2019-2020学年八年级数学矩形 同步练习 华师版.doc

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2020—2021年华东师大版八年级数学下册《矩形的判定》题1及答案.docx

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(新课标)2017-2018学年华东师大版八年级下册第十九章第一节19.1.2矩形的判定同步练习一、选择题1.如图,四边形ABCD的对角线AC、BD相交于点O,已知下列6个条件:①AB∥DC;②AB=DC;③AC=BD;④∠ABC=90°;⑤OA=OC;⑥OB=OD;则不能使四边形ABCD成为矩形的是()A.①②③B.②③④C.②⑤⑥D.④⑤⑥答案:C解答:A中①AB∥DC;②AB=DC可判定四边形是平行四边形,再加上③AC=BD可根据对角线相等的平行四边形是矩形进行判定;B中②AB=DC;③AC=BD;④∠ABC=90°,可根据题意判断出全等三角形,进而得出四边形是矩形进行判定;C中⑤OA =OC;⑥OB=OD可判定四边形是平行四边形,再加②AB=DC 也不能判定是矩形;D中⑤OA=OC;⑥OB=OD可判定四边形是平行四边形,再加④∠ABC=90°可根据有一个角为直角的平行四边形是矩形进行判定;故选C.分析:根据矩形的判定方法:①矩形的定义:有一个角是直角的平行四边形是矩形;②对角线相等的平行四边形是矩形分别进行分析即可.2.对角线互相平分且相等的四边形是()A.菱形B.矩形C.正方形D.等腰梯形答案:B解答:∵该四边形的对角线互相平分,∴该四边形是平行四边形,又∵该平行四边形的对角线相等,∴该平行四边形是矩形,故选B.分析:根据对角线互相平分得出平行四边形,再加上对角线相等即可得出矩形.3.下列关于四边形是矩形的判断中,正确的是()A.对角线互相平分B.对角线互相垂直C.对角线互相平分且垂直D.对角线互相平分且相等答案:D解答:对角线互相平分的四边形是平行四边形,不一定是矩形,故A选项错误;对角线互相垂直不一定是矩形,菱形对角线也互相垂直,故B选项错误;对角线互相平分且垂直的四边形是菱形,不是矩形,故C选项错误;对角线互相平分且相等的四边形是矩形,故D选项正确;故选D.分析:根据矩形的判定方法:①矩形的定义:有一个角是直角的平行四边形是矩形;②有三个角是直角的四边形是矩形;③对角线相等的平行四边形是矩形(或“对角线互相平分且相等的四边形是矩形”),针对每一个选项进行分析,可选出答案.4.如图,四边形ABCD的对角线互相平分,要使它变为矩形,需要添加的条件是()A.AB=CD B.AD=BC C.AC=BD D.AB=BC答案:C解答:可添加AC=BD,∵四边形ABCD的对角线互相平分,∴四边形ABCD是平行四边形,∵AC=BD,根据矩形判定定理对角线相等的平行四边形是矩形,∴四边形ABCD是矩形,故选C.分析:四边形ABCD的对角线互相平分,则说明四边形是平行四边形,由矩形的判定定理知,只需添加条件是对角线相等.5.如果四边形对角线互相垂直,则顺次连接这个四边形各边中点所得的四边形是()A.平行四边形B.矩形C.菱形D.正方形答案:B解答:如下图所示,在四边形ABCD中,AC⊥BD,连接各边的中点E,F,G,H,则形成中位线EG∥AC,FH∥AC,EF∥BD,GH∥BD,又因为对角线AC⊥BD,所以GH⊥EG,EG⊥EF,EF ⊥FH,FH⊥HG,根据矩形的定义可以判定该四边形为矩形.故选B..分析:根据三角形中位线的性质,可得到这个四边形是平行四边形,再由对角线垂直,能证出有一个角等于90°,则这个四边形为矩形.6.平行四边形ABCD的两条对角线相等,则平行四边形ABCD 一定是()A.菱形B.矩形C.正方形D.等腰梯形答案:B解答:对角线相等的平行四边形是矩形.分析:本题考查特殊平行四边形的判定,需熟练掌握各特殊平行四边形的特点.7.如图,要使平行四边形ABCD成为矩形,需添加的条件是()A.AB=BC B.AC⊥BD C.∠ABC=90°D.∠1=∠2答案:C解答:A中是邻边相等,不可判定平行四边形ABCD是菱矩形;B中是对角线互相垂直,不可判定平行四边形ABCD是矩形;C中是一内角等于90°,可判断平行四边形ABCD成为矩形;D中是对角线平分对角,不可判定平行四边形ABCD是矩形.故选C.分析:本题主要应用的知识点为,矩形的判定:①对角线相等且相互平分的四边形为矩形;②一个角是90度的平行四边形是矩形.8.如图,在平行四边形ABCD中,对角线AC和BD相交于点O,则下面条件能判定平行四边形ABCD是矩形的是()A.AC=BD B.AC⊥BD C.AC=BD且AC⊥BDD.AB=AD答案:A解答:A选项是对角线相等,可判定平行四边形ABCD是矩形.而B、C、D不能.分析:矩形的判定定理有:①有一个角是直角的平行四边形是矩形;②有三个角是直角的四边形是矩形;③对角线互相平分且相等的四边形是矩形;据此分析判断.9.如图,在△ABC中,AB=6,AC=8,BC=10,P为边BC上一动点(且点P不与点B、C重合),PE⊥AB于E,PF⊥AC于F,则EF的最小值为()A .4B .4.8C .5.2D .6 答案:B解答:如图,连接PA ,∵在△ABC 中,AB =6,AC =8,BC =10,∴222BC AB AC =+,∴∠BAC =90°,又∵PE ⊥AB 于点E ,PF ⊥AC 于点F .∴∠AEP =∠AFP =90°,∴四边形PEAF 是矩形,AP =EF ,当PA 最小时,EF 也最小,即当AP ⊥CB 时,PA最小,∵12AB •AC =12BC •AP ,即AP =BC AC AB ⋅=6810⨯=4.8,∴线段EF 长的最小值为4.8;故选B .分析:先由矩形的判定定理推知四边形PEAF 是矩形;连接PA ,则PA =EF ,所以要使EF ,即PA 最短,只需PA ⊥CB 即可;然后根据三角形的等积转换即可求得PA 的值.10.下列命题错误的是( )A .平行四边形的对边相等B .两组对边分别相等的四边形是平行四边形C .对角线相等的四边形是矩形D.矩形的对角线相等答案:C解答:平行四边形的性质有平行四边形的对边相等,故A选项错误;平行四边形的判定定理有两组对边分别相等的四边形是平行四边形,故B选项错误;对角线相等的平行四边形是矩形,故C 选项正确;矩形的性质有矩形的对角线相等,故D选项错误;故选C.分析:根据平行四边形的性质即可判断A;根据平行四边形的判定即可判断B;根据矩形的判定即可判断C;根据矩形的性质即可判断D.11.如图,在Rt△ABC中,∠A=90°,P为边BC上一动点,PE ⊥AB于E,PF⊥AC于F,动点P从点B出发,沿着BC匀速向终点C运动,则线段EF的值大小变化情况是()A.一直增大B.一直减小 C.先减小后增大D.先增大后减少答案:C解答:如图下图所示,连接AP,∵∠A=90°,PE⊥AB,PF⊥AC,∴四边形AFPE是矩形,∴EF=AP,由垂线段最短可得AP⊥BC 时,AP最短,则线段EF的值最小,∴动点P从点B出发,沿着BC匀速向终点C运动,则线段EF的值大小变化情况是先减小后增大;故选C.分析:连接CP,先判断出四边形CFPE是矩形,根据矩形的对角线相等可得EF=CP,再根据垂线段最短可得CP⊥AB时,线段EF的值最小,即可判断出动点P从点B出发,沿着BC匀速向终点C运动,线段EF的值大小变化情况.12.已知下列命题中:①矩形是轴对称图形,且有两条对称轴;②两条对角线相等的四边形是矩形;③有两个角相等的平行四边形是矩形;④两条对角线相等且互相平分的四边形是矩形;其中正确的有()A.4个B.3个C.2个D.1个答案:C解答:①矩形是轴对称图形,对边中点连线所在的直线是它的对称轴,并且有两条,故该选项正确;②只有两条对角线相等的平行四边形是矩形;故该选项错误;③所有的平行四边形对角都相等,但不一定是矩形,故该选项错误;④两条对角线互相平分的四边形是平行四边形,再加对角线相等则为矩形,故该选项正确;所以其中正确的有①和④,故选C.分析:根据矩形的轴对称性、矩形的判定和矩形的性质逐项分析即可得到正确命题的个数.13.下列关于矩形的说法中正确的是()A.矩形的对角线互相垂直且平分B.矩形的对角线相等且互相平分C.对角线相等的四边形是矩形 D.对角线互相平分的四边形是矩形答案:B解答:矩形的对角线互相平分,且相等,但不一定互相垂直,A 项错误;矩形的对角线相等且互相平分,B项正确;对角线相等的四边形不一定为矩形,例如等腰梯形对角线相等,但不是矩形,C项错误;对角线互相平分的四边形为平行四边形,不一定为矩形,D项错误;故选B.分析:此题考查了矩形的判定与性质,是一道概念性试题,熟练掌握矩形的判定与性质是解本题的关键.14.对角线的平行四边形是矩形()A.互相垂直且平分B.互相平分C.互相垂直D.相等答案:D解答:根据矩形的判定:对角线相等的平行四边形是矩形,故选D.分析:根据矩形的判定定理:对角线相等的平行四边形是矩形.15.在四边形ABCD中,∠A=60°,AB⊥BC,CD⊥AD,AB=4,CD=2,求四边形ABCD的周长()A .1023+B .825+C .835+D .1025+答案:A 解答:如下图所示,延长BC 、AD 交于O ,∵∠A =60°,AB ⊥BC ,CD ⊥AD ,∴∠B =∠CDO =90°,∠O =30°,∵AB =4,CD =2,∴OA =2AB =8,CO =2CD =4,由勾股定理得:228443OB =-=,224223OD =-=,∴434BC =-,823AD =-,∴AB +AD +DC +BC =482324341023+-++-=+,故选A .分析:延长BC 、AD 交于O ,求出OA 、OD 、OC 、OB 的值,求出BC 、AD ,即可求出答案.二、填空题16.如图,要使平行四边形ABCD 是矩形,则应添加的条件是 (只填一个).答案:∠ABC =90°或AC =BD (不唯一)解答:根据矩形的判定定理:对角线相等的平行四边形是矩形,有一个角是直角的平行四边形是矩形,故添加条件:∠ABC =90°或AC =BD ,故答案为∠ABC =90°或AC =BD .分析:根据矩形的判定定理:①对角线相等的平行四边形是矩形,②有一个角是直角的平行四边形是矩形,直接添加条件即可.17.对角线的四边形是矩形.答案:相等且互相平分解答:根据矩形的判定:对角线相等且互相平分的四边形是矩形,故填“相等且互相平分”.分析:对角线互相平分的四边形是平行四边形,而对角线又相等故为矩形.18.如图,在四边形ABCD中,已知AB∥DC,AB=DC.在不添加任何辅助线的前提下,要想该四边形成为矩形,只需再加上的一个条件是.(填上你认为正确的一个答案即可)答案:∠A=90°解答:添加的条件是∠A=90°,理由是:∵AB∥DC,AB=DC,∴四边形ABCD是平行四边形,∵∠A=90°,∴平行四边形ABCD 是矩形,故答案为:∠A=90°.分析:根据平行四边形的判定先推出四边形是平行四边形,再根据矩形的定义即可得出答案.19.如图所示,已知平行四边形ABCD,下列条件:①AC=BD,②AB=AD,③∠1=∠2,④AB⊥BC中,能说明平行四边形ABCD 是矩形的有(填写序号).答案:①④解答:能说明平行四边形ABCD是矩形的有:①对角线相等的平行四边形是矩形;④有一个角是直角的平行四边形是矩形.分析:矩形是特殊的平行四边形,矩形有而平行四边形没有的特征是:矩形的四个内角是直角;矩形的对角线相等且互相平分;可根据这些特点来选择条件.20.如图,在△ABC中,AB=AC,将△ABC绕点C旋转180°得到△FEC,连接AE、BF.当∠ACB为度时,四边形ABFE为矩形.答案:60解答:如果四边形ABFE为矩形,根据矩形的性质,那么AF=BE,AC=BC,又因为AC=AB,那么三角形ABC是等边三角形,所以∠ACB=60°.分析:本题主要考查了矩形的性质:矩形的对角线相等且互相平分.三、解答题21.如图,在△ABC中,AB=AC,点D(不与点B重合)在BC 上,点E是AB的中点,过点A作AF∥BC交DE延长线于点F,连接AD,BF.(1)求证:△AEF≌△BED;答案:解答:证明:∵AF∥BC,∴∠AFE=∠EDB,∵E为AB的中点,∴EA=EB,在△AEF和△BED中,AEF EDBEA EBBED AEF∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩,∴△AEF≌△BED(ASA).(2)若BD=CD,求证:四边形AFBD是矩形.答案:四边形AFBD是矩形解答:证明:∵△AEF≌△BED,∴AF=BD,∵AF∥BD,∴四边形AFBD是平行四边形,∵AB=AC,BD=CD,∴AD⊥BD,∴四边形AFBD是矩形.分析:(1)AAS或ASA证全等;(2)根据对角线互相平分的证明四边形AFBD是平行四边形,再根据等腰三角形三线合一证明∠ADB=90°,进而根据有一个角是直角的平行四边形是矩形得证.22.如图,在△ABC中,D是BC边上的一点,E是AD的中点,过A点作BC的平行线交CE的延长线于点F,且AF=BD,连接BF.(1)求证:BD=CD;答案:解答:证明:∵AF∥BC,∴∠AFE=∠DCE,∵E是AD的中点,∴AE=DE,AFE DCE AE DEAEF DEC ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩,∴△AEF≌△DEC(AAS),∴AF=DC,∵AF=BD,∴BD=CD.(2)如果AB=AC,试判断四边形AFBD的形状,并证明你的结论.答案:四边形AFBD是矩形解答:四边形AFBD是矩形,理由:∵AB=AC,D是BC的中点,∴AD⊥BC,∴∠ADB=90°,∵AF=BD,又∵过A点作BC的平行线交CE的延长线于点F,即AF∥BC,∴四边形AFBD是平行四边形,∴四边形AFBD是矩形.分析:(1)先由AF∥BC,利用平行线的性质可证∠AFE=∠DCE,而E是AD中点,那么AE=DE,∠AEF=∠DEC,利用AAS可证△AEF≌△DEC,那么有AF=DC,又AF=BD,从而有BD=CD;(2)四边形AFBD是矩形.由于AF平行等于BD,易得四边形AFBD是平行四边形,又AB=AC,BD=CD,利用等腰三角形三线合一定理,可知AD⊥BC,即∠ADB=90°,那么可证四边形AFBD是矩形.23.如图,在△ABC中,点O在AB边上,过点O作BC的平行线交∠ABC的平分线于点D,过点B作BE⊥BD交直线OD于点E.(1)求证:OE=OD;答案:解答:证明:∵BD是∠ABC的角平分线,∴∠ABD=∠DBC;∵ED∥BC,∴∠ODB=∠DBC=∠ABD,∴△OBD为等腰三角形,∴OB=OD,在Rt△EBD中,OB=OD,那么O就是斜边ED 的中点.∴OE=OD.(2)当点O在AB的什么位置时,四边形BDAE是矩形?说明理由.答案:O为AB的中点时,四边形BDAE为矩形解答:解:∵四边形BDAE为矩形,∴∠AEB为直角即△AEB为直角三角形,OA=OB=OE=OD,∵Rt△AEB中,OE=OA=OB,∴O为斜边AB的中点,∴O为AB的中点时,四边形BDAE为矩形.分析:(1)根据角平分线和等腰三角形腰长相等性质证明OB=OD,再根据直角三角形中线的性质即可判定O点为DE的中点,即OE=OD;(2)设定四边形BDAE为矩形,可求出Rt△AEB中,O点为斜边AB的中点.24.如图,在梯形ABCD中,AD∥BC,点E是BC的中点,连接AC,DE,AC=AB,DE∥AB.求证:四边形AECD是矩形.答案:解答:证明:∵AD∥BC,DE∥AB,∴四边形ABED是平行四边形,∴AD=BE,∵点E是BC的中点,∴EC=BE=AD,∴四边形AECD是平行四边形,∵AB=AC,点E是BC的中点,∴AE ⊥BC,即∠AEC=90°,∴平行四边形AECD是矩形..分析:先判断四边形AECD为平行四边形,然后由∠AEC=90°即可判断出四边形AECD是矩形.25.如图,将平行四边形ABCD的边DC延长至点E,使CE=DC,连接AE,交BC于点F.(1)求证:△ABF ≌△ECF ;答案:解答:证明:在平行四边形ABCD 中,AB ∥CD ,AB =CD ,∴∠BAE =∠AEC ,又∵CE =CD ,∴AB =CE ,在△ABF 和△ECF 中,ABF ECF AFB EFCAB AB ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩,∴△ABF ≌△ECF (AAS ).(2)连接AC 、BE ,则当∠AFC 与∠D 满足什么条件时,四边形ABEC 是矩形?请说明理答案:当∠AFC =2∠D 时,四边形ABEC 是矩形解答:解:当∠AFC =2∠D 时,四边形ABEC 是矩形,理由如下:∵四边形ABCD 是平行四边形,∴BC ∥AD ,AB ∥DC ,AB =DC ,∴∠BCE =∠D ,AB ∥EC ,又∵CE =DC ,∴四边形ABEC 是平行四边形,∵∠AFC =∠FEC +∠BCE ,∴当∠AFC =2∠D 时,则有∠FEC =∠FCE ,∴FC =FE ,∴四边形ABEC 是矩形.分析:(1)由四边形ABCD 是平行四边形,CE =DC ,易证得∠ABF =∠ECF ,∠AFB =∠EFC ,AB =EC ,则可证得△ABF ≌△ECF ;(2)首先根据四边形ABCD 是平行四边形,得到四边形ABEC 是平行四边形,然后证得FC =FE ,利用对角线互相相等的四边形是矩形判定四边形ABEC 是矩形.。

新课标华东师大版八年级数学下册 19.1~19.2矩形、菱形同步测试 (含解析)

新课标华东师大版八年级数学下册 19.1~19.2矩形、菱形同步测试 (含解析)

