高中数学必修5不等式训练(含详细答案)

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高中数学必修5不等式解答题专项练习附答案学生版

淇淋供不应求．
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（1）求冰淇淋店进一次货，经加工售卖后所得净利润 w 与车速 v 和进货量 x 之间的关系式；（2）每次至少进货多少千克，才能使得销售后不会亏本（净利润 w≥0）？（3）当一次进货量 x 与车速 v 分别为多少时，能使得冰淇淋店有最大净利润？并求出最大值．（提示：
（I）用 x，y 列出满足题目条件的数学关系式，并画出相应的平面区域；（II）问电视台每周播出甲、乙两套连续剧各多少次，才能使总收视人次最多？
19.已知动点到定点
和到直线
2 的距离之比为 2 ，设动点的轨迹为曲线，过点作
2
垂直于轴的直线与曲线相交于两点，直线
ā 与曲线交于 h 两点，与相交于
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18.电视台播放甲、乙两套连续剧，每次播放连续剧时，需要播放广告．已知每次播放甲、乙两套连续剧时，连续剧播放时长、广告播放时长、收视人次如下表所示：
连续剧播放时长（分钟）广告播放时长（分钟）收视人次（万）
甲
70
5
60
乙
60
5
25
已知电视台每周安排的甲、乙连续剧的总播放时间不多于 600 分钟，广告的总播放时间不少于 30 分钟，且甲连续剧播放的次数不多于乙连续剧播放次数的 2 倍．分别用 x，y 表示每周计划播出的甲、乙两套连续剧的次数．（13 分）
一点（交点位于线段上，且与不重合）.
（1）求曲线的方程；值？若有，求出其最大值及对
应的直线的方程；若没有，请说明理由.
20.已知函数
2
（1）若
，求关于
（2）若不等式 ⩽
2
2
的不等式
对任意实数

必修五不等式练习题及参考答案

必修五不等式练习题及参考答案一、选择题。

1．一元二次不等式220ax bx ++>的解集是11(,)23-，则a b +的值是（）。

A. 10B. 10-C. 14D. 14-3、一元二次不等式02>++n mx mx 的解集是{}12|<<-x x ，则m ，n 的值分别是（）A 、3,23=-=n m B 、3,23==n m C 、3,23-==n m D 、3,23-=-=n m4、不等式0322>-+x x 的解集是（）A.{x|-1＜x ＜3}B.{x|x ＞3或x ＜-1}C.{x|-3＜x ＜1}D.{x|x>1或x ＜-3}5、若对于任何实数，二次函数y=a x 2-x+c 的值恒为负，那么a 、c 应满足（）A 、a ＞0且a c ≤41 B 、a ＜0且a c ＜41C 、a ＜0且a c ＞41D 、a ＜0且a c ＜06、在坐标平面上，不等式组⎪⎩⎪⎨⎧≥+-≥+≤020,3y x y x x 所表示的平面区域的面积为（）A ．28B ．16C ．439D ．121 7、不等式6)23)(5(-≥-+x x 的解集是（） A 、}29,1|{≥-≤x x x 或 B 、}291|{≤≤-x x C 、}1,29|{≥-≤x x x 或 D 、}129|{≤≤-x x 112、的取植范围是的两侧，则）在直线，）和（，点（a a y x 0236413=+--（）A ．24,7>-<a a 或 B. 24,7=-=a a 或 C. 247<<-a D. 724<<-a二填空题。

14、已知_______,41,4=-+-=>x xx y x 当函数时，函数有最_______值是 . 15、不等式0)3)(2(2>--x x 的解集是_______________________________三、解答题。

高二数学必修5第三章不等式章末训练题精选（含解析）

⼀、选择题(本⼤题共12⼩题，每⼩题5分，共60分)1.原点和点(1,1)在直线x+y=a两侧，则a的取值范围是( )A.a<0或a>2B.0答案　B2.若不等式ax2+bx-2>0的解集为x|-2A.-18B.8C.-13D.1答案　C解析　∵-2和-14是ax2+bx-2=0的两根.∴-2+-14=-ba -2 ×-14=-2a，∴a=-4b=-9.∴a+b=-13.3.如果a∈R，且a2+a<0，那么a，a2，-a，-a2的⼤⼩关系是( )A.a2>a>-a2>-aB.-a>a2>-a2>aC.-a>a2>a>-a2D.a2>-a>a>-a2答案　B解析　∵a2+a<0，∴a(a+1)<0，∴-1a2>-a2>a.4.不等式1x<12的解集是( )A.(-∞，2)B.(2，+∞)C.(0,2)D.(-∞，0)∪(2，+∞)答案　D解析　1x<12⇔1x-12<0⇔2-x2x<0⇔x-22x>0⇔x<0或x>2.5.设变量x，y满⾜约束条件x+y≤3，x-y≥-1，y≥1，则⽬标函数z=4x+2y的值为( )A.12B.10C.8D.2答案　B解析　画出可⾏域如图中阴影部分所⽰，⽬标函数z=4x+2y可转化为y=-2x+z2，作出直线y=-2x并平移，显然当其过点A时纵截距z2.解⽅程组x+y=3，y=1得A(2,1)，∴zmax=10.6.已知a、b、c满⾜cA.ab>acB.c(b-a)>0C.ab2>cb2D.ac(a-c)<0答案　C解析　∵c0，c<0.⽽b与0的⼤⼩不确定，在选项C中，若b=0，则ab2>cb2不成⽴.7.已知集合M={x|x2-3x-28≤0}，N={x|x2-x-6>0}，则M∩N为( )A.{x|-4≤xB.{x|-4C.{x|x≤-2或x>3}D.{x|x答案　A解析　∵M={x|x2-3x-28≤0}={x|-4≤x≤7}，N={x|x2-x-6>0}={x|x3}，∴M∩N={x|-4≤x8.在R上定义运算⊗：x⊗y=x(1-y)，若不等式(x-a)⊗(x+a)<1对任意实数x成⽴，则( )A.-1答案　C解析　(x-a)⊗(x+a)=(x-a)(1-x-a)<1⇔-x2+x+(a2-a-1)<0恒成⽴⇔Δ=1+4(a2-a-1)<0⇔-129.在下列各函数中，最⼩值等于2的函数是( )A.y=x+1xB.y=cos x+1cos x (0C.y=x2+3x2+2D.y=ex+4ex-2答案　D解析　选项A中，x>0时，y≥2，x<0时，y≤-2;选项B中，cos x≠1，故最⼩值不等于2;选项C中，x2+3x2+2=x2+2+1x2+2=x2+2+1x2+2，当x=0时，ymin=322.选项D中，ex+4ex-2>2ex•4ex-2=2，当且仅当ex=2，即x=ln 2时，ymin=2，适合.10.若x，y满⾜约束条件x+y≥1x-y≥-12x-y≤2，⽬标函数z=ax+2y仅在点(1,0)处取得最⼩值，则a的取值范围是( )A.(-1,2)B.(-4,2)C.(-4,0]D.(-2,4)答案　B解析　作出可⾏域如图所⽰，直线ax+2y=z仅在点(1,0)处取得最⼩值，由图象可知-1即-411.若x，y∈R+，且2x+8y-xy=0，则x+y的最⼩值为( )A.12B.14C.16D.18答案　D解析　由2x+8y-xy=0，得y(x-8)=2x，∵x>0，y>0，∴x-8>0，得到y=2xx-8，则µ=x+y=x+2xx-8=x+ 2x-16 +16x-8=(x-8)+16x-8+10≥2 x-8 •16x-8+10=18，当且仅当x-8=16x-8，即x=12，y=6时取“=”.12.若实数x，y满⾜x-y+1≤0，x>0，则yx-1的取值范围是( )A.(-1,1)B.(-∞，-1)∪(1，+∞)C.(-∞，-1)D.[1，+∞)答案　B解析　可⾏域如图阴影，yx-1的⼏何意义是区域内点与(1,0)连线的斜率，易求得yx-1>1或yx-1⼆、填空题(本⼤题共4⼩题，每⼩题4分，共16分)13.若A=(x+3)(x+7)，B=(x+4)(x+6)，则A、B的⼤⼩关系为________.答案　A14.不等式x-1x2-x-30>0的解集是________________________________________________________________________.答案　{x|-56}15.如果a>b，给出下列不等式：①1a<1b;②a3>b3;③a2>b2;④2ac2>2bc2;⑤ab>1;⑥a2+b2+1>ab+a+b.其中⼀定成⽴的不等式的序号是________.答案　②⑥解析　①若a>0，b<0，则1a>1b，故①不成⽴;②∵y=x3在x∈R上单调递增，且a>b.∴a3>b3，故②成⽴;③取a=0，b=-1，知③不成⽴;④当c=0时，ac2=bc2=0,2ac2=2bc2，故④不成⽴;⑤取a=1，b=-1，知⑤不成⽴;⑥∵a2+b2+1-(ab+a+b)=12[(a-b)2+(a-1)2+(b-1)2]>0，∴a2+b2+1>ab+a+b，故⑥成⽴.16.⼀批货物随17列货车从A市以v千⽶/⼩时匀速直达B市，已知两地铁路线长400千⽶，为了安全，两列货车的间距不得⼩于v202千⽶，那么这批货物全部运到B市，最快需要________⼩时.答案　8解析　这批货物从A市全部运到B市的时间为t，则t=400+16v202v=400v+16v400≥2 400v×16v400=8(⼩时)，当且仅当400v=16v400，即v=100时等号成⽴，此时t=8⼩时.三、解答题(本⼤题共6⼩题，共74分)17.(12分)若不等式(1-a)x2-4x+6>0的解集是{x|-3(1)解不等式2x2+(2-a)x-a>0;(2)b为何值时，ax2+bx+3≥0的解集为R.解　(1)由题意知1-a<0且-3和1是⽅程(1-a)x2-4x+6=0的两根，∴1-a<041-a=-261-a=-3，解得a=3.∴不等式2x2+(2-a)x-a>0即为2x2-x-3>0，解得x32.∴所求不等式的解集为x|x32.(2)ax2+bx+3≥0，即为3x2+bx+3≥0，若此不等式解集为R，则b2-4×3×3≤0，∴-6≤b≤6.18.(12分)解关于x的不等式56x2+ax-a2<0.解　原不等式可化为(7x+a)(8x-a)<0，即x+a7x-a8<0.①当-a70时，-a7②当-a7=a8，即a=0时，原不等式解集为∅;③当-a7>a8，即a<0时，a8综上知，当a>0时，原不等式的解集为x|-a7当a=0时，原不等式的解集为∅;当a<0时，原不等式的解集为x|a819.(12分)证明不等式：a，b，c∈R，a4+b4+c4≥abc(a+b+c).证明　∵a4+b4≥2a2b2，b4+c4≥2b2c2，c4+a4≥2c2a2，∴2(a4+b4+c4)≥2(a2b2+b2c2+c2a2)即a4+b4+c4≥a2b2+b2c2+c2a2.⼜a2b2+b2c2≥2ab2c，b2c2+c2a2≥2abc2，c2a2+a2b2≥2a2bc.∴2(a2b2+b2c2+c2a2)≥2(ab2c+abc2+a2bc)，即a2b2+b2c2+c2a2≥abc(a+b+c).∴a4+b4+c4≥abc(a+b+c).20.(12分)某投资⼈打算投资甲、⼄两个项⽬，根据预测，甲、⼄项⽬可能的盈利率分别为100%和50%，可能的亏损率分别为30%和10%，投资⼈计划投资⾦额不超过10万元，要求确保可能的资⾦亏损不超过1.8万元，问投资⼈对甲、⼄两个项⽬各投资多少万元，才能使可能的盈利?解　设投资⼈分别⽤x万元、y万元投资甲、⼄两个项⽬，由题意知x+y≤10，0.3x+0.1y≤1.8，x≥0，y≥0.⽬标函数z=x+0.5y.上述不等式组表⽰的平⾯区域如图所⽰，阴影部分(含边界)即可⾏域.作直线l0：x+0.5y=0，并作平⾏于直线l0的⼀组直线x+0.5y=z，z∈R，与可⾏域相交，其中有⼀条直线经过可⾏域上的M点，且与直线x+0.5y=0的距离，这⾥M点是直线x+y=10和0.3x+0.1y=1.8的交点.解⽅程组x+y=10，0.3x+0.1y=1.8，得x=4，y=6，此时z=1×4+0.5×6=7(万元).∵7>0，∴当x=4，y=6时，z取得值.答　投资⼈⽤4万元投资甲项⽬、6万元投资⼄项⽬，才能在确保亏损不超过1.8万元的前提下，使可能的盈利.21.(12分)设a∈R，关于x的⼀元⼆次⽅程7x2-(a+13)x+a2-a-2=0有两实根x1，x2，且0解　设f(x)=7x2-(a+13)x+a2-a-2.因为x1，x2是⽅程f(x)=0的两个实根，且0所以f 0 >0，f 1 <0，f 2 >0⇒a2-a-2>0，7- a+13 +a2-a-2<0，28-2 a+13 +a2-a-2>0⇒a2-a-2>0，a2-2a-8<0，a2-3a>0⇒a2，-23⇒-2所以a的取值范围是{a|-222.(14分)某商店预备在⼀个⽉内分批购买每张价值为20元的书桌共36台，每批都购⼊x台(x是正整数)，且每批均需付运费4元，储存购⼊的书桌⼀个⽉所付的保管费与每批购⼊书桌的总价值(不含运费)成正⽐，若每批购⼊4台，则该⽉需⽤去运费和保管费共52元，现在全⽉只有48元资⾦可以⽤于⽀付运费和保管费.(1)求该⽉需⽤去的运费和保管费的总费⽤f(x);(2)能否恰当地安排每批进货的数量，使资⾦够⽤?写出你的结论，并说明理由.解　(1)设题中⽐例系数为k，若每批购⼊x台，则共需分36x批，每批价值20x.由题意f(x)=36x•4+k•20x，由x=4时，y=52，得k=1680=15.∴f(x)=144x+4x (0(2)由(1)知f(x)=144x+4x (0∴f(x)≥2144x•4x=48(元).当且仅当144x=4x，即x=6时，上式等号成⽴.故只需每批购⼊6张书桌，可以使资⾦够⽤.。

