中考数学复习专题讲座(精编含详细参考答案)数学思想方法()
中考数学专题复习一常用的数学思想和方法
中考数学专题复习一常用的数学思想和方法一、常用的数学思想（数学中的四大思想）1.函数与方程的思想用变量和函数来思考问题的方法就是函数思想，函数思想是函数概念、图象和性质等知识更高层次的提炼和概括，是在知识和方法反复学习中抽象出的带有观念的指导方法。
深刻理解函数的图象和性质是应用函数思想解题的基础，运用方程思想解题可归纳为三个步骤：①将所面临的问题转化为方程问题；②解这个方程或讨论这个方程，得出相关的结论；③将所得出的结论再返回到原问题中去。
2．数形结合思想在中学数学里，我们不可能把“数”和“形”完全孤立地割裂开，也就是说，代数问题可以几何化，几何问题也可以代数化，“数”和“形”在一定条件下可以相互转化、相互渗透。
3．分类讨论思想在数学中，我们常常需要根据研究对象性质的差异。
分各种不同情况予以考察，这是一种重要数学思想方法和重要的解题策略，引起分类讨论的因素较多，归纳起来主要有以下几个方面：（1）由数学概念、性质、定理、公式的限制条件引起的讨论；（2）由数学变形所需要的限制条件所引起的分类讨论；（3）由于图形的不确定性引起的讨论；（4）由于题目含有字母而引起的讨论。
分类讨论的解题步骤一般是：（1）确定讨论的对象以及被讨论对象的全体；（2）合理分类，统一标准，做到既无遗漏又无重复；（3）逐步讨论，分级进行；（4）归纳总结作出整个题目的结论。
4.等价转化思想等价转化是指同一命题的等价形式.可以通过变量问题的条件和结论，或通过适当的代换转化问题的形式，或利用互为逆否命题的等价关系来实现。
常用的转化策略有：已知与未知的转化；正向与反向的转化；数与形的转化；一般于特殊的转化；复杂与简单的转化。
二、常用的数学方法主要有换元法、配方法和待定系数法三种。
三、例题解析【例1】（2004年北京市东城区）解方程：x+1-3x+1=2．解：设x＋1＝y，则原方程化为y-3y=2去分母，得y2-2y-3=0．解这个方程，得y1=-1,y2=3．当y＝－1时，x＋1＝－1，所以x＝－2；当y＝3时，x＋1＝3，所以x＝2．经检验，x＝2和x＝－2均为原方程的解．〖点拨〗解分式方程通常是采用去分母或还元法化为整式方程，并特别要注意验根。
中考数学复习专题讲座五数学思想方法(学生版)
1）求AC所在直线的函数解析式；
2）过点O作OG⊥AC，垂足为G，求△OEG的面积；
3）已知点F（10，0），在△ABC的边上取两点P，Q，是否存在以O，P，Q为顶点的三角形与△OFP全等，
OP的异侧？若存在，请求出所有符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由．
A．9 B． ±3 C． 3 D．5
．（2012?广元）如图，点A的坐标为（﹣1，0），点B在直线y=x上运动，当线段AB最短时，点B的坐标为（ ）
A．（0，0） B．
． D．
． （2012?黔西南州）如图，抛物线y=x2+bx﹣2与x轴交于A、B两点，与y交于C点，且A（﹣1，0），点
．（2012?东营）若3x=4，9y=7，则3x﹣2y的值为（ ）
A． B． C． ﹣3 D．
．（2012?南京）计算（a2）3÷（a2）2的结果是（ ）
A．a B． a2 C． a3 D．a4
．（2012?南昌）已知（m﹣n）2=8，（m+n）2=2，则m2+n2=（ ）
A．10 B． 6 C． 5 D．3
．（2012?本溪）已知一元二次方程x2﹣8x+15=0的两个解恰好分别是等腰△ABC的底边长和腰长，则△ABC的
）
A．13 B． 11或13 C． 11 D．12
．（2012?莱芜）已知m、n是方程x2+2x+1=0的两根，则代数式的值为（ ）
120元，并且各自推出不同的优惠方案．甲家
35人（含35人）以内的按标准收费，超过35人的，超出部分按九折收费；乙家是45人（含45人）以内的
45人的，超出部分按八折收费．如果你是这个部门的负责人，你应选哪家宾馆更实惠些？
中考复习数学思想方法专题讲
第二章 数学思想方法专题第4讲． 化归思想✌ 【专题精讲】数学思想是数学内容的进一步提炼和概括，是对数学内容的种本质认识，数学方法是实施有关数学思想的一种方式、途径、手段，数学思想方法是数学发现、发明的关键和动力．抓住数学思想方法，善于迅速调用数学思想方法，更是提高解题能力根本之所在．因此，在复习时要注意体会教材例题、习题以及中考试题中所体现的数学思想和方法，培养用数学思想方法解决问题的意识．初中数学的主要数学思想是化归思想、分类讨论思想、数形结合思想等． 本专题专门复习化归思想．化归思想就是化未知为已知、化繁为简、化难为易．如将分式方程化为整式方程，将代数问题化为几何问题，将四边形问题转化为三角形问题等．实现这种转化的方法有：待定系数法、配方法、整体代人法以及化动为静、由抽象到具体等✌ 【典例精析】例1、（嘉峪关）如图3－1－1，反比例函数y=－8x 与一次函数y=－x+2的图象交于A 、B 两点．（1）求 A 、B 两点的坐标； （2）求△AOB 的面积． 分析：两个函数的图象相交，说明交点处的横坐标和纵坐标，既适合于第一个函数，又适合于第二个函数，所以根据题意可以将函数问题转化为方程组的问题，从而求出交点坐标． 例2、（自贡）解方程：22(1)5(1)20x x ---+=分析：很显然，此为解关于x －1的一元二次方程．如果把方程展开化简后再求解会非常麻烦，所以可根据方程的特点，含未知项的都是含有（x —1）所以可将设为y ，这样原方程就可以利用换元法转化为含有y 的一元二次方程，问题就简单化了．例3、（达川）如图3－1－2，梯形 ABCD 中，AD ∥BC ，AB=CD ，对角线AC 、BD 相交于O 点，且AC ⊥BD ，AD=3,BC=5，求AC 的长．分析：此题是根据梯形对角线互相垂直的特点通过平移对角线将等腰梯形 转化为直角三角形和平行四边形，使问题得以解决．例4、（新泰模拟）已知△ABC 的三边为a ，b ，c ，且222a b c ab ac bc ++=++，试判断△ABC 的形状．有些人说工作忙，没时间学习，我认为问题不在时间忙，而在于你愿不愿意学习，会不会挤时间学习。
中考数学专题复习--《数学思想方法》典题精讲.doc
二WWW lb中考数学专题复习•…《数学思想方法》题型概述【题型特征】数学思想是对数学知识、方法、规律的一种本质认识;数学方法是解决数学问题的策略和程序，是数学思想的具体反映.对于学习者来说，运用数学方法解决问题的过程就是感性认识不断积累的过程，当这种积累达到一定程度就会产生飞跃，从而上升为数学思想，一旦数学思想形成Z后，便对数学方法起着指导作用.因此，人们通常将数学思想与方法看成一个整体概念一数学思想方法.在初屮数学屮常见如下m大数学思想方法:(1)转化化归的思想方法;(2)数形结合的思想方法;(3)方程与函数的思想方法;(4)分类讨论的思想方法.【解题策略】⑴转化化归的思想方法:将不熟悉和难解的问题转化为熟知的易解的或已一经解决的问题，将抽象的问题转化为具体的直观的问题，将复杂的问题转化为简单的问题，将一般性的问题转化为直观的特殊的问题;将实际问题转化为数学问题，使问题便于解决.如解分式方程时，我们将其转化为整式方程來解、一元二次方程我们将其转化为一元一次方程来解、四边形我们将其转化为三角形来研究、立体图形将其转化为平血图形来研究等.(2)数形结合的思想方法:数形结合解题就是在解决与儿何图形有关的问题时，将图形信息转换成代数的信息，利用数量特征，将其转化为代数问题.在解决与数量有关的问题时，根据数量的结构特征，构造出相应的几何图形，即化为几何问题.(3)方程与函数的思想方法:用运动、变化的观点，分析研究具体问题中的数量关系，通过将问题转化为函数和方程模型来解决就体现了方程与函数的思想方法•具体地，函数思想，是指用函数(一次函数、反比例函数、二次函数)的概念和性质去分析问题、转化问题和解决问题•方程思想，是从问题的数量关系入手，运用数学语言将问题中的条件转化为数学模型 (方程、不等式或方程与不等式的泥合组)，然后通过解方程(组)或不等式(组)来使问题获解. 有时，还实现函数与方程的互相转化、接轨，达到解决问题的目的.(4)分类讨论的思想方法:当求解的数学问题的结论有多种情况或多种可能性吋，就要进行分类讨论.比如前面等腰三角形、直角三角形的有关计算问题、圆的有关问题(垂径定理计算问题、弦所对的圆周角的大小问题、位置关系问题等)中，往往因为已知的不确定性，需要分类讨论.这些同学们应引起重视，否则可能会出现漏解.典题精讲类型一转化化归的思想方法A.4B. -4C. 16D. -16例1若兀2—3y —5 = 0，则6y —2兀~—6的值为（）•【解析】3y —5 = 0,・•• x2 -3y = 5则6y _ 2兀_ — 6 ——2(x* — 3y) — 6 ——2x5 — 6 — -16.【全解】D1•已知血是方程兀2 一兀一1 = 0的_个根,求m（m + l）2一加2（加+ 3）+ 4的值.X 9 r — 12•解方和口一百八【考情小结】转化就是在研究和解决有关数学问题时，采用某种方法将问题通过变换使之转化，进而达到解决的一种方法.一般总是将复杂的问题通过变换转化为简单的问题，将难解的问题通过变换转化为容易求解的问题，将未解决的问题转化为已解决的问题.所谓“化归”就是将要解决的问题转化归结为另一个较易问题或已经解决的问题.类型二数形结合的思想方法例2如图，O为数轴原点，两点分别对应一3,3,作腰长为4的等腰AABC,连接OC,以O为圆心，CO长为半径画弧交数轴于点M ,则点M对应的实数为 ___________________C【解析】•・・AABC为等腰三角形,OA = OB = 3,・•・OC丄AB .在R临OBC中，O C Z B D-OB?「42—32 =",•・•以0为圆心，CO长为半径画弧交数轴于点M, ,\OM =OC = y/i .・••点M对应的数为一J7.【全解】V73.二次函数y = ax2 +/?x + c（dH0）的图象如图所示，下列结论:①2a + b = 0 ;②.a + c > b ;③抛物线与兀轴的另一个交点为（3, 0）;④。
中考数学二轮复习专题突破讲练：专题一 数学思想方法
专题一 数学思想方法数学思想方法揭示了概念、原理、规律的本质，是解决数学问题的根本策略，是沟通基础知识与能力的桥梁，是数学的精髓．在复习中一定要注重培养在解题中提炼数学思想方法的习惯，达到触类旁通的目的．中考常用到的数学思想方法有：整体思想、转化与化归思想、方程与函数思想、数形结合思想、分类讨论思想等．整体思想就是整体与局部对应的，按常规不容易求某一个(或多个)未知量时，可打破常规 ，根据题目的结构特征，把一组数或一个代数式看作一个整体，从而使问题得到解决．整体思想常见的几种类型：①整体代入法求代数式的值；①用整体思想解方程(组)及不等式(组)；③运用整体思想求角度．1.(2019·常州)如果a －b －2＝0，那么代数式1＋2a －2b 的值是________．2．(2018·岳阳)已知a 2＋2a ＝1，则3(a 2＋2a )＋2的值为________．3．(2019·常德)若x 2＋x ＝1，则3x 4＋3x 3＋3x ＋1的值为________．4．(2020·朝阳)已知关于x ，y 的方程组⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋y ＝2a ＋1，x ＋2y ＝5－5a 的解满足x ＋y ＝－3，则a 的值为________． 5．(2019·曲靖)如图，已知点O 是①ABC 的内切圆的圆心，若①BOC ＝124°，则③A ＝________.,第5题图) ,第6题图)6．(2018·黔东南州)如图，分别以n 边形的顶点为圆心，以2为半径画圆，则图中阴影部分面积之和为( )A ．πB ．2πC ．3πD ．4π分类讨论思想分类讨论的知识点有三大类：①由数学概念、性质、运算引起的讨论；①由图形的形状或位置引起的讨论；①由实际意义引起的讨论．分类讨论思想体现了化整为零、积零为整的思想与归类整理的方法．分类的原则：①分类中的每一部分是相互独立的；①一次分类按一个标准，找准分类讨论的标准是解题的关键；③分类讨论应逐级进行．正确的分类必须是周全的，既不重复，也不遗漏．一、与数与式有关的分类讨论1．如果多项式9＋mx ＋x 2是完全平方式，那么m ＝________.2．一组数据100，100，x ，80，80的平均数和中位数相等，则x 的值为________________．3．已知实数a ，b 满足等式a 2－2a －1＝0，b 2－2b －1＝0，则1a ＋1b的值是____________________． 二、与方程有关的分类讨论4．已知关于x 的方程kx 2＋(2k ＋1)x ＋(k －1)＝0有实数根，则k 的取值范围为( )A ．k≥－18B ．k>－18C ．k≥－18且k≠0D ．k<－185．如果关于x 的方程a x ＋3＋1x －3＝3＋a x 2－9无解，则a 的值为________________． 三、与函数有关的分类讨论6．若一次函数y ＝kx ＋b ，当－3≤x≤1时，对应的y 值为1≤y≤9，则一次函数的解析式为______________________________________________．7．已知函数y ＝(k －3)x 2＋2x ＋1的图象与x 轴有交点，求k 的取值范围为________．8. 若点A (a, m )，B (a －1, n )(a ＞0)在反比例函数 y ＝4x上，则 m, n 的大小关系是 ________________.四、与三角形有关的分类讨论①等腰三角形①9．若等腰三角形的一个角为72°，则这个等腰三角形的顶角为____________．10．在①ABC 中，①B ＝50°，当①A 为________________时，①ABC 是等腰三角形．11．等腰三角形一腰上的高与另一腰所成的夹角为45°，则这个等腰三角形的顶角的度数为________________________________________________________________________．12．已知等腰三角形的一边长为9，另一边长为方程x 2－8x ＋15＝0的根，则该等腰三角形的周长为________．13．如图，已知①ABC 中，AB ＝AC ＝5，BC ＝8，若①ABC 沿射线BC 方向平移m 个单位得到①DEF ，顶点A ，B ，C 分别与D ，E ，F 对应，若以点A ，D ，E 为顶点的三角形是等腰三角形，则m 的值是__________．14．如图，在Rt①ABC 中，①C ＝90°，以①ABC 的一边为边画等腰三角形，使得它的第三个顶点在①ABC 的其他边上，则可以画出的不同的等腰三角形的个数最多为________．①直角三角形①15．一个直角三角形的两边长为4和5，则另一边长是__________．16．直角三角形的一个外角是115°，则该直角三角形的锐角是____________．17．如图，四边形ABCD 中，①BAD ＝①ADC ＝90°，AB ＝AD ＝22，CD ＝2，点P 在四边形ABCD的边上，若点P 到BD 的距离为32，则点P 的个数为______个． ,第17题图) ,第18题图)18．如图，在Rt①ABC 中，①ACB ＝90°，①B ＝30°，BC ＝3，点D 是BC 边上的一动点(不与点B ，C 重合)，过点D 作DE①BC 交AB 于点E ，将①B 沿直线DE 翻折，点B 落在射线BC 上的点F 处．当①AEF 为直角三角形时，则BD 的长为________．①相似三角形①19. 如图，在①ABC 中，AB ＝4，BC ＝8，点P 是AB 边的中点，点Q 是BC 边上一个动点，当BQ ＝________时，①BPQ 与①BAC 相似．五、与圆有关的分类讨论20．(1)半径为1的圆中有一条弦，如果它的长为3，那么这条弦所对的圆周角的度数等于________________________________________________________________________；(2)在半径为1的①O 中，弦AB ，AC 的长分别为3和2，则①BAC 的度数是____________；(3)已知圆内接①ABC 中．AB ＝AC ，圆心O 到BC 的距离为3 cm ，圆的半径为7 cm ，则腰长AB 为____________cm.21．已知在半径为10 cm的①O中，弦AB①CD，且AB＝16 cm，CD＝12 cm，则AB与CD 之间的距离为________cm.六、与图形位置有关的分类讨论22．如图，正方形ABCD的边长为6，M是AB的中点，P是BC边上的动点，连结PM，以点P为圆心，PM长为半径作①P.当①P与正方形ABCD的边相切时，BP的长为____________．,第22题图),第23题图) 23．如图，在Rt①ABC中，①C＝90°，AC＝3，BC＝4，点E，F分别在边BC，AC上，沿EF所在的直线折叠①C，使点C的对应点D恰好落在边AB上，若①EFC和①ABC相似，则AD的长为____________．24．平行四边形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，若E，F是线段AC上的两动点，分别从A，C以相同的速度1 cm/s向目标C，A运动，若BD＝12 cm，AC＝16 cm，在这个运动过程中，当运动时间t＝____________s时，四边形DEBF是矩形．25．如图，正方形ABCD的边长是18，点E是AB边上的一个动点，点F是CD边上一点，CF＝8，连接EF，把正方形ABCD沿EF折叠，使点A，D分别落在点A′，D′处，当点D′落在直线BC上时，线段AE的长为________．,转化与化归思想在研究数学问题时，我们通常是将未知的问题转化为已知的问题，将复杂的问题转化为简单的问题，将抽象的问题转化为具体的问题，将实际问题转化为数学问题．常见的几种类型：①把分式方程去分母转化为整式方程，把二元一次方程组“消元”为一元一次方程来解；①在求面积时，将不规则图形通过割补转化为规则图形；①求线段和的最小值(或路程最短)时，转化为两点之间，线段最短；①立体图形问题转化为平面图形．总之，都把陌生的问题转化为我们熟悉的问题来研究．1．若代数式(x ＋1)(x ＋2)(x ＋3)(x ＋4)的值为24，则x 的值可以是________(写一个不扣分)．2．已知a>b>0，且2a ＋1b ＋3b －a ＝0，则b a＝____________________________________. 3．如图，以直角三角形的两条直角边AC ，AB 为直径，向三角形内作半圆，两半圆交于点D ，CD ＝1，BD ＝3，则图中阴影部分的面积为________(平方单位)．,第3题图) ,第4题图)4．如图，在Rt①ABC 中，①ACB ＝90°，AC ＝BC ＝2，分别以AB ，AC 为直径作①O 1与①O 2，则图中阴影部分面积为________．5．如图，圆柱形玻璃杯高为24 cm 、底面周长为36 cm ，在杯内离杯底8 cm 的点C 处有一滴蜂蜜，此时一只蚂蚁正好在杯外壁，离杯上沿8 cm 与蜂蜜相对的点A 处，则蚂蚁到达蜂蜜的最短距离为______cm.,第5题图) ,第6题图)6．如图，在菱形ABCD 中，AC ＝8，BD ＝6.E ，P 分别是线段AB ，AC 上的任意一点，则PB ＋PE 的最小值为________．7．二次函数y ＝x 2＋bx 的图象如图，对称轴为x ＝－2.若关于x 的一元二次方程x 2＋bx －t ＝0(t 为实数)在－5<x<2的范围内有解，则t 的取值范围是____________．8．解方程：2x x －2－8x 2－2x＝1 ,数形结合思想著名数学家华罗庚说过，“数缺形时少直观，形少数时难入微”．数形结合思想：从几何直观的角度，利用几何图形的性质研究数量关系，寻求代数问题的解决方法(以形助数)，或利用数量关系来研究几何图形的性质，解决几何问题(以数助形)．数形结合思想使数量关系和几何图形巧妙地结合起来，使问题得以解决．1．如果有理数a ，b ，c 在数轴上的位置如图所示，则||b －1＋||a －c ＋||1－c －||a ＋b ＝________.2．用四张一样大小的长方形纸片拼成一个正方形ABCD ，如图所示，它的面积是75，其中AE ＝33，空白的地方是一个正方形，那么这个小正方形的周长为________．3．如图，从边长为(a ＋3)的正方形纸片中剪去一个边长为3的正方形，剩余部分沿虚线又剪拼成一个如图所示的长方形(不重叠，无缝隙)，则拼成的长方形的一条边长是a ，另一条边长是________．4．一次函数y ＝－32x ＋3的图象如图所示，当－3<y<3时，x 的取值范围是____________． ,第4题图) ,第5题图)5．如图，函数y 1＝6x与y 2＝x ＋b 交与点A ，B 两点，其中点A 的纵坐标是3，则满足y 2>y 1的x 的取值范围是____________________．6．如图，在平面直角坐标系中，O 为坐标一原点，A 是函数y ＝2x(x>0)图象上一点，过点A 作x 轴的平行线交函数y ＝k x(k>0，x>0)的图象于点B (点B 在点A 的右边)，若S ①AOB ＝2，则k 的值为______． ,第6题图) ,第7题图)7．快、慢车分别从相距180千米的甲、乙两地同时出发，沿同一路线匀速行驶，相向而行，快车到达乙地停留一段时间后，按原路原速返回甲地．慢车到达甲地比快车到达甲地早12小时，慢车速度是快车速度的一半．快、慢两车到达甲地后停止行驶，两车距各自出发地的路程y (千米)与所用时间x (小时)的函数图象如图所示．在快车从乙地返回甲地的过程中，当慢车恰好在快车前，且与快车相距80千米的路程时，慢车行驶的总的时间是________小时．8．如图，抛物线y ＝－x 2＋2x ＋m ＋1交x 轴于A ，B 两点，交y 轴于点C ，抛物线的顶点为D.下列三个判断：①当x>0时，y>0；①抛物线上有两点P (x 1，y 1)和Q (x 2，y 2)，若x 1<1<x 2，且x 1＋x 2>2，则y 1>y 2；①点C 关于抛物线对称轴的对称点为E ，点G 、F 分别在x 轴和y 轴上，当m ＝2时，四边形EDFG 周长的最小值为62，其中正确判断的序号是________．,方程与函数思想方程思想是指在求解数学问题时，从题中的已知量和未知量的数量关系中找到等量关系，先将等量关系转化为方程(组)，然后解方程(组)使问题得以解决．函数思想是指以函数概念为基础，研究题目中的变量关系，并建立函数关系的数学思想方法．函数思想主要体现对运动变化的动态事物的描述，体现了变量在研究客观事物中的重要作用．在解题过程中，通常需要两者之间的切换，要熟练掌握两者之间的联系．一、方程思想在代数问题中的应用1．若单项式a m －1b 2与12a 2b n 的和是单项式，则m n 的值是( ) A ．5 B ．6 C ．8 D ．92．当m ＝________时，函数y ＝－(m －2)xm 2－3＋(m －4)是关于x 的一次函数．3．若一个反比例函数的图象与直线y ＝2x －6的一个交点为A (m ，m －2)，则这个反比例函数的表达式是________________________________________________________________________．4．抛物线y ＝ax 2＋4x －2＝0(a≠0)与x 轴有交点，那么负整数a ＝________(一个即可)．二、方程思想在几何问题中的应用5．以①AOB 的顶点O 为端点引射线OC ，使①AOC①①BOC ＝5①4，若①AOB ＝27°，则①AOC＝________________________________________________________.6．