高等数学二重积分详解
高等数学二重积分概念及性质
D
设区域 D 关于 y 轴对称，函数 f(x, y) 在 D
上可 积， f (x, y) 关于 x 是 偶 函数，即
满足
f(-x,
y)
= f(x,
y) ，
并设
D
是
1
D
的右边
一半区域， 则 f(x, y)d 2 f(x, y)d .
将薄片分割成若干小块，
取典型小块，将其近似 看作均匀薄片，
所有小块质量之和 近似等于薄片总质量
y
•
(i,i )
i
o
n
x
Ml i0m i1(i,i)i.
二、二重积分的概念
定义 设 f ( x, y)是有界闭区域 D上的有界函数，
将 闭 区 域 D 任 意 分 成 n 个 小 闭 区 域 1 ，
记为 f ( x, y)d ，
D
n
即
D
f
( x,
y)d
lim
0 i1
f
(i 数
积 分 变 量
被 积 表 达
面 积 元 素
积 分 和
式
对二重积分定义的说明：
(1 ) 在 二 重 积 分 的 定 义 中 ， 对 闭 区 域 的 划 分 是 任 意 的 .
(2 )当 f(x ,y )在 闭 区 域 上 连 续 时 ， 定 义 中 和 式
D
D1
设区域 D 关于 x 轴对称，函数 f(x, y) 在 D 上可 积可 如果 f(x, y) 关于 y 是奇函数，
即 满 足 f(x,-y) = - f(x, y) ， 则 f(x, y)d 0;
重积分—二重积分的计算(高等数学课件)
1
y2
2 1
1 2
x
2
y
y y
2
2
dy
1 2
2 [ 1
y(
y
2)2
y5 ] dy
45 8
x y2
2
o1 (1,1)
y x2 (4,2)
x
课程小结
本讲主要讲了X型区 域和Y型区域的区 分，通过例题学习 在两种区域下二重 积分转化成累次积 分的计算方法。
重积分
直角坐标系中二重积分的计算 （三）
知识点讲解
1.一般型区域
1.二元极限定义
边界为分段光滑曲线的有界闭域,一般可把它分解成有限个除边界外无公共
内点的 X 型区域或 Y 型区域.
y
如图a 所示, D 被分解成三个区域, 其中I 、III 为X 型
区域,II 为 Y 型区域.
III
II D
I
O
x
图a
2.例题分析
1.二元函数极限
例1 设 D ( x, y) 2x x2 y2 4x , f ( x, y) 为 D上的连
y
D2 ( x, y) 4x x2 y 2x x2 ,0 x 2 , O
D3 ( x, y) 4x x2 y 4x x2 , 2 x 4 .
所以有
I
2
dx
4 x x2
2
2xx2
f ( x, y)dy dx
f ( x, y)dy
0
2 x x2
0
4xx2
变换公式
i
1 2
(ri
ri )2 i
1 2
ri2i
1 2
(2ri
ri )rii
ririi
高等数学课件D92二重积分的计算
电磁学中电荷分布问题
电荷分布概述
在电磁学中，电荷分布是研究电场和 磁场的基础。了解电荷分布对于预测 电场强度、电势差以及电磁波的传播 等具有重要意义。
二重积分在电荷分布 中的应用
二重积分在电磁学中广泛应用于计算 电荷分布。通过将电荷区域离散化为 微小单元，对每个单元的电荷密度进 行积分，并利用二重积分对整个区域 进行积分，可以得到总电荷量和电荷 分布。
在每个子区域内分别进行积分计算，然后将结果相加得到最 终的二重积分值。这种策略可以降低计算难度，提高计算效 率。
03 典型例题分析与求解
平面区域上函数积分问题
确定积分区域
根据题目要求，确定需要积分的平面区域，通常是由 不等式组或曲线围成。
选择积分次序
根据积分区域的形状和复杂性，选择合适的积分次序， 即先对哪个变量进行积分。
图像处理算法与二重积分
在实际应用中，图像处理算法（如直方图均衡化、滤波算法）经常需要利用像素值统计来实现图像增强和特 征提取。二重积分作为计算像素值统计的重要工具，在这些算法中发挥着关键作用。
