安徽省芜湖市第一中学_学年高二数学上学期期末考试试卷文【含答案】
安徽省芜湖市2019-2020学年高二数学上学期期末考前测试试题文【含答案】
安徽省芜湖市2019-2020学年高二数学上学期期末考前测试试题 文（考试时间:120分钟，满分:150分 ）一、选择题（本题共12个小题,每题只有一个正确答案 ，每题5分，共60分。
请把答案涂在答题卡上）1．直线的倾斜角是 x -=30A. B. C.D. 6π3π32π65π2．直线和直线垂直，则实数的值为 (21)10m x my -++=330mx y ++=m A ．1 B ．0C ．2D ．-1或03．设双曲线的渐近线方程为，则的值为 ()x y b b-=>222109x y ±=230b A.1 B. 2 C.4 D.164．圆x 2＋(y －3)2＝1上的动点P 到点Q (2，3)的距离的最小值为( )A ．1B ．2C ．3D ．45．椭圆的离心率为，则的值为( )14922=++ky x 45k A ．－21 B ．21 C ．－或21 D ．或21192519256．已知两个不同的平面α，β和两条不重合的直线m ，n ，有下列四个命题：①若m ∥n ，m ⊥α，则n ⊥α； ②若m ⊥α，m ⊥β，则α∥β；③若m ⊥α，m ∥n ，n ⊂β，则α⊥β； ④若m ∥α，α∩β＝n ，则m ∥n .其中真命题的个数为( )A ．0B ．1C ．2D ．37．如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某几何体的三视图，则此几何体的体积是 A. B. C. D.13234383 （第7题图）8．若椭圆的一条弦被点平分，则这条弦所在的直线方程是 x y +=221123(2,1)A ． B ． 02=-y x x y --=230 C ． D ．x y +-=240x y +-=2509．已知直三棱柱，，,则异面直线ABC A B C -111ABC ∠=120,AB BC CC ===121与所成角的余弦值为 AB 1BC A.B.D.15（第9题图）10．平面直角坐标系内，过点的直线与曲线相交于两点，当()0,2l 21x y -=B A 、的面积最大时，直线的斜率为（ ）AOB ∆l A.B.C. D. 33-3-21-22-11．已知椭圆的左焦点关于直线的对称点在)0(12222>>=+b a by a x )0,(c F -0=+cy bx P 椭圆上，则椭圆的离心率是( )A ．B ．C ．D ．2234332412.已知三棱锥的棱两两垂直，且长度都为，以顶点为球心P ABC -AP AB AC 、、3P 2为半径作一个球，则图中球面与三棱锥的表面相交所得到的四段弧长之和等于( ) A ．B ．C ．D ． 32π65πππ32（第12题图）二、填空题（本题共4个小题,每题5分，共计20分.请把答案写在答题纸上）13．圆：和圆：交于两点，则直线的0222=+-+y x y x 02322=--++y x y x B A ,AB 方程是__________________．14．设AB 是椭圆的长轴，点C 在椭圆上，且∠CBA＝，若AB ＝4，BC ＝，则椭圆的两个π42焦点之间的距离为________．15．在四面体中，, ，,ABCD ACB ∠=90AB AD AC ===2BD =4CD =则四面体外接球的体积为________．ABCD 16．已知直线和圆，直线与圆 :l x y +-=230:()C x y x y a a ++-+=22240是实数l C 交于两点，则________．(,),(,)A x y B x y 1122x y x y -+-=112222三、解答题（本题共6个小题，其中第17题10分，其余每题12分，共计70分。
安徽省芜湖市高二数学上学期期末考试试题(B)
安徽省芜湖市2016-2017学年高二数学上学期期末考试试题（B）（满分100分，时间120分钟）一、选择题（本大题12个小题，每小题3分，共36分）在每个小题的下面，都给出了代号为A、B、C、D的四个答案，其中只有一个是正确的，请将正确答案的代号填在题后的括号中．1．三个平面把空间分成7部分时，它们的交线有A．1条 B．2条 C．3条 D．1条或2条2．已知直线l1：（k-3）x+（4-k）y+l =0与l2：2（k-3）x-2y+3 =0平行，则k的值是A．1或3 B．1或5 C．3或5 D．1或23．已知两个不同的平面α，β和两条不重合的直线m，n，有下列四个命题：①若m∥n，m⊥α，则n⊥α；②若m⊥α，m⊥p，则α∥β；③若m⊥α，m∥n，ncβ，则α⊥β；④若m∥α，αβ=n，则m∥n．其中假命题的个数为A．0 B.1 C．2 D．34．从原点向圆x2+ y2—12x +27 =0作两条切线，则这两条切线的夹角的大小为A. 30°B. 60°C. 90°D. 120°5．如图，在四面体ABCD中，E，F分别是AC与BD的中点，若CD= 2AB=4，EF⊥BA，则EF与CD所成的角为 ( )A．90° B．45°C．30° D．60°6．三棱锥P -ABC的高为PH，若三个侧面两两垂直，则H为△ABC的A．垂心 B．外心 C．内心 D．重心7．若动点P到点F(l，1)和直线3x +y -4 =0的距离相等，则点P的轨迹方程为A.3x +y -6 =0 B．x-3y+2 =0 C．x+3y -2 =0 D.3x -y+2 =08．若a∈{-2，0，1，34}，则方程x2 +y2 +ax+2ay+2a2 +a-l =0表示的圆的个数为( )A．0 B.1C．2 D．39．已知三棱柱的三视图如图所示，其中俯视图为正三角形，则该三棱柱的体积为 ( )A．．C．6 D．10．如图所示，已知两点A(4，0)，B(0，4)，从点P(2，0)射出的光线经直线AB反射后再射到直线OB上，最后经直线OB反射后又回到P 点，则光线所经过的路程是 ( )A．．6C．．11．如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，点O为线段BD的中点．设点P在线段CC1上，直线OP与平面A1 BD所成的角为α，则slnα的取值范围是 ( )A．1] B．1]C．] D．，1]12.已知圆C1：（x-2)2+（y-3)2=1，圆C2：(x-3)2+（y-4)2=9，M、N分别是圆C1、C2上的动点，P为x轴上的动点，则|PM|+|PN|的最小值为 ( )二、填空题（本大题5个小题，每小题4分，共20分）在每小题中，请将答案直接填在题后的横线上.13.若A（1，-2，1），B(2，2，2)，点P在z轴上，且|PA|=|PB|，则点P的坐标为14.不论m取何实数，直线(3m+4)x+(5 -2m)y+7m -6 =0都恒过一个定点P，则点P的坐标是15.如图所示，已知矩形ABCD中，AB =3，BC =a，若PA⊥平面AC，在满足条件PE⊥DE的E点有两个时，a的取值范围是16.若圆x2 +y2 -ax +2y+1 =0与圆x2 +y2 =1关于直线y=x-l对称，过点C（-a，a）的圆P与y轴相切，则圆心P的轨迹方程为17.如图，在正方体ABCD - A'B'C'D'中，E，F分别是A'A，C'C的中点，则下列判断正确的是____（填序号）．①四边形BFD'E在底面ABCD内的投影是正方形；②四边形BFD'E在平面A'D'DA内的投影是菱形；③四边形BFD'E在平面A'D'DA内的投影与在面ABB'A'内的投影是全等的平行四边形．三、解答题（本大题6个小题，共44分，解答时每小题必须给出必要的演算过程或推理步骤．）18．（本小题满分6分）如图所示，在正方体ABCD - A1B1C1D1中，M，E，F，N分别是A1 B1，B1 C1，C1D1，D1A1的中点，求证：(1)E，F，B，D四点共面；（2）平面MAN∥平面EFDB.19．（本小题满分6分）求与圆（x-2）2+y2 =2相切且在x轴，y轴上截距相等的直线方程．20.（本小题满分6分）如图，直三棱柱ABC - A1B1C1的六个顶点都在半径为1的半球面上，AB=AC，侧面 BCC1B1是半球底面圆的内接正方形，求侧面ABB1A1的面积．21.（本小题满分8分）已知实数x，y满足方程(x-2)2+(y-2)2=1．(1)求1yx的取值范围；(2)求|x +y+l|的取值范围．22.（本小题满分12分）如图，在四棱锥P -ABCD中，底面ABCD是矩形，已知AB =3，AD =2，PA =2，∠PAB=60°．(1)求证：AD⊥平面PAB；(2)求异面直线PC与AD所成的角的正切值；(3)求二面角P-BD-A的正切值．。
安徽省芜湖市2019～2020学年度高2021届高2018级高二第一学期期末考前测试文科数学试卷及参考答案
数 学 试 卷文科(考试时间:120分钟,满分:150分 )一、选择题(本题共12个小题,每题只有一个正确答案 ,每题5分,共60分。
