高二第二学期月考数学试题
数学-高二年级第二次月考数学试题
王淦昌高级中学2022-2023学年第二学期高二年级第二次月考数学试题2023．5（考试时间：120分钟分值：150分）一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．设,a b 均为非零实数且a b <，则下列结论正确的是()A ．11a b > B ．22a b < C ．2211a b<D ．33a b <2．25()x x -的展开式中含5x 项的系数为 （） A ． 1-B ． 5-C ． 1D ． 53．命题“2[1,2],0x x a ∀∈-≤”为真命题的一个充分不必要条件是 （ ）A ． 4a ≥B ．4a ≤C ． 5a ≥D ． 5a ≤4．袁隆平院士是我国的杂交水稻之父，他一生致力于杂交水稻的研究，为解决中国人民的温饱和保障国家粮食安全作出了重大贡献．某杂交水稻研究小组先培育出第一代杂交水稻，再由第一代培育出第二代，带二代培育出第三代，以此类推，且亲代与子代的每穗总粒数之间的关系如下表示：（注：亲代是产生后一代生物的生物，对后代生物来说是亲代，所产生的后一代交子代）通过上面四组数据得到了x 与y 之间的线性回归方程是ˆˆ4.4yx a =+，预测第五代杂交水稻每穗的总粒数为 （ ） A ．211 B ．212C ．213D ．2145． 某班50名同学参加体能测试，经统计成绩c 近似服从2(90,)N σ，()90950.3P c ≤≤=，则可估计该班体能测试成绩低于85分的人数为 （ ） A ． 5B ． 10C ． 15D ． 306． 某校拟从5名班主任及5名班长(3男2女)中选派1名班主任和3名班长去参加“党史主题活动”， 要求2名女班长中至少有1人参加，则不同的安排方案有（ ）种． A ． 9B ． 15C ． 60D ． 457． 现行排球比赛规则为五局三胜制，前四局每局先得25分者为胜，第五局先得15分者为胜，并且每赢1球得1分，每次得分者发球；当出现24平或14平时，要继续比赛至领先2分才能取胜．在一局比赛中，甲队发球赢球的概率为12，甲队接发球赢球的概率为35，在比分为24∶24平且甲队发球的情况下，甲队以27∶25赢下比赛的概率为（ ）A ．18B ．320C ．310D ．7208． 设函数,(),x xx af x e x x a ⎧≥⎪=⎨⎪<⎩，若函数存在最大值，则实数a 的取值范围是（ ）A ． 1a ≤B ． 1a <C ． 1a e ≤D ． 1a e<二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，选对但不全的得2分，有选错的得0分． 9． 已知a ，b ∈R ，0,0a b >>，且2a b +=，则下列说法正确的为 （ ） A ．ab 的最小值为1 B ．22log log 0a b +≤C ． 224a b +≥D ． 1222a b+≥10． 甲、乙、丙、丁、戊五人并排站成一排，下列说法正确的是 （ ） A ． 如果甲，乙必须相邻，那么不同的排法有24种B ． 最左端只能排甲或乙，最右端不能排甲，则不同的排法共有42种C ． 甲乙不相邻的排法种数为72种D ． 甲乙丙按从左到右的顺序排列的排法有20种11． 某车间加工同一型号零件，第一、二台车床加工的零件分别占总数的40%，60%，各自产品中的次品率分别为6%，5%．记“任取一个零件为第i 台车床加工(1,2)i =”为事件i A ，“任取一个零件是次品”为事件B ，则 （ ） A ．()0.054P B = B ．()20.03P A B = C ．()10.06P B A = D ．()259P A B = 12．已知函数()()2ln f x x ax x a R =--∈，则下列说法正确的是（ ）A ．若1a =-，则()f x 是1(0,)2上的减函数 B ．若01a ≤≤，则()f x 有两个零点 C ．若1a =，则()0f x ≥D ．若1a >，则曲线()y f x =上存在相异两点M ，N 处的切线平行 三、填空题：本题共4小题，每小题5分，20分．把答案填在题中的横线上． 13．已知关于x 的一元二次不等式20ax bx c ++<的解集为{}3|1x x <<，则20cx bx a -+>的解集是___________．14．命题“x ∃∈R ，()()22210a x a x +++-≥”为假命题，则实数a 的取值范围为______．15．某学校有一块绿化用地，其形状如图所示．为了让效果更美观，要求在四个区域内种植花卉，且相邻区域颜色不同．现有五种不同颜色的花卉可供选择，则不同的种植方案共有________种．（用数字作答） 16．已知x >1，y <0，且3y (1－x )＝x ＋8，则x －3y 的最小值为 ．四、解答题：本大题共6小题，共70分，解答须写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤． 17． (本小题满分10分)已知集合{}|132A x m x m =-≤≤-，不等式411x ≥+的解集为B ． （1）当3m =时，求AB ；（2）若x A ∈是x B ∈的充分不必要条件，求实数m 的取值范围．18．(本小题满分12分)已知在n的展开式中，第5项的系数与第3项的系数之比是14：3．（1）求展开式中二项式系数最大的项； （2）求展开式中含5x 的项．19．(本小题满分12分)从装有2只红球，2只白球和1只黑球的袋中逐一取球，已知每只球被抽取的可能性相同． （1）若抽取后又放回，抽3次．①分别求恰2次为红球的概率及抽全三种颜色球的概率； ②求抽到红球次数η的数学期望及方差．（2）若抽取后不放回，写出抽完红球所需次数ξ的分布列．20．(本小题满分12分)某校成立了生物兴趣小组，该兴趣小组为了探究一定范围内的温度x 与豇豆种子发芽数y该兴趣小组确定的研究方案是：先从这7组数据中任选5组数据建立y 关于x 的线性回归方程，并用该方程对剩下的2组数据进行检验．（1）若选取的是星期一、二、三、六、日这5天的数据，求出y 关于x 的线性回归方程； （2）若由线性回归方程得到的估计数据与选出的检验数据的误差均不超过2个，则认为得到的线性回归方程是可靠的，试问（1）中所得的线性回归方程是否可靠？附：回归直线的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为121()()ˆ()niii nii x x yy bx x ==--=-∑∑，ˆˆay b x =-⋅．21．(本小题满分12分)疫情过后，百业复苏，某餐饮店推出了“三红免单”系列促销活动，为了增加活动的趣味性与挑战性，顾客可以从装有3个红球、7个白球的袋子中摸球参与活动，商家提供A 、B 两种活动规则：规则A ：顾客一次性从袋子中摸出3个球，如果3个球都是红球，则本次消费免单；如果摸出的3个球中有2个红球，则获得价值200元的优惠券；如果摸出的3个球中有1个红球，则获得价值100元的优惠券；如果摸出的3个球中没有红球，则不享受优惠．规则B ：顾客分3次从袋子中摸球，每次摸出1只球记下颜色后放回，按照3次摸出的球的颜色计算中奖，中奖优惠方案和规则A 相同．（1）某顾客计划消费300元，若选择规则A 参与活动，求该顾客参加活动后的消费期望； （2）若顾客计划消费300元，则选择哪种规则参与活动更加划算？试说明理由．22．(本小题满分12分)已知函数2()ln (12)1f x x mx m x =-+-+． （1）若1m =，求()f x 的极值；（2）若对任意0x >，()0f x ≤恒成立，求整数m 的最小值．。
2022-2023学年全国高中高二下数学人教A版月考试卷(含解析)
2022-2023学年全国高二下数学月考试卷考试总分：110 分 考试时间： 120 分钟学校：__________ 班级：__________ 姓名：__________ 考号：__________注意事项：1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息; 2．请将答案正确填写在答题卡上;卷I （选择题）一、 选择题 （本题共计 8 小题 ，每题 5 分 ，共计40分 ）1. 设函数在上可导，则等于( )A.B.C.D.以上都不对2. 借用“以直代曲”的近似计算方法，在切点附近，可以用函数图象的切线近似代替在切点附近的曲线来近似计算，例如：求，我们先求得曲线在处的切线方程为，再把代入切线方程，即得，类比上述方式，则( )A.B.C.D.3. 设 是函数 的导函数， 的图象如图所示，则的图象可能是( )A.y =f(x)R lim Δx→0f(1+Δx)−f(1)3Δx(1)f ′3(1)f ′(1)13f ′ln 1.01y =ln x x =1y =x −1x =1.01ln 1.01=0.01≈e √40001.000251.000051.00251.0005(x)f ′f (x)y =(x)f ′y =f (x)B. C. D.4. 用，，，，，组成无重复数字的六位偶数，若有且仅有个奇数相邻，则这样的六位数共有（ ）A.个B.个C.个D.个5. 已知，其中，若 ，则的值为( )A.B.C.D.6. 定义为个正数，，…，的“均倒数”．若已知正数数列的前项的“均倒数”为，又，则( )A.B.C.0123452192216276324(x +a =+(1−x)−(1−x +⋯−(1−x )15a 0a 1a 2)2a 15)15a >0=−945a 13a 2345n ++…+p 1p 2p n n p 1p 2p n {}a n n 12n +1=b n +1a n 4++…+=1b 1b 21b 2b 31b 10b 11111112101111D. 7. 已知椭圆 的左、右焦点分别为 ， ，椭圆上点满足 ，射线平分 ， 过坐标原点作的平行线交 于点，且 则椭圆的离心率为（ ）A.B.C.D.8. 在平面直角坐标系中，若直线上至少存在一点，使得以该点为圆心，为半径的圆与圆有公共点，则实数的最大值为( )A.B.C.D.二、 多选题 （本题共计 4 小题 ，每题 5 分 ，共计20分 ）9. 定义是的导函数的导函数，若方程有实数解，则称点为函数的“拐点”．可以证明，任意三次函数都有“拐点”和对称中心，且“拐点”就是其对称中心，请你根据这一结论判断，以下命题正确的是（ ）A.存在有两个及两个以上对称中心的三次函数B.函数的对称中心是C.存在三次函数，方程有实数解，且点为函数的对称中心D.若函数，则1112+=1(a >b >0)x 2a 2y 2b 2F 1F 2P |PF|=2|P |F 2PM ∠P F 1F 2O PM PF 1Q |PQ|=||14F 1F 23–√2231213xOy y =kx −21C :+−8x +15=0x 2y 2k 34233243(x)f ′′y =f (x)y =(x)f ′(x)=0f ′′x 0(,f ())x 0x 0y =f (x)f (x)=a +b +cx +d (a ≠0)x 3x 2f (x)=−3−3x +5x 3x 2(1,0)h (x)(x)=0h ′x 0(,h ())x 0x 0y =h (x)g(x)=−−13x 312x 2512g()+g()+1202122021g()+⋯+32021g()=−101020002021y =f (x)()10. 已知函数的导函数的图象如图所示，下列结论中正确的是 A.是函数的极小值点B.是函数的极小值点C.函数在区间上单调递增D.函数在处切线的斜率小于零11. 函数为定义在上的奇函数，当时，，下列结论正确的有( )A.当时，B.函数有且仅有个零点C.若，则方程在上有解D.，恒成立12. 函数，若时，有，是圆周率，为自然对数的底数，则下列说法正确的是( )A.B.C.D.，，，，，，则最大卷II （非选择题）三、 填空题 （本题共计 4 小题 ，每题 5 分 ，共计20分 ）13. 函数在上有最大值，则实数的取值范围是________.14. 已知函数 若存在，使得，则的取值范围是________.y =f (x)()−1f (x)−3f (x)f (x)(−3,1)f (x)x =0f (x)R x >0f (x)=(x −1)e −x x <0f (x)=(x +1)e xf (x)3m ≤e −2f (x)=m x >0∀,∈R x 1x 2|f ()−f ()|<2x 2x 1f(x)＝ln x x ≠x 1x 2f()=f()=m x 1x 2πe =2.71828⋯0<m <1e f(2)<f(3)<x 1x 2e 2a =e 3b =3ec =e πd =πe s =3πt =π3sf (x)=−+a (a >0)13x 3x 2(−1,8−)a 2a f(x)= 1+ln x,x ≥1,,x <1,x +12≠x 1x 2f()+f()=2x 1x 2+x 1x 215. 已知数列中，，，则数列的前项和为________.16. 当直线与曲线的图象相切时，的最小值为________.四、 解答题 （本题共计 6 小题 ，每题 5 分 ，共计30分 ）17. 学校将要举行校园歌手大赛，现有男女参加，需要安排他们的出场顺序．如果个女生都不相邻，那么有多少种不同的出场顺序？如果男女相间，那么有多少种不同的出场顺序？如果女生甲在女生乙的前面(可以不相邻)，那么有多少种不同的出场顺序？如果位男生都相邻，且女生甲不在第一个出场，那么有多少种不同的出场顺序？18. 杨辉三角，是二项式系数在三角形中的一种几何排列．中国南宋数学家杨辉年所著的《详解九章算法》一书中出现了杨辉三角．在欧洲，帕斯卡在年也发现了这一规律，所以这个表又叫做帕斯卡三角形．杨辉三角是中国古代数学的杰出研究成果之一，它把二项式系数图形化，把组合数内在的一些代数性质直观地从图形中体现出来，是一种离散型的数与形的结合．第行 第行 第行 第行 第行 第行 第行 记杨辉三角的前行所有数之和为，求的通项公式；在杨辉三角中是否存在某一行，且该行中三个相邻的数之比为？若存在，试求出是第几行；若不存在，请说明理由.19. 一个盒子中装有只黑球和只白球，现在从中先后有放回地任取只球，设表示“第一次取得黑球”的事件，表示“第二次取得黑球”的事件，试计算与的值，并判断与是否为独立事件．20. 已知函数 ，.当时，求函数的最小值；当时，若对任意都有成立，求实数的取值范围．21. 某工厂生产某种产品，已知该产品的月产量（单位：吨）与产品的价格（单位：元/吨）之间的函数关系为，且生产吨产品的成本为元．问：该厂每月生产多少吨产品才能使利润达到最大？最大利润是多少？22. 已知函数＝．（1）求曲线＝在点（）处的切线方程；{}a n =1a 1=a n+1n +2n a n {}1a n10y =kx +m y =ln x −1m k 33(1)3(2)(3)(4)3126116540111121213133141464151510105161615201561(1)n T n T n (2)3:4:5a b 2A B P(A)P(A |B)A B f (x)=(x +a)ln x g(x)=+x a 2x 2(1)a =0f (x)(2)a ≤0x ≥1f (x)≥g(x)a x p p =24100−15x 2x R =40000+100x ()f(x)(x +a)ln x −(a +1)(x −1)y f(x)1,f(1)（1）求曲线＝在点（）处的切线方程；（2）是否存在实数，使得在具有单调性？若存在，求所有的取值构成的集合；若不存在，请说明理由．y f(x)1,f(1)a f(x)(0,+∞)a参考答案与试题解析2022-2023学年全国高二下数学月考试卷一、 选择题 （本题共计 8 小题 ，每题 5 分 ，共计40分 ）1.【答案】C【考点】导数的几何意义变化的快慢与变化率【解析】先有极限的运算性质变形得，再由导数定义得到结果对比四个选项找出正确答案【解答】解：由题意函数在上可导，∴.故选.2.【答案】A【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程【解析】对函数求导，得到曲线在点处的切线方程为，因为与之间的距离比较小，可以运用“以直代曲”，在切点附近用切线代替曲线进行近似计算即可得解.【解答】解：设，可得，因为，，所以曲线在点处的切线方程为，=lim △x →0f(1+△x)−f(1)3△x 13lim △x →0f(1+△x)−f(1)△x y =f(x)R lim Δx→0f(1+Δx)−f(1)3Δx =13lim Δx→0f(1+Δx)−f(1)Δx =(1)13f ′C y =e x (0,1)y =g(x)=x +1140000f (x)=e x (x)=f ′e x f (0)=1(0)=1f ′y =e x (0,1)y =g(x)=x +11因为与之间的距离比较小，可以运用“以直代曲”，在切点附近用切线代替曲线进行近似计算，所以，故选．3.【答案】B【考点】利用导数研究函数的单调性【解析】此题暂无解析【解答】解：由的导函数图象知：当时，，当时，,所以在处取得极小值，故排除；当时，，当时，,所以在处取得极大值，故排除.故选.4.【答案】A【考点】排列、组合及简单计数问题【解析】根据题意，先把、、三个偶数排好，按的位置不同分种情况讨论，由加法原理计算可得答案．【解答】解：根据题意，先把、、三个偶数排好，有种顺序，140000==f ()e √4000e 1400014000≈g()=1+=1.000251400014000A (x)f ′x ∈(−1，0)(x)<0f ′x ∈(0，1)(x)>0f ′f(x)x =0A ，C x ∈(−3，−1)(x)>0f ′x ∈(−1，0)(x)<0f ′f(x)x =−1D B 02402024=6A 332=48C 2A 2C 1C 1若在最左边，三个偶数之间有种顺序，此时有个符合题意的六位数，若不在最左边，三个偶数之间有种顺序，此时有个符合题意的六位数，则共有个符合题意的六位数．故选．5.【答案】A【考点】二项式定理的应用二项式系数的性质【解析】此题暂无解析【解答】解：∵，，∴，其中，若，则，即，即，∴.故选.6.【答案】C【考点】数列的求和数列递推式【解析】由已知得，求出后，利用当时，，即可求得通项，最后利用裂项法，即可求和．【解答】解：由已知得，∴，当时，，验证知当时也成立，∴，022=48C 23A 22C 12C 12044=144C 23A 22A 2348+144=192A (x +a =+(1−x)+(1−x +⋯+(1−x )15a 0a 1a 2)2a 15)15(x +a =−(−x −a =−[−(a +1)+(1−x))15)15]15−[−(a +1)+(1−x)=+(1−x)+(1−x +⋯+(1−x ]15a 0a 1a 2)2a 15)15a >0=−945a 13=−945=−[−(a +1)a 13C 1315]2−945=−105⋅(a +1)2(a +1=9)2a =2A ++...+=n(2n +1)=a 1a 2a n S n S n n ≥2=−a n S n S n−1a n =n ++…+a 1a 2a n 12n +1++...+=n(2n +1)=a 1a 2a n S n n ≥2=−=4n −1a n S n S n−1n =1=4n −1a n =n+1∴，∴，∴．故选．7.【答案】B【考点】椭圆的定义和性质椭圆的离心率【解析】利用角平分线以及椭圆的定义求出四边形为梯形，求得离心率．【解答】解：关于角平分线的对称点，则点在线段的延长线上，连接交于点，连接，则，所以为的中点，由可知，又，分别为，的中点，所以，所以，所以四边形为等腰梯形，所以，得，所以椭圆的离心率为．==n b n +1a n 4=−1⋅b n b n+11n 1n +1++…+1b 1b 21b 2b 31b 10b 11=(1−)+(−)+(−)+...+(−)1212131314110111=1−111=1011C F 1PM A A PF 2A F 1PM B OB |P |=|PA|=2|P |F 1F 2F 2PA |P |+|P |=2a F 1F 2|P |=|A |=a F 2F 223O B F 1F 2A F 1OB//AF 2∠OBP =∠APB =∠BPQ OBPQ OB =PQ =c 2|A |=c =a F 22323故选．8.【答案】D【考点】直线与圆的位置关系【解析】圆化成标准方程，得圆心为且半径，根据题意可得到直线的距离小于或等于，利用点到直线的距离公式建立关于的不等式，解之得，即可得到的最大值．【解答】解：由题意，圆的方程为，整理，得，则圆心为，半径．又直线上至少存在一点，使以该点为圆心，为半径的圆与圆有公共点，所以点到直线的距离小于或等于，即，化简，得，解得，故的最大值是．故选．二、 多选题 （本题共计 4 小题 ，每题 5 分 ，共计20分 ）9.【答案】B,C,D【考点】导数的运算函数新定义问题【解析】由题意，根据新定义对应各个选项逐个判断即可．【解答】B C C(4,0)r =1C y =kx −22k 0≤k ≤43k C +−8x +15=0x 2y 2(x −4+=1)2y 2C(4,0)r =1y =kx −21C C y =kx −22≤2|4k −0−2|+1k 2−−−−−√3−4k ≤0k 20≤k ≤43k 43D解：选项，因为，，则方程只有一个实数解，即不存在有两个及两个以上对称中心的三次函数，故错误；选项，因为，，方程只有一个实数解，此时，则函数的对称中心为，故正确；选项，设三次函数为，则，，可知方程的解只有，此时 ，所以函数的对称中心为，故正确；选项，因为，，则方程只有一个实数解为，此时，所以函数的对称中心为，则，所以，故正确.故选.10.【答案】B,C【考点】利用导数研究函数的极值利用导数研究函数的单调性【解析】【解答】解：∵由函数的导函数的图象可知，当时，，当时，,∴函数在上单调递减，在上单调递增，∴是函数的极小值点，函数在区间上单调递增，故选项错误，选项，正确；∵函数在处的导数大于零，∴函数在处切线的斜率大于零，故选项错误.故选.11.【答案】A,B,DA (x)=3a +2bx +c (a ≠0)f ′x 2(x)=6ax +2b f ′′(x)=0f ′′AB (x)=3−6x −3f ′x 2(x)=6x −6f ′′(x)=0f ′′=1x 0f ()=0x 0f (x)(1,0)BC h (x)=x 3(x)=3h ′x 2(x)=6x h ′′(x)=0h ′′=0x 0h ()=0x 0h (x)(0,0)CD (x)=−x g ′x 2(x)=2x −1g ′′(x)=0g ′′=x 012g()=−x 012g(x)(,−)1212g(x)+g(1−x)=−1g()+g()+⋯+1202122021g()20202021=[g()+12021g()]+[g()+g()]+⋯+202020212202120192021[g()+g()]1010202110112021=1010×(−1)=−1010D BCD y =f (x)x <−3(x)<0f ′x >−3(x)≥0f ′f(x)(−∞,−3)(−3,+∞)−3f (x)f (x)(−3,1)A B C y =f(x)x =0y =f(x)x =0D BC【考点】函数奇偶性的性质利用导数研究与函数零点有关的问题利用导数研究函数的单调性利用导数研究函数的极值【解析】无【解答】解：对于，函数为定义在上的奇函数，当时， ，，正确；对于，当时，，解得，当时，，解得，又，所以有和三个零点，正确；对于，当时，，，当时，，递减，当时，，递增，所以时，，时， ，，，由是奇函数，所以时， ，又，∴的值域是，若时，方程在时无解，错误；对于，由可知，，因此对任意的实数，，有，，，即，正确．故选．12.【答案】A,B,D【考点】利用导数研究函数的单调性A f (x)R x <0−x >0f (x)=−f (−x)=−(−x −1)=(x +1)e x e x AB x >0f (x)=(x −1)=0e −x x =1x <0f (x)=(x +1)=0e x x =−1f (0)=0f (x)±10BC x <0f (x)=(x +1)e x (x)=(x +2)f ′e x x <−2(x)<0f ′f (x)−2<x <0(x)>0f ′f (x)x =−2f =f (−2)=−=−(x)极小值e −21e 2x →0+f (x)→−1x →0−f (x)→1f (x)x =2f =f (2)=(x)极大值1e 2f (0)=0f (x)(−1,1)m ≤−1f (x)=m x >0C D C −1<f (x)<1x 1x 2−1<f ()<1x 1−1<f ()<1x 2∴−2<f ()−f ()<2x 1x 2|f ()−f ()|<2x 1x 2D ABD作出的大致图象，结合图象可判断选项；由，可得，由此判断选项；若，则，构造函数，可知矛盾，由此可判断选项；这六个数的最大数在与中取，而，由此判断选项．【解答】解：，当时，，当时，，∴函数在上单调递增，在上单调递减，当时，，当时，，，作出函数的大致图象如图所示，，由于，即有且仅有两个交点，由图象可知，，故选项正确；，易知，即，即，即，故选项正确；，由图象不妨设，故等价于，又，，故等价为，即，设，，则，∴在上单调递增，故，即矛盾，故选项错误；，由于，由指数函数和幂函数的性质可知，，，，，故这六个数的最大数在与中取，由及的单调性可知，，即，即，故，综上，这六个数中最大数是，故选项正确．故选.三、 填空题 （本题共计 4 小题 ，每题 5 分 ，共计20分 ）13.【答案】f(x)A ln 8<ln 9<ln 22ln 33B <x 1x 2e 2f()>f()x 1e 2x 1g(x)＝f(x)−f()，1<x <e e 2x f()<f()x 1e 2x 1C 3ππ3<π33πD (x)＝(x >0)f ′1−ln xx 2(x)>0f ′0<x <e (x)<0f ′x >e f(x)(0,e)(e,+∞)x →0f(x)→−∞x →+∞f(x)→0f(e)＝1e f(x)A f()=f()=m x 1x 2f(x)=m 0<m <1e B ln 8<ln 93ln 2<2ln 3<ln 22ln 33f(2)<f(3)C 1<<e <x 1x 2<x 1x 2e 2<x 2e 2x 1x 2∈(e,+∞)e 2x 1f()>f()x 2e 2x 1f()>f()x 1e 2x 1g(x)＝f(x)−f()e 2x 1<x <e (x)＝(x)+()g ′f ′e 2x 2f ′e 2x ＝+1−ln x x 2ln x −1e 2=(1−ln x)(−)>01x 21e 2g(x)(1,e)g(x)<g(e)=0f()<f()x 1e 2x 1D e <3<π>e πe 3>3π3e >ππ3>3πe π3ππ3e <3<πf(x)f(π)<f(3)<ln ππln 33ln <ln π33π<π33πs ABD [1,2)【考点】利用导数研究函数的最值【解析】此题暂无解析【解答】解：由于，易知函数在上单调递减，在上单调递增，在上单调递减，故函数在上有最大值的条件为解得，即实数的取值范围是.故答案为：.14.【答案】【考点】利用导数研究函数的最值利用导数研究函数的单调性利用导数研究函数的极值【解析】此题暂无解析【解答】解：当时，，当时，.由，且，可得，其中一个大于，一个小于，所以不妨令，，即，所以，所以.令，，则.令，解得，(x)=−+2ax =x(2a −x)f ′x 2f(x)(−∞,0)[0,2a][2a,+∞)f(x)(−1,8−)a 2 8−>2a,a 2f(2a)≥f(−1),−1<8−,a 21≤a <2a [1,2)[1,2)[3−2ln 2,+∞)x ≥1f(x)=1+ln x ≥1x <1f(x)=<1x +12f()+f()=2x 1x 2≠x 1x 2x 1x 211<1x 1>1x 2+1+ln =2+1x 12x 2=−2ln +1x 1x 2+=−2ln ++1x 1x 2x 2x 2h(x)=−2ln x +x +1x >1(x)=−+1h ′2x (x)=0h ′x =2′′所以函数在区间上单调递减，在区间上单调递增，所以当时，函数取得极小值，极小值唯一，所以极小值也是最小值为，所以，所以的取值范围是.故答案为：.15.【答案】【考点】数列的求和数列递推式【解析】此题暂无解析【解答】解：因为，所以，故.因为，所以．而，所以．故答案为：．16.【答案】【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程利用导数研究函数的最值h(x)(1,2)(2,+∞)x =2h(x)h(x =h(2)=3−2ln 2)min +≥3−2ln 2x1x 2+x 1x 2[3−2ln 2,+∞)[3−2ln 2,+∞)2011=a n+1n +2n a n =a n n +1n −1a n−1=××××⋯⋅××a n n +1n −1n n −2n −1n −3n −2n −44231a 1=1a 1=a n n (n +1)2==2(−)1a n 2n (n +1)1n 1n+1+++⋯+1a 11a 21a 31a 10=2(1−)+2(−)+⋯+2(−)121213110111=2(1−)=11120112011−e设切点为，再求出切线方程，进而得出，令，利用导数求得的最小值即可得结论．【解答】解：设切点为，由题意，得函数的导数，所以切线斜率为，则切线方程为，即，所以，，所以，令，，令，解得，令，解得，所以在上单调递减；在上单调递增，所以在处取得极小值，也是最小值，即最小值，所以的最小值为．故答案为：．四、 解答题 （本题共计 6 小题 ，每题 5 分 ，共计30分 ）17.【答案】解：先排个男生，总共有种可能；再在产生的四个空中，选出个，将女生进行排列，有种可能，故所有不同出场顺序有： (种).第一步，先排个男生，总共有种可能；第二步，去除男生左端的位置，插空全排有种可能，去除男生右端的位置，插空全排有种可能，故此时有种可能，故所有不同出场顺序有： (种).先计算全部的排列可能有种可能，因为每一次全排列，甲乙都有种可能，故甲和乙定序的排列有(种).将个男生进行捆绑后，总共有个元素进行排列，先从女生甲以外的个元素中选取个第一个出场，再对剩余个元素进行全排列，同时对个男生也要进行全排列，故所有的可能有(种).(,ln −1)x 0x 0=ln −2m k x 0x 0x 0g(x)=x ln x −2x g(x)(,ln −1)x 0x 0y =ln x −1=y ′1x1x 0y −(ln −1)=(x −)x 01x 0x 0y =x +ln −21x 0x 0=k 1x 0ln −2=m x 0=(ln −2)=ln −2m k x 0x 0x 0x 0x 0g(x)=x ln x −2x (x)=ln x −1g ′(x)<0g ′0<x <e (x)>0g ′x >e g(x)(0,e)(e,+∞)g(x)x =e g(e)=−e m k −e −e (1)3A 333A 34=144A 33A 34(2)3A 33A 33A 332A 332=72A 33A 33(3)A 66A 22=360A 66A 22(4)343133=108A 33C 13A 33排列、组合的应用排列、组合及简单计数问题【解析】先排男生，再插空即可；首先排男生，再插空排列即可；先全排，再除序即可；将个男生进行捆绑后，总共有个元素进行排列，先从甲女生以外的个元素中选取个第一个出场，再对剩余个元素进行全排列，同时对个男生也要进行全排列.【解答】解：先排个男生，总共有种可能；再在产生的四个空中，选出个，将女生进行排列，有种可能，故所有不同出场顺序有： (种).第一步，先排个男生，总共有种可能；第二步，去除男生左端的位置，插空全排有种可能，去除男生右端的位置，插空全排有种可能，故此时有种可能，故所有不同出场顺序有： (种).先计算全部的排列可能有种可能，因为每一次全排列，甲乙都有种可能，故甲和乙定序的排列有(种).将个男生进行捆绑后，总共有个元素进行排列，先从女生甲以外的个元素中选取个第一个出场，再对剩余个元素进行全排列，同时对个男生也要进行全排列，故所有的可能有(种).18.【答案】解：由二项式定理的性质，杨辉三角第行的个数的和为：，∴．杨辉三角形的第行由二项式系数，，，，…，组成．如果第行中有，，那么 ，，解这个联立方程组，得，．即第行有三个相邻的数，，的比为．【考点】二项式系数的性质二项式定理的应用(1)(2)(3)(4)343133(1)3A 333A 34=144A 33A 34(2)3A 33A 33A 332A 332=72A 33A 33(3)A 66A 22=360A 66A 22(4)343133=108A 33C 13A 33(1)n −1n =++⋯+=S n C 0n−1C 1n−1C n−1n−12n−1=++⋯+=1+2++⋯+=−1T n S 1S 2S n 222n−12n (2)n C k n k =012n n ==C k−1nC k n k n −k +134==C 4n C k+1n k +1n −k 453n −7k =−34n −9k =5k =27n =6262C 2662C 2762C 28623:4:5此题暂无解析【解答】解：由二项式定理的性质，杨辉三角第行的个数的和为：，∴．杨辉三角形的第行由二项式系数，，，，…，组成．如果第行中有，，那么 ，，解这个联立方程组，得，．即第行有三个相邻的数，，的比为．19.【答案】由题意可知，，，所以，所以与是独立事件．【考点】互斥事件与对立事件条件概率与独立事件【解析】根据事件相互独立的定义即可得到答案【解答】由题意可知，，，所以，所以与是独立事件．20.【答案】解：由函数，可得的定义域为，当时， 的导数，令，解得；令，解得，所以函数在单调递减，在单调递增，(1)n −1n =++⋯+=S n C 0n−1C 1n−1C n−1n−12n−1=++⋯+=1+2++⋯+=−1T n S 1S 2S n 222n−12n (2)n C k n k =012n n ==C k−1nC k n k n −k +134==C 4n C k+1n k +1n −k 453n −7k =−34n −9k =5k =27n =6262C 2662C 2762C 28623:4:5P(A)=a a +b P(B)=a a +b P(AB)=⋅a a +b a a +b P(A |B)==P(AB)P(B)a a +b A B P(A)=a a +b P(B)=a a +b P(AB)=⋅a a +b a a +b P(A |B)==P(AB)P(B)a a +b A B (1)f (x)=(x +a)ln x f (x)(0,+∞)a =0f (x)(x)=1+ln x f ′(x)>0f ′x >1e (x)<0f ′0<x <1e f (x)(0,)1e (,+∞)1e所以当时， 取得最小值．令，，因为对于任意都有，只须在）上恒成立.又由，且，记，则，由已知，所以对于任意，都有恒成立.又因为，所以在）上单调递增，所以，由，解得，所以当时，对任意都有成立．【考点】利用导数研究函数的最值利用导数研究不等式恒成立问题【解析】本题主要考查导数在函数中的综合应用，以及恒成立问题的求解，着重考查了转化与化归思想、逻辑推理能力与计算能力，对于恒成立问题，通常要构造新函数，利用导数研究函数的单调性，求出最值，从而求出参数的取值范围；也可分离变量，构造新函数，直接把问题转化为函数的最值问题．【解答】解：由函数，可得的定义域为，当时， 的导数，令，解得；令，解得，所以函数在单调递减，在单调递增，所以当时， 取得最小值．令，，因为对于任意都有，只须在）上恒成立.又由，且，记，则，由已知，所以对于任意，都有恒成立.x =1e f (x)−1e (2)F (x)=f (x)−g(x)=(x +a)ln x −−x a 2x 2(x ≥1)x ≥1f (x)≥g(x)F (x)≥0[1,+∞(x)=ln x +−ax F ′a x (1)=0F ′G (x)=(x)=ln x +−ax,(x ≥1)F ′a x (x)=−−a G ′1x a x 2a ≤0x ≥1(x)=−−a >0G ′1x a x 2G (1)=(1)=0F ′F (x)[1,+∞(x)=F (1)=−−1F min a 2−−1≥0a 2a ≤−2a ≤−2x ≥1f (x)≥g(x)(1)f (x)=(x +a)ln x f (x)(0,+∞)a =0f (x)(x)=1+ln x f ′(x)>0f ′x >1e (x)<0f ′0<x <1e f (x)(0,)1e (,+∞)1e x =1e f (x)−1e (2)F (x)=f (x)−g(x)=(x +a)ln x −−x a 2x 2(x ≥1)x ≥1f (x)≥g(x)F (x)≥0[1,+∞(x)=ln x +−ax F ′a x (1)=0F ′G (x)=(x)=ln x +−ax,(x ≥1)F ′a x (x)=−−a G ′1x a x 2a ≤0x ≥1(x)=−−a >0G ′1x a x 2所以在）上单调递增，所以，由，解得，所以当时，对任意都有成立．21.【答案】解：设生产吨产品，利润为元，则,，由，得，∵时，，当时，，∴当时，（元）,答：该厂每月生产顿产品才能使利润达到最大，最大利润为元.【考点】利用导数研究函数的最值函数模型的选择与应用【解析】将实际问题转化成数学最值问题，利用导数求最值【解答】解：设生产吨产品，利润为元，则,，由，得，∵时，，当时，，∴当时，（元）,答：该厂每月生产顿产品才能使利润达到最大，最大利润为元.22.【答案】＝，因为＝，＝，所以曲线＝在点（）处的切线方程为＝．若在具有单调性，则或恒成立，①若，则在上单调递增，因为＝，F (x)[1,+∞(x)=F (1)=−−1F min a 2−−1≥0a 2a ≤−2a ≤−2x ≥1f (x)≥g(x)x y y =px −R =(24100−)x −(40000+100x)15x 2=−+24000x −40000(0<x <10)15x 31205−−−−√y'=−+2400035x 2y =0′x =2000<x <200y >0′200<x <101205−−−−√y <0′x =200=3160000y max 2003160000x y y =px −R =(24100−)x −(40000+100x)15x 2=−+24000x −40000(0<x <10)15x 31205−−−−√y'=−+2400035x 2y =0′x =2000<x <200y >0′200<x <101205−−−−√y <0′x =200=3160000y max 2003160000f'(x)ln x+−a f'(1)0f(1)0y f(x)1,f(1)y 0f(x)(0,+∞)f'(x)≥0f'(x)≤0a ≤0f'(x)(0,+∞)f'(1)0x ∈(0,1)f'(x)<0f(x)所以当时，，即单调递减，当时，，单调递增，故不具有单调性；②若，则令＝＝，则＝-＝，所以当时，，即单调递减，当时，，即单调递增，所以＝，若恒成立，则，即＝，综上，构成的集合为．【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程利用导数研究函数的单调性【解析】（1）求出，，利用导数的几何意义即可求得切线方程；（2）若在具有单调性，则或恒成立，分，两种情况讨论，即可求得满足条件的的取值集合．【解答】＝，因为＝，＝，所以曲线＝在点（）处的切线方程为＝．若在具有单调性，则或恒成立，①若，则在上单调递增，因为＝，所以当时，，即单调递减，当时，，单调递增，故不具有单调性；②若，则令＝＝，则＝-＝，所以当时，，即单调递减，当时，，即单调递增，所以＝，若恒成立，则，即＝，综上，构成的集合为．x ∈(0,1)f'(x)<0f(x)x ∈(1,+∞)f'(x)>0f(x)f(x)a >0g(x)f'(x)ln x+−a g'(x)x ∈(0,a)g'(x)<0g(x)x ∈(a,+∞)g'(x)>0g(x)g(x)min g(a)g(x)≥0g(a)≥g(1)a 1a {1}f'(1)f(1)f(x)(0,+∞)f'(x)≥0f'(x)≤0a ≤0a >0a f'(x)ln x+−a f'(1)0f(1)0y f(x)1,f(1)y 0f(x)(0,+∞)f'(x)≥0f'(x)≤0a ≤0f'(x)(0,+∞)f'(1)0x ∈(0,1)f'(x)<0f(x)x ∈(1,+∞)f'(x)>0f(x)f(x)a >0g(x)f'(x)ln x+−a g'(x)x ∈(0,a)g'(x)<0g(x)x ∈(a,+∞)g'(x)>0g(x)g(x)min g(a)g(x)≥0g(a)≥g(1)a 1a {1}。
高二数学月考卷1
高二数学月考卷1一、选择题（每题1分，共5分）1. 函数f(x) = (x² 1)/(x 1)的定义域是（）A. RB. {x | x ≠ 1}C. {x | x ≠ 0}D. {x | x ≠ 1}2. 若向量a = (2, 3)，向量b = (1, 2)，则2a 3b = （）A. (8, 1)B. (8, 1)C. (8, 1)D. (8, 1)3. 二项式展开式(x + y)⁵中x²y³的系数是（）A. 5B. 10C. 20D. 304. 已知等差数列{an}中，a1 = 3，a3 = 9，则公差d为（）A. 2B. 3C. 4D. 65. 若复数z满足|z 1| = |z + 1|，则z在复平面上的对应点位于（）A. 实轴上B. 虚轴上C. y = x上D. y = x上二、判断题（每题1分，共5分）1. 任何两个实数的和都是实数。
（）2. 若矩阵A的行列式为0，则A不可逆。
（）3. 两条平行线上的任意一对对应线段比例相等。
（）4. 双曲线的渐近线一定经过原点。
（）5. 若函数f(x)在区间[a, b]上单调递增，则f'(x) > 0。
（）三、填空题（每题1分，共5分）1. 若log₂x = 3，则x = ______。
2. 若等差数列{an}中，a4 = 8，a7 = 19，则a10 = ______。
3. 圆的标准方程(x h)² + (y k)² = r²中，(h, k)表示圆的______。
4. 若sinθ = 1/2，且θ是第二象限的角，则cosθ = ______。
5. 矩阵A = [[1, 2], [3, 4]]的行列式|A| = ______。
四、简答题（每题2分，共10分）1. 简述矩阵乘法的定义。
2. 请解释什么是反函数。
3. 简述等差数列的通项公式。
4. 请说明直线的斜率的意义。
5. 简述三角函数的周期性。
2022-2023学年高二下学期第二次月考数学试题(解析版)
