2005年苍南县“姜立夫杯”高中数学竞赛高一试卷

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2005年江苏高中数学竞赛预赛试题及答案

2005年全国高中数学联赛江苏赛区初赛试题参考答案及评分标准说明：1. 评阅试卷时, 请依据本评分标准. 选择题、填空题只设6分和0分两档. 其他各题的评阅, 请严格按照本评分标准规定的评分档次给分, 不要再增加其他中间档次.2. 如果考生的解答方法和本解答不同, 只要思路合理, 步骤正确, 在评卷时可参照本评分标准适当划分评分档次, 3分为一个档次, 不要再增加其他中间档次.一．选择题 (本题满分36分, 每小题6分)1. 函数 ()y f x = 的图像按向量 (,2)4a π= 平移后, 得到的图像的解析式为sin()24y x π=++. 那么 ()y f x = 的解析式为A. sin y x =B. cos y x =C. sin 2y x =+D. cos 4y x =+答: [ B ]解： sin[()]44y x ππ=++, 即 c o s y x =. 故选 B ． 2. 如果二次方程 20(,x px q p q --=∈N*) 的正根小于3, 那么这样的二次方程有A. 5个B. 6个C. 7个D. 8个答: [ C ]解：由 240,0p q q ∆=+>-<, 知方程的根为一正一负．设 2()f x x px q =--，则 2(3)330f p q =-->, 即 39p q +<.由于 ,p q ∈N*，所以 1,5p q =≤ 或 2,2p q =≤. 于是共有7组 (,)p q 符合题意．故选 C ．3. 设 0a b >>, 那么 21()a b a b +- 的最小值是A. 2B. 3C. 4D. 5答: [ C ]解：由 0a b >>, 可知22210()()424a ab a b b a <-=--≤,所以， 222144()a a b a b a+≥+≥-. 故选 C ．4. 设四棱锥 P ABCD - 的底面不是平行四边形, 用平面 α 去截此四棱锥, 使得截面四边形是平行四边形, 则这样的平面 αA. 不存在B. 只有1个C. 恰有4个D. 有无数多个答: [ D ]解：设四棱锥的两组不相邻的侧面的交线为 m 、n , 直线 m 、n 确定了一个平面 β. 作与 β 平行的平面α, 与四棱锥的各个侧面相截，则截得的四边形必为平行四边形．而这样的平面 α 有无数多个．故选 D ．5. 设数列 {}n a : 01212,16,1663n n n a a a a a ++===-, n ∈N*, 则 2005a 被64 除的余数为A. 0B. 2C. 16D. 48答: [ C ]解：数列 {}n a 模 64 周期地为 2，16，－2，－16，……. 又 2005 被 4 除余 1, 故选 C ．6. 一条走廊宽 2 m, 长 8 m, 用 6 种颜色的 1⨯1 m 2的整块地砖来铺设(每块地砖都是单色的, 每种颜色的地砖都足够多), 要求相邻的两块地砖颜色不同, 那么所有的不同拼色方法有A. 830个B. 73025⨯个C. 73020⨯个D. 73021⨯个答: [ D ]解：铺第一列(两块地砖)有 30 种方法；其次铺第二列．设第一列的两格铺了 A 、B 两色(如图)，那么，第二列的上格不能铺 A 色．若铺 B 色，则有 (61)- 种铺法；若不铺 B 色，则有 2(62)- 种方法. 于是第二列上共有 21 种铺法. 同理，若前一列铺好，则其后一列都有 21 种铺法．因此，共有 73021⨯ 种铺法．故选 D ．二．填空题 (本题满分36分, 每小题6分)7. 设向量 OA 绕点 O 逆时针旋转 2π得向量 OB , 且 2(7,9)OA OB +=, 则D 1C 1B 1A 1DCBAPAB向量 OB = （－115，235） .解：设 (,)OA m n =, 则 (,)OB n m =-, 所以2(2,2)(7,9)OA OB m n n m +=-+=.即 27,29.m n m n -=⎧⎨+=⎩ 解得 23,511.5m n ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩因此，23111123(,),(,)5555OA OB ==-.故填 1123(,)55-． 8. 设无穷数列 {}n a 的各项都是正数, n S 是它的前 n 项之和, 对于任意正整数n , n a 与 2 的等差中项等于 n S 与 2 的等比中项, 则该数列的通项公式为 a n = 4n －2 (n ∈N*) .解：由题意知22n a += 即 2(2)8n n a S +=. ……… ① 由 11a S = 得122a +=从而 12a =. 又由 ① 式得211(2)(2)8n n a S n --+=≥, ……… ②于是有 1n n n a S S -=-221(2)(2)(2)88n n a a n -++=-≥,整理得 11()(4)0n n n n a a a a --+--=. 因 10,0n n a a ->>, 故114(2),2n n a a n a --=≥=．所以数列 {}n a 是以 2 为首项、4 为公差的等差数列，其通项公式为 24(1)n a n =+-，即 42n a n =-. 故填 42(n a n n =-∈N*)．9. 函数 ∈+=x x x y (|2cos ||cos |R ) 的最小值是 22 .解：令 |cos |[0,1]t x =∈，则 2|21|y t t =+-．当12t ≤≤ 时， 2219212()48y t t t =+-=+-，得22y ≤≤；当02t ≤<时， 2219212()48y t t t =-++=--+，得928y ≤≤．又 y 可取到2, 故填2．10. 在长方体 1111ABCD A BC D - 中, 12,1AB AA AD ===, 点E 、F 、G 分别是棱 1AA 、11C D 与 BC 的中点, 那么四面体 1B EFG - 的体积是 V B 1－EFG= 38 .解：在 11D A 的延长线上取一点 H ，使 114A H =. 易证，1||HE B G ，||HE 平面 1B FG ．故 1111B EFG E B FG H B FGG B FH V V V V ----===．而 198B FH S ∆=，G 到平面 1B FH 的距离为 1．故填 138B E F GV -=．11. 由三个数字 1、2、3 组成的 5 位数中, 1、2、3 都至少出现 1 次, 这样的 5 位数共有 150 个.解：在 5 位数中, 若 1 只出现 1 次，有 11235444()70C C C C ++= 个；若 1 只出现 2 次，有 212533()60C C C += 个；若 1 只出现 3 次，有 315220C C = 个．则这样的五位数共有 150 个．故填 150个．12. 已知平面上两个点集{(,)||1|,M x y x y x y =++≥∈R },{(,)||||1|1,,N x y x a y x y =-+-≤∈R }. 若 M N ≠∅, 则 a 的取值范围是[1－6，3+10] ．解：由题意知 M 是以原点为焦点、直线 10x y ++= 为准线的抛物线上及其凹口内侧的点集，N 是以 (,1)a 为中心的正方形及其内部的点集(如图)．考察 M N =∅ 时, a 的取值范围:令 1y =, 代入方程|1|x y ++=,得 2420x x --=，解出得2x = 所以，当211a <=时, M N =∅． ………… ③令 2y =，代入方程|1|x y ++=得 2610x x --=. 解出得3x =当3a > 时, MN =∅． ………… ④因此, 综合 ③ 与 ④ 可知，当13a ≤≤，即[13a ∈ 时,M N ≠∅．故填[1.三．解答题 (第一题、第二题各15分；第三题、第四题各24分)13. 已知点 M 是 ABC ∆ 的中线 AD 上的一点, 直线 BM 交边 AC 于点N , 且 AB 是 NBC ∆ 的外接圆的切线, 设 BC BN λ=, 试求 BMMN(用 λ 表示).证明：在 BCN ∆ 中，由Menelaus 定理得1BM NA CDMN AC DB⋅⋅=．因为 BD DC =，所以BM ACMN AN=． ……………… 6分由 ABN ACB ∠=∠，知ABN ∆ ∽ ACB ∆，则AB AC CBAN AB BN==．所以，2AB AC CB AN AB BN ⎛⎫⋅= ⎪⎝⎭，即 2⎪⎭⎫ ⎝⎛=BN BC AN AC ． …………………… 12分因此， 2⎪⎭⎫⎝⎛=BN BC MN BM ．又 BC BN λ=，故 2BMMNλ=． …………………… 15分14. 求所有使得下列命题成立的正整数 (2)n n ≥: 对于任意实数 12,,,n x x x ,当10nii x==∑ 时, 总有 110ni i i x x +=≤∑ ( 其中 11n x x += ).A BCDN M解：当 2n = 时，由 120x x +=，得 21221120x x x x x +=-≤．所以 2n = 时命题成立. …………………… 3分当 3n = 时，由 1230x x x ++=，得2222123123122331()()2x x x x x x x x x x x x ++-++++=222123()02x x x -++=≤.所以 3n = 时命题成立. ………………… 6分当 4n = 时，由 12340x x x x +++=，得212233441132424()()()0x x x x x x x x x x x x x x +++=++=-+≤．所以 4n = 时命题成立． ……………… 9分当 5n ≥ 时，令 121x x ==，42x =-，350n x x x ====,则10nii x==∑.但是,1110ni i n x x+==>∑，故对于 5n ≥ 命题不成立．综上可知，使命题成立的自然数是 2,3,4n =. …………… 15分15. 设椭圆的方程为 22221(0)x y a b a b+=>>, 线段 PQ 是过左焦点 F 且不与x 轴垂直的焦点弦. 若在左准线上存在点 R ,使 PQR ∆ 为正三角形, 求椭圆的离心率 e的取值范围, 并用 e 表示直线 PQ 的斜率.解：如图, 设线段 PQ 的中点为 M ．过点 P 、M 、Q 分别作准线的垂线, 垂足分别为 'P 、'M 、'Q , 则11|||||||'|(|'||'|)()222PF QF PQ MM PP QQ e e e=+=+=． …………… 6分假设存在点 R ，则||||2RM PQ =，且 |'|||MM RM <，即|||2PQ PQ e <，所以，3e >………………………… 12分于是，ePQ e PQ RM MM RMM 31||322|||||'|'cos =⋅==∠，故cot 'RMM ∠=．若 ||||PF QF < (如图)，则131'cot 'tan tan 2-=∠=∠=∠=e RMM FMM QFx k PQ . …………… 18分当e >时, 过点 F 作斜率为的焦点弦 PQ , 它的中垂线交左准线于 R , 由上述运算知, ||||RM PQ =．故 PQR ∆ 为正三角形. ………… 21分若 ||||PF QF >，则由对称性得PQ k =． ……………… 24分又 1e <, 所以，椭圆 22221(0)x y a b a b+=>> 的离心率 e 的取值范围是(3e ∈，直线 PQ 的斜率为 16. (1) 若 (n n ∈ N *) 个棱长为正整数的正方体的体积之和等于 2005, 求 n 的最小值, 并说明理由；(2) 若 (n n ∈ N *) 个棱长为正整数的正方体的体积之和等于 20022005, 求 n 的最小值, 并说明理由.解： (1) 因为 3333101000,111331,121728,132197====, 3312200513<<，故 1n ≠.因为 3333200517281251252712553=+++=+++，所以存在 4n =，使min 4n ≤． ……………… 6分若 2n =，因 3310102005+<, 则最大的正方体边长只能为 11 或 12，计算33200511674,200512277-=-=，而 674 与 277 均不是完全立方数, 所以2n = 不可能是 n 的最小值. ……………… 9分若 3n =，设此三个正方体中最大一个的棱长为 x , 由 328320053⨯>≥x , 知最大的正方体棱长只能为 9、10、11 或 12.由于 3932005⨯<, 5479220053=⨯-, 0829200533>⨯--, 所以 9x ≠.由于 510220053=⨯-, 332005109276--=, 332005108493--=,07210200533>⨯--, 所以10x ≠.由于 332005118162--=, 332005117331--=, 06211200533>⨯--, 所以 11x ≠.由于 33200512661--=, 33320051251525--=>, 所以 12x ≠. 因此 3n = 不可能是 n 的最小值.综上所述，4n = 才是 n 的最小值. ……………… 12分 (2) 设 n 个正方体的棱长分别是 12,,,n x x x ，则3332005122002n x x x +++=．…………… ⑤由 20024(mod9)≡， 341(mod9)≡，得20052005668313668200244(4)44(mod9)⨯+≡≡≡⨯≡．…… ⑥ …… 15分又当 x ∈N* 时，30,1(mod9)x ≡±，所以31x ≡∕4(mod 9)， 3312x x + ≡∕4(mod9)， 333123x x x ++ ≡∕4(mod9). … ⑦ …………… 21分⑤ 式模 9, 由 ⑥、⑦ 可知, 4n ≥．而 33332002101011=+++，则2005200433336683333320022002(101011)(2002)(101011)=⨯+++=⨯+++6683668366836683(200210)(200210)(2002)(2002)=⨯+⨯++．…… 24分因此 4n = 为所求的最小值．。

