离散数学2009期末B_参考答案
离散数学期末试题及答案完整版
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离散数学期末试题及答案HEN system office room 【HEN16H-HENS2AHENS8Q8-HENH1688】326《离散数学》期末考试题(B )一、填空题(每小题3分,共15分)1.设,,},,{{b a b a A =?},则-A ? = ( ),-A {?} = ( ),)(A P 中的元素个数=|)(|A P ( ).2.设集合A 中有3个元素,则A 上的二元关系有( )个,其中有( )个是A 到A 的函数.3.谓词公式))()(())()((y P y Q y x Q x P x ⌝∧∃∧→∀中量词x ∀的辖域为( ), 量词y ∃的辖域为( ).4.设}24,12,8,6,4,3,2,1{24=D ,对于其上的整除关系“|”,元素( )不存在补元.5.当n ( )时,n 阶完全无向图n K 是平面图,当当n 为( )时,n K 是欧拉图. 二.1. 若n B m A ==||,||,则=⨯||B A ( ),A 到B 的2元关系共有( )个,A 上的2元关系共有( )个.2. 设A = {1, 2, 3}, f = {(1,1), (2,1), (3, 1)}, g = {(1, 1), (2, 3), (3, 2)}和h = {(1, 3), (2, 1), (3, 1)},则( )是单射,( )是满射,( )是双射.3. 下列5个命题公式中,是永真式的有( )(选择正确答案的番号). (1)q q p p →→∧)(; (2))(q p p ∨→; (3))(q p p ∧→; (4)q q p p →∨∧⌝)(; (5)q q p →→)(.4. 设D 24是24的所有正因数组成的集合,“|”是其上的整除关系,则3的补元( ),4的补元( ),6的补元( ).5. 设G 是(7, 15)简单平面图,则G 一定是( )图,且其每个面恰由( )条边围成,G 的面数为( ).三.1.设}}{},,{{c b a A =,}}{},,{},{{c c b a B =,则)(=⋃B A ,)(=⋂B A ,)()(=A P .2.集合},,{c b a A =,其上可定义( )个封闭的1元运算,( )个封闭的2元运算,( )个封闭的3元运算.3.命题公式1)(↑∧q p 的对偶式为( ).4.所有6的因数组成的集合为( ).5.不同构的5阶根树有( )棵.四、(10分)设B A f →:且C B g →:,若g f 是单射,证明f 是单射,并举例说明g 不一定是单射.五、(15分)设},,,{d c b a A =,A 上的关系)},(),,(),,(),,(),,(),,(),,(),,(),,{(c d b d a d c c b c a c c a b a a a R =,1.画出R 的关系图R G .2.判断R 所具有的性质.3.求出R 的关系矩阵R M .六、(10分)利用真值表求命题公式))(())((p q r r q p A →→↔→→=的主析取范式和主合取范式.七、(10分) 边数30<m 的简单平面图G ,必存在节点v 使得4)deg(≤v . 八、(10分) 有六个数字,其中三个1,两个2,一个3,求能组成四位数的个数.《离散数学》期末考试题(B)参考答案一、1. {{a , b }, a , b , ?}, {{a , b }, a , b },16.2.92, 27.3.)()(x Q x P →, )()(y P y Q ⌝∧.4. 2, 4, 6, 12.5.4≤,奇数.二、1.22,2,m mn mn ., g , g . ,2,4.,不存在,不存在. 5.连通,3,10.三、1. }}{},,{},,{},{{c c b b a a B A =⋃,}}{{c B A =⋂,{)(=A P ?, {{a , b }}, {{c }}, {{a , b }, {c }}}.2.27933,3,3. 3.0)(↓∨q p .4.{-1,-2,-3,-6,1,2,3,6}. .四、证 对于任意A y x ∈,,若)()(y f x f =,则))(())((y f g x f g =,即))(())((y g f x g f =. 由于g f 是单射,因此y x =,于是f 是单射.例如取},,{},3,2,1(},,{γβα===C B b a A ,令)}2,(),1,{(b a f =,)},3(),,2(),,1{(ββα=g ,这时)},(),,{(βαb a g f = 是单射,而g 不是单射.五、解 1. R 的关系图R G 如下:2.(1)由于R b b ∉),(,所以R 不是自反的. (2)由于R a a ∈),(,所以R 不是反自反的.(3)因为R b d ∈),(,而R d b ∉),(,因此R 不是对称的. (4)因R a c c a ∈),(),,(,于是R 不是反对称的.(5)经计算知R c d a d c c b c a c c a b a a a R R ⊆=)},(),,(),,(),,(),,(),,(),,(),,{( ,进而R 是传递的.综上所述,所给R 是传递的.3.R 的关系矩阵⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=0111011100000111R M .六、解 命题公式))(())((p q r r q p A →→↔→→=的真值表如下:由表可知,))(())((p q r r q p A →→↔→→=的主析取范式为A 的主合取范式为)()(r q p r q p A ⌝∨⌝∨∧∨⌝∨⌝=.七、证 不妨设G 的阶数3≥n ,否则结论是显然的. 根据推论1知,63-≤n m . 若G 的任意节点v 的度数均有5)deg(≥v ,由握手定理知n v m v5)deg(2≥=∑.于是m n 52≤,进而652363-⋅≤-≤m n m . 因此30≥m ,与已知矛盾. 所以必存在节点v 使得4)deg(≤v .八、解 设满足要求的r 位数的个数有a r 种,r = 0,1,2,…,则排列计数生成函数65432121211219619431x x x x x x ++++++=,因而38!412194=⋅=a .。
离散数学期末考试试题及答案
