河南省新乡市2019届高三第三次模拟测试——数学(理)

新乡市2019届高三第三次模拟测试
数学试卷（理科）
考生注意：
1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共150分．考试时间120分钟．
2．请将各题答案填写在答题卡上．
3．本试卷主要考试内容：高考全部内容．
第Ⅰ卷
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．（1＋i ）（2＋i ）（3＋i ）＝
A ．－10i
B ．10i
C ．－10
D ．10
2．已知集合A ＝{x ｜x 2－4x ＜5}，则
A ．－1．2∈A
B ．30．9∉A
C ．log 230∈A
D ．A ∩N ＝{1，2，3，4}
3．设向量e l ，e 2是平面内的一组基底，若向量a ＝－3e l －e 2与b ＝e l －λe 2共线，则λ＝
A ．13
B ．－13
C ．－3
D ．3 4．若f （x ）＝a －2＋asin2x 为奇函数，则曲线y ＝f （x ）在x ＝0处的切线的斜率为
A ．－2
B ．－4
C ．2
D ．4
5．已知函数f （x ）在（－∞，＋∞）上单调递减，且当x ∈[－2，1]时，f （x ）＝x 2－2x －4， 则关于x 的不等式f （x ）＜－1的解集为
A ．（－1，＋∞）
B ．（－∞，3）
C ．（－1，3）
D ．（－∞，－1）
6．某图形由一个等腰直角三角形，一个矩形（矩形中的阴影部分为半
圆），一个半圆组成，从该图内随机取一点，则该点取自阴影部分
的概率为
A ．
25
B ．22ππ＋5＋
C ．12
D ．2ππ4＋10＋
7．如图，过双曲线C ：22
221x y a b
－＝（a ＞0，b ＞0）的右焦点F 作x 轴的垂线交C 于A ，B 两点（A 在B 的上方），若A ，B
到C 的一条渐近线的距离分别为d l ，d 2，且d 2＝4d l ，
则C 的离心率为
A B ．54
C D ．
43 8．若钝角α满足sin 3cos tan 2cos sin α－α＝αα－α
，则tan α＝
A ．2－
B ．2
C ．2－
D ．2
9．某几何体由一个棱柱与一个棱锥组合而成，其三视图如
图所示，其中俯视图和侧视图中的正方形的边长为2，
正视图和俯视图中的三角形均为等腰直角三角形，则该
几何体的体积为
A ．
163 B ．163或203 C ．203 D ．203或6 10．设a ＝lg 6，b ＝lg 20，则log 23＝
A ．11a b b ＋－＋
B ．11a b b ＋－－
C ．11a b b －＋＋
D ．11
a b b －＋－
11．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ．已知a ），b ＝1，且abcos C ＋ccos A ＝abc ，则cos B 的取值范围为
A ．（712，34）
B ．（712，23）
C ．（0，34）
D ．（0，23
） 12．在直角坐标系xOy 中，直线y ＝kx ＋1与抛物线C ：x 2＝4y 交于A ，B 两点，若∠AOB ＝120°，
则k ＝
A ．
B ．
C ．34
± D ．± 第Ⅱ卷
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在答题卡中的横线上．
13．某校有高一学生n 名，其中男生数与女生数之比为6 ：5，为了解学生的视力情况，现要求按分层抽样的方法抽取一个样本容量为10
n 的样本，若样本中男生比女生多12人，则n ＝__________．
14．一个球的内接正方体的表面积为32，则该球的体积为__________．
15．已知a ＞0，则当
39
1a a x x （－）（＋）的展开式的常数项（即不含x 的项）取得最小值时，a ＝___________．
16．某农户计划种植莴笋和西红柿，种植面积不超过30亩，投入资金不超过25万元，假设种植
莴笋和西红柿的产量、成本和售价如下表：
那么，该农户一年种植总利润（总利润＝总销售收入－总种植成本）的最大值为__________万元．
三、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17～
21题为必考题，每道试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．
（一）必考题：共60分．
17．（12分）
在数列{n a }中，1a ＝1，且n a ，2n ，1n a ＋成等比数列．
（1）求2a ，3a ，4a ；
（2）求数列{2n a }的前n 项和n S ．
18．（12分）
以下是新兵训练时，某炮兵连8周中炮弹对同一目标的命中情况的柱状图：
（1）计算该炮兵连这8周中总的命中频率p 0，并确定第几周的命中频率最高；
（2）以（1）中的p 0作为该炮兵连炮兵甲对同一目标的命中率，若每次发射相互独立，且炮兵甲发射5次，记命中的次数为X ，求X 的方差；
（3）以（1）中的p 0作为该炮兵连炮兵对同一目标的命中率，试问至少要用多少枚这样的炮弹同时对该目标发射一次，才能使目标被击中的概率超过0．99?（取lg 0．4＝
－0．398）
19．（12分）
如图，在三棱锥P －ABC 中，PA ⊥平面ABC ，且PA ＝AB ＝BC ＝2，AC ＝．
（1）证明：三棱锥P －ABC 为鳖臑．
（2）若D 为棱PB 的中点，求二面角D －AC －P 的余弦值．
注：在《九章算术》中鳖臑（nào ）是指四面皆为直角三角形的三棱锥．
20．（12分）
已知椭圆22
221x y a b
＋＝（a ＞b ＞0）的短轴长为2，且椭圆的—个焦点在圆（x －2）2＋ （y －3）2＝18上．
（1）求椭圆的方程；
（2）已知椭圆的焦距小于4，过椭圆的左焦点F 的直线l 与椭圆相交于A ，B 两点，若 ｜AF ｜＝3｜FB ｜，求｜AB ｜．
21．（12分） 已知函数ln x a f x x
－（）＝
（a ∈R ）． （1）讨论函数f x g x x （）（）＝在（1，＋∞）上的单调性； （2）若a ≥0，不等式x 2f （x ）＋a ≥2－e 对x ∈（0，＋∞）恒成立，求a 的取值范围．
（二）选考题：共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答．如果多做，则按所做的第一题计分．
22．[选修4－4：坐标系与参数方程]（10分）
在直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为2cos 3sin x y ⎧⎨⎩
＝＋α，＝＋α（α为参数）．以坐标原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，已知点A 的极坐标为（3，
2π）． （1）求曲线C 的极坐标方程；
（2）过A 作曲线C 的切线，切点为M ，过O 作曲线C 的切线，切点为N ，求
ON AM ｜｜｜｜
． 23．[选修4－5：不等式选讲]（10分） 已知函数1a f x x a x （）＝｜＋｜＋｜＋2｜．
（1）若a ＝1，证明：f （｜x ｜）≥5．
（2）若f （1）＜5a 2，求a 的取值范围．。