其他领域应用举例
地理学中的地形分析
在地理学中，地形分析是研究地 表形态和地貌特征的重要手段。 二重积分可以用于计算地表高程、 坡度、坡向等地形参数，进而实 现地形分类、地貌特征提取等应 用。
梯形法
将积分区域划分为若干个小梯形， 以梯形的面积近似代替被积函数 的面积，通过求和所有梯形的面 积得到二重积分的近似值。
辛普森法
在梯形法的基础上，通过采用更 精确的插值多项式来逼近被积函 数，从而提高二重积分计算的精 度。
误差估计及收敛性判断
误差估计
对于不同的数值方法，可以通过理论分析和实际计算来估计其误差的大小，以便更好地控制计算精度 。
高等数学二重积分详解
过该点自下而上作一条平行 于y轴的射线，先穿过的边界
y 1(x)
oax
bx
y 1(x) 是y的积分下限，
后穿过的边界 y 2 (x) 是y的积分上限。
第二种情形可同理讨论。
对于其他情形，都可化为这两种情况加以转化。 如下图：
y
D2 D1
D3
o
x
y
D2
D3
D1
射线和以极点为圆心的同心
圆，它们将区域D分成许多 o
A
小区域，除去含有边界点的小区域，其余小区域
i 的面积为：
r ri ri
i i
i
1 2
(ri
ri )2 i
1 2
ri2i
r ri
1 2
(2ri
ri
)ri i
ririi
4
o -2
(2,2)
y x4
y2 2x
x
小结：显然1）较2）麻烦。
例3 计算 I x2ey2 dxdy, 其中D由 x 0,
D
y 1及y x 围成。
解：此三条直线的交点分别为(1,1)，(0,1)， (0,0)，所围区域如右。
先对x后对y积分：
I
1
dy
a 1 ( x)
c
D
D
b
dx
2 (x) f (x, y)dy
a
1 ( x)
o
x 2(y)
x
总结：二重积分的计算就是转化为二次定积
分，显然，确定积分次序和积分上、下限是关
键。这主要由积分区域D所确定。所谓
高等数学-二重积分
高等数学-二重积分二重积分作为高等数学的一部分，是积分学的重要内容之一，也是微积分的一个重要分支。
它可以用来求解平面图形的面积、质心、转动惯量等问题，同时也是理解三重积分和曲线积分的基础。
一、二重积分的定义对于平面直角坐标系中一个有界区域D，若在D内存在一个连续函数f(x,y)，则在D 上的二重积分值记为：∬Df(x,y)dxdy其中，dxdy表示对于(x,y)在D上的每一个点，都有一个微小的面积dxdy。
通常情况下，积分区域D是一个闭合区域，即被有限多条曲线所包围的区域。
1、线性性若f(x,y)和g(x,y)在D上可积，则对于任意实数a和b，有：∬D[af(x,y)+bg(x,y)]dxdy=a∬Df(x,y)dxdy+b∬Dg(x,y)dxdy2、积分的可加性若D可表示成D1和D2的并集，且D1和D2没有交集，则有：4、积分与面积的关系对于常数函数f(x,y)=1，在D上的二重积分值就是D的面积S。
即有：∬D1dxdy=S1、利用基本公式对于二重积分中的f(x,y)，若其为一元函数，则参照一元函数积分的公式进行计算即可。
若其为二元函数，则按照二元函数积分的公式计算。
2、极坐标法当积分区域D具有极轴对称性或者其中的许多边界方程可以转化为极坐标方程时，可以使用极坐标公式来求解。
即有：∬Df(x,y)dxdy=∫θ1θ2dθ∫r1r2f(r,θ)rdr其中，r为极径，θ为极角。
3、换元法当积分区域D无法采用基本公式或者极坐标法求解时，可以采用换元法来简化计算。
具体而言，可以通过将坐标系进行转化，将D映射为一个较为简单的区域，从而进行二重积分的计算。
1、面积计算二重积分可以用来计算平面图形的面积。
对于平面图形D，可设其边界方程为：g1(x)=a, g2(x)=b, h1(y)=c, h2(y)=d则D的面积可以表示为：S=∬Ddxdy=∫a^b∫c^d1dydx2、质心计算x0=∬Dxdxdy/M, y0=∬Dy dxdy/M其中，M为D的面积，x0和y0分别称为D的一阶矩。