请把答案涂在答题卡上)1.直线x --=330的倾斜角是A. 6πB. 3πC. 32πD. 65π2.直线(21)10m x my -++=和直线330mx y ++=垂直,则实数m 的值为 A.1 B.0C.2D.-1或03.设双曲线()x y b b -=>222109的渐近线方程为x y ±=230,则b 的值为 A.1 B. 2 C.4 D.16 4.圆x 2＋(y －3)2＝1上的动点P 到点Q (2,3)的距离的最小值为( )A.1B.2C.3D.45.椭圆14922=++ky x 的离心率为45,则k 的值为( ) A.－21 B.21 C.－1925或21D.1925或21 6.已知两个不同的平面α,β和两条不重合的直线m ,n ,有下列四个命题:①若m ∥n ,m ⊥α,则n ⊥α; ②若m ⊥α,m ⊥β,则α∥β; ③若m ⊥α,m ∥n ,n ⊂β,则α⊥β; ④若m ∥α,α∩β＝n ,则m ∥n . 其中真命题的个数为( )A.0B.1C.2D.37.如图,网格纸上小正方形的边长为1,粗线画出的是某几何体的三视图,则此几何体的体积是A. 13 B. 23 C.43D.83(第7题图)8.若椭圆x y +=221123的一条弦被点(2,1)平分,则这条弦所在的直线方程是 A.02=-y x B.x y --=230 C.x y +-=240 D.x y +-=2509.已知直三棱柱ABC A B C -111,ABC ∠=120o,,AB BC CC ===121,则异面直线AB 1与BC 所成角的余弦值为A. 15 B.5C. 5D.5(第9题图)10.平面直角坐标系内,过点()0,2的直线l 与曲线21x y -=相交于B A 、两点,当AOB ∆的面积最大时,直线l 的斜率为( )A. 33- B.3- C. 21- D.22- 11.已知椭圆)0(12222>>=+b a by a x 的左焦点)0,(c F -关于直线0=+cy bx 的对称点P 在椭圆上,则椭圆的离心率是( )A.22 B.34 C.33D.2412.已知三棱锥P ABC -的棱AP AB AC 、、两两垂直,且长度都为3,以顶点P 为球心2为半径作一个球,则图中球面与三棱锥的表面相交所得到的四段弧长之和等于( ) A.32π B.65π C. π D. π32(第12题图)二、填空题(本题共4个小题,每题5分,共计20分.请把答案写在答题纸上)13.圆:0222=+-+y x y x 和圆:02322=--++y x y x 交于B A ,两点,则直线AB 的方程是__________________.14.设AB 是椭圆的长轴,点C 在椭圆上,且∠CBA ＝π4,若AB ＝4,BC ＝2,则椭圆的两个焦点之间的距离为________.15.在四面体ABCD 中,ACB ∠=90o, AB AD AC ===2BD =4,CD =,则四面体ABCD 外接球的体积为________.16.已知直线:l x y +-=230和圆:()C x y x y a a ++-+=22240是实数,直线l 与圆C 交于(,),(,)A x y B x y 1122两点,则x y x y -+-=112222________.三、解答题(本题共6个小题,其中第17题10分,其余每题12分,共计70分。
2019-2020学年安徽省芜湖市高二(上)期末数学试卷(文科)
2019-2020学年安徽省芜湖市高二（上）期末数学试卷（文科）一、选择题（本大题12个小题，每小题3分，共36分）在每个小题的下面，都给出了代号为A 、B 、C 、D 的四个答案，其中只有一个是正确的，请将正确答案的代号填涂在答题卷相应的题号后.1．（3分）过点(1,3)-且平行于直线230x y -+=的直线方程为( ) A ．270x y -+=B ．210x y +-=C ．250x y --=D ．250x y +-=2．（3分）如果“()p q ⌝∧”为真命题，则( ) A ．p ，q 都是真命题B ．p ，q 都是假命题C ．p ，q 中至少有一个是真命题D ．p ，q 中至多有一个是真命题3．（3分）圆：22460x y x y +-+=的圆心坐标和半径分别为( )A ．(2,3)-，13B ．(2,3)-C ．(2,3)-D ．(2,3)-，134．（3分）若三条直线2380x y ++=，10x y --=和0x ky +=交于一点，则k 的值为() A ．2-B ．12-C ．2D ．125．（3分）“5k =”是“两直线520kx y +-=和(4)70k x y -+-=互相垂直”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件6．（3分）设m 、n 是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，则( ) A ．若m n ⊥，//n α，则m α⊥ B ．若//m β，βα⊥，则m α⊥ C ．若m β⊥，n β⊥，n α⊥，则m α⊥D ．若m n ⊥，n β⊥，βα⊥，则m α⊥7．（3分）圆2250x y +=与圆22126400x y x y +--+=的公共弦长为( )AB C ．D ．8．