如图，在①ABC中，①C＝90°，AC＝4，BC＝6，点D是BC上一动点，DE①AB，DF①BC，将①BDE沿直线DF翻折得到①B′E′D，连接AB′，AE′，当①AB′E′是直角三角形时，则BD＝__________.7．我国古代数学著作《九章算术》中有题如下：“今有勾五步，股十二步，问勾中容方几何？”其大意译为：如图，在Rt①ABC中，①ACB＝90°，BC＝5，AC＝12，四边形CDEF是Rt①ABC的内接正方形，点D，E，F分别在边BC，AB，AC上，则正方形CDEF边长为________．三、列方程解实际应用题8．元代《算学启蒙》里有这样一道题：“良马日行二百四十里，驽马日行一百五十里，驽马先行十二日，问良马几何追及之？”设良马x天能追上驽马，可列方程为________________________．9．某商品每件的标价是330元，按标价的八折销售时，仍可获利10%，设这种商品每件的进价为x 元，根据题意得，列方程是_________________________________________________________．10．我国古代的数学著作《孙子算经》中有这样一道题：今有鸡兔同笼，上有35头，下有94只脚，问鸡兔各有几何？译文：鸡和兔子圈在一个笼子中，共有头35个，脚94只，问鸡、兔各有多少只？设笼子里有鸡x只，兔y只，则可列方程组为____________．11．“绿水青山就是金山银山”．为了山更绿、水更清，某县大力实施生态修复工程，发展林业产业，确保到2021年实现全县森林覆盖率达到72.75%的目标．已知该县2019年全县森林覆盖率为69.05%，设从2019年起该县森林覆盖率年平均增长率为x，则可列方程________________________．12．(2019·江西)斑马线前“车让人”，不仅体现着一座城市对生命的尊重，也直接反映着城市的文明程度．如图，某路口的斑马线路段A－B－C横穿双向行驶车道，其中AB＝BC＝6米，在绿灯亮时，小明共用11秒通过AC，其中通过BC的速度是通过AB速度的1.2倍，求小明通过AB时的速度．设小明通过AB 时的速度是x 米/秒，根据题意列方程得：______________________________________________.四、函数与方程之间的联系13．已知抛物线y ＝ax 2－4ax －5a ，其中a<0，则不等式ax 2－4ax －5a>0的解集是____________．14．若二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的图象经过点(4，3)，且对称轴是x ＝1，则关于x 的方程ax 2＋bx ＋c ＝3的解为________________．15．平面直角坐标系中，过动点P (n ，0)且垂直于x 轴的直线与直线y ＝－3x －1及双曲线y ＝－2x的交点分别为B 和C ，当点B 位于点C 下方时，则n 的取值范围是________________．16．如图，在①ABC 中，AB ＝AC ＝5，BC ＝6，若P 是BC 边上任意一点，且满足①APM ＝①ABC ，PM 与AC 边的交点为M ，则线段AM 的最小值是________．参考答案[类型1]1. 5 2. 5 3. 4 4. 5 5. 68° 6.D[类型2]1.±6 2. 40或140或90 3. －2或22－2或－22－2. 4.A 5. －1或3或－376.y ＝2x ＋7或y ＝－2x ＋37.k ≤48. m ＞n 或 m ＜n9. 36°或72° 10. 50°或65°或80° 11. 45°或135° 12. 19或21或23 13. 5或8或25814. 7个 15. 3或41 16. 25°和65° 17. 2 18. 1或2 19. 1或4 20.(1)60°或120° (2)75°或15° (3)235或214 21. 14或2 22. 94或33 23. 95或5224. 2或14 25. 4或16 [类型3]1. 0或－5 2. －1＋32 3. 3－π3 4. π2 5. 30 6. 245 7. －4≤t<128．解：去分母得：2x 2－8＝x 2－2x ，即x 2＋2x －8＝0，分解因式得：(x －2)(x ＋4)＝0，解得：x ＝2或x ＝－4，经检验x ＝2是增根，分式方程的解为x ＝－4.[类型4]1. 2 2. 43 3. a ＋6 4. 0<x<45. －3<x<0或x>26. 67. 838. ② [类型5]1. D 2.－2 3. y ＝8x4.－25. 15°或135°6. 53或1337. 60178. 150×12＋150x ＝240x 9. 330×0.8－x ＝10%x 10. ⎩⎨⎧x ＋y ＝35，2x ＋4y ＝9411. 69.05%(1＋x )2＝72.75% 12. 6x ＋61.2x＝11 13. －1<x<5 14. x ＝－2或x ＝415. －1<n<0或n>23 16. 165。
九年级数学中考数学思想方法专题讲座二
九年级数学中考数学思想方法专题讲座二解题思想方法概论：化归学号______班级________姓名__________典型问题展示 问题1． .______23311的值为，则若bab a b ab a b a +++-=+问题2．已知484212=++xx ，求x 的值．问题3．已知,2=+y x 求222121y xy x ++的值．练习：计算（1） ）（）（526110132301-+-÷-（2）20092008331）（）（-⨯-；（3）20072008)2(3)2(-⨯+- （4）若522781+-=x x ，求x 的值． 问题4．（1）小学问题：两数之和为10，那么哪两个数之积最大？此时这两个数有何数量关系？（2）点P 是线段AB 上一点，则点P 在哪个位置时，使得P A ·PB 之积最大？为什么？（3）一根长为4的铁丝围成一个矩形，请问它的面积最大是多少？（4）有一个长为2的围栏，利用互相垂直的两堵墙， 围成一个矩形羊圈ABCD ，请问它最大面积是多少？（5）如图，利用原有的一面墙（图中虚线表示的部分）， 用长为4的围栏围成一个矩形羊圈ABCD ，求它的最大面积.l D CBA l 2l 1D C BADCBA（6）如图，从一张矩形纸片较短的边上找一点，过这个点剪下两个正方形，它们的边长分别为AE ，BE ．要剪下的两个正方形的面积和最小，点E 应选在何处？为什么？（7）有一块直角三角形铁皮，两条直角边长分别为3dm 和4dm ，需在其内部裁出一块面积尽量大的矩形铁皮ABCD ，在分割时，小明和小亮的意见出现了分歧． 小明：利用图①的分割方法，设矩形铁皮的一边AB =x dm ．①AD 边的长度如何表示？ ②当x 取何值时，矩形铁皮的面积最大？最大值是多少？小亮：利用图②的分割方法，他认为能裁出面积更大的矩形铁皮，你认为他的想法能否实现？为什么?（8）已知△ABC 的面积为4，则其内接矩形的最大面积为多少？问题5． 对于n （n 是大于2的自然数）个任意的正方形，能否通过若干次拼接，将其拼接成为一个正方形？请简要说明你的理由.图②。
中考数学专题复习数学思想方法问题
数学思想方法问题【专题点拨】整体思想：整体思想，就是研究和解决问题时，从问题的整体性质出发，突出对问题的整体结构的分析和改造，发现问题的整体结构特征，善于用“集成”的眼光，把某些式子或图形看成一个整体，把握它们之间的关联，进行有目的、有意识的整体处理，从而达到迅速解题的目的.分类讨论思想：当一个问题因为某种量或图形的情况不同而有可能引起问题的结果不同时，需要对这个量或图形的各种情况进行分类讨论.转化思想：转化思想亦可在狭义上称为划归思想.就是将待解决的或者难以解决的问题A 经过某种转化手段，转化为有固定解决模式的或者容易解决的问题B，通过解决问题B来解决问题A的方法.数学建模思想：为了描述一个实际现象更具科学性，逻辑性，客观性和可重复性，人们采用一种普遍认为比较严格的语言来描述各种现象，这种语言就是数学.使用数学语言描述的事物就称为数学模型.数学建模，其实就是把数学问题转化为用方程、不等式、函数等来解决的数学方法.数形结合思想：所谓数形结合，就是根据数与形之间的对应关系，通过数与形的相互转化来解决数学问题的思想，利用“数形结合”可使所要研究的问题化难为易，化繁为简.类比思想：类比思想是数学创造型思维中很重要的一种思想方法，它可以帮助学习者建立新旧知识联系的桥梁，实现知识的正迁移，将已学过的知识或已掌握的解题方法迁移到陌生的问题中，进而使问题得到解决.【解题策略】整体思想：分析问题整体结果→发现问题特征→找到相互关联→运用整体思想→化难为易解决问题分类讨论思想：分析问题有变化→探索不同分析思路→找到需分解的部分→运用分类讨论的思想→多种情况分析解决问题转化思想：分析问题有难度→转化手段和方法→从难到易转化→运用转化化归的思想→通过另一途径解决问题建模思想：分析抽象问题→借助模型思想→找到相同本质→运用数学建模的思想→采用方程或函数等解决问题数形结合思想：分析问题较抽象→转化为直观易分析→找到相对应图形→运用数形结合的思想→化难为易解决问题类比思想：分析问题有深度→借助新旧知识的关联→合理进行知识迁移→运用类比的思想→轻松解决疑难问题【典例解析】类型一：整体思想应用问题例题1：（2016·青海西宁·2分）已知x2+x﹣5=0，则代数式（x﹣1）2﹣x（x﹣3）+（x+2）（x﹣2）的值为 2 ．【考点】整式的混合运算—化简求值．【分析】先利用乘法公式展开，再合并得到原式=x2+x﹣3，然后利用整体代入的方法计算．【解答】解：原式=x2﹣2x+1﹣x2+3x+x2﹣4=x2+x﹣3，因为x2+x﹣5=0，所以x2+x=5，所以原式=5﹣3=2．故答案为2．变式训练1：（2015·菏泽）已知m是方程x2-x-1=0的一个根，求2+（）—2m m1（）的值.m m34++类型二：分类讨论思想问题例题2：（2016·贵州安顺·3分）已知实数x，y满足，则以x，y的值为两边长的等腰三角形的周长是（）A．20或16B．20C．16D．以上答案均不对【分析】根据非负数的意义列出关于x、y的方程并求出x、y的值，再根据x是腰长和底边长两种情况讨论求解．【解答】解：根据题意得，解得，（1）若4是腰长，则三角形的三边长为：4、4、8，不能组成三角形；（2）若4是底边长，则三角形的三边长为：4、8、8，能组成三角形，周长为4+8+8=20．故选B．【点评】本题考查了等腰三角形的性质、非负数的性质及三角形三边关系；解题主要利用了非负数的性质，分情况讨论求解时要注意利用三角形的三边关系对三边能否组成三角形做出判断．根据题意列出方程是正确解答本题的关键．变式训练2：（2016·江西·3分）如图是一张长方形纸片ABCD，已知AB=8，AD=7，E为AB上一点，AE=5，现要剪下一张等腰三角形纸片（△AEP），使点P落在长方形ABCD的某一条边上，则等腰三角形AEP的底边长是．类型三：转化思想问题例题3：（2016·浙江省绍兴市·4分））解分式方程： +=4．【考点】解分式方程．【分析】观察可得方程最简公分母为（x﹣1），将方程去分母转化为整式方程即可求解．【解答】解：方程两边同乘（x﹣1），得：x﹣2=4（x﹣1），整理得：﹣3x=﹣2，解得：x=，经检验x=是原方程的解，故原方程的解为x=．变式训练3：（2016·吉林·5分）解方程： =．类型四：数学建模问题例题4：（2016·四川宜宾）今年“五一”节，A、B两人到商场购物，A购3件甲商品和2件乙商品共支付16元，B购5件甲商品和3件乙商品共支付25元，求一件甲商品和一件乙商品各售多少元．设甲商品售价x元/件，乙商品售价y元/件，则可列出方程组．【考点】由实际问题抽象出二元一次方程组．【分析】分别利用“A购3件甲商品和2件乙商品共支付16元，B购5件甲商品和3件乙商品共支付25元”得出等式求出答案．【解答】解：设甲商品售价x元/件，乙商品售价y元/件，则可列出方程组：．故答案为：．变式训练4：（2016·四川眉山·3分）受“减少税收，适当补贴”政策的影响，某市居民购房热情大幅提高．据调查，2016年1月该市宏鑫房地产公司的住房销售量为100套，3月份的住房销售量为169套．假设该公司这两个月住房销售量的增长率为x，根据题意所列方程为．类型五：数形结合问题例题5：（2016·黑龙江齐齐哈尔·12分）有一科技小组进行了机器人行走性能试验，在试验场地有A、B、C三点顺次在同一笔直的赛道上，甲、乙两机器人分别从A、B两点同时同向出发，历时7分钟同时到达C点，乙机器人始终以60米/分的速度行走，如图是甲、乙两机器人之间的距离y（米）与他们的行走时间x（分钟）之间的函数图象，请结合图象，回答下列问题：（1）A、B两点之间的距离是70 米，甲机器人前2分钟的速度为95 米/分；（2）若前3分钟甲机器人的速度不变，求线段EF所在直线的函数解析式；（3）若线段FG∥x轴，则此段时间，甲机器人的速度为60 米/分；（4）求A、C两点之间的距离；（5）直接写出两机器人出发多长时间相距28米．【考点】一次函数的应用．【分析】（1）结合图象得到A、B两点之间的距离，甲机器人前2分钟的速度；（2）根据题意求出点F的坐标，利用待定系数法求出EF所在直线的函数解析式；（3）根据一次函数的图象和性质解答；（4）根据速度和时间的关系计算即可；（5）分前2分钟、2分钟﹣3分钟、4分钟﹣7分钟三个时间段解答．【解答】解：（1）由图象可知，A、B两点之间的距离是70米，甲机器人前2分钟的速度为：（70+60×2）÷2=95米/分；（2）设线段EF所在直线的函数解析式为：y=kx+b，∵1×（95﹣60）=35，∴点F的坐标为（3，35），则，解得，，∴线段EF所在直线的函数解析式为y=35x﹣70；（3）∵线段FG∥x轴，∴甲、乙两机器人的速度都是60米/分；（4）A、C两点之间的距离为70+60×7=490米；（5）设前2分钟，两机器人出发xs相距28米，由题意得，60x+70﹣95x=28，解得，x=，前2分钟﹣3分钟，两机器人相距28米时，35x﹣70=28，解得，x=，4分钟﹣7分钟，两机器人相距28米时，（95﹣60）x=28，解得，x=，+4=，答：两机器人出发或或相距28米．变式训练5：（2016·湖北荆州·8分）为更新果树品种，某果园计划新购进A、B两个品种的果树苗栽植培育，若计划购进这两种果树苗共45棵，其中A种苗的单价为7元/棵，购买B种苗所需费用y（元）与购买数量x（棵）之间存在如图所示的函数关系．（1）求y与x的函数关系式；（2）若在购买计划中，B种苗的数量不超过35棵，但不少于A种苗的数量，请设计购买方案，使总费用最低，并求出最低费用．类型六：数学类比问题例题6：（2016·浙江省湖州市）数学活动课上，某学习小组对有一内角为120°的平行四边形ABCD（∠BAD=120°）进行探究：将一块含60°的直角三角板如图放置在平行四边形ABCD所在平面内旋转，且60°角的顶点始终与点C重合，较短的直角边和斜边所在的两直线分别交线段AB，AD于点E，F（不包括线段的端点）．（1）初步尝试如图1，若AD=AB，求证：①△BCE≌△ACF，②AE+AF=AC；（2）类比发现如图2，若AD=2AB，过点C作CH⊥AD于点H，求证：AE=2FH；（3）深入探究如图3，若AD=3AB，探究得：的值为常数t，则t= ．【考点】几何变换综合题．【分析】（1）①先证明△ABC，△ACD都是等边三角形，再证明∠BCE=∠ACF即可解决问题．②根据①的结论得到BE=AF，由此即可证明．（2）设DH=x，由由题意，CD=2x，CH=x，由△ACE∽△HCF，得=由此即可证明．（3）如图3中，作CN⊥AD于N，CM⊥BA于M，CM与AD交于点H．先证明△CFN∽△CEM，得=，由AB•CM=AD•CN，AD=3AB，推出CM=3CN，所以==，设CN=a，FN=b，则CM=3a，EM=3b，想办法求出AC，AE+3AF即可解决问题．【解答】解；（1）①∵四边形ABCD是平行四边形，∠BAD=120°，∴∠D=∠B=60°，∵AD=AB，∴△ABC，△ACD都是等边三角形，∴∠B=∠CAD=60°，∠ACB=60°，BC=AC，∵∠ECF=60°，∴∠BCE+∠ACE=∠ACF+∠ACE=60°，∴∠BCE=∠ACF，在△BCE和△ACF中，∴△BCE≌△ACF．②∵△BCE≌△ACF，∴BE=AF，∴AE+AF=AE+BE=AB=AC．（2）设DH=x，由由题意，CD=2x，CH=x，∴AD=2AB=4x，∴AH=AD﹣DH=3x，∵CH⊥AD，∴AC==2x，∴AC2+CD2=AD2，∴∠ACD=90°，∴∠BAC=∠ACD=90°，∴∠CAD=30°，∴∠ACH=60°，∵∠ECF=60°，∴∠HCF=∠ACE，∴△ACE∽△HCF，∴==2，∴AE=2FH．（3）如图3中，作CN⊥AD于N，CM⊥BA于M，CM与AD交于点H．∵∠ECF+∠EAF=180°，∴∠AEC+∠AFC=180°，∵∠AFC+∠CFN=180°，∴∠CFN=∠AEC，∵∠M=∠CNF=90°，∴△CFN∽△CEM，∴=，∵AB•CM=AD•CN，AD=3AB，∴CM=3CN，∴==，设CN=a，FN=b，则CM=3a，EM=3b，∵∠MAH=60°，∠M=90°，∴∠AHM=∠CHN=30°，∴HC=2a，HM=a，HN=a，∴AM=a，AH=a，∴AC==a，AE+3AF=（EM﹣AM）+3（AH+HN﹣FN）=EM﹣AM+3AH+3HN﹣3FN=3AH+3HN﹣AM=a，∴==．故答案为．变式训练6：（2016·陕西）问题提出（1）如图①，已知△ABC，请画出△ABC关于直线AC对称的三角形．问题探究（2）如图②，在矩形ABCD中，AB=4，AD=6，AE=4，AF=2，是否在边BC、CD上分别存在点G、H，使得四边形EFGH的周长最小？若存在，求出它周长的最小值；若不存在，请说明理由．问题解决（3）如图③，有一矩形板材ABCD，AB=3米，AD=6米，现想从此板材中裁出一个面积尽可能大的四边形EFGH部件，使∠EFG=90°，EF=FG=米，∠EHG=45°，经研究，只有当点E、F、G分别在边AD、AB、BC上，且AF＜BF，并满足点H在矩形ABCD内部或边上时，才有可能裁出符合要求的部件，试问能否裁得符合要求的面积尽可能大的四边形EFGH部件？若能，求出裁得的四边形EFGH部件的面积；若不能，请说明理由．【能力检测】1.（2016·四川泸州）分式方程﹣=0的根是．2.（2016·黑龙江齐齐哈尔·3分）有一面积为5的等腰三角形，它的一个内角是30°，则以它的腰长为边的正方形的面积为．3.（2016·湖北荆门·3分）如图，已知点A（1，2）是反比例函数y=图象上的一点，连接AO并延长交双曲线的另一分支于点B，点P是x轴上一动点；若△PAB是等腰三角形，则点P的坐标是什么？．4.（2016·内蒙古包头）一幅长20cm、宽12cm的图案，如图，其中有一横两竖的彩条，横、竖彩条的宽度比为3：2．设竖彩条的宽度为xcm，图案中三条彩条所占面积为ycm2．（1）求y与x之间的函数关系式；（2）若图案中三条彩条所占面积是图案面积的，求横、竖彩条的宽度．5.（2016·陕西）昨天早晨7点，小明乘车从家出发，去西安参加中学生科技创新大赛，赛后，他当天按原路返回，如图，是小明昨天出行的过程中，他距西安的距离y（千米）与他离家的时间x（时）之间的函数图象．根据下面图象，回答下列问题：（1）求线段AB所表示的函数关系式；（2）已知昨天下午3点时，小明距西安112千米，求他何时到家？6.（2016河南）（1）发现：如图1，点A为线段BC外一动点，且BC=a，AB=b．填空：当点A位于时，线段AC的长取得最大值，且最大值为（用含a，b的式子表示）（2）应用：点A为线段BC外一动点，且BC=3，AB=1，如图2所示，分别以AB，AC为边，作等边三角形ABD和等边三角形ACE，连接CD，BE．①请找出图中与BE相等的线段，并说明理由；②直接写出线段BE长的最大值．（3）拓展：如图3，在平面直角坐标系中，点A的坐标为（2，0），点B的坐标为（5，0），点P为线段AB外一动点，且PA=2，PM=PB，∠BPM=90°，请直接写出线段AM长的最大值及此时点P的坐标．【参考答案】变式训练1：（2015·菏泽）已知m是方程x2-x-1=0的一个根，求2（）—2+m m1（）的值.++m m34【解析】把m代入方程求得m2-m=1，再把有关m的代数式化简，最后整体代入求出代数式的值.【解答】∵m是方程x2-x-1=0 的一个根，∴m2-m-1=0.即m2-m=1.m(m+1)2-m2(m+3)+4=m3+2m2+m-m3-3m2+4=-m2+m+4=-(m2-m)+4=-1+4=3.【点评】本题考查代数式的求值，解答这类问题要善于观察代数式的整体特征，先将条件进行转化，再把代数式化简，然后将化简结果转成与条件有关的式子进行计算.变式训练2：（2016·江西·3分）如图是一张长方形纸片ABCD，已知AB=8，AD=7，E为AB上一点，AE=5，现要剪下一张等腰三角形纸片（△AEP），使点P落在长方形ABCD的某一条边上，则等腰三角形AEP的底边长是．【考点】矩形的性质；等腰三角形的性质；勾股定理．【分析】分情况讨论：①当AP=AE=5时，则△AEP是等腰直角三角形，得出底边PE=AE=5即可；②当PE=AE=5时，求出BE，由勾股定理求出PB，再由勾股定理求出等边AP即可；③当PA=PE时，底边AE=5；即可得出结论．【解答】解：如图所示：①当AP=AE=5时，∵∠BAD=90°，∴△AEP是等腰直角三角形，∴底边PE=AE=5；②当PE=AE=5时，∵BE=AB﹣AE=8﹣5=3，∠B=90°，∴PB==4，∴底边AP===4；③当PA=PE时，底边AE=5；综上所述：等腰三角形AEP的对边长为5或4或5；故答案为：5或4或5．变式训练3：（2016·吉林·5分）解方程： =．【考点】解分式方程．【分析】分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解．【解答】解：去分母得：2x﹣2=x+3，解得：x=5，经检验x=5是分式方程的解．变式训练4：（2016·四川眉山·3分）受“减少税收，适当补贴”政策的影响，某市居民购房热情大幅提高．据调查，2016年1月该市宏鑫房地产公司的住房销售量为100套，3月份的住房销售量为169套．假设该公司这两个月住房销售量的增长率为x，根据题意所列方程为100（1+x）2=169 ．【分析】根据年1月该市宏鑫房地产公司的住房销售量为100套，3月份的住房销售量为169套．设该公司这两个月住房销售量的增长率为x，可以列出相应的方程．【解答】解：由题意可得，100（1+x）2=169，故答案为：100（1+x）2=169．【点评】本题考查由实际问题抽象出一元二次方程，解题的关键是明确题意，列出形应的方程．变式训练5：（2016·湖北荆州·8分）为更新果树品种，某果园计划新购进A、B两个品种的果树苗栽植培育，若计划购进这两种果树苗共45棵，其中A种苗的单价为7元/棵，购买B种苗所需费用y（元）与购买数量x（棵）之间存在如图所示的函数关系．（1）求y与x的函数关系式；（2）若在购买计划中，B种苗的数量不超过35棵，但不少于A种苗的数量，请设计购买方案，使总费用最低，并求出最低费用．【分析】（1）利用得到系数法求解析式，列出方程组解答即可；（2）根据所需费用为W=A种树苗的费用+B种树苗的费用，即可解答．【解答】解：（1）设y与x的函数关系式为：y=kx+b，把（20，160），（40，288）代入y=kx+b得：解得：∴y=+32．（2）∵B种苗的数量不超过35棵，但不少于A种苗的数量，∴∴≤x≤35，设总费用为W元，则W=+32+7（45﹣x）=﹣+347，∵k=﹣，∴y随x的增大而减小，∴当x=35时，W总费用最低，W最低=﹣×35+347=137（元）．【点评】此题主要考查了一次函数的应用，根据一次函数的增减性得出费用最省方案是解决问题的关键．变式训练6：（2016·陕西）问题提出（1）如图①，已知△ABC，请画出△ABC关于直线AC对称的三角形．问题探究（2）如图②，在矩形ABCD中，AB=4，AD=6，AE=4，AF=2，是否在边BC、CD上分别存在点G、H，使得四边形EFGH的周长最小？若存在，求出它周长的最小值；若不存在，请说明理由．问题解决（3）如图③，有一矩形板材ABCD，AB=3米，AD=6米，现想从此板材中裁出一个面积尽可能大的四边形EFGH部件，使∠EFG=90°，EF=FG=米，∠EHG=45°，经研究，只有当点E、F、G分别在边AD、AB、BC上，且AF＜BF，并满足点H在矩形ABCD内部或边上时，才有可能裁出符合要求的部件，试问能否裁得符合要求的面积尽可能大的四边形EFGH部件？若能，求出裁得的四边形EFGH部件的面积；若不能，请说明理由．【考点】四边形综合题．【分析】（1）作B关于AC 的对称点D，连接AD，CD，△ACD即为所求；（2）作E关于CD的对称点E′，作F关于BC的对称点F′，连接E′F′，得到此时四边形EFGH的周长最小，根据轴对称的性质得到BF′=BF=AF=2，DE′=DE=2，∠A=90°，于是得到AF′=6，AE′=8，求出E′F′=10，EF=2即可得到结论；（3）根据余角的性质得到1=∠2，推出△AEF≌△BGF，根据全等三角形的性质得到AF=BG，AE=BF，设AF=x，则AE=BF=3﹣x根据勾股定理列方程得到AF=BG=1，BF=AE=2，作△EFG关于EG的对称△EOG，则四边形EFGO是正方形，∠EOG=90°，以O为圆心，以EG为半径作⊙O，则∠EHG=45°的点在⊙O上，连接FO，并延长交⊙O于H′，则H′在EG的垂直平分线上，连接EH′GH′，则∠EH′G=45°，于是得到四边形EFGH′是符合条件的最大部件，根据矩形的面积公式即可得到结论．【解答】解：（1）如图1，△ADC即为所求；（2）存在，理由：作E关于CD的对称点E′，作F关于BC的对称点F′，连接E′F′，交BC于G，交CD于H，连接FG，EH，则F′G=FG，E′H=EH，则此时四边形EFGH的周长最小，由题意得：BF′=BF=AF=2，DE′=DE=2，∠A=90°，∴AF′=6，AE′=8，∴E′F′=10，EF=2，∴四边形EFGH的周长的最小值=EF+FG+GH+HE=EF+E′F′=2+10，∴在边BC、CD上分别存在点G、H，使得四边形EFGH的周长最小，最小值为2+10；（3）能裁得，理由：∵EF=FG=，∠A=∠B=90°，∠1+∠AFE=∠2+AFE=90°，∴∠1=∠2，在△AEF与△BGF中，，∴△AEF≌△BGF，∴AF=BG，AE=BF，设AF=x，则AE=BF=3﹣x，∴x2+（3﹣x）2=（）2，解得：x=1，x=2（不合题意，舍去），∴AF=BG=1，BF=AE=2，∴DE=4，CG=5，连接EG，作△EFG关于EG的对称△EOG，则四边形EFGO是正方形，∠EOG=90°，以O为圆心，以EG为半径作⊙O，则∠EHG=45°的点在⊙O上，连接FO，并延长交⊙O于H′，则H′在EG的垂直平分线上，连接EH′GH′，则∠EH′G=45°，此时，四边形EFGH′是要想裁得符合要求的面积最大的，∴C在线段EG的垂直平分线设，∴点F，O，H′，C在一条直线上，∵EG=，∴OF=EG=，∵CF=2，∴OC=，∵OH′=OE=FG=，∴OH′＜OC，∴点H′在矩形ABCD的内部，∴可以在矩形ABCD中，裁得符合条件的面积最大的四边形EFGH′部件，这个部件的面积=EG•FH′=××（+）=5+，∴当所裁得的四边形部件为四边形EFGH′时，裁得了符合条件的最大部件，这个部件的面积为（5+）m2．【能力检测】1.（2016·四川泸州）分式方程﹣=0的根是x=﹣1 ．【考点】分式方程的解．【分析】把分式方程转化成整式方程，求出整式方程的解，再代入x（x ﹣3）进行检验即可．【解答】解：方程两边都乘以最简公分母x（x﹣3）得：4x﹣（x﹣3）=0，解得：x=﹣1，经检验：x=﹣1是原分式方程的解，故答案为：x=﹣1．2.（2016·黑龙江齐齐哈尔·3分）有一面积为5的等腰三角形，它的一个内角是30°，则以它的腰长为边的正方形的面积为20和20 ．【考点】正方形的性质；等腰三角形的性质．【分析】分两种情形讨论①当30度角是等腰三角形的顶角，②当30度角是底角，分别作腰上的高即可．【解答】解：如图1中，当∠A=30°，AB=AC时，设AB=AC=a，作BD⊥AC于D，∵∠A=30°，∴BD=AB=a，∴•a•a=5，∴a2=20，∴△ABC的腰长为边的正方形的面积为20．如图2中，当∠ABC=30°，AB=AC时，作BD⊥CA交CA的延长线于D，设AB=AC=a，∵AB=AC，∴∠ABC=∠C=30°，∴∠BAC=120°，∠BAD=60°，在RT△ABD中，∵∠D=90°，∠BAD=60°，∴BD=a，∴•a•a=5，∴a2=20，∴△ABC的腰长为边的正方形的面积为20．故答案为20或20．3.（2016·湖北荆门·3分）如图，已知点A（1，2）是反比例函数y=图象上的一点，连接AO并延长交双曲线的另一分支于点B，点P是x轴上一动点；若△PAB是等腰三角形，则点P的坐标是什么？．【考点】反比例函数图象上点的坐标特征；等腰三角形的性质．【分析】由对称性可知O为AB的中点，则当△PAB为等腰三角形时只能有PA=AB或PB=AB，设P点坐标为（x，0），可分别表示出PA和PB，从而可得到关与x的方程，可求得x，可求得P点坐标．【解答】解：∵反比例函数y=图象关于原点对称，∴A、B两点关于O对称，∴O为AB的中点，且B（﹣1，﹣2），∴当△PAB为等腰三角形时有PA=AB或PB=AB，设P点坐标为（x，0），∵A（1，2），B（﹣1，﹣2），∴AB==2，PA=，PB=，当PA=AB时，则有=2，解得x=﹣3或5，此时P点坐标为（﹣3，0）或（5，0）；当PB=AB时，则有=2，解得x=3或﹣5，此时P点坐标为（3，0）或（﹣5，0）；综上可知P点的坐标为（﹣3，0）或（5，0）或（3，0）或（﹣5，0），故答案为：（﹣3，0）或（5，0）或（3，0）或（﹣5，0）．4.（2016·内蒙古包头）一幅长20cm、宽12cm的图案，如图，其中有一横两竖的彩条，横、竖彩条的宽度比为3：2．设竖彩条的宽度为xcm，图案中三条彩条所占面积为ycm2．（1）求y与x之间的函数关系式；（2）若图案中三条彩条所占面积是图案面积的，求横、竖彩条的宽度．【考点】一元二次方程的应用；根据实际问题列二次函数关系式．【分析】（1）由横、竖彩条的宽度比为3：2知横彩条的宽度为xcm，根据：三条彩条面积=横彩条面积+2条竖彩条面积﹣横竖彩条重叠矩形的面积，可列函数关系式；（2）根据：三条彩条所占面积是图案面积的，可列出关于x的一元二次方程，整理后求解可得．【解答】解：（1）根据题意可知，横彩条的宽度为xcm，∴y=20×x+2×12•x﹣2×x•x=﹣3x2+54x，即y与x之间的函数关系式为y=﹣3x2+54x；（2）根据题意，得：﹣3x2+54x=×20×12，整理，得：x2﹣18x+32=0，解得：x1=2，x2=16（舍），∴x=3，答：横彩条的宽度为3cm，竖彩条的宽度为2cm．5.（2016·陕西）昨天早晨7点，小明乘车从家出发，去西安参加中学生科技创新大赛，赛后，他当天按原路返回，如图，是小明昨天出行的过程中，他距西安的距离y（千米）与他离家的时间x（时）之间的函数图象．根据下面图象，回答下列问题：（1）求线段AB所表示的函数关系式；（2）已知昨天下午3点时，小明距西安112千米，求他何时到家？【考点】一次函数的应用．【分析】（1）可设线段AB所表示的函数关系式为：y=kx+b，根据待定系数法列方程组求解即可；（2）先根据速度=路程÷时间求出小明回家的速度，再根据时间=路程÷速度，列出算式计算即可求解．【解答】解：（1）设线段AB所表示的函数关系式为：y=kx+b，依题意有，解得．故线段AB所表示的函数关系式为：y=﹣96x+192（0≤x≤2）；（2）12+3﹣（7+）=15﹣=（小时），112÷=80（千米/时），÷80=80÷80=1（小时），3+1=4（时）．答：他下午4时到家．6.（2016河南）（1）发现：如图1，点A为线段BC外一动点，且BC=a，AB=b．填空：当点A位于CB的延长线上时，线段AC的长取得最大值，且最大值为a+b （用含a，b的式子表示）（2）应用：点A为线段BC外一动点，且BC=3，AB=1，如图2所示，分别以AB，AC为边，作等边三角形ABD和等边三角形ACE，连接CD，BE．①请找出图中与BE相等的线段，并说明理由；②直接写出线段BE长的最大值．（3）拓展：如图3，在平面直角坐标系中，点A的坐标为（2，0），点B的坐标为（5，0），点P为线段AB外一动点，且PA=2，PM=PB，∠BPM=90°，请直接写出线段AM长的最大值及此时点P的坐标．【考点】三角形综合题．【分析】（1）根据点A位于CB的延长线上时，线段AC的长取得最大值，即可得到结论；（2）①根据等边三角形的性质得到AD=AB，AC=AE，∠BAD=∠CAE=60°，推出△CAD≌△EAB，根据全等三角形的性质得到CD=BE；②由于线段BE长的最大值=线段CD的最大值，根据（1）中的结论即可得到结果；（3）连接BM，将△APM绕着点P顺时针旋转90°得到△PBN，连接AN，得到△APN是等腰直角三角形，根据全等三角形的性质得到PN=PA=2，BN=AM，根据当N在线段BA的延长线时，线段BN取得最大值，即可得到最大值为2+3；如图2，过P作PE⊥x轴于E，根据等腰直角三角形的性质即可得到结论．【解答】解：（1）∵点A为线段BC外一动点，且BC=a，AB=b，∴当点A位于CB的延长线上时，线段AC的长取得最大值，且最大值为BC+AB=a+b，故答案为：CB的延长线上，a+b；（2）①CD=BE，理由：∵△ABD与△ACE是等边三角形，∴AD=AB，AC=AE，∠BAD=∠CAE=60°，∴∠BAD+∠BAC=∠CAE+∠BAC，即∠CAD=∠EAB，在△CAD与△EAB中，，∴△CAD≌△EAB，∴CD=BE；②∵线段BE长的最大值=线段CD的最大值，由（1）知，当线段CD的长取得最大值时，点D在CB的延长线上，∴最大值为BD+BC=AB+BC=4；（3）连接BM，将△APM绕着点P顺时针旋转90°得到△PBN，连接AN，则△APN是等腰直角三角形，∴P N=PA=2，BN=AM，∵A的坐标为（2，0），点B的坐标为（5，0），∴OA=2，OB=5，∴AB=3，∴线段AM长的最大值=线段BN长的最大值，∴当N在线段BA的延长线时，线段BN取得最大值，最大值=AB+AN，∵AN=AP=2，∴最大值为2+3；如图2，过P作PE⊥x轴于E，∵△APN是等腰直角三角形，∴PE=AE=，∴OE=BO﹣﹣3=2﹣，∴P（2﹣，）．【点评】本题考查了全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，最大值问题，旋转的性质．正确的作出辅助线构造全等三角形是解题的关键．。
中考专题复习数学思想方法
3.映射模型（结构型）；如图，直线l是一条河，P，Q两地相距8千米， P，Q两地到l的距离分别为2千米，5千米，欲在l上的某点M处修建一个 水泵站，向P，Q两地供水，现有如下四种铺设方案，图中实线表示铺设 的管道，则铺设的管道最短的是()
【变式训练】1.(2015·东营中考)如图,一只蚂蚁沿着边长为2的正 方体表面从点A出发,经过3个面爬到点B,如果它运动的路径是最短的, 则AC的长为__________.
