24.2.2 第3课时 切线长定理及三角形的内切圆
24.2.2 第3课时 切线长定理
讲授新课
如图，连接OA和OB. ∵PA和PB是⊙O的两条切线， ∴OA⊥AP，OB⊥BP. 又OA=OB,OP=OP. ∴Rt△AOP≌Rt△BOP. ∴PA=PB,∠APO=∠BPO.
侵权必究
讲授新课
知识要点 切线长定理:
过圆外一点作圆的两条 切线，两条切线长相等.圆 心与这一点的连线平分两条 切线的夹角.
在Rt△OCD和Rt△OCB中，
OD＝OB ，OC＝OC
∴Rt△ODC≌Rt△OBC（HL）， ∴∠DOC=∠BOC. ∵OD=OE，∴∠ODE=∠OED，
∴∠BOC=∠OED， ∴DE∥OC．
∵∠DOB=∠ODE+∠OED，
侵权必究
当堂练习
方法二：
证明：连接BD， ∵AC切⊙O于点D，AC切⊙O于点B， ∴DC=BC，OC平分∠DCB.
∴△PAB是等腰三角形，PM为顶角的平分线 ∴OP垂直平分AB.
侵权必究
讲授新课
想一想：若延长PO交⊙O于点C， A
连结CA、CB，你又能得出什么
C
O.
新的结论?并给出证明.
P
CA=CB
B
证明：延长PO交⊙O于点C，连接AC、BC，
∵PA，PB是⊙O的切线,点A，B是切点，
∴PA = PB ，∠OPA=∠OPB.
∴PC=PC.
∴ △PCA ≌ △PCB，
侵权必究 ∴AC=BC.
讲授新课
典例精析
如图，PA，PB是⊙O的切线，A，B是切点，点C是
A⌒B上一点，过点C作⊙O的切线分别交PA，PB于点
D，E.已知∠APB＝60°，⊙O的半径为 3 ，则 △PDE的周长为___6___，∠DOE的度数为___6_0_°_．
24.2.2切线长定理和三角形的内切圆(教案)
（五）总结回顾（用时5分钟）
今天的学习，我们了解了切线长定理和三角形内切圆的基本概念、重要性和应用。同时，我们也通过实践活动和小组讨论加深了对这些知识点的理解。我希望大家能够掌握这些知识点，并在日常生活中灵活运用。最后，如果有任何疑问或不明白的地方，请随时向我提问。
三角形内切圆的部分，学生们在小组讨论和实验操作中表现出了很高的热情。通过实际操作，他们能够更好地掌握内切圆半径的计算方法，这也证明了实践活动在数学教学中的重要性。今后，我会继续加大实践环节的比重，让学生在实践中学习和探索。
在小组讨论环节，我发现有些学生较为内向，不太愿意主动表达自己的观点。为了鼓励他们积极参与，我会在今后的教学中更加关注这些学生，多给予他们肯定和鼓励，提高他们的自信心。
3.成果展示：每个小组将向全班展示他们的讨论成果和实验操作的结果。
（四）学生小组讨论（用时10分钟）
1.讨论主题：学生将围绕“切线长定理和三角形内切圆在实际生活中的应用”这一主题展开讨论。他们将被鼓励提出自己的观点和想法，并与其他小组成员进行交流。
2.引导与启发：在讨论过程中，我将作为一个引导者，帮助学生发现问题、分析问题并解决问题。我会提出一些开放性的问题来启发他们的思考。
24.2.2切线长定理和三角形的内切圆（教案）
一、教学内容
本节课选自教材24.2.2节，主要内容包括：
1.切线长定理：探讨圆的切线与半径的关系，推导并掌握切线长定理，即从圆外一点引圆的两条切线，切线长相等。
2.三角形的内切圆：介绍三角形内切圆的概念，探讨内切圆的半径与三角形面积的关系，掌握内切圆半径的计算公式。
《24.2.2 第3课时 切线长定理》教案、导学案、同步练习
《第3课时 切线长定理》教案【教学目标】1．掌握切线长定理，初步学会运用切线长定理进行计算与证明．2．了解有关三角形的内切圆和三角形的内心的概念．3．学会利用方程思想解决几何问题，体验数形结合思想．【教学过程】一、情境导入新农村建设中，张村计划在一个三角形中建一个最大面积的圆形花园，请你设计一个建筑方案．二、合作探究探究点一：切线长定理 【类型一】利用切线长定理求三角形的周长如图，PA 、PB 分别与⊙O 相切于点A 、B ，⊙O 的切线EF 分别交PA 、PB于点E 、F ，切点C 在AB ︵上．若PA 长为2，则△PEF 的周长是________．解析：因为PA 、PB 分别与⊙O 相切于点A 、B ，所以PA ＝PB ，因为⊙O 的切线EF 分别交PA 、PB 于点E 、F ，切点为C ，所以EA ＝EC ，CF ＝BF ，所以△PEF 的周长PE ＋EF ＋PF ＝PE ＋EC ＋CF ＋PF ＝(PE ＋EC )＋(CF ＋PF )＝PA ＋PB ＝2＋2＝4. 【类型二】利用切线长定理求角的大小如图，PA 、PB 是⊙O 的切线，切点分别为A 、B ，点C 在⊙O 上，如果∠ACB ＝70°，那么∠OPA 的度数是________度．解析：如图所示，连接OA、OB.∵PA、PB是⊙O的切线，切点分别为A、B，∴OA⊥PA，OB⊥PB，∴∠OAP＝∠OBP＝90°.又∵∠AOB＝2∠ACB＝140°，∴∠APB ＝360°－∠PAO－∠AOB－∠OBP＝360°－90°－140°－90°＝40°.又易证△POA≌△POB，∴∠OPA＝12∠APB＝20°.故答案为20.方法总结：由公共点引出的两条切线，可以运用切线长定理得到等腰三角形．另外根据全等的判定，可得到PO平分∠APB.