二重积分知识点
二重积分知识点一、引言二重积分是高等数学中的重要内容，是对二元函数在有限区域上的积分运算。
二重积分的概念与求解技巧是深入理解、掌握多元函数的必备工具，也为解决实际问题提供了数学方法。
本文将从二重积分的概念、性质、计算方法和应用等方面，全面详细地介绍二重积分的知识点。
二、概念1. 二重积分的定义设f (x,y )在闭区域D 上有定义，D 由有向闭曲线C 围成，且f (x,y )在D 上有界。
若存在数I ，对于任意给定的正数ε，都存在正数δ，使得对于D 内任意满足Δσ<δ的任意分割σ，对应的任意代点ξij ，总有|∑∑f mj=1n i=1(ξij )Δσij −I|<ε则称I 为函数f (x,y )在闭区域D 上的二重积分，记作I =∬f D(x,y )dσ其中，Δσij 表示第(i,j )个小区域的面积，Δσ表示整个区域D 的面积。
2. 二重积分的几何意义二重积分的几何意义是对二元函数在闭区域上的面积进行逐点求和，即将闭区域D 分割成无穷多个小面积区域，并对每个小面积区域上的函数值进行乘积再求和，最终得到二重积分。
三、性质1. 线性性质设闭区域D上有二重积分∬fD(x,y)dσ，若c为常数，则有∬(cf(x,y)) D dσ=c∬fD(x,y)dσ∬(f(x,y)±g(x,y)) D dσ=∬fD(x,y)dσ±∬gD(x,y)dσ2. 区域可加性设闭区域D可分为非重叠的两部分D1和D2，则有∬fD (x,y)dσ=∬fD1(x,y)dσ+∬fD2(x,y)dσ3. Fubini定理（累次积分）设函数f(x,y)在闭区域D上连续，则有∬f D (x,y)dσ=∫(∫fβ(x)α(x)(x,y)dy)badx=∫(∫fδ(y)γ(y)(x,y)dx)dcdy其中，(x,y)∈D,α(x)≤y≤β(x),γ(y)≤x≤δ(y)。
4. 值定理设函数f(x,y)在闭区域D上一致连续，则存在(ξ,η)∈D，使得∬fD (x,y)dσ=f(ξ,η)∬dDσ=f(ξ,η)σ(D)其中，σ(D)表示闭区域D的面积。
高等数学《二重积分的计算》
D
y x , x 1 所围.
y
解 将 D 看作 y — 型区域 , 则 1
D={(x , y)| y x 1 ，0 y 1 } , y y x
xydxdy
1
0
dy
1 y
y2
sin
xy
d
x
o
1x
D
1
[
y cos
y2
y cos
y]dy
0
1 sin 2
y2
y
sin
y
cos
y
1
0
1
cos 1
d
2
dx
1
x 1 x
x2 y2
dy
D
2(x3
1
x)dx
1 4
x
4
1 2
x
2
2 1
9. 4
例 5 求 x2e y2dxdy ，其中 D 是以(0,0),(1,1),
D
(0,1)为顶点的三角形.
解 e y2dy 无法用初等函数表示
积分时必须考虑次序
D {(x, y) | 0 x y , 0 y 1} ,
f ( x, y)d
b
dx
2 ( x) f ( x, y)dy
D
a
1 ( x )
d dy 2( y) f ( x, y)dx.
c
1( y)
为计算方便,可选择积分次序,采用哪一种次序积分 通常取决于被积函数的结构.
必要时还可以交换积分次序.
例2 计算 y2 sin xydx dy , 其中 D 由 y 0,
0
1 1 y2
y2 x y 2x x2
例 8
高等数学：第一讲 二重积分的定义与性质
o
x
D
•
y
(i ,i )
则称 f ( x, y) 可积 , 称 I 为 f ( x, y) 在D上的二重积分.
i
积分和
二重积分的定义
被积函数 积分区域
积分表达式
x , y 称为积分变量
面积元素
二重积分的定义
注1： 若用平行坐标轴的直线来划分区域 D ，则有 y
因此，面积元素 常记作 d x d y, 二重积分记作
D f ( x, y)dxd y.
O
注2： 对比曲顶柱体体积的求法和二重积分的定义可知
V D f ( x, y)d D f ( x, y)d x d y
D i
x
二、二重积分的性质
性质1
k f (x, y)d k f (x, y) d ( k 为常数)．
D
D
性质2
[ f (x, y) g(x, y)]d
例1
利用二重积分的性质，比较下列二重积分的大小：
I1 x y2 d x d y, I2 x y3 d x d y
D
D
其中D是由 x 轴，y 轴以及直线 x y 1 围成，
则 I1 _____ I2 . y 1 x y 1
D
O
1x
二重积分的保号性
0 x y1
( x y)2 ( x y)3
二重积分的 定义与性质
一、二重积分的定义
定义: z f ( x, y)是定义在有界闭区域 D上的有界函数 ，将区域 D 任意
z
分成 n 个小闭区域
f (i ,i ) •
z f (x, y)
任取一点 (i ,i ) i
记
ห้องสมุดไป่ตู้
《高数14二重积分》课件
二重积分的奇偶性
要点一
总结词
二重积分的奇偶性是指对于二重积分，如果被积函数是奇 函数或偶函数，则其积分结果也具有相应的奇偶性。
要点二
详细描述
如果被积函数$f(x,y)$是关于原点对称的奇函数，即$f(-x,y) = -f(x,y)$，则$int_{D} f(x,y) dsigma = 0$（D关于原 点对称）。如果被积函数是关于原点对称的偶函数，即 $f(-x,-y) = f(x,y)$，则$int_{D} f(x,y) dsigma = 2 int_{D/2} f(x,y) dsigma$（D关于x轴对称）。
详细描述
在计算立体的体积时，首先需要将立体离散化成一系列小的 立方体。然后，对每个立方体进行二重积分，积分区域为该 立方体所对应的平面区域。最后，将所有立方体的体积相加 ，即可得到整个立体的体积。
平面薄片的质量分布
总结词
利用二重积分，可以计算平面薄片在某个区域内的质量分布情况。通过将平面薄 片离散化成一系列小的面积元，对每个面积元进行积分，最后求和得到整个薄片 的质量分布情况。
《高数14二重积分》ppt课 件
• 二重积分的定义与性质 • 二重积分的计算方法 • 二重积分的几何应用 • 二重积分的物理应用 • 二重积分的性质与定理 • 二重积分的应用案例分析
01
二重积分的定义与性质
二重积分的定义
二重积分的定义
二重积分是定积分在二维空间上的扩展，表示一个函数在平面区域上的面积。
定义方式
通过将积分区域划分为若干个小区域，并在每个小区域内取一个点，将所有这些点的函数值相加并乘以小区域的面积 ，再求和得到整个区域的面积。
几何意义
二重积分表示的是函数所围成的平面区域的面积。
高等数学二重积分概念.ppt
x y
0 y 1
y 1
上二重积分存在 ; 但 f (x, y) 1 在D 上 x y
O
二重积分不存在 .
D 1x
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三、二重积分的性质
1. D k f (x, y)d k D f (x, y) d ( k 为常数)
3. D f (x, y)d D1 f (x, y)d D2 f (x, y)d
引例2中平面薄板的质量:
M D (x, y) d D (x, y) d x d y
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二重积分存在定理: (证明略)
定理1 若函数
在有界闭区域 D上连续, 则
在D上可积.
定理2 若有界函数
在有界闭区域 D 上除去有
限个点或有限条光滑曲线外都连续 ,
积.
例如, f (x, y) x2 y2 在 D : 0 x 1
4 证明: 解 利用题中 x , y 位置的对称性, 有
其中D 为
y 1
D
O 1x
1 2
D (sin
x2
cos
y2 ) d
D (sin
y2
cos
x2)d
1 2
D (sin
x2
cos
x2)d
D (sin
y2
cos
y2)d
D (sin x2 cos x2 )d
又 D 的面积为 1 ,
故结论成立 .
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补充题
1. 估计 I
D
d
x2
y2
2xy
16
的值,
其中
y
D
为
0 x 1, 0 y 2.
