,并在教师的引导下,使学生理解向量的概念、相等向量的概念、向量的几何表示等是本节课的重点.2.难点是学生对向量的概念和共线向量的概念的理解.学情和教材分析《向量》是高中数学新教材必修四第二章第1节.向量是近代数学中重要和基本的概念之一,有深刻的几何背景,是解决几何问题的有力工具.向量概念引入后,全等和平行(平移)、相似、垂直、勾股定理就可转化为向量的加(减)法、数乘向量、数量积运算,从而把图形的基本性质转化为向量的运算体系.向量是沟通代数、几何与三角函数的一种工具,有着极其丰富的实际背景,在数学和物理学科中具有广泛的应用.所以,向量是高考必考的重点内容,又因为其抽象性,它还是学生在学习中的一个难学内容.本节内容是向量一章的第一节课,因此,是十分关键、重要的一节课.教学准备多媒体课件教学过程导入新课位置是几何学研究的重要内容之一,几何中常用点表示位置,研究如何由一点的位置确定另外一点的位置.如图1,如何由点A确定点B的位置?图1一种常用的方法是,以A为参照点,用B点A点之间的方位和距离确定B点的位置.如,B点在A点东偏南45°,30千米处.这样,在A点与B点之间,我们可以用有向线段AB表示B点相对于A点的位置.有向线段AB就是A点与B点之间的位移.位移简明地表示了位置之间的相对关系.像位移这种既有大小又有方向的量,加以抽象,就是我们本章要研究的向量.推进新课新知探究本章引言中,我们知道,位移是既有大小,又有方向的量,你还能举出一些这样的量吗?图2请大家阅读课本2.1.1向量的物理背景与概念;2.1.2向量的几何表示.并回答下面问题: (1)什么是向量?向量和数量有何不同? (2)向量如何表示?(3)什么是零向量和单位向量? (4)什么是平行向量?待学生阅读完后,老师总结并展示课件: 1.什么是向量?向量和数量有何不同?(数量:只有大小,没有方向的量) 在质量、重力、速度、加速度、身高、面积、体积这些量中,哪些是数量?哪些是向量? 数量有:质量、身高、面积、体积 向量有:重力、速度、加速度提问:角度,海拔,温度是向量吗? 2.向量如何表示?(1)几何表示——向量常用有向线段表示:有向线段的长度表示向量的大小,箭头所指的方向表示向量的方向.图3 注:以A 为起点,B 为终点的有向线段记为AB →,线段AB 的长度记作|AB →|(读为模); (2)也可以表示为a ,b ,c ,…,大小记作:|a|、|b|、|c |、…说明一:我们所说的向量,与起点无关,用有向线段表示向量时,起点可以取任意位置.所以数学中的向量也叫自由向量.如图4:它们都表示同一个向量.图4练习:向量AB →和BA →是同一个向量吗?为什么? 不是,方向不同.探究:向量就是有向线段吗?有向线段就是向量吗? 说明二:有向线段与向量的区别: 有向线段:有固定起点、大小、方向.向量:可选任意点作为向量的起点、有大小、有方向.图5有向线段AB →、CD →是不同的.图6向量AB →、CD →是同一个向量. 3.什么是零向量和单位向量?零向量:长度为0的向量,记为0; 单位向量:长度为1的向量.注:零向量,单位向量都是只限制大小,不确定方向的. 向量之间的关系: 4.什么是平行向量?方向相同或相反的非零向量叫平行向量. 注:1.若是两个平行向量,则记为a ∥b .2.我们规定,零向量与任一向量平行,即对任意向量a ,都有0∥a . 练习:判断下列各组向量是否平行?图7向量的平行与线段的平行有什么区别? 练习:已知下列命题:(1)向量AB →和向量BA →长度相等;(2)方向不同的两个向量一定不平行;(3)向量就是有向线段;(4)向量0=0;(5)向量AB →大于向量CD →.其中正确命题的个数是( )A .0B .1C .2D .3 答案:B例1试根据图8中的比例尺以及三地的位置,在图中分别用向量表示A 地至B 、C 两地的位移,并求出A 地至B 、C 两地的实际距离(精确到1 km).图8请同学们阅读课本2.1.3相等向量与共线向量,并回答问题:什么是相等向量和共线向量?待学生回答后,老师总结并展示课件: 5.什么是相等向量和共线向量?