【最新】人教版八年级数学上册《因式分解1》导学案

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人教版-数学-八年级上册-因式分解导学案

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15.4因式分解学习目标、重点、难点【学习目标】1、掌握因式分解的定义;2、掌握因式分解的方法(提公因式法,公式法等)【重点难点】1、因式分解的定义;2、因式分解的方法(提公因式法,公式法等)知识概览图新课导引 在一条宽阔的马路上,整齐地排列着十个花坛,每个花坛都栽种了丁香树和各种颜色的花卉,每个花坛的形状都像操场上的跑道一样,两端呈半圆形,半圆的半径均为3 m ,连接两个半圆的边缘部分是直的,已知每个花坛边缘直的部分的长分别为36 m .25 m ,30 m ,28 m ,25 m ,32 m ,24 m ,24 m ,22 m ,32 m ,你能求出这些花坛的总面积吗?【问题探究】要求花坛总面积,就是求每个花坛中两个半圆及中间长方形的面积,再把这十个花坛面积相加即可,即10×π×32+6×36+6×25+6×30+6×28+6×25+6×32+6×24+6×24+6×22+6×32的结果为所求,那么这个式子怎样算能简单些呢?(π≈3.14)【解析】10π×32+6×36+6×25+6×30+6×28+6×25+6×32+6×24+6×24+6×22+6×32=90π+6×(36+25+30+28+25+32+24+24+22+32)=90π+6×278≈1950.6(m 2).教材精华知识点1 因式分解把一个多项式化成几个整式的积的形式,像这样的式子变形叫做把这个多项式因式分解,也叫做把这个多项式分解因式.拓展 (1)①因式分解与整式乘法是相反方向的变形,即互逆的运算.例如:x 2-整式乘法因式分解(x +1)(x -1).②因式分解是恒等变形,因此可以用整式乘法来检验.(2)①因式分解的结果必须是积的形式.②因式分解的结果中,每个因式必须是整式.③在因式分解的过程中注意防止分解不彻底或走回头路.知识点2 提公因式法多项式ma+mb+mc中的各项都有一个公共的因式m,我们把因式m叫做这个多项式各项的公因式.ma+mb+mc=m(a+b+c)就是把ma+mb+mc分解成两个因式乘积的形式,其中一个因式是各项的公因式m,另一个因式a+b+c是ma+mb+mc除以m所得的商.像这种分解因式的方法叫做提公因式法.例如:x2-x=x(x-1),8a2b-4ab+2a=2a(4ab-2b+1).拓展在运用提公因式法分解因式时,注意防止公因式确定错误,从而造成因式分解不彻底.知识点3 公式法(1)平方差公式:a2-b2=(a+b)(a-b).即两个数的平方差,等于这两个数的和与这两个数的差的积.(2)完全平方公式:a2±2ab+b2=(a±b)2.即两个数的平方和加上(或减去)这两个数的积的2倍,等于这两个数的和(或差)的平方.拓展(1)用来因式分解的平方差公式的特点:①左边是二项式,两项都能写成平方的形式,并且符号相反.②右边分解的结果是左边两个平方项中两底数的和与这两底数差的积.(2)用来因式分解的完全平方公式的特点:①左边是三项式,首末两项是两个数(或两个式子)的平方,且符号都为正,中间一项是这两个数(或两个式子)的积的2倍,符号正负均可.②右边是两个数(或两个式子)的和(或差)的平方,和还是差,与积的2倍的符号保持一致.(3)要想用公式分解因式,必须通过添括号法则把它化成符合公式的形式.(4)分解因式的最后结果是因式乘积的形式,每个因式都最简因式,不能再分解,而且不舍括号.(5)分解因式的步骤:①首先观察有无公因式,若有公因式则应先把公因式提出来.②对没有公因式的多项式考虑用公式法分解,如果是二项式,那么考虑用平方差公式,写成平方差公式的形式;如果是三项式,那么考虑用完全平方公式,写成完全平方公式的形式,四项或四项以上则通过添括号把它们分组化成两项或三项,然后再考虑用提公因式法或用公式法分解.知识点4 完全平方式形如a2+2ab+b2或a2-2ab+b2的代数式叫做完全平方式.拓展(1)完全平方式是三项式,这个三项式可以写成两数和(或差)的平方的形式.(2)注意:-a2-2ab-b2不是完全平方式,它提出“-”后,才是完全平方式,是完全平方式的相反数.(3)完全平方式的两个平方项的系数必须为正,积的2倍项的符号可正可负.探究交流下列变形是不是因式分解?为什么?(1)3x2y-xy+y=y(3x2-x);(2)x2-2x+3=(x-1)2+2;(3)x2y2+2xy-1=(xy+1)(xy-1);(4)x n(x2-x+1)=x n+2-x n+1+x n.解析(1)不是因式分解,提公因式错误,可以用整式乘法检验其正误.(2)不是因式分解,不满足因式分解的含义.(3)不是因式分解,因为因式分解是恒等变形,而本题不恒等.(4)不是因式分解,是整式乘法.规律方法小结利用提公因式法分解因式的关键是确定公因式和提取公因式.其中确定公因式按两个标准进行:一是取多项式各项系数最大的公约数作为系数,二是取相同字母(或因式)的最低次幂作为字母因式.提取公因式就是用多项式的每一项除以公因式,然后分解成两个因式的积,其中一个因式是多项式各项的公因式,另一个是多项式除以公因式的商.课堂检测基础知识应用题1、用提公因式法将下列各式分解因式.(1)ax-ay;(2)6xyz-3xz2;(3)-x3z+x4y;(4)36aby-12abx+6ab;(5)3x(a-b)+2y(b-a);(6)x(m-x)(m-y)-m(x-m)(y-m).2、已知多项式2x3-x2+m有一个因式是2x+1,求m的值.综合应用题3、若a,b,c是三角形的三边,且满足关系式a2-2bc=c2-2ab,试判断这个三角形的形状.探索创新题4、计算200420032004200365654343212122222222+-+++-++-++- .体验中考1、若多项式x 2+mx +4能用完全平方公式分解因式,则m 的值可以是 ( )A .4B .-4C .±2D .±42、给出三个单项式:a 2,b 2,2ab .(1)在上面三个单项式中任选两个相减,并进行因式分解;(2)当a =2010,b =2009时,求代数式a 2+b 2-2ab 的值.学后反思附: 课堂检测及体验中考答案课堂检测1、分析 本题主要考查利用提取公因式法进行因式分解.(1)~(4)题直接提取公因式分解即可,(5)题和(6)题首先要适当地变形,其中(5)题把b -a 化成-(a -b ),(6)题把(x -m )(y -m )化成(m -x )(m -y ),然后再提取公因式.解:(1)ax -ay =a (x -y ).(2)6xyz -3xz 2=3xz (2y -z ).(3)-x 3z +x 4y =x 3(-z +xy ).(4)36aby -12abx +6ab =6ab (6y -2x +1).(5)3x (a -b )+2y (b -a )=3x (a -b )-2y (a -b )=(a -b )(3x -2y ).(6)x (m -x )(m -y )-m (x -m )(y -m )=x (m -x )(m -y )-m (m -x )(m -y )=(m -x )(m -y )(x -m )=-(m -x )2(m -y ).规律·方法 运用提公因式法分解因式时,要注意下列问题:(1)因式分解的结果是每个括号内没有同类项要合并,而且每个括号不能再分解. 例如:(7m -8n )(x +y )-(3m -2n )(x +y )=(x +y )=(x +y )(4m -6n )=2(x +y )(2m -3n ).(2)如果出现像(5)(6)小题需统一时,首先要统一,尽可能使统一的个数少,减少统一计算出现误差的几率,这时注意到(a -b )n =(b -a )n (n 为偶数).例如:分解因式a (x -y )2+b (y -x )3+c (y -x )2.本题既可以把x -y 统一成y -x ,也可以把y -x 统一成x -y ,但比较而言,把x -y 化成y -x 比较简便,因为(x -y )2=(y -x )2.则a (x -y )2+b (y -x )3+c (y -x )2=a (y -x )2+b (y -x )3+c (y -x )2=(y -x )2=(y -x )2(a +by -bx +c ).(3)因式分解最后如果有同底数幂,要写成积的形式.例如:(7a -8b )(a -2b )+(a -8b )(a -2b )=(a -2b )=(a -2b )(8a -16b )=8(a -2b )(a -2b )=8(a -2b )2.2、分析 直接将2x 3-x 2+m 分解因式不可能,我们可以逆向思考.由2x +1是2x 3-x 2+m 的因式知2x 3-x 2+m 能写成2x +1与另一个因式乘积的形式,所以当2x +1=0时,2x 3-x 2+m =0.即当x =21-时.2x 3-x 2+m =0,从而求出m 的值. 解:由2x +1=0知x =21-, 当x =21-时,2x 3-x 2+m =0, ∴02121223=+⎪⎭⎫ ⎝⎛--⎪⎭⎫ ⎝⎛-⨯m ,∴21=m .3、解:∵a 2-2bc =c 2-2ab ,∴(a 2-c 2)+2ab -2bc =0,(a +c )(a -c )+2b (a -c )=0,∴(a -c )(a +c +2b )=0.∵a +c +2b ≠0,∴a -c =0.∴这个三角形是等腰三角形.4、分析 本题旨在考查因式分解的灵活运用,即ba b a b a b a b a +-+=+-))((22=a -b (a +b ≠0).解:原式=20042003)20042003)(20042003(65)65)(65(43)43)(43(21)21)(21(+-++++-+++-+++-+ =(1-2)+(3-4)+(5-6)+…+(2003-2004)=(-1)×(2004÷2)=-1002体验中考1、分析 本题考查完全平方式的概念,完全平方式是三项式,其中有两个平方项,且符号为正,另一项是积的2倍项,可正、可负.当m =±4时,x 2+mx +4是完全平方式.故选D .2、分析 本题综合考查分解因式的方法,答案不唯一.解:(1)若选a 2和b 2,则a 2-b 2=(a +b )(a -b ),b 2-a 2=(b +a )(b -a );若选a 2和2ab ,则a 2-2ab =a (a -2b ),2ab -a 2=a (2b -a );若选b 2和2ab ,则b 2-2ab =b (b -2a ),2ab -b 2=b (2a -b ).(2)a 2+b 2-2ab =(a -b )2=(2010-2009)2=1.。