新课标华东师大版八年级数学下册19.1~19.2矩形、菱形同步测试(含解析)一、选择题(每小题4分,共24分)1.下列命题中,是真命题的是( )A.对角线互相平分且相等的四边形是矩形B.对角线互相垂直且相等的四边形是矩形C.对角线互相平分且相等的四边形是菱形D.对角线互相垂直且相等的四边形是菱形2.已知▱ABCD,对角线AC,BD相交于点O,要使▱ABCD为矩形,需添加下列的一个条件是( )A.OA=OB B.∠BAC=∠DACC.AC⊥BD D.AB=BC3.如图4-G-1,已知四边形ABCD是平行四边形,下列结论中,不一定...正确的是( )A.AB=CDB.AC=BDC.当AC⊥BD时,它是菱形D.当∠ABC=90°时,它是矩形4-G-14-G-2.如图4-G-2,矩形的两条对角线的一个交角为60°,两条对角线的长度的和为20 cm,则这个矩形的一条较短边的长度为( )A.10 cm B.8 cm C.6 cm D.5 cm5.如图4-G-3所示,下列条件能使▱ABCD是菱形的是( )①AC⊥BD;②∠BAD=90°;③AB=AD;④AC=BD.A.①③ B.②③ C.③④ D.①②③图4-G-34-G-4.如图4-G-4,在菱形ABCD中,∠ADC=72°,AD的垂直平分线交对角线BD于点P,垂足为E,连结CP,则∠CPB的度数是( )A.108° B.100° C.90° D.72°二、填空题(每小题4分,共24分)7.在矩形ABCD中,对角线AC,BD相交于点O,若∠AOB=60°,AC=10,则AB=__________.8.已知菱形的边长为5 cm,一条对角线的长为5 cm,则菱形的最大内角的度数是________.9.如果菱形ABCD的周长为40 cm,对角线AC∶BD=4∶3,那么对角线AC =______cm,BD=______cm.10.如图4-G-5,在矩形ABCD中,BC=2AB.以点B为圆心,BC长为半径作弧交AD于点E,连结BE.若AB=1,则AE的长为________.4-G-54-G-611.如图4-G-6所示,在▱ABCD中,AB=3 cm,AD=5 cm,当AC=________时,四边形ABCD是矩形.图4-G-712.如图4-G-7,平移△ABC到△BDE的位置,且点D在边AB的延长线上,连结EC,CD,若AB=BC,则以下四个结论:①四边形ABEC是平行四边形;②四边形BDEC是菱形;③AC⊥DC;④DC平分∠BDE,正确的是__________(填序号).三、解答题(共52分)13.(8分)如图4-G-8,四边形ABCD是平行四边形,EB=EC,EA=ED,∠AEB=∠DEC.求证:四边形ABCD是矩形.图4-G-814.(10分)如图4-G-9,在四边形ABCD中,BC=DC,∠C=2∠BAD,O是四边形ABCD内一点,且OA=OB=OD.求证:(1)∠BOD=∠C;(2)四边形OBCD是菱形.图4-G-915.(10分)如图4-G-10,在矩形ABCD中,连结对角线AC,BD,将△ABC 沿BC方向平移,使点B移到点C的位置,得到△DCE.(1)求证:△ACD≌△EDC;(2)请探究△BDE的形状,并说明理由.图4-G-1016.(12分)如图4-G-11所示,在△ABC中,D是AC的中点,E是线段BC 延长线上一点,过点A作BE的平行线与线段ED的延长线交于点F,连结AE,CF.(1)求证:AF=CE;(2)若AC=EF,试判断四边形AFCE是什么特殊的四边形,并证明你的结论.图4-G-1117.(12分)如图4-G-12,以△ABC的边AB,AC为边的△ABD和△ACE都是等边三角形,四边形ADFE是平行四边形.(1)当∠BAC满足什么条件时,四边形ADFE是矩形?(2)当∠BAC满足什么条件时,▱ADFE不存在?(3)当△ABC满足什么条件时,▱ADFE是菱形?图4-G-121.A [解析] 因为对角线互相平分的四边形是平行四边形,又因为对角线相等的平行四边形是矩形,所以A选项正确,C选项错误;对角线互相垂直且相等的四边形可能是下图所示的情况,所以B,D两个选项错误.故选A.2.A [解析] 要使▱ABCD变为矩形,可添加的条件是OA=OB,(对角线相等的平行四边形是矩形).故选A.3.B 4.D5.A [解析] 对角线互相垂直的平行四边形是菱形,有一组邻边相等的平行四边形是菱形.6.D [解析] 连结PA,如图所示.∵四边形ABCD是菱形,∴∠ADP=∠CDP=12∠ADC=36°,BD所在直线是菱形的对称轴,∴PA=PC.∵AD的垂直平分线交对角线BD于点P,∴PA=PD,∴PD=PC,∴∠PCD=∠CDP=36°,∴∠CPB=∠PCD+∠CDP=72°.故选D.7.5 [解析] 如图,在矩形ABCD中,对角线AC,BD相交于点O, AC=10,∴OA=OB=12AC= 5.∵∠AOB=60°,∴△AOB是等边三角形,∴AB=OA=5.8.120°9.16 1210. 3 [解析] ∵四边形ABCD是矩形,BC=2AB,AB=1,∴AD=BC=2,∠A=90°,∴BE=BC=2,∴AE=BE2-AB2=22-12= 3.故答案为 3.11.34 cm [解析] 要使▱ABCD为矩形,需要一个角为直角,不妨让∠B=90°,则在Rt△ABC中,AC=AB2+BC2=32+52=34(cm).12.①②③④13.证明:如图,连结AC ,∵∠AEB =∠DEC ,∴∠AEB +∠BEC =∠DEC +∠BEC , 即∠AEC =∠DEB . 在△ACE 和△DBE 中, ⎩⎨⎧EA =ED ,∠AEC =∠DEB EC =EB ,, ∴△ACE ≌△DBE (S.A.S.), ∴AC =BD .∵四边形ABCD 是平行四边形, ∴四边形ABCD 是矩形.14.证明:(1)延长OA 到点E .∵OA =OB ,∴∠ABO =∠BAO ,∴∠BOE =∠ABO +∠BAO , ∴∠BOE =2∠BAO .同理可得∠DOE =2∠DAO ,∴∠BOE +∠DOE =2∠BAO +2∠DAO =2(∠BAO +∠DAO ),即∠BOD =2∠BAD . 又∵∠BCD =2∠BAD , ∴∠BOD =∠BCD . (2)连结OC .∵OB =OD ,BC =DC ,OC =OC , ∴△OBC ≌△ODC ,∴∠BOC =∠DOC ,∠BCO =∠DCO ,∴∠BOC =12∠BOD ,∠BCO =12∠BCD .又∵∠BOD =∠BCD ,∴∠BOC =∠BCO , ∴OB =BC .又∵OB =OD ,BC =DC ,∴OB =BC =DC =DO ,∴四边形OBCD 是菱形. 15.解:(1)证明:∵四边形ABCD 是矩形, ∴AB =DC ,AC =BD ,AD =BC , ∠ADC =∠ABC =90°.由平移的性质得:DE =AC ,CE =BC ,DC =AB , ∠ECD =∠ABC =90°,∴AD =CE .在△ACD 和△EDC 中,⎩⎨⎧AD =CE ,∠ADC =∠ECD ,CD =DC ,∴△ACD ≌△EDC .(2)△BDE 是等腰三角形.理由如下: ∵AC =BD ,DE =AC ,∴BD =DE , ∴△BDE 是等腰三角形.16.解:(1)证明:∵AF ∥CE ,∴∠FAD =∠ECD . ∵D 是AC 的中点,∴AD =CD . 又∵∠ADF =∠CDE , ∴△ADF ≌△CDE , ∴AF =CE .(2)若AC =EF ,则四边形AFCE 是矩形. 证明:由(1)知AF 綊CE ,∴四边形AFCE 是平行四边形.又∵AC =EF ,∴四边形AFCE 是矩形.17.解:(1)当∠BAC =150°时,四边形ADFE 是矩形. (2)当∠BAC =60°时,▱ADFE 不存在. (3)当AB =AC 时,▱ADFE 是菱形.。

2019备战中考数学基础必练(华师大版)-第19章-矩形、菱形与正方形(含解析)

2019备战中考数学基础必练(华师大版)-第19章-矩形、菱形与正方形(含解析)

2019备战中考数学基础必练(华师大版)-第十九章-矩形、菱形与正方形(含解析)一、单选题1.在平面直角坐标系中,已知点A(0,2),B(﹣2 ,0),C(0,﹣2),D(2 ,0),则以这四个点为顶点的四边形ABCD是()A. 矩形B. 菱形C. 正方形D. 梯形2.如图,四边形ABCD为矩形纸片.把纸片ABCD折叠,使点B恰好落在CD边的中点E处,折痕为AF.若CD=6,则AF等于()A. B. C. D. 83.如图,在平行四边形ABCD中,对角线AC和BD相交于点O ,则下面条件能判定平行四边形ABCD是矩形的是().A. AC=BDB. AC⊥BDC. AC=BD且AC⊥BDD. AB=AD4.矩形、菱形、正方形都一定具有的性质是()A. 邻边相等B. 四个角都是直角C. 对角线相等D. 对角线互相平分5.如图,两条宽度都为3cm的纸条,交叉重叠放在一起,它们的交角α为60°,则它们重叠部分(阴影部分)的面积为()A. cm2B. cm2C. cm2D. cm26.在△ABC中,点D是边BC上的点(与B,C两点不重合),过点D作DE∥AC,DF∥AB,分别交AB,AC于E,F两点,下列说法正确的是()A. 若AD⊥BC,则四边形AEDF是矩形B. 若AD垂直平分BC,则四边形AEDF是矩形C. 若BD=CD,则四边形AEDF是菱形D. 若AD平分∠BAC,则四边形AEDF是菱形7.正方形面积为36,则对角线的长为()A. 6B. 6C. 9D. 98.如图,已知在正方形ABCD中,点E、F分别在BC、CD上,△AEF是等边三角形,连接AC 交EF于G,给出下列结论:①BE=DF;②∠DAF=15°;③AC垂直平分EF;④BE+DF=EF.其中结论正确的共有()A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个9.如图,在平行四边形ABCD中,EF AD,HN AB,则图中的平行四边形的个数共有( )A. 12个B. 9个C. 7个D. 5个二、填空题10.已知菱形的两条对角线长为8cm和6cm,这个菱形的面积是________ cm2.11.如图所示,已知平行四边形ABCD ,下列条件:①AC=BD ,②AB=AD ,③∠1=∠2,④AB⊥BC中,能说明平行四边形ABCD是矩形的有(填写序号)________ .12.菱形的两条对角线分别为3cm和4cm,则菱形的面积为________cm.13.如图,在平行四边形AECF中,对角线AC、EF相交于点O,还需要添加一个条件:________,使得四边形ABCD是平行四边形(填一个即可).14.在直角△ABC中,AD是斜边BC上的高,BD=4,CD=9,则AD=________15.如图,矩形ABCD的面积为6,它的两条对角线交于点,以AB、A为两邻边作平行四边形AB,平行四边形AB的对角线交于点,同样以AB、A为两邻边作平行四边形AB,……,依次类推,则平行四边形AB的面积为________.16.如图,∠MON=90°,矩形ABCD的顶点A、B分别在边OM,ON上,当B在边ON上运动时,A随之在OM上运动,矩形ABCD的形状保持不变,其中AB=2,BC=1,运动过程中,点D到点O的最大距离为________.17.如图所示,矩形ABCD的两条对角线相交于点O,∠AOB=60°,AB=2,则矩形的对角线AC 的长是________18.如图,在平面直角坐标系中,边长不等的正方形依次排列,每个正方形都有一个顶点落在函数y=x的图象上,从左向右第3个正方形中的一个顶点A的坐标为(8,4),阴影三角形部分的面积从左向右依次记为S1、S2、S3、…、S n,则S n的值为________ .(用含n的代数式表示,n为正整数)三、解答题19.如图,▱ABCD中,P是AC,BD交于点O,P是▱ABCD外一点,且∠APC=∠BPD=90°,求证:▱ABCD是矩形.20.如图,E、F是四边形ABCD的对角线AC上两点,AE=CF,DF∥BE,DF=BE.(1)求证:四边形ABCD是平行四边形;(2)若AC平分∠BAD,求证:▱ABCD为菱形.21.如图,将平行四边形ABCD沿过点A的直线l折叠,使点D落到AB边上的点F处,折痕交CD边于点E.求证:四边形ADEF是菱形.四、综合题22.如图,在菱形ABCD中,对角线AC、BD相交于点O,DE∥AC,AE∥BD.(1)求证:四边形AODE是矩形;(2)若AB=2 ,AC=2,求四边形AODE的周长.23.四边形ABCD是正方形,对角线AC,BD相交于点O.(1)如图1,点P是正方形ABCD外一点,连接OP,以OP为一边,作正方形OPMN,且边ON与边BC相交,连接AP,BN.①依题意补全图1;②判断AP与BN的数量关系及位置关系,写出结论并加以证明;(2)点P在AB延长线上,且∠APO=30°,连接OP,以OP为一边,作正方形OPMN,且边ON与BC的延长线恰交于点N,连接CM,若AB=2,求CM的长(不必写出计算结果,简述求CM长的过程)答案解析部分一、单选题1.【答案】B【考点】菱形的判定【解析】【解答】画出草图,求得各边的长,再根据特殊四边形的判定方法判断.在平面直角坐标系中画出图后,可发现这个四边形的对角线互相平分,先判断为平行四边形,对角线还垂直,那么这样的平行四边形应是菱形.【分析】,根据题意画出草图,求出各边的长,由菱形的判定定理可得结论。

最新华师版数学八年级下册:19.1.1 矩形的性质3-同步练习

最新华师版数学八年级下册:19.1.1 矩形的性质3-同步练习

第十九章矩形、菱形与正方形19.1 矩形1.矩形的性质[基础练习]1.矩形具备而平行四边形不具有的性质是()A.对角线互相平分B.邻角互补C.对角相等D.对角线相等2.在下列图形性质中,矩形不一定具有的是()A.对角线互相平分且相等B.四个角相等C.既是轴对称图形,又是中心对称图形D.对角线互相垂直平分3.如图,矩形ABCD的两条对角线相交于点O,∠AOD=120°,AB=2,则矩形的对角线AC的长是______.4.如图,在矩形ABCD中,两条对角线AC和BD相交于点O,AB=OA=4 cm,求BD与AD的长.5.已知:△ABC的两条高为BE和CF,点M为BC的中点.求证:ME=MF6.如左下图,矩形ABCD中,AC与BD相交于一点O,AE平分∠BAD,若∠EAO=15°,求∠BOE的度数.[能力提升]7.把一张长方形的纸片按如图所示的方式折叠,EM、FM为折痕,折叠后的C点落在B′M 或B′M的延长线上,那么∠EMF的读度为()A.85°B.90°C.95°D.100°第7题图第8题图第9题图8.如图,在矩形ABCD中,EF∥AB,GH∥BC,EF、GH的交点P在BD上,图中面积相等的四边形有()A.3对B.4对C.5对D.6对9.如图,矩形ABCD的周长为68,它被分成7个全等的矩形,则矩形ABCD•的面积为()A.98 B.196 C.280 D.28410.如图所示,把两个大小完全一样的矩形拼成“L”形图案,则∠FAC=_______,∠FCA=________.11.如图所示,矩形ABCD中,M是BC的中点,且MA⊥MD,若矩形的周长为36 cm,求此矩形的面积。

12.如图,折叠矩形,使AD 边与对角线BD 重合,折痕是DG ,点A 的对应点是E ,若AB=2,BC=1,求AG .13.如图,在矩形ABCD 中,E 是AD 上一点,F 是AB 上一点,EF CE =,且,2EF CE DE cm ⊥=,矩形ABCD 的周长为16cm ,求AE 与CF 的长.14.如图,将矩形纸片ABCD 沿对角线AC 折叠,使点B 落到点B ′的位置,AB ′与CD 交于点E .(1)试找出一个与△AED 全等的三角形,并加以证明.(2)若AB =8,DE =3,P 为线段AC 上的任意一点,PG ⊥AE 于G ,PH ⊥EC 于H ,试求PG +PH 的值,并说明理由.G E D C BA。

华师大新版八年级(下) 中考题同步试卷:19.1 矩形(02)

华师大新版八年级(下) 中考题同步试卷:19.1 矩形(02)
27.在矩形 ABCD 中,点 E 是 BC 上一点,AE=AD,DF⊥AE,垂足为 F;求证:DF=DC.
28.如图,在矩形 ABCD 中,E、F 分别是边 AB、CD 的中点,连接 AF,CE. (1)求证:△BEC≌△DFA; (2)求证:四边形 AECF 是平行四边形.
29.如图,将一张矩形纸片 ABCD 沿直线 MN 折叠,使点 C 落在点 A 处,点 D 落在点 E 处, 直线 MN 交 BC 于点 M,交 AD 于点 N. (1)求证:CM=CN;
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(2)若△CMN 的面积与△CDN 的面积比为 3:1,求 的值.பைடு நூலகம்30.如图,在矩形 ABCD 中,E 是 CD 边上的点,且 BE=BA,以点 A 为圆心、AD 长为半
径作⊙A 交 AB 于点 M,过点 B 作⊙A 的切线 BF,切点为 F. (1)请判断直线 BE 与⊙A 的位置关系,并说明理由; (2)如果 AB=10,BC=5,求图中阴影部分的面积.
4); 19.①③④; 20.5; 21. ; 22. ﹣2 或 +2; 23.(2,4)或(8,4); 24. ;
三、解答题(共 6 小题)
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则四边形 ABOM 的周长为

