初中一对一精品辅导讲义：锐角三角函数

）
sin 60 cos 30 D． cos 30 cos 60 sin 30 9.如图，在梯形 ABCD 中，AD∥BC，BD⊥DC，∠C＝60°，AD＝4，BC＝6，求 AB 的长．
A D
B
C
第9题 10.一副直角三角板如图放置，点 C 在 FD 的延长线上，AB∥CF，∠F=∠ACB=90°, ∠E=45°, ∠A=60°,AC=10,试求 CD 的长．
12.经过江汉平原的沪蓉(上海—成都)高速铁路即将动工.工程需要测量汉江某一段的宽度.如图①， 一测量员在江岸边的 A 处测得对岸岸边的一根标杆 B 在它的正北方向，测量员从 A 点开始沿岸边向 正东方向前进 100 米到达点 C 处，测得 ACB 60 . （1）求所测之处江的宽度； （2）除(1)的测量方案外，请你再设计一种测量江宽的方案，并在图②中画出图形. B
CD AD
。 , 个。
BD CD
.
7.若直角三角形三边长分别是 2、4、x,那么 x 的可能值有
知识梳理
一、锐角三角函数 在直角三角形 ABC 中，∠C=90 ，设 BC=a，CA=b，AB=c，锐角 A 的四个三角函数是： 1、正弦定义：在直角三角形 ABC 中，锐角 A 的对边与斜边的比叫做角 A 的正弦，记作 sinA，即 sin A =
sin A cos B
cos A sin B
由A B 90 得B 90 A
sin A cos(90 A) cos A sin(90 A)
A
B 对边 斜边
c b
a
邻边
C
4、任意锐角的正切值等于它的余角的余切值；任意锐角的余切值等于它的余角的正切值。
0
30
1 2
0
45
0
60
0
0
2 2 2 2
3 2 1 2 3
cosα tanα
1 0
3 2 3 3
1
1、勾股定理：直角三角形两直角边 a 、 b 的平方和等于斜边 c 的平方。 a 2 b 2 c 2 2、如下图，在 Rt△ABC 中，∠C 为直角，则∠A 的锐角三角函数为(∠A 可换成∠B)： 定 正 弦 余 弦 正 切 余 切
教学目标 重点、难点 考点及考试要求
1、锐角三角函数的定义 2、锐角三角函数关系 1、正弦、余弦及正切的定义 2、特殊角的三角函数 1、正弦、余弦及正切的定义 2、特殊角的三角函数
教
第一课时
学
内
容
锐角三角函数知识点梳理
课前检测
1.直角三角形斜边上的 2.直角三角形 30°角所对的 。
等于
的一半。 等于斜边的 。
(3)
2 cos 45 o 3 sin 60 o sin 60 tan 45 ;
(4)
2 tan 60 o (3 tan 30 o ) 4 cos 30 o . cos 60 o
（1）
2 sin45°+sin60°-2cos45° 2
（2）(1+ 2 )0-｜1-sin30°｜1+(
a , c b , c a ， b
2 2 0
2、余弦定义：在直角三角形 ABC 中，锐角 A 的邻边与斜边的比叫做角 A 的余弦，记作 cosA，即 cos A =
3、正切定义：在直角三角形 ABC 中，锐角 A 的对边与邻边的比叫做角 A 的正切，记作 tanA，即 tan A =
二、锐角三角函数关系 1、平方关系： sin A + cos A = 1 2、互为余角的两个三角函数关系： 若∠A+∠B=∠90，则 sinA=cosB,cosA=sinB. 三、特殊角的三角函数 0 sinα
A. 2
A E
D C
B
1、如图 1，已知 P 是射线 OB 上的任意一点，PM⊥OA 于 M，且 PM：OM=3：4，则 cosα的值等于（ A．
3 4
）
B．
4 3
C．
4 5
D．
3 5
图1
图2
图3
2、如图 2，在△ABC 中，∠C=90°，BC：AC=1：2，则 sinA=_______，cosA=______，tanB=______． 3、如图 3，在 Rt△ABC 中，∠C=90°，b=20，c=20 2 ，则∠B 的度数为_______． 例 4.（计算器）如图，某校九年级课外活动小组为了测量一个小湖泊两岸两棵树 A，B 间的距离， 在垂直 AB 的方向 AC 上，距离 A 点 100 米的 C 处测得∠ACB=50°，请你求出 A，B 两棵树之间的 距离（精确到 1 米） ．
tan A cot B cot A tan B 由A B 90 得B 90 A
tan A cot(90 A)
cot A tan(90 A)
