一题十解真奇妙

一题十解真奇妙
江苏省姜堰中学 张圣官（225500）
求二面角的大小问题是立体几何中的常见题型。

以下这道题曾经出现在多种数学参考资料上，现给出十种不同的解法，希望能对同学们学习二面角有所启迪。

[题] 在四棱锥P —ABCD 中，已知ABCD 为矩形，PA ⊥平面ABCD ，设PA=AB=1，BC=2，求二面角B —PC —D 的大小。

解法1（定义法）过D 作DE ⊥PC 于E ，过E 作EF ⊥PC 交BC 于F ，连结FD ，则∠DEF 就是二面角B —PC —D 的平面角。

∵ PA ⊥平面ABCD ，CD ⊥AD ，
∴PD ⊥DC ，且DC=1，PD=5，PC=6 ， ∴DE=
6
30 。

（图1）
在Rt ΔDEC 中，EC=6
6 ，
∵Rt ΔCEF ∽Rt ΔCBP ，∴EF=216
3,==⋅FC BC PB
EC
， ∴2
5
=DF
从而5
1022
22cos -
==
∠⋅⋅-+EF
D E D F EF D E DEF ，5
10arccos
-=∠πDEF ，
即二面角B —PC —D 的大小为5
10arccos
-π 。

解法2（定义法）设PC 的中点为E ，过E 作EF ⊥PC 交PB 于F ，作EG ⊥PC 交PD 于G ，连FG ，则∠FEG 就是二面角B —PC —D 的平面角。

由上法可知，PB ⊥BC ，ΔPEF ∽ΔPBC ，
可得，EF=3。

同理,
2,5,2353
10
30===
PF PG EG （图2） 由10
10cos cos =∠=∠BPD FPG ，得22
3=
FG ，
从而5
1022
22cos -
==
∠⋅⋅-+EG
EF FG EG EF FEG ，
即二面角B —PC —D 的大小为5
10arccos
-π 。

解法3（作棱的垂面）过A 作AM ⊥PB 于M ， 由解1知，面PBC ⊥面PAB ，交线为PB ， ∴AM ⊥面PBC ，∴AM ⊥PC 。

过A 作AN ⊥PD 于N ，同样可得AN ⊥PC 。

设过AM 、NP 确定的平面交PC 于Q ，则 （图3） ∠MQN 就是所求二面角的平面角，且∠MAN+∠MQN=π 。

∵平面PAD ⊥平面PAB ，
∴5
105522
2cos cos cos =⨯=
∠⋅∠=∠NAP MAP MAN ，
所以5
10arccos
=∠MAN ，即5
10arccos
-=∠πMQN 为所求。

解法4（作棱的垂面）过D 作DE ⊥PC 于E ，过B 作BF
⊥PC 于F ，过D 作DH ∥EF 且DH=EF ，连结FH 、BH 、BD ，则∠BFH 就是二面角B —PC —D 的平面角。

易得BF=332，BF=DE=
6
30，EF=PC-CE-PF=
2
6 。

在Rt ΔBHD 中，2
6=
=EF DH ，
而在ΔBHF 中，FH=DE=6
30， （图4）
因此5
1022
22cos -
==
∠⋅⋅-+H F
BF BH FH BF BFH ，二面角B —PC —D 的大小为5
10arccos
-π 。

解法5（三垂线定理法）把四棱锥P —ABCD 补成如图5的
直三棱柱ABD —DCE ，过D 作作DM ⊥EC 于M ，则易知作DM ⊥平面PEC 。

过M 作MN ⊥PC 于N ，连结ND ，则由三垂线定理知∠MND 就是二面角E —PC —D 的平面角。

∵6
302
2,=
=
DN DM ，
∴5
155
15arcsin
,sin =∠=∠MND MND （图5）
∴二面角B —PC —D 的大小为5
15arcsin
-π 。

解法6（三垂线定理法）在上图中，∵DC ⊥平面ADEP ， ∴平面PCD ⊥平面ADEP ，过E 作EF ⊥PD 于F ，则EF ⊥平面PCD 。

过F 作FG ⊥PC 于G ，连结FG ，则∠EGF 就是二面角E —PC —D 的平面角。

易得5
15sin =
=
∠EG
EF EGF ，
∴二面角B —PC —D 的大小为5
15arcsin
-π 。

（图6）
解法7（射影法）在图6中，ΔPFC 为ΔPEC 是射影三角形。

设所求二面角的大小为θ，则5
10cos =
=
=
=⋅⋅EG
FG EG
PC FG PC S S P E C
P F C θ，
∴5
10arccos
=θ，故二面角B —PC —D 的大小为5
10arccos
-π 。

解法8（割补法）∵PA ⊥平面ABCD ，面PAC ⊥面ABCD ，过点D 作DM ⊥PC 于M ，作DE ⊥AC 于E ，则DE ⊥平面PAC ，由三垂线定理的逆定理知ME ⊥PC ，∴∠DME 就是二面角A —PC —D 的平面角。

同理，过点B 作BN ⊥PC 于N ，作BF ⊥AC 于F ，则∠BNF
就是二面角A —PC —B 的平面角。

（图7）
所以，二面角B —PC —D 的平面角为∠DME+∠BNF 。

这样，二面角B —PC —D 的大小即为5
15562arcsin arcsin + 。

解法9（用异面直线两点距离公式）
在图7中，,,,,,2
66
63
66
303
32=
=
=
=
=
MN MC PN DM BN
又5=BD ，设所求二面角为θ，由异面直线上两点间距离公式得，
θ
c o s 22
222DM BN MN DM BN BD ⋅-++=，解得5
10cos -=θ，
即二面角B —PC —D 的大小为5
10arccos
-π 。

解法10（向量法）以A 为原点，分别以AB 、AD 、AP 为x 轴、y 轴、z 轴，建立如图8所示的空间直角坐标系，
过点N 作NF ⊥AC 于F ，由以上解法知，PN=
3
6=PC
31， 31=，∴F （0,,3231），N （323231,,），∴)
,,(32
3232--= 同理可得，M （613565,,），∴)
,,(1
15--= 。

（图8） 设NB 与所成的角为θ，那么
5
10|
|||cos -
==⋅⋅MD NB MD NB θ
∴二面角B —PC —D 的大小为5
10
arccos -π 。