长度相等且方向相同的向量叫相等向量.a =b =c A 1B 1→=A 2B 2→=A 3B 3→=A 4B 4→图9注:1.若向量a ,b 相等,则记为a =b ;2.任意两个相等的非零向量,都可用同一条有向线段来表示,并且与有向线段的起点无关.平行向量也叫共线向量.注:任一组平行向量都可以平移到同一直线上. 练习:判断下列命题是否正确:(1)两个向量相等,则它们的起点相同,终点相同;(2)若|a|=|b |,则a =b ;(3)若AB →=DC →,则四边形ABCD 是平行四边形;(4)平行四边形ABCD 中,一定有AB →=DC →;(5)若m =n ,n =k ,则m =k ;(6)若a ∥b ,b ∥c ,则a ∥c .其中不正确命题的个数是( )A .2B .3C .4D .5 答案:C练习:下列说法正确的是( ) A .若|a|>|b|,则a>b B .若|a |=0,则a =0C .若|a|=|b|,则a =b 或a =-bD .若a ∥b ,则a =bE .若a =b ,则|a|=|b |F .若a ≠b ,则a 与b 不是共线向量G .若a =0,则-a =0 答案:EG例2如图10,设O 是正六边形ABCDEF 的中心,分别写出图中与OA →、OB →、OC →相等的向量.图10解:OA →=CB →=DO →, OB →=DC →=EO →, OC →=AB →=ED →=FO →.练习:如图11,EF 是△ABC 的中位线,AD 是BC 边上的中线,在以A 、B 、C 、D 、E 、F 为端点的有向线段表示的向量中请分别写出:图11(1)与向量CD →共线的向量有________个,分别是________________________________;(2)与向量DF →的模一定相等的向量有________个,分别是______________________;(3)与向量DE →相等的向量有________个,分别是__________.答案:(1)7 DC →、DB →、BD →、FE →、EF →、CB →、BC → (2)5 FD →、EB →、BE →、EA →、AE →(3)2 CF →、FA →课堂小结 通过本节课的学习,要求大家能够理解向量的概念;掌握向量的几何表示;理解零向量、单位向量、平行向量、相等向量等概念,并能进行简单的应用.作业习题2.1A 组2,5设计思路1.首先先对本节课教材内容进行分析2.教材内容的安排和处理根据我所教学生的特点,我对教材进行了如下处理,先由物理中的位置关系导入新课,然后提出问题,并要求学生带着问题去阅读课本,最后由老师总结,并对概念进行概念辨析,以加大学生的思维的深度,拓宽了学生的视野,实现本节课难点的突破,整堂课充分发挥学生的主导作用.3.教法“问题是数学的灵魂,也是学好数学的必然手段”,本节课总体上以问题串的形式,设计为七问五练.着重抓四个知识点,突出学生的“主导地位”.并通过多媒体课件的演示,直观展示向量的有关内容,激发学生的兴趣.4.学法指导以问题为载体,通过提问、阅读、归纳,练习的过程,掌握思考、讨论、交流的学习方法,并体验探究和发现的乐趣.。
最新人教版高中数学必修4第二章平面向量的实际背景及基本概念
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答案:������������, ������������ , ������������
-10-
1.1 DNA重组技术的基本工具
首 页
基础知识 J课堂互动 Z 重点难点
ICHU ZHISHI
HONGDIAN NANDIAN
S 随堂练习
UITANG LIANXI
1.向量不能比较大小 剖析:(1)向量的模是非负实数,可以比较大小;(2)因为方向不能比较大 小,所以向量不能比较大小,对于向量来说“大于”和“小于”的概念是没有意 义的,例如,������������ > ������������ 是没有意义的,即������������与������������ 不能比较大小.