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离散数学试题(B卷答案1)一、证明题(10分)1)(⌝P∧(⌝Q∧R))∨(Q∧R)∨(P∧R)⇔R证明: 左端⇔(⌝P∧⌝Q∧R)∨((Q∨P)∧R)⇔((⌝P∧⌝Q)∧R))∨((Q∨P)∧R)⇔(⌝(P∨Q)∧R)∨((Q∨P)∧R)⇔(⌝(P∨Q)∨(Q∨P))∧R⇔(⌝(P∨Q)∨(P∨Q))∧R⇔T∧R(置换)⇔R2) ∃x (A(x)→B(x))⇔∀xA(x)→∃xB(x)证明:∃x(A(x)→B(x))⇔∃x(⌝A(x)∨B(x))⇔∃x⌝A(x)∨∃xB(x)⇔⌝∀xA(x)∨∃xB(x)⇔∀xA(x)→∃xB(x)二、求命题公式(P∨(Q∧R))→(P∧Q∧R)的主析取范式和主合取范式(10分).证明:(P∨(Q∧R))→(P∧Q∧R)⇔⌝(P∨(Q∧R))∨(P∧Q∧R))⇔(⌝P∧(⌝Q∨⌝R))∨(P∧Q∧R)⇔(⌝P∧⌝Q)∨(⌝P∧⌝R))∨(P∧Q∧R)⇔(⌝P∧⌝Q∧R)∨(⌝P∧⌝Q∧⌝R)∨(⌝P∧Q∧⌝R))∨(⌝P∧⌝Q∧⌝R))∨(P∧Q∧R)⇔m0∨m1∨m2∨m7⇔M3∨M4∨M5∨M6三、推理证明题(10分)1)C∨D,(C∨D)→⌝E, ⌝E→(A∧⌝B), (A∧⌝B)→(R∨S)⇒R∨S 证明:(1) (C∨D)→⌝E P(2) ⌝E→(A∧⌝B) P(3) (C∨D)→(A∧⌝B) T(1)(2),I(4) (A∧⌝B)→(R∨S) P(5) (C∨D)→(R∨S) T(3)(4), I(6) C∨D P(7) R∨S T(5),I2) ∀x(P(x)→Q(y)∧R(x)),∃xP(x)⇒Q(y)∧∃x(P(x)∧R(x))证明(1)∃xP(x) P(2)P(a) T(1),ES(3)∀x(P(x)→Q(y)∧R(x)) P(4)P(a)→Q(y)∧R(a) T(3),US(5)Q(y)∧R(a) T(2)(4),I(6)Q(y) T(5),I(7)R(a) T(5),I(8)P(a)∧R(a) T(2)(7),I(9)∃x(P(x)∧R(x)) T(8),EG(10)Q(y)∧∃x(P(x)∧R(x)) T(6)(9),I四、某班有25名学生,其中14人会打篮球,12人会打排球,6人会打篮球和排球,5人会打篮球和网球,还有2人会打这三种球。
09级离散数学参考答案及评分标准B (1)
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离散数学参考答案及评分标准(B)09级计算机学院各专业 2011年1月 一、判断题(每小题2分,共10分)判断下面论述是否正确,并在括号内填“对”或“错”。
1、设R 和S 是集合A 上的关系,若R 和S 是自反的,则R ○S 也是自反的。
( 对)2、公式p →(q →r ) 与(p ∧q )→r 等值。
( 对 )3、集合{Z n n∈|2}关于普通加法运算能构成半群。
( 对) 4、无向完全图是每对顶点之间都有一条边的无向图。
( 错) 5、公式(∀x )(∃y )P (x , y )与公式(∃ y )(∀ x )P (x , y ) 等值 。
( 错) 二、填空题(每小题2分,共10分)1、设R ={<1,2>,<2,3>,<1,4>},则R -1 = {<2,1>,<3,2>, 4,1>}2、设A ,B 为有限集合,f 是从A 到B 的函数,则:f 是单射的必要条件为|A|≤|B|;3、无向图G 是欧拉图当且仅当G 是连通的且无奇度顶点。
4、设公式A ⇔(p ∧q )∨r 的主析取范式为m 1 ∨m 3 ∨m 5 ∨ m 6∨m 7,则A 的主合取范式为M 0 ∧ M 2∧ M 45、设Z 4={ 0,1, 2,3},⊗为模4乘法,即x ⊗y =(xy )mod 4,则<Z 4, ⊗>的运算表为三、 试解下列各题(每小题5分,共20分)1、设集合A ={a ,b ,c },R 是A 上的二元关系,已知R 的关系矩阵为⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=110110001R M(1) 写出R 的集合表达式;(2) 画出R 的关系图.;(3) 说明R 具有哪些性质。
解 (1)R={<a,a>,<b,b>,<c,c>,<b,c>,<c,b>} (2) R 的关系图(3) R 是自反的,对称的,传递的。
离散数学期末考试试题及答案
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离散数学试题(B卷答案1)一、证明题(10分)1)(⌝P∧(⌝Q∧R))∨(Q∧R)∨(P∧R)⇔R证明: 左端⇔(⌝P∧⌝Q∧R)∨((Q∨P)∧R)⇔((⌝P∧⌝Q)∧R))∨((Q∨P)∧R)⇔(⌝(P∨Q)∧R)∨((Q∨P)∧R)⇔(⌝(P∨Q)∨(Q∨P))∧R⇔(⌝(P∨Q)∨(P∨Q))∧R⇔T∧R(置换)⇔R2) ∃x (A(x)→B(x))⇔∀xA(x)→∃xB(x)证明:∃x(A(x)→B(x))⇔∃x(⌝A(x)∨B(x))⇔∃x⌝A(x)∨∃xB(x)⇔⌝∀xA(x)∨∃xB(x)⇔∀xA(x)→∃xB(x)二、求命题公式(P∨(Q∧R))→(P∧Q∧R)的主析取范式和主合取范式(10分)。
证明:(P∨(Q∧R))→(P∧Q∧R)⇔⌝(P∨(Q∧R))∨(P∧Q∧R))⇔(⌝P∧(⌝Q∨⌝R))∨(P∧Q∧R)⇔(⌝P∧⌝Q)∨(⌝P∧⌝R))∨(P∧Q∧R)⇔(⌝P∧⌝Q∧R)∨(⌝P∧⌝Q∧⌝R)∨(⌝P∧Q∧⌝R))∨(⌝P∧⌝Q∧⌝R))∨(P∧Q∧R)⇔m0∨m1∨m2∨m7⇔M3∨M4∨M5∨M6三、推理证明题(10分)1)C∨D, (C∨D)→⌝E,⌝E→(A∧⌝B), (A∧⌝B)→(R∨S)⇒R∨S 证明:(1) (C∨D)→⌝E P(2) ⌝E→(A∧⌝B) P(3) (C∨D)→(A∧⌝B) T(1)(2),I(4) (A∧⌝B)→(R∨S) P(5) (C∨D)→(R∨S) T(3)(4), I(6) C∨D P(7) R∨S T(5),I2) ∀x(P(x)→Q(y)∧R(x)),∃xP(x)⇒Q(y)∧∃x(P(x)∧R(x))证明(1)∃xP(x) P(2)P(a) T(1),ES(3)∀x(P(x)→Q(y)∧R(x)) P(4)P(a)→Q(y)∧R(a) T(3),US(5)Q(y)∧R(a) T(2)(4),I(6)Q(y) T(5),I(7)R(a) T(5),I(8)P(a)∧R(a) T(2)(7),I(9)∃x(P(x)∧R(x)) T(8),EG(10)Q(y)∧∃x(P(x)∧R(x)) T(6)(9),I四、某班有25名学生,其中14人会打篮球,12人会打排球,6人会打篮球和排球,5人会打篮球和网球,还有2人会打这三种球。
华东交通大学2009-2010第一学期离散数学期末试卷及参考答案
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华东交通大学2009—2010学年第一学期考试卷试卷编号: ( A )卷离散数学 课程 课程类别:必修 考试日期: 月 日 开卷(范围:可带含课程内容的手写的不超过A4大小的纸一张) 题号 一 二 三 四 五 六 七 八 九 总分 累分人签名题分100得分注意事项:1、本试卷共 8 页(其中试题4页),总分 100 分,考试时间 120 分钟。
2、所有答案必须填在答题纸上,写在试卷上无效;3、考试结束后,考生不得将试卷、答题纸和草稿纸带出考场。
一、单项选择题 (2分×10=20分)1.下列语句是命题的有[ ]。
A. 122>+y x ;B. 2010年的国庆节是晴天;C. 青年学生多么朝气蓬勃呀!D. 学生不准吸烟!2.若一个代数系统是独异点(含幺半群),则以下选项中一定满足的是[ ]。