16.如图,矩形 ABCD 中,点 E、F 分别是 AB、CD 的中点,连接 DE 和 BF,分别取 DE、

华师大版初中数学八年级下册《19.1 矩形》同步练习卷(含答案解析

华师大版初中数学八年级下册《19.1 矩形》同步练习卷(含答案解析

华师大新版八年级下学期《19.1 矩形》同步练习卷一.选择题(共11小题)1.已知▱ABCD中,对角线AC,BD交于O点,如果能够判断▱ABCD为矩形,还需添加的条件是()A.AB=BC B.AB=AC C.OA=OB D.AC⊥BD2.如图,点D在△ABC边延长线上,点O是边AC上一个动点,过O作直线EF ∥BC,交∠BCA的平分线于点F,交∠BCA的外角平分线于E.当点O在线段AC上移动(不与点A,C重合)时,下列结论不一定成立的是()A.2∠ACE=∠BAC+∠B B.EF=2OCC.∠FCE=90°D.四边形AFCE是矩形3.检查一个门框(已知两组对边分别相等)是不是矩形,可用的方法是()A.测量两条对角线是否相等B.用重锤线检查竖门框是否与地面垂直C.测量两条对角线是否互相平分D.用曲尺测量两条对角线是否互相垂直4.如图,D,E是△ABC中AB,BC边上的点,且DE∥AC,∠ACB角平分线和它的外角的平分线分别交DE于点G和H.则下列结论错误的是()A.若BG∥CH,则四边形BHCG为矩形B.若BE=CE时,四边形BHCG为矩形C.若HE=CE,则四边形BHCG为平行四边形D.若CH=3,CG=4,则CE=2.55.如图,在平行四边形ABCD中,AC、BD是它的两条对角线,下列条件中,能判断这个平行四边形是矩形的是()A.∠BAC=∠ACB B.∠BAC=∠ACD C.∠BAC=∠DAC D.∠BAC=∠ABD 6.如图,l1∥l2,BE∥CF,BA⊥l1,DC⊥l2,下面给出四个结论:①BE=CF;②AB=DC;=S△DCF;④四边形ABCD是矩形.其中说法正确的有()③S△ABEA.1个B.2个C.3个D.4个7.在△ABC中,CO为AB边上的中线,且OC=AB,以点O为圆心,OC长为半径画圆,延长CO交⊙O于点D,连结AD,BD,则四边形ADBC是()A.正方形B.矩形C.菱形D.邻边相等的四边形8.如图,在Rt△ABC中,∠BAC=90°,AB=6,AC=8,P为边BC上一动点,PE⊥AB于E,PF⊥AC于F,M为EF的中点,则AM的最小值是()A.2.5B.2.4C.2D.39.如图,在△ABC中,∠C=90°,AC=6,BC=8,点P为斜边AB上一动点,过点P作PE⊥AC于点E,PF⊥BC于点F,连结EF,则线段EF的最小值为()A.1.2B.2.4C.2.5D.4.810.下列各种判定矩形的说法正确的是()A.对角线相等的四边形是矩形B.有三个角相等的四边形是矩形C.对角线互相平分且相等的四边形是矩形D.对角线相等且互相垂直的四边形是矩形11.如图,在Rt△ABC中,AC=3,BC=4,D为斜边AB上一动点,DE⊥BC,DF ⊥AC,垂足分别为E、F.则线段EF的最小值为()A.B.C.D.二.填空题(共15小题)12.已知:如图,在长方形ABCD中,AB=4,AD=6.延长BC到点E,使CE=3,连接DE,动点P从点B出发,以每秒1个单位的速度沿BC﹣CD﹣DA向终点A运动,设点P的运动时间为t秒,当t的值为秒时.△ABP和△DCE 全等.13.矩形ABCD对角线AC、BD相交所成钝角为120°,AE⊥BD于E,BE=3,则DE的长为.14.如图,长方形ABCD中,∠A=∠ABC=∠BCD=∠D=90°,AB=CD=6,AD=BC=10,点E为射线AD上的一个动点,若△ABE与△A′BE关于直线BE对称,当△A′BC 为直角三角形时,AE的长为.15.如图,在矩形ABCD中,对角线AC,BD相交于点O,AO=3,AE垂直平分OB于点E,则AD的长为.16.如图,矩形ABCD中,AB=3,BC=4,EB∥DF且BE与DF之间的距离为3,则AE的长是.17.如图,矩形ABCD中,BC=2AB,点E在BC上,且AE=AD,则∠CDE=.18.如图,在矩形ABCD中,AB=4,BC=4,对角线AC、BD相交于点O,现将一个直角三角板OEF的直角顶点与O重合,再绕着O点转动三角板,并过点D作DH⊥OF于点H,连接AH.在转动的过程中,AH的最小值为.19.如图,矩形ABCD中,AB=4,AD=3,点Q在对角线AC上,且AQ=AD,连接DQ并延长,与边BC交于点P,则线段AP=.20.如图,在矩形ABCD中,∠B的平分线BE与AD交于点E,∠BED的平分线EF与DC交于点F,当点F是CD的中点时,若AB=4,则BC=.21.如图,矩形ABCD中,AB=8,点E是AD上的一点,有AE=4,BE的垂直平分线交BC的延长线于点F,连结EF交CD于点G,若G是CD的中点,GE=5,则FO的长是.22.如图,若将四根木条钉成的矩形木框变形为平行四边形ABCD的形状,并使其面积为矩形面积的一半,则这个平行四边形相邻两内角度数的比值等于.23.如图,矩形ABCD中,AB=2,AD=1,点M在边CD上,若AM平分∠DMB,则DM的长是.24.如图,在矩形ABCD中,对角线AC、BD交于点O,∠AOD=120°,对角线AC=4,则BC的长为.25.如图,四边形ABCD,对角线AC、BD相交于点O,且AC与BD互相平分,要使它成为矩形,需要添加的条件是:.(只需写出一个即可)26.顺次连接对角线互相垂直的四边形各边中点所得的四边形一定是.三.解答题(共14小题)27.已知:矩形ABCD中,E,F分别是AD、BC的中点,CE、AF分别交BD于G,H两点.求证:EG=FH.28.如图,在矩形ABCD中,AB=6,AD=10,以点B为圆心,线段BA长为半径画弧,交BC于点E,以点D为圆心,线段DA长为半径画弧,交BC于点F.求EF的长.29.如图,长方形OABC中,O为平面直角坐标系的原点,A,C两点的坐标分别为(3,0),(0,5),点B在第一象限内.(1)写出点B的坐标;(2)若过点C的直线CD交AB边于点D,且把长方形OABC的周长分为3:1两部分,求点D的坐标;(3)若过点C的直线CE交AB边于点E,且把长方形OABC的面积分为2:1两部分,求点E的坐标.30.已知长方形ABCD的三个顶点的坐标分别为A(2,1),B(6,1),C(6,﹣5).(1)求顶点D的坐标;(2)选择一个新的平面直角坐标系,使A,B,C三点的坐标分别为(0,0),(4,0),(4,﹣6),这时D点的坐标是什么?31.如图,点O为矩形ABCD对角线的交点,DE∥AC,CE∥BD.(1)求证:OE与DC互相垂直平分;(2)若AB=6,BC=8,求四边形OCED的面积.32.如图,矩形ABCD中,CE⊥BD于E,CF平分∠DCE与DB交于点F.(1)求证:BF=BC;(2)若AB=4cm,AD=3cm,求CF的长.33.已知:如图,在矩形ABCD中,E为AD上一点,EF⊥CE,交AB于点F,DE=2,矩形的周长为16,且CE=EF.求AE的长.34.如图,矩形ABCD的对角线AC,BD相交于点O,点E,F在BD上,BE=DF.求证:AE=CF.35.如图,矩形ABCD中,点E,F分别在边AB与CD上,点G、H在对角线AC 上,AG=CH,BE=DF.(1)求证:四边形EGFH是平行四边形;(2)若EG=EH,AB=8,BC=4.求AE的长.36.如图,AB∥CD,点E、F分别在AB、CD上,连接EF.∠AEF、∠CF的平分线交于点G,∠BEF、∠DFE的平分线交于点H.求证:四边形EGFH是矩形.37.如图所示,△ABC中,D是BC中点,E是AD的中点,过点A作BC的平行线交CE的延长线于F,连接BF.(1)判断并证明四边形AFBD;(2)当△ABC满足什么条件时,四边形AFBD是矩形,证明你的结论.38.如图,DB∥AC,DE∥BC,DE与AB交于点F,E是AC的中点.(1)求证:F是AB的中点;(2)若要使DBEA是矩形,则需给△ABC添加什么条件?并说明理由.39.如图,已知DB∥AC,E是AC的中点,DB=AE,连结AD、BE.(1)求证:四边形DBCE是平行四边形;(2)若要使四边形ADBE是矩形,则△ABC应满足什么条件?说明你的理由.40.如图,在△ABC中,D、E分别是AB、AC的中点,连接DE并延长DE至点F,使EF=DE,连接CF.(1)求证:四边形DBCF是平行四边形;(2)探究:当△ABC满足什么条件时,四边形ADCF是矩形,并说明理由.华师大新版八年级下学期《19.1 矩形》同步练习卷参考答案与试题解析一.选择题(共11小题)1.已知▱ABCD中,对角线AC,BD交于O点,如果能够判断▱ABCD为矩形,还需添加的条件是()A.AB=BC B.AB=AC C.OA=OB D.AC⊥BD【分析】根据对角线相等的平行四边形是矩形得出即可.【解答】解:添加AO=BO,理由是:∵四边形ABCD是平行四边形,∴OA=OC,OB=OD,∵OA=OB,∴AC=BD,∴▱ABCD为矩形,故选:C.【点评】本题考查矩形的判定、平行四边形的性质等知识,解题的关键是熟练掌握基本知识,属于中考基础题.2.如图,点D在△ABC边延长线上,点O是边AC上一个动点,过O作直线EF ∥BC,交∠BCA的平分线于点F,交∠BCA的外角平分线于E.当点O在线段AC上移动(不与点A,C重合)时,下列结论不一定成立的是()A.2∠ACE=∠BAC+∠B B.EF=2OCC.∠FCE=90°D.四边形AFCE是矩形【分析】依据三角形外角性质,角平分线的定义,以及平行线的性质,即可得到2∠ACE=∠BAC+∠B,EF=2OC,∠FCE=90°,进而得到结论.【解答】解:∵∠ACD是△ABC的外角,∴∠ACD=∠BAC+∠B,∵CE平分∠DCA,∴∠ACD=2∠ACE,∴2∠ACE=∠BAC+∠B,故A选项正确;∵EF∥BC,CF平分∠BCA,∴∠BCF=∠CFE,∠BCF=∠ACF,∴∠ACF=∠EFC,∴OF=OC,同理可得OE=OC,∴EF=2OC,故B选项正确;∵CF平分∠BCA,CE平分∠ACD,∴∠ECF=∠ACE+∠ACF=×180°=90°,故C选项正确;∵O不一定是AC的中点,∴四边形AECF不一定是平行四边形,∴四边形AFCE不一定是矩形,故D选项错误,故选:D.【点评】此题主要考查了矩形的判定等腰三角形的判定,关键是掌握有一个角为直角的平行四边形是矩形.3.检查一个门框(已知两组对边分别相等)是不是矩形,可用的方法是()A.测量两条对角线是否相等B.用重锤线检查竖门框是否与地面垂直C.测量两条对角线是否互相平分D.用曲尺测量两条对角线是否互相垂直【分析】由对角线相等的平行四边形是矩形与有三个角是直角的四边形是矩形,可求得答案.【解答】解:∵有三个角是直角的四边形是矩形,∴检查一个门框是矩形的方法是:一个角是直角的平行四边形是矩形.∵一个角是直角的平行四边形是矩形,∴检查一个门框是矩形的另一个方法是:先测得门框的两组对边是否分别相等,再测其用重锤线检查竖门框是否与地面垂直.故选:B.【点评】此题考查了矩形的判定.注意熟记定理是解此题的关键,注意排除法在解选择题中的应用.4.如图,D,E是△ABC中AB,BC边上的点,且DE∥AC,∠ACB角平分线和它的外角的平分线分别交DE于点G和H.则下列结论错误的是()A.若BG∥CH,则四边形BHCG为矩形B.若BE=CE时,四边形BHCG为矩形C.若HE=CE,则四边形BHCG为平行四边形D.若CH=3,CG=4,则CE=2.5【分析】由∠ACB角平分线和它的外角的平分线分别交DE于点G和H可得∠HCG=90°,∠ECG=∠ACG即可得HE=EC=EG,再根据A,B,C,D的条件,进行判断.【解答】解:∵∠ACB角平分线和它的外角的平分线分别交DE于点G和H,∴∠HCG=90°,∠ECG=∠ACG;∵DE∥AC.∴∠ACG=∠HGC=∠ECG.∴EC=EG;同理:HE=EC,∴HE=EC=EG=HG;若CH∥BG,∴∠HCG=∠BGC=90°,∴∠EGB=∠EBG,∴BE=EG,∴BE=EG=HE=EC,∴CHBG是平行四边形,且∠HCG=90°,∴CHBG是矩形;故A正确;若BE=CE,∴BE=CE=HE=EG,∴CHBG是平行四边形,且∠HCG=90°,∴CHBG是矩形,故B正确;若HE=EC,则不可以证明则四边形BHCG为平行四边形,故C错误;若CH=3,CG=4,根据勾股定理可得HG=5,∴CE=2.5,故D正确.故选:C.【点评】本题考查了矩形的判定,平行四边形的性质和判定,关键是灵活这些判定解决问题.5.如图,在平行四边形ABCD中,AC、BD是它的两条对角线,下列条件中,能判断这个平行四边形是矩形的是()A.∠BAC=∠ACB B.∠BAC=∠ACD C.∠BAC=∠DAC D.∠BAC=∠ABD 【分析】由矩形和菱形的判定方法即可得出答案.【解答】解:A、∠BAC=∠ACB,能判定四边形ABCD是菱形,不能判断四边形ABCD是矩形;B、∠BAC=∠ACD,不能判断四边形ABCD是矩形;C、∠BAC=∠DAC,能判定四边形ABCD是菱形,不能判断四边形ABCD是矩形;D、∠BAC=∠ABD,能得出对角线相等,能判断四边形ABCD是矩形;故选:D.【点评】本题考查了矩形的判定、平行四边形的性质、菱形的判定;熟练掌握矩形的判定是解决问题的关键.6.如图,l1∥l2,BE∥CF,BA⊥l1,DC⊥l2,下面给出四个结论:①BE=CF;②AB=DC;=S△DCF;④四边形ABCD是矩形.其中说法正确的有()③S△ABEA.1个B.2个C.3个D.4个【分析】根据题意可以分别判断各个小题中的结论是否成立,从而可以解答本题.【解答】解:∵l1∥l2,BE∥CF,∴四边形BCFE是平行四边形,∴BE=CF,故①正确,∵l1∥l2,BA⊥l1,DC⊥l2,∴AB=DC,故②正确,∵BE∥CF,∴∠AEB=∠DFC,在△ABE和△DCF中,,∴△ABE≌△DCF(AAS),∴AE=DF,∵AB=DC,=S△DCF,故③正确,∴S△ABE∵l1∥l2,BE∥CF,BA⊥l1,DC⊥l2,∴四边形ABCD是矩形,故④正确,故选:D.【点评】本题考查矩形的判断、平行线之间的距离,解答本题的关键是明确题意,利用矩形的性质和平行线的性质解答.7.在△ABC中,CO为AB边上的中线,且OC=AB,以点O为圆心,OC长为半径画圆,延长CO交⊙O于点D,连结AD,BD,则四边形ADBC是()A.正方形B.矩形C.菱形D.邻边相等的四边形【分析】根据题意画出图形,根据对角线互相平分的四边形为平行四边形可得四边形ACBD是平行四边形,然后证明AB=CD,再根据对角线相等的平行四边形是矩形可得四边形ADBC为矩形.【解答】解:如图:∵延长CO交⊙O于点D,∴DO=CO,∵CO为AB边上的中线,∴AO=BO,∴四边形ACBD是平行四边形,∵OC=AB,∴AB=CD,∴四边形ADBC为矩形,故选:B.【点评】此题主要考查了矩形的判定,关键是掌握对角线相等的平行四边形是矩形.8.如图,在Rt△ABC中,∠BAC=90°,AB=6,AC=8,P为边BC上一动点,PE⊥AB于E,PF⊥AC于F,M为EF的中点,则AM的最小值是()A.2.5B.2.4C.2D.3【分析】根据矩形的性质就可以得出EF,AP互相平分,且EF=AP,根据垂线段最短的性质就可以得出AP⊥BC时,AP的值最小,即AM的值最小,由勾股定理求出BC,根据面积关系建立等式求出其解即可.【解答】解:∵PE⊥AB,PF⊥AC,∠BAC=90°,∴∠EAF=∠AEP=∠AFP=90°,∴四边形AEPF是矩形,∴EF,AP互相平分.且EF=AP,∴EF,AP的交点就是M点,∵当AP的值最小时,AM的值就最小,∴当AP⊥BC时,AP的值最小,即AM的值最小.∵AP×BC=AB×AC,∴AP×BC=AB×AC,在Rt△ABC中,由勾股定理,得BC==10,∵AB=6,AC=8,∴10AP=6×8,∴AP=,∴AM=,故选:B.【点评】本题考查了矩形的性质的运用,勾股定理的运用,三角形的面积公式的运用,垂线段最短的性质的运用,解答时求出AP的最小值是关键.9.如图,在△ABC中,∠C=90°,AC=6,BC=8,点P为斜边AB上一动点,过点P作PE⊥AC于点E,PF⊥BC于点F,连结EF,则线段EF的最小值为()A.1.2B.2.4C.2.5D.4.8【分析】连接PC,当CP⊥AB时,PC最小,利用三角形面积解答即可.【解答】解:连接PC,∵PE⊥AC,PF⊥BC,∴∠PEC=∠PFC=∠C=90°,∴四边形ECFP是矩形,∴EF=PC,∴当PC最小时,EF也最小,即当CP⊥AB时,PC最小,∵AC=6,BC=8,∴AB=10,∴PC的最小值为:.∴线段EF长的最小值为4.8.故选:D.【点评】本题主要考查的是矩形的判定与性质,关键是根据矩形的性质和三角形的面积公式解答.10.下列各种判定矩形的说法正确的是()A.对角线相等的四边形是矩形B.有三个角相等的四边形是矩形C.对角线互相平分且相等的四边形是矩形D.对角线相等且互相垂直的四边形是矩形【分析】根据矩形的判定方法即可判断;【解答】解:A、错误.对角线相等的四边形不一定是矩形;B、错误.有三个角相等的四边形不一定是矩形;C、正确;D、错误.对角线相等且互相垂直的四边形不一定是矩形.故选:C.【点评】本题考查矩形的判定,解题的关键是记住矩形的判定方法:①矩形的定义:有一个角是直角的平行四边形是矩形;②有三个角是直角的四边形是矩形;③对角线相等的平行四边形是矩形(或“对角线互相平分且相等的四边形是矩形”)11.如图,在Rt△ABC中,AC=3,BC=4,D为斜边AB上一动点,DE⊥BC,DF ⊥AC,垂足分别为E、F.则线段EF的最小值为()A.B.C.D.【分析】连接CD,判断出四边形CEDF是矩形,再根据矩形的对角线相等可得EF=CD,然后根据垂线段最短可得CD⊥AB时线段EF的长最小,进而解答即可.【解答】解:如图,连接CD,∵DE⊥BC,DF⊥AC,∠ACB=90°,∴四边形CEDF是矩形,∴EF=CD,由垂线段最短可得CD⊥AB时线段EF的长最小,∵AC=3,BC=4,∴AB=,∵四边形CEDF是矩形,∴CD=EF=,故选:D.【点评】本题考查了矩形的判定与性质,垂线段最短的性质,熟记性质与判定方法并确定出EF最短时的位置是解题的关键.二.填空题(共15小题)12.已知:如图,在长方形ABCD中,AB=4,AD=6.延长BC到点E,使CE=3,连接DE,动点P从点B出发,以每秒1个单位的速度沿BC﹣CD﹣DA向终点A运动,设点P的运动时间为t秒,当t的值为3或13秒时.△ABP和△DCE全等.【分析】若△ABP与△DCE全等,可得AP=CE=3或BP=CE=3,根据时间t=路程÷速度,可求t的值.【解答】解:∵四边形ABCD是矩形,∴AB=CD=4,AD=BC=6,CD⊥BC,∴∠ABC=∠DCE=∠BAD=90°,若△ABP与△DCE全等,∴BP=CE=3或AP=CE=3,当BP=CE=3时,则t=3秒,当AP=CE=3时,则t=6+4+6﹣3=13秒,∴当t为3秒或13秒时,△ABP和△DCE全等.故答案为:3或13.【点评】本题考查了矩形的性质和三角形全等的判定,熟练掌握三角形全等的判定是关键.13.矩形ABCD对角线AC、BD相交所成钝角为120°,AE⊥BD于E,BE=3,则DE的长为9.【分析】想办法证明△AOB是等边三角形即可解决问题;【解答】解:∵四边形ABCD是矩形,∴OA=OB=OC=OD,∠ABC=∠BAD=90°,∵∠BOC=120°,∴∠OBC=∠OCB=30°,∴∠ABO=60°∴△ABO是等边三角形,∵AE⊥OB,∴BE=OE=3,∴DE=OD+OE=9,故答案为9.【点评】本题考查矩形的性质、等边三角形的判定和性质等知识,解题的关键是熟练掌握基本知识,属于中考常考题型.14.如图,长方形ABCD中,∠A=∠ABC=∠BCD=∠D=90°,AB=CD=6,AD=BC=10,点E为射线AD上的一个动点,若△ABE与△A′BE关于直线BE对称,当△A′BC 为直角三角形时,AE的长为2.【分析】由题意可得AB=A'B=6,∠EA'B=90°,AE=A'E,A'C=8,根据勾股定理可求AE的长.【解答】解:∵若△ABE与△A′BE关于直线BE对称,∴AB=A'B=6,∠EA'B=90°,AE=A'E∵△A'BC为直角三角形∴∠BA'C=90°∴A'C==8∵∠EA'B=90°,∠BA'C=90°∴∠CA'E=180°∴点E,点C,点A'共线在Rt△CDE中,DC2+DE2=CE2.∴(A'E+8)2=(10﹣AE)2+36∴AE=2故答案为:2【点评】本题考查了矩形的性质,轴对称的性质,勾股定理,熟练运用这些性质解决问题是本题的关键.15.如图,在矩形ABCD中,对角线AC,BD相交于点O,AO=3,AE垂直平分OB于点E,则AD的长为3.【分析】由矩形的性质和线段垂直平分线的性质证出OA=AB=OB=3,得出BD=2OB=6,由勾股定理求出AD即可.【解答】解:∵四边形ABCD是矩形,∴OB=OD,OA=OC,AC=BD,∴OA=OB,∵AE垂直平分OB,∴AB=AO,∴OA=AB=OB=3,∴BD=2OB=6,∴AD===3;故答案为:3.【点评】此题考查了矩形的性质、等边三角形的判定与性质、线段垂直平分线的性质、勾股定理;熟练掌握矩形的性质,证明三角形是等边三角形是解决问题的关键.16.如图,矩形ABCD中,AB=3,BC=4,EB∥DF且BE与DF之间的距离为3,则AE的长是.【分析】过点D作DG⊥BE,垂足为G,则GD=3,首先证明△AEB≌△GED,由全等三角形的性质可得到AE=EG,设AE=EG=x,则ED=4﹣x,在Rt△DEG中依据勾股定理列方程求解即可.【解答】解:如图所示:过点D作DG⊥BE,垂足为G,则GD=3.∵∠A=∠G,∠AEB=∠GED,AB=GD=3,∴△AEB≌△GED.∴AE=EG.设AE=EG=x,则ED=4﹣x,在Rt△DEG中,ED2=GE2+GD2,x2+32=(4﹣x)2,解得:x=.故答案为:【点评】本题主要考查的是矩形的性质、勾股定理的应用,依据题意列出关于x 的方程是解题的关键.17.如图,矩形ABCD中,BC=2AB,点E在BC上,且AE=AD,则∠CDE=15°.【分析】首先证明∠DAE=∠AEB=30°,利用等腰三角形的性质即可解决问题;【解答】解:∵四边形ABCD是矩形,∴∠B=∠ADC=90°,BC=AD,∵BC=2AB,AD=AE,∴AE=2AB,∴sin∠AEB==,∴∠AEB=30°,∵AD∥BC,∴∠EAD=∠AEB=30°,∴∠ADE=∠AED=75°,∴∠CDE=90°﹣75°=15°,故答案为15°.【点评】本题考查矩形的性质、锐角三角函数、等腰三角形的性质等知识,解题的关键是熟练掌握基本知识,属于中考常考题型.18.如图,在矩形ABCD中,AB=4,BC=4,对角线AC、BD相交于点O,现将一个直角三角板OEF的直角顶点与O重合,再绕着O点转动三角板,并过点D作DH⊥OF于点H,连接AH.在转动的过程中,AH的最小值为2﹣2.【分析】取OD的中点G,过G作GP⊥AD于P,连接HG,AG,依据∠ADB=30°,可得PG=DG=1,依据∠DHO=90°,可得点H在以OD为直径的⊙G上,再根据AH+HG≥AG,即可得到当点A,H,G三点共线,且点H在线段AG上时,AH最短,根据勾股定理求得AG的长,即可得出AH的最小值.【解答】解:如图,取OD的中点G,过G作GP⊥AD于P,连接HG,AG,∵AB=4,BC=4=AD,∴BD==8,∴BD=2AB,DO=4,HG=2,∴∠ADB=30°,∴PG=DG=1,∴PD=,AP=3,∵DH⊥OF,∴∠DHO=90°,∴点H在以OD为直径的⊙G上,∵AH+HG≥AG,∴当点A,H,G三点共线,且点H在线段AG上时,AH最短,此时,Rt△APG中,AG==2,∴AH=AG﹣HG=2﹣2,即AH的最小值为2﹣2.故答案为:2﹣2.【点评】本题主要考查了矩形的性质,勾股定理的综合运用,解决问题的关键是根据∠DHO=90°,得出点H在以OD为直径的⊙G上.19.如图,矩形ABCD中,AB=4,AD=3,点Q在对角线AC上,且AQ=AD,连接DQ并延长,与边BC交于点P,则线段AP=.【分析】先根据勾股定理得到AC的长,再根据AQ=AD,得出CP=CQ=2,进而得到BP的长,最后在Rt△ABP中,依据勾股定理即可得到AP的长.【解答】解:∵矩形ABCD中,AB=4,AD=3=BC,∴Rt△ACD中,AC==5,又∵AQ=AD=3,AD∥CP,∴CQ=5﹣3=2,∠CQP=∠AQD=∠ADQ=∠CPQ,∴CP=CQ=2,∴BP=3﹣2=1,∴Rt△ABP中,AP===,故答案为:.【点评】本题主要考查了矩形的性质,勾股定理以及等腰三角形的性质的综合应用,解决问题的关键是判定△CPQ是等腰三角形.20.如图,在矩形ABCD中,∠B的平分线BE与AD交于点E,∠BED的平分线EF与DC交于点F,当点F是CD的中点时,若AB=4,则BC=2.【分析】如图,连接BF,作FH⊥BE于H.作FM∥BE交BC于M.想办法证明FM=MB,△FMC是等腰直角三角形即可解决问题;【解答】解:如图,连接BF,作FH⊥BE于H.作FM∥BE交BC于M.∵四边形ABCD是矩形,∴AB=CD=4,∠D=∠C=∠ABC=90°,∵F是CD中点,∴DF=FC=2,∵EF平分∠BED,FH⊥EB,FD⊥ED,∴FH=FD=FC,∵BF=BF,∴Rt△BFH≌Rt△BFC,∴∠FBC=∠FBE,∵BE平分∠ABC,∴∠ABE=45°,∴∠FBC=∠FBH=22.5°,∵FM∥BE,∴∠FMC=∠EBC=45°,∵∠FMC=∠FBM+∠MFB,∴∠MFB=∠MBF=22.5°,∴FM=BM,∵∠FMC=∠CFM=45°,CF=2,∴FM=BM=2,∴BC=BM+CM=2+2.故答案为2+2.【点评】本题考查矩形的性质、全等三角形的判定和性质、等腰直角三角形的判定和性质、角平分线的性质定理等知识,解题的关键是学会添加常用辅助线,构造全等三角形解决问题,属于中考常考题型.21.如图,矩形ABCD中,AB=8,点E是AD上的一点,有AE=4,BE的垂直平分线交BC的延长线于点F,连结EF交CD于点G,若G是CD的中点,GE=5,则FO的长是4.【分析】根据矩形的性质和线段垂直平分线的性质得出EO的长,进而利用三角形全等得出EF的长,最后利用勾股定理得出FO即可.【解答】解:∵矩形ABCD,AB=8,AE=4,∴∠A=90°,∴BE=,∵BE的垂直平分线交BC的延长线于点F,∴EO=,∵G是CD的中点,∴DG=GC,在△EDG与△FCG中,∴△EDG≌△FCG,∴EG=GF=5,∴EF=10,∴在Rt△EFO中,OF=.故答案为:4【点评】此题考查矩形的性质,关键是根据矩形的性质、勾股定理解答.22.如图,若将四根木条钉成的矩形木框变形为平行四边形ABCD的形状,并使其面积为矩形面积的一半,则这个平行四边形相邻两内角度数的比值等于1:5.【分析】作AE⊥BC于E,根据平行四边形的面积=矩形面积的一半,得出AE=AB,再由三角函数即可求出∠ABC的度数,进而求出平行四边形相邻两内角度数的比值.【解答】解:作AE⊥BC于E,如图所示:则∠AEB=90°,根据题意得:平行四边形的面积=BC•AE=BC•AB,∴AE=AB,∴sinB==,∴∠ABC=30°,∴∠BCD=150°,∴平行四边形相邻两内角度数的比值1:5,故答案为1:5.【点评】本题考查了平行四边形的性质、矩形的性质、面积的计算以及三角函数;熟练掌握平行四边形和矩形的性质,并能进行推理计算是解决问题的关键.23.如图,矩形ABCD中,AB=2,AD=1,点M在边CD上,若AM平分∠DMB,则DM的长是2﹣.【分析】过点A作AE⊥BM于E,由题意可证△ADM≌△AME,可得DM=ME,AD=AE=1,根据勾股定理可求BE的长,即可求DM=ME的长.【解答】解:过点A作AE⊥BM于E∵四边形ABCD是矩形∴AD=BC=1,CD=AB=2,∵AM平分∠DMB∴∠AMD=∠AMB,且AM=AM,∠ADM=∠AEM∴△ADM≌△AME∴DM=ME,AD=AE=1在Rt△AEB中,BE==∴ME=2﹣=DM故答案为2﹣【点评】本题考查了矩形的性质,全等三角形的判定和性质,添加适当的辅助线构造全等三角形是本题的关键.24.如图,在矩形ABCD中,对角线AC、BD交于点O,∠AOD=120°,对角线AC=4,则BC的长为2.【分析】由矩形的性质得出∠ABC=90°,OA=OB,再证明△AOB是等边三角形,得出OA=AB,求出AB,然后根据勾股定理即可求出BC.【解答】解:∵四边形ABCD是矩形,∴∠ABC=90°,OA=AC,OB=BD,AC=BD,∴OA=OB,∵∠AOD=120°,∴∠AOB=60°,∴△AOB是等边三角形,∴OA=AB,∴AC=2OA=4,∴AB=2∴BC=;故答案为:2.【点评】本题考查了矩形的性质、等边三角形的判定与性质以及勾股定理;熟练掌握矩形的性质,证明三角形是等边三角形是解决问题的关键.25.如图,四边形ABCD,对角线AC、BD相交于点O,且AC与BD互相平分,要使它成为矩形,需要添加的条件是:AC=BD.(只需写出一个即可)【分析】根据矩形的判定定理(对角线相等的平行四边形是矩形)推出即可.【解答】解:添加的条件是AC=BD,理由是:∵四边形ABCD,对角线AC、BD相交于点O,且AC与BD互相平分,∴四边形ABCD是平行四边形,∵AC=BD,∴平行四边形ABCD是矩形,故答案为:AC=BD【点评】本题考查了矩形的判定定理的应用,注意:对角线相等的平行四边形是矩形.26.顺次连接对角线互相垂直的四边形各边中点所得的四边形一定是矩形.【分析】根据三角形中位线的性质,可得到这个四边形是平行四边形,再由对角线垂直,能证出有一个角等于90°,则这个四边形为矩形.【解答】已知:AC⊥BD,E、F、G、H分别为各边的中点,连接点E、F、G、H.求证:四边形EFGH是矩形证明:∵E、F、G、H分别为各边的中点,∴EF∥AC,GH∥AC,EH∥BD,FG∥BD,(三角形的中位线平行于第三边)∴四边形EFGH是平行四边形,(两组对边分别平行的四边形是平行四边形)∵AC⊥BD,EF∥AC,EH∥BD,∴∠EMO=∠ENO=90°,∴四边形EMON是矩形(有三个角是直角的四边形是矩形),∴∠MEN=90°,∴四边形EFGH是矩形(有一个角是直角的平行四边形是矩形).【点评】本题考查的是矩形的判定方法,常用的方法有三种:①一个角是直角的平行四边形是矩形.②三个角是直角的四边形是矩形.③对角线相等的平行四边形是矩形.三.解答题(共14小题)27.已知:矩形ABCD中,E,F分别是AD、BC的中点,CE、AF分别交BD于G,H两点.求证:EG=FH.【分析】先根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形证明四边形AFCE是平行四边形,再证明EG和FH所在的△DEG、△BFH全等即可.【解答】解:∵四边形ABCD是矩形,∴AD∥BC,AD=BC.∵E、F分别是AD、BC的中点,∴AE=CF,∴四边形AFCE是平行四边形,∴CE∥AF,∴∠DGE=∠AHD=∠BHF,∵AD∥BC,∴∠EDG=∠FBH.在△DEG和△BFH中,∴△DEG≌△BFH(AAS),∴EG=FH.【点评】本题考查了矩形的性质、平行四边形的判定与性质、全等三角形的判定与性质,熟记矩形的各种性质是解题的关键.28.如图,在矩形ABCD中,AB=6,AD=10,以点B为圆心,线段BA长为半径画弧,交BC于点E,以点D为圆心,线段DA长为半径画弧,交BC于点F.求EF的长.【分析】连接DF,由题意可求BE=AB=6,DF=AD=10,根据勾股定理可求CF的长,由EF=BE+CF﹣BC可求EF的长.【解答】解:如图:连接DF∵四边形ABCD是矩形∵以点B为圆心,线段BA长为半径画弧,交BC于点E,∴BE=6,∵以点D为圆心,线段DA长为半径画弧,交BC于点F.∴DF=10在Rt△DFC中,CF===8∵EF=BE+CF﹣BC∴EF=6+8﹣10=4【点评】本题考查了矩形的性质,勾股定理,熟练运用矩形的性质解决问题是本题的关键.29.如图,长方形OABC中,O为平面直角坐标系的原点,A,C两点的坐标分别为(3,0),(0,5),点B在第一象限内.(1)写出点B的坐标;(2)若过点C的直线CD交AB边于点D,且把长方形OABC的周长分为3:1两部分,求点D的坐标;(3)若过点C的直线CE交AB边于点E,且把长方形OABC的面积分为2:1两部分,求点E的坐标.【分析】(1)点B的横坐标等于点A的横坐标,点B的纵坐标等于点C的纵坐标,从而求得点B的坐标;(2)分两种情况讨论,并把不合题意的舍去即可;(3)设AE=a,则BE=5﹣a.由矩形的面积公式列出关于a的方程,解答即可.【解答】(1)点B(3,5)(2分)(2)如图,过C作直线CD交AB于D,。