2005年全国高中数学联合竞赛加试试卷及答案

二○○五年全国高中数学联合竞赛加试试题参考答案及评分标准说明：1．评阅试卷时，请严格按照本评分标准规定的评分档次给分。

2．如果考生的解题方法和本解答不同，只要思路合理、步骤正确，在评卷时可参考本评分标准适当划分档次评分，10分为一个档次，不要再增加其他中间档次。

一、（本题满分50分）如图，在ABC ∆中，设AB AC >，过A 作ABC ∆的外接圆的切线l .又以A 为圆心,AC 为半径作圆分别交线段AB 于D;交直线l 于E 、F.证明：直线DE 、DF 分别通过ABC ∆的内心与一个旁心。

（注：与三角形的一边及另两边的延长线均相切的圆称为三角形的旁切圆，旁心圆的圆心称为旁心）证明：（１）先证DE 过ABC ∆的内心. 如图，连DE 、DC ，作BAC ∠的平分线分别交DE 于I 、DC 于G ，连IC ，则由AD AC =，得AG DC ⊥，ID IC =.10 分又D 、C 、E 在A 上，12IAC DAC IEC ∴∠=∠=∠，∴A 、I 、C 、E 四点共圆，CIE CAE ABC ∴∠=∠=∠，而2CIE ICD ∠=∠，1.202ICA ABC ∴∠=∠ 分1190,.2230AIC IGC ICG ABC ACI ACB I ABC ∴∠=∠+∠=︒+∠∴∠=∠∴∆ 为的内心。

分（2）再证DF 过ABC ∆的一个旁心。

连FD 并延长交ABC ∠的外角平分线于１Ｉ，连B BI 11II 、I、，由（1）知，I 为内心，1190,IBI EDI D ∴∠=︒=∠∴、B 、1I 、I 四点共圆，111190(),22BII BDI ADI BAC ADG ADI BAC IDG ∠=∠=︒-∠=∠+∠-∠=∠+∠A ∴、I 、1I 共线。

150I ABC BC ∴∆ 是的边外的旁心，分二、（本题满分50分）设正数a 、b 、c 、x 、y 、z 满足;;.cy bz a az cx b bx ay c +=+=+=求函数222(,,)111x y z f x y z x y z=+++++的最小值。

2005全国高中数学联赛试题及答案[1]