高中数学必修五不等式知识点+练习题含答案解析(非常详细 )

第一部分必修五不等式知识点整理第三章不等式1.不等式的性质:① c a c b b a >⇒>>,② ,,c b c a R c b a +>+⇒∈>推论:d b c a d c b a +>+⇒⎭⎬⎫>>③ 000;0;0>>⇒⎭⎬⎫>>>><⇒⎭⎬⎫<>>⇒⎭⎬⎫>>bd ac d c b a bc ac c b a bc ac c b a④ 00;00>>⇒>>>>⇒>>n n n n b a b a b a b a2.一元二次不等式及其解法:①.()c bx ax x f c bx ax c bx ax ++==++>++222,0,0注重三者之间的密切联系。

如：2ax bx c ++＞0的解为：α＜x ＜β, 则2ax bx c ++＝0的解为12,x x αβ==；函数()2f x ax bx c =++的图像开口向下，且与x 轴交于点(),0α，(),0β。

对于函数()c bx ax x f ++=2，一看开口方向,二看对称轴，从而确定其单调区间等。

②.注意二次函数根的分布及其应用.如：若方程2280x ax -+=的一个根在（0，1）上，另一个根在（4,5）上，则有(0)f ＞0且(1)f ＜0且(4)f ＜0且(5)f ＞03.不等式的应用： ①基本不等式：当a ＞0,b ＞0且ab 是定值时，a+b 有最小值；当a ＞0,b ＞0且a+b 为定值时，ab 有最大值。

②简单的线性规划:()00>>++A C By Ax 表示直线0=++C By Ax 的右方区域.()00><++A C By Ax 表示直线0=++C By Ax 的左方区域①.找出所有的线性约束条件。

②.确立目标函数。

(典型题)高中数学必修五第三章《不等式》测试卷(含答案解析)(1)

