高等数学随堂讲义直角坐标系下二重积分的计算
D10_2(1)直角坐标下二重积分的计算法
(
x) a
y x
2
b
(
x)
(由下到上)
1(x), 2 (x) 为[a, b]区间上的连续函数,
a, b为常数.
y y 2(x) D
x o a y 1(x)b x
特点: 穿过区域D且垂直于x轴的直线与区域D的边界
至多有两个交点.
D
:
1
(
x) a
y x
b
2
(
x)
计算公式 令 f (x, y) 0
课堂练习6： 交换积分次序
2
2
1.
2
dx
x f x, ydy
dy f (x, y)dx
0
y
0
0
1
y
2.
1
dx
x f x, ydy
dy f (x, y)dx
0
y2
0
x
例5. 计算 D xyd , 其中D 是抛物线 所围成的闭区域.
及直线解:由dx源自 21 1 2x2 3x4
0
dx
2
x
2 3
x3
3 5
x5
1 0
32 15
课堂练习3：
二次积分形式
课堂练习4：
计算二重积分 D xdxdy
1 x y 1
0
1
例3 计算 I D y 1 x2 y2 d , 其中D 是直线 y＝x,
x＝-1, 及y＝1 所围的闭区域.
解. D 按X型解
b
dx
2 (x) f (x, y) dy
d
dy
2(y)
f (x, y) dx
a
1( x)
c
1(y)
直角坐标系下二重积分的计算
直角坐标系下二重积分的计算二重积分是数学中的一种重要的积分形式，常用于计算平面区域上的物理量的总量。
在直角坐标系下，二重积分的计算可以通过将被积函数表示为被积函数关于自变量的函数进行积分的累次积分方式来进行。
设在平面上有一个闭合区域D，我们要计算函数f(x,y)在该区域上的积分，即要计算二重积分∬Df(x,y)dxdy。
二重积分的计算可以通过转化为极坐标下的积分来简化。
设在直角坐标系下，点(x,y)的极坐标为(r,θ)，则x=r*cosθ，y=r*sinθ。
对于被积函数f(x,y)，若能将其表示为关于极坐标的函数f(r,θ)时，就可以方便地进行极坐标下的积分计算。
此时二重积分可以写为∬Df(r,θ)rdrdθ。
要在直角坐标系下计算二重积分，有两种常用的方法：直接法和间接法。
一、直接法：假设被积函数为f(x,y)，而积分区域D的边界方程为g(x,y)=0（边界方程可以是函数表达式或者隐函数表达式），那么二重积分可以按照以下步骤进行计算：1.求出区域D的边界方程g(x,y)=0，并确定积分区域D的内部。
2.将被积函数f(x,y)表示为关于x和y的函数。
3.对于区域D内部的任意一点(x,y)，可以用参数方程表示为x=x(t)，y=y(t)（通常情况下选取参数t为角度θ，即x=r*cosθ，y=r*sinθ）。
4.计算被积函数在参数方程的变换下的雅可比行列式，即计算J =dx/dt * dy/dt。
根据换元公式，二重积分可以转化为参数方程下的积分，如下所示：∬Df(x,y)dxdy = ∫∫f(x(t),y(t))*Jdtdt。
5.计算在变换后的区域D'上的二重积分：∬D'f(x(t),y(t))Jdtdt。
二、间接法：假设被积函数为f(x,y)，而积分区域D的边界方程为g(x,y)=0（边界方程可以是函数表达式或者隐函数表达式），那么二重积分可以按照以下步骤进行计算：1.求出区域D的边界方程g(x,y)=0，并确定积分区域D的内部。
二重积分的计算方法
二重积分的计算方法二重积分是微积分中的一个重要概念，用于计算平面上某个区域的面积、质量、质心等问题。
在本文中，我们将介绍二重积分的计算方法，包括直角坐标系下的二重积分和极坐标系下的二重积分。