5、0°、30°、45°、60°、90°特殊角的三角函数值(重要) 三角函数
sin
0°
30°
45°
60°
1 -1 ) 2
（3）sin60°+
1 1 tan 60
（4）2-3-( 2 003 +π)0-cos60°-
1 1 2
例 2．在 ABC 中， B 90 o , BC 3, AB 4, 求tanA, cos A. （注意书写）
已知 sinα+cosα=
5 ，求 sinα·cosα的值。 4
sin A cos A tan A
义
A的对边 斜边 A的邻边 斜边 A的对边 A的邻边 A的邻边 A的对边
表达式
取值范围
关
系（A+B=90）
0 sin A 1 (∠A 为锐角) 0 cos A 1 (∠A 为锐角) tan A 0 (∠A 为锐角) cot A 0 (∠A 为锐角)
sin A cos B cos A sin B
sin 2 A cos 2 A 1
tan A cot B cot A tan B
tan A 1 (倒数) cot A
cot A
tan A cot A 1
3、任意锐角的正弦值等于它的余角的余弦值；任意锐角的余弦值等于它的余角的正弦值。
90°
cos
tan cot
-
6、正弦、余弦的增减性： 当 0°≤ ≤90°时，sin 随 的增大而增大，cos 随 的增大而减小。 7、正切、余切的增减性： 8、从某点的指北方向按顺时针转到目标方向的水平角，叫做方位角。如图 3，OA、OB、OC、OD 的 方向角分别是：45°、135°、225°。 9、指北或指南方向线与目标方向线所成的小于 90°的水平角，叫做方向角。如图 4,OA、OB、OC、 OD 的方向角分别是：北偏东 30°（东北方向） ， 南偏东 45°（东南方向） ， 南偏西 60°（西南方向） ， 北偏西 60°（西北方向） 。
.
.
）
（B）
2 2 （C） 2 3 3
（D）
2 3
6.在 ABC 中，∠C＝90°， sin A （A）
3 4 9 （B） （C） 5 5 25
3 ，则 tan A cos A 的值是（ 5 16 （D） 25
）
7.在 RtABC 中，各边的长度都扩大两倍，那么锐角 A 的各三角函数值（ A、都扩大两倍（B）都缩小两倍（C）没有变化（D）不能确定 8.下列计算正确的是（ ） B． sin 2 45 cos 2 45 1 A． sin 60 sin 30 sin 30 C． cos 60
3、三角形面积公式： 1 1 s ah ab cos C （C 为 a,b 边的夹角） 2 2
第二课时
锐角三角函数典型例题
典型例题 例 1.求下列各式的值： （1） 3 sin 30 o (3 cos 60 o ) ; (2) cos 2 45 o tan 60 o sin 60 o ;
3.在直角三角形中，已知两条直角边分别为 b,c.斜边为 a,则 a,b,c 满足的关系式为 4.下列哪组能构成直角三角形( A. 2,2,4 5. 如图： B.
2 , 3 ,5
) C. 2 ,1,1 D. 5,12,14
根据上图，写出所有的相似三角形 6.如 5 中的图所示，若 AD=14，BD=7，则 CD= ，
11.同学们对公园的滑梯很熟悉吧？如图，是某公园新增设的一台滑梯，该滑梯高度 AC 2 米，滑梯 着地点 B 与梯架之间的距离 BC 4 米． （1）求滑梯 AB 的长（精确到 0.1 米） ； （2）若规定滑梯的倾斜角（∠ABC）不超过 450，属于安全．通过计算说明这架滑梯的倾斜角是否符 合要求？
师生小结
1.本节课我们学习了： 2.你学到了什么？
第三课时
锐角三角函数课堂检测
课堂检测
1.设 为锐角，若 sin
3 ，则 ＝ 2
，若 tan .
3 ，则 ＝ 3
.
2. M sin 60, cos 60 关于 y 轴对称的点的坐标是
3.已知锐角 的终边经过点 P ( x,2) ，点 P 到坐标原点的距离 r 13 , sin 4.已知正三角形 ABC ，一边上的中线长为 2 3 ，则此三角形的边长为 5. RtABC 中，∠C＝90°，AB＝6，AC＝2，则 sin A ＝（ （A）
例 3.（1）在 ABC 中， C 90 O , sin A
4 , 求tanB的值. 5
（2）如图在 ABC中，C 90 o , B 60 o , D是AC上一点， DE AB于E，且CD 2，DE 1， BC的长为（ ） B. 4 3 3 C .2 3 D.4 3