二次函数存在性——直角三角形

（2012•赤峰改编）如图，抛物线y=x2-bx-5与x轴交于A、 B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，点C与点 F关于抛物线的对称轴对称，直线AF交y轴于点E，|OC|： |OA|=5：1． （1）求抛物线的解析式； （2）求直线AF的解析式； （3）在直线AF上是否存在 点P，使△CFP是直角三角形？ 若存在，求出P点坐标；若不 存在，说明理由． （4）在抛物线上是否存在点M， 使△ACM是以AC为直角边的三 角形？若存在，求出M点坐标； 若不存在，说明理由．
C N ←B Q
O
M →P
A
x
二次函数与直角三角形
学习目标（1分钟）
1.会解直角三角形存在性问题（点在直线 上） 2.会解直角三角形存在性问题（点在抛物 线上）
自学指导1（5分钟）
1. 射影定理 CD是RT△ABC斜边AB上的高。
c
源自文库
A
D
B
DB 由△ACD∽△CBD得： DC2=DA·
由△ACD∽△ABC得： AC2=AD· AB
1 2 2 5.如图，抛物线 y x x 2 2 2
与x轴交于A,B
两点，与y轴交于c点．
y
C
A
O
B
x
2.已知：如图一次函数y＝0.5x＋1的图象与x轴交于点A， 与y轴交于点B；二次函数y＝0.5x2＋bx＋c的图象与一次 函数y＝0.5x＋1的图象交于B、C两点，与x轴交于D、E 两点且D点坐标为(1，0) (1)求二次函数的解析式； (2)在x轴上是否存在点P，使得△PBC是以P为直角顶点 的直角三角形？若存在，求出所有的点P，若不存在，请 说明理由．
3.如果一条抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）与x轴有两个交 点，那么以该抛物线的顶点和这两个交点为顶点的三 角形称为这条抛物线的“抛物线三角形”． （1）“抛物线三角形”一定是 三角形； （2）若抛物线y=-x2+bx（b＞0）的“抛物线三角形” 是等腰直角三角形，求b的值； （3）如图，△OAB是抛物线y=-x2+b′x（b′＞0）的 “抛物线三角形”，是否存在以原点O为对称中心的矩 形ABCD？若存在，求出过O、C、D三点的抛物线的 表达式；若不存在，说明理由．
第27题图
3.如图，抛物线y x 2x k 与x轴交于A、B两 点，与y轴交于点C（0，-3） ①点A的坐标为 ，点B的坐标为 ； ②设抛物线的顶点为M，求四边形ABMC的面积； ③在x轴下方的抛物线上是否存在一点D，使四边 形ABDC的面积最大？若存在，请求出点D的坐标； 若不存在，请说明理由； ④在抛物线上求点Q，使△BCQ是以BC为直角边的 直角三角形．
3、如图，矩形OABC中，点O为原点，点A的坐标为 （0，8），点C的坐标为（6，0）．抛物线y=4/9x2+bx+c经过A、C两点，与AB边交于点D． ①求 S关于m的函数表达式，并求出m为何值时，S取 （1）求抛物线的函数表达式； 得最大值； （2）点P为线段BC上一个动点（不与点C重合），点Q 2+bx+c ②当 S最大时，在抛物线 y=-4/9x 的对称轴 l上若 ， 为线段 AC上一个动点， AQ=CP ，连接 PQ，设CP=m 存在点 F，使△ FDQ △CPQ 的面积为 S为直角三角形，请直接写出所有符 ． 合条件的F的坐标；若不存在，请说明理由．
3 2 1 O0 1 2 3 4 5 1 2
x
自学检测3（5分钟）
在直线x=0.5上是否存在点P ，使△PAC为直角三角形？ 若存在，求出所有符合条件的点P的坐标；
情况一： 当PCA 900时 1 7 P 1 ( , ) 2 4 情况二： 当PAC 900时
1 3 P2 ( , ) 2 4
当堂训练（6分钟）
16．已知抛物线y=a（x+1）2+c与x轴交于点A（-3，0） （1）直接写出抛物线与x轴的另一个交点B的坐标； （2）若直线过抛物线顶点M及抛物线与y轴的交点C（0， 3）． ①求直线MC所对应的函数关系式； ②若直线MC与x轴的交点为N，在抛物线上是否存在点P， 使得△NPC是以NC为直角边的直角三角形？若存在，求出 点P的坐标；若不存在，请说明理由．
3.如图，现将一块等腰直角三角板ABC放在第二象限， 斜靠在两坐标轴上，且点A（0，2），点C（-1，0）， 如图所示：抛物线y=ax2+ax-2经过点B． （1）求点B的坐标； （2）求抛物线的解析式； （3）抛物线的对称轴上是否存在点P，使△ACP是以 等腰直角三角形 AC为直角边的直角三角形？若存在，求出所有点 P的 坐标；若不存在，请说明理由． （4）若点D是抛物线在第三象限 内的一个动点，连接BD、 CD．当△BCD的面积最大时， 求点D的坐标． （5）若点P是抛物线上一个动点， 以线段AB、BP为邻边作平行四边 形ABPQ．当点Q落在x轴上时， 直接写出点P的坐标.
5 7 P2 ( , ) 2 4
（-1，0） A
O
（0，-2）C
自学检测1（5分钟）
1、已知：A(4,0),B(0,4)，C(-2,0).设抛物线上是否 存在点E，使△BCE是以BC为直角边的直角三角 形？若存在，请求出所有点E的坐标，若不存在， 请说明理由。
y
B
C O
A
x
2、如图所示，矩形OABC位于平面直角坐标系中， AB=2，OA=3，点P是OA上的任意一点，PB平分 ∠APD，PE平分∠OPF，且PD、PF重合． （ 1 ）设 OP=x，OE=y ，求y关于x的函数解析式，并求 （ 3 ）请探究：在（ 2）的条件下，抛物线上是否存在 x为何值时， yEPM 的最大值； 一点 M，使得△ 为直角三角形？若存在，求出M （ 2）当PD⊥OA时，求经过E、P、B三点的抛物线的 点的坐标；若不存在，请说明理由． 解析式；
由△BCD∽△BAC得： BC2=BD· BA
2.直角三角形相似----K型图
C
A
D
B
E
已知：在直角梯形ADEC中，∠D=90°B是DE边 上一点，∠ABC=90° 求证： BD· BE=AD· CE
3.直角三角形斜边上的中线 CD是RT△ABC斜边AB上的中线。
A
D
C
B
自学指导2（6分钟） 已知：O为坐标原点，A(2,4)
回顾：如图，四边形OABC为直角梯形，A（4，0）， B（3，4），C（0，4）。点M从O出发以每秒2个单 位长度的速度向A运动；点N从B同时出发，以每秒1 个单位长度的速度向C运动。其中一个动点到达终点 时，另一个动点也随之停止运动。过点N作NP垂直x 轴于点P，连结AC交NP于Q，连结MQ。求： （1）点 （填M或N）能到达终点； （ 2）求△AQM的面积 S与运动时间 t的函数关系式， （ 3）是否存在点 M，使得△ AQM为直角三角形？若存 并写出自变量 t和取值范围，当 t为何值时，S的值最 在，求出点 M的坐标，若不存在，说明理由。 y 大；
情况三： 当APC 900时 1 1 1 3 P3 ( , ) P4 ( , ) 2 2 2 2
（-1，0） A
O
（0，-2）C
自学指导4（4分钟）
在抛物线y=x2-x-2上是否存在点P ，使△PAC是以AC为 直角边的三角形？若存在，求出所有符合条件的点P的 坐标； 情况一： 当PCA 900时 y=x2-x-2 3 7 P 1 ( , ) 2 2 情况二： 当PAC 900时
2
y x 2x k
2
y x 2x k
2
4.如图，矩形OABC的顶点A在x轴的正半轴上，点B的坐 标为（1，3），把矩形绕点B旋转一定的角度，使它的 顶点O落在x轴的点D处，已知M是第四象限内纵坐标为-1 的点，以M为顶点的抛物线正好过O、D两点． （1）求点D的坐标； （2）求抛物线的解析式； （3）在抛物线上是否存在点N，使以O、M、N为顶点的 三角形为直角三角形？若存在，求出所有满足条件的点 N的坐标；若不存在，请说明理由．
y
9 8 7 6 5 4 3 2
1
点P坐标轴上 是y x轴上一动点， 当△AOP是直角三 角形求P点坐标 A
3 2 1 O0 1 2 3 4 5 1 2
x
自学指导3（6分钟） 已知：O为坐标原点，A(2,4)
y
9 8 7 6 5 4 3 2
1
A
点P是直线x=3上一 动点，当△AOP是 直角三角形求P点坐 标.
4、如图，在平面直角坐标系中，△ABC是直角三角 形，∠ACB=90，AC=BC，OA=1，OC=4，抛物线 y=x2+bx+c经过A，B两点，抛物线的顶点为D． （ ）求b2 ， c的值； （ 31 ）在（ ）的条件下： （2）点E是直角三角形 ABC斜边AB上一动点（点A、 ①求以点 、B、F、D为顶点的四边形的面积； B除外），过点E作x 轴的垂线交抛物线于点 F ，当 ②在抛物线上是否存在一点 P，使△EFP是以EF 为直角 线段EF的长度最大时，求点E的坐标； 边的直角三角形？若存在，求出所有点 P的坐标；若不 存在，说明理由．