一次函数之含30°直角三角形存在性(北师版)(含答案)

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一次函数之等腰直角三角形的存在性 (讲义及答案).

一次函数之等腰直角三角形的存在性（讲义）➢课前预习1.如图所示的正方形网格中，网格线的交点称为格点．已知A，B 是两个格点，若点C 也是图中的格点，且使得△ABC 为等腰直角三角形，则符合条件的点C 有个．2.用铅笔做讲义第1 题，并将计算、演草保留在讲义上，先看知识点睛，再做题，思路受阻时（某个点做了2~3 分钟）重复上述动作，若仍无法解决，课堂重点听．➢知识点睛1.存在性问题的处理思路①分析不变特征分析所求图形中的定点、定线、定角等不变特征．②分类、画图结合所求图形的形成因素，依据其判定、定义等确定分类，并画出符合题意的图形．通常先尝试画出其中一种情形，分析解决后，再类比解决其他情形．③求解、验证围绕不变特征、画图依据来设计方案进行求解；验证时，要回归点的运动范围，画图或推理，判断是否符合题意．注：复杂背景下的存在性问题往往需要研究背景图形，几何背景往往研究点，线，角；函数背景研究点坐标，表达式等．2.等腰直角三角形存在性的特征分析及特征下操作要点：三角形的三个顶点分别为直角顶点进行分类，在直角的基础上，再考虑等腰，通常借助构造弦图模型进行求解．➢精讲精练1.如图，直线y=-2x+6 与x 轴、y 轴分别交于点A，B，点P 是第一象限内的一个动点，若以A，B，P 为顶点的三角形是等腰直角三角形，则点P 的坐标为．2.如图，直线y =-1x +b 与x 轴、y 轴分别交于点A，B，点C 3在直线y =-1x +b 上，且其纵坐标为1，△OAC 的面积为3．3 2（1）求直线y =-1x +b 的表达式及点C 的坐标；3（2）点P 是第二象限内的一个动点，若△ACP 是等腰直角三角形，则点P 的坐标为．3.如图，在平面直角坐标系中，点A 的坐标为(2，0)，点P 是y轴正半轴上一个动点，Q是直线x=3 上的一个动点，若△APQ 为等腰直角三角形，则点P 的坐标为．4.如图，直线y=3x+4 与y 轴交于点A，点P 是直线x=6 上的一个动点，点Q 是直线y=3x+4 上的一个动点，且点Q 在第一象限，若△APQ 为等腰直角三角形，则点Q 的坐标为．5. 如图，直线 l 1：y =x +6 与 x 轴、y 轴分别交于点 A ，B ，直线 l 2：y = - 1 x - 3 与 x 轴交于点 A ，点 M 是线段 AB 上的一动点，2过点 M 作 y 轴的平行线交直线 l 2 于点 N ，在 y 轴上是否存在点 P ，使△MNP 为等腰直角三角形？若存在，求出点 P 的坐标；若不存在，请说明理由．【参考答案】➢ 课前预习1. 6➢ 精讲精练1. (9，3)，(6，9)，( 9 ， 9 )2 22. （1） y = - 1 x -1，C (-6，1)3（2）(-2，3)，(-5，4)，(-4，2)3. (0，1)，(0，3)，(0，4)4. (2，10)，(3，13)，( 3 ， 17 )2 2 5. 存在，点 P 的坐标为(0， 12 )，(0， - 6 )，(0， 6 )5 5 7。

北师大版九年级(上)期末数学试卷及答案

北师大版九年级（上）期末数学试卷及答案一、选择题（共8小题，每小题3分，计24分．每小题只有一个选项是符合题意的）1．（3分）如图，该几何体的主视图是（）A．B．C．D．2．（3分）下列函数不是反比例函数的是（）A．y＝B．y＝C．y＝5x﹣1D．xy＝103．（3分）一元二次方程2x2+3x＝1化为一般式后的a、b、c依次为（）A．2，﹣3，1B．2，3，﹣1C．﹣2，﹣3，﹣1D．﹣2，3，14．（3分）某商品经过连续两次降价，销售单价由原来的125元降到80元．设平均每次降价的百分率为x，根据题意列出的方程是（）A．125（1﹣x）2＝80B．80（1﹣x）2＝125C．125（1+x）2＝80D．125（1﹣x2）＝805．（3分）已知点C是线段AB的黄金分割点，且AB＝2，AC＜BC，则AC长是（）A．B．﹣1C．3﹣D．6．（3分）如图，△ABC的中线BE、CF交于点O，连接EF，则的值为（）A．B．C．D．7．（3分）如图，反比例函数的图象经过A（﹣1，﹣2），则以下说法错误的是（）A．k＝2B．x＞0，y随x的增大而减小C．图象也经过点B（2，1）D．当x＜﹣1时，y＜﹣28．（3分）如图，在矩形ABCD中，点E为AD上一点，且AB＝8，AE＝3，BC＝4，点P为AB边上一动点，连接PC、PE，若△P AE与△PBC是相似三角形，则满足条件的点P的个数为（）A．1B．2C．3D．4二、填空题（共5小题，每小题3分，计15分）9．（3分）如图，在菱形ABCD中，AC与BD交于点O，若AC＝8，BD＝6，则菱形ABCD的面积为．10．（3分）已知＝，且a+b＝22，则a的值为．11．（3分）把一元二次方程x2+6x﹣1＝0通过配方化成（x+m）2＝n的形式为．12．（3分）若sin A＝，则锐角∠A的度数为．13．（3分）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠B＝30°，AB＝8．若E、F是BC边上的两个动点，以EF为边的等边△EFP的顶点P在△ABC内部或边上，则等边△EFP的周长的最大值为．三、解答题（共13小题，计81分，解答应写出过程）14．（5分）计算：4cos230°+|2﹣4|+6×．15．（5分）解方程：x（x+1）﹣x＝1．16．（5分）已知：△ABC．求作：菱形DBEC，使菱形的顶点D落在AC边上．结论：．17．（6分）现有A、B两个不透明的袋子，各装有三个小球，A袋中的三个小球上分别标记数字2，3，4；B袋中的三个小球上分别标记数字3，4，5．这六个小球除标记的数字外，其余完全相同．（1）将A袋中的小球摇匀，从中随机摸出一个小球，则摸出的这个小球上标记的数字是偶数的概率为；（2）分别将A、B两个袋子中的小球摇匀，然后从A、B袋中各随机摸出一个小球，请利用画树状图或列表的方法，求摸出的这两个小球标记的数字之和为7的概率．18．（6分）点P在反比例函数（k≠0）的图象上，点Q（2，4）与点P关于y轴对称，求反比例函数的表达式．19．（5分）如图，已知平行四边形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，E是BD延长线上的点，且△ACE是等边三角形．求证：四边形ABCD是菱形．20．（5分）如图，有一轮船在A处测得南偏东30°方向上有一小岛F，轮船沿正南方向航行至B处，测得小岛F 在南偏东45°方向上，接原方向再航行10海里至C处，测得小岛F在正东方向上，求A，B之间的距离．（结果保留根号）21．（8分）如图，路灯OP在BC左侧，路灯P距地面8米，当身高1.6米的小明在点A时影长为AM，距离灯的底部O点20米，小明沿AB所在的直线从点A行走14米到点B处时，影长为BN，（1）请你画出灯杆OP位置；（保留作图痕迹）（2）求此时人影的长度BN．22．（5分）关于x的一元二次方程x2﹣（k﹣3）x﹣2k+2＝0．请说明方程实数根的情况并加以证明．23．（7分）为改善生态环境，建设美丽乡村，某村规划将一块长18米，宽10米的矩形场地建设成绿化广场，如图，内部修建三条宽相等的小路，其中一条路与广场的长平行，另两条路与广场的宽平行，其余区域种植绿化，使绿化区域的面积为广场总面积的80%．（1）求该广场绿化区域的面积；（2）求广场中间小路的宽．24．（7分）已知A（﹣3，4），B（n，﹣2）是一次函数y＝kx+b的图象和反比例函数y＝的图象的两个交点，直线AB与x轴交于点C．（1）求反比例函数和一次函数的关系式；（2）连接OB，求△AOB的面积．25．（5分）如图，在边长为1的正方形网格中建立平面直角坐标系，已知△ABC三个顶点分别为A（﹣2，1）、B （1，2），C（﹣4，4）．（1）画出△ABC关于x轴对称的△A1B1C1；（2）以原点O为位似中心，在x轴的下方画出△A2B2C2，使△A2B2C2与△ABC位似，且位似比为2，并写出A2，B2，C2的坐标．26．（12分）问题提出：如图，在锐角△ABC中，如何作一个正方形DEFG，使D，E落在BC边上，F，G分别落在AC，AB边上？勤奋小组同学给出了如下作法：①画一个有三个顶点落在△ABC两边上的正方形HIJK；②连接BJ，并延长交AC于点F；③过点F作EF⊥BC于点E；④过F作FG∥BC，交AB于点G；⑤过点G作GD⊥BC于点D，则四边形DEFG即为所求作的正方形．受勤奋小组同学的启发，创新小组同学认为可以在锐角△ABC中，作出长与宽的比为2：1的矩形DEFG，使D，E位于边BC上，F，G分别位于边AC，AB上．（1）你认为勤奋小组同学的作法正确吗？请说明理由；（2）请你帮助创新小组同学在在锐角△ABC中，作出所有满足长与宽的比为2：1的矩形DEFG，使D，E位于边BC上，F，G分别位于边AC，AB上．（在备用图中完成，不写作法，保留作图痕迹）解决问题：（3）在（2）的条件下，已知△ABC的面积为36，BC＝12，求出矩形DEFG的面积．参考答案与试题解析一、选择题（共8小题，每小题3分，计24分．每小题只有一个选项是符合题意的）1．（3分）如图，该几何体的主视图是（）A．B．C．D．【分析】根据从正面看得到的图形是主视图，可得答案．【解答】解：从正面看，可得如下图形：故选：C．【点评】本题考查了简单组合体的三视图，从正面看得到的图形是主视图．2．（3分）下列函数不是反比例函数的是（）A．y＝B．y＝C．y＝5x﹣1D．xy＝10【分析】根据反比例函数的定义，知道反比例函数的形式有：y＝（k为常数，k≠0）或y＝kx﹣1（k为常数，k ≠0）或xy＝k（k为常数，k≠0）．【解答】解：A，C，D选项都是反比例函数的形式，故A，C，D选项都不符合题意；B选项不是反比例函数的形式，它是正比例函数，故该选项符合题意；故选：B．【点评】本题考查了反比例函数的定义，掌握反比例函数的三种形式是解题的关键．3．（3分）一元二次方程2x2+3x＝1化为一般式后的a、b、c依次为（）A．2，﹣3，1B．2，3，﹣1C．﹣2，﹣3，﹣1D．﹣2，3，1【分析】先把方程化为一元二次方程的一般形式，再确定a、b、c．【解答】解：∵方程2x2+3x＝1化为一般形式为：2x2+3x﹣1＝0，∴a＝2，b＝3，c＝﹣1．故选：B．【点评】本题考查了一元二次方程的一般形式．一元二次方程的一般形式为ax2+bx+c＝0（a≠0）．其中a、b分别是二次项和一次项系数，c为常数项．4．（3分）某商品经过连续两次降价，销售单价由原来的125元降到80元．设平均每次降价的百分率为x，根据题意列出的方程是（）A．125（1﹣x）2＝80B．80（1﹣x）2＝125C．125（1+x）2＝80D．125（1﹣x2）＝80【分析】设平均每次降价的百分率为x，则原价×（1﹣x）2＝现价，据此列方程．【解答】解：设平均每次降价的百分率为x，由题意得，125（1﹣x）2＝80．故选：A．【点评】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，解答本题的关键是读懂题意，设出未知数，找出合适的等量关系，列方程．5．（3分）已知点C是线段AB的黄金分割点，且AB＝2，AC＜BC，则AC长是（）A．B．﹣1C．3﹣D．【分析】根据黄金分割的定义：点C把线段AB分成两条线段AC和BC（AC＜BC），且使BC是AB和AC的比例中项（即AB•BC＝BC•AC），叫做把线段AB黄金分割，点C叫做线段AB的黄金分割点．其中BC＝AB ≈0.618AB．【解答】解：∵点C是线段AB的黄金分割点，且AB＝2，AC＜BC，BC2＝AC•AB（2﹣AC）2＝2ACAC2﹣6AC+4＝0解得AC＝3+（舍去）或3﹣则AC长是3﹣．故选：C．【点评】本题考查了黄金分割，解决本题的关键是掌握黄金分割定义．6．（3分）如图，△ABC的中线BE、CF交于点O，连接EF，则的值为（）A．B．C．D．【分析】先根据三角形中位线的性质得到EF∥BC，EF＝BC，则可判断△OEF∽△OBC，利用相似比得到＝，然后根据比例的性质得到的值．【解答】解：∵中线BE、CF交于点O，∴EF为△ABC的中位线，∴EF∥BC，EF＝BC，∴△OEF∽△OBC，∴＝＝，∴＝．故选：B．【点评】本题考查了三角形的重心：三角形的重心是三角形三边中线的交点；重心到顶点的距离与重心到对边中点的距离之比为2：1．也考查了相似三角形的判定与性质．7．（3分）如图，反比例函数的图象经过A（﹣1，﹣2），则以下说法错误的是（）A．k＝2B．x＞0，y随x的增大而减小C．图象也经过点B（2，1）D．当x＜﹣1时，y＜﹣2【分析】把A（﹣1，﹣2）代入反比例函数的解析式能求出k，把A的坐标代入一次函数的解析式得出关于k的方程，求出方程的解即可．【解答】解：把A（﹣1，﹣2）代入反比例函数的解析式得：k＝xy＝2，故A正确；∵k＝2＞0，∴y随x的增大而减小，∴x＞0，y随x的增大而减小，故B正确；∵反比例函数的解析式为y＝，把x＝2代入求得y＝1，∴图象也经过点B（2，1），故C正确；由图象可知x＜﹣1时，则y＞﹣2，故D错误；故选：D．【点评】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，主要考查反比例函数的性质，题目较好，难度适中．8．（3分）如图，在矩形ABCD中，点E为AD上一点，且AB＝8，AE＝3，BC＝4，点P为AB边上一动点，连接PC、PE，若△P AE与△PBC是相似三角形，则满足条件的点P的个数为（）A．1B．2C．3D．4【分析】设AP＝x，则BP＝8﹣x，分△P AE∽△PBC和△P AE∽△CBP两种情况，根据相似三角形的性质列出比例式，计算即可．【解答】解：设AP＝x，则BP＝8﹣x，当△P AE∽△PBC时，＝，即＝，解得，x＝，当△P AE∽△CBP时，＝，即＝，解得，x＝2或6，可得：满足条件的点P的个数有3个．故选：C．【点评】本题考查了相似三角形的性质，解答时，注意分情况讨论思想的灵活运用．二、填空题（共5小题，每小题3分，计15分）9．（3分）如图，在菱形ABCD中，AC与BD交于点O，若AC＝8，BD＝6，则菱形ABCD的面积为24．【分析】由菱形面积公式即可得出答案．【解答】解：∵四边形ABCD是菱形，∴AC⊥BD，∵AC＝8，BD＝6，∴菱形ABCD的面积为AC×BD＝×8×6＝24；故答案为：24．【点评】本题考查了菱形的性质；熟记菱形面积公式是解题的关键．10．（3分）已知＝，且a+b＝22，则a的值为12．【分析】根据题意设＝＝k（k≠0），得出a＝6k，b＝5k，求出k的值，然后求出a的值即可．【解答】解：设＝＝k（k≠0），则a＝6k，b＝5k，∵a+b＝22，∴6k+5k＝22，∴k＝2，∴a＝6k＝6×2＝12．故答案为：12．【点评】此题考查了比例的性质，根据题意设出a＝6k，b＝5k是解题的关键．11．（3分）把一元二次方程x2+6x﹣1＝0通过配方化成（x+m）2＝n的形式为（x+3）2＝10．【分析】根据配方法即可求出答案．【解答】解：∵x2+6x﹣1＝0，∴x2+6x＝1，∴（x+3）2＝10，故答案为：（x+3）2＝10【点评】本题考查一元二次方程，解题的关键是熟练运用一元二次方程的解法，本题属于基础题型．12．（3分）若sin A＝，则锐角∠A的度数为30°．【分析】根据锐角三角函数值即可确定锐角的度数．【解答】解：∵sin A＝，∴锐角∠A的度数为30°．故答案为：30°．【点评】本题考查了特殊角的三角函数值，一些特殊角的三角函数值是需要我们熟练记忆的内容．13．（3分）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠B＝30°，AB＝8．若E、F是BC边上的两个动点，以EF为边的等边△EFP的顶点P在△ABC内部或边上，则等边△EFP的周长的最大值为6．【分析】当点F与C重合时，△EFP的边长最长，周长也最长，根据30°角所对的直角边是斜边的一半可得AC ＝4，AP＝2，再由勾股定理可得答案．【解答】解：如图，当点F与C重合时，△EFP的边长最长，周长也最长，∵∠ACB＝90°，∠PFE＝60°，∴∠PCA＝30°，∵∠A＝60°，∴∠APC＝90°，△ABC中，AC＝AB＝4，△ACP中，AP＝AC＝2，∴PC＝＝＝2，∴周长为2×3＝6．故答案为：6．【点评】本题考查含30°角的直角三角形的性质，运用勾股定理是解题关键．三、解答题（共13小题，计81分，解答应写出过程）14．（5分）计算：4cos230°+|2﹣4|+6×．【分析】首先代入特殊角的三角函数值，再利用绝对值的性质和二次根式的乘法法则进行计算，最后计算加减即可．【解答】解：原式＝4×+4﹣2+2＝4+3＝7．【点评】此题主要考查了二次根式的混合运算，关键是掌握特殊角的三角函数值和绝对值的性质，注意计算顺序．15．（5分）解方程：x（x+1）﹣x＝1．【分析】先移项，再将左边利用提公因式法因式分解，继而可得两个关于x的一元一次方程，分别求解即可得出答案．【解答】解：∵x（x+1）﹣x＝1，∴x（x+1）﹣（x+1）＝0，则（x+1）（x﹣1）＝0，∴x+1＝0或x﹣1＝0，解得x1＝1，x2＝﹣1．【点评】本题主要考查解一元二次方程的能力，熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法：直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法，结合方程的特点选择合适、简便的方法是解题的关键．16．（5分）已知：△ABC．求作：菱形DBEC，使菱形的顶点D落在AC边上．结论：菱形DBEC即为所求．【分析】作BC的垂直平分线交AC于点D，连接DB，再分别以点B，C为圆心，BD长为半径画弧交于点E，进而可得菱形DBEC．【解答】解：如图，菱形DBEC即为所求．故答案为：菱形DBEC即为所求．【点评】本题考查作图﹣复杂作图，菱形的判定和性质等知识，解题的关键是掌握菱形的判定和性质，属于中考常考题型．17．（6分）现有A、B两个不透明的袋子，各装有三个小球，A袋中的三个小球上分别标记数字2，3，4；B袋中的三个小球上分别标记数字3，4，5．这六个小球除标记的数字外，其余完全相同．（1）将A袋中的小球摇匀，从中随机摸出一个小球，则摸出的这个小球上标记的数字是偶数的概率为；（2）分别将A、B两个袋子中的小球摇匀，然后从A、B袋中各随机摸出一个小球，请利用画树状图或列表的方法，求摸出的这两个小球标记的数字之和为7的概率．【分析】（1）直接由概率公式求解即可；（2）画树状图，共有9种等可能的结果，摸出的这两个小球标记的数字之和为7的结果有3种，再由概率公式求解即可．【解答】解：（1）将A袋中的小球摇匀，从中随机摸出一个小球，则摸出的这个小球上标记的数字是偶数的概率为，故答案为：；（2）画树状图如下：共有9种等可能的结果，摸出的这两个小球标记的数字之和为7的结果有3种，∴摸出的这两个小球标记的数字之和为7的概率为＝．【点评】本题考查了树状图法求概率，正确画出树状图是解题的关键，用到的知识点为：概率＝所求情况数与总情况数之比．18．（6分）点P在反比例函数（k≠0）的图象上，点Q（2，4）与点P关于y轴对称，求反比例函数的表达式．【分析】先求出P点坐标，再把P点坐标代入反比例函数的解析式即可求出k的值，进而得出结论．【解答】解：∵点Q（2，4）和点P关于y轴对称，∴P点坐标为（﹣2，4），将（﹣2，4）代入解析式得，k＝xy＝﹣2×4＝﹣8，∴反比例函数解析式为．【点评】本题考查的是待定系数法求反比例函数的解析式，反比例函数图象上点的坐标特点，熟知反比例函数图象上各点的坐标一定适合此函数的解析式是解答此题的关键．19．（5分）如图，已知平行四边形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，E是BD延长线上的点，且△ACE是等边三角形．求证：四边形ABCD是菱形．【分析】根据菱形的判定方法可得出答案．【解答】证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴OA＝OC，∵△ACE是等边三角形，∴EA＝EC，∴BE⊥AC，∴平行四边形ABCD是菱形．【点评】本题考查了菱形的判定，等边三角形的性质，平行四边形的性质，熟练掌握菱形的判定方法是解题的关键．20．（5分）如图，有一轮船在A处测得南偏东30°方向上有一小岛F，轮船沿正南方向航行至B处，测得小岛F 在南偏东45°方向上，接原方向再航行10海里至C处，测得小岛F在正东方向上，求A，B之间的距离．（结果保留根号）【分析】根据等腰直角三角形的性质求出CF，根据正切的定义求出AC，结合图形计算，得到答案．【解答】解：在Rt△BCF中，∠BFC＝45°，∴CF＝BC＝10，在Rt△ACF中，tan∠CAF＝，即＝，解得，AC＝10，∴AB＝AC﹣BC＝10（﹣1），答：A，B之间的距离为10（﹣1）海里．【点评】本题考查的是解直角三角形的应用﹣方向角问题，掌握方向角的概念、熟记锐角三角函数的定义是解题的关键．21．（8分）如图，路灯OP在BC左侧，路灯P距地面8米，当身高1.6米的小明在点A时影长为AM，距离灯的底部O点20米，小明沿AB所在的直线从点A行走14米到点B处时，影长为BN，（1）请你画出灯杆OP位置；（保留作图痕迹）（2）求此时人影的长度BN．【分析】（1）小明在不同的位置时，均可构成两个相似三角形，可利用相似比求人影长度的变化；（2）证明△BCN∽△OPN，推出，由此可得结论．【解答】解：（1）如图即为所求．（2）解：∵OA＝20米，AB＝14米，∴OB＝20﹣14＝6（米）．∵BC∥OP，∴△BCN∽△OPN，∴，即，解得BN＝1.5（米）答：人影的长度为1.5米．【点评】本题考查的是相似三角形的应用，测量不能到达顶部的物体的高度，通常利用相似三角形的性质即相似三角形的对应边的比相等和“在同一时刻物高与影长的比相等”的原理解决．22．（5分）关于x的一元二次方程x2﹣（k﹣3）x﹣2k+2＝0．请说明方程实数根的情况并加以证明．【分析】方程总有两个实数根．计算方程根的判别式，利用根的判别式的符号进行证明即可．【解答】解：方程总有两个实数根．理由如下：∵Δ＝b2﹣4ac＝（k﹣3）2﹣4（﹣2k+2）＝k2﹣6k+9+8k﹣8＝k2+2k+1＝（k+1）2≥0．所以方程总有两个实数根．【点评】此题考查了根的判别式，关键是掌握一元二次方程根的情况与判别式△的关系：（1）Δ＞0⇔方程有两个不相等的实数根；（2）Δ＝0⇔方程有两个相等的实数根；（3）Δ＜0⇔方程没有实数根．23．（7分）为改善生态环境，建设美丽乡村，某村规划将一块长18米，宽10米的矩形场地建设成绿化广场，如图，内部修建三条宽相等的小路，其中一条路与广场的长平行，另两条路与广场的宽平行，其余区域种植绿化，使绿化区域的面积为广场总面积的80%．（1）求该广场绿化区域的面积；（2）求广场中间小路的宽．【分析】（1）根据该广场绿化区域的面积＝广场的长×广场的宽×80%，即可求出结论；（2）设广场中间小路的宽为x米，根据矩形的面积公式（将绿化区域合成矩形），即可得出关于x的一元二次方程，解之取其较小值即可得出结论．【解答】解：（1）18×10×80%＝144（平方米）．答：该广场绿化区域的面积为144平方米．（2）设广场中间小路的宽为x米，依题意，得：（18﹣2x）（10﹣x）＝144，整理，得：x2﹣19x+18＝0，解得：x1＝1，x2＝18（不合题意，舍去）．答：广场中间小路的宽为1米．【点评】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．24．（7分）已知A（﹣3，4），B（n，﹣2）是一次函数y＝kx+b的图象和反比例函数y＝的图象的两个交点，直线AB与x轴交于点C．（1）求反比例函数和一次函数的关系式；（2）连接OB，求△AOB的面积．【分析】（1）把A点坐标代入反比例函数解析式可求得反比例函数解析式，则可求得B点坐标，再由A、B两点坐标可求得一次函数解析式；（2）根据一次函数解析式可求得C点的坐标，则可求得OC的长度，且根据S△AOB＝S△AOC+S△BOC可求得△AOB 的面积．【解答】解：（1）∵A（﹣3，4）在反比例函数y＝的图象上，∴m＝﹣3×4＝﹣12，∴反比例函数的关系式为y＝﹣，又∵B（n，﹣2）在反比例函数y＝的图象上，∴n＝6，又∵B（6，﹣2），A（﹣3，4）是一次函数y＝kx+b的上的点，∴，解得，∴一次函数的关系式为y＝﹣x+2；（2）在y＝﹣x+2中，令y＝0，则x＝3，∴C（3，0），∴CO＝3，∴S△AOB＝S△AOC+S△BOC＝×3×4+＝9．【点评】本题主要考查待定系数法求函数解析式，三角形的面积，掌握待定系数法求函数解析式的关键是求得点的坐标．25．（5分）如图，在边长为1的正方形网格中建立平面直角坐标系，已知△ABC三个顶点分别为A（﹣2，1）、B （1，2），C（﹣4，4）．（1）画出△ABC关于x轴对称的△A1B1C1；（2）以原点O为位似中心，在x轴的下方画出△A2B2C2，使△A2B2C2与△ABC位似，且位似比为2，并写出A2，B2，C2的坐标．【分析】（1）分别作出三个顶点关于x轴的对称点，再首尾顺次连接即可；（2）根据位似变换的定义分别作出三个顶点的对应点，再首尾顺次连接即可．【解答】解：（1）如图所示，△A1B1C1即为所求．（2）如图所示，△A2B2C2即为所求，A2（4，﹣2），B2（﹣2，﹣4），C2（8，﹣8）．【点评】本题主要考查作图—位似变换、轴对称变换，解题的关键是掌握位似变换与旋转变换的定义及性质．26．（12分）问题提出：如图，在锐角△ABC中，如何作一个正方形DEFG，使D，E落在BC边上，F，G分别落在AC，AB边上？勤奋小组同学给出了如下作法：①画一个有三个顶点落在△ABC两边上的正方形HIJK；②连接BJ，并延长交AC于点F；③过点F作EF⊥BC于点E；④过F作FG∥BC，交AB于点G；⑤过点G作GD⊥BC于点D，则四边形DEFG即为所求作的正方形．受勤奋小组同学的启发，创新小组同学认为可以在锐角△ABC中，作出长与宽的比为2：1的矩形DEFG，使D，E位于边BC上，F，G分别位于边AC，AB上．（1）你认为勤奋小组同学的作法正确吗？请说明理由；（2）请你帮助创新小组同学在在锐角△ABC中，作出所有满足长与宽的比为2：1的矩形DEFG，使D，E位于边BC上，F，G分别位于边AC，AB上．（在备用图中完成，不写作法，保留作图痕迹）解决问题：（3）在（2）的条件下，已知△ABC的面积为36，BC＝12，求出矩形DEFG的面积．【分析】（1）由正方形的性质得出IJ＝KJ，KJ∥BC，由平行线分线段成比例定理得出，则GF＝EF，可得出结论；（2）按题意画出图形即可；（3）若DE＝2DG，设AN＝x，则MN＝6﹣x，证明△AGF∽△ABC，由相似三角形的性质得出，则，求出x＝3，若DG＝2DE，可求出x＝，则可得出答案．【解答】解：（1）正确．理由：∵EF⊥BC，BC⊥GD，∴∠FED＝∠EDG＝90°，∵FG∥BC，∴∠EFG＝180°﹣∠FED＝90°，∴四边形DEFG是矩形，∵四边形HIJK是正方形，∴IJ＝KJ，KJ∥BC，∴，∴GF＝EF，∴四边形DEFG为正方形；（2）如图1和图2，矩形DEFG为所作．（3）如图3，作△ABC的高AM，交GF于点N，∵△ABC的面积＝BC•AM＝×12×AM＝36，∴AM＝6，∵DE＝2DG，设AN＝x，则MN＝6﹣x，DG＝MN＝6﹣x，DE＝GF＝2（6﹣x）＝12﹣2x，∵GF∥BC，∴△AGF∽△ABC，∴，∴，解得x＝3，∴DG＝6﹣x＝3，∴DE＝2DG＝6，∴矩形DEFG的面积＝6×3＝18，同理，在矩形DEFG中，若DG＝2DE，可求出x＝，∴DG＝6﹣x＝，DE＝，∴矩形DEFG的面积＝＝，故矩形DEFG的面积为18或．【点评】此题是四边形综合题，考查了相似三角形的判定与性质、正方形的判定与性质、矩形的性质等知识．解题时注意数形结合思想与方程思想的应用，注意准确作出辅助线是解此题的关键．。

