集合的表示

【答案】 (1)× (2)√ (3)×
[小组合作型]
用列举法表示集合
用列举法表示下列集合： (1)36 与 60 的公约数组成的集合； (2)方程(x－4)2(x－2)＝0 的根组成的集合； 2 4 (3)一次函数 y＝x－1 与 y＝－ x＋ 的图象的交点组成的集合. 3 3
【精彩点拨】 (1)(2)可直接先求相应元素，然后用列举法表示． y＝x－1 (3) 联立 2 4 y＝－3x＋3
阶 段 一
阶 段 三
第 2 课时
阶 段 二
集合的表示
学 业 分 层 测 评
1．初步掌握集合的两种表示方法——列举法、描述法，感受集合语言的意 义和作用．(重点) 2．会用集合的两种表示方法表示一些简单集合．(重点、难点)
[基础· 初探] 教材整理 1 列举法
阅读教材 P3“列举法”至 P4“思考”以上部分，回答下列问题． 列举法 把集合的元素 一一列举 出来，并用 花括号“{}” 法叫做列举法． 括起来表示集合的方
2x－3y＝14 (1)解方程组 3x＋2y＝8，
x＝4 得 y＝－2，
故解集为{(4，－2)}． (2)集合用描述法表示为{x|x 是正方形}，简写为{正方形}． (3)集合用描述法表示为{(x，y)|y＝x2}．
示为{(0,1)}．
探究 3 设集合 A＝{x|ax2＋x＋1＝0}，集合 A 中的元素是什么？ 【提示】 集合 A 中的元素是方程 ax2＋x＋1＝0 的解．
集合 A＝{x|kx2－8x＋16＝0}，若集合 A 中只有一个元素，求实数 k 的值组成的集合.
【精彩点拨】 → 用集合表示 明确集合A的含义 → 对实数k加以讨论 → 求出实数k的值
【解析】 (1)×.{x|x>1}表示由大于 1 的实数组成的集合，而 0<1，所以(1) 错误． (2)√.集合{x|x<5，x∈N}表示小于 5 的自然数，为 0,1,2,3,4，共 5 个，所以 (2)正确． (3)×.集合{(1,2)}中只有一个元素为(1,2)，而{x|x2－3x＋2＝0}中有两个元素 1 和 2，所以(3)错误．
利用描述法表示集合应关注五点 1．写清楚该集合代表元素的符号．例如，集合{x∈R|x<1}不能写成{x<1}． 2．所有描述的内容都要写在花括号内．例如，{x∈Z|x＝2k}，k∈Z，这种 表达方式就不符合要求，需将 k∈Z 也写进花括号内，即{x∈Z|x＝2k，k∈Z}． 3．不能出现未被说明的字母．
4．在通常情况下，集合中竖线左侧元素的所属范围为实数集时可以省略不 写．例如，方程 x2－2x＋1＝0 的实数解集可表示为{x∈R|x2－2x＋1＝0}，也可 写成{x|x2－2x＋1＝0}． 5．在不引起混淆的情况下，可省去竖线及代表元素，如{直角三角形}，{自 然数}等．
[再练一题] 2．用另一种方法表示下列集合： (1){能被 3 整除且小于 10 的正数}； (2){(x，y)|x＋y＝6，x∈N*，y∈N*}； (3){－3，－1,1,3,5}； (4){自然数中六个最小数的平方}； (5){y|y＝－x2＋6，x∈N，y∈N}．
4．适用条件：有限集或元素间存在明显规律的无限集．需要说明的是，对 于有限集，由于元素的无序性，如集合{1,2,3,4}与{2,1,4,3}表示同一集合，但对 于具有一定规律的无限集{1,2,3,4，„}，就不能写成{2,1,4,3，„}．
[再练一题] 1．用列举法表示下列集合； (1)不大于 10 的非负偶数组成的集合； (2)方程 x2＝2x 的所有实数解组成的集合； (3)直线 y＝2x＋1 与 y 轴的交点所组成的集合； (4)由所有正整数构成的集合．
)
【解析】 大于 2 且小于 5 的自然数为 3 和 4，所以用列举法表示其组成的 集合为{3,4}．
【答案】 A
2．如果 A＝{x|x>－1}，那么( A．－2∈A C．－3∈A
)
B．{0}∈A D．0∈A
【解析】 A． ∵－2<－1， ∴A 错误． B.{0}为集合， 不是元素， ∴B 错误． C. ∵－3<－1，∴C 错误．D.∵0>－1，∴0∈A 成立．故选 D.