一、选择题1．已知正数x ，y 满足1431x y +=+，则x y +的最小值为（） A ．53B ．2C ．73D ．62．设实数x ，y 满足约束条件21,22,x y x y -≤⎧⎨-≥⎩则x y +的最小值是（）A ．2B ．-2C ．1D ．-13．已知a b >，不等式220ax x b ++≥对于一切实数x 恒成立，且0x R ∃∈，使得20020ax x b ++=成立，则22a b a b+-的最小值为（）A ．1BC ．2D．4．若x ､y 满足约束条件36022x y x y y +-≤⎧⎪+≥⎨⎪≤⎩，则22x y +的最小值为（）A ．5B ．4C ．2D5．已知实数,x y 满足24240x y x y y -≥⎧⎪+≤⎨⎪≤⎩，则32z x y =-的最小值是（）A ．4B ．5C ．6D ．76．设,x y 满足约束条件321104150250x y x y x y +-≥⎧⎪-+≥⎨⎪--≤⎩，则z x y =+的最小值为（）A ．3B ．4C ．5D ．107．若函数()1xy a a =>的图象与不等式组40,20,1x y y x -≤⎧⎪-≥⎨⎪≤+⎩，表示的区域有公共点，则a 的取值范围为（） A ．[]2,4B．⎤⎦C ．(][)1,24,⋃+∞D．([)2,⋃+∞8．已知函数()32f x x ax bx c =+++，且()()()01233f f f <-=-=-≤，则( )A ．c 3≤B ．3c 6<≤C ．6c 9<≤D ．c 9>9．设x ，y 满足约束条件261322x y x y y -≤⎧⎪⎪+≥⎨⎪≤⎪⎩，则1z x y =-+的最小值是（）A ．1-B ．0C ．1D ．210．在ABC 中，BAC ∠的平分线交BC 于D .若3BAC π∠=，4AB AC +=，则AD 长度的最大值为（） AB ．2C ．3D．11．设函数2()1f x mx mx =--，若对于任意的x ∈{x |1 ≤ x ≤ 3}，()4f x m <-+恒成立，则实数m 的取值范围为（） A ．m ≤0 B ．0≤m <57C ．m <0或0<m <57D ．m <5712．已知不等式230ax bx a --≥的解集是[]4,1-，则b a 的值为（） A ．-64B ．-36C ．36D ．64二、填空题13．若正实数x 、y 、z ，满足3z x y +=，4z y x +=，则x y x y z++-的最小值为_______.14．已知x ，y 满足不等式组220,10,30x y x y x +-≥⎧⎪-+≥⎨⎪-≤⎩，则11x z y -=+，则z 的最大值为________.15．若关于x 的不等式250ax x b -+< 的解集为{|23}x x << ，则+a b 的值是__________．16．若不等式20++≥x mx m 在[1,2]x ∈上恒成立，则实数m 的最小值为________ 17．在下列函数中， ①1y x x=+②1123212y x x x ⎛⎫=++< ⎪-⎝⎭③()2114141x y x x x x ⎛⎫=++> ⎪+⎝⎭ ④22221πsin cos 0,sin cos 2y x x x x x ⎛⎫⎛⎫=+∈ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭其中最小值为2的函数是__________.18．若关于x 的不等式()0f x <和()0g x <的解集分别为(),a b 和11,b a ⎛⎫⎪⎝⎭,则称这两个不等式为“对偶不等式”.若不等式()2220x x θ-+<和不等式()224sin 210x x θ++<为“对偶不等式”,且,2πθπ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭,则θ=______.19．若实数x ，y 满足约束条件103030x y x y x -+≥⎧⎪+-≥⎨⎪-≤⎩，则3z x y =-的最小值为__________．20．记等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，满足570a a ，1122S =，则7811572a a a a a 的最小值为_________.三、解答题21．2020年受疫情影响，全球经济均受到不同程度的冲击.为稳妥有序地推进复工复产，2月11日晚，郑州市相关政府部门印发了《郑州市关于应对新型冠状病毒肺炎疫情促进经济平稳健康发展的若干举措》的通知，并出台多条举措促进全市经济平稳健康发展.某工厂为拓宽市场，计划生产某种热销产品，经调查，该产品一旦投入市场就能全部售出.若不举行促销活动，该产品的年销售量为28万件，若举行促销活动，年销售量y (单位；万件)与年促销费用()0x x ≥(单位；万元)满足3010(ky k x =-+为常数).已知生产该产品的固定成本为80万元，每生产1万件该产品需要再投入生产成本160万元，厂家将每件产品的销售价格定为每件产品平均成本的1.5倍(产品成本包括固定成本和生产成本，不包括促销成本). （1）求k 的值，并写出该产品的利润L (单位:万元)与促销费用x (单位:万元)的函数关系﹔ （2）该工厂计划投入促销费用多少万元，才能获得最大利润?22．已知m R ∈，命题p ：对任意[]0,1x ∈，不等式2223x m m -≥-恒成立；命题q ：存在[]1,1x ∈-，使得m ax ≤成立．（1）若p 为真命题，求m 的取值范围；（2）当1a =时，若p q ∨为真，p q ∧为假，求m 的取值范围． 23．已知()f x 是偶函数，()g x 是奇函数，且2()()2f x g x x x +=+-. （1）求()f x 和()g x 的解析式；（2）设2()33h x mx mx =+-（其中m R ∈），解不等式()()h x g x <.24．已知函数2221,()?23,x ax x af x x ax x a ⎧-+<⎪⎪=⎨⎪+-≥⎪⎩，其中 0a >．（1）若()()01ff =，求a 的值．（2）若函数()f x 的图象在x 轴的上方，求a 的取值范围． 25．已知函数()()21,4f x ax bx a b R =++∈，且()10f -=，对任意实数x ，()0f x ≥成立.（1）求函数()f x 的解析式；（2）若0c ≥，解关于x 的不等式()2131424f x c x x c ⎛⎫⎛⎫>+-++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭. 26．某单位计划建造一间背面靠墙的小屋，其地面面积为12m 2，墙面的高度为3m ，经测算，屋顶的造价为5800元，房屋正面每平方米的造价为1200元，房屋侧面每平方米的造价为800元，设房屋正面地面长方形的边长为x m ，房屋背面和地面的费用不计. （1）用含x 的表达式表示出房屋的总造价；（2）当x 为多少时，总造价最低？最低造价是多少？【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．B 解析：B 【分析】化简114[(1)]()131x y x y x y +=++⨯+-+，再利用基本不等式求解. 【详解】由题得1114(1)1[(1)]31[(1)]()1331x y x y x y x y x y +=++-=++⨯-=++⨯+-+ 1141(5)1(5)123131y x x y y +=++-≥+-=++ 当且仅当1x y ==时取等. 所以x y +的最小值为2. 故选：B 【点睛】方法点睛：利用基本不等式求最值时，常用到常量代换，即把所求代数式中的某一常量换成已知中的代数式，再利用基本不等式求解.2．C解析：C 【分析】先作出约束条件对应的可行域，然后分析目标函数的几何意义，结合图形即可求解. 【详解】作出约束条件2122x y x y -≤⎧⎨-≥⎩所表示的平面区域如图所示：移动直线x y z +=，可知当其过点A 时取得最小值，解方程组2122x y x y -≤⎧⎨-≥⎩，求得10x y =⎧⎨=⎩，即(1,0)A ，代入求得101=+=z ，所以x y +的最小值是1，故选：C. 【点睛】方法点睛：该题考查的是有关线性规划的问题，解题方法如下：（1）根据题中所给的约束条件画出可行域；（2）根据目标函数的意义找到最优解；（3）解方程组求得最优解的坐标；（4）代入求得最小值，得到结果.3．D解析：D 【分析】根据条件对于一切实数x 不等式恒成立和0x R ∃∈使得方程成立结合二次不等式、二次方程、二次函数，可得1ab =，将22a b a b+-化成2a b a b -+-，再结合基本不等式求解即可.【详解】解：因为不等式220ax x b ++≥对于一切实数x 恒成立，所以0440a ab >⎧⎨-≤⎩，又因为0x R ∃∈，使得20020ax x b ++=成立，所以440ab -≥，所以440ab -=，即0,0,1a b ab >>=，所以222()2222a b a b ab a b a b a b a b+-+==-+≥---，当且仅当2a b a b-=-时取得最小值. 故选：D. 【点睛】易错点睛：利用基本不等式求最值时，要注意其必须满足的三个条件：（1）“一正二定三相等”“一正”就是各项必须为正数；（2）“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把构成积的因式的和转化成定值；（3）“三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方.4．C解析：C 【分析】由不等式组作出可行域，如图,目标函数22xy +可视为可行域中的点与原点距离的平方，故其最小值应为原点到直线2x y +=的距离平方，根据点到直线的距离公式可得选项. 【详解】由不等式组做出可行域如图，目标函数22xy +可视为可行域内的点与原点距离的平方，故其最小值为原点到直线2x y +=的距离的平方，由点到直线的距离公式可知，原点到直线2x y +=的距离为22d ==，所以所求最小值为2. 故选:C.【点睛】本题主要考查线性规划问题，首先由不等式组作出相应的可行域，作图时，可将不等式0Ax By C ++≥转化为y kx b ≤+（或y kx b ≥+），明确可行域对应的是封闭区域还是开放区域、分界线是实线还是虚线，其次确定目标函数的几何意义，是求直线的截距、两点间距离的平方、直线的斜率、还是点到直线的距离等等，最后结合图形确定目标函数最值取法、值域范围.5．C解析：C【分析】由约束条件画出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解，联立方程组得到最优解的坐标，代入目标函数得到答案.【详解】由实数x，y满足2424x yx yy-≥⎧⎪+≤⎨⎪≤⎩得到可行域如图：z＝3x﹣2y变形为y＝32x﹣2z，由24yx y=⎧⎨-=⎩，解得B（2，0）当此直线经过图中B时，在y轴的截距最大，z最小，所以z的最小值为3×2﹣2×0＝6；故选C．【点睛】本题主要考查线性规划中利用可行域求目标函数的最值，求目标函数最值的一般步骤是“一画、二移、三求”：（1）作出可行域（一定要注意是实线还是虚线）；（2）找到目标函数对应的最优解对应点（在可行域内平移变形后的目标函数，最先通过或最后通过的顶点就是最优解）；（3）将最优解坐标代入目标函数求出最值.6．B解析：B【分析】结合题意画出可行域，然后运用线性规划知识来求解【详解】如图由题意得到可行域，改写目标函数得y x z =-+，当取到点(3,1)A 时得到最小值，即314z =+=故选B 【点睛】本题考查了运用线性规划求解最值问题，一般步骤：画出可行域，改写目标函数，求出最值，需要掌握解题方法7．B解析：B 【分析】由约束条件作出可行域，再由指数函数的图象经过A ，B 两点求得a 值，则答案可求．【详解】解：由约束条件40,20,1x y y x -⎧⎪-⎨⎪+⎩作出可行域如图：当1x =时，2y a =≤；当4x =时，42y a =≥，则42a ≥故a 的取值范围为42,2⎡⎤⎣⎦.故选：B ．【点睛】本题考查简单的线性规划，考查数形结合的解题思想方法，属于中档题．8．C解析：C 【分析】由()()()123f f f -=-=-可求得a b ，的值，代回不等关系得出c 的取值范围【详解】由()()()123f f f -=-=-可得184********a b c a b ca b c a b c -+-+=-+-+⎧⎨-+-+=-+-+⎩解得611a b =⎧⎨=⎩则()32611f x x x x c =+++ 所以()16f c -=-，()013f <-≤所以0c 63-≤＜，解得6c 9≤＜，故选C . 【点睛】本题主要考查了函数的性质，运用待定系数法求出参量的值，然后结合题意求出取值范围，较为基础．9．C解析：C 【分析】作出约束条件所表示的平面区域，结合图象确定目标函数的最优解，代入求解，即可得到答案. 【详解】作出x ，y 满足约束条件261322x y x y y -≤⎧⎪⎪+≥⎨⎪≤⎪⎩，所对应的可行域，如图所示，目标函数1z x y =-+可化为1y x z =+-，当直线1y x z =+-过点A 时，此时直线在y 轴上的截距最大值，此时目标函数取得最小值，又由2132y x y =⎧⎪⎨+=⎪⎩，解得(2,2)A ，所以目标函数的最小值为min 2211z =-+=. 故选：C.【点睛】本题主要考查简单线性规划求解目标函数的最值问题．其中解答中正确画出不等式组表示的可行域，利用“一画、二移、三求”，确定目标函数的最优解是解答的关键，着重考查了数形结合思想，及推理与计算能力，属于基础题．10．A解析：A 【分析】根据题意，设,,,AD t AB c AC b ===由三角形面积公式1sin 2S a b θ=⋅⋅可表示出,,ACD ABD ABC ∆∆∆三者之间的关系，进而得边长关系为3,t bc =最后通过基本不等式求得AD 的最大值。

高中数学必修5基本不等式精选题目(附答案)