一、直角坐标系下的二重积分计算方法在直角坐标系下，二重积分的计算通常通过累次积分的方式进行。
设有一个二元函数 f(x, y) 在某一闭区域 D 上连续，则 D 可以表示为水平投影区域 D' 在直角坐标系上的投影区域，并且可以将 D 划分成许多小的面积 dA。
二重积分的计算可以表示为：∬Df(x, y)dA = ∫∫Df(x, y)dxdy其中，D 表示闭区域 D 上的面积，f(x, y) 是定义在 D 上的二元函数，dA 表示面积元素。
根据累次积分的原理，上式可以改写为：∬Df(x, y)dxdy = ∫[a, b]∫[c(x), d(x)]f(x, y)dydx其中，[a, b] 表示 x 的取值范围，c(x) 和 d(x) 分别表示 D' 在 x 轴上的投影区间的下边界和上边界。
根据具体问题，我们可以选择先对 x进行积分，再对y 进行积分，或者先对y 进行积分，再对x 进行积分。
通过这样的累次积分方式，可以计算得到二重积分的结果。
二、极坐标系下的二重积分计算方法在某些问题中，使用极坐标系进行二重积分的计算更加方便。
对于闭区域 D 在极坐标系下的表示，我们可以将二重积分的计算公式改写为：∬Df(x, y)dA = ∫∫Df(r, θ)rdrdθ其中，D 表示闭区域 D 上的面积，f(r, θ) 是定义在 D 上的二元函数，dA 表示面积元素。
根据累次积分的原理，上式可以改写为：∬Df(r, θ)rdrdθ = ∫[α, β]∫[g(θ), h(θ)]f(r, θ)rdrdθ其中，[α, β] 表示θ的取值范围，g(θ) 和h(θ) 分别表示 D 在极坐标系下的投影区间的内半径和外半径。
同样地，通过选择先对θ进行积分，再对r进行积分，或者先对r进行积分，再对θ进行积分的方式，可以计算得到二重积分的结果。
直角坐标系下的二重积分的计算
Dx
所围成的闭区域.
解: 由被积函数可知, 先对 x 积分不行,
因此取D 为X – 型域 :
y yx
D
:
0 0
y x
x
D x o x
D
sin x
x
d
xd
y
0
sin x
x
dx
x
0 d
y
0 sin x dx
2
说明: 有些二次积分为了积分方便, 还需交换积分顺序. 17
备用题. 交换下列积分顺序
2
2
dx
1
x xyd y 1
2 1
1 2
xy2
x
1
d
x
2 y
yx
1
2
1
1 2
x3
1 2
x
dx
9 8
解法2. 将D看作Y–型区域, 则
D
:
y 1
x y
2 2
o
1 x 2x
I
2
dy
1
y2xyd x
2
1
1 2
x2
y
2d y
y
2 1
2
y
1 2
y3
dy 9 8
15
例9. 计算 D xyd , 其中D 是抛物线
3
y
4
y 4x x2
y x2
x
o2
11
例5.
化二重积分 D f (x, y)dxdy
y
为二次积分(两种积分次序)。
1 x 1y 1
(1) D {(x, y) | x 1, y 1}
D
1 o
1x
解：法1. 将D看作X–型区域,
重积分——直角坐标系下二重积分的计算
( x,
y)dx
dy
x 1( y) c
o
x 2( y)
x
通常写成： D
f
( x,
y)dxdy
cd
dy
2( y) 1( y)
f
( x,
y)dx
即 把 二 重 积 分 化 为先对x积分,
后对y积分 的二次积分.
计算二重积分需要注意以下几点： (1)在计算二重积分时，首先根据已知条件确定
积分区域 D 是 x-型还是 y-型区域，由此确定将
其中D是由直线
x
D
1,
x
2,
y
x,
y
3x
所围成.
