传递与分离02 第二章 连续性方程与运动方程

du ∂u a= = + (u ⋅ ∇)u d θ ∂θ
分量 形式
ax =
d ux ∂u x ∂u x ∂u x ∂u x = + ux + uy + uz dθ ∂t ∂x ∂y ∂z
ay =
duy dθ
=
∂u y ∂θ
+ ux
∂u y ∂x
+ uy
∂u y ∂y
+ uz
∂u y ∂z
az =
∂u z ∂u z ∂u z ∂u z d uz = + ux + uy + uz dθ ∂θ ∂x ∂y ∂z
一般地，随体导数的物理意义是流场中流体质点上的物理量（如温度） 随时间和空间的变化率。因此，随体导数亦称为质点导数。
《传递与分离》 传递与分离》
dHale Waihona Puke dθ=∂u ∂θ
+ (u ⋅ ∇)u
位变 加速度 由流速不均 匀性引起
质 点 加 速 度
时变加速度 由流速 不恒定 性引起
《传递与分离》 传递与分离》
∂x + ∂y + ∂z
∂ρ + =0 ∂θ
微分能量方程
∂ (q / A) x ∂ (q / A) y ∂ (q / A) z DU Dv + Pρ = − + + ρ +Φ Dθ Dθ ∂y ∂z ∂x
运动方程（微分动量）
Du 1 2 ρ = ρ F g − ∇ p + µ ∇ u + µ ∇ ( ∇ .u ) Dθ 3
∂ρ ) + ∇ • ( ρu ) = 0 ∂θ
∂( ρ ) ∂ (u x ) ∂ (u y ) ∂ (u z ) ∂( ρ ) ∂ ( ρ ) ∂ρ ρ( + + ) + ux + uy + uz + =0 ∂x ∂y ∂z ∂x ∂y ∂z ∂θ
几种算法符号及意义
谢树艺，《工程数学—矢量分析与场论》，人民教育出版社，1978年，北京
2、流线(streamline)：流线是某一瞬时在流速场中的一条描述流 、流线 ：
动状态的曲线，曲线上任一点的速度方向和该点的切线方向重合。 动状态的曲线，曲线上任一点的速度方向和该点的切线方向重合。 即：流线是同一时刻，不同 流线是同一时刻， 流体质点所组成的曲线
流线可以形象地给出流场的流动状态。 流线可以形象地给出流场的流动状态。 通过流线， 通过流线，可以清楚地看出某时刻流场中各点的速度方向 由流线的密集程度，可以判定出速度的大小。 由流线的密集程度，可以判定出速度的大小。流线的引入 是欧拉法的研究特点。 是欧拉法的研究特点。 例如：在流动水面上同时撤一大片木屑， 例如：在流动水面上同时撤一大片木屑，这时可看到这些木屑 将连成若干条曲线，每一条曲线表示在同一瞬时各水点的 将连成若干条曲线， 流动方向线就是流线。 流动方向线就是流线。 流线具有下面四个特性； 流线具有下面四个特性； 定常流动时 1. 在定常流动时，因为流场中各流体质点的速度不随时间变 所以通过同一点的流线形状始终保持不变，因此流线 化，所以通过同一点的流线形状始终保持不变，因此流线 和迹线相重合。而在非定常流动 非定常流动时 和迹线相重合。而在非定常流动时，一般说来流线要随时 间变化， 流线和迹线不相重合。 间变化，故流线和迹线不相重合。
《传递与分离》 传递与分离》
例如
d ρ ∂ρ = + (u ⋅∇) ρ d θ ∂θ
d ρ ∂ρ ∂ρ ∂ρ ∂ρ = + ux + uy + uz d θ ∂θ ∂x ∂y ∂z
不可压
dρ =0 dθ
ρ = const
是其特例
《传递与分离》 传递与分离》
连续性方程（微分质量） ∂ ( ρu x ) ∂ ( ρu y ) ∂ ( ρu z )
内所占据空间点的连线， 内所占据空间点的连线，即质点运动的轨迹 例如：在流动的水面上洒上一些木屑， 例如：在流动的水面上洒上一些木屑，木屑随水流漂流的途径 就是某一水点的运动轨迹 迹线是流体运动的一种几何表示，属于拉格朗日法的研究内容 迹线是流体运动的一种几何表示，属于拉格朗日法的研究内容 拉格朗日法
《传递与分离》 传递与分离》
微分质量衡算方程的进一步分析
2
1
1点： 点 x 2点： 点
y =
y ( a 1 , b1 , c1 , t ) ,b ,b ,b
2
z = z ( a 1 , b1 , c1 , t ) x = x (a y = y (a
2 2 2 2 2
, c , c , c
2 2 2
,t) ,t) ,t)
z = z (a
y
《传递与分离》 传递与分离》
第一篇 动量传递
第二章 连续性方程与运动方程
《传递与分离》 传递与分离》
§2.1 描述流体运动的两种方法