【类型三】切线长定理的实际应用为了测量一个圆形铁环的半径，某同学采用了如下办法：将铁环平放在水平桌面上，用一个锐角为30°的三角板和一把刻度尺，按如图所示的方法得到相关数据，进而可求得铁环的半径．若测得PA＝5cm，则铁环的半径长是多少？说一说你是如何判断的．解：过O作OQ⊥AB于Q，设铁环的圆心为O，连接OP、OA.∵AP、AQ为⊙O 的切线，∴AO为∠PAQ的平分线，即∠PAO＝∠QAO.又∠BAC＝60°，∠PAO＋∠QAO ＋∠BAC＝180°，∴∠PAO＝∠QAO＝60°.在Rt△OPA中，PA＝5，∠POA＝30°，∴OP＝55(cm)，即铁环的半径为55cm.探究点二：三角形的内切圆【类型一】求三角形的内切圆的半径如图，⊙O是边长为2的等边△ABC的内切圆，则⊙O的半径为________．解析：如图，连接OD .由等边三角形的内心即为中线，底边高，角平分线的交点．所以∠OCD ＝30°，OD ⊥BC ，所以CD ＝12BC ，OC ＝2OD .又由BC ＝2，则CD ＝1.在Rt △OCD 中，根据勾股定理得OD 2＋CD 2＝OC 2，所以OD 2＋12＝(2OD )2，所以OD ＝33.即⊙O 的半径为33. 方法总结：等边三角形的内心为等边三角形中线，底边高，角平分线的交点，它到三边的距离相等． 【类型二】求三角形的周长如图，Rt △ABC 的内切圆⊙O 与两直角边AB ，BC 分别相切于点D 、E ，过劣弧DE ︵(不包括端点D 、E )上任一点P 作⊙O 的切线MN 与AB 、BC 分别交于点M 、N .若⊙O 的半径为r ，则Rt △MBN 的周长为( )A ．r B.32r C ．2r D.52r 解析：连接OD ，OE ，∵⊙O 是Rt △ABC 的内切圆，∴OD ⊥AB ，OE ⊥BC .又∵MD ，MP 都是⊙O 的切线，且D 、P 是切点，∴MD ＝MP ，同理可得NP ＝NE ，∴C Rt △MBN ＝MB ＋BN ＋NM ＝MB ＋BN ＋NP ＋PM ＝MB ＋MD ＋BN ＋NE ＝BD ＋BE ＝2r ，故选C. 三、板书设计【教学反思】教学过程中，强调用切线长定理可解决有关求角度、周长的问题．明确三角形内切圆的圆心是三角形三条角平分线的交点，到三边的距离相等.《第3课时切线长定理》教案【教学目标】：1、了解切线长定义，掌握切线长定理，并利用它进行有关计算。
24.2.2切线长定理 (第3课时)
和三角形各边都相切的圆叫做三角形的 内切圆，内切圆的圆心叫做三角形的内心， 这个三角形叫做圆的外切三角形。
A
如何找到这 个圆心呢？
O
B
C
提示：我们学过：角平分线上 的点到角两边的距离相等。
三角形的内心就是三角形三条内角平分线 的交点，内心到三角形各边的距离相等
作圆: 使它和已知三角形的各边都相切 已知：△ABC
PB 、PC长叫切线长
P
C
小结：切线是直线，不可以度量；切线长 是指切线上的一条线段的长，可以度量。
（1）请同学们任意做一个⊙O ，并过圆外一点P 做圆的两条切线，切点分别是A、B，测量切线长 PA、PB的长度，同时观察∠1，∠2的关系。 （2）你得出什么结论了？ （3）你能不能用所 学的几何知识 A 证明你的结论？
C
B
3、 判断
（1）过任意一点总可以作圆的两条切线（ ）
（2）从圆外一点引圆的两条切线，它们的长相等。 （ ）
4、 填空 如图：PA，PB切圆于A，B两点， ∠APB＝50度，连结PO， A 则∠APO= 25°
O
P B
问题：
从一块三角形的材料上截下一块圆形的用 料，怎样才能使圆的面积尽可能最大呢？
求作：和△ABC的各边都相切的圆
作法：
A
1、作∠ B, ∠ C的平分线 BM和CN，交点为O
M
O
N
2、过点O作OD 足为D。
BC。垂
3、以O为圆心，OD为半 径作圆O
C
B
D
圆O就是所求的圆。
巩固练习：
1、如图，ΔABC的内切圆分别和BC，AC，AB切于D，E，F； 11 6cm 如果AF=2cm,BD=7cm,CE=4cm,则BC= cm,AC= AB= A 9cm
人教版九年级数学上册24.2.2切线长定理和三角形的内切圆(3)教案
24.2 点和圆、直线和圆的位置关系24.2.2 直线和圆的位置关系第3课时 切线长定理和三角形的内切圆课题24.2.2 切线长定理和三角形的内切圆（3）授课人教学目标知识技能 1.掌握切线长的定义及其定理，并利用定理进行有关的计算； 2.了解三角形的内切圆、内心的概念，会作三角形的内切圆；数学思考经历画图、测量、猜想、证明等数学活动过程，发展合情推理能力和初步的演绎推理能力，培养学生有条理地阐述自己观点的能力； 问题解决初步学会从数学的角度提出问题、理解问题，并能运用所学的知识和技能解决问题，发展应用意识，在解题过程中，形成基本解题策略，发展实践能力与创新精神.情感态度通过课题学习，使学生对数学有好奇心和求知欲，在数学学习活动中获得成功的体验，锻炼意志，增强自信心；教学重点 切线长定理及其应用；教学难点 与切线长定理有关的计算和证明问题；授课类型 新授课课时 第三课时教具多媒体教学活动教学步骤师生活动设计意图回顾（（多媒体演示） 问题：1.已知△ABC ，作三个内角的平分线，说说它们具有什么性质？2.直线和圆有几种位置关系？切线的判定定理和性质定理的内容是什么？ 