一次函数中的(特殊图形)存在性问题(解析版)八年级数学上册同步考点归类培优题库

专题十五一次函数中的（特殊图形）存在性问题考点一直角三角形存在性问题【方法点拨】分类讨论哪个角为直角，一般分三种情况，简称“两垂线+一圆”1．如图1，在平面直角坐标系中，点A 坐标为（﹣4，4），点B 的坐标为（4，0）．（1）求直线AB 的解析式；（2）点M 是坐标轴上的一个点，若AB 为直角边构造直角三角形△ABM ，请求出满足条件的所有点M 的坐标；（3）如图2，以点A 为直角顶点作∠CAD ＝90°，射线AC 交x 轴的负半轴与点C ，射线AD 交y 轴的负半轴与点D ，当∠CAD 绕点A 旋转时，OC ﹣OD 的值是否发生变化？若不变，直接写出它的值；若变化，直接写出它的变化范围（不要解题过程）．【思路点拨】（1）由A 、B 两点的坐标利用待定系数法可求得直线AB 的解析式；（2）分别过A 、B 两点作AB 的垂线，与坐标轴的交点即为所求的M 点，再结合相似三角形的性质求得OM 的长即可求得点M 的坐标；（3）过A 分别作x 轴和y 轴的垂线，垂足分别为E 、F ，可证明△AEC ≌△AFD ，可得到EC ＝FD ，从而可把OC ﹣OD 转化为FD ﹣OD ，再利用线段的和差可求得OC ﹣OD ＝OE +OF ＝8；【解析】解：（1）设直线AB 的解析式为：y ＝kx +b （k ≠0）．∵点A （﹣4，4），点B （0，2）在直线AB 上，∴{−4k +b =4b =2，解得{k =−12b =2， ∴直线AB 的解析式为：y =−12x +2；（2）∵△ABM 是以AB 为直角边的直角三角形，∴有∠BAM ＝90°或∠ABM ＝90°，①当∠BAM ＝90°时，如图1，过A 作AB 的垂线，交x 轴于点M 1，交y 轴于点M 2，则可知△AEM 1∽△BEA ，∴M 1E AE =AE BE ，由（1）可知OE ＝OB ＝AE ＝4，∴M 1E 4=48，解得M 1E ＝2， ∴OM 1＝2+4＝6，∴M 1（﹣6，0），∵AE ∥y 轴，∴M 1EM 1O =AEOM 2，即26=4OM 2，解得OM 2＝12，∴M 2（0，12）；②当∠ABM ＝90°时，如图2，过B 作AB 的垂线，交y 轴于点M 3，设直线AB交y轴于点E，则由（1）可知E（0，2），∴OE＝2，OB＝4，由题意可知△BOE∽△M3OB，∴OEOB =OBOM3，即24=4OM3，解得OM3＝8，∴M3（0，﹣8），综上可知点M的坐标为（﹣6，0）或（0，12）或（0，﹣8）；（3）不变．理由如下：过点A分别作x轴、y轴的垂线，垂足分别为G、H，如图3．则∠AGC＝∠AHD＝90°，又∵∠HOC＝90°，∴∠GAH＝90°，∴∠DAG+∠DAH＝90°，∵∠CAD＝90°，∴∠DAG+∠CAG＝90°，∴∠CAG＝∠DAH．∵A （﹣4，4），∴OG ＝AH ＝AG ＝OH ＝4．在△AGC 和△AHD 中{∠AGC =∠AHD AG =AH ∠CAG =∠DAH∴△AGC ≌△AHD （ASA ），∴GC ＝HD ．∴OC ﹣OD ＝（OG +GC ）﹣（HD ﹣OH ）＝OG +OH ＝8．故OC ﹣OD 的值不发生变化，值为8．【点睛】本题为一次函数的综合应用，涉及知识点有待定系数法、全等三角形的判定和性质、相似三角形的判定和性质及分类讨论思想等．在（1）中注意待定系数法的应用步骤，在（2）中确定出M 点的位置是解题的关键，在（3）中构造三角形全等是解题的关键．本题考查知识点较多，综合性较强，难度适中．2．已知，如图1，在平面直角坐标系xOy 中，矩形OABC 的边OA 在y 轴的正半轴上，OC 在x 轴的正半轴上，OA ＝2，OC ＝3，过原点O 作∠AOC 的平分线交AB 于点D ，连接DC ，过点D 作DE ⊥DC ，交OA 于点E ．（1）求经过点E 、D 的直线解析式；（2）将∠EDC 绕点D 按顺时针方向旋转后，角的一边与y 轴的正半轴交于点F ，另一边与线段OC 交于点G ，使得EF ＝2GO ，请求出此时OG 的长度．（3）对于（2）中的点G ，在直线ED 上是否存点P ，使得点P 与点D 、G 构成的△DPG 是直角三角形？若存在，请求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由．【思路点拨】（1）只要证明△ADE ∽△BCD ，可得AD BC =AE DB ，求出AE 即可解决问题；（2）由△ADE ≌△RDG ，可得AF ＝RG ，设OG ＝m ，则AF ＝GR ＝2﹣m ，构建方程即可解决问题；（3）分两种情形①作GP ⊥BE 于P ，则△PDG 是直角三角形．②作P ′G ⊥DG 交直线DE 于P ′，则△DGP ′是直角三角形．分别根据一次函数利用方程组确定交点坐标即可；【解析】解：（1）如图1中，∵四边形ABCO 是矩形，∴∠OAB ＝∠B ＝90°，∵∠AOD ＝∠DOC ＝45°，∴OA ＝AD ＝2，DB ＝1，∵DE ⊥DC ，∴∠EDC ＝90°，∴∠ADE +∠BDC ＝90°，∵∠BDC +∠BCD ＝90°，∴∠ADE ＝∠DCB ，∴△ADE ∽△BCD ，∴AD BC =AE DB ，∴AE ＝1，∴E （0，1），设直线DE 的解析式为y ＝kx +b ，则有{b =12k +b =2，解得{k =12b =1∴直线DE 的解析式为y =12x +1（2）如图2中，作DR ⊥OC 于R ．易知△ADE≌△RDG，∴AF＝RG，设OG＝m，则AF＝GR＝2﹣m，∴EF＝1+2﹣m＝3﹣m，∵EF＝2OG，∴3﹣m＝2m，∴m＝1，∴OG＝1．（3）如图3中，①作GP⊥BE于P，则△PDG是直角三角形．∵G（1，0），GP⊥BE，∴直线PG的解析式为y＝﹣2x+2，由{y =12x +1y =−2x +2，解得{x =25y =65， ∴P （25，65）． ②作P ′G ⊥DG 交直线DE 于P ′，则△DGP ′是直角三角形，∵直线DG 的解析式为y ＝2x ﹣2，∴直线GP ′的解析式为y =−12x +12，由{y =−12x +12y =12x +1，解得{x =−12y =34， ∴P ′（−12，34），综上所述，满足条件的点P 坐标为（25，65）或（−12，34）．【点睛】本题考查一次函数综合题、旋转变换、全等三角形的判定和性质．相似三角形的判定和性质、直角三角形的性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形和相似三角形解决问题，学会用分类讨论的思想思考问题，属于中考压轴题．考点二等腰三角形存在性问题【方法点拨】分类讨论哪两条边相等，一般分三种情况，简称“两圆+一中垂线”1．如图1，在平面直角坐标系中，O 是坐标原点，长方形OACB 的顶点A 、B 分别在x 轴与y 轴上，已知OA ＝6，OB ＝10．点D 为y 轴上一点，其坐标为（0，2），点P 从点A 出发以每秒2个单位的速度沿线段AC ﹣CB 的方向运动，当点P 与点B 重合时停止运动，运动时间为t 秒．（1）当点P 经过点C 时，求直线DP 的函数解析式；（2）①求△OPD 的面积S 关于t 的函数解析式；②如图②，把长方形沿着OP 折叠，点B 的对应点B ′恰好落在AC 边上，求点P 的坐标．（3）点P 在运动过程中是否存在使△BDP 为等腰三角形？若存在，请求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由．【思路点拨】（1）设直线DP 解析式为y ＝kx +b ，将D 与C 坐标代入求出k 与b 的值，即可确定出解析式；（2）①当P 在AC 段时，三角形ODP 底OD 与高为固定值，求出此时面积；当P 在BC 段时，底边OD 为固定值，表示出高，即可列出S 与t 的关系式；②当点B 的对应点B ′恰好落在AC 边上时，关键勾股定理即可求出此时P 坐标；（3）存在，分别以BD ，DP ，BP 为底边三种情况考虑，利用勾股定理及图形与坐标性质求出P 坐标即可．【解析】解：（1）∵OA ＝6，OB ＝10，四边形OACB 为长方形，∴C （6，10）．设此时直线DP 解析式为y ＝kx +b ，把（0，2），C （6，10）分别代入，得{b =26k +b =10，解得{k =43b =2则此时直线DP 解析式为y =43x +2；（2）①当点P 在线段AC 上时，OD ＝2，高为6，S ＝6；当点P 在线段BC 上时，OD ＝2，高为6+10﹣2t ＝16﹣2t ，S =12×2×（16﹣2t ）＝﹣2t +16；②设P （m ，10），则PB ＝PB ′＝m ，如图2，∵OB ′＝OB ＝10，OA ＝6，∴AB ′=√OB′2−OA 2=8，∴B ′C ＝10﹣8＝2，∵PC ＝6﹣m ，∴m 2＝22+（6﹣m ）2，解得m =103 则此时点P 的坐标是（103，10）；（3）存在，理由为：若△BDP 为等腰三角形，分三种情况考虑：如图3，①当BD ＝BP 1＝OB ﹣OD ＝10﹣2＝8，在Rt △BCP 1中，BP 1＝8，BC ＝6，根据勾股定理得：CP 1=√82−62=2√7，∴AP 1＝10﹣2√7，即P 1（6，10﹣2√7）；②当BP 2＝DP 2时，此时P 2（6，6）；③当DB ＝DP 3＝8时，在Rt △DEP 3中，DE ＝6，根据勾股定理得：P 3E =√82−62=2√7，∴AP 3＝AE +EP 3＝2√7+2，即P 3（6，2√7+2），综上，满足题意的P 坐标为（6，6）或（6，2√7+2）或（6，10﹣2√7）．【点睛】此题属于一次函数综合题，涉及的知识有：待定系数法确定一次函数解析式，坐标与图形性质，等腰三角形的性质，勾股定理，利用了分类讨论的思想，熟练掌握待定系数法是解本题第一问的关键．2．如图①，在平面直角坐标系中，△AOB的边OA在x轴上，点A坐标为（14，0），点B在第一象限，∠BAO＝45°，AB＝8√2．D为射线OB上一点，过D作直线l∥y轴交OA于E，交射线AB于G．（1）求B点坐标；（2）当D为线段OB中点时，在直线l上找点P，当△PBD为等腰三角形，请直接写出P点坐标；（3）如图②，F为AO中点，当S△BDF＝2S△BDG时，求D点坐标．【思路点拨】（1）先求出BH＝AH＝8，进而求出OH＝6，即可得出结论；（2）先设出点P坐标，进而表示出DP，BP，BD，再分三种情况讨论建立方程求解即可得出结论；（3）先求出OF，直线OB，AB的解析式，进而设出点D的坐标，表示出S△BDG=12|m﹣14|×|6﹣m|，S△BDF ＝|143m﹣28|，最后用面积关系建立方程求解即可得出结论．【解析】解：（1）如图①，过点B作BH⊥OA于H，∵∠BAO＝45°，AB＝8√2，∴BH＝AH=1√2AB＝8，∵A（14，0），∴OA＝14，∴OH＝OA﹣AH＝6，∴B（6，8）；（2）∵DE ⊥OA ，∴DE ∥BH ，∵点D 是OB 中点，∴DE =12BH ＝4，OE =12OH ＝3，∴D （3，4），设P （3，m ），∵B （6，8），∴DP ＝|m ﹣4|，BD ＝5，BP 2＝（m ﹣8）2+9，∵△PBD 为等腰三角形，∴①DP ＝BD ，∴|m ﹣4|＝5，∴m ＝9或m ＝﹣1，∴P （3，9）或（3，﹣1），②DP ＝BP ，∴（m ﹣4）2＝（m ﹣8）2+9，∴m =578， ∴P （3，578）③BD ＝BP ，∴25＝（m ﹣8）2+9，∴m ＝4（舍）或m ＝12，∴P （3，12），即：满足条件的点P （3，9）或（3，﹣1）或（3，578）或（3，12）；（3）如图由（1）知，B （6，8），∴直线OB 的解析式为y =43x ，∵A （14，0），∴直线AB 的解析式为y ＝﹣x +14，∵点F 是OA 中点，∴OF =12OA ＝7，设点D （m ，43m ），∴G （m ，﹣m +14）， ∴S △BDG =12|﹣m +14−43m |×|6﹣m |=12|m ﹣14|×|6﹣m |， S △BDF ＝|S △BOF ﹣S △DOF |＝|12×7×8−12×7×43m |＝|143m ﹣28|，∵S △BDF ＝2S △BDG ，∴|143m ﹣28|＝212|m ﹣14|×|6﹣m |， ∴m ＝4或m ＝8， ∴D （4，163）或（8，323）．【点睛】此题是三角形综合题，主要考查了勾股定理，等腰三角形的性质，三角形的面积公式，分类讨论的思想，解本题的关键是用方程的思想解决问题．考点三等腰直角三角形存在性问题【方法点拨】分类讨论哪个角为直角且哪两条边相等1．正方形OABC 的边长为1，把它放在如图所示的直角坐标系中，点M （t ，0）是x 轴上一个动点（t ≥1），连接BM ，在BM 的右侧作正方形BMNP ；直线DE 的解析式为y ＝2x +b ，与x 轴交于点D ，与y 轴交于点E ，当△PDE 为等腰直角三角形时，点P 的坐标是（2，4）或（2，1）．【思路点拨】过点P 作PF ⊥BC 交CB 的延长线于点F ，根据同角的余角相等可得∠ABM ＝∠FBP ，然后利用“角角边”证明△ABM 和△FBP 全等，根据全等三角形对应边相等可得BF ＝AB ，PF ＝AM ，然后根据正方形OABC 的边长为2以及点M （t ，0）表示出点P 的坐标，再利用直线DE 的解析式求出点D 、E 的坐标，然后分①DE 是斜边时，利用勾股定理以及两点间的距离公式分别表示出PD 、PE 、DE 的平方，再根据等腰直角三角形的三边关系，②PD 是斜边时，过点P 作PF ⊥y 轴于点F ，然后利用“角角边”证明△EDO 和△PEF 全等，根据全等三角形对应边相等可得EF ＝DO ，PC ＝EO ，然后用b 、t 表示并求解即可得到点P 的坐标．【解析】解：如图，过点P 作PF ⊥BC 交CB 的延长线于点F ，∵四边形OABC 与四边形BMNP 都是正方形，∴∠ABM +∠MBF ＝90°，∠FBP +∠MBF ＝90°，∴∠ABM ＝∠FBP ，在△ABM 和△FBP 中，{∠ABM =∠FBP∠BAM =∠F =90°BM =BP，∴△ABM ≌△FBP （AAS ），∴BF ＝AB ，PF ＝AM ，∵正方形OABC 的边长为1，点M （t ，0），∴BF ＝1，PF ＝t ﹣1，点P 到x 轴的距离为t ﹣1+1＝t ，∴点P 的坐标为（2，t ），又∵当y ＝0时，2x +b ＝0，解得x =−b 2，当x ＝0时，y ＝b ，∴点D （−b 2，0），E （0，b ），①DE 是斜边时，PD 2＝（b 2+2）2+t 2，PE 2＝（b ﹣t ）2+22，DE 2＝（b 2）2+b 2， ∵△PDE 是等腰直角三角形，∴PD 2＝PE 2，且PD 2+PE 2＝DE 2，即（b 2+2）2+t 2＝（b ﹣t ）2+22，且（b 2+2）2+t 2+（b ﹣t ）2+22＝（b 2）2+b 2， 14b 2+2b +4+t 2＝b 2﹣2bt +t 2+4，且14b 2+2b +4+t 2+b 2﹣2bt +t 2+4=14b 2+b 2，整理得，b =83（t +1）且t 2﹣b （t ﹣1）+4＝0，∴t 2−83（t +1）（t ﹣1）+4＝0，整理得，t 2＝4，解得t 1＝2，t 2＝﹣2（舍去），∴点P 的坐标是（2，2）；②PD 是斜边时，∵△PDE 是等腰直角三角形，∴PE ⊥DE ，且PE ＝DE ，过点P 作PF ⊥y 轴于点F∵∠DEO +∠PEO ＝90°，∠DEO +∠EDO ＝90°，∴∠PEO ＝∠EDO ，在△EDO 和△PEF 中，{∠PEO =∠EDO ∠DOE =∠EFP =90°PE =DE，∴△EDO ≌△PEF （AAS ），∴EF ＝DO =b 2，PC ＝EO ＝b ，又∵点P （2，t ），∴b ＝2，b ﹣t =b 2，解得t=b2=12×2＝1，∴点P坐标为（2，1），此时点C、F重合，点M、A重合，综上所述，点P的坐标为（2，4）或（2，1）．故答案为：（2，2）或（2，1）．【点睛】本题是一次函数的综合题型，主要利用了全等三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，直线与坐标轴的交点的求解，勾股定理的应用，综合题但难度不大，要注意分情况讨论．2．如图，在平面直角坐标系中，直线l1的解析式为y＝﹣x，直线l2与l1交于点A（a，﹣a），与y轴交于点B（0，b），其中a，b满足（a+2）2+√b−3=0．（1）求直线l2的解析式；（2）在平面直角坐标系中第二象限有一点P（m，5），使得S△AOP＝S△AOB，请求出点P的坐标；（3）已知平行于y轴且位于y轴左侧有一动直线，分别与l1，l2交于点M、N，且点M在点N的下方，点Q为y轴上一动点，且△MNQ为等腰直角三角形，请直接写出满足条件的点Q的坐标．【思路点拨】（1）由偶次方及被开方数非负，可求出a 、b 的值，进而可得出点A 、B 的坐标，由点A 、B 的坐标，利用待定系数法即可求出直线l 2的解析式；（2）由△AOP 和△AOB 等底及S △AOP ＝S △AOB ，可得出点P 到AO 的距离与点B 到AO 的距离相等，分点P 在l 1的右侧及点P 在l 1的左侧两种情况考虑：①当点P 在l 1的右侧时，设点P 为P 1，则P 1B ∥l 1，根据平行线的性质结合点B 的坐标可得出直线P 1B 的解析式，再利用一次函数图象上点的坐标特征可求出点P 1的坐标；②当点P 在l 1的左侧时，设点P 为P 2，设直线y ＝5与直线l 1交于点E ，利用一次函数图象上点的坐标特征可求出点E 的坐标，再由点E 为P 1P 2中点，可求出点P 2的坐标；（3）设动直线为x ＝t ，由题可得﹣2＜t ＜0，则点M 的坐标为（t ，﹣t ），点N 的坐标为（t ，12t +3），进而可得出MN 的长度．分∠NMQ ＝90°、∠MNQ ＝90°及∠MQN ＝90°三种情况，利用等腰直角三角形的性质可求出点M 、N 、Q 的坐标，此题得解．【解析】解：（1）∵a 、b 满足（a +2）2+√b −3=0，∴a +2＝0，b ﹣3＝0，∴a ＝﹣2，b ＝3，∴点A 的坐标为（﹣2，2），点B 的坐标为（0，3）．设直线l 2的解析式为y ＝kx +c （k ≠0），将A （﹣2，2）、B （0，3）代入y ＝kx +c ，得：{−2k +c =2c =3，解得：{k =12c =3， ∴直线l 2的解析式为y =12x +3．（2）∵S △AOP ＝S △AOB ，∴点P 到AO 的距离与点B 到AO 的距离相等，且点P 位于l 1两侧（如图1）．①当点P 在l 1的右侧时，设点P 为P 1，则P 1B ∥l 1，∴直线P 1B 的解析式为：y ＝﹣x +3，当y ＝5时，有﹣x +3＝5，解得：x ＝﹣2，∴点P 1的坐标为（﹣2，5）；②当点P 在l 1的左侧时，设点P 为P 2，设直线y ＝5与直线l 1交于点E ，则点E 的坐标为（﹣5，5），∵点E 为P 1P 2中点，∴点P 2的坐标为（﹣8，5）．综上所述：点P 的坐标为（﹣2，5）或（﹣8，5）．（3）设动直线为x ＝t ，由题可得﹣2＜t ＜0，则点M 的坐标为（t ，﹣t ），点N 的坐标为（t ，12t +3）， ∴MN =32t +3（如图2）．①当∠NMQ ＝90°时，有MN ＝MQ ，即32t +3＝﹣t ，解得：t =−65，∴点M 的坐标为（−65，65）． ∵MQ ∥x 轴，∴点Q 的坐标为（0，65）； ②当∠MNQ ＝90°时，有MN ＝NQ ，即32t +3＝﹣t ，解得：t =−65，∴点N 的坐标为（−65，125）． ∵NQ ∥x 轴，∴点Q 的坐标为（0，125）；③当∠MQN ＝90°时，点Q 到MN 的距离=12MN ，即﹣t =12×（32t +3），解得：t =−67，∴点M 的坐标为（−67，67），点N 的坐标为（−67，187）．∵△MNQ 为等腰直角三角形，∴点Q 的坐标为（0，127）．综上所述：点Q 的坐标为（0，65）或（0，125）或（0，127）．【点睛】本题考查了待定系数法求一次函数解析式、偶次方及被开方数的非负性、三角形的面积、一次函数图象上点的坐标特征以及等腰直角三角形，解题的关键是：（1）根据点的坐标，利用待定系数法求出一次函数解析式；（2）分点P 在l 1的右侧及点P 在l 1的左侧两种情况求出点P 的坐标；（3）分∠NMQ ＝90°、∠MNQ ＝90°及∠MQN ＝90°三种情况，利用等腰直角三角形的性质求出点Q 的坐标．3．在平面直角坐标系xOy 中，直线l 1：y ＝k 1x +2√3与x 轴、y 轴分别交于点A 、B 两点，OA =√3OB ，直线l 2：y ＝k 2x +b 经过点C （1，−√3），与x 轴、y 轴和线段AB 分别交于点E 、F 、D 三点．（1）求直线l 1的解析式；（2）如图①：若EC ＝ED ，求点D 的坐标和△BFD 的面积；（3）如图②：在坐标轴上是否存在点P ，使△PCD 是以CD 为底边的等腰直角三角形，若存在，请直接写出点P 的坐标；若不存在，请说明理由．【思路点拨】（1）求出点A的坐标，利用待定系数法即可解决问题；（2）如图1中，作CM⊥OA于M，DN⊥CA于N．由△CME≌△DNE（AAS），推出CM＝DN由C（1，−√3），可得CM＝DN=√3，再利用待定系数法即可解决问题；（3）分点P在y轴或x轴两种情形分别求解即可解决问题；【解析】解：（1）∵直线y＝k1x+2√3与y轴B点，∴B（0，2√3），∴OB＝2√3，∵OA=√3OB＝6，∴A（6，0），把A（6，0）代入y＝k1x+2√3得到，k1=−√33，∴直线l1的解析式为y=−√33x+2√3．（2）如图1中，作CM⊥OA于M，DN⊥CA于N．∵∠CME＝∠DNE＝90°，∠MEC＝∠NED，EC＝DE，∴△CME≌△DNE（AAS），∴CM＝DN∵C （1，−√3），∴CM ＝DN =√3，当y =√3时，√3=−√33x +2√3，解得x ＝3，∴D （3，√3），把C （1，−√3），D （3，√3）代入y ＝k 2x +b ，得到{k 2+b =−√33k 2+b =√3，解得{k 2=√3b =−2√3， ∴直线CD 的解析式为y =√3x ﹣2√3，∴F （0，﹣2√3），∴S △BFD =12×4√3×3＝6√3．（3）①如图③﹣1中，当PC ＝PD ，∠CPD ＝90°时，作DM ⊥OB 于M ，CN ⊥y 轴于N ．设P （0，m ）．∵∠DMP ＝∠CNP ＝∠CPD ＝90°，∴∠CPN +∠PCN ＝90°，∠CPN +∠DPM ＝90°，∴∠PCN ＝∠DPM ，∵PD ＝PC ，∴△DMP ≌△NPC （AAS ），∴CN ＝PM ＝1，PN ＝DM ＝m +√3，∴D （m +√3，m +1），把D 点坐标代入y =−√33x +2√3，得到：m +1=−√33（m +√3）+2√3，解得m ＝4√3−6，∴P （0，4√3−6）．②如图③﹣2中，当PC＝PC，∠CPD＝90时，作DM⊥OA于M，CN⊥OA于N．设P（n，0）．同法可证：△DMP≌△PNC，∴PM＝CN=√3，DM＝PN＝n﹣1，∴D（n−√3，n﹣1），把D点坐标代入y=−√33x+2√3，得到：n﹣1=−√33（n−√3）+2√3，解得n＝2√3∴P（2√3，0）．综上所述，满足条件的点P坐标为（0，4√3−6）或（2√3，0）【点睛】本题属于一次函数综合题，考查了待定系数法，全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，学会利用参数解决问题，属于中考压轴题．4．如图1，在平面直角坐标系中，A（a，0），B（0，b），且a，b满足b=√a2−4+√4−a2+16a+2（1）求直线AB的解析式；（2）第一象限内是否存在一点M，使△ABM是等腰直角三角形，若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由；（3）如图2过点A的直线y＝kx﹣2k交y轴负半轴于点P，N点的横坐标为﹣1，过点N的直线y=k2x−k2交AP于点M，交x轴于点C，求证：NC＝MC．【思路点拨】（1）由二次根式的被开方数是非负数可以求得a 、b 的值．则易求点A 、B 的坐标．设直线AB 的方程为y ＝kx +b （k ≠0），将其分别代入该解析式列出关于k 、b 的方程组，通过解方程组即可求得它们的值；（2）需要分类讨论：当AB 为底和当AB 为腰时，分别求得点M 的坐标；（3）将y ＝kx ﹣2k 与y =k 2x −k 2联立求出M 的坐标为（3，k ），由条件可求得N 的坐标为（﹣1，﹣k ），C 的坐标为（1，0），作CG ⊥x 轴于G 点，MH ⊥x 轴于H 点，可证△NGC ≌△MHC ，得NC ＝MC ．【解析】解：（1）依题意，得：{a 2−4≥04−a 2≥0a +2≠0，解得a ＝2；则b ＝4．所以A （2，0），B （0，4），设直线AB 解析式为y ＝kx +b （k ≠0），将A 与B 坐标代入得：{2k +b =0b =4，解得：{k =−2b =4，则直线AB 的解析式为y ＝﹣2x +4；（2）如图1，分三种情况：①如图1，当BM ⊥BA ，且BM ＝BA 时，过M 作MN ⊥y 轴于N ，∵BM ⊥BA ，MN ⊥y 轴，OB ⊥OA ，∴∠MBA ＝∠MNB ＝∠BOA ＝90°，∴∠NBM +∠NMB ＝90°，∠ABO +∠NBM ＝90°，∴∠ABO ＝∠NMB ，在△BMN 和△ABO 中{∠MNB =∠BOA ∠NMB =∠ABO BM =AB，∴△BMN ≌△ABO （AAS ），MN ＝OB ＝4，BN ＝OA ＝2，∴ON ＝2+4＝6，∴M 的坐标为（4，6 ）；②如图2当AM ⊥BA ，且AM ＝BA 时，过M 作MN ⊥x 轴于N ，△BOA ≌△ANM （AAS ），同理求出M 的坐标为（6，2）；③如图4，当AM⊥BM，且AM＝BM时，过M作MN⊥X轴于N，MH⊥Y轴于H，则△BHM≌△AMN，∴MN＝MH，设M（x，x），由勾股定理得，（x﹣2）2+x2＝（4﹣x）2+x2，解得，x＝3；∴M点的坐标为（3，3）综上所知M点的坐标为（4，6）（6，2）（3，3）；（3）将y＝kx﹣2k与y=k2x−k2联立求出M的坐标为（3，k），由条件可求得N的坐标为（﹣1，﹣k），C的坐标为（1，0），作CG⊥x轴于G点，MH⊥x轴于H点，可证△NGC≌△MHC，得NC＝MC．【点睛】本题主要考查对一次函数图象上点的坐标特征，等腰直角三角形性质，用待定系数法求正比例函数的解析式，全等三角形的性质和判定，二次根式的性质等知识点的理解和掌握，综合运用这些性质进行推理和计算是解此题的关键．。