【解析】将正方体展开,右边与后面的正方形与前面正方形放在一个 面上,展开图如图所示,此时AB最短,∵△BCM∽△ACN,
MB MC，即 4 MC 2,即MC 2NC, AN NC 2 NC
大小关系用含字母,的不等式表示为_________.
图6
1.过点(0,-2)的直线
l1:y1=kx+b(k≠0)与直线l2:y2=x+1交于点P(2,m). (1)写出使得y1<y2的x的取值范围. (2)求点P的坐标和直线l1的解析式.
2.如图,边长为 a,b 的矩形的周长为 14,面积为 10,则 a2b+ab2 的值为 ( ) A.140 B.70 C.35 D.24
（2）数形结合思想
由数想形
1.如图
6，直线 l
:
y
2 3
x
3与直线
y
a
(
a
为常数)的交点在第四象限，则
a 可能在(
)
A.1 a 2
B. 2 a 0
见形C思. 数3 a 2 D. 10 a 4
2.有如图所示的两种广告牌,其中图是由两个等腰直角三角形构成的,
中考数学复习专题讲座(精编含详细参考答案)：数学思想方法(2)
2013年中考数学复习专题讲座：数学思想方法（2）一、中考专题诠释数学思想方法是指对数学知识和方法形成的规律性的理性认识，是解决数学问题的根本策略。
数学思想方法揭示概念、原理、规律的本质，是沟通基础知识与能力的桥梁，是数学知识的重要组成部分。
数学思想方法是数学知识在更高层次上的抽象和概括，它蕴含于数学知识的发生、发展和应用的过程中。
抓住数学思想方法，善于迅速调用数学思想方法，更是提高解题能力根本之所在．因此，在复习时要注意体会教材例题、习题以及中考试题中所体现的数学思想和方法，培养用数学思想方法解决问题的意识．二、解题策略和解法精讲数学思想方法是数学的精髓，是读书由厚到薄的升华，在复习中一定要注重培养在解题中提炼数学思想的习惯，中考常用到的数学思想方法有：整体思想、转化思想、函数与方程思想、数形结合思想、分类讨论思想等．在中考复习备考阶段，教师应指导学生系统总结这些数学思想与方法，掌握了它的实质，就可以把所学的知识融会贯通，解题时可以举一反三。
三、中考考点精讲考点四：方程思想从分析问题的数量关系入手，适当设定未知数，把所研究的数学问题中已知量和未知量之间的数量关系，转化为方程或方程组的数学模型，从而使问题得到解决的思维方法，这就是方程思想。
用方程思想解题的关键是利用已知条件或公式、定理中的已知结论构造方程(组)。
这种思想在代数、几何及生活实际中有着广泛的应用。
例1 （2012•广东）据媒体报道，我国2009年公民出境旅游总人数约5000万人次，2011年公民出境旅游总人数约7200万人次，若2010年、2011年公民出境旅游总人数逐年递增，请解答下列问题：（1）求这两年我国公民出境旅游总人数的年平均增长率；（2）如果2012年仍保持相同的年平均增长率，请你预测2012年我国公民出境旅游总人数约多少万人次？考点：一元二次方程的应用。
专题：增长率问题。
分析：（1）设年平均增长率为x．根据题意2010年公民出境旅游总人数为 5000（1+x）万人次，2011年公民出境旅游总人数 5000（1+x）2 万人次．根据题意得方程求解；（2）2012年我国公民出境旅游总人数约7200（1+x）万人次．解答：解：（1）设这两年我国公民出境旅游总人数的年平均增长率为x．根据题意得5000（1+x）2 =7200．解得 x1 =0.2=20%，x2 =﹣2.2 （不合题意，舍去）．答：这两年我国公民出境旅游总人数的年平均增长率为20%．（2）如果2012年仍保持相同的年平均增长率，则2012年我国公民出境旅游总人数为 7200（1+x）=7200×120%=8640万人次．答：预测2012年我国公民出境旅游总人数约8640万人次．点评：方程是解决应用题、实际问题和许多方面的数学问题的重要基础知识，应用范围非常广泛。
中考数学全程大一轮复习课件专题1 数学思想方法
根据结论①可知，b＝3a，∴5a－2b＋c＝5a－6a＋c＝－a＋c，观察图象可知，a<0，
c>0，∴5a－2b＋c＝－a＋c>0，结论③正确；
根据抛物线的轴对称性可知，抛物线与 x 轴的右交点在原点与点(1,0)之间(不含这
两点)，∴当 x＝1 时，y＝a＋b＋c<0.∵a＝13b，∴43b＋c<0，∴4b＋3c<0，∴结论
2 10 点 B.如果它运动的路径是最短的，那么 AC 的长为 3 .
图3
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【解析】 如答图，将正方体展开，使右面、后面的正方形与前面的正方形在一 个面上，此时 AB 最短．
例 2 答图 易得△BCM∽△ACN，∴BAMN ＝MNCC，
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即42＝MNCC＝2，∴MC＝2NC. ∴CN＝13MN＝23. 在 Rt△ACN 中，根据勾股定理，得 AC＝ AN2＋CN2＝2 310. 【点悟】 本题采用了将立体图形向平面图形转化的方法，这样能使复杂的问题 简单化，直观明了．
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【变式训练】
1．(2019·凉山)二次函数 y＝ax2＋bx＋c 的部分图象如图 2 所示，有以下结论：①
3a－b＝0；②b2－4ac>0；③5a－2b＋c>0；④4b＋3c>0.其中错误结论的个数是( A )
A．1
B．2
C．3
D．4
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图2
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【解析】 根据对称轴－2ba＝－32，得 b＝3a，故可得 3a－b＝0，∴结论①正确； 由于抛物线与 x 轴有两个不同的交点，∴b2－4ac>0，结论②正确；
解：(1)如答图，过点 M 作 MN⊥BO 于点 N.
中考复习数学思想方法篇(一线教师精编教师版可编辑有详细解析)
数学方法篇一：配方法把代数式通过凑配等手段，得到完全平方式，再运用完全平方式是非负数这一性质达到增加问题的条件的目的，这种解题方法叫配方法．【范例讲析】1．配方法在确定二次根式中字母的取值范围的应用在求二次根式中的字母的取值范围时，经常可以借助配方法，通过平方项是非负数的性质而求解。
例1、求二次根式322+-a a 中字母a 的取值范围分析：根据二次根式的定义，必须被开方数大于等于零，再观察被开方数可以发现可以利用配方法求得。
解：2)1(2)12(32222+-=++-=+-a a a a a因为无论a 取何值，都有0)1(2≥-a 。
所以a 的取值范围是全体实数。
点评：经过配方，观察被开方数，然后利用被开方数必须大于等于零求得所需要的解。
2．配方法在化简二次根式中的应用在二次根式的化简中，也经常使用配方法。
例2、化简526-分析：题中含有两个根号，化简比较困难，但根据题目的结构特征，可以发现526-可以写成2)15(1525-=+-，从而使题目得到化简。
解：1 5 )1 5 ( 1 52 ) 5 ( 1 5 2 5 5 2 6 2 2 2 - = - = + - = + - = - 点评：题型b a 2+一般可以转化为y x y x +=+2)(（其中⎩⎨⎧==+b xy ay x ）来化简。
3．配方法在证明代数式的值为正数、负数等方面的应用在证明代数式的值为正数或负数，配方法也是一种重要的方法。
例3、不管x 取什么实数，322-+-x x 的值一定是个负数，请说明理由。
分析：本题主要考查利用配方法说明代数式的值恒小于0，说明一个二次三项式恒小于0的方法是通过配方将二次三项式化成“2a -+负数”的形式。
解：2)1(31)12(3)2(322222---=-++--=---=-+-x x x x x x x ∵0)1(2≤--x ， ∴02)1(2<---x 。
因此，无论x 取什么实数，322-+-x x 的值是个负数。
中考数学复习专题 解题之金钥匙——数学思想方法
第二部分
专题八 解题之金钥匙——数学思想方法
-10-
方法1
方法2
方法3
方法4
方法5
方法6
方法4 数形结合思想
典例4 (2016·亳州模拟)数形结合是数学中常用的思想方法,试运用这一思想方法确定函
数y=x2+1与y= 的交点的横坐标x0的取值范围是 ( )
A.0<x0<1
B.1<x0<2
C.2<x0<3
第二部分
专题八 解题之金钥匙——数学思想方法
-6-
方法1
方法2
方法3
方法4
方法5
方法6
方法2 分类思想
典例2 (2016·哈尔滨)在等腰直角三角形ABC中,∠ACB=90°,AC=3,点P为边BC的三等分பைடு நூலகம்
点,连接AP,则AP的长为
.