高数课件27二重积分
二重积分的物理应用
重力场中的质点位移
重力场：地球 表面或天体表
面的重力场
质点：质量集 中于一点的物
体
位移：质点在 重力场中的位
置变化
二重积分：计 算质点在重力 场中的位移所 需的数学工具
电场中的电势计算
电势的定义：电场 中单位电荷所具有 的电势能
电势的计算公式： U=∫Edx
电势的应用：计算 电场中的电势分布 ，分析电场特性
电势的物理意义： 描述电场中电荷所 具有的能量状态
磁场中的磁通量计算
磁通量：磁场穿 过一个平面的磁 力线数量
计算公式：Φ=B·S， 其中B为磁感应强 度，S为平面面积
应用：计算磁场 中的磁通量，了 解磁场分布情况
实例：计算一个圆 形线圈中的磁通量， 了解线圈磁场的分 布情况
感谢您的耐心观看
汇报人：
极坐标系下的计算方法
极坐标系下的二重积分定义 极坐标系下的二重积分计算公式 极坐标系下的二重积分计算步骤 极坐标系下的二重积分应用实例
参数方程下的计算方法
确定参数方程的形 式
计算参数方程的偏 导数
计算参数方程的雅 可比矩阵
计算二重积分的值
二重积分的几何应用
计算平面图形的面积 计算旋转体的体积 计算曲面的面积 计算曲线的长度
二重积分的性质
积分区域的可加性
积分区域的可加性是指，如果两个积分区域的可加性是二重积分的一个重要性质，它使得我们可以将复杂的积分区域分解为若干个 简单的积分区域，从而简化计算
积分区域的可加性还可以用于证明一些积分公式，如格林公式、高斯公式等
积分区域的可加性还可以用于求解一些复杂的积分问题，如曲面积分、曲线积分等
二重积分是计算曲面面积 的一种方法
二重积分的积分方法和积分公式
二重积分的积分方法和积分公式二重积分是高等数学中一个重要的概念，主要用于求解平面区域上的积分问题。
在实际应用中，二重积分常常伴随着一些积分方法和积分公式，有助于简化计算过程，提高计算效率。
本文将详细介绍二重积分的积分方法和积分公式。
一、二重积分的基本概念首先，我们需要了解二重积分的基本概念。
对于一个平面区域D，如果对于每一个区域内的点(x,y)，都有一个实数f(x,y)与之对应，那么我们称f(x,y)是D上的一个二元函数。
此时，通过对区域D进行分割，我们可以得到很多个小区域，用矩形来近似表达每个小区域，使得这些小矩形的面积的和趋近于区域D的面积，这个和就可以作为表示f(x,y)在区域D上的对应二重积分。
其数学表达式为：∬Df(x,y)dxdy其中f(x,y)是被积函数，D是被积区域，dxdy表示在x轴和y 轴上的微小增量。
二、二重积分的积分方法1. 变量代换法变量代换法常用于解决被积函数较为复杂的情况。
通过建立一个新的变量，将原式中的变量替换为新的变量，并计算出新的变量的微分值，从而得到新的被积函数和被积区域。
例如，对于二重积分∬Dx^2y dxdy，如果我们令u=xy，v=y，那么在新的变量下，原式可化为∬D(u/v)dvdu。
此时，我们需要通过计算出u和v的微分值，将原被积函数与被积区域进行转化，从而得到简洁的结果。
2. 极坐标法极坐标法常用于解决被积区域的对称性问题。
通过将二维平面上的坐标系转化为极坐标系，可以轻松地描述出各种对称图形的被积区域，并简化计算过程。
例如，对于二重积分∬Dxy dxdy，如果我们将被积区域D转化为极坐标系下的区域，可以得到简化后的被积函数为∫0^πdθ∫0^Rρ^3sinθcosθdρ。
此时，我们只需要进行简单的积分运算，就可以得到最终的结果。
3. 分部积分法分部积分法常用于解决被积函数中的乘积项问题。
通过将乘积项拆分成不同的部分，并对每一部分进行不同的求导和积分操作，可以简化被积函数的形式，并且可以将原式化简为更易于计算的形式。
高等数学随堂讲义二重积分概念
上
y ( 1 ( x )) (或 x ( 1 ( y )) ). 所以在
[t i 1 , t i ] 上的曲线面积为零, 从而整个曲线面积为零.
§1二重积分概念
平面图形的面积
二重积分的定义及其存在性
二重积分的性质
推论 2
由平面光滑曲线或按段光滑曲线所围的平面图形 都是可求面积的. 注1 平面中并非所有的点集都是可求面积的. 例如
从而对直线网 T 有 充分性 设对任给的
2
, S P (T ) I P
2
.
S P (T ) sP (T ) .
0,
存在某直线网 T, 使得
S P (T ) sP (T ) .