A. 封闭性,且有零元; B. 结合律,且有幺元; C. 交换性,且有幺元; D. 结合律,且每个元素有逆元. 3.Z 是整数集合,下列函数都是Z →Z 的映射,则[ ]是单射而非满射函数。
A .ϕ (x) =0 B .ϕ (x) =x 2 C .ϕ (x) =2x D .ϕ (x) =x 4. 与命题p ∧ (p ∨q)等值的公式是 [ ]。
A. p ;B. q ;C. p ∨q ;D. p ∧q.承诺:我将严格遵守考场纪律,知道考试违纪、作弊的严重性,还知道请他人代考或代他人考者将被开除学籍和因作弊受到记过及以上处分将不授予学士学位,愿承担由此引起的一切后果。
专业 班级 学号 学生签名:5. 设M={a,b,c},M上的等价关系R={<a,a>,<b,b>,<c,c>,<b,c>,<c,b>}确定的集合M的划分是[ ]。
A.{{a},{b},{c}}B.{{a,c},{b,c}}C.{{a,c},{b}}D.{{a},{b,c}}6. 设D:全总个体域,F(x):x是花,M(x) :x是人,H(x,y):x喜欢y ,则命题“每个人都喜欢某种花”的逻辑符号化为[ ]。
离散数学(B)答案
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杭州师范大学钱江学院2013 —2014 学年第二学期期末试卷_ 班_《 离散数学 》(B)卷命题教师_田正平_一、判断题(对的打∨,错的打⨯;每空2分,共20分)1、 “如果地球比太阳大,那么月球就比地球大。
”是假命题。
( ⨯ )2、 “‘请勿吸烟!’,不是命题。
”是命题。
( ∨ )3、 命题)(p q p →⌝→是重言式。
( ∨ )4、 设集合},,{c b a X =上的关系R 的关系矩阵是⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=000100111R M ,则关系R 是传递关系。
( ∨ )5、 在复数集合C 上关系}0),{(<++=ac di c bi a R 是等价关系。
( ⨯ )6、 有限偏序集),(≤X 必定存最大元。
( ⨯ )7、 集合},{b a A =到集合}3,2,1{=B 共有6个不同的关系。
( ⨯ ) 8、 完全图n K 的色数n K n =)(χ。
( ∨ )9、 若图有欧拉通路,则图的所有顶点的度数都是偶数。
( ⨯ ) 10、连通偶图一定是哈密顿图。
( ⨯ )二、填空题(每空4分,共20分)1、哈密顿图),(E V G =。
解: 包含),(E V G =的每一个顶点的基本回路称为G 的哈密顿回路。
具有哈密顿回 路的图称为哈密顿图。
2、将命题:“我今天出差,除非我病倒。
”符号化。
解:设命题P :我今天出差,命题Q :我生病。
则命题:“我今天出差,除非我病倒。
”可以符号化为:Q P ⌝↔。
3、全序集),(≤X 。
解:设),(≤X 是偏序集,且对X 中任意两个元素y x ,,关系x y y x ≤≤,总有一个成立,则称),(≤X 是全序集。
4、轮图n W 的色数4)(5=W χ。
5、设顶点v 是图),(E V G 的割点,则)()(G v G ωω>-三、选择题(每题4分,共20分)1、下面命题公式中,重言式是( AB D )(A ))(Q P P ∨→ (B ) P P P ⌝→⌝→)((C) )()(R Q Q P P ∧⌝∧→⌝∨ (D) )()(Q P Q P ⌝↔⌝→↔2、设集合}10,6,4,3,2{=X 上的关系R 是整除关系,则关系R ( D ) (A )有最大元,有最小元 (B)有最大元,无最小元(C) 无最大元,有最小元 (D) 无最大元,无最小元3、下图( A )(A )有欧拉通路,有哈密顿回路 (B)有欧拉回路,无哈密顿通路(C) 无欧拉通路,无哈密顿回路 (D) 无欧拉回路,有哈密顿通路4、)()())()((x xB x xA x B x A x ∀∨∀↔∨∀是( C )(A )永真式 (B) 矛盾式 (C) 可满足式 (D) 以上都不是5、 集合A={1,2,3}上的五个关系(1))}3,3(),3,1(),2,1(),1,1{(1=R (2))}3,3(),2,2(),1,2(),2,1(),1,1{(2=R (3))}3,2(),3,1(),2,1(),1,1{(3=R (4)∅=4R (5)A A R ⨯=5中同时是对称关系和传递关系的是( B )(A )431,,R R R (B) 542,,R R R(C ) 532,,R R R (D) 321,,R R R四、计算题(每题4分,共20分)1、 设集合}6,4,3,2{=X 上的关系R 是整除关系, 写出关系R 的关系矩阵。
计科09离散数学B参考答案
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=a-1*(a*c)
=a-1*a*c
=e*c
=c
当b*a=c*a时,可同样证得b=c。
3.证明:因为a≤a∨b≤(a∨b)∨c
b≤a∨b≤(a∨b)∨c
c≤(a∨b)∨c
b∨c≤(a∨b)∨c
a∨(b∨c)≤(a∨b)∨c (上确界≤上界)
类似可证:(a∨b)∨c≤a∨(b∨c)
结论:a∨(b∨c)=(a∨b)∨c
由对偶定理:a∧(b∧c)=(a∧b)∧c
4.解:(1)deg(r1)=3,deg(r2)=3,deg(r3)=5,deg(r4)=4,deg(r5)=3
(2)点色数为3 B为一色F A C为一色D一色
(3)面色数为3r2、r5为一色r1、r3为一色r4为一色
9.(G)<=(G)<=(G)10.b ( a c d e)
三.判断题
1.×2.×3.×4.√5.×6.×7.8.×9.×10.×
四.计算和证明
1.证明:<S,*>是一个半群。
对于任意bS,由*是封闭性可知
b2=b*b∈S,
b3=b2*b=bgt;i,使得bi=bj
令p=j-i便有bi= bp* bi= bj
因p>=1,故总可以找到k>=1,使得kp>=1
对于S中的元素bkp,就有
bkp= bp*bkp
= bp*(bp*bkp)
= b2p*bkp
= b2p*(bp*bkp)
=…
= bkp*bkp
2.证明:设a*b=a*c,且a的逆元是a-1,则有
b=e*b
=(a-1*a)*b
对于任意bs由是封闭性可知pji便有因p1故总可以找到k1使得kp1对于s中的元素bkp就有kpbkp的逆元是a1则有上确界上界类似可证
离散数学期末考试试题(配答案)
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离散数学期末考试试题(配答案)1. 谓词公式)()(x xQ x xP ∃→∀的前束范式是___________。
2. 设全集{}{}{},5,2,3,2,1,5,4,3,2,1===B A E 则A ∩B =____;=A _____;=B A Y __ _____3. 设{}{}b a B c b a A ,,,,==;则=-)()(B A ρρ__ __________;=-)()(A B ρρ_____ ______。