2024届高二年级下学期第二次月考数学试卷一、单选题（共40分）1. 已知复数满足，（ ）z ()()31i 1i z --=+z=A.B.C.D.【答案】D 【解析】【分析】先求出复数的代数形式，再求模即可. z 【详解】由得()()31i 1i z --=+，()()()()1i 1i 1i333i 1i 1i 1i z +++=+=+=+--+.z ∴==故选：D.2. 某地政府调查育龄妇女生育意愿与家庭年收入高低的关系时，随机调查了当地3000名育龄妇女，用独立性检验的方法处理数据，并计算得，则根据这一数据以及临界值表，判断育龄妇女生育意27.326χ=愿与家庭年收入高低有关系的可信度（ ）参考数据如下：，()()()22210.8280.001,7.8790.005, 6.6350.01P P P χχχ≥≈≥≈≥≈.()()223.8410.05, 2.7060.1P P χχ≥≈≥≈A. 低于 B. 低于 C. 高于 D. 高于1%0.5%99%99.5%【答案】C 【解析】【分析】根据临界值表求得正确答案.【详解】由于，()27.326 6.635,7.879χ=∈而，()()227.8790.005, 6.6350.01P P χχ≥≈≥≈所以可信度高于. 99%故选：C3. 已知向量满足，且，则在上的投影向量为（ ）,a b 10a b ⋅= ()3,4b =- a b A. B.C.D. ()6,8-()6,8-68,55⎛⎫- ⎪⎝⎭68,55⎛⎫-⎪⎝⎭【答案】C 【解析】【分析】向量在向量上的投影向量的定义计算即可.a b【详解】解：因为向量，且，那么，()3,4b =- 10a b ⋅=5b == 所以向量在向量上的投影向量为， a b ()3468cos ,555b a b a a b b b-⋅⎛⎫⋅=⋅=- ⎪⎝⎭ ，，故选：C.4. 已知等比数列的前n 项和为，若，则（ ）{}n a n S 153n n S t -=⨯+t =A. B. 5C.D.5-53-53【答案】C 【解析】【分析】根据条件得到，，，从而求出，，，再由数列是等比数列得到，1S 2S 3S 1a 2a 3a {}n a 3212a a a a =即可得到.t 【详解】由题意得：，，， 115S a t ==+21215S a a t =+=+312345S a a a t =++=+即，，， 15a t =+210a =330a =因为数列是等比数列，所以， {}n a 3212a a a a =即，解得：，1030510t =+53t =-故选：C .5. 如图，八面体的每一个面都是正三角形，并且四个顶点在同一平面内，下列结论：①,,,A B C D AE平面；②平面平面；③；④平面平面，正确命题的个数//CDF ABE //CDF AB AD ⊥ACE ⊥BDF 为（ ）A. 1B. 2C. 3D. 4【答案】D 【解析】【分析】根据题意，以正八面体的中心为原点，分别为轴，建立如图所示空间直O ,,OB OC OE ,,x y z 角坐标系，由空间向量的坐标运算以及法向量，对选项逐一判断，即可得到结果.【详解】以正八面体的中心为原点，分别为轴，建立如图所示空间直角坐标系， O ,,OB OC OE ,,x y z 设正八面体的边长为,则2()(()()(0,,,,,0,0,A E C D F 所以，,(()(,,0,AE CD CF ===设面的法向量为，则，解得，取，即CDF (),,n x y z =CD n CF n ⎧⋅==⎪⎨⋅==⎪⎩x z x y =⎧⎨=-⎩1x =()1,1,1n =-又，所以，面，即面，①正确；0AE n ⋅== AE n ⊥AE ⊄CDF AE //CDF 因为，所以，AE CF =- AE //CF 又，面，面，则面，//AB CD AB ⊄CDF CD ⊂CDF //AB CDF 由，平面，所以平面平面，②正确； AB AE A = ,AE AB ⊂ABE AEB //CDF 因为，则，所以，③正确；))(),,BAB AD ==0AB AD ⋅=u u u r u u u rAB AD ⊥易知平面的一个法向量为，平面的一个法向量为，ACE ()11,0,0n =u r BDF ()20,1,0n =u u r因为，所以平面平面，④正确；120n n ⋅=ACE ⊥BDF 故选：D6. 如图，在正三角形的12个点中任取三个点构成三角形，能构成三角形的数量为（ ）A. 220B. 200C. 190D. 170【答案】C 【解析】【分析】利用间接法，用总数减去不能构成三角形的情况即可.【详解】任取三个点有种，其中三点共线的有种，故能构成三角形个， 312C 353C 33125C 3C 190-=故选：C .7. 已知，分别是双曲线的左、右焦点，过的直线分别交双曲线左、1F 2F ()2222:10,0x y a b a bΓ-=>>1F 右两支于A ，B 两点，点C 在x 轴上，，平分，则双曲线的离心率为（ ）23CB F A =2BF 1F BC ∠ΓA.B.C.D.【答案】A 【解析】【分析】根据可知，再根据角平分线定理得到的关系，再根据双曲线定23CB F A =2//CB F A 1,BF BC 义分别把图中所有线段用表示出来，根据边的关系利用余弦定理即可解出离心率.,,a b c 【详解】因为，所以∽，23CB F A =12F AF 1F BC △设，则，设，则，． 122FF c =24F C c =1AF t =13BF t =2AB t =因为平分，由角平分线定理可知，， 2BF 1F BC ∠11222142BF F F c BC F C c ===所以，所以， 126BC BF t ==2123AF BC t ==由双曲线定义知，即，，① 212AF AF a -=22t t a -=2t a =又由得，122B F B F a -=2322BF t a t =-=所以，即是等边三角形， 222BF AB AF t ===2ABF △所以．2260F BC ABF ∠=∠=︒在中，由余弦定理知，12F BF 22212121212cos 2BF BF F F F BF BF BF +-∠=⋅⋅即，化简得， 22214942223t t ct t+-=⋅⋅2274t c =把①代入上式得． ce a==故选：A ．8. 高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一；享有“数学王子“的称号.用他名字定义的函数称为高斯函数，其中表示不超过x 的最大整数，已知数列满足，，()[]f x x =[]x {}n a 12a =26a =，若，为数列的前n 项和，则（ ）2156n n n a a a +++=[]51log n n b a +=n S 11000n n b b +⎧⎫⎨⎬⋅⎩⎭[]2023S =A. 999 B. 749 C. 499 D. 249【答案】A 【解析】【分析】根据递推关系可得为等比数列，进而可得，由累加法可求解{}1n n a a +-1145n n n a a -+=⨯-，进而根据对数的运算性质可得，根据裂项求和即可求解.151n n a +=+[]51log n n b a n +==【详解】由得，因此数列为公比为5，2156n n n a a a +++=()2115n n n n a a a a +++-=-{}1n n a a +-首项为的等比数列，故，进而根据累加法214a a -=1145n n n a a -+=⨯-得，()()()()1111112024555251n n n n n n n n a a a a a a a a ++---=+++=++-+-++=+- 由于，又，()515log log 51nn a +=+()()()5555log 5log 51log 55log 511nnnnn n <+<⨯⇒<+<+因此，则，故[]51log n n b a n +==()11000100011100011n n n c b b n n n n +⎛⎫===- ⎪⋅⋅++⎝⎭，12110001n n S c c c n ⎛⎫=+++=- ⎪⎝⎭所以， []20231100010001100099920232023S ⎡⎤⎛⎫⎡⎤=-=-= ⎪⎢⎥⎢⎥⎝⎭⎣⎦⎣⎦故选：A【点睛】方法点睛：常见的数列求和的方法有公式法即等差等比数列求和公式，分组求和类似于，其中和分别为特殊数列，裂项相消法类似于，错位相减法类似于n n n c a b =+{}n a {}n b ()11n a n n =+，其中为等差数列，为等比数列等. n n n c a b =⋅{}n a {}n b 二、多选题（共20分）9. 已知方程表示椭圆，下列说法正确的是（ ）221124x y m m +=--A. m 的取值范围为 B. 若该椭圆的焦点在y 轴上，则 ()4,12()8,12m∈C. 若，则该椭圆的焦距为4 D. 若，则该椭圆经过点6m =10m =(【答案】BC 【解析】【分析】根据椭圆的标准方程和几何性质依次判断选项即可.【详解】A ：因为方程表示椭圆，221124x y m m +=--所以，解得，且，故A 错误；12040124m m m m ->⎧⎪->⎨⎪-≠-⎩412m <<8m ≠B ：因为椭圆的焦点在y 轴上，221124x y m m +=--所以，解得，故B 正确；4120m m ->->812m <<C ：若，则椭圆方程为，6m =22162x y +=所以，从而，故C 正确；222624c a b =-=-=24c =D ：若，则椭圆方程为，10m =22126x y +=点的坐标不满足方程，即该椭圆不经过点，故D错误. ((故选：BC.10. 设等差数列的前项和为，，公差为，，，则下列结论正确的是{}n a n n S 10a >d 890a a +>90a <（ ） A.0d <B. 当时，取得最大值 8n =n S C.45180a a a ++<D. 使得成立的最大自然数是15 0n S >n 【答案】ABC 【解析】【分析】根据已知可判断，，然后可判断AB ；利用通项公式将转化为可判80a >90a <4518a a a ++9a 断C ；利用下标和性质表示出可判断D.1617,S S 【详解】解：因为等差数列中，，， {}n a 890a a +>90a <所以，，，A 正确； 80a >90a <980d a a =-<当时，取得最大值，B 正确；8n =n S ，C 正确； ()45181193243830a a a a d a d a ++=+=+=<，，()()1611689880S a a a a =+=+>11717917()1702a a S a +==<故成立的最大自然数，D 错误． 0n S >16n =故选：ABC ．11. 已知的展开式中第3项与第7项的二项式系数相等，则（ ） ()1nx +A.8n =B. 的展开式中项的系数为56 ()1nx +2x C. 奇数项的二项式系数和为128 D. 的展开式中项的系数为56()21nx y +-2xy 【答案】AC 【解析】【分析】利用二项式定理求得的展开通项公式，从而得到关于的方程，解出的值判断AB ，()1nx +n n 利用所有奇数项的二项式系数和为判断C ，根据二项式定理判断D.12n -【详解】因为的展开式通项为，()1nx +1C C k k k kr n n T x x +==所以的展开式的第项的二项式系数为，()1nx +1k +C kn 所以，解得，A 正确； 26C C n n =8n =的系数为，B 错误；2x 28C 28=奇数项的二项式系数和为，C 正确； 1722128n -==根据二项式定理，表示8个相乘，()821x y +-()21x y+-所以中有1个选择，1个选择，6个选择，()21x y+-x 2y-1所以的展开式中项的系数为，D 错误；()21nx y +-2xy ()71187C C 156-=-故选：AC12. 已知小李每天在上班路上都要经过甲、乙两个路口，且他在甲、乙两个路口遇到红灯的概率分别为13，p .记小李在星期一到星期五这5天每天上班路上在甲路口遇到红灯个数之和为，在甲、乙这两个路X 口遇到红灯个数之和为，则（ ） Y A. ()54243P X ==B. ()109D X =C. 当时，小李星期一到星期五上班路上恰有3天至少遇到一次红灯的概率为25p =216625D. 当时， 25p =()443E Y =【答案】BC 【解析】【分析】对于AB ，确定，即可求出和，对于C ，表示一天至少遇到红灯15,3X B ⎛⎫ ⎪⎝⎭()4P X =()D X 的概率为，可求出星期一到星期五上班路上恰有3天至少遇到一次红灯的概率的表达式，再将1233p +代入即可求得结果，对于D ，记为周一到周五这五天在乙路口遇到红灯的个数，则25p =ξ()5,B p ξ~，，即可求出.Y X ξ=+()E Y 【详解】对于AB ，小李在星期一到星期五这5天每天上班路上在甲路口遇到红灯个数之和为，且他X 在甲路口遇到红灯的概率为， 13则，15,3X B ⎛⎫ ⎪⎝⎭所以，， ()44511104C 133243P X ⎛⎫⎛⎫==-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭()111051339D X ⎛⎫=⨯⨯-= ⎪⎝⎭所以A 错误，B 正确，对于C ，由题意可知一天至少遇到一次红灯的概率为， ()112111333p p ⎛⎫---=+ ⎪⎝⎭则小李星期一到星期五上班路上恰有3天至少遇到一次红灯的概率为， 32351212C 13333p p ⎛⎫⎛⎫+--⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭当时，， 25p =323233551212122122216C 1C 13333335335625p p ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+--=+⨯--⨯= ⎪ ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭所以C 正确，对于D ，记为周一到周五这五天在乙路口遇到红灯的个数，则，， ξ()5,B p ξ~Y X ξ=+所以， ()()()()1553E Y E X E X E p ξξ=+=+=⨯+当时，，所以D 错误， 25p =()121155353E Y =⨯+⨯=故选：BC三、填空题（共20分）13. 圆心在直线上，且与直线相切于点的圆的方程为______. 2x =-20x +-=(-【答案】 ()2224x y ++=【解析】【分析】设圆心为，记点为，由已知直线与直线垂直，由此可()2,C t -(-A AC 20x -=求，再求可得圆的半径，由此可得圆的方程. t AC【详解】记圆心为点，点为点，C (-A 因为圆心在直线上，故可设圆心的坐标为， C 2x =-C ()2,t -因为圆与直线相切于点， C 20x -=(A -所以直线与直线垂直， CA 20x +-=直线的斜率为 CA 20x +-=， 1⎛=- ⎝所以，0=t 所以圆心为， ()2,0C -圆的半径为，2CA r ===所以圆的方程为. ()2224x y ++=故答案为：.()2224x y ++=14. 已知随机变量,且，若,则的最小()21N ξσ ，()()0P P a ξξ≤=≥()00x y a x y +=>>，12x y+值为_________．【答案】 32+【解析】【分析】先根据正态曲线的对称性可求，结合基本不等式可求答案. 2a =【详解】，可得正态分布曲线的对称轴为，()21,N ξσ1x =又，，即． ()()0P P a ξξ≤=≥12a∴=2a =则()(121121213332222y x x y x y x y x y ⎛⎫⎛⎫+=++=++≥+=+⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭当且仅当，即时，等号成立.y=2,4x y ==-故答案为：. 32+15. 已知数列是等差数列，并且，，若将，，，去掉一项后，剩{}n a 1476a a a ++=60a =2a 3a 4a 5a 下三项依次为等比数列的前三项，则为__________． {}n b 4b 【答案】## 120.5【解析】【分析】先求得，进而求得，，，，根据等比数列的知识求得. n a 2a 3a 4a 5a 4b 【详解】设等差数列的公差为，{}n a d 依题意，则，147660a a a a ++=⎧⎨=⎩1139650a d a d +=⎧⎨+=⎩解得，所以，151a d =⎧⎨=-⎩6n a n =-+所以， 23454,3,2,1a a a a ====通过观察可知，去掉后，3a 成等比数列，2454,2,1a a a ===所以等比数列的首项为，公比为，{}n b 412所以.3411422b ⎛⎫=⨯= ⎪⎝⎭故答案为：1216. 设奇函数在上为单调递减函数，且，则不等式的解集()f x (0,)+∞()20f =3()2()05f x f x x--≤为___________【答案】 [)(]2,00,2-U 【解析】【分析】分析函数的奇偶性、单调性和取值范围，即可得到不等式的解集. 【详解】由题意，，x ∈R 在中，为奇函数且在上单调递减，()y f x =()f x ()0,∞+()20f =∴，，函数在和上单调递减，()()f x f x =--()()220f f -==(),0∞-()0,∞+∴当和时，；当和时，. (),2-∞-()0,2()0f x >()2,0-()2,+∞()0f x >∵，3()2()05f x f x x--≤∴，即，3()2()3()2()()055f x f x f x f x f x x x x ----==-≤()0f x x≥当时，解得：；当时，解得：， 0x <20x -≤<0x >02x <≤∴不等式解集为：，3()2()05f x fx x--≤[)(]2,00,2-U 故答案为：.[)(]2,00,2-U 四、解答题（共70分）17. 已知向量，，且函数.()cos ,1m x =)2,cos n x x =()f x m n =⋅（1）求函数的单调增区间；()f x （2）若中，分别为角对的边，，求的取值范围. ABC ,,a b c ,,A B C ()2cos cos -=a c B b C π26A f ⎛⎫+ ⎪⎝⎭【答案】（1）πππ,π,Z 36k k k ⎡⎤-++∈⎢⎥⎣⎦（2） 30,2⎛⎫ ⎪⎝⎭【解析】【分析】（1）由题知，再根据三角函数性质求解即可； ()1sin 262πf x x ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭（2）由正弦定理边角互化，结合恒等变换得，进而得，，再根据三角函数1cos 2B =π3B =2π0,3A ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭的性质求解即可. 【小问1详解】因为向量，，且函数()cos ,1m x =)2,cos n x x =()f x m n =⋅所以 ()211π1cos cos cos2sin 22262f x m n x x x x x x ⎛⎫=⋅=+=++=++ ⎪⎝⎭ 令，解得， πππ2π22π262k x k -+≤+≤+ππππ,Z 36k x k k -+≤≤+∈所以，函数的单调增区间为.()f x πππ,π,Z 36k k k ⎡⎤-++∈⎢⎥⎣⎦【小问2详解】因为，()2cos cos -=a c B b C由正弦定理可得：， 2sin cos sin cos sin cos A B C B B C -=即，2sin cos sin cos sin cos A B C B B C =+因为， ()sin cos sin cos sin sin C B B C B C A +=+=所以，2sin cos sin A B A =因为，所以， ()0,π,sin 0A A ∈≠1cos 2B =因为，所以，所以， ()0,πB ∈π3B =2π0,3A ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭所以， πππ11sin cos 263622A f A A ⎛⎫⎛⎫+=+++=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭所以；π13cos 0,2622A f A ⎛⎫⎛⎫+=+∈⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭所以，的取值范围为.π26A f ⎛⎫+⎪⎝⎭30,2⎛⎫⎪⎝⎭18. 已知正项数列中，．{}n a 2113,223(2)n n n a S S a n -=+=-≥（1）求的通项公式； {}n a （2）若，求的前n 项和． 2nn na b ={}n b n T 【答案】（1） 21n a n =+（2） 2552n nn T +=-【解析】【分析】（1）根据计算即可得解；11,1,2n n n S n a S S n -=⎧=⎨-≥⎩（2）利用错位相减法求解即可.【小问1详解】当时，，2n =2212212222324212,0S S a a a a a +=-=+=+>解得，25a =由当时，， 2n ≥21223n n n S S a -+=-得当时，，3n ≥2121223n n n S S a ---+=-两式相减得，即，()22112n n n n a a a a --+=-()()()1112n n n n n n a a a a a a ---++-=又，所以，0n a >()123n n a a n --=≥又适合上式，212a a -=所以数列是以为首项，为公差的等差数列， {}n a 32所以； 21n a n =+【小问2详解】， 2122n n n n a n b +==则， 1223521222n n n n T b b b +=+++=+++ ， 231135212122222n n n n n T +-+=++++ 两式相减得 2311322221222222n n n n T ++=++++- 211111121122222n n n -++⎛⎫=+++++- ⎪⎝⎭111121212212n n n +-+=+--， 152522n n ++=-所以. 2552n nn T +=-19. 如图，在四棱锥中，侧面底面，，底面是平行四边形，S ABCD -SCD ⊥ABCD SC SD =ABCD ，，，分别为线段的中点. π3BAD ∠=2AB =1AD =,MN ,CD AB（1）证明：平面；BD ⊥SMN （2）若直线与平面所成角的大小为，求二面角的余弦值. SA ABCD π6C SBD --【答案】（1）证明见解析（2）【解析】【分析】（1）利用勾股定理、面面垂直和线面垂直的性质可证得，，由线面垂直BD MN ⊥SM BD ⊥的判定可证得结论；（2）根据线面角的定义可知，设，取中点，根据垂直关系可以为π6SAM ∠=MN BD O = SN F O 坐标原点建立空间直角坐标系，利用二面角的向量求法可求得结果. 【小问1详解】，，，， 2AB = 1AD =π3BAD ∠=2222cos 3BD AB AD AB AD BAD ∴=+-⋅∠=即，，，BD =222AD BD AB ∴+=AD BD ∴⊥分别为中点，四边形为平行四边形，，；,M N ,CD AB ABCD //MN AD ∴BD MN ∴⊥，为中点，，SC SD = M CD SM CD ∴⊥平面平面，平面平面，平面，SCD ⊥ABCD SCD ABCD CD =SM ⊂SCD 平面，又平面，；SM ∴⊥ABCD BD ⊂ABCD SM BD ∴⊥，平面，平面.SM MN M = ,SM MN ⊂SMN BD ∴⊥SMN 【小问2详解】 连接，AM 由（1）知：平面，则与平面所成角为，即， SM ⊥ABCD SA ABCD SAM ∠π6SAM ∠=在中，，， ADM △1AD DM ==2ππ3ADC BAD ∠=-∠=，解得：2222cos 3AM AD DM AD DM ADC ∴=+-⋅∠=AM =，； 2πcos 6AMSA ∴==πtan 16SM AM ==设，取中点，连接，MN BD O = SN F OF 分别为中点，，又平面，,O F ,MN SN //OF SM ∴SM ⊥ABCD 平面，又，OF ∴⊥ABCD MN BD ⊥则以为坐标原点，正方向为轴，可建立如图所示空间直角坐标系，O ,,OM OB OF,,x y z则，，，，C ⎛⎫- ⎪⎝⎭1,0,12S ⎛⎫- ⎪⎝⎭B ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭0,D ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，，，112SB ⎛⎫∴=- ⎪ ⎪⎝⎭()1,0,0CB =()DB = 设平面的法向量，SBC (),,n x y z =则，令，解得：，，；1020SB n x y z CB n x ⎧⋅=+-=⎪⎨⎪⋅==⎩2y =0x=z=(0,n ∴= 设平面的法向量，SBD (),,m a b c =则，令，解得：，，；1020SB m a c DB m ⎧⋅=+-=⎪⎨⎪⋅==⎩2a =0b =1c =()2,0,1m ∴= ，cos m n m n m n⋅∴<⋅>===⋅ 二面角为钝二面角，二面角的余弦值为C SBD --∴C SB D --20. 2023年1月26日，世界乒乓球职业大联盟（WTT ）支线赛多哈站结束，中国队包揽了五个单项冠军，乒乓球单打规则是首先由发球员发球2次，再由接发球员发球2次，两者交替，胜者得1分．在一局比赛中，先得11分的一方为胜方（胜方至少比对方多2分），10平后，先多得2分的一方为胜方，甲、乙两位同学进行乒乓球单打比赛，甲在一次发球中，得1分的概率为，乙在一次发球中，得1分35的概率为，如果在一局比赛中，由乙队员先发球．12（1）甲、乙的比分暂时为8：8，求最终甲以11：9赢得比赛的概率； （2）求发球3次后，甲的累计得分的分布列及数学期望． 【答案】（1）625（2）分布列见详解， 85【解析】【分析】（1）根据题意可得甲以11：9赢得比赛，则甲再得到3分，乙得到1分，且甲得到最后一分，再根据独立事件的乘法公式求概率即可；（2）根据题意可得X 的可能取值为0，1，2，3，求出相应的概率列出分布列，再求其数学期望即可． 【小问1详解】甲以11：9赢得比赛，共计20次发球，在后4次发球中，需甲在最后一次获胜，最终甲以11：9赢得比赛的概率为：． 22212131236C 2525525P ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⨯⨯+⨯⨯=⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭【小问2详解】设甲累计得分为随机变量X ，X 的可能取值为0，1，2，3．，()212102510P X ⎛⎫==⨯= ⎪⎝⎭， ()2212121371C 252520P X ⎛⎫⎛⎫==⨯⨯+⨯=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，()2212131222C 25255P X ⎛⎫⎛⎫==⨯⨯+⨯= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，()213332520P X ⎛⎫==⨯=⎪⎝⎭∴随机变量X 的分布列为： X 0123P110 720 25 320∴． ()17238012310205205E X =⨯+⨯+⨯+⨯=21. 已知某种商品的价格（单位：元）和需求量（单位：件）之间存在线性关系，下表是试营业期间记录的数据（对应的需求量因污损缺失）： 24x =价格x16 17 18 192024需求量y 5549424036经计算得，，，由前组数据计算出的关于的线性回归5211630i ix==∑52110086ii y ==∑513949i i i x y ==∑5y x 方程为. 4710y x a=-+（1）估计对应的需求量y （结果保留整数）；24x =（2）若对应的需求量恰为（1）中的估计值，求组数据的相关系数（结果保留三位小数）.24x =6r 附：相关系数. r ==328.8769≈【答案】（1）16（2） 0.575-【解析】【分析】（1）计算前五组数据价格、需求量，，代入回归直线方程求出值，再代入18x =2225y =a 即可；24x =（2）求出六组数据价格、需求量的平均值，，以及与相关系数有关的数值，代入计算即可. x 'y '【小问1详解】记前五组数据价格、需求量的平均值分别为，，x y 由题设知，. 511185i i x x ===∑51122255i i y y ===∑因为回归直线经过样本中心，所以，解得. (),x y 2224718510a =-⨯+129a =即， 4712910x y -+=所以时对应的需求量（件）. 24x =47241291610y =-⨯+≈【小问2详解】设六组数据价格、需求量的平均值分别为，，则，，x 'y '611196i i x x ===∑61111963i i y y ===∑，，.6212206ii x==∑62110342i i y ==∑514333i i i xy ==∑所以相关系数. 0.575r ==≈-22. 已知点，经过轴右侧一动点作轴的垂线，垂足为，且.记动点的(1,0)F y A y M ||||1AF AM -=A 轨迹为曲线.C （1）求曲线的方程；C （2）设经过点的直线与曲线相交于，两点，经过点，且为常数）的直(1,0)B -C P Q (1,)((0,2)D t t ∈t 线与曲线的另一个交点为，求证：直线恒过定点. PD C N QN 【答案】（1）()240y x x =>（2）证明见解析 【解析】【分析】（1）设，根据距离公式得到方程，整理即可；()(),0A x y x >（2）设、、，表示出直线的方程，由点在直线上，代()11,P x y ()22,Q x y ()33,N x y PQ ()1,0B -PQ 入可得，同理可得，再表示出直线，代入可得124y y =()13231y y ty y y ++=QN ，即可得到直线过定点坐标.()()()131441y y ty y x +-=-QN 【小问1详解】解：设，则， ()(),0A x y x >()0,M y 因为，||||1AF AM -=又，整理得.0x >1x =+()240y x x =>【小问2详解】证明：设、、，()11,P x y ()22,Q x y ()33,N x y 所以， 121222121212444PQ y y y y k y y x x y y --===-+-所以直线的方程为，PQ ()11124y y x x y y -=-+因为点在直线上，()1,0B -PQ 所以，即，解得①， ()111241y x y y -=--+21112414y y y y ⎛⎫-=-- ⎪+⎝⎭124y y =同理可得直线的方程为，PN ()11134y y x x y y -=-+又在直线上，所以，易得， ()1,D t PN ()111341t y x y y -=-+1y t ≠解得②，()13231y y ty y y ++=所以直线的方程为，即③，QN ()22234y y x x y y -=-+()23234y y y x y y +=+将②式代入③式化简得，又， ()1311234y y ty y x y y y +=+124y y =即， ()131344y y ty y x y +=+即， ()()()131441y y ty y x +-=-所以直线恒过定点.QN 41,t ⎛⎫ ⎪⎝⎭。
2023-2024学年陕西省西安市高二下学期月考数学(理)试题(含解析)
2023-2024学年陕西省西安市高二下册月考数学（理）试题一、单选题1．下面叙述正确的是()A．综合法、分析法是直接证明的方法B．综合法是直接证法、分析法是间接证法C．综合法、分析法所用语气都是肯定的D．综合法、分析法所用语气都是假定的【正确答案】A【分析】根据综合法、分析法的定义与证明思路即可求解.【详解】综合法（由因导果）证明不等式、分析法（执果索因）证明不等式，是直接证明的方法.故选：A．2．所有自然数都是整数，5是自然数，所以5是整数，关于以上三段推理，下列说法正确的是（）A．推理正确B．推理形式不正确C．两个“自然数”概念不一致D．两个“整数”概念不一致【正确答案】A【分析】分析一个演绎推理是否正确，主要观察所给的大前提，小前提和结论是否都正确，根据三个方面都正确，得到结论．【详解】解： 所有自然数都是整数，5是自然数，所以5是整数，大前提：所有自然数都是整数是正确的，小前提：5是自然数是正确的，结论：5是整数是正确的，∴这个推理是正确的.故选：A．3．下面几种推理中是演绎推理的为A．由金、银、铜、铁可导电，猜想：金属都可导电B．猜想数列111122334⋯⋯⨯⨯⨯，，，的通项公式为1()(1)na n Nn n*=∈+C．半径为r的圆的面积2S rπ=，则单位圆的面积Sπ=D．由平面直角坐标系中圆的方程为222()()x a y b r-+-=，推测空间直角坐标系中球的方程为2222()()()x a y b z c r-+-+-=【正确答案】C【分析】根据合情推理与演绎推理的概念，得到A 是归纳推理，B 是归纳推理，C 是演绎推理，D 是类比推理，即可求解．【详解】根据合情推理与演绎推理的概念，可得:对于A 中，由金、银、铜、铁可导电，猜想：金属都可导电，属于归纳推理；对于B 中，猜想数列111122334⋯⋯⨯⨯⨯，，的通项公式为1()(1)n a n N n n *=∈+，属于归纳推理，不是演绎推理；对于C 中，半径为r 的圆的面积2S r π=，则单位圆的面积S π=，属于演绎推理；对于D 中，由平面直角坐标系中圆的方程为222()()x a y b r -+-=，推测空间直角坐标系中球的方程为2222()()()x a y b z c r -+-+-=，属于类比推理，综上，可演绎推理的C 项，故选C ．本题主要考查了合情推理与演绎推理的概念及判定，其中解答中熟记合情推理和演绎推理的概念，以及推理的规则是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于基础题．4．设()f x 为可导函数，且满足()()22lim12h f f h h→--=-，则曲线()y f x =在点()()22f ,处的切线的斜率是（）A ．.2B ．2-C ．12-D ．1-【正确答案】B【详解】分析：化简()()022lim 12h f f h h→--=-得到(2)f '，即得切线的斜率.详解：∵()()022lim 12h f f h h →--=-，∴12()()022lim 1h f f h h →--=-，∴1(2)12f '=-，∴(2)2f k =-='，故曲线()y f x =在点()()2,2f 处的切线的斜率是-2，故选B.点睛：本题主要考查导数的定义，0000()()()limx f x x f x f x x∆→+∆-'=∆，在这个定义中，分母是自变量的增量00()x x x x +∆-=∆，但是已知中自变量的增量为2-（2-h ）=h,但是分母中是2h,所以要通过极限运算把下面的分母变成h,12()()22lim1h f f h h→--=-.后面就迎刃而解了.5．若()sin cos f x x α=-，则()f x '等于（）A ．sin xB ．cos xC ．cos sin xα+D ．2sin cos xα+【正确答案】A【分析】根据基本初等函数的导数公式，即可求解.【详解】()sin cos ,()sin f x x f x x α=-'=.故选：A.本题考查函数的导数，熟记基本初等函数的导数公式是解题的关键，属于基础题.6．已知()2ln xf x x =，则()e f '=（）A ．31e B ．21e C ．21e -D ．31e -【正确答案】D【分析】根据基本初等函数的导数公式及导数的运算法则求出函数的导函数，再代入计算可得.【详解】因为()2ln x f x x =，所以()()()2234ln ln 12ln x x x x x f x x x ''⋅-⋅-'==，所以()31e ef '=-.故选：D7．某纺织厂的一个车间有技术工人m 名（m N *∈），编号分别为1、2、3、……、m ，有n 台（n N *∈）织布机，编号分别为1、2、3、……、n ，定义记号i j a ：若第i 名工人操作了第j 号织布机，规定1i j a =，否则0i j a =，则等式41424343n a a a a ++++= 的实际意义是A ．第4名工人操作了3台织布机；B ．第4名工人操作了n 台织布机；C ．第3名工人操作了4台织布机；D ．第3名工人操作了n 台织布机.【正确答案】A【详解】解：由题意，41424343n a a a a ++++= 说明第4名工作人员操作了n 台机器中的三个即第4名工人操作了3台织布机故选A8．当1n =、2、3、4、5、6时，比较2n 和2n 的大小并猜想（）A ．1n ≥时，22n n >B ．3n ≥时，22n n >C ．4n ≥时，22n n >D ．5n ≥时，22n n >【正确答案】D【分析】分别比较出当1n =、2、3、4、5、6时，2n 和2n 的大小，即可得出结论.【详解】当1n =时，1221>，即22n n >；当2n =时，2222=，即22n n =；当3n =时，3223<，即22n n <；当4n =时，4224=，即22n n =；当5n =时，5225>，即22n n >；当6n =时，6226>.可猜想5n ≥时，22n n >，证明如下：令22n n n a =，当5n ≥时，()2221111210222n n n n n n n n n a a +++++--=-=<，即1n n a a +<，所以，当5n ≥时，数列{}n a 单调递减，则525132n a a ≤=<，即22n n >.故选：D.9．下列代数式(其中k ∈N *)能被9整除的是()A ．6+6·7k B ．2+7k -1C ．2(2+7k +1)D ．3(2+7k )【正确答案】D【详解】(1)当k =1时,A 答案值为48,B 答案值为3,C 答案值为102,D 答案值为27.显然只有3(2+7k )能被9整除.(2)假设当k=n (n ∈N *)时,命题成立,即3(2+7n )能被9整除,那么3(2+7n +1)=21(2+7n )-36.这就是说,当k=n +1时,命题也成立.由(1)(2)可知,命题对任何k ∈N *都成立.10．“四边形是矩形，四边形的对角线相等”补充以上推理的大前提是A ．正方形都是对角线相等的四边形B ．矩形都是对角线相等的四边形C ．等腰梯形都是对角线相等的四边形D ．矩形都是对边平行且相等的四边形【正确答案】B【分析】根据题意，用三段论的形式分析即可得答案．【详解】根据题意，用演绎推理即三段论形式推导一个结论成立，大前提应该是结论成立的依据，∵由四边形是矩形，得到四边形的对角线相等的结论，∴大前提一定是矩形都是对角线相等的四边形，故选B ．本题考查演绎推理的定义，关键是掌握演绎推理的形式，属于基础题.11．用反证法证明命题“自然数a ，b ，c ，中恰有一个偶数”时，需假设（）A ．a ，b ，c ，都是奇数B ．a ，b ，c ，都是偶数C ．a ，b ，c ，都是奇数或至少有两个偶数D ．a ，b ，c ，至少有两个偶数【正确答案】C【分析】根据反证法的证明方法分析即可【详解】用反证法证明时需假设原命题的否定，因为命题“自然数a ，b ，c ，中恰有一个偶数”的否定为“a ，b ，c ，都是奇数或至少有两个偶数”故选：C本题主要考查了反证法的证明方法，属于基础题12．已知函数f (x )＝x 3的切线的斜率等于3，则切线有()A ．1条B ．2条C ．3条D ．不确定【正确答案】B【分析】求出()3f x '=解的个数，即得切点个数，从而求出切线个数．【详解】∵()233f x x ='=解得1x =±，∴切点有两个，即可得切线有两条．故选：B.二、填空题13．质点运动规律为23s t =+，则在时间()3,3t +∆中相应的平均速度为_______.【正确答案】6t +∆##Δ6t +【分析】根据平均速度公式计算可得.【详解】解：因为质点运动规律为23s t =+，则在时间()3,3t +∆平均速度为()()22233336633t t t v t t t+∆+-+∆+∆===+∆+∆-∆．故6t +∆．14．已知()2111112f n n n n n=+++⋅⋅⋅+++，则()f n 中共有_______项.【正确答案】2n n 1-+【分析】根据()f n 解析式的组成特点及各项分母的特征，即可得解.【详解】因为21111()12f n nn n n =+++⋯+++，我们观察()f n 解析式的组成特点，是由1n ，11n +，12n +，⋯，21n组成，其中每一项的分母为n ，1n +，2n +，⋯，2n 组成等差数列，且首项为n ，公差为1，最后一项为2n ；所以它的项数为2n n 1-+，即为()f n 的项数为2n n 1-+．故2n n 1-+．15．一同学在电脑中打出如下若干个圈:○●○○●○○○●○○○○●○○○○○●…若将此若干个圈依此规律继续下去,得到一系列的圈,那么在前120个圈中的●的个数是________________.【正确答案】14；【详解】将圆分组：第一组：○●，有2个圆；第二组：○○●，有3个圆；第三组：○○○●，有4个圆；…每组圆的总个数构成了一个等差数列，前n 组圆的总个数为s n =2+3+4+…+（n+1）=，令s n =120，解得n≈14.1，即包含了14整组，即有14个黑圆，故答案为14．16．若曲线()4f x x x =-在点P 处的切线平行于直线30x y -=，则点P 的坐标为______．【正确答案】()1,0【分析】设(,)P m n ，求出()f x 的导数，可得切线的斜率，由两直线平行的条件：斜率相等，解m 的方程可得m ，进而得到切点P 的坐标．【详解】4()f x x x =-的导数为3()41f x x '=-，设(,)P m n ，可得曲线在点P 处的切线斜率为341k m =-，由切线平行于直线30x y -=，可得3413m -=，解得1m =，4110n m m =-=-=．即有(1,0)P 本题考查导数的运用：求切线的斜率，同时考查两直线平行的条件：斜率相等，考查运算能力，属于基础题．三、解答题17．若数列{}n a 是等差数列，对于()121n n b a a a n=+++ ，则数列{}n b 也是等差数列．类比上述性质，在等比数列中有什么结论，并判断真假．【正确答案】答案见解析【分析】在类比等差数列的性质推理等比数列的性质时，我们一般的思路有：由加法类比推理为乘法，由减法类比推理为除法，由算术平均数类比推理为几何平均数等．【详解】解：类比推断：若数列{}n c 是各项均为正数的等比数列，则当n d =时，数列{}n d 也是等比数列．{}n c 是各项为正数的等比数列，公比为q ，则11n n c c q -=，121n n d c q-∴=，∴数列{}n d 也是等比数列．故此结论为真命题．类比推理的一般步骤是：（1）找出两类事物之间的相似性或一致性；（2）用一类事物的性质去推测另一类事物的性质，得出一个明确的命题（猜想）．18．已知曲线()3:C f x x =.(1)利用导数的定义求()f x 的导函数()f x '；(2)求曲线C 上横坐标为1的点处的切线方程.【正确答案】(1)2()3f x x '=(2)320x y --=【分析】（1）根据()()()limx f x x f x f x x∆→+∆-'=∆计算可得；（2）首先求出切点坐标与切线斜率，再利用点斜式求出切线方程.【详解】（1）()()()()33limlimx x f x x f x x x x f x xx∆→∆→+∆-+∆-==∆∆'()()222lim 333x x x x x x ∆→=+⋅∆+∆=.（2）将1x =代入曲线C 的方程，得()11f =，∴切点的坐标为()1,1，又 切线的斜率()21313k f ==⨯='，∴过点()1,1的切线的方程为()131y x -=-，即320x y --=.19．已知a >b >c ，且a ＋b ＋c ＝0，求证<【正确答案】证明见解析.利用分析法证得不等式成立.【详解】由a >b >c 且a ＋b ＋c ＝0，知a >0，c <0.<，只需证b 2－ac <3a 2.∵a ＋b ＋c ＝0，只需证b 2＋a (a ＋b )<3a 2，只需证2a 2－ab －b 2>0，只需证(a －b )(2a ＋b )>0，只需证(a －b )(a －c )>0.∵a >b >c ，∴a －b >0，a －c >0，∴(a －b )(a －c )>0显然成立，故原不等式成立.本小题主要考查利用分析法证明不等式，属于基础题.20．求下列函数的导数.(1)52sin x xy x +=；(2)()()()123y x x x =+++；(3)y 【正确答案】(1)52322332sin cos 2x x x x x xy ---=-+-+'(2)231211y x x =++'(3)()221y x '=-【分析】（1）（2）（3）首先将函数解析式变形，再根据基本初等函数的导数公式及导数的运算法则计算可得；【详解】（1） 13523222sin sin x x x xy x x x x -++==++∴()()3322sin y x x x x --'⎛⎫'''=++ ⎪⎝⎭52322332sin cos 2x x x x x x ---=-+-+.（2） ()()2323236116y x x x x x x =+++=+++，∴231211y x x =++'.（3）21y x=+==-∴()()()222122111y x x x '-'⨯-⎛⎫=== ⎪-⎝⎭--.21．在数列{}n a 中，112a =，133n n na a a +=+，求2a 、3a 、4a 的值，由此猜想数列{}n a 的通项公式，并用数学归纳法证明你的猜想．【正确答案】35n a n =+，证明见解析．【详解】试题分析：利用递推式直接求2a 、3a 、4a ，猜想数列{an}的通项公式为35n a n =+（*n ∈N ）用数学归纳法证明即可.试题解析：a 1＝＝，a 2＝，a 3＝，a 4＝，猜想an ＝，下面用数学归纳法证明：①当n ＝1时，a 1＝＝，猜想成立．②假设当n ＝k (k≥1，k ∈N*)时猜想成立，即ak ＝.则当n ＝k ＋1时，ak ＋1＝＝＝，所以当n ＝k ＋1时猜想也成立，由①②知，对n ∈N*，an ＝都成立．点睛：本题考查了数列中的归纳法思想，及证明基本步骤，属于基础题；用数学归纳法证明恒等式的步骤及注意事项：①明确初始值0n 并验证真假；②“假设n k =时命题正确”并写出命题形式；③分析“1n k =+时”命题是什么，并找出与“n k =”时命题形式的差别．弄清左端应增加的项；④明确等式左端变形目标，掌握恒等式变形常用的方法：乘法公式、因式分解、添拆项、配方等，并用上假设.22．（1）求曲线221xy x =+在点()1,1处的切线方程；（2）运动曲线方程为2212t S t t-=+，求3t =时的速度.【正确答案】（1）1y =；（2）261127【分析】（1）求出函数的导函数，即可求出切线的斜率，再利用点斜式求出切线方程；（2）求出函数的导函数，再令3t =计算可得.【详解】（1）因为221xy x =+，所以()()()22222221222211x x x x y x x '+-⋅-==++，所以122|04x y =-=='，即曲线在点()1,1处的切线斜率0k =，因此曲线221xy x =+在点()1,1处的切线方程为1y =.（2）因为2212t S t t-=+，所以()()22242321112244t t t t S t t t t t t t '-'--⎛⎫'=+=+=-++ ⎪⎝⎭，所以31226|121192727t S =='-++=.。