有关北师大版初中数学知识点总结5篇

有关北师大版初中数学知识点总结5篇北师大版初中数学知识点总结2实数无理数：无限不循环小数叫无理数平方根：①如果一个正数X的平方等于A，那么这个正数X就叫做A的算术平方根。

②如果一个数X的平方等于A，那么这个数X就叫做A的平方根。

③一个正数有2个平方根/0的平方根为0/负数没有平方根。

④求一个数A的平方根运算，叫做开平方，其中A叫做被开方数。

立方根：①如果一个数X的立方等于A，那么这个数X就叫做A的立方根。

②正数的立方根是正数、0的立方根是0、负数的立方根是负数。

③求一个数A 的立方根的运算叫开立方，其中A叫做被开方数。

实数：①实数分有理数和无理数。

②在实数范围内，相反数，倒数，绝对值的意义和有理数范围内的相反数，倒数，绝对值的意义完全一样。

③每一个实数都可以在数轴上的一个点来表示。

相信通过上面的学习，同学们对实数知识点可以很好的掌握了，希望同学们在考试中取得好成绩。

初中数学知识点总结：平面直角坐标系下面是对平面直角坐标系的内容学习，希望同学们很好的掌握下面的内容。

平面直角坐标系平面直角坐标系：在平面内画两条互相垂直、原点重合的数轴，组成平面直角坐标系。

水平的数轴称为x轴或横轴，竖直的数轴称为y轴或纵轴，两坐标轴的交点为平面直角坐标系的原点。

平面直角坐标系的要素：①在同一平面②两条数轴③互相垂直④原点重合三个规定：①正方向的规定横轴取向右为正方向，纵轴取向上为正方向②单位长度的规定;一般情况，横轴、纵轴单位长度相同;实际有时也可不同，但同一数轴上必须相同。

③象限的规定：右上为第一象限、左上为第二象限、左下为第三象限、右下为第四象限。

相信上面对平面直角坐标系知识的讲解学习，同学们已经能很好的掌握了吧，希望同学们都能考试成功。

初中数学知识点：平面直角坐标系的构成对于平面直角坐标系的构成内容，下面我们一起来学习哦。

平面直角坐标系的构成在同一个平面上互相垂直且有公共原点的两条数轴构成平面直角坐标系，简称为直角坐标系。

2019-2020学年度北师大版八年级上册一次函数与等腰三角形存在性专题( 解析版)

2019-2020一次函数与等腰三角形存在性专题（含解析）一、单选题1．一次函数分别交轴、轴于，两点，在轴上取一点，使为等腰三角形，则这样的点最多有几个（）A.5B.4C.3D.22．如图，直线y=x+与x轴、y轴分别交于点A、B，在坐标轴上找点P，使△ABP为等腰三角形，则点P的个数为（）A.2B.4C.6D.83．如图，在平面直角坐标系xOy中，A（0，2），B（0，6），动点C在直线y＝x上．若以A、B、C 三点为顶点的三角形是等腰三角形，则点C的个数是（）A．6 B．5 C．4 D．34．在平面直角坐标系中，已知点A(－4，0)，点B(4，0)，若点C在一次函数122y x=-+的图象上，且△ABC为等腰三角形，则满足条件的点C有（）A.5个B.4个C.3个D.2个二、填空题5．如图，一次函数1y x =-+的图象与x 轴、y 轴分别交于点A B 、，点M 在x 轴上，要使ABM ∆是以AB 为腰的等腰三角形，那么点M 的坐标是_____．6．如图，已知直线334y x =-+与坐标轴相交于A 、B 两点，动点P 从原点O 出发，以每秒1个单位长度的速度沿x 轴正方向运动，当点P 的运动时间是__________秒时，PAB ∆是等腰三角形．三、解答题7．已知正比例函数y ＝kx 经过点A ，点A 在第四象限，过点A 作AH ⊥x 轴，垂足为点H ，点A 的横坐标为3，且△AOH 的面积为3．（1）求正比例函数的表达式；（2）在x 轴上能否找到一点M ，使△AOM 是等腰三角形？若存在，求点M 的坐标；若不存在，请说明理由．8．如图，在平面直角坐标系xOy 中，直线24y x =-+ 与x 轴，y 轴分别交于点A ，点B 。

（1）求点A 和点B 的坐标；（2）若点P 在x 轴上，且BOP 1S AOB 2∆=∆ 求点P 的坐标。

（3）在y 轴是否存在点M ，使三角形MAB 是等腰三角形，若存在。

八年级数学上册第四章一次函数单元综合测试含解析北师大版

《第4章一次函数》一、选择题1．下列图象中，表示y是x的函数的个数有（)A．1个B．2个C．3个D．4个2．李大爷要围成一个矩形菜园，菜园的一边利用足够长的墙，用篱笆围成的另外三边总长应恰好为24米，要围成的菜园是如图所示的矩形ABCD，设BC的边长为x米,AB边的长为y米，则y与x之间的函数关系式是（）A．y=﹣2x+24（0＜x＜12) B．y=﹣x+12(0＜x＜24）C．y=2x﹣24（0＜x＜12）D．y=x﹣12（0＜x＜24)3．一次函数y=mx+｜m﹣1|的图象过点（0，2)，且y随x的增大而增大,则m=（）A．﹣1 B．3 C．1 D．﹣1或34．在下列四组点中，可以在同一个正比例函数图象上的一组点是（)A．（2，﹣3），（﹣4，6) B．(﹣2,3），（4，6）C．（﹣2，﹣3)，（4，﹣6）D．（2,3），（﹣4，6）5．对于函数y=﹣x+3,下列说法错误的是（)A．图象经过点(2，2）B．y随着x的增大而减小C．图象与y轴的交点是（6，0）D．图象与坐标轴围成的三角形面积是96．关于x的一次函数y=kx+k2+1的图象可能正确的是() A．B． C．D．7．P1（x1，y1)，P2（x2，y2）是一次函数y=﹣2x+5图象上的两点,且x1＜x2，则y1与y2的大小关系是（)A．y1＜y2 B．y1=y2C．y1＞y2 D．y1＞y2＞08．已知一次函数y=x+m和y=﹣x+n的图象都经过点A(﹣2，0），且与y轴分别交于B，C两点,那么△ABC的面积是（）A．2 B．3 C．4 D．69．如图，把Rt△ABC放在直角坐标系内，其中∠CAB=90°，BC=5，点A、B的坐标分别为（1，0）、(4，0）．将△ABC沿x轴向右平移，当点C落在直线y=2x﹣6上时,线段BC扫过的面积为（）A．4 B．8 C．16 D．810．如图，已知直线l：y=x，过点A（0，1）作y轴的垂线交直线l于点B，过点B作直线l的垂线交y轴于点A1；过点A1作y轴的垂线交直线l于点B1，过点B1作直线l的垂线交y轴于点A2；…按此作法继续下去，点B2013的坐标为（)A．(42012×，42012） B．（24026×，24026)C．（24026×，24024）D．(44024×，44024）二、填空题11．将直线y=2x向上平移1个单位长度后得到的直线是．12．函数y=中,自变量x的取值范围是．13．一次函数y=（m+2）x+1，若y随x的增大而增大,则m的取值范围是．14．直线y=3x﹣m﹣4经过点A（m,0），则关于x的方程3x﹣m﹣4=0的解是．15．已知某一次函数的图象经过点A(0，2）,B(1，3),C（a,1）三点,则a的值是．16．某农场租用播种机播种小麦，在甲播种机播种2天后，又调来乙播种机参与播种，直至完成800亩的播种任务，播种亩数与天数之间的函数关系如图所示,那么乙播种机参与播种的天数是天．17．经过点（2，0）且与坐标轴围成的三角形面积为2的直线解析式是．18．如果直线l与直线y=﹣2x+1平行，与直线y=﹣x+2的交点纵坐标为1,那么直线l的函数解析式为．三、解答题（共66分)19．已知：一次函数y=kx+b的图象经过M（0，2），N（1，3)两点．(1）求k、b的值；（2)若一次函数y=kx+b的图象与x轴交点为A（a，0），求a 的值．20．联通公司手机话费收费有A套餐（月租费15元，通话费每分钟0。

北师大版九年级数学上学期期末试题(含答案)