二.选择题(每小题2分;共10分)1. 与命题公式)(R Q P →→等价的公式是( )(A )R Q P →∨)( (B )R Q P →∧)( (C ))(R Q P ∧→ (D ))(R Q P ∨→ 2. 设集合{}c b a A ,,=;A 上的二元关系{}><><=b b a a R ,,,不具备关系( )性质 (A ) (A)传递性 (B)反对称性 (C)对称性 (D)自反性 三.计算题(共43分)1. 求命题公式r q p ∨∧的主合取范式与主析取范式。
(6分)2. 设集合{}d c b a A ,,,=上的二元关系R 的关系矩阵为⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=1000000011010001R M ;求)(),(),(R t R s R r 的关系矩阵;并画出R ;)(),(),(R t R s R r 的关系图。
(10分)5. 试判断),(≤z 是否为格?说明理由。
(5分)(注:什么是格?Z 是整数;格:任两个元素;有最小上界和最大下界的偏序)四.证明题(共37分)1. 用推理规则证明D D A C C B B A ⌝⇒∧⌝⌝⌝∧∨⌝→)(,)(,。
(10分)2. 设R 是实数集;b a b a f R R R f +=→⨯),(,:;ab b a g R R R g =→⨯),(,:。
求证:g f 和都是满射;但不是单射。
(10分)一;1; _ ∃x ∃y¬P(x)∨Q(y)2; {2} {4;5} {1;3;4;5}3; {{c};{a ;c};{b ;c};{a ;b ;c}} Φ_ 二;B D三;解:主合取方式:p ∧q ∨r ⇔(p ∨q ∨r)∧(p ∨¬q ∨r)∧(¬p ∨q ∨r)= ∏0.2.4主析取范式:p ∧q ∨r ⇔(p ∧q ∧r) ∨(p ∧q ∧¬r) ∨(¬p ∧q ∧r) ∨(¬p ∧¬q ∧r) ∨(p ∧¬q ∧r)= ∑1.3.5.6.7 四;1;证明:编号 公式 依据 (1) (¬B∨C )∧¬C 前提 (2) ¬B∨C ;¬C (1) (3) ¬B (2) (4) A →B (3) (5) ¬A (3)(4) (6) ¬(¬A∧D ) 前提 (7) A ∨¬D (6) (8)¬D (5)(6)2;证明:要证f 是满射;即∀y ∈R ;都存在(x1;x2)∈R ×R ;使f (x1;x2)=y ;而f (x1;x2)=x1+x2;可取x1=0;x2=y ;即证得;再证g 是满射;即∀y ∈R ;;都存在(x1;x2)∈R ×R ;使g (x1;x2)=y ;而g (x1;x2)=x1x2;可取x1=1;x2=y ;即证得;最后证f 不是单射;f (x1;x2)=f (x2;x1)取x1≠x2;即证得;同理:g (x1;x2)=g (x2;x1);取x1≠x2;即证得。
离散数学考试题目及答案
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离散数学考试题目及答案1. 试述命题逻辑中的等价关系和蕴含关系。
答案:命题逻辑中的等价关系是指两个命题在所有可能的真值赋值下都具有相同的真值。
若命题P和Q等价,则记作P⇔Q。
蕴含关系是指如果命题P为真,则命题Q也为真,但Q为真时P不一定为真。
若命题P蕴含Q,则记作P→Q。
2. 证明:若集合A和B的交集非空,则它们的并集包含A和B。
答案:设x属于A∩B,即x同时属于A和B。
根据并集的定义,若元素属于A或B,则它属于A∪B。
因此,x属于A∪B。
由于x是任意属于A∩B的元素,所以A∩B≠∅意味着A∪B至少包含A∩B中的所有元素,即A∪B包含A和B。
3. 给定一个有向图G,如何判断G中是否存在环?答案:判断有向图G中是否存在环,可以采用深度优先搜索(DFS)算法。
在DFS过程中,记录每个顶点的访问状态,如果遇到一个已访问过的顶点,且该顶点不是当前路径的直接前驱,则表示存在环。
4. 描述有限自动机的组成部分及其功能。
答案:有限自动机由以下几部分组成:输入字母表、状态集合、转移函数、初始状态和接受状态集合。
输入字母表定义了自动机可以接收的符号集合;状态集合包含了自动机所有可能的状态;转移函数定义了在给定输入符号和当前状态的情况下,自动机如何转移到下一个状态;初始状态是自动机开始工作时的状态;接受状态集合包含了所有使自动机接受输入字符串的状态。
5. 什么是图的连通分量?如何确定一个无向图的连通分量?答案:图的连通分量是指图中最大的连通子图。
在一个无向图中,如果两个顶点之间存在路径,则称这两个顶点是连通的。
确定无向图的连通分量可以通过深度优先搜索(DFS)或广度优先搜索(BFS)算法。
从任一顶点开始搜索,搜索过程中访问的所有顶点构成一个连通分量。
重复此过程,直到所有顶点都被访问过,即可确定图中所有连通分量。
大连东软信息学院09~10学年第一学期期末试题 离散数学(B卷)答案
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r: 我们到圆明园玩
s: 颐和园游人太多
前提:
,
,,
结论:
证明:○1
前提引入
○2
前提引入
○3
○1 ○2 假言推理
○4
前提引入
○5
前提引入
○6
○4 ○5 假言推理
○7
○3 ○6 析取三段论
…………(5 分) …………(10 分) …………(5 分) …………(10 分) …………(5 分)
…………(10 分)
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
答案
C
D
A
B
D
A
B
C
三、判断题,正确的打“√”,错误的打“×”(共 5 小题,每小题 2 分,本题满分 10 分)
1. √
2. √ 3.× 4. × 5. √
四、解答题(共 3 小题,每小题 10 分,本题满分 30 分)
1. 解:(1) (2)
(3) 2. (1)
………(4 分) …………(8 分) …………(10 分) …………(4 分)
大连东软信息学院 09~10 学年第一学期期末试题
离散数学(B 卷)标准答案及评分标准
学生层次:计算机系 09 级 计算机科学与技术\软件工程\网络工程 本科
一、填空题 (共 8 小题,每小题 2 分,本题满分 16 分)
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
或
二、选择题 (共 8 小题,每小题 3 分,本题满分 24 分)
(2) 的关系矩阵为
的关系图如下:
离散数学期末考试试题(配答案)
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一.填空题(每小题2分,共10分)1。
谓词公式)()(x xQ x xP ∃→∀的前束范式是__ ∃x ∃y¬P(x )∨Q(y ) __________. 2。
设全集{}{}{},5,2,3,2,1,5,4,3,2,1===B A E 则A ∩B =__{2}__,=A _{4,5}____,=B A __ {1,3,4,5} _____3。