广东省高二下学期月考数学试题(解析版)
一、单选题1．已知函数，其导函数的图象如图所示，则（ ）()y f x ＝()y f x '＝()y f x ＝A ．在上为减函数B ．在处取极小值 (0)∞－，=0xC ．在上为减函数D ．在处取极大值(12)，=2x 【答案】C【解析】由导函数图象与原函数图象关系可解.【详解】由导函数图象知，在和上单增，在，上单减，在处()y f x ＝(0)∞－，(2)4，(0)2，(4)+∞，=0x 取极大值，在处取极小值. =2x 故选：C.【点睛】本题考查利用导函数图象研究原函数的单调及极值 导数法研究函数在 内单调性的步骤：()f x (,)a b (1)求；(2)确定在内的符号；(3)作出结论：时为增函数；时为减()f x '()f x '(,)a b ()0f x '>()0f x '<函数．研究含参数函数的单调性时，需注意依据参数取值对不等式解集的影响进行分类讨论． 2．一物体做直线运动，其路程与时间的关系是，则此物体的初速度为（ ） s t 2321s t t =-+A ． B ． C ． D ．12-36【答案】B【分析】利用导数的意义可知，从而利用导数即可得解. v s '=【详解】因为， 2321s t t =-+所以，故. 62v s t '==-0|2t v ==-故选：B3．已知函数f （x ）的导函数为，且满足f （x ）=3x +lnx ，则=（ ） ()f x '()f e '()f e 'A ．2e B ． C ．D ．﹣2e12e-12e【答案】B【分析】先求，然后把x 换成e ，可求得.()f x '()f e '【详解】解：∵=3，∴=3，解得：.()f x '()f e '1x +()f e '()f e '1e +()f e '12e =-故选：B.4．函数 在区间的最大值与最小值之积为（ ） ()31443f x x x =-+[]0,3A ． B ． C ．D ．316-163-43-34-【答案】B【分析】对求导，利用导数研究在上单调性，由此可求得的最大值与最小()f x ()f x []0,3()f x 值，从而得解. 【详解】因为，所以， ()31443f x x x =-+()()()2422f x x x x =-=+-'当时，单调递减； ()0,2x ∈()()0,f x f x '<当时，单调递增； ()2,3x ∈()()0,f x f x '>所以，()()min 142842433f x f ==⨯-⨯+=-又，故，()()04,31f f ==()()max 04f x f ==所以的最大值与最小值之积为.()f x 416433-⨯=-故选：B.5．函数在处有极小值5，则（ ） 22()ln f x a x bx a =++1x =a b -=A ． B ． C ．或D ．或3 3-154-3-154154-【答案】A【分析】由题意条件和，可建立一个关于的方程组，解出的值，然后再()01f '=(1)5f =a b 、a b 、将带入到中去验证其是否满足在处有极小值，排除增根，即可得到答案.a b 、()f x '1x =【详解】由题意可得，则，解得，或．当，()2a f x bx x '=+2(1)20(1)5f a b f b a =+=⎧⎨=+='⎩21a b =-⎧⎨=⎩5254a b ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩52a =时，．由，得；由，得．则在上单54b =-55()22f x x x '=-()0f x '>01x <<()0f x '<1x >()f x (0,1)调递增，在上单调递减，故在处有极大值5，不符合题意．当，时，(1,)+∞()f x 1x =2a =-1b =．由，得；由，得．则在上单调递减，在2()2f x x x '=-+()0f x '>1x >()0f x '<01x <<()f x (0,1)上单调递增，故在处有极小值5，符合题意，从而．(1,)+∞()f x 1x =3a b -=-故选：A.6．若函数，不等式，则实数的取值范围为（ ）3()3sin 2f x x x x =++24)(20()f a a f a --+-≤aA ．B ．C ．D ．[]1,4(][),14,-∞-+∞ []1,4-(][),41,-∞-+∞ 【答案】C【分析】探讨函数的奇偶性、单调性，由此去掉所给不等式的法则“f ”即可作答.()f x 【详解】函数的定义域为R ，，即是奇函数，()f x 3()3()sin()2()()f x x x x f x -=-+-+-=-()f x ，即是R 上的增函数，2()9cos 20f x x x '=++>()f x 由得：，于是有，即，解24)(20()f a a f a --+-≤24)2)((f a a f a --≤242a a a --≤2340a a --≤得，14a -≤≤所以实数的取值范围为. a [1,4]-故选：C7．直线分别与曲线，交于，两点，则的最小值为（ ） y a =32y x =+2ln y x x =+A B ||AB A ． B ．1 C ．D ．21232【答案】B【分析】设，，，，得到，用导数法求解. 1(A x )a 2(B x )a ()212212ln 33AB x x x x =-=-+【详解】解：设，，，，则， 1(A x )a 2(B x )a 122322ln x x x +=+， ()12212ln 23x x x ∴=+-， ()212212ln 33AB x x x x ∴=-=-+令，则，()12ln 33y x x =-+11'13y x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭函数在上单调递减，在上单调递增，∴(0,1)(1,)+∞时，函数的最小值为1，1x ∴=故选：B8．若函数恰有三个极值点，则的取值范围是 22(31)3,0()ln ,0x m x x f x mx x x x ⎧-++≤=⎨+>⎩m A ．B ．C ．D ．11,23⎛⎫-- ⎪⎝⎭1,02⎛⎫- ⎪⎝⎭11,3⎛⎫-- ⎪⎝⎭11,2⎛⎫-- ⎪⎝⎭【答案】A【分析】因为二次函数最多有一个极值点，故先分析的部分；时，令，利用参0x >0x >()0f x '=变分离将变形为，构造新函数，判断的单调性，得出结()0f x '=ln 12x m x +-=()ln 1x g x x+=()g x 论：最多仅有两解，因此可确定：时有两个极值点，时有一个极值点. ()0f x '=0x >0x ≤0x >时，利用与有两个交点时(数形结合)，对应求出的范围；时，利用二次函数的2y m =-()g x m 0x ≤对称轴进行分析可求出的另一个范围，两者综合即可.m 【详解】由题可知，当时，令，可化为，令2(31),0()2ln 1,0x m x f x mx x x -+≤++'⎧=⎨>⎩0x >()0f x '=ln 12x m x +-=，则，则函数在上单调递增，在上单调递减，的()ln 1x g x x +=()2ln x g x x-='()g x ()0,1(1,)+∞()g x 图象如图所示，所以当，即时，有两个不同的解；当，令021m <-<102m -<<()0f x '=0x ≤，，解得，综上，. ()0f x '=3102m x +=<13m <-11,23m ⎛⎫∈-- ⎪⎝⎭【点睛】分析极值点个数的时候，可转化为导函数为零时方程解的个数问题，这里需要注意：并不是导数值为零就一定是极值点，还需要在该点左右两侧导数值符号相异.二、多选题9．（多选）以下运算正确的是（ ）A ．B ． 211x x '⎛⎫= ⎪⎝⎭sincos 33ππ'⎛⎫= ⎪⎝⎭C ． D ． ()22ln 2x x '=()1lg ln10x x '=【答案】CD【分析】根据基本函数导数公式即可求解．【详解】对于A ，因为，所以A 不正确；211x x '⎛⎫=- ⎪⎝⎭对于B ，因为，所以B 不正确； s in 03π''⎛⎫== ⎪⎝⎭对于C ，因为，所以C 正确； ()22ln 2x x '=对于D ，因为，所以D 正确． ()1lg ln10x x '=故选：CD ．10．若函数，则（ ） ()ln(2)f x x x =+A ．在上单调递增 ()f x (0,)+∞B ．有两个零点()f x C ．在点处切线的斜率为-1 ()f x (1,(1))f --D ．是奇函数 ()f x 【答案】ABC【分析】对A ，求出函数导数，根据导数可判断单调性；对B ，直接解方程可求解；对C ，求出在处的导数可得；对D ，根据定义域即可判断. ()f x =1x -【详解】∵，∴， ()ln(2)f x x x =+20x +>∴函数的定义域是， ()f x (2,)-+∞对于A ：，时，，，故，在()ln(2)2x f x x x '=+++0x >ln(2)0x +>02xx >+()0f x '>()f x (0,)+∞单调递增，故A 正确；对于B ：令，即，解得：或，故函数有2个零点，故B 正()0f x =ln(2)0x x +=0x ==1x -()f x 确；对于C ：斜率，故C 正确； 1(1)ln(12)112k f -='-=-++=--+对于D ：函数的定义域是，不关于原点对称，故D 错误； (2,)-+∞故选：ABC.【点睛】关键点睛：本题考查导数的应用，解题的关键是正确理解导数与单调性、切线斜率的关系.11．定义在上的函数满足：，，则关于不等式的表R ()f x ()()1f x f x '+>()04f =()3x xe f x e >+述正确的为（ ） A ．解集为 B ．解集为 ()0,∞+()(),03,-∞+∞U C ．在上有解 D ．在上恒成立[]22-,[]22-,【答案】AC【解析】构造函数，求导后可推出在上单调递增，由，可得()()1xg x e f x =-⎡⎤⎣⎦()g x R ()04f =，原不等式等价于，从而可得不等式的解集，结合选项即可得结论.()03g =()()0g x g >【详解】令，，则，()()1x g x e f x =-⎡⎤⎣⎦x R ∈()()()1xg x e f x f x ''=-+⎡⎤⎣⎦∵，()()1f x f x '+>∴恒成立，即在上单调递增. ()0g x '>()g x R ∵，()04f =∴.()()00013g e f =-=⎡⎤⎣⎦不等式可化为，等价于， ()3x x e f x e >+()13x e f x ->⎡⎤⎣⎦()()0g x g >∴，即不等式式的解集为，0x >()3x xe f x e >+()0,∞+则在上有解，故选项AC 正确. []22-,故选：AC .【点睛】关键点点睛：本题考查利用导数研究函数的单调性､解不等式，构造新函数是解题的关键，考查学生的转化思想､逻辑推理能力和运算能力，属于中档题.12．对于三次函数，给出定义：设是函数的导数，()()320ax bx d a f x cx =+++≠()f x '()y f x =是的导数，若方程有实数解，则称点为函数的“拐点”.()f x ''()f x '()0f x ''=0x ()()00,x f x ()y f x =探究发现：任何一个三次函数都有“拐点”；任何一个三次函数都有对称中心，且“拐点”就是对称中心，设函数，则以下说法正确的是（ ） ()3211133212x x f x =-+A ．函数对称中心()f x 1,02⎛⎫⎪⎝⎭B ．的值是99 129899100100100100f f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫++++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭C ．函数对称中心()f x 1,12⎛⎫⎪⎝⎭D ．的值是1 129899100100100100f f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫++++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭【答案】BC【分析】根据题意求出函数对称中心，然后根据函数对称中心的性质进行求解即可. ()f x 【详解】, ()32'2''1113()()213212f x x x f x x x f x x =-+⇒=-⇒=-令，解得，， ''()210f x x =-=12x =32111111312322212f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⨯-⨯+= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭由题意可知：函数的对称中心为；()3211133212x x f x =-+1,12⎛⎫ ⎪⎝⎭因为函数的对称中心为，()3211133212x x f x =-+1,12⎛⎫⎪⎝⎭所以有，()(1)2f x f x +-=设， 129899(1)100100100100S f f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=++++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭所以有， 999821(2)100100100100S f f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=++++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭ 得，，(1)(2)+2222229999S S =++++=⨯⇒= 即的值是99. 129899100100100100f f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫++++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭故选：BC【点睛】本题考查了利用导数求函数的对称中心，考查了利用函数的对称性求函数值之和问题，考查了数学阅读能力和数学运算能力.三、填空题13．若直线（e 是自然对数的底）是曲线的一条切线，则实数m 的值是______． y ex m =+ln y x =【答案】2-【分析】先切点为，根据导数的几何意义，由题中条件求出切点，再代入，即可()00,x y y ex m =+得出结果.【详解】由题意，设切点为， ()00,x y 由得， ln y x =1y x'=因为直线（e 是自然对数的底）是曲线的一条切线， y ex m =+ln y x =所以切线斜率为：，因此， 001x x k e y x =='==01x e=所以，即切点为，00ln 1y x ==-1,1e ⎛⎫- ⎪⎝⎭又切点在直线上，所以，解得.y ex m =+11e m e-=⨯+2m =-故答案为：.2-【点睛】本题主要考查由切线的斜率求参数的问题，熟记导数的几何意义即可，属于基础题型. 14．若，则___．()()0002lim1t f x t f x t→+-=()0f x '=【答案】##0.512【分析】导数的定义公式的变形应用，要求分子分母的变化量相同. 【详解】()()()000021lim22t f x t f x f x t →+-'==故答案为：.1215．若是函数的极值点，则的值为___________. 1x =()()()3221133x a x f a x a x =++-+-a 【答案】3【分析】根据题意，求出函数的导数，分析可知，据此可求出，然后针对的每一个()01f '=a a 值，进行讨论，看是不是函数的极值点，综合即可得答案. 1x =【详解】解：根据题意，， ()()()3221133x a x f a x a x =++-+-得，()()()'22213f x a a x x a =++-+-由题意可知，()2(1)12(1)30f a a a '=++-+-=解得或，3a =2a =-当时，，3a =()'289(9)(1)x x x x f x =+-=+-当时，，函数单调递增；当时，，函数单调递减，显然1,9x x ><-()0f x '>91x -<<()0f x '<是函数的极值点；1x =()f x 当时，，所以函数是上的单调递增函数，没有极值，不符合2a =-()'2221(1)0x x x f x =-=+-≥R 题意，舍去， 故答案为：3.【点睛】本题考查利用导数分析函数的极值，本题易错的地方是求出的值，没有通过单调性来验a 证是不是函数的极值点，也就是说使得导函数为零的自变量的值，不一定是极值点.1x =16．已知三个函数，，.若()22ln h x x x =-()()5ln 5ln 2f x h x x '=--()()2ln 4g x h x x bx =+-+，，都有成立，求实数b 的取值范围______. (]10,1x ∃∈[]21,2x ∀∈()()12f x g x ≥【答案】[8,)+∞【分析】首先求得函数和的函数解析式，根据条件可知在上的最大值大于等于()f x ()g x ()f x (0,1]在上的最大值，利用导数求得在上的最大值，根据二次函数的性质可知在()g x [1,2]()f x (0,1]()g x 上的最大值会在两端点处取得，得到不等式组求得结果. [1,2]【详解】由题知，. ()225ln 5ln 2f x x x x=---()24g x x bx =-+. ()()()2222221252522x x x x f x x x x x---+'∴=+-==在上单调递增；在上单调递减，()f x \10,2⎛⎫⎪⎝⎭1,22⎛⎫ ⎪⎝⎭易知在区间上的最大值为，()f x (]0,1132f ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，，都有成立，(]10,1x ∃∈[]21,2x ∀∈()()12f x g x ≥即在上的最大值大于等于在上的最大值，()f x (0,1]()g x [1,2]即，即，解得，()()112122f g f g ⎧⎛⎫≥ ⎪⎪⎪⎝⎭⎨⎛⎫⎪≥ ⎪⎪⎝⎭⎩35382b b -≥-⎧⎨-≥-⎩8b ≥故答案为：.[8,)+∞【点睛】该题考查的是有关函数的问题，涉及到的知识点有根据存在与恒成立转化为函数最值问题，应用导数求函数的最值，属于简单题目.四、解答题17．已知函数.()()32910f x x ax x a =+-+∈R （1）当时，求的图象在点处的切线方程； 0a =()f x ()()22f ,（2）设是的极值点，求的极小值. =1x -()f x ()f x 【答案】（1）；（2）. 36y x =-17-【分析】（1）由导数的几何意义求解即可；（2）由于是的极值点，所以，从而可求出的值，则可得=1x -()f x ()10f '-=a ，然后求导，求出单调区间可求得极值()323910f x x x x =--+【详解】解：（1）即，；()391f x x x =-+()239f x x '=-则，，()23k f '==()20f =故所求切线方程为，即.()32y x =-36y x =-（2），由题知，()2329f x x ax =+-'()10f '-=解得，经检验符合题意3a =-3a =-则，，()323910f x x x x =--+()()()2369313f x x x x x '=--=+-因为当时，当时13x -<<()0f x '<3x >()0f x ¢>所以当时，取极小值.3x =()f x ()317f =-18．已知函数，，曲线的图象在点处的切线方程为()2x f x e x a =-+x R ∈()y f x =()()0,0f y bx=.（1）求函数的解析式；()y f x =（2）当时，求证：；x R ∈()2f x x x ≥-+【答案】（1）；（2）证明见解析.()21x f x e x =--【分析】（1）由，先算得b ，由题可得，切点坐标为，代入，即可求得本题(0)b f ='()0,0()y f x =答案；（2））设，利用导数算出的最小值，由此即可得到本题答案.()()21x g x f x x x e x =+-=--()g x 【详解】（1）根据题意，得，则.()2x f x e x '=-()01f b '==由切线方程可得切点坐标为， ()0,0将其代入，得，()y f x =1a =-所以；()21x f x e x =--（2）设，令，得，()()21x g x f x x x e x =+-=--()10xg x e '=-=0x =当，，单调递减； ()x ∈∞-,0()0g x '<()y g x =当，，单调递增.()0,x ∈+∞()0g x '>()y g x =所以，所以，即.()()min 00g x g ==()0g x ≥()2f x x x ≥-+【点睛】本题主要考查利用导数研究函数的切线方程以及利用导数证明不等式，考查学生的分析问题能力和转化求解能力. 19．已知函数，其导函数的图象关于y 轴对称，. ()32133f x x mx nx =+++()f x '()213f =-（1）求实数m ，n 的值；（2）若函数有三个零点，求实数的取值范围.()y f x λ=-λ【答案】（1）；（2）；04m n =⎧⎨=-⎩72533λ-<<【分析】（1）由题设得，且为偶函数及，列方程组求参数值即2()2f x x mx n '=++()f x '()213f =-可；（2）由（1）得，利用导数研究其单调性，并确定极值，要使题设成立，有极31433x y x λ-+=-大值大于0，极小值小于0，求的范围.λ【详解】（1）由题意，，且， 2()2f x x mx n '=++()()f x f x ''-=()213f =-∴，可得. 222212333x mx n x mx n m n ⎧++=-+⎪⎨+++=-⎪⎩04m n =⎧⎨=-⎩（2），则， 31433x y x λ-+=-24y x '=-∴，得或，在、上单调递增；0'>y 2x ><2x -y (,2)-∞-(2,)+∞，得，在上单调递减；0'<y 22x -<<y (2,2)-∴时，有极大值；时，有极小值， 2x =-253y λ=-2x =73y λ=--又时；时；x →-∞y →-∞x →+∞y →+∞∴若有三个零点，则，得. y 2503703λλ⎧->⎪⎪⎨⎪--<⎪⎩72533λ-<<20．已知函数． ()ln 1e 1x x f x m x x=---（1）当时，求的单调区间；0m =()f x （2）若对任意的，均有，求实数m 的最小值．()0,x ∈+∞()0f x ≥【答案】（1）减区间为（0，1），增区间为；（2）1.()1,+¥【分析】（1）化简函数并求解导函数，进而确定单调区间即可；（2）运用变量分离法构造新函数转化不等式恒成立问题，进而求解出参数的值. 【详解】（1）的定义域为， ()f x ()0,+¥当时，，则， 0m =()ln 11x f x x x =---()2ln x f x x'=当时，，在上 单调递减， ()0,1∈x ()0f x ¢<()f x ∴()01，当时，，在上单调递增， ()1,∈+∞x ()0f x ¢>()f x ∴()1+∞，所以的减区间为（0，1），增区间为； ()f x ()1+∞，（2）因为对任意的，恒成立，即恒成立． ()0,x ∈+∞()0f x ≥ln 1e xx x m x ++≥令，则， ()ln 1e x x x g x x ++=()()()21ln e xx x x g x x -++'=令，则在上单调递增， ()ln h x x x =+()h x ()0,+¥因为，， 1110e e h ⎛⎫=-< ⎪⎝⎭()110h =>所以存在，使得， 01,1x e ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭()000ln 0h x x x =+=当时，，，单调递增；()00,x x ∈()0h x <()0g x ¢>()g x 当时，，，单调递减，()0,x x ∈+∞()0h x >()0g x ¢<()g x 由，可得，则． 00ln 0x x +=00ln x x =-00ln 01e e x x x -==所以，又恒成立， ()()0000max 0ln 11e x x x g x g x x ++===ln 1e xx x m x ++≥所以，故m 的最小值为l ．m 1≥21．已知函数.()sin 1x f x e ax x =+--（1）当时，求函数的单调区间；2a =()f x （2）当时，讨论函数零点的个数.12a ≤<()f x 【答案】（1）在上单调递减；在上单调递增；（2）2个.(],0-∞()0,∞+【分析】（1）当时，求得，令，求得，2a =()2cos x f x e x '=+-()()h x f x ='()sin x h x e x '=-当时得到 ；当时，求得，(]0x ∈∞-,()1cos 0f x x '≤-+≤()0,x ∈+∞()1sin 0h x x '>-≥进而得到函数的单调区间；()f x （2）由，设，得到，分，()cos x f x e a x '=-+()()g x f x '=()sin x g x e x '=-()0,x ∈+∞和三种情况讨论，分别求得函数的单调性与极值，进而求得结论.(],x π∈-∞-(),0x π∈-【详解】（1）当时，()，则，2a =()2sin 1x f x e x x =+--x R ∈()2cos x f x e x '=+-设，则，()()2x h x f x e cosx '==+-()sin x h x e x '=-当时，，所以，(]0x ∈∞-,e 1x ≤()2cos 1cos 0x f x e x x '=-+≤-+≤所以在上单调递减；()f x (],0∞-当时，，所以，()0,x ∈+∞e 1x >()sin 1sin 0x h x e x x '=>-≥-所以在上单调递增，所以，()f x '()0,∞+()()00f x f ''>=所以在上单调递增，()f x ()0,∞+综上可得，在上单调递减；在上单调递增.()f x (],0-∞()0,∞+（2）由函数()，()sin 1x f x e ax x =-+-x R ∈当时，，所以0是的一个零点，0x =()00f =()f x 又由，设，可得，()cos x f x e a x '=-+()()cos x g x f x e a x '==-+()sin x g x e x '=-因为，12a ≤<①当时，，在单调递增，()0,x ∈+∞()sin 1sin 0x g x e x x '=->-≥()f x '()0,∞+则，在单调递增，，()()020f x f a ''>=->()f x ()0,∞+()()00f x f >=所以在无零点.()f x ()0,∞+②时，，则，(],x π∈-∞-ax π-≥()sin 10x f x e x π≥++->所以在无零点.()f x (],π-∞-③当时，，，在单调递增，(),0x π∈-sin 0x <()sin 0x g x e x '=->()f x '(),0π-又，，所以存在唯一实数，()020f a '=->()10f e a ππ-'-=--<()0,0x π∈-使得，()00f x '=当时，，在单调递减，()0,x x π∈-()0f x '<()f x ()0,x π-当时，，在单调递增，()0,0x x ∈()0f x ¢>()f x ()0,0x 又，，所以在有唯一零点，()10f e a πππ--=+->()()000f x f <=()f x ()0,x π-所以在有一个零点，()f x ()0,x π-综上，当时，函数有2个零点.12a ≤<()f x 【点睛】函数由零点求参数的取值范围的常用方法与策略：1、分类参数法：一般命题情境为给出区间，求满足函数零点个数的参数范围，通常解法为从()f x 中分离参数，然后利用求导的方法求出由参数构造的新函数的最值，根据题设条件构建关于参数的不等式，再通过解不等式确定参数的取值范围；2、分类讨论法：一般命题情境为没有固定的区间，求满足函数零点个数的参数范围，通常解法为结合函数的单调性，先确定参数分类标准，在每个小范围内研究零点的个数是否符合题意，将满足题意的参数的各个小范围并在一起，即可为所求参数的范围.22．已知函数，. ()()2122x t f x x e x x =---()2x g x e t x =--（1）求的单调区间；()g x （2）已知有两个极值点，且，求证：. ()f x 1x ()212x x x <()15102f x e +-<12t e>+【答案】（1）在，上是增函数；（2）证明见解析.()g x (),0∞-()0,∞+【解析】（1）首先求函数的导数，根据导数的正负，确定函数的单调区间；（2）根()22x g x e x '=+据条件转化为的两个根，，即，代入，得20x e t x --=1x 2x 112x t e x =-()()121111122x t f x x e x x =---到，构造函数，利用导数证明不等式. ()12111112x x f x x e x ⎛⎫=-+-- ⎪⎝⎭()()2102x x x x e x x ϕ⎛⎫=-+--< ⎪⎝⎭【详解】（1）的定义域为，()g x ()(),00,-∞⋃+∞因为当时，， 0x ≠()220x g x e x '=+>所以在，上是增函数.()g x (),0∞-()0,∞+（2）因为有两个极值点，，()f x 1x ()212x x x <所以，是，即的两个根，， 1x 2x ()20x f x xe tx =--='20x e t x--=1x 2x 所以，是的两个零点，1x 2x ()g x 由（1）可知在和内分别至多有一个零点，()g x (),0∞-()0,∞+又，所以，且，即， 12x x <10x <()10g x =112x t e x =-所以 ()()121111122x t f x x e x x =---， ()1112211111111212122x x x x x e e x x x e x x ⎛⎫⎛⎫=----=-+-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭令，则， ()()2102x x x x e x x ϕ⎛⎫=-+--< ⎪⎝⎭()21102x x x e ϕ'=--<所以在上为减函数，()x ϕ(),0∞-因为，即，即， ()15102f x e+-<()1512f x e <-()()11x ϕϕ<-所以，110x -<<所以，即，所以. ()()11g g x -<120t e +-<12t e>+【点睛】本题考查导数研究函数性质，函数不方程，不等式，重点考查转化与变形，逻辑推理能力，属于难题.。
高二下学期数学第二次月考试卷
高二下学期数学第二次月考试卷姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、单选题 (共10题；共20分)1. （2分）经过A(2,0),B(5,3)两点的直线的倾斜角（）A . 45°B . 135°C . 90°D . 60°2. （2分） (2016高二上·金华期中) 用斜二测画法画水平放置的边长为2的正三角形的直观图，所得图形的面积为（）A .B .C .D .3. （2分）若a和b异面，b和c异面，则（）A . a∥cB . a和c异面C . a和c相交D . a与c或平行或相交或异面4. （2分） (2018高二上·成都月考) 如图，水平放置的三棱柱的侧棱长为，且侧棱垂直于底面，正视图是边长为1的正方形，俯视图为一个等边三角形，则该三棱柱的侧视图面积为（）A .B .C .D .5. （2分）直线过点（-1,2）且与直线垂直，则的方程是（）A .B .C .D .6. （2分）如图，ＡＢ是圆Ｏ的直径，Ｃ是圆周上不同于ＡＢ的任意一点，平面ABC，则四面体P-ABC 的四个面中，直角三角形的个数有（）A . 4个B . 3个C . 2个D . 1个7. （2分）已知圆的方程为x2+y2=1，则圆心到直线x+y+2=0的距离为（）A . 1B . 2C . 2D .8. （2分）△ABC的顶点B在平面α内，A、C在α同侧，A′、C′是A、C的在平面α内的射影，且A′、C′、B三点共线，则平面ABC与平面α（）A . 平行B . 垂直C . 相交但不垂直D . 重合9. （2分）空间四边形ABCD中，E、F分别为AC、BD中点，若，EF⊥AB，则EF与CD所成的角为（）A . 30°B . 45°C . 60°D . 90°10. （2分）在空间四边形ABCD中，平面ABD⊥平面BCD，且DA⊥平面ABC，则△ABC的形状是（）A . 锐角三角形B . 直角三角形C . 钝角三角形D . 不能确定二、填空题 (共6题；共6分)11. （1分） (2019高三上·朝阳月考) 某四棱锥的三视图如图所示，该四棱锥的体积为________，最长棱长为________．12. （1分） (2018高一下·北京期中) 圆锥的底面半径是3，高是4，则圆锥的侧面积是________．13. （1分）直线5x＋12y＋3＝0与直线10x＋24y＋5＝0的距离是________．14. （1分） (2019高一上·蒙山月考) 在正方体中，与所成的角等于________.15. （1分） (2018高一下·黑龙江期末) 在平行四边形中，∠ABD=90° ，且，若将其沿折起使平面平面，则三棱锥的外接球的表面积为________.16. （1分） (2020高三上·青浦期末) 如图，一矩形的一边在轴上，另两个顶点、在函数，的图像上，则此矩形绕轴旋转而成的几何体的体积的最大值是________三、解答题 (共5题；共55分)17. （10分） (2019高一下·江门月考)（1）求经过点，倾斜角为的直线方程.（2）求过点，并且在两轴上的截距相等的直线方程.18. （10分）(2019·奉贤模拟) 如图，三棱柱中，底面，，是的中点.（1）求证：平面；（2）若，，三棱柱的体积是，求异面直线与所成角的大小.19. （10分）如图，四棱锥P﹣ABCD，侧面PAD是边长为2的正三角形，且与底面垂直，底面ABCD是∠ABC=60°的菱形，M为PC的中点．（1）求证：PC⊥AD；（2）求直线MD与平面ABCD所成角的余弦值．20. （15分）(2017·成都模拟) 如图1，在正方形ABCD中，点E，F分别是AB，BC的中点，BD与EF交于点H，G为BD中点，点R在线段BH上，且=λ（λ＞0）．现将△AED，△CFD，△DEF分别沿DE，DF，EF折起，使点A，C重合于点B（该点记为P），如图2所示．（I）若λ=2，求证：GR⊥平面PEF；（Ⅱ）是否存在正实数λ，使得直线FR与平面DEF所成角的正弦值为？若存在，求出λ的值；若不存在，请说明理由．21. （10分） (2016高三上·金山期中) 在如图所示的多面体ABCDE中，AB⊥平面ACD，DE⊥平面ACD，AC=AD=CD=DE=2，AB=1，G为AD中点，F是CE的中点．（1）证明：BF∥平面ACD；（2）求平面BCE与平面ACD所成锐二面角的大小；（3）求点G到平面BCE的距离．参考答案一、单选题 (共10题；共20分)1-1、2-1、3-1、4-1、5-1、6-1、7-1、8-1、9-1、10-1、二、填空题 (共6题；共6分)11-1、12-1、13-1、14-1、15-1、16-1、三、解答题 (共5题；共55分) 17-1、17-2、18-1、18-2、19-1、19-2、20-1、21-1、21-2、21-3、第11 页共11 页。
2023-2024学年吉林省长春市长春二中高二(下)月考数学试卷(含解析)
2023-2024学年吉林省长春二中高二（下）月考数学试卷一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。
在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.7×8×9×…×15可表示为( )A. A 915B. A 815C. C 915D. C 8152.某中学举办田径运动会，某班甲、乙等4名学生代表班级参加学校4×100米接力赛，其中甲只能跑第1棒或第2棒，乙只能跑第2棒或第4棒，那么不同棒次安排方案总数为( )A. 12B. 10C. 8D. 63.曲线f (x )=xe x +1在(−1,f (−1))处的切线方程是( )A. y =−exB. y =2exC. y =1D. y =−14.已知(1−2x )7=a 0+a 1x +a 2x 2+…+a 7x 7，那么a 1+a 2+…+a 7=( )A. −2B. 0C. 2D. 15.已知函数在(1,+∞)上不单调，f (x )=ax 2+2x ，则实数a 的取值范围是( )A. (−∞,1)B. (0,1)C. (1,+∞)D. (0,12)6.已知f′(x )是函数f (x )的导函数，f (x )的图象如图所示，则不等式f (x )·f′(x )>0的解集为( )A. (0,2)B. (−∞,0)∪(2,3)C. (−∞,0)∪(3,+∞)D. (0,2)∪(3,+∞)7.已知函数f (x )=12e 2x +(a−e )e x −aex (其中a ∈R ，e 为自然对数底数)在x =1处取得极小值，则a 的取值范围是( )A. a <0B. a >−eC. −e ≤a <0D. a <−e8.已知a =ln 54，b =15，c =4e −1(其中e =2.71828…是自然对数的底数)，则下列大小关系正确的是( )A. a <b <cB. b <a <cC. a <c <bD. c <a <b二、多选题：本题共3小题，共18分。
福建省龙岩第一中学2022-2023学年高二下学期第二次月考数学试题
福建省龙岩第一中学2022-2023学年高二下学期第二次月
考数学试题
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
二、多选题
9．总和生育率有时也简称生育率，是指一个人口群体的各年龄别妇女生育率的总和．
为了了解中国人均GDP x （单位：万元）和总和生育率y 以及女性平均受教育年限z
（单位：年）的关系，采用2012~2022近十年来的数据(),,(1,2,,10)i i i
x y z i =L 绘制了
散点图，并得到回归方程ˆ7.540.33z x =+，ˆ 2.880.41y x =-，对应的相关系数分别为1
r ，2r ，则（ ）
A ．人均
GDP 和女性平均受教育年限正相关
B ．女性平均受教育年限和总和生育率负相关
C ．22
12
r r <D ．未来三年总和生育率将继续降低
10．现有来自两个社区的核酸检验报告表，分装2袋，第一袋有5名男士和5名女士的报告表，第二袋有6名男士和4名女士的报告表．随机选一袋，然后从中随机抽取2
四、解答题
17．某新能源汽车公司对其产品研发投资额x（单位：百万元）与其月销售量y（单位：千辆）的数据进行统计，得到如下统计表和散点图.