但
sP (T ) I P I P S P (T ),
I P I P S P (T ) s P (T ) .
§1二重积分概念
平面图形的面积
二重积分的定义及其存在性
二重积分的性质
平面图形的面积
我们首先定义平面图形的面积. 我们称平面图形 P 是有界的, 使得 P R . 如果存在一矩形 R , 设 P 是一平面有界图形, 用平行于二坐标轴的某一 组直线网 T 分割这个图形 (图21-1) , 这时直线网 T
立
i
ba
.
§1二重积分概念
平面图形的面积
二重积分的定义及其存在性
二重积分的性质
即若把曲线 K 按 则每一小段都能被以 覆盖.
x x0 , x1 , , xn ,分成 n 个小段
xi 为宽, i 为高的小矩形所
由于这 n 个小矩形面积的总和
x
i 1 i
二重积分主要知识点
d
dy
2 ( y) f ( x, y)dx .
D
c
1( y)
11
矩形区域
D (x, y) | a x b, c y d
f (x, y)d
bd
[ f (x, y)dy]dx
b
dx
d
f (x, y)dy
ac
a
c
D
或
f (x, y)d
db
[ f (x, y)dx]dy
D
D1
D2
D3
13
例题与讲解
例：改变积分
1
dx
1x f ( x, y)dy 的次序
00
解： 积分区域如图
y 1 x
原式
1 1 y
dy f ( x, y)dx.
00
14
例题与讲解
例：改变积分
1
dx
2 xx2 f ( x, y)dy
2
dx
2 x
f ( x, y)dy
0
0
1
0
的次序
24
例题与讲解
例：计算 ex2 y2dxdy 其中D 是由中心在原点,
D
半径为a的圆周所围成的闭区域。
解：由于积分区域为圆域，被积函数是 f(x2+y2) 形式，故采用极坐标计算
在极坐标系下
D：0 r a，0 2.
ex2 y2dxdy
D
2
d
a e r2 rdr
0
0
(1 e a2 ).
求曲顶柱体的体积采用 “分割、求和、取极 限”的方法，如下动画演示．
29
求“曲顶柱体”体积的演示(4)
求曲顶柱体的体积采用 “分割、求和、取极 限”的方法，如下动画演示．
二重积分的概念和计算
二重积分的概念和计算
一、二重积分的概念
二重积分也叫做双重积分，是一类高等数学中的一种重要的概念，它
是指将函数关于两个变量进行积分运算，而且是先计算外层的积分，再计
算内层的积分，也可以称之为“先积分后积分”。
所以，二重积分是指把一个二元函数关于x先积分，再把f（x，y）
关于y积分的过程，最后能够得到B（x，y）函数，通常我们可以采用它
来对双变量函数进行积分运算。
二、二重积分的计算
1、在坐标系上绘制图像，判断积分的界限，即a和b的值，以及R
的值；
2、根据及题目要求，写出积分表达式；
3、根据外层和内层的分界，写出外层的积分表达式；
4、根据内层的分界，写出内层的积分表达式；
5、外层积分根据公式进行求解，把外层积分结果代入到内层积分中，计算内层积分的值；
6、把外层积分的值和内层积分的值相乘，得到最终的二重积分的结果。
此外，在积分运算中，我们还可以通过Green-Haddam公式来把二重
积分转化为一次积分，计算更加快捷方便。
Green-Haddam公式：∫ab∫f(x,y)dxdy=∫(R∫f(x,y)dxdy)dR
三、示例说明
下面通过举例来详细讲解一下二重积分的计算：求解：∫0,3∫0,2x2dy dx。
二重积分的例题及解析
二重积分的例题及解析二重积分是微积分中的重要概念，用于求解平面上的面积、质量、质心等物理量。
下面将介绍一些常见的二重积分例题，并进行解析。
例题1：计算二重积分D (x+y) dA，其中D为由直线y=x和y=2x以及y=4所围成的区域。
解析：首先，我们需要确定积分的上下限。
由于D区域被直线y=x和y=2x以及y=4所围成，因此x的取值范围为2到4，而y的取值范围为x到4。