1北师大版九年级上学期期末数学试题注意事项：1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息2．请将答案正确填写在答题卡上第I 卷（选择题）请点击修改第I 卷的文字说明一、单选题 1．如图所示的几何体是由一个正方体和一个圆锥搭建而成，其左视图是（）A ．B ．C ．D ．【答案】C【分析】根据从左边看得到的图形是左视图即可解答．【详解】解：∵从左边看得到的图形是左视图，∴该几何体从左边看第一层是一个三角形，第二层是一个小正方形，故选：C ．【点睛】本题考查简单组合体的三视图，从左边看到的图形是左视图，注意圆锥的左视图是三角形．2．已知，则的值为（）A ．B ．C ．D ． 23y x =xyx +52532335【答案】B【分析】根据两内项之积等于两外项之积用x 表示出y ，然后代入比例式进行计算即可得解．【详解】解：∵， ∴y ＝， ∴＝＝．故选：B ．【点睛】本题考查了比例的性质，用x 表示出y 是解题的关键．3．一元二次方程的根的情况为（）A ．有两个不相等的实数根B ．有两个相等的实数根C ．只有一个实数根D ．没有实数根【答案】D【分析】计算出根的判别式的大小，判断正负即可确定出方程根的情况．【详解】解：方程，这里a ＝1，b ＝，c ＝5，∵b 2−4ac ＝()2−4×1×5＝12−20＝−8＜0，∴方程没有实数根．故选：D ．【点睛】此题考查了根的判别式，熟练掌握根的判别式的意义是解本题的关键．4．若线段，，，是成比例线段，且，，，则（）A ．B ．C ．D ．【答案】A【分析】根据，，，是成比例线段得a ：b =c ：d ，再根据比例的基本性质，求得d ．【详解】 23y x =23x x y x +23x x x +53250x -+=250x -+=--a b c d 1cm a =4cm b =2cm c =d =8cm 0.5cm 2cm 3cm a b c d3解：∵线段，，，是成比例线段，，∴a ：b =c ：d∴ ∵，，，∴ 故选：A ．【点睛】本题考查了成比例线段，写比例式的时候一定要注意顺序．再根据比例的基本性质进行求解．5．如图，与位似，点O 是位似中心，若，，则（）A ．9B ．12C ．16D ．36【答案】D【分析】根据位似变换的性质得到，得到，求出，根据相似三角形的面积比等于相似比的平方计算即可．【详解】解：与位似，，，，，，，故选：D ．【点睛】本题考查的是位似变换的概念和性质、相似三角形的性质，解题的关键是掌握相似三角形的面积比等于相似比的平a b c d bc d a=1cm a =4cm b =2cm c =428cm 1bc x a ⨯===ABC DEF 3OD OA =4ABC S =DEF S =△//AC DF OAC ODF ∆∆∽AC DF ABC ∆DEF ∆//AC DF ∴OAC ODF ∴∆∆∽∴13AC OA DF OD ==∴21()9ABC DEF S AC S DF ∆∆==4ABC S ∆=36DEF S ∆∴=方．6．在一个不透明的布袋中，红色、黑色、白色的玻璃球共有60个，除颜色外其他完全相同，小明通过多次摸球试验后发现其中摸到红色球、黑色球的频率稳定在0.15和0.45，则布袋中白色球的个数可能是（）A ．24B ．18C ．16D ．6【答案】A【分析】根据频率之和为1计算出白球的频率，然后再根据“数据总数×频率=频数”，算白球的个数即可．【详解】解：∵摸到红色球、黑色球的频率稳定在0.15和0.45，∴摸到白球的频率为1-0.15-0.45=0.40，∴口袋中白色球的个数可能是60×0.40=24个．故选A ．【点睛】本题考查了由频率估计概率，大量反复试验下频率稳定值即概率．根据频率之和为1计算出摸到白球的频率是解答本题的关键．7．如图，正方形ABCD 的对角线相交于点O ，以点O 为顶点的正方形OEGF 的两边OE ，OF 分别交正方形ABCD 的两边AB ，BC 于点M ，N ，记的面积为，的面积为，若正方形的边长，，则的大小为（）A ．6B ．7C ．8D ．9【答案】D【分析】由题意依据全等三角形的判定得出△BOM ≌△CON ，进而根据正方形的性质即可得出的大小.【详解】解：∵正方形ABCD 的对角线AC ，BD 交于点O ，∴OC =OD =BO =AO ，∠ABO =∠ACB =45°，AC ⊥BD ．∵∠MOB +∠BON =90°，∠BON +∠CON =90° AOM 1S CON 2S 10AB =116S =2S 2S5∴∠BOM =∠CON ，且OC =OB ，∠ABO =∠ACB =45°，∴△BOM ≌△CON （ASA ），=S △BOM ，∴， ∵=S 正方形ABCD ，正方形的边长，， ∴=S 正方形ABCD -=. 故选：D.【点睛】本题考查正方形的性质以及全等三角形的判定和性质等知识，灵活运用这些性质进行推理是解答本题的关键． 8．个税改革新政出台后，锦江税务迅速组织干部多形式多途径进行个税专项培训，对个税新政进行讲解和辅导．2019年全年某企业员工享受个税红利共计约200万，2021年全年该企业员工享受个税红利共计约450万，且该企业员工享受个税红利总额的年增长率相同．设该企业员工享受个税红利总额的年增长率为x ，根据题意列方程，则下列方程正确的是（）A ．B ．C ．D ．【答案】C【分析】设该企业员工享受个税红利总额的年增长率为x ，然后根据增长率问题列方程即可.【详解】解：设该企业员工享受个税红利总额的年增长率为x ，由题意得：.故选C.【点睛】本题主要考查了一元二次方程方程的应用-增长率问题，审清题意、找准等量关系是解答本题的关键.9．如图，菱形OABC 的边OA 在平面直角坐标系中的x 轴上，，，则点C 的坐标为（）A ．B ．C ．D ．2S 121BOM AOB S S S SS ==++AOB S 1410AB =116S =2S 141S 110101694⨯⨯-=2200450x =()24501200x -=()22001450x +=()()220020012001450x x ++++=()22001450x +=60AOC ∠=︒4OA=(2,()2(()2,2【答案】A【分析】如图：过C 作CE ⊥OA ，垂足为E ，然后求得∠OCE =30°，再根据含30°角直角三角形的性质求得OE ，最后运用勾股定理求得CE 即可解答.【详解】解：如图：过C 作CE ⊥OA ，垂足为E ，∵菱形OABC ，∴OC =OA =4∵，∴∠OCE =30°∵OC =4∴OE =2∴CE∴点C 的坐标为.故选A.【点睛】本题主要考查了菱形的性质、含30°直角三角形的性质、勾股定理等知识点，作出辅助线、求出OE 、CE 的长度是解答本题的关键.10．如图，在的方格纸中，每个小方格都是边长为1的正方形，我们称每个小正方形的顶点为格点，以格点为顶点的图形称为格点图形．点E 是格点四边形ABCD 的AB 边上一动点，连接ED ，EC ，若格点与相似，则的长为（）4OA =60AOC ∠=︒(2,106⨯DAE △EBC DE EC +7A ．BC ．D ．【答案】C 【分析】分∽和∽两种情况讨论，求得AE 和BE 的长度，根据勾股定理可求得DE 和EC 的长度，由此可得的长．【详解】解：由图可知DA =3，AB =8，BC =4，AE =8-EB ，∠A =∠B =90°，若∽，则，即, 解得或，当时，，当时，，，若∽，则，即，解得（不符合题意，舍去），故或故选：C ．【点睛】本题考查相似三角形的性质和判定，勾股定理，能结合图形，分类讨论是解题关键．注意不要忽略了题干中格点三角形的定义．第II 卷（非选择题）请点击修改第II 卷的文字说明二、填空题11．方程的根为_______．【答案】.【详解】DAE △EBC DAE △CBE △DE EC +DAE △EBC DA AE EB BC =384EB EB -=2EB =6EB =2EB =EC =DE =DE EC +6EB =EC ==DE =DE EC +DAE △CBE △DA AE BC BE =384BE BE -=327BE =DE EC +230x x -=120,?3x x ==试题分析：x （x －3）=0 解得：=0，=3．考点：解一元二次方程．12．已知点C 是线段AB 的黄金分割点，且，，则AC 长是______．【答案】##【分析】计算即可．【详解】解：∵点C 是线段AB 的黄金分割点，且AC ＜BC ，∴BC AB-1，则AC =2--1)=3故答案为：【点睛】本题主要考查黄金分割，黄金分割的定义是：“把一条线段分割为两部分，使较大部分与全长的比值等于较小部分，近似值为0.618”． 13．若点、在反比例函数图象上，则、大小关系是________．【答案】【分析】先根据反比例函数的解析式判断出函数的图象所在的象限，再由A 、B 两点横坐标的特点即可得出结论．【详解】∵反比例函数y =中，k =1＞0，∴此函数图象的两个分支分别为与一三象限，且在每一象限内y 随x 的增大而减小． ∵﹣2＜﹣1，∴y 1＞y 2．故答案为y 1＞y 2．【点睛】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特点，熟知反比例函数的增减性是解答此题的关键．14．如图，在中，，．按以下步骤作图：①分别以点A ，B 为圆心，以大于长为半径作弧，两弧交于点E ，F ；②作直线EF ；③以点B 为圆心，以BA 为半径画弧交直线EF 于点G ；④连接BG 交AC 于点P ．则______．1x 2x 2AB =AC BC <33()12,A y -()21,B y -1y x=1y 2y 12y y >1x ABC AB BC =90ABC ∠=︒12AB APB ∠=9【答案】75°【分析】如图，由题意易得，，，则有，进而问题可求解．【详解】解：如果所示：由题意得EF 垂直平分AB ，AB =BG ，∴， ∴， ∴，∵，∴，∴，∵，∴，∴；故答案为75°【点睛】本题主要考查等腰直角三角形的性质、三角函数及线段垂直平分线的性质，熟练掌握等腰直角三角形的性质、三角函数及线段垂直平分线的性质是解题的关键．15．已知m 是一元二次方程的一个根，则的值为______．【答案】2022【分析】45A C ∠=∠=︒//FG BC 12BH BG =30FGB PBC ∠=∠=︒1122BH AB BG ==1sin 2BH FGB BG ∠==30FGB ∠=︒90ABC ∠=︒//FG BC 30FGB PBC ∠=∠=︒AB BC =45A C ∠=∠=︒75APB PBC C ∠=∠+∠=︒2310x x -+=220213m m -+根据题意把x =m 代入方程x 2-3x +1=0得m 2-m =2，再把2021-m 2+3m 变形为2021-（m 2-3m ），然后利用整体代入的方法计算即可．【详解】解：把x =m 代入方程x 2-3x +1=0得m 2-3m +1=0，所以m 2-3m =-1，所以2021-m 2+3m =2021-（m 2-3m ）=2021-（-1）=2022．故答案为：2022．【点睛】本题考查一元二次方程的解，注意掌握能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解以及运用整体思想进行代入求值．16．如图，E 是正方形ABCD 的对角线BD 上一点，连接CE ，过点E 作，垂足为点F ．若，，则正方形ABCD 的面积为______．【答案】49【分析】延长FE 交AB 于点M ，则，，由正方形的性质得，推出是等腰直角三角形，得出，由勾股定理求出CM ，故得出BC ，由正方形的面积公式即可得出答案．【详解】如图，延长FE 交AB 于点M ，则，，∵四边形ABCD 是正方形，∴，∴是等腰直角三角形，∴，在中，， EF AD ⊥3AF =5EC=EM BC ⊥3AF BM ==45CDB ∠=︒BME 3EM BM ==EM BC ⊥3AF BM ==45CDB ∠=︒BME 3EM BM ==RtEMC 4CM11∴，∴．故答案为：49．【点睛】本题考查正方形的性质以及勾股定理，掌握正方形的性质是解题的关键． 17．新定义：任意两数m ，n ，按规定得到一个新数y ，称所得新数y 为数m ，n 的“愉悦数”．则当，，且m ，n 的“愉悦数”y 为正整数时，正整数x 的值是______．【答案】2 【分析】根据“愉悦数”的定义，将m 、n 代入得到一个关于x 的方程，然后再求解即可．【详解】解：当，，且m ，n 的“愉悦数”＞0 化简得：＞0∵x 是正整数 ∴x -1＞0即：解得：∵x 是正整数 ∴x =2．故答案是2．【点睛】本题主要考查运用二次函数解不等式、分式的混合运算等知识点，正确运用二次函数解不等式成为解答本题的关键．18．如图，在四边形ABCD 中，，，且，点E 是AB 的中点，连接DE ，当DE 取最大值时，AC 的长为______．【答案】347BC BM CM =+=+=22749ABCD S BC ===正方形my m n n=-+21m x =+1n x =-my m n n=-+21m x =+1n x =-()()212111x y x x x +=-++--231x x x -++-21030x x x -⎧⎨-++⎩＞＞1x ＜4=AD 2DC =AC BC ⊥AC BC =【分析】如图1，连接CE ，过点E 作EF ⊥ED ，且EF =DE ，连接CF 、DF ，根据等腰直角三角形的性质可得CE =AE ，CE ⊥AB ，根据角的和差关系可得∠AED =∠CEF ，利用SAS 可证明△AED ≌△CEF ，根据全等三角形的性质可得AD =CF ，根据三角形三边关系可得当C 、D 、F 共线时DF 最长，此时DE 取最大值，如图2，过E 作EG ⊥DF 于G ，根据等腰直角三角形的性质可得EG =DF =3，进而可求出CG 的长，利用勾股定理可求出CE 的长，利用勾股定理即可得答案．【详解】如图1，连接CE ，过点E 作EF ⊥ED ，且EF =DE ，连接CF 、DF ， ∵且， ∴△ABC 是等腰直角三角形， ∵点E 为AB 中点， ∴CE =AE ，CE ⊥AB ，∵∠DCE +∠AED =90°，∠DCE +∠CEF =90°， ∴∠AED =∠CEF ，在△AED 和△CEF 中，，∴△AED ≌△CEF ， ∴AD =CF ，∵在△CDF 中，CD +CF ＞DF ，∴当C 、D 、F 共线时DF 最长，此时DF =CD +CF =CD +AD =6， ∵△DEF 是等腰直角三角形， ∴DF 取最大值时，DE 取最大值，如图2，当C 、D 、F 共线时，过E 作EG ⊥DF 于G ， ∵DF =6，△DEF 是等腰直角三角形， ∴EG =DG =DF =3， ∴CG =DG -CD =3-2=1，12AC BC ⊥AC BC =AE CEAED CEF DE EF =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩1213∴CE， ∴AC=故答案为：【点睛】本题考查等腰直角三角形的性质、全等三角形的判定与性质、三角形的三边关系及勾股定理，熟练掌握等腰三角形“三线合一”的性质及全等三角形的判定定理是解题关键．19．如图，直线与坐标轴交于A ，B 两点，交反比例的图象于C ，D 两点，且，点E 是直线AB 上一点，连接OE ，以OE 为边在OE 右侧作直角三角形OEF ，，，若边OF 交反比例函数图象于点G，，则k 值为______，点E 的坐标是______．【答案】8【分析】根据题意，首先根据直线表达式以及坐标轴上点的特征求出A (0，5),B (10，0)；设点C 的坐标为（a ，b ），过点C 作轴于点M ，过点D 作轴于点N ，则，由相似三角形的性质，结合CD =3AC 求出出点D 的坐标为（4a ，4b -15），根据反比例函数上点的坐标之积相等，即可求出k 值；连接BF ，结合已知可得O 、B 、F 、E 四点共圆，所以点G 是圆心，OF 是直径，∠OBF =90°；接下来求出点G 的坐标，进而即可得到点F 的坐标，设出点E 的坐标，再利用勾股定理进行求解即可。