拉格朗日法与欧拉法 流场（ ）：流体质点运动的全部空间 流场（Flow Field ）：流体质点运动的全部空间 1.拉格朗日法：（法国科学家 Lagrange的观点）追随每一个流体质点 拉格朗日法： 的观点） 拉格朗日法 的观点 追随每一个流体质点 的运动，从而研究整个流场。 的运动，从而研究整个流场。 或者说： 或者说：以流场中某一点作为描述对象 描述它们的位置及其 它的物理量对时间的变化 z 例如在某t时刻 时刻： 例如在某 时刻： x = x ( a 1 , b 1 , c 1 , t )
x y
t2时刻
u x = u x ( x, y , z, t2 ) u y = u y ( x, y , z, t2 ) u z = u z ( x, y , z, t2 )
《传递与分离》 传递与分离》
欧拉法与拉格朗日法区别： 欧拉法与拉格朗日法区别： 欧拉法：以固定空间为研究对象， 欧拉法：以固定空间为研究对象，了解质点在某一位置时 的流动状况 拉格朗日法：以质点为研究对象，研究某一时刻质点全 拉格朗日法：以质点为研究对象， 部流动过程 在流场中，由于辨认空间比辨认某一个质点容易。因 在流场中，由于辨认空间比辨认某一个质点容易。 欧拉法在流体力学中被广泛 在流体力学中被广泛采用。 此，欧拉法在流体力学中被广泛 在流动的流体中有无数个流体质点， 在流动的流体中有无数个流体质点，要用拉格朗日法描述 每个质点的运动是很困难甚至不可能，很难实现， 每个质点的运动是很困难甚至不可能，很难实现，在流体 力学中不常采用。 力学中不常采用。一般在稀薄气体动力学和数值计算中用 得较多。 得较多。 例如：水从管中以怎样的速度流出，风经过门窗等等， 例如：水从管中以怎样的速度流出，风经过门窗等等，只 要知道一定地点（水龙头处）一定断面（门窗洞口断面）， 要知道一定地点（水龙头处）一定断面（门窗洞口断面）， 而不需要了解某一质点， 而不需要了解某一质点， 或某一流体集团的全部流动过程
dx dy dz = = ux u y uz
流线的微分方程式。 流线的微分方程式。
物理量的时间导数
偏导数 全导数 随体导数（substantial derivative）
∂t ∂θ ∂t ∂t dx ∂t dy ∂t dz dt = + + + dθ ∂θ ∂x dθ ∂y dθ ∂z dθ Dt ∂t ∂t ∂t ∂t = + ux + uy + uz Dθ ∂θ ∂x ∂y ∂z
2.欧拉法：以流场中每一空间位置作为描述对象，描述 欧拉法 以流场中每一空间位置作为描述对象， 空间位置作为描述对象 这些位置上流体物理参数对时间的分布规律 例如在某t时刻： 例如在某 时刻： 时刻 1点： t1时刻： 点 时刻： z
2
1
u x = u x ( x , y , z , t1 ) u y = u y ( x , y , z , t1 ) u z = u z ( x , y , z , t1 )
dy )dxdz − ρu y dxdz =
∂ ( ρu y ) ∂y
dxdydz
Z方向：
∂ ( ρu z ) ∂ ( ρu z ) dxdydz ( ρu z + dz )dxdy − ρu z dxdy = ∂z ∂z
《传递与分离》 传递与分离》
微分质量衡算方程
（输出的质量流率）-（输入的质量流率）＝
《传递与分离》 传递与分离》
微分质量衡算方程
y
单组份系统：
（输出的质量流率）—（输入的质量流率） ＋累积的质量速率＝0 在x左侧面： 输入微元体积的质量流率 dx dy dz
(x,y,z)
x z dy dz
《传递与分离》 传递与分离》
= ρu x dydz
输出微元体积的质量流率
∂ ( ρu x ) dx)dydz = ( ρu x + ∂x df f = f 0 + dx dx
《传递与分离》 传递与分离》
微分质量衡算方程的进一步分析
由于密度ρ是空间（x，y，z）和时间的连续函数，及： ρ＝f(x,y,z,θ） 将密度ρ进行全微分：
∂ρ ∂ρ ∂ρ ∂ρ dρ = dθ + dx + dy + dz ∂θ ∂x ∂y ∂z
写成全导形式
dρ ∂ρ ∂ρ dx ∂ρ dy ∂ρ dz = + + + dθ ∂θ ∂x dθ ∂y dθ ∂z dθ
哈米尔顿（Hamilton)算子： 梯度 散度：
r ∂ r ∂ r ∂ ∇=i +j +k ∂z ∂x ∂y
r ∂ r ∂ r ∂ ∂u r ∂u r ∂u r ∇u = (i +j + k )u = i+ j+ k ∂x ∂y ∂z ∂x ∂y ∂z