14.3因式分解(1)——提公因式法+课件+2023-2024学年人教版数学八年级上册

14.3因式分解(1)——提公因式法+课件+2023-2024学年人教版数学八年级上册

知识点 2 提公因式法分解因式 (1)公因式:多项式中每项都有的__因__式__; (2)一般地,如果多项式的各项有_公__因__式___,可以把这个公因式提取出 来,将多项式写成公因式与另一个因式的__乘__积__的形式,这种分解因 式的方法叫做提公因式法.
多项式2a2b3+4ab2c的公因式是_2_a_b_2__. 多项式m(a-x)-mn(a-x)的公因式是_m__(_a_-__x_) _.
计算: 3×24+6×24+4×22. 解:原式=3×24+6×24+24
=(3+6+1)×24 =160.
计算: 42×20.23+72×20.23-20.23×14. 解:原式=(42+72-14)×20.23
=100×20.23 =2 023.
如图,长方形的长、宽分别为a,b,周长为10,面积为6, 则a2b+ab2的值为( B ) A.60 B.30 C.15 D.16
5.确定下列多项式的公因式,并分解因式. (1)ax+ay; 解:ax,ay的公因式为a, 原式=a(x+y). (2)3mx-6nx2; 解:3mx,-6nx2的公因式为3x, 原式=3x(m-2nx).
(3)4a2b+10ab-2ab2. 解:4a2b,10ab,-2ab2的公因式为2ab, 原式=2ab(2a+5-b).
八年级上册 人教版数学
第十四章 整式的乘法与因式分解 因式分解(1)——提公因式法
复习导入
计算: (1)2(x+y)=__2_x_+__2_y_; (2)(x+1)(x-1)=__x_2_-__1_; (3)(a+b)2=__a_2_+__2_a_b_+__b_2_.
新知探究
知识点 1 因式分解的概念 把一个多项式化成了几个整式的_积___的形式,像这样的式子变形叫做 这个多项式的因式分解,也叫做把这个多项式分解因式.

人教版数学八年级上册15.4.1《提公因式法因式分解》说课稿

人教版数学八年级上册15.4.1《提公因式法因式分解》说课稿

人教版数学八年级上册15.4.1《提公因式法因式分解》说课稿一. 教材分析《提公因式法因式分解》是人教版数学八年级上册第15章第4节的一个内容。

这一节主要介绍了提公因式法在因式分解中的应用。

在此之前,学生已经学习了平方差公式和完全平方公式的因式分解,提公因式法是这两种方法之外的一种重要因式分解方法。

本节内容的学习,不仅丰富学生的因式分解方法,也为后续学习分式分解、二次方程的解法等知识打下基础。

二. 学情分析八年级的学生已经具备了一定的数学基础,对因式分解的概念和方法有一定的了解。

但是,对于提公因式法这种方法的理解和应用还不够深入。

因此,在教学过程中,需要引导学生从已知的知识出发,探索和理解提公因式法的原理和应用。

三. 说教学目标1.知识与技能目标:使学生理解提公因式法的原理,能够运用提公因式法进行因式分解。

2.过程与方法目标:通过自主学习、合作交流的方式,培养学生探索和解决问题的能力。

3.情感态度与价值观目标:激发学生学习数学的兴趣,培养学生的耐心和自信心。

四. 说教学重难点1.教学重点:提公因式法的原理和应用。

2.教学难点:如何引导学生从已知的知识出发,探索和理解提公因式法。

五. 说教学方法与手段1.教学方法:采用自主学习、合作交流、教师引导的教学方法。

2.教学手段:利用多媒体课件,进行直观演示和讲解。

六. 说教学过程1.导入:回顾平方差公式和完全平方公式的因式分解,引出提公因式法。

2.自主学习:学生自主探索提公因式法的原理和应用。

3.合作交流:学生分组讨论,分享自己的理解和发现。

4.教师讲解:针对学生的疑问和困难,进行讲解和引导。

5.练习巩固:学生进行相关的练习,巩固所学知识。

6.课堂小结:教师引导学生总结本节课的学习内容。

七. 说板书设计板书设计如下:提公因式法因式分解1.原理:找出多项式的公因式,提取公因式后,得到因式分解的结果。

a.找出多项式的公因式b.提取公因式c.验证因式分解的结果八. 说教学评价教学评价主要从学生的学习效果和课堂表现两个方面进行。

新人教版八年级数学上册《因式分解》导学案

新人教版八年级数学上册《因式分解》导学案
(2) 2x(a-2)+3y(2-a)
4,计算:
(1) x2-25y2=, (2) 20012-19992=.
(3) (2a-3b)2-4x2=;(4) 2x2-50=.
5,分解因式
(2x-y)2-(x-2y)2=;
6,分解因式
9x2-=(3x+1)(3x-1);
7,分解因式
36(x+y)2-49(x-y)2;
8,分解因式
x2-2xy+y2=; 2xy-x2-y2=;
9,分解因式
3x2-6x+3=; (x+y)2-4(x+y-1)=;
10,分解因式
(1) x2+6xy+9y2; (2) 9(a-b)2+42(a-b)+49;
11,已知x-y=1,xy=2,求x3y-2x2y2+xy3的值
重、难点:因式分解的意义和用提公因式法把多项式分解因式及公式法解题.
4,分解因式的完全平方公式
两个数的平方和加上(或减去)这两个数积的2倍,等于这两个数的和(或差)的平方即:a2+2ab+b2=(a+b)2, a2-2ab+b2=(a-b)2
5,综合运用提公因式法,公式法两种方法分解因式
分解因式时应先看多项式是否有公因式,若有公因式,尽量先用提公因式法,再看多项式是几项式。如果是二项式,考虑是否符合平方差公式特点,能否用平方差公式分解因式;如果是三项式,考虑是否符合完全平方公式特点,能否运用完全平方公式分解因式。
平方差公式a2-b2=(a+b)(a-b) 中的a,b既可以表示数,又可以表示单项式或多项式。
说明:(1)凡符合平方差公式特征的二项式都可以用平方差公式分解因式;