征后，计划用()
ln
=+作为月销售量y关于产品研发投资额
y bx a
根据统计表和参考数据，求出y关于x的回归方程；
(2)根据回归方程和参考数据，当投资额为11百万元时，预测。
浙江杭州学军中学2024年高二下学期6月月考数学试题(解析版)
2023学年第二学期高二数学学科测试卷（五）1.已知集合一.单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分(){}{}2ln 1,11M y y x N x x ==−=−<<，则（）A.M N =B.[]1,0M N ∩=−C.()1,0M N =− D.()()1,RM N =−+∞ 【答案】D 【解析】【分析】由对数型函数的值域结合集合运算判定选项即可.【详解】由题意可得()22110ln 10x x≥−>⇒−≤，即(],0M =−∞，所以M N ≠，(]1,0M N ∩=−，()()R 1,M N ∞∪=−+ ，即A 、B 、C 三选项错误，D 正确.故选：D2.已知角α的终边上一点()4,3A ，且()tan 2αβ+=，则()tan 3πβ−=（ ）A.12B.12−C.52D.52−【答案】B 【解析】【分析】先通过三角函数的定义求出tan α，代入()tan tan tan 1tan tan αβαβαβ++=−求出tan β，继而求出()tan 3πβ−的值.【详解】 角α的终边上一点()4,3A ∴3tan 4α=()3tan tan tan 4tan 231tan tan 1tan 4βαβαβαββ+++===−−，解得1tan 2β=.∴()1tan 3tan 2πββ−=−=−.故选：B.3. 函数()2ln 23y x x =−−+的单调递减区间为（ ） A. (),1∞−− B. ()1,∞−+ C. ()1,1− D. ()1,∞+【答案】C 【解析】【分析】先求出定义域，再利用复合函数同增异减求出函数的单调递减区间. 【详解】令2230x x −−+>得31x −<<， 故()2ln 23y x x =−−+的定义域为()3,1−，ln y t =在()0,t ∞∈+上单调递增，由复合函数单调性满足同增异减可得，只需求出223t x x =−−+在()3,1−上的单调递减区间，()222314t x x x =−−+=−++在()1,1−上单调递减，故数()2ln 23y x x =−−+的单调递减区间为()1,1−.故选：C4. 下列图像中，不可能成为函数()3mx x x=−的图像的是（ ）．A. B. C. D.【答案】C 【解析】【分析】利用导数讨论函数的单调性和讨论函数值的正负得到答案. 【详解】因为()3m f x x x =−，{}|0x x ≠，所以()223mf x x x′=+ 当0m =时()30mf x x x=−=，{}|0x x ≠无解，且()2230m f x x x ′=+>此时()f x 在(),0∞−，()0,∞+单调递增，D 选项符合此种情况.当0m >时()430m x m f x x x x−=−==有两个解，且()2230m f x x x ′=+>此时()f x 在(),0∞−，()0,∞+单调递增，B 选项符合此种情况.当0m <时()43m x mf x x x x−=−=当0x <时易知()0f x <，0x >时()0f x >所以函数图像不可能是C. 故选：C5. 已知向量a ，b 满足1a = ，()1,1b = ，a b +=a 在b 上的投影向量的坐标为（ ） A. 11,22B.C. ()1,1D. 【答案】A 【解析】【分析】根据投影向量的定义以及向量的坐标运算求解即可.【详解】因为(1,1)=b ，所以222||112b =+= ，又||1,a =把||a b +两边平方得22||||25a b a b ++⋅= ，即125a b +⋅= ，解得1a b ⋅= ，所以a 在b 的投影向量坐标为2111(1,1),222||a b b b ⋅⋅==， 故选：A.6. “欢乐颂”是尊称为“乐圣”“交响乐之王”的神圣罗马帝国音乐家贝多芬一生创作的重要作品之一．如图，以时间为横轴、音高为纵轴建立平面直角坐标系，那么写在五线谱中的音符就变成了坐标系中的点，如果这些点在函数()4sin 0,2y x πωϕωϕ=+><的图象上，且图象过点,224π，相邻最大值与最小值之间的水平距离为2π，则是函数的单调递增区间的是（ ）A. ,34ππ−−B. 75,2424ππ−C. 53,248ππD. 53,84ππ【答案】B 【解析】【分析】由题意求出最小正周期，从而求出ω，再利用特殊点求出ϕ的值，从而得到函数的解析式，利用正弦函数的单调性求解单调增区间，即可得到结果． 【详解】因为函数图象相邻最大值与最小值之间的水平距离为2π，所以函数的周期为22ππ×=，所以22πωπ==，又图象过点(224)π，，所以4sin 2224πϕ×+＝，可得1sin 122πϕ += ，则有2126k ππϕπ+=+或52,126k k Z ππϕπ+=+∈， 即212k πϕπ=+或32,4k k Z πϕπ=+∈， 又2πϕ<，所以12πϕ=，所以4sin 212yx π+，令2222122k x k πππππ−+≤+≤+，解得75,2424k x k k Z ππππ−+≤≤+∈， 所以函数的单调区间为75,,2424k k k Z ππππ−++∈，当0k =时，函数的单调递增区间为75,2424ππ−，故选项B 正确． 故选：B ．7. 已知函数()2ln 1212x x x f x mx mx x +>= −+≤，，，若()()g x f x m =−有三个零点，则实数m 的取值范围是（ ） A. 71,4B. (]1,2C. 41,3D. []1,3【答案】C 【解析】【分析】由题可知1x >时，函数()()g x f x m =−至多有一个零点，进而可得1x ≤时，要使得()()222mg x f x m x mx =−=−−有两个零点，然后根据二次函数的性质结合条件即得. 【详解】当1x >时，()ln f x x x =+单调递增且()ln 1f x x x =+>，此时()()g x f x m =−至多有一个零点，若()()g x f x m =−有三个零点，则1x ≤时，函数有两个零点；当1x >时，()ln 1f x x x =+>，故1m >； 当1x ≤时，要使()()222mg x f x m x mx =−=−−有两个零点， 则2Δ80214202m m mm m =−−><−−≥， 所以403m <≤，又1m >， 所以实数m 的取值范围是41,3.故选：C.8. 张衡是中国东汉时期伟大的天文学家、数学家， 他曾在数学著作《算罔论》中得出结论：圆周率的平方除以十六约等于八分之五． 已知在菱形ABCD中，AB BD ==， 将ABD △沿BD 进行翻折，使得AC =． 按张衡的结论， 三棱锥A BCD −外接球的表面积约为（ ） A. 72B.C.D. 【答案】B 【解析】【分析】由球的性质确定三棱锥A BCD −外接球的球心位置和球的半径，由此可求球的表面积. 【详解】如图1，取BD 的中点M ，连接AM CM ，．由AB AD BD ===ABD △为正三角形，且3AM CM ===，所以1cos 3AMC ∠=−，则sin AMC ∠==， 以M 为原点，MC 为x 轴，MD 为y 轴，过点M 且与平面BCD 垂直的直线为z 轴建立空间直角坐标系如图2，则(3,0,0)C ， (10A −，．设O 为三棱锥A BCD −的外接球球心，则O 在平面BCD 的投影必为BCD △的外心，则设(10)O h ，，．由222||||R OA OC ==可得22222220)20h h ++−=++，解得h =，所以22||6R OC ==．由张衡的结论，2π5168≈，所以π≈则三棱锥A BCD −的外接球表面积为24πR ≈ 故选：B ．二. 多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的选项中有多项符合题目要求，全部选对得6分，部分选对得3分，有选错的得0分.9. ABC 中，D 为边AC 上的一点，且满足12AD DC =，若P 为边BD 上的一点，且满足()0,0AP mAB nAC m n =+>>，则下列结论正确的是（ ）A. 21m n +=B. mn 的最大值为112C.41m n+的最小值为6+ D. 229m n +的最小值为12【答案】BD 【解析】【分析】根据平面向量共线定理可知A 错误；根据()133mnm n =⋅，利用基本不等式可求得最大值，知B 正确； 由()41413m n m n m n+=++，利用基本不等式可求得最小值，知C 错误； 利用基本不等式可得()222392m n m n++≥，知D 正确.【详解】对于A ，3AP mAB nAC mAB nAD =+=+，,,B P D 三点共线，31m n ∴+=，A 错误；对于B ，31m n += ，()21131333212m n mn m n + ∴=⋅≤×=（当且仅当3m n =时取等号），B 正确；对于C ，(414112777n m m n m n m n m n +=++=++≥+=+ （当且仅当12n m m n =，即m =时取等号），C 错误； 对于D ，()22231922m n m n ++≥=（当且仅当3m n =时取等号），D 正确. 故选：BD.【点睛】易错点睛：利用基本不等式求最值时，要注意其必须满足的三个条件：一正二定三相等. （1）“一正”就是各项必须为正数；（2）“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，必须把构成积的因式的和转化成定值；（3）“三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方.10. 对于数列{}n a ，若存在正数M ，使得对一切正整数n ，都有n a M ≤，则称数列{}n a 是有界的.若这样的正数M 不存在，则称数列{}n a 是无界的.记数列{}n a 的前n 项和为n S ，下列结论正确的是（ ）A. 若1n a n=，则数列{}n a 是无界的B. 若1sin 2nn a n =，则数列{}n S 是有界的 C. 若()1nn a =−，则数列{}n S 是有界的D. 若212n a n =+，则数列{}n S 是有界的 【答案】BC 【解析】【分析】利用有界数列与无界数列的定义，结合放缩法与等比数列的前n 项和公式即可得解. 【详解】对于A ，111n a n n==≤ 恒成立， ∴存在正数1M =，使得n a M ≤恒成立， ∴数列{}n a 是有界的，A 错误；对于B ，1sin 1n −≤≤ ，111sin 222n n nn a n∴−≤=⋅≤，212111221111111222212nn nn n S a a a− ∴=+++<+++==−<− ， 2121111112222n nn n S a a a=+++>−+++=−+>−，所以存在正数1M =，使得n S M ≤恒成立，∴则数列{}n S 是有界的，B 正确；对于C ，因为()1nn a =−，所以当n 为偶数时，0n S =；当n 为奇数时，1n S =−；1n S ∴≤，∴存在正数1M =，使得n S M ≤恒成立，∴数列{}n S 是有界的，C 正确；对于D ，()()22144114421212121n n n n n n =<=− −+−+，2221111111121241233352121nS n n n n n ∴=++++⋅⋅⋅≤+−+−+⋅⋅⋅+− −+182241222212121n n n n n n n=+−=+=−++++； 221y x x =−+ 在()0,∞+上单调递增，21,213n n∴−∈+∞ +， ∴不存在正数M ，使得n S M ≤恒成立， ∴数列{}n S 是无界的，D 错误.故选：BC.11. 已知函数()f x 及其导函数()f x ′的定义域均为R ，若()f x 是奇函数，()()210f f =−≠，且对任意x ，R y ∈，()()()()()f x y f x f y f x f y ′′+=+，则（ ）A. ()112f ′=B. ()90f =C.()2011k f k ==∑D.()2011k f k =′=−∑【答案】BD 【解析】【分析】根据赋值法，结合原函数与导函数的对称性，奇、偶函数的定义、函数周期性进行求解即可.【详解】令1xy ==，得()()()2211f f f =′，因为()()210f f =−≠， 所以()112f ′=−，所以A 错误； 令1y =，得()()()()()111f x f x f f x f +=′′+①，所以()()()()()111f x f x f f x f −=′−′−+， 因为()f x 是奇函数，所以()f x ′是偶函数，所以()()()()()111f x f x f f x f −′′=−+②，由①②， 得()()()()()()12111f x f x f f x f x f x +==−−′+−−， 即()()()21f x f x f x +=−+−， 所以()()()()()()()32111f x f x f x f x f x f x f x +=−+−+=++−+=， 所以()f x ，()f x ′是周期为3的函数，所以()()900f f ==，()()()()()()2011236120k f k f f f f f = =++×++= ∑，所以B 正确，C 错误； 因为()()()12112f f f =−=′=−′′，在①中令0x =得()()()()()10101f f f f f ′=+′，所以()01f ′=，()()()()()()2011236121k f k f f f f f =′ =++×++′=− ′′′′∑，所以D 正确． 故选：BD ．【点睛】对于可导函数()f x 有： 奇函数的导数为偶函数 偶函数的导数为奇函数若定义在R 上的函数()f x 是可导函数，且周期为T ，则其导函数()f x ′是周期函数，且周期也为T三. 填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12. 已知复数z 满足()()12i 1i z =++（其中i 为虚数单位），则z =_____________.【解析】【分析】根据复数的乘法运算求出复数z ，即可求得答案. 【详解】由题意得()()12i 1i 13i z =++=−+，故z =，13. 某艺校在一天的6节课中随机安排语文、数学、外语三门文化课和其他三门艺术课各1节，则在课表上的相邻两节文化课之间最多间隔1节艺术课的概率为 （用数字作答）. 【答案】：35【解析】【分析】三门文化课排列，中间有两个空，若每个空各插入1节艺术课，则排法种数为32332A A ×，若两个空中只插入1节艺术课，则排法种数为31133233()216A A A A = ，三门文化课中相邻排列，则排法种数为3434144A A =，而所有的排法共有66720A =种，由此求得所求事件的概率．【详解】解：把语文、数学、外语三门文化课排列，有33A 种方法，这三门课中间存在两个空，在两个空中，①若每个空各插入1节艺术课，则排法种数为32133272A A A =， ②若两个空中只插入1节艺术课，则排法种数为31133233()216A A A A = ， ③若语文、数学、外语三门文化课相邻排列，把三门文化课捆绑为一个整体， 然后和三门艺术课进行排列，则排法种数为3434144A A =，而所有的排法共有66720A =种，故在课表上的相邻两节文化课之间最多间隔1节艺术课的概率为7221614437205++=，故答案为：35． 【点睛】本题主要考查等可能事件的概率，体现了分类讨论的数学思想，属于基础题．14. 已知()221:21O x y +−= ，()()222:369O x y −+−= ，过x 轴上一点P 分别作两圆切线，切点分别是M ，N ，求PM PN +的最小值为_____________.【解析】【分析】根据圆的切线的几何性质可推出PM PN +=可看作点(0)Pt,到((0,,A B 的距离的和，结合几何意义即可求得答案. 【详解】由题意知()221:21O x y +−= 的圆心为(0,2)，半径11r =，()()222:369O x y −+−= 的圆心为(36),，半径23r =，的设(0)P t,，则||PM =，PN ===则PM PN +==，设((0,,A B ，则||||||||||PM PNPA PB AB +≥=+， 当且仅当,,P A B 三点共线时取等号，此时PM PN +的最小值为AB ==，四. 解答题：本题共577分，其中第15题13分，第16题和第17题每题15分，第18题和第19题每题17分，解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15. 已知ABC 的角,,A B C 的对边分别为 ,,a b c ，且sin (cos cos )sin sin sin A c B b C c B c C b B +−=+，（1）求角A ;（2）若AD 平分BAC ∠交线段BC 于点D ，且2,2AD BD CD ==，求ABC 的周长. 【答案】（1）23A π=（2）9+ 【解析】【分析】（1）先利用余弦定理化简cos cos c B b C +，然后代入已知式子中利用正弦定理统一成边的形式，再利用余弦定理可求出角A ，（2）由ABCBAD CAD S S S =+ 结合AD 平分BAC ∠，23A π=可得22bc b c =+，作AE BC ⊥于E ，则由ABD ACD S S 结合已知条件可得2c b=，解方程组可求得,b c ，再利用余弦定理可求出a ，从而可求出三角形的周长.【小问1详解】由余弦定理得222222cos cos 22a c b a b c c B b C c b a ac ab+−+−+=×+×=所以sin (cos cos )sin sin sin A c B b C c B c C b B +−=+可化为sin sin sin sin a A c B c C b B −=+ 再由正弦定理，得222a cb c b −=+，得222c b a bc +−=−，所以2221cos 22b c a A bc +−==−. 因(0,)A π∈， 所以23A π= 【小问2详解】因为AD 平分BAC ∠，所以3BAD CAD π∠=∠=. 由1211sin sin sin 232323ABC BAD CAD S S S b c c AD b AD πππ=+⇒⋅=⋅+⋅ ， 得22bc b c =+. 作AE BC ⊥于E ，则1sin2321sin 23ABD ACD c AD S c BD S b DC b AD ππ⋅==⇒==⋅ .由222bc b c c b =+= ，解得6,3,c b == 由余弦定理，得2222cos 63a b c bc A =+-=，所以a =故ABC的周长为9+16. 如图，在正方体1111ABCD A B C D −中，E .F 分别是棱1DD ，11A D 的中点.为（1）证明：1B E ⊥平面ACF . （2）求二面角B AF C −−的余弦值. 【答案】（1）证明见解析 （2【解析】分析】（1）法一：建立空间直角坐标系，得到10AF EB ⋅= ，10AC EB ⋅=，所以1AF EB ⊥，1AC EB ⊥，证明出线面垂直；法二：作出辅助线，先由线面垂直得到1AC EB ⊥，再根据三角形全等得到1AF A E ⊥，进而得到AF ⊥平面11A B E ，得到1AF EB ⊥，从而证明出1B E ⊥平面ACF ； （2）利用空间向量求解二面角余弦值. 【小问1详解】法一：以D 为坐标原点，1,,DA DC DD 所在直线分别为,,x y z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系.设正方体1111ABCD A B C D −的棱长为2，则()2,0,0A ，()2,2,0B ，()0,2,0C ，()1,0,2F ，()0,0,1E ，()12,2,2B . ()1,0,2AF =−，()2,2,0AC =−，()12,2,1EB =.因为10AF EB ⋅=，10AC EB ⋅=，所以1AF EB ⊥，1AC EB ⊥. 【的因为AF AC A = ，,AF AC ⊂平面ACF ，所以1B E ⊥平面ACF . 法二：连接1A E ，BD ，11B D .在正方体1111ABCD A B C D −中，1B B ⊥平面ABCD ，所以1B B AC ⊥.因为BD AC ⊥，1B B BD B ∩=，1,B B BD ⊂平面11B BDD ，所以AC ⊥平面11B BDD . 因为1EB ⊂平面11B BDD ，所以1AC EB ⊥.因为11A B ⊥平面11ADD A ，AF ⊂平面11ADD A ，所以11A B AF ⊥.在正方形11ADD A ，E ，F 分别是边1DD ，11A D 的中点，可得111A AF D A E ≌△△，所以111A AF D A E ∠∠=，1111190EA A A AF EA A D A E ∠∠∠∠+=+=，所以1AF A E ⊥.因为1111A B A E A = ，111,A B A E ⊂平面11A B E ，所以AF ⊥平面11A B E . 因为1EB ⊂平面11A B E ，所以1AF EB ⊥.因为AC AF A ∩=，,AF AC ⊂平面ACF ，所以1B E ⊥平面ACF . 【小问2详解】结合（1）可得1EB为平面ACF 的一个法向量.()0,2,0AB =.设平面ABF 的法向量为(),,n x y z = ，则()()()()0,2,0,,201,0,2,,20AB n x y z y AF n x y z x z ⋅=⋅== ⋅=−⋅=−+=， 解得0y =，令2x =，得1z =，所以()2,0,1n =，111cos ,E nB n EB n EB ⋅==⋅. 由图可知二面角B AF C−−为锐角，故二面角BAF C −−.17. 已知某系统由一个电源和并联的,,A B C 三个元件组成，在电源电压正常的情况下，至少一个元件正常工作才可保证系统正常运行，电源及各元件之间工作相互独立.（1）电源电压X （单位：V ）服从正态分布()404N ，，且X 的累积分布函数为()()F x P X x =≤，求()()4438F F −.（2）在统计中，指数分布常用于描述事件发生的时间间隔.已知随机变量T （单位：天）表示某元件的使用寿命，T 服从指数分布，其累积分布函数为()()001104tt G t P T t t <=≤= −≥ ，，.（ⅰ）设120t t >>，证明：()()1212P T t T t P T t t >>=>−；（ⅱ）若第n 天只有元件A 发生故障，求第1n +天系统正常运行条件概率. 附：若随机变量Y 服从正态分布()2N µσ，，则()0.6827P Y −µ<σ=，()20.9545P Y −µ<σ=，()30.9973P Y −µ<σ=.【答案】（1）0.8186 （2）（ⅰ）证明见解析（ⅱ）716【解析】【分析】（1）根据正态分布的对称性即可结合()()F x P X x =≤的定义求解;（2）（ⅰ）根据条件概率的计算公式集合()()Fx P X x =≤的定义以及()G t 的定义域即可求解，（ⅱ）根据独立事件的概率公式求解即可.．【小问1详解】由题设得()738420.682P X =<<，()536440.954P X =<<，所以()()()()()()4438443840443840F F F X F X F X F X −=≤−≤=≤≤+≤≤1(0.68270.9545)0.81862=+= 【小问2详解】（ⅰ）由题设得：120t t >>的()[]12111122222()()()1()1()()()1()1()P T t T t P T t P T t G t P T t T t P T t P T t P T t G t >∩>>−≤−>>====>>−≤−112122111(1)444111(1)44t t t t t t −=−−==−−， ()()2112121211()4t t P T t t P T t t G t t −>−=−≤−=−−=,所以()()1212P T t T t P T t t >>=>−． （ⅱ）由（ⅰ）得()()1111(1)1(1)4P T n T n P T P T G >+>=>=−≤=−=，所以第1n +天元件,B C 正常工作的概率均为14． 为使第1n +天系统仍正常工作，元件,B C 必须至少有一个正常工作， 因此所求概率为2171(1)416−−=.18. 已知双曲线()2222Γ:10,0x y a b a b−=>>的实轴长为2O 的方程为222x y +=，过圆O 上任意一点P 作圆O 的切线l 交双曲线于A ，B 两点.（1）求双曲线Γ的方程； （2）求证：π2AOB ∠=； （3）若直线l 与双曲线的两条渐近线的交点为C ，D ，且AB CD λ=，求实数λ的范围.【答案】（1）2212y x −=（2）证明见解析 （3）λ∈【解析】【分析】（1）由题意列式求出212a ,c===，即可得答案；（2）分类讨论，求出00y =和00x =时，结论成立；当000x y ≠时，利用圆222x y +=在()00,P x y 处的切线方程为002x x y y +=，联立双曲线方程，可得根与系数的关系式，计算OA OB ⋅的值，即可证明结论； （3）求出弦长AB 以及CD的表达式，可得λ=. 【小问1详解】由题意知双曲线()2222Γ:10,0x y a b a b−=>>的实轴长为2故22222a c a c ab == =+，解得212a ,c===，故双曲线Γ的方程为2212y x −=；【小问2详解】证明：设()00,P x y ，则22002x y +=，当00y =时，不妨取)P ，此时不妨取,AB，则0OA OB ⋅= ，即π2AOB ∠=； 同理可证当00x =时，有π2AOB ∠=； 当000x y ≠时，圆222x y +=在()00,P x y 处的切线方程为()0000x y y x x y −=−−， 即002x x y y +=； 由2200122y x x x y y −= += 可得()222000344820x x x x x −−+−=， 因为切线l 交双曲线于A ，B 两点，故2002x <<，()()22220000340,Δ16434820x x x x −≠=−−−>， 设()()1122,,,A x y B x y ，则20012122200482,3434x x x x x x x x −+=⋅=−−，故()()121212*********OA OB x x y y x x x x x x y ⋅=+=+−−⋅ ()212012012201422x x x x x x x x x =+−++ − ()22220000222200082828143423434x x x x x x x x −− =+−+−−−−22002200828203434x x x x −−=−=−−， 故OA OB ⊥，综合上述可知π2AOB ∠=； 【小问3详解】由（2）可得当000x y ≠时，2002x <<，AB ==2212y x −=的渐近线方程为y =，联立002y x x y y=+=，得C，同理可得C ，则CD =022*******234|y ||y ||x y ||x |=−−，由于AB CD λ=，故234AB CDx λ==−由于2002x<<，则λ； 当00y =时，不妨取)P ，则4|AB ||=，此时λ=； 当00x =时，不妨取(P ，则2|AB ||=，此时λ=综合上述可知λ∈. 19. 给定常数0c >，定义函数()24f x x c x c =++−+，数列123,,,a a a 满足*1(),n n a f a n N +=∈.（1）若12a c =−−，求2a 及3a ； （2）求证：对任意*1,n n n N a a c +∈−≥，； （3）是否存在1a ，使得12,,,n a a a 成等差数列？若存在，求出所有这样的1a ，若不存在，说明理由. 【答案】见解析 【解析】【详解】（1）因为0c >，1(2)a c =−+，故2111()242a f a a c a c ==++−+=，3122()2410a f a a c a c c ==++−+=+（2）要证明原命题，只需证明()f x x c ≥+对任意x R ∈都成立，()24f x x c x c x c x c ≥+⇔++−+≥+即只需证明24+x c x c x c ++≥++若0x c +≤，显然有24+=0x c x c x c ++≥++成立；若0x c +>，则24+4x c x c x c x c x c ++≥++⇔++>+显然成立第21页/共21页综上，()f x x c ≥+恒成立，即对任意的*n ∈N ，1n n a a c +−≥ （3）由（2）知，若{}n a 为等差数列，则公差0d c ≥>，故n 无限增大时，总有0n a > 此时，1()2(4)()8n n n n n a f a a c a c a c +++−+++即8d c =+ 故21111()248a f a a c a c a c ==++−+=++， 即111248a c a c a c ++=++++，当10a c +≥时，等式成立，且2n ≥时，0n a >，此时{}n a 为等差数列，满足题意； 若10a c +<，则11448a c a c ++=⇒=−−， 此时，230,8,,(2)(8)n a a c a n c ==+=−+ 也满足题意； 综上，满足题意的1a 的取值范围是{}[,)8c c −+∞∪−−．【考点定位】考查数列与函数的综合应用，属难题．。
数学高二月考试卷
数学高二月考试卷一、选择题（每题5分，共60分）1. 椭圆frac{x^2}{25}+frac{y^2}{16}=1的长轴长为（）A. 5B. 4C. 10D. 8.2. 双曲线x^2-frac{y^2}{3}=1的渐近线方程为（）A. y = ±√(3)xB. y=±(√(3))/(3)xC. y = ± 3xD. y=±(1)/(3)x3. 抛物线y^2=2px(p>0)的焦点坐标为（）A. ((p)/(2),0)B. (-(p)/(2),0)C. (0,(p)/(2))D. (0,-(p)/(2))4. 已知向量→a=(1,2)，→b=(x,1)，若→a⊥→b，则x=（）A. - 2B. 2C. -(1)/(2)D. (1)/(2)5. 若直线y = kx + 1与圆x^2+y^2=1相切，则k=（）A. ±√(3)B. ±1C. ±2D. ±√(2)6. 在空间直角坐标系中，点P(1,2,3)关于xOy平面的对称点为（）A. (1,2,- 3)B. (-1,2,3)C. (1,-2,3)D. (-1,-2,-3)7. 设等差数列{a_n}的首项a_1=2，公差d = 3，则a_5=（）A. 14B. 17C. 20D. 23.8. 等比数列{b_n}中，b_1=1，公比q = 2，则b_4=（）A. 8B. 16C. 32D. 64.9. 函数y=sin(2x+(π)/(3))的最小正周期为（）A. πB. 2πC. (π)/(2)D. (2π)/(3)10. 已知函数f(x)=x^3-3x^2+1，则函数f(x)的单调递增区间为（）A. (-∞,0)∪(2,+∞)B. (0,2)C. (-∞,1)∪(3,+∞)D. (1,3)11. 若∫_0^a(2x + 1)dx=6，则a=（）A. 2B. 3C. 4D. 5.12. 从5名男生和3名女生中任选3人参加志愿者活动，则所选3人中至少有1名女生的选法共有（）A. 46种B. 56种C. 70种D. 80种。
高二数学月考试题
如图乙．
（1）已知 M ， N 为 PB ， PE 上的动点，求证： MN DE ；
（2）在翻折过程中，当二面角 P ED B 为 60°时，求直线 CE 与平面 PCD 所成角的正
弦值．
22．(12
分)已知椭圆 E :
x2 a2
y2 b2
1 a
b
0 上任意一点到其左右焦点 F1 、 F2 的距离之
BAA1 DAA1 600 ，则异面直线 AB1 与 BC1 所成角的余弦值是（ ）
A． 3 3
B．
2 3
C． 3 6
D．
1 3
8．已知数列{an} 的前 n 项和
Sn
3 2
n2
1 2
n
，设 bn
1 an an 1
， Tn
为数列{bn}的前 n 项和，
试卷第 1页，共 4页
若对任意的 n N*，不等式 Tn 9n 3 恒成立，则实数 的取值范围为（ ）
中项.数列bn是等差数列，且 b1 a1, b3 a1 a2 a3.
(1)求数列an,bn 的通项公式；
(2)设 cn an bn ，求数列cn的前 n 项和 Sn .
18．(12 分)已知圆 C 与 y 轴相切，圆心在 x 轴下方并且与 x 轴交于 A(1, 0)，B 9, 0 两点.