北师大版八年级上册一次函数之图像测试题含答案与详细解析

八上数学——一次函数综合提升测试题一．填空题（共15小题）1．（2011•呼和浩特）已知关于x一次函数y=mx+n 图象如图所示，则可化简为__ __ ．2．（2004•包头）已知一次函数y=ax+b（a≠O）图象如图所示，则|a+b|﹣（a﹣b）= ___ ．3．从﹣1，1，2三个数中任取一个，作为一次函数y=kx+3k值，则所得一次函数中y随x增大而增大概率是．4．一次函数y=k（x﹣k）（k＞0）图象不经过第象限．5．已知一次函数y=kx+b，kb＜0，则这样一次函数图象必经过公共象限有个，即第象限．6．若一次函数y=ax+1﹣a中，它图象经过一、二、三象限，则|a﹣1|+= ．7．已知一次函数y=（m﹣2）x+3﹣m图象经过第一、二、四象限，化简+结果是．8．（2013•镇江）已知点P（a，b）在一次函数y=4x+3图象上，则代数式4a﹣b﹣2值等于.9．在平面直角坐标系中，点O是坐标原点，过点A（1，2）直线y=kx+b与x轴交于点B，且S△AOB=4，则k值是．10．如图，已知直线l：y=x，过点A（0，1）作y轴垂线交直线l于点B，过点B作直线l垂线交y轴于点A1；过点A1作y轴垂线交直线l于点B1，过点B1作直线l垂线交y轴于点A2；…按此作法继续下去，则点A2013坐标为．11．（2013•成都）已知点（3，5）在直线y=ax+b（a，b为常数，且a≠0）上，则值为．12．（2004•郑州）点M（﹣2，k）在直线y=2x+1上，点M到x轴距离d= ．13．将直角坐标系中一次函数图象与坐标轴围成三角形，叫做此一次函数坐标三角形．例如，图中一次函数图象与x、y轴分别交于点A、B，则△ABO为此一次函数坐标三角形，一次函数坐标三角形周长是(第1题图) (第2题图) (第10题图) (第13题图)14．（2013•浦东新区模拟）已知点P在直线y=﹣2x﹣3上，且点P到x轴距离是4，那么点P坐标是．15．（2013•齐齐哈尔）函数y=﹣（x﹣2）0中，自变量x取值范围是_________ ．二．解答题（共15小题）16．（2012•花都区一模）直线l：y=mx+n（m、n是常数）图象如图所示，化简：．17．若函数y=（a+3b）x+（2﹣a）是正比例函数且图象经过第二、四象限，试化简：．18．已知一次函数y=（k﹣2）x﹣3k2+12．（1）k为何值时，图象经过原点；（2）k为何值时，图象与直线y=﹣2x+9交点在y轴上；（3）k为何值时，图象平行于y=﹣2x图象；（4）k为何值时，y随x增大而减小．19．如图，直线y=x+b（b＞0）与x轴负半轴、y轴正半轴分别交于A、B两点，正比例函数y=kx（k＜0）图象与直线AB交于点Q，过A、B两点分别作AM⊥OQ于M，BN⊥OQ于N，若AM=10，BN=3，（1）求A、B两点坐标；（用b表示）（2）图中有全等三角形吗？若有，请找出并说明理由．（3）求MN长．20．若点（m，n）在一次函数y=2x﹣8图象上，先化简，再求值：．21．在平面直角坐标系中，已知直线y=mx+n（m＜0，n＞0），若点A（﹣2，y1）、（﹣3，y2）、C（1，y 3）在直线y=mx+n上，则y1、y2、y3大小关系为: ____（请用“＜”符号连接）．22．已知：直线y=x+1与x轴交于点A，与y轴交于点B．（1）分别求出A、B两点坐标．（2）过A点作直线AP与y轴交于点P，且使OP=2OB，求△ABP面积．23．已知一次函数y=ax+b图象经过点，，C（﹣2，c）求a2+b2+c2﹣ab﹣bc﹣ca值．24．如图，平面直角坐标系中，直线y=x﹣2与x轴相交于点A，点B（4，3），（1）求点A坐标；（2）画出线段AB绕点A逆时针旋转90°后线段A B′，并求出点B′坐标．25．已知A、B坐标分别为（﹣2，0）、（4，0），点P在直线y=0.5x+2上，横坐标为m，如果△ABP为直角三角形，求m值．26．（2003•甘肃）如图，在梯形ABCD中，BC∥AD，∠A=90°，AB=2，BC=3，AD=4，E为AD中点，F为CD中点，P为BC上动点（不与B、C重合）．设BP为x，四边形PEFC面积为y，求y关于x函数关系式，并写出x取值范围．27．如图，在直角△ABC中，∠B=90°，∠C=30°，AC=4，D是AC边上一个动点（不与A、C点重合），过点D作AC边垂线，交线段BC于点E，点F是线段EC中点，作DH⊥DF，交射线AB于点H，交射线CB于点G．（1）求证：GD=DC．（2）设AD=x，HG=y．求y关于x函数解析式，并写出它定义域．28．当k为何值时，函数y=（k2+2k）是正比例函数？29．已知：是一次函数，求m值．30．如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC=10，CD是射线，∠BCF=60°，点D在AB上，AF、BE分别垂直于CD（或延长线）于F、E，求EF长．八上数学——一次函数综合提升测试题参考答案与试题解析一．填空题（共15小题）1．（2011•呼和浩特）已知关于x一次函数y=mx+n图象如图所示，则可化简为n ．考点：二次根式性质与化简；一次函数图象与系数关系．专题：数形结合．分析：根据一次函数图象与系数关系，确定m、n符号，然后由绝对值、二次根式化简运算法则解得即可．解答：解：根据图示知，关于x一次函数y=mx+n图象经过第一、二、四象限，∴m＜0；又∵关于x一次函数y=mx+n图象与y轴交于正半轴，∴n＞0；∴=n﹣m﹣（﹣m）=n．故答案是：n．点评：本题主要考查了二次根式性质与化简、一次函数图象与系数关系．一次函数y=kx+b（k≠0，b≠0）图象，当k＞0时，经过第一、二、三象限；当k＜0时，经过第一、二、四象限．2．（2004•包头）已知一次函数y=ax+b（a≠O）图象如图所示，则|a+b|﹣（a﹣b）=﹣2a．考点：一次函数图象与系数关系．专题：探究型．分析：先根据一次函数图象判断出a、b符号及大小，再根据绝对值性质进行解答即可．解答：解：令x=﹣1，则y＞0，即﹣a+b＞0；令x=1，则y＜0，即a+b＜0，故a＜b＜0，故原式=﹣（a+b）﹣a+b=﹣a﹣b﹣a+b=﹣2a．故答案为：﹣2a．点评：本题考查是一次函数图象与系数关系，根据题意判断出a、b符号及大小是解答此题关键．3．（2008•宁夏）从﹣1，1，2三个数中任取一个，作为一次函数y=kx+3k值，则所得一次函数中y随x增大而增大概率是．考点：概率公式；一次函数图象与系数关系．分析：从﹣1，1，2三个数中任取一个，共有三种取法，其中函数y=﹣1•x+3是y随x增大而减小，函数y=1•x+3和y=2•x+3都是y随x增大而增大，所以符合题意概率为．解答：解：P（y随x增大而增大）=．故本题答案为：．点评：用到知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比；一次函数未知数比例系数大于0，y随x增大而增大．4．一次函数y=k（x﹣k）（k＞0）图象不经过第二象限．考点：一次函数图象与系数关系．分析：根据k，b符号判断一次函数一次函数y=k（x﹣k）图象经过象限．解答：解：由已知，得y=kx﹣k2，又k＞0，则b=﹣k2＜0．故图象必经过第一、三、四象限．即不经过第二象限．点评：能够根据k，b符号正确判断直线所经过象限．5．已知一次函数y=kx+b，kb＜0，则这样一次函数图象必经过公共象限有 2 个，即第一、四象限．考点：一次函数图象与系数关系．专题：函数思想．分析：根据k，b取值范围确定图象在坐标平面内位置．解答：解：∵kb＜0，∴k、b符号相反；∴当k＞0 b＜0 时，一次函数y=kx+b图象经过一、三、四象限．当k＜0 b＞0 时，一次函数y=kx+b图象经过一、二、四象限．所以一次函数y=kx+b图象必经过公共象限有2个，即第一、四象限．故答案是：2，一、四．点评：本题主要考查一次函数图象在坐标平面内位置与k、b关系．解答本题注意理解：直线y=kx+b所在位置与k、b符号有直接关系．k＞0时，直线必经过一、三象限；k＜0时，直线必经过二、四象限；b＞0时，直线与y轴正半轴相交；b=0时，直线过原点；b＜0时，直线与y轴负半轴相交．6．若一次函数y=ax+1﹣a中，它图象经过一、二、三象限，则|a﹣1|+= 1 ．考点：一次函数图象与系数关系；二次根式性质与化简．分析：根据一次函数图象所经过象限求得a取值范围，然后根据a取值范围去绝对值、化简二次根式．解答：解：∵一次函数y=ax+1﹣a中，它图象经过一、二、三象限，∴，解得，0＜a＜1，则|a﹣1|+=1﹣a+a=1，故答案是：1．点评：本题主要考查一次函数图象在坐标平面内位置与k、b关系．解答本题注意理解：直线y=kx+b所在位置与k、b符号有直接关系．k＞0时，直线必经过一、三象限．k＜0时，直线必经过二、四象限．b＞0时，直线与y轴正半轴相交．b=0时，直线过原点；b＜0时，直线与y轴负半轴相交．7．已知一次函数y=（m﹣2）x+3﹣m图象经过第一、二、四象限，化简+结果是5﹣2m ．考点：一次函数图象与系数关系；二次根式性质与化简．分析：首先根据一次函数y=（m﹣2）x+3﹣m图象经过第一、二、四象限确定m取值范围，然后根据m取值范围进行化简即可．解答：解：∵一次函数y=（m﹣2）x+3﹣m图象经过第一、二、四象限，∴∴+==2﹣m+3﹣m=5﹣2m．故答案为：5﹣2m．点评：本题考查了一次函数图象与系数关系及二次根式性质与化简，解题关键是根据一次函数图象经过位置确定m取值范围．8．（2013•镇江）已知点P（a，b）在一次函数y=4x+3图象上，则代数式4a﹣b﹣2值等于﹣5 ．考点：一次函数图象上点坐标特征．分析：把点P坐标代入一次函数解析式可以求得a、b间数量关系，所以易求代数式4a﹣b﹣2值．解答：解：∵点P（a，b）在一次函数y=4x+3图象上，∴b=4a+3，∴4a﹣b﹣2=4a﹣（4a+3）﹣2=﹣5，即代数式4a﹣b﹣2值等于﹣5．故答案是：﹣5．点评：本题考查了一次函数图象上点坐标特征，经过函数某点一定在函数图象上9．（2013•牡丹江）在平面直角坐标系中，点O是坐标原点，过点A（1，2）直线y=kx+b与x轴交于点B，且S △AOB=4，则k值是k=或﹣．考点：一次函数图象上点坐标特征．专题：计算题．分析：先表示出B点坐标为（﹣，0）；再把A（1，2）代入y=kx+b得k+b=2，则b=2﹣k，然后根据三角形面积公式得到|﹣|•2=4，即||=4，所以||=4，然后解方程即可．解答：解：把y=0代入y=kx+b得kx+b=0，解得x=﹣，所以B点坐标为（﹣，0）；把A（1，2）代入y=kx+b得k+b=2，则b=2﹣k，∵S△AOB=4，∴|﹣|•2=4，即||=4，∴||=4，解得k=或﹣．故答案为k=或﹣．点评：本题考查了一次函数图象上点坐标特征：一次函数y=kx+b（k≠0）图象上点满足其解析式．10．（2013•东营）如图，已知直线l：y=x，过点A（0，1）作y轴垂线交直线l于点B，过点B作直线l垂线交y轴于点A1；过点A1作y轴垂线交直线l于点B1，过点B1作直线l垂线交y轴于点A2；…按此作法继续下去，则点A2013坐标为（0，42013）或（0，24026）．考点：规律型：点坐标；一次函数图象上点坐标特征．专题：压轴题．分析：根据所给直线解析式可得l与x轴夹角，进而根据所给条件依次得到点A1，A2坐标，通过相应规律得到A2013坐标即可．解答：解：∵直线l解析式为：y=x，∴l与x轴夹角为30°，∵AB∥x轴，∴∠ABO=30°，∵OA=1，∴AB=，∵A1B⊥l，∴∠ABA1=60°，∴AA1=3，∴A1（0，4），同理可得A2（0，16），…，∴A2013纵坐标为：42013，∴A2013（0，42013）．故答案为：（0，42013）．点评：本题考查是一次函数综合题，先根据所给一次函数判断出一次函数与x轴夹角是解决本题突破点；根据含30°直角三角形特点依次得到A、A1、A2、A3…点坐标是解决本题关键．11．（2013•成都）已知点（3，5）在直线y=ax+b（a，b为常数，且a≠0）上，则值为﹣．考点：一次函数图象上点坐标特征．分析：将点（3，5）代入直线解析式，可得出b﹣5值，继而代入可得出答案．解答：解：∵点（3，5）在直线y=ax+b上，∴5=3a+b，∴b﹣5=﹣3a，则==．故答案为：﹣．点评：本题考查了一次函数图象上点坐标特征，注意直线上点坐标满足直线解析式．12．（2004•郑州）点M（﹣2，k）在直线y=2x+1上，点M到x轴距离d= 3 ．考点：一次函数图象上点坐标特征．专题：计算题．分析：将x=﹣2代入即可求得点M到x轴距离．解答：解：∵点M（﹣2，k）在直线y=2x+1上，∴k=2×（﹣2）+1=﹣3，故点M到x轴距离d=|﹣3|=3．点评：解答此题要熟知一次函数图象上点坐标特点，即一次函数图象上点纵坐标绝对值即为点到x轴距离．13．（2013•杨浦区二模）将直角坐标系中一次函数图象与坐标轴围成三角形，叫做此一次函数坐标三角形．例如，图中一次函数图象与x、y轴分别交于点A、B，则△ABO为此一次函数坐标三角形，一次函数坐标三角形周长是12 ．14．（2013•浦东新区模拟）已知点P在直线y=﹣2x﹣3上，且点P到x轴距离是4，那么点P坐标是．15．（2013•齐齐哈尔）函数y=﹣（x﹣2）0中，自变量x取值范围是x≥0且x≠3且x≠2．二．解答题（共15小题）16．（2012•花都区一模）直线l：y=mx+n（m、n是常数）图象如图所示，化简：．17．若函数y=（a+3b）x+（2﹣a）是正比例函数且图象经过第二、四象限，试化简：．18．已知一次函数y=（k﹣2）x﹣3k2+12．（1）k为何值时，图象经过原点；（2）k为何值时，图象与直线y=﹣2x+9交点在y轴上；（3）k为何值时，图象平行于y=﹣2x图象；（4）k为何值时，y随x增大而减小．19．如图，直线y=x+b（b＞0）与x轴负半轴、y轴正半轴分别交于A、B两点，正比例函数y=kx（k＜0）图象与直线AB交于点Q，过A、B两点分别作AM⊥OQ于M，BN⊥OQ于N，若AM=10，BN=3，（1）求A、B两点坐标；（用b表示）（2）图中有全等三角形吗？若有，请找出并说明理由．（3）求MN长．20．若点（m，n）在一次函数y=2x﹣8图象上，先化简，再求值：．21．在平面直角坐标系中，已知直线y=mx+n（m＜0，n＞0），若点A（﹣2，y1）、（﹣3，y2）、C（1，y 3）在直线y=mx+n上，则y1、y2、y3大小关系为：y3＜y1＜y2（请用“＜”符号连接）．22．已知：直线y=x+1与x轴交于点A，与y轴交于点B．（1）分别求出A、B两点坐标．（2）过A点作直线AP与y轴交于点P，且使OP=2OB，求△ABP面积．23．已知一次函数y=ax+b图象经过点，，C（﹣2，c）．求a2+b2+c2﹣ab ﹣bc﹣ca值．24．如图，平面直角坐标系中，直线y=x﹣2与x轴相交于点A，点B（4，3），（1）求点A坐标；（2）画出线段AB绕点A逆时针旋转90°后线段A B′，并求出点B′坐标．25．已知A、B坐标分别为（﹣2，0）、（4，0），点P在直线y=0.5x+2上，横坐标为m，如果△ABP为直角三角形，求m值．26．（2003•甘肃）如图，在梯形ABCD中，BC∥AD，∠A=90°，AB=2，BC=3，AD=4，E为AD中点，F为CD中点，P为BC上动点（不与B、C重合）．设BP为x，四边形PEFC面积为y，求y关于x函数关系式，并写出x取值范围．。

北师大版初二上_一次函数讲义全

第四章：一次函数◆4.1函数1．函数的概念一般地,在一个变化过程中有两个变量x和y,如果给定一个x值,相应地就确定了一个y 值,那么我们称y是x的函数．其中x是自变量,当自变量取一个值时,另一个变量就有唯一确定的值与它对应,这也是我们判断两个变量是否构成函数关系的依据．辨误区自变量与另一个变量的对应关系若y是x的函数,当x取不同的值时,y的值不一定不同．如：y＝x2中,当x＝2,或x＝－2时,y的值都是4.[例1－1] 下列关于变量x,y的关系式：①x－3y＝1；②y＝|x|；③2x－y2＝9.其中y是x 的函数的是< >．A．①②③ B．①② C．②③ D．①②[例1－2] 已知y＝2x2＋4,<1>求x取错误!和－错误!时的函数值；<2>求y取10时x的值．.谈重点函数中变量的对应关系当自变量取一个值时,另一个变量就会有唯一的值与之相对应；当另一个变量取某一数值,则自变量并不一定有唯一的值与之相对应,所以另一个变量与自变量并不是一一对应的关系．2．函数关系式用来表示函数关系的等式叫做函数关系式,也称为函数解析式或关系表达式．谈重点函数关系式中的学问①函数关系式是等式．②函数关系式中指明了哪个是自变量,哪个是函数．通常等式右边的代数式中的变量是自变量,等式左边的一个字母表示函数．③函数的解析式在书写时有顺序性．例如,y＝x＋1是表示y是x的函数．若写成x＝y－1就表示x是y的函数．也就是说：求y与x的函数关系式,必须是用只含变量x的代数式表示y,即得到的等式<解析式>左边只含一个变量y,右边是含x的代数式．[例2]已知等腰三角形的周长为36,腰长为x,底边上的高为6,若把面积y看做腰长x的函数,试写出它们的函数关系式．3．自变量的取值范围<1>使函数有意义的自变量的全体取值叫做自变量的取值范围．<2>自变量的取值范围的确定方法：首先,要考虑自变量的取值必须使解析式有意义．当解析式是整式时,自变量的取值范围是全体实数；当解析式是二次根式时,自变量的取值范围是使被开方数不小于0的实数；当解析式中含有零整数幂或负整数指数幂时,自变量的取值应使相应的底数不为0；其次,当函数解析式表示实际问题时,自变量的取值还必须使实际问题有意义．[例3]若等腰三角形的周长为50 cm,底边长为x cm,一腰长为y cm,y与x的函数关系式为y＝错误!<50－x>,则变量x的取值范围是__________．4．函数的表示方法函数的表示方法一般有三种：列表法、图象法、解析法,以解析法应用较多．有的函数可以用三种方法中的任何一种来表示,而有的只能用其中的一种或两种来表示．<1>列表法：列一张表,第一行表示自变量取的各个值,第二行表示相应的函数值,这种表示函数关系的方法称为列表法．<2>图象法：通过建立平面直角坐标系,以自变量取的每一个值为横坐标,以相应的函数值为纵坐标,描出每一个点,由所有这些点组成的图形称为这个函数的图象,这种表示函数关系的方法称为图象法．<3>解析法：用式子表示函数关系的方法称为解析法,这样的式子称为函数的解析式．析规律函数的三种表示方法三种表示方法各有优缺点,应用时要视具体情况,选择适当的表示方法,或将三种方法结合使用．①列表法：优点是能明显地显现出自变量与对应的函数值,缺点是取值有限；②图象法：优点是形象、直观、清晰地呈现出函数的一些性质,缺点是求得的函数值是近似的；③解析法：优点是简明扼要、规范准确,并且可以根据解析式列表、画图象,进而研究函数的性质；缺点是有些函数无法写出解析式,只能列出表格或画出图象来表示．[例4]你一定知道乌鸦喝水的故事吧！一个紧口瓶中盛有一些水,乌鸦想喝,但是嘴够不着瓶中的水,于是乌鸦衔来一些小石子放入瓶中,瓶中水面的高度随石子的增多而上升,乌鸦喝到了水．但是还没解渴,瓶中水面就下降到乌鸦够不着的高度,乌鸦只好再去衔些石子放入瓶中,水面又上升,乌鸦终于喝足了水,哇哇地飞走了．如果设衔入瓶中石子的体积为x ,瓶中水面的高度为y ,下面能大致表示上面故事情节的图象是< >．5.怎样判定函数关系<1>从关系式判定函数由函数的定义知道,在某个变化过程中,有两个变量x 和y ,对于x 每一个确定的值,y 都有且只有一个值与之对应,当x 取不同的值时,y 的值可以相等也可以不相等,但如果一个x 的值对应着两个不同的y 值,那么y 一定不是x 的函数．根据这一点,我们可以判定一个关系式是否表示函数．<2>从表格中判定函数根据函数的定义知道,从表格中理解函数仍然是先看是否只有两个变量,再看对于变量x 每一个确定的值,y 是否都有唯一的值和它对应,也就是说x 若取相同的值,y 必须是相同的值．<3>从图象上判定函数根据函数的定义知道,每一个x 值只能对应唯一的一个y 值,因此要判断哪些图形表示的是函数,只要在所给的自变量的取值范围内任作一条垂直于x 轴的直线,若直线与所给图形只有一个交点,则说明这个图形表示的是函数,若交点不止一个,则一定不是函数．[例5－1] 下列表格中能反映y 是x 的函数的是< >．A x －1 1 2 3 －1 y 0 2 4 8 10B x 0 1 2 3 0 y －2 2 3 4 6C x 2 2 2 2 2 y －1 0 1 1 3D x －1 1 2 3 4 y 0 2 4 8 10[例5－2] y x 6.如何判断同一函数学习了函数的概念,判断两个函数是否表示同一函数要看它们是不是满足以下三个条件：<1>自变量的取值范围完全相同．<2>函数值的取值范围完全相同．<3>变形后,两个函数的解析式是一致的,即自变量和函数的对应关系完全相同．如果两个函数满足以上三个条件,那么它们是同一函数．解答这类问题的关键是正确理解上述的三个条件．☆函数的自变量取值范围和解析式为函数的两个基本条件,判断两个函数是否相等的关键是看自变量取值范围和解析式.自变量取值范围和函数值分别相同的函数不一定是相等函数.[例6-1] 下列函数中,与y ＝x 表示同一个函数的是< >．A ．y ＝错误!B ．y ＝|x |C ．y ＝<错误!>2D ．y ＝错误![例6-2]下列各组函数中,哪些是同一函数：①y x =与1y x =+；②1,y x x =-为实数,与1,y x x =-为自然数；③24y x =-与22y x x =-+④11y x =+与11u x =+； ⑤2y x x =2y x =； ⑥2||y x =与2,02,0x x y x x ≥⎧=⎨-<⎩； 7．函数图象的实际应用函数的图象是由点组成的,每个点都具有实际意义,利用函数的图象可以反映实际问题中的关系,同样通过观察函数的图象也可以得到关于实际问题的相关信息．可以说,函数的图象是我们解决实际问题的有效手段和重要的工具．解决函数图象选择问题的关键是在阅读反映实际问题的文字语言的同时,对图象进行观察、分析,获取有效的解题信息．解答这类问题主要是利用数形结合的思想分析问题、解决问题．[例7]父亲节,学校"文苑"专栏登出了某同学回忆父亲的小诗："同辞家门赴车站,别时叮咛语千万,学子满载信心去,老父怀抱希望还．"如果用纵轴y表示父亲和学子在行进中离家的距离,横轴t表示离家的时间,那么下面与上述诗意大致吻合的图象是< >．………………………………………………………………………………◆4.2一次函数与正比例函数1．一次函数的定义若两个变量x,y之间的关系式可以表示成y＝kx＋b<k,b为常数,k≠0>的形式,则称y是x的一次函数<x是自变量>．谈重点一次函数的条件函数是一次函数必须符合下列两个条件：<1>关于两个变量x,y的次数是1；<2>必须是关于两个变量的整式．[例1]下列函数中,是一次函数的是< >．A．y＝7x2B．y＝x－9 C．y＝错误! D．y＝错误!2．正比例函数的定义对于一次函数y＝kx＋b,当b＝0,即y＝kx<k为常数,且k≠0>时,我们称y是x的正比例函数．辨误区一次函数与正比例函数的关系需要注意的是正比例函数是一次函数的特殊情况,特殊之处在于b＝0,且k≠0,因此,正比例函数一定是一次函数,但一次函数并不一定是正比例函数．[例2]下列函数中,是正比例函数的是< >．A．y＝－2x B．y＝－2x＋1 C．y＝－2x2D．y＝－错误!辨误区正比例函数的判断要判断一个函数是否是正比例函数,首先看它是否为一次函数,也就是能否转化为y＝kx ＋b<k≠0>的形式；其次要清楚正比例函数是特殊的一次函数,函数解析式能否转化为y＝kx<k≠0>的形式．3．根据条件列一次函数关系式列函数关系式是培养数学应用能力和抽象思维能力的一种方法,解决这类问题的基本思路为：首先要认真审题,抓住关键词,找出问题中的变量并用字母表示,然后根据题意列出函数关系式．点技巧如何列函数关系式列关系式时,一定要先知道两个变量,并且弄清谁是自变量．[例3] 甲、乙两地相距30 km,某人从甲地以每小时4 km的速度走了t h到达丙地,并继续向乙地走．<1>试分别确定甲、丙两地距离s1<km>及丙、乙两地距离s2<km>与时间t<h>之间的函数关系式．<2>它们是什么函数．4．一次函数与正比例函数的联系与区别若两个变量x,y之间的关系可以表示成y＝kx＋b<k,b为常数,k≠0>的形式,则称y是x 的一次函数,特别地当b＝0时,称y是x的正比例函数,显然正比例函数是一次函数,而一次函数不一定是正比例函数,正比例函数是一次函数的特殊情况．区别：①正比例函数是一次函数,但一次函数不一定是正比例函数；②正比例函数的图象一定经过原点及经过两个象限,但一次函数一般不经过原点,通常情况下要经过三个象限．__①两种函数的图象都是一条直线；②两种函数的增减性相同；③当b＝0时,一次函数转化为正比例函数,因此正比例函数是一次函数的特例．[例4－1]在下列函数中,x是自变量,哪些是一次函数？哪些是正比例函数？<1>y＝3x；<2>y＝错误!；<3>y＝－3x＋1；<4>y＝x2.[例4－2] 已知正比例函数中自变量每增加一个单位,函数值就减少2个单位,求函数的解析式．5．用一次函数解决实际问题函数与我们的生活息息相关,生活中的许多问题可以通过函数得以解决,如何才能正确地确定两个变量之间的函数关系式呢？具体地说和列一元一次方程解应用题基本相似,即弄清题意和题目中的数量关系,找到能够表示应用题全部含义的一个相等的关系,根据这个相等的数量关系式,列出所需的代数式,从而列出两个变量之间的关系式．辨误区写解析式,定自变量的范围通常确定一个函数,不仅要确定这个函数的解析式,还要确定这个函数的自变量的取值范围．[例5] 一天老王骑摩托车外出旅游,刚开始行驶时,油箱中有油9 L,行驶了1 h后发现已耗油1.5 L.<1>求油箱中的剩余油量Q<L>与行驶的时间t<h>之间的函数关系式,并求出自变量t的取值范围；<2>如果摩托车以60 km/h的速度匀速行驶,当油箱中的剩余油量为3 L时,老王行驶了多少千米？………………………………………………………………………………◆4.3一次函数的图象1．函数的图象对于一个函数,我们把它的自变量x与对应的变量y的值分别作为点的横坐标和纵坐标,在直角坐标系中描出它的对应点,所有这些点组成的图形就叫做该函数的图象．谈重点函数图象与点的坐标的关系<1>函数图象上的任意点P<x,y>必满足该函数关系式．<2>满足函数关系式的任意一对x,y的值,所对应的点一定在该函数的图象上．<3>判定点P<x,y>是否在函数图象上的方法是：将点P<x,y>的坐标代入函数表达式,如果满足函数表达式,这个点就在函数的图象上；如果不满足函数的表达式,这个点就不在函数的图象上．[例1] 判断下列各点是否在函数y＝2x－1的图象上．A<2,3>, B<－2,－3>．2．函数图象的画法画函数图象的一般步骤：<1>列表：列表给出自变量与函数的一些对应值,通常把自变量x的值放在表的第一行,其对应函数值放在表的第二行,其中x的值从小到大．<2>描点：以表中每对对应值为坐标,在平面直角坐标系内描出相应的点．描点时一般把关键的点准确地描出,点取得越多,图象越准确．<3>连线：按照自变量从小到大的顺序,把所描的点用平滑的曲线连接起来．释疑点平滑曲线的特点所谓的"平滑曲线",现阶段可理解为符合图象的发展趋势、让人感觉过渡自然、比较"平""滑"的线,实际上有时是直线．[例2] 作出一次函数y＝－2x－1的图象．分析：取几组对应值,列表,描点,连线即可．解：列表：x …－2－101…y …31－1－3…描点：以表中各组对应值作为点的坐标,在坐标系中描出相应的点．连线：把这些点连起来．注：一次函数y＝－2x－1的图象是直线,连线时,两端要露头．3.一次函数的图象和性质<1>一次函数的图象和性质①一次函数的图象：一次函数y＝kx＋b<k≠0>的图象是一条直线．由于两点确定一条直线,因此画一次函数的图象,只要描出图象上的两个点错误!,过这两点作一条直线就行了．我们常常把这条直线叫做"直线y＝kx＋b"．②一次函数中常量k,b<k≠0>：直线y＝kx＋b<k≠0>与y轴的交点是<0,b>,当b＞0时,直线与y轴的正半轴相交；当b＜0时,直线与y轴的负半轴相交；当b＝0时,直线经过原点,此时一次函数即为正比例函数．一次函数y＝kx＋b中的k,决定了直线的倾斜程度,k的绝对值越大,则直线越接近y轴,反之,越靠近x轴．③一次函数y＝kx＋b<k≠0>的性质：当k＞0时,直线y＝kx＋b从左向右上升,函数y的值随自变量x的增大而增大；当k＜0时,直线y＝kx＋b从左向右下降,函数y的值随自变量x的增大而减小．<2>正比例函数的图象和性质①正比例函数的图象：一般地,正比例函数y＝kx<k是常数,k≠0>的图象是一条经过原点的直线,我们称它为直线y＝kx.在画正比例函数y＝kx的图象时,一般是经过点<0,0>和<1,k>作一条直线．②正比例函数y＝kx的性质：当k＞0时,直线y＝kx经过第一、三象限,从左往右上升,即y随x的增大而增大；当k＜0时,直线y＝kx经过第二、四象限,从左往右下降,即y随x 的增大而减小．[例3－1]作出一次函数y＝－3x＋3的图象．[例3－2]若一次函数y＝<2m－6>x＋5中,y随x增大而减小,则m的取值范围是________．[例3－3]下图表示一次函数y＝kx＋b与正比例函数y＝kx<k,b是常数,且k≠0>图象的是< >．4．k,b的符号与直线所过象限的关系学习了一次函数y＝kx＋b<k≠0>,我们知道一次函数图象经过哪些象限是由k,b的符号决定的．一般分为四种情况：<1>k＞0,b＞0时,图象过第一、二、三象限；<2>k＞0,b＜0时,图象过第一、三、四象限；<3>k＜0,b＞0时,图象过第一、二、四象限；<4>k＜0,b＜0时,图象过第二、三、四象限．析规律 k,b的符号与直线的关系根据一次函数y＝kx＋b中k,b的符号可以确定图象所经过的象限；根据函数图象所经过的象限,可以确定k,b的符号．解决有关问题,应熟练把握k,b的符号与函数图象所经过象限的几个类型,并能灵活应用．[例4－1] 一次函数y＝kx＋b的图象经过第二、三、四象限,则正比例函数y＝kbx图象经过哪个象限？[例4－2]如图是一次函数y＝kx＋b的图象的大致位置,试分别确定k,b的正负号,并判断一次函数y＝<－k－1>x－b的图象所经过的象限．5.一次函数图象与坐标轴的交点一次函数的图象是直线,这条直线与x轴交于点错误!,与y轴交于点<0,b>．考查直线与两坐标轴的交点的问题常见的有三类：<1>判定直线所过的象限,一般给出函数关系式,判定直线经过哪几个象限或确定不经过哪个象限．<2>求直线的解析式,一般先设出函数关系式为y＝kx＋b<k≠0>,把已知的两点的坐标分别代入,求出k,b的值即可．<3>求两交点与坐标轴围成的三角形的面积,由于这个三角形是直角三角形,利用面积公式即可．[例5] 如图,已知直线y＝kx－3经过点M<－2,1>,求此直线与x轴,y轴的交点坐标,并求出与坐标轴所围的三角形的面积．6．关于一次函数的最值问题对于一般的一次函数,由于自变量的取值范围可以是全体实数,因此不存在最大、最小值<简称"最值">,但在实际问题中,因题目中的自变量受到实际问题的限制,所以就有可能出现最大值或最小值．求解这类问题,先分析问题中两个变量之间的关系是否适合一次函数模型,再在自变量允许的取值范围内建立一次函数模型．运用一次函数解决实际问题的关键是根据一次函数的性质来解答．除正确确定函数表达式外,利用自变量取值范围去分析最值是解题的关键．"在生活中学数学,到生活中用数学",是新课标所倡导的一个主旨之一,在考题中,有许多利用数学知识求解生活中的实际问题的试题,考查同学们利用所学知识求解实际问题的能力．[例6] 某报刊销售亭从报社订购晚报的价格是0.7元,销售价是每份1元,卖不掉的报纸可以以每份0.2元的价格退回报社,若每月按30天计算,有20天每天可卖出100份报纸,其余10天每天只能卖出60份,但每天报亭从报社订购的份数必须相同,报亭每天从报社订购多少份报纸,才能使每月所获得的利润最大？………………………………………………………………………………◆4.4一次函数的应用1．确定一次函数表达式<1>借助图象确定函数的表达式先观察直线是否过坐标原点,若过原点,则为正比例函数,可设其关系式为y＝kx<k≠0>；若不过原点,则为一次函数,可设其关系式为y＝kx＋b<k≠0>；然后再观察图象上有没有明确几个点的坐标．对于正比例函数,只要知道一个点的坐标即可；对于一次函数,则需要知道两个点的坐标；最后将各点坐标分别代入y＝kx或y＝kx＋b中,求出其中的k,b,即可确定出其关系式．<2>确定正比例函数、一次函数表达式需要的条件①由于正比例函数y＝kx<k≠0>中只有一个未知系数k,故只要一个条件,即一对x,y的值或一个点的坐标,就可以求出k的值,确定正比例函数的表达式．②一次函数y＝kx＋b<k≠0>有两个未知系数k,b,需要两个独立的关于k,b的条件,求得k,b的值,这两个条件通常是两个点的坐标或两对x,y的值．[例1]如图,直线AB对应的函数表达式是< >．A．y＝－错误!x＋3 B．y＝错误!x＋3 C．y＝－错误!x＋3 D．y＝错误!x＋3点技巧用待定系数法求直线解析式由图象观察可知该函数为一次函数,故应设成y＝kx＋b<k≠0>的形式,再将A,B两点坐标代入该关系式,即可求出k,b,从而确定出具体的关系式．2．待定系数法<1>定义：先设出式子中的未知系数,再根据条件求出未知系数,从而写出这个式子的方法,叫做待定系数法,其中的未知数也称为待定系数．<2>用待定系数法求解析式的一般步骤：①根据已知条件写出含有待定系数的解析式；②将x,y的几对值或图象上几个点的坐标代入上述的解析式中,得到以待定系数为未知数的方程或方程组；③解方程<组>,得到待定系数的值；④将求出的待定系数代回所求的函数解析式中,得到所求函数的解析式．[例2－1] 一次函数图象如图所示,求其解析式．[例2－2] 在直角坐标系中,一次函数y＝kx＋b的图象经过三点A<2,0>,B<0,2>,C<m,3>,求这个函数的表达式,并求m的值．解：根据题意,得2k＋b＝0①,b＝2, km＋b＝3②,把b＝2代入①,得2k＋2＝0,即k＝－1；把b＝2,k＝－1代入②,得m＝－1.故函数的表达式为y＝－x＋2.3．一次函数的实际应用<1>通过图象获取信息通过观察一次函数的图象获取有用的信息是我们在日常生活中经常遇到的问题,要掌握这个重点在于对函数图象的观察和分析,观察函数图象时,首先要看横轴、纵轴分别代表的是什么,也就是观察图象反映的是哪两个变量之间的关系．释疑点函数图象中的特殊点观察图象获取信息时,一定要注意图象上的特殊点,这些特殊点对我们解决问题有很大的帮助．<2>一次函数图象的应用一次函数和正比例函数是我们接触到的最简单的函数,它们的图象和性质在现实生活中有着广泛的应用．利用一次函数和正比例函数的图象解决问题是本节的一个重点,这部分内容在中考中占有重要的地位．谈重点函数y＝kx＋b图象的变化形式在实际问题中,当自变量的取值范围受到一定的限制时,函数y＝kx＋b<k≠0>的图象就不再是一条直线．要根据实际情况进行分析,其图象可能是射线、线段或折线等等．[例3－1]甲、乙两个工程队分别同时开挖两段河渠,所挖河渠的长度y<m>与挖掘时间x<h>之间的关系如图所示,请根据图象所提供的信息解答下列问题：<1>乙队开挖到30 m时,用了________ h．开挖6 h时甲队比乙队多挖了__________ m.<2>请你求出：①甲队在0≤x≤6的时段内,y与x之间的函数关系式；②乙队在2≤x≤6的时段内,y与x之间的函数关系式．<3>当x为何值时,甲、乙两队在施工过程中所挖河渠的长度相等？[例3－2] 某单位急需用车,但又不准备买车,他们准备和一个体车主或一国有出租车公司签订月租车合同．设汽车每月行驶x km,应付给个体车主的月费用为y1元,应付给国有出租车公司的月费用是y2元,y1,y2分别与x之间的函数关系图象<两条射线>如图,观察图象回答下列问题：<1>每月行驶的路程在什么范围内时,租国有出租车公司的车合算？<2>每月行驶的路程等于多少时,租两家车的费用相同？<3>如果这个单位估计每月行驶的路程为2 600 km,那么这个单位租哪家车合算？析规律函数图象交点规律两函数图象在同一坐标系中,当取相同的自变量时,下方图象对应的函数的函数值小；交点处的函数值相等．4．一次函数和一元一次方程的关系当一次函数y＝kx＋b<k≠0>中的函数值为0时,可得0＝kx＋b即kx＋b＝0,这在形式上变成了求关于x的一元一次方程,也就是说,当一次函数y＝kx＋b的函数值为0时,相应的自变量的值即为方程kx＋b＝0的解；若从图象上来看,则可看做函数y＝kx＋b的图象与x轴的交点的横坐标,即为方程kx＋b＝0的解．由此可见,方程与函数是密不可分的．[例4] 某汽车生产厂对其生产的A型汽车进行耗油量实验,实验中汽车视为匀速行驶．已知油箱中的余油量y<L>与行驶时间t<h>的关系如下表,与行驶路程x<km>的关系如下图．请你根据这些信息求A行驶时间t<h>012 3油箱余油量y<L>1008468525一次函数y＝kx＋b<k≠0>的图象可以看做由直线y＝kx平移|b|个单位长度而得到<当b ＞0时,向上平移；当b＜0时,向下平移>．实际上就是指一次函数y＝kx＋b的图象沿y轴平移时,在b的位置上按照"上加下减"的规律进行．如：一次函数l1：y＝错误!x＋2的图象可以看做是由正比例函数l：y＝错误!x的图象沿y轴向上平移2个单位长度得到的；一次函数l2：y＝错误!x－2的图象可以看做是由正比例函数l：y＝错误!x的图象沿y轴向下平移2个单位长度得到的．思考：函数图像左右移动解析式如何变化呢？[例5] 如图所示,将直线OA向上平移1个单位长度,得到一个一次函数的图象,那么这个一次函数的解析式是__________．析规律平移中的函数解析式解决平移问题可以对性质进行记忆直接运用,也可以找出平移后借助坐标系运用待定系数法求解．平移前后k的值不变,改变的是b的值．6.函数、方程和不等式的完美结合从"数"的角度看,由于任何一元一次方程都可以转化为ax＋b＝0<a,b为常数,且a≠0>的形式,所以解一元一次方程可以看做：当一次函数y＝ax＋b的值为0时,求相应的自变量的值；反之,求自变量x为何值时,一次函数y＝ax＋b的值为0,只要求出方程ax＋b＝0的解即可．由于任何一元一次不等式都可以转化为类似ax＋b＞0或ax＋b＜0的形式,所以解一元一次不等式可以看做：当一次函数y＝ax＋b的值大<小>于0时,求自变量相应的取值范围；反之,求一次函数y＝ax＋b的值何时大<小>于0时,只要求出不等式ax＋b＞0或ax＋b＜0的解集即可．从一元一次方程、一元一次不等式与一次函数的关系可以看出,三者最终能用函数观点统一起来,并且达到一种完美的结合,这种结合,又常常在一些考题中得以体现．[例6] 已知一次函数x －2－1012 3y 6420－2－4。