解 : 先画区域 D 的图形 , y
y 3x
D 为 X--型区域
D
:
x 1
y
x
3
2
x
o 12
(x
y)dxdy
2
1
dx
3
x
x
(
x
y)dy
D
2
1
xy
1 2
y
2
3x x
dx
2
1
6
x
2dx
14
y x x
例4
计算二重积分
D
x2 y 2 dxdy
, 其中区域
1( x)
f
( x,
y)dy
z
z f (x, y)
根据截面面积已知的体积的公式 ,
则V ab A( x)dx
b
a
2 ( x) 1( x)
f
( x,
y)dy
dxx
b
a o A( x)
1(x) D
直角坐标系下二重积分的计算
直角坐标系下二重积分的计算二重积分是一个非常重要的数学概念，在多种实际的问题中都得到了广泛应用。
通过对直角坐标系下二重积分的计算，可以深入地理解这个概念的含义。
在本篇文章中，我们将对直角坐标系下二重积分的计算进行详细的讲解。
一、二重积分的定义在直角坐标系下，二重积分可以定义为：如果在平面上有一个区域D，在D中每一点(x,y)都有一个实数f(x,y)，那么二重积分可以表示为：∬Df（x,y）dxdy其中，dxdy是对x和y的区域积分。
从数学上来讲，二重积分可以看做是对一个多元函数在一个二维区域上的积分。
在物理学、工程学和经济学等领域中，二重积分可以用来计算物体的质量、电荷或利润等量。
二、二重积分的计算接下来，我们将具体介绍如何计算直角坐标系下的二重积分。
1、以矩形为例当区域D为矩形时，可以使用以下公式进行求解：∬Df（x,y）dxdy=∫ab[∫cd f（x,y）dy]dx其中，a、b、c和d是矩形的四个顶点。
从右到左积分是对x的积分，从下到上积分是对y的积分。
这个公式建立在f（x,y）在矩形D内是连续函数的条件下。
如果f（x,y）不连续，那么需要将图形分割成多个子区域，再对每个子区域使用上述公式求解。
如果积分上下限为定值，则直接将定值带入公式中进行计算。
2、以圆形为例当区域D为圆形时，可以使用以下公式进行求解：∬Df（x,y）dxdy=∫0R[∫0 2πf（rcosθ，rsinθ）rdθ]dr其中，R是圆的半径，r是极径。
θ是极角，取值从0到2π。
这个公式建立在f（x,y）在圆形D内是连续函数的条件下。
如果不连续，需要将圆形分割成多个区域，再对每个区域使用上述公式求解。
3、以三角形为例当区域D为三角形时，可以使用以下公式进行求解：∬Df（x,y）dxdy=∫a b[∫c(x)(d(x)−c(x))/b a f(x,y)dy]dx 其中，a和b是三角形底边的两个端点。
c（x）是左侧斜线的端点函数，d（x）是右侧斜线的端点函数。
高等数学 第二节 二重积分的计算
4
又解 :
1 ≤ x ≤ 2 D= 1 ≤ y ≤ x
2 x 1 1
y
y=x y =1
x=2
∫∫ x y d x d y = ∫ d x ∫ x y d y
D
9 ⌠ 1 3 1 . = x − x d x = 8 2 ⌡1 2
2
1
2
x
(∫
x
1
1 2 1 3 1 x y d y = xy = x − x) 2 2 2 y=1
1 y 1 x 0 0 0 0
(1,1) y=x
I = ∫ d y ∫ f ( x) f ( y)d x = ∫ d x ∫ f ( y) f ( x) d y
1 1
x
y