1,
0,
1
，
A
2,1,
3
为直线
l
上一点，点
P
1,
0,
2
为直线
l 外一点，则点 P 到直线 l 的距离为 3
C．若
P
在线段
AB
上，则
AP
t
AB0
t
1
河南省高二下学期2月月考数学试题(解析版)
一、单选题1．，其中，，，每一个值都是0或2这两个值中的某一个，则一100122100333=++⋯+a a a x 1a 2a ⋯100a x 定不属于 ()A ．，B ．，C ．D ． [01)(01]12,33⎡⎫⎪⎢⎣⎭12,33⎛⎤ ⎥⎝⎦【答案】C【分析】运用特殊值法，逐个排除、、，即可得出答案为．A B D C 【详解】解：本题可以用特殊值法进行排除，其中，，，每一个值都是0或2这两个值中的某一个，1a 2a ⋯100a 当得，，故错误，1231000a a a a ===⋯==0x =A 当，，，故、错误， 12a =231000a a a ==⋯==23x =B D 故选：．C 【点睛】本题根据选择题的特点，可以运用特例法进行排除得出结论，考查学生灵活运用数学方法解决问题的能力，属于基础题．2．已知公差不为0的等差数列，前项和为，满足，且成等比数列，则{}n a n n S 3110S S -=124,,a a a （ ）3a =A ．B ．C ．或D ．265612【答案】B【解析】将题设条件转化为基本量的方程组，求出基本量后可求. 3a 【详解】设等差数列的公差为，则 ， d ()()11211133103a d a a d a a d +-=⎧⎪⎨+=+⎪⎩解得或（舍），故， 122a d =⎧⎨=⎩150a d =⎧⎨=⎩()322316a =+⨯-=故选：B.【点睛】等差数列或等比数列的处理有两类基本方法：（1）利用基本量即把数学问题转化为关于基本量的方程或方程组，再运用基本量解决与数列相关的问题；（2）利用数列的性质求解即通过观察下标的特征和数列和式的特征选择合适的数列性质处理数学问题．3．已知等比数列满足，，则 {}n a 118a =35421a a a =-2a =A ． B ． C ．1 D ．21412【答案】A【分析】根据等比数列的通项公式及，代入首项即可求得公比q ，进而求得的值．35421a a a =-2a 【详解】由等比数列通项公式及，可得 ，代入 35421a a a =-24311121a q a q a q ⋅=-118a =化简得 ，即 6316640q q -+=()2380q -=所以2q =由等比数列通项公式可得 2111284a a q ==⨯=所以选A【点睛】本题考查了等比数列通项公式的简单应用，属于基础题．4．已知等差数列与等差数列的前项和分别为和，且，那么的值为{}n a {}n b n n S n T 1n n S n T n =+87a b （ ）A ．B ．C ．D ． 1312141315141615【答案】C【分析】设等差数列、的公差分别为、,由题意利用等差数列的性质求出它们的首{}n a {}n b 1d 2d 项、公差之间的关系,可得结论. 【详解】设等差数列的公差分别为和{}{},n n a b 1d 2.d ,即 11111,12n n S S a n T n T b =∴==+1112a b =,即 ① 2112122223S a d T b d +∴==+11232b d d =-,即 ② 311312333334S a d T b d +∴==+21143d d b =-由①②解得1211,.d d b d == 11811712111771526614d d a a d b b d d d ++∴===++故选：C5．已知为等差数列，公差，，则（ ）{}n a 2d =24618a a a ++=57a a +=A ．8B ．12C ．16D ．20【答案】D【解析】利用等差数列的性质求解.【详解】， 24618a a a ++=，4318a ∴=解得，46a =，64210a a d ∴=+=.576220a a a ∴+==故选：D6．四棱锥中，底面ABCD 是平行四边形，点E 为棱PC 的中点，若P ABCD -，则等于（ ）23AE x AB yBC z AP =++ x y z ++A ．1B ．C ．D ．21112116【答案】B 【解析】运用向量的线性运用表示向量，对照系数，求得，代入可111222AE AB BC AP =++ ,,x y z 得选项.【详解】因为， ()AE AB BC CE AB BC EP AB BC AP AE =++=++=++- 所以，所以，所以 ， 2AE AB BC AP =++ 111222AE AB BC AP =++ 111,2,3222x y z ===解得，所以， 111,,246x y z ===11111++24612x y z ++==故选：B.7．九连环是我国从古至今广泛流传的一种益智游戏，在某种玩法中，用表示解下（n a n ）个圆环所需的最少移动次数，满足，且，则解下4*9,≤∈n n N {}n a 11a =1121,22,n n n a n a a n ---⎧=⎨+⎩为偶数为奇数个圆环所需的最少移动次数为 （ ）A ．7B ．10C ．12D ．22【答案】A【分析】由递推式依次计算．【详解】由题意知，，， 21212111=-=⨯-=a a 32222124=+=⨯+=a a 43212417=-=⨯-=a a 故选：A.【点睛】本题考查由递推式求数列的项，解题时按照递推公式依次计算即得．8．观察下面数阵，则该数阵中第9行，从左往右数的第20个数是（ ）A ．545B ．547C ．549D ．551【答案】C【解析】观察数阵可得出数阵从左到右从上到下顺序是正奇数顺序排列，要求出某一个位置的数，只要求出这个位置是第几个奇数即可，而每一行有个数，可求出前行共有个数，根据12m -m 21m -以上特征，即可求解.【详解】由题意可得该数阵中第行有个数，m 12m -所以前行共有个数，所以前8行共255个数.m 21m -因为该数阵中的数依次相连成等差数列，所以该数阵中第9行，从左往右数的第20个数是.()127512549+-⨯=故选:C.【点睛】本题以数阵为背景，考查等差、等比数列通项与前项和，认真审题，注意观察找出规律n 是解题的关键，属于中档题.二、多选题9．设、分别是双曲线：的左右焦点，过作轴的垂线与交于，两点，1F 2F C 221y x b -=2F x C A B 若为正三角形，则下列结论正确的是（ ）1ABF AA ．B ．的焦距是2b =CC ．D ．的面积为C1ABF A 【答案】ACD【分析】设，则，根据双曲线的定义和离心率的公式可求得离心2||AF t =1||2AF t =率，从而对选项进行逐一判断即可得出答案.【详解】设，则，离心率C 正确， 2||AF t =1||2AF t =1212||||F F e AF AF ==-∴，，选项A正确，e =2b =，选项B 错误，12F F ==设，将，()AA A x y ，A x =的面积为D 正确，1ABF A 12122A S F F y =⋅⋅=故选:ACD.10．已知数列满足，下列说法中正确的有（）{}n a ()*,01N n n a n k n k =⋅∈<<A ．当时，数列为递减数列12k ={}n a B ．当时，数列不一定有最大项112k <<{}n a C ．当时，数列为递减数列 102k <<{}n a D ．当为正整数时，数列必有两项相等的最大项1kk -{}n a 【答案】CD【分析】由于，再根据k 的条件讨论即可得出. ()()1111n n n n n kn k a a n k n +++⋅+==⋅【详解】选项A ，当时，，12k =12nn a n ⎛⎫=⋅ ⎪⎝⎭∴，当时，，()111112212n n n n n a n a n n ++⎛⎫+⋅⎪+⎝⎭==⎛⎫⋅ ⎪⎝⎭1n =12a a =因此数列不是递减数列，故A 不正确．{}n a 选项B ，当时，，112k <<()()1111n n n n n k n ka a n k n +++⋅+==⋅∵随n 的增大逐渐减小，当时，， 111n n n +=+1n =()121n kk n +⋅=>当时，，且小于1， n →+∞()1n k k n+⋅→∴数列一定有最大项，故B 不正确． {}n a 选项C ．当时，，102k <<()()1111112n n n n n k n k a n a n k n n +++⋅++==<≤⋅∴，因此数列为递减数列，故C 正确．1n n a a +<{}n a 选项D ，∵为正整数，∴，∴． 1k k -1k k ≥-112k ≤<， ()()1111n n n n n k n k a a n k n+++⋅+==⋅当时，， 12k =1234a a a a =>>> 当时，令，则， 112k <<()*N 1k m m k =∈-1m k m =+∴，又，，总有成立， ()()111n n n m a a n m ++=+*N m ∈*N n ∈m n =∴， 11n na a +=因此数列必有两项相等的最大项，故D 正确．{}n a 综上可知，只有CD 正确．故选：CD.11．“中国剩余定理”又称“孙子定理”．此定理讲的是关于整除的问题，现将1到2021这2021个数中，能被2除余1且被5除余1的数按从小到大的顺序排成一列，构成数列，其前项和为{}n a n n S ，则下面对该数列描述正确的是（ ）A ．B ．C ．D ．共有202项11a =333S =437a a -=【答案】AB【分析】利用等差数列的定义、通项公式、前项和公式进行逐一判断即可.n 【详解】将1到2021这2021个数中，能被2除余1且被5除余1的数按从小到大的顺序排成一列为：1，11，21，31 ，2021，该数列是以1为首项，10为公差的等差数列， L 所以，所以，因此选项A 正确；109n a n =-11a =，因此选项B 正确； 31313210332S =⨯+⨯⨯⨯=，所以选项C 不正确；4310a a -=，∴．∴共有203项，所以选项D 不正确，1092021n -≤203n ≤故选：AB12．斐波那契数列又称黄金分割数列，因数学家列昂纳多•斐波那契以兔子繁殖为例子而引入，故又称为“兔子数列”．斐波那契数列用递推的方式可如下定义：用表示斐波那契数列的第项，则n a n 数列满足：，记，则下列结论正确的是（ ）{}n a 12211,n n n a a a a a ++===+121ni n i a a a a ==+++∑ A ．B ．C ．D ．1055a =()2233n n n a a a n -+=+≥201920211i i a a ==∑20212202120221i i a a a ==∑A 【答案】ABD【分析】根据给定条件逐项分析、推理计算即可判断作答.【详解】依题意，的前10项依次为：1，1，2，3，5，8，13，21，34，55，即，A 正{}n a 1055a =确；依题意，当时，，得，B 正3n ≥12n n n a a a --=+21213n n n n n n n n a a a a a a a a ---+=+++=++22n n a a -+=+确；由给定的递推公式得：，，…，，累加得321a a a -=432a a a -=202120202019a a a -=，20212122019a a a a a -=+++ 于是有，即，C 错误；1220192021220211a a a a a a +++=-=- 2019202111i i a a ==-∑，，，…，2121a a a =⋅()222312321a a a a a a a a =⋅-=⋅-⋅()233423432a a a a a a a a =⋅-=⋅-⋅ ()22021202120222020a a a a =⋅-，因此，，D 正确.2021202220212020a a a a =⋅-⋅22212202120212022a a a a a +++=⋅ 故选：ABD【点睛】思路点睛：涉及给出递推公式探求数列性质的问题，认真分析递推公式并进行变形，可借助累加、累乘求通项的方法分析、探讨项间关系而解决问题.三、填空题13．记为等差数列的前n 项和，已知，，则______n S {}n a 40S =510a =n n a S +=【答案】22410n n --【分析】设等差数列的公差为，然后由已知条件列方程组可求出，从而可求出答案.d 1,a d 【详解】设等差数列的公差为，d 因为，，40S =510a =所以，解得， 1143402410a d a d ⨯⎧+=⎪⎨⎪+=⎩164a d =-⎧⎨=⎩所以， 2(1)64(1)6424102n n n n a S n n n n -+=-+--+⨯=--故答案为： 22410n n --14．已知数列满足则___.{}n a 111,2(1),n n a na n a +==+8a =【答案】1024【分析】由可得，从而可得数列是以2为公比，1为首项的111,2(1),n n a na n a +==+121n n a a n n +=⋅+n a n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭等比数列，可求出通项公式，进而可求出8a 【详解】因为111,2(1),n n a na n a +==+所以， 121n n a a n n+=⋅+所以数列是以2为公比，1为首项的等比数列， n a n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭所以，所以， 112n n a n-=⨯12n n a n -=⋅所以，8137108822221024a -=⨯=⨯==故答案为：102415．《孙子算经》是我国古代的数学名著，书中有如下问题：“今有五等诸侯，共分橘子六十颗，人别加三颗．问：五人各得几何？”其意思为：“有依次为第一等，第二等，第三等，第四等，第五等的5个诸侯分60个橘子，他们分得的橘子个数成公差为3的等差数列，问5人各得多少橘子．”根据这个问题，可以得到第二等诸侯分得的橘子个数是______．【答案】9【分析】由橘子个数组成等差数列，且公差为3求解.【详解】设第一等，第二等，第三等，第四等，第五等的5个诸侯分得的橘子个数组成数列，{}n a 其公差为3，所以，解得， 515453602S a ⨯=+⨯=16a =所以，即第二等诸侯分得的橘子个数是9．29a =故答案为：916．已知数列的首项，则_________． {}n a 1111,12n na a a +==-2021a =【答案】1-【分析】根据题意，分别求得，得出数列是以为周期的周期数列，结合周期1234,,,,a a a a {}n a 3性，即可求解.【详解】由，则， 1111,12n n a a a +==-234123111111,12,1,2a a a a a a =-=-=-==-= 以此类推可知，对任意的，都有，*n ∈N 3n n a a +=即数列是以为周期的周期数列，{}n a 3因为，所以.202136732=⨯+202121a a ==-故答案为：.1-四、解答题17．记是等差数列的前项和，若，n S {}n a n 535S =-721S =-(1)求的通项公式，{}n a (2)求的最小值n S 【答案】(1)419n a n =-(2)-36【分析】（1）设的公差为d ，由等差数列的前项和公式建立方程组，然后可得公差和首项，{}n a n 从而根据等差数列的通项公式即可得答案；（2）由解得，再根据等差数列的前项和公式及二次函数的性质即可求解. 0n a ≥194n ≥n 【详解】（1）解：设的公差为d ，则，， ()1{}n a 1545352a d ⨯+=-1767212a d ⨯+=-，，；115a ∴=-4d =()1541419n a n n ∴=-+-=-（2）解：由得， 4190n a n =-≥194n ≥，，，时，时，，1n ∴=2340n a <5n ≥0n a >的最小值为. n S ∴41434362S a d ⨯=+=-18．已知数列是等差数列，且，求：{}n a 11a =1028a a -=(1)的通项公式；{}n a (2)设数列的前项和为，若对任意恒成立，求的最小值． 21n n a a +⎧⎫⎨⎬⎩⎭n n S ()12n m S m N +≤∈n N +∈m 【答案】(1)n a n =(2)9【分析】（1）根据等差数列的定义以及题中所给条件求出公差，即求出了通项公式； d （2）写出数列的前项和，再通过裂项相减法化简，放缩法求出的范围，最后结合所给条件n n S n S 数轴法求出的取值范围并求得最小值.m 【详解】（1）设数列公差为，则，{}n a d 1019a a d =+21a a d =+则，解得.102119()8a a a d a d -=+-+=1d =∴的通项公式为：{}n a 1(1)1n a n n =+-⋅=（2）根据题意， 1324221111111324n n n n n a a a a a a S a a ++=+++=+++⨯⨯ 21111111111111112324223342n n a a n n +⎛⎫⎡⎤⎛⎫⎛⎫=⨯-+-++-=⨯++++-+++ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥+⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎝⎭ . ()()111132331221242124n n n n n ⎡⎤+⎛⎫=⨯+-+=-< ⎪⎢⎥++⋅+⋅+⎝⎭⎣⎦若对任意恒成立，则，解得. ()12n m S m N +≤∈N n +∈3124m ≥9m ≥∴的最小值为9.m 19．在数列中，，对，．{}n a 11a =*n N ∀∈1(1)(1)n n na n a n n +-+=+（1）求数列的通项公式；{}n a （2）若，求数列的前项和． n b ={}n b n n S 【答案】（1）；（2） . 2n a n =1n n +【解析】（1）先由，进而说明数列是首项、公差均为11(1)(1)11n n n n a a na n a n n n n ++-+=+⇒-=+n a n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭1的等差数列，求出，即可求得； n a n n a （2）先由（1）中求得的求出，再利用裂项相消法即可求得其前项和．n a n b n n S 【详解】（1），1(1)(1)n n na n a n n +-+=+ ，又， ∴111n n a a n n +-=+111a =数列是首项、公差均为1的等差数列． ∴{)n a n ，所以； ∴()111n a n n n=+-⨯=2n a n =（2）由（1）得，2n a n =， 111(1)1n b n n n n ∴===-++． 111111(1()()1223111n n S n n n n ∴=-+-+⋯+-=-=+++【点评】本题主要考查等差数列的定义、通项公式及裂项相消法在数列求和中的应用，属于中档题．20．在等差数列中，，其前项和为，等比数列的各项均为正数，，公比为{}n a 13a =n n S {}n b 11b =，且. (1)≠q q 222212S b S q b +==，(1)求与；n a n b (2)证明：. 1211123n S S S +++< 【答案】(1)；13,3n n n a n b -==(2)证明见解析.【分析】（1）根据给定条件，列出关于公差d ，公比q 的方程组，解方程组即可计算作答. （2）由（1）的结论，求出，再利用裂项相消法求和推理作答.n S 【详解】（1）设的公差为，因，，，则，而，解{}n a d 13a =11b =222212b S S q b +=⎧⎪⎨=⎪⎩6126q d d q q ++=⎧⎪+⎨=⎪⎩0q >得：，，3q =3d =于是得，3(1)33n a n n +-⨯==11133n n n b --=⨯=所以，.3n a n =13n n b -=（2）由（1）知，则，， (33)3(1)22n n n n n S ++==12211()3(1)31n S n n n n ==-++*N n ∈于是得， 12111211111111[()((()]31223341n S S S n n +++=-+-+-++-+ 212(1)313n =-<+所以. 1211123n S S S +++< 21．已知数列的前项和满足，．{}1n a +n n S 3n n S a =*n ∈N （1）求证数列为等比数列，并求关于的表达式；{}1n a +n a n （2）若，求数列的前项和． ()32log 1n n b a =+(){}1n n a b +n n T 【答案】（1）证明详见解析；;（2）．312n n a ⎛⎫=- ⎪⎝⎭13366222n n n T n +⎛⎫⎛⎫=-⨯+⨯ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭【分析】（1）因为，即，当时()()()1211...13n n n S a a a a =++++++=12...3n n a a a n a ++++=2n ≥，两式相减再配凑得到数列是首项为，公比为的等比数1211...13n n a a a n a --++++-={}1n a +3232列，即可计算出数列的通项公式，然后计算出数列的通项公式；{1}n a +{}n a （2）根据（1）的结果计算出数列的通项公式，进一步计算出数列的通项公式，根据{}n b {(1)}n n a b +通项公式的特点运用错位相减法计算出前项和．n n T 【详解】（1）由题设，()()()1211...13n n n S a a a a =++++++=即①12...3n n a a a n a ++++=当时，，解得， 1n =1113a a +=112a =当时②2n ≥1211...13n n a a a n a --++++-=①－②得，即 1133n n n a a a -+=-13122n n a a -=+又 ()()131122n n a a n -+=+≥1312a +=所以数列是首项为，公比为的等比数列，所以 {}1n a +3232312n n a ⎛⎫+= ⎪⎝⎭故． 312nn a ⎛⎫=- ⎪⎝⎭（2）由（1），则， ()33223log 1log 2n n n b a n ⎛⎫=+== ⎪⎝⎭()312n n n a b n ⎛⎫+=⨯ ⎪⎝⎭ ()123133333123...+122222n n n T n n -⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⨯+⨯+⨯+-⨯+⨯ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭()2341333333123...1222222n n n T n n +⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⨯+⨯+⨯+-⨯+⨯ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭两式相减得123111333333...+2222222n n n n T n -+⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=++++-⨯ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭ 1333122n n n -⎛⎫⎛⎫⎛⎫=---⨯ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭13366222n n n T n +⎛⎫⎛⎫=-⨯+⨯ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭【点睛】本题主要考查数列求通项公式，以及运用错位相减法求前项和，考查学生逻辑推理能力n 和数学运算能力．属中档题．22．已知为等差数列的前项和，，.n S {}n a n 5134a a a =+416S =（1）求的通项公式；{}n a （2）求数列的前项和. 11n n a a +⎧⎫⎨⎬⎩⎭n n T 【答案】（1）；（2）. 21n a n =-21n n T n =+【分析】（1）设数列的首项为，公差为.代入已知条件解得后可得通项公式； {}n a 1a d 1,a d （2）用裂项相消法求和．n T 【详解】（1）设数列的首项为，公差为.{}n a 1a d 由题意得 11141442,4616,a d a a d S a d +=++⎧⎨=+=⎩解得 11,2.a d =⎧⎨=⎩∴数列的通项公式{}n a ()121n a n =+-.21n =-（2）由（1）得， ()()()111111221212121n n a a n n n n +==--+-+∴． 1111111...23352121⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-++- ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥-+⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦n T n n 111221n ⎛⎫=- ⎪+⎝⎭21n n =+【点睛】本题考查求等差数列的通项公式，考查裂项相消法求和．数列求和除需掌握等差数列和等比数列的前项和公式外还需掌握错位相减法、裂项相消法、分组（并项）求和法、倒序相加法等n 求和方法．。
高二数学下学期第二次月考试题含解析 试题
岷县第一中学2021-2021学年高二数学下学期第二次月考试题〔含解析〕制卷人：打自企； 成别使； 而都那。
审核人：众闪壹； 春壹阑； 各厅…… 日期：2022年二月八日。
一、选择题(12小题，每一小题5分，一共60分) 1. 10sin 3π⎛⎫⎪⎝⎭的值等于〔 〕A.12 B. －12D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据诱导公式及特殊角的三角函数值求解.【详解】1044sin sin(2)sin sin()sin 333332πππππππ⎛⎫=+==+=-=- ⎪⎝⎭, 应选：D【点睛】此题主要考察了诱导公式，特殊角的三角函数值，属于容易题. 2. 假设角600°的终边上有一点〔-4，a 〕，那么a 的值是〔 〕A. B. ± C. -【答案】C 【解析】∵角600︒的终边上有一点()4,a -，根据三角函数的定义可得tan 6004a︒=-，即()4tan 6004tan 540604tan 60a =-︒=-+=-︒=-，应选C.3. 函数cosx sinx tanxsinx cos a xy x t n +=+的值域是〔 〕A. {}1,0,1,3-B. {}1,0,3-C. {}1,3-D. {}1,1-【答案】C 【解析】 【分析】因为角x 的终边不能落在坐标轴上，所以分别求出角x 终边在第一、第二、第三、第四象限时，根据三角函数的正负性，函数的表达式，进而求出函数的值域. 【详解】由题意可知：角x 的终边不能落在坐标轴上， 当角x 终边在第一象限时，1+1+1=3cosx sinx tanxsinx cosx y tanx++==； 当角x 终边在第二象限时，111=1cosx sinx tanxsinx cosx tanxy ++=---=； 当角x 终边在第三象限时，111=1cosx sinx tanxsinx cosx tanxy ++=--+-=； 当角x 终边在第四象限时，111=1,cosx sinx tanxsinx co tanxy sx ++=-+--=因此函数的值域为{}1,3-，应选C.【点睛】此题考察了三角函数的正负性、分类讨论思想、数学运算才能.4. ,A B 两名同学在5次数学考试中的成绩统计如下边的茎叶图所示，假设,A B 两人的平均成绩分别是,A B x x ，观察茎叶图，以下结论正确的选项是〔 〕A. A B x x <，B 比A 成绩稳定B. A B x x >，B 比A 成绩稳定C. AB x x <，A 比B 成绩稳定D. A B x x >，A 比B 成绩稳定【解析】 【分析】计算A 、B 的平均数，并且观察A 、B 的五次成绩离散程度，即可得出正确的结论． 【详解】由茎叶图可知A 平均成绩为818285941185++++=92. B 的成绩为8898971041035++++=98.从茎叶图上可以看出B 的数据比A 的数据集中，B 的成绩比A 的成绩稳定， 应选A.【点睛】此题考察了茎叶图的应用问题，解题时应观察茎叶图中的数据，根据数据解答问题，是根底题． 5. 从一批产品中取出三件产品，设A 为“三件产品全不是次品〞，B 为“三件产品全是次品〞，C 为“三件产品至少有一件是次品〞，那么以下结论正确的选项是〔 〕 A. 任何两个均不互斥 B. 任何两个均互斥 C. B 与C 互斥 D. A 与C 互斥【答案】D 【解析】 【分析】首先根据题意得到A ，B ，C 表示的事件，再依次判断选项即可得到答案. 【详解】由题知：A 表示“三件产品全是正品〞；B 表示“三件产品全是次品〞，C 表示“三件产品一件次品，二件正品〞，“三件产品两件次品，一件正品〞，“三件产品全是次品〞，三种情况.所以A 与B 互斥，A 与C 互斥，B 与C 不互斥. 应选项A ，B, C 错误，D 正确.【点睛】此题主要考察互斥事件的判断，同时考察学生分析问题的才能，属于简单题.6. 某研究性学习小组调查研究学生使用智能手机对学习的影响，局部统计数据如表()2P K k≥k那么以下选项正确的选项是〔〕A. 有99.5%的把握认为使用智能手机对学习有影响B. 有99.5%的把握认为使用智能手机对学习无影响C. 有99.9%的把握认为使用智能手机对学习有影响D. 有99.9%的把握认为使用智能手机对学习无影响【答案】A【解析】【分析】根据2K的值，结合附表所给数据，选出正确选项.【详解】依题意()22304216810787912182010K⨯⨯-⨯==>⨯⨯⨯.，故有99.5%的把握认为使用智能手机对学习有影响，应选：A.【点睛】此题主要考察22⨯列联表HY 性检验的知识，属于根底题. 7. 设α角属于第二象限，且coscos22αα=-，那么2α角属于〔 〕 A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限D. 第四象限【答案】C 【解析】 【分析】由α是第二象限角，知2α在第一象限或者在第三象限，再由|cos |cos 22αα=-，知cos 02α<，由此能判断出角2α所在象限． 【详解】α是第二象限角，90360180360k k α∴︒+︒<<︒+︒，k Z ∈45180901802k k α∴︒+︒<<︒+︒k Z ∈，当2,k n n =∈Z 时，2α在第一象限， 当21,k n n Z =+∈时，2α在第三象限，∴2α在第一象限或者在第三象限， |cos|cos22αα=-，cos02α∴<∴2α角在第三象限． 应选：C ．【点睛】此题考察角所在象限的判断，是根底题，比拟简单．解题时要认真审题，注意纯熟掌握根底的知识点．8. tan α=，32ππα<<，那么cos sin αα-的值是〔 〕A.【答案】B 【解析】 【分析】首先根据题意得到22sin cos sin cos 1αααα⎧=⎪⎨⎪+=⎩，再解不等式组即可得到答案.【详解】由题知：22sin cos sin cos 1αααα⎧=⎪⎨⎪+=⎩，解得sin 1cos 2αα⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩或者sin 1cos 2αα⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩.因为32ππα<<，所以sin 1cos 2αα⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩.所以1cos sin 2αα-+-=. 应选：B【点睛】此题主要考察同角三角函数关系，属于简单题.9. 函数[]2()255f x x x x =--∈-，，，在定义域内任取一点0x ，使0()0f x ≤的概率是 A.110B.23C.310D.45【答案】C 【解析】试题分析：∵f〔x 〕≤0⇔x 2-x-2≤0⇔-1≤x≤2， ∴f〔x 0〕≤0⇔-1≤x 0≤2，即x 0∈[-1，2]， ∵在定义域内任取一点x 0，∴x 0∈[-5，5]，∴使f 〔x 0〕≤0的概率P=2(1)35(5)10--=--，应选C考点：几何概型概率的计算点评：简单题，根据几何概型的意义和求法，将此类概率转化为长度、面积、体积等“几何度量〞之比． 10. 一组数据中的每一个数据都乘以2，再减去80，得到一组新数据，假设求得新的数据的平均数是，方差是，那么原来数据的平均数和方差分别是〔 〕 ，，4.4 ，，【答案】A 【解析】 【分析】设出原来的一组数据，使数据中的每一个数据都都乘以2，再都减去80，得到一组新数据求得新数据的平均数是，方差是，根据这些条件列出算式，合并同类项，做出原来数据的平均数，再利用方差的关系式求出方差结果．【详解】设原来的一组数据是1x ，2n x x ⋯，每一个数据乘以2，再都减去80 得到新数据且求得新数据的平均数是，方差是，122802802801.2n x x x n-+-+⋯-=∴12222 1.28081.2n x x x n++⋯=+=1240.6nx x x n ++⋯=又数据都减去同一个数，没有改变数据的离散程度，12x ∴，222n x x ⋯ 的方差为：，从而原来数据1x ，2n x x ⋯的方差为：214.4 1.12⨯=． 应选：A ．【点睛】此题考察了平均数和方差的计算公式即运用：一般地设有n 个数据，1x ，2x ，n x ⋯，假设每个数据都放大或者缩小一样的倍数后再同加或者同减去一个数，其平均数也有相对应的变化，方差那么变为这个倍数的平方倍，属于容易题．11. 假设角α的终边落在直线0x y +=〕 A. 0 B. 2- C. 2 D. 2-或者2【答案】A 【解析】 【分析】由角α的终边落在直线0x y +=上，那么角α的终边落在第二象限或者第四象限，分类讨论，利用三角函数的定义，求得sin ,cos αα的值，代入即可求解．【详解】由题意，假设角α的终边落在直线0x y +=上，那么角α的终边落在第二象限或者第四象限，当角α的终边在第二象限时，根据三角函数的定义，可得sin 2cos 2αα⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩，0cos α+=；当角α的终边在第四象限时，根据三角函数的定义，可得sin 2cos 2αα⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，0=，应选A.【点睛】此题主要考察了三角函数的定义及其应用，其中解答中熟记三角函数的定义，合理分类讨论是解答的关键，着重考察了分类讨论思想，以及推理与运算才能，属于根底题.12. 假设点(),P sin cos tan ααα-在第一象限， 那么在[0,2)π内α的取值范围是〔 〕.A. 5,,424ππππ⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭B. 35,,244ππππ⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭C. 353,,2442ππππ⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭D. 33,,244ππππ⎛⎫⎛⎫⋃⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭【答案】A 【解析】 【分析】根据点的位置，可以列出不等式组，根据单位圆，解这个不等式组，得出答案，也可以用排除法，根据这个不等式组，对四个选项逐一判断，得出答案. 【详解】点(),P sin cos tan ααα-在第一象限，sin cos 0,tan 0.ααα->⎧⇒⎨>⎩sin cos ,tan 0.ααα>⎧⇒⎨>⎩，如以下图所示：在[)0,2π内α的取值范围是5,,424ππππ⎛⎫⎛⎫⋃⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，此题选A.【点睛】此题考察了利用单位圆中的三角函数线解三角不等式组． 二、填空题 (4小题，每一小题5分，一共20分)13. 口袋内装有100个大小一样的红球、白球和黑球，其中有45个红球；从中摸出1个球，假设摸出白球的概率为0.23，那么摸出黑球的概率为____________． 【答案】 【解析】试题分析：因为摸出白球的概率是0.23，所以由古典概型概率公式，知白球的个数为1000.2323⨯=，所以黑球的个数为100234532--=，所以摸出黑球的概率为320.32100=． 考点：古典概型．14. 扇形的周长等于它所在圆的周长的一半，那么这个扇形的圆心角是__________． 【答案】(π2)rad - 【解析】试题分析：设扇形的半径R ，弧长l ，根据题意2R l R π+=，解得2l R π=-，而圆心角2l Rαπ==-.故答案填2π-.考点：扇形的弧长、圆心角．15. cos ,1()(1)1,1x x f x f x x π<⎧=⎨-->⎩，那么15()()33f f +的值是__________________．【答案】1- 【解析】113<，11()cos 332f π∴== ，513>，52213()()1cos 1133322f f π∴=-=-=--=-，那么1513()()13322f f +=-=- .16. 求使sin α>的α的取值范围是________________ 【答案】()22,2,33k k k Z ππππ⎛⎫++∈ ⎪⎝⎭【解析】 【分析】根据正弦函数性质解不等式. 【详解】32sin 22,233k k k Z ππαπαπ>∴+<<+∈ 【点睛】此题考察正弦函数性质，考察根本分析求解才能，属根底题.三、解答题 (6大题，一共70分)17. 化简求值，设222sin ()sin (2)sin()322()cos ()2cos()f πθθθθθθπ++π-+--=π+--，求()3f π的值. 【答案】2【解析】【分析】利用诱导公式、同角三角函数的根本关系式化简()f θ，再求得()3f π的值.【详解】依题意()2222cos sin cos 3cos 2cos 2cos cos 2cos f θθθθθθθθθ++--==--， 所以2cos 2cos 21133213cos 2cos cos cos 2cos 333233f ππππππππ--⎛⎫===== ⎪⎛⎫⎝⎭--⋅ ⎪⎝⎭. 【点睛】本小题主要考察诱导公式、同角三角函数的根本关系式，属于根底题.18. 某中学组织了地理知识竞赛，从参加考试的学生中抽出40名学生，将其成绩〔均为整数〕分成六组[)40,50，[)50,60，…，[]90,100，其局部频率分布直方图如下图．观察图形，答复以下问题．〔1〕求成绩在[)70,80的频率，并补全这个频率分布直方图：〔2〕估计这次考试的及格率〔60分及以上为及格〕和平均分；〔计算时可以用组中值代替各组数据的平均值〕〔3〕从成绩在[)40,50和[]90,100的学生中选两人，求他们在同一分数段的概率．【答案】〔1〕〔2〕75%；71〔3〕715【解析】【分析】根据各组的频率之和等于1，即可得出成绩在[)70,80的频率。
2023-2024学年广东省广州市高二下册2月月考数学试题(含解析)