高中数学必修5基本不等式精选题目(附答案）1．重要不等式当a ，b 是任意实数时，有a 2＋b 2≥2ab ，当且仅当a ＝b 时，等号成立． 2．基本不等式(1)有关概念：当a ，b 均为正数时，把a ＋b2叫做正数a ，b 的算术平均数，把ab 叫做正数a ，b 的几何平均数．(2)不等式：当a ，b 是任意正实数时，a ，b 的几何平均数不大于它们的算术平均数，即ab ≤a ＋b2，当且仅当a ＝b 时，等号成立．(3)变形：ab ≤⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋b 22≤a 2＋b 22，a ＋b ≥2ab (其中a ＞0，b ＞0，当且仅当a＝b 时等号成立)．题型一：利用基本不等式比较大小1.已知m ＝a ＋1a －2(a >2)，n ＝22－b 2(b ≠0)，则m ，n 之间的大小关系是( ) A ．m >n B ．m <n C ．m ＝nD ．不确定2.若a >b >1，P ＝lg a ·lg b ，Q ＝12(lg a ＋lg b )，R ＝lg a ＋b 2，则P ，Q ，R 的大小关系是________．题型二：利用基本不等式证明不等式3.已知a ，b ，c 均为正实数，求证：2b ＋3c －a a ＋a ＋3c －2b 2b ＋a ＋2b －3c3c ≥3.4.已知a ，b ，c 为正实数，且a ＋b ＋c ＝1，求证：⎝ ⎛⎭⎪⎫1a －1⎝ ⎛⎭⎪⎫1b －1⎝ ⎛⎭⎪⎫1c －1≥8.题型三：利用基本不等式求最值5.已知lg a ＋lg b ＝2，求a ＋b 的最小值．6.已知x ＞0，y ＞0，且2x ＋3y ＝6，求xy 的最大值．7.已知x ＞0，y ＞0，1x ＋9y ＝1，求x ＋y 的最小值．8．已知a >0，b >0，2a ＋1b ＝16，若不等式2a ＋b ≥9m 恒成立，则m 的最大值为( )A ．8B ．7C ．6D ．5题型四：利用基本不等式解应用题9.某单位决定投资3 200元建一仓库(长方体状)，高度恒定，它的后墙利用旧墙不花钱，正面用铁栅，每米长造价40元，两侧墙砌砖，每米长造价45元，顶部每平方米造价20元，求：(1)仓库面积S 的最大允许值是多少？(2)为使S 达到最大，而实际投资又不超过预算，那么正面铁栅应设计为多长？巩固练习：1．下列结论正确的是( ) A ．当x >0且x ≠1时，lg x ＋1lg x ≥2 B ．当x >0时，x ＋1x≥2 C ．当x ≥2时，x ＋1x 的最小值为2 D ．当0<x ≤2时，x －1x 无最大值2．下列各式中，对任何实数x 都成立的一个式子是( ) A ．lg(x 2＋1)≥lg(2x ) B ．x 2＋1>2x C.1x 2＋1≤1 D ．x ＋1x ≥23．设a ，b 为正数，且a ＋b ≤4，则下列各式中正确的一个是( ) A.1a ＋1b <1 B.1a ＋1b ≥1 C.1a ＋1b <2D.1a ＋1b ≥24．四个不相等的正数a ，b ，c ，d 成等差数列，则( ) A.a ＋d2>bcB.a ＋d2<bcC.a＋d2＝bc D.a＋d2≤bc5．若x>0，y>0，且2x＋8y＝1，则xy有()A．最大值64B．最小值1 64C．最小值12D．最小值646．若a>0，b>0，且1a＋1b＝ab，则a3＋b3的最小值为________．7．(2017·江苏高考)某公司一年购买某种货物600吨，每次购买x吨，运费为6万元/次，一年的总存储费用为4x万元．要使一年的总运费与总存储费用之和最小，则x的值是________．8．若对任意x>0，xx2＋3x＋1≤a恒成立，则a的取值范围是________．9．(1)已知x<3，求f(x)＝4x－3＋x的最大值；参考答案：1.解：因为a>2，所以a－2>0，又因为m＝a＋1a－2＝(a－2)＋1a－2＋2，所以m≥2(a－2)·1a－2＋2＝4，由b≠0，得b2≠0，所以2－b2<2，n＝22－b2<4，综上可知m>n.2.解：因为a>b>1，所以lg a>lg b>0，所以Q＝12(lg a＋lg b)>lg a·lg b＝P；Q＝12(lg a＋lg b)＝lg a＋lg b＝lg ab<lga＋b2＝R.所以P<Q<R.3.[证明]∵a，b，c均为正实数，∴2ba＋a2b≥2(当且仅当a＝2b时等号成立)，3c a＋a3c≥2(当且仅当a＝3c时等号成立)，3c 2b ＋2b3c ≥2(当且仅当2b ＝3c 时等号成立)，将上述三式相加得⎝ ⎛⎭⎪⎫2b a ＋a 2b ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫3c a ＋a 3c ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫3c 2b ＋2b 3c ≥6(当且仅当a ＝2b ＝3c时等号成立)，∴⎝ ⎛⎭⎪⎫2b a ＋a 2b －1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫3c a ＋a 3c －1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫3c 2b ＋2b 3c －1≥3(当且仅当a ＝2b ＝3c 时等号成立)，即2b ＋3c －a a ＋a ＋3c －2b 2b ＋a ＋2b －3c 3c ≥3(当且仅当a ＝2b ＝3c 时等号成立)．4.证明：因为a ，b ，c 为正实数，且a ＋b ＋c ＝1，所以1a －1＝1－a a ＝b ＋c a ≥2bc a . 同理，1b －1≥2ac b ，1c －1≥2abc . 上述三个不等式两边均为正，相乘得⎝ ⎛⎭⎪⎫1a －1⎝ ⎛⎭⎪⎫1b －1⎝ ⎛⎭⎪⎫1c －1≥2bc a ·2ac b ·2abc ＝8，当且仅当a ＝b ＝c ＝13时，取等号.5.解：由lg a ＋lg b ＝2可得lg ab ＝2，即ab ＝100，且a ＞0，b ＞0，因此由基本不等式可得a ＋b ≥2ab ＝2100 ＝20，当且仅当a ＝b ＝10时，a ＋b 取到最小值20. 6.解：∵x ＞0，y ＞0,2x ＋3y ＝6， ∴xy ＝16(2x ·3y )≤16·⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋3y 22＝16·⎝ ⎛⎭⎪⎫622＝32，当且仅当2x ＝3y ，即x ＝32，y ＝1时，xy 取到最大值32. 7.解：∵1x ＋9y ＝1， ∴x ＋y ＝(x ＋y )·⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＋9y＝1＋9x y ＋y x ＋9＝y x ＋9xy ＋10，又∵x ＞0，y ＞0， ∴y x ＋9xy ＋10≥2y x ·9xy ＋10＝16，当且仅当y x ＝9xy ，即y ＝3x 时，等号成立．由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝3x ，1x ＋9y＝1，得⎩⎨⎧x ＝4，y ＝12，即当x ＝4，y ＝12时，x ＋y 取得最小值16.8.解析：选C 由已知，可得6⎝ ⎛⎭⎪⎫2a ＋1b ＝1，∴2a ＋b ＝6⎝ ⎛⎭⎪⎫2a ＋1b ·(2a ＋b )＝6⎝ ⎛⎭⎪⎫5＋2a b ＋2b a ≥6×(5＋4)＝54，当且仅当2a b ＝2b a 时等号成立，∴9m ≤54，即m ≤6，故选C.9.[解] (1)设铁栅长为x 米，一堵砖墙长为y 米，而顶部面积为S ＝xy ，依题意得，40x ＋2×45y ＋20xy ＝3 200，由基本不等式得3 200≥240x ×90y ＋20xy ＝120xy ＋20xy ，＝120S ＋20S .所以S ＋6S －160≤0，即(S －10)(S ＋16)≤0，故S ≤10，从而S ≤100，所以S 的最大允许值是100平方米，(2)取得最大值的条件是40x ＝90y 且xy ＝100，求得x ＝15，即铁栅的长是15米．练习：1.解析：选B A 中，当0<x <1时，lg x <0，lg x ＋1lg x ≥2不成立；由基本不等式知B 正确；C 中，由对勾函数的单调性，知x ＋1x 的最小值为52；D 中，由函数f (x )＝x －1x 在区间(0,2]上单调递增，知x －1x 的最大值为32，故选B.2.解析：选C 对于A ，当x ≤0时，无意义，故A 不恒成立；对于B ，当x ＝1时，x 2＋1＝2x ，故B 不成立；对于D ，当x <0时，不成立．对于C ，x 2＋1≥1，∴1x 2＋1≤1成立．故选C. 3.解析：选B 因为ab ≤⎝⎛⎭⎪⎫a ＋b 22≤⎝ ⎛⎭⎪⎫422＝4，所以1a ＋1b ≥21ab ≥214＝1.4.解析：选A 因为a ，b ，c ，d 成等差数列，则a ＋d ＝b ＋c ，又因为a ，b ，c ，d 均大于0且不相等，所以b ＋c >2bc ，故a ＋d2>bc .5.解析：选D 由题意xy ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋8y xy ＝2y ＋8x ≥22y ·8x ＝8xy ，∴xy ≥8，即xy 有最小值64，等号成立的条件是x ＝4，y ＝16.6.解析：∵a >0，b >0，∴ab ＝1a ＋1b ≥21ab ，即ab ≥2，当且仅当a ＝b ＝2时取等号，∴a 3＋b 3≥2(ab )3≥223＝42，当且仅当a ＝b ＝2时取等号，则a 3＋b 3的最小值为4 2.7.解析：由题意，一年购买600x 次，则总运费与总存储费用之和为600x ×6＋4x ＝4⎝ ⎛⎭⎪⎫900x ＋x ≥8900x ·x ＝240，当且仅当x ＝30时取等号，故总运费与总存储费用之和最小时x 的值是30.8.解析：因为x >0，所以x ＋1x ≥2.当且仅当x ＝1时取等号，所以有xx 2＋3x ＋1＝1x ＋1x ＋3≤12＋3＝15，即x x 2＋3x ＋1的最大值为15，故a ≥15. 答案：⎣⎢⎡⎭⎪⎫15，＋∞(2)已知x ，y 是正实数，且x ＋y ＝4，求1x ＋3y 的最小值． 9.解：(1)∵x <3， ∴x －3<0，∴f (x )＝4x －3＋x ＝4x －3＋(x －3)＋3 ＝－⎣⎢⎡⎦⎥⎤43－x ＋(3－x )＋3≤－243－x·(3－x )＋3＝－1，当且仅当43－x＝3－x ，即x ＝1时取等号， ∴f (x )的最大值为－1. (2)∵x ，y 是正实数，∴(x ＋y )⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＋3y ＝4＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y x ＋3x y ≥4＋2 3.当且仅当y x ＝3xy ，即x ＝2(3－1)，y ＝2(3－3)时取“＝”号．又x ＋y ＝4， ∴1x ＋3y ≥1＋32，故1x ＋3y 的最小值为1＋32.。