d x + 1 f ( x) x f ( y) d y d x 2 I = ∫ f ( x )∫ f ( y ) d y ∫0 ∫0 0 x 1 x f ( y) d y + 1 f ( y) d y d x = ∫ f ( x) ∫ ∫x 0 0 1 1 f ( y ) d y d x = A2 . A2 . = ∫ f ( x ) ∫ ∴ I= 13 0 0 2
≤
∫∫ e
D1
− x2 − y2
2R
x
18
∫∫e
D
−x2 − y2
dx dy ≤ ∫∫e
D2
−x2 − y2
dx dy ≤ ∫∫e
D 1
−x2 − y2
dx dy
又因为
∫∫ e
D2
− x2 − y2
d x dy = ∫
R − x2 R − y2 e dx ⋅ e dy 0 0
高等数学随堂课件直角坐标系下二重积分计算
§2直角坐标系下二重
积分的计算
二 重 积 分 一、在矩形区域上
计算的要点是把 它化为定积分. 这里有多种方法, 其中最常用的是 在直角坐标系下
二、二在重积x 型或 y 型 *点区算三二击以上域、重标题分分可二上在积直接的的重一前往对计计积般应内容算算分区域的上计
型或 y 型区域上二 重积分的计算
在一般区域上二重积分 的计算
定理21.9
f ( x , y) 在矩形区D域 [a , b][c , d] 且对每y个[c , d], 积分ab f (x , y)dx 存在, 则累次积分
d
b
db
也存在c dy, a f ( x , y)dx c a f ( x , y)dy dx
rs
s
Mikyk ,
k 1
mikykxi F (i )xi
Mikykxi , (2)
i1 k1
i 1
i1 k1
其中xi xi xi1 记 . ik 的对角线长d度ik ,为于是
§2直角坐标系下二重 积分的计算
在矩形区域上二重 积分的计算
在 x 型或 y 型区域上二 重积分的计算
在一般区域上二重积分 的计算
d
bd
a dxc f ( x , y)dy a c f ( x , y)dy dx
也存在且,
b
d
f ( x , y)d a dxc f ( x , y)dy . (1)
D
§2直角坐标系下二重 积分的计算
在矩形区域上二重 积分的计算
在 x 型或 y 型区域上二 重积分的计算
在一般区域上二重积分 的计算
f ( x , y)d .
1、二重积分在直角坐标系下的计算
一、二重积分计算公式 二、典型例题
一、二重积分的对称性：
y
1.D关于y轴对称.
(1) f (− x, y) = − f ( x, y),
ox
即f ( x, y)关于x是奇函数时, I = 0.
(2) f (− x, y) = f ( x, y), 即f ( x, y)关于x是偶函数,
(1 1 ） 8
y
y= x
1
O 12x
例4、计算∫∫ xydσ ,其中D是由直线=y 1= , x 2及
D
y = x所围成的闭区域 .
解法2： D是Y − 型的,
(1 1 ） 8
y
y= x
1
O 12x
例5：求 ∫∫ ( x2 + y)dxdy, 其中 D 是由抛物线 y = x2
D
和 x = y2 所围平面闭区域 .
X −区域 D :
D
a ≤ x ≤ b,ϕ1( x) ≤ y ≤ ϕ2 ( x),
y = ϕ1(x)
Oa
bx
2、Y − 型区域
特点:穿过D内部且垂直于y轴的直线 与D的边界相交不多于两点.
Y −区域 D :
c ≤ y ≤ d ,ψ 1( y) ≤ x ≤ ψ 2( y),
y d
x =ψ 2( y)
∫0 dx∫0
f ( x, y)dy + ∫1 dx∫0 f ( x, y)dy 的次序.
解：
1
2− y
∫ ∫ 原式 =
dy
0
1−
1− y2 f ( x, y)dx.