2023-2024学年广东省广州市高二下册2月月考数学试题一、单选题1．在ABC 中，若sin cos 0A B ⋅<，则这个三角形的形状是（）A ．锐角三角形B ．钝角三角形C ．直角三角形D ．不能确定【正确答案】B【分析】根据三角形内角的范围，结合三角函数值在各象限的符号分析判断即可.【详解】在ABC 中，则(),0,πA B ∈，故0sin 1A <≤，∵sin cos 0A B ⋅<，则cos 0B <，∴ππ2B <<，故这个三角形是钝角三角形．故选：B ．2．已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，2184S =，则11a =（）A ．22B ．10C ．8D ．4【正确答案】D【分析】利用等差数列求和公式和下标和性质可直接求得结果.【详解】{}n a 是等差数列，()12121112121842a a S a +∴===，解得：114a =．故选：D ．3．抛物线21:4E y x =的焦点到其准线的距离为（）A ．18B ．14C ．2D ．4【正确答案】C【分析】将抛物线方程化为标准式，即可得到p ，再根据p 的几何意义得解；【详解】解：抛物线21:4E y x =，即24x y =，则24p =，所以2p =，所以抛物线的焦点到其准线的距离为2p =.故选：C4．已知直线1:10l ax y +-=与22:0l x ay a +-=平行，则=a （）A ．1B ．1-C ．0D ．1或1-【正确答案】B【分析】由两直线平行的条件求解．【详解】因为12l l //，所以2210,0,a a a ⎧-=⎨-≠⎩解得1a =-.故选：B ．5．在四面体OABC 中，OA a = ，OB b = ，OC c = ，且2OP PA = ，BQ QC =，则PQ 等于（）A ．211322a b c--+B ．211322a b c-++ C ．211322a b c+-D ．211322a b c-+【正确答案】B【分析】根据空间向量的线性运算即可求解.【详解】解：由题知，()11321132211322211322PQ PA AB BQOA OB OA BC OA OB OA OC OB OA OB OCa b c=++=+-+=+-+-=-++=-++故选：B.6．已知数列{}n a 满足：211n n n a a a -+=⋅()2n ≥，若23a =，24621a a a ++=，则468a a a ++=（）A ．84B ．63C ．42D ．21【正确答案】C【分析】利用题意得到{}n a 是等比数列，故设其公比为()0q q ≠，可得到2433321q q ++=，可得到22q =，即可求得答案【详解】∵211n n n a a a -+=⋅()2n ≥，∴数列{}n a 是等比数列，设其公比为()0q q ≠，∵23a =，2424633321a a a q q ++=++=，即4260q q +-=，解得22q =或23q =-（舍去），∴()222468246246242a a a a q a q a q a a a ++=++=++=，故选：C.7．已知π02α<<，π1sin 263α⎛⎫-=- ⎪⎝⎭，则πsin 6α⎛⎫+= ⎪⎝⎭（）AB．CD．【正确答案】A【分析】利用ππ226π62αα⎛⎫+- ⎪⎝⎭⎛⎫-= ⎪⎝⎭求得ππcos 2sin 266αα⎡⎤⎛⎫⎛⎫+=-- ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦，利用α的范围和21cos 2sin 2θθ-=可得答案.【详解】因为ππ226π62αα⎛⎫+- ⎪⎝⎭⎛⎫-= ⎪⎝⎭，所以πππ22626αα⎛⎫⎛⎫+=+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，即ππππ1cos 2cos 2sin 262663ααα⎡⎤⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=+-=--= ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎣⎦，因为π02α<<，所以ππ2π623α<+<，所以πsin 06α⎛⎫+> ⎪⎝⎭，所以2π11cos21π163sin 6223αα⎛⎫-+- ⎪⎛⎫⎝⎭+=== ⎪⎝⎭，可得πsin 63α⎛⎫+= ⎪⎝⎭.故选：A.8．双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>与抛物线28y x =有共同的焦点2F ，双曲线左焦点为1F ，点P 是双曲线右支一点，过1F 向12F PF ∠的角平分线作垂线，垂足为,1N ON =，则双曲线的离心率是（）A ．2BC ．43D1【正确答案】A【分析】由抛物线的方程得焦点2(2,0)F ，延长1F N 交2PF 的延长线于点M ，由角平分线的性质得1PF PM =且1F N NM =，由中位线的性质得22F M =，根据双曲线的定义求得1a =，由双曲线的离心率公式即可得到答案.【详解】由抛物线28y x =的焦点2(2,0)F ，故2c =，延长1F N 交2PF 的延长线于点MPN 是12F PF ∠的角平分线，1F N PN ⊥于点N ，1PF PM ∴=且1F N NM=点O 是12F F 的中点，//ON PM∴212ON F M = 1ON =22F M ∴=由双曲线的定义得122PF PF a -=,故12222PF PF a F M -===1a ∴=故双曲线的离心率为221c e a ===故选：A.二、多选题9．设函数()2sin 36f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，则（）A ．()f x 的最小正周期为2πB ．5,018π⎛⎫⎪⎝⎭是()f x 的一个对称中心C ．()f x 向左平移9π个单位后为偶函数D ．先将函数2sin 23y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象向右平移12π个单位后，再将所得图象上各点的横坐标变为原来的23倍，纵坐标不变，得到函数()f x 的图象.【正确答案】BCD【分析】根据函数的周期性，对称性，奇偶性，图像平移对应解析式变化规律即可求解.【详解】()2sin 36f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，所以()f x 的最小正周期为23T π=，故选项A 错；()552sin 32sin 018186f ππππ⎛⎫⎛⎫=⨯+== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以5,018π⎛⎫ ⎪⎝⎭是()f x 的一个对称中心，所以选项B 正确；()f x 向左平移9π个单位后为()2sin 32sin 32cos3962f x x x x πππ⎡⎤⎛⎫⎡⎤=++=+= ⎪⎢⎥⎢⎥⎝⎭⎣⎦⎣⎦，所以函数为偶函数，所以选项C 正确；先将函数2sin 23y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象向右平移12π个单位后，函数变为2sin 22sin(2)1236y x x πππ⎡⎤⎛⎫=-+=+ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦，再将所得图象上各点的横坐标变为原来的23倍，纵坐标不变，变为32sin 22sin 3266y x x ππ⎛⎫⎛⎫=⋅⋅+=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，得到函数()f x 的图象.故选项D 正确；故选：BCD.10．设数列{}n a 的前n 项和为n S ，若213,2n n a S S n +==+，则（）A ．12a =B ．1n na S +>C ．{}1n a +是等比数列D ．2n n S ⎧⎫⎨⎩⎭是单调递增数列【正确答案】ABD【分析】A 选项，根据23a =，12n n S S n +=+，赋值法求出12a =，A 正确；C 选项，利用构造法得到()1121n n a a ++=+，又()21121a a +≠+，从而C 错误；B 选项，求出2,121,2n n n a n =⎧=⎨-≥⎩，进而得到12S =，当2n ≥时，121n n S n +=--，分两种情况判断得到1n n a S +>，B 正确；D 选项，比较出212122S S >，结合作差法得到当2n ≥时，1122n nn n S S ++>，从而证明出结论.【详解】A 选项，12n n S S n +=+中，令1n =得：2121S S =+，即12121a a a +=+，因为23a =，所以12a =，A 正确；C 选项，12n n S S n +=+，①当2n ≥时，121n n S S n -=+-，②两式相减得：11221n n n n S S S S +--=-+，即121n n a a +=+，设()12n n a a λλ++=+，则12n n a a λ+=+，所以1λ=，故()1121n n a a ++=+，又113a +=，214a +=，()21121a a +≠+，故当2n ≥时，{}1n a +为等比数列，公比为2，C 错误；B 选项，当2n ≥时，21422n n n a -+=⨯=，故21n n a =-，所以2,121,2n n n a n =⎧=⎨-≥⎩，当1n =时，12S =，当2n ≥时，()23222121212221n nn S n =+-+-++-=+++-- ()112212112n n n n ++-=--=---，当1n =时，211a S a >=，当2n ≥时，由于112211n n n ++>---，故1n n a S +>，综上：1n n a S +>，1n ≥，B 正确；D 选项，当1n =时，1112S =，当2n ≥时，11222212n n n n n S n n+--+==-，当2n =时，2121125212442S S +=-=>=，又当2n ≥时，11111111122202222222n n n n n n n n n S S n n n n n++++++++++-=--+=-=>，故当2n ≥时，1122n nn nS S ++>，综上：2n n S ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是单调递增数列，D 正确.故选：ABD11．已知O 为坐标原点，点F 为抛物线C ：24y x =的焦点，点()4,4P ，直线l ：1x my =+交抛物线C 于A ，B 两点（不与P 点重合），则以下说法正确的是（）A ．1FA ≥B ．存在实数m ，使得π2AOB ∠<C ．若2AF FB =，则4m =±D ．若直线PA 与PB 的倾斜角互补，则2m =-【正确答案】ACD【分析】对于A ，由焦半径公式运算可得；对于B ，将抛物线方程与直线方程联立，并由向量夹角计算可得；对于C ，将选项B 中联立结果代入向量坐标进行计算可得；对于D ，将选项B 中联立结果代入PA 与PB 斜率进行计算可得.【详解】由已知，抛物线C ：24y x =，∴2p =，12p=，焦点()1,0F ，不妨设为()11,A x y ，()22,B x y ，设A ，B 到准线的距离分别为A d ，B d ，对于A ，∵由标准方程知，抛物线顶点在原点，开口向右，10x ≥，∴由抛物线的定义11112A pFA d x x ==+=+≥，故选项A 正确；对于B ，241y xx my ⎧=⎨=+⎩消去x ，化简得2440y my --=（0∆>），则124y y m +=，124y y =-，∵24y x =，∴24y x =，∴221212116y y x x ==，∵()11,OA x y =，()22,OB x y=，∴12121430OA OB x x y y ⋅=+=-=-< ，∴cos cos ,0OA OBAOB OA OB OA OB ⋅∠==< ，∴π2AOB ∠>，∴不存在实数m ，使得π2AOB ∠<，选项B 错误；对于C ，()111,AF x y =-- ，()221,FB x y =-，∵2AF FB =，∴()()()1122221,21,22,2x y x y x y --=-=-，∴122y y -=又∵由选项B 判断过程知124y y m +=，124y y =-，∴解得1y =，2y =4m =或1y =-，2y =4m =，∴若2AF FB =，则m =C 正确；对于D ，由题意，14x ≠，24x ≠，14y ≠，24y ≠，直线PA 与PB 的倾斜角互补时，斜率均存在，且PA PB k k =-，∴12124444y y x x --=---，代入2114y x =，2224y x =，化简得1280y y ++=，由选项B 的判断知，124y y m +=，∴480m +=，∴2m =-，故选项D 正确.故选：ACD.12．如图，已知正方体1111ABCD A B C D -的梭长为2，P 为正方形底面ABCD 内的一动点，则下列结论正确的有（）A ．三棱雉111B A D P -的体积为定值B ．存在点P ，使得11D P AD ⊥C ．若11D P B D ⊥，则P 点在正方形底面ABCD 内的运动轨迹是线段ACD ．若点P 是AD 的中点，点Q 是1BB 的中点，过P Q ，作平面α⊥平面11ACC A ，则平面α截正方体1111ABCD A B C D -的截面周长为【正确答案】ACD【分析】对于A ，利用111111B A D P P A B D V V --=可得，A 正确；对于B ，建立空间直角坐标系，根据11D P AD ⊥，计算得满足条件的点P 不在平面ABCD 内，故B 错误；对于C ，建立空间直角坐标系，根据11D P B D ⊥，可得方程2x y +=，判断C 正确；对于D ，关键找到直线BD ，使//BD 平面α，且PQ ⊂平面α，以BD 为参照线作出平面α与正方体各个侧面的交线，得到截面图形，计算得答案，D 正确.【详解】对于A ，P 为正方形底面ABCD 内一点时，由111111B A D P P A B D V V --=，三棱锥111P A B D -的高不变，底面积也不变，所以体积为定值，故A 正确；对于B ，以D 为坐标原点，分别以1,,DA DC DD 为,,x y z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系，设(),,0P x y ，则()()()()()11110,0,2,2,0,0,2,2,2,,,2,2,0,2D A B D P x y AD =-=-，若11D P AD ⊥，则110D P AD ⋅= ，所以240x --=即2x =-，此时P 点不在底面ABCD 内，与题意矛盾，故B 错误；对于C ，因为()12,2,2B D =--- ，若11D P B D ⊥，110D P BD =⋅，所以22+40x y --=即2x y +=，所以P 的轨迹就是线段AC ，故C 正确；对于D ，因为BD AC ⊥，1BD AA ⊥，又AC ⊂平面11AAC C ，1AA ⊂平面11AAC C ，1AC AA A =∩，所以BD ⊥平面11AAC C ，因为面α⊥平面11ACC A ，,BD PQ 异面，BD ⊄平面α，所以//BD 平面α，以BD 为参照线作出平面α与正方体各个侧面的交线，如图所示，易知每个侧面的交线均相等，长度为正方体的面对角线的一半，由于正方体的梭长为2，故面对角线长为所以截面周长为6，故D正确．故选：ACD.三、填空题13．若sin cos ()x a x x +∈R 的最小值为2-，则实数a 的值为__．【正确答案】【分析】根据题意结合辅助角公式运算求解.【详解】∵()sin cos x a x x ϕ+=+，由题意得2=-，所以a =．故答案为.14．已知数列{}n a 的前n 项和满足121n n S +=-，则n a =__________.【正确答案】3,12,2n nn a n =⎧=⎨≥⎩【分析】直接利用11,1,2n n n S n a S S n -=⎧=⎨-≥⎩求解即可.【详解】当2n ≥时，()()1121212n n n n nn a S S +----==-=，当1n =时，1111213a S +==-=，不符合2nn a =3,12,2n nn a n =⎧∴=⎨≥⎩故3,12,2n n n a n =⎧=⎨≥⎩15．已知点P 为直线y =P 作圆224x y +=的切线，切点分别为A 、B ，且90APB ∠≥︒，则动点P 的轨迹的长度为____________．【正确答案】【分析】由圆切线的性质，将90APB ∠≥ 转化为||OP ≤由此求得点P 横坐标的范围,进而得动点P 的轨迹的长度.【详解】因为90APB ∠≥ ,所以45APO ∠≥ ,所以||2sin sin 45||||2OA APO OP OP ∠=== ，解得||OP ≤设点P 的坐标为(x ,所以≤解得x ≤所以动点P 的轨迹的长度为故答案为.16．如图，直三棱柱111ABC A B C -中，AC ⊥BC ，AC =，3BC =，点P 在棱1BB 上，且1PA PC ⊥，当1APC 的面积取最小值时，三棱锥-P ABC 的外接球的表面积为______．【正确答案】28π【分析】先设出BP =x ，1B P y =，利用22211PA PC AC +=求出9xy =，结合基本不等式求出3323,2x y ==时，1APC 面积取得最小值，补形后三棱锥-P ABC 的外接球即该长方体AP 的外接球，求出外接球半径和表面积.【详解】由勾股定理得：22794AB AC BC =+=+=，设BP =x ，1B P y =，则216PA x +22211119PC B C B P y =+=+()222117AC AC CC x y =+=++，由22211PA PC AC +=得：()2221697x y x y +++=++，解得：9xy =，因为1PA PC ⊥，故122221169111225169222APC x S AP PC x y y =⋅=++=++由基本不等式得：2216924216y x xy +≥=，当且仅当43y x =，即3323,2x y ==将三棱锥-P ABC 补形为长方体AP ，则三棱锥-P ABC 的外接球即该长方体AP 的外接球，其中长方体AP 222791227AC BC BP ++=++=7-P ABC 的外接球的表面积为4π728π=.故28π四、解答题17．在数列{}n a 中,12a =,1122n n n a a ++=+,设2n n na b =.（1）证明：数列{}n b 是等差数列并求数列{}n a 的通项公式；（2）求数列{}n a 的前n 项和.【正确答案】（1）证明过程见详解；2n n a n =⋅；（2）1(-1)2+2n n T n +=⋅.【分析】（1）根据题意，计算11n n b b +-=，根据等差数列的定义，即可得出结论成立；进而可求出n b n =，从而得出{}n a 的通项公式；（2）先记数列{}n a 的前n 项和为n T ，根据错位相减法，即可求出结果.【详解】（1）因为1122n n n a a ++=+，2n n na b =，所以111112212222n n n n n n n n n n n a a a a b b +++++-=-=-=+，所以数列{}n b 是公差为1的等差数列；又12a =，所以11112a b ==，因此n b n =，即2n n a n =⋅；（2）记数列{}n a 的前n 项和为n T ，则21212222n n n T a a a n =++⋅⋅⋅+=⋅+⋅+⋅⋅⋅+⋅①所以231212222n n T n +=⋅+⋅+⋅⋅⋅+⋅②①-②得2112(12)2222212n n n n n n n T ++-=++⋅⋅⋅+-⋅=-⋅--1112-22-2(-1)2n n n n n +++=-⋅=-⋅所以1(-1)2+2n n T n +=⋅.本题主要考查由递推关系证明等差数列，以及求数列的通项与数列的求和问题，熟记等差数列概念，通项公式，等比数列的求和公式，以及错位相减法求数列的和即可，属于常考题型.18．如图，在三棱柱111ABC A B C -中，11,,AB BC BC BC AB BC ⊥⊥=，E 、F 分别为线段111AC A C 、的中点．(1)求证：EF ∥面11BCC B ；(2)求证：BE ⊥面11AB C ．【正确答案】(1)证明见解析；(2)证明见解析；【分析】（1）利用三角形中位线证得1//EF AA ，由此证得1//EF BB ，从而证得//EF 平面11BCC B .（2）首先通过证明BC ⊥平面1ABC ，证得BE BC ⊥，由此证得11BE B C ⊥，根据等腰三角形的性质证得1BE AC ⊥，由此证得BE ⊥平面11AB C .【详解】（1）因为E ，F 分别为线段1,AC 11A C 的中点，所以1//EF A A ，因为11//B B A A ，所以1//EF B B ．又因为EF ⊄平面11BCC B ，111B B BCC B ⊂，所以//EF 面11BCC B ．（2）因为1,BC BC ⊥,AB BC ⊥1AB C B B = ，AB ⊂平面1ABC ,1BC ⊂平面1ABC 所以BC ⊥平面1ABC ．因为BE ⊂平面1ABC ，所以BE BC ⊥．又因为11//BC B C ，所以11BE B C ⊥．因为1AB BC =，E 为1AC 的中点，所以1BE AC ⊥，因为1111AC B C C ⋂=，1AC ⊂面11AB C ,11B C ⊂面11AB C ,所以BE ⊥面11AB C ．19．已知在锐角ABC 中，M 是BC 的中点，且4AB =，2AC =．(1)求sin sin BAM MAC∠∠的值；(2)若cos MAC ∠=ABC 的面积．【正确答案】(1)12【分析】（1）由题意有BM MC =，sin sin AMB AMC ∠=∠，在ABM 和AMC 中，利用正弦定理，可求sin sin BAM MAC∠∠的值；（2）由()sin sin BAC BAM MAC ∠=∠+∠求出sin BAC ∠的值，再利用面积公式1sin 2ABC S AB AC BAC =⋅⋅∠求解即可.【详解】（1）锐角ABC 中，M 是BC 的中点，且4AB =，2AC =，如图所示：∴BM MC =，()sin sin πsin AMB AMC AMC ∠=-∠=∠，在ABM 中，由正弦定理，有sin sin =∠∠AB BM AMB BAM ，在AMC 中，由正弦定理，有sin sin AC MC AMC MAC=∠∠，则sin sin 1sin sin 2BM AMB BAM AC AB MC AMC MAC AB AC∠∠===∠∠（2）锐角ABC中，由cos MAC ∠=sin MAC ∠=sin BAM ∠=cos 8BAM ∠=，∴()sin sin BAC BAM MAC ∠=∠+∠sin cos cos sin BAM MAC BAM MAC =∠∠+∠∠=+=所以ABC的面积为11sin 4222ABC S AB AC BAC =鬃�创20．如图，AB 为半球M 的直径，C 为AB 上一点，P 为半球面上一点，且AC PC ⊥．(1)证明：PB PC ⊥；(2)若2AC AM ==，PB =PC 与平面PAB 所成的角的正弦值．【正确答案】(1)见解析；【分析】(1)由AC BC ⊥,AC PC ⊥可得AC ⊥平面PBC ，进而可得AC ⊥PB ，又由于PA PB ⊥,所以可得PB ⊥平面PAC ，即可得PB PC ⊥；(2)利用等体积法求得点C 到平面PAB 的距离为5h =，设直线PC 与平面PAB 所成的角为θ，则有sin h PC θ=，即可得答案.【详解】（1）证明：因为AB 为半球M 的直径，C 为AB 上一点，所以AC BC ⊥,又因为AC PC ⊥，BC PC C ⋂=，,BC PC ⊂平面PBC ，所以AC ⊥平面PBC ，又因为PB ⊂平面PBC ，所以AC ⊥PB ，又因为P 为半球面上一点，所以PA PB ⊥,PA AC A = ,,PA AC ⊂平面PAC ，所以PB ⊥平面PAC ，PC ⊂平面PAC ，所以PB PC ⊥；（2）解：因为三角形ABC 为直角三角形，24,2AB AM AC ===，所以BC =，又因为PB =PB ⊥平面PAC ，所以PC =又因为三角形PAB 也是直角三角形，所以PA =.所以11222PAC SAC PC =⋅⋅=⨯=，1122PAB S PA PB =⋅⋅==设点C 到平面PAB 的距离为h ，则有C PAB B PAC V V --=,即1133PAB PAC S h S PB ⋅=⋅,所以PAC PABS PBh S ⋅===设直线PC 与平面PAB 所成的角为θ，则sin h PC θ=21．已知椭圆2222:1(0)x y T a b a b+=>>，斜率为12-的直线1l 与椭圆T 只有一个公共点31,2P ⎛⎫ ⎪⎝⎭(1)求椭圆T 的标准方程；(2)过椭圆右焦点F 的直线与椭圆T 相交于,A B 两点，点C 在直线2:4l x =上，且//BC x 轴，求直线AC 在x 轴上的截距.【正确答案】(1)22143x y +=(2)52【分析】(1)根据点在椭圆上可得221914a b +=，又因为直线与椭圆只有一个交点，可得判别式等于零得到方程22144b a +=即可求解；(2)设出直线,A B 的方程，利用韦达定理，再表示出AC 在x 轴上的截距关于,A B 坐标的等量关系，即可求解.【详解】（1）依题意，直线1l 的方程为13(1)22y x =--+，即122y x =-+，由22221221y x x y a b⎧=-+⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，消去y 得2222222()2404a b x a x a a b +-+-=.由于直线1l 与椭圆T 只有一个公共点P ，故Δ0=，即22144b a +=，因为31,2P ⎛⎫ ⎪⎝⎭在椭圆上，所以221914a b +=，即2219116a a+=-，整理得428160a a -+=，解得224,3a b ==，故椭圆T 的标准方程.22143x y +=（2）方法一：依题意直线AB 斜率不为0，可设直线AB 为11221,(,)(,)x ty A x y B x y =+，则()24,C y ，联立椭圆方程22143x y +=，可得()2234690t y ty ++-=223636(34)0t t ∆=++>，由韦达定理得12122269,3434t y y y y t t +=-=-++，进而，有()121232ty y y y =+由直线AC 的方程为1221(4)4y y y x y x -=-+-，得直线AC 在x 轴上的截距为12221211212123()3(4)(3)524442y y y y x y y x y y y y y y +----=+=-+=-+=---故直线AC 在x 轴的上截距为52.方法二：设()()1122,,A x y B x y ，则()24,C y ，则直线AC 的方程为1221(4)4y y y x y x -=-+-，则直线AC 在x 轴的截距为2112(4)4y x x y y -=-+-，若AB 垂直于x 轴，则111(1,),(1,),(4,)A y B y C y --，所以直线AC 与x 轴交点为5,02N ⎛⎫ ⎪⎝⎭，截距为52.若AB 不垂直于x 轴，设直线AB 的方程为()1,0y k x k =-≠.与椭圆方程22143x y +=联立，得()()2222348430k x k x k +-+-=，4226416(34)(3)0k k k ∆=-+->由韦达定理有()22121222438,3434k k x x x x k k-+==++.直线AC 在x 轴的截距为22121211121212(1)(1)(44)(4)4(4)44(1)(1)k x x x x x x x x x k x k x x x x x -------+=-+=-+=+-----又因为()22121222438,3434k k x x x x k k -+==++所以21212221314(1),()534234k x x x x k k --=+=++所以121211(1)()152x x x x --++=，所以121254()2x x x x +=+所以121212121212121253()4()(44)5224442x x x x x x x x x x x x x x x x -+++-----++=+=+=---故直线AC 在x 轴上的截距为52.方法三：右焦点为()1,0F ，直线2:4l x =与x 轴相交于点E 为()4,0,EF 的中点为5,02N ⎛⎫ ⎪⎝⎭若AB 垂直于x 轴，则111(1,),(1,),(4,)A y B y C y --，所以直线AC 与x 轴交点为5,02N ⎛⎫ ⎪⎝⎭，截距为52.若AB 不垂直于x 轴，设直线AB 的方程为11222(1),0,(,),(,),(4,)y k x k A x y B x y C y =-≠与椭圆方程22143x y +=联立，得()()2222348430k x k x k +-+-=，4226416(34)(3)0k k k ∆=-+->由韦达定理有()22121222438,3434k k x x x x k k -+==++又12x <，得1502x -≠，故直线,AN CN 的斜率分别为112122112(1)2,(1)55253422y k x y k k k x x x -===----所以121121212113(1)(1)(25)225()8232525x x x k x x x x k k k x x -----++--=⋅=--.因为2222212122224(3)88(3)408(34)25()8258343434k k k k k x x x x k k k ---+-+-++-=-⋅+-=+++所以120k k -=，即12k k =，故,,A C N 三点共线.因为对于任意直线,AB N 点都是唯一确定的，所以，直线AC 与x 轴交点为5,02N ⎛⎫ ⎪⎝⎭，即直线AC 在x 轴上的截距为52.22．已知数列{}n a 满足11a =，()121n n a a n *+=+∈N .(1)求数列{}n a 的通项公式；(2)若数列{}n b 满足()()312111144441n n b b b b b n a n ----*=+∈N ，证明{}n b 是等差数列；(3)证明.()122311232n n n a a a n n a a a *+-<+++<∈N 【正确答案】(1)21n n a =-(2)证明见解析(3)证明见解析【分析】（1）推导出数列{}1n a +为等比数列，确定该数列的首项和公比，可求得数列{}n a 的通项公式；（2）由已知条件变形可得出()12322n n b b b b n nb ++++-= ，令1n =可求得1b 的值，令2n ≥，由()12322n n b b b b n nb ++++-= 可得()()()123112211n n b b b b n n b --++++--=- ，两式作差结合等差中项法可证得结论成立；（3）推导出11112322n n n a a +-≤<⋅，利用不等式的基本性质可证得结论成立.【详解】（1）解：因为11a =，()121n n a a n *+=+∈N ，则()1121n n a a ++=+且112a +=，所以，数列{}1n a +是等比数列，且该数列的首项和公比均为2，11222n n n a -∴+=⨯=，21n n a ∴=-.（2）解：对任意的N n *∈，()3121111444412n n n b b b b b n b n a ----+== ，所以，()12322n n b b b b n nb ++++-= ，当1n =时，1122b b -=，解得12b =；当2n ≥时，由()12322n n b b b b n nb ++++-= 可得()()()123112211n n b b b b n n b --++++--=- ，上述两个等式作差可得()1221n n n b nb n b --=--，即()()1212n n n b n b ----=-，所以，()112n n n b nb +--=-，故()()()11121n n n n n b nb n b n b +---=---，化简可得112n n n b b b +-+=，因此，数列{}n b 为等差数列.（3）解：1112121121222n n n n n n a a +++--=<=-- ，所以，122312n n a a a n a a a ++++<L ，()()1111112121111112212123222232221n nn n n n n n n n a a +++++--==-=-≥---⋅+-⋅- ，所以，122231111111111162123222223322312n n n n n a a a n n n n a a a +⎛⎫- ⎪⎛⎫⎝⎭+++≥+++=-=-+>- ⎪⋅⎝⎭- .因此，对任意的N n *∈，122311232n n a a a n n a a a +-<+++< .关键点点睛：解本题的第（3）问的关键在于利用放缩法推导出11112322n n n a a +-≤<⋅，再利用数列求和结合不等式进行推导，从而证得结论成立.。
2022-2023学年高二下学期第二次月考数学试题(解析版)
泗县二中2022~2023学年度第二学期高二第二次联考数学全卷满分150分，考试时间120分钟.注意事项：1.答卷前考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上，并将条形码粘贴在答题卡上的指定位置.2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效.3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并收回.4.本卷主要考查内容：选择性必修第三册第六章～第七章.一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 为了方便广大市民接种新冠疫苗，提高新冠疫苗接种率，某区卫健委在城区设立了12个接种点，在乡镇设立了29个接种点．某市民为了在同一接种点顺利完成新冠疫苗接种，则不同接种点的选法共有（ ） A. 31种 B. 358种C. 41种D. 348种【答案】C 【解析】【分析】根据题意该市民可选择的接种点为两类，一类为乡镇接种点，另一类为城区接种点,由加法原理计算可得答案.【详解】该市民可选择的接种点为两类，一类为乡镇接种点，另一类为城区接种点，所以共有种不同接种点的选法．29+12=41故选：C ．2. 已知随机变量服从两点分布，，则其成功概率为（ ） X ()0.6E X =A. 0.3 B. 0.4C. 0.5D. 0.6【答案】D 【解析】【分析】根据两点分布的期望即可求解.【详解】随机变量服从两点分布，设成功的概率为，X p．()()0110.6E X p p p ∴=⨯-+⨯==故选:D ．3. 若随机变量的分布列如表，则的值为（ ）(|2|1)P X -=X 1 2 3 4P 1414a 13A.B.C. D.5121271223【答案】A 【解析】【分析】根据概率分布列的性质求出a 的值，由求得结果．(|2|1)(1)(3)P X P X P X -===+=【详解】根据题意可得， 111114436a =---=所以. 115(|2|1)(1)(3)6412P X P X P X -===+==+=故选：A.4. 如图，杨辉三角出现于我国南宋数学家杨辉1261年所著的《详解九章算法》中，它揭示了（n ()n a b +为非负整数）展开式的项数及各项系数的有关规律．由此可得图中第10行排在偶数位置的所有数字之和为（ ）A. 256B. 512C. 1024D. 1023【答案】B 【解析】【分析】由图形以及二项式系数和的有关性质可得. 【详解】由图知，第10行的所有数字之和为，0123456789101010101010101010101010102C C C C C C C C C C C ++++++++++=由二项式系数和的性质知，第10行排在偶数位置的所有数字之和为． 10125122⨯=故选：B 5. 的展开式中，的系数与常数项之差为（ ）()()22122x xx --+2x A. －3 B. －1C. 5D. 7【答案】C 【解析】【分析】取即可得常数项，将多项式化为，根据二项式定理，分别求出0x =()()4211x x +--()41x -，中的项数，再求和，即可求得的系数，即可得出结果. ()21x -2x 2x 【详解】解：因为，()()()()()()22222412211111x xx x x x x ⎡⎤++⎣--+=--=--⎦取可得常数项为：，0x =()()24121--+=在中，含的项为， ()41x -2x ()2222341C 6T x x -==在中，含的项为，()21x -2x ()0202121C T x x -==所以的展开式中，的系数为，()()22122x xx --+2x 617+=所以的系数与常数项之差为. 2x 72=5-故选：C6. 已知随机变量，且，又()21,,6,,,3X Y X B Y N μσ⎛⎫~~ ⎪⎝⎭()()E X E Y =()()23P Y m P Y m ≤-=≥，则实数的值为（ ） m A. 或4 B.C. 4或1D. 51-1-【答案】A 【解析】【分析】根据二项分布的期望公式可得，进而由正态分布的对称性即可求解. 2μ=【详解】由题意可知， ()()()()162,,3E X E Y E X E Y μ=⨯===得，当时，，解得或4，2μ=()()23P Y m P Y m ≤-=≥234mm -=1m =-故选：．A7. 某校从高一､高二､高三中各选派名同学参加“党的光辉史”系列报告会，其中三个年级参会同学中8女生人数分别为，，，学习后，学校随机选取一名同学汇报学习心得，结果选出一名女同学，则该456名女同学来自高三年级的概率为（ ） A.B.C.D.253581513【答案】A 【解析】【分析】设事件为“24人中抽出一名女同学”，事件为“24人中抽出一名高三同学”，分别求得A B ，，代入条件概率公式即可求解.()P A ()P AB 【详解】设事件为“24人中抽出一名女同学”，事件为“24人中抽出一名高三同学”，A B 则，，. ()45615524248P A ++===()61244P AB ==()()()25P AB P B A P A |==故选：A. 8. 已知，则()()()()()7292012921111x x a a x a x a x --=+-+-++-…（） ()()1357924682a a a a a a a a a ++++++++=A. 8 B. 5C. 2D. 4【答案】D 【解析】【分析】取代入等式可得，分别取，代入等式，组成方程组，联立即可得1x =0a 2x =0x =，代入即可求得结果.135792468,a a a a a a a a a +++++++【详解】解：因为，()()()()()7292012921111x x a a x a x a x --=+-+-++-…取代入可得：，1x =00a =取代入可得：①， 2x =23456780192a a a a a a a a a a ++++++++=+取代入可得：②， 0x =23456780192a a a a a a a a a a -+-++-+-=-①+②再除以2可得：，所以， 246802a a a a a +++=+24682a a a a ++=+①-②再除以2可得：，135790a a a a a ++++=所以.()()1357924682224a a a a a a a a a ++++++++=⨯=故选：D二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9. 已知随机变量满足，则下列选项正确的是（ ） X ()()5,2E X D X ==A. B. ()2111E X +=()2110E X +=C. D.()219D X +=()218D X +=【答案】AD 【解析】【分析】利用数学期望以及方差的运算性质，求解即可.【详解】，．()()212125111E X E X +=+=⨯+=()()()22124428D X D X D X +=⋅==⨯=故选：AD ．10. 对于的展开式，下列说法正确的是（ ）81x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭A. 展开式共有8项 B. 展开式中的常数项是70 C. 展开式中各项系数之和为0 D. 展开式中的二项式系数之和为64 【答案】BC 【解析】【分析】利用二项式定理和二项式系数的性质判断各选项.【详解】的展开式共有9项，故A 错误；81x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭展开式中的常数项为，故B 正确；44481C 70x x ⎛⎫⨯⨯-= ⎪⎝⎭令，则展开式中各项系数之和为，故C 正确； 1x =()8110-=展开式中的二项式系数之和为，故D 错误. 82256=故选：BC11. 下列说法正确的是（ ） A. 可表示为10111220⨯⨯⨯⨯ 1020AB. 6个朋友聚会，见面后每两人握手一次，一共握手15次C. 若把英义“”的字母顺序写错，则可能出现的错误共有59种sorry D. 将4名医护人员安排到呼吸、感染两个科室，要求每个科室至少有1人，则共有8种不同的安排方法 【答案】BC 【解析】【分析】根据排列数的计算公式可判断A ；两两握手，即随便选出两人握手的所有可能结果数，通过计算即可判断B ；先对进行排列，再将放入位置中即可，列出式子计算即可判断C ；按3，1分,,s o y r 组，和2，2分组两种情况，分别求出对应的安排方法，相加即可判断D.【详解】对于A 选项，，故A 错误；1020A 11121320=⨯⨯⨯⨯ 对于B 选项，6人两两握手，共握（次），故B 正确；2615C =对于C 选项，在5个位置中选出3个位置，对s ，o ，y 进行排列，剩下两个位置将r 放入即可，排列共有（种），正确的有1种，则可能出现的错误共有（种），故C 正确； 3353C A 60=60159-=对于D 选项，将4人按3，1分组，共（种）分法，再分到科室有（种）分法；14C 4=22A 2=将4人按2，2分组，共有（种）分法，再分到科室有（种）分法.24C 32=22A 2=故每个科室至少有1人，共有（种）安排方法，故D 错误. 423214⨯+⨯=故选：BC.12. 某商场举办一项抽奖活动，规则如下：每人将一枚质地均匀的骰子连续投掷3次，记第i 次正面朝上的点数为，若“”，则算作中奖，现甲､乙､丙､丁四人参加抽奖活动，记中奖人数()1,2,3i a i =123a a a <<为，下列说法正确的是（ ）X A. 若甲第1次投掷正面朝上的点数为3，则甲中奖的可能情况有4种 B. 若甲第3次投掷正面朝上的点数为5，则甲中奖的可能情况有6种 C. 甲中奖的概率为 554P =D. ()1027E X =【答案】BCD 【解析】【分析】求得甲第1次投掷正面朝上的点数为3时甲中奖的可能情况判断选项A ；求得甲第3次投掷正面朝上的点数为5时甲中奖的可能情况判断选项B ；求得甲中奖的概率判断选项C ；求得的值判()E X断选项D.【详解】当时，甲中奖情况有种，故错误； 13a =231A 32=A 当时，甲中奖情况有种，故B 正确； 35a =241A 62=甲中奖情况如下：当时，共有1种；33a =当时，共有种；当时，中奖情况有种， 34a =231A 32=35a =241A 62=当时，共有种；36a =251A 102=记“”的事件为A ，则中奖的可能情况共有种，∴123a a a <<1361020+++=所有可能情况有种，，故C 正确； 111666C C C 216=()20521654P A ∴==四人参加抽奖，每人中奖的概率均为， 554中奖人数，所以，故D 正确． 54,54X B ⎛⎫~ ⎪⎝⎭()51045427E X =⨯=故选：BCD ．三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13. 从甲地去乙地有4班火车，从乙地去丙地有3班轮船，若从甲地去丙地必须经过乙地中转，则从甲地去丙地可选择的出行方式有______________种． 【答案】12 【解析】【分析】由分步乘法计数原理可得答案.【详解】由分步乘法计数原理知从甲地去丙地可选择的出行方式有（种）． 3412⨯=故答案为：12.14. 设随机变量，则__________．13,3X B ⎛⎫⎪⎝⎭ ()1P X ≥=【答案】1927【解析】【分析】根据二项分布的概率计算公式即可求解.【详解】随机变量服从． ()()0303111193,,1101C 133327X B P X P X ⎛⎫⎛⎫⎛⎫~∴≥=-==-⨯⨯-= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭故答案为：192715. 有3台车床加工同一类型的零件，第1台加工的次品率为4%，第2，3台加工的次品率均为5%，加工出来的零件混放在一起，已知第1，2，3台车床加工的零件数分别占总数的20%，30%，50%，现从加工出来的零件中任取一个零件，则取到的零件是次品，且是第2台车床加工的概率为______. 【答案】## 5160.3125【解析】【分析】根据题意可知，次品是由3台机床共同造成的，利用全概率公式和条件概率公式即可求得结果. 【详解】记为事件“零件为第台车床加工”，为事件“任取一个零件为次品”， i A ()1,2,3i i =B 则，， ()10.2P A =()()230.3,0.4P A P A ==所以由全概率公式可得()()()()()()112233()P B P A P B A P A P B A P A P B A =++∣∣∣;0.20.040.30.050.50.050.048=⨯+⨯+⨯=由条件概率公式可得.()()()2220.30.055()0.04816P A P B A P A B P B ⨯===∣∣故答案为：51616. 已知两个不透明的盒中各有形状､大小都相同的红球､白球若干个，盒中有个红,A B A (08)m m <<球与个白球，盒中有个红球与个白球，若从两盒中各取1个球，表示所取的2个8m -B 8m -m ,A B ξ球中红球的个数，则的最大值为__________． ()D ξ【答案】##0.5 12【解析】【分析】由可能的取值，计算相应的概率，得到期望和方差，根据方差的算式，利用基本不等式求最ξ大值.【详解】的可能取值为，ξ0,1,2， ()()8808864m m m m P ξ--==⋅=， ()22288(8)832188886432m m m m m m m m P ξ---+-+==⋅+⋅==， ()()8828864m m m m P ξ--==⋅=所以的分布列为ξ ξ01 2P()864m m -283232m m -+()864m m -，()()()2888320121643264m m m m m m E ξ---+=⨯+⨯+⨯= ()()()222288832(01)(11)(21)643264m m m m m m D ξ---+=-⨯+-⨯+-⨯，当且仅当时，等号成立， ()28181323222m m m m -+-⎛⎫=≤⨯= ⎪⎝⎭4m =所以的最大值为． ()D ξ12故答案为：12四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤.17. 已知二项式的展开式中共有10项．(2n（1）求展开式的第5项的二项式系数； （2）求展开式中含的项． 4x 【答案】（1）126 （2）418x 【解析】【分析】（1）根据项数可求得，根据二项式系数与项数之间关系列出等式，解出即可； 9n =（2）由（1）中的，求出通项，使的幂次为4，求出含的项即可. 9n =x 4x 【小问1详解】解：因为二项式的展开式中共有10项，所以， 9n =所以第5项的二项式系数为； 49C 126=【小问2详解】由（1）知，记含的项为第项，9n =4x 1r +所以，(()992199C 2C 21r rrr rr rr Tx --+==-取，解得，所以，42r =8r =()88814299C 2118T x x =-=故展开式中含的项为.4x 418x 18. 为迎接年美国数学竞赛，选手们正在刻苦磨练，积极备战，假设模拟考试成绩从低到2023()AMC 高分为、、三个等级，某选手一次模拟考试所得成绩等级的分布列如下：123XX 1 23P 0.30.50.2现进行两次模拟考试，且两次互不影响，该选手两次模拟考试中成绩的最高等级记为． ξ（1）求此选手两次成绩的等级不相同的概率； （2）求的分布列和数学期望． ξ【答案】（1）0.62（2）分布列见解析， () 2.27E ξ=【解析】【分析】（1）计算出该选手连续两次成绩的等级相同的概率，利用对立事件的概率公式可求得所求事件的概率；（2）分析可知，随机变量的可能取值有、、，求出随机变量的可能取值，可得出随机变量的ξ123ξξ分布列，进而可求得的值. ()E ξ【小问1详解】解：此选手连续两次成绩的等级相同的概率为， 2220.30.50.20.38++=此选手两次成绩的等级不相同的概率为.∴10.380.62-=【小问2详解】解：由题意可知，的所有可能取值为、、，ξ123，()10.30.30.09P ξ==⨯= ， ()20.50.30.30.50.50.50.55P ξ==⨯+⨯+⨯=．()()30.20.30.520.20.20.36P ξ==⨯+⨯+⨯=的分布列为ξ∴ξ 1 2 3P 0.090.550.36则数学期望． ()10.0920.5530.36 2.27E ξ=⨯+⨯+⨯=19. 现有4名男生、3名女生站成一排照相．（用数字作答） （1）两端是男生，有多少种不同的站法？ （2）任意两名男生不相邻，有多少种不同的站法？（3）男生甲要在女生乙的右边（可以不相邻），有多少种不同的站法？ 【答案】（1）1440（2）144 （3）2520【解析】【分析】（1）特殊位置特殊考虑，先取两位男生放置在两端，另5位全排列，列出等式，计算即可； （2）不相邻问题插空，先将另3名女生全排列，空出4个位置，让男生插空站入， 列出等式，计算即可；（3）排序问题，先在7个位置中找到5个位置，让除甲乙外的另5人排列，后将甲乙站入， 列出等式，计算即可. 【小问1详解】解：先选2名男生排两端有种方法，再排其余学生有种方法，24A 55A 所以两端是男生的不同站法有（种）；2545A A 1440=【小问2详解】先排3名女生有种方法，再将4名男生插入4个空隙中有种方法，33A 44A 所以任意两名男生不相邻的不同站法有（种）； 4343A A 144=【小问3详解】先在7个位置中找到5个位置，让除甲乙外的另5人排列共有：种方法， 57A 再将甲乙按照甲在乙右边的顺序，放置另两个位置中共1种，所以男生甲要在女生乙的右边的不同站法有（种）．57A 2520=20. 设甲袋中有4个白球和4个红球，乙袋中有1个白球和2个红球（每个球除颜色以外均相同）．（1）从甲袋中取4个球，求这4个球中恰好有3个红球的概率；（2）先从乙袋中取2个球放人甲袋，再从甲袋中取2个球，求从甲袋中取出的是2个红球的概率． 【答案】（1） 835（2）727【解析】【分析】（1）利用组合数求出从8个球中取4个球，4个球中恰好有3个红球、1个白球的取法数，进而求概率；（2）应用全概率公式求从甲袋中取出的是2个红球的概率即可. 【小问1详解】依题意，从8个球中取4个球有种取法，48C 其中4个球中恰好有3个红球，即恰好有3个红球、1个白球，有种取法，3144C C 所以4个球中恰好有3个红球的概率； 314448C C 8C 35P ==【小问2详解】记为从乙袋中取出1个红球、1个白球，为从乙袋中取出2个红球，为从甲袋中取出2个红球，1A 2A B 则，，()()1222122233C C 21,C 3C 3P A P A ====()()225612221010C C 21|,|C 9C 3P B A P B A ====所以． ()()()()()112222117||393327P B P B A P A P B A P A =⋅+⋅=⨯+⨯=21. 每年的4月23日是联合国教科文组织确定的“世界读书日”，又称“世界图书和版权日”，为了解某地区高一学生阅读时间的分配情况，从该地区随机抽取了1000名高一学生进行在线调查，得到了这1000名学生的日平均阅读时间（单位：小时），并将样本数据分成，，，，，[]0,2(]2,4(]4,6(]6,8(]8,10，，，九组，绘制成如图所示的频率分布直方图.(]10,12(]12,14(]14,16(]16,18（1）求的值：a （2）为进一步了解这1000名学生数字媒体阅读时间和纸质图书阅读时间的分配情况，从日平均阅读时间在，两组内的学生中，采用分层抽样的方法抽取了10人，现从这10人中随机抽取3(]8,10(]10,12人，记日平均阅读时间在内的学生人数为，求的分布列和数学期望. (]10,12X X 【答案】（1）0.10a =（2）分布列见解析， ()65E X =【解析】【分析】（1）根据所以频率和为1进行计算;（2）根据分层抽样可得相应组抽取的人数，则服从超几何分布，根据X 进行计算求解． ()310346C C ,0,1,2,3C k kP X k k -===【小问1详解】由频率分布直方图得：.解得； ()20.020.030.050.050.150.050.040.011a ++++++++=0.10a =【小问2详解】 由频率分布直方图得：这1000名学生中日平均阅读时间在，两组内的学生人数之比为， (]8,10(]10,120.15:0.13:2=若采用分层抽样的方法抽取了10人，则从日平均阅读时间在内的学生中抽取（人） (]8,1031065⨯=在日平均阅读时间在内的学生中抽取4人，(]10,12现从这10人中随机拍取3人，则服从超几何分布，其可能取值为0，1，2，3，X ，，()36310C 2010C 1206P X ====()1246310C C 6011C 1202P X ====，，()2146310C C 3632C 12010P X ====()34310C 413C 12030P X ====∴的分布列为：XX 0 123P 1612310 130. ()1131601236210305E X =⨯+⨯+⨯+⨯=22. 企业的产品正常生产时，产品尺寸服从正态分布，从当前生产线上随机抽取W D p p (80,0.25)N 400件产品进行检测，产品尺寸汇总如下表. 产品尺寸/mm [76,78.5](78.5,79](79,79.5](79.5,80.5](80.5,81](81,81.5](81.5,83]件数 85151160 724012根据产品质量标准和生产线的实际情况，产品尺寸在以外视为小概率事件．一旦小概率(3,3]μσμσ-+事件发生视为生产线出现异常，产品尺寸在以内为正品，以外为次品.(3,3]μσμσ-+ ()0.6827,(22)0.9545,P x P X μσμσμσμσ-<≤+≈-<≤+≈.(33)0.9973P X μσμσ-<≤+≈（1）判断生产线是否正常工作，并说明理由；（2）用频率表示概率，若再随机从生产线上取3件产品复检，正品检测费20元/件，次品检测费30元/件，记这3件产品检测费为随机变量，求的数学期望及方差. X X 【答案】（1）生产线没有正常工作，理由见解析（2）数学期望是，方差是1232574【解析】【分析】（1）求出正常产品尺寸范围，再由超出正常范围以外的零件数即可判断生产线有没有正常工作．（2）记这3件产品中次品件数为，则服从二项分布，求出，因为Y Y 13,20B ⎛⎫⎪⎝⎭()(),E Y D Y ，由均值和方差的性质即可求出.1060X Y =+()(),E X D X【小问1详解】依题意，有， 80,0.5μσ==所以正常产品尺寸范围为.(78.5,81.5]生产线正常工作，次品不能多于（件）， 400(10.9973) 1.08⨯-=而实际上，超出正常范围以外的零件数为20，故生产线没有正常工作； 【小问2详解】依题意尺寸在以外的就是次品，故次品率为. (78.5,81.5]20140020=记这3件产品中次品件数为，则服从二项分布， Y Y 13,20B ⎛⎫ ⎪⎝⎭则， 1311957()3,()320202020400E Y D Y =⨯==⨯⨯=，20(3)301060X Y Y Y =-+=+所以的数学期望（元）， X 123()10()602E X E Y =+=方差.5757()100()1004004D X D Y ==⨯=。