八年级数学上册 因式分解教案1 (新版)新人教版

八年级数学上册 因式分解教案1 (新版)新人教版

因式分解〖知识点〗因式分解定义,提取公因式、应用公式法、分组分解法、二次三项式的因式(十字相乘法、求根)、因式分解一般步骤。

〖课标要求〗理解因式分解的概念,掌握提取公因式法、公式法、分组分解法等因式分解方法,掌握利用二次方程求根公式分解二次二项式的方法,能把简单多项式分解因式。

〖考查重点与常见题型〗考查因式分解能力,在中考试题中,因式分解出现的频率很高。

重点考查的分式提取公因式、应用公式法、分组分解法及它们的综合运用。

习题类型以填空题为多,也有选择题和解答题。

因式分解知识点多项式的因式分解,就是把一个多项式化为几个整式的积.分解因式要进行到每一个因式都不能再分解为止.分解因式的常用方法有:(1)提公因式法如多项式其中m叫做这个多项式各项的公因式, m既可以是一个单项式,也可以是一个多项式.(2)运用公式法,即用写出结果.(3)十字相乘法对于二次项系数为l的二次三项式寻找满足ab=q,a+b=p的a,b,如有,则对于一般的二次三项式寻找满足a1a2=a,c1c2=c,a1c2+a2c1=b的a1,a2,c1,c2,如有,则(4)分组分解法:把各项适当分组,先使分解因式能分组进行,再使分解因式在各组之间进行.分组时要用到添括号:括号前面是“+”号,括到括号里的各项都不变符号;括号前面是“-”号,括到括号里的各项都改变符号.(5)求根公式法:如果有两个根X1,X2,那么考查题型:1.下列因式分解中,正确的是()(A) 1- 14 x2= 14 (x + 2) (x- 2) (B)4x –2 x2 – 2 = - 2(x- 1)2(C) ( x- y )3 –(y- x) = (x – y) (x – y + 1) ( x–y – 1)(D) x2 –y2 – x + y = ( x + y) (x – y – 1)2.下列各等式(1) a2- b2 = (a + b) (a–b ),(2) x2–3x +2 = x(x–3) + 2(3 ) 1 x2 –y2 -1 ( x + y) (x – y ) ,(4 )x2 + 1 x2 -2-( x -1x )2从左到是因式分解的个数为()(A) 1 个 (B) 2 个 (C) 3 个 (D) 4个3.若x2+mx+25 是一个完全平方式,则m的值是()(A) 20 (B) 10 (C) ± 20 (D) ±104.若x2+mx+n能分解成( x+2 ) (x – 5),则m= ,n= ;5.若二次三项式2x2+x+5m在实数X围内能因式分解,则m= ;6.若x2+kx-6有一个因式是(x-2),则k的值是 ;7.把下列因式因式分解:(1)a3-a2-2a (2)4m2-9n2-4m+1(3)3a2+bc-3ac-ab (4)9-x2+2xy-y28.在实数X围内因式分解:(1)2x2-3x-1 (2)-2x2+5xy+2y2考点训练:1. 分解下列因式:(1).10a(x-y)2-5b(y-x) (2).an+1-4an+4an-1(3).x3(2x-y)-2x+y (4).x(6x-1)-1(5).2ax-10ay+5by+6x (6).1-a2-ab-14 b2*(7).a4+4 (8).(x2+x)(x2+x-3)+2 (9).x5y-9xy5 (10).-4x2+3xy+2y2 (11).4a-a5 (12).2x2-4x+1(13).4y2+4y-5 (14)3X2-7X+2解题指导:1.下列运算:(1) (a-3)2=a2-6a+9 (2) x-4=(x +2)( x -2)(3) ax2+a2xy+a=a(x2+ax) (4) 116 x2-14 x+14 =x2-4x+4=(x-2)2其中是因式分解,且运算正确的个数是()(A)1 (B)2 (C)3 (D)42.不论a为何值,代数式-a2+4a-5值()(A)大于或等于0 (B)0 (C)大于0 (D)小于03.若x2+2(m-3)x+16 是一个完全平方式,则m的值是()(A)-5 (B)7 (C)-1 (D)7或-14.(x2+y2)(x2-1+y2)-12=0,则x2+y2的值是;5.分解下列因式:(1).8xy(x-y)-2(y-x)3 *(2).x6-y6(3).x3+2xy-x-xy2 *(4).(x+y)(x+y-1)-12 (5).4ab-(1-a2)(1-b2) (6).-3m2-2m+4*4。

2021—2022学年人教版数学八年级上册 全册导学案

2021—2022学年人教版数学八年级上册 全册导学案

2021—2022学年人教版数学八年级上册全册导学案一、总体信息•课本名称:人教版数学八年级上册•出版社:人民教育出版社•学年:2021-2022二、教材概览数学八年级上册共包括以下八个单元:1.复习与认识2.整式的基本概念和性质3.一元二次方程的解法4.平面直角坐标系5.一次函数的初步研究6.相交线与平行线7.图形的对称性8.统计图及其应用每个单元的内容涵盖整合知识、概念解释、例题讲解、习题练习等方面。

三、导学教学目标及重点1.科学思考:培养学生的科学思维和解决实际问题的能力。

2.知识传授:掌握数学的基本概念、基础方法和技能,积累精选数学例题,掌握数学学科知识,并联合生活与实际中的问题进行深入探究。

3.技能训练:培养学生的做题方法、技巧,掌握常用的运算技能,提高计算的准确性。

4.交际拓展:在交际中形成良好的合作意识和集体协作能力,增强探究问题、解决问题的信心和自信。

四、单元内容介绍1. 复习与认识本单元主要是对七年级的复习和一些知识的介绍。

重点包括:整数、分数、小数及有理数的概念、化简带有多项式的复合分数、坐标系的概念与使用、正负数在图形中的应用、小数转分数、小数的意义等。

2. 整式的基本概念和性质本单元主要介绍整式的基本概念、常见整式的运算法则及其基本性质。

包括多项式的概念、同类项与合并同类项、多项式的加减法、多项式的乘法、因式分解、差的平方公式和完全平方公式等。

3. 一元二次方程的解法本单元主要介绍一元二次方程,包括方程的概念、一元二次方程的一般形式及求解方法,特别是通过因式分解法和配方法解一元二次方程,以及求解实际问题中的一元二次方程。

4. 平面直角坐标系本单元主要介绍平面直角坐标系,包括平面直角坐标系及其要素、点的坐标、直线的斜率、不等式和坐标系等知识,强调掌握直线的斜率与性质、直线方程的求法等。

5. 一次函数的初步研究本单元主要介绍一次函数的初步研究,包括一次函数的概念、函数图象、方程及其特点、斜率及其意义和应用等知识,重点突出函数的斜率和函数图象之间的关系。

八年级数学上册14.3因式分解14.3.1提公因式法说课稿(新版)新人教版

八年级数学上册14.3因式分解14.3.1提公因式法说课稿(新版)新人教版

八年级数学上册 14.3 因式分解 14.3.1 提公因式法说课稿(新版)新人教版一. 教材分析《八年级数学上册》第14.3节是关于因式分解的内容,其中14.3.1节是提公因式法。

这一节内容是在学生已经掌握了多项式乘法、完全平方公式和平方差公式的基础上进行教学的。

教材通过引入提公因式法,使学生能够更好地理解和掌握因式分解的方法,为后续学习更复杂的因式分解方法打下基础。

二. 学情分析八年级的学生已经具备了一定的数学基础,对于多项式乘法和完全平方公式等概念有一定的了解。

但是,学生在学习过程中可能会对因式分解的方法和思路感到困惑,特别是对于提公因式法的应用可能会存在一定的困难。

因此,在教学过程中,需要关注学生的学习情况,针对学生的困惑进行解答和指导。

三. 说教学目标1.知识与技能目标:使学生掌握提公因式法的概念和步骤,能够灵活运用提公因式法进行因式分解。

2.过程与方法目标:通过学生的自主探究和合作交流,培养学生的解决问题的能力和合作意识。

3.情感态度与价值观目标:激发学生对数学的兴趣,培养学生的耐心和自信心。

四. 说教学重难点1.教学重点:使学生掌握提公因式法的概念和步骤,能够灵活运用提公因式法进行因式分解。

2.教学难点:如何引导学生理解和掌握提公因式法的应用,以及如何解决因式分解过程中的关键步骤。

五. 说教学方法与手段1.教学方法:采用问题驱动法、案例教学法和小组合作法进行教学。

2.教学手段:利用多媒体课件、黑板和教学卡片等辅助教学。

六. 说教学过程1.引入新课:通过一个具体的例子,让学生观察和分析,引导学生思考如何将一个多项式进行因式分解。

2.讲解提公因式法:讲解提公因式法的概念和步骤,通过示例进行讲解,让学生理解和掌握提公因式法的应用。

3.练习与讨论:给出一些练习题,让学生独立进行因式分解,然后进行小组讨论,共同解决问题。

4.总结与拓展:对提公因式法进行总结,引导学生思考如何解决更复杂的因式分解问题。

人教版八年级数学上册第十四章《整式的乘法与因式分解复习课》第1-2课时学习任务单(导学案)及作业设计

人教版八年级数学上册第十四章《整式的乘法与因式分解复习课》第1-2课时学习任务单(导学案)及作业设计

人教版八年级数学上册第十四章《整式的乘法与因式分解复习课》学习任务单及作业设计第一课时【学习目标】1.巩固整式的乘法法则,并利用整式的乘法解决有关问题;2.通过整式的乘法运算,加深对知识的理解,建立比较清晰的知识体系. 【课前学习任务】1.复习整式乘法的法则,梳理本章的知识脉络;2.加强整式乘法的练习,体会与因式分解的联系与区别.【课上学习任务】学习任务一:正用幂的运算法则.例判断下面的计算对不对?如果不对,应该怎样改正?学习任务二:逆用幂的运算法则.巩固练习计算:学习任务三:直接用整式的运算法则与公式.例若定义一种新运算,巩固练习:先化简再求值学习任务四:变形用整式的运算公式如图 1 是一个长为 4b、宽为 a 的长方形,沿图中虚线用剪刀平均分成四块小长方形,然后用四块小长方形拼成一个“回形”正方形(如图 2).(1)观察图 2,请写出ab之间的数量关系;(2)应用:根据(1)中的结论,若求 x-y 的值.巩固练习:已知长方形 ABCD 的周长为 20,面积为 28,求分别以长方形的长和宽为边长的正方形面积之和是多少?【学习资源】1.收看网络课程:整式的乘法与因式分解全章复习(第一课时);2.阅读课本第 123,124 页相关内容,并在教科书上圈画出本节课的主要知识点.【作业设计】1.计算:2.求证:当 n 是整数时,两个连续奇数的平方差是 8 的倍数.【参考答案】第二课时【学习目标】1.巩固因式分解的定义与方法,并利用因式分解解决有关问题;2.了解型式子因式分解的方法.【课前学习任务】1.梳理一下本章的知识脉络,复习因式分解的定义与方法;2.加强因式分解的练习,体会与整式乘法的联系与区别.【课上学习任务】学习任务一:巩固因式分解的定义与方法.例下列各式中,从左到右的变形属于因式分解的是()例分解因式:巩固练习:分解因式学习任务二:因式分解的应用.例:学习任务三:拓展:型式子因式分解的方法.引例分解因式:例分解因式:巩固练习:分解因式【学习资源】1.收看网络课程:整式的乘法与因式分解全章复习(第二课时);2.阅读课本第 121,123,124 页相关内容,并在教科书上圈画出本节课的主要知点.【作业设计】1.分解因式:2.已知求x-2y的值.【参考答案】。

人教版八年级数学上册《整式的乘法与因式分解》导学案:公式法(共3课时)

人教版八年级数学上册《整式的乘法与因式分解》导学案:公式法(共3课时)

人教版八年级数学上册《整式的乘法与因式分解》导学案公式法(1)【学习目标】1.经历通过整式乘法公式(a+b)(a-b)=a 2-b 2的逆向变形得出公式法因式分解的方法的过程,发展逆向思维和推理能力;2.会用平方差公式进行因式分解.【知识梳理】1.用字母表示平方差公式:2.乘法公式(a+b)(a-b)=a 2-b 2左边是整式的乘积,右边是一个多项式,把这个等式反过来就是 ,左边是 ,右边是 .3.平方差公式因式分解的特点:公式的左边:(1)必须 项式,(2)两项符号 ,(3)两项分别可化为一个数(或一个整式)的 形式,(4)公式中的a,b 可以是数、单项式或 。

公式的右边:是这两个数的 与这两个数的 的 。

4. 议一议:下列各式能用平方差公式因式分解吗?(1)42169y x - ( ) (2)162+x ( ) (3)224y x -- ( )(4)26441y x +- ( ) (5)()229y x --- ( ) (6)()229y x -+- ( )【典型例题】知识点一 直接用平方差公式因式分解1.把下列各式因式分解 (1)(a+m)2-(a+n)2 (2) 225116m -(3)3(a+b )2-27c 2 (4)22)(25)(16y x y x --+知识点二 先提公因式后用平方差公式因式分解1.把下列各式因式分解2316)1(mn m - )2()2()2(2a a m -+-3.分解因式:)4)(4(16224b b b -+=-,该结果 (填“正确”或“不正确”),正确的结果应该是 .4.已知长方形的面积是)34(1692>-a a ,若一边为3a+4,则另一边为 . 【巩固训练】1.下列各式中,能用平方差公式分解因式的是( )2D. C. B. .A 22222222y xy x y x y x y x +-+--+-2.22)(c b a --有一个因式是a +b -c ,则另一个因式为( )A.a -b -cB.a +b +cC.a +b -cD.a -b +c3.把多项式822-x 分解因式,结果正确的是A.)822-x (B.2)22-x (C.)2)(2(2-+x xD.)4(2xx x - 4.m 2+n 2是下列多项式( )中的一个因式A.m 2(m-n)+n 2(n-m)B.m 4-n 4C.m 4+n 4D.(m+n)2·(m-n)25.把(3m +2n)2-(3m -2n)2分解因式,结果是( )A.0B.16n 2C.36m 2D.24mn6.如果多项式4a 4-(b-c)2=M(2a 2-b+c),则M 表示的多项式是( )A.2a 2b+cB.2a 2-b-cC.2a 2+b-cD.2a 2+b+c7.已知1422=-y x ,2=-y x ,则=+y x .8.把下列各式因式分解:(1)a 2b 2-b 2 (2)14-x(3)()()2223n m n m --+ (4)22)2(9)2(4y x y x -++-9.计算 ))(())()((222221001-1991-141-131-121-1⨯⨯10. 32003-4×32002+10×32001能被7整除吗?为什么?11.能力提升(1)已知1242+-+b b a 与互为相反数,把多项式b axy y x --+224分解因式.人教版八年级数学上册《整式的乘法与因式分解》导学案公式法(2)【学习目标】1.理解完全平方公式的特点;2.知道完全平方公式的几何背景,并能运用公式进行简单计算和推理.【知识梳理】1.把下列各式因式分解:22423322)1()1)(4( 94)3( 123)2( 421+---+--x x a a ab b a ab b a )(2.用字母表示完全平方公式 .3.完全平方公式的结构特征(1)①()2______;a b += ②()2______.a b -=(2)根据上述等式填空即:(因式分解的)完全平方公式:a 2+2ab+b 2 = , a 2-2ab+b 2= .用语言叙述为:4.(1)若k x x +-62是完全平方式,则k= .(2)若42++kx x 是完全平方式,则k= .(3)若m xy x ++22是完全平方式,则k= .【典型例题】知识点一 运用完全平方公式进行因式分解1.把下列各式因式分解 )1(412--x x )( (2)2236)(12)b b a b b a ++-+(知识点二 先提公因式再用完全平方公式进行因式分解2.把下列各式因式分解(1)12123-2-+x x b a ab a 22369)2(-+知识点三 利用完全平方公式求值 3.已知3,5==-ab b a ,求代数式32232ab b a b a +-的值 4已知,求下列各式的值: (1)x 2+2xy +y 2(2)x 2﹣y 2.【巩固训练】一.选择题1.代数式①x 2+xy+1 ②4x 2+2x+1③ mn n m 222+- ④4x 2-12xy+9y 2,其中为完全平方公式的有( ) A.0个 B.1个 C.2个D.3个2.41)(2)(42+-+-x y y x 分解因式的结果是( ) A.2)2122(--y x B.2)2122(-+y x C.2)2122(+-y x D. 2)21(--y x 3.如果多项式162++mx x 2能分解为一个二项式的平方的形式,那么m 的值( )A.4B.8C.-8D.+84.计算:(1﹣)(1﹣)(1﹣)…(1﹣)= . 二.解答题5.把下列各式因式分解(1) 222;xy x y -- (2)22363;x xy y -+- (3) (x 2﹣1)2+6(1﹣x 2)+9.6.简单计算下列各式(1)419.36.7825.03.2541⨯-⨯+⨯ (2)2298196202202+⨯+7.能力提高已知x 2+y 2﹣4x+6y+13=0,求x 2﹣6xy+9y 2的值.人教版八年级数学上册《整式的乘法与因式分解》导学案公式法(3)【学习目标】1.进一步理解提公因式法和公式法分解因式;2.能用提公因式法、公式法(对二次式直接利用平方差公式或完全平方公式)进行因式分解(指数为正整数).【知识梳理】1.多项式因式分解的一般步骤:① ,② ,③ 。

数学“导学案

数学“导学案

§13.5.2.1 公式法分解因式(一)【学习目标】1.了解因式分解与整式乘法之间的关系.2.发现因式分解的基本方法提公因式法.3.能运用公式a2-b2=(a+b)(a-b)进行因式分解.4.能运用公式a2+2ab+b2=(a+b)2和a2-2ab+b2=(a-b)2进行因式分解.【课前导习】1.什么是多项式因式分解;因式分解与整式乘法的关系怎样?2.判断下列各式是因式分解的是____A. (x+2) (x-2)=x2-4B. x2-4+3x= (x+2) (x-2)+3xC. x2-4x = x (x-4)D.x2 -4 = (x+2) (x-2)(1)运用平方差公式计算:(x+2y)(x-2y)=____; (y+5) (y-5)=____ .【主动探究】1.将下列各式因式分解:⑴ x2-4 ⑵ 9m2-4n2⑶4x2-9 ⑷x2y2-z2⑸(a+b)2-c2⑹(x+p)2-(x+y)22.利用平方差公式计算: 25⨯1012-992⨯253.综合运用因式分解的方法分解因式:(1) x4-y4 (2) a3 -ab【当堂训练】⑴基础过关:1.填空:1 -()2 = (__+__)(1 -5y).2.下列各式运用平方差公式分解因式正确的是()A.x2+y2=(x+y)(x+y)B.x2-y2=(x+y)(x-y)C.-x2+y2=(-x+y)(-x-y)D.-x2-y2=-(x+y)(x-y)3.下列因式分解错误的是()A.1-16a2=(1+4a)(1-4a)B.x3-x=x(x2-1)C.a2-b2c2=(a+bc)(a-bc)D.49m2-0.01n2=(0.1n+23m)(23m-0.1n)4.x3-xy2分解因式的结果为_______.5.因式分解(x-1)2-9结果是()A.(x+8)(x+1)B.(x+2)(x-4)C.(x-2)(x+4)D.(x-10)(x+8)6.把下列各式分解因式(1).9m2-n2(2).4x2-16 (3).-x2y2+121 (4).2am2-8a【回学反馈】1.把下列各式分解因式(1)36(x+y)2-49(x-y)2 (2)(x-1)-b2(1-x)(3)(x2+x+1)2-1 (4)2()4x y--2()4x y+2.计算:1002-992+982-972+962-952+......+22-12 .§13.5.2.1 公式法分解因式(二)【学习目标】1. 能熟练运用公式a 2-b 2=(a+b)(a-b)进行因式分解.2. 能熟练运用公式a 2+2ab+b 2=(a+b)2和a 2-2ab+b 2=(a-b)2进行因式分解. 【课前导习】1.什么叫把一个多项式因式分解?我们已经学习了哪些因式分解的方法?2.把下列各式分解因式:(1)ax 4-ax 2 (2)16m 2-n 2.3.下列各式是不是完全平方式?(1)a 2-4a+4 (2)x 2+4x+4y 2(3)4a 2+2ab+14b 2(4)a 2-ab+b 2(5)x 2-6x-9(6)a 2+a+0.25【主动探究】 1.分解因式:(1)16x 2+24x+9 (2)-x 2+4xy-4y2⑶a 2-24a+144; ⑷4a 2b 2+4ab+1; ⑸91x 2+2xy+9y 2; ⑹41a 2-ab+b 2.⑺3ax 2+6axy+3ay 2⑻(a+b )2-12(a+b )+36【当堂训练】 ⑴基础过关: 1.填空:(1)x 2-10x+( )2=( )2;(2)9x 2+( )+4y 2=( )2;(3)1-( )+m 2/9=( )2.2.下列各多项式是不是完全平方式?如果是,可以分解成什么式子?如果不是,请把多 项式改变为完全平方式.(1)x 2-2x+4; (2)9x 2+4x+1; (3)a 2-4ab+4b 2;(4)9m 2+12m+4; (5)1-a+a 2/4.3.把下列各式分解因式:(1)a 2+8a+16; (2)1-4t+4t 2; (3)m 2-14m+49; (4)y 2+y+41(5)4p 2-20pq+25q 2; (6)16-8xy+x 2y 2; (7)a 2b 2-4ab+4;【回学反馈】 1.分解因式(1)25a 4-40a 2b 2+16b 4. (2)a 5+a 4+41a 3.(3)4(a+b )2-12(a+b)+9 (4) 4(a+b )2+12a+12b+9§14.1.1 直角三角形三边的关系(1)【学习目标】1. 知道直角三角形的三边关系定理. (即勾股定理).2. 能够用这个定理解决一些简单的实际问题. 【课前导习】1.三角形可以按角来分类:所有内角都是锐角的三角形是________三角形;有一个内角是直角的三角形是________三角形;有一个内角是钝角的三角形是________钝角三角形;2.两边相等的三角形称为 .相等的两条边叫做等腰三角形的 ,另一边中做三角形的 .三条边都相等的三角形中叫做_________(或________) 【主动探究】1.若把折叠后的直角三角形纸片放在如图所示的格点图中(每个小正方形边长为cm 1),你能知道斜边的长吗?观察图形,并填空:①正方形P 的面积为 2cm , 正方形Q 的面积为 2cm , 正方形R 的面积为 2cm .②你能发现图中正方形P.Q.R 的面积之间有什么关系?从中你发现了什么? 2.看图填空(图中的三角形都是直角三角形,四边形都为正方形)= y = 正方形C 的面积为3.⑴勾股定理:直角三角形 等于 . ⑵几何语言:如图,在Rt ΔABC 中, C = 90°,则: __________2+_________2=_________2若它的两条直角边分别为a .b ,斜边为c ,则上面的定理可以表示为: .⑶你可以写出哪些它基本的变化形式呢?把你的想法写写下来,与同学交流一下变式:36cm 264cm 2x cm 24cm3cmCBA80cm 233cm 2y cm 2① ;② . 4.用直角边是a.b ,斜边是c 的四个全等直角三角形(图1)拼成图2. 观察图形并思考.填空:大正方形的面积可表示为:___________________________________①∴这个正方形的面积还可以怎样表示?________________________________ ___ ② 于是可列等式为_____ , 化简得: .【当堂训练】 ⑴基础过关: 一.1.判断:①直角三角形中,两边的平方和等于第三边的平方. ( ) ②Rt △ABC 中,3=a ,4=b ,则5=c . ( ) 2.填空题⑴在Rt △ABC ,∠C=90°,a=8,b=15,则c= . ⑵在Rt △ABC ,∠B=90°,a=3,b=4,则c= .⑶在Rt △ABC ,∠C=90°,c=10,a :b=3:4,则a= ,b= . ⑷一个直角三角形的三边为三个连续偶数,则它的三边长分别为 . ⑸已知直角三角形的两边长分别为3cm 和5cm ,,则第三边长为 . ⑹已知等边三角形的边长为2cm ,则它的高为 ,面积为 . 二.1.在Rt △ABC 中,C ∠=90°,c AB =,A C=b ,BC =a① 若a=5,b=12,求c ②若a=16,c=20,求b.2、已知等腰三角形ABC 的腰长为13 cm ,另一边长是10cm ,由顶点作高AD.求: (1)高AD 的长; (2)△ABC 的面积.【回学反馈】1.如图所示是勾股树的一部分,所有的四边形都是正方形, 所有的三角形都是直角三角形,其中最大的正方形边长是cm 7, 则正方形A.B.C.D 的面积和是 2cm .2.如图,∠OAB=∠OBC=∠OCD=90°, AB=BC=CD=1,OA=2,求OD 23.如图,将长为5.41米的梯子AC 斜靠在墙上,BC 长为2.16米,求: ①梯子上端A 到墙的底端B 的距离AB (精确到0.01米) ②当梯子上端A 下滑0.5米时,C 左滑多少米?BA11BA OABCD§14.1.1 直角三角形三边的关系(2)【学习目标】1.会用面积法验证勾股定理的正确性.2.能够运用勾股定理解决直角三角形的已知两边求第三边的问题,并能解决简单的实际问题.【课前导习】 1.填表:【主动探究】1.如图所示,把火柴盒放倒,在这个过程中也能验证勾股定理,你能利用下图验证勾股定理吗?2.由下面几种拼图方法,试一试,能否得出222c b a =+的结论.(1) (2) (3) (4) (5)3.在一棵树的10米高处有两只猴子,其中一只爬下树走向离树20米的 池 塘,而另一只爬到树顶后直扑池塘.如果两只猴子经过的距离相等,问这棵树有多高?B4.飞机在空中水平飞行,某一时刻刚好飞到一个男孩头顶上方4000米处,过了20秒,飞机距离这个男孩头顶5000米,飞机每小时飞行多少千米?【当堂训练】⑴基础过关:一.判断题1.△ABC的两边AB=5,AC=12,则BC=13.()2.△ABC中,a=6,b=8,则c=10.()二.填空题3.在△ABC中,∠A:∠B:∠C=1:1:2,AB2=50,则BC=_______.4.一艘轮船以16海里/时的速度离开A港向东南方向航行,•另一艘轮船同时以12海里/时的速度离开A港向西南方向航行,经过1.5小时后它们相距_______海里.5.在△ABC中,∠C=90°,若AC=6,CB=8,则AB上的高为_______.6.在△ABC中,∠C=90°,CD⊥AB于D.(1)若AC=61,CD=11,则AD=______.(2)若CB=113,CD=15,则BD=________.三.选择题7.若等腰△ABC的腰长AB=2,顶角∠BAC=120°,以BC为边的正方形面积为().A.3 B.12 C.2716. 43D8.已知等腰三角形斜边上中线为5cm,则以直角边为边的正方形面积为(). A.10cm2 B.15cm2 C.50cm2 D.25cm29.一个长方形的长是宽的2倍,其对角线的长是5cm,则长方形的长是().A.2.5cm B.10.如图所示,长方形ABCD中,AB=3,BC=4,若将该矩形折叠,使点C•与点A重合,则折痕EF的长为().E DAA.3.74 B.3.75 C.3.76 D.3.77四.解答题.1112.如图所示,长2.5m的梯子靠在墙上,梯子的底部离墙角1.5m,•求梯子的顶端与地面的距离h.13.如图所示,小方格的面积为1,找出图中以格点为端点且长度为5的线段.14.如图所示,在四边形ABCD中,∠BAD=90°,AD=4,AB=3,BC=12,•求正方形DCEF 的面积.【回学反馈】1. 有一个棱长为1米且封闭的正方形盒子(如图),一只蚂蚁从顶点A向顶点B爬行,问这只蚂蚁爬行的最短路程为多少米?2. 如图所示,沿AE折叠矩形,点D恰好落在BC边上的点F处,已知AB=8cm,BC=10cm,求EC的长.D C 451213§14.1.2直角三角形的判定【学习目标】能够运用勾股定理的逆定理判断一个三角形是否是直角三角形【课前导习】1.勾股定理:如果直角三角形两直角边分别为a ,b ,斜边为c ,那么 : .反之,一个三角形满足________________________条件,则这个三角形是直角三角形.【主动探究】1.画图:试画出三边长度分别为如下数据的三角形,看看它们是什么形状的三角形: 图形最大角的度数 三角形的形状(1)a=2,b=3,c=4; 三角形(2)a=3,b=4,c=4; 三角形(3)a=3,b=4,c=5; 三角形(4)a=6,b=8,c=10. 三角形2.在△ABC 中,设AB 是三边中最长边,拖动点C ,观察AC 2+BC 2.AB 2的大小关系与∠ACB 的度数.结论:设AB 是△ABC 中三边中最长边,则AC 2+BC 2<AB 2 → ∠ACB 为 角 AC 2+BC 2=AB 2 → ∠ACB 为 角AC 2+BC 2>AB 2 → ∠ACB 为 角 3.设三角形三边长分别为下列各组数,试判断各三角形是否是直角三角形?(1)7,24,25;(2)12,35,37;(3)13,11,94.一个零件的形状如下图所示,按照规定这个零件中∠A 和∠DBC 都是直角.量得各边尺寸如图所示,这零件符合要求吗?并说明理由.(请学生板书)A B5.小明画了一个如图所示的四边形,其中AB=3,BC=12,CD=13,DA=4,∠A=90°,你能求出四边形ABCD 的面积吗?【当堂训练】一.填空题1.请完成以下未完成的勾股数:(1)8,15,______; (2)15,12,______;(3)10,26,_______; (4)7,24,______.2.△ABC 中,b=17,c=8,a=15,则∠ABC=_________.3.△ABC 中,若a 2+b 2=25,a 2-b 2=7,又c=5,则最大边上的高是_______.4.已知三角形的三边长分别为5cm ,12cm ,13cm ,则这个三角形是_____.5.△ABC 中,∠C=90°,∠B=30°,AC=1,以BC 为边的正方形面积为_______.6.三条线段m ,n ,p 满足m 2-n 2=p 2,以这三条线段为边组成的三角形为______.二.判断题7.由于0.3,0.4,0.5不是勾股数,所以以0.3,0.4,0.5•为边的三角形不是直角三角形.( )8.由于以0.5,1.2,1.3为边长的三角形是直角三角形,所以0.5,1.2,1.3.是勾股数.( )三.选择题9.分别以下列四组数为一个三角形的边长:(1)6,8,10; (2)5,12,13; (3)8,15,17; (4)4,5,6其中能构成直角三角形的有( ).A .4组B .3组C .2组D .1组10.三角形的三边分别为a 2+b 2,2ab ,a 2-b 2(a ,b 都是正整数)则这个三角形是( ).A .直角三角形B .钝角三角形C .锐角三角形D .不能确定11.以下各组数为三边的三角形中不是直角三角形的有( ).A .7,24,25B .4,712,812C .12,16,20D .312,412,5 12.直角三角形的两直角边同时扩大到原来的2倍,其斜边扩大到原来的2倍,•其斜边扩大到原来的( ).A .2倍B .3倍C .4倍D .不变13.在△ABC 中,若a=2,b=3,c=4,则△ABC 是( )三角形.A .锐角B .直角C .钝角D .无法确定四.解答题14.在△ABC 中,AC=21cm ,BC=28cm ,AB=35cm ,求△ABC 的面积.ABC D 3 4 121315.如图所示,△ABC的三边分别为AC=5,BC=12,AB=13,将△ABC沿AD折叠,使AC 落在AB上,求CD的长.16.如图所示,一根旗杆在离地面9米处断裂,•旗杆顶部落在离旗杆底部12米处,旗杆折断之前有多高?四.我的学习成果:【回学反馈】1.“引葭赴岸”是《九章算术》中的一道题:“今有池一丈,葭生其中央,•出水一尺,引葭赴岸,适与岸齐.问水深,葭长各几何?”题意是:有一个边长为10尺的正方形池塘,一棵芦苇AB生长在它的中央,高出水面部分BC为1尺,•如果把该芦苇沿与水池边垂直的方向拉向岸边,那么芦苇的顶部B恰好碰到岸边的B′(•如图所示),问水深和芦苇长各多少?2.给出一组式子:32+42=5282+62=102 152+82=172 242+102=262(1)你能发现关于上述式子中的一些规律吗?(2)请你运用所发现的规律,给出第5个式子;(3)请你试说明你所发现的规律?。