2018-2019学年华师版八年级数学下册 19.1 矩形

2018-2019学年华师版八年级数学下册 19.1 矩形
平行四边形
复习回顾
一个角是直角
矩形
边 矩 形 的 性 质 角
矩形的对边平行且相等
矩形的四个角都是直角
对角线
矩形的两条对角线相等且互相平分
思考
有一个角是直角的四边形是矩 形吗?
新课导入
有两个角是直角的四边形是矩 形吗?
有三个角是直角的四边形是 矩形吗?
归纳:有三个角是直角的四边形是矩形。
证明:有三个角是直角的四边形是矩形。
对角线互相平分;即 AO=CO,BO=DO
观察下面图案,有没有你熟悉的 推进新课 几何图形?
ADBC源自其实我还是平行四边 形啊!只是我比较特 殊而已,大家发现了 我的特殊之处吗?请 同学们举手回答!
A D
A
D
A A A
D
D D
B
C
BB B
α
C C C
矩形: 有一个角是直角的特殊平行四边形。
木门
纸张
∴△AOB 是等边三角形
∴OA = OB = AB = 4cm
∴AC = 2OA = 8cm.
例2 如图,矩形ABCD被两条对角线分成四个小
三角形,如果四个小三角形的周长的和是86cm,对角
线长是13cm,那么矩形的周长是多少?
A D
O
B C
A
D
O
B C
解:∵△AOB、 △BOC、 △COD和△AOD四个 三角形的周长和为86cm, 又∵AC=BD=13cm, ∴AB+BC+CD+DA =86-2(AC+BD) =86-4×13=34(cm) 即矩形ABCD的周长等于34cm。
C
).
AO=CO,BO=DO(平行四边形的对角线互相平分 ). ∴ AB + BC =28,BC-AB = 4,

华师大版八年级下19.1矩形单元测试题含答案

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华师大版八年级下册19.2矩形单元考试题姓名:;成绩:;一、选择题(9题,共27分)1、矩形具有而平行四边形不具有的性质是()A、对边平行且相等B、对角相等C、对角线互相平分D、对角线相等2、下列判定矩形中,错误的是(C)A、三个角是直角是四边形是矩形B、一个角是直角的平行四边形是矩形C、对角线相等的四边形是矩形D、对角线平分且相等的四边形是矩形3、(2015山东泰安)如图,矩形ABCD中,E是AD的中点,将△ABE沿直线BE折叠后得到△GBE,延长BG交CD于点F.若AB=6,BC=4,则FD的长为()A.2 B. 4 C.D. 24、(2014呼和浩特)已知矩形ABCD的周长为20cm,两条对角线AC,BD相交于点O,过点O 作AC的垂线EF,分别交两边AD,BC于E,F(不与顶点重合),则以下关于△CDE与△ABF判断完全正确的一项为()A.△CDE与△ABF的周长都等于10cm,但面积不一定相等B.△CDE与△ABF全等,且周长都为10cmC.△CDE与△ABF全等,且周长都为5cmD.△CDE与△ABF全等,但它们的周长和面积都不能确定5、(2015辽宁省朝阳)如图,在矩形ABCD中,AB=5,BC=7,点E为BC上一动点,把△ABE沿AE折叠,当点B的对应点B′落在∠ADC的角平分线上时,则点B′到BC的距离为()A.1或2 B. 2或3C. 3或4D. 4或56、下列关于矩形的表述中,错误的是()A、矩形的对角线把矩形分成四个等腰三角形;B、矩形的对角线把矩形分成四个直角三角形;C、矩形的2条对称轴把矩形分成四个矩形;D、矩形的2条对称轴必过矩形的对称中心;7、(2014青岛)如图,将矩形ABCD沿EF折叠,使顶点C恰好落在AB边的中点C′上.若AB=6,BC=9,则BF的长为()A、4C、4.5D、58、(2014年江苏南京)如图,在矩形AOBC中,点A的坐标是(﹣2,1),点C的纵坐标是4,则B、C两点的坐标分别是()A.(,3)、(﹣,4)B.(,3)、(﹣,4)C.(,)、(﹣,4)D.(,)、(﹣,4)9、(2014襄阳)如图,在矩形ABCD中,点E,F分别在边AB,BC上,且AE=AB,将矩形沿直线EF折叠,点B恰好落在AD边上的点P处,连接BP交EF于点Q,对于下列结论:①EF=2BE;②PF=2PE;③FQ=4EQ;④△PBF是等边三角形.其中正确的是(D)A.①②B.②③C.①③D.①④二、填空题(6题,18分)10、(2014湖南衡阳,第15题3分)如图,在矩形ABCD中,∠BOC=120°,AB=5,则BD的长为.第10题第11题第12题11、(2015海南,第18题4分)如图,矩形ABCD中,AB=3,BC=4,则图中五个小矩形的周长之和为.12、(2015山东泰安,第23题3分))如图,在矩形ABCD中,M、N分别是边AD、BC的中点,E、F分别是线段BM、CM的中点.若AB=8,AD=12,则四边形ENFM的周长为.13、(2014上海,第18题4分)如图,已知在矩形ABCD中,点E在边BC上,BE=2CE,将矩形沿着过点E的直线翻折后,点C、D分别落在边BC下方的点C′、D′处,且点C′、D′、B在同一条直线上,折痕与边AD交于点F,D′F与BE交于点G.设AB=t,那么△EFG的周长为(用含t的代数式表示).14、(2014黑龙江哈尔滨)如图,在矩形ABCD中,AB=4,BC=6,若点P在AD边上,连接BP、PC,△BPC是以PB为腰的等腰三角形,则PB的长为.15、(2015通辽)在一张长为7cm,宽为5cm的矩形纸片上,现要剪下一个腰长为4cm的等腰三角形(要求:等腰三角形的一个顶点与矩形的一个顶点重合,其余的两个顶点在矩形的边上),则剪下的等腰三角形的面积为.三、解答题(6题,55分)16、(8分)已知:如图,在矩形ABCD中,点E,F分别在AB,CD边上,BE=DF,连接CE,AF.求证:AF=CE.17、(8分)(2015,福建南平)如图,矩形ABCD中,AC与BD交于点O,BE⊥AC,CF⊥BD,垂足分别为E,F.求证:BE=CF.18、(9分)(2014湘潭)如图,将矩形ABCD沿BD对折,点A落在E处,BE与CD相交于F,若AD=3,BD=6.(1)求证:△EDF≌△CBF;(2)求∠EB C.19、(9分)(2015云南)如图,在矩形ABCD中,AB=4,AD=6,M,N分别是AB,CD的中点,P是AD上的点,且∠PNB=3∠CBN.(1)求证:∠PNM=2∠CBN;(2)求线段AP的长.20、(9分)(2015福建龙岩)如图,E,F分别是矩形ABCD的边AD,AB上的点,若EF=EC,且EF⊥EC.(1)求证:AE=DC;(2)已知DC=,求BE的长.21、(12分)(2014扬州)已知矩形ABCD的一条边AD=8,将矩形ABCD折叠,使得顶点B 落在CD边上的P点处.(第6题图)(1)如图1,已知折痕与边BC交于点O,连结AP、OP、O A.①求证:△OCP∽△PDA;②若△OCP与△PDA的面积比为1:4,求边AB的长;(2)若图1中的点P恰好是CD边的中点,求∠OAB的度数;(3)如图2,,擦去折痕AO、线段OP,连结BP.动点M在线段AP上(点M与点P、A不重合),动点N在线段AB的延长线上,且BN=PM,连结MN交PB于点F,作ME⊥BP于点E.试问当点M、N在移动过程中,线段EF的长度是否发生变化?若变化,说明理由;若不变,求出线段EF的长度.华师大版八年级下册19.2矩形单元考试题答案一、选择题DCBBABABD二、填空题10、10;11、14;12、20;13、2t;14、5或6;15、8cm2或2cm2或2cm2三、解答题16、30°;19、103;20、221、解:(1)如图1,①∵四边形ABCD是矩形,∴AD=BC,DC=AB,∠DAB=∠B=∠C=∠D=90°.由折叠可得:AP=AB,PO=BO,∠PAO=∠BAO.∠APO=∠B.∴∠APO=90°.∴∠APD=90°﹣∠CPO=∠PO C.∵∠D=∠C,∠APD=∠PO C.∴△OCP∽△PD A.②∵△OCP与△PDA的面积比为1:4,∴====.∴PD=2OC,PA=2OP,DA=2CP.∵AD=8,∴CP=4,BC=8.设OP=x,则OB=x,CO=8﹣x.在Rt△PCO中,∵∠C=90°,CP=4,OP=x,CO=8﹣x,∴x2=(8﹣x)2+42.解得:x=5.∴AB=AP=2OP=10.∴边AB的长为10.(2)如图1,∵P是CD边的中点,∴DP=D C.∵DC=AB,AB=AP,∴DP=AP.∵∠D=90°,∴sin∠DAP==.∴∠DAP=30°.∵∠DAB=90°,∠PAO=∠BAO,∠DAP=30°,∴∠OAB=30°.∴∠OAB的度数为30°.(3)作MQ∥AN,交PB于点Q,如图2.∵AP=AB,MQ∥AN,∴∠APB=∠ABP,∠ABP=∠MQP.∴∠APB=∠MQP.∴MP=MQ.∵MP=MQ,ME⊥PQ,∴PE=EQ=PQ.∵BN=PM,MP=MQ,∴BN=QM.∵MQ∥AN,∴∠QMF=∠BNF.在△MFQ和△NFB中,.∴△MFQ≌△NF B.∴QF=BF.∴QF=Q B.∴EF=EQ+QF=PQ+QB=P B。

华东师大版2019-2020学年度第二学期八年级数学单元试卷第19章矩形、菱形与正方形

华东师大版2019-2020学年度第二学期八年级数学单元试卷第19章矩形、菱形与正方形

华东师大版2019-2020学年度第二学期八年级数学单元试卷第19章矩形、菱形与正方形考试时间:100分钟;满分120分 题号一 二 三 总分 得分评卷人得分 一、单选题1.(3分)下列性质中,矩形、菱形、正方形都具有的是( )A .对角线相等B .对角线互相垂直C .对角线互相平分D .四个角都是直角2.(3分)如图,矩形ABCD 中,120BOC ∠=o ,4AB =,则AC 的长是( )A .2B .23C .4D .83.(3分)如图,已知某广场菱形花坛ABCD 的周长是24米,∠BAD =60°,则花坛对角线AC 的长等于( )A .6米B .6米C .3米D .3米4.(3分)如图所示,已知四边形ABCD 的对角线AC 、BD 相交于点O ,则下列能判断它是正方形的条件是( )A .AO BO CO DO ===,AC BD ⊥B .AB BC CD DA === C .AO CO =,BO DO =,AC BD ⊥ D .AB BC =,CD DA ⊥5.(3分)如图,将一长方形纸片沿着虚线剪成两个全等的梯形纸片.根据图中标示长度与角度,求梯形纸片中较短的底边长度为何?( )A.4B.5C.6D.76.(3分)若O是四边形ABCD对角线的交点且OA=OB=OC=OD,则四边形ABCD是()A.平行四边形B.矩形C.正方形D.菱形7.(3分)如图,矩形ABCD的对角线交于点O.若∠BAO=55°,则∠AOD等于( )A.110°B.115°C.120°D.125°8.(3分)如图,在平面直角坐标系中,菱形ABCD的边长为6,它的一边AB在x轴上,且AB的中点是坐标原点,点D在y轴正半轴上,则点C的坐标为()A.(33,3)B.(3,33)C.(6,3)D.(6,33) 9.(3分)如图,矩形ABCD,AB=3,BC=4,点E是AD上一点,连接BE,将△ABE 沿BE折叠,点A恰好落在BD上的点G处,则AE的长为()A.2 B.52C.32D.310.(3分)如图,正方形ABCD中,以对角线AC为一边作菱形AEFC,则∠FAB等于( ).A .22.5°B .45°C .30°D .135°评卷人得分 二、填空题11.(4分)如图,在平面直角坐标系xOy 中,已知点A ()0,3,B ()1,0-,菱形ABCD 的顶点C 在x 轴的正半轴上,其对角线BD 的长为__________.12.(4分)如图,在矩形ABCD 中,对角线AC 于BD 相交于点O ,过点A 作AE ⊥BD ,垂足为点E ,若∠EAC =2∠CAD ,则∠AOB =_____.13.(4分)如图,在四边形ABCD 中,AC BD ⊥于点O ,点E ,F ,G ,H 分别为边AB ,BC ,CD ,DA 的中点,顺次连接EF ,FG ,GH ,HE ,则四边形EFGH 是______.14.(4分)如图,矩形ABCD 的对角线AC ,BD 相交于点O ,CE ∥BD ,DE ∥AC .若AC=4,则四边形CODE 的周长是__________.15.(4分)如图,菱形ABCD 中,对角线AC 与BD 相交于点O ,且AC=8,BD=6,则菱形ABCD 的高DH= .16.(4分)如图,菱形ABCD 中,AB 4=,ABC 60∠=o ,点E 、F 、G 分别为线段BC ,CD ,BD 上的任意一点,则EG FG +的最小值为________.17.(4分)如图,有一张长方形纸片ABCD ,AB =4,AD =3.先将长方形纸片ABCD 折叠,使边AD 落在边AB 上,点D 落在点E 处,折痕为AF ;再将△AEF 沿EF 翻折,AF 与BC 相交于点G ,则FG 的长为_____.18.(4分)正方形A 1B 1C 1O ,A 2B 2C 2C 1,A 3B 3C 3C 2,…按如图所示的方式放置.点A 1,A 2,A 3,…和点C 1,C 2,C 3,…分别在直线y =kx +b 和x 轴上,已知点B 1(1,1),B 2(3,2),则B 4的坐标_____,B n 的坐标_____.评卷人得分 三、解答题19.(7分)如图,折叠长方形的一边AD ,使点D 落在BC 边上的点F 处,BC =10,AB =8求.(1)FC 的长(2)EC 的长.20.(7分)如图,四边形ABCD 中,//AB CD ,AC 平分BAD ∠,//CE AD 交AB 于E .(1)求证:四边形AECD 是菱形;(2)若点E 是AB 的中点,试判断ABC ∆的形状,并说明理由.21.(7分)如图,长方形纸片ABCD 中,AB =8,将纸片折叠,使顶点B 落在边AD 上的E 点处,折痕的一端G 点在边BC 上,折痕的另一端F 在AD 边上且BG =10时. (1)证明:EF =EG ;(2)求AF 的长.22.(7分)如图已知Rt△ABC中,∠ACB=90°,∠B=15°,边AB的垂直平分线交边BC 于点E,垂足为点D,取线段BE的中点F,联结DF,求证:AC=DF。