湖北省武汉市高二下学期2月月考数学试题(解析版)
一、单选题1．已知函数可导，且满足，则函数在x ＝3处的导数为()f x 0(3)(3)lim2x f x f x∆→-∆-=∆()y f x =（ ） A ．2 B ．1 C ．－1 D ．－2【答案】D【分析】根据导数的定义即可得到答案. 【详解】由题意，，所以.()()()()()Δ0Δ03Δ33Δ3lim lim3ΔΔx x f x f f x f f xx→→----=--'=-()32f '=-故选：D.2．已知圆：和定点，若过点可以作两条直线与圆相C ()2222200x y kx y k k ++++=<()1,1P -P C 切，则的取值范围是（ ） k A ．B ． (),1-∞-()(),12,-∞-+∞C ．D ．()(),20,-∞-⋃+∞(),2-∞-【答案】D【分析】把圆的方程化为标准方程，由过点可以作两条直线与圆相切，可知点在圆外，列出P C P 不等式即可得到的取值范围.k 【详解】圆：化为标准方程：，C 222220x y kx y k ++++=()()2211x k y +++=过点可以作两条直线与圆相切，()1,1P -C 点在圆外，将点代入圆方程得：，∴()1,1P -()1,1P -()()221111k ++-+>（舍去）或，0k ∴>2k <-的取值范围是.k ∴(),2-∞-故选：D.3．已知等差数列满足，则数列的前5项和为（ ） {}n a ()23544,41a a a a =+=-{}n a 5S A ．15 B ．16C ．20D ．30【答案】A【分析】根据给定条件，利用等差数列性质求出，再利用前n 项和公式计算作答. 4a 【详解】等差数列中，，解得，而， {}n a 354424(1)a a a a =+=-42a =24a =所以数列的前5项和. {}n a 152455()5()1522a a a a S ++===故选：A4．如果直线与直线关于直线对称，那么（ ） 2y ax =+3y x b =-y x =A ． B ．C ．D ．1,63a b ==1,63a b ==-3,2a b ==-3,6a b ==【答案】A【分析】由题意在上任取一点，其关于直线的对称点在上，代入可求2y ax =+(0,2)y x =3y x b =-出，然后在上任取一点，其关于直线的对称点在上，代入可求出. b 3y x b =-y x =2y ax =+a 【详解】在上取一点，2y ax =+(0,2)则由题意可得其关于直线的对称点在上， y x =(2,0)3y x b =-所以，得， 06b =-6b =在上取一点，36y x =-(0,6)-则其关于直线的对称点在上，y x =(6,0)-2y ax =+所以，得，062a =-+13a =综上， 1,63a b ==故选：A5．已知抛物线的焦点为，点在抛物线上，点在圆上，则216x y =F P Q ()()22:264E x y -+-=的最小值为（ ）PQ PF +A ．12 B ．10 C ．8 D ．6【答案】C【分析】作于，由抛物线的定义可得，.根据三角形的三边关系可得，PH l ⊥H PF PH =，，可知要使取得最小值，则需四点共PQ PH QH +≤QH EH EQ ≥-PQ PH +,,,E Q P H 线，则过过点，作，垂足为，交圆于点，交抛物线于，可得出最小值. E 1EH l ⊥1H 1EH 1Q 1P 【详解】由题意知，圆心，半径，抛物线的焦点，准线.()2,6E 2r =()0,4F :4l y =-如图，作于，因为在抛物线上，所以. PH l ⊥H P PF PH =因为，，当三点共线时，取等号. PQ PH QH +≤,,P Q H 又，则当三点共线时，取等号.QH EH EQ ≥-,,E Q H 过点，作，垂足为，交圆于点，交抛物线于， E 1EH l ⊥1H 1EH 1Q 1P 此时，有四点共线，则上述两式可同时取等号. 111,,,E Q P H 所以有，. ()()111111n 11mi 6428P E Q PH Q H EH Q +==-=---=所以，的最小值为8. PQ PF +故选：C.6．已知数列的前n 项和为，，，，数列的前n 项和为，{}n a n S 11a =12n n na S +=()1nn n b a =-{}n b n T 则（ ） 100T =A ．0 B ．50C ．100D ．2525【答案】B【分析】法一：先利用求出，利用累乘法得到11,1,2n n n S n a S S n -=⎧=⎨-≥⎩()112n n a n n a n ++=≥()*N n a n n =∈，再分组求和；法二：先利用求出，又易知，从而得到为常数列，求出11,1,2n n n S n a S S n -=⎧=⎨-≥⎩11n n a a n n +=+2121a a =n a n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭，再分组求和.n a n =【详解】法一：由于①，则当时，②， 12n n na S +=2n ≥()112n n n a S --=①-②，得，即，易知， ()112n n n na n a a +--=11n n a n a n ++=2121a a =所以． ()3211212312121n n n a a a na a n n a a a n -=⋅⋅⋅⋅=⨯⨯⨯⨯=≥- 又满足，故，则，11a =n a n =()*N n a n n =∈()1nn b n =-⋅易知，所以.1234991001b b b b b b +=+==+= 10050T =法二：由于①，则当时，②， 12n n na S +=2n ≥()112n n n a S --⋅=①-②，得，即，又易知， ()112n n n na n a a +--=11n n a a n n +=+2121a a=所以数列为常数列，所以，所以，则，n a n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭111n a a n ==n a n =()1nn b n =-⋅易知，所以. 1234991001b b b b b b +=+==+= 10050T =故选：B ．7．设是双曲线的右焦点，为坐标原点，过作的一条渐近线的垂F 2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>O F C 线，垂足为，若的内切圆与轴切于点，且，则的离心率为（ ）H FOH △x B 3BF OB =C A BC D【答案】A【分析】首先求出，由，通过运算得到，再利用之间的关2a b cr +-=3BF OB = 22b a c =+,,,e a b c 系得到关于的方程，解出即可.e e 【详解】解：双曲线的渐近线方程为：，即， by x a=±0bx ay ±=到渐近线的距离为，(),0F c ∴FH b ==，则直角三角形的内切圆的半径， OH a ∴==FOH 2a b cr +-=如图，设三角形的内切圆与切于，则，，可得FH M 2a b c MH r +-==3BF OB = 34FM BF c==，， 342a b c BF MH c FH b +-∴+=+==即，则， 22b a c =+2222244444b c a c ac a =-=++所以， 228430a ac c +-=由，， e ca=23e 4e 80∴--=，. e 1>Q e ∴=故选：A.8．已知函数的定义域为R ，且满足，对任意实数都有()f x ()19f =12,x x ，若，则中的最大项为（ ）()()()211212991010x xf x x f x f x ⎛⎫⎛⎫+=+ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭()n a f n ={}n a A ． B ． C ．和 D ．和9a 10a 8a 9a 9a 10a 【答案】D【分析】方法一：由条件变形为，采用赋值法令()1212109x x f x x +⎛⎫+ ⎪⎝⎭()()1212101099x x f x f x ⎛⎫⎛⎫=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭可得，推出数列是首项为，公差为10的12,1x n x ==()()1101011099n nf n f n +⎛⎫⎛⎫+=+ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭10{()}9n n a 10等差数列，求得，判断其单调性，即可求得答案.()91010nn a f n n ⎛⎫==⨯ ⎪⎝⎭【详解】方法一：由题意，()()()211212991010x xf x x f x f x ⎛⎫⎛⎫+=+ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭可得，()1212109x x f x x +⎛⎫+ ⎪⎝⎭()()1212101099x x f x f x ⎛⎫⎛⎫=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭令，而，得，12,1x n x ==()19f =()()1101011099n nf n f n +⎛⎫⎛⎫+=+ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭即，即()()1101011099n nf n f n +⎛⎫⎛⎫+-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭1110101099n nn n a a ++⎛⎫⎛⎫-= ⎪⎪⎝⎭⎝⎭即数列是首项为，公差为10的等差数列，10{(}9n n a 11101091099a ⎛⎫=⨯= ⎪⎝⎭所以，则，()10109nf n n ⎛⎫= ⎪⎝⎭()91010nn a f n n ⎛⎫==⨯ ⎪⎝⎭则，()1199910(1)109101010n n nn n a a n n n ++⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=+⨯-⨯=- ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭当时，；当 时，；当时，， 8n ≤1n n a a +>9n =1n n a a +=10n ≥1n n a a +<所以中最大项为和， {}n a 9a 10a 故选：D. 方法二：由，()()()211212991010x xf x x f x f x ⎛⎫⎛⎫+=+ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭得，()()()12121212101010999x x x x f x x f x f x +⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭设，()()109xg x f x ⎛⎫= ⎪⎝⎭则，故可设，由， ()()()1212g x x g x g x +=+()g x kx =()()1011109g f k ===得，所以，则，()10g n n =()10109nf n n ⎛⎫= ⎪⎝⎭()91010nn a f n n ⎛⎫==⨯ ⎪⎝⎭所以，因为， 19910n n a n a n ++=99109n n n +-=-所以当时，，； 8n ≤11n na a +>1n n a a +>当时，，；当时，，,9n =11n na a +=1n n a a +=10n ≥11n n aa +<1n n a a +<所以中的最大项为和，故选：D. {}n a 9a 10a 【点睛】关键点点睛：方法一：构造等差数列，利用等差数列的通项公式以及数列的单调性判断，即可求出中的最大{}n a 项；方法二：熟悉相关二级结论，即可知晓抽象函数的原型，根据具体函数的性质以及数列的单调性判断求出．若，则对任意实数，有；若，则对()f x kx =1x 2x ()()()1212f x x f x f x +=+()f x kx b =+任意实数，有；若（，），则对任意实数1x 2x ()()()1212f x x f x f x b +=+-()xf x kxa =0a >1a ≠，有．1x 2x ()()()211212x x f x x a f x a f x +=+二、多选题9．下列有关数列的说法正确的是（ ）A ．在数列12…中，第8个数可能是B ．数列的通项公式为，则110是该数列的第10项 {}n a ()1n a n n =+C ．数列，0，4与数列4，0，是同一个数列2021-2021-D ．数列3，5，9，17，33，…的一个通项公式为21nn a =+【答案】ABD【分析】根据数列的概念对选项一一判断即可．【详解】A 中，所以第8个数可能是，正确； 1234a a a a ==== 1a ==B 中，，正确；()1010101110a =+=C 中，数列，0，4与数列4，0，不是同一个数列，因为顺序不一样，故错误；2021-2021-D 中，,12341234213,215,219,2117,a a a a =+==+==+==+= 故通项公式为，正确．21nn a =+故选：ABD10．意大利著名数学家斐波那契在研究兔子的繁殖问题时，发现有这样的一列数：1，1，2，3，5，8，13，21，…．该数列的特点如下：前两个数均为1，从第三个数起，每一个数都等于它前面两个数的和．人们把这样的一列数组成的数列称为斐波那契数列，现将中的各项除以2所{}n a {}n a 得的余数按原来的顺序构成的数列记为，数列的前n 项和为，数列的前n 项和为{}n b {}n a n S {}n b n T ，下列说法正确的是（ ）A ．B ．20221348T =100010021S a =-C ．若，则 D ．2022n T =3033n =2222123500500501a a a a a a ++++= 【答案】ABD【分析】根据数列特征得到为，，，，，，，周期为的数列，从而得到{}n b 110110L 3，A 正确，，B 正确，根据数列的周期求()20221106741348T =++⨯=1000S =1002210021a a a -=-{}n b 和得到或，所以C 错误，根据提公因式和斐波那契数列的特征得到D 正确. 3033n =3032n =【详解】根据斐波那契数列的特征可以看出， 数列为依次连续两个奇数和一个偶数， 所以数列为，，，，，，， {}n b 110110L 则数列为周期数列，且周期为， {}n b 3所以，故A 正确； ()20221106741348T =++⨯=因为1000129991000S a a a a =++++ 32431001100010021001a a a a a a a a =-+-++-+- ，故B 正确； 1002210021a a a =-=-因为，()20221101011=++⨯，且，，，101133033⨯=30311b =30321b =30330b =所以或，故C 错误；3033n =3032n =22222221235001223500a a a a a a a a a ++++=++++ L ()22222123500233500a a a a a a a a a =++++=+++ ，故D 正确.2499500500500501a a a a a ==+= 故选：ABD11．已知圆，直线，P 为直线l 上的动点，过P 点作圆M 的()()22:114M x y +++=:20+-=l x y 切线，，切点为A ，B ，则下列说法正确的是（ ） PA PB A ．四边形面积的最小值为8MAPB B ．当直线的方程为时，最小AB 0x y +=APB ∠C ．线段长度的最小值为ABD ．若动直线，且交圆M 于C 、D 两点，且弦长，则直线横截距的取值范1//l l 1l (CD ∈1l围为)()2,04,2⋃-【答案】CD【分析】由切线性质，，，由点到直线距离公式求得圆心到直线PA AM ⊥PB MB ⊥PA PB =M l 的距离，结合四边形面积计算判断，当方程为时，由对称性求得，求出MAPB A,C AB 0x y +=AB ，然后再取一特殊值得出比此时的小可判断，由弦长求出圆心到弦的距离APB ∠APB ∠B CD CD 的范围，从而设直线方程为后可求得的范围，从而可得横截距范围判断D ． 0x y m ++=m 【详解】圆的圆心，半径为， 22:(1)(1)4M x y +++=(1,1)M --2r =可知，，， ||||2MA MB ==PA AM ⊥||PA =2MAPB APM S S =△12||||2AM PA =⨯⨯⨯=当取最小值时，四边形面积取得最小值， ||PM MAPB此时||PM ==所以四边形面积的最小值为，故错误； MAPB 4=A又圆心到直线的距离(1,1)M --l d ==所以当取得最小值时，，MAPB S 1||2MAPB S AB =⨯⨯可得，故正确； ||MAPB AB =||AB 4=C 当直线的方程为时，，，则，AB 0x y +=1AB k =-1OMk =1AB OM k k ⋅=-所以直线与直线垂直，又是中点，， AB OM O AB ||||2MA MB ==||OM =所以，||AB ==222||||||MA MB AB +=所以，易得四边形是正方形，此时=，而当时，直角三角形中M A M B ⊥MAPB APB ∠90︒4PM =，，，故错误； 21sin 42APM ∠==30APM ∠=︒6090APB ∠=︒<︒B设M 到直线的距离为，因为，且，1l 1d ||CD ∈22211||4CD r d =-所以，则，22211||4d r CD =-1d ∈设，所以，()1:02l x y m m ++=≠-1<<|2|2m <-<解得，(0,2(24)m ∈⋃所以直线的横截距的取值范围为，故D 正确． 1l m -2,0)(4,2)⋃--故选：．CD 12．已知抛物线：与圆：交于，两点，且，直线过C()220y px p =>O 225x y +=A B 4AB=l C的焦点，且与交于，两点，则下列说法正确的是（ ） F C M N A ．若直线，则l 8MN =B ．的最小值为2MF NF +3+C ．若以为直径的圆与轴的公共点为，则点的横坐标为 MF y⎛ ⎝M 32D ．若点，则周长的最小值为()2,2G GFM △3【答案】BCD【分析】首先求出抛物线的解析式，设出的坐标，联立进行求解，当时，，,M N m =16MN =进而判断选项A 错误；再根据韦达定理和不等式求最小值后进行判断选项B；画出大致图象，过点作准线的垂线，垂足为，交轴于，结合抛物线定义判断选项C ；过作垂直于准M M 'y 1M G GH 线，垂足为，结合的周长H GFM △3MG MF GF MG MM ++=+=而判断选项D 即可.【详解】由题意得点在抛物线上， ()1,22:2C y px =所以，解得，所以，则， 222p =2p =2:4C y x =()1,0F 设直线，与联立得， :1l x my =+24y x =2440y my--=设，，所以，， ()11,M x y ()22,N x y 124y y m +=124y y =-所以，()2241MN y m =-==+当时，，A 项错误；m 16MN = 1212121221111111x x MF NF x x x x x x +++=+=+++++，()()()212221212444144316m y y m m y y m y y +++===++++则()2112233NF MF MF NF MF NF MFNF MF NF ⎛⎫+=+⋅+=++≥+ ⎪ ⎪⎝⎭当且仅当，B 项正确；1MF =1NF =+如图，过点作准线的垂线，垂足为，交轴于，M M 'y 1M取的中点为，过点作轴的垂线，垂足为， MF D D y 1D 则，是梯形的中位线， 1MM OF ∥1DD 1OFMM 由抛物线的定义可得， 111MM MM M M MF =-='-'所以，1111222OF MM MF MF DD ++-===所以以为直径的圆与轴相切，MF y 所以点为圆与轴的切点，所以点⎛ ⎝y D 又为的中点，所以点， D MF M 又点在抛物线上，所以点的横坐标为，C 项正确； M M 32过作垂直于准线，垂足为，G GHH 所以的周长为 GFM △3MG MF GF MG MM ++=+=当且仅当点的坐标为时取等号，D 项正确. M ()1,2故选：BCD.三、填空题13．年月，第届冬季奥林匹克运动会在北京隆重举行，中国代表团获得了金银铜的2022224942优异成绩，彰显了我国体育强国的底蕴和综合国力．设某高山滑雪运动员在一次滑雪训练中滑行的路程（单位：）与时间（单位：）之间的关系为，则当时，该运动员的l m t s ()2322l t t t =+3s t =滑雪瞬时速度为______． ()m /s 【答案】272【分析】利用导数的定义可求得该运动员在时滑雪瞬时速度.3s t =【详解】， ()()()()()222392733233232222l t l t t t t +∆-=+∆++∆-⨯-=∆+∆所以，该运动员的滑雪瞬时速度为. ()()()()003327273limlim 2m /s 22t t l t l l t t ∆→∆→+∆-⎛⎫'==∆+= ⎪∆⎝⎭故答案为：. 27214．等比数列中，，．则的前9项之和为______． {}n a 1473a a a ++=36912a a a ++={}n a 【答案】9或21【分析】利用解出公比，即可求解.()2369147a a a a a a q ++=++【详解】,()2369147a a a a a a q ++=++ 即，，2123q =2q =±9123456789S a a a a a a a a a =++++++++ ()()()147258369a a a a a a a a a =++++++++()()()2147147147a a a a a a q a a a q =++++++++2333q q =++若，则， 2q =9361221S =++=若，则， 2q =-936129S =-+=故答案为：9或21.15．三棱锥P －ABC 中，二面角P －AB －C 为120°，和均为边长为2的正三角形，则PAB A ABC A 三棱锥P －ABC 外接球的半径为______．【分析】作出图形，根据条件可知：球心既过的外心垂直平面的垂线上，又在过PAB A PAB ABCA的外心垂直平面的垂线上，然后利用二面角的大小和勾股定理即可求解.PCB 【详解】作出三棱锥P －ABC ，如图所示：为的中点，分别为和的外心，H AB 12,O O ABC A PAB A 过点分别作平面和平面的垂线，交点为，连接.根据题意可知：球心既12,O O ACB PAB O ,,OH OA OC 过的外心垂直平面的垂线上，又在过的外心垂直平面的垂线上，所以三棱PAB A PAB ABC A ACB O 锥外接球的球心，设外接球半径，R 由题意知：和均为边长为2的正三角形，所以，，所以即PAB A ABC A PH AB ⊥CH AB ⊥PHC ∠为二面角P －AB －C 的平面角，因为二面角P －AB －C 为120°，也即，因为12120O HO ∠=︒PABA和均为边长为2的正三角形，所以，，ABC A 213HO PH ==113HO CH ==12HO HO =所以，则，21Rt Rt OO H OO H ≅A A 12211602OHO OHO O HO ∠=∠=∠=︒在中，因为，所以， 1Rt OHO A 1HO =160OHO ∠=︒11OO =又因为，所以在中，，123O C CH ==1Rt OCO A 22211OC O O O C =+即，所以247133R =+=R =16．已知椭圆E ：，斜率为的直线与椭圆E 交于P 、Q 两点，P 、Q 在y 轴()222210x y a b a b+=>>12左侧，且P 点在x 轴上方，点P 关于坐标原点O 对称的点为R ，且，则该椭圆的离心45PQR Ð=°率为______．【分析】x 轴交PB 于A ，则，，设出直线，联立方程，QA A 1tan 2QP k PQA =Ð=tan QR k RQA =-Ð结合韦达定理与两点斜率公式可求出参数的齐次方程，进而可求离心率. 【详解】x 轴交PB 于A ，如图所示，QA A 设直线为，，则，2x y m =+()()()112211,,,,,P x y Q x y R x y --1210,0,0x x y <<>联立得得.222221x y m x y ab =+⎧⎪⎨+=⎪⎩()()2222222440a b y mb y m a b +++-=则，. 2122244mb y y a b -+=+()21212222224ma x x y y m a b +=++=+，，1tan 2QP k PQA =Ð=12121212tan QR y y y y k RQA x x x x --+===-Ð--+由，∴，∴1tan tan 12tan 111tan tan 312QRQR QR k PQA RQA PQR k PQA RQA k -Ð+ÐÐ===Þ=--Ð×Ð+2122124123QR y y mb k x x ma +-===-+.226a b =∴该椭圆的离心率e四、解答题17．半径为3的圆过点，圆心在直线上且圆心在第一象限． C ()1,1A -C 2y x =(1)求圆的方程；C (2)过点作圆的切线，求切线的方程． ()4,3C 【答案】(1) ()()22129x y -+-=(2)或 40x -=43250x y +-=【分析】（1）通过圆心在直线上，且在第一象限设出圆心的坐标，再利用圆上的点到圆心的距离等于半径求出圆心，进而可得圆的方程.（2）先判断出点在圆外，再通过切线斜率存在与不存在两种情况借助圆心到切线的距离等于半径求切线方程.【详解】（1）设圆心为，则，()(),20C a a a >3r ==解得，则圆的方程为. 1a =C ()()22129x y -+-=故答案为：. ()()22129x y -+-=（2）点在圆外，()4,3①切线斜率不存在时，切线方程为，圆心到直线的距离为,满足条件. 4x =413d r =-==②切线斜率存在时，设切线，即, ():34l y k x -=-430kx y k --+=则圆心到切线的距离，解得，3d 43k =-则切线的方程为：. 43250x y +-=故答案为：或.40x -=43250x y +-=18．已知的两个顶点分别为椭圆的左焦点和右焦点，且三个内角ABC A A B ，2244x y +=A B C ，，满足关系式.1sin sin sin 2B AC -=(1)求线段的长度； AB (2)求顶点的轨迹方程. C【答案】(1)(2)22441(39x y x -=>【分析】（1）根据椭圆中的关系直接求解；,,a b c （2）利用正弦定理角化边，结合双曲线的定义确定的轨迹，根据双曲线中之间的关系求C ,,a b c 解.【详解】（1）椭圆的方程为，2244x y +=椭圆的方程为，∴222221,4,1,34x y a b c +====c ∴=分别为椭圆的左焦点和右焦点，A B ，2214x y +=，(A B ∴，线段的长度||AB ∴=∴AB （2）中根据正弦定理得：(为外接圆半径)， ABC A =2sin sin sin AB BC ACR C A B==R ABC A ， sin =,sin ,sin 222BC AC ABA B C R R R∴==，1sin sin sin 2B A C -= , 12222AC BCABR R R∴-=⨯1||||||||2AC BC AB AB ∴-=<=点的轨迹是以为左右焦点的双曲线的右支，且不包含右顶点，∴C A B ，设该双曲线方程为22122111()x y x a a b-=>且， 112,2ACBC a AB c -==== 222111119,4a c bc a ∴===-=顶点的轨迹方程为∴C 22441(39x y x -=>19．已知数列满足{}n a ()12335213nn a a a n a ++++-= (1)求an.(2)若对任意的，恒成立，求的取值范围；N n *∈()1nn a λ≥-λ【答案】(1)；13,123,221n n n a n n -=⎧⎪=⎨⋅≥⎪-⎩(2). 32λ-≤≤【分析】（1）将当时，和2n ≥()1123135233n n a a a n a --++++-= 两式作差即可求出结果，注意检验时是否成立； ()()12313523213n n n a a a n a n a -++++-+-= 1n =（2）证得数列的单调性，从而结合不等式恒成立即可求出结果.【详解】（1）当时，；当时，1n =13a =2n ≥()1123135233n n a a a n a --++++-= 又，()()12313523213nn n a a a n a n a -++++-+-=上述两式作差可得，即，不满足，所以()11213323nn n n n a ---=-=⋅12321n n a n -⋅=-13a =12321n n a n -⋅=-；13,123,221n n n a n n -=⎧⎪=⎨⋅≥⎪-⎩（2）当时，，即， 2n ≥()()()118312323021212121n n n n n n a a n n n n -+⋅⋅-⋅⋅-=-=>+--+1n n a a +>所以，数列从第二项开始为递增数列，对任意的，恒成立.{}n a N n *∈()1nn a λ≥-①若为正奇数，则，，则，可得； n n a λ≥-1351835a a a =<=<< 3λ-≤3λ≥-②若为正偶数，则，可得. n n a λ≥22a λ≤=综上所述，.32λ-≤≤20．如图，在三棱柱中，AC ＝BC ，四边形是菱形，，点D 在棱111ABC A B C -11ABB A 1120A AB ∠=︒上，且．1CC 1CD CC λ=(1)若，证明：平面平面ABD ．1AD B C ⊥1AB C ⊥(2)若，是否存在实数，使得平面与平面ABD 所成得锐二面角的余弦值是1AB B C ==λ1AB C 若存在，求出的值；若不存在，请说明理由． 17λ【答案】(1)证明见解析 (2)存在，． 17【分析】(1) 取AB 的中点O ，连接，OC ．利用三角形高线与对应底边垂直得出AB ⊥平面1OB 1OB C ．然后再证明平面ABD ，最后利用面面垂直的判定即可证明；1B C ⊥(2)建立空间直角坐标系，求出所需点的坐标，分别求出平面平面和平面ABD 的法向量，利用1AB C 向量的夹角公式即可求解.【详解】（1）证明：取AB 的中点O ，连接，OC ．1OB 因为四边形是菱形，且，所以，则． 11ABB A 1120A AB ∠=︒160ABB ∠=︒11AB BB =因为O 为AB 的中点，所以．1AB OB ⊥因为，且O 为AB 的中点，所以AB ⊥OC ．AC BC =因为，平面，且，所以AB ⊥平面． 1OB OC ⊂1OB C 1OB OC O = 1OB C 因为平面，所以．1B C ⊂1OB C 1AB B C ⊥因为，AB ，平面ABD ．且，所以平面ABD ． 1AD B C ⊥AD ⊂AB AD A ⋂=1B C ⊥因为平面，所以平面平面ABD ．1B C ⊂1AB C 1AB C⊥（2）因为，所以，所以AC ⊥BC ．AB ==222AB AC BC =+因为O 是AB 的中点，所以． 12OC AB =因为四边形是菱形，且∠，所以是等边三角形． 11ABB A 160ABB =︒1ABB A 因为O 是AB 的中点，所以．1OB AB =因为，所以，则OB ，OC ，两两垂直，故以O 为222222111OB OA AB OB OC B C +=+==1AB B C =1OB 原点，，，的方向分别为x ，y ，z 轴的正方向建立如图所示的空间直角坐标系． OB OC 1OB设，则，，，，，故，2AB =()1,0,0A -()1,0,0B ()0,1,0C (1A-(1B ()1,1,0AC =，，，.()2,0,0AB =(1AB = ()1,1,0BC =-u u ur1(AA =- 因为，所以，所以．()11CD CC AA λλλ===-()D λ-()1AD λ=- 设平面的法向量为，1AB C ()111,,x n y z =则，令．11111·0·0n AC x y n AB x ⎧=+=⎪⎨==⎪⎩ 1x =)1n =-设平面ABD 的法向量为，()222,,m x y z =则，令，得．2222·20·(1)0m AB x m AD x y z λ⎧==⎪⎨=-+=⎪⎩ 21z =-(),1m =- 设平面与平面ABD 所成的角为，则， 1AB C θ1cos cos ,7n θ== 解得或，故存在或，使得平面与平面ABD 所成角的余弦值是．12λ=15λ=12λ=15λ=1AB C 1721．已知数列的前项和为，且满足，当时，{}n a n n S 11a =()*2N n n ≥∈. ()()()311113n n n S n S n n ---+=-(1)计算：，；2a 3a (2)证明为等差数列，并求数列的通项公式；()1n S n n ⎧⎫⎪⎪⎨⎬+⎪⎪⎩⎭{}n a (3)设，求数列的前项和. n b ={}1n n b b +n n T 【答案】(1)；24a =39a =(2)证明见解析，2n a n =(3)()tan 11tan1n n n T +=--【分析】（1）利用特值法可得，；2a 3a （2）构造数列，即可得证，进而可得，再利用退一相减法可得数列的通项公()1n S n n ⎧⎫⎪⎪⎨⎬+⎪⎪⎩⎭n S {}n a 式；（3）由（2）得，利用裂项相消法，可得数列的前项()()1tan 1tan tan 1tan 1tan1n n n nb b n n ++-=+=-n 和.【详解】（1）令，得，又，所以； 2n =2132S S -=111a S ==24a =令，得，又； 3n =32248S S -=235,9S a =∴=（2）因为当时，， ()*2N n n ≥∈()()()311113n n n S n S n n ---+=-所以，()()11113n n S S n n n n --=+-所以数列为等差数列，首项为，公差为，()1n S n n ⎧⎫⎪⎪⎨⎬+⎪⎪⎩⎭1122S =13所以，()()1111112336n S S n n n n =+-=++所以， ()()11216n S n n n =++于是，当时，()*2N n n ≥∈， ()()()()211112112166n n n a S S n n n n n n n -=-=++---=当时，，满足上式，1n =111a S ==故；2n a n =（3）因为，则，tan n b n ==()()1tan 1tan tan 1tan 1tan1n n n nb b n n ++-=+=-于是， ()()()()111tan 2tan11tan 3tan 21tan 1tan 1tan1tan1tan1n T n n ⎡⎤⎡⎤⎡⎤=--+--+⋅⋅⋅++--⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦. ()()tan 11tan 1tan11tan1tan1n n n n +=+--=--⎡⎤⎣⎦22．设椭圆的左右焦点，分别是双曲线的左右顶点，且椭()2222:10x y E a b a b +=>>1F 2F 2214x y -=. (1)求椭圆的方程；E (2)是否存在圆心在原点的圆，使得该圆的任意一条切线与椭圆恒有两个交点，且？E ,A B OA OB ⊥若存在，写出该圆的方程，并求的取值范围，若不存在，说明理由.AB 【答案】(1)22:184x y E +=(2)存在，圆的方程为，的取值范围是2283x y +=AB【分析】（1）根据题意得到，及双曲线的渐近线方程，利用点到直线距离公式求出224a b -=，得到椭圆方程；a =2844b =-=（2）先考虑直线的斜率存在时，设出直线方程，与椭圆方程联立，得到两根之和，两根之积，AB 由得到，由向量垂直得到向量数量积为0，代入两根之和，两根之积得到0∆>22840k m -+>，得到的距离，即圆的半径，22388m k -=m ≥m ≤y kx m =+得到圆的方程，验证直线的斜率不存在时，也满足要求，从而得到圆的方程为，再AB 2283x y +=由弦长公式求出，换元后得到，结合求出B A =AB =101t <≤的取值范围，考虑直线的斜率不存在时，的长，得到答案.AB AB AB 【详解】（1）由题意得：，()()122,0,2,0F F-故，224a b -=双曲线渐的近线方程为，20y x ±=故椭圆右顶点 (),0a =因为，解得：0a >a =故， 2844b =-=所以椭圆方程为； 22:184x y E +=（2）当直线的斜率存在时，设直线为，AB AB y kx m =+联立与，得：y kx m =+22184x y +=，()222124280k x kmx m +++-=由得：，()()222216412280k m k m ∆=-+->22840k m -+>设，()()1122,,,A x y B x y 则， 2121222428,1212km m x x x x k k --+==++因为，所以，OA OB ⊥ 12120OA OB x x y y ⋅=+= 其中()()()2212121212y y kx m kx m k x x km x x m =++=+++， ()222121222284101212m km x x y y k km m k k--+=+⋅+⋅+=++整理得：，22388m k -=将代入中，解得：，22388m k -=22840k m -+>22m >又，解得：，综上：， 223880m k-=≥283m ≥m≥m ≤原点到直线的距离为y kx m =+d ===则存在圆心在原点的圆，使得该圆的任意一条切线与椭圆恒有两个交点，且，E ,A B OA OB ⊥该圆的半径即为，故圆的方程为， d =2283x y +=当直线斜率不存在时，此时直线的方程为 ABAB x =与椭圆的两个交点为，或，22:184x y E+=⎛ ⎝，⎛ ⎝此时，满足要求， 88033OAOB ⋅=-= 经验证，此时圆上的切线在轴上的截距满足， 2283x y +=y m≥m ≤综上：存在圆心在原点的圆，使得该圆的任意一条切线与椭圆恒有两个交点，且2283x y +=E ,AB ； OA OB ⊥ AB==将代入上式， 22318k m =-A B =令，则， 2314m t-=2443m t +=因为，则，283m ≥1t ≥所以AB ===因为，所以， 1t ≥101t<≤故当时，取得最大值，最大值为 112t =AB又， AB ==当直线的斜率不存在时，此时 AB 2AB ==综上：的取值范围为. AB 【点睛】圆锥曲线中最值或范围问题的常见解法：（1）几何法，若题目的条件和结论能明显体现几何特征和意义，则考虑利用几何法来解决；（2）代数法，若题目的条件和结论能体现某种明确的函数关系，则可首先建立目标函数，再求这个函数的最值或范围．。
【高二】高二数学下册2月月考试题(含参考答案)
【高二】高二数学下册2月月考试题(含参考答案)试卷满分150考试时间120分钟一、：（本大题共10小题，每小题5分，共50分）1.未知函数f(x)=ax2＋c,且=2,则a的值（）a.1b.c.－1d.02、函数y=(2x＋1)3在x=0处的导数就是（）a.0b.1c.3d.63未知函数在处的导数为3，则的解析式可能将为（）a．(x-1)3+3(x-1)b．2(x-1)2c．2(x-1)d．x-14.得出以下三个投影结论．①(ab)n＝anbn与(a＋b)n类比，则有(a＋b)n＝an＋bn；②loga(xy)＝logax＋logay与sin(α＋β)投影，则存有sin(α＋β)＝sinαsinβ；③(a＋b)2＝a2＋2ab＋b2与(a＋b)2类比，则有(a＋b)2＝a2＋2ab＋b2.其中结论恰当的个数就是( )a．0b．1c．2d．35.函数存有（）a.极小值-1，极大值1b.极小值-2，极大值3c.极小值-1，极大值3d.极小值-2，极大值26、设曲线在点处的切线与直线垂直，则（）a．2b．c．d．7．数列满足，则等于（）a、b、-1c、2d、38．是的导函数，的图象如右图所示，则的图象只可能是abcd9..已知函数有极大值和极小值，则实数的取值范围()a．b．c．或d．或10、f(x)是(0,+∞)上的非负可导函数,且,对任意正数a,b,若a<b,则()二、题（本大题共5小题，每小题5分后，共25分后）11．_________12．设立函数，函数的单调减至区间就是13．函数在x=3处有极值,则函数的递减区间为。
14、用数学归纳法证明：时，由n=k至n=k+1左边需要添加的项是__________________________。
15、从中，得出结论的一般性结论就是________________________________．三，答疑题（共6个小题，共75分后）16（12分）求f(x)=在区间上的最值。
福建省高二下学期2月月考数学试题(解析版)