设{}{}b a B c b a A ,,,,==,则=-)()(B A ρρ__ {{c},{a ,c},{b ,c },{a,b ,c}} __________,=-)()(A B ρρ_____Φ_______.4。
在代数系统(N,+)中,其单位元是0,仅有 1 有逆元. 5.如果连通平面图G 有n 个顶点,e 条边,则G 有___e+2—n ____个面。
二.选择题(每小题2分,共10分)1. 与命题公式)(R Q P →→等价的公式是( )(A )R Q P →∨)( (B)R Q P →∧)( (C ))(R Q P ∧→ (D ))(R Q P ∨→2. 设集合{}c b a A ,,=,A 上的二元关系{}><><=b b a a R ,,,不具备关系( )性质 (A ) (A )传递性 (B)反对称性 (C)对称性 (D)自反性3. 在图>=<E V G ,中,结点总度数与边数的关系是( ) (A)E v i 2)deg(= (B) E v i =)deg((C )∑∈=Vv iE v 2)deg((D ) ∑∈=Vv iE v )deg(4。
设D 是有n 个结点的有向完全图,则图D 的边数为( ) (A))1(-n n (B))1(+n n (C)2/)1(+n n (D )2/)1(-n n 5. 无向图G 是欧拉图,当且仅当( )(A) G 的所有结点的度数都是偶数 (B)G 的所有结点的度数都是奇数(C )G 连通且所有结点的度数都是偶数 (D) G 连通且G 的所有结点度数都是奇数。
离散数学期末考试题b及答案
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离散数学期末考试题b及答案一、选择题(每题2分,共10分)1. 在集合论中,以下哪个符号表示"属于"关系?A. ∈B. ∉C. ⊆D. ⊂答案:A2. 命题逻辑中,以下哪个符号表示"非"?A. ∧B. ∨C. ¬D. →答案:C3. 以下哪个选项是图的邻接矩阵的正确定义?A. 矩阵的元素表示顶点之间的路径数量B. 矩阵的元素表示顶点之间的边的权重C. 矩阵的元素表示顶点之间的距离D. 矩阵的元素表示顶点之间的连接关系答案:D4. 在布尔代数中,以下哪个运算是幂等的?A. 与运算B. 或运算C. 非运算D. 异或运算答案:C5. 以下哪个选项是哈希函数的基本特性?A. 快速计算B. 容易逆向C. 容易碰撞D. 难以预测答案:A二、填空题(每题3分,共15分)1. 有限自动机的三个组成部分是____、____和____。
答案:状态集、输入字母表、转移函数2. 在图论中,一个图的度是指图中一个顶点的____的个数。
答案:边3. 逻辑等价是指两个逻辑表达式在所有可能的变量赋值下都有____的真值。
答案:相同4. 在关系数据库中,____是用于唯一标识关系表中每行数据的属性或属性组。
答案:主键5. 一个算法的时间复杂度是指算法执行时间随输入规模增长的____。
答案:增长趋势三、简答题(每题5分,共20分)1. 请简述什么是图的连通分量。
答案:图的连通分量是指图中最大的连通子图,即图中任意两个顶点之间都存在路径。
2. 解释一下什么是闭包。
答案:闭包是指在关系数据库中,对于一组属性,如果它们之间存在某种函数依赖关系,则称这组属性的闭包包含了所有依赖于它们的属性。
3. 什么是归纳法证明?答案:归纳法证明是一种数学证明方法,它包括两个步骤:基础步骤(证明当n取第一个值时命题成立)和归纳步骤(假设当n=k时命题成立,然后证明当n=k+1时命题也成立)。
4. 请描述一下什么是欧拉路径和欧拉回路。
计算机学院2009—2010年离散数学(上)B卷和参考答案及评分标准
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安徽大学20 09 — 20 10 学年第 1 学期 《离散数学(上)》考试试卷(B 卷)(时间120分钟)院/系 专业 姓名 学号一、单选题(每小题2分,共20分)1. 若P :他聪明;Q :他用功;则“他虽聪明,但不用功”,可符号化为( )A.P ∨QB.P ∧┐QC.P →┐QD.P ∨┐Q2. 设个体域为{,}D a b =,(,)(,)0F a a F a b ==,(,)(,)1F b a F b b ==,则下列公式为真的是( )A. (,)x yF x y ∃∀;B. (,)x yF x y ∀∃;C.(,)x yF x y ∀∀;D.(,)x yF x y ∃∃¬。
3. 设B 是不含变元x 的公式,谓词公式(∀x)(A(x)→B)等价于( )A.(∃x)A(x)→BB.(∀x)A(x)→BC.A(x)→BD.(∀x)A(x)→(∀x)B 4. 对任意集合C B A ,,,下列各式中一定成立的是( )A.)()()(C A B A C B A ⋃⊕⋃=⊕⋃;B. )()()(C A B A C B A ⋃⋂⊕=⋂⊕;C. )()()(C A B A C B A ⋃⊗⋃=⊗⋃;D. )()(C B A C B A ⨯⨯=⨯⨯。
5. 设A={a,b,c},A 上二元关系R={〈a,a 〉,〈b,b 〉,〈a,c 〉},则关系R 的对称闭包S(R)是( )A.R ∪I AB.RC.R ∪{〈c,a 〉}D.R ∩I A6. 设X={a,b,c},I x 是X 上恒等关系,要使I x ∪{〈a,b 〉,〈b,c 〉,〈c,a 〉,〈b,a 〉}∪R 为X 上的等价关系,R 应取( )A. {〈c,a 〉,〈a,c 〉}B.{〈c,b 〉,〈b,a 〉}C. {〈c,a 〉,〈b,a 〉}D.{〈a,c 〉,〈c,b 〉} 7. 下列式子正确的是( )A. ∅∈∅B.∅⊆∅C.{∅}⊆∅D.{∅}∈∅ 8. 以下命题公式中,为永假式的是( )A.p →(p ∨q ∨r)B.(p →┐p)→┐pC.┐(q →q)∧pD.┐(q ∨┐p)→(p ∧┐p) 9. 设1π和2π是非空集合A 的划分,则下列集合一定是A 的划分的是( )A.12ππB.12ππC.12ππ-D.1211()ππππ-10. 设N 和R 分别为自然数和实数集合,则下列集合中与其他集合的基数不同的集合是( )A.RB.N NC.()N ρD.n N (n N ∈)二、判断题(每小题2分,共10分。
离散数学期末考试题及答案
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离散数学期末考试题及答案一、单项选择题(每题2分,共20分)1. 集合A={1,2,3},B={2,3,4},则A∩B=()。
A. {1,2,3}B. {2,3}C. {2,4}D. {1,4}答案:B2. 命题“若x>0,则x>1”的逆否命题是()。
A. 若x≤0,则x≤1B. 若x≤1,则x≤0C. 若x>1,则x>0D. 若x≤1,则x≤0答案:B3. 函数f: A→B的定义域是集合A,值域是集合B,则()。
A. A⊆BB. A⊂BC. A⊇BD. A⊃B答案:A4. 集合{1,2,3}与集合{3,2,1}是否相等?()。