必修五不等式练习题含答案

不等式练习题第一部分1．下列不等式中成立的是（）A ．若a b >，则22ac bc >B ．若a b >，则22a b >C ．若0a b <<，则22a ab b <<D ．若0a b <<，则11>a b2．已知113344333,,552a b c ---⎛⎫⎛⎫⎛⎫=== ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，则,,a b c 的大小关系是（）(A).c a b << (B)a b c << (C)b a c << (D)c b a << 3．已知,,a b c 满足c b a <<且0ac <，下列选项中不一定．．．成立的是（）（A ）ab ac > （B ）()0c b a -> （C ）22cb ab > （D ）()0ac a c -< 4．规定记号“⊙”表示一种运算，定义a ⊙b=b a ab ++（a , b 为正实数），若1⊙k 2<3，则k 的取值范围为（）A ．11k -<<B ．01k <<C ．10k -<<D ．02k << 5．若,,a b c 为实数，则下列命题正确的是（） A ．若a b >，则22ac bc > B ．若0a b <<，则22a ab b >>C ．若0a b <<，则11a b < D ．若0a b <<，则b aa b>6．设0.5342log log 2a b c π-===，，，则（） A.b a c >> B. b c a >> C. a b c >> D.a c b >>7．在R 上定义运算)1(:y x y x -=⊗⊗，若不等式x a x a x 对任意实数1)()(<+⊗-成立，则实数a 的取值范围是( )．A ．{a|11<<-a }B ．{a|20<<a }C ．{a|2321<<-a }D ．{a|2123<<-a }8．已知正实数,x y 满足24x y +=，则14y xy+的最小值为．9．设y x ,为正实数，y x c xy p b y xy x a +==++=,,22.试比较c a 、的大小.10．已知不等式2520ax x +->的解集是M ．（1）若2M ∈，求a 的取值范围；（2）若{}122M x x =<<，求不等式22510ax x a -+->的解集．第二部分1．给出以下四个命题：①若a >b ，则1a <1b； ②若ac 2>bc 2，则a >b ；③若a >|b |，则a >b ； ④若a >b ，则a 2>b 2. 其中正确的是( )A ．②④B ．②③C ．①②D ．①③2．设a ，b ∈R ，若a －|b |>0，则下列不等式中正确的是( ) A ．b －a >0 B ．a 3＋b 2<0 C ．b ＋a >0 D ．a 2－b 2<0 3．在下列函数中，最小值是2的是( )A ．y ＝x 2＋2xB ．y ＝x ＋2x ＋1(x >0)C ．y ＝sin x ＋csc x ，x ∈(0，π2) D ．y ＝7x ＋7－x4．已知log a (a 2＋1)<log a 2a <0，则a 的取值范围是( ) A ．(0,1) B ．(12，1)C ．(0，12)D ．(1，＋∞)5．f (x )＝ax 2＋ax －1在R 上满足f (x )<0，则a 的取值范围是( ) A ．(－∞，0] B ．(－∞，－4) C ．(－4,0)D ．(－4,0]6．函数y ＝3x 2＋6x 2＋1的最小值是( )A ．32－3B ．－3C ．6 2D ．62－37．设a >0，b >0.若3是3a 与3b的等比中项，则1a ＋1b的最小值为( )A ．8B ．4C ．1D.148．已知当x >0时，不等式x 2－mx ＋4>0恒成立，则实数m 的取值范围是________． 9.已知A ＝{x |x 2－3x ＋2≤0}，B ＝{x |x 2－(a ＋1)x ＋a ≤0}． (1)若A B ，求a 的取值范围； (2)若B ⊆A ，求a 的取值范围10.已知x >0，y >0，且1x ＋9y＝1，求x ＋y 的最小值．11．已知a ，b ，c 都是正数，且a ＋b ＋c ＝1. 求证：(1－a )(1－b )(1－c )≥8abc .证明 ∵a 、b 、c 都是正数，且a ＋b ＋c ＝1，∴1－a ＝b ＋c ≥2bc >0， 1－b ＝a ＋c ≥2ac >0， 1－c ＝a ＋b ≥2ab >0.∴(1－a )(1－b )(1－c )≥2bc ·2ac ·2ab ＝8abc . 12．不等式kx 2－2x ＋6k <0(k ≠0)．(1)若不等式的解集为{x |x <－3或x >－2}，求k 的值； (2)若不等式的解集为R ，求k 的取值范围．参考答案第一部分1．D ．【解析】对于A ，若0c =，显然22ac bc >不成立；对于B ，若0b a <<，则22a b >不成立；对于C ，若0a b <<，则22a ab b >>，所以C 错；对于D ，若0a b <<，则10ab >，所以11>a b；故选D 2．D【解析】因为11034-<-<所以110343331555--⎛⎫⎛⎫⎛⎫>>= ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭即1a b >>，且30433122-⎛⎫⎛⎫<= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭所以1c <，综上，c b a <<，所以答案为：D. 3．C【解析】,0,0,0a c ac c a ><∴<> .(1),0b c a >>, ab ac ∴>; (2),0b a b a <∴-<, ()0,0c c b a <∴->;(3),0c a a c <∴->,()0,0ac ac a c <∴-<.(4)c b a <<且0,0c a <>,0b ∴>或0b =或0b <,2cb ∴和2ab 的大小不能确定,即C 选项不一定成立.故选C.4．A【解析】根据题意2221113k k k =++<化简为220k k +-<，对k 分情况去绝对值如下：当0k >时，原不等式为220k k +-<解得21k -<<，所以01k <<；当0k =时，原不等式为20-<成立，所以0k =；当0k <时，原不等式为220k k --<，解得12k -<<，所以10k -<<；综上，11k -<<，所以选择A. 5．B【解析】对于A ，当0c =时，不等式不成立，故A 错；对于C ，因为0a b <<，两边同时除以0ab >，所以11a b >，故C 错；对于D ，因为0a b ->->，110b a->->，所以a bb a >，故D 错，所以选B ．6．A【解析】∵0.53422，，a b log c log π-===，0.52112＞＞- ，341122＞，＝log log π．∴＞＞b a c ．故选：A ．7．C【解析】根据题意化简不等式为()(1())1x a x a --+<,即22(1)0x x a a ---->对任意实数x 成立,所以根据二次恒成立0∆<,解得2321<<-a ． 8．1 【解析】由24x y +=化为42xy -=代入14y x y +得4111111212428248x x y x y x y x y ⎛⎫-++=+-=+⨯- ⎪⨯⎝⎭ 151428y x x y ⎛⎫=++- ⎪⎝⎭，因为0,0x y >>，所以115115114428428y y x x y x y x y ⎛⎫⎛⎫+=++-≥+-= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ （当且仅当“43x y ==”时，取“=”），故最小值为1. 9．xy a c y xy x c y xy x a =-∴++=++=222222222, ；0,0,0>∴>>xy y x ，即a c >；10．（1）2a >-（2）{}132x x -<<【解析】（1）由2M ∈，说明元素2满足不等式2520ax x +->，代入即可求出a 的取值范围；（2）由{}122M xx =<<，1,22是方程2520ax x +-=的两个根，由韦达定理即可求出2a =-，代入原不等式解一元二次不等式即可；（1）∵2M ∈，∴225220a ⋅+⋅->，∴2a >- （2）∵{}122M xx =<<，∴1,22是方程2520ax x +-=的两个根，∴由韦达定理得15221222aa ⎧+=-⎪⎪⎨⎪⋅=-⎪⎩ 解得2a =-∴不等式22510ax x a -+->即为：22530x x --+>其解集为{}132x x -<<第二部分2.解析由a －|b |>0⇒|b |<a ⇒－a <b <a ⇒a ＋b >0，故选C.3.解析 y ＝x 2＋2x的值域为(－∞，－2]∪[2，＋∞)；y ＝x ＋2x ＋1＝x ＋1＋1x ＋1>2(x >0)； y ＝sin x ＋csc x ＝sin x ＋1sin x>2(0<sin x <1)；y ＝7x ＋7－x ≥2(当且仅当x ＝0时取等号)．7.解析3是3a 与3b 的等比中项⇒3a ·3b ＝3a ＋b ＝3⇒a ＋b ＝1，∵a >0，b >0，∴ab ≤a ＋b 2＝12⇒ab ≤14. ∴1a ＋1b ＝a ＋b ab ＝1ab ≥114＝4. 11.解析因为x >0，y >0，1x ＋9y ＝1，所以x ＋y ＝(x ＋y )(1x ＋9y )＝y x ＋9xy ＋10≥2y x ·9xy＋10＝16. 当且仅当y x ＝9x y 时，等号成立，又因为1x ＋9y ＝1.所以当x ＝4，y ＝12时，(x ＋y )min ＝16.。

必修五不等式练习题和参考答案

必修五《不等式》习题一、选择题。

1．一元二次不等式220ax bx ++>的解集是11(,)23-，则a b +的值是（）。

A. 10B. 10-C. 14D. 14- 2．下列各函数中，最小值为2的是 ( )A ．1y x x =+B ．1sin sin y x x =+，(0,)2x π∈ C．2y = D．1y x =+3、一元二次不等式02>++n mx mx 的解集是{}12|<<-x x ，则m ，n 的值分别是（）A 、3,23=-=n mB 、3,23==n mC 、3,23-==n mD 、3,23-=-=n m4、不等式0322>-+x x 的解集是（）A.{x|-1＜x ＜3}B.{x|x ＞3或x ＜-1}C.{x|-3＜x ＜1}D.{x|x>1或x ＜-3} 5、若对于任何实数，二次函数y=a x 2-x+c 的值恒为负，那么a 、c 应满足（）A 、a ＞0且a c ≤41 B 、a ＜0且a c ＜41 C 、a ＜0且a c ＞41D 、a ＜0且a c ＜0 6、在坐标平面上，不等式组⎪⎩⎪⎨⎧≥+-≥+≤020,3y x y x x 所表示的平面区域的面积为（）A ．28B ．16C ．439 D ．1217、不等式6)23)(5(-≥-+x x 的解集是（）A 、}29,1|{≥-≤x x x 或B 、}291|{≤≤-x xC 、}1,29|{≥-≤x x x 或D 、}129|{≤≤-x x8．如果实数,x y 满足221x y +=,则(1)(1)xy xy +-有 ( )A ．最小值21和最大值 1 B ．最大值1和最小值43 C ．最小值43而无最大值 D ．最大值2而无最小值 9、不等式1213≥--xx 的解集是（） A ．⎭⎬⎫⎩⎨⎧≤≤243|x x B ．⎭⎬⎫⎩⎨⎧<≤243|x x C ．⎭⎬⎫⎩⎨⎧≤>432|x x x 或 D ．{}2|<x x 10、关于x 的方程ax 2＋2x －1＝0至少有一个正的实根,则a 的取值范围是（）A ．a ≥0B ．－1≤a ＜0C ．a ＞0或－1＜a ＜0D ．a ≥－111、、对于任意实数x ，不等式04)2(2)2(2<----x a x a 恒成立，则实数a 取值范围是( ) A 、()2,∞- B 、(]2,∞- C 、（－2,2） D 、(]2,2-12、的取植范围是的两侧，则）在直线，）和（，点（a a y x 0236413=+--（） A ．24,7>-<a a 或 B. 24,7=-=a a 或 C. 247<<-a D. 724<<-a 二填空题。

高中必修5不等式练习题及答案

［基础训练A组］一、选择题1.若一2/+5兀一2>0,则丁4/-4・丫 + 1+2卜-2|等于（）A. 4x —5B. — 3C. 3D. 5 —4兀2.函数y=log丄（x+古+1）（x > 1）的最大值是（）A. —2B. 2C. —3D. 33人一13.不等式一的解集是（）2—x3 3 3A. {x|—WxW2}B. {x| —Wx V2}C・ {x|x>2 或x W —} D. {x|xV2}4 4 44.设a>l>b>-l,则下列不等式中恒成立的是（）A. — < —B. — > —C・ a>b* D・ £>2ba h a b5.如果实数x，y 满足x2 3+y J=l,则（1—xy）（1+xy）有（）1 3A.最小值一和最大值1B.最大值1和最小值二2 43C.最小值；而无最大值D.最大值1而无最小值46.二次方程/+ （a s+l）x+a-2=0,有一个根比1尢另一个根比一1小,则a的取值范围是（)A・一3 <a<l B. -2<a<0 C. -l<a<0 D. 0<a<2二、填空题（五个小题，每题6分，共30分）x > -21.不等式组、r的负整数解是______________________O兀>一3■2.一个两位数的个位数字比十位数字大2,若这个两位数小于30,则这个两位数为__________ oV2 +13.不等式一<0的解集是 _______________________ o2-x4.当尤= ____________ 时，函数y =，（2-小）有最_______值，其值是___________ 。

5・若f（n） = V«2+l 一亿g（n）=舁一J宀1,0（〃）=丄⑺已N）,用不等号连结起来为______2n2 不等式---------- ----------- V0的解集为R,求实数m的取值范围。