【解析】 ∵4∈A，∴16－12＋a＝0， ∴a＝－4， ∴A＝{x|x2－3x－4＝0}＝{－1,4}．
【答案】 {－1,4}
5．用适当的方法表示下列集合：
2x－3y＝14 (1)方程组 3x＋2y＝8

的解集；
(2)所有的正方形； (3)抛物线 y＝x2 上的所有点组成的集合．
【解】
用描述法表示集合
用描述法表示下列集合： (1)被 3 除余数等于 1 的整数的集合； (2)比 1 大又比 10 小的实数的集合； (3)平面直角坐标系中第二象限内的点组成的集合．
【精彩点拨】 根据要求写出集合．
先分析集合中元素的特征，再分析元素满足的条件，最后
【自主解答】 (1){x|x＝3n＋1，n∈Z}． (2){x∈R|1<x<10}． (3)集合的代表元素是点，用描述法可表示为{(x，y)|x<0，且 y>0}．
→ 求方程组的解
【自主解答】 {1,2,3,4,6,12}．
(1)36 与 60 的 公 约 数 有 1,2,3,4,6,12 ， 所 求 集 合 为
(2)方程(x－4)2(x－2)＝0 的根是 4,2，所求集合为{4,2}． 7 x＝5 x－y＝1 (3)方程组 的解是 2x＋3y＝4 y＝2， 5
[探究共研型]
集合表示方法的简单应用
探究 1 集合{x||x|<2，x∈Z}用列举法如何表示？ 【提示】 {－1,0,1}．
探究 2
集合{(x， y)|y＝x＋1}与集合{(x， y)|y＝2x＋1}中的元素分别是什么？
这两个集合有公共元素吗？如果有，用适当的方法表示它们的公共元素所组成 的集合，如果没有，请说明理由．
一般符号
及
取值(或变化)范围
的 共同特征 ．
，再画一条竖线，在竖线后写出这个集合中元素所具有
判断(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)集合 0∈{x|x>1}．( ) ) )
(2)集合{x|x<5，x∈N}中有 5 个元素．(
(3)集合{(1,2)}和{x|x2－3x＋2＝0}表示同一个集合．(
【答案】 D
3．若 A＝{－2,2,3,4}，B＝{x|x＝t2，t∈A}，用列举法表示 B＝________. 【解析】 由题意知，A＝{－2,2,3,4}，B＝{x|x＝t2，t∈A}，∴B＝{4,9,16}． 【答案】 {4,9,16}
4． 设集合 A＝{x|x2－3x＋a＝0}， 若 4∈A， 则集合 A 用列举法表示为________.
【解】 当 a＝0
4 时，A＝－3；
当 a≠0 时，关于 x 的方程 ax2－3x－4＝0 应有两个相等的实数根或无实数 根， 9 所以 Δ＝9＋16a≤0，即 a≤－16. 9 故所求的 a 的取值范围是 a≤－16或 a＝0.
1．用列举法表示大于 2 且小于 5 的自然数组成的集合应为( A．{3,4} C．{2<x<5} B．A＝{2,3,4,5} D．{x|2<x<5，x∈N}
7 2 所求集合为5，5.
使用列举法表示集合时，需要注意以下几点 1．用列举法书写集合时，先应明确集合中的元素是什么．如本题(3)是点集 {(x，y)}，而非数集{x，y}．集合的所有元素用“{ 号“，”． 2．元素不重复，元素无顺序，所以本题(2)中，{4,4,2}为错误表示． 3．对于含较多元素的集合，如果构成该集合的元素有明显规律，可用列举 法，但是必须把元素间的规律表述清楚后才能用省略号． }”括起来，元素间用分隔
【提示】 集合{(x，y)|y＝x＋1}中的元素是直线 y＝x＋1 上所有的点；集合 {(x， y)|y＝2x＋1}中的元素是直线 y＝2x＋1 上所有的点， 它们的公共元素是两直
y＝x＋1 线的交点，由 y＝2x＋1， x＝0 解得 y＝1，
即它们的公共元素为(0,1)， 用集合可表
若已知集合是用描述法给出的，读懂集合的代表元素及其属性是解题的关 键，只有这样，才能清楚集合中的元素是什么，才能正确地解题.如例 3 中集合 A 的代表元素为 x，x 满足 kx2－8x＋16＝0，则 A 中的元素就是所给方程的根， 由此便把集合的元素个数问题转化为方程的根的个数问题.
[再练一题] 3．已知集合 A＝{x|ax2－3x－4＝0，x∈R}，若 A 中至多有一个元素，求实 数 a 的取值范围．
【解】 (1)因为不大于 10 是指小于或等于 10， 非负是大于或等于 0 的意思， 所以不大于 10 的非负偶数集是 {0,2,4,6,8,10}． (2)方程 x2＝2x 的解是 x＝0 或 x＝2，所以方程的解组成的集合为{0,2}． (3)将 x＝0 代入 y＝2x＋1，得 y＝1，即交点是(0,1)，故交点组成的集合是 {(0,1)}． (4)正整数有 1,2,3，„，所求集合为{1,2,3，„}．
【自主解答】
(1)当 k＝0 时，方程 kx2－8x＋16＝0 变为－8x＋16＝0，解
得 x＝2，满足题意； (2)当 k≠0 时， 要使集合 A＝{x|kx2－8x＋16＝0}中只有一个元素， 则方程 kx2 －8x＋16＝0 只有一个实数根，所以 Δ＝64－64k＝0，解得 k＝1，此时集合 A＝ {4}，满足题意． 综上所述，k＝0 或 k＝1，故实数 k 的值组成的集合为{0,1}．
大于 4 并且小于 10 的奇数组成的集合用列举法可表示为________．
【解析】 由题意知集合中的元素为 5,7,9，故用列举法可表示为：{5,7,9}． 【答案】 {5,7,9}
教材整理 2