A. 是B. 否C. 无法确定D. 以上都不对答案:A5. 命题p:“x>0”,则¬p为()。
A. x≤0B. x<0C. x=0D. x<0或x=0答案:A6. 命题“若x>0,则x>1”的逆命题是()。
A. 若x>0,则x>1B. 若x≤1,则x≤0C. 若x>1,则x>0D. 若x≤0,则x≤1答案:C7. 函数f: A→B的定义域是集合A,值域是集合B,则()。
A. A⊆BB. A⊂BC. A⊇BD. A⊃B答案:A8. 集合{1,2,3}与集合{3,2,1}是否相等?()。
A. 是B. 否C. 无法确定D. 以上都不对答案:A9. 命题p:“x>0”,则¬p为()。
A. x≤0B. x<0C. x=0D. x<0或x=0答案:A10. 命题“若x>0,则x>1”的逆命题是()。
A. 若x>0,则x>1B. 若x≤1,则x≤0C. 若x>1,则x>0D. 若x≤0,则x≤1答案:C二、填空题(每题2分,共20分)1. 集合A={1,2,3},B={2,3,4},则A∪B=______。
答案:{1,2,3,4}2. 命题“若x>0,则x>1”的逆否命题是:若x≤1,则x≤0。
(完整word版)《离散数学》期末试题及答案
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326《离散数学》期末考试题(B)一、填空题(每小题3分,共15分)1.设,,},,{{b a b a A =∅},则-A ∅ = ( ),-A {∅} = ( ),)(A P 中的元素个数=|)(|A P ( ).2.设集合A 中有3个元素,则A 上的二元关系有( )个,其中有( )个是A 到A 的函数.3.谓词公式))()(())()((y P y Q y x Q x P x ⌝∧∃∧→∀中量词x ∀的辖域为( ), 量词y ∃的辖域为( ).4.设}24,12,8,6,4,3,2,1{24=D ,对于其上的整除关系“|”,元素( )不存在补元.5.当n ( )时,n 阶完全无向图n K 是平面图,当当n 为( )时,n K 是欧拉图. 二.1. 若n B m A ==||,||,则=⨯||B A ( ),A 到B 的2元关系共有( )个,A 上的2元关系共有( )个.2. 设A = {1, 2, 3}, f = {(1,1), (2,1), (3, 1)}, g = {(1, 1), (2, 3), (3, 2)}和h = {(1, 3), (2, 1), (3, 1)},则( )是单射,( )是满射,( )是双射.3. 下列5个命题公式中,是永真式的有( )(选择正确答案的番号). (1)q q p p →→∧)(; (2))(q p p ∨→; (3))(q p p ∧→; (4)q q p p →∨∧⌝)(; (5)q q p →→)(.4. 设D 24是24的所有正因数组成的集合,“|”是其上的整除关系,则3的补元( ),4的补元( ),6的补元( ).5. 设G 是(7, 15)简单平面图,则G 一定是( )图,且其每个面恰由( )条边围成,G 的面数为( ).三.1.设}}{},,{{c b a A =,}}{},,{},{{c c b a B =,则)(=⋃B A ,)(=⋂B A ,)()(=A P .2.集合},,{c b a A =,其上可定义( )个封闭的1元运算,( )个封闭的2元运算,( )个封闭的3元运算.3.命题公式1)(↑∧q p 的对偶式为( ).4.所有6的因数组成的集合为( ).5.不同构的5阶根树有( )棵.四、(10分)设B A f →:且C B g →:,若g f ο是单射,证明f 是单射,并举例说明g不一定是单射.五、(15分)设},,,{d c b a A =,A 上的关系)},(),,(),,(),,(),,(),,(),,(),,(),,{(c d b d a d c c b c a c c a b a a a R =,1.画出R 的关系图R G .2.判断R 所具有的性质.3.求出R 的关系矩阵R M .六、(10分)利用真值表求命题公式))(())((p q r r q p A →→↔→→=的主析取范式和主合取范式.七、(10分) 边数30<m 的简单平面图G ,必存在节点v 使得4)deg(≤v . 八、(10分) 有六个数字,其中三个1,两个2,一个3,求能组成四位数的个数.《离散数学》期末考试题(B)参考答案一、1. {{a , b }, a , b , ∅}, {{a , b }, a , b },16.2.92, 27.3.)()(x Q x P →, )()(y P y Q ⌝∧.4. 2, 4, 6, 12.5.4≤,奇数. 二、1.22,2,m mn mn .2.g , g , g .3.1,2,4.4.8,不存在,不存在.5.连通,3,10.三、1. }}{},,{},,{},{{c c b b a a B A =⋃,}}{{c B A =⋂,{)(=A P ∅, {{a , b }}, {{c }}, {{a , b }, {c }}}.2.27933,3,3. 3.0)(↓∨q p .4.{-1,-2,-3,-6,1,2,3,6}.5.9.四、证 对于任意A y x ∈,,若)()(y f x f =,则))(())((y f g x f g =,即))(())((y g f x g f οο=. 由于g f ο是单射,因此y x =,于是f 是单射.例如取},,{},3,2,1(},,{γβα===C B b a A ,令)}2,(),1,{(b a f =,)},3(),,2(),,1{(ββα=g ,这时)},(),,{(βαb a g f =ο是单射,而g 不是单射.五、解 1. R 的关系图R G 如下:2.(1)由于R b b ∉),(,所以R 不是自反的. (2)由于R a a ∈),(,所以R 不是反自反的.(3)因为R b d ∈),(,而R d b ∉),(,因此R 不是对称的. (4)因R a c c a ∈),(),,(,于是R 不是反对称的.(5)经计算知R c d a d c c b c a c c a b a a a R R ⊆=)},(),,(),,(),,(),,(),,(),,(),,{(ο,进而R 是传递的.综上所述,所给R 是传递的.3.R 的关系矩阵⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=0111011100000111R M .六、解 命题公式))(())((p q r r q p A →→↔→→=的真值表如下:由表可知,))(())((p q r r q p A →→↔→→=的主析取范式为).()()()()()(r q p r q p r q p r q p r q p r q p A ⌝∧⌝∧⌝∨∧⌝∧⌝∨⌝∧∧⌝∨⌝∧⌝∧∨∧⌝∧∨∧∧=A 的主合取范式为)()(r q p r q p A ⌝∨⌝∨∧∨⌝∨⌝=.七、证 不妨设G 的阶数3≥n ,否则结论是显然的. 根据推论1知,63-≤n m . 若G 的任意节点v 的度数均有5)deg(≥v ,由握手定理知n v m v5)deg(2≥=∑.于是m n 52≤,进而652363-⋅≤-≤m n m . 因此30≥m ,与已知矛盾. 所以必存在节点v 使得4)deg(≤v .八、解 设满足要求的r 位数的个数有a r 种,r = 0,1,2,…,则排列计数生成函数()x x x x x x x E +⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛++⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+++=1!21!3!21)(23265432121211219619431x x x x x x ++++++=, 因而38!412194=⋅=a .。