-5-
1.1 DNA重组技术的基本工具
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自主预习 首 页
J 基础知识 Z 重点难点
ICHU ZHISHI
HONGDIAN NANDIAN
S 随堂练习
UITANG LIANXI
【做一做 1】 下列量中是向量的是( A.长度 答案:C B.身高 C.速度
) D.面积
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1.1 DNA重组技术的基本工具
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记法 0
a =b
a∥b 0∥a
1.1 DNA重组技术的基本工具
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自主预习 首 页
J 基础知识 Z 重点难点
ICHU ZHISHI
HONGDIAN NANDIAN
S 随堂练习
UITANG LIANXI
(1)共线向量所在的直线平行或重合.如果两个向量所在的直 线平行或重合,则这两个向量是平行向量. (2)在平面内,相等的向量有无数多个,它们的方向相同且长度相等.相等向 量是共线向量,但共线向量不一定是相等向量.
人教版必修四第二章第一节平面向量的实际背景和基本概念,秦蔚
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平面向量的实际背景 及基本概念(2)
2.1.1 向量的物理背景与概念 2.1.2 向量的几何表示 2.1.3 相等向量和共线向量
复习回顾
1、如何定义向量?向量与数量有何区别? 2、如何表示向量?
3、有向线段和线段有何区别和联系?分别可 以表示向量的什么? 4、什么叫零向量和单位向量?
5、什么叫相等向量、共线向量、平行向量?
7.两个非零向量相等的充要条件是什么? 8 、与零向量相等的向量必定是什么向量?
9、若两个向量在同一直线上,则这两个向 量是什么向量?共线向量 或者说平行向量
10、共线向量一定在一条直线上吗? 不一定
提升训练
1、设O为正△ABC的中心,则向量 AO, BO, CO是 ( B ) A.相等向量 B.模相等的向量
练习 1.判断下列命题是否正确,若不正确, 请简述理由. ①向量 AB与 CD是共线向量,则A、B、C、D 四点必在一直线上; (× ) ②单位向量都相等;
(× )
③任一向量与它的相反向量(长度相同,方向相 反的向量)不相等; (× ) ④共线的向量,若起点不同,则终点一定不同。
(× )
⑤判断:若
C.共线向量
D.共起点的向量
2、如图,D、E、F分别是△ABC各边上的中点,四边 形BCMF是平行四边形,请分别写出: (1)与CM模相等且共线的向量; (2)与ED相等的 A 向量; 解:(1)DE、BF、FB、FA、 AF、ED、MC (2)FB、AF、MC
B D C F E M
提升训练 2
其中正确的个数是( A.0 B. 1
D C
) C. 2
C
ห้องสมุดไป่ตู้
D. 3
D
A
人教高中数学必修4PPT课件:平面向量的实际背景及基本概念
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√ (5)物理学中的作用力与反作用力是一对共线向量( ) (6)直角坐标平面图上的x轴,y轴都是向量(√ )
人教高中数学必修4PPT课件:平面向 量的实 际背景 及基本 概念
2.判断下面命题的对错
(1)若a = b,b = c,则a = c。( √) (2)若|a|=0,则a = 0 (×) (3)若|a|=|b|,则a = b (×)
人教高中数学必修4PPT课件:平面向 量的实 际背景 及基本 概念
说明: 1、向量的几何表示:用有向线段表示。 人教高中数学必修4PPT课件:平面向量的实际背景及基本概念
向量AB的大小,也就是向量AB的长度(或称模),记
作 |AB |。
向量不能比较大小,模可以比较大小。
2、向量的字母符号表示:(1)a , b , c , . . . (2)用表示向量的有向线段的起点和终点字母表示, 例如,AB,CD。 注意字母的顺序
量
长度(模)符 概号 念表示 : AB , a
零向量
单位向量
关系相 平等 行向 (量 共线)向量 用向量表示点的位置:位置向量
CB、DO、FE
人教高中数学必修4PPT课件:平面向 量的实 际背景 及基本 概念
人教高中数学必修4PPT课件:平面向 量的实 际背景 及基本 概念
在平面图形中寻求共线向量、相等向量的方法: (1)在平面图形中找共线向量时,应逐个列举,做到不 重不漏,可先找在同一条直线上的共线向量,然后再 找平行直线上的共线向量,要注意一条线段有一正一 反两个共线向量,而方向相同、长度不等的有向线段 又可以表示不同的共线向量. 对于相等向量,一定是共线向量,因此在找相等向量 时,可以从共线向量中筛选,找出长度相等、方向相 同的共线向量即可.
人教版数学必修四 平面向量的实际背景及基本概念 说课
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• 4.从“平行向量→相等向量→共线向量”的逐步认识,充分揭示向量的两个要素 (方向、大小)及向量可以平移的特点.
• 学习新课之前,我先介绍两个预备知识。
• 预备知识1:如果由你来简略介绍实数,你准备介绍什么?按 照什么顺序介绍?
• 请看投影.同学们思考的基本线索可能是:什么是实数→几何 表示→特殊的实数→简单的相互关系等.)
• 反过来,向量的理论和方法,又成为解决物理学和工程技术的 重要工具,向量之所以有用,关键是它具有一套良好的运算性 质,通过向量可把空间图形的性质转化为向量的运算,这样通 过向量就能较容易地研究空间的直线和平面的各种有关问题.
• 如果采用全新的思维视角,恰当的教与学,可以使得向量不仅 生动有趣,而且是培养学生创新精神与能力的极佳契机.
• 建议教学时,可以渗透在具体内容中,不必作抽象讲解, 以避免空洞说教.
• §2.1是《平面向量》的最基本内容,教材首先从学生熟知的力、位 移等量讲清向量的实际背景以及研究向量的必要性,接着介绍了 平面向量的有关知识.
• 这节课将直接影响到我们对向量的进一步研究和学习,如向量间 关系、向量的加法、减法以及乘法等运算,还有向量的坐标运算 等.
• 基于以上分析,具体教学时,需要设计一个能让学生开展概括活 动的过程,引导他们经历从具体事例(位移、力、速度等)中领 悟向量概念的本质特征,类比数的概念获得向量概念的定义及表 示,类比数的集合认识“向量的集合”,类比直线(段)的基本关 系认识向量的基本关系.
• 要使学生从中体会到学情分析】从§2.1内容上看,“平面向量的实际背景及基本概念”概 念多但不难理解,但从“概念的形成”的角度看,本节内容,重要的 不是向量的形式化定义及几个相关概念,而是获得数学研究对象、 认识数学新对象的基本方法,蕴含了用数学的观点刻画和研究现实 事物的方法和途径,这是一个带有“本源”性质的过程.