练习
2a
2ax
∫ ∫ 1、改变积分 dx 0
直角坐标系下二重积分的计算
直角坐标系下二重积分的计算在直角坐标系下，二重积分是对一个平面区域上的函数进行积分。
它的计算可以通过几何方法或者代数方法来进行，下面我们将介绍二重积分的计算方法以及一些相关的概念和定理。
一、二重积分的概念1.二重积分的定义设函数f(x, y)在平面区域D上有界，D在xOy平面上的投影为Ω，若Ω上有限个点构成的网格P={ (x1,y1), (x2,y2), ..., (xn,yn) }，其中每个小区域ΔS1,ΔS2,...,ΔSn（ΔSk的形状和大小可以不一样）,则每个ΔS_k上取点(xi_k)Σf(xi_k, yi_k)ΔS_k,称为这些和的极限Σf(xi_k, yi_k)ΔS_k,当格数无穷，网格直径趋于0时，如果此极限存在，则称此极限为平面区域D上函数f(x, y)的二重积分，记为∬D f(x, y)dxdy。
2.二重积分的几何意义从几何意义上理解，二重积分可以表示在平面区域D上函数f(x, y)的值在x轴与y轴所确定的平面区域上的总体积。
通过对平面区域上的小区域求和得到总体积。
3.二重积分的代数意义从代数意义上理解，二重积分可以将一个平面区域上的函数表示为两个单变量函数的积分，即先对y进行积分，再对x进行积分。
这种方法可以简化对复杂函数的积分运算。
二、计算二重积分的方法1.直角坐标系下的二重积分计算在直角坐标系下，二重积分的计算可以通过对x或y进行积分，然后再对另一个变量进行积分来进行。
具体而言，对于函数f(x, y)，可以先对y进行积分，再对x进行积分，或者先对x进行积分，再对y 进行积分。
这种计算方法又称为换序积分。
2.计算中间量的选择在进行二重积分计算时，为了简化计算，可以选择合适的中间量来进行变量替换。
例如，可以选择极坐标中的r和θ来替代x和y，从而简化计算过程。
3.区域的划分在计算二重积分时，需要将平面区域D划分为若干小区域，然后对每个小区域进行积分。
可以选择直线或者曲线来进行划分，也可以选择矩形或者圆形等形状的小区域来进行划分。
直角坐标系下二重积分的计算
直角坐标系下二重积分的计算二重积分是多元函数在二维平面上的积分运算，它可以用来求取平面区域内某个函数的平均值、质心、面积等。
在直角坐标系下进行二重积分的计算，需要掌握对被积函数的区域进行分割、积分区域的确定、积分的限制条件和积分计算的方法等基本步骤。
本文将从这些方面展开讨论，并通过数个例题来具体说明二重积分的计算过程。
一、二重积分的基本概念1.二重积分的定义二重积分是对二元函数在某个有界闭区域上进行积分运算，其定义如下：设函数f(x,y)在闭区域D上有界，且D的边界为简单闭曲线，记为∂D，D的面积为A(D)。
如果对于任意的(x,y)∈D，都有f(x,y)≥0，那么称f(x,y)在D上可积，记为∬D f(x,y) dxdy，其中dxdy表示对x和y的积分。
2.二重积分的几何意义二重积分在几何上表示为对某个闭区域D上的函数f(x,y)进行投影，并对其投影面积进行积分。
它可以用来求取区域D的面积、平均值、质心等几何量。
3.二重积分的存在性对于某个区域上的函数f(x,y)，其在区域D上的二重积分只有在f(x,y)有界、D为有界闭区域且f(x,y)在D上几乎处处连续时才存在。
二、二重积分的计算步骤1.区域的分割对于给定的被积函数在闭区域D上的二重积分运算，首先需要对D 进行分割，使得D可以用简单区域的边界和分割线将其分成若干小区域。
2.积分区域的确定确定积分区域后，需要找出在此积分区域上的极限条件，即确定积分的上下限。
3.积分的限制条件在确定积分区域和积分的上下限后，需要根据积分区域的特点建立积分的限制条件。
4.积分计算利用二重积分的性质和积分的定理来进行具体的积分计算。
以上是进行二重积分计算的基本步骤，下面通过数个例题来具体说明二重积分的计算过程。
例1：计算函数f(x,y)=x^2+y^2在区域D={(x,y)|0≤x≤1,0≤y≤1}上的二重积分。
解：根据给定的区域D，我们可以很容易地确定积分的上下限，并进行积分区域的分割。
二重积分在直角坐标系下的计算
x.
y
3 x 3 y
x 2y
1D
x
O2
2y
3
3 y
0 f ( x, y)dx 1 dy0 f ( x, y)dx
2
3 x
0 dx1 x f ( x, y)dy.