一次函数之等腰直角三角形的存在性 (习题及答案).

一次函数之等腰直角三角形的存在性（习题）
1.如图，直线y =-1
x + 2 与x 轴、y 轴分别交于点A，B，点D 3
是线段OA 的中点，点P 是第一象限内一点，且使△BDP 是等腰直角三角形，则点P 的坐标为．
2.如图，直线AB：y=-x+b 交y 轴于点A(0，4)，交x 轴于点B，
直线l 垂直平分OB 交AB 于点D，交x 轴于点E，点P 是直线l 上一点，且在点D 的上方，PD=4．
（1）求点P 的坐标；
（2）以PB 为直角边作等腰直角△PBQ，直接写出所有符合条件的点Q 的坐标．
3.如图，直线y=-2x+4 与x 轴、y 轴分别交于点A，B，点P 是
直线x=5 上的一个动点，点Q 是射线AB 上的一个动点，若△APQ 为等腰直角三角形，则点Q 的坐标为．
4.如图，直线l1：y=-x+10 与y 轴交于点A，与直线l2：y 1 x 2
交于点B，点C 是线段AB 上的一动点，过点C 作y 轴的平行线交直线l2 于点D，点P 是y 轴上一动点，且满足△CDP 是等腰直角三角形，则点P 的坐标为．
【参考答案】
1. (2，5)，(5，3)，( 5
，
5
)．
2 2
2. （1）点P 的坐标为(2，6)；
（2）点Q 的坐标为(-4，4)，(8，8)，(-2，-2) 或(10，2)．
3. ( 1
，3)，(-4，12)，(-1，6)；
2
4. (0，6)，(0，2)，(0，30
)．7。

一次函数之等腰直角三角形存在性(北师版)(含答案)

学生做题前请先回答以下问题问题1：什么是存在性问题？问题2：一次函数背景下解决存在性问题的思考方向是什么？问题3：等腰直角三角形根据什么分类？如何确定点的位置？一次函数之等腰直角三角形存在性（北师版）一、单选题(共6道，每道16分)1.如图，直线与x轴、y轴分别交于点A，点B，点P是第四象限内一点，且△ABP为等腰直角三角形，则点P的坐标为( )A.B.C.D.答案：D解题思路：试题难度：三颗星知识点：一次函数之存在性问题2.如图，直线与x轴、y轴分别交于点A，点B，点.点P是平面内一点，若△ABP是以点A为直角顶点的等腰直角三角形，则点P的坐标为( )A.B.C.D.答案：A解题思路：试题难度：三颗星知识点：一次函数之存在性问题3.如图，直线与x轴、y轴分别交于点A，点B，点D是线段OA的中点，点P 是第一象限内一点，且使△BDP是等腰直角三角形，则点P的坐标为( )A.（2，5），（5，2），B.（2，5），（5，3），C.（2，8），（8，2），（4，4）D.（2，5），（5，3），（4，4）答案：B解题思路：试题难度：三颗星知识点：一次函数之存在性问题4.如图，在平面直角坐标系中，A（a，0），B（0，b），且a，b满足.若第二象限内存在点M，使△ABM是等腰直角三角形，则点M的坐标为( )A.（-6，2），（-4，6），B.（6，2），（4，6），C.（-6，2），（-4，6），D.（-4，2），（-4，2），答案：C解题思路：试题难度：三颗星知识点：一次函数之存在性问题5.如图，在平面直角坐标系中，OA=OB=OC=6，过点A的直线AD交BC于点D，交y轴于点G，△AOG的面积为△ABC面积的．（1）过点C作CE⊥AD，交AB交于F，垂足为E．则点F的坐标为( )A.（0，2）B.（0，4）C.（2，0）D.（4，0）答案：C解题思路：试题难度：三颗星知识点：一次函数与几何综合6.（上接试题5）（2）在（1）的条件下，点P是平面内一点，若△CFP是以点P为直角顶点的等腰直角三角形，则点P的坐标为( )A.(4，4)，(-2，2)B.(6，8)，(8，2)，(4，4)C.(6，8)，(8，2)，(-2，2)D.(6，8)，(8，2)，(4，4)，(-6，4)，(-4，-8)，(-2，2)答案：A解题思路：试题难度：三颗星知识点：一次函数之存在性问题。

一次函数之等腰三角形存在性(一)(北师版)(含答案)

学生做题前请先回答以下问题问题1：如图，AD是△ABC的外角∠CAE的平分线，∠B=35°，∠DAC=60°，则∠ACD的度数为( )问题2：如图，在△ABC中，AE平分∠BAC交BC于点E，BF平分∠ABC交AC于点F，AE，BF相交于点O．若∠BAC=50°，∠C=70°，则∠BOE的度数为( )问题3：如图，D是AC上一点，F是CE上一点，DF的延长线与AE的延长线交于点B，若∠A=45°，∠B=30°，∠C=40°，则∠BFC的度数为( )问题4：如图，在△ABC中，∠BAC=50°，∠ABC=60°，AD⊥BC，BE⊥AC，垂足分别为D，E，AD，BE相交于点H，则∠AHB的度数为( )问题5：如图，在△ABC中，E是CA延长线上一点，点D在BC上，DE交AB于点F，若∠C=90°，∠B=45°，∠E=30°，则∠BFD的度数为( )问题6：如图，EG∥AD，EG交AB于点F，交CA的延长线于点G，若∠B=20°，∠GFA=30°，则∠ADC的度数为( )问题7：已知：如图，AB∥CD，∠B=65°，∠E=20°，则∠D的度数为( )问题8：如图，已知∠B=∠ADB，∠3=55°，∠2=20°，则∠1的度数为( )一次函数之等腰三角形存在性（一）（北师版）一、单选题(共5道，每道20分)1.在平面直角坐标系中，已知两个点A(3，0)，B(0，2)，在y轴上是否存在点p，使△ABP 为等腰三角形，若存在，点P的坐标为( )A.B.C.D.答案：B解题思路：试题难度：三颗星知识点：等腰三角形存在性2.在平面直角坐标系内，已知一次函数y=-x+6的图象与x、y轴分别交于A、B两点，点P 是直线AB上的一个动点，当△OAP为等腰三角形时，点P的坐标为( )A.B.C.D.答案：A解题思路：试题难度：三颗星知识点：等腰三角形存在性3.如图，直线与x轴、y轴分别交于A，B两点，点P是x轴上的动点，若使△ABP为等腰三角形，则点P的坐标是( )A.B.C.D.答案：C解题思路：试题难度：三颗星知识点：等腰三角形存在性4.如图，直线与x轴、y轴分别交于A，B两点，过点O作OC⊥AB于点C，点P是线段OA上的动点，若使△PAC为等腰三角形，则点P的坐标是( )A.B.C.D.答案：A解题思路：试题难度：三颗星知识点：等腰三角形存在性5.如图，直线与x轴、y轴分别交于A，B两点，点P是线段AB上的动点，若使△OAP为等腰三角形，则点P的坐标是( )A.B.C.D.答案：A解题思路：试题难度：三颗星知识点：等腰三角形存在性学生做题后建议通过以下问题总结反思问题1：本套试题是对等腰三角形存在性问题的训练，应用的存在性问题的处理框架，我们一起来小结一下吧！一次函数背景下的存在性问题，首先第一步是：研究背景图形，即把函数信息中的_____________转化到几何图形中.问题2：第二步是：分析不变特征，确定分类标准；具体分析过程是什么？。

一次函数之全等三角形存在性(北师版)(含答案)

一次函数之全等三角形存在性（北师版）一、单选题(共6道，每道16分)1.如图，直线与x轴、y轴分别交于A，B两点，若x轴的负半轴、y轴的负半轴上分别存在点E，F，使得△EOF与△AOB全等，则直线EF的表达式为( )A.B.C.D.答案：B解题思路：试题难度：三颗星知识点：全等三角形存在性2.如图，直线与x轴、y轴分别交于A，B两点，点C是直线上不与A，B重合的动点．过点C的另一直线CD与y轴相交于点D，若使△BCD与△AOB全等，则点C的坐标为( )A.B.C.D.答案：C解题思路：试题难度：三颗星知识点：全等三角形存在性3.如图，直线y=-2x+4与x轴、y轴分别交于A，B两点，点P(x，y)是直线y=-2x+4上的一个动点，过P作AB的垂线与x轴、y轴分别交于E，F两点，若△EOF与△AOB全等，则点P 的坐标为( ).A.B.C.D.答案：A解题思路：试题难度：三颗星知识点：全等三角形存在性4.如图，直线y=x+2与x轴、y轴分别交于A，B两点，点C是直线y=x+2上不与A，B重合的动点．过点C的另一直线CD与x轴相交于点D，若使△ACD与△AOB全等，则点C的坐标为( )A.B.C.D.答案：D解题思路：试题难度：三颗星知识点：全等三角形存在性5.如图，直线AB与x轴、y轴分别交于A，B两点，已知A(2，0)，B(0，4)，线段CD的两端点在坐标轴上滑动（点C在y轴上，点D在x轴上），且CD=AB．若满足点C在y轴负半轴上，且△COD和△AOB全等，则满足题意的点D有( )个.A.2B.3C.4D.5答案：C解题思路：试题难度：三颗星知识点：全等三角形存在性6.如图，直线与x轴、y轴分别交于A，B两点，点C的坐标为(-3，0)，P(x，y)是直线上的一个动点（点P不与点A重合）．当△OPC的面积为时，点P的坐标为( )A. B.C. D.答案：D解题思路：试题难度：三颗星知识点：一次函数由图形位置不确定引起的分类讨论第11页共11页。