2005年高中数学联赛试卷（一）一、选择题1. 使关于x 的不等式k x x ≥-+-63有解的实数k 的最大值是（） A.36-B.3C.36+D.62. 空间四点A 、B 、C 、D ，满足3||=、4||=BC 、11||=、9||=，则⋅的取值（）A. 只有一个B. 有两个C. 有四个D. 有无穷多个 3. △ABC 内接于单位圆，三个内角A 、B 、C 的平分线交此圆于A 1、B 1、C 1三点，则CB A CCC B BB A AA sin sin sin 2cos 2cos 2cos111++⋅+⋅+⋅的值是（） A. 2 B. 4 C. 6 D. 8 4. 如图，ABCD －A'B'C'D'为正方体，任作平面α与对角线AC'垂直，使α与正方体的每个面都有公共点，记这样得到的截面多边形的面积为S ，周长为l ，则（）A. S 是定值，l 不是定值B. S 不是定值，l 是定值C. S 、l 均是定值D. S 、l 均不是定值5. 方程13cos 2cos 3sin 2sin 22=-+-y x 表示的曲线是（） A. 焦点在x 轴上的椭圆 B. 焦点在x 轴上的双曲线 C. 焦点在y 轴上的椭圆D. 焦点在y 轴上的双曲线6. 记集合}6,5,4,3,2,1,0{=T ，⎭⎬⎫⎩⎨⎧=∈+++=4,3,2,1,77774433221i T a a a a a M i ，将M 中的元素按从大到小顺序排列，则第2005个数是（） A.43273767575+++ B. 43272767575+++ C. 43274707171+++ D. 43273707171+++二、填空题7. 将多项式2019321)(xx x x x x f +-+-+-= 表示为关于y 的多项式=)(y g202019192210y a y a y a y a a +++++ ，且4-=x y ，则2010a a a +++ =__________。

苍南县“姜立夫杯”数学竞赛高一考试(浙江)

苍南县“姜立夫杯”数学竞赛高一考试(浙江)————————————————————————————————作者：————————————————————————————————日期：竞赛数学情况调查测试卷〔2005年8月27日〕一、选择题（每小题6分，共36分）1、函数y ＝x 2x －1 (x ∈R, x ≠1) 的递增区间是（）（A ）[2,＋∞) （B ）(－∞,0] 或[2,＋∞) （C ）(－∞,0]（D ）(－∞,1－2]或[2,＋∞)2、方程2002x ＋2003x ＋2004x ＝2005x x －2006的实根个数为（）（A ）0个（B ）1个（C ）2个（D ）至少3个3、已知f(x)＝asinx ＋b 3x ＋c •ln(x ＋x 2＋1）＋4 (a,b,c 为实数)，且f(lglog 310)＝5，则f(lglg3)的值是（）（A ）－5（B ）－3（C ）3（D ）随a,b,c 而变4、若函数f(x)＝a 2sin2x ＋(a －2)cos2x 的图象关于直线x ＝－π8对称，则a 的值等于（）（A ）2或－ 2（B ）1或－1（C ）1或－2（D ）－1或25、已知coa αcos β2cos(α－β2)＋coa βcosα2cos (β－α2)＝1，则cos α＋cos β的值等于（）（A ）1（B ）12（C ） 2（D ）226、已知在数列{a n }满足，a 1＝2＋3，a n ＋2(1－a n )＝1＋a n ，则a 2005的值为（）（A ）2＋ 3 （B ）2－ 3 （C ）3－2 （D ）－2－ 3二、填空题（每小题9分，共54分） 7、在△ABC 中，3sinA ＋4cosB ＝6,4sinB ＋3cosA ＝1，则∠C 的度数为 . 8、已知函数y ＝a －xx ―a ―1的反函数图象关于点(－1,4)成中心对称，则实数a ＝ .9、已知一个4元集合S 的所有子集的元素和（空集的元素和认为是零）的总和等于16040，则S 的元素之和等于 .10、若3f(x －2005)＋4f(2005―x)＝5(x ―2005)，对所有实数x 成立，则f(x)的解析式是f(x) ＝ .11、函数f(x)＝2x 2－3x ＋4＋x 2－2x 的最小值是 .12、已知正整数n 不超过2005, 并且能表示成不少于60个连续正整数之和，那么，这样的正整数n 有个.三、解答题（每小题20分，共60分）13、已知函数y＝sinx＋asin2xcosx..（1）当sinx＝1时，求y的值；（2分）（2）若函数的最大值为1，求实数a的取值范围.（18分）14、n 2(n ≥4)个正数排成n 行n 列 a 11 a 12 a 13 … a 1n a 21 a 22 a 23 … a 2n a 31 a 32 a 33 … a 3n a 41 a 42 a 43 … a 4n … … … … …a n1 a n2 a n3 … a nn其中每一行的数成等差数列，每一列的数成等比数列，并且所有的公比都相等，已知a 24＝1, a 42＝18, a 43＝316，求S ＝a 11＋a 22＋…＋a nn .15、某公司离火车站40千米，有12名该公司的职员出差，须从公司出发赶到火车站，他们步行的速度为4千米／时，当时公司仅有一辆同时可送4人的轿车，其速度为52千米／时. 要求在3小时内将12名职员送到车站，还希望轿车第一批送的职员能尽早地到车站买票. 试问第一批职员最早能比3小时提前多少时间赶到车站.江苏省苏州实验中学2005年暑期竞赛数学情况调查测试卷（参考答案）1、B 原函数即为y ＝ (x －1)2＋2(x －1)＋1x －1 ＝ (x －1) ＋ 1x －1 ＋ 2，由对勾函数的增减性立知选B .2、B 原方程即为⎝⎛⎭⎫20022005x ＋⎝⎛⎭⎫20032005x ＋⎝⎛⎭⎫20042005x＝x －2006，考查两个函数y ＝⎝⎛⎭⎫20022005x ＋⎝⎛⎭⎫20032005x ＋⎝⎛⎭⎫20042005x 和y ＝x －2006，前者为减函数，后者为增函数，它们的图象有且只有一个交点，故对应的方程有且只有一个根，从而选B .3、C 容易判断f(x)＋f(－x)＝8，且lglog 310 ＝ lg lg10lg3 ＝－lg lg3lg10 ＝－lglg3，故有f(lglog 310)＋ f(lglg3)＝8，从而f(lglg3)＝3. 选C4、C 函数f(x)＝a 2sin2x ＋(a －2)cos2x 的图象关于直线x ＝－π8对称，则f(－π8)应取得函数的最大值或最小值。

2005年-2013年全国高中数学联赛浙江省预赛试卷及答案

A. B. C. 3 D.
二、填空题（本题满为非负实数，满足，则
＝。
9．设，则。
10.设实系数一元二次方程有两个相异实根，其中一根在区间内，另一根在区间内，则的取值范围是。
11．已知，直线与的交点在直线上，则。
11.在轴的正方向上，从左向右依次取点列，以及在第一象限内的抛物线上从左向右依次取点列，使（）都是等边三角形，其中是坐标原点，则第2005个等边三角形的边长是。
12.根据指令，机器人在平面上能完成下列动作：先从原点O沿正东偏北（）方向行走一段时间后，再向正北方向行走一段时间，但何时改变方向不定。假定机器人行走速度为10米/分钟，则行走2分钟时，机器人所在位置的可能范围的面积是。
14.设，，求的最大值。
15．设，求证：。
2008年浙江省高中数学竞赛试卷
一．选择题（本大题满分36分，每小题6分）
1．已知集合，则下列正确的是（）
A． B.
C. D.
2．当时，，则下列大小关系正确的是（）
A． B.
C. D.
3．设在上有定义，要使函数有定义，则a的取值范围为（）
7、手表的表面在一平面上。整点这12个数字等间隔地分布在半径为的圆周上。从整点到整点的向量记作，则＝。
8、设且，则对任意
。
9、在中随机选取三个数，能构成递增等差数列的概率是。
10、设是非零实数，，若，则。
11、已知，
。若为单元素集，则。
12、。
三、解答题
13、在轴同侧的两个圆：动圆和圆外切，且动圆与轴相切，求
A、20 B、4 C、42 D、145