离散数学期末考试试题(有几套带答案)
![离散数学期末考试试题(有几套带答案)](https://img.taocdn.com/s3/m/465d991e02768e9951e738bb.png)
离散试卷及答案离散数学试题(A 卷及答案)一、证明题(10分) 1)(P ∧(Q ∧R))∨(Q ∧R)∨(P ∧R)R证明: 左端(P ∧Q ∧R)∨((Q ∨P)∧R)((P ∧Q)∧R))∨((Q ∨P)∧R)((P ∨Q)∧R)∨((Q ∨P)∧R)((P ∨Q)∨(Q ∨P))∧R ((P ∨Q)∨(P ∨Q))∧RT ∧R(置换)R2)x(A(x)B(x))xA(x)xB(x) 证明 :x(A(x)B(x))x(A(x)∨B(x))xA(x)∨xB(x)xA(x)∨xB(x)xA(x)xB(x)二、求命题公式(P ∨(Q ∧R))(P ∧Q ∧R)的主析取范式和主合取范式(10分)证明:(P ∨(Q ∧R))(P ∧Q ∧R)(P ∨(Q ∧R))∨(P ∧Q ∧R))(P ∧(Q ∨R))∨(P ∧Q ∧R) (P ∧Q)∨(P ∧R))∨(P ∧Q ∧R) (P ∧Q ∧R)∨(P ∧Q ∧R)∨(P ∧Q ∧R))∨(P ∧Q ∧R))∨(P ∧Q ∧R) m0∨m1∨m2∨m7 M3∨M4∨M5∨M6三、推理证明题(10分) 1)C ∨D, (C ∨D) E, E (A ∧B), (A ∧B)(R ∨S)R ∨S证明:(1) (C ∨D) E(2) E (A ∧B) (3) (C ∨D)(A ∧B)(4) (A ∧B)(R ∨S)(5) (C ∨D)(R ∨S)(6) C ∨D (7) R ∨S 2) x(P(x)Q(y)∧R(x)),xP(x)Q(y)∧x(P(x)∧R(x)) 证明(1)xP(x)(2)P(a) (3)x(P(x)Q(y)∧R(x)) (4)P(a)Q(y)∧R(a)(5)Q(y)∧R(a) (6)Q(y) (7)R(a) (8)P(a) (9)P(a)∧R(a) (10)x(P(x)∧R(x))(11)Q(y)∧x(P(x)∧R(x))四、设m 是一个取定的正整数,证明:在任取m +1个整数中,至少有两个整数,它们的差是m 的整数倍证明 设1a ,2a ,…,1+m a 为任取的m +1个整数,用m 去除它们所得余数只能是0,1,…,m -1,由抽屉原理可知,1a ,2a ,…,1+m a 这m +1个整数中至少存在两个数s a 和t a ,它们被m 除所得余数相同,因此s a 和t a 的差是m 的整数倍。
离散数学期末考试试题及答案
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离散数学期末考试试题及答案一、选择题(每题4分,共40分)1.下列哪一个不是集合操作? A. 并 B. 交 C. 补 D. 叉积正确答案:D2.下列哪一个不是真命题? A. 1 + 1 = 2 B. 所有的猫都会飞 C. 所有的数都是整数 D. 狗是哺乳动物正确答案:B3.设A = {1, 2, 3},B = {3, 4, 5},则A ∩ B的结果是:A. {1, 2}B. {3}C. {1, 3}D. {4, 5}正确答案:B4.设A = {1, 2, 3},B = {3, 4, 5},则A × B的结果是:A. {(1, 3), (2, 4), (3, 5)}B. {(1, 1), (2, 2), (3, 3)}C. {(3, 3), (3,4), (3, 5)} D. {(3, 1), (3, 2), (3, 3)}正确答案:A5.若n为正整数,则n是偶数的充要条件是: A. n可以被2整除 B. n除以2的余数为1 C. n大于2 D. n的绝对值是偶数正确答案:A6.若A = {1, 2, 3, 4},B = {3, 4, 5},则A - B的结果是:A. {1, 2}B. {3}C. {1, 3, 4}D. {4, 5}正确答案:A7.已知命题P和命题Q,下列哪个是它们的逻辑等价式?A. P ∧ (P ∨ Q) = P B. P ∧ (P ∨ Q) = Q C. P ∨ (P ∨ Q) = P D. P ∨ (P ∨ Q) = Q正确答案:A8.设n为奇数,则n + n的结果是: A. 2n B. n^2 C.n(n+1) D. n(n-1)正确答案:C9.已知集合A = {1, 2, 3, 4},B = {4, 5, 6},C = {6, 7, 8},则(A ∩ B)∩ C的结果是: A. {1, 2, 3} B. {4} C. {6} D. 空集正确答案:D10.若命题P为真,则下列哪个推理是正确的? A. 如果P为真,则Q为真(反证法) B. P与Q都为真(析取引理)C. P蕴含Q(推理法则) D. P等价于Q(假设法)正确答案:A二、解答题(每题10分,共60分)1.证明:任取集合A和B,有(A ∪ B) - B = A - B解答:运用集合的基本运算性质:对任意元素x,x∈ (A ∪ B) - B,即x ∈ (A ∪ B)且x ∉ B。
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参考答案及评分细则西南科技大学2008——2009学年第2学期《离散数学(J)》期末考试试卷(B卷)一、基础题(60分)1.(4分)求下列集合的幂集(1){1,{2,3}}(2){∅,{∅}}解:(1){∅,{1},{{2,3}},{1,{2,3}}}(2){∅,{∅},{{∅}},{∅,{∅}}}评分说明:每小题2分。
2.(6分)判断公式((P→Q)∧(Q→R))→(P→R)的类型。
解:((P→Q)∧(Q→R))→(P→R)⇔⌝((⌝P∨Q)∧(⌝Q∨R))∨(⌝P∨R)………………………………………1分⇔⌝(⌝P∨Q)∨⌝(⌝Q∨R) ∨⌝P∨R⇔(P∧⌝Q)∨(Q∧⌝R)∨⌝P∨R……………………………………………1分⇔(P∧⌝Q)∨⌝P∨(Q∧⌝R)∨R……………………………………………1分⇔(P∨⌝P)∧(⌝Q∨⌝P) ∨(Q∨R)∧(⌝R∨R)……………………………1分⇔T∧(⌝Q∨⌝P)∨(Q∨R)∧T⇔⌝Q∨⌝P∨Q∨R……………………………………………………………1分⇔T…………………………………………………………………………1分评分说明:用真值表判断也正确。