人教版高中数学必修5不等式练习题及答案

第三章不等式一、选择题1．假设a ＝2，b ＝log π3，c ＝log πsin 52π，则( )． A ．a ＞b ＞cB ．b ＞a ＞cC ．c ＞a ＞bD ．b ＞c ＞a2．设a ，b 是非零实数，且a ＜b ，则以下不等式成立的是( )． A ．a 2＜b 2B ．ab 2＜a 2bC ．21ab＜b a 21 D ．a b ＜ba3．假设对任意实数x ∈R ，不等式｜x ｜≥ax 恒成立，则实数a 的取值范围是( )． A ．a ＜－1B ．｜a ｜≤1C ．｜a ｜＜1D ．a ≥14．不等式x 3－x ≥0的解集为( )． A ．(1，＋∞)B ．[1，＋∞)C ．[0，1)∪(1，＋∞)D ．[－1，0]∪[1，＋∞)5．已知f (x )在R 上是减函数，则满足f (11-x )＞f (1)的实数取值范围是( )． A ．(－∞，1)B ．(2，＋∞)C ．(－∞，1)∪(2，＋∞)D ．(1，2)6．已知不等式f (x )＝ax 2－x －c ＞0的解集为{x ｜－2＜x ＜1}，则函数y ＝f (－x )的图象为图中( )．A B C D7．设变量x ，y 满足约束条件⎪⎩⎪⎨⎧yx y x y x 2＋＋－则目标函数z ＝5x ＋y 的最大值是( )． A ．2 B ．3 C ．4 D ．58．设变量x ，y 满足⎪⎩⎪⎨⎧5－－31＋－3－＋y x y x y x 设y ＝kx ，则k 的取值范围是( )．A ．[21，34] B ．[34，2] C ．[21，2] D ．[21，＋∞) ≥0 ≤1≥1 ≥0≥1 ≤1 (第6题)9．已知a ，b ∈R ，则使｜a ｜＋｜b ｜≥1成立的一个充分不必要条件是( )． A ．｜a ＋b ｜＜1 B ．a ≤1，且b ≤1 C ．a ＜1，且b ＜1D ．a 2＋b 2≥110．假设lg x ＋lg y ＝2，则x1＋y 1的最小值为( )． A ．201B ．51 C ．21 D ．2二、填空题11．以下四个不等式：①a ＜0＜b ，②b ＜a ＜0，③b ＜0＜a ，④0＜b ＜a ，其中使a 1＜b1成立的充分条件是．12．设函数f (x )＝⎩⎨⎧-11 则不等式xf (x )＋x ≤4的解集是____________．13．假设不等式(－1)na ＜2＋nn 1)1(+-对任意正整数n 恒成立，则a 的取值范围是．14．关于x 的不等式x 2－(a ＋a 1＋1)x ＋a ＋a1＜0(a ＞0)的解集为__________________． 15．假设不等式x 2－2x ＋3≤a 2－2a －1在R 上的解集是空集，则a 的取值范围是．三、解答题16．已知函数f (x )＝x 2－2x ＋2194)(x －，x ∈(－∞，1)∪(1，＋∞)，求f (x )的最小值．(x ＞0)，(x ＜0)．17．甲乙两人同时同地沿同一路线走向同一地点，甲有一半时间以速度m行走，另一半时间以速度n行走；乙有一半路程以速度m行走，另一半路程以速度n行走，假设m≠n，问甲乙两人谁先到达指定地点?18＊．已知关于x的不等式(ax－5)(x2－a)＜0的解集为M．(1)当a＝4时，求集合M；(2)当3∈M，且5∈M时，求实数a的取值范围．第三章不等式参考答案一、选择题 1．A解析：三个以上的实数比较大小，可以先估算，进行分类(与0比较或与1比较)，再应用不等式性质或作差法．因为π＞1，0＜sin52π＜1，所以c ＝log π sin 52π＜0．又因为3＞1，所以b ＝log π3＞0，而a ＝2＞0，故c 最小，只需再比较a 与b 的大小．由指数函数的性质知，2＞1而且0＜log π 3＜log π π＝1，所以a ＞b ，即a ＞b ＞c ． 2．C解析：比较两个实数的大小，可采用作差法，也可用特殊值排除法，以下用作差法． ∵a 2－b 2＝(a ＋b )(a －b )，当a ＜b ，且a ，b 均为负数时，(a ＋b )( a －b )＞0，a 2 ＞b 2，排除A ． ∵ab 2－a 2b ＝ab (b －a )，由于b －a ＞0，当a ，b 同号时(比方a ＝1，b ＝2)，ab (b －a )＞0，ab 2＞a 2b ，排除B ．∵21ab －b a 21＝22－b a b a ＜0，即21ab ＜b a 21．同样可以用作差法判断a b ＜ba是错误的． 3．B解析：由于不等号两边的函数比较熟悉，可以尝试数形结合法．令f (x )＝｜x ｜，g (x )＝ax ，画出图象如右图，由图可以看出｜a ｜≤1． 4．D解析：用数轴标根法求解． x 3－x ≥0可化为 x (x －1)(x ＋1)≥0，如图，原不等式的解集为{x ｜－1≤x ≤0，或x ≥1}． 5．C解析：关键是利用单调性去掉“f ”，转化为不含“f ”的不等式求解．(第3题)(第4题)∵f (x )在R 上是减函数， ∴f (11-x )＞f (1)⇔11-x ＜1⇔12--x x ＞0⇔x ＜1或x ＞2． 6．B解析：首先根据方程ax 2－x －c ＝0的根确定a ，c ，再求出f (－x )．由已知，方程ax 2－x －c ＝0的两个实根为－2和1，则(－2)＋1＝a 1，(－2)×1＝ac -，解得a ＝－1，c ＝－2，则f (x )＝－x 2－x ＋2，f (－x )＝－x 2＋x ＋2＝－(x －21)2＋49，由开口方向和对称轴位置判断为B ．7．D解：先画可行域如图．作直线l 0:5x ＋y ＝0，平行移动直线l 0至直线l ，从图形中可以发现，当直线l 经过平面区域内的点A 时，直线在y 轴的截距最大，此时z 最大．由⎩⎨⎧1＝＋1＝2＋y x y x ，解得⎩⎨⎧0＝1＝y x ，即A (1，0)， ∴z ＝5×1＋0＝5．(第7题)8．C解析：k 的几何意义是可行域内的点与原点连线的斜率．解: 先画出题中不等式组所表示的区域(如图)，可以看出k OA 最小，k OB 最大．由⎩⎨⎧⇔⎩⎨⎧1＝2＝0＝3－＋0＝5－－3y x y x y x 得A (2，1)， k OA ＝－20－1＝21；由⎩⎨⎧⇔⎩⎨⎧2＝1＝0＝3－＋0＝1＋－y x y x y x 得B (1，2)， k OB ＝0－10－2＝2．∴21≤k ≤2，即k ∈[21，2]．9．D分析:如果①：某选项能推出|a |＋|b |≥1，则充分性成立；还需要②：|a |＋|b |≥1不能推出该选项，①和②满足，该选项就是充分不必要条件．解：假设a 2＋b 2≥1，则(|a |＋|b |)2＝a 2＋2|ab |＋b 2≥a 2＋b 2≥1，|a |＋|b |≥1，充分性成立．但|a |＋|b |≥1时，未必有a 2＋b 2≥1，例如21＋21＝1，然而221⎪⎭⎫ ⎝⎛＋221⎪⎭⎫⎝⎛＜1．10．B解：∵lg x ＋lg y ＝2，∴xy ＝100，且x ＞0，y ＞0， ∴x 1＋y 1≥2y x 11⋅＝xy2，即x 1＋y 1≥51，当且仅当⎩⎨⎧100＝＝xy yx x ＝10，y ＝10时取等号．二、填空题 11．①②④．解：a ＜0＜b ⇒a 1＜0＜b1，充分性成立； b ＜a ＜0⇒ab ＞0，b －a ＜0⇒aba b －＜0，即a 1＜b 1，充分性成立；b ＜0＜a ⇒b 1＜0，a1＞0⇒a 1＞b 1，充分性不成立； (第8题)0＜b ＜a ⇒ab ＞0，b －a ＜0⇒a 1＜b1，充分性成立． 12．{x ｜0＜x ≤2，或x ＜0}．解析：由于f (x )是分段函数，所以要分别对每一段(分别在x ＞0，x ＜0条件下)解不等式．由⎩⎨⎧ ⇔⎩⎨⎧ ⇔0＜x ≤2，由⎩⎨⎧ ⇔⎩⎨⎧ ⇔x ＜0， ∴0＜x ≤2或x ＜0． 13．［－2，23)．解析：首先处理(－1)n ，需要对n 的奇偶性进行讨论．假设n 为奇数，原不等式⇔－a ＜2＋n 1⇔ a ＞－(2＋n 1)，即a ＞－(2＋n1)对任意正奇数n 恒成立，因为－(2＋n 1)＝－2－n1＜－2，所以只需a ≥－2．假设n 为偶数，原不等式⇔a ＜2－n 1，即a ＜2－n1对任意正偶数n 恒成立，只需a ＜(2－n 1)最小值＝2－21＝23，即a ＜23．所以假设对任意正整数n 不等式恒成立，以上应同时满足，故－2≤a ＜23． 14．{x ｜1＜x ＜a ＋a1}．解析：首先判断方程x 2－(a ＋a 1＋1)x ＋a ＋a1＝0(a ＞0)是否有实数根，实数根大小是否确定．x 2－(a ＋a 1＋1)x ＋a ＋a 1＜0可化为(x －1)[x －(a ＋a1)]＜0， ∵a ＞0，a ＋a 1≥2＞1，∴1＜x ＜a ＋a1． 15．{x ｜－1＜a ＜3}．解析：把问题等价转化为“恒成立”问题． x 2－2x ＋3≤a 2－2a －1在R 上的解集是空集， ⇔ x 2－2x ＋3＞a 2－2a －1在R 上恒成立，x ＞0 xf (x )＋x ≤4 x ＞0x ·1＋x ≤4 x ＜0 xf (x )＋x ≤4 x ＜0x ·(－1)＋x ≤4⇔ x 2－2x －a 2＋2a ＋4＞0在R 上恒成立．因为抛物线y ＝x 2－2x －a 2＋2a ＋4开口向上，故只需△＝4－4(－a 2＋2a ＋4)＜0，即x 2－2x ＋3＜0⇔－1＜a ＜3．三、解答题16．解析：f (x )＝(x －1)2＋2194)(x －－1≥294－1＝31．当x －1＝2194)(x －时，即x ＝1±36时，f (x )取到最小值31． 17．分析：行走时间短者先到达指定地点，问题的实质是比较两个实数(式子)的大小，用作差法．解：设从出发地到指定地点的路程是s ，甲乙两人走完这段路程所用的时间分别为t 1，t 2，则s n t m t ＝2＋211，2＝2＋2t n s m s ，所以t 1＝n m s ＋2，t 2＝mnsn m 2＋)(． t 1－t 2＝mns n m n m s 2＋－＋2)(=)(］)([n m mn s n m mn ＋2＋－42)()(n m mn s n m ＋2－＝－2，因为s ，m ，n 均为正数且m ≠n ，所以t 1－t 2＜0，即t 1＜t 2，所以甲比乙先到达指定地点．18＊．解：(1)当a ＝4时，(ax －5)(x 2－a )＜0⇔(x －45)(x －2)(x ＋2)＜0，由数轴标根法得x ＜－2，或45＜x ＜2．故M ＝{x ｜x ＜－2，或45＜x ＜2}． (2)3∈M ，且5∈M⎪⎩⎪⎨⎧⇔ ⎪⎩⎪⎨⎧⇔))(())((25－1－9－35－a a a a ⎪⎩⎪⎨⎧⇔ ⇔1≤a ＜35，或9＜a ≤25．故实数a 的取值范围是{x ｜1≤a ＜35，或9＜a ≤25}． (3a －5)(9－a )＜0(5a －5)(25－a )≥0 ≤0 a ＜35，或a ＞9 1≤a ≤25＞0 (第18题)。

必修五解不等式练习题

必修五解不等式练习题一、一元一次不等式1. 解不等式：3x 5 > 2x + 12. 解不等式：4 2(x 3) ≤ 5x + 73. 解不等式：5 3(x + 2) > 2x 44. 解不等式：2(3x 1) 4(x + 3) < 7 x5. 解不等式：7 4(x 2) ≥ 3x + 1二、一元二次不等式1. 解不等式：x^2 5x + 6 > 02. 解不等式：2x^2 3x 2 < 03. 解不等式：x^2 4x + 4 ≤ 04. 解不等式：x^2 + 6x + 9 > 05. 解不等式：x^2 + 5x 6 < 0三、分式不等式1. 解不等式：\(\frac{1}{x2} > \frac{3}{x+1}\)2. 解不等式：\(\frac{2}{x+3} ≤ \frac{1}{x4}\)3. 解不等式：\(\frac{3}{x5} + \frac{2}{x+2} < 0\)4. 解不等式：\(\frac{4}{x+4} \frac{1}{x3} > 0\)5. 解不等式：\(\frac{5}{x1} = \frac{2}{x+5}\)四、含绝对值的不等式1. 解不等式：|2x 3| > 52. 解不等式：|3x + 4| < 73. 解不等式：|4 x| ≥ 24. 解不等式：|5x 2| ≤ 35. 解不等式：|x + 6| = 8五、综合练习1. 解不等式组：\(\begin{cases} 2x 3 > 0 \\ x + 4 < 7\end{cases}\)2. 解不等式组：\(\begin{cases} x^2 5x + 6 ≤ 0 \\ 3x +2 > 0 \end{cases}\)3. 解不等式组：\(\begin{cases} |x 2| < 3 \\\frac{1}{x+1} > 0 \end{cases}\)4. 解不等式组：\(\begin{cases} 4x 7 < 0 \\ |2x + 5| ≥ 3 \end{cases}\)5. 解不等式组：\(\begin{cases} x^2 4x + 3 > 0 \\\frac{2}{x1} ≤ 1 \end{cases}\)六、不等式的应用1. 某企业的年利润为x万元，若年利润增加1万元，则需增加投资20万元。