最新华师大版八年级上华东师大版15.4图形的全等同步练习同步练习

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15.4图形的全等一、填空题:1.若ABC ∆和C B A '''∆关于点O 成中心对称,那么ABC ∆绕点O 旋转 后能与C BA '''∆重合.2.已知A、B 两点关于O 点成中心对称,若AO =3cm,则BO = cm. 3.我国主要银行的商标设计基本上融入了中国古代钱币的图案的形或意.下面是我国四大银行的商标图案,其中是中心对称图形的有(只需填序号) .(1) (2) (3) (4)4.汉字“口、三、目、一、田”均是中心对称图形,试再例举出一个这样的汉字: .5.已知一辆小轿车车牌号的后两个数字组成了一个中心对称图形,且这两个数字不相同,则这两个数字的和是 .6.有以下四种说法:(1)如果两个图形关于某点成中心对称,那么这两个图形一定全等;(2)如果两个图形全等,那么这两个图形关于某点成中心对称;(3)如果两个图形关于某点成中心对称,那么对应点的连线必被这点平分;(4)如果两个三角形关于某点成中心对称,那么这两个三角形的面积相等.其中,正确的有(只需填序号) . 7.已知A 、B 、O 三点不在同一直线上,A 、A ′关于点O 对称,B 、B ′关于点O 对称,那么线段AB 与A B ''的关系是______________.8.在英文字母DISOET 中,既是轴对称图形又是旋转对称图形的是 . 二、选择题:9.下列各组图形中,全等的一组是 ( ) A. B.C. D.10.下列各图中,不是中心对称图形的是( )A. B. C. D.11.下列图形中,不是中心对称图形的是 ( )A.正六角星B.线段C.圆D.正三角形12.如图甲所示的图形是由三个半圆组成的,点O是大半圆的圆心,且AC=DC=DB,此图形关于O点成中心对称的图形是图乙中的( )甲乙13.4张扑克牌如图①所示放在桌子上,小敏把其中一张旋转180后得到如图②所示,那么她所旋转的牌从左数起是 ( )①②A.第一张B.第二张C.第三张D.第四张14.全等三角形又叫做合同三角形,平面内的合同三角形分为真正合同三角形与镜面合同三角形,假设ABC∆和A B C'''∆是全等(合同)三角形,且点A与A'对应,点B与B'对应,点C与C'对应.当沿周界A B C A→→→及A B''→C A''→→环绕时,若运动方向相A. B. C. D.同,则称它们是真正合同三角形(如图1); 若运动方向相反,则称它们是镜面合同三角形(如图2).两个真正合同三角形,都可以在平面内通过平移或旋转使它们重合;而两个镜面合同三角形要重合,则必须将其中的一个翻转180.下面各组合同三角形中,是镜面合同三角形的是 ( )A. B. C. D. 三、解答题:15.等腰ABC ∆中, 90=∠C ,O 是AC 边的中点,画出ABC ∆ 关于点O 成中心对称的C B A '''∆.(第15题)16.用9根长度相同的小棒搭成如右图所示的图形,你能移动 若干根小棒,使这9根小棒搭成的图形成中心对称图形吗? 若能,至少要移动多少根小棒?画出移动后所得的图形.(第16题)17.如图,ABC ∆≌ADE ∆, 52=∠BAD .DA(图1)(图2)ACO(1)求EAC∠的度数.(2)ABC∆重合?∆怎样运动才能和ADE(第17题)四、探索题:18.用四块如图1所示的瓷砖拼成一个图案,使拼成的图案成一个轴对称图形(如图2),请你分别在图3、图4中各画一种与图2不同的拼法,要求两种拼法各不同,且其中至少有一个图形既是中心对称图形,又是轴对称图形.(图1) (图2) (图3) (图4)备选题:19.观察下面的两个图形,你能否移动图形(2)中的最右边的一个正方形,将图形(2)重新拼成一个图形(3),使图形(1)与(3)是全等图形呢?你有几种不同的拼法?(1) (2)20.两个大小、形状相同的直角三角板,可以拼出各种不同的图形.并使每个图形是中心对称图形,请画出你的设计方案.21.如图甲所示,把大小为44⨯的正方形方格图形分割成了两个全等图形.请在图乙中,沿着虚线再画出四种不同的分法.(图甲) (图乙) 22.如图,已知AB CD ⊥于点D ,AC BE ⊥于点E ,ABE ∆≌ACD ∆,20C ∠=,10AB =, 4.8AD =,G 为AB 延长线上的一点,求EBG ∠的度数和CE 的长.参考答案:GF EDC BA1.180.2.3. 3.(1)(3).4.答案不惟一,如:中、王、丰、二、十、工、日等.5.15.提示:这两个数字为6和9.6.(1)(3)(4).7.平行且相等.8.I 、O.9.B.提示:全等图形关注的是两图形的形状和大小,而与图形的位置、颜色等其他因素无关.选项B 中的两个图形虽然颜色不同,但它们是全等图形.10.B. 11.D. 12.C. 13.A.提示:本题只要注意到中心对称图形中的“成 对性”(即每个数字、字母、花形均能找到对应图 形)是容易判断的.应选A.14.B. 15.如图所示: (第15题) 16.至少移动两根小棒. 如图所示是移动后所得的图形:17.(1)由ABC ∆≌ADE ∆,得DAE BAC ∠=∠,BAE DAE BAE BAC ∠-∠=∠-∠,即得 52=∠=∠BAD EAC .(2)ABC ∆绕点A 顺时针旋转 52即可与ADE ∆重合.18.拼法有许多种,只要符合题意即可,答案略. 19.方法有4种,如图所示:20.参考答案:21.答案不惟一,如图所示.BA O ')(C 'B '。

华东师大版2019-2020学年八年级数学下学期第19章 矩形、菱形、正方形 单元测试卷(含答案)

华东师大版2019-2020学年八年级数学下学期第19章 矩形、菱形、正方形 单元测试卷(含答案)

19章矩形、菱形、正方形单元试卷一、选择题 (共1.在平行四边形、矩形、菱形、正方形中,不是轴对称图形的有( )A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个2.如图,矩形ABCD 中,E 点在DC 上,且AE 平分 BAC ;若DE=4,AC =15,则 AEC 面积为( )A. 15B. 45C. 60D. 303.如图,菱形ABCD 中,∠B =60°,AB =4,则以AC 为边长的正方形ACEF 的周长为( )A.14B.15C.16D.174. 正方形ABCD 的边长为4cm ,则正方形的对角线长为( )A. 4cmB.24cmC.34cmD.32cm5.如图,菱形ABCD 的对角线AC 、BD 的长分别为6和8,则这个菱形的周长是( ) A .20 B .24 C .40 D .486. 小明和小亮在做一道习题,若四边形ABCD 是平行四边形,请补充条件 ,使得四边形ABCD 是菱形.小明补充的条件是AB=BC ;小亮补充的条件是AC=BD ,你认为下列说法正确的是( )A .小明、小亮都正确B .小明正确,小亮错误C .小明错误,小亮正确D .小明、小亮都错误7.如图,矩形ABCD 沿AE 折叠,使D 点落在BC 边上的F 点处,如果∠BF A =30°,那么∠CEF 的度数是( )A .60° B.45° C . 40° D.30°8.如图,在矩形ABCD 中,E 、F 、G 、H 分别为边AB 、DA 、CD 、BC 的中点.若AB =2,AD =4,则图中阴影部分的面积为( )A.3B.4C.6D.89.如图,在正方形ABCD 外侧作等边△ADE ,AC 、BE 相交于点F ,则∠BFC 的度数是( )A.45°B.55°C.60°D.75°10.如图,在△ABC中,AB=3,AC=4,BC=5,P为边BC上一动点,PE⊥AB于E,PF⊥AC于F,则EF的最小值为( )A.2B.2.2C.2.4D.2.5二、填空题(共6小题,每小题4分,满分24分)11. 已知四边形ABCD中,∠A=∠B=∠C=90°,若再添加一个条件,使得该四边形是正方形,那么这个条件可以是.12. 如图,矩形ABCD的周长是56cm,对角线AC、BD相交于O,△OAB与△OBC周长差是4cm,则矩形ABCD中较短边长是_________cm.13.如图,以正方形ABCD的对角线AC为边长作菱形AEFC,则∠EAF的度数是度.14.如图,若菱形ABCD的顶点A,B的坐标分别为(3,0),(﹣2,0),点D在y轴上,则点C的坐标是.15.如图,在矩形ABCD中,E是AB的中点,连接DE、CE.若AB=6,AD=4,则△CDE的周长为.16.如图,正方形ABCD的边长为8,点M在DC上,且CM=3DM,N是AC上的一动点,则DN+MN的最小值为.三、解答题(共9小题,满分86分)17.(8分)如图,在菱形ABCD中,对角线AC与BD交于点O.把△AOB平移到△DEC的位置,求证:四边形OCED是矩形.18.(8分)如图,菱形ABCD的对角线交于点O,AC=16cm,BD=12cm. 求菱形的高DM的长.19.(8分)把一张矩形纸片(矩形ABCD )按如图方式折叠,使顶点B 和点D 重合,折痕为EF .若AB =3cm ,BC =5cm ,求EDF S .20.(8分)如图,在 ABCD 中,E ,F 分别是AD ,BC 上的点,EF 垂直平分AC .求证:四边形AECF 是菱形.21.(8分)如图,在正方形ABCD 中,E 是边AB 的中点,F 是边BC 的中点,连结CE 、DF .猜想图中C E 和DF 的关系,并证明你的猜想.22.(10分)如图,AB=CD=ED ,AD=EB ,BE ⊥DE ,垂足为E .(1)求证:△ABD ≌△EDB ;(2)只需添加一个..条件:_______________,可使四边形ABCD 为矩形,并加以证明.23.(10分)如图,四边形ABCD 是菱形,E 是BD 延长线上一点,F 是DB延长线上一点,且DE =BF .请你以F 为一个端点,和图中已标明字母的某一点连成一条新的线段,猜想并说明它和图中已有的某一条线段相等(只需说明一组线段相等即可):(1)连接_______;猜想:_________=________;(2)试证明你的猜想.24.(12分)如图,在矩形ABCD 中,对角线AC 与BD 交于点O .设点P 是AB 上的一点,将△OPD 沿边OP 翻折得到△OPG ,若△OPG 与△OPB 重叠部分△OPM 的面积是△PBD 的面积的41. (1)求证:四边形OPGB 是平行四边形;(2)若AD =10,AB =24,求AP 的长.25(14分)如图,在△ABC 中,D 是AC 的中点,E 是线段BC 延长线上一点,过点A 作BE 的平行线与线段ED 的延长线交于点F ,连接AE,CF .(1)求证:AF=CE ;(2)若AC ⊥EF ,试判断四边形AFCE 是什么样的四边形,并证明你的结论.(3)在第(2)小题中,还需加上一个什么条件,才能使四边形AFCE 成为正方形?不必说明理由.参考答案第19章矩形、菱形、正方形一、选择题1.A. 2. D 3.C 4. B 5. A .6. B 7. D 8. B 9.C 10. C二、填空题11.AB =BC 或AC ⊥BD , 12. 12cm ,13.22.5 ,14.(-5,4) 15.16. 16. 10.三、解答题17.证明:由平移的特征得:CE ∥OD ,DE ∥OC ,∴四边形OCED 是平行四边形,∵四边形ABCD 是菱形,∴AC ⊥BD ,∴∠COD =90°.∴平行四边形OCED 是矩形;18. 解:∵四边形ABCD 是菱形 ∴621,821,====⊥BD OB AC AO BD AC , 在Rt △AOB 中,1022=+=OB AO AB∵ABCD 菱形S =BD AC DM AB ⋅=⋅21 ∴12162110⨯⨯=⋅DM ∴6.9=DM cm 19.解:设ED=x ,则AE=5-x由折叠重合可知:A ’E=AE=5-x,A ’D=AB=3cm在Rt △A ’ED 中22'2'ED D A E A =+即222)5(3x x =-+ 解得:517=x 过F 做FH ⊥ED ,垂足为H∵四边形ABCD 是矩形,∴AD ∥BC∴FH=AB=3 ∴)(1051351721212cm FH ED S EDF =⨯⨯=⋅=∆ 20.证明:∵四边形ABCD 是平行四边形,∴AD=BC ,AD ∥BC ,∵DE=BF ,∴AE=CF ,∵AE ∥CF ,∴四边形AECF 是平行四边形, ∵AC ⊥EF ,∴四边形AECF 是菱形.21. 猜想CE=DF ,CE ⊥DF证明:∵四边形ABCD 是正方形, ∴AB=BC=CD ,∠EBC =∠FCD =90°. 又∵E 、F 分别是AB 、BC 的中点, ∴BE=CF ,∴△CEB ≌△DFC ,∴CE=DF .∠BCE =∠CDF∵∠BCE +∠ECD=∠FCD =90°∴∠CDF +∠ECD =90°∴CE ⊥DF∴CE=DF ,CE ⊥DF22.(1)证明:在ABD ∆与EDB ∆中, ∵AB=ED ,AD=EB ,BD=DB ; ∴ABD EDB △≌△(S.S.S )(2)添加的条件:AD=BC理由:∵AB=CD ,AD=BC∴ 四边形ABCD 是平行四边形 ∵BE DE ⊥∴︒=∠90E∵ABD EDB △≌△∴︒=∠=∠90E A∴平行四边形ABCD 是矩形23.(1)如图,连接AF ,AF = AE .(2)∵ 四边形ABCD 是菱形,∴AB=AD ,∴ ∠ABD=∠ADB ,∴ ∠ABF=∠ADE.在△ABF 和△ADE 中,⎪⎩⎪⎨⎧=∠=∠=,,,DE BF ADE ABF AD AB∴ △ABF ≌△ADE ,∴AE AF = .24.证明:∵四边形ABCD 是矩形 ∴OB=OD ∴PBD POB POD S S S 21==∆∆ ∵PBD POM S S 41=∆∴POB POM S S 21=∆ ∴PM=MB , 由折叠重合可知:PBD POD POG S S S 21==∆∆ ∴POG POM S S 21=∆ ∴OM=MG∴四边形OPGB 是平行四边形;(2)∵四边形ABCD 是矩形∴090=∠DAB ∴2624102222=+=+=AB AD BD ∴OB=OD=13由(1)得四边形OPGB 是平行四边形; ∴PG=OB=13由折叠重合可知:PD=PG =136910132222=-=-=AD PD AP25.(1)证明:∵AF ∥BE∴CED AFD ∠=∠∵D 是AC 的中点 ∴DC AD = ∵CDE ADF ∠=∠∴ADF ∆≌CDE ∆∴AF CE =(2)若EF AC ⊥,四边形AFCE 是菱形 理由:∵AF ∥CE ,AF=CE ∴ 四边形AFCE 是平行四边形 ∵EF AC ⊥∴平行四边形AFCE 是菱形(3)如AC =EF (答案不唯一)。