师生活动：教师引导学生进行解答，并适时作出补充和讲解.教师总结：①三角形的三个内角平分线相交于一点，交点到三条边的距离相等；②切线的判定定理是经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线； 切线的性质定理是圆的切线垂直于经过切点的半径.通过问题形势引导学生回顾所学，为学习新知打下基础.活动一：创设情境导入新课【课堂引入】（课件展示）问题：过圆上一点能够画圆的几条切线呢？过圆外一点呢？师生活动：教师指导学生根据题意画图，并根据图形，回答问题.结论：过圆上一点只能作圆的一条切线；过圆外一点可以作圆的两条切线；通过学生动手操作得到圆的切线长基本图形，为解析新知做好图形上的准备.活动二：实践探究交流新知1.探究切线长定理：活动一：（多媒体展示）问题1：在⊙O外任取一点P，过点P作⊙O的两条切线，如上图，请找图形中存在哪些等量关系？问题2：请把图形沿着直线PO进行对折，观察两旁部分能否互相重合？请用语言概括你的发现？师生活动：教师指导学生运用猜想、测量、对折等方法和策略进行探究，教师适时点拨后，学生交流、讨论，说明自己的发现，教师做好总结和鼓励.教师强调：①切线长的定义：从圆外一点作圆的切线，这点和切点之间的线段的长叫做这点到圆的切线长，如图中的线段PA、PB.②切线长定理：从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，这一点和圆心的连线平分两条切线的夹角.活动二：问题3：你能运用所学进行证明吗？师生活动：学生小组内讨论、交流，教师引导，作辅助线证明三角形全等即可，学生写出证明过程，教师巡视、指导.证明过程：连接OA、OB，因为PA、PB是圆的切线，所以OA⊥PA，OB⊥PB，因为OA=OB，PO=PO，所以△AOP≌△BOP，所以PA=PB，∠APO=∠BPO.问题4：如何根据图形，用几何语言把切线长定理进行描述呢？师生活动：学生根据定理的题设和结论，结合图形，进行回答，教师板书并补充.∵PA、PB是圆的切线，∴PA=PB，∠APO=∠BPO.2.探究三角形的内切圆（课件展示）如图，是一块三角形的铁皮，如何在它上面截下一块圆形用料，并且使截下来的圆与三角形的三条边都相切.教师提出提示：（1）与边AB、AC都相切的圆的圆心在哪里？（2）与三角形三边都相切的圆的圆心在哪里？师生活动：学生根据提示问题，思考解答，教师做好引导与点拨，最后进行总结.教师阐述：①圆心到角两边的距离相等，所以圆心在角的平分线上，则圆心是两个内角的平分线的交点；②与三角形各边都相切的圆叫做三角形的内切圆，内切圆的圆心是三角形三个内角平分线的交点，叫做三角形的内心；1.在探索问题的过程中，学生通过自主探索、合作交流发现问题、归纳知识，并获得积极地、深层次的体验，从而发展学生的探究能力、语言表达能力和归纳总额及能力.2.利用实际问题引入三角形的内切圆，层层设问，引导学生作图，指导学生发现知识适用于生活实际，服务于实际问题.活动三：开放训练体现应用【应用举例】（课件展示）例1：如图，△ABC的内切圆⊙O与BC、CA、AB分别相切于点D、E、F，且AB=9，BC=14，CA=13，求AF、BD、CE的长.师生活动：教师引导学生观察图形，根据切线长定理能够得到哪些相等的线段？学生进行思考、解答.教师做好总结归纳：设AF=x后，表示出其他线段的长度，运用方程思想进行解答即可.【拓展提升】（课件展示）例2：如图，PA、PB是⊙O的两条切线，切点分别为点A、B，若直径AC=12，∠P=60°，求弦AB的长.师生活动：学生先独立解决问题,然后小组中讨论,鼓励学生勇于探索实践，而后再与同桌交流，上讲台演示，教师要重点关注学生的解题过程.在教师的引导下，学生能够熟练地列方程解答问题，使切线长定理实用化，增强了学生的数与形相结合的思想.【达标测评】1.下列说法中，不正确的是（）A.三角形的内心是三角形三条内角平分线的交点B.锐角三角形、直角三角形、钝角三角形的内心都在三角形内部C.垂直于半径的直线是圆的切线D.三角形的内心到三角形的三边的距离相等2.一个直角三角形的斜边长为8，内切圆半径为1，则这个三角形的周长为（）A.21B.20C.19D.183.如图，PA、PB分别切⊙O于点A、B，AC是⊙O的直径，连结AB、BC、OP，则与∠PAB相等的角(不包括∠PAB本身)有（）A．1个B．2个C．3个D．4个4.如图，已知⊙O是△ABC的内切圆，∠BAC=50°，则∠BOC为______度．5.如图，AE、AD、BC分别切⊙O于点E、D、F，若AD=20，求△ABC的周长.师生活动：学生进行当堂检测，完成后，教师进行个别提问，并指导学生解释做题理由和做题方法，使学生在个别思考解答的基础上，共同交流、形成共识、确定答案.达标测评是为了加深对所学知识的理解运用，在问题的选择上以基础为主、疑难点突出，增加开放型、探究型问题，使学生思维得到拓展、能力得以提升.活动四：课堂总结反思1.课堂总结：（1）谈一谈你在本节课中有哪些收获？哪些进步？（2）学习本节课后，还存在哪些困惑？教师总结本课时主要学习内容：切线长定理和三角形内心的性质，注意区分内心和外心.2.布置作业：教材第102页，习题第10、11题；巩固、梳理所学知识.对学生进行鼓励、进行思想教育.【板书设计】提纲挈领，重点突出【教学反思】①[授课流程反思]A.复习回顾□B.创设情景□C. 探究新知□D.课堂训练□E. 课堂总结□学生动手画图，通过折叠探究对称性，从而发现切线长定中，探究新知的过程在.识理，学习过程中，以小组合作形式为主，积极探究知识，掌握应用知②[讲授效果反思].别）内心和外心的区2（数形结合思想；）1引导学生注意了这几点：（③ [师生互动反思]采用小组教学和自主探究相结合的学习方式，给学生探究新知看，教学过程来从.效识十分有效，学生反映积极，小组讨论热烈、有④ [练习反思].题5、4第检测好题题号错题题号反思教学过程和教师表现，进一步提升操作流程和自身素质.。