高二下学期2月月考数学试题一、单选题1．设集合，则（ ）{}104,53M x x N x x ⎧⎫=<<=≤≤⎨⎬⎩⎭M N ⋂=A ．B ．103x x ⎧⎫<≤⎨⎬⎩⎭143x x ⎧⎫≤<⎨⎬⎩⎭C ． D ．{}45x x ≤<{}05x x <≤【答案】B【分析】根据交集定义运算即可 【详解】因为，所以, 1{|04},{|5}3M x x N x x =<<=≤≤1|43M N x x ⎧⎫⋂=≤<⎨⎬⎩⎭故选：B.【点睛】本题考查集合的运算，属基础题，在高考中要求不高，掌握集合的交并补的基本概念即可求解.2．数列1，，，，，，，，，，…，则是该数列的第（ ）项. 12211322311423324145A ．9B ．10C ．31D ．32【答案】D【分析】由数列的前几项得出数列的特性，即可得出答案.【详解】解：观察可得出，数列的特性：根据分子分母的和以及分子由小到大排列. 分子分母和为2的有1项，和为3的有2项，和为4的有3项，，和为的有项. L n 1n -的分子分母之和为9，且为和为9中的第4项， 45又，所以是数列中的第32项. 1234567432+++++++=45故选：D.3．如图所示，在正方体中，是底面正方形的中心，是的中点，1111ABCD A B C D -O ABCD M 1D D 是的中点，则直线，的位置关系是（ ）N 11A B NO AMA ．平行B ．相交C ．异面垂直D ．异面不垂直【答案】C【分析】以为坐标原点建立空间直角坐标系，设正方体的棱长为2，再计算可得即D 0NO AM ⋅=可得直线，异面垂直.NO AM 【详解】以为坐标原点，，，的方向分别为，，轴的正方向建立空间直角坐标D DA DC 1DDx y z 系.设正方体的棱长为2，则，，，.()2,0,0A ()0,0,1M ()1,1,0O ()2,1,2N ∴，，∴，∴直线，异面垂直.()1,0,2NO =-- ()2,0,1AM =- 0NO AM ⋅=NO AM故选：C4．函数的导数是（ ）2sin cos 22x xy =A ． B ． 2sin y x '=2cos y x '=C ． D ．sin y x '=cos y x '=【答案】D【分析】先利用二倍角的正弦公式得到，然后利用导数公式即可求解.sin y x =【详解】因为，所以．2sin cos sin 22x xy x ==cos y x '=故选：D ．5．设是等差数列的前n 项和，若，则的值是（ ） n S {}n a 660S =34a a +A ．10 B ．20C ．30D ．60【答案】B【分析】根据等差数列的求和公式结合等差数列的下标和性质运算求解.【详解】由题意可得：，则.()()1663463602a a S a a +==+=3420a a +=故选：B.6．若数列是等比数列，且，，，则（ ） {}n a ()14,a a a =3π,3b a ⎛⎫= ⎪⎝⎭a b ∥()6sin 2023πa +=A ．BCD ．【答案】D【分析】根据向量的平行可得，结合等比数列通项公式求得，利用三角函数诱导公1340π3a a a -=6a 式即可求得答案.【详解】由题意数列是等比数列，且，，，{}n a ()14,a a a =3π,3b a ⎛⎫= ⎪⎝⎭a b ∥ 可得， 即，所以，1340π3a a a -=25110π3a a q -=516ππ,33a q a ∴==故， ()()666πsin 2023πsin πs 3s n in i a a a -+=+=-==故选：D.7．已知定点A 、B ，且|AB |＝4，动点P 满足||PA |﹣|PB ||＝3，则|PA |的最小值是（ ） A ．B ．C ．D ．5123272【答案】A【分析】根据题意，判断点的轨迹是双曲线，再根据双曲线的几何性质，即可求得. P 【详解】由动点P 满足||PA |﹣|PB ||＝3，且 3AB <故可得点的轨迹为以为左右焦点的双曲线， P ,A B 故可得，解得，23,24a c ==3,22a c ==由双曲线的几何性质可得的最小值为. PA 12c a -=故选：A.【点睛】本题考查双曲线的定义，以及其几何性质，属综合基础题. 8．设等差数列，的前n 项和分别是，若，则 （ ） {}n a {}n b ,n n S T 237n n S nT n =+33a b =A ．1 B ．C ．D ．511221738【答案】B【分析】根据等差数列的性质和求和公式变形求解即可 【详解】因为等差数列，的前n 项和分别是，{}n a {}n b ,n n S T所以， 1515351515355()105225()1571122a a a a a S b b b b b T ++=====+++故选：B二、多选题9．（多选）下列命题正确的是（ ） A ．若，则函数在处无切线()00f x '=()f x 0x B ．函数的切线与函数的图象可以有两个公共点()y f x =C ．曲线在处的切线方程为，则当时，()y f x =1x =20x y -=0x ∆→(1)(1)12f f x x-+∆=∆D ．若函数的导数，且，则的图象在处的切线方程为()f x 2()2f x x '=-(1)2f =()f x 1x =30x y +-=【答案】BD【解析】若，则函数在处的切线斜率为0，故选项错误； ()00f x '=()f x 0x A 可以举例说明函数的切线与函数的图象可以有两个公共点，故选项正确；()y f x =B ，故选项错误；(1)(1)lim2x f f x x∆→-+∆∆=11-≠C 切线方程为，化简得，故选项正确．2(1)y x -=--30x y +-=D 【详解】若，则函数在处的切线斜率为0，故选项错误；()00f x '=()f x 0x A 函数的切线与函数的图象可以有两个公共点，例如函数，在处的切线为()y f x =3()3f x x x =-1x =，与函数的图象还有一个公共点，故选项正确；=2y -(2,2)--B 因为曲线在处的切线方程为，所以 ()y f x =1x =20x y -=(1)2f '=又，故选项错误；(1)(1)lim2x f f x x ∆→-+∆∆01(1)(1)lim 2x f x f x ∆→+∆-=-∆1(1)112f =-=-≠'C 因为函数的导数，所以，又，所以切点坐标为，斜()f x 2()2f x x '=-2(1)121f ='-=-(1)2f =(1,2)率为，所以切线方程为，化简得，故选项正确． 1-2(1)y x -=--30x y +-=D 故选：BD ．【点睛】易错点睛：很多学生认为曲线的切线与曲线有且只有一个交点，其实曲线的切线可以与曲线有多个交点.10．给出定义：若函数在上可导，即存在，且导函数在上也可导，则称()f x D ()f x '()f x 'D 在上存在二阶导函数，记，若在上恒成立，则称在上为()f x D ()()()f x f x ''''=()0f x ''<D ()f x D 凸函数，以下四个函数在上是凸函数的是（ ）π0,2⎛⎫⎪⎝⎭A ．B ．()sin cos f x x x =-()ln 3f x x x =-C ．D ．()331f x x x =-+-()e xf x x -=【答案】BCD【分析】根据“二阶导函数”的概念，结合导数运算公式求解即可.【详解】对于A ，，()()πcos sin ,sin cos sin()4f x x x f x x x x '''=+=-+=--当时，，，故A 错误；π0,4x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭πsin(04x -<()πsin()04f x x ''=-->对于B ，在恒成立，故B 正确；()()2113,0f x f x x x'''=-=-<π0,2⎛⎫⎪⎝⎭对于C ，在恒成立，故C 正确；()()233,60f x x f x x '''=-+=-<π0,2⎛⎫ ⎪⎝⎭对于D ，，()()e e (1)e ,e (1)e (2)e x x x x x xf x x x x x x f ------'=-=-=---=--''因为，所以，所以恒成立，故D 正确.π0,2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭20x ->()(2)e 0xx f x -=--'<'故选：BCD.11．已知抛物线的焦点为，P 为C 上的一动点，，则下列结论正()2:20C y px p =>()4,0F ()5,1A 确的是（ ） A ．B ．当PF ⊥x 轴时，点P 的纵坐标为8 4p =C ．的最小值为4D ．的最小值为9PF PA PF +【答案】CD【分析】根据焦点坐标可得，即可判断A,根据坐标运算即可判断B,根据焦半径以及自变量的8p =范围即可判断C,根据三点共线即可判断D.【详解】对于A,由抛物线的焦点为可知，故A 错误， ()2:20C y px p =>()4,0F 482pp =⇒=对于B,当PF ⊥x 轴时，则点的横坐标为4，将其代入中得，故B 错误， P 216y x =8y =±对于C,设，则，由于,所以，故的最小值()00,P x y 0042pPF x x =+=+00x ≥044PF x =+≥PF 为4，故C 正确，对于D ，过作垂直于准线于,过作垂直于准线于，P PM M A AE E则，当，，三点共线时等号成立， 6PA PF PA PM AM AE +=+≥≥=P E A 故D 正确； 故选：CD12．已知直线，过直线上任意一点M 作圆的两条切线，切点分别为:50l x y -+=()22:34C x y -+=A ，B ，则有（ ）A ．四边形MACB 面积的最小值为B ．最大度数为60° AMB ∠C ．直线AB 过定点D ．的最小值为15,22⎛⎫⎪⎝⎭AB 【答案】AD【分析】，当时有最小值，求出可判断=22MAC MACB S S MA AC MA =⋅=△四边形CM l ⊥MC min MC A ；当时最大，可判断B ；设点CM l ⊥AMB ∠23cos cos 212sin 4AMB AMC AMC ∠=∠=-∠=，，，求出直线的方程，整理得()11,A x y ()22,B x y ()00,M x y AB ()()00334x x y y --+=，由可得直线AB 过的定点可判断C ；直线AB 所过定()()035350x x y y x +-+-+=305350+-=⎧⎨-+=⎩x y y x 点为P ，当时，弦长最小，求出的最小值可判断D.CP AB ⊥AB AB 【详解】对于A 选项，由题意可知，当时，有最=22MAC MACB S S MA AC MA =⋅=△四边形CM l ⊥MC小值，即，此时，所以四边形MACB 面积的最min MC minMA ==小值为A 正确；对于B 选项，当时，最大，此时，此CM l ⊥AMB ∠23cos cos 212sin 4AMB AMC AMC ∠=∠=-∠=时，故选项B 错误；60∠≠ AMB 对于C 选项，设点，，，则，易知在点A 、B 处的切线方()11,A x y ()22,B x y ()00,M x y 0050x y -+=程分别为，，将点分别代入两切线方程得()()11334x x yy --+=()()22334x x yy --+=()00,M x y ，，所以直线方程为，()()0101334x x y y -⋅-+=()()0202334x x y y --+=AB ()()00334x x y y --+=整理得，代入，得， 0003350x x y y x x +--+=005y x =+()()035350x x y y x +-+-+=解方程组得所以直线AB 过定点，故选项C 错误；30,5350,x y y x +-=⎧⎨-+=⎩5,21,2x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩51,22⎛⎫ ⎪⎝⎭对于D 选项，设直线AB 所过定点为P ，则，当时，弦长最小，此时51,22P ⎛⎫⎪⎝⎭CP AB ⊥AB ，则的最小值为D 正确，故选：AD.22251130222CP ⎛⎫⎛⎫=-+-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭AB =三、填空题13．，若，则______． ()tan sin 1f x x x =++()2f b =()f b -=【答案】0【分析】利用函数的奇偶性进行求解.【详解】因为，令， ()tan sin 1f x x x =++()()1tan sin g x f x x x =-=+所以， ()()()()tan sin tan sin ()g x x x x x g x -=-+-=-+=-所以，即， ()()g b g b -=-()()11f b f b --=--⎡⎤⎣⎦所以. ()()11220f b f b -=--=-=⎡⎤⎣⎦故答案为：0.14．已知函数在区间，上的平均变化率分别为，，那么，的大小关系sin y x =π[0,]6ππ[,]321k 2k 1k 2k 为_______. 【答案】.12k k >【解析】根据平均变化率列出相应的式子，在讨论自变量的情况下，比较两个数的大小．【详解】当，时，平均变化率，[0x ∈]6π1sinsin 0366k πππ-==当，时，平均变化率， [3x π∈]2π2sinsin2323k ππππ-=-，12k k >故答案为：.12k k >【点睛】应熟练掌握函数在某点附近的平均变化率，属于基础题． ()()y f x x f x x x+-=A A A A 15．已知空间中三点，则点A 到直线的距离为__________． (1,1,2),(0,0,0)AB C -BC【分析】利用向量的模公式及向量的夹角公式，结合同角三角函数的平方关系及锐角三角函数的定义即可求解.【详解】， (1,1,2),(0,0,0)A B C -(1,1,2)CA CB ∴==-==cos ,CA CB CA CB CA CB ⋅∴<>====sin,CA CB ∴<= 设点A 到直线的距离为，则 BC d sin ,d CA CA CB =<>== 16．在数列中，，则数列的最大项是______.{}n a 22293n a n n =-++【答案】108【分析】注意到，，后结合数列单调性，比较大小可229865248n a n ⎛⎫=--+ ⎪⎝⎭29784<<78，a a 得答案.【详解】，， 229865248n a n ⎛⎫=--+ ⎪⎝⎭29784<<得在时单调递增，{}n a {}17N n n n n *∈≤≤∈，在时单调递减.又，{}n a {}8N n n n n *∈≥∈，78108107，a a ==则数列最大项为.108故答案为：108四、解答题17．求下列函数的导数. (1)；()()1ln 2y x x =+(2).21e x y x+=【答案】(1) y '()1ln 21x x=++(2)212122e e x x x y x ++-='【分析】（1）将导数的乘法法则与复合函数求导相结合可得结果； （2）将导数的除法法则与复合函数求导相结合可得结果；【详解】（1） ()()()()()()()111ln 21ln 2ln 21ln 21y x x x x x x x x x'=+++=++⋅=++⎡⎤⎣'⎦'（2）()2121212122e e 2e e x x x x x x x y x x ++++'⋅-⋅-==''18．等差数列中，{}n a (1)已知，，求首项与公差； 410a =719a =1a d (2)已知，，求通项． 39a =93a =n a 【答案】(1)，； 11a =3d =(2). 12n a n =-+【分析】（1）由已知可得，求解方程组即可得出答案；11310619a d a d +=⎧⎨+=⎩（2）由已知可得，求解方程组得到和，即可得出答案.112983a d a d +=⎧⎨+=⎩1a d 【详解】（1）由已知可得，解得. 4171310619a a d a a d =+=⎧⎨=+=⎩113a d =⎧⎨=⎩（2）由已知可得，解得. 31912983a a d a a d =+=⎧⎨=+=⎩1111a d =⎧⎨=-⎩所以，.()()1111112n a a n d n n =+-=--=-+19．设为抛物线的焦点，过且倾斜角为的直线交于两点，为坐标原F 2:3C y x =F 30 C ,A B O 点，求的面积. OAB ∆【答案】94【分析】先求解出直线的方程，联立直线与抛物线结合抛物线焦点弦的计算公式求解出的AB AB 值，再求解出到的距离，即可求解出. O AB OAB S A 【详解】解：∵抛物线的焦点为，2:3C y x =3,04F ⎛⎫⎪⎝⎭∴直线的方程为.AB 34y x ⎫=-⎪⎭（法一）联立直线与抛物线的方程，得消元得.AB 23,43,y x y x ⎧⎫=-⎪⎪⎨⎭⎪=⎩22190216x x -+=设，，则， ()11,A x y ()22,B x y 12212x x +=∴由抛物线的定义，可得. 122131222AB x x p =++=+=∵点到直线的距离为，O AB 38d ==∴的面积为. OAB ∆1139122284OAB S AB d ∆=⋅=⨯⨯=（法二）联立直线与抛物线的方程，得消元得. AB 23,43,y x y x ⎧⎫=-⎪⎪⎨⎭⎪=⎩2490y --=设，，则. ()11,A x y ()22,B x y 12y y +=1294y y =-∴ 1212OAB S OF y y ∆=⋅-1324=⨯. 94==【点睛】本题考查抛物线中的三角形面积求解，难度一般.圆锥曲线中常见的求解三角形面积的方法：（1）求解出对应弦长作为三角形的底，再根据点到直线的距离求解出三角形高，即可求解出三角形面积；（2）将三角形切割成两个同底（或同高）三角形，然后根据三角形高的坐标表示求解出高，亦可求解出三角形的面积.20．已知等差数列和等比数列满足，.{}n a {}n b 11232342,1,10,a b a a b b a ==+==-(1)求数列，通项公式{}n a {}n b (2)设数列中满足，求和{}n c n n n c a b =+13521n c c c c -++++ 【答案】(1)，2n a n =()12n n b -=-(2) 241233n n +-【分析】（1）根据条件利用等差等比数列的通项公式列方程可得公差，公比，进而可得通项公式； （2）由（1）得数列的通项公式，然后利用分组分解法可求和.{}n c 【详解】（1）设等差数列的公差为，等比数列的公比为，{}n a d {}n b q 则，解得，123110243a a d a d a d =++=++=+2d =，()()112212n a a n d n n ∴=+-=+-=，解得，23112348b qb q b a q b ∴=-===-2q =-，()1112n n n b b q --∴==-即，；2n a n =()12n n b -=-（2）由（1）得，()122n n c n -=+-()()1352113211321n n n c c c c a a a b b b ---∴++++=+++++++ . ()()()()()2211212221242124122123312n n n n b q n a a n n n q --++---=+=+=+----21．已知函数． ()ln x f x x=(1)求的导数； ()f x (2)求曲线在点处的切线方程，并求出切线与坐标轴所围三角形的面积．()y f x =()1,0【答案】(1)， ()21ln x f x x -'=0x >(2)；面积为10x y --=12【分析】（1）利用导数的除法运算法则进行求解即可；（2）先利用导数求出切线的斜率，然后用点斜式即可求解，求得截距，利用三角形面积公式可得答案. 【详解】（1）因为，所以， ()ln x f x x =()221ln 1ln ⋅--'==x x x x f x x x 0x >（2）由（1）得，，则所求切线的斜率为1，故所求切线方程为．()11f '=10x y --=当时，；当时，.故切线与坐标轴所围三角形的面积. 0x =1y =-0y =1x =111122S =⨯⨯=22．已知曲线在点处的切线与轴的交点为，且. 2:C y x =()(),0n n n x y x >x ()*1,0,n x n +∈N 112x =(1)求数列的通项公式；{}n x (2)设为数列的前项和，求使得成立的正整数的最小值. n S {}n n x ⋅n 12564n S >n 【答案】(1) 12n n x =(2)8【分析】（1）根据切线方程的求解得切线方程为，得，()22n n n x x x y x -+=0y =()1102n n n x x x +=>即可判断为等比数列，进而进行求解，（2）根据错位相减法求解，即可根据的单调性求解.n S n S 【详解】（1）因为，所以，2y x =2y x '=所以曲线上点处的切线方程为.C ()(),0n n n x y x >()22n n n x x x y x -+=令，得，即， 0y =()1102n n n x x x +=>112n n x x +=又，所以是以为首项，为公比的等比数列. 112x ={}n x 1212故的通项公式为. {}n x 1111222n n nx -⎛⎫=⨯= ⎪⎝⎭（2）由（1）知，， 2n nn n x ⋅=所以， 223112112,2222222n n n n n n S S +=+++=+++ 两式相减得，， 23111111111111221122222222212n n n n n n n n n n S +++⎛⎫- ⎪⎝⎭=++++-=-=---所以. 222n n n S +=-因为，所以， 02n n n n x ⋅=>1n n S S +>又， 787872247125822511252,2212864212864S S ++=-=<=-=>所以使得成立的正整数的最小值为8. 12564n S >n。
2024年银川市二中高二数学下学期3月考试卷附答案解析
2024年银川市二中高二数学下学期3月考试卷（考试时间：120分钟试卷满分：150分）2024.03一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．某影城有一些电影新上映，其中有3部科幻片、4部警匪片、3部战争片及2部喜剧片，小明从中任选1部电影观看，不同的选法共有（）A ．9种B ．12种C ．24种D ．72种2．用1，2，3，4四个数字组成无重复数字的四位数，其中比2000大的偶数共有（）A ．16个B ．12个C ．9个D ．8个3．已知随机变量X 的分布列如下表，则()D X =（）X2-12P16a12A ．2B ．3C ．4D ．54．质数(prime number )又称素数，一个大于1的自然数，除了1和它本身外，不能被其他自然数整除，则这个数为质数.数学上把相差为2的两个素数叫做“孪生素数”，如：3和5，5和7, ，那么，如果我们在不超过30的自然数中，随机选取两个不同的数，记事件A ：这两个数都是素数：事件B ：这两个数不是孪生素数，则()P BA =∣（）A ．1115B ．3745C ．1315D ．41455．360的不同正因数的个数为（）A ．24B ．36C ．48D ．426．为了深化教育改革，坚持“五育并举”融合育人．某学校准备组建书法、音乐、美术、体育4个不同的社团．现将甲、乙、丙、丁、戊5名同学分配到这4个社团进行培训，每名同学只能分配到1个社团，每个社团至少分配1名同学，且甲乙两名同学不能在同一个社团培训，则不同的分配方案共有（）A ．192种B ．216种C ．240种D ．432种7．如图，小华从图中A 处出发，先到达B 处，再前往C 处，则小华从A 处到C 处可以选择的最短路径有（）A ．25条B ．48条C ．150条D ．512条8．中国南北朝时期的著作《孙子算经》中，对同余除法有较深的研究.设a ，b ，m (m ＞0)为整数，若a 和b 被m 除得的余数相同，则称a 和b 对模m 同余，记为()mod a b m =.若1221818181818C 2C 2...C 2a =⋅+⋅++⋅，()mod10a b =，则b 的值可以是（）A ．2018B ．2020C ．2022D ．2024二、选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9．目前，全国多数省份已经开始了新高考改革，改革后，考生的高考总成绩由语文、数学、外语3门全国统一考试科目成绩和3门选择性科目成绩组成.选择性科目是由学生从思想政治、历史、地理、物理、化学、生物6门科目中任选3门，则（）A ．不同的选科方案有20种B ．若某考生计划在物理和生物中至少选一科，则不同的选科方案有12种C ．若某考生确定不选物理，则不同的选科方案有10种D ．若某考生在物理和历史中选择一科，则不同的选科方案有12种10．若6234560123456(1)x a a x a x a x a x a x a x -=++++++，则（）A ．01a =B ．320a =C ．1234562481632640a a a a a a +++++=D ．0246135a a a a a a a +++=++11．甲、乙、丙、丁四名同学报名参加假期社区服务活动，社区服务活动共有“关怀老人”“环境检测”、“图书义卖”这三个项目，每人都要报名且限报其中一项.记事件A 为“恰有两名同学所报项目相同”，事件B 为“只有甲同学一人报‘关怀老人’项目”，则（）A ．四名同学的报名情况共有34种B ．“每个项目都有人报名”的报名情况共有72种C ．“四名同学最终只报了两个项目”的概率是1427D ．()16P B A =12．围棋起源于中国，据先秦典籍《世本》记载：“尧造围棋，丹朱善之”，至今已有四千多年的历史.在某次围棋比赛中，甲，乙两人进入决赛.决赛采用五局三胜制，即先胜三局的一方获得比赛冠军，比赛结束.假设每局比赛甲胜乙的概率都为(01)p p ≤<，且每局比赛的胜负互不影响，记决赛中的比赛局数为X ，则（）A ．乙连胜三场的概率是3(1)p -B ．33(4)3(1)3(1)P X p p p p ==-+-C ．22(5)12(1)P X p p ==-D ．(5)P X =的最大值是38三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13．根据历年的气象数据，某市5月份发生中度雾霾的概率为0.25，刮四级以上大风的概率为0.4，既发生中度雾霾又刮四级以上大风的概率为0.02．则在发生中度雾霾的情况下，刮四级以上大风的概率为．14．()522x x y +-的展开式中62x y 的系数为（用数字作答）15．如图为我国数学家赵爽（约3世纪初）在为《周髀算经》作注时验证勾股定理的示意图，现在提供5种颜色给其中5个小区域涂色，规定每个区域只涂一种颜色，相邻区域颜色不相同，则不同的涂色方案共有种（用数字作答）.16．如图所示，在杨辉三角中，斜线AB 上方箭头所示的数组成一个锯齿形的数列：1，2，3，3，6，4，10，L 记这个数列前n 项和为()S n ，则()31S =．四、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.17．已知22nx x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的展开式中的所有二项式系数之和为64．(1)求n 的值；(2)求展开式中的常数项．18．已知二项式6(0)x a x ⎛-> ⎝的展开式中3x 的系数为r ，常数项为s ，且r s =．(1)求a 的值；(2)求展开式中系数最小的项．19．一袋中共有10个大小相同的黑球和白球.若从袋中任意摸出2个球，至少有1个白球的概率为79.(1)求白球的个数；(2)现从中不放回地取球，每次取1球，取两次，已知第二次取得白球，求第一次取得黑球的概率.20．某高校在今年的自主招生考试中制定了如下的规则：笔试阶段，考生从6道备选试题中一次性抽取3道题，并独立完成所抽取的3道题，至少正确完成其中2道试题则可以进入面试．已知考生甲能正确完成6道试题中的4道题，另外2道题不能完成．(1)求考生甲能通过笔试进入面试的概率；(2)记所抽取的三道题中考生甲能正确完成的题数为ξ，求ξ的分布列和数学期望．21．受环境和气候影响，近阶段在相邻的甲、乙、丙三个市爆发了支原体肺炎，经初步统计，这三个市分别有8%,6%,4%的人感染了支原体肺炎病毒，已知这三个市的人口数之比为4:6:10，现从这三个市中任意选取一个人.(1)求这个人感染支原体肺炎病毒的概率；(2)若此人感染支原体肺炎病毒，求他来自甲市的概率.22．新高考数学试卷增加了多项选择题，每小题有A 、B 、C 、D 四个选项，原则上至少有2个正确选项，至多有3个正确选项．题目要求：“在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．”其中“部分选对的得部分分”是指：若正确答案有2个选项，则只选1个选项且正确得3分；若正确答案有3个选项，则只选1个选项且正确得2分，只选2个选项且都正确得4分．(1)若某道多选题的正确答案是AB ，一考生在解答该题时，完全没有思路，随机选择至少一个选项，至多三个选项，请写出该生所有选择结果所构成的样本空间，并求该考生得分的概率；(2)若某道多选题的正确答案是2个选项或是3个选项的概率均等，一考生只能判断出A 选项是正确的，其他选项均不能判断正误，给出以下方案，请你以得分的数学期望作为判断依据，帮该考生选出恰当方案：方案一：只选择A选项；方案二：选择A选项的同时，再随机选择一个选项；方案三：选择A选项的同时，再随机选择两个选项．1．B【分析】根据分类加法计数原理即可得解.【详解】任选1部电影可分四类：第一类选的是科幻片，第二类选的是警匪片，第三类选的是战争片，第四类选的是喜剧片，由分类加法计数原理可得不同的选法共有343212+++=（种）．故选：B．2．D【分析】利用分类计数原理分类讨论计算即可.【详解】比2000大，故千位为2，3，4，若千位为2，则个位为4，有212⨯=（个）符合题意的四位数；若千位为3，则个位为2或4，有2214⨯⨯=（个）符合题意的四位数；若千位为4，则个位为2，有212⨯=（个）符合题意的四位数．根据分类加法计数原理得，一共有2428++=（个）符合题意的四位数．故选:D．3．A【分析】由离散型随机变量取值的概率和为1，解出a值，再由方差公式可得.【详解】由11162a++=解得13a=，则111()(2)121632E X=-⨯+⨯+⨯=，()222111()(21)(11)212632D X=--⨯+-⨯+-⨯=.故选：A.4．D【分析】根据条件概率的计算方法求得正确答案.【详解】不超过30的自然数有31个，其中素数有2,3,5,7,11,13,17,19,23,29共10个，孪生素数有3和5，5和7，11和13，17和29，共4组.所以()210223131C 45C C P A ==，()210223131C 441C C P AB -==，所以()()()23123141C 414545C P AB P B A P A ===.故选：D 5．A【分析】根据质因数分解，结合分步计数原理进行求解即可.【详解】因为32360235=⨯⨯，所以360有43224⨯⨯=个不同的正因数．故选：A 6．B【分析】根据题意，先计算出所有的分配方案数，然后去掉甲乙两名同学在同一个社团的方案数，即可得到结果.【详解】由题意可得，将5名同学分配到这4个社团进行培训每名同学只能分配到1个社团，每个社团至少分配1名同学，则不同的分配方案共有211145321433C C C C A 240A ⋅⋅⋅⨯=种，当甲乙两名同学在同一个社团培训，则不同的分配方案有44A 24=种，综上可得，不同的分配方案共有24024216-=种.故选：B 7．C【分析】利用组合、分步乘法计数原理可得答案.【详解】从A 处到B 处的最短路径有46C 15=条，从B 处到C 处的最短路径有25C 10=条，则小华从A 处到C 处可以选择的最短路径有1510150⨯=条．故选：C.8．A【分析】首先利用二项式定理化简a ，再确定a 被10除的余数，结合选项，即可求解.【详解】因为()()1891891812C 31911011a =+-=-=-=--09188199999C 10C 10...C 10C 1=⋅-⋅++⋅--()0817899910C 10C 10...C 2=⋅-⋅++-所以a 被10除得的余数为8，而2018被10除得的余数是8.故选：A ．9．ACD【分析】利用分类计数原理、分步计数原理即可.【详解】从思想政治、历史、地理、物理、化学、生物6门科目中任选3门，不同的选科方案有36C 20=种，则A 正确；若某考生计划在物理和生物中至少选一科，则不同的选科方案有12212424C C C C 12416+=+=种，则B 错误；若某考生确定不选物理，则不同的选科方案有35C 10=种，则C 正确；若某考生在物理和历史中选择一科，则不同的选科方案有122412C C =种，则D 正确.故选：ACD.10．ACD【分析】将0x =，2x =，1x =±代入6234560123456(1)x a a x a x a x a x a x a x -=++++++判断ACD ，利用二项式展开式的通项公式判断B 即可.【详解】将0x =代入6234560123456(1)x a a x a x a x a x a x a x -=++++++得()6001a -=，解得01a =，A 正确；由二项式定理可知()61x -展开式的通项为()616C 1rr rr T x -+=-，令6r 3-=得3r =，所以()3336C 120a =-=-，B 错误；将2x =代入6234560123456(1)x a a x a x a x a x a x a x -=++++++得()6012345621248163264a a a a a a a -=++++++，即1234562481632640a a a a a a +++++=，C 正确；将1x =代入6234560123456(1)x a a x a x a x a x a x a x -=++++++得()6012345611a a a a a a a -=++++++，即01245630a a a a a a a +++++=+①，将=1x -代入6234560123456(1)x a a x a x a x a x a x a x -=++++++得()6012345611a a a a a a a --=-+-+-+，即012345664a a a a a a a -+-+-+=②，①+②得()0246264a a a a +++=，所以024632a a a a +++=，①-②得()135264a a a ++=-，所以13532a a a +=-+，所以0246135a a a a a a a +++=++，D 正确；故选：ACD 11．CD【分析】根据分步乘法计数原理可判断A ；将四名志愿者先分组，再分到三个活动可判断B ；先求出四名同学最终只报了两个项目的方法总数，再结合A 选项可判断C ；由条件概率可判断D.【详解】解：对于A ，由题意可知，甲、乙、丙、丁四名同学每人有3种选择，故四名同学的报名情况共有43种，A 错误；对于B ，现将四名志愿者分为2，1，1三组，共有24C 6=种情况，再将其分到三个活动中，共有33A 6=种，由分步乘法计数原理得到6636⨯=种，故“每个项目都有人报名”的报名情况共有36种，B 错误；对于C ，“四名同学最终只报了两个项目”的概率是22221224232432224C C C A C C A A 14327+=，C 正确；对于D ，由已知有：()23434C A 439P A ==，()22324C A 2327P AB ==，所以()()()16P AB P B A P A ==，D 正确.故选：CD.12．BD【分析】根据题意列出决赛中的比赛局数为X 的概率分布列，然后对照选项逐项分析即可判断.【详解】乙连胜三场时比赛局数可能是3,4,5，若比赛局数为3时，乙连胜三场的概率是3(1)p -；若比赛局数为4时，乙连胜三场的概率是3(1)p p -；若比赛局数为5时，乙连胜三场的概率是23(1)p p -；故选项A 错误；由题意可知，决赛中的比赛局数X 的可能取值为3,4,5，则332(3)(1)133P X p p p p ==+-=-+；33342(4)3(1)3(1)12693P X p p p p p p p p ==-+-=--+；故选项B 正确；432(5)1(3)(4)6126P X P X P X p p p ==-=-==-+;故选项C 错误；令432()6126f p p p p =-+，则32()24361212(21)(1)f p p p p p p p '=-+=--，因为01p ≤<，所以当102p ≤<时，()0f p '>，当112p <<时，()0f p '<；当函数()f p 在1[0,2上单调递增，在1(,1)2上单调递减，则当12p =时，函数()f p 取最大值38，所以(5)P X =的最大值是38，故选项D 正确；故选：BD.13．0.08【分析】利用条件概率公式求解.【详解】设发生中度雾霾为事件A ，刮四级以上大风为事件B ，所以()0.25,()0.4,()0.02P A P B P AB ===,()0.02(|)0.08()0.25P AB P B A P A ===,故答案为:0.08.14．80【分析】()522x x y +-中有2个括号提供y -，还有3个括号都是22x ，求出系数即可.【详解】()522x x y +-可看作5个()22x x y +-相乘，有2个括号提供y -，还有3个括号都是22x ，则()322326253C ()C 280y x x y -⋅=，系数为80.故答案为：8015．420【分析】根据题意，用,,,,A B C D E 表示5个区域，分4步依次分析区域A 、B 、C 、D 、E 的涂色方法数目，由分步计数原理计算答案．【详解】如图，用,,,,A B C D E 表示5个区域，分4步进行分析：①，对于区域A ，有5种颜色可选；②，对于区域B ，与A 区域相邻，有4种颜色可选；③，对于区域C ，与A 、B 区域相邻，有3种颜色可选；④，对于区域D 、E ，若D 与B 颜色相同，E 区域有3种颜色可选，若D 与B 颜色不相同，D 区域有2种颜色可选，E 区域有2种颜色可选，则区域D 、E 有3227+⨯=种选择，则不同的涂色方案有5437420⨯⨯⨯=种.故答案为：420.16．951【分析】根据杨辉三角的性质，结合组合数的计算性质，可得答案.【详解】由“杨辉三角”性质，得：()1212122223316161731C C C C C C C S =+++++++L ()()11122223162317C C C C C C =+++++++L L ()()2111322223163317C C C C C C C 1=++++++++-L L 231718C C 1=+-951=.故答案为：951．17．(1)6n =(2)240【分析】（1）利用二项式系数和可求得n 的值；（2）写出展开式通项，令x 的指数为零，求出参数的值，代入通项即可得解.【详解】（1）解：展开式中所有二项式系数之和为264n =，解得6n =．（2）解：由（1）知6n =所以展开式通项为()()621231662C 2C 0,1,2,,6rrrr r rr T xxr x --+⎛⎫=== ⎪⎝⎭，令1230r -=，解得4r =，则44562C 1615240T ==⨯=，所以展开式中的常数项为240．18．(1)1a =(2)32420T x=-【分析】（1）首先写出二项展开式的通项，化简后按照要求确定字母的指数，代入求解即可；（2）结合（1）中a 的值，先由不等式组解出展开式中系数绝对值最大的项，再结合通项判断系数的正负，即可求解.【详解】（1）由题意根据二项展开式的通项，得：()3662166C C kk k k k k k T x a x x --+⎛=⋅⋅=-⋅⋅ ⎝令2k =，得展开式中3x 的系数为：2226C 15r a a =⋅=，令4k =，得展开式中的常数项为：4446C 15s a a =⋅=，又r s = ，241515a a ∴=，解得：0a =或1a =-或1a =，又0a >，故1a =.（2）由（1）知1a =，故原二项式为：61x x ⎛ ⎝则展开式中第k 项、第1k +项、第2k +项的系数绝对值分别为16C k -、6C k 、16C k +，若第1k +项的系数绝对值最大，则有166166C C C C k k k k -+⎧≥⎨≥⎩，解得：5722k ≤≤，又+N k ∈ ，3k ∴=，且展开式中系数的绝对值最大的项是第4项，∴()3332461C T x =-⋅⋅，其系数为负数，此时该项的系数最小，故展开式中系数最小的项为：32420T x =-.19．(1)5(2)59【分析】（1）从袋中任意摸出2个球，至少有1个白球的反面是摸出的2个球全是黑球，表示出黑球的概率，从而求得至少有1个白球的概率，来求得白球的个数.（2）根据条件概率的定义，分别求得两事件同时发生的概率，和前提事件发生的概率，即可求得.【详解】（1）设白球的个数为a ，则黑球个数为10a -，从袋中任意摸出2个球，至少有1个白球的概率为79．210210C 71C 9a P -∴=-=，解得5a =或4a =-（舍)，∴白球的个数为5．（2）记“第二次取到白球”为事件A ，“第1次取到黑球”为事件B ，则()P A 545511091092=⨯+⨯=，555()10918P AB =⨯=，∴第2次取得白球时第1次取得黑球的概率为：5()518(|)1()92P AB P B A P A ===．20．(1)45(2)分布列见解析，数学期望为2【分析】（1）根据古典概型计算公式进行求解即可；（2）根据古典概型计算公式，结合数学期望公式进行求解即可【详解】（1）考生从6道备选试题中一次性抽取3道题所包含的基本事件总数为36C 20=，考生甲能通过笔试进入面试所包含的基本事件个数为321442C C C 16+=，所以考生甲至少正确完成2道题的概率为164205=；（2）随机变量ξ的所有可能取值为1，2，3，则()()()1221342424333666C C C C C 1311,2,3C 5C 5C 5P P P ξξξ=========，所以ξ的分布列为：ξ123P 153515故()1311232555E ξ=⨯+⨯+⨯=．21．(1)0.054(2)827【分析】（1）记事件:D 选取的这个人感染了支原体肺炎病毒,记事件:E 此人来自甲市,记事件:F 此人来自乙市,记事件:G 此人来自丙市，求出()P E ,()P F ,()P G ,()|P D E ,()|P D F ,()|P D G ,根据全概率公式可得答案；（2）由条件概率公式可得答案.【详解】（1）记事件:D 选取的这个人感染了支原体肺炎病毒,记事件:E 此人来自甲市,记事件:F 此人来自乙市,记事件:G 此人来自丙市，Ω= E F G ,且,,E F G 彼此互斥,由题意可得()40.220==P E ,()60.320==P F ,()100.520==P G ,()|0.08=P D E ,()|0.06=P D F ,()|0.04=P D G ,由全概率公式可得()()()()()()()|||=⋅+⋅+⋅P D P E P D E P F P D F P G P D G 0.20.080.30.060.50.040.054=⨯+⨯+⨯=，所以从三市中任取一人,这个人感染支原体肺炎病毒的概率为0.054；（2）由条件概率公式可得()()()()()()|0.20.088|0.05427⨯====P DE PE P D E P E D P D P D ，所以当此人感染支原体肺炎病毒时,他来自甲市的概率为827.22．(1)314(2)答案见解析【分析】（1）根据古典概型计算公式进行求解即可；（2）根据三种方案下数学期望的大小关系进行判断即可.【详解】（1）由题意，该考生所有选择结果构成的样本空间为：{},,,,,,,,,,,,,A B C D AB AC AD BC BD CD ABC ABD ACD BCD 设1A =“某题的答案是AB ，该考生得分”，则()1314P A =．（2）设方案一、二、三的得分分别为X ，Y ，Z ．①∵()122P X ==，()132P X ==．∴X 的分布列为：X 23P 1212则()11523222E X =⨯+⨯=．②∵()12111023232P Y ==⨯+⨯=，()1214233P Y ==⨯=，()1116236P Y ==⨯=，∴Y 的分布列为：Y 046P 121316则()11170462363E Y =⨯+⨯+⨯=．③∵()1215012326P Z ==⨯+⨯=，()1116236P Z ==⨯=，∴Z 的分布列为：Z 06P 5616则()5106166E Z =⨯+⨯=．∵()()()E X E Y E Z >>，∴以数学期望为依据选择方案一更恰当．。
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高 三 第 一 学 期 期 中 考 试 数 学 试 题（理 科）
时间: 120分钟 分值：150分 命题人：彭拴成
一、 选择题（每题5分，共60分）
1、设M={x|x<4},N={x|x }42<,则（ ）
A 、M ∈N
B 、N ⊆M
C 、M ⊆C R N
D 、N ⊆C R N
2、已知A 是∆ABC 的内角，则“sinA=2
3”是tanA=3的（ ） A 、充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
3、函数y=x in(1-x)的定义域为（ ）
A 、（0,1）
B 、 [0,1)
C 、(0,1)
D 、 [0,1]
4、设a=35,0,b=iog 32,c=cos2,则（ ）
A 、c<b<a
B 、c<a<b
C 、a<b<c
D 、b<c<a
5、定义域为R 的四个函数y=x 3,y=2x ,y=x 2
+1,y=2sinx 中，奇函数的个数是（ ） A ．4 B.3 C.2 D.1
6、设f(x)=e x
+x-4,则函数f(x)的零点位于区间（ ） A.（-1,0） B.（0,1） C.（1,2） D.（2,3）
7、设函数f(x)是定义在R 上的奇函数，且对任意x ∈ R 都有f(x)= f(x+4)，当x ∈(-2,0)时，f(x)=2x
，则f(2012)-f(2011)的值为（ ） A.-21 B.2
1 C.
2 D.-2 8、已知定义在R 上的函数f(x)=e x +x 2
-x+sinx,则曲线y=f(x)在点（0,f(0)）处的切线方程是（ ） A ．y=2x-1 B.y=x+1 C.y=3x-2 D.y=-2x+3
9设P 为曲线C ：y=x 2+2x+3上的点，且曲线C 在点P 处的切线的倾斜角的取值范围为[0,4
π],则点P 横坐标的取值范围为（ ） A.[-1,-21] B.[-1,0] C.[0,1] D.[2
1,1] 10、已知sin(2
π+θ)=53,则cos(π-2θ)等于（ ） A 、2512 B 、-2512 C 、-257 D 、25
7 11、已知函数f(x)=sinxcos ϕ+cosxsin ϕ(其中x ∈R,0<ϕ<π).若函数（ ）
A 、45
B 、35
C 、54
D 、53
12、函数f(x)=2x-cosx 在（-∞，+∞）上是（ ）
A 、增函数
B 、减函数
C 、先增后减
D 、先减后增
二、填空题（每题5分，共20分）
13、函数y=xe x
的导数为 14、已知曲线y=4
2
x -lnx 的一条切线的斜率为21，则切点的横坐标为 15、函数f(x)=2x 3-6x 2+7在区间 上是增函数
16、函数f(x)=ax 2-c 在区间（-∞，0）内是减函数，则a, c 应满足
三、解答题（共70分）
17、已知双曲线9x 2-16y 2=144，求此双曲线的焦点坐标、顶点坐标、离心率。
（10分）
18、求以椭圆3x 2+13y 2=39的焦点为焦点，以直线y=±2
1x 为渐近线的双曲线方程。
（12分） 19、求双曲线的中心在原点，焦点在x 轴上，离心率为2，且过点（5，5）的双曲线方程。
（12分）
20、斜率为1的直线经过抛物线y 2=4x 的焦点，且与抛物线交于A 、B 两点，求线段AB 的长。
（12分）
21、直线l:y=x+a(a ≠0)和曲线C ：y=x 3-x 2+1相切，求切点的坐标及a 的值。
（12分）
22、已知函数f(x)=b
x ax +-26的图像在点M （-1,f(-1)）处的切线方程为x+2y+5=0 (1)求函数y=f(x)的解析式； （2）求函数y=f(x)的单调区间。
（12分）。