2
例
改变积分
2a
dx
0
2ax
2axx2 f ( x, y)dy (a 0)
的次序.
解
D : 2ax x2 y 2ax
0 x 2a
原式
1 1 y
dy f ( x, y)dx .
00
例 改变积分
y 1 x
y2 x y 2x x2
1
dx
2 x x2
f ( x, y)dy
2
dx
2x f ( x, y)dy的次序.
0
0
1
0
D1 : 0 y 2x x2 , D2 : 0 y 2 x, 0 x 1,
0 x 1, y 2x x2 , ( x 1)2 y2 1
x2e y2dxdy
1
dy
y x2e y2 dx
00
D
e1 y2 y3dy e1 y2 y2dy2 1 (1 2).
0
3
0
6
6e
例 求I 1dx 1ey 2dy .
0
x
解 ： 由 于 函 数e y2的 原 函 数 不 是 初 等 函 数， 所 以 这 个
二次积分无法直接积出. 注意到二重积分可以有两种
的直线与区域边界的交点不多于两个.
2） Y型区域
积分区域表示为：
c y d, 1( y) x 2( y).
的区域，称为Y型
直角坐标系下二重积分的计算(IV)
计算力矩
通过二重积分可以计算力矩，例 如由力函数F(x,y)和质心坐标所决 定的力矩。
计算电通量
通过二重积分可以计算电通量， 例如由电场强度E(x,y)和封闭曲面 S所围成的区域内的电通量。
在经济学中的应用
计算收益
通过二重积分可以计算在一定时间和空间范围内的经济收益，例 如由市场需求函数和价格函数所决定的收益。
直角坐标系下二重积 分的计算(IV)
• 二重积分的概念与性质 • 二重积分的计算方法 • 二重积分计算中的常见问题 • 二重积分的应用 • 习题与解答
目录
01
二重积分的概念与性质
二重积分的定义
二重积分是定积分在二维空间上的扩 展，表示一个函数在平面区域上的面 积。
二重积分的定义公式为：∫∫D f(x,y) dxdy，其中D表示平面区域，f(x,y)是 定义在D上的被积函数。
02
二重积分的计算方法
直角坐标系下二重积分的计算公式
二重积分的基本公式
∫∫D f(x,y) dxdy，其中D是平面上的一个有界区域，f(x,y)是定义在D上的被积函数。
计算步骤
首先确定积分区域D，然后选择合适的积分次序进行计算。
积分次序的选择
01
积分次序的选择对于计算二重积分至关重要，可以根据被积 函数的形式和积分区域的形状来选择合适的积分次序。
02
对于简单的矩形区域，可以选择先对x积分再对y积分，或者 先对y积分再对x积分。
03
对于更复杂的区域，可能需要采用更复杂的积分次序，或者 使用交换积分次序的方法。
交换积分次序的方法
平移坐标轴
Байду номын сангаас
01
通过平移坐标轴，将一个变量的积分区间变为另一个变量的积
3.2.1直角坐标系下二重积分的计算
积分之和就是所给二重积分的值.
D D1 D2 +D3 由区域可加性，得
y
D3
D1
f (x, y) d
D2
D
o
x
f x, yd f x, yd f x, yd
D1
D2
D3
求二重积分的方法： 将二重积分化为两个定积分（二次积分）
3.2.1(3) 计算二重积分的例题
将D分成两个区域 D 和D .
1
2
它们分别用以下不等式表示：
D2
D1 : x y x ,0 x 1 2 y x
D1
D2 : x 2 y x , 1 x 4
D
1 y x 2
xyd xyd xyd
D
D1
D2
xyd xyd xyd
x y
O
2x
例5 求两个底面半径相同的直交圆柱所围
立体的体积.
解 设圆柱底面半径为 R. 两个圆柱面方程
分别为 x 2 y 2 R 2 , x 2 z 2 R 2 .