北师大版数学八年级上册第三、四章综合练习题

第三、四章综合练习题一、选择题1、已知点P(0, m)在y轴的负半轴上，则点M(-m, ~m+l)在( )A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限2、一个正比例函数的图象经过(2, -1),则它的表达式为( )1 1A.y=—2XB. y=2xC. y=-~ XD. y=~ X3、点M在X轴上侧，距离X轴5个单位长度，距离y轴3个单位长度，则点M 的坐标为( )A.(5,3)B. (-5, 3)或(5,3)C.(3.5)D. (-3, 5)或(3、5)4、在平面直角坐标系中，点P(2,-3)关于X轴的对称点的坐标是()A. (-2,3)B. (2,3)C. (-2,-3)D. (-3,2)5、笛卡尔是法国著名的数学家，他首先提出并创建了坐标的思想，引入坐标和变量的概念，平面直角坐标系很好地体现了下列哪一种数学思想？( )A.数形结合B.类比C.分类讨论D.建模6、对于一次函数y= —2x+4,下列结论错误的是()A.函数值随自变量的增大而减小B.函数的图象不经过笫三象限C.函数的图象向下平移4个单位长度得丁=一2x的图象D.函数的图象与X轴的交点坐标是(0, 4)7、在平面直角坐标系中的坐标轴上，到原点的距离为2的点有( )A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个已知点A (x, y)是第二象限的点，且∣x∣=2, ∣y∣ = 3,则点B (_x,—y) 的坐标是( )A.(2,3)B.(2,-3)C.(-2,-3)D.(-2,3)9、在平面直角坐标系中，点(・3, 7√+l) 一定在( )A.第四象限B.第三象限C.第二象限D.第一象限10、已知点M(l, a)和点N(2, b)是一次函数y= -2x+1图象上的两点，则a与b的大小关系是( )A. d>bB. ci — bC. a<bD.以上都不对二、填空题11、___________________________________________________________ 如果直线AB平行于X轴，则点A, B的坐标之间的关系是 ___________________12、___________________________________________________________ 若点P1(m,-1)关于原点的对称点是卩2(2,兀)，则m + n的值是_____________13、一次函数y= (m+2)x+l,若y随X的增大而增大，则m的取值范围是_14、将直线y=2x+l向下平移3个单位长度后所得直线的表达式是_.15、____________________________________________________ 直线y=—X与直线y=x+2与X轴围成的三角形面积是 ______________________ .16、_______________________________________________________________ 若√^z3+(b÷2)2=0,则点M(a, b)关于y轴的对称点的坐标为__________________三、解答题17、已知点A(χ-5, 2χ-4)在第一、三象限的角平分线上，求点A的坐标.18^已知一次函数y=ax+b.(1)当点P(a, b)在第二象限时，直线y =ax+b经过哪儿个象限？(2)如果ab<O,且y随X的增大而增大，则函数的图象不经过哪些象限?19、某通讯公司手机话费收费有/套餐(月租费15元，通话费每分钟0.1元) 和B套餐(月租费0元,通话费每分钟0.15元)两种.设A套餐每月话费为刃(元)，E套餐为y2(元)，月通话时间为X分钟.⑴分别表示出刃与X，y2与X的函数关系式；(2)月通话时间多长时，/, E两种套餐收费一样？(3)什么情况下/套餐更省钱？20、对于a、b定义两种新运算“*”和“□”：a*b=a+kb, a□b=ka+b (其中A■为常数，且dθ).若平面直角坐标系Xoy中的点P(a,b),有点P的坐标为(d*b, Qb)与之相对应，则称点P为点P的啧衍生点”例如：P (1, 4)的“2 衍生点”为P (Z+2×4, 2×1÷4),即P (9, 6).(1)________________________________________点P (・1, 6)的“2衍生点”P的坐标为 __________________________________ •(2)若点P的“3衍生点”P的坐标为(5, 7),求点P的坐标.第三、四章综合练习题参考答案一、选择题1、已知点P(0, m)在y轴的负半轴上，则点M(—m, ~m÷l)在(A )A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限2、一个正比例函数的图象经过(2, -1),则它的表达式为(C)A. γ=—2XB. y=2xC. γ=—5 XD. y=* X3、点M在X轴上侧，距离X轴5个单位长度，距离y轴3个单位长度，则点M 的坐标为(D )A.(5,3)B. (一5, 3)或(5,3)C.(3.5)D. (-3, 5)或(3、5)4、在平面直角坐标系中，点P(2,-3)关于X轴的对称点的坐标是(B)A. (—2,3)B. (2,3)C. (-2,-3)D. (—3,2)5、笛卡尔是法国著名的数学家，他首先提出并创建了坐标的思想，引入坐标和变量的概念，平面直角坐标系很好地体现了下列哪一种数学思想？(A )A.数形结合B.类比C.分类讨论D.建模6、对于一次函数y= —2x+4,下列结论错误的是(D)A.函数值随自变量的增大而减小B.函数的图象不经过第三象限C.函数的图象向下平移4个单位长度得y=—2x的图象D.函数的图象与X轴的交点坐标是(0, 4)7、在平面直角坐标系中的坐标轴上，到原点的距离为2的点有(D)A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个8、已知点A (x, y)是第二象限的点，且∣x∣=2, ∣y∣ = 3,则点B (—x, —y) 的坐标是(D )A.(2,3)B.(2,-3)C.(-2,-3)D.(-2,3)9、在平而直角坐标系中，点(-3, ”,+1) —定在(C )A.第四象限B.第三象限C.第二彖限D.第一象限10、已知点M(l, a)和点N(2, b)是一次函数y= -2x+1图象上的两点，贝IJa与b的大小关系是(A)A. Cc>bB. Cl = bC. a<bD.以上都不对二、填空题11、如果直线AB平行于X轴，则点A, B的坐标之间的关系是_纵坐标相等—12、若点P1(m,-1)关于原点的对称点是P2(2,n),则m + n的值是113、一次函数y= (m+2)x+l,若y随X的增大而增大，则m的取值范围是」 >一2 .14、将直线y=2x+1向下平移3个单位长度后所得直线的表达式是y=2χ-2 .15、直线y=—X与直线y=x+2与X轴围成的三角形面积是1 .16、若√a-3+(b+2)2=0,则点M(a, b)关于y轴的对称点的坐标为(一3, —三、解答题17、已知点A(χ-5, 2χ-4)在第一、三象限的角平分线上，求点A的坐标.解：由题意得x—5 = 2χ-4,解得x=-lt将X—-1代入点A的坐标可知，点A.的坐标为(一6, —6)18、已知一次函数y=ax+b.(1)当点P(a, b)在第二象限时，直线y =ax+b经过哪儿个象限？(2)如果abvθ,且y随X的增大而增大，则函数的图象不经过哪些象限？解：⑴匚点P(a, b)在第二象限，□a<0, b>0, □直线y =ax+b经过第一、二、四象限(2)□y随X的增大而增大，30, 乂□ab<O,匚b<0, □一次函数y =ax+b的图象不经过第二象限19、某通讯公司手机话费收费有/套餐(月租费15元，通话费每分钟0.1元) 和B套餐(月租费0元,通话费每分钟0.15元)两种.设/套餐每月话费为yι(元)，E套餐为力(元)，月通话时间为X分钟.(1)分别表示出yι与X，y2与X的函数关系式；(2)月通话时间多长时，/, B两种套餐收费一样？(3)什么情况下/套餐更省钱？解：(l)yι = 0.1x+15, yι=0.15x(2)III y1=y2得0.Ix+15=0.15x,解得x=300,即月通话时间为300分钟时, A, B两种套餐收费一样(3)当通话时间多于300分钟时，/套餐更省钱20、对于心b定义两种新运算“*”和“□”：a*b=a*b, a~lb=ka+b(其中A■为常数，且炉0).若平面直角坐标系XOy中的点P(a,b),有点P的坐标为(α*b, a∑b)与之相对应，则称点P为点P的啧衍生点”例如：P (b 4)的“2 衍生点”为P (7+2×4, 2×1÷4), BP P f (9, 6)∙(1)点P (・1, 6)的“2衍生点”P的坐标为______ .(2)若点P的“3衍生点的坐标为(5, 7),求点P的坐标.解:略。

北师大版数学八年级上学期期末备考压轴题培优：一次函数(含答案)

期末备考压轴题培优：一次函数1．【模型建立】（1）如图1，等腰直角三角形ABC中，∠ACB＝90°，CA＝CB，直线ED经过点C，过A作AD⊥ED于点D，过B作BE⊥ED于点E．求证：△CDA≌△BEC．【模型运用】（2）如图2，直线l1：y＝x+4与坐标轴交于点A、B，将直线l1绕点A逆时针旋转90°至直线l2，求直线l2的函数表达式．【模型迁移】如图3，直线l经过坐标原点O，且与x轴正半轴的夹角为30°，点A在直线l上，点P 为x轴上一动点，连接AP，将线段AP绕点P顺时针旋转30°得到BP，过点B的直线BC交x轴于点C，∠OCB＝30°，点B到x轴的距离为2，求点P的坐标．证明：【模型建立】（1）∵AD⊥DE，BE⊥DE，∴∠D＝∠E＝90°∵∠ACB＝90°，∴∠ACD＝90°﹣∠BCE＝∠CBE，且CA＝BC，∠D＝∠E＝90°∴△CDA≌△BEC（AAS）【模型运用】（2）如图2，在l2上取D点，使AD＝AB，过D点作DE⊥OA，垂足为E∵直线y＝x+4与坐标轴交于点A、B，∴A（﹣3，0），B（0，4），∴OA＝3，OB＝4，由（1）得△BOA≌△AED，∴DE＝OA＝3，AE＝OB＝4，∴OE＝7，∴D（﹣7，3）设l2的解析式为y＝kx+b，得解得∴直线l2的函数表达式为：【模型迁移】（3）若点P在x轴正半轴，如图3，过点B作BE⊥OC，∵BE＝2，∠BCO＝30°，BE⊥OC∴BC＝4，∵将线段AP绕点P顺时针旋转30°得到BP，∴AP＝BP，∠APB＝30°，∵∠APC＝∠AOC+∠OAP＝∠APB+∠BPC，∴∠OAP＝∠BPC，且∠OAC＝∠PCB＝30°，AP＝BP，∴△OAP≌△CPB（AAS）∴OP＝BC＝4，∴点P（4，0）若点P在x轴负半轴，如图4，过点B作BE⊥OC，∵BE＝2，∠BCO＝30°，BE⊥OC∴BC＝4，∵将线段AP绕点P顺时针旋转30°得到BP，∴AP＝BP，∠APB＝30°，∵∠APE+∠BPE＝30°，∠BCE＝30°＝∠BPE+∠PBC，∴∠APE＝∠PBC，∵∠AOE＝∠BCO＝30°，∴∠AOP＝∠BCP＝150°，且∠APE＝∠PBC，P A＝PB ∴△OAP≌△CPB（AAS）∴OP＝BC＝4，∴点P（﹣4，0）综上所述：点P坐标为（4，0）或（﹣4，0）2．如图在平面直角坐标系中，过点C（0，6）的直线AC与直线OA相交于点A（4，2），动点M在线段OA和射线AC上运动．（1）求直线AB的函数关系式；（2）求△OAB的面积；（3）是否存在点M，使△OMC的面积与△OAB的面积相等？若存在求出此时点M的坐标；若不存在，说明理由．解：（1）设直线AB的解析式是y＝kx+b，根据题意得：，解得：．则直线的解析式是：y＝﹣x+6；（2）∵y＝﹣x+6，当y＝0时，x＝6，∴B（0，6），∴OB＝6，∴△OAB的面积＝×6×2＝6；（3）存在点M，使△OMC的面积与△OAB的面积相等，理由如下：如图所示：设OA的解析式是y＝mx，则4m＝2，解得：m＝．则直线的解析式是：y＝x，∵点C（0，6），∴OC＝6，∴OB＝OC＝6，∵△OMC的面积与△OAB的面积相等，∴M到y轴的距离＝点A的纵坐标2，∴点M的横坐标为2或﹣2；当M的横坐标为2时，在y＝x中，当x＝2时，y＝1，则M的坐标是（2，1）；在y＝﹣x+6中，当x＝2则y＝4，则M的坐标是（2，4）．则M的坐标为（2，1）或（2，4）．当M的横坐标为﹣2时，在y＝﹣x+6中，当x＝﹣2时，y＝8，则M的坐标是（﹣2，8）．综上所述：点M的坐标为：（2，1）或（2，4）或（﹣2，8）．3．如图，直线MN与x轴、y轴分别交于A、C两点，分别过A、C两点作x轴、y轴的垂线相交于B点，且OA、OC（OA＞OC）的长分别是一元二次方程x2﹣14x+48＝0的两个实数根．（1）求A、C两点的坐标．（2）求直线MN的表达式．（3）在直线MN上存在点P，使以点P、B、C三点为顶点的三角形是等腰三角形，请直接写出P点的坐标．解：（1）∵x2﹣14x+48＝0，解得：x1＝6，x2＝8．∵OA，OC（OA＞OC）的长分别是一元二次方程x2﹣14x+48＝0的两个实数根，∴OC＝6，OA＝8．∴A（8，0），C（0，6）；（2）设直线MN的解析式是y＝kx+b（k≠0）．由（1）知，A（8，0），C（0，6），∵点A、C都在直线MN上，∴，解得：，∴直线MN的解析式为y＝﹣x+6；（3）∵A（8，0），C（0，6），过A、C两点作x轴、y轴的垂线相交于B点，∴B（8，6）．∵点P在直线MNy＝﹣x+6上，∴设P（a，﹣a+6），当以点P，B，C三点为顶点的三角形是等腰三角形时，分三种情况讨论：如图所示：①当PC＝PB时，点P是线段BC的中垂线与直线MN的交点，则P（4，3）；②当PC＝BC时，a2+（﹣a+6﹣6）2＝82，解得：a＝±，则P（﹣，）或（，）；③当PB＝BC时，（a﹣8）2+（a﹣6+6）2＝64，解得：a＝，则﹣a+6＝﹣，∴P（，﹣）．综上所述，P点的坐标为（4，3）或（﹣，）或（，）或（，﹣）．4．如图，直线y＝2x+4分别与x轴，y轴交于B，A两点（1）求△ABO 的面积；（2）如果在第三象限内有一点P （﹣1，m ），请用含m 的式子表示四边形AOPB 的面积；（3）在（2）的条件下，是否存在点P ，使四边形AOPB 的面积是△ABO 面积的2倍？若存在，请求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由．解：（1）当x ＝0时，y ＝4，∴OA ＝4，当y ＝0时，2x +4＝0，x ＝﹣2，∴OB ＝2，∴△ABO 的面积＝＝＝4；（2）四边形AOPB 的面积＝S △AOB +S △BOP ＝4+＝4﹣m ；（3）存在满足条件的点P ．∵S 四边形AOPB ＝2S △ABO ，∴4﹣m ＝8，∴m ＝﹣4，∴存在点P （﹣1，﹣4），使得S 四边形ABOP ＝2S △ABO ．5．如图，直线y ＝kx +6与x 轴、y 轴分别相交于点E 、F ，点E 的坐标为（﹣8，0），点A的坐标为（﹣6，0），点P是直线EF上的一个动点．（1）求k的值；（2）点P在第二象限内的直线EF上的运动过程中，写出△OP A的面积S与x的函整表达式，并写出自变量x的取值范围；（3）探究，当点P在直线EF上运动到时，△OP A的面积可能是15吗，若能，请求出点P的坐标；若不能，说明理由．解：（1）点E的坐标为（﹣8，0），且在直线y＝kx+6上，则﹣8k+6＝0，解得，；（2）∵点P（x，y）是第二象限内的直线上的一个动点，∴，∴；（3）当点P在x轴的上方时，由题意得，＝15，整理，得，解得，，则．此时点P的坐标是；当点P在x轴的下方时，y＝﹣5，此时综上所述，△OP A的面积是15时，点P的坐标为或．6．如图，A，B是直线y＝x+4与坐标轴的交点，直线y＝﹣2x+b过点B，与x轴交于点C．（1）求A，B，C三点的坐标；（2）点D是折线A﹣B﹣C上一动点．①当点D是AB的中点时，在x轴上找一点E，使ED+EB的和最小，用直尺和圆规画出点E的位置（保留作图痕迹，不要求写作法和证明），并求E点的坐标．②是否存在点D，使△ACD为直角三角形，若存在，直接写出D点的坐标；若不存在，请说明理由．解：（1）在y＝x+4中，令x＝0，得y＝4，令y＝0，得x＝﹣4，∴A（﹣4，0），B（0，4）．把B（0，4）代入y＝﹣2x+b，得b＝4∴直线BC为：y＝﹣2x+4．在y＝﹣2x+4中，令y＝0，得x＝2，∴C点的坐标为（2，0）；（2）①如图∵点D是AB的中点，A（﹣4，0），B（0，4）．∴D（﹣2，2）．点B关于x轴的对称点B1的坐标为（0，﹣4）．设直线D B1的解析式为y＝kx+b．把D（﹣2，2），B1（0，﹣4）代入，得．解得k＝﹣3，b＝﹣4．故该直线方程为：y＝﹣3x﹣4．令y＝0，得E点的坐标为（，0）．②存在，D点的坐标为（﹣1，3）或（，）．附：当点D在AB上时，由OA＝OB＝4得到：∠BAC＝45°，由等腰直角三角形求得D 点的坐标为（﹣1，3）；当点D在BC上时，如图，设AD交y轴于点F．在△AOF与△BOC中，∴△AOF≌△BOC（ASA）．∴OF＝OC＝2，∴点F的坐标为（0，2），易得直线AD的解析式为，与y＝﹣2x+4组成方程组，解得．∴交点D的坐标为（，）．7．如图，在平面直角坐标系中，点A在y轴上，其坐标为（0，4），x轴上的一动点P从原点O出发，沿x轴正半轴方向运动，速度为每秒1个单位长度，以P为直角顶点在第一象限内作等腰Rt△APB．设P点的运动时间为t秒．（1）填空：当t＝2时，点B的坐标为（6，2）．（2）在P点的运动过程中，当AB∥x轴时，求t的值；（3）通过探索，发现无论P点运动到何处，点B始终在一直线上，试求出该直线的函数解析式．解：（1）将点P的坐标向右平移2个单位到达点O，此时，点A的坐标为：（﹣2，4），将点A围绕点O顺时针旋转90°，此时点B的坐标为：（4，2），将点B的坐标向右平移2个单位，即为此时的点B（6，2），故答案为：（6，2）；（2）过点B作BC⊥x轴于点C，如图所示．∵AO⊥x轴，BC⊥x轴，且AB∥x轴，∴四边形ABCO为长方形，∴AO＝BC＝4．∵△APB为等腰直角三角形，∴AP＝BP，∠P AB＝∠PBA＝45°，∴∠OAP＝90°﹣∠P AB＝45°，∴△AOP为等腰直角三角形，∴OA＝OP＝4，t＝4÷1＝4（秒）；（3）∵△APB为等腰直角三角形，∴∠APO+∠BPC＝180°﹣90°＝90°．又∵∠P AO+∠APO＝90°，∴∠P AO＝∠BPC．∠P AO＝∠BPC，在△P AO和△BPC中，∠AOP＝∠PCB＝90°，∴△P AO≌△BPC（AAS）．AP＝BP，∴AO＝PC，BC＝PO．∵点A（0，4），点P（t，0），点B（x，y），∴PC＝AO＝4，BC＝PO＝t＝y，CO＝PC+PO＝4+y＝x，∴y＝x﹣4．8．【模型建立】（1）如图1，等腰Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CB＝CA，直线ED经过点C，过点A 作AD⊥ED于点D，过点B作BE⊥ED于点E，求证：△BEC≌△CDA；【模型应用】（2）如图2，已知直线l1：y＝x+3与x轴交于点A，与y轴交于点B，将直线l1绕点A 逆时针旋转45°至直线l2；求直线l2的函数表达式；（3）如图3，平面直角坐标系内有一点B（3，﹣4），过点B作BA⊥x轴于点A、BC⊥y 轴于点C，点P是线段AB上的动点，点D是直线y＝﹣2x+1上的动点且在第四象限内．试探究△CPD能否成为等腰直角三角形？若能，求出点D的坐标，若不能，请说明理由．解：（1）如图1所示：∵AD⊥ED，BE⊥ED，∴∠ADC＝∠CEB＝90°，又∵∠ACD+∠ACB+∠BEC＝180°，∠ACB＝90°，∴∠ACD+∠BEC＝90°，又∵∠ACD+∠DAC＝90°，∴∠DAC＝∠ECB，在△CDA和△BEC中，，∴△CDA≌△BEC（AAS）；（2）过点B作BC⊥AB交AC于点C，CD⊥y轴交y轴于点D，如图2所示：∵CD⊥y轴，x轴⊥y轴，∴∠CDB＝∠BOA＝90°，又∵BC⊥AB，∴∠ABC＝90°，又∵∠ABO+∠ABC+∠CBD＝180°，∴∠ABO+∠CBD＝90°，又∵∠BAO+∠ABO＝90°，∴∠BAO＝∠CBD，又∵∠BAC＝45°，∴∠ACB＝45°，∴AB＝CB，在△ABO和∠BCD中，，∴△ABO≌∠BCD（AAS），∴AO＝BD，BO＝CD，又∵直线l1：y＝x+3与x轴交于点A，与y轴交于点B，∴点A、B两点的坐标分别为（﹣2，0），（0，3），∴AO＝2，BO＝3，∴BD＝2，CD＝3，∴点C的坐标为（﹣3，5），设l2的函数表达式为y＝kx+b（k≠0），点A、C两点在直线l2上，依题意得：，解得：，∴直线l2的函数表达式为y＝﹣5x﹣10；（3）能成为等腰直角三角形，依题意得，①若点P为直角时，如图3甲所示：设点P的坐标为（3，m），则PB的长为4+m，∵∠CPD＝90°，CP＝PD，∠CPM+∠CDP+∠PDH＝180°，∴∠CPM+∠PDH＝90°，又∵∠CPM+∠DPM＝90°，∴∠PCM＝∠PDH，在△MCP和△HPD中，，∴△MCP≌△HPD（AAS），∴CM＝PH，PM＝PD，∴点D的坐标为（7+m，﹣3+m），又∵点D在直线y＝﹣2x+1上，∴﹣2（7+m）+1＝﹣3+m，解得：m＝﹣，即点D的坐标为（，﹣）；②若点C为直角时，如图3乙所示：设点P的坐标为（3，n），则PB的长为4+n，CA＝CD，同理可证明△PCM≌△CDH（AAS），∴PM＝CH，MC＝HD，∴点D的坐标为（4+n，﹣7），又∵点D在直线y＝﹣2x+1上，∴﹣2（4+n）+1＝﹣7，解得：n＝0，∴点P与点A重合，点M与点O重合，即点D的坐标为（4，﹣7）；③若点D为直角时，如图3丙所示：设点P的坐标为（3，k），则PB的长为4+k，CD＝PD，同理可证明△CDM≌△PDQ（AAS），∴MD＝PQ，MC＝DQ，∴点D的坐标为（4+K，﹣3+K），又∵点D在直线y＝﹣2x+1上，∴﹣2（4+K）+1＝﹣3+K，解得：k＝﹣，∴点P与点A重合，点M与点O重合，即点D的坐标为（，﹣）；综合所述，点D的坐标为（，﹣）或（4，﹣7）或（，﹣）．9．如图，在平面直角坐标系中，直线y＝2x+8与x轴交于点A，与y轴交于点B，过点B 的直线交x轴于点C，且AB＝BC．（1）求直线BC的解析式；（2）点P为线段AB上一点，点Q为线段BC延长线上一点，且AP＝CQ，PQ交x轴于N，设点Q横坐标为m，△PBQ的面积为S，求S与m的函数关系式（不要求写出自变量m的取值范围）；（3）在（2）的条件下，点M在y轴负半轴上，且MP＝MQ，若∠BQM＝45°，求直线PQ的解析式．解：（1）∵直线y＝2x+8与x轴交于点A，与y轴交于点B，∴点B（0，8），点A（﹣4，0）∴AO＝4，BO＝8，∵AB＝BC，BO⊥AC，∴AO＝CO＝4，∴点C（4，0），设直线BC解析式为：y＝kx+b，由题意可得：解得：∴直线BC解析式为：y＝﹣2x+8；（2）如图1，过点P作PG⊥AC，PE∥BC交AC于E，过点Q作HQ⊥AC，∵AB＝CB，∴∠BAC＝∠BCA，∵点Q横坐标为m，∴点Q（m，﹣2m+8）∴HQ＝2m﹣8，CH＝m﹣4，∵AP＝CQ，∠BAC＝∠BCA＝∠QCH，∠AGP＝∠QHC＝90°，∴△AGP≌△CHQ（AAS），∴AG＝HC＝m﹣4，PG＝HQ＝2m﹣8，∵PE∥BC，∴∠PEA＝∠ACB，∠EPF＝∠CQF，∴∠PEA＝∠P AE，∴AP＝PE，且AP＝CQ，∴PE＝CQ，且∠EPF＝∠CQF，∠PFE＝∠CFQ，∴△PEF≌△QCF（AAS）∴S△PEF ＝S△QCF，∴△PBQ的面积＝四边形BCFP的面积+△CFQ的面积＝四边形BCFP的面积+△PEF的面积＝四边形PECB 的面积，∴S ＝S △ABC ﹣S △P AE ＝×8×8﹣×（2m ﹣8）×（2m ﹣8）＝16m ﹣2m 2；（3）如图2，连接AM ，CM ，过点P 作PE ⊥AC ，∵AB ＝BC ，BO ⊥AC ，∴BO 是AC 的垂直平分线，∴AM ＝CM ，且AP ＝CQ ，PM ＝MQ ，∴△APM ≌△CQM （SSS ）∴∠P AM ＝∠MCQ ，∠BQM ＝∠APM ＝45°，∵AM ＝CM ，AB ＝BC ，BM ＝BM ，∴△ABM ≌△CBM （SSS ）∴∠BAM ＝∠BCM ，∴∠BCM ＝∠MCQ ，且∠BCM +∠MCQ ＝180°，∴∠BCM ＝∠MCQ ＝∠P AM ＝90°，且∠APM ＝45°， ∴∠APM ＝∠AMP ＝45°，∴AP ＝AM ，∵∠P AO +∠MAO ＝90°，∠MAO +∠AMO ＝90°，∴∠P AO ＝∠AMO ，且∠PEA ＝∠AOM ＝90°，AM ＝AP ， ∴△APE ≌△MAO （AAS ）∴AE ＝OM ，PE ＝AO ＝4，∴2m ﹣8＝4，∴m ＝6，∴Q（6，﹣4），P（﹣2，4）设直线PQ的解析式为：y＝ax+c，∴解得：∴直线PQ的解析式为：y＝﹣x+2．10．如图，一次函数y＝﹣x+4的图象与x轴和y轴分别交于点A和B，再将△AOB沿直线CD对折，使点A与点B重合、直线CD与x轴交于点C，与AB交于点D．（1）点A的坐标为（8，0），点B的坐标为（0，4）；（2）在直线AB上是否存在点P使得△APO的面积为12？若存在，请求出所有符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由；（3）求OC的长度．解：（1）令x＝0，则y＝4，∴B（0，4），令y＝0，则0＝﹣x+4，∴x＝8，∴A（8，0），故答案为：（8，0），（0，4）；（2）设点P（x，﹣x+4）∵△APO的面积为12，∴12＝×8×|﹣x+4|∴x＝2或14，∴点P（2，3）或（14，3）（3）设点C（a，0），则OC＝a，∴AC＝8﹣a，由折叠知，BC＝AC＝8﹣a，在Rt△BOC中，OB＝4，根据勾股定理得，BC2﹣OC2＝OB2，∴（8﹣a）2﹣a2＝16，∴a＝3，即：OC＝3，11．如图，已知直线y＝﹣x+3与x轴、y轴分别交于A、C，以OA、OC为边在第一象限内作长方形OABC．（1）将△ABC沿B′D对折，使得点A与点C重合，折痕交AB于点D，求直线CD的关系；（2）若在x轴上存在点P，使△ADP为等腰三角形，求出符合条件的点P坐标．解：（1）令y＝0，则﹣x+3＝0，解得x＝2，∴A（2，0），令x＝0，则y＝3，∴C（0，3）；由折叠可知：CD＝AD，设AD＝x，则CD＝x，BD＝3﹣x，由题意得，（3﹣x）2+22＝x2，解得x＝，此时AD＝，∴D（2，），设直线CD为y＝kx+3，把D（2，）代入得＝2k+3，解得k＝﹣，∴直线CD的解析式为y＝﹣x+3；（2）∵A（2，0），D（2，），∴AD＝．∵∠DAP＝90°，∴△ADP是等腰直角三角形，∴当AD＝AP＝时，P点的坐标是（﹣，0）或（，0）．12．如图1，在平画直角坐标系中，直线交x轴于点E，交y轴于点A，将直线y ＝﹣2x﹣7沿x轴向右平移2个单位长度交x轴于D，交y轴于B，交直线AE于C．＝22；（1）直接写出直线BD的解析式为y＝﹣2x﹣3，S△ABC（2）在直线AE上存在点F，使BA是△BCF的中线，求点F的坐标；（3）如图2，在x轴正半轴上存在点P，使∠PBO＝2∠P AO，求点P的坐标．解：（1）直线y＝﹣2x﹣7沿x轴向右平移2个单位长度后，所得直线方程为y＝﹣2（x ﹣2）﹣7＝﹣2x﹣3．则直线BD的解析式为y＝﹣2x﹣3．解方程组，得，∴C（﹣4，5）．在中，令x＝0，得y＝8，∴A（0，8）．在y＝﹣2x﹣3中，令x＝0，得y＝﹣3，∴B（0，﹣3）．∴AB＝11，＝×11×4＝22．∴S△ABC故答案是：y＝﹣2x﹣3，22．（2）如图1，作CG⊥y轴于G，FH⊥y轴于H，∴CG＝4，∠CGA＝∠FHA＝90°，∵BA为△BCF的中线，∴CA＝F A，∵∠CAG＝∠F AH，∴△CAG≌△F AH（AAS），∴FH＝CG＝4，在中，当x＝4时，y＝11，∴F（4，11）．（3）由（1）知A（0，8），B（0，﹣3），∴OA＝8，OB＝3．如图2，在y轴正半轴上取一点Q，使OQ＝OB＝3，∵∠POB＝90°，∴PQ＝PB，∴∠PBO＝∠PQO＝∠P AO+∠APQ，∵∠PBO＝2∠P AO，∴∠P AO＝∠APQ，∴PQ＝AQ＝5，∴OP＝4，∴P（4，0）．13．如图，在平面直角坐标系中，直线l1的解析式为y＝x，直线l2的解析式为y＝﹣x+3，与x轴、y轴分别交于点A、点B，直线l1与l2交于点C．（1）求点A、点B、点C的坐标，并求出△COB的面积；（2）若直线l2上存在点P（不与B重合），满足S△COP ＝S△COB，请求出点P的坐标；（3）在y轴右侧有一动直线平行于y轴，分别与l1，l2交于点M、N，且点M在点N的下方，y轴上是否存在点Q，使△MNQ为等腰直角三角形？若存在，请直接写出满足条件的点Q的坐标；若不存在，请说明理由．解：（1）直线l2的解析式为y＝﹣x+3，与x轴、y轴分别交于点A、点B，则点A、B 的坐标分别为（6，0）、（0，3），联立式y＝x，y＝﹣x+3并解得：x＝2，故点C（2，2）；△COB的面积＝×OB×x C＝×3×2＝3；（2）设点P（m，﹣m+3），S△COP ＝S△COB，则BC＝PC，则（m﹣2）2+（﹣m+3﹣2）2＝22+12＝5，解得：m＝4或0（舍去0），故点P（4，1）；（3）设点M、N、Q的坐标分别为（m，m）、（m，3﹣m）、（0，n），①当∠MQN＝90°时，∵∠GNQ+∠GQN＝90°，∠GQN+∠HQM＝90°，∴∠MQH＝∠GNQ，∠NGQ＝∠QHM＝90°，QM＝QN，∴△NGQ≌△QHM（AAS），∴GN＝QH，GQ＝HM，即：m＝3﹣m﹣n，n﹣m＝m，解得：m＝，n＝；②当∠QNM＝90°时，则MN＝QN，即：3﹣m﹣m＝m，解得：m＝，n＝yN＝3﹣＝；③当∠NMQ＝90°时，同理可得：n＝；综上，点Q的坐标为（0，）或（0，）或（0，）．14．在平面直角坐标系中，直线y1＝kx+b经过点P（2，2）和点Q（0，﹣2），与x轴交于点A，与直线y2＝mx+n交于点P．（1）求出直线y1＝kx+b的解析式；（2）当m＜0时，直接写出y1＜y2时自变量x的取值范围；（3）直线y2＝mx+n绕着点P任意旋转，与x轴交于点B，当△P AB是等腰三角形时，点B有几种位置？请你分别求出点B的坐标．解：（1）把P（2，2）和点Q（0，﹣2）分别代入y1＝kx+b，得．解得．则直线y1＝kx+b的解析式为：y1＝2x﹣2；（2）如图所示，P（2，2）．所以，当x＜2时，y1＜y2．（3）解：过点P作PM⊥x轴，交于点M．由题意可知A（1，0），M（2，0），AP＝，AM＝1当m＞0时，点B有3种位置使得△P AB为等腰三角形①当AP＝AB时，AB＝，∴B（+1，0）②当P A＝PB时，AB＝2AM＝2，∴B（3，0）③当BA＝BP时，设AB＝x，由等面积法可得S△ABP＝2x＝解得x＝2.5，∴B（3.5，0）当m＜0时，点B有1种位置使得△P AB为等腰三角形．当AB＝AP时，OB＝﹣1，∴B（1﹣，0）．综上所述，点B有4种位置使得△P AB为等腰三角形，坐标分别为（+1，0）、（3，0）、（3.5，0）、（1﹣，0）．15．阅读下列两则材料，回答问题，材料一：定义直线y＝ax+b与直线y＝bx+a互为“互助直线”，例如，直线y＝x+4与直y ＝4x+1互为“互助直线”；材料二：对于平面直角坐标系中的任意两点P1（x1，y1）、P2（x2，y2），P1、P2两点间的直角距离d（P1，P2）＝|x1﹣x2|+|y1﹣y2|．如：Q1（﹣3，1）、Q2（2，4）两点间的直角距离为d（Q1，Q2）＝|﹣3﹣2|+|1﹣4|＝8；材料三：设P0（x0，y0）为一个定点，Q（x，y）是直线y＝ax+b上的动点，我们把d（P0，Q）的最小值叫做P0到直线y＝ax+b的直角距离．（1）计算S（﹣1，6），T（﹣2，3）两点间的直角距离d（S，T）＝4；（2）直线y＝﹣2x+3上的一点H（a，b）又是它的“互助直线”上的点，求点H的坐标．（3）对于直线y＝ax+b上的任意一点M（m，n），都有点N（3m，2m﹣3n）在它的“互助直线”上，试求点L（5，﹣1）到直线y＝ax+b的直角距离．解：（1）d（S，T）＝|﹣1+2|+|6﹣3|＝4，故答案为4；（2）直线y＝﹣2x+3上的“互助直线”为：y＝3x﹣2，设点H（a，﹣2a+3），将点H坐标代入y＝3x﹣2得：﹣2a+3＝3a﹣2，解得：a＝1，故点H（1，1）；（3）M（m，n）在y＝ax+b上，则n＝am+b…①，点N在“互助直线”y＝bx+a上，则2m﹣3n＝3bm+a…②，联立①②并整理得：m（2﹣3a﹣3b）＝a+3b，对于任意一点M（m，n）都等式均成立，故：a+3b＝0，2﹣3a﹣3b＝0，解得：a＝1，b＝﹣，故函数的表达式为：y＝x﹣，设点P（x，x﹣）是函数上的点d（L，P）＝|5﹣x|+|x﹣+1|＝|x﹣5|+|x+|，则d（L，P）的最小值为5．。

北师大版八年级数学上册课件

北师大版八年级数学上册课件一、勾股定理。

1. 勾股定理内容。

- 直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方。

如果直角三角形的两条直角边长度分别是a和b，斜边长度是c，那么a^2+b^2=c^2。

- 例如，一个直角三角形的两条直角边分别为3和4，那么斜边c=√(3^2) +4^{2}=√(9 + 16)=√(25) = 5。

2. 勾股定理的证明。

- 常见的证明方法有赵爽弦图法。

赵爽通过构造以直角三角形的斜边为边长的正方形，然后将其分割成四个全等的直角三角形和一个小正方形，通过面积关系来证明勾股定理。

- 设直角三角形的两条直角边为a、b，斜边为c。

大正方形的面积可以表示为c^2，也可以表示为(a + b)^2- 2ab=a^2+b^2，从而证明a^2+b^2=c^2。

3. 勾股定理的逆定理。

- 如果三角形的三边长a、b、c满足a^2+b^2=c^2，那么这个三角形是直角三角形。

- 例如，三角形三边分别为5、12、13，因为5^2+12^2=25 + 144 =169=13^2，所以这个三角形是直角三角形。

4. 勾股数。

- 满足a^2+b^2=c^2的三个正整数a、b、c称为勾股数。

常见的勾股数有(3,4,5)、(5,12,13)、(8,15,17)等。

二、实数。

1. 无理数的概念。

- 无限不循环小数叫做无理数。

例如√(2)，π等。

- √(2)的计算：设√(2)=(p)/(q)（p,q为互质的正整数），则2=frac{p^2}{q^2}，即p^2=2q^2。

由此可推出p是偶数，设p = 2m，则(2m)^2=2q^2，即q^2=2m^2，所以q也是偶数，这与p,q互质矛盾，所以√(2)是无理数。

2. 实数的分类。

- 实数包括有理数和无理数。

有理数又包括整数和分数。

- 整数：正整数、0、负整数；分数：有限小数和无限循环小数。

3. 实数的运算。

- 实数的运算顺序：先算乘方、开方，再算乘除，最后算加减。

有括号的先算括号里面的。

类比归纳专题：一次函数与三角形综合问题(4类热点题型讲练)(原卷版)--初中数学北师大版8年级上册

第07讲类比归纳专题：一次函数与三角形综合问题(4类热点题型讲练)目录【类型一一次函数与三角形的面积问题】 (1)【类型二一次函数与三角形全等问题】 (3)【类型三一次函数与三角形存在问题】 (5)【类型四一次函数中折叠问题】 (9)【类型一一次函数与三角形的面积问题】例题：（2023春·福建福州·八年级福建省福州第一中学校考期中）在平面直角坐标系xOy中，一次函数()0y kx b k=+≠的图象经过点()0,5B．A-，()2,1(1)求这个一次函数的解析式；的面积．(2)若这个一次函数的图象与x轴的交点为C，求AOC【变式训练】4．（2023春·湖南长沙·八年级长沙市开福区青竹湖湘一外国语学校校考期中）将正比例函数3y x =的图象平移后经过点()1,4．(1)求平移后的函数表达式；(2)求平移后函数的图象与坐标轴围成的三角形的面积．5．（2023春·江西南昌·八年级统考期末）如图，直线24y x =+与x 轴相交于点A ，与y 轴相交于点B ．(1)求A 、B 两点的坐标；(2)若在x 轴上有一点P ，使2OP OA =，求PAB 的面积．6．（2023春·上海静安·八年级上海市回民中学校考期中）在直角坐标xOy 中，直线1l 与23y x =-平行，且经过点()05，，将直线1l 向上平移3个单位，得到直线2l (1)求这两条直线的解析式；(2)如果直线2l 与x 轴、y 轴分别交于点A ，B ，求AOB 的面积．7．（2023春·全国·八年级专题练习）如图，直线2y kx =-与x 轴、y 轴分别交于B ，C 两点，其中1OB =．(1)求k 的值；(1)求A，B两点的坐标；(2)求AOF的面积S与x之间的函数关系式，并写出自变量(3)当AOF的面积12 S S =形，若存在，请求出点P【类型二一次函数与三角形全等问题】例题：（2023春·全国·八年级专题练习）直线AB：y x b=+分别与x，y轴交于A，B两点，点A的坐标为(3-，0)，过点B的直线交x轴正半轴于点C，且:3:1OB OC=．(1)求点B的坐标及直线BC的函数表达式；(2)在坐标系平面内，存在点D ，使以点A ，B ，D 为顶点的三角形与ABC 全等，画出ABD ，并求出点D 的坐标．【变式训练】2．（2023春·全国·八年级专题练习）如图，直线绕点A 顺时针旋转90°得射线全等，试确定点Q 的横坐标．3．（2022秋·陕西西安·九年级校考开学考试）如图，直线(1)求直线l2的解析式；(2)若点M是直线l2上的点，过点M作MN⊥y轴于点N，要使以O、M、N为顶点的三角形与△AOD全等，求所有满足条件的点M的坐标．4．（2022·辽宁丹东·八年级期末）已知一次函数y=-3x+3的图象分别与x轴，y轴交于A，B两点，点C(3,0)．(1)如图1，点D与点C关于y轴对称，点E在线段BC上且到两坐标轴的距离相等，连接DE，交y轴于点F．求点E的坐标；(2)△AOB与△FOD是否全等，请说明理由；(3)如图2，点G与点B关于x轴对称，点P在直线GC上，若△ABP是等腰三角形，直接写出点P的坐标．【类型三一次函数与三角形存在问题】(1)求直线2l的解析式；△的面积；(2)求ADC△的面积等于3，若存在请求出点P的坐标，若不存在请说明理由．(3)在直线1l上是否存在点P使得PAC【变式训练】(1)求点B和点C的坐标．(2)求OAC的面积．(3)是否存在点M，使OMC的面积是OAC 由．(1)写出点D的坐标，并求出直线△的面积；(2)连接BC，求BCD(3)直线2l上是否存在一点P，使得(1)求直线2l 的函数解析式；(2)求ADC △的面积；(3)在直线2l 是否存在点P ，使得CDP △面积是ADC △面积的2倍？如果存在，请求出P 坐标；如果不存在，请说明理由．5．（2023秋·山东济南·八年级统考期末）如图，在平面直角坐标系中，直线AB ：y kx b =＋与x 轴交于点()60A ，，与y 轴交于点()06B ，，与直线CD 交于点E ．已知点D 的坐标为()02，，点C 在A 的左侧且12AC =．(1)分别求出直线AB 和直线CD 的表达式；(2)在直线CD 上，是否存在一点P ，使得8BEP S = ，若存在，请求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由；(3)在坐标轴上，是否存在一点Q ，使得BEQ 是以BE 为直角边的直角三角形，若存在，请直接写出点Q 的坐标；若不存在，请说明理由．【类型四一次函数中折叠问题】例题：（2023秋·山东济南·八年级统考期末）如图1，在同一平面直角坐标系中，直线AB ：2y x b =+与直线AC ：3y kx =+相交于点(,4)A m ．与x 轴交于点(4,0)B -，直线AC 与x 轴交于点C ．(1)填空：b =______，m =______，k =______；(2)如图2．点D 为线段BC 上一动点，将ACD 沿直线AD 翻折得到AED △，线段AE 交x 轴于点F ．①求线段AE 的长度；②当点E 落在y 轴上时，求点E 的坐标；③若DEF 为直角三角形，请直接写出满足条件的点D 的坐标．【变式训练】3．（2023春·八年级课时练习）如图，在平面直角坐标系xOy 中，点O 为坐标原点，直线4y x =-+与x 轴交于点A ，与y 轴交于点B ．(1)求点A ，B 的坐标；(2)在直线AB 上是否存在点P ，使OAP △是以OA 为底边的等腰三角形？若存在，求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由；(3)若将Rt AOB △折叠，使OB 边落在AB 上，点O 与点D 重合，折痕为BC ，求折痕BC 所在直线的表达式．4．（2023春·八年级课时练习）如图，直线y kx b =+与x 轴、y 轴分别交于点A 和点B ，点C 在线段AO 上，将ABC 沿BC 所在直线折叠后，点A 恰好落在y 轴上点D 处，若4OA =，2OD =．(1)求直线AB 的解析式．(1)点B的坐标是______；点A的坐标是(2)求直线BC的解析式；(3)在直线BC上是否存在一点P，使得存在，请说明理由．。

八年级数学一次函数之含30°直角三角形存在性(北师版)(含答案)

学生做题前请先回答以下问题问题1：什么是存在性问题？通常是在变化的过程中，根据已知条件，探索某种状态是否存在的题目，主要考查__________.问题2：一次函数背景下解决存在性问题的思考方向：①_______________，把函数信息（即坐标或解析式）转化为几何信息.②分析___________，确定___________.③____________________________________.问题3：含30°角直角三角形存在性的特征是什么？分类标准是什么？对应的操作是什么？一次函数之含30°直角三角形存在性（北师版）一、单选题(共2道，每道50分)1.如图，直线与x轴、y轴分别交于点A，B.若第二象限内存在点P，使以P，O，B为顶点的三角形是含30°角的直角三角形，则点P的坐标为( )A.(-2，)或(-6，)B.(，)或(，)C.(-2，0)，(-6，0)，(-2，)或(-6，)D.(-2，)，(-6，)，(，)或(，)答案：D解题思路：试题难度：三颗星知识点：一次函数之存在性问题2.如图，直线与x轴、y轴分别交于点A，B.若第二象限内存在点P，使以P，A，B为顶点的三角形是含30°角的直角三角形，则点P的坐标为( )A.(-4，)，(-8，)，(-2，)，(-6，)，(-2，)或(-3，)B.(-4，)，(-8，)，(-2，)，(-6，)，(-2，)或(-3，)C.(-2，)，(-6，)，(-2，)或(-3，)D.(-2，)，(-6，)，(-2，)或(-3，)答案：B解题思路：试题难度：三颗星知识点：一次函数之存在性问题学生做题后建议通过以下问题总结反思问题1：回顾本套试题，主要训练的是什么内容？问题2：含30°角直角三角形存在性与等腰直角三角形存在性有什么相同和不同？请分条列举．。