高等数学电子教案同济版第三章3-8

sin x ∵ lim =1≠ ∞ x →0 x 不是其图象的渐近线 ∴ x = 0 不是 其图象的渐近线 .
练习题
一、填空题： 填空题： 的水平渐近线为_______________. 1、曲线 y = e 的水平渐近线为_______________. 1 2、曲线 y = 的水平渐近线为______________ ， 的水平渐近线为______________， ______________ x −1 铅直渐近线为______________. 铅直渐近线为______________. 描出下列函数的图形： 二、描出下列函数的图形： 1 2 1、 y = x + ； x 2、 y 2 = x ( x − 1) 2 ； 3、 y = ln sin x . 1 三、求曲线 y = x + 的渐近线并画图 . x
补充点 :
A (−1,0), −
B (0,1),
3 5 C ( , ). 2 8
列表确定函数升降区间, 凹凸区间及极值点与拐点: 列表确定函数升降区间 凹凸区间及极值点与拐点
x
f ′( x ) f ′′( x )
f ( x)
1 ( −∞ ,− ) 3
+ −
1 − 3
1 1 (− , ) − 3 3
ϕ′( x ) = −
x e 2π
x2 − 2
.
令 ϕ′( x ) = 0,
令 ϕ′′( x ) = 0,
得驻点 x = 0,
得特殊点 x = −1, x = 1.
x →∞
∵ lim ϕ( x ) = lim
x →∞
1 e 2π
x2 − 2
= 0, 得水平渐近线 y = 0.
列表确定函数升降区间,凹凸区间及极值点与拐点 列表确定函数升降区间 凹凸区间及极值点与拐点: 凹凸区间及极值点与拐点
三、作图举例
4( x + 1) 例2 作函数 f ( x ) = − 2 的图形 . 2 x 解 D : x ≠ 0, 非奇非偶函数 且无对称性 非奇非偶函数,且无对称性 且无对称性.
f ′( x ) = − 4( x + 2) , 3 x f ′′( x ) = 8( x + 3) . 4 x
令 f ′( x ) = 0, 令 f ′′( x ) = 0,
二、图形描绘的步骤
利用函数特性描绘函数图形. 利用函数特性描绘函数图形
的定义域,对函数进行奇 确定函数 y = f ( x ) 的定义域 对函数进行奇 偶性、周期性、曲线与坐标轴交点等性态的讨论, 偶性、周期性、曲线与坐标轴交点等性态的讨论, 求出函数的一阶导数 f ' ( x )和二阶导数 f " ( x ) ;
0
极大值
− −
y
1 3
1 ( ,1) 3
1
(1,+∞ )
− +
0
极小值
+ +
32 27
拐点
1 16 ( , ) 3 27
0
B (0,1)
35 C( , ) 28
A (−1,0) −
−1
−
1 3
o
1 3
1
x
y = x3 − x2 − x + 1
四、小结
函数图形的描绘综合运用函数性态的研究,是导 函数图形的描绘综合运用函数性态的研究 是导 数应用的综合考察. 数应用的综合考察 y 凸的
注意: 注意
如果 f ( x) (1) lim 不存在; x →∞ x f ( x) ( 2) lim = a 存在, 但 lim[ f ( x ) − ax ] 不存在, x →∞ x →∞ x
可以断定 y = f ( x ) 不存在斜渐近线 .
2( x − 2)( x + 3) 例1 求 f ( x ) = 的渐近线. x −1
8( x x + ) ) 4( + 3 2 f ′′((x )) = − 4 3 . , x = xx
列表确定函数升降区间,凹凸区间及极值点和拐点 列表确定函数升降区间 凹凸区间及极值点和拐点: 凹凸区间及极值点和拐点
x ( −∞ ,−3) − 3 ( −3,−2) − 2 (−2,0) −
f ′( x )
1 x
练习题答案
2、 一、1、 y = 1 ； 2、 y = 0, x = 1 .
二、
y
y
−1
⋅
33 2 2
⋅
o
1 3 2
2 3 9
x
o
1 3
1
x
1图 图
2图 图
− 2π
⋅
−π
⋅
y
o
π
⋅ ⋅
y
2π
3π
⋅
x
3图 图
三、
斜渐近线 铅直渐近线 y= x; x =0.