24.2.2.3切线长定理优质课教案完美版
作课类别课题24.2.2.3切线长定理课型新授教学媒体多媒体教学目标知识技能1.了解切线长的概念．2.理解切线长定理，了解三角形的内切圆和三角形的内心的概念，熟练掌握并能应用．过程方法复习圆与直线的位置关系和切线的判定和性质定理，知识迁移到切长线的概念和切线长定理，根据三角形角平分线的性质给出三角形的内切圆和三角形的内心概念，并应用解决相关问题.情感态度学生经历观察、实验、猜想、证明等数学活动，发展合情推理能力和初步演绎推理能力.能有条理地，清晰地写出推理过程.教学重点切线长定理及其运用教学难点切线长定理的推导和运用教学过程设计教学程序及教学内容师生行为设计意图一、复习引入这节课我们继续来研究切线.1.作△ABC的三条角平分线，有什么结论？2.回忆切线的判定定理和性质定理？二、探究新知（一）切线长定理1.操作探究：从上面的复习，可知，过⊙O上任一点A都可以作圆的一条切线，且只能作一条，根据下面提出的问题，操作、思考、并解决问题：在纸上画⊙O，并画出过圆上点A的切线PA，•连结PO，•沿着直线PO将纸对折，设与点A重合的点为B，这时，OB是⊙O的一条半径吗？PB是⊙O的切线吗？利用圆的轴对称性，思考图中的线段PA与线段PB，∠APO与∠BPO有什么数量关系？分析：对折之后，OB与OA重合，OA是半径，OB也是半径. B 为OB•的外端，根据对折后角的度数不变，所以PB是⊙O的又一条切线，且PA=PB，∠APO=∠BPO．我们把线段PA或PB的长，即经过圆外一点作圆的切线，这点和切点之间的线段的长，•叫做这点到圆的切线长．从上面的操作及圆的对称性可得：从圆外一点可以引圆的两条切线，它们的切线长相等，这点和圆心的连线平分两条切线的夹角．2.几何证明．如图，已知PA、PB是⊙O的两条切线．求证：PA=PB，∠OPA=∠OPB．分析：据所要证明的结论在图中分布的位置特点和已知条件，易得只要证明两个对应的三角形全等即可.得到老师在黑板上作出△ABC的三条角平分线，生口述其性质：①三条角平分线相交于一点；②交点到三条边的距离相等．学生独立按要求画图，操作，思考、并尝试解决问题，之后学生分组讨论，老师请3～4位同学回答这个问题，师生达成共识.学生理解点到圆的切线长概念，初步感知圆的切线长定理.学生观察图形，思考证明思路，书写规范的证明步骤，教师及时点拨，肯定.学生亲自动手作图，复习旧知识，为探究本节课知识做准备学生通过画图，折叠，观察获得结论，初步感知定理使学生结合图形理解概念学生运用全等知识进行几何推理证明，体会数学结论的严谨性，培养学生BA CE DOF切线长定理：从圆外一点可以引圆的两条切线，它们的切线长相等，这一点和圆心的连线平分两条切线的夹角． （二）三角形的内切圆如图，三角形的三条角平分线交于一点，设交点为I ，那么I 到AB 、AC 、BC 的距离相等，因此以点I 为圆心，点I 到BC 的距离ID 为半径作圆，则⊙I 与△ABC 的三条边都相切．与三角形各边都相切的圆叫做三角形的内切圆，•内切圆的圆心是三角形三条角平分线的交点，叫做三角形的内心． （三）应用1.如图，已知⊙O 是△ABC 的内切圆，切点分别为D 、E 、F ，CD=1，AE=2，BF=3，且△ABC 的面积为6．求内切圆的半径r ．分析：可知OD 、OE 、OE 分别垂直于BC 、AC 、AB ，由于面积是已知的，•因此转化为面积法来求．连结AO 、BO 、CO ，就可把三角形ABC 分为三块，•问题迎刃而解．2.如图，⊙O 的直径AB=12cm ，AM 、BN 是切线，DC 切⊙O 于E ，交AM 于D ，•交BN 于C ，设AD=x ，BC=y ．（1）求y 与x 的函数关系式，并说明是什么函数？ （2）若x 、y 是方程2t 2-30t+m=0的两根，求x ，y 的值． （3）求△COD 的面积．分析：（1）要求y 与x 的函数关系，就是求BC 与AD 的关系，根据切线长定理：DE=AD=x ，CE=CB=y ，即DC=x+y ，又因为AB=12，所以只要作DF ⊥BC 于 F ，根据勾股定理，便可求得．（2）∵x ，y 是2t 2-30t+m=0的两根，那么x 1+x 2=230=15，x 1x 2=2m ，结合（1）的结论便可求得x 、y 的值． 三、课堂训练 完成课本98页练习 四、小结归纳1．圆的切线长概念和定理； 2．三角形的内切圆及内心的概念 五、作业设计作业：复习巩固作业和综合运用为全体学生必做；拓广探索为成绩中上等学生必做.教师引导学生将“三角形的三条角平分线交于一点，这点与三边距离相等”和“圆心与圆上各点距离都等于半径”结合，理解三角形的内切圆的概念. 学生审题，思考利用切线长定理求出三角形三边的长度，从题中条件“ABC 的面积为6”出发，作辅助线，再以面积为等量关系，建立以r 为未知数的方程. 理清题意，观察图形，结合题中条件思考解题思路，综合运用勾股定理、一元二次方程的根与系数的关系和切线长定理.教师组织学生进行练习，教师巡回检查，师生交流评价，教师指导学生写出解答过程，进行题后反思.让学生尝试归纳，总结，，反思，教师点评汇总应用数学的意识和能力 从旧知识出发，呼应引课问题，自然引出三角形的内切圆概念，便于学生理解 使初步运用切线长定理，根据题中关键条件，考虑所求，灵活运用面积法得出解题方法，从而解决问题.培养学生综合解题能力，能从条件和结论出发，分析解题思路，化未知为已知，体会转化思想. 运用本节知识，形成做题技巧，培养学生的应用意识和能力归纳提升，加强反思，使学生对知识的掌握系统化 巩固深化提高板 书 设 计。
新人教版九年级上册初中数学 24.2.2课时3 切线长定理及三角形的内切圆 教学课件
新课讲解
分析：如图，连接PO，CO，AO，BO，DO，EO，由切
线长定理知PA＝PB，DC＝DA，EC＝EB，因而 知识点
△PDE的周长可转化为PA＋PB，即2PA.又由切线
长定理易得∠DOC＝ ∠1AOC，∠EOC＝ ∠B1OC，
∴∠DOE＝ (1∠AOC＋∠2 BOC)＝ ∠1AOB.由2
第十五页，共二十五页。
新课讲解
求三角形内切圆的问题，一般的作辅助线的方法为： 一是连顶点、内心产生角平分线； 二是连切点、内心产生半径及垂直条件.
三角形内切圆的圆心是三角形三条角平分线的交 点，叫做三角形的内心.
第十六页，共二十五页。
新课讲解
例 3 如图，点O是△ABC的内切圆的圆心，若∠BAC＝ 80°，则∠BOC的度数为( )A A．130° B．100° C．50° D．65°
第十二页，共二十五页。
新课讲解
知识点2 三角形的内切圆
问题： 如何作圆，使它和已知三角形的各边都相切？
已知：△ABC.
求作：和△ABC的各边都相切的圆.
AA N
作法：
（1）作∠B和∠C的平分线BM和CN，交 点为O.
M
（2）过点O作OD⊥BC, 垂足为D.
O
（3）以点O为圆心，OD为半径作圆O.
BB
A
O
P
②切线长是线段的长，这条线段的两个端点分别是圆 外一点和切点，可以度量．
第五页，共二十五页。
新课讲解
二.切线长定理
问题 在透明纸上画出下图，设PA，PB是⊙O的两条切线，A，B是切点，沿直线 OP对折图形，你能猜测一下PA与PB，∠APO与∠BPO分别有什么关系吗？
PA=PB，∠APO=∠BPO.
24.2.2 第3课时 切线长定理和三角形的内切圆
第3课时切线长定理和三角形的内切圆知识要点基础练知识点1切线长定理1.如图,已知PA,PB分别切☉O于点A,B,∠P=60°,PA=8,那么弦AB的长是(B)A.4B.8C.4D.82.如图,将一把直尺,60°的直角三角板和光盘如图摆放,其中A为60°角与直尺的交点,AB=3,则光盘的直径是(D)A.3B.3C.6D.63.(改编)如图,PA,PB切☉O于A,B两点,CD切☉O于点E,交PA,PB于C,D两点.若△PCD的周长等于6,求切线PB的长.解:∵PA,PB切☉O于点A,B,CD切☉O于点E,∴PA=PB,CA=CE,DE=DB.∵△PCD的周长=PC+CD+PD=6,即PC+CE+ED+PD=6,∴PC+CA+BD+PD=PA+PB=2PB=6,∴PB=3.知识点2三角形的内切圆4.下面关于“三角形的内心”说法正确的是(A)A.三角形的内心到三边的距离相等B.三角形的内心是三边垂直平分线的交点C.三角形的内心是三边中线的交点D.三角形的内心到三个顶点的距离相等5.如图,☉O是△ABC的内切圆,D,E是切点,∠A=50°,∠C=60°,则∠DOE=(B)A.70°B.110°C.120°D.130°6.【教材母题变式】如图,△ABC中,∠C=90°,☉O是△ABC的内切圆,D,E,F是切点.(1)求证:四边形ODCE是正方形;(2)如果AC=6,BC=8,求内切圆☉O的半径.解:(1)略.(2)☉O的半径为2.综合能力提升练7.一个钢管放在V型架内,其截面如图,点O为钢管界面圆的圆心.若PM=25cm,∠MPN=60°,则☉O的半径为(D)A.50 cmB.25cmC.20 cmD.25 cm8.如图,若AB,AC分别切☉O于点B,C,延长OB到点D,使BD=OB,连接AD.若∠DAC=78°,则∠ADO的度数为(C)A.56°B.39°C.64°D.78°9.点O是△ABC的外心,点I是△ABC的内心,若∠BIC=145°,则∠BOC的度数为(D)A.110°B.125°C.130°D.140°10.如图,△ABC的内切圆与三边分别相切于点D,E,F,则下列等式:①∠EDF=∠B;②2∠EDF=∠A+∠C;③2∠A=∠FED+∠EDF;④∠AED+∠BFE+∠CDF=180°.其中成立的个数是(B)A.1B.2C.3D.411.在Rt△ABC中,∠C=90°,AC=6,BC=8,则△ABC的外心与内心之间的距离为(D)A.B.2 C.1 D.12.