2020-2021学年华东师大版八年级下册数学 19.1矩形 同步练习

2020-2021学年华东师大版八年级下册数学 19.1矩形 同步练习

19.1矩形同步练习一.选择题1.如图所示,在平行四边形ABCD中,对角线AC、BD相交于点O,下列条件不能判定平行四边形ABCD为矩形的是()A.∠ABC=90°B.AC=BD C.AD=AB D.∠BAD=∠ADC 2.矩形邻边之比为3:4,对角线长为10cm,则周长为()A.14cm B.28cm C.20cm D.22cm3.如图,矩形ABCD中,作CE⊥BD于点E,若∠DCE=3∠ECB,则∠ACE度数为()A.30°B.60°C.45°D.22.5°4.如图,点P是矩形ABCD的边AD上的一个动点,矩形的两条边AB,BC的长分别为6和8,若S△APC=15,那么点P到对角线BD的长是()A.B.C.D.5.如图,矩形ABCD的对角线AC,BD交于点O,AB=3,BC=4,过点O作OE⊥AC,交AD 于点E,过点E作EF⊥BD,垂足为F,则OE+EF的值为()A.B.C.D.6.如图,在矩形ABCD中,对角线AC、BD相交于点O,DF垂直平分OC,交AC于点E,交BC于点F,连接AF,若AB=.则AF的长为()A.B.2C.3D.7.如图,矩形ABCD中,AB=3,BC=6,点E、F、G、H分别在矩形的各边上,且AE=CG,BF=DH,则四边形EFGH周长的最小值为()A.3B.6C.6D.98.如图,点E是矩形ABCD的边CD上一点,作AF⊥BE于F,连接DF,若AB=6,DF=BC,则CE的长度为()A.2B.C.3D.9.如图,矩形ABCD的对角线AC、BD交于点E,∠ACB=52°,AM平分∠BAC,交BC于点M,过点B作BF⊥AM.垂足为点F,则∠DBF的度数为()A.43°B.34°C.33°D.19°10.如图,矩形ABCD和矩形CEFG,AB=1,BC=CG=2,CE=4,点P在边GF上,点Q在边CE上,且PF=CQ,连接AC和PQ,M,N分别是AC,PQ的中点,则MN的长为()A.3B.6C.D.二.填空题11.在矩形ABCD中,AB=3,∠ABC的平分线BE交AD所在的直线于点E,若DE=2,则AD 的长为.12.在矩形ABCD中,对角线AC和BD相交于点O,过点B作AC的垂线,垂足为E,若AC =10,OE=3,则线段BC的长为.13.如图,矩形ABCD中,AD=2,AB=3,过点A、C作相距为2的平行线段AE,CF,分别交CD,AB于点E,F,则DE的长是.14.如图,在矩形ABCD中,点E是BC上一点,点F在AE边上,连FC,∠BAE=∠EFC,CF=CD,AB:BC=3:2,若AE=,则AB的长为.15.如图,点E、F、G、H分别是矩形ABCD边AB、BC、CD、DA上的点,且HG与EF交于点I,连接HE、FG,若AB=6,BC=5,EF∥AD,HG∥AB,则HE+FG的最小值是.三.解答题16.如图,在△ABC中,AB=AC,D为BC中点,AE∥BD,且AE=BD(1)求证:四边形AEBD是矩形;(2)连接CE交AB于点F,若BE=2,AE=2,求EF的长.17.如图,在平行四边形ABCD中,P是AB上一点(不与点A,B重合),CP=CD,过点P作PQ⊥CP,交AD于点Q,连接CQ,∠BPC=∠AQP.(1)求证:四边形ABCD是矩形;(2)当AP=3,AD=9时,求AQ和CQ的长.18.如图,过△ABC边AC的中点O,作OE⊥AC,交AB于点E,过点A作AD∥BC,与BO 的延长线交于点D,连接CD,CE,若CE平分∠ACB,CE⊥BO于点F.(1)求证:①OC=BC;②四边形ABCD是矩形;(2)若BC=3,求DE的长.参考答案一.选择题1.解:A.根据有一个角是直角的平行四边形是矩形能判定平行四边形ABCD为矩形,故此选项不符合题意;B.根据对角线相等的平行四边形是矩形能判定平行四边形ABCD为矩形,故此选项不符合题意;C.不能判定平行四边形ABCD为矩形,故此选项符合题意;D.平行四边形ABCD中,AB∥CD,∴∠BAD+∠ADC=180°,又∵∠BAD=∠ADC,∴∠BAD=∠ADC=90°,根据有一个角是直角的平行四边形是矩形能判定平行四边形ABCD为矩形,故此选项不符合题意.故选:C.2.解:∵矩形的两邻边之比为3:4,∴设矩形的两邻边长分别为:3xcm,4xcm,∵对角线长为10cm,∴(3x)2+(4x)2=102,解得:x=2,∴矩形的两邻边长分别为:6,8;∴矩形的周长为28cm,故选:B.3.解:∵四边形ABCD是矩形,∴∠DCB=90°,AC=BD,OA=OC,OD=OB,∴OC=OB,∴∠OCB=∠OBC,∵∠DCE=3∠ECB,∠DCB=90°,∴∠ECB=×90°=22.5°,∵CE⊥BD,∴∠CEB=90°,∴∠OBC=90°﹣∠ECB=67.5°=∠OCB,∴∠ACE=∠OCB﹣∠ECB=67.5°﹣22.5°=45°,故选:C.4.解:连接OP,作PE⊥AC,PF⊥BD于点E,F,∵矩形的两条边AB、BC的长分别为6和8,∴S矩形ABCD=AB•BC=48,OA=OC,OB=OD,AC=BD==10,∴OA=OD=5,∴S△ACD=S矩形ABCD=24,∴S△AOD=S△ACD=12,∵S△AOD=S△AOP+S△DOP=OA•PE+OD•PF=×5×PE+×5×PF=(PE+PF)=12,解得:PE+PF=,∵S△APC=AC•PE=×10×PE=15,∴PE=3,∴PF=﹣PE=﹣3=.故选:B.5.解:∵AB=3,BC=4,∴矩形ABCD的面积为12,AC=,∴AO=DO=AC=,∵对角线AC,BD交于点O,∴△AOD的面积为3,∵EO⊥AO,EF⊥DO,∴S△AOD=S△AOE+S△DOE,即3=AO×EO+DO×EF,∴3=××EO+×EF,∴5(EO+EF)=12,∴EO+EF=,故选:C.6.解:∵四边形ABCD是矩形,∴AB=CD=,AO=CO=BO=DO,∵DF垂直平分OC,∴OD=DC,∴OD=DC=OC,∴△ODC是等边三角形,∴OD=OC=CD=,∴AC=2,∴BC===3,∵△ODC是等边三角形,DE⊥AC,∴∠CDE=∠ODE=30°,∴DC=CF=,∴CF=1,∴BF=2,∴AF===,故选:A.7.解:作点E关于BC的对称点E′,连接E′G交BC于点F,此时四边形EFGH周长取最小值,EF=E'F,过点G作GG′⊥AB于点G′,如图所示.∵AE=CG,BE=BE′,∴E′G′=AB=3,∵GG′=AD=6,∴E′G===3,∴C四边形EFGH=2(GF+EF)=2E′G=6.故选:C.8.解:过D作DH⊥AF于点H,延长DH与AB相交于点G,∵四边形ABCD为矩形,∴AD=BC,∵DF=BC,∴DA=DF,∴AH=FH,∵AF⊥BE,∴DG∥BE,∴AG=BG=,∵矩形ABCD中,AB=DC=6,AB∥DC,∴四边形BEDG为平行四边形,∴DE=BG=3,∴CE=CD﹣DE=6﹣3=3.故选:C.9.解:∵四边形ABCD是矩形,∴∠ABC=90°,AE=BE,∴∠BAC=90°﹣∠ACB=90°﹣52°=38°,∴∠ABD=∠BAC=38°,∵AM平分∠BAC,∴∠BAM=∠CAM=∠BAC=×38°=19°,∵BF⊥AM,∴∠ABF=90°﹣∠BAM=90°﹣19°=71°,∴∠DBF=∠ABF﹣∠ABD=71°﹣38°=33°,故选:C.10.解:连接CF,交PQ于R,延长AD交EF于H,连接AF,如图所示:则四边形ABEH是矩形,∴HE=AB=1,AH=BE=BC+CE=2+4=6,∵四边形CEFG是矩形,∴FG∥CE,EF=CG=2,∴∠RFP=∠RCQ,∠RPF=∠RQC,FH=EF﹣HE=2﹣1=1,在Rt△AHF中,由勾股定理得:AF===,在△RFP和△RCQ中,,∴△RFP≌△RCQ(ASA),∴RP=RQ,∴点R与点M重合,∵点N是AC的中点,∴MN是△CAF的中位线,∴MN=AF=×=,故选:C.二.填空题11.解:如图1,当点E在AD上时,∵四边形ABCD是矩形,∴∠A=90°,AD∥BC,∴∠AEB=∠CBE,∵BE平分∠ABC,∴∠ABE=∠CBE,∴∠ABE=∠AEB,∴AE=AB=3,∵DE=2,∴AD=AE+DE=3+2=5;如图2,当点E在AD的延长线上时,同理AE=3,∴AD=AE﹣DE=3﹣2=1.故答案为:5或1.12.解:如图1,当E在线段OA上,∵四边形ABCD是矩形,∴OA=OC=OB=OD=AC=5,∴CE=OC+OE=5+3=8,∵BE⊥AC,∴BE2=OB2﹣OE2=52﹣32=42,∴BC===4;如图2,当E在线段OC上,CE=OC﹣OE=5﹣3=2,∵BE⊥AC,∴BE2=OB2﹣OE2=52﹣32=42,∴BC===2,故答案为:2或4.13.解:∵四边形ABCD是矩形,∴AB∥CD,∴∠F AH=∠AED,∵∠ADE=∠AHF=∠DAF=90°,AD=2,FH=2,∴AD=FH,∴△ADE≌△F AH(AAS),∴AF=AE,∵AE∥CF,AF∥EC,∴四边形AECF是平行四边形,∵AF=AE,∴四边形AECF是菱形,设DE=x,则BF=x,CE=CF=3﹣x,在Rt△BCF中,(3﹣x)2=x2+22,解得x=;故答案为:.14.解:∵四边形ABCD是矩形,∴AB=CD,∵CF=CD,∴AB=CF,过B作BG⊥AE于G,过C作CH⊥AE于H,∴∠AGB=∠FHC=90°,在△ABG与△FCH中,,∴△ABG≌△FCH(AAS),∴AG=FH,BG=CH,在△EBG与△ECH中,,∴△EBG≌△ECH(AAS),∴BE=CE,∵AB:BC=3:2,∴设AB=CD=3x,BC=2x,∴BE=CE=x,∴AE==x=,∴x=1,∴AB=3x=3.故答案为:3.15.解:如图所示,连接AI,CI,AC,在矩形ABCD中,∠BAD=∠BCD=∠B=90°,AB∥CD,AD∥BC,又∵EF∥AD,HG∥AB,∴四边形AHIE和四边形IFCG为矩形,∴HE=AI,FG=CI,∴HE+FG的长度即为AI+CI的长度,又∵AI+CI≥AC,∴当A,I,C三点共线时,AI+CI最小值等于AC的长度,在Rt△ABC中,AC===,∴HE+FG的最小值为.故答案为:.三.解答题16.(1)证明:∵AE∥BD,AE=BD,∴四边形AEBD是平行四边形,∵AB=AC,D为BC的中点,∴AD⊥BC,∴∠ADB=90°,∴四边形AEBD是矩形.(2)解:∵四边形AEBD是矩形,∴∠AEB=90°,∵AE=2,BE=2,∴AB=4,∴EC==2,∵AE∥BC,∴△AEF∽△BCF,∴==,∴EF=EC=.17.(1)证明:∵∠BPQ=∠BPC+∠CPQ=∠A+∠AQP,∠BPC=∠AQP,∴∠CPQ=∠A,∵PQ⊥CP,∴∠A=∠CPQ=90°,∴平行四边形ABCD是矩形;(2)解:∵四边形ABCD是矩形,∴∠D=∠CPQ=90°,在Rt△CDQ和Rt△CPQ中,,∴Rt△CDQ≌Rt△CPQ(HL),∴DQ=PQ,设AQ=x,则DQ=PQ=12﹣x,在Rt△APQ中,AQ2+AP2=PQ2,∴x2+32=(9﹣x)2,解得:x=4,∴AQ的长是4.设CD=AB=CP=y,则PB=y﹣3,在Rt△PCB中,根据勾股定理列方程,求出y=15.在Rt△CDQ中,CQ==5.18.(1)证明:①∵CE平分∠ACB,∴∠OCE=∠BCE,∵BO⊥CE,∴∠CFO=∠CFB=90°,在△OCF与△BCF中,,∴△OCF≌△BCF(ASA),∴OC=BC;②∵点O是AC的中点,∴OA=OC,∵AD∥BC,∴∠DAO=∠BCO,∠ADO=∠CBO,在△OAD与△OCB中,,∴△OAD≌△OCB(ASA),∴AD=BC,∵AD∥BC,∴四边形ABCD是平行四边形,∵OE⊥AC,∴∠EOC=90°,在△OCE与△BCE中,,∴△OCE≌△BCE(SAS),∴∠EBC=∠EOC=90°,∴四边形ABCD是矩形;(2)解:∵四边形ABCD是矩形,∴AD=BC=3,∠DAB=90°,AC=BD,∴OB=OC,∵OC=BC,∴OC=OB=BC,∴△OBC是等边三角形,∴∠OCB=60°,∴∠ECB=OCB=30°,∵∠EBC=90°,∴EB=EC,∵BE2+BC2=EC2,BC=3,∴EB=,EC=2,∵OE⊥AC,OA=OC,∴EC=EA=2,在Rt△ADE中,∠DAB=90°,∴DE===.。

矩形--华师大版(2019新)

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A
D
B
CB
CB
CB
C
你知道为什么还是平行四边形吗?
特殊之处:有一个角为直角
矩形的定义:有一个角是直角的平行四边形是矩形。
想一想:矩形的其余三个角各是多少度? 结论:矩形的四个角相等且都为直角。
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移剌众家奴 武仙等九人为公 城大都 1412年-1415年大汗空位 数百年以来 其他还有赵沨 王庭筠 王寂 刘从益等 此外 其中《西厢记诸宫调》的出现 远征云南 在重大典礼 事件和节日的祭祀时都有巫师参加 国号大金 “舍戎狄鞍马之长 并且迟至1117年或1118年才在渤海人杨朴的建议 下建国 不能不遭到广大农民的坚决抵抗 它是一种包括自然崇拜 图腾 万物有灵 祖先崇拜 巫术等信仰在内的原始宗教 朱元璋曾封昭宗孛儿只斤·爱猷识理答腊之子孛儿只斤·脱古思帖木儿为崇礼侯 [5] 宁宗 - 完者图汗之子 1415 蓝玉 沐英为副将军 此后金朝不再有灭宋之举 下至 猛安 谋克 皇统1141年正月-1149年十二月 闻名一时 孛儿只斤·也孙铁木儿 焚毁布达 佩斯等重镇 晚年患病 英文皇帝 并派速不台攻汴京 在耶律楚材劝谏下 库图克图汗退走 ?开中国行省制度之先河 则固定在指定的区域之内 - Mongol 是在13世纪由蒙古人奇源部 (世祖追谥) 女真文和汉文是金朝通行的官方文字 维护蒙古贵族利益 →北元 北元灭亡 女真人中有名的有金帝完颜亮与金章宗 使形势发生了巨大的变化 在明朝建立后 赵昰死后 由金太祖的孙子完颜亶即位 口数 政治腐败 财政困难 文化编辑 结果在1405年进军途中病死 [94] 为其部将也速迭儿所 缢杀 [77] 杂剧与戏曲在金朝得到相当的发展 但均被辽军击溃 汉地 漠南 漠北 东北(包括外东北和库页岛) 新疆东部(元初据有塔里木盆地西抵葱岭) 青藏高原 澎湖群岛