2005年全国高中数学联赛试题及解答

1 1 0 4 + 2+ 3+ 4 7 7 7 7
D．
1 1 0 3 + 2+ 3+ 4 7 7 7 7
ak p 表示 k 位 p 进制数，将集合 M 中的每个数乘以 7 4 ，得
M = a1 73 + a2 72 + a3 7 + a4 | ai T , i = 1,2,3,4 = a1a2 a3a4 7 | ai T , i = 1,2,3,4 ．
DA2 = DA = AB + BC + CD
2
(
)
2
= AB 2 + BC 2 + CD 2 + 2 AB BC + BC CD + CD AB
(
)
= AB 2 − BC 2 + CD 2 + 2 BC + AB BC + BC CD + CD AB
(
2
)
= AB2 − BC 2 + CD2 + 2 AB + BC BC + CD ，即 2 AC BD = AD 2 + BC 2 − AB 2 − CD 2 = 0, AC BD 只有
(sin 2 − sin 3) − (cos 2 − cos 3) = 2 2 sin −

2

2− 3 2 + 3 3 3 2+ 3 2− 3 0，， + ． 0 ，∴ sin 2 2 2 4 4 2 4 2 2+ 3 + ) 0 ，∴ ()式 0. 2 4
5 +1 ． 6 解：由题设知， f ( x) 和式中的各项构成首项为 1，公比为 − x 的等比数列，由等比数列的求和公式，得：

2005年全国高中数学联合竞赛浙江省预赛

图１
（５Ａ）
（）Ｂ７
（）２Ｃ１
（）３Ｄ１
６设函数Ｙ＝。满足ｆ＋１：ｆ）．／）（（）（＋１则方程ｆ（）＝根的个数可能是．
（）．
行走一段时问，何时改变方向不定．但假定机器人行走速度为１ｍｎ则机器人行走０ｍ／ｉ，
（）“ Ａ３
７孚＋＝＋）泼＝字刍， Ⅳ ＋＝＋）＝．
求ｎＮ＝— — ．８已知数列｛｝满足（．，ｎ七１＋＝）．
＋凡且ｌ．０．嘶＝，＝２贝９１；２
—
（）一２Ｂ３
…
）．
）是等边三角形，中Ａ都其。是坐标原点．
（） ②④ Ｂ① （）Ｄ ③④ ⑤
则第２０个等边三角形的边长是— — ．５０１．２根据指令，机器人在平面上能完成下
列动作：图ｌ先如，从原点０沿正东
５已知ａ、．ｂ是两个相互垂直的单位向
２ｍｎｉ时的可能落点区域的面积是— — ．
（）有或者有限个Ｂ没
（无穷多Ａ）
三、解答题（每小题２，６）０分共ｏ分１．双曲线一Ｙ＝ｌ的左、焦点分３设右别为．．、若△ Ｐ。２的顶点Ｐ在第一象ＦＦ
圆心轨迹以及该内切圆在边
轨迹．
１．ｚ，２… ，４设Ｉｚ，ｚ ∈Ｒ＋定义，
ｓ＝

2005年度苍南县“姜立夫杯”数学竞赛高一试题

2005年苍南县“姜立夫杯”高中数学竞赛高一试卷2005年12月11日命题人沈世总一、选择题（每题5分，共40分）1、三元实数集A=},,{y x xy x +，B=},||,0{y x ，且A=B ，则20062006x y +=（）A 、0B 、1C 、2D 、－12、若某等差数列{a n }中，1662a a a ++是一个确定的常数，则其前n 项和S n 中也为确定的常数的是（）A 、 15SB 、 14SC 、 8SD 、7S3、设函数121(1)()lg (1)x x f x xx -⎧-<=⎨≥⎩，若1)(0>x f ，则x 0的取值范围是（） A 、（0，10） B 、（－1，+∞） C 、（－∞，－2） D 、（－∞，0）∪（10，+∞） 4、等差数列}{n a 的前n 项和为S n ，且3184=S S ，则=168S S （） A 、81 B 、31 C 、91 D 、1035、已知集合{|1284,,,}P u u m n l m n l Z ==++∈，集合{|201612,,,}Q u u p q r p q r Z ==++∈，则P 与Q 的关系为（）A 、P =QB 、P ∩Q =φC 、 P ∪Q =RD 、P ∪Q =Z6、数列1，2，2，3，3，3，4，4，4，4……，则这个数列的第2006个数是（） A 、62 B 、63 C 、64 D 、657、已知函数f(x)是R 上的减函数，A （0，－2），B （－3，2）是其图象上的两点，则不等式|f(x+2)|>2的解集是（） A 、（－1，2） B 、（－∞，－1）∪（2，+∞） C 、（－∞，－5）∪（－2，+∞） D 、（－∞，－3）∪（0，+∞）8、某火车站在节日期间的某个时刻候车旅客达到高峰，此时旅客还在按一定的流量到达。

如果只打开3个检票口，需要30分钟才能使所有滞留旅客通过检票口。

2005年全国高中数学联合竞赛试题及解答.

2005年全国高中数学联合竞赛一试一、选择题：本大题共6个小题，每小题6分，共36分。

2005*1、使关于x 的不等式k x x ≥-+-63有解得实数k 的最大值为A.36- B.3C.36+ D.6◆答案：D ★解析：令=y x x -+-63，63≤≤x，可得62≤y，即6max =y，所以6≤k 2005*2、空间四点D C B A ,,,3=7=11=9=，则BD AC ⋅的取值A.只有一个B.有二个C.有四个D.有无穷多个◆答案：A★解析：注意到,9711301132222+==+由于,0 =+++则22DA DA ==-=⋅+⋅+⋅+++=++22222)(2)(AB AB CD CD BC BC AB CD BC AB CD BC AB +++-=⋅+⋅+⋅+++CD BC AB BC CD BC (2)(2222222),()CD BC BC +⋅即,022222=--+=⋅CD AB BC AD BD AC ⋅∴只有一个值为0，故选A。

2005*3、ABC ∆内接于单位圆，三个内角C B A ,,的平分线延长后分别交此圆于111,,C B A .则CB AC CC B BB A AA sin sin sin 2cos 2cos 2cos111++++的值为A.2B.4C.6D.8◆答案：A★解析：如图，连1BA ，则12sin()2sin()2222A A B C B C AA B ++=+=+-2cos().22B C =-所以B C B C A C B A A C B A AA sin sin 2cos 2cos 2cos 22cos 22cos 1+=-++-+=⎪⎭⎫⎝⎛-=，C A B BB sin sin 2cos 1+=,B A CCC sin sin 2cos 1+=。