高中数学必修5不等式精选题目(附答案)

高中数学必修5不等式精选题目（附答案）一、一元二次不等式(1)确定ax 2＋bx ＋c >0(a >0)或ax 2＋bx ＋c <0(a >0)在判别式Δ>0时解集的结构是关键．在未确定a 的取值情况下，应先分a ＝0和a ≠0两种情况进行讨论．(2)若给出了一元二次不等式的解集，则可知二次项系数a 的符号和方程ax 2＋bx ＋c ＝0的两个根，再由根与系数的关系就可知a ，b ，c 之间的关系．(3)解含有参数的一元二次不等式，要注意对参数的取值进行讨论：①对二次项系数与0的大小进行讨论；②在转化为标准形式的一元二次不等式后，对判别式与0的大小进行讨论；③当判别式大于0，但两根的大小不确定时，对两根的大小进行讨论．1. (1)已知不等式ax 2＋bx ＋2>0的解集为{x |－1<x <2}，则不等式2x 2＋bx ＋a <0的解集为( )A.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x －1<x <12B.⎩⎨⎧⎭⎬⎫xx <－1或x >12 C ．{x |－2<x <1} D ．{x |x <－2或x >1}(2)解关于x 的不等式ax 2－2ax ＋a ＋3＞0.1.[解析] (1)由题意知x ＝－1，x ＝2是方程ax 2＋bx ＋2＝0的根．由根与系数的关系得⎩⎪⎨⎪⎧ －1＋2＝－b a ，(－1)×2＝2a ⇒⎩⎨⎧a ＝－1，b ＝1. ∴不等式2x 2＋bx ＋a <0，即2x 2＋x －1<0.解得－1<x <12.[答案] A(2)解：当a ＝0时，解集为R ；当a ＞0时，Δ＝－12a ＜0，∴解集为R ；当a ＜0时，Δ＝－12a ＞0，方程ax 2－2ax ＋a ＋3＝0的两根分别为a ＋－3a a ，a －－3a a ，∴此时不等式的解集为x a ＋－3a a ＜x ＜a －－3a a. 综上所述，当a ≥0时，不等式的解集为R ；a ＜0时，不等式的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪ a ＋－3a a ＜x ＜a －－3a a . 注：解一元二次不等式时，当二次项系数为负时要先化为正，再根据判别式符号判断对应方程根的情况，然后结合相应二次函数的图象写出不等式的解集．2．函数f (x )＝1ln (－x 2＋4x －3)的定义域是( ) A ．(－∞，1)∪(3，＋∞) B ．(1,3)C ．(－∞，2)∪(2，＋∞)D ．(1,2)∪(2,3) 解析：选D 由题意知⎩⎨⎧ －x 2＋4x －3>0，－x 2＋4x －3≠1，即⎩⎨⎧ 1<x <3，x ≠2，故函数f (x )的定义域为(1,2)∪(2,3)．3．若关于x 的不等式ax 2－6x ＋a 2<0的解集是(1，m )，则m ＝________.解析：根据不等式与方程之间的关系知1为方程ax 2－6x ＋a 2＝0的一个根，即a 2＋a －6＝0，解得a ＝2或a ＝－3，当a ＝2时，不等式ax 2－6x ＋a 2<0的解集是(1,2)，符合要求；当a ＝－3时，不等式ax 2－6x ＋a 2<0的解集是(－∞，－3)∪(1，＋∞)，不符合要求，舍去．故m ＝2.答案：24．已知不等式ax 2－3x ＋6>4的解集为{x |x <1或x >b }．(1)求a ，b 的值；(2)解不等式ax 2－(ac ＋b )x ＋bc <0.解：(1)因为不等式ax 2－3x ＋6>4的解集为{x |x <1或x >b }，所以x 1＝1与x 2＝b 是方程ax 2－3x ＋2＝0的两个实数根，b >1且a >0.由根与系数的关系，得⎩⎪⎨⎪⎧ 1＋b ＝3a ，1×b ＝2a .解得⎩⎨⎧a ＝1，b ＝2. (2)不等式ax 2－(ac ＋b )x ＋bc <0，即x 2－(2＋c )x ＋2c <0，即(x －2)(x －c )<0.当c >2时，不等式(x －2)(x －c )<0的解集为{x |2<x <c }；当c <2时，不等式(x －2)(x －c )<0的解集为{x |c <x <2}；当c ＝2时，不等式(x －2)(x －c )<0的解集为∅.所以，当c >2时，不等式ax 2－(ac ＋b )x ＋bc <0的解集为{x |2<x <c }；当c <2时，不等式ax 2－(ac ＋b )x ＋bc <0的解集为{x |c <x <2}；当c ＝2时，不等式ax 2－(ac ＋b )x ＋bc <0的解集为∅.二、简单的线性规划问题1．确定二元一次不等式表示平面区域的方法与技巧确定二元一次不等式表示的平面区域时，经常采用“直线定界，特殊点定域”的方法．2．利用线性规划求最值，一般用图解法求解，其步骤是(1)在平面直角坐标系内作出可行域．(2)考虑目标函数的几何意义，将目标函数进行变形．(3)确定最优解：在可行域内平行移动目标函数变形后的直线，从而确定最优解．(4)求最值：将最优解代入目标函数即可求出最大值或最小值．5.(1)设变量x ，y 满足约束条件：⎩⎨⎧ x ＋y ≥3，x －y ≥－1，2x －y ≤3，则目标函数z ＝y ＋1x 的最小值为( )A ．1B ．2C ．3D ．4 (2)某公司有60万元资金，计划投资甲、乙两个项目，按要求对项目甲的投资不小于对项目乙投资的23倍，且对每个项目的投资不能低于5万元．对项目甲每投资1万元可获得0.4万元的利润，对项目乙每投资1万元可获得0.6万元的利润，该公司正确规划投资后，在这两个项目上共可获得的最大利润为( )A ．36万元B ．31.2万元C ．30.4万元D ．24万元5.[解析] (1)不等式组所表示的平面区域如图中的△ABC ，目标函数的几何意义是区域内的点与点P (0，－1)连线的斜率，显然图中AP 的斜率最小．由⎩⎨⎧x ＋y ＝3，2x －y ＝3解得点A 的坐标为(2,1)，故目标函数z ＝y ＋1x 的最小值为1＋12＝1.(2)设对项目甲投资x 万元，对项目乙投资y 万元，则⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋y ≤60，x ≥23y ，x ≥5，y ≥5.目标函数z ＝0.4x ＋0.6y .作出可行域如图所示，由直线斜率的关系知目标函数在A 点取最大值，代入得z max ＝0.4×24＋0.6×36＝31.2，所以选B.[答案] (1)A (2)B注：(1)求目标函数最值的一般步骤为：一画、二移、三求．其关键是准确作出可行域，理解目标函数的意义．(2)在约束条件是线性的情况下，线性目标函数只有在可行域的顶点或者边界上取得最值．在解答选择题或者填空题时也可以根据可行域的顶点直接进行检验．6．不等式组⎩⎨⎧ 2x ＋y －6≤0，x ＋y －3≥0，y ≤2表示的平面区域的面积为( ) A ．4B ．1C ．5D ．无穷大解析：选B 不等式组⎩⎨⎧ 2x ＋y －6≤0，x ＋y －3≥0，y ≤2表示的平面区域如图所示(阴影部分)，△ABC 的面积即为所求．求出点A ，B ，C 的坐标分别为(1,2)，(2,2)，(3,0)，则△ABC 的面积为S ＝12×(2－1)×2＝1.7．已知实数x ，y 满足⎩⎨⎧ x ≥0，y －x ＋1≤0，y －2x ＋4≥0，若z ＝y －ax 取得最大值时的最优解(x ，y )有无数个，则a ＝________. 解析：依题意，在坐标平面内画出题中的不等式组表示的平面区域，如图所示．要使z ＝y －ax 取得最大值时的最优解(x ，y )有无数个，则直线z ＝y －ax 必平行于直线y －x ＋1＝0，于是有a ＝1.答案：18．某公司用两种机器来生产某种产品，第一种机器每台需花3万日元及人民币50元的维护费；第二种机器则需5万日元及人民币20元的维护费．第一种机器的年利润每台有9万日元，第二种机器的年利润每台有6万日元，但政府核准的外汇日元为135万元，并且公司的总维护费不得超过1 800元，为了使年利润达到最大值，第一种机器应购买________台，第二种机器应购买________台．解析：设第一种机器购买x 台，第二种机器购买y 台，总的年利润为z 万日元，则⎩⎨⎧ 3x ＋5y ≤135，50x ＋20y ≤1 800，x ，y ∈N ，目标函数为z＝9x ＋6y . 不等式组表示的平面区域如图阴影部分中的整点．当直线z ＝9x ＋6y 经过点M ⎝ ⎛⎭⎪⎫63019，13519，即到达l 1位置时，z 取得最大值，但题目要求x ，y 均为自然数，故进行调整，调整到与M 邻近的整数点(33,7)，此时z ＝9x ＋6y 取得最大值，即第一种机器购买33台，第二种机器购买7台获得年利润最大．答案：33 7三、基本不等式基本不等式的常用变形(1)a ＋b ≥2ab (a >0，b >0)，当且仅当a ＝b 时，等号成立；(2)a 2＋b 2≥2ab ，ab ≤⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋b 22(a ，b ∈R)，当且仅当a ＝b 时，等号成立； (3)b a ＋a b ≥2(a ，b 同号且均不为零)，当且仅当a ＝b 时，等号成立；(4)a ＋1a ≥2(a >0)，当且仅当a ＝1时，等号成立；a ＋1a ≤－2(a <0)，当且仅当a ＝－1时，等号成立．9.(1)若正数x ，y 满足x ＋3y ＝5xy ，则3x ＋4y 的最小值是( )A.245B.285 C ．5 D ．6(2)若正数x ，y 满足4x 2＋9y 2＋3xy ＝30，则xy 的最大值是( )A.43B.53 C ．2 D.54[解析] (1)由x ＋3y ＝5xy 可得15y ＋35x ＝1，∴3x ＋4y ＝(3x ＋4y )⎝ ⎛⎭⎪⎫15y ＋35x ＝95＋45＋3x 5y ＋12y 5x ≥135＋125＝5当且仅当3x 5y ＝12y 5x ，即x ＝1，y ＝12时，等号成立， ∴3x ＋4y 的最小值是5.(2)由x >0，y >0，得4x 2＋9y 2＋3xy ≥2×(2x )×(3y )＋3xy (当且仅当2x ＝3y 时等号成立)，∴12xy ＋3xy ≤30，即xy ≤2，∴xy 的最大值为2.[答案] (1)C (2)C注：条件最值的求解通常有两种方法：一是消元法，即根据条件建立两个量之间的函数关系，然后代入代数式转化为函数的最值求解；二是将条件灵活变形，利用常数代换的方法构造和或积为常数的式子，然后利用基本不等式求解最值．