最新-高中数学 第二章平面向量§21 平面向量的实际背
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第二章平面向量本章内容介绍向量这一概念是由物理学和工程技术抽象出来的,是近代数学中重要和基本的数学概念之一,有深刻的几何背景,是解决几何问题的有力工具.向量概念引入后,全等和平行(平移)、相似、垂直、勾股定理就可转化为向量的加(减)法、数乘向量、数量积运算,从而把图形的基本性质转化为向量的运算体系.向量是沟通代数、几何与三角函数的一种工具,有着极其丰富的实际背景.在本章中,学生将了解向量丰富的实际背景,理解平面向量及其运算的意义,学习平面向量的线性运算、平面向量的基本定理及坐标表示、平面向量的数量积、平面向量应用五部分内容.能用向量语言和方法表述和解决数学和物理中的一些问题.本节从物理上的力和位移出发,抽象出向量的概念,并说明了向量与数量的区别,然后介绍了向量的一些基本概念. (让学生对整章有个初步的、全面的了解.)第1课时§2.1 平面向量的实际背景及基本概念教学目标:1.了解向量的实际背景,理解平面向量的概念和向量的几何表示;掌握向量的模、零向量、单位向量、平行向量、相等向量、共线向量等概念;并会区分平行向量、相等向量和共线向量.2.通过对向量的学习,使学生初步认识现实生活中的向量和数量的本质区别.3.通过学生对向量与数量的识别能力的训练,培养学生认识客观事物的数学本质的能力.教学重点:理解并掌握向量、零向量、单位向量、相等向量、共线向量的概念,会表示向量.教学难点:平行向量、相等向量和共线向量的区别和联系.学法:本节是本章的入门课,概念较多,但难度不大.学生可根据在原有的位移、力等物理概念来学习向量的概念,结合图形实物区分平行向量、相等向量、共线向量等概念.教具:多媒体或实物投影仪,尺规授课类型:新授课教学思路:一、情景设置:如图,老鼠由A向西北逃窜,猫在B处向东追去,设问:猫能否追到老鼠?(画图)结论:猫的速度再快也没用,因为方向错了.分析:老鼠逃窜的路线AC、猫追逐的路线BD实际上都是有方向、有长短的量.引言:请同学指出哪些量既有大小又有方向?哪些量只有大小没有方向?二、新课学习:(一)向量的概念:我们把既有大小又有方向的量叫向量ABCD(二)请同学阅读课本后回答:(可制作成幻灯片)1、数量与向量有何区别?2、如何表示向量?3、有向线段和线段有何区别和联系?分别可以表示向量的什么?4、长度为零的向量叫什么向量?长度为1的向量叫什么向量?5、满足什么条件的两个向量是相等向量?单位向量是相等向量吗?6、有一组向量,它们的方向相同或相反,这组向量有什么关系?7、如果把一组平行向量的起点全部移到一点O ,这是它们是不是平行向量?这时各向量的终点之间有什么关系?(三)探究学习1、数量与向量的区别:数量只有大小,是一个代数量,可以进行代数运算、比较大小;向量有方向,大小,双重性,不能比较大小.2.向量的表示方法:①用有向线段表示;②用字母a、b(黑体,印刷用)等表示; ③用有向线段的起点与终点字母:; ④向量AB 的大小――长度称为向量的模,记作|AB |.3.有向线段:具有方向的线段就叫做有向线段,三个要素:起点、方向、长度.向量与有向线段的区别:(1)向量只有大小和方向两个要素,与起点无关,只要大小和方向相同,则这两个向量就是相同的向量;(2)有向线段有起点、大小和方向三个要素,起点不同,尽管大小和方向相同,也是不同的有向线段.4、零向量、单位向量概念:①长度为0的向量叫零向量,记作0. 0的方向是任意的.注意0与0的含义与书写区别.②长度为1个单位长度的向量,叫单位向量.说明:零向量、单位向量的定义都只是限制了大小.5、平行向量定义:①方向相同或相反的非零向量叫平行向量;②我们规定0与任一向量平行.说明:(1)综合①、②才是平行向量的完整定义;(2)向量a、b、c平行,记作a∥b∥c. A(起点) B (终点)a6、相等向量定义:长度相等且方向相同的向量叫相等向量.说明:(1)向量a与b相等,记作a=b;(2)零向量与零向量相等;(3)任意两个相等的非零向量,都可用同一条有向线段来表示,并且与有..