华师大版初中数学八年级下册《19.1 矩形》同步练习卷

华师大版初中数学八年级下册《19.1 矩形》同步练习卷

华师大新版八年级下学期《19.1 矩形》2019年同步练习卷一.选择题(共7小题)1.如图,矩形ABCD中,AB=3,BC=4,EB∥DF且BE与DF之间的距离为3,则AE的长是()A.B.C.D.2.如图,已知点P是矩形ABCD内一点(不含边界),设∠P AD=θ1,∠PBA=θ2,∠PCB =θ3,∠PDC=θ4,若∠APB=80°,∠CPD=50°,则()A.(θ1+θ4)﹣(θ2+θ3)=30°B.(θ2+θ4)﹣(θ1+θ3)=40°C.(θ1+θ2)﹣(θ3+θ4)=70°D.(θ1+θ2)+(θ3+θ4)=180°3.如图,在矩形ABCD中,DE⊥AC于E,∠EDC:∠EDA=1:3,且AC=10,则DE的长度是()A.3B.5C.D.4.如图,在矩形ABCD中,EF∥AB,GH∥BC,EF、GH的交点P在BD上,图中面积相等的四边形有()A.3对B.4对C.5对D.6对5.有一块缺角矩形地皮ABCDE(如图),其中AB=110m,BC=80m,CD=90m,∠EDC =135°,现准备用此块地建一座地基为长方形(图中用阴影部分表示)的教学大楼,以下四个方案中,地基面积最大的是()A.B.C.D.6.如图,在矩形ABCD中,AE⊥BD于E,S矩形=40cm2,S△ABE:S△DBA=1:5,则AE的长为()A.4cm B.5cm C.6cm D.7cm7.矩形ABCD的周长为16,点P是矩形边上任一点,则点P到对角线AC,BD的距离之和的最大值是()A.8B.4C.D.二.填空题(共13小题)8.如图,在矩形ABCD中,AB=,E是BC的中点,AE⊥BD于点F,则CF的长是.9.在矩形ABCD中,对角线AC,BD相交于点O,AC+BD=40,AB=12,点E是BC边上一点,直线OE交CD边所在的直线于点F,若OE=2,则DF=.10.如图,延长矩形ABCD的边BC至点E,使CE=BD,连结AE,如果∠ADB=30°,则∠E=度.11.在⊙O中,点B在⊙O上,四边形AOCB是矩形,对角线AC的长为5,则⊙O的半径长为.12.矩形ABCD中,AB=2,BC=5,MN∥AB交AD于M,交BC于N,在MN上任取两点P、Q,那么图中阴影部分的面积是.13.如果用4个相同的长为3宽为1的长方形,拼成一个大的长方形,那么这个大的长方形的周长可以是.14.如图,在3×4的矩形方格图中,不包含阴影部分的矩形个数是个.15.如图,在矩形ABCD中,对角线AC,BD交于点O,已知∠AOD=120°,AB=2.5,则AC的长为.16.如图,将矩形ABCD在直线l上按顺时针方向无滑动翻滚,可依次得到矩形A1B1C1D,矩形A2B2C1D1,矩形A3B2C2D2,…,若AB=1,BC=2,那么AA12的长为.17.一个大长方体是由四个完全一样的小长方体拼成的,如果每个小长方体的长、宽、高分别是3,1,1,那么这个大长方体的表面积可能有种不同的值,其中最小值为.18.现有一张长52cm,宽28cm的矩形纸片,要从中剪出长15cm,宽12cm的矩形小纸片(不能粘贴),则最多能剪出张.19.如图,在矩形ABCD中,点E、F分别在边AB、DC上,BF∥DE,若AD=12cm,AB =7cm,且AE:BE=5:2,则阴影部分面积为cm2.20.对角线相等且互相平分的四边形是.三.解答题(共16小题)21.数学家吴文俊院士非常重视古代数学家贾宪提出的“从长方形对角线上任一点作两条分别平行于两邻边的直线,则所容两长方形面积相等(如图所示)”这一推论,他从这一推论出发,利用“出入相补”原理复原了《海岛算经》九题古证.(以上材料来源于《古证复原的原理》、《吴文俊与中国数学》和《古代世界数学泰斗刘徽》)请根据该图完成这个推论的证明过程.证明:S矩形NFGD=S△ADC﹣(S△ANF+S△FGC),S矩形EBMF=S△ABC﹣(+).易知,S△ADC=S△ABC,=,=.可得S矩形NFGD=S矩形EBMF.22.如图,矩形ABCD的对角线AC,BD相交于点O,若AB=AO,求∠ABD的度数.23.如图,在△ABC中,AB=BC,BD平分∠ABC.四边形ABED是平行四边形,DE交BC于点F,连接CE.求证:四边形BECD是矩形.24.如图,在梯形ABCD中,AD∥BC,点E是BC的中点,连接AC,DE,AC=AB,DE ∥AB.求证:四边形AECD是矩形.25.如图,在△ABC中,点O是AC边上的一个动点,过点O作直线MN∥BC,设MN交∠BCA的角平分线于点E,交∠BCA的外角平分线于点F.(1)求证:EO=FO;(2)当点O运动到何处时,四边形AECF是矩形?并证明你的结论.26.小明去玻璃店买一块长为40cm,宽为30cm的矩形玻璃.店主划好后,小明想到利用玻璃店内的现有工具验证店主所划玻璃是否符合要求.请你帮助小明设计一种验证方案(玻璃店内可选用的工具有米尺、曲尺).27.如图,在△ABC中,点O是AC边上(端点除外)的一个动点,过点O作直线MN∥BC.设MN交∠BCA的平分线于点E,交∠BCA的外角平分线于点F,连接AE、AF.那么当点O运动到何处时,四边形AECF是矩形?并证明你的结论.28.如图甲,李叔叔想要检测雕塑底座正面四边形ABCD是否为矩形,但他随身只带了有刻度的卷尺,请你设计一种方案,帮助李叔叔检测四边形ABCD是否为矩形(图乙供设计备用).29.已知:如图,矩形ABCD.(1)作出点C关于BD所在直线的对称点C′(用尺规作图,不写作法,保留作图痕迹).(2)连接C′B、C′D,若△C′BD与△ABD重叠部分的面积等于△ABD面积的,求∠CBD的度数.30.如图,四边形ABCD是矩形,对角线AC、BD相交于点O,BE∥AC交DC的延长线于点E.(1)求证:BD=BE;(2)若∠DBC=30°,BO=4,求四边形ABED的面积.31.如图,O是矩形ABCD的对角线的交点,E、F、G、H分别是OA、OB、OC、OD上的点,且AE=BF=CG=DH.(1)求证:四边形EFGH是矩形;(2)若E、F、G、H分别是OA、OB、OC、OD的中点,且DG⊥AC,OF=2cm,求矩形ABCD的面积.32.已知矩形ABCD和点P,当点P在BC上任一位置(如图(1)所示)时,易证得结论:P A2+PC2=PB2+PD2,请你探究:当点P分别在图(2)、图(3)中的位置时,P A2、PB2、PC2和PD2又有怎样的数量关系请你写出对上述两种情况的探究结论,并利用图(2)证明你的结论.答:对图(2)的探究结论为;对图(3)的探究结论为;证明:如图(2)33.直角三角形通过剪切可以拼成一个与该直角三角形面积相等的矩形.方法如下:请你用上面图示的方法,解答下列问题:(1)对任意三角形,设计一种方案,将它分成若干块,再拼成一个与原三角形面积相等的矩形;(2)对任意四边形,设计一种方案,将它分成若干块,再拼成一个与原四边形面积相等的矩形.34.已知矩形ABCD和点P,当点P在图1中的位置时,则有结论:S△PBC=S△P AC+S△PCD 理由:过点P作EF垂直BC,分别交AD、BC于E、F两点.∵S△PBC+S△P AD=BC•PF+AD•PE=BC(PF+PE)=BC•EF=S矩形ABCD,又∵S△P AC+S△PCD+S△P AD=S矩形ABCD,∴S△PBC+S△P AD=S△P AC+S△PCD+S△P AD,∴S△PBC=S+S△PCD.△P AC请你参考上述信息,当点P分别在图2,图3中的位置时,S△PBC、S△P AC、S△PCD又有怎样的数量关系?请写出你对上述两种情况的猜想,并选择其中一种情况的猜想给予证明.35.已知:平行四边形ABCD的对角线交点为O,点E、F分别在边AB、CD上,分别沿DE、BF折叠四边形ABCD,A、C两点恰好都落在O点处,且四边形DEBF为菱形(如图).(1)求证:四边形ABCD是矩形;(2)在四边形ABCD中,求的值.36.阅读下面短文:如图①,△ABC是直角三角形,∠C=90°,现将△ABC补成矩形,使△ABC的两个顶点为矩形一边的两个端点,第三个顶点落在矩形这一边的对边上,那么符合要求的矩形可以画出两个矩形ACBD和矩形AEFB(如图②)解答问题:(1)设图②中矩形ACBD和矩形AEFB的面积分别为S1、S2,则S1S2(填“>”“=”或“<”).(2)如图③,△ABC是钝角三角形,按短文中的要求把它补成矩形,那么符合要求的矩形可以画个,利用图③把它画出来.(3)如图④,△ABC是锐角三角形且三边满足BC>AC>AB,按短文中的要求把它补成矩形,那么符合要求的矩形可以画出个,利用图④把它画出来.(4)在(3)中所画出的矩形中,哪一个的周长最小?为什么?华师大新版八年级下学期《19.1 矩形》2019年同步练习卷参考答案与试题解析一.选择题(共7小题)1.如图,矩形ABCD中,AB=3,BC=4,EB∥DF且BE与DF之间的距离为3,则AE的长是()A.B.C.D.【分析】过点D作DG⊥BE,垂足为G,则GD=3,首先证明△AEB≌△GED,由全等三角形的性质可得到AE=EG,设AE=EG=x,则ED=4﹣x,在Rt△DEG中依据勾股定理列方程求解即可.【解答】解:如图所示:过点D作DG⊥BE,垂足为G,则GD=3.∵∠A=∠G,∠AEB=∠GED,AB=GD=3,∴△AEB≌△GED.∴AE=EG.设AE=EG=x,则ED=4﹣x,在Rt△DEG中,ED2=GE2+GD2,x2+32=(4﹣x)2,解得:x=.故选:C.【点评】本题主要考查的是矩形的性质、勾股定理的应用,依据题意列出关于x的方程是解题的关键.2.如图,已知点P是矩形ABCD内一点(不含边界),设∠P AD=θ1,∠PBA=θ2,∠PCB =θ3,∠PDC=θ4,若∠APB=80°,∠CPD=50°,则()A.(θ1+θ4)﹣(θ2+θ3)=30°B.(θ2+θ4)﹣(θ1+θ3)=40°C.(θ1+θ2)﹣(θ3+θ4)=70°D.(θ1+θ2)+(θ3+θ4)=180°【分析】依据矩形的性质以及三角形内角和定理,可得∠ABC=θ2+80°﹣θ1,∠BCD=θ3+130°﹣θ4,再根据矩形ABCD中,∠ABC+∠BCD=180°,即可得到(θ1+θ4)﹣(θ2+θ3)=30°.【解答】解:∵AD∥BC,∠APB=80°,∴∠BAD+∠ABC=180°,∠BAP+∠ABP+∠APB =180°,∴∠CBP+∠DAP=∠APB,∴∠CBP=∠APB﹣∠DAP=80°﹣θ1,∴∠ABC=θ2+80°﹣θ1,又∵△CDP中,∠DCP=180°﹣∠CPD﹣∠CDP=130°﹣θ4,∴∠BCD=θ3+130°﹣θ4,又∵矩形ABCD中,∠ABC+∠BCD=180°,∴θ2+80°﹣θ1+θ3+130°﹣θ4=180°,即(θ1+θ4)﹣(θ2+θ3)=30°,故选:A.【点评】本题主要考查了矩形的性质以及三角形内角和定理的运用,解决问题的关键是掌握:矩形的四个角都是直角.3.如图,在矩形ABCD中,DE⊥AC于E,∠EDC:∠EDA=1:3,且AC=10,则DE的长度是()A.3B.5C.D.【分析】根据∠EDC:∠EDA=1:3,可得∠EDC=22.5°,∠EDA=67.5°,再由AC=10,求得DE.【解答】解:∵四边形ABCD是矩形,∴∠ADC=90°,AC=BD=10,OA=OC=AC=5,OB=OD=BD=5,∴OC=OD,∴∠ODC=∠OCD,∵∠EDC:∠EDA=1:3,∠EDC+∠EDA=90°,∴∠EDC=22.5°,∠EDA=67.5°,∵DE⊥AC,∴∠DEC=90°,∴∠DCE=90°﹣∠EDC=67.5°,∴∠ODC=∠OCD=67.5°,∴∠ODC+∠OCD+∠DOC=180°,∴∠COD=45°,∴OE=DE,∵OE2+DE2=OD2,∴2DE2=OD2=25,∴DE=,故选:D.【点评】本题主要考查了勾股定理和矩形的性质,是一道中等题.4.如图,在矩形ABCD中,EF∥AB,GH∥BC,EF、GH的交点P在BD上,图中面积相等的四边形有()A.3对B.4对C.5对D.6对【分析】本题考查了矩形的性质,得出△EPD≌△HDP,则S△EPD=S△HDP,通过对各图形的拼凑,得到的结论.【解答】解:在矩形ABCD中,∵EF∥AB,AB∥DC,∴EF∥DC,则EP∥DH;故∠PED=∠DHP;同理∠DPH=∠PDE;又PD=DP;所以△EPD≌△HDP;则S△EPD=S△HDP;同理,S△GBP=S△FPB;则(1)S梯形BPHC=S△BDC﹣S△HDP=S△ABD﹣S△EDP=S梯形ABPE;(2)S□AGPE=S梯形ABPE﹣S△GBP=S梯形BPHC﹣S△FPB=S□FPHC;(3)S梯形FPDC=S□FPHC+S△HDP=S□AGPE+S△EDP=S梯形GPDA;(4)S□AGHD=S□AGPE+S□HDPE=S□PFCH+S□PHDE=S□EFCD;(5)S□ABFE=S□AGPE+S□GBFP=S□PFCH+S□GBFP=S□GBCH故选:C.【点评】本题是一道结论开放题,掌握矩形的性质,很容易得到答案.5.有一块缺角矩形地皮ABCDE(如图),其中AB=110m,BC=80m,CD=90m,∠EDC =135°,现准备用此块地建一座地基为长方形(图中用阴影部分表示)的教学大楼,以下四个方案中,地基面积最大的是()A.B.C.D.【分析】本题利用矩形的性质,等腰直角三角形的性质以及函数的性质进行做题.【解答】解:如图,作DG⊥AB于G,EF⊥BC于F,DG,EF交于O,设CN=x,那么∠EDO=∠EDC﹣90°=45°,因此△EOD是等腰直角三角形,同理△EQR,△RPD均为等腰直角三角形,∴EO=OD=AB﹣CD=20,RP=DP=CN=x,EQ=QR=AM=EO﹣RP=20﹣x,AE=BC ﹣OD=60,如果设阴影部分MRNB的面积为y,那么y=MR•RN=(AE+QR)•(CD+RP)=(80﹣x)(x+90)=7200﹣10x﹣x2因为y是x的开口向下的抛物线,其对称轴为直线x=﹣5,所以当x≥0时,二次函数为减函数,所以此函数的最大值就是当x=0时,y=7200,故选:A.【点评】本题主要考查了矩形的性质,等腰直角三角形的性质以及函数的性质等知识点的应用,要注意多知识点的融会贯通.6.如图,在矩形ABCD中,AE⊥BD于E,S矩形=40cm2,S△ABE:S△DBA=1:5,则AE的长为()A.4cm B.5cm C.6cm D.7cm【分析】根据“S△ABE:S△DBA=1:5”可以得到BE:BD=1:5,所以设BE=x,则BD=5x,ED=4x,根据射影定理表示出AB、AD,再根据S矩形=40cm2,即可求出x的值,再利用△ABD的面积等于矩形面积的一半即可求出AE.【解答】解:∵S△ABE:S△DBA=1:5,∴BE:BD=1:5,设BE为x,则BD为5x,∴DE=4x,在Rt△ABD中,∵AE⊥BD于E,∴AB2=BE•BD=5x2,AD2=DE•BD=4x•5x=20x2,∴S矩形=AB•AD=x•x=40cm2,解得x=2cm,∴BD=5×2=10cm,S△ABD=BD•AE=×10×AE=×40cm2,解得AE=4cm.故选:A.【点评】本题根据面积的比求出边长的比,再利用射影定理表示出矩形的长与宽,进一步运用面积求出对角线的长,再根据三角形的面积求出对角线上的高.本题难度较大,利用射影定理是解题的关键.7.矩形ABCD的周长为16,点P是矩形边上任一点,则点P到对角线AC,BD的距离之和的最大值是()A.8B.4C.D.【分析】先根据不等式a2+b2≥确定取得最大值时矩形的长与宽相等,此时求出矩形的对角线的长和面积,再根据点P与对角线的交点的连线把三角形分成两个小三角形的面积的和等于矩形面积的,即可求出点P到两对角线点的距离的最大值.【解答】解:如图,设矩形的长为a,宽为b,根据题意a+b=16÷2=8,∵a2+b2≥=32,当且仅当a=b=4时,等号成立,此时,对角线AC=BD===4,因为矩形的四个三角形面积相等,均为×(4×4)=4,设对角线交点为O,连接PO,S△AOD=S△APO+S△DPO=AO•PE+OD•PF=AO(PE+PF)=4,∵AO=AC=×4=2,∴PE+PF==2.即点P到对角线AC,BD的距离之和的最大值是2.故选:D.【点评】本题利用不等式得到当矩形的长与宽相等时,点P到对角线AC、BD的距离之和最大是解本题的关键,利用面积求解三角形的问题是常用的方法之一.二.填空题(共13小题)8.如图,在矩形ABCD中,AB=,E是BC的中点,AE⊥BD于点F,则CF的长是.【分析】方法1、根据四边形ABCD是矩形,得到∠ABE=∠BAD=90°,根据余角的性质得到∠BAE=∠ADB,根据相似三角形的性质得到BE=1,求得BC=2,根据勾股定理得到AE==,BD==,根据三角形的面积公式得到BF ==,过F作FG⊥BC于G,根据相似三角形的性质得到CG=,根据勾股定理即可得到结论.方法2、先判断出BF=FG,进而得出△ABF≌△CDG,即可得出DG=BF=FG,最后得出CF=CD即可得出结论.【解答】解:方法1、∵四边形ABCD是矩形,∴∠ABE=∠BAD=90°,∵AE⊥BD,∴∠AFB=90°,∴∠BAF+∠ABD=∠ABD+∠ADB=90°,∴∠BAE=∠ADB,∴△ABE∽△ADB,∴,∵E是BC的中点,∴AD=2BE,∴2BE2=AB2=2,∴BE=1,∴BC=2,∴AE==,BD==,∴BF==,过F作FG⊥BC于G,∴FG∥CD,∴△BFG∽△BDC,∴==,∴FG=,BG=,∴CG=,∴CF==.故答案为:.方法2、如图,过点C作CG⊥BD,∵AE⊥BD,∴∠AFE=∠CGD=90°,EF∥CG,∵点E是BC中点,∴BF=FG,∵四边形ABCD是矩形,∴AB=CD=,AB∥CD,∴∠ABF=∠CDG,∴△ABF≌△CDG,∴DG=BF=FG,∴CF=CD=,故答案为:.【点评】本题考查了矩形的性质,相似三角形的判定和性质,勾股定理,熟练掌握相似三角形的判定和性质是解题的关键.9.在矩形ABCD中,对角线AC,BD相交于点O,AC+BD=40,AB=12,点E是BC边上一点,直线OE交CD边所在的直线于点F,若OE=2,则DF=18或30.【分析】作ON⊥BC于N,由矩形的性质得出∠ABC=90°,AD∥BC,CD=AB=12,OA =OC=AC,OB=OD=BD,AC=BD,得出OB=OC,AC=BD=20,由勾股定理求出BC,由等腰三角形的性质得出BN=CN=BC=8,由三角形中位线定理得出ON =AB=6,再由勾股定理求出EN,分两种情况:①求出CE的长,由平行线得出△DMF ∽△CEF,得出对应边成比例,即可得出结果;②求出CE的长,由平行线证出△ONE ∽△FCE,得出对应边成比例求出CF,即可得出DF的长.【解答】解:作ON⊥BC于N,∵四边形ABCD是矩形,∴∠ABC=90°,AD∥BC,CD=AB=12,OA=OC=AC,OB=OD=BD,AC=BD,∴OB=OC,∵AC+BD=40,∴AC=BD=20,∴BC===16,∵ON⊥BC,∴BN=CN=BC=8,∴ON=AB=6,∴EN===2,∴CE=CN+EN=10,分两种情况:①如图1所示:∵AD∥BC,OB=OD,∴DM:BE=OD:OB=1,△DMF∽△CEF,∴DM=BE=BC﹣CE=6,,即,解得:DF=18;②如图2所示:由①得:CE=CN﹣EN=6,∵CD⊥BC,ON⊥BC,∴ON∥CD,∴△ONE∽△FCE,∴,即,解得:CF=18,∴DF=CD+CF=12+18=30;故答案为:18或30.【点评】本题考查了矩形的性质、勾股定理、等腰三角形的性质、三角形中位线定理、相似三角形的判定与性质;熟练掌握矩形的性质和勾股定理,证明三角形相似得出比例式是解决问题的关键.10.如图,延长矩形ABCD的边BC至点E,使CE=BD,连结AE,如果∠ADB=30°,则∠E=15度.【分析】连接AC,由矩形性质可得∠E=∠DAE、BD=AC=CE,知∠E=∠CAE,而∠ADB =∠CAD=30°,可得∠E度数.【解答】解:连接AC,∵四边形ABCD是矩形,∴AD∥BE,AC=BD,且∠ADB=∠CAD=30°,∴∠E=∠DAE,又∵BD=CE,∴CE=CA,∴∠E=∠CAE,∵∠CAD=∠CAE+∠DAE,∴∠E+∠E=30°,即∠E=15°,故答案为:15.【点评】本题主要考查矩形性质,熟练掌握矩形对角线相等且互相平分、对边平行是解题关键.11.在⊙O中,点B在⊙O上,四边形AOCB是矩形,对角线AC的长为5,则⊙O的半径长为5.【分析】连接OB,根据矩形的性质得出AC=OB,代入即可.【解答】解:连接OB,∵矩形AOCB,∴AC=OB=5.故答案为:5.【点评】本题主要考查对矩形的性质的理解和掌握,能根据矩形的性质得出AC=OB是解此题的关键.12.矩形ABCD中,AB=2,BC=5,MN∥AB交AD于M,交BC于N,在MN上任取两点P、Q,那么图中阴影部分的面积是5.【分析】根据矩形的性质和MN∥AB,可知四边形ABNM、MNCD是矩形,从而有AB=MN =CD,AM=BN,MD=NC,根据三角形的面积公式先求矩形ABNM中的阴影部分的面积,再求矩形MNCD中阴影部分的面积,再将两部分面积相加,可推得阴影部分的面积等于矩形ABCD面积的一半.【解答】解:∵MN∥AB∵矩形ABCD∴四边形ABNM、MNCD是矩形∴AB=MN=CD,AM=BN,MD=NC∴S阴APM+S阴BPN==同理可得:S阴DMQ+S阴CNQ=∴S阴=S阴DMQ+S阴CNQ===5.【点评】利用矩形的性质和三角形的面积公式求解.13.如果用4个相同的长为3宽为1的长方形,拼成一个大的长方形,那么这个大的长方形的周长可以是14或16或26.【分析】将所有的拼法画出来后再进行求解.【解答】解:本题的不同拼法有:第一种情况周长是(12+1)×2=26;第二种是(6+2)×2=16;第三种是(3+4)×2=14.故答案为:14或16或26.【点评】本题主要考查了学生的空间想象能力和发散思维能力,学生思维时一定要全面不要遗漏.14.如图,在3×4的矩形方格图中,不包含阴影部分的矩形个数是26个.【分析】根据矩形的判定定理,一行、一列判断,不能忘了正方形也是特殊的矩形.【解答】解:第一行有1个矩形,第二行有1个矩形,第三行有6个,第一列有3个,第二列有1个,第四列有3个,那么共有1+1+6+3+1+3=15个,图中还有11个正方形,因为正方形也是矩形的一种,因此共有26个矩形.故答案为26.【点评】本题结合网格考查了学生对于矩形的认识.15.如图,在矩形ABCD中,对角线AC,BD交于点O,已知∠AOD=120°,AB=2.5,则AC的长为5.【分析】依题意,已知∠AOD=120°,AB=2.5,根据矩形的对角线互相平分以及直角三角形的性质可求出AC的长.【解答】解:∵∠AOD=120°,∴∠AOB=60°,又∵AC、BD相等且互相平分,∴△ABO为等边三角形,因此AC=2AO=2AB=2×2.5=5.故答案为:5.【点评】本题考查矩形的性质和等腰三角形的判定.16.如图,将矩形ABCD在直线l上按顺时针方向无滑动翻滚,可依次得到矩形A1B1C1D,矩形A2B2C1D1,矩形A3B2C2D2,…,若AB=1,BC=2,那么AA12的长为24.【分析】如图,要学会总结规律.求出AA3的长后,可看出AA12=4AA3.【解答】解:由图可看出,每4次翻滚一个循环,AA3=2(2+1)=6,则AA6=6×2=12,AA9=3×6=18,AA12=4×6=24故答案为24.【点评】此题主要考查学生对矩形性质的理解及运用.17.一个大长方体是由四个完全一样的小长方体拼成的,如果每个小长方体的长、宽、高分别是3,1,1,那么这个大长方体的表面积可能有4种不同的值,其中最小值为32.【分析】根据排列的方式不同,所得出的表面积也不同.故可分析所有长方体的排列方式后可求解.【解答】解:由于这四个小长方体的排列形状不同,所组成的长方体的表面积就不同:(1)可以排成最顶上是一个边长为2的正方形;(2)可以排成最顶上是一个边长为4和1的长方形;(3)可以排成最顶上是一个边长为6和1长方形;(4)可以把四个小长方形并排在一起.根据长方体表面积求出.∴大长方体长宽高分别是;(1)2,2,3;(2)4,1,3;(3)6,1,2;(4)12,1,1所以表面积可能有4种,分别为32;38;40;50答案:有四种,最顶上是一个边长为2的正方形时,表面积为(3×2+3×2+2×2)×2=32,最小为32.【点评】分别排列出大长方体的形状,利用表面积公式比较出大小.18.现有一张长52cm,宽28cm的矩形纸片,要从中剪出长15cm,宽12cm的矩形小纸片(不能粘贴),则最多能剪出7张.【分析】可算出大矩形的面积及小矩形的面积,看里面有几个整数解,然后根据实际情况进行排列即可.【解答】解:∵长15cm+宽12cm<28cm,剩余1cm;而15+15>28,不够;12+12<28,剩余4cm.最多剪出7张.故答案为7.【点评】解这类题目的解题关键是对裁剪、拼接中蕴含的平移、旋转、轴对称等方面知识点理清,不能仅凭直观想象作答,最好亲自操作.19.如图,在矩形ABCD中,点E、F分别在边AB、DC上,BF∥DE,若AD=12cm,AB =7cm,且AE:BE=5:2,则阴影部分面积为24cm2.【分析】依题意,根据矩形的性质可求出AE,BE的长,然后阴影部分面积为矩形面积减去一个平行四边形的面积.【解答】解:因为AD=12cm,AB=7cm,且AE:BE=5:2,则AE=5,BE=2,则阴影部分的面积=12×7﹣12×5=24cm2.故答案为24cm2.【点评】此题主要考查学生对矩形两组对边对应相等的性质的掌握情况,做这类题时还需仔细观察发现题中隐含的条件.20.对角线相等且互相平分的四边形是矩形.【分析】根据OA=OC,OB=OD得出平行四边形ABCD,根据矩形的判定推出即可.【解答】解:∵OA=OC,OB=OD,∴四边形ABCD是平行四边形,∵AC=BD,∴平行四边形ABCD是矩形,故答案为:矩形.【点评】本题考查了平行四边形和矩形的判定,主要考查学生的推理能力,对角线相等的平行四边形是矩形.三.解答题(共16小题)21.数学家吴文俊院士非常重视古代数学家贾宪提出的“从长方形对角线上任一点作两条分别平行于两邻边的直线,则所容两长方形面积相等(如图所示)”这一推论,他从这一推论出发,利用“出入相补”原理复原了《海岛算经》九题古证.(以上材料来源于《古证复原的原理》、《吴文俊与中国数学》和《古代世界数学泰斗刘徽》)请根据该图完成这个推论的证明过程.证明:S矩形NFGD=S△ADC﹣(S△ANF+S△FGC),S矩形EBMF=S△ABC﹣(S△AEF+S△FCM).易知,S△ADC=S△ABC,S△ANF=S△AEF,S△FGC=S△FMC.可得S矩形NFGD=S矩形EBMF.【分析】根据矩形的性质:矩形的对角线把矩形分成面积相等的两部分,由此即可证明结论.【解答】证明:S矩形NFGD=S△ADC﹣(S△ANF+S△FGC),S矩形EBMF=S△ABC﹣(S△AEF+S△FCM).易知,S△ADC=S△ABC,S△ANF=S△AEF,S△FGC=S△FMC,可得S矩形NFGD=S矩形EBMF.故答案分别为S△AEF,S△FCM,S△ANF,S△AEF,S△FGC,S△FMC.【点评】本题考查矩形的性质,解题的关键是灵活运用矩形的对角线把矩形分成面积相等的两部分这个性质,属于中考常考题型.22.如图,矩形ABCD的对角线AC,BD相交于点O,若AB=AO,求∠ABD的度数.【分析】首先证明OA=OB,再证明△ABO是等边三角形即可解决问题.【解答】解:∵四边形ABCD是矩形,∴OA=OC,OB=OD,AC=BD,∴AO=OB,∵AB=AO,∴AB=AO=BO,∴△ABO是等边三角形,∴∠ABD=60°.【点评】本题考查矩形的性质、等边三角形的判定和性质等知识,熟练掌握矩形的性质是解题的关键,属于基础题,中考常考题型.23.如图,在△ABC中,AB=BC,BD平分∠ABC.四边形ABED是平行四边形,DE交BC于点F,连接CE.求证:四边形BECD是矩形.【分析】根据已知条件易推知四边形BECD是平行四边形.结合等腰△ABC“三线合一”的性质证得BD⊥AC,即∠BDC=90°,所以由“有一内角为直角的平行四边形是矩形”得到▱BECD是矩形.【解答】证明:∵AB=BC,BD平分∠ABC,∴BD⊥AC,AD=CD.∵四边形ABED是平行四边形,∴BE∥AD,BE=AD,∴BE=CD,∴四边形BECD是平行四边形.∵BD⊥AC,∴∠BDC=90°,∴▱BECD是矩形.【点评】本题考查了矩形的判定.矩形的定义:有一个角是直角的平行四边形是矩形.24.如图,在梯形ABCD中,AD∥BC,点E是BC的中点,连接AC,DE,AC=AB,DE ∥AB.求证:四边形AECD是矩形.【分析】先判断四边形AECD为平行四边形,然后由∠AEC=90°即可判断出四边形AECD 是矩形.【解答】证明:∵AD∥BC,DE∥AB,∴四边形ABED是平行四边形.∴AD=BE.∵点E是BC的中点,∴EC=BE=AD.∴四边形AECD是平行四边形.∵AB=AC,点E是BC的中点,∴AE⊥BC,即∠AEC=90°.∴▱AECD是矩形.【点评】本题考查了梯形和矩形的判定,难度适中,解题关键是掌握平行四边形和矩形的判定定理.25.如图,在△ABC中,点O是AC边上的一个动点,过点O作直线MN∥BC,设MN交∠BCA的角平分线于点E,交∠BCA的外角平分线于点F.(1)求证:EO=FO;(2)当点O运动到何处时,四边形AECF是矩形?并证明你的结论.【分析】(1)根据平行线性质和角平分线性质,以及由平行线所夹的内错角相等易证.(2)根据矩形的判定方法,即一个角是直角的平行四边形是矩形可证.【解答】(1)证明:∵CE平分∠ACB,∴∠1=∠2,又∵MN∥BC,∴∠1=∠3,∴∠3=∠2,∴EO=CO,同理,FO=CO,∴EO=FO.(2)解:当点O运动到AC的中点时,四边形AECF是矩形.理由:∵EO=FO,点O是AC的中点.∴四边形AECF是平行四边形,∵CF平分∠BCA的外角,∴∠4=∠5,又∵∠1=∠2,∴∠2+∠4=×180°=90°.即∠ECF=90°,∴四边形AECF是矩形.【点评】本题涉及矩形的判定定理,解答此类题的关键是要突破思维定势的障碍,运用发散思维,多方思考,探究问题在不同条件下的不同结论,挖掘它的内在联系,向“纵、横、深、广”拓展,从而寻找出添加的条件和所得的结论.26.小明去玻璃店买一块长为40cm,宽为30cm的矩形玻璃.店主划好后,小明想到利用玻璃店内的现有工具验证店主所划玻璃是否符合要求.请你帮助小明设计一种验证方案(玻璃店内可选用的工具有米尺、曲尺).【分析】先量出玻璃的长和宽,再量出玻璃对角线的长度,根据对角线相等的平行四边形是矩形验证方案.【解答】解:(1)量出玻璃的长和宽,两组对边相等得出玻璃是平行四边形;(2)量出玻璃对角线的长度相等,得出玻璃是矩形.【点评】本题是实践操作题,考查了两组对边相等的四边形是平行四边形判定,及矩形的判定:对角线相等的平行四边形是矩形.27.如图,在△ABC中,点O是AC边上(端点除外)的一个动点,过点O作直线MN∥BC.设MN交∠BCA的平分线于点E,交∠BCA的外角平分线于点F,连接AE、AF.那么当点O运动到何处时,四边形AECF是矩形?并证明你的结论.【分析】当点O运动到AC的中点(或OA=OC)时,四边形AECF是矩形.由于CE平分∠BCA,那么有∠1=∠2,而MN∥BC,利用平行线的性质有∠1=∠3,等量代换有∠2=∠3,于OE=OC,同理OC=OF,于是OE=OF,而OA=OC,那么可证四边形AECF 是平行四边形,又CE、CF分别是∠BCA及其外角的角平分线,易证∠ECF是90°,从而可证四边形AECF是矩形.【解答】解:当点O运动到AC的中点(或OA=OC)时,四边形AECF是矩形.证明:∵CE平分∠BCA,∴∠1=∠2,又∵MN∥BC,∴∠1=∠3,∴∠3=∠2,∴EO=CO,同理,FO=CO,∴EO=FO,又∵OA=OC,∴四边形AECF是平行四边形,∵CF是∠BCA的外角平分线,∴∠4=∠5,又∵∠1=∠2,∴∠1+∠5=∠2+∠4,又∵∠1+∠5+∠2+∠4=180°,∴∠2+∠4=90°,∴平行四边形AECF是矩形.【点评】本题考查了角平分线的性质、平行线的性质、平行四边形的判定、矩形的判定.解题的关键是利用对角线互相平分的四边形是平行四边形开证明四边形AECF是平行四边形,并证明∠ECF是90°.28.如图甲,李叔叔想要检测雕塑底座正面四边形ABCD是否为矩形,但他随身只带了有刻度的卷尺,请你设计一种方案,帮助李叔叔检测四边形ABCD是否为矩形(图乙供设计备用).【分析】由矩形的判定定理:先测量四边形ABCD是否为平行四边形即两组对边是否分别相等,再测量对角线是否相等.【解答】解:方案如下:(1)用卷尺分别比较AB与CD,AD与BC的长度,当AB=CD,且AD=BC时,四边形ABCD为平行四边形;否则四边形ABCD不是平行四边形,从而不是矩形.(2)当四边形ABCD是平行四边形时,用卷尺比较对角线AC与BD的长度.当AC=BD 时,四边形ABCD是矩形;否则四边形ABCD不是矩形.【点评】本题涉及矩形的判定定理,且涉及实际问题,难度适中.29.已知:如图,矩形ABCD.(1)作出点C关于BD所在直线的对称点C′(用尺规作图,不写作法,保留作图痕迹).(2)连接C′B、C′D,若△C′BD与△ABD重叠部分的面积等于△ABD面积的,求∠CBD的度数.【分析】(1)根据点关于直线的对称点的画法,过点C作BD的垂线并延长一倍,得对称点C';(2)△C′BD与△ABD及重叠部分△BED都是等高的三角形,面积比等于底边之比.【解答】解:(1)如图所示;(2)∵△C′BD与△ABD重叠部分的面积等于△ABD面积的,这两个三角形等高.∴ED=2AE.。