(南京中考)如图,在矩形ABCD中,AB=4,AD=5,AD,AB,BC分别与☉O相切于E,F,G三点,过点D作☉O的切线交BC于点M,切点为N,则DM的长为(A)A. B.C. D.2提示:由已知得DE=DN,MG=MN,∴DM=DE+MG.∵AB=4,∴圆的半径为2,∴AF=AE=2,∴DE=DN=CG=3.设MG=MN=x,在Rt△CDM中,(3+x)2=(3-x)2+42,解得x=,∴DM=3+x=.【变式拓展】如图,以正方形ABCD的边BC为直径作半圆O,过点D作直线切半圆于点F,交AB于点E,则△ADE和直角梯形EBCD的周长之比为6∶7.13.如图,AB,AC,BD是☉O的切线,P,C,D为切点.如果AB=5,AC=3,则BD的长为2.14.如图,已知以直角梯形ABCD的腰CD为直径的半圆O与梯形上底AD,下底BC以及腰AB均相切,切点分别是D,C,E.若半圆O的半径为2,梯形的腰AB为5,则该梯形的周长是14.15.如图,AB是☉O的直径,点C为☉O外一点,CA,CD是☉O的切线,A,D为切点,连接BD,AD.若∠ACD=30°,则∠DBA=75°.16.如图,AB为☉O的直径,PA,PC与☉O相切于A,C两点,PQ⊥PA,PQ交OC的延长线于点Q.(1)求证:OQ=PQ;(2)连接BC并延长交PQ于点D,PA=AB,且CQ=6,求BD的长.解:(1)连接OP.∵PA,PC与☉O相切于A,C两点,∴PA=PC,OA⊥PA.∵OA=OC,OP=OP,∴△OPA≌△OPC(SSS),∴∠AOP=∠POC.∵QP⊥PA,∴QP∥BA,∴∠QPO=∠AOP,∴∠QOP=∠QPO,∴OQ=PQ.(2)设OA=r.∵OB=OC,∴∠OBC=∠OCB,∵OB∥QD,∴∠QDC=∠B,∵∠OCB=∠QCD,∴∠QCD=∠QDC,∴QC=QD=6.∵QO=QP,∴OC=DP=r,∵PC是☉O的切线,∴OC⊥PC,∴∠OCP=∠PCQ=90°,在Rt△PCQ中,∵PQ2=PC2+QC2,∴(6+r)2=62+(2r)2,解得r=4或0(舍去),∴OP==4.∵OB=PD,OB∥PD,∴四边形OBDP是平行四边形,∴BD=OP=4.拓展探究突破练17.(龙岩中考)如图1~4,在直角边分别为3和4的直角三角形中,每多作一条斜边上的高就增加一个三角形的内切圆,依此类推,图10中有10个直角三角形的内切圆,它们的面积分别记为S1,S2,S3,…,S10,则S1+S2+S3+…+S10=π.。
人教版九年级数学上册24.2.2切线长定理及三角形的内切圆(教案)
(1)对于切线长定理的证明，教师可以采用构造辅助线、利用相似三角形等方法，逐步引导学生理解证明过程，降低难度。
(2)在讲解内切圆半径计算时，可以针对不同类型的三角形，给出具体的计算步骤和方法，让学生通过练习逐步掌握。
(3)针对解决实际问题时思路的拓展，教师可以设置一些具有挑战性的题目，引导学生运用所学知识，培养学生的问题分析和解决能力。
3.成果展示：每个小组将向全班展示他们的讨论成果和实验操作的结果。
（四）学生小组讨论（用时10分钟）
1.讨论主题：学生将围绕“切线长定理及内切圆在实际生活中的应用”这一主题展开讨论。他们将被鼓励提出自己的观点和想法，并与其他小组成员进行交流。
2.引导与启发：在讨论过程中，我将作为一个引导者，帮助学生发现问题、分析问题并解决问题。我会提出一些开放性的问题来启发他们的思考。
-解决实际问题的能力培养：通过典型例题，重点训练学生运用切线长定理和内切圆性质解决实际问题的能力。
举例解释：
(1)在讲解切线长定理时，可以通过图形演示和实际测量，让学生直观地理解切线长的概念，并掌握切线长的计算方法。
(2)对于三角形内切圆的性质，通过构造具体的三角形模型，让学生观察内切圆与三角形各边的关系，理解并掌握内切圆半径的计算方法。
2.教学难点
-切线长定理的证明：对于定理的证明过程，学生可能难以理解，需要教师通过直观演示和逐步引导，帮助学生突破这一难点。
-内切圆半径的计算：学生在计算内切圆半径时，可能会对涉及到的几何关系和代数运算感到困惑，需要教师详细讲解并举例说明。
-解决实际问题时思路的拓展：学生在面对复杂的几何问题时，可能会缺乏解题思路，教师需要指导学生如何将问题转化为切线长定理和内切圆性质的应用。
四、教学流程
24.2.2(3)切线长定理
尺规作图：
过⊙O外一点作⊙O的切线
A
O · O
P
B
在经过圆外一点的切线上，这一点和切点之间 的线段的长叫做这点到圆的切线长
A
O
· B P
切线与切线长是一回事吗？ 它们有什么区别与联系呢？
比一比
O
A
P
B
切线和切线长是两个不同的概念： 1、切线是一条与圆相切的直线，不能度量； 2、切线长是线段的长，这条线段的两个端点分 别是圆外一点和切点，可以度量。
A D P E ·O
C B
课堂小结
切线长定理 从圆外一点引圆的两条切线，它 们的切线长相等，圆心和这一点的连线平分两 条切线的夹角。 ∵PA、PB分别切⊙O于A、B
∴PA = PB ,∠OPA=∠OPB OP垂直平分AB 切线长定理为证明线段相等，角 相等，弧相等，垂直关系提供了理论 依据。必须掌握并能灵活应用。
分线的交点； 4. 三角形的内心到三角形三边的距离相等。
下课了!