向线段的起点无关.........7、共线向量与平行向量关系:平行向量就是共线向量,这是因为任一组平行向量都可移到同一直线上(与有向线段的......起点无......关)说明:(1)平行向量可以在同一直线上,要区别于两平行线的位置关系;(2)共线向量可以相互平行,要区别于在同一直线上的线段的位置关系.(四)理解和巩固:例1 书本86页例1.例2判断:(1)平行向量是否一定方向相同?(不一定)(2)不相等的向量是否一定不平行?(不一定)(3)与零向量相等的向量必定是什么向量?(零向量)(4)与任意向量都平行的向量是什么向量?(零向量)(5)若两个向量在同一直线上,则这两个向量一定是什么向量?(平行向量)(6)两个非零向量相等的当且仅当什么?(长度相等且方向相同)(7)共线向量一定在同一直线上吗?(不一定)例3下列命题正确的是()A.a与b共线,b与c共线,则a与c也共线B.任意两个相等的非零向量的始点与终点是一平行四边形的四顶点C.向量a与b不共线,则a与b都是非零向量D.有相同起点的两个非零向量不平行解:由于零向量与任一向量都共线,所以A不正确;由于数学中研究的向量是自由向量,所以两个相等的非零向量可以在同一直线上,而此时就构不成四边形,根本不可能是一个平行四边形的四个顶点,所以B不正确;向量的平行只要方向相同或相反即可,与起点是否相同无关,所以D不正确;对于C,其条件以否定形式给出,所以可从其逆否命题来入手考虑,假若a与b不都是非零向量,即a与b至少有一个是零向量,而由零向量与任一向量都共线,可有a与b共线,不符合已知条件,所以有a与b都是非零向量,所以应选C.例4 如图,设O是正六边形ABCDEF的中心,分别写出图中与向量、、相等的向量.变式一:与向量长度相等的向量有多少个?(11个)变式二:是否存在与向量长度相等、方向相反的向量?(存在),)变式三:与向量共线的向量有哪些?(,课堂练习:1.判断下列命题是否正确,若不正确,请简述理由①向量与CD是共线向量,则A、B、C、D四点必在一直线上;②单位向量都相等;③任一向量与它的相反向量不相等;④四边形ABCD是平行四边形当且仅当AB=DC⑤一个向量方向不确定当且仅当模为0;⑥共线的向量,若起点不同,则终点一定不同.解:①不正确.共线向量即平行向量,只要求方向相同或相反即可,并不要求两个向量、在同一直线上.②不正确.单位向量模均相等且为1,但方向并不确定.③不正确.零向量的相反向量仍是零向量,但零向量与零向量是相等的. ④、⑤正确.⑥不正确.如图AC与BC共线,虽起点不同,但其终点却相同. 2.书本88页练习三、小结:1、描述向量的两个指标:模和方向.2、平行向量不是平面几何中的平行线段的简单类比.3、向量的图示,要标上箭头和始点、终点.四、课后作业:书本88页习题2.1第3、5题。
高一数学人教A版必修4第二章2.1平面向量的实际背景及基本概念2课时课件
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如:
B (终点)
A (起点)
(3) 字母表示: ① 用端点的大写字母表示, 如 ② 用印刷黑体小写字母表示, 如 a、b、c. ③ 用书写体加箭头表示, 如
aB A
3. 向量的模:
也叫做向量的模, 记作
4. 零向量: 模为零的向量称为零向量, 记作0 ( 方向是任意的.
), 零向量的
5. 单位向量:
的中线向量 AD的模| AD|.
A
解:
AB 3, 则 BD
由勾股定理求得
B DC
2.1.3 相等向量
与 共线向量
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1. 什么是相等向量? 相等向量与什么有关, 与 什么无关?
2. 什么叫平行向量? 什么叫共线向量? 共线向 量一定画在一条直线上吗?
3. 共线向量的长度是否相等? 共线向量的方向 是否相同?
【课时小结】
2. 向量 既有大小, 又有方向的量.
3. 向量的物理背景 向量研究具有方向和大小的问题: 位移具有方向与距离. 力具有方向与大小. 速度具有方向和大小.
【课时小结】
4. 向量的表示
向量用有向线段表示.
字母表示有三种方法:
① 用端点的大写字母表示, 如
② 用印刷黑体小写字母表示, 如 a、b、c.