【解析】如图 1,∵∠ACB=90°,AC=BC=3,∵PB=
【答案】
形,使点B落在AC的中点D处,折痕为EF,那么BF的长为
cm.
第二部分
专题八 解题之金钥匙——数学思想方法
-12-
方法1
方法2
方法3
方法4
方法5
方法6
【解析】本题考查翻折变换(折叠问题).过点D作DH⊥BC于点H,过点A作AN⊥BC于点
N,∴AN∥DH,∵AB=AC,∴∠B=∠C=30°,根据折叠可
-17-
1234567
【解析】第一步:建立平面直角坐标系,标出A,B两点,并利用轴对称性质求出A',B'的坐标 分别为A'(3,2),B'(6,5),这是依据轴对称的性质求得点的坐标(有序实数对),运用了数形结合 的数学思想;第二步:设直线A'B'的解析式为y=kx+b(k≠0),并将A'(3,2),B'(6,5)代入y=kx+b中,
2013年中考数学复习专题讲座六：数学思想方法(二)(含详细参考答案)
2013年中考数学复习专题讲座六：数学思想方法（二）一、中考专题诠释数学思想方法是指对数学知识和方法形成的规律性的理性认识，是解决数学问题的根本策略。
数学思想方法揭示概念、原理、规律的本质，是沟通基础知识与能力的桥梁，是数学知识的重要组成部分。
数学思想方法是数学知识在更高层次上的抽象和概括，它蕴含于数学知识的发生、发展和应用的过程中。
抓住数学思想方法，善于迅速调用数学思想方法，更是提高解题能力根本之所在．因此，在复习时要注意体会教材例题、习题以及中考试题中所体现的数学思想和方法，培养用数学思想方法解决问题的意识．二、解题策略和解法精讲数学思想方法是数学的精髓，是读书由厚到薄的升华，在复习中一定要注重培养在解题中提炼数学思想的习惯，中考常用到的数学思想方法有：整体思想、转化思想、函数与方程思想、数形结合思想、分类讨论思想等．在中考复习备考阶段，教师应指导学生系统总结这些数学思想与方法，掌握了它的实质，就可以把所学的知识融会贯通，解题时可以举一反三。
三、中考考点精讲考点四：方程思想从分析问题的数量关系入手，适当设定未知数，把所研究的数学问题中已知量和未知量之间的数量关系，转化为方程或方程组的数学模型，从而使问题得到解决的思维方法，这就是方程思想。
用方程思想解题的关键是利用已知条件或公式、定理中的已知结论构造方程(组)。
这种思想在代数、几何及生活实际中有着广泛的应用。
例1 （2012•广东）据媒体报道，我国2009年公民出境旅游总人数约5000万人次，2011年公民出境旅游总人数约7200万人次，若2010年、2011年公民出境旅游总人数逐年递增，请解答下列问题：（1）求这两年我国公民出境旅游总人数的年平均增长率；（2）如果2012年仍保持相同的年平均增长率，请你预测2012年我国公民出境旅游总人数约多少万人次？考点：一元二次方程的应用。
专题：增长率问题。
分析：（1）设年平均增长率为x．根据题意2010年公民出境旅游总人数为5000（1+x）万人次，2011年公民出境旅游总人数5000（1+x）2 万人次．根据题意得方程求解；（2）2012年我国公民出境旅游总人数约7200（1+x）万人次．解答：解：（1）设这两年我国公民出境旅游总人数的年平均增长率为x．根据题意得5000（1+x）2 =7200．解得x1 =0.2=20%，x2 =﹣2.2 （不合题意，舍去）．答：这两年我国公民出境旅游总人数的年平均增长率为20%．（2）如果2012年仍保持相同的年平均增长率，则2012年我国公民出境旅游总人数为7200（1+x）=7200×120%=8640万人次．答：预测2012年我国公民出境旅游总人数约8640万人次．点评：方程是解决应用题、实际问题和许多方面的数学问题的重要基础知识，应用范围非常广泛。
2013年浙江省宁波地区中考数学复习专题讲座六：数学思想方法(二)(含详细参考答案)
2013年中考数学复习专题讲座六：数学思想方法（二）一、中考专题诠释数学思想方法是指对数学知识和方法形成的规律性的理性认识，是解决数学问题的根本策略。
数学思想方法揭示概念、原理、规律的本质，是沟通基础知识与能力的桥梁，是数学知识的重要组成部分。
数学思想方法是数学知识在更高层次上的抽象和概括，它蕴含于数学知识的发生、发展和应用的过程中。
抓住数学思想方法，善于迅速调用数学思想方法，更是提高解题能力根本之所在．因此，在复习时要注意体会教材例题、习题以及中考试题中所体现的数学思想和方法，培养用数学思想方法解决问题的意识．二、解题策略和解法精讲数学思想方法是数学的精髓，是读书由厚到薄的升华，在复习中一定要注重培养在解题中提炼数学思想的习惯，中考常用到的数学思想方法有：整体思想、转化思想、函数与方程思想、数形结合思想、分类讨论思想等．在中考复习备考阶段，教师应指导学生系统总结这些数学思想与方法，掌握了它的实质，就可以把所学的知识融会贯通，解题时可以举一反三。
三、中考考点精讲考点四：方程思想从分析问题的数量关系入手，适当设定未知数，把所研究的数学问题中已知量和未知量之间的数量关系，转化为方程或方程组的数学模型，从而使问题得到解决的思维方法，这就是方程思想。
用方程思想解题的关键是利用已知条件或公式、定理中的已知结论构造方程(组)。
这种思想在代数、几何及生活实际中有着广泛的应用。
例1 （2012•广东）据媒体报道，我国2009年公民出境旅游总人数约5000万人次，2011年公民出境旅游总人数约7200万人次，若2010年、2011年公民出境旅游总人数逐年递增，请解答下列问题：（1）求这两年我国公民出境旅游总人数的年平均增长率；（2）如果2012年仍保持相同的年平均增长率，请你预测2012年我国公民出境旅游总人数约多少万人次？考点：一元二次方程的应用。
专题：增长率问题。
分析：（1）设年平均增长率为x．根据题意2010年公民出境旅游总人数为 5000（1+x）万人次，2011年公民出境旅游总人数 5000（1+x）2 万人次．根据题意得方程求解；（2）2012年我国公民出境旅游总人数约7200（1+x）万人次．解答：解：（1）设这两年我国公民出境旅游总人数的年平均增长率为x．根据题意得5000（1+x）2 =7200．解得 x1 =0.2=20%，x2 =﹣2.2 （不合题意，舍去）．答：这两年我国公民出境旅游总人数的年平均增长率为20%．（2）如果2012年仍保持相同的年平均增长率，则2012年我国公民出境旅游总人数为 7200（1+x）=7200×120%=8640万人次．答：预测2012年我国公民出境旅游总人数约8640万人次．点评：方程是解决应用题、实际问题和许多方面的数学问题的重要基础知识，应用范围非常广泛。
中考数学专题复习专题五数学思想方法
2014中考数学专题复习专题五数学思想方法（一）（整体思想、转化思想、分类讨论思想）一、中考专题诠释数学思想方法是指对数学知识和方法形成的规律性的理性认识，是解决数学问题的根本策略。
数学思想方法揭示概念、原理、规律的本质，是沟通基础知识与能力的桥梁，是数学知识的重要组成部分。
数学思想方法是数学知识在更高层次上的抽象和概括，它蕴含于数学知识的发生、发展和应用的过程中。
抓住数学思想方法，善于迅速调用数学思想方法，更是提高解题能力根本之所在•因此，在复习时要注意体会教材例题、习题以及中考试题中所体现的数学思想和方法，培养用数学思想方法解决问题的意识.二、解题策略和解法精讲数学思想方法是数学的精髓，是读书由厚到薄的升华，在复习中一定要注重培养在解题中提炼数学思想的习惯，中考常用到的数学思想方法有：整体思想、转化思想、函数与方程思想、数形结合思想、分类讨论思想等. 在中考复习备考阶段，教师应指导学生系统总结这些数学思想与方法，掌握了它的实质，就可以把所学的知识融会贯通，解题时可以举一反三。
三、中考考点精讲考点一：整体思想整体思想是指把研究对象的某一部分（或全部）看成一个整体，通过观察与分析，找出整体与局部的联系，从而在客观上寻求解决问题的新途径。
整体是与局部对应的，按常规不容易求某一个（或多个）未知量时，可打破常规，根据题目的结构特征，把一组数或一个代数式看作一个整体，从而使问题得到解决。
例 1 （2013?吉林）若a-2b=3，贝U 2a-4b-5= •思路分析：把所求代数式转化为含有（a-2b ）形式的代数式，然后将a-2b=3整体代入并求值即可. 解：2a-4b-5=2 （a-2b ）-5=2 X3-5=1 •故答案是：1 •点评：本题考查了代数式求值. 代数式中的字母表示的数没有明确告知，而是隐含在题设中，首先应从题设中获取代数式（a-2b ）的值，然后利用整体代入法”求代数式的值.对应训练1. （2013?福州）已知实数a , b 满足a+b=2 , a-b=5，则（a+b ）3? （a-b ）3的值是•1. 1000 考点二：转化思想转化思想是解决数学问题的一种最基本的数学思想。
2019中考数学练习专项讲座五-数学思想方法(一).doc
2019中考数学练习专项讲座五-数学思想方法(一)【一】中考专题诠释数学思想方法是指对数学知识和方法形成的规律性的理性认识，是解决数学问题的根本策略。
数学思想方法揭示概念、原理、规律的本质，是沟通基础知识与能力的桥梁，是数学知识的重要组成部分。
数学思想方法是数学知识在更高层次上的抽象和概括，它蕴含于数学知识的发生、发展和应用的过程中。
抓住数学思想方法，善于迅速调用数学思想方法，更是提高解题能力根本之所在、因此，在复习时要注意体会教材例题、习题以及中考试题中所表达的数学思想和方法，培养用数学思想方法解决问题的意识、【二】解题策略和解法精讲数学思想方法是数学的精髓，是读书由厚到薄的升华，在复习中一定要注重培养在解题中提炼数学思想的习惯，中考常用到的数学思想方法有：整体思想、转化思想、函数与方程思想、数形结合思想、分类讨论思想等、在中考复习备考阶段，教师应指导学生系统总结这些数学思想与方法，掌握了它的实质，就可以把所学的知识融会贯通，解题时可以举一反三。
【三】中考考点精讲考点一：整体思想整体思想是指把研究对象的某一部分〔或全部〕看成一个整体,通过观察与分析，找出整体与局部的联系，从而在客观上寻求解决问题的新途径。
整体是与局部对应的，按常规不容易求某一个〔或多个〕未知量时，可打破常规，根据题目的结构特征，把一组数或一个代数式看作一个整体，从而使问题得到解决。
例110、〔2018•德州〕，那么a+b等于〔〕A、3B、C、2D、1考点：解二元一次方程组。
810360专题：计算题。
分析：①+②得出4a+4b=12，方程的两边都除以4即可得出答案、解答：解：，∵①+②得：4a+4b=12，∴a+b=3、应选A、点评：此题考查了解二元一次方程组的应用，关键是检查学生能否运用整体思想求出答案，题目比较典型，是一道比较好的题目、运用整体思想方法解题，要有强烈的整体意识，要认真分析问题的条件或结论的表达形式、内部结构特征，不拘泥于常规，不着眼于问题的各个组成部分，从整体上观察，从整体上分析。