∵ OA=OB，OP=OP ∴Rt△AOP≌Rt△BOP(HL) ∴ PA = PB ∠OPA=∠OPB
从圆外一点引圆的两条切线， 它们的切线长相等，圆心和这一点的连线平分 A 两条切线的夹角。
切线长定理
O 几何语言: B PA = PB PA、PB分别切⊙O于A、B
P
∠OPA=∠OPB
反思：切线长定理为证明线段相等、角相 等提供新的方法
CE=9(cm).
练习1.如图，△ABC中,∠C =90º,它的内 切圆O分别与边AB、BC、CA相切于点D、E、 F，且BD=12，AD=8，求⊙O的半径r.
A
D
F O
B
E
C
例2 、如图，四边形ABCD的边
24.2.2+第3课时++切线长定理+课件+2023-2024学年人教版数学九年级上册
∴AD＝BD， ∴△ABD 是等腰直角三角形，
∴ID＝AD＝
2 2
AB＝5
2
.
13．如图，在四边形 ABCD 中，AD∥BC，∠DAB＝90°，AB 是⊙O 的直
径，CO 平分∠BCD.
(1)求证：直线 CD 与⊙O 相切； (1)证明：过点 O 作 OE⊥CD 于点 E， ∵AD∥BC，∠DAB＝90°，
∴r＝3，∴BE＝BC－EC＝8－6＝2.)
知识点 2 三角形的内切圆 5．如图，⊙O 为△ABC 的内切圆，切点分别为 D，E，F，若∠DFE＝50°， 则∠C 的度数为__8_0_°.
6．如图，△ABC 的周长为 24，其内切圆⊙O 分别切三边于 D，E，F 三点， AF＝3，FC＝4，则 BE 的长为__5__.
10．如图，⊙O 为△ABC 的内切圆，AB＝AC＝10，BC＝12.则⊙O 的半径 为_3___.
11．如图，AB，AC 是⊙O 的两条切线，B，C 为切点，∠A＝50°，P 是⊙O 上异于 B，C 的一个动点，则∠BPC＝ 65°或 115° .
12．(教材第 124 页第 13 题改)如图，AB 为⊙O 的直径，C 为⊙O 上一点，I 为△ABC 的内心，CI 的延长线交⊙O 于点 D，连接 AD. (1)求证：DA＝DI； 解：(1)连接 AI，∵AB 为直径， ∴∠ACB＝90°， ∵I 为△ABC 的内心，
∴AD⊥AB，BC⊥AB，
∴AD，BC 是⊙O 的切线，
由(1)得 CD 是⊙O 的切线， ∴ED＝AD＝1，EC＝BC＝2， ∴CD＝ED＋EC＝3， ∴DF＝ CD2－CF2 ＝ 32－12 ＝2 2 ， ∴AB＝DF＝2 2 ， ∴⊙O 的半径为 2 .
∴∠BAI＝∠CAI，∠ACD＝∠BCD＝∠BAD＝45°， ∵∠DAI＝∠BAD＋∠BAI，∠DIA＝∠ACD＋∠CAI， ∴∠DAI＝∠DIA，∴DA＝DI；
24.2.2 第3课时切线长定理
第3课时 切线长定理
导入新课
情境引入 同学们玩过空竹和悠悠球吗？在空竹和悠悠球的旋转的那一 瞬间，你能从中抽象出什么样数学图形？
讲授新课
一 切线长定理及应用
互动探究
问题1 上节课我们学习了过圆上一点作已知圆的切线
(如左图所示)，如果点P是圆外一点，又怎么作该圆的
切线呢？过圆外的一点作圆的切线，可以作几条？
A M P
OP垂直平分AB.
B
证明：∵PA，PB是⊙O的切线,点A，B是切点
∴PA = PB ，∠OPA=∠OPB
∴△PAB是等腰三角形，PM为顶角的平分线
∴OP垂直平分AB.
想一想：若延长PO交⊙O于点C， 连结CA、CB，你又能得出什么
C O.
A P
新的结论?并给出证明.
CA=CB ∴PA = PB ，∠OPA=∠OPB. ∴PC=PC.