人教版数学八年级上册14.3.因式分解(第1课时)优秀教学案例

人教版数学八年级上册14.3.因式分解(第1课时)优秀教学案例
二、教学目标
(一)知识与技能
1.让学生掌握因式分解的基本概念,理解因式分解的意义和作用。
2.使学生掌握提公因式法和公式法这两种基本的因式分解方法,并能够运用这两种方法进行简单的因式分解。
3.培养学生运用因式分解解决一些实际问题的能力,提高学生的数学应用意识。
4.培养学生运用数学知识分析和解决问题的能力,提高学生的数学思维水平。
2.问题导向的教学策略:本节课通过设计具有层次性和挑战性的问题,引导学生进行思考和探究,使学生在解决问题的过程中掌握因式分解的方法。这种问题导向的教学策略不仅培养了学生的逻辑思维能力,还提高了学生的创新解题能力。
3.小组合作的实践:通过组织学生进行小组合作,让学生在合作中探究和解决问题,提高了学生的实践能力。同时,小组合作也培养了学生的团队协作意识和交流沟通能力,使学生在合作中得到成长。
三、教学策略
(一)情景创设
1.生活情境:通过引入生活中的实际问题,让学生感受因式分解在实际生活中的应用,激发学生的学习兴趣。
2.故事情境:讲述与因式分解相关的历史故事,让学生了解因式分解的发展历程,增强学生的文化素养。
3.问题情境:创设具有挑战性和启发性的问题,引发学生的思考,引导学生进入学习状态。
2.利用故事情境:讲述与因式分解相关的历史故事,如“笛卡尔和因式分解”,激发学生的学习兴趣。
3.提出问题:创设具有挑战性和启发性的问题,如“你能将一个多项式分解成几个整式的乘积吗?”,引发学生的思考,引导学生进入学习状态。
(二)讲授新知
1.提公因式法:引导学生观察和分析多项式,找出公因式,并进行提取,让学生理解并掌握提公因式法。
2.组织讨论:引导学生积极参与讨论,鼓励学生提出自己的观点和思路,培养学生的团队协作能力。

八年级数学上册《整式的乘法与因式分解》导学案:提公因式法(共2课时)

八年级数学上册《整式的乘法与因式分解》导学案:提公因式法(共2课时)

人教版八年级数学上册《整式的乘法与因式分解》导学案提公因式法(1)【学习目标】1.理解公因式与提公因式法的概念;2.会确定一个多项式各项的公因式;3.会用提公因式法对有公因式为单项式的多项式进行因式分解.【知识梳理】1. 叫因式分解2.多项式ab+bc 各项都含有的相同因式是 _______,把多项式中各项都含有的相同因式,叫做这个多项式各项的____________.定系数:系数取多项式各项系数的 (当系数是整数时).定字母:字母取多项式各项中都含有的 .定指数:相同字母的指数取其 .3.提公因式法如果一个多项式的各项含有_______,那么就可以把这个____________提出来,从而将多项式化成两个因式乘积的形式,这种因式分解的方法叫做 ____________。

【典型例题】知识点一 找公因式的方法1.把下列各式进行因式分解:y x x 34)1(- (2)12ab +6b x bx ax 312)3(+- (4)6ab 3-2a 2b 2+4a 3b知识点二 用提公因式法分解因式【巩固训练】一、选择题1.观察下列各式: ①2a +b 和a +b ②5m (a -b )和-a +b ③3(a +b )和-a -b ④x 2-y 2和x 2+y 2 其中有公因式的是( )A .①② B.②③ C .③④ D .①④2.(-2)10+(-2)11等于( )A.-210B.-211C.210D.-23.多项式23++-n n n a a a 分解因式的结果是( )A.a n (1-a 3+a 2)B.a n (-a 2n +a 2)C.a n (1-a 2n +a 2)D.a n (-a 3+a n )4.多项式-ab (a -b )2+a (b -a )2-ac (a -b )2分解因式时,所提取的公因式应是_____。

二、解答题:5.把下列各式进行因式分解(1)214497xyz xyz xy -+ (2)a am ax 10422-+(3)b ab a 545152++ (4)bm am b a 9362--+(5) (6)6.用简便方法计算下列各题:(1)39×37-13×34(2)29×19.99+72×19.99+13×19.99-19.99×147.已知a 2−a −1=0,求a 3−a 2−a +2019的值.8.先化简,再求值:已知串联电路的电压U =IR 1+IR 2+IR 3 当R 1=12.9 R 2=18.5 R3=18.6I=2.3时,求U 的值.1142+---n n a a 200920082-2-)()(+人教版八年级数学上册《整式的乘法与因式分解》导学案提公因式法(2)【学习目标】1.对公因式是多项式的式子进行因式分解;2.2.熟练运用提公因式法进行因式分解.【知识梳理】1.添括号法则:括号前面添 ,括在括号里面的各项都 ,括号前面添 ,括在括号里面的各项都 ,即)(c b a c b a +-+=+-,)(c b a c b a -+--=+-。