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2018年中考数学复习专题讲座：数学思想方法<2）一、中考专题诠释数学思想方法是指对数学知识和方法形成的规律性的理性认识，是解决数学问题的根本策略。
数学思想方法揭示概念、原理、规律的本质，是沟通基础知识与能力的桥梁，是数学知识的重要组成部分。
数学思想方法是数学知识在更高层次上的抽象和概括，它蕴含于数学知识的发生、发展和应用的过程中。
抓住数学思想方法，善于迅速调用数学思想方法，更是提高解题能力根本之所在．因此，在复习时要注意体会教材例题、习题以及中考试卷中所体现的数学思想和方法，培养用数学思想方法解决问题的意识．二、解题策略和解法精讲数学思想方法是数学的精髓，是读书由厚到薄的升华，在复习中一定要注重培养在解题中提炼数学思想的习惯，中考常用到的数学思想方法有：整体思想、转化思想、函数与方程思想、数形结合思想、分类讨论思想等．在中考复习备考阶段，教师应指导学生系统总结这些数学思想与方法，掌握了它的实质，就可以把所学的知识融会贯通，解题时可以举一反三。
三、中考考点精讲考点四：方程思想从分析问题的数量关系入手，适当设定未知数，把所研究的数学问题中已知量和未知量之间的数量关系，转化为方程或方程组的数学模型，从而使问题得到解决的思维方法，这就是方程思想。
用方程思想解题的关键是利用已知条件或公式、定理中的已知结论构造方程(组>。
这种思想在代数、几何及生活实际中有着广泛的应用。
例1 <2018•广东）据媒体报道，我国2009年公民出境旅游总人数约5000万人次，2018年公民出境旅游总人数约7200万人次，若2018年、2018年公民出境旅游总人数逐年递增，请解答下列问题：<1）求这两年我国公民出境旅游总人数的年平均增长率；<2）如果2018年仍保持相同的年平均增长率，请你预测2018年我国公民出境旅游总人数约多少万人次？考点：一元二次方程的应用。
专题：增长率问题。
分析：<1）设年平均增长率为x．根据题意2018年公民出境旅游总人数为 5000<1+x）万人次，2018年公民出境旅游总人数 5000<1+x）2 万人次．根据题意得方程求解；<2）2018年我国公民出境旅游总人数约7200<1+x）万人次．解答：解：<1）设这两年我国公民出境旅游总人数的年平均增长率为x．根据题意得5000<1+x）2 =7200．解得 x1 =0.2=20%，x2 =﹣2.2 <不合题意，舍去）．答：这两年我国公民出境旅游总人数的年平均增长率为20%．<2）如果2018年仍保持相同的年平均增长率，则2018年我国公民出境旅游总人数为 7200<1+x）=7200×120%=8640万人次．答：预测2018年我国公民出境旅游总人数约8640万人次．点评：方程是解决应用题、实际问题和许多方面的数学问题的重要基础知识，应用范围非常广泛。
很多数学问题，特别是有未知数的几何问题，就需要用方程或方程组的知识来解决。
具有方程思想就能够很好地求得问题中的未知元素或未知量，这对解决和计算有关的数学问题，特别是综合题，是非常需要的。
例2 <2018•桂林）李明到离家2.1千M的学校参加初三联欢会，到学校时发现演出道具还放在家中，此时距联欢会开始还有42分钟，于是他立即匀速步行回家，在家拿道具用了1分钟，然后立即匀速骑自行车返回学校．已知李明骑自行车到学校比他从学校步行到家用时少20分钟，且骑自行车的速度是步行速度的3倍．<1）李明步行的速度<单位：M/分）是多少？<2）李明能否在联欢会开始前赶到学校？考点：分式方程的应用。
专题：应用题。
分析：<1）设步行速度为xM/分，则自行车的速度为3xM/分，根据等量关系：骑自行车到学校比他从学校步行到家用时少20分钟可得出方程，解出即可；<2）计算出步行、骑车及在家拿道具的时间和，然后与42比较即可作出判断．解答：解：<1）设步行速度为xM/分，则自行车的速度为3xM/分，根据题意得：，解得：x=70，经检验x=70是原方程的解，即李明步行的速度是70M/分．<2）根据题意得，李明总共需要：．即李明能在联欢会开始前赶到．答：李明步行的速度为70M/分，能在联欢会开始前赶到学校．点评：此题考查了分式方程的应用，设出步行的速度，根据等量关系得出方程是解答本题的关键，注意分式方程一定要检验．考点五：函数思想函数思想是用运动和变化的观点，集合与对应的思想，去分析和研究数学问题中的数量关系，建立函数关系或构造函数，运用函数的图象和性质去分析问题、转化问题，从而使问题获得解决。
所谓函数思想的运用，就是对于一个实际问题或数学问题，构建一个相应的函数，从而更快更好地解决问题。
构造函数是函数思想的重要体现，运用函数思想要善于抓住事物在运动过程中那些保持不变的规律和性质。
例3<2018•十堰）某工厂计划生产A、B两种产品共50件，需购买甲、乙两种材料．生产一件A产品需甲种材料30千克、乙种材料10千克；生产一件B产品需甲、乙两种材料各20千克．经测算，购买甲、乙两种材料各1千克共需资金40元，购买甲种材料2千克和乙种材料3千克共需资金105元．<1）甲、乙两种材料每千克分别是多少元？<2）现工厂用于购买甲、乙两种材料的资金不超过38000元，且生产B产品不少于28件，问符合条件的生产方案有哪几种？<3）在<2）的条件下，若生产一件A产品需加工费200元，生产一件B产品需加工费300元，应选择哪种生产方案，使生产这50件产品的成本最低？<成本=材料费+加工费）考点：一次函数的应用；二元一次方程组的应用；一元一次不等式组的应用。
专题：应用题。
分析：<1）设甲材料每千克x元，乙材料每千克y元，根据购买甲、乙两种材料各1千克共需资金40元，购买甲种材料2千克和乙种材料3千克共需资金105元，可列出方程组，解方程组即可得到甲材料每千克15元，乙材料每千克25元；<2）设生产A产品m件，生产B产品<50﹣m）件，先表示出生产这50件产品的材料费为15×30m+25×10m+15×20<50﹣m）+25×20<50﹣m）=﹣100m+40000，根据购买甲、乙两种材料的资金不超过38000元得到﹣100m+40000≤38000，根据生产B产品不少于28件得到50﹣m≥28，然后解两个不等式求出其公共部分得到20≤m≤22，而m为整数，则m的值为20，21，22，易得符合条件的生产方案；<3）设总生产成本为W元，加工费为：200m+300<50﹣m），根据成本=材料费+加工费得到W=﹣100m+40000+200m+300<50﹣m）=﹣200m+55000，根据一次函数的性质得到W 随m的增大而减小，然后把m=22代入计算，即可得到最低成本．解答：解：<1）设甲材料每千克x元，乙材料每千克y元，则，解得，所以甲材料每千克15元，乙材料每千克25元；<2）设生产A产品m件，生产B产品<50﹣m）件，则生产这50件产品的材料费为15×30m+25×10m+15×20<50﹣m）+25×20<50﹣m）=﹣100m+40000，由题意：﹣100m+40000≤38000，解得m≥20，又∵50﹣m≥28，解得m≤22，∴20≤m≤22，∴m的值为20，21，22，共有三种方案，如下表：A<件）20 21 22B<件）30 29 28<3）设总生产成本为W元，加工费为：200m+300<50﹣m），则W=﹣100m+40000+200m+300<50﹣m）=﹣200m+55000，∵W 随m的增大而减小，而m=20，21，22，∴当m=22时，总成本最低，此时W=﹣200×22+55000=50600元．点评：函数思想是函数概念、性质等知识更高层次的提炼和概括，是一种策略性的指导方法。
运用函数思想通常是这样进行的：将问题转化为函数问题，建立函数关系，研究这个函数，得出相应的结论。
例4．<2018•广元）某乡镇要在生活垃圾存放区建一个老年活动中心，这样必须把1200m3的生活垃圾运走．<1）假如每天能运xm3，所需时间为y天，写出y与x之间的函数关系式；<2）若每辆拖拉机一天能运12m3，则5辆这样的拖拉机要用多少天才能运完？<3）在<2）的情况下，运了8天后，剩下的任务要在不超过6天的时间完成，那么至少需要增加多少辆这样的拖拉机才能按时完成任务？考点：反比例函数的应用。
分析：<1）根据每天能运xm3，所需时间为y天的积就是1200m3，即可写出函数关系式；<2）把x=12×5=60代入，即可求得天数；<3）首先算出8天以后剩余的数量，然后计算出6天运完所需的拖拉机数，即可求解．解答：解：<1）y=；<2）x=12×5=60，代入函数解读式得；y==20<天）；<3）运了8天后剩余的垃圾是1200﹣8×60=720m3．务要在不超过6天的时间完成则每天至少运720÷6=120m3，则需要的拖拉机数是：120÷12=10<辆），则至少需要增加10﹣5=5辆这样的拖拉机才能按时完成任务．点评：本题考查了反比例函数的应用，现实生活中存在大量成反比例函数的两个变量，解答该类问题的关键是确定两个变量之间的函数关系，然后利用实际意义求解．考点六：数形结合思想数形结合思想是指从几何直观的角度,利用几何图形的性质研究数量关系,寻求代数问题的解决方法(以形助数>,或利用数量关系来研究几何图形的性质,解决几何问题(以数助形>的一种数学思想. 数形结合思想使数量关系和几何图形巧妙地结合起来，使问题得以解决。
例5 <2018•襄阳）如图，直线y=k1x+b与双曲线y=相交于A<1，2）、B<m，﹣1）两点．<1）求直线和双曲线的解读式；<2）若A1<x1，y1），A2<x2，y2），A3<x3，y3）为双曲线上的三点，且x1＜x2＜0＜x3，请直接写出y1，y2，y3的大小关系式；<3）观察图象，请直接写出不等式k1x+b＞的解集．考点：反比例函数与一次函数的交点问题。
专题：计算题。
分析：<1）将点A<1，2）代入双曲线y=，求出k2的值，将B<m，﹣1）代入所得解读式求出m的值，再用待定系数法求出k1x和b的值，可得两函数解读式；<2）根据反比例函数的增减性在不同分支上进行研究；<3）求不等式k1x+b＞的解集，就是求k1x+b＞时自变量的x的范围，从图象上看：直线在双曲线上方，这是“以形助数”．根据A、B点的横坐标结合图象进行解答．解答：解：<1）∵双曲线y=经过点A<1，2），∴k2=2，∴双曲线的解读式为：y=．∵点B<m，﹣1）在双曲线y=上，∴m=﹣2，则B<﹣2，﹣1）．由点A<1，2），B<﹣2，1）在直线y=k1x+b上，得，解得，∴直线的解读式为：y=x+1．<2）∵在第三象限内y随x的增大而减小，故y2＜y1＜0，又∵y3是正数，故y3＞0，∴y2＜y1＜y3．<3）由图可知，x＞1或﹣2＜x＜0．点评：数形结合就是根据数学问题的条件和结论之间的内在联系，既分析其代数意义，又揭示其几何直观，使数量关系的精确刻划与几何图形的直观形象巧妙、和谐地结合在一起，充分利用这种结合，寻找解题思路，使问题化难为易、化繁为简，从而得到解决。