10．已知2x ＋2y ＝1(x >0，y >0)，则x ＋y 的最小值为( )A ．1B ．2C ．4D ．8解析：选D ∵x >0，y >0，∴x ＋y ＝(x ＋y )·⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋2y ＝4＋2⎝ ⎛⎭⎪⎫x y ＋y x ≥4＋4 x y ·yx ＝8.当且仅当x y ＝y x ，即x ＝y ＝4时取等号．11．设x ，y ∈R ，且xy ≠0，则⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2＋1y 2⎝ ⎛⎭⎪⎫1x 2＋4y 2的最小值为________．解析：⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2＋1y 2⎝ ⎛⎭⎪⎫1x 2＋4y 2＝5＋1x 2y 2＋4x 2y 2≥5＋21x 2y 2·4x 2y 2＝9，当且仅当x 2y 2＝12时“＝”成立．答案：912．某种商品原来每件售价为25元，年销售8万件． (1)据市场调查，若价格每提高1元，销售量将相应减少2 000件，要使销售的总收入不低于原收入，该商品每件定价最多为多少元？(2)为了扩大该商品的影响力，提高年销售量．公司决定明年对该商品进行全面技术革新和营销策略改革，并提高定价到x 元．公司拟投入16(x 2－600)万元作为技改费用，投入50万元作为固定宣传费用，投入15x 万元作为浮动宣传费用．试问：当该商品明年的销售量a 至少应达到多少万件时，才可能使明年的销售收入不低于原收入与总投入之和？并求出此时每件商品的定价．解：(1)设每件定价为t 元，依题意，有[8－(t －25)×0.2]t ≥25×8，整理得t 2－65t ＋1 000≤0，解得25≤t ≤40.因此要使销售的总收入不低于原收入，每件定价最多为40元．(2)依题意，x >25时，不等式ax ≥25×8＋50＋16(x 2－600)＋15x 有解，等价于x>25时，a≥150x＋16x＋15有解．∵150x＋16x≥2150x·16x＝10(当且仅当x＝30时，等号成立)，∴a≥10.2.因此当该商品明年的销售量a至少应达到10.2万件时，才可能使明年的销售收入不低于原收入与总投入之和，此时该商品的定价为每件30元．巩固练习：1．若1a＜1b＜0，则下列不等式不正确的是()A．a＋b＜ab B.ba＋ab＞0C．ab＜b2D．a2＞b2解析：选D由1a＜1b＜0，可得b＜a＜0，故选D.2．已知不等式x2－2x－3＜0的解集为A，不等式x2＋x－6＜0的解集为B，不等式x2＋ax＋b＜0的解集是A∩B，那么a＋b等于()A．－3 B．1C．－1 D．3解析：选A由题意：A＝{x|－1＜x＜3}，B＝{x|－3＜x＜2}．A∩B＝{x|－1＜x＜2}，由根与系数的关系可知：a＝－1，b＝－2，∴a＋b＝－3.3．函数y＝x2＋2x－1(x＞1)的最小值是()A．23＋2 B．23－2 C．2 3 D．2解析：选A∵x＞1，∴x－1＞0.∴y＝x2＋2x－1＝x2－2x＋2x＋2x－1＝x2－2x＋1＋2(x－1)＋3x－1＝(x－1)2＋2(x－1)＋3x－1＝x －1＋3x －1＋2≥23＋2当且仅当x －1＝3x －1，即x ＝3＋1时等号成立． 4．(2017·浙江高考)若x ，y 满足约束条件⎩⎨⎧ x ≥0，x ＋y －3≥0，x －2y ≤0，则z ＝x ＋2y 的取值范围是( )A ．[0,6]B ．[0,4]C ．[6，＋∞)D ．[4，＋∞) 解析：选D 作出不等式组所表示的平面区域如图中阴影部分所示，由z ＝x ＋2y ，得y ＝－12x ＋z 2，∴z 2是直线y ＝－12x ＋z 2在y 轴上的截距，根据图形知，当直线y ＝－12x ＋z 2过A 点时，z 2取得最小值．由⎩⎨⎧ x －2y ＝0，x ＋y －3＝0，得x ＝2，y ＝1，即A (2,1)，此时，z ＝4，∴z ＝x ＋y 的取值范围是[4，＋∞)．5．已知圆C ：(x －a )2＋(y －b )2＝1，平面区域Ω：⎩⎨⎧ x ＋y －7≤0，x －y ＋3≥0，y ≥0.若圆心C∈Ω，且圆C 与x 轴相切，则a 2＋b 2的最大值为( )A ．5B ．29C ．37D ．49解析：选C 由已知得平面区域Ω为△MNP 内部及边界．∵圆C 与x 轴相切，∴b ＝1.显然当圆心C 位于直线y＝1与x ＋y －7＝0的交点(6,1)处时，a max ＝6.∴a 2＋b 2的最大值为62＋12＝37.故选C.6．设正实数x ，y ，z 满足x 2－3xy ＋4y 2－z ＝0，则当xy z 取得最大值时，2x ＋1y －2z 的最大值为( )A ．0B ．1C.94 D ．3 解析：选B 由x 2－3xy ＋4y 2－z ＝0，得z ＝x 2－3xy ＋4y 2， ∴xy z ＝xy x 2－3xy ＋4y 2＝1x y ＋4yx －3. 又x ，y ，z 为正实数，∴x y ＋4y x ≥4，即xy z ≤1，当且仅当x ＝2y 时取等号，此时z ＝2y 2.∴2x ＋1y －2z ＝22y ＋1y －22y2 ＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫1y 2＋2y ＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫1y －12＋1，当1y ＝1，即y ＝1时，上式有最大值1.7．若x ，y 满足约束条件⎩⎨⎧ x －1≥0，x －y ≤0，x ＋y －4≤0，则y x 的最大值为________．解析：画出可行域如图阴影部分所示， ∵y x 表示过点(x ，y )与原点(0,0)的直线的斜率，∴点(x ，y )在点A 处时y x 最大．由⎩⎨⎧ x ＝1，x ＋y －4＝0，得⎩⎨⎧ x ＝1，y ＝3.∴A (1,3)．∴y x 的最大值为3.答案：38．设正数a ，使a 2＋a －2>0成立，若t >0，则12log a t ________log a t ＋12(填“>”“≥”“≤”或“<”)．解析：因为a 2＋a －2>0，所以a <－2或a >1，又a >0，所以a >1，因为t >0，所以t ＋12≥ t ，所以log a t ＋12≥log a t ＝12log a t .答案：≤9．(2017·全国卷Ⅲ)若x ，y 满足约束条件⎩⎨⎧ x －y ≥0，x ＋y －2≤0，y ≥0，则z ＝3x －4y 的最小值为________．解析：作出约束条件表示的可行域如图中阴影部分所示，作出直线l ：3x －4y ＝0，平移直线l ，当直线z ＝3x －4y 经过点A (1,1)时，z 取得最小值，最小值为3－4＝－1.答案：－110．某玩具生产公司每天计划生产卫兵、骑兵、伞兵这三种玩具共100个，生产一个卫兵需5 min ，生产一个骑兵需7 min ，生产一个伞兵需4 min ，已知总生产时间不超过10 h ．若生产一个卫兵可获利润5元，生产一个骑兵可获利润6元，生产一个伞兵可获利润3元．(1)用每天生产的卫兵个数x 与骑兵个数y 表示每天的利润W (元)．(2)怎样分配生产任务才能使每天的利润最大，最大利润是多少？解：(1)依题意每天生产的伞兵个数为100－x －y ，所以利润W ＝5x ＋6y ＋3(100－x －y )＝2x ＋3y ＋300.(2)约束条件为：⎩⎨⎧ 5x ＋7y ＋4(100－x －y )≤600，100－x －y ≥0，x ∈N ，y ∈N ，整理得⎩⎨⎧ x ＋3y ≤200，x ＋y ≤100，x ∈N ，y ∈N ，目标函数为W ＝2x ＋3y ＋300，如图所示，作出可行域．初始直线l 0：2x ＋3y ＝0，平移初始直线经过点A 时，W 有最大值，由⎩⎨⎧x ＋3y ＝200，x ＋y ＝100，得⎩⎨⎧x ＝50，y ＝50.最优解为A (50,50)，所以W max ＝550(元)．故每天生产卫兵50个，骑兵50个，伞兵0个时利润最大，为550元．11．某外商到一开发区投资72万美元建起一座蔬菜加工厂，第一年各种经费12万美元，以后每年增加4万美元，每年销售蔬菜收入50万美元．设f (n )表示前n 年的纯利润总和．(注：f (n )＝前n 年的总收入－前n 年的总支出－投资额)(1)从第几年开始获利？(2)若干年后，外商为开发新项目，有两种处理方案：①年平均利润最大时以48万美元出售该厂；②纯利润总和最大时，以16万美元出售该厂；问哪种方案最合算？为什么？解：由题意知，每年的经费是以12为首项，4为公差的等差数列，∴f (n )＝－2n 2＋40n －72.(1)获利就是要求f (n )>0，所以－2n 2＋40n －72>0，解得2<n <18.由n ∈N 知从第三年开始获利．(2)①年平均利润＝f (n )n ＝40－2⎝ ⎛⎭⎪⎫n ＋36n ≤16. 当且仅当n ＝6时取等号．故此方案共获利6×16＋48＝144(万美元)，此时n ＝6.②f (n )＝－2(n －10)2＋128.当n ＝10时，f (n )max ＝128.故第②种方案共获利128＋16＝144(万美元)，故比较两种方案，获利都是144万美元．但第①种方案只需6年，而第②种方案需10年，故选择第①种方案最合算．12．已知α，β是方程x 2＋ax ＋2b ＝0的两根，且α∈[0,1]，β∈[1,2]，a ，b ∈R ，求b －3a －1的最大值和最小值．解：设f (x )＝x 2＋ax ＋2b ，由题意f (x )在[0,1]和[1,2]上各有一个零点，∴⎩⎨⎧ f (0)≥0，f (1)≤0，f (2)≥0，即⎩⎨⎧ b ≥0，a＋2b ＋1≤0，a ＋b ＋2≥0，建立平面直角坐标系aOb ，则上述不等式组表示的平面区域如图．由⎩⎨⎧ a ＋2b ＋1＝0，a ＋b ＋2＝0，解得⎩⎨⎧ a ＝－3，b ＝1，即C (－3,1)．令k ＝b －3a －1，可以看成动点P (a ，b )与定点A (1,3)的连线的斜率．又B (－1,0)，C (－3,1)，则k AB ＝32，k AC ＝12，∴12≤b －3a －1≤32.故b －3a －1的最大值是32，最小值是12.。