(2) 求| AB|的值.
y
答: (1)
4
B
因为方向不同.
因为长度是相等的.
A
(2)
o1 4 x
(二) 向量的表示 1. 向量 我们把既有大小, 又有方向的量叫做向量 (物理学 中称为矢量); 而把只有大小, 没有方向的量称为数量, (物理学中称为标量).
向量是勾通代数, 几何, 三角函数的一种工具.
高中数学必修四平面向量的实际背景及基本概念
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在同一时刻,老鼠由A向西北方向的C处 逃窜,猫在B处向正东方向的D处追去,猫能否 追到老鼠呢?
故事二:南辕北辙
战国后期,魏国国力渐衰,可是魏王想出兵攻伐赵国.谋 臣季梁前来劝阻伐赵。季梁为了打动魏王,来了个现身说法。 季梁说:”今天我在来此的路上,遇见一个人坐车朝北而行, 告诉臣说‘我想要去楚国。’臣说’楚国在南方,为什么要朝 北走?’那人的回答是:
4、向r 量r 的r 平r行是否具有传r递性r ?即
a / /b,b / /c,能不能推出a / /c ?
例1、判断对错
(1)单位向量相等。
b
(2)向量的大小是非负实数。
(3)若|a |>|b | a,则a >b。
(4)非零向量 BA与AB是模相等的平行向量。 (5)若两个向量的模相等,则这两个向量是平行向量。
‘我的马好,跑得快。’ ‘我的路费多着呢。’ ‘我的马夫最会赶车。’ 问:此人能到达楚国吗?
探究一 平面向量的定义
问题1:我们在物理中学过哪些与方向有关的量? 问题2:在物理中如何区分有方向的量和没有方向的 量?
Байду номын сангаас
向量的定义:
在数学中,我们将这种 既有大小,又有方向的量叫做向量。 只有大小,没有方向的量叫做数量。
uuur
(1)与向量FE 共线的有
.
uuur
(2)与向量DF的模相等的有 ________________.
A
F
E
(3)与向量
uuur ED
相等的有_________________.
B
D
C
必做:习题2.1A组 选做:B组
两个特殊向量:零向量和单位向量 向量的关系: 平行向量(共线向量) 相等向量
最新人教版高中数学必修4第二章《第二章平面向量》本章概览
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第二章平面向量
本章概览
三维目标
1.经历平面向量基本概念的形成过程,提高应用向量解决问题的能力,培养应用意识.
2.探索平面向量的线性运算及其几何意义,感受处理向量问题的思维过程,培养应用数形结合思想解决问题的能力.
3.探索平面向量基本定理及其坐标表示,体验用向量处理问题的两种方法:向量法和坐标法,逐步认识向量的科学价值、应用价值.
4.探讨平面向量数量积的含义、应用及其意义,知道向量是沟通代数、几何与三角函数的一种工具,体会它们之间的联系.
5.经历用向量方法解决几何问题、物理问题的过程,体会向量的工具作用,归纳用向量解决问题的思维方法,以便提高学习数学的兴趣,树立学好数学的信心.
知识网络。
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A
2018/2/3
B
四.课堂练习
1.判断下列结论是否正确,并说明理由。
(1)单位向量都是相等向量; (× )
√) (2)物理学中的作用力与反作用力是一对共线向量;(
(3)方向为南偏西60°的向量与北偏东60°的向量是共线向 量; (√) (4)直角坐标平面上的x轴、y轴都是向量。(×) 2.已知边长为3的等边三角形ABC,求BC边上的中线向量
B
相等的有 7个
A
2018/2/3
长度相等 的有15个
根据下列小题的条件,分别判断四边形ABCD 的形状: AB = DC 且 AB = AD (1)AD = BC ; (2)
D
C
(1)四边形ABCD是平行四边形。
A D
B
C
(2)四边形ABCD是菱形。
A.AD = BC B.AC = BD D.EP
= PF
= PF
2018/2/3
(3).下列说法正确的是 ( B ) A) 方向相同或相反的向量是平行向量 . B) 零向量是0 . C)长度相等的向量叫做相等向量. D) 共线向量是在一条直线上的向量. (4).已知a、b是任意两个向量,下列条件: ①a=b; ②|a|=|b|; ③a与b的方向相反; ④a=0或b=0; ⑤ a与b都是单位向量. 能判定向量a与b平行的是①③④ _____.