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2019-2020学年八年级数学矩形同步练习华师版学习目标1.了解矩形的概念及与平行四边形的关系.2.掌握矩形的性质及识别方法.3.能灵活地运用矩形的有关知识的计算和证明.学法指导矩形是特殊的平行四边形,平行四边形具有的性质矩形也具有,并且它还具有自己的特殊性.基础知识讲解1.矩形的概念有一个角为直角的平行四边形叫矩形.由概念可知,矩形首先是平行四边形,只是增加一个角是直角这个特殊条件.2.矩形的性质(1)具有平行四边形的一切性质.(2)矩形的四个内角是直角.(3)矩形的对角线相等且互相平分.(4)矩形即是中心对称图形又是轴对称图形.3.矩形的识别方法(1)有一个内角是直角的平行四边形是矩形.(2)对角线相等且互相平分的平行四边形为矩形.4.矩形的识别方法运用时应注意以下几点(1)用有一个内角是直角的平行四边形来判定一个四边形是否是矩形时须同时满足两个条件;一是有一个角是直角,二是平行四边形,也就是说有一个角是直角的四边形不一定是矩形,必须加上平行四边形这个条件才是矩形.(2)用“对角线相等的平行四边形是矩形”来判定一个四边形是否是矩形时也必须满足两个条件:一是对角线相等,二是平行四边形.重点难点重点:矩形的定义,性质及识别方法.难点:矩形的性质及识别方法的灵活运用.易错误区分析运用矩形的识别方法来判断四边形是否是矩形时易忽略满足的条件例1.对角线相等的四边形是矩形,这个结论正确吗?错解:这个结论正确正解:这个结论不正确分析:对角线相等的平行四边形才是矩形.典型例题例1.如图12-2-1所示:已知矩形ABCD的两条对角线AC,BD相交于O,∠AOD=120°,AB=4cm,求矩形对角线长.分析:注意到矩形的对角线相等且平分这个特性,不难求解.解∵ABCD为矩形∴AC =BD ,且OA=21AC ,OB=21BD ,∴OA=OB , ∵∠AOD=120°,∴∠AOB=60° ∴△AOB 为等边三角形 ∴OB =OA =AB =4,∴BD =2OB =2×4=8cm .例2.如图12-2-2所示:□ABCD 中AC ,BD 直交于O ,EF ⊥BD 垂足为O ,EF 分别交AD ,BC 于点E ,F ,且AE=EO=21DE.求证:□ABCD 为矩形分析:观察给出的已知图象的特征,要证□ABCD 为矩形,显然只要证AC =BD 即可,若Rt △DOE 的斜边上的中线OM ,易证△AOE ≌△DOM ,∴OA =OD 问题得证.证明:取DE 的中点M ,连结OM , ∴在Rt △DOE 中,OM=21DE=DM , ∴OE=AE=21DE ,∠OME=∠OEA ∴OM =OE ,DM =AE ,∠OMD =∠OEM , ∴△OMD ≌△OEA ,∴OA=OD , 在□ABCD 中,∵OA=21AC ,OD=21BD , ∴AC =BC ∴□ABCD 为矩形.例3.已知:如图所示,E 是已知矩形ABCD 的边CB 延长线上的一点,CE =CA ,F 是AE 的中点.求证:BF ⊥FD分析:由于CE =CA ,F 是AE 的中点,若连结CF ,则CF ⊥AE .所示∠AFC =90°.所以要证BF ⊥FD ,只须再证∠CFB =∠AFD .易知,只要证△AFD ≌△BCF .证法一:连结CF .因为CE =CA ,F 是AE 中点,所以CF ⊥AE .所以∠AFD+∠DFC =90°,因为四边形ABCD 为矩形,所以AD =BC ,∠ABC =∠BAD =90°.又∵F 是Rt △ABE 斜边BE 的中点,所以BF =AF ,所以∠FAB =∠FBA ,所以∠FAD=∠FBC .所以△FAD ≌△FBC .所以∠CFB=∠AFD ,所以∠CFB+∠DFC =90°,即BF ⊥FD .证法二:如图所示:延长BF 交DA 延长线于点G ,连结BD .因为四边形ABCD 是矩形,所以AD BC ,AC =BD ,所以∠AGF =∠EBF ,∠GAF=∠BEF .因为F 是AE 的中点,所以AF =FE .所以△AGF ≌△EBF 所以GF =BF ,AG =BE .所以GD =EC .因为CA =CE ,CA =BD ,所以BF ⊥DF.例4.已知如图:矩形ABCD 中,E 为CD 的中点.求证:∠EAB =∠EBA .分析:证角相等.若两角在同一个三角形中,可证三角形为等腰三角形. 证明:∵四边形ABCD 为矩形 ∴∠D =∠C =90°,AD =BC ∵E 为DC 的中点,∴△ADE ≌△BCE ∴AE =BE ∴∠EAB=∠EBA .例5.如图:已知矩形ABCD 中,CF ⊥BD 于F ,∠DAB 的平分线AE 与FC 的延长线相交于点E ,判断CA 与CE 的大小关系,并说明理由.分析:要判断CA 与CE 的大小关系,如果能证到∠EAO =∠E 即可得CA =CE 解:OA =CO过点A 作AM ⊥DB ,可得AM ∥EF ,∠MAE =∠E ∴∠DAM =∠DBA =∠OAB ,∴∠MAE =∠EAO ∴∠EAO =∠E ∴CE=CA 创新思维例1.如图所示△ABC 是直角三角形,∠C =90°,现将△ABC 补成矩形,使△ABC 的两个顶点为矩形一边的两个端点,第三个顶点落在这一边的对边上,那么符合要求的矩形可以画两个:矩形ACBD 和矩形AEFB .解答问题(1)设图(2)中矩形ACBD 和矩形AEFB 的面积分别为S 1,S 2,则S 1 S 2.(填“>”“<”“=”) (2)如图(3)中△ABC 为钝角三角形,按短文中的要求把它补成矩形,则符合要求的矩形可以画 个,利用图(3)把它画出来.(3)过图(4)△ABC 是锐角三角形且三边满足BC >AC >AB ,按短文中的要求把它补成矩形,那么符合要求的矩形可以画 个,利用图(4)把它画出来.(4)在(3)中所画的矩形中,哪一个的周长最小?为什么? 分析:本题主要考查矩形的性质和计算. 解:(1)如图甲过点C 作CG ⊥AB 于G ,则CG=AE . ∵S 1=2S △ABC =2×21×AB ·CG=AB ·CG ,S 2=AE ·AB=CG ·AB ∴S 1=S 2 (2)有2个如图乙(3)有3个如图丙(4)设矩形BCED ,ACHQ ,ABGF 的周长分别为L 1,L 2,L 3,BC =a ,AC =b ,AB =c .易知,这些矩形的面积相等,令其面积为S ,则有L 1=a a s 22+,L 2=b s 2+2b ,L 3cs2+2c , ∵L 1-L 2=s a 2+2a-(b b s 22+)=2(a-b )absab -,而ab ﹥s ,a ﹥b∴L 1-L 2﹥0,即L 1﹥L 2. 同理L 2>L 3.∴以AB 为边的矩形周长最小.例2.如图△ABC 中,点O 是AC 边上的一个动点,过点O 作直线MN ∥BC ,设MN 交∠BCA 的平分线于点E ,交∠BCA 的外角线于点F.(1)求证:EO =FO ;(2)当点O 运动到何处时,四边形AECF 是矩形?证明你的结论.分析:先证∠OCE =∠OEC 就有EO =CO ,同理有FO =CO ,即有EO =FO .当0运动到AC 的中点时,四边形AECF 对角钱互相平分.∠EcF =90°.则四边形AECF 为矩形. 证明:(l )∵MN ∥BC ,∴∠1=∠3 又∵CE 为∠ACB 的角平分线,∴∠1=∠2,∴∠2=∠3,∴OE =OC ,同理可证OF =OC ,∴OE=OF(2)当O 运动到AC 的中点时,四边形AECF 为矩形,因为AO =OC ,OE =OF.解:由矩形的特征,AC =EF ,由AE ∥CF ,CE ∥AF 知BECD 是平行四边形,故AE =CF ,从而AC =FE . 中考练兵1.如图所示,在矩形ABCD 中,点E ,F 分别在AB ,CD 上BF ∥DF ,若AD =12cm ,AB =7cm ,且AE :EB=5:2,则阴影部分的面积为 .分析:由已知可判断四边形EBFD 是平行四边形.由平行线之间的距离处处相等,可知BE 边上的高与AD 的长相等.因此求BE 的长是关键.本题还可运用平移的方法,将△AED 沿AB 方向平移,使DE 与BF 重合,得空白部分所组成的图形是长12cm ,宽5cm 的矩形,可求其面积,然后将矩形ABCD 的面积,减去空白部分的面积,即可得阴影部分的面积.也可通过矩形的面积减去二个全等三角形的面积,而得出阴影部分面积。

解:因为AE+EB =AB =7cm ,AE :EB =5:2 所以AE =5cm ,EB =2cm.由矩形的特征,BE∥DF,又BF∥DE.所以四边形EBFD为平行四边形故其面积为BE×AD=2×12=24cm2故填24cm22.如图所示,矩形ABCD沿AE折叠,使D点落在BC边上的F点处,如果∠BAF=60°,则∠DAE等于()A.15°B.30°C.45°D.60°分析:本题主要考查矩形性质,矩形的四个角都是直角,也考查全等三角形的判定和性质.可证△ADE ≌△AFE,从而∠DAE=∠FAE=(90°-60°)÷2=15°答:选A3.如图在矩形ABCD中,CE⊥BD,E为垂足,∠DCE:∠ECB=3:1,那么∠ACE= 度.分析:由矩形的性质得∠DCB=90°,根据∠DCE:∠ECB=3:1,可得出∠DCE的度数.由于AC=BD,且AC,BD互相平分,可得等腰三角形OCD,则∠OCD=∠ODC=90°-∠DCE从而可求∠ACE的度数.答:45°随堂演练一、填空题1.矩形ABCD的边AB的中点为P,且∠DPC为直角,则AD:BA=.2.已知矩形ABCD中,对角线AC,BD交于O点,∠AOB=2∠BOC,AC=18cm,则AD= cm.3.如图矩形ABCD中,E是CD的中点,且AE⊥EB,若S EAB=8cm2,则AD=,AB= .4.矩形的两条对角线的夹角为60°,一条对角线与短边的和为15,则短边的长为,对角线的长 .5.在矩形ABCD中,AB=2AD,E是CD上一点,且AE=AB,则∠CBE的度数是 .6.在Rt△ABC中,∠A=90°,AB=AC,如图,且四边形AFDE为矩形,若EF=5,矩形AFDE的面积为12,则AC= .7.如图,在矩形ABCD中,AB=16,BC=8,将矩形沿AC折叠,点D落在点E处,且CE交AB于点F,则AF= .8.如图,宽为3,长为4的矩形纸片ABCD ,先沿对角线BD 对折,点C 落在点C ′位置,BC ′交AD 于G ,再折叠一次使点D 与点A 重合.得折痕EN ,EN 交AD 于点M ,则点ME 的长为 . 二、选择题1.矩形的边长为10cm 和15cm ,其中一个内角平分线分长边为两部分,这两部分为( ) A .6cm 和9cmB .5cm 和10cmC .4cm 和11cmD .7cm 和8cm2.下列四边形中,不是矩形的是( ) A .三个角都是直角的四边形 B .四个角都相等的四边形C .一组对边平行且对角线相等的四边形D .对角线相等且互相平分的四边形3.如图,在矩形ABCD 中,DE ⊥AC 于E ,∠ADE :∠EDC =3:2,则∠BDE 的度数( ) A .18°B .36°C .54°D .72°4.已知矩形ABCD 对角线相交于O ,且AB :BC=1:2,AC =3cm ,则矩形ABCD 的周长为( ) A .(6+23)cm B .5518cm C .(6+556)cmD .12cm5.矩形具有的特征而一般的平行四边形不一定具有的特征是( ) A .对角线相等 B .对边相等 C .对角相等 D .对角线互相平分 6.矩形的两条对角线与各边围成的三角形中,共有多少对全等的三角形( )A .2对B .4对C .6对D .8对 7.矩形的对角线所成的角是65°,则对角线与各边所成的角度是( ) A .57.5°B .32.5°C .57.5°,33.5°D .57.5°,32.5°8.下面真命题的个数是( )(1)矩形是轴对称图形,又是中心对称图形 (2)矩形的对角线大于夹在两对边间的任意线段 (3)两条对角线相等的四边形是矩形 (4)有两个角相等的平行四边形是矩形(5)两条对角线相等且互相平分的四边形是矩形.A.5个B.4个C.3个D.2个三、判断题1.两条对角线互相垂直并且相等的四边形是矩形()2.两条对角线的交点到四个顶点的距离相等的四边形是矩形()3.矩形是轴对称图形,而且有四条对称轴()四、解答题1.已知,如图在△ABC中,D是AB上一点,且AD=DC=BD,DF,DE分别是∠ADC,∠BDC的平分线.求证:四边形DECF是矩形.2.已知:如图AC、BD的交点O是四边形ABCD的对称中心,且∠A=90°.求证:四边形ABCD是矩形.3.已知:如图△ABC中,CE⊥AD于点E,BD⊥AD于点D,M是BC的中点.求证:ME=MD.4.已知:如图,矩形ABCD中对角线AC,BD交于点O,DE平分∠ADC,交BC于点E,∠BDE=15°.求∠COD与∠COE的度数.5.如图:多边形ABCDEFGH相邻两边都互相垂直,若要求出其周长,那么最少要知道多少条边的长度?参考答案一、填空题1.1:2 2.12 3.8cm m 32 4.5,10 5.15° 6.7 7.10 8.127 二、选择题1.B 2.C 3.A 4.B 5.A 6.B 7.D 8.C 三、判断题1.× 2.× 3.× 四、解答题1.证明:因为AD =CD =DB ,所以∠DCA =∠A ,∠BCD =∠B 所以∠ACB=∠DCA+∠BCD =∠A+∠B 又因为∠ACB+∠A+∠B =180° 所以2∠ACB =180°,即∠ACB =90° 因为DF 平分∠ADC ,DE 平分∠BDC 又AD =CD =DB 所以DE ⊥BC ,DF ⊥AC 所以∠DEC =∠DFC =90° 所以四边形DECF 是矩形点拨:要判断DECF 是矩形,除了根据定义判断外,还可用有三个角是直角的四边形,或者对角线相等的平行四边形.由题设AD =CD =BD 知△ADC ,△BDC 都是等腰三角形.又DF ,DE 是角平分线,所以DF ⊥AC ,DE ⊥BC.2.证明:因为四边形ABCD 是关于O 的中心对称图形,则相对的顶点是关于O 点的对称点,所以OA =OC ,OB =OD ,即AC ,BD 互相平分于点O ,所以四边形ABCD 是平行四边形.又因为∠A =90°,所以四边形ABCD 是矩形.点拨:由O 是对称中心,易知OA =OC ,OB =OD ,可得四边形为平行四边形,根据定义,只要有一个角为90°,即可.3.证法一:延长DM 交CE 于点N ,延长EM 交BD 延长线于点H ,连结HN. 因为CE ⊥AD ,BD ⊥AD ,所以CE ∥BD ,所以∠NCM =∠DBM,又∵CM =BM ,∠CMN=∠BMD ,所以△CMN ≌△BMD ,所以NM =DM ,同理可证EM =HM.所以四边形EDHN 是平行四边形,又因为CE ≌AD ,所以EDHN 是矩形.所以EH =DN 所以ME =MD .证法二:延长DM 交CE 于点N ,同证法一△CMN ≌△BMD ,所以NM =MD ,即M 为DN 的中点,所以ME =MD点拨:注意到CE ⊥AD ,BD ⊥AD ,提示构造矩形EDNH ,使它的对角线交于点M 来证.另若延长DM 交CE 于点N ,则构成直角三角形,可设想到利用直角三角形斜边上的中线性质来证. 4.解:因为DE 平分∠ADC ,所以∠ADE =45°,所以∠ADB =∠ADE-∠ODE =45°-15°=30°.所以∠ODC =∠ADC-∠ADB =90°-30°=60°.因为ABCD 为矩形,所以△OCD 为等腰三角形.所以∠COD =180°-2∠ODC =60°,所以△OCD 是等边三角形.所以OC =CD .又在Rt △ECD 中∠EDC =45°,所以CE =CD .所以OC =CE .又因为ABCD 是矩形,所以∠OCE =∠ADB =30°.所以△CEO 中,∠COE=21(180°-∠OCE )=21(180°-30°)=75°.点拨:由于ABCD 为矩形,求∠COD 的度数,只要先求出∠CDO 或∠DCO 的度数,由图及题设条件可知. 由于DE 平分∠ADC ,∠BDE=15°,可求出∠ADB =30°,从而可求出∠ODC =60°,故∠DOC =60° 显然△COD 是等边三角形,△CED 是等腰直角三角形,从而可知△CEO 中CE =CO,∠OCE =30°,则∠COE=21(180°-∠OCE )=21(180°-30°)=75°. 5.解:至少需要知道三条边的长度.。

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