解析：欲求半径OP，取圆的圆
心为O，连OA，OP，由切线性
质知△OPA为直角三角形，从 而在Rt△OPA中由勾股定理易求 得半径． O
解：过O作OQ⊥AB于Q，设铁环的圆 心为O，连接OP、OA. ∵AP、AQ为⊙O的切线，∴AO为 ∠PAQ的平分线，即∠PAO＝∠QAO.
O
Q
又∠BAC＝60°，∠PAO＋∠QAO＋∠BAC＝180°，
问题2 如图，分别过点作AB、AC、BC的垂线，垂
足分别为E、F，G，那么线段IE、IF、IG之间有什
么关系？
A E I B G C F
IE=IF=IG
知识要点
三角形内心的性质
三角形的内心在三角形的角平分线上. 三角形的内心到三角形的三边距离相等.
A
24.2.2 第3课时 切线长定理和三角形的内切圆.课件-2024-2025学年人教版数学九年级上册
图24-2-24
探
究
与
应
用
例2 (教材补充例题)已知:如图24-2-25所示,PA,PB是☉O的切
线,切点分别是A,B,Q为上一点,过点Q作☉O的切线,分别
交PA,PB于点E,F.已知PA=12 cm,∠P=70°.
求:(1)△PEF的周长;
解:(1)∵PA,PB,EF均是☉O的切线,
数学
九年级上册
人教版
圆
第3课时 切线长定理和三角形的
内切圆
-
第
二
十
四
章
第3课时
切线长定理和三角形的内切圆
探究与应用
课堂小结与检测
探
究
与
应
用
活动1 理解切线长的概念,掌握切线长定理
[问题情境]
1.过圆外一点能作几条圆的切线?请在图24-2-23中过点P画
出☉O的所有切线.
解:两条.画图如下.
图24-2-23
堂
小
结
与
检
测
3.已知三角形的周长为12,面积为6,则该三角形内切圆的半
径为
( D )
A.4
B.3
C.2
D.1
谢 谢 观 看！
∴PB=PA=12 cm,EA=EQ,FQ=FB,
∴△PEF的周长=PE+EQ+FQ+PF=PA+PB=
12+12=24(cm).
图24-2-25
探
究
与
应
用
(2)∠EOF的度数.
(2)连接OA,OB,OQ.
∵PA,PB,EF均是☉O的切线,
24.2.2 第3课时 切线长定理和三角形的内切圆
⊙ O相切于B点，PA=PB吗？你还有什么发现？
PA=PB
A
∠APO=∠BPO
你能证明你所发现的结论吗？
O
P
B
24.2.2 第3课时 切线长定理和三角形的内切圆
请证明你所发现的结论。
B
PA = PB,∠OPA=∠OPB
证明：连接OA、OB 、 OP.
O
P
∵PA，PB与⊙O相切，点A，B是切点,
∴OA⊥PA，OB⊥PB ,即∠OAP=∠OBP=90°.
A
∵ OA=OB，OP=OP,
∴Rt△AOP≌Rt△BOP(HL), 试用文字语言叙述
∴ PA = PB,∠OPA=∠OPB.
你所发现的结论
24.2.2 第3课时 切线长定理和三角形的内切圆
切线长定理：从圆外一点可以引圆的两条切线，它们的切线
长相等，这一点和圆心的连线平分这两条切线的夹角．
符号表示：
例题讲解
例 已知：在△ABC中，BC=9 cm，AC=14 cm，AB=13 cm，它的 内切圆分别和BC、AC、AB切于点D、E、F，求AF、BD和CE的长。
解：因为△ABC的内切圆分别和BC、AC、AB切于点
D、E、F，由切线长定理知AE=AF,CE=CD,BD=BF， A
E
∴AF+CE+BD=
A
D
●O
C
P EB
24.2.2 第3课时 切线长定理和三角形的内切圆
5.如图，直角三角形的两直角边BC=5 cm,AC=12 cm 则其内 切圆的半径为__2__cm__,外接圆的半径为_6_._5_c_m_。
A
E FO
CD
B
24.2.2 第3课时 切线长定理和三角形的内切圆
【教案】第3课时切线长定理和三角形的内切圆
24.2.2直线和圆的位置关系第3课时
教学流程安排
教学过程设计
教学设计说明：
1．本节课是义务教育课程标准试验教科书人教版九年级上册第24章第2节《与圆有关的位置关系》中直线与圆位置关系中的第三课时，是直线与圆位置关系中重点内容，是在学习了切线的性质和判定的基础之上，继续对切线的性质的研究，是在垂径定理之后对圆的对称性又一次的认识。
体现了图形的认识、图形的变换、图形的证明的有机结合。
在习题和内切圆的计算中体现了把复杂问题转化为简单问题后解决问题，从而滲透转化思想和方程思想，提高应用意识。
2．本节课通过设计先翻折图形再思考的环节加入了实践操作活动，使学生提高探究的兴趣，应用了“实验几何——论证几何”的探究方法，并初步建立了由动手操作抽象出数学条件进而解决问题的意识。
让学生的思维能够经历一个从模糊到清晰，从具体到抽象，从直觉到逻辑的过程，再由直观、粗糙向严格、精确的追求过程中，使学生体验数学发展的过程。
3．在“解决问题迁移拓展”的环节通过设计实际问题情境，使学生提高实际应用、解决问题的意识，通过自己画图尝试从中得到感性认识，进而不断地比较、分析、概括，上升为理性认识，再利用自己的语言正确表达，加深了对内切圆概念的理解，进一步加强由动手操作抽象出数学条件进而解决问题的意识。
4．通过分层作业的设置使全体学生巩固基础，对于学有余力的学生可以通过类比的方法拓展提高加深对课上知识、数学思想、方法的巩固。