⋅
o1
x
−1
⋅
2( x − 2)( x + 3) lim[ − 2 x] x →∞ x ( x − 1) 2( x − 2)( x + 3) − 2 x ( x − 1) = 4, = lim x →∞ x −1
∴ y = 2 x + 4 是曲线的一条斜渐近线 .
2( x − 2)( x + 3) f ( x) = 的两条渐近线如图 x −1
− x → x0
那么 x = x0 就是 y = f ( x ) 的一条铅直渐近线 .
1 , 例如 y = ( x + 2)( x − 3)
有铅直渐近线两条: 有铅直渐近线两条: x = −2,
x = 3.
2.水平渐近线 2.水平渐近线 (平行于 x 轴的渐近线 )
如果
x → +∞
lim f ( x ) = b 或 lim f ( x ) = b (b 为常数 )
lim f ( x ) = lim[
x →∞ x →∞
得驻点 x = −2,
得特殊点 x = −3.
4( x + 1) − 2] = −2, 得水平渐近线 y = −2; 2 x
4( x + 1) lim f ( x ) = lim[ − 2] = +∞ , 2 x →0 x →0 x 得铅直渐近线 x = 0.
f ′′( x ) f ( x)
0
不存在
(0,+∞ )
− −
0
拐点
(−3,− 26 ) 9
− +
0
+ +
− +
极值点
−3
间 断 点
补充点 : (1 − 3 ,0), (1 + 3 ,0);
A ( −1,−2), B (1,6), y
C ( 2,1).
作图
6Hale Waihona Puke B1− 3 − 2 −1
C
1 2
o
x
−2
D : ( −∞ ,+∞ ), 无奇偶性及周期性 无奇偶性及周期性.
f ′′( x ) = 2( 3 x − 1).
f ′( x ) = ( 3 x + 1)( x − 1),
令 f ′( x ) = 0,
令 f ′′( x ) = 0,
1 得驻点 x = − , 3
x = 1.
1 得特殊点 x = . 3
A
−3
4( x + 1) f ( x) = −2 2 x
1 例3 作函数 ϕ( x ) = e 2π
解
x2 − 2
的图形 .
D : ( −∞ ,+∞ ),
1 W : 0 < ϕ( x ) ≤ ≈ 0.4. 2π
, ϕ′′( x ) = − ( x + 1)( x − 1) e 2π
x2 − 2
偶函数, 图形关于y轴对称 轴对称. 偶函数 图形关于 轴对称
第三步
确定函数图形的水平、铅直渐近线、 确定函数图形的水平、铅直渐近线、斜渐 近线以及其他变化趋势; 近线以及其他变化趋势
第五步 描出与方程 f ' ( x ) = 0 和 f " ( x ) = 0 的根对
第四步
应的曲线上的点，有时还需要补充一些点， 应的曲线上的点，有时还需要补充一些点，再综 合前四步讨论的结果画出函数的图形. 合前四步讨论的结果画出函数的图形
第一步
f ' ( x ) = 0 和 f " ( x ) = 0 在函数定义 求出方程 域内的全部实根， 域内的全部实根，用这些根同函数的间断点或导数 不存在的点把函数的定义域划分成几个部分区间. 不存在的点把函数的定义域划分成几个部分区间
第二步
确定在这些部分区间内 f ' ( x ) 和 f " ( x ) 的符 号，并由此确定函数的增减性与极值及曲线的凹 凸与拐点（可列表进行讨论） 凸与拐点（可列表进行讨论） ；
x ( −∞ ,−1) − 1 (−1,0) 0 −
ϕ′( x ) ϕ′′( x )
ϕ( x )
(0,1)
1
(1,+∞ )
+ +
0
拐点
1 (−1, ) 2πe
+ −
y
1 2
0
极大值
− −
(1,
0
拐点
1 ) 2πe
− +
1 2π
−1
o
1
x
1 e ϕ( x) = 2π
x2 − 2
例4 作函数 f ( x ) = x 3 − x 2 − x + 1 的图形 . 解
一、渐近线
定义: 当曲线 y = f ( x) 上的一动点 P 沿着曲线 定义: