《垂径定理》教学设计课题
9年级 数学北师大版下 册教案第 3章《垂径定理》
教学设计垂径定理
难点：垂径定理及其逆定理的证明，以及应用时如何添加辅助线．
教学策略：
类比引入，猜想探索，知识应用，归纳小结。
本节课的另一个难点是如何添加辅助线，这在最后的归纳反思中应该要有足够的时间让学生交流讨论，但是限于本节课的时间，这是一个客观限制，不应该勉强在课堂上完成，效果并不理想，应该留作课后作业，让学生能通过更充分的讨论才得出结论，这样才能起到更好地交流和反思的作用。
教学过程
教学环节教师活动学生活动设计意图
一、
类比引入
二、
猜想探索
活动内容：
1.等腰三角形是轴对称图形吗？
2.如果将一等腰三角形沿底
边上的高对折，可以发现什么结
论？
3.如果以这个等腰三角
形的顶角顶点为圆心，腰长为半径画圆，得
到的图形是否是轴对称图形呢？
1．如图，AB是⊙O的一
条弦，作直径CD，使CD
⊥AB，垂足为M。
（1）该图是轴对称图形
吗？如果是，其对称轴是什么？
（2）你能找出图中有哪些等量关系？说一说
你的理由．
条件：①CD是直径；②CD⊥AB
结论（等量关系）：③AM=BM；
④⌒AC=⌒BC；⑤⌒AD=⌒BD。
学生思考并回答通过等腰三角
形的轴对称性向圆
的轴对称性过渡，引
导学生思考，培养学
生类比分析的能力。
证明：连接OA ,OB ,则OA =OB
在Rt △OAM 和Rt △OBM 中,
∵OA =OB ，
OM =OM ，
∴Rt △OAM ≌Rt △OBM . ∴AM =BM .
∴点A 和点B 关于CD 对称. ∵⊙O 关于直径CD 对称,
∴当圆沿着直径CD 对折时, 点A 与点B 重合,
⌒AC 和⌒BC 重合, ⌒AD 和⌒
《垂径定理》教学设计教案
《垂径定理》教学设计教案
第一章：教学目标
1.1 知识与技能目标：让学生掌握垂径定理的内容及其应用。
1.2 过程与方法目标：通过观察、分析、推理等方法，引导学生发现垂径定理。
1.3 情感态度与价值观目标：培养学生对数学的兴趣，培养学生的观察能力和思考能力。
第二章：教学内容
2.1 教材分析：本节课主要通过探究圆中的性质，引导学生发现垂径定理。2.2 学情分析：学生在学习本节课之前，已经掌握了圆的基本性质和几何图形的观察分析能力。
第三章：教学过程
3.1 导入：通过展示一些与圆有关的实际问题，引发学生对圆的性质的思考。
3.2 新课导入：引导学生观察圆中的垂径关系，引导学生发现垂径定理。
3.3 讲解与演示：通过几何画板或实物模型，讲解垂径定理的内容，并展示其应用。
3.4 练习与讨论：设计一些练习题，让学生巩固垂径定理的理解，并进行小组讨论。
第四章：教学策略
4.1 教学方法：采用问题驱动法、观察分析法、小组合作法等教学方法。
4.2 教学媒体：几何画板、实物模型、PPT等。
第五章：教学评价
5.1 评价标准：学生能够正确理解垂径定理，能够运用垂径定理解决实际问题。
5.2 评价方式：课堂问答、练习题、小组讨论等。
第六章：教学资源
6.1 教具准备：几何画板、实物模型、PPT、练习题等。
6.2 教学环境：教室环境舒适，学生座位有序，教学设备齐全。
第七章：教学步骤
7.1 回顾圆的性质：回顾已学过的圆的性质，如圆的周长、直径等。
7.2 观察垂径关系：引导学生观察圆中的垂径关系，发现垂径定理。
7.3 讲解垂径定理：详细讲解垂径定理的内容，解释其含义和应用。
《垂径定理》教学设计教案
《垂径定理》教学设计教案
课题：垂径定理
教学内容：垂径定理的概念、内容及应用
教学目标：
1.了解垂径定理的概念和内容。
2.掌握垂径定理的应用方法和技巧。
3.通过课堂练习和课后作业，提高学生的解题能力和思维能力。
教学重点和难点：
教学过程：
1.导入（5分钟）
教师首先介绍垂径定理的概念和基本应用，引出本节课的主题，并说明课程的目标和
教学重点及难点。
2.讲解（20分钟）
教师以图像和问题出发，引导学生理解垂径定理的概念和原理，然后逐步讲解垂径定
理的一般结论、特殊结论及不等式定理的推导过程和相关练习和问题。
教师带领学生完成一组课堂练习，然后让学生自己在课本和课堂练习中解决相关问题。课堂练习中要带领学生培养解题的思路和解题的步骤，提高解题的能力和积极性。
教师邀请学生上台分享课上或课后做的垂径定理相关问题的解答和思路，并指导学生
如何巩固和加强相关知识和应用。
教师引导学生自主学习、思考和实践垂径定理相关问题，鼓励学生自主发现问题点，
深入思考问题的解决方案，并及时对学生的提问进行解答和指导。
教学方法：
1.课堂讲解
2.演示分析
3.课堂练习
4.展示分享
教学工具：
1.黑板
2.笔
3.投影仪
4.计算器
5.纸笔
教学评价：
2.课堂参与
4.家庭作业
5.期末考试
教学反思：
本节课通过注重理论知识的讲解，课程的练习和展示，进一步加深了学生对垂径定理的理解和应用能力。但是还需要在今后的教学中加强对知识点的理解和掌握以及对学生思维能力的培养和提升。
九年级数学上册《垂径定理》教案、教学设计
3.增强学生的合作意识和团队精神，使其在交流讨论中相互学习、共同提高。
4.培养学生运用数学知识解决实际问题的能力，提高学生的应用意识。
（三）情感态度与价值观
1.培养学生热爱数学、勇于探索的精神，使其树立正确的数学观念。
2.培养学生严谨、务实的科学态度，使其在解决问题时遵循逻辑规律，避免盲目猜测。
-总结反思：引导学生总结垂径定理的特点和应用方法，反思学习过程中的困惑和收获。
3.教学评价：
-采用形成性评价和终结性评价相结合的方式，关注学生的学习过程和结果。
-通过课堂问答、小组讨论、课后作业、阶段测试等多种形式，全面评估学生对垂径定理的理解和应用水平。
-鼓励学生自我评价和同伴评价，培养学生的自我反思能力和批判性思维。
3.关注学生的情感态度，激发学习兴趣，培养克服困难的意志。
4.突出数学与生活的联系，使学生认识到数学知识在实际生活中的重要性。
在此基础上，教师应制定针对性的教学策略，帮助学生在掌握垂径定理的基础上，提高解决实际问题的能力，培养他们热爱数学、勇于探索的精神。
五、作业布置
为了巩固学生对垂径定理的理解和应用，以及提高他们的解题技能，特此布置以下作业：
4.学生在解决实际问题时，可能缺乏将理论知识与实际情境相结合的能力。教师应注重培养学生的应用意识，引导他们将所学知识运用到生活实践中。
《垂径定理》教学设计
垂径定理教学设计
教学目标：
（1）理解圆的轴对称性及垂径定理的推证过程；能初步应用垂径定理进展计算和证明；
（2）进一步培育学生观看问题、分析问题和解决问题的力气；
（3）通过圆的对称性，培育学生对数学的审美观，并激发学生对数学的宠爱．
教学重点、难点：
重点：垂径定理及其应用于计算和证明；
难点：由圆的轴对称性进展垂径定理的探究．
教学具体过程：
学生已学过圆的根本概念和直角三角形勾股定理，本节
的主要内容是圆的轴对称性和垂径定理.在教学活动中，不管
那个层次的学生，都通过学生动手试验、观看、理解圆的轴
对称性，并进一步组织学生试验、观看、觉察问题，探究和
解决问题，完成对垂径定理的学习。
教学内容
学生活动教师活动设计目的
一、引入课题：
引导学生按以以下图在圆形的纸片上折叠
C C
O
O 1、学生用折
叠的方法探
究圆的对称
性。
1、教师引导
学生觉察圆
的轴对称性。
通过“演示
试验——观
察——感性
——理性”
引出垂径定
理
E
A B
2、在教师的
D D 引导下，学生2、教师提问：图中有哪些
对折再折叠
通过折叠，得到圆的轴对称性：
1、是轴对称图形，经过圆心的每一条直线都是它的对称轴。
2、猜测：图中有相等的线段和弧：
AE=EB，= ，= 观看、分析、
觉察和提出
问题。
相等的线段
和弧？
二、垂径定理的证明：
1、：在⊙O 中，CD 是直径，AB 是弦，CD ⊥AB ，垂足为 E ． 求证：AE=EB ，
=
， = ．
1、学生在教师的引导下进展口头推
理论证。
1、教师在学生论证的根底上，进展主要论证步骤的板书。
1、通过对垂径定理的证明，论证了
定理的正确性。
数学人教版九年级上册24.1.2垂直于弦的直径(第1课时)教学设计
图1
在完成上述的操作过程后，观察图形你能发现有相等的线段和相等的弧吗？如有，能证明吗？(探究垂径定理)
归纳：垂径定理的几个基本图形：
、如图，OE⊥AB于E，若⊙O的半径为10cm,OE=6cm,则AB=
的距离为3cm，求⊙O的半径
垂径定理教学设计1
M
A
E
B
C
D
A
B
.
O
O.
E AC
DB
.O
小结:
N
解决有关弦的问题，经常是过圆心作
弦的垂线，或作垂直于弦的直径，连结半 径等辅助线，为应用垂径定理创造条件。
证明：连结OA、OB，则OA＝OB。 A 因为垂直于弦AB的直径CD所在的 直线既是等腰三角形OAB的对称轴 又是⊙ O的对称轴。所以，当把圆 沿着直径CD折叠时，CD两侧的两 个和B⌒DB半重E圆重合⌒重合。合，因，A此AC点、⌒ 和ADB分⌒点别重和合B，CA、E AE＝BE，A⌒C＝B⌒C，A⌒D＝B⌒D
C
.O
E
B
D
叠 合 法
垂径定理
垂直于弦的直径平分这条弦，并 且平分弦所对的两条弧。
题设
结论
｝ （1）过圆心
（2）垂直于弦
｛（3）平分弦 （4）平分弦所对的优弧 （5）平分弦所对的劣弧
练习巩固：如图，已知在⊙O中，弦AB
的长为8cm，圆心O到AB的距离为3cm，求 ⊙O的半径
E
A
B
O
巩固提高
1、 已知：如图，在以O
问题 & 探究2
在纸上的圆中任意画一条弦ＡＢ 作直径ＣＤ垂直弦ＡＢ于Ｅ(垂直于
弦的直径) 垂足为E.想一想：
垂径定理优秀教学设计(教案)
垂径定理优秀教学设计(教案)
一、教学内容
本节课为人教版数学四年级下册第七单元《几何图形》中的“垂径定理”。教材通过生活中的实例，引导学生探究圆的性质，掌握垂径定理，并运用该定理解决实际问题。
二、教学目标
1. 让学生通过观察、操作、探究，掌握垂径定理，提高空间想象能力。
2. 培养学生运用数学知识解决实际问题的能力。
3. 培养学生合作学习、积极思考的良好学习习惯。
三、教学难点与重点
重点：掌握垂径定理及运用。
难点：理解并证明垂径定理。
四、教具与学具准备
教具：PPT、黑板、粉笔。
学具：圆、直尺、三角板、圆规。
五、教学过程
1. 情境引入：
利用PPT展示生活中的圆形物体，如地球、篮球等，引导学生关注圆的性质。提问：“你们知道圆有哪些性质吗？”
2. 自主探究：
3. 小组交流：
4. 例题讲解：
利用PPT展示例题，如：“在圆中，已知直径AB，求证：垂直于AB的线段CD也是直径。”
让学生独立思考，然后讲解解题思路，引导学生运用垂径定理解决问题。
5. 随堂练习：
出示随堂练习题，如：“已知圆的直径为10cm，求证：垂直于直径的线段也是10cm。”
学生独立完成练习，教师巡回指导，及时纠正错误。
6. 巩固提高：
出示拓展题目，如：“在圆中，已知一条弦长为8cm，求证：垂直于该弦的线段也是8cm。”
学生分组讨论，运用垂径定理解决问题。
7. 课堂小结：
六、板书设计
板书垂径定理
板书内容：
1. 圆的性质：圆中心到圆上任意一点的距离相等。
2. 垂径定理：垂直于直径的线段也是直径。
七、作业设计
1. 请用文字和图形描述垂径定理。
《垂径定理》教学设计教案
《垂径定理》教学设计教案
第一章：导入
教学目标：
1. 激发学生对垂径定理的兴趣。
2. 引导学生通过实际问题发现垂径定理。
教学内容：
1. 引导学生回顾圆的性质和基本概念。
2. 提出问题：在圆中，如何判断一条直线是否垂直于一条弦？
教学活动：
1. 利用实物或图片展示圆和直线，引导学生观察和思考。
2. 引导学生通过实际操作，尝试判断直线是否垂直于弦。
教学评估：
1. 观察学生在实际操作中的表现，了解他们对垂径定理的理解程度。第二章：探索垂径定理
教学目标：
1. 帮助学生理解和掌握垂径定理的内容。
2. 培养学生通过几何推理解决问题的能力。
教学内容：
1. 引导学生通过几何推理，探索垂径定理。
2. 引导学生验证垂径定理的正确性。
教学活动：
1. 引导学生通过画图和几何推理，探索垂径定理。
2. 组织学生进行小组讨论，分享各自的解题思路和方法。
教学评估：
1. 观察学生在探索过程中的表现，了解他们的思考和解决问题的能力。第三章：应用垂径定理
教学目标：
1. 帮助学生掌握垂径定理的应用方法。
2. 培养学生解决实际问题的能力。
教学内容：
1. 引导学生学习和掌握垂径定理的应用方法。
2. 引导学生运用垂径定理解决实际问题。
教学活动：
1. 引导学生学习和掌握垂径定理的应用方法。
2. 组织学生进行实际问题解决练习，引导学生运用垂径定理。
教学评估：
1. 观察学生在实际问题解决中的表现，了解他们运用垂径定理的能力。第四章：巩固与提高
教学目标：
1. 帮助学生巩固垂径定理的知识。
2. 提高学生解决实际问题的能力。
教学内容：
1. 引导学生进行垂径定理的知识巩固练习。
垂径定理优质课教学设计
通过测验检查学生对垂径定理的掌握情况，记录学生的成绩和进 步情况。
课后作业布置与批改
作业内容
布置与垂径定理相关的练习题和思考题，引导学 生深入思考和探索。
作业要求
明确作业的要求和提交时间，鼓励学生按时提交 作业并相互讨论。
作业批改
认真批改学生的作业，指出学生的错误和不足， 并提供改进建议。
相关数据。
探究性问题解决
02
引导学生运用垂径定理解决一些探究性问题，如圆的弦与直径
的关系等。
分享交流
03
让学生分享自己的实践经验和解题思路，促进彼此之间的交流
和合作。
总结环节：归纳提升，巩固成果
归纳知识点
引导学生归纳本节课所 学的知识点，形成完整
的知识体系。
强调重点难点
再次强调垂径定理的重 点和难点，加深学生的
互动社区
引导学生参与数学互动社区，与同龄人交流学习心得和解 题技巧。
教师团队建设及培训方案
1 2 3
团队组建
组建由数学骨干教师、信息技术教师和教研员组 成的教师团队，共同研究垂径定理的教学策略和 方法。
培训内容
开展针对垂径定理的专题培训，包括教学理念、 教学方法、课堂管理等方面的内容，提高教师教 学水平。
推导证明过程
引导学生理解并掌握垂径定理 的推导和证明过程。
强调易错点
《垂径定理》教学设计教案
《垂径定理》教学设计教案
第一章：教学目标
1.1 知识与技能：
让学生掌握垂径定理的内容及其应用。
培养学生运用几何知识解决实际问题的能力。
1.2 过程与方法：
通过观察、猜想、证明的过程，让学生体验数学的探究过程。
运用图形计算器或信息技术工具，帮助学生更好地理解垂径定理。
1.3 情感态度与价值观：
培养学生对数学的兴趣和自信心。
培养学生合作交流的能力，提高学生的团队协作能力。
第二章：教学内容
2.1 教材分析：
分析教材中关于垂径定理的定义、证明和应用。
理解垂径定理在圆的性质和几何图形中的应用。
2.2 学情分析：
了解学生对圆的基本知识和垂线的概念。
了解学生对几何证明的掌握程度，为学生提供必要的支持。
第三章：教学重难点
3.1 教学重点：
让学生掌握垂径定理的证明过程和定理的内容。
能够运用垂径定理解决相关的几何问题。
3.2 教学难点：
理解并证明垂径定理。
灵活运用垂径定理解决实际问题。
第四章：教学方法与手段
4.1 教学方法：
采用问题驱动的教学方法，引导学生观察、猜想、证明。
运用小组合作学习，鼓励学生互相交流、讨论。
4.2 教学手段：
使用图形计算器或信息技术工具，展示几何图形，帮助学生更好地理解垂径定理。提供相关的练习题和案例，供学生实践和应用垂径定理。
第五章：教学过程
5.1 导入：
通过引入实际问题或情境，激发学生的兴趣和好奇心。
引导学生观察和猜想垂径定理的内容。
5.2 探究与证明：
引导学生进行小组合作学习，共同探究垂径定理的证明过程。
引导学生运用几何知识和证明方法，进行逻辑推理和证明。
5.3 应用与练习：
《垂径定理》单元教学设计
《垂径定理》单元教学设计
一、教学内容：“垂径定理”是北师大版九年级下册第三章“圆”
的内容.
二、教材分析：
（一）学习内容分析：
圆最本质的属性是对称性，上一节课借助圆的旋转不变性研究了圆心角、弧、弦之间的关系，本节课将借助圆的轴对称性探索垂径定理.对称性即折叠前后对
称轴两侧图形的不变性是统领本节课的大概念.
按教材的设计意图，从数学本身出发，给出图形猜想结论.为了突出圆的轴
对称性的特征，引课部分我进行了教材处理，让学生通过折叠圆纸片活动中发现
垂直于弦的直径平分弦并平分弦所对的弧等结论，围绕大概念轴对称性，在折纸
活动中让学生体会“折叠前后对称轴两侧图形的不变性”，从而得出垂径定理、
推论及其垂径定理拓展的5个条件，推论的拓展渗透了类比、分类讨论等数学思想，培养学生分析问题、解决问题的能力.
（二）学情分析：
本节是学生已经掌握了轴对称图形特征的基础上, 继续对圆的对称性进行深
入的学习和研究.学生在垂径定理及推论的得出过程中可能会遇到的困难：一是
演示实验时能否找到相等的弦和弧，二是垂径定理及其推论的证明.突破难点问
题一的关键是学生折叠过程中通过“叠合法”找到相等的弦、弧，突破难点问题
二的关键是让学生认识圆的组成元素有弦、弧等，引导学生添加适当的辅助线，
运用勾股定理解决问题.
三、目标定位
（一）课时目标：
1、经历圆的折叠活动，利用圆的轴对称性猜想垂径定理，并进行证明.
2、掌握垂径定理及推论，同时用它解决证明和计算的问题.
（二）教学重、难点
教学重点：
1、垂径定理及其推论的证明.
2、熟练应用垂径定理及其推论解决一些有关证明、计算的问题.
《垂径定理》优秀教学设计
《垂径定理》教学设计
一、教学目标
1.利用轴对称探索垂径定理的有关性质，掌握垂径定理的证明；
2.掌握垂径定理的简单应用；
3.让学生经历“实验—观察—猜想—验证—归纳”的研究过程，培养学生动手实践、观察分析、归纳
问题和解决问题的能力.
二、教学重难点
1.教学重点：垂径定理的性质及其应用.
2.教学难点：（1）垂径定理的证明；（2）垂径定理的题设与结论的区分.
三、教学流程
教学程
序
教学活动学生活动设计意图
（一）情境引
入1. 播放视频1：赵州桥介绍视频.
2. 视频结束，情境问题：赵州桥主桥拱的跨度(弧所对的弦
的长)为37.4m, 拱高(弧的中点到弦的距离)为7.2m，你
能求出赵州桥主桥拱的半径吗？
学生观看视频.
学生自主思考
教师提出的问
题.
让学生从视
频中感受数
学源于生活，
而高于生活.
（二）新知探
究
探究1：请同学们拿出自己手中的圆形纸片，先折出圆的
一条弦，再对折，最后展开圆形纸片.
你能发现图中有哪些相等的线段和弧？为什么？
相等的线段：______________
相等的弧：_____=______；_____=______.
垂径定理：
（1）文字语言：
垂直于弦的直径_______，并且__________________。
（2）几何语言：
∵CD是⊙O的直径，CD⊥AB
∴
学生提前准备
好圆形纸片，动
手操作，得出结
论.
学生推理、证
明，归纳得出结
论.
自己动手操
作，加深印象.
让学生直观
的得出结论，
再上升到理
论上.
挑战第一关：
下列图形是否具备垂径定理的条件？
探究2：在⊙O 中，直径CD与弦AB (不是直径) 相交于点E.
《垂径定理》教学设计教案
《垂径定理》教学设计教案
第一章：教学目标
1.1 知识与技能目标
理解垂径定理的概念和意义。
学会运用垂径定理解决实际问题。
1.2 过程与方法目标
通过观察和实验，发现垂径定理的规律。
学会运用几何画图工具，准确地画出垂直平分线。
1.3 情感态度与价值观目标
培养学生的观察能力和思维能力。
培养学生的合作意识和解决问题的能力。
第二章：教学内容
2.1 教材分析
介绍垂径定理的内容和证明过程。
通过实际例题，展示垂径定理的应用。
2.2 学情分析
学生已经掌握了直线、圆的基本概念和性质。
学生具备一定观察和实验的能力。
第三章：教学过程
3.1 导入新课
通过一个实际问题，引发学生对垂径定理的思考。引导学生观察和实验，发现垂径定理的规律。
3.2 探究与发现
学生分组进行实验，观察垂直平分线与弦的关系。
引导学生总结垂径定理的表述。
3.3 知识讲解
讲解垂径定理的证明过程。
通过示例，解释垂径定理的应用。
3.4 练习与巩固
学生独立完成一些练习题，巩固对垂径定理的理解。
教师引导学生互相讨论和解答问题。
第四章：教学评价
4.1 课堂评价
教师通过观察学生的实验和练习情况，评价学生对垂径定理的理解和应用能力。学生之间互相评价，分享解题经验和思路。
4.2 课后评价
教师布置一些相关的课后作业，检验学生对垂径定理的掌握程度。
学生通过完成作业，进一步巩固和提高垂径定理的应用能力。
第五章：教学资源
5.1 教材
教师使用的教材，包括课本和相关教辅材料。
5.2 实验材料
学生分组进行实验所需的材料，如几何画图工具、圆规、直尺等。
5.3 多媒体教学资源
利用多媒体课件和教学视频，帮助学生更好地理解和掌握垂径定理。
垂径定理课堂教学设计
垂径定理课堂教学设计
一、教学目标
本节课的教学目标是让学生掌握并理解垂径定理的概念和应用，能够准确运用垂径定理解题。
二、教学内容
1. 垂径定理的概念介绍和基本性质
2. 垂径定理的应用实例
三、教学过程
1. 导入新知识（5分钟）
学生在上一节课已学过勾股定理的内容，通过复习勾股定理的
概念和应用，引入今天的课程内容。教师可以提出一个问题，如：“如何求一个等腰直角三角形的高？”，并引导学生思考和讨论。
2. 引入垂径定理（10分钟）
教师通过给出一个具体的图形示例，如一个半径为r的圆，和
一个直线段AB与圆相交于两个点C和D，其中CD是直径。教师
向学生解释CD是直径的概念，并引导学生观察并发现CD的特性。
教师提问：在这个图形中，你们观察到了什么特点？学生通过
观察和思考，发现CD是一个垂线段。教师提出问题：我们能否得
出结论，对于任意与圆相交于两个点的直线段AB，它的中垂线也必然与圆相交于两个点，并且这两个点与原直线段的交点构成的线段也是直径？
3. 垂径定理的概念和证明（15分钟）
教师向学生介绍垂径定理的概念和基本性质，同时告知学生本定理的证明过程。教师可以通过画图和数学推理的方式来展示垂径定理的证明过程，并引导学生思考和理解。
垂径定理：对于任意与圆相交于两个点的直线段AB，它的中垂线也必然与圆相交于两个点，并且这两个点与原直线段的交点构成的线段也是直径。
教师带领学生进行垂径定理的证明过程，教师可以通过提问引导学生思考和推理。
4. 垂径定理的应用实例（15分钟）
教师通过给出具体的题目例子，来让学生运用垂径定理解题。教师可以设计一些有趣的题目，如：“已知一个圆的半径为5cm，且一个直线段与圆相交于两个点，这个直线段的长度是8cm，请问这个直线段的中点到这个圆心的距离是多少？”教师引导学生利用垂径定理解决这个问题，并指导学生解答过程。
《垂径定理》教学设计教案完整版
分析法证明
从垂径定理的结论出发，分析需要 满足的条件，并逐步推导出已知条 件。
反证法证明
假设垂径定理不成立，然后通过逻 辑推理导出矛盾，从而证明垂径定 理的正确性。
垂径定理的几何意义
1 2 3
揭示了圆的性质 垂径定理揭示了圆内一条特殊弦（直径）与其上 的垂线之间的特殊关系，进一步丰富了圆的性质。
为圆的计算和作图提供了依据 垂径定理为圆的计算和作图提供了重要的理论依 据，特别是在解决与直径和弦相关的问题时，垂 径定理具有广泛的应用。
分享交流探究成果
分享方式
每个小组选派一名代表， 向全班展示他们的探究 过程和成果，可以通过 口头报告、PPT演示、 板书等方式进行。
交流内容
包括问题背景、解决方 法、遇到的困难、取得 的成果以及心得体会等。
互动环节
其他小组可以提问、补 充或发表不同看法，促 进全班范围内的深入交 流和讨论。
教师点评与总结
布置适量练习题，让学生独立完 成，检验学生的学习效果。
课程引入（5分钟）
通过实例引入垂径定理的概念， 激发学生的学习兴趣。
课程总结（5分钟）
回顾本课所学内容，总结垂径定 理及其逆定理的应用方法，鼓励 学生课后继续探究相关问题。
02 基础知识回顾
圆的性质与定义
01
圆是平面上所有与定点（圆心）距 离等于定长（半径）的点的集合。
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《垂径定理》教学设计
单位：登封市大金店二中
授课教师：唐海广
《垂径定理》教学设计
一、学生起点分析
学生的知识技能基础：学生在七、八年级已经学习过轴对称图形的有关概念和性质，等腰三角形的对称性，以及本节定理的证明要用到的三角形全等的知识，在本章前两节课中也已经初步理解了圆的轴对称性和圆弧的表示等知识，具备探索证明几何定理的基本技能．
学生活动经验基础：在平时的学习中，学生已掌握探究图形性质的不同手段和方法，具备几何定理的分析、探索和证明能力．
二、教学任务分析
该节内容为1课时．圆是一种特殊图形，它是轴对称图形，学生通过类比等腰三角形的轴对称性，能利用圆的轴对称性探索、证明得出圆的垂径定理及其逆
定理．具体地说，本节课的教学目标是：
知识与技能
1．利用圆的轴对称性研究垂径定理及其逆定理；
2．运用垂径定理及其逆定理解决问题．
过程与方法
1．经历运用圆的轴对称性探索圆的相关性质的过程，进一步体会和理解研究几何图形的各种方法．
情感与态度
1. 培养学生类比分析，猜想探索的能力．
2. 通过学习垂径定理及其逆定理的证明，使学生领会数学的严谨性和探索精神，培养学生学习实事求是的科学态度和积极参与的主动精神．教学重点：利用圆的轴对称性研究垂径定理及其逆定理．
教学难点：垂径定理及其逆定理的证明，以及应用时如何添加辅助线．三、教学设计分析
本节课设计了四个教学环节：
类比引入，猜想探索，知识应用，归纳小结.
第一环节类比引入
活动内容：
1.等腰三角形是轴对称图形吗？
2.如果将一等腰三角形沿底边上的高对折，
3.如果以这个等腰三角形的顶角顶点为圆心，腰长为半径画
圆，得到的图形是否是轴对称图形呢？
活动目的：
通过等腰三角形的轴对称性向圆的轴对称性过渡，引导学生思考，培养学生类比分析的能力．
第二环节猜想探索
活动内容：
1．如图，AB是⊙O的一条弦，作直径CD，使CD
⊥AB，垂足为M．
（1）该图是轴对称图形吗？如果是，其对称轴是什么？
（2）你能图中有哪些等量关系？说一说你的理由．
条件：①CD是直径；②CD⊥AB
结论（等量关系）：③AM=BM；
④⌒AC=⌒BC；⑤⌒AD=⌒BD.
证明：连接OA,OB,则OA=OB.
在Rt△OAM和Rt△OBM中,
∵OA=OB，OM=OM，
∴Rt△OAM≌Rt△OBM.
∴AM=BM.
∴点A和点B关于CD对称.
∵⊙O关于直径CD对称,
∴当圆沿着直径CD对折时, 点A与点B重合,
⌒AC和⌒BC重合,⌒AD和⌒BD重合.
∴⌒AC=⌒BC，⌒AD=⌒BD.
2．证明完毕后，让学生自行用文字语言表述这一结论，最后提炼出垂径定理的内容——垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧．
3．辨析：判断下列图形，能否使用垂径定理？
注意：定理中的两个条件缺一不可——直径（半径），垂直于弦．
通过以上辨析，让学生对垂径定理的两个条件的必要性有更充分的认识．
4．垂径定理逆定理的探索
如图，AB 是⊙O 的弦（不是直径），作一条平分AB 的直径CD ，交AB 于点M .
（1）下图是轴对称图形吗？如果是，其对称轴是什么？
（2）图中有哪些等量关系？说一说你的理由.
条件：① CD 是直径；② AM =BM
结论（等量关系）：③CD ⊥AB ； ④⌒AC
=⌒BC ；⑤⌒AD =⌒BD . 让学生模仿垂径定理的证明过程，自行证明逆定理，并表述逆定理的内容 ——平分弦（不是直径）的直径垂直于弦,并且平分弦所对的两条弧.
5．辨析：“平分弦（不是直径）的直径垂直于弦,并且平分弦所对的两条弧．”如果该定理少了“不是直径”，是否也能成立？
O C D B A O C D E O C D B
反例：
活动目的：
活动1的主要目的是通过让学生猜想、类比、探索和证明获得新知，从而得到研究数学的多种方法的体会，获取经验；活动2 的主要目的是让学生通过对定理表述反复的语言提炼，锻炼学生的归纳能力和严谨的表述能力，并对定理的条件和结论有更深刻的理解和认识；活动3的主要目的是通过反例使学生对定理的严谨性有更深的认识；活动4的主要目的与活动1相似，并让学生与活动1类比，提高探索能力；活动5的主要目的与活动3相似．
实际教学效果：
在活动1中的证明时，学生对如何证明平分弦，可能会有一定困难，此时应引导学生类比等腰三角形，通过连接OA、OB，构造等腰三角形，并利用三角形全等的知识来证明；另外，在证明直径平分弦所对的弧，也是一个难点，学生会觉得比较难表述，这时应类比等腰三角形的轴对称性，运用圆的轴对称性启发引导；在活动2中，学生的说法可能不够准确、精炼，但教师应该鼓励学生坚持勇于尝试，让学生互相指出说法的不足和缺陷，互相加以修正，在反复的语言提炼中对定理的条件和结论有更深刻的理解和认识，这也是一个自主构建的过程；活动3是通过反例说明定理的条件的必要性和严谨性，要注意让学生学会通过反例找出对应缺失的条件，提高学生对定理的理解；在活动4中，学生已经有了活动1的经验，教师应放手让学生去猜想、类比、探索和证明，增加学生对数学知
识的探索的领悟和经验；活动5与活动3相似．
第三环节 知识应用
活动内容：
讲解例题及完成随堂练习．
1．例：如图，一条公路的转弯处是一段圆弧（即图中⌒CD
,点0是⌒CD 所在圆的圆心），其中CD =600m ，E 为⌒CD
上的一点，且OE ⊥CD ，垂足为F ，EF =90m.求这段弯路的半
径．
解：连接OC ，设弯路的半径为R m,则OF =(R -90)m ．
∵OE ⊥CD
3006002
121=⨯==∴CD CF 根据勾股定理，得
OC ²=CF ² +OF ²
即 R ²=300²+(R -90)².
解这个方程，得R =545.
所以，这段弯路的半径为545m.
2．随堂练习1．1400年前，我国隋朝建造的赵州石拱桥的桥拱是圆弧形，它的跨度（弧所对的弦长）为37.4米，拱高（即弧的中点到弦的距离）为7.2米，求桥拱所在圆的半径．（结果精确到0.1米）．