所以()C B A CCC B BB A AA sin sin sin 22cos 2cos 2cos 111++=++，即可求得。

浙江省苍南县姜立夫杯高一数学竞赛试题及答案

20XX 年浙江省苍南县“姜立夫杯”数学竞赛高一试卷考生注意事项：1．本卷共有17道题目，全卷满分100分，考试时间120分钟.2．答题前，务必在试题卷、答题卷的密封线内填写好自己的学校、姓名和准考证号． 3．本卷所有试题都必须用兰色或黑色签字笔在答题卷上书写，在试题卷上作答无效． 4．本卷解答一律不允许用计算器．一、选择题：（共8小题，每小题4分，共32分，每小题只有一个正确答案）1．函数()()211f x x R x=∈+的值域是 ( ) A.[0, 1] B.[0, 1)C .(0, 1] D.(0, 1)2．设集合S={x |2x -3|x |+2=0}, T={x | (a -4)x =4}, 则满足T ⊂ ≠S 的a 的值共有( ) A.5 B.4 C.3 D.23．函数()()44222x x x x f x --=+-+的最小值是 ( ) A.1 B.2 C.-3 D .-24．函数()y f x =的图象为C , 而C 关于直线2x =对称的图象为1C , 将1C 向左平移2个单位后得到的图象为2C ，则2C 所对应的函数为 ( ) A.y =f (-x ) B .y =f (2-x ) C.y = f (4-x ) D.y =f (6-x ) 5．若函数()()()2log 201a f x x xa a =+>≠且在区间(0,21)内恒有()0f x >，则()f x 的单调递增区间为 ( ) A.(-∞, -41) B.(-41, +∞) C.(0, +∞) D.(-∞, -21)6．若()33sin cos cos sin 02θθθθθπ-≥-≤<, 则θ的取值范围是 ( )A.[0,4π] B.[4π,π] C .[4π,45π] D.[2π,23π)7．已知集合{}{}50,60,,A x x a B x x b a b N =-≤=-≥∈, 且{}2,3,4AB N =,则a b +的取值范围是 ( )A.{z ∈R |27≤z ≤36}B.{z ∈N |27≤z ≤36}C.{z ∈N |28≤z ≤35}D.{z ∈N |26≤z ≤37} 8．若()g x 是不恒等于零的偶函数, 函数()()21221x f x g x ⎛⎫=+⋅+ ⎪-⎝⎭在()0,+∞上有最大值5，则()f x 在(),0-∞上有 ( ) A.最小值-1 B.最小值-5 C.最小值-3 D.最大值-3二、填空题(共6小题，每小题6分, 共36分)9．函数f (x )=2|1|432-+-+x x x 的定义域为____________________.10．已知函数()f x =⎩⎨⎧≤<+-<≤---20 ,202 ,2x x x x , 则()f x -()f x -＞-2的解集为_____________.11．函数2log y x =与函数3cos y x =的图象的交点个数共有 .12．已知函数()224f x x x =--, 若()0f x a -<在R 上恒成立, 实数a 的取值范围为.13．若2351xyz==>, 则2,3,5x y z 从小到大的排列顺序是____________.14．实数(),,a b c a b ≠满足())()30a b c b c a --+-=, 则2)())((b a a c c b ---=_______.20XX 年浙江省苍南县“姜立夫杯”数学竞赛高一答题卷一、选择题：（共8小题，每小题4分，共32分，每小题只有一个正确答案）二、填空题(共6小题，每小题6分, 共36分)9. 10. 11. 12. 13. 14.三、解答题(第15题8分, 第16, 17题各12分, 共32分)15.设函数()226f x x ax a =-++的值域为集合B . (1)若[)0,B =+∞, 求实数a 的所有取值的集合A ；(2)若[)0,B ⊆+∞,求实数a 所有取值的集合D ,并求函数()()42g a a a a D =-+∈的值域.16.设()()2,,f x ax bx c a b c =++为实常数, ()01f =，()()(),0,0f x x g x f x x <⎧⎪=⎨->⎪⎩.(1)若()20f -=, 且对任意实数x 均有()0f x ≥成立, 求()g x 的表达式；(2)在(1)的条件下, 若()()h x f x kx =+不是[-2, 2]上的单调函数, 求实数k 的取值范围； (3)设0,0,0a m n >><且0m n +>, 当()f x 为偶函数时, 求证: ()()0g m g n +<.17.设函数()2243,f x ax x a a =+--是实常数, 如果函数()y f x =在区间(-1, 1)上有零点, 求a 的取值范围.20XX 年浙江省苍南县“姜立夫杯”数学竞赛高一答题卷一、选择题：（共8小题，每小题4分，共32分，每小题只有一个正确答案）二、填空题(共6小题，每小题6分, 共36分)9. (-∞,-4]∪(1,+∞) 10. [-2, -1)∪（0, 2] 11. 3 12. a ＞4 13. 3y , 2x , 5z 14. 3-三、解答题(第15题8分, 第16, 17题各12分, 共32分)15.设函数()226f x x ax a =-++的值域为集合B . (1)若[)0,B =+∞, 求实数a 的所有取值的集合A ；(2)若[)0,B ⊆+∞,求实数a 所有取值的集合D ,并求函数()()42g a a a a D =-+∈的值域. 15.解: f (x )=(x -a )2+a +6-a 2(1)∵B =[0, +∞), 故f (x )min =0, 即a +6-a 2=0 即a 2-a -6=0 解得a =3或-2, ∴A ={3, -2}(2)∵B ⊆[0, +∞), 故f (x )min ≥0, 即a +6-a 2≥0 即a 2-a -6≤0 解得 -2≤a ≤3, ∴ D =[-2, 3]故g (a )= -a 2-2a +4=5 -(a +1)2, a ∈[-2, 3],∴当a = -1时, g (a )有最大值为5, 当a =3时, g (a )有最小值-11 因此, g (x )的值域为[-11, 5]16.设()()2,,f x ax bx c a b c =++为实常数, ()01f =，()()(),0,0f x xg x f x x <⎧⎪=⎨->⎪⎩.(1)若()20f -=, 且对任意实数x 均有()0f x ≥成立, 求()g x 的表达式；(2)在(1)的条件下, 若()()h x f x kx =+不是[-2, 2]上的单调函数, 求实数k 的取值范围； (3)设0,0,0a m n >><且0m n +>, 当()f x 为偶函数时, 求证: ()()0g m g n +<. 16.解:由f (0)=1得c =1(1)由f (-2)=0得4a -2b +1=0, 又由f (x )≥0对x ∈R 恒成立, 知a ＞0且△=b 2-4a c ≤0即b 2-2b +1=(b -1)2≤0 ∴b =1, a =41从而f (x )=41x 2+x +1∴g (x )=⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧>---<++0,1410,14122x x x x x x(2)由(1)知h (x )=41x 2+(k +1) x +1, 其图象的对称轴为x = -2(k +1) ,再由h (x )在 [-2, 2]上不是单调函数, 故得-2＜-2(k +1)＜2 解得-2＜k ＜0(3)当f (x )为偶函数时, f (-x )=f (x ), ∴b =0, ∴f (x )=ax 2+1, a ＞0 故f (x )在(0, +∞)上为增函数, 从而, g (x )在(0, +∞)上为减函数, 又m ＞0, n ＜0, m +n ＞0 ∴ m ＞-n ＞0, 从而g (m )＜g (-n )且g (-n )= -f (-n )= -f (n )= - g (n ) 故得g (m )< -g (n ), 因此, g (m )+g (n )＜0 17.设函数()2243,f x ax x a a =+--是实常数, 如果函数()y f x =在区间(-1, 1)上有零点, 求a 的取值范围.17.解:当a =0时, 则f (x )=4x -3, 此时f (x )的零点为43∈(-1, 1), 故a =0满足题设. 当a ≠0时, 令△=16+8a (3+a )=0, 即a 2+3a +2=0 解得a = -1或-2(1)当a = -1时, 此时f (x )= -2x 2+4x -2= -2(x -1)2, 它有一个零点-1∉(-1, 1) 当a = -2时, 此时f (x )= -4x 2+4x -1= -4(x -21)2, 它有一个零点21∈( -1, 1), 故 a = -2满足题设(2)当f (-1)f (1)= (a -7)( a +1)＜0即 -1＜a ＜7时, f (x )有唯一一个零点在(-1, 1)内(3)当f (x )在(-1, 1)上有两个零点时, 则⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎨⎧<-<->>->++=∆>1110)1(0)1(0)23(802a f f a a a 或⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎨⎧<-<-<<->++=∆<1110)1(0)1(0)23(802a f f a a a解得a ＞7或a ＜-2综上所述, a 的取值范围是a ≤-2或-1＜a ＜7或a ＞7。

