高三数学应用举例

解应用题的一般步骤是：
1、分析：理解题意，画出示意图 2、建模：把已知量与求解量集中在一个三角形中 3、求解：运用正弦定理和余弦定理，有顺序地解这 些三子角形，求得数学模型的解。 4、检验：检验所求的解是否符合实际意义，从而 得出实际问题的解。
实际问题→数学问题（三角形） →数学问题的解（解三角形）→实2 2 16 8 2 CD AC 16( 3 1) 2 2 sin15 sin15
∴山的高度为16( 3 1) 米。
例3 杆OA、OB所受的 力（精确到0.1）。
700 500
例4如图在海滨某城市附近海面有一台风。 据监测，台风中心位于城市A的南偏东300方 向、距城市300km的海面P处，并以20km/h的 速度向北偏西4500方向移动。如果台风侵袭 的范围为圆形区域，半径为120km。问几小 时后该城市开始受到台风的侵袭（精确到 0.1h）?
解：在△ABC中，∠ABC=30°， ∠ACB =135°， ∴∠CAB =180°－(∠ACB+∠ABC) =180°－(135°+30°)=15° 又BC=32, BC AC 由正弦定理 ,
sin BAC sin ABC
BC sin ABC 32sin 30 16 得 AC sin BAC sin15 sin15
AB2 CA2 CB2 2CA CB cos C 可求得AB的长。
②两点能相互看到，但不能到达。
需要测量BC的长、角B和角C的大小， 由三角形的内角和，求出角 A 然后 由正弦定理，
AB BC sin C sin A可求边AB的长。
③两点都不能到达 第一步:在△ACD中，测角∠DAC，
1.2应用举例 课件
解应用题中的几个角的概念
1、仰角、俯角的概念： 在测量时，视线与水平线 所成的角中，视线在水平线 上方的角叫仰角，在水平线 下方的角叫做俯角。如图：
2、方向角：指北或指南 方向线与目标方向线所成 的小于90°的水平角，叫 方向角，如图
测量问题：
1、水平距离的测量
①两点间不能到达， 又不能相互看到。 需要测量CB、CA的长和角C的大小，由余弦定理，
由正弦定理
AC DC sin ADC sin DAC
求出AC的长； 第二步:在△BCD中求出角∠DBC， 由正弦定理
BC DC sin BDC sin DBC
求出BC的长；
第三步:在△ABC中,由余弦定理
AB2 CA2 CB2 2CA CB cos C 求得AB的长。
例题1:要测量河对岸两地A、B之间的距离，在岸边 选取相距 100 3 米的C、D两地，并测得∠ADC=30°、 ∠ADB=45°、∠ACB=75°、∠BCD=45°，A、B、C、 D四点在同一平面上，求A、B两地的距离。
∴ AB 100 5
所求A、B两地间的距离为100 5 米。
测量垂直高度 1、底部可以到达的；
测量出角 C 和 BC 的长度，解直 角三角形即可求出AB的长。
2、底部不能到达的 测量边 CD ，测量∠ C 和∠ ADB ，
CD AB cot C cot ADB
例题2：在山顶铁塔上B 处测得地面上一点 A 的俯 角 60 ，在塔底 C 处测得点 A的俯角 45， 已知铁塔BC 部分高 32 米，求山高CD 。
DC sin BDC 100 3 sin 75 BC 200sin 75 sin DBC sin 60
在△ABC中由余弦定理， AB2 CA2 CB2 2CA CB cos C (100 3) 2 (200sin 75) 2
2 100 3 200sin 75 cos 75 5 1002
解：在△ACD中， ∠DAC=180°－（∠ACD+∠ADC） =180°－(75°+45°+30°)=30° ∴AC=CD= 100 3 在△BCD中， ∠CBD=180°－（∠BCD+∠BDC） =180°－（45°+45°+30°）=60°
BC DC 由正弦定理 sin BDC sin DBC ， 得
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哥的话，强忍悲痛左右搀扶娘站定。耿正伸手拉过已经泪流满面的李尚武，流着眼泪对娘说：“娘，这是李尚武，俺们新认的 小弟弟！”李尚武顾不得擦去热泪赶快弓身施礼：“见过义母！”看看义母呜咽着说不出话来，尚武擦把泪转身对愣在一旁的 耿兰施礼，说：“见过兰妹妹！”尚武亲切的问候，使悲喜交加的郭氏终于慢慢止住悲声，这才想起来自己可怜的小女儿已经 不认识自己的爹和哥哥姐姐了啊！于是赶快转身寻找耿兰，嘴里说着：“兰儿啊，亏得这小哥哥提醒，你还没有喊一声爹呢！” 但是，一直愣在一旁的耿兰，听了娘的话后既不喊“爹”，也不认“大哥”、“二哥”、“姐姐”，以及这个给她施礼了的小 哥哥，而是快速地转身往北跑去了„„望着小女儿急速飞跑的背影，郭氏的眼泪再次犹如决堤的水„„她哽咽着说：“她是告 诉姥爷和舅舅他们去了„„她总在盼望着爹和哥哥姐姐们早点儿回来，可这真回来了，她，她怎么就不会叫了哇„„”看着耿 兰转身往北跑去了，还愣着的董妞儿，也一转身跑回家里给娘报信去了！隔壁屋里正在做针线活儿的裴氏，听得声音，激动不 已地跑出来了。看到这望眼欲穿的父子们终于平安地回来了，裴氏高兴得喜泪涟涟，嘴里唠叨着：“他大伯啊，你们可回来了， 怎么一走就是，就是这么多年啊？娃儿们都好哇？正儿、英子、小直子，快过来让婶儿看看！”耿正赶快上来见过，流着眼泪 说：“婶儿，俺们都好着呢！你和俺憨叔、秀儿、青山、青海也都好哇！”裴氏撩起衣襟擦着不断涌流出来的泪水，说：“都 好，都很好！”看到耿正往自己家院门儿那边看，裴氏赶快说：“秀儿和青海都在粉坊里帮你憨叔晾粉丝呢！”耿老爹和耿英、 耿直也都转身过来见过。裴氏先抓住耿英的双手，说：“英子啊，你长成大人了！”再抬头看看耿直，擦把眼泪对耿老爹说： “瞧瞧小直子这个头，比他哥哥走得时候还高哩！”说着话，刘氏和董妞儿也出来了。还没有走到近前呢，刘氏的眼泪早已经 决了堤。她顾不得擦去满脸的泪水，径直冲到耿英面前，一把抓住她的双肩说：“英子啊，快让大娘看看！”耿英流着眼泪说： “大娘，俺好着呢！你和大伯、大壮和二壮也好哇？妞儿俺已经见过了！”刘氏眼泪滴滴答答地点着头说：“好，都好，都 好！”又转身拉着耿正和耿直的手，一迭声地说：“看看，这兄弟俩，这兄弟俩，大娘都快认不出来了哇！”耿正擦把眼泪说： “大娘，俺能认出你来！”耿直吸溜一下鼻子说：“大娘，俺也能！”放开兄弟俩的手，刘氏撩起衣襟擦擦泪脸，就开始埋怨 耿老爹了：“他叔哇，你怎么这时候了才带娃儿们回来啊！可怜的兰兰经常和妞儿说，她不记得你们是什么模样了啊！”转头 寻找着问：“兰兰和妞儿呢？”耿英说：“兰兰跑去镇里告