B
A
O
F
问题: D (1) OA 与 FE 相等吗? (2) OB 与 AF 相等吗? (3)与 OA 长度相等的向量有几个? (4)与 OA 共线的向量有哪几个?
2018/2/3
E
例2:在4 5方格纸中有一个向量 AB,以图中 的格点为起点和终点作向量,其中与 AB相等的 向量有多少个?与 AB长度相等的共线向量有多少个? (AB除外)
B(终点)
a
a
此重点 也,望 记住
三.向量的有关概念
1.向量的长度(模): 向量 AB 的大小 表示为: | AB | 2.两个基本向量:
零向量:长度为零的向量(方向任意). 表示为: 0
, | 0 |= 0
单位向量:长度为1个单位长度的向量。
2018/2/3
3. 向量的关系:
相等向量: 长度相等且方向相同的向量. 表示为:
AD 的模 AD 。
2018/2/3
3 3 2
向量的相反向量
我们把与向量a长度相等,方向相反的向量叫做a 的相反向量,记作 a, a与 a互为相反向量。
定义:
零向量的相反向量仍是零向量。
AB = BA .
2018/2/3
※注意:
2018/2/3
小结:
提问: 1.Βιβλιοθήκη 节主要介绍了哪些概念? 2.向量如何表示?
2018/2/3
2018/2/3
2018/2/3
在物理和数学中,我们学习了很多“量”,如年龄, 身高,位移,长度,速度,加速度,面积,体积,力, 质量等,大家一起分析一下,这些“量”有什么不同?
* 数学中我们把年龄,身高,长度,面积,
体积,质量等叫数量; *把位移,力,速度,加速度等叫向量。 数量只有大小,没有方向; 向量有大小,也有方向。
2018/2/3
例1.如图,设O是正六边形 ABCDEF 的中心,分别写 出图中与向量 OA, OB, OC 相等的向量.
解: OA = CB = DO; OB = DC = EO; C OC = AB = ED = FO;
2018/2/3
巩固练习:判断下列结论是否正确。
(1)平行向量方向一定相同; (× ) (2)不相等向量一定不平行; (× ) (3)与零向量相等的向量是零向量; (√ ) (4)与任何向量都平行的向量是零向量; (√ ) (5)共线向量一定在一条直线上; (× ) (6)若两向量平行,则这两向量的方向相同或相反; (× ) (7)相等向量一定是平行向量。 (√ )
a=b
平行向量: 方向相同或相反的非零向量叫平行向量.
表示为:
b a
a // b
c
规定:零向量与任一向量平行; 记作:
2018/2/3
0 // a
共线向量: 任一组平行向量都可平移到同一直线上.
即平行向量也叫做共线向量.
b a c
C
O
A
B
思考:共线向量一定在一条直线上吗?
( a) = a
练习: (1)下列各量中是向量的是( B ) A.时间 B.速度 C.面积 D. 长度
(2)等腰梯形 ABCD 中,对角线 AC 与
正确的是( D ) C.PE
BD 相交于点 P ,点 E、 F分别在两腰 AD、BC 上,EF 过点 P 且 EF // AB,则下列等式
2018/2/3
一. 向量的定义
既有大小又有方向的量叫向量.
二.向量的表示
向量通常用有向线段(带有方向的线段)来表示;
有向线段的三个要素:起点、方向、长度
以A为起点,B为终点的向量表示为: AB 或
注意:用a,b,c„„表示向量时, 印刷用黑体a,书写用 a
2018/2/3
A(起点)