利用对称性，所求立体的体积
V 8V1
x2 + y2 = R2
x2 + z2 = R 2
y
V1 zd R2 x2 d
例4 改变下列积分次序
2
2x
1 dx x f ( x , y)dy.
解 (从给出的积分限知)
y 2x y x
积分区域为
D
D:1 x 2, x y 2 x.
即D由四条直线
O
2
y x , y 2 x, x 1, x 2
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r b b d ||T || 0 i 1 i i a a c
§2直角坐标系下二重 积分的计算
在矩形区域上二重 积分的计算
在 x 型或 y 型区域上二 重积分的计算
在一般区域上二重积分 的计算
定理21.9
dy f ( x , y)dx 也存在, 且 f ( x , y )d dy
[a , b] [c , d ]
F ( x , y )d dx F ( x , y ) dy
a c
b y2 ( x ) y1 ( x ) a
b
d
dx
a
b
y2 ( x ) y1 ( x )
F ( x , y ) dy dx
f ( x , y ) dy .
类似可证, 若 D 为 (5) 式所示的 y 型区域 x ( y ), x ( y ) 在 [c , d ] 上连续 则二重积分可化为 , 对 x、后对 y 的累次积分
§2直角坐标系下二重 积分的计算
在矩形区域上二重 积分的计算
在 x 型或 y 型区域上二 重积分的计算
在一般区域上二重积分 的计算
d , 例3 计算二重积分
D
y
y 2x
y 2x , 其中D为由直线 x y 3 所围的 x 2y及
2 1
D1
x y3
D2
x 2y
三角形区域(图21-7). O 解 当把 D 看作 x 型区域 时, 相应的
c
f ( x , y )dy dy f ( x , y )dx .
c a
d
b
例1
2 ( x y ) d , 计算 D
D [0, 1] [0, 1]. 其中
解 应用定理21. 8 (或定理21. 9), 有
D
f ( x , y )d dx ( x y )2 dy
0 0 0 0
§2直角坐标系下二重 积分的计算
在矩形区域上二重 积分的计算
在 x 型或 y 型区域上二 重积分的计算
在一般区域上二重积分 的计算
定理21.10
若f ( x , y ) 在如 (4) 式所示的 x 型区域 D y ( x ), y ( x ) 在[a , b] 上连续 上连续, 其中 , 则
f ( x , y)
定理21.8
§2直角坐标系下二重 积分的计算
在矩形区域上二重 积分的计算
在 x 型或 y 型区域上二 重积分的计算
在一般区域上二重积分 的计算
上
f ( x , y)d
D
b
a
dx f ( x , y )dy .
c
d
(1)
§2直角坐标系下二重 积分的计算
在矩形区域上二重 积分的计算
在 x 型或 y 型区域上二 重积分的计算
在一般区域上二重积分 的计算
对于一般区域, 通常可以分解为如下两 行计算. 称平面点集
(4)
为x型区域(图21-5(a)); 称平面点集
D {( x , y ) | x1 ( y ) x x2 ( y ), c y d }
(5)
为y型区域(图21-5(b)).
§2直角坐标系下二重 积分的计算
y
在矩形区域上二重 积分的计算
在 x 型或 y 型区域上二 重积分的计算
y
在一般区域上二重积分 的计算
d
y y2 ( x )
d
D
c
D
c
b x
y y1 ( x )
a
O
O
x
(a) x 型区域
图 21 5
(b) y 型区域
这些区域的特当 D 为 x 型区域时, 垂直 x x (a x b) 至多与区域 D 的边界 的直线 点是: y y (c y d ) 至 两点 ; 当 D 为 y 型区域 多与 D 的边界交 时 , 直线 于两点.
d b d c a c
d D c
y [c , d ], 积分 且对每个 则累次积分
a
f ( x , y ) 在矩形区域 D [a , b ] [c , d ]
b
上可
存在,
f ( x , y )dx
b
a
f ( x , y )dy dx
b
a
f ( x , y )dx .
定理21. 9的证明与定理21. 8相仿.