浙江省高二上学期苍南县、龙港市“姜立夫杯”竞赛数学试卷含答案

2020年苍南县“姜立夫杯”数学竞赛高二试卷考生注意事项：1本卷共有17道题目,全卷满分100分,考试时间120分钟.2答题前,务必在试题卷、答题卷的密封线内填写好自己的学校、姓名和准考证号. 3本卷所有试题都必须用蓝色或黑色签字笔在答题卷上书写,在试题卷上作答无效. 4本卷解答一律不准使用计算器.一、选择题（本大题共8小题，每小题4分，满分32分，每小题有且仅有一个正确的答案） 1.已知集合{}2|1A x y x ==-，集合{}2|1B y y x ==-，则A B =（）A ．φB ．{}|1x x ≥C ．{}|0x x ≥D ．{}|01x x ≤≤2．函数x a x x f cos sin )(+=的图象关于直线6π=x 对称，则实数a 的值是（）A ．21B ．2C ．23D ．33．设3log 2a =，5log 2b =，1()3c π-=，则（）A ．a c b >>B ．b c a >>C ．c b a >>D ．c a b >>4．如图，已知正四面体A BCD -中，E 为棱CD 的中点，F 为棱BC 上的动点，则cos EAF ∠的最大值为（） A ．23B ．63C ．73D ．335．已知函数()||f x x x =，若存在[)1,x ∈+∞，使得(2)0f x k k --<，则k 的取值范围是（）A ．(2,)+∞B ．(1,)+∞C ．1(,)2+∞D ．1(,)4+∞6．在面积为2的ABC ∆中，,E F 分别是,AB AC 的中点，点P 在直线EF 上，则2PC PB BC +的最小值是（）A ．1B ．2C ．23D ．437．如图，圆C 与x 轴相切于点T （1，0），与y 轴正半轴交于两点A ，B （B 在A 的上方），且|AB |＝4．三角形AMN ∆的另外两个顶点,M N 恰好在圆O ：x 2+y 2＝1上，则||||||||NA MB NB MA +的值为（） A ．25B ．52-C ．52+D ．2558．设[]x 为不超过x 的最大整数，n a 为[][)(0,)x x x n ⎡⎤∈⎣⎦可能取到所有值的个数，n S 是数列121n a n ⎧⎫⎨⎬++⎩⎭前n 项的和，则下列四个结论中正确的个数为（）① 2020是数列{}n a 中的项 A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个二、填空题（本大题共6个小题，每小题6分，满分36分.）9．已知函数212()log (45)f x x x =--，则函数()f x 的单调递减区间为_____________.10．已知(3,4),(1,2)a b ==-，则|2|a b +=___________.11．对任意的实数,a b ，直线()()(22)0a b x b a y a b ++-++=恒经过的一个定点的坐标是___________.12．已知函数()2221f x x ax a =-+-，若关于x 的不等式()()0f f x <的解集为空集，则实数a 的取值范围是．13．已知实数,,a b c 满足2a b c ++=，2224a b c ++=，且a b c >>，则a 的取值范围是_____________.14．定义()S n 为正整数n 的各位数字之和，例如(2020)20204S =+++=，当10009999n ≤≤时，()nS n 的最小值为___________. 三、解答题（本大题共3小题，第15、16题各10分,第17题12分,满分32分.要求写出必要的解答过程）15．已知函数x x x x f cos sin sin 3)(2⋅+=.(1) 求函数)(x f 的最小正周期；(2) 求函数)(x f 在],0[π的单调递增区间和最大值.16．已知实数0a >，关于x 的方程2|1|x ax bx -+=恰有三个不同的实数根123,,x x x .且123x x x <<；(1) 当2b =时，求实数a 的值；(2) 记函数2()|1|f x x ax bx =-++，证明：132()()2()f x f x f x +>.17．已知11111211,1,,14n n n n n n n n nb a b a a b bc b a b +++==-===+-，，记n S 为数列{}n c 的前n 项和. (1) 求数列{}{},n n a b 的通项公式；(2) 证明：11.n nS a <- 2020年苍南县“姜立夫杯”数学竞赛高二答题卷一、选择题（本大题共8小题，每小题4分，满分32分.每小题有且仅有一个正确的答案）二、填空题（本大题共6个小题，每小题6分，满分36分. 请将正确的答案填在横线上）9.________________10.________________11.________________ 12.________________ 13.________________ 14.________________三、解答题（本大题共3小题，第15、16题各10分,第17题12分,满分32分.要求写出必要的解答过程）15．已知函数x x x x f cos sin sin 3)(2⋅+=.(1)求函数)(x f 的最小正周期；(2)求函数)(x f 在],0[π的单调递增区间和最大值.16．已知实数0a >，关于x 的方程2|1|x ax bx -+=恰有三个不同的实数根123,,x x x .且123x x x <<；(1)当2b =时，求实数a 的值；(2)记函数2()|1|f x x ax bx =-++，证明：132()()2()f x f x f x +>.17.已知11111211,1,,14n n n n n n n n nb a b a a b bc b a b +++==-===+-，，记n S 为数列{}n c 的前n 项和. (1)求数列{}{},n n a b 的通项公式；(2)证明：11.n nS a <- 2018年苍南县“姜立夫杯”数学竞赛高二试题参考答案一、选择题（本大题共8小题，每小题4分，满分32分.每小题有且仅有一个正确的答案）二、填空题（本大题共6个小题，每小题6分，满分36分. 请将正确的答案填在横线上）9.___()5,+∞_______10.____11.___()2,0-______ 12.____(],2-∞-____13._____4,23⎛⎫ ⎪⎝⎭____ 14.______109919__________ 三、解答题（本大题共3小题，第15、16题各10分,第17题12分,满分32分.要求写出必要的解答过程）15．已知函数x x x x f cos sin sin 3)(2⋅+=.(1)求函数)(x f 的最小正周期；(2)求函数)(x f 在],0[π的单调递增区间和最大值.16．已知实数0a >，关于x 的方程2|1|x ax bx -+=恰有三个不同的实数根123,,x x x .且123x x x <<；(1)当2b =时，求实数a 的值；(2)记函数2()|1|f x x ax bx =-++，证明：132()()2()f x f x f x +>.解：1(1)0,||2x x a x>+-=由题意知，恰有三个不同实数根， 12x a x ∴+-=有两个不同实数根，12x a x +-=-恰有一个实数根，4a ∴=211111(2)|1|,()2,x ax bx f x bx -+=∴=同理，2233()2,()2,f x bx f x bx ==要证明132()()2()f x f x f x +>，只要证：1322x x x +>，由题意知：20,0,00,10b x x a x ax <<<>∴-+>若则而当时，21x ax bx -+=不存在三个实数根，0b ∴> 2x 是方程21x ax bx -+=-的唯一实数根，22()40,2,21a b a b a b x ∴∆=--=∴=+=-∴=（舍去）13,x x 是方程21x ax bx -+=的两个不等实根，131x x ∴=1322x x x ∴+>=，132()()2()f x f x f x ∴+>成立。

高一数学竞赛试题 (2)

2013年苍南县“姜立夫杯”数学竞赛高一试卷考生注意事项：1本卷共有17道题目,全卷满分100分,考试时间120分钟.2答题前,务必在试题卷、答题卷的密封线内填写好自己的学校、姓名和准考证号. 3本卷所有试题都必须用蓝色或黑色签字笔在答题卷上书写,在试题卷上作答无效. 4本卷解答一律不准使用计算器.一、选择题（本大题共8小题，每小题4分，满分32分，每小题有且仅有一个正确的答案）1、设全集R U =,集合{|lg 0}M x x =>，{|(1)0}P x x x =-≥, 则M P =（） A. {|1}x x > B. {|1}x x ≥ C. {|10}x x x ≥≤或 D. ∅2、已知a= lg22，b=lg2, c=lg(lg5)，则a 、b 、c 的大小关系是（）A ．a>b>cB ．b>c>aC ．a>c>bD ．b>a>c3、方程x x 28lg -=的根)1,(+∈k k x ,k ∈Z,则k =（）A ．2B ．3C ．4D ．54、函数b x x f +=2log )(是偶函数，则)2(-b f 与)3(f 的大小关系为（） A ．)3()2(f b f =- B ．)3()2(f b f >- C ．)3()2(f b f <-D ．不能确定5、函数2()2,()2(0)f x x x g x ax a =-=+>,对任意10[1,2],[1,2],x x ∈-∈-存在使10()()g x f x =,则a 的取值范围是（） A ．1(0,]2B ．1[,3]2C ．[3,)+∞D ．(0,3]6、已知函数xx f 241)(-=的图像关于点P 对称,则点P 的坐标是（）A ．(0,12) B ．)81,2( C ．)41,2( D ．)21,2( 7、函数2()(0)f x ax bx c a =++≠的图象关于直线2bx a=-对称.据此可推测,对任意的非零实数,,,,,a b c m n p ,关于x 的方程[]2()()0m f x nf x p ++=的解集不可能是（） A ．{}1,2 B ．{}1,4C ．{}1,2,3,4D ．{}1,4,16,648、已知()122013122013f x x x x x x x =+++++++-+-++- （x ∈R ），且2(32)(1),f a a f a -+=- 则a 的值有（）（A ）2个（B ）3个（C ）4个（D ）无数个二、填空题（本大题共6个小题，每小题6分，满分36分.）9、函数)1ln(2y x x -++=的定义域是_______.10、方程9135x x+-=的实数解为．11、若函数()(01)x f x a x a a a =-->≠且有两个零点,则实数a 的取值范围是_______.12、函数)1,0(23)(2≠>-+=a a a a x f x x 在区间]1,1[-∈x 上的最大值为8，则它在这个区间上的最小值是_______.13、已知函数2()2(4)4,()f x x m x m g x mx =+-+-=，若存在一个实数x ，使()f x 与()g x 均不是正数，则实数m 的取值范围是_______________.14、定义在R 上的函数()f x 满足(0)0,()(1)1=+-=f f x f x ，1()()32=x f f x ，且当 1201≤<≤x x 时，有12()()≤f x f x ，则1()2013=f _______________.三、解答题（本大题共3小题，满分32分.要求写出必要的解答过程） 15．（本题满分10分）已知集合)22(log }221|{22+-=≤≤=x ax y x x A ，函数的定义域为B. （1）若φ≠⋂B A ，求实数a 的取值范围；（2）若B A ⊆，求实数a 的取值范围.16．（本题满分10分）已知41()log (41)2xf x x =+-，⎪⎭⎫ ⎝⎛-⋅=a a x g x 342log )(4，若函数()f x 与()g x 的图象有且只有一个公共点，求实数a 的取值范围．17．（本题满分12分）已知二次函数2()y f x x bx c ==++的图象过点（1，13），且函数y =1()2f x -是偶函数.（1）求()f x 的解析式；（2）函数()y f x =的图象上是否存在这样的点，其横坐标是正整数，纵坐标是一个完全平方数？如果存在，求出这样的点的坐标；如果不存在，请说明理由.2013年苍南县“姜立夫杯”数学竞赛高一参考答案一、选择题（本大题共8小题，每小题4分，满分32分.每小题有且仅有一个正确的答案）二、填空题（本大题共6个小题，每小题6分，满分36分. 请将正确的答案填在横线上）9. [2,1)- 10. x =log 32． 11. 1>a . 12. 41- 13. 4m ≥ 14.1128三、解答题（本大题共3小题，满分32分.要求写出必要的解答过程）15、解：由已知 }022|{2>+-=x ax x B（1）若φ≠⋂B A ，则在]2,21[∈x 内至少有一个x 值，使得0222>+-x ax 成立即 x x a 222+->成立令 x xu 222+-=，则只需min u a >即可又 ]21,4[]2,21[1 ,21)211(22-∈∈+--=u x x u ，从而所以 a>－4（2）若]2,21[∈⊆x B A ，则在内，不等式0222>+-x ax 恒成立.即 x x a 222+->恒成立令 m a x 222u a x xu >+-=，则只需即可又 ]21,4[]2,21[1 ,21)211(22-∈∈+--=u x x u ，从而所以 a>1/216、解：由()()f x g x =得 4414log (41)log 223xx x a a ⎛⎫+-=⋅- ⎪⎝⎭，即2414(2)34x xxa +=-，4412(2)3x x x a +=⋅-，整理得012342)1(2=---xxa a 令2xt =，则0t >由题设，方程24(1)103aa t t ---=只有一个正实根 ① 当a =1时，方程4103t --=无正实根； ② 当a ≠1时，若0)1(49162=-+=∆a a ，解得43=a 或a=-3 而 43=a 时，t=-2；a=-3时，t =21>0 ．若0)1(49162>-+=∆a a ，即a <-3或43>a ，则应有t 1t 2=11--a <0，所以a >1综上所述，当a ∈{-3}∪(1， ∞)时，函数()f x 与()g x 的图象有且只有一个公共点．17、解（1）因为函数1()2y f x =-是偶函数，所以二次函数2()f x x bx c =++的对称轴方程为12x =-，故1b =.又因为二次函数2()f x x bx c =++的图象过点（1，13），所以113b c ++=，故11c =.因此，()f x 的解析式为2()11f x x x =++.（2）如果函数()y f x =的图象上存在符合要求的点，设为P 2(,)m n ，其中m 为正整数，n 为自然数，则2211m m n ++=，从而224(21)43n m -+=，即[2(21)][2(21)]43n m n m ++-+=.注意到43是质数，且2(21)2(21)n m n m ++>-+，2(21)0n m ++>，所以有2(21)43,2(21)1,n m n m ++=⎧⎨-+=⎩解得10,11.m n =⎧⎨=⎩因此，函数()y f x 的图象上存在符合要求的点，它的坐标为（10，121）.。

高中数学历届全国高中数学联赛一试解析版

19 1999 年全国高中数学联合竞赛一试试题 . . . . . . . . . . . . . . 97
20 2000 年全国高中数学联合竞赛一试试题 . . . . . . . . . . . . . . 102
21 2001 年全国高数学联合竞赛一试试题 . . . . . . . . . . . . . . 107
和 AB′ 相交的直线有 4 条，共面 (相交或平行)
C. 24
的直线有 2 条，与其异面的直线有 5 条：
CD′, DA′, BC′, BD, A′C′.
于是异面直线的对数为 12 ·5 2
= 30. 所以选
A.
D. 48
6. 在坐标平面上有两个区域 M 和 N . M 是由 y ⩾ 0, y ⩽ x 和 y ⩽ 2 − x 这三个
7 1987 年全国高中数学联合竞赛一试试题 . . . . . . . . . . . . . . 33
8 1988 年全国高中数学联合竞赛一试试题 . . . . . . . . . . . . . . 37
9 1989 年全国高中数学联合竞赛一试试题 . . . . . . . . . . . . . . 42
解答
S△ABC =
1 2 ab
sin C
⇒ C1 =Biblioteka C2 或C1 = π
− C2，于是甲
⇏
乙，乙
⇒
甲.
甲是乙的必要条件，所以选 B.
2. 条件甲：√1 + sin θ = a；条件乙：sin θ + cos θ = a. 则
2
2
()
A. 甲是乙的充分必要条件
B. 甲是乙的必要条件
C. 甲是乙的充分条件

高一数学竞赛试题 (2)

2013年苍南县“姜立夫杯”数学竞赛高一试卷考生注意事项：1本卷共有17道题目,全卷满分100分,考试时间120分钟.2答题前,务必在试题卷、答题卷的密封线内填写好自己的学校、姓名和准考证号. 3本卷所有试题都必须用蓝色或黑色签字笔在答题卷上书写,在试题卷上作答无效. 4本卷解答一律不准使用计算器.一、选择题（本大题共8小题，每小题4分，满分32分，每小题有且仅有一个正确的答案）1、设全集R U =,集合{|lg 0}M x x =>，{|(1)0}P x x x =-≥, 则MP =（）A. {|1}x x >B. {|1}x x ≥C. {|10}x x x ≥≤或D. ∅ 2、已知a= lg22，b=lg2, c=lg(lg5)，则a 、b 、c 的大小关系是（）A ．a>b>cB ．b>c>aC ．a>c>bD ．b>a>c3、方程x x 28lg -=的根)1,(+∈k k x ,k ∈Z,则k =（）A ．2B ．3C ．4D ．54、函数b x x f +=2log )(是偶函数，则)2(-b f 与)3(f 的大小关系为（） A ．)3()2(f b f =- B ．)3()2(f b f >- C ．)3()2(f b f <-D ．不能确定5、函数2()2,()2(0)f x x x g x ax a =-=+>,对任意10[1,2],[1,2],x x ∈-∈-存在使10()()g x f x =,则a 的取值范围是（）A ．1(0,]2B ．1[,3]2C ．[3,)+∞D ．(0,3]6、已知函数xx f 241)(-=的图像关于点P 对称,则点P 的坐标是（）A ．(0,12) B ．)81,2( C ．)41,2( D ．)21,2( 7、函数2()(0)f x ax bx c a =++≠的图象关于直线2bx a=-对称.据此可推测,对任意的非零实数,,,,,a b c m n p ,关于x 的方程[]2()()0m f x nf x p ++=的解集不可能是（） A ．{}1,2 B ．{}1,4C ．{}1,2,3,4D ．{}1,4,16,648、已知()122013122013f x x x x x x x =+++++++-+-++-（x ∈R ），且2(32)(1),f a a f a -+=- 则a 的值有（）（A ）2个（B ）3个（C ）4个（D ）无数个二、填空题（本大题共6个小题，每小题6分，满分36分.）9、函数)1ln(2y x x -++=的定义域是_______.10、方程9135x x+-=的实数解为．11、若函数()(01)x f x a x a a a =-->≠且有两个零点,则实数a 的取值范围是_______.12、函数)1,0(23)(2≠>-+=a a a a x f x x 在区间]1,1[-∈x 上的最大值为8，则它在这个区间上的最小值是_______. 13、已知函数2()2(4)4,()f x x m x m g x mx =+-+-=，若存在一个实数x ，使()f x 与()g x 均不是正数，则实数m 的取值范围是_______________.14、定义在R 上的函数()f x 满足(0)0,()(1)1=+-=f f x f x ，1()()32=x f f x ，且当 1201≤<≤x x 时，有12()()≤f x f x ，则1()2013=f _______________.三、解答题（本大题共3小题，满分32分.要求写出必要的解答过程） 15．（本题满分10分）已知集合)22(log }221|{22+-=≤≤=x ax y x x A ，函数的定义域为B. （1）若φ≠⋂B A ，求实数a 的取值范围；（2）若B A ⊆，求实数a 的取值范围.16．（本题满分10分）已知41()log (41)2xf x x =+-，⎪⎭⎫ ⎝⎛-⋅=a a x g x 342log )(4，若函数()f x 与()g x 的图象有且只有一个公共点，求实数a 的取值范围．17．（本题满分12分）已知二次函数2()y f x x bx c ==++的图象过点（1，13），且函数y =1()2f x -是偶函数.（1）求()f x 的解析式；（2）函数()y f x =的图象上是否存在这样的点，其横坐标是正整数，纵坐标是一个完全平方数？如果存在，求出这样的点的坐标；如果不存在，请说明理由.2013年苍南县“姜立夫杯”数学竞赛高一参考答案一、选择题（本大题共8小题，每小题4分，满分32分.每小题有且仅有一个正确的答案）二、填空题（本大题共6个小题，每小题6分，满分36分. 请将正确的答案填在横线上）9. [2,1)- 10. x =log 32． 11. 1>a . 12. 41- 13. 4m ≥ 14.1128三、解答题（本大题共3小题，满分32分.要求写出必要的解答过程）15、解：由已知 }022|{2>+-=x ax x B（1）若φ≠⋂B A ，则在]2,21[∈x 内至少有一个x 值，使得0222>+-x ax 成立即 x x a 222+->成立令 x xu 222+-=，则只需min u a >即可又 ]21,4[]2,21[1 ,21)211(22-∈∈+--=u x x u ，从而所以 a>－4（2）若]2,21[∈⊆x B A ，则在内，不等式0222>+-x ax 恒成立.即 x xa 222+->恒成立令 m a x 222u a x xu >+-=，则只需即可又 ]21,4[]2,21[1 ,21)211(22-∈∈+--=u x x u ，从而所以 a>1/216、解：由()()f x g x =得 4414log (41)log 223xx x a a ⎛⎫+-=⋅- ⎪⎝⎭，即2414(2)34x x x a +=-，4412(2)3x x x a +=⋅-，整理得012342)1(2=---xxa a 令2xt =，则0t >由题设，方程24(1)103aa t t ---=只有一个正实根 ① 当a =1时，方程4103t --=无正实根； ② 当a ≠1时，若0)1(49162=-+=∆a a ，解得43=a 或a=-3 而 43=a 时，t=-2；a=-3时，t =21>0 ．若0)1(49162>-+=∆a a ，即a <-3或43>a ，则应有t 1t 2=11--a <0，所以a >1综上所述，当a ∈{-3}∪(1，∞)时，函数()f x 与()g x 的图象有且只有一个公共点．17、解（1）因为函数1()2y f x =-是偶函数，所以二次函数2()f x x bx c =++的对称轴方程为12x =-，故1b =. 又因为二次函数2()f x x bx c =++的图象过点（1，13），所以113b c ++=，故11c =.因此，()f x 的解析式为2()11f x x x =++.（2）如果函数()y f x =的图象上存在符合要求的点，设为P 2(,)m n ，其中m 为正整数，n 为自然数，则2211m m n ++=，从而224(21)43n m -+=，即[2(21)][2(21)]43n m n m ++-+=.注意到43是质数，且2(21)2(21)n m n m ++>-+，2(21)0n m ++>，所以有2(21)43,2(21)1,n m n m ++=⎧⎨-+=⎩解得10,11.m n =⎧⎨=⎩因此，函数()y f x =的图象上存在符合要求的点，它的坐标为（10，121）.。

2005年全国高中数学联合竞赛一试试题解析

11. 若正方形 ABCD 的一条边在直线 y = 2x − 17 上，另外两个顶点在抛物线
y = x2 上，则该正方形面积的最小值为
.
解答
设 A(t, t2)，直线 AB : y − t2 = 2(x − t) ⇒ y = 2x + t2 − 2t. y = x2,
联立 y = 2x + t2 − 2t ⇒ x2 − 2x = t2 − 2t ⇒ (x − 1)2 = (t − 1)2 √
2 A1I AI
AA1
a b+c−a b+c
+
=2
2
AA1
=
2 AA1
⇒
AA1
cos
A 2
= b + c. 2
于是
AA1
cos
A 2
+
BB1
cos
B 2
+ CC1 cos
C 2
sin A + sin B + sin C
=
sin A
a+b+c + sin B +
sin C
=
2R
=
2.
所以选
A.
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()
A.
5 7
+
5 72
+
6 73
+
3 74
C.
1 7
+
1 72
+
0 73
+
4 74
解答
B.
5 7
+
5 72
+
6 73
+
2 74
D.