3.(8分)求命题公式(P∨(Q∧R))→(P∧Q∧R)的主析取范式和主合取范式。
解:主析取范式(P∨(Q∧R))→(P∧Q∧R)参考答案及评分细则西南科技大学2008——2009学年第 2学期《离散数学(J)》期末考试试卷(B卷)⇔⌝(P∨(Q∧R))∨(P∧Q∧R))⇔(⌝P∧(⌝Q∨⌝R))∨(P∧Q∧R)⇔(⌝P∧⌝Q)∨(⌝P∧⌝R)∨(P∧Q∧R)⇔(⌝P∧⌝Q∧⌝R)∨(⌝P∧⌝Q∧R)∨(⌝P∧Q∧⌝R))∨(P∧Q∧R)⇔m0∨m1∨m2∨m7⇔∑(0,1,2,7) ………………6分所以主合取范式为π(3,4,5,6)⇔M3∧M4∧M5∧M6⇔(P∨⌝Q∨⌝R)∧(⌝P∨Q∨R)∧(⌝P∨Q∨⌝R)∧(⌝P∨⌝Q∨R)………2分评分说明:也可先求主合取范式,再求主析取范式。
步骤酌情给分。
4.(8分)设A、B为两个集合,证明A-B=A当且仅当A⋂B=∅。
证明: ①必要性:…………………4分若A-B =A,则有A⋂B = (A-B)⋂B= (A⋂B)⋂B= A⋂(B⋂B)= A⋂∅= ∅②充分性:…………………4分若A⋂B = ∅,则有:A = A⋂(B⋃B)= (A⋂B)⋃(A⋂B)=∅⋃(A⋂B)参考答案及评分细则西南科技大学2008——2009学年第 2学期《离散数学(J)》期末考试试卷(B卷)= A⋂B=A-B得证评分说明:每步1分。
5.(8分)假设A={1,2,3},R是A⨯A上的等价关系,且<<a,b>,<c,d>>∈R⇔ a*b=c*d. (*代表算数乘)(1)假设I为A⨯A上恒等关系,给出I,并求R-I。
(1)求R对应的A⨯A的划分π。
解:(1)I={<<1,1>,<1,1>>,<<1,2>,<1,2>>,<<1,3>,<1,3>>,<<2,1>,<2,1>>,<<2,2>,<2,2>>,<<2,3>,<2,3>>,<<3,1>,<3,1>>,<<3,2>,<3,2>>,<<3,3>,<3,3>>}…………………………2分R-I={<<1,2>,<2,1>>,<<2,1>,<1,2>>,<<1,3>,<3,1>>,<<2,3>,<3,2>>}…………………………2分(2)根据有序对<a,b>中的a⨯b=1,2,3,4,6,9将A划分:π={{<1,1>},{<1,2>,<2,1>},{<1,3>,<3,1>},{<2,2>},{<2,3>,<3,2>},{<3,3 >} …………………………4分评分说明:基本理解A⨯A上的恒等关系可给2分。
6. (10分)设A={0,1,2,3},R⊆A⨯A,其中R={<x,y>|x=y∨x+y∈A}(1)求R 的关系矩阵M(R)和关系图G(R)。
(2)讨论R 的性质。
(3)构造R 的对称传递闭包。
参考答案及评分细则西南科技大学2008——2009学年第 2学期《离散数学(J)》期末考试试卷(B 卷)解:(1)11111110()11101001M R ⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦…………………………2分 G(R)如图所示3…………………………3分(2) R 具有自反性、对称 …………………………2分 (3) 由于R 已具有对称性,实际上就是构造t(R)=R ⋃R 2⋃R 3⋃…11111111(())11111111M t R ⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦…………………………3分 7. (6分)画出下述偏序集的哈斯图,并指出A 的最大元、最小元、极大元、极小元。
偏序集为<A, >,其中A={a,b,c,d,e}, =I A ⋃{<a,b>,<a,c>,<a,d>,<a,e>,<b,e>,<c,e>,<d,e>} 解:哈斯图如下图所示…………………4分参考答案及评分细则西南科技大学2008——2009学年第 2学期《离散数学(J)》期末考试试卷(B卷)对于<A, >,e 是最大元,也是唯一极大元。
a 是最小元,也是唯一的极小元。
……………………2分评分说明:基本了解哈斯图的画法可酌情给分,特殊元素判断,每个0.5。
8.(10分)一颗无向树T,有nt个t度顶点,t=2,3,…k,其余顶点都是树叶,问T有几片树叶?解:T的总度数为所有顶点度数之和=ktt1tn=∑=2m ………………3分由树的性质可知m=n-1所以,k kt tt1t1tn2m2n1====-∑∑()………………3分设T有n1片树叶,有k k1t1tt2t2n tn2n n1==+=+-∑∑()………………2分得,T中树叶的数量k k k1t t tt2t2t2n tn2n2t-2n2====-+=+∑∑∑()……2分由于t=2时 t-2=0,所以k1tt3n t-2n2==+∑()无向树中树叶的个数由3度及以上顶点的个数确定。
评分说明:知道树的顶点和边之间的关系,总度数和边数之间的关系的可酌情给分。
二、综合题(40分)1.(15分)在自然推理系统F中,构造下面推理的证明:任何自然数都是整数,存在着自然数,所以存在着整数。
个体域为实数集 R。
设 F(x):x为自然数,G(x):x为整数参考答案及评分细则西南科技大学2008——2009学年第 2学期《离散数学(J)》期末考试试卷(B卷)解:前提:①∀x(F(x)→G(x) ………………3分②∃xF(x) ………………1分结论:∃xG(x) ………………1分证明:①∃xF(x) P② F(c) ①, ES③∀x(F(x)→G(x)) P④ F(c)→G(c) ③, US⑤ G(c) ②, ④, 假言推理⑥∃xG(x) ⑤, EG评分说明:推理过程①③步各1分,其余每步2分2. (10分)在1到10000之间既不是某个整数的平方,也不是某个整数的立方的数有多少个?(要求应用容斥原理求解)解:设全集E={x|x∈N∧1≤x≤10000}A={x|x∈E∧x是某个整数的平方}, B={x|x∈E∧x是某个整数的立方}………………1分易知|A|=100,|B|=21,|A⋂B|=4,这4个元素为1,64,729,4096………………2分由容斥原理知|A⋃B|=|A|+|B|-|A⋂B|=100+21-4=117………………4分既不是某个整数的平方,也不是某个整数的立方的数的个数可表示为|A B⋃|=|E|-|A⋃B|=10000-117=9883 ………………3分参考答案及评分细则西南科技大学2008——2009学年第 2学期《离散数学(J)》期末考试试卷(B卷)3. (15分)用Dijkstra算法求下图所示有向带权图中v1到其余各顶点的最短路径及其权值。
(要求写出计算过程)V1解:v1 到v2 的最短路径为v1v2,其权为1。
v1 到v3 不可达,无最短路。
v1 到v4 的最短路径为v1v4,其权为3。
v1 到v5 的最短路径为v1v4v5,其权为7。
v1 到v6 的最短路径为v1v2v6,其权为7。
v1 到v7 的最短路径为v1v2v6v7,其权为14。
评分说明:知道Dijkstra算法的基本方法给3分。
每正确一条最短路径并得权值给2分。