因此，我们可以将积分式写为：D (x+y) dA = ∫2^4 ∫x^4 (x+y) dy dx接下来，我们对y进行积分，得到：∫2^4 (xy + y^2/2) |x^4 dx对于这个积分式，我们先计算内层的积分：∫(xy + y^2/2) |x^4 = x(x^4) + (x^4)^2/2 - x(x^2/2) -(x^2/2)^2/2= x^5 + x^8/2 - x^3/2 - x^4/8接下来，我们对x进行积分，得到：∫2^4 (x^5 + x^8/2 - x^3/2 - x^4/8) dx= 1/6 x^6 + 1/16 x^9 - 1/8 x^4 - 1/32 x^5 |2^4= (1/6 * 4^6 + 1/16 * 4^9 - 1/8 * 4^4 - 1/32 * 4^5) - (1/6 * 2^6 + 1/16 * 2^9 - 1/8 * 2^4 - 1/32 * 2^5)= 138.75因此，二重积分D (x+y) dA的结果为138.75。
例题2：计算二重积分D (x^2 + y^2) dA，其中D为单位圆盘x^2 + y^2 ≤ 1。
解析：由于D为单位圆盘，即x^2 + y^2 ≤ 1，我们可以将积分式写为：D (x^2 + y^2) dA = D r^2 dA其中，r为点(x, y)到原点的距离，即r = √(x^2 + y^2)。
因此，我们可以将积分式转化为极坐标形式：D r^2 dA = D r^3 dr dθ由于D为单位圆盘，θ的取值范围为0到2π，r的取值范围为0到1。
高等数学二重积分的计算ppt课件
则有
(2) 若积分域较复杂,可将它分成若干
X-型域或Y-型域 ,
则
例1. 计算
其中D 是直线 y＝1, x＝2, 及
y＝x 所围的闭区域.
解法1. 将D看作X–型区域, 则
解法2. 将D看作Y–型区域, 则
例2. 计算
其中D 是抛物线
所围成的闭区域.
解: 为计算简便, 先对 x 后对 y 积分,
一、利用直角坐标计算二重积分
且在D上连续时,
由曲顶柱体体积的计算可知,
若D为 X – 型区域
则
若D为Y –型区域
则
当被积函数
均非负
在D上变号时,
因此上面讨论的累次积分法仍然有效 .
由于
说明: (1) 若积分区域既是X–型区域又是Y –型区域 ,
为计算方便,可选择积分序, 必要时还可以交换积分序.
(1)
(2)
例6. 计算
其中
解: 在极坐标系下
原式
的原函数不是初等函数 ,
故本题无法用直角
由于
故
坐标计算.
注:
利用例Байду номын сангаас可得到一个在概率论与数理统计及工程上
非常有用的反常积分公式
事实上, 当D 为 R2 时,
利用例6的结果, 得
①
故①式成立 .
例7. 求球体
被圆柱面
所截得的(含在柱面内的)立体的体积.
显然,
对应有
二、利用极坐标计算二重积分
在极坐标系下, 用同心圆 r =常数
则除包含边界点的小区域外,小区域的面积
在
内取点
及射线 =常数, 分划区域D 为
即
设
大学课件高等数学下学期8-2二重积分的计算
例 设D为圆域 x2 y2 R2
z
二重积分 R2 x2 y2 d
D
=
DO
y
xR
解 z R2 x2 y2 是上半球面
由二重积分的几何意义可知，上述积分等于
上半球体的体积：
R2 x2 y2d 2 R3 3
D
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二、在直角坐标系下计算二重积分
(1) 积分区域为：a x b, 1( x) y 2( x).
1
y
dx 1
2
(x
x3 )dx
9.
1
4
x
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例1 求
双曲线xyD
xy122围d成,的 其闭 中区 D是域由. 直线xy
2,
y
x和
y x
解2 将D看成Y型区域
D2 x 1
1
1
xy D11
D1 : 2 y 1, y x 2 O
x 第
D2 : 1 y 2, y x 2
一 种
D1
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记 I=
xy cos x sin ydxdy (1,1)
y
(1,1)
D
D2 D1
则I= I1+ I2, 其中
D3
D4 O
x
I1= xydxdy
(1,1)
D
I2= cos x sin ydxdy
D
D1与D2关于y轴对称 D3与D4关于x轴对称
而 I1 = xydxdy xydxdy xydxdy
D
D
a
1 ( xa)
b
(
2( x)
f ( x, y)dy)dx
a 1 ( x)
a