2
y
1
D
yx
O
x
图 21 6
解 若用先对 y、后对 x 的积分, 则有
I x dx e
2 0 x
y2
1
1
y2
dy .
e 的原函数无法求得 由于 , 因此改用另一种顺 的累次积分来计算:
§2直角坐标系下二重 积分的计算
在矩形区域上二重 积分的计算
在 x 型或 y 型区域上二 重积分的计算
3 . 2
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在矩形区域上二重 积分的计算
在 x 型或 y 型区域上二 重积分的计算
在一般区域上二重积分 的计算
例4 求两个底面半径相同的直交圆柱所围 解 设圆柱底面半径为a, 两个圆柱方程为
x2 y2 a2 与 x2 z2 a2 .
x 0 , y 0( ,即 利用对称性, 只要求出在第一卦限 z 0 )部分(见第十章图10-9) 的体积, 8 然后再乘以 即得所求的体积 . 第一卦限部分的立体是一 2 2 z a x , 底为四分之一圆域 体, 曲顶为 曲顶柱
在矩形区域上二重 积分的计算
在 x 型或 y 型区域上二 重积分的计算
在一般区域上二重积分 的计算
|| T || max d ik .
|| T || .0 由于二重积分存在, 由定理 21 4, 当 时 ,使 mik yk xi 和 M ik yk xi 有相同的极限 , 且极限 i,k i,k
1 2
f ( x , y )d
D
d
c
dy
x2 ( y )
x1 ( y )
f ( x , y )dx .
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在矩形区域上二重 积分的计算
在 x 型或 y 型区域上二 重积分的计算
在一般区域上二重积分 的计算
x 0, 例2 设 D 是由直线 y 1 及y x 围成的区域 (图21-6), 试计算: I x 2 e y d 的值. D
k 1
m
i 1 k 1
r
s
ik
yk xi F ( i )xi M ik yk xi , (2)
i 1 i 1 k 1
r
r
s
k 1
x 其中
i
xi xi 1 . 记 ik 的对角线长度为 d ik , 于是
§2直角坐标系下二重 积分的计算
在一般区域上二重积分 的计算
I dy x 2e y dx
2
1
y
y
0
0
1
D
1 1 3 y2 y e dy 3 0 1 1 2 y2 y d(e ) 6 0
yx
O
x
图 21 6
1 2 y2 1 1 y2 y e 2 ye dy 0 0 6 1 1 1 1 1 y2 . e e 0 6 3e 6
ik
M 和 设f ( x , y ) 在 上的上确界和下确界分别为 m . 在区间 [ x , x ]中任取一点 ,于是就有不等式
ik i 1 i i
mik yk
k k
yk yk 1
f ( i , y )dy M ik yk ,
y y y . 因此 其中 s s d mik yk F ( i ) f ( i , y )dy M ik yk , c k 1
图 21 4
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在矩形区域上二重 积分的计算
在 x 型或 y 型区域上二 重积分的计算
在一般区域上二重积分 的计算
[x 记 为小矩形
ik ik
i 1
, xi ] [ yk 1 , yk ]
( i 1, 2, , r; k 1, 2, , s ).
D D1 D2
0
1
2x x 2
dy dx x dy
1 2
2
3 x
2 x x 2 x dx 3 x dx 0 1 2 2 1
3 2 3 2 x 3 x x 4 1 4 0
1
2
0 0
1
1
( x 1)3 x 3 7 dx . 0 6 3 3
1
在 x 型或 y 型区域上二重积 分的计算
D {( x , y ) | y1 ( x ) y y2 ( x ), a x b}
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在矩形区域上二重 积分的计算
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在矩形区域上二重 积分的计算
在 x 型或 y 型区域上二 重积分的计算
在一般区域上二重积分 的计算
f ( x , y ) 在矩形区域 D [a , b] [c , d ] 上连续 特别当
时,则有 f ( x , y )d dx
b a D
d
c
d
0
1
r
d
c y0 y1 ys d . x xi (i 1,2,, r 1),