人教版八年级数学上册(教案).3.2.1运用平方差公式进行因式分解

人教版八年级数学上册(教案).3.2.1运用平方差公式进行因式分解
2.强化学生数学运算能力:使学生熟练运用平方差公式进行因式分解,培养他们在数学运算中的准确性和速度。
3.增强学生数学建模意识:通过实例演示和练习,让学生学会将实际问题转化为数学模型,提高数学建模素养。
4.激发学生数学抽象思维:引导学生从具体的数学问题中提炼出平方差公式,培养他们的数学抽象思维能力。
5.培养学生合作交流能力:在课堂讨论和练习环节,鼓励学生相互交流、探讨,提高合作解决问题的能力。
五、教学反思
在今天的教学中,我发现学生们对平方差公式的理解和应用存在一些问题。首先,他们在识别哪些多项式可以使用平方差公式进行因式分解时遇到了困难。这可能是因为我们之前的课程中,对完全平方公式和平方差公式的区别强调得不够。在今后的教学中,我需要更加明确地指出这两个公式的不同之处,并给出具体的例子进行对比。
我还注意到,在小组分享成果时,有些学生表达得不够清晰。这可能是因为他们在整理思路和表达逻辑上还存在一些问题。未来,我打算在课堂上加入一些专门的逻辑思维和表达训练,帮助学生们更好地组织和表达自己的观点。
此外,今天的总结回顾环节,我感觉到学生们对平方差公式的掌握程度参差不齐。为了确保每个学生都能跟上课程的进度,我需要设计一些针对性的复习材料和练习题,让那些掌握得不够牢固的学生能够在课后进行巩固。
另外,学生在确定a和b的值时也感到困惑。我意识到,这里需要更直观的演示和解释。或许可以通过图形的变换来帮助他们理解,如何将一个多项式拆分成两个平方项。这样,他们就能更直观地看到如何选择a和b。
在实践活动和小组讨论环节,我发现学生们对平方差公式的应用开始有了更深入的理解。他们能够将理论知识应用到解决实际问题中,这让我感到很欣慰。但同时,我也注意到,有些学生在讨论中不够积极,可能是因为他们对这个话题还不够自信。我需要在接下来的课程中,更多地鼓励这些学生,帮助他们建立自信心。

新人教版八年级数学上册导学案:14.3.1 因式分解

新人教版八年级数学上册导学案:14.3.1 因式分解

新人教版八年级数学上册导学案:14.3.1 因式分解一、温故互查(二人小组完成)1.完成下面的整式乘法运算①x(x+1)=__________;②m(a+b+c)=_________________;③(x+1)(x-1)=_______________;④(a+b)2=___________________.二、设问导读阅读课本P 114-115完成下列问题:1.探究:把下列的多项式写成整式乘积的形式.①=+x x 2②ma+mb+mc=__________________③=-12x④a 2+2ab+b 2=_________________.2、上面,把一个多项式化成______________的形式,叫做这个多项式的因式分解.也叫做把这个多项式思考:①你认为定义中哪些是关键词?②整式乘法与因式分解有什么关系?3.①多项式mc mb ma ++的公因式是②你能确定238b a 与c ab 312的公因式吗?确定的方法是什么?与同学交流.系数:相同字母:③在2a(b+c)-3(b+c)中,公因式是为什么?④ a(b-c)与b(c-b)有公因式吗?为什么?4.阅读课本例题1和2,并归纳提公因式法分解因式的一般步骤及注意事项. 三、自学检测1. 下列代数式变形中,哪些是因式分解?哪些不是?为什么?① x 2-x=x (x-1)② x 2-3x+1=x(x-3)+1③2m(m-n)=2m 2-2mn④x x x x x 3)2)(2(342++-=+- 2.c b a 238与c b a 2212的公因式是____3.分解因式:(1)42533575y x y x -(2)()()a a a -+-323四、归纳小结五、巩固训练1下列由左边到右边的变形,是因式分解的是( ).A.(x-1)(x+1)=x 2-1B.(n-m)(b-a)=(a-b)(m-n)C.a(a+b)+b(a+b)=(a+b)2D.)11(1x x x +=+2、多项式15x 3y 2+5x 2y-20x 2y 3的公因式是( ).A.5xyB.5x 2y 2C.5x 2yD.5x 2y 33、6a(a-b)2-8(a-b)3在分解因式时,应提取公因式是( )A.aB.6a(a-b)2C.8a(a-b)D.2(a-b)24、多项式-5xy+5x 分解因式的结果是( )A.-5x(y+1)B.-5x(y-1)C.5x(y+1)D.5x(y-1)5、下列提取公因式分解因式中,正确的是( ) A.6(x-2)+x(2-x)=(x-2)(6+x)B.x 3+2x 2+x=x(x 2+2x)C.a(a-b)2+ab(a-b)=a(a-b)D.3x n+1+6x n =3x n (x+2)6、把下列各式因式分解(1)222332369b a b a b a --.(2)3223241b a b a -.(4)()()y z b z y a ---4.7、利用因式分解计算(1)4.3×200.9+7.6×200.9-1.9×200.9(2)-4.2×3.14-3.5×3.14+17.7×3.148、先分解因式,再求值 mn(m-n)2-n(n-m)3,其中m=1,n=2六、拓展延伸1、已知多项式x2+ax+b可以分解为(x+8)(x-3),求式子a2b+ab2-ab的值.2、观察下列等式,你能得到什么结论?•请运用所学的数学知识说明结论的正确性. 1×2+2=4=22 2×3+3=9=323×4+4=16=42 4×5+5=25=525×6+6=36=62……。

新人教版 八年级上册_数学 导学案 14.3 因式分解

新人教版 八年级上册_数学 导学案 14.3 因式分解

新人教版八年级上册数学 导学案第14章 整式的乘法与因式分解14.3 因式分解14.3.1 提公因式法学习目标:通过你对本节课的学习,相信你一定能理解公因式概念,能确定多项式各项的公因式,会用提公因式法把多项式分解因式。

学习重点:掌握用提公因式法把多项式分解因式。

学习重点:掌握用提公因式法把多项式分解因式。

课前预习 把一个 化成几个整式的 的形式的变形叫做把这个多项式因式分解,也叫分解因式,因式分解与整式的乘法是 的变形。

1、下列从左到右的变形是否是因式分解,为什么?(1)2x2+4=2(x2+2); (2)23212t -3t+1=(23)t t t t -+ (3)x 2+4xy -y 2=x (x+4y )-y 2; (4)m (x+y )=mx+my ;(5)x 2-2xy+y 2=(x -y )2、2、一块场地由三个长方形组成,它们的长分别为43,23,47,宽都是21,求这块场地的面积.解法一:S =21×43 + 21×23 + 21×47 =83+43+87=2 解法二:S =21×43 + 21×23 + 21×47 = 21( + + )=21×4=2从上面的解答过程看,解法一是按运算顺序:先算乘,再算和进行的,解法二是先逆用分配律算和,再计算一次乘,由此可知解法二要简单一些.这个事实说明,有时我们需要将多项式化为积的形式,而提取公因式就是化积的一种方法.1、公因式与提公因式法分解因式的概念.将刚才的问题一般化,即三个矩形的长分别为a、b、c,宽都是m,则这块场地的面积为ma+mb+mc,或m( + + ),可以用等号来连接.ma+mb+mc=m( + + )上面的等式,左边的每一项都含有因式,等式右边是m与多项式()的乘积,从左边到右边是分解因式.由于m是左边多项式ma+mb+mc的各项ma、mb、mc的一个公共因式,因此m 叫做这个多项式的各项的 .由上式可知,把多项式ma+mb+mc写成m与()的乘积的形式,相当于把公因式m从各项中提出来,作为多项式ma+mb+mc的一个因式,把m从多项式ma+mb+mc各项中提出后形成的多项式(),作为多项式ma+mb+mc的另一个因式,这种分解因式的方法叫做法.1、公因式:如多项式:ma mb mc++的各项都有一个,我们把这个叫做这个多项式的。

因式分解人教版数学八年级上册教案

因式分解人教版数学八年级上册教案

因式分解人教版数学八年级上册教案因式分解是指把一个多项式分解为二个或多个的因式的过程,分解过后会得出一堆较原式简单的多项式的积。

例如多项式x²-4可被分解为(x+2)(x-2)。

以下是整理的因式分解人教版数学八年级上册教案,赞赏大家借鉴与参考!14.3因式分解课堂教学设计14.3.1 提公因式法【教学目标】知识与技能能确定多项式各项的公因式,质数会用提公因式法把多项式分解因式.过程与方法使学生经历探索多项式各项公因式的,依据数学化归思想方法进行消去.情感、态度与价值观培养学生分析、等效以及化归的思想,增进学生的加强合作交流意识,主动积极指明地积累确定公因式的初步经验,体会其应用价值.【教学重难点】重点:掌握用提公因式法把多项式分解因式.难点:正确地确定多项式的最强公因式.关键:提公因式法令法关键是如何找公因式.方法是:一看系数、二看字母.公因式的系数每项并取各项系数的最大公约数;字母取各项相同的字母,并且各字母的指数取最低次幂.【教学过程】一、回顾交流,导入新知【复习交流】下列从左到右的炸裂是否是因式分解,为什么?(1)2x2+4=2(x2+2);(2)2t2-3t+1=(2t3-3t2+t);(3)x2+4xy-y2=x(x+4y)-y2;(4)m(x+y)=mx+my;(5)x2-2xy+y2=(x-y)2.问题:1.多项式mn+mb中各项含有相同因式吗?2.多项式4x2-x和xy2-yz-y呢?请将上述多项式分别写成两个因式的乘积的形式,并说明理由.【教师归纳】我们把中才各项都有的公共的因式叫做这个多项式的公因式,如在mn+mb中的公因式是m,在4x2-x中的公因式是x,在xy2-yz-y中的公因式是y.概念:如果一个数列的各项含有公因式,阐述那么就可以把这个公因式阐明来,从而将多项式化成两个因式模式乘积形式,这种分解因式的方法叫做提公因式法.二、小组合作,探究方法教师提问:多项式4x2-8x6,16a3b2-4a3b2-8ab4各项的公因式是什么?【师生共识】提公因式的方法是先确定各项的公因式再将多项式除以这个公因式得到另一个因式,找公因式一看系数、二看字母,公因式的系数挑各项系数的绝对值最大公约数;字母取各项相同的字母,并且各字母取的指数取最高次幂.三、范例学习,应用所学例1:把-4x2yz-12xy2z+4xyz分解因式.解:-4x2yz-12xy2z+4xyz=-(4x2yz+12xy2z-4xyz)=-4xyz(x+3y-1)例2:分解因式:3a2(x-y)3-4b2(y-x)2【分析】观察所给多项式可以找出公因式(y-x)2或(x-y)2,于是有两种变形,(x-y)3=-(y-x)3和(x-y)2=(y-x)2,从而得到下面两种几种分解方法.解法1:3a2(x-y)3-4b2(y-x)2=-3a2(y-x)3-4b2(y-x)2=-[(y-x)2·3a2(y-x)+4b2(y-x)2]=-(y-x)2[3a2(y-x)+4b2]=-(y-x)2(3a2y-3a2x+4b2)解法2:3a2(x-y)3-4b2(y-x)2=(x-y)2·3a2(x-y)-4b2(x-y)2=(x-y)2[3a2(x-y)-4b2]=(x-y)2(3a2x-3a2y-4b2)例3:用简便的方法计算:0.84×12+12×0.6-0.44×12.【教师活动】引导学生观察并分析怎样计算更为简便.解:0.84×12+12×0.6-0.44×12=12×(0.84+0.6-0.44)ok3w_ads("s002");《14.3因式分解的应用》同步测试题21. 原式利用平方差公式变形,计算即可得到结果;原式变形后,利用完全平方公式变形,算出即可得到结果.此题定量分析了因式分解的应用,熟练掌握平方差公式及完全平方公式是解本题的关键.22. 已知等式配方后,利用及非负数的性质求出a与b的值,亦可确定出三角形周长.此题考查了因式分解的应用,熟练掌握完全平方公式是解本题的关键.23. 原式利用平方差公式分解得到结果,即可做出判断.此题考查了算式的应用,熟练掌握平方差公式是解本题的关键.24. 本题教学内容了分式的化简求值,解答此题的关键是把分式化到最简,然后代值计算.先将分式的分母分解因式,再约分,然后将已知变形为代入原式即可求解.《14.3因式分解》同步测试2.一个三位正整数M,其各位数字均不为不是零且互不相等.若将M 的十位数字与百位数字交换右侧,得到一个新的三位数,我们称这个三位数为M的“友谊数”,如:168的“友谊数”为“618”;若从M的百位数字、十位数字、个位数第八位字元中任选两个组成一个新的两位数,并将重新得到的所有两位数求和,我们称这个和为M的“团结数”,如:123的“团结数”为12+13+21+23+31+32=132.(1)求证:M与其“友谊数”的差能被15整除;(2)若一个三位正整数N,其百位数字为2,十位数字为a、个位数字为b,且各位数字彼此之间相等(a≠0,b≠0),若N的“团结数”与N之差为24,求N的值.因式分解数学汉英词典数学八年级上册教案。

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( 3)a2-4=(a+2)(a-2);(4)x2-3x+2=x(x-3)+2.
(5)36 (6)
4.试一试:用提公因式法分解因式:
(1)3x+6=3( )(2)7x2-21x=7x( )
(3)24x3+12x2-28x=4 x( )
(4)-8a3b2+12ab3c-ab=-ab( )
5.公因式的构成:
①系数:各项系数的最大公约数;
②字母:各项都含有的相同字母;
③指数:相同字母的最低次幂.
我的宣言
我参与,
我快乐!
我自信,
我成长!
我的笔记:
1、知识梳理
2、我的错误
3、规律总结
学习
目标
1.了解因式分解的意义,并能够理解因式分解与多项式乘法的区别与联系.
2.会用提公因式法进行因式分解
学习重点
掌握提取公因式,公式法进行因式分解
4、我有创新
(一题多解):
5、我的反思:
※多项式各项都含有的,叫做这个多项式各项的公因式.
2.提公因式 法分解因式.
如果一个多项式的各项含有公因式,那么就可以,从而将多项式化成两个的乘积的形式,这种分解因式的方法叫做提公因式法
.如:ma+mb+mc=m(a+b+c)
3.辨一辨:下列各式从左到右 的变形,哪是因式分解?
(1)4a(a+2b)=4a2+8ab;(2)6ax- 3ax2=3ax(2-x);
2.探索:你会做下面的填空吗?
(1)2x+6=()();
(2)3x2+x3=()();
(3)ma+mb+mc=()2.
3.归纳:“回忆”的是已熟悉的运算,而要“探索”的问题,其过程正好与“回忆”,它是把一个 多项式化为几个整式的乘积形式,这 就是因式分解(也叫分解因式).
4.反思:①分解因式的对象是______________,结果是____________的形式.
学习难点
怎样进行多项式的因式分解,如何能将多项式分解彻底.
教学过程
一、温故知新,导入新课
问题一:1.回忆:运用前两节所学的知识填空:
(1)2(x+3)=___________________;
(2)x2(3+x)=_________________;
(3)m(a+b+c)=_______________________.
②分解后每个因式的次数要(填“高”或“低”)于原来多项式的次数.
6.方法技巧:(1)、用提公因式法分解因式的一般步骤:
a、确定公因式b、把公因式提到括号外面后,用原多项式除以公因式所得商作为另一个因式.
(2)、为了检验分解因式的结果是否正确,可以用整式乘法运算来检验.
三、理解运用,巩固提高
问题三:1.把下列多项式分解因式:
3.把下列各式分解因式:
(1)-24x3+28x2-12x (2)-4a3b3+6a2b-2ab (3)6a(m-2)+8b(m-2 )
4、分解因式:
(1)a(a+1)+2(a+1)(2)(2a+b)(2a-3b)-3a(2a+b)
(3)4(x-y)3-8x(y-x)2(4)(1+x)(1-x)-(x-1)
2.练一练:把下列各式分解因式:
(1)ma+mb (2)5y3-20y2(3)a2x2y-axy2
四、总结反思_________________
五、达标检测,体验成功
1.把下列各式分解因式:
(1)-4kx-8ky (2)-4x+2x2(3)-8m2n-2mn
2.把下列各式分解因式:
(1)a2b-2ab2+ab (2)3x3–3x2–9x (3)-20x2y2-15xy2+25y3
教师寄语:
给我一次机会,还您一份惊喜!
教学流 程:
新人教版八年级数学上册《因式分解1》导学案
二、探究学习,获取新知
问题二:
1.公因式的概念.
⑴填空:①多项式 有项,每项都含有,是这个多项式的公因式.
②3x2+x3有项,每项都含有,是这个多项式的公因式.
③ma+mb+mc有项,每项都 含有,是这个多项式的公因Байду номын сангаас.
(1)-5a2+25a(2)3a2-9ab
分析(1):由公因式的确定方法,我们可以这样确定公因式:
①定系数:系数-5和25的最大公约数为5,故公因式的系数为()
②定 字母:两项中的相同字母是(),故公因式的字母取();
③定指数:相同字母a的最低指数为(),故a的指数取为();
所以,-5 a2+25a的公因式为:( )
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