（3分）已知空间直角坐标系O xyz -中有一点(1A -，1-，2)，点B 是xOy 平面内的直线1x y +=上的动点，则A ，B 两点的最短距离是( )A B C ．3 D ．1729．（3分）球O 的截面把垂直于截面的直径分成1:3O 的体积为( )A ．16πB ．163πC ．43πD ．323π10．（3分）某几何体的三视图如图所示（单位：)cm ，则该几何体的表面积是( )A ．93+ B ．43+ C ．56D ．511．（3分）在长方体1111ABCD A B C D -中，1B C 和1C D 与底面所成的角分别为60︒和45︒，则异面直线1B C 和1C D 所成角的余弦值为( )A 6B 6C 2D 2 12．（3分）著名数学家华罗庚曾说过：“数形结合百般好，隔裂分家万事休．”事实上，有22()()x a y b -+-可以转化为平面上点(,)M x y 与点(,)N a b 的距离．结合上述观点，可得22()420210f x x x x x =++++的最小值为( ) A ．32B ．42C ．52D ．2二、填空题（本大题5个小题，每小题4分，共20分）在每小题中，请将答案直接填在答题卷相应题号后的横线上.13．（4分）已知命题:p x R ∀∈，10x e x -->．则p ⌝是 ．14．（4分）从22(1)(1)1x y -+-=外一点(3,5)P 向这个圆引切线，则切线长为 ． 15．（4分）已知直线(6)320x θ+-=的倾斜角为(0)θθ≠，则θ= ． 16．（4分）已知不等式2121xx ->-的解集为A ，2210(0)x x m m ++->…的解集为B ，若“x A ∈”是“x B ∈”的充分不必要条件，那么实数m 的取值范围是 ．17．（4分）我国古代数学名著《数书九章》中有“天池盆测雨”题：在下雨时，用一个圆台形的天池盆接雨水．天池盆盆口直径为二尺八寸，盆底直径为一尺二寸，盆深一尺八寸．若盆中积水深九寸，则平地降雨量是 寸．（注：①平地降雨量等于盆中积水体积除以盆口面积；②一尺等于十寸）三、解答题（本大题5个小题，共44分，解答时每小题必须给出必要的演算过程或推理步骤.）18．（8分）已知实数x ，y 满足方程22(2)3x y -+=． （1）求yx的最大值和最小值； （2）求该方程对应图形关于直线0x y +=对称图形的方程． 19．（8分）直线l 的方程为(1)20()a x y a a R +++-=∈． （1）若l 在两坐标轴上的截距相等，求a 的值； （2）若l 不经过第二象限，求实数a 的取值范围．20．（8分）如图，在四棱锥P ABCD -中，四边形ABCD 是矩形，平面PCD ⊥平面ABCD ，M 为PC 中点．求证：（1）//PA 平面MDB ； （2）PD BC ⊥．21．（10分）已知圆22:(2)9C x y ++=及点(0,1)P ，过点P 的直线与圆交于A 、B 两点． （1）若弦长||42AB =，求直线AB 的斜率； （2）求ABC ∆面积的最大值，及此时弦长||AB ．22．（10分）如图，在四棱锥S ABCD -中，底面ABCD 是菱形，60BAD ∠=︒，SAB ∆为等边三角形，G 是线段SB 上的一点，且//SD 平面GAC ． （1）求证：G 为SB 的中点；（2）若F 为SC 的中点，连接GA ，GC ，FA ，FG ，平面SAB ⊥平面ABCD ，2AB =，求三棱锥F AGC的体积．2019-2020学年安徽省芜湖市高二（上）期末数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题（本大题12个小题，每小题3分，共36分）在每个小题的下面，都给出了代号为A 、B 、C 、D 的四个答案，其中只有一个是正确的，请将正确答案的代号填涂在答题卷相应的题号后.1．（3分）过点(1,3)-且平行于直线230x y -+=的直线方程为( ) A ．270x y -+=B ．210x y +-=C ．250x y --=D ．250x y +-=【解答】解：由题意可设所求的直线方程为20x y c -+= Q 过点(1,3)-代入可得160c --+= 则7c = 270x y ∴-+=故选：A ．2．（3分）如果“()p q ⌝∧”为真命题，则( ) A ．p ，q 都是真命题B ．p ，q 都是假命题C ．p ，q 中至少有一个是真命题D ．p ，q 中至多有一个是真命题【解答】解：若原命题和命题的否定的真假性是相对的． 所以“()p q ⌝∧”为真命题，可得“()p q ∧”为假命题．要使p q ∧为假命题，则p 和q 同时为假命题，或p 和q 中一真一假， 即p ，q 中至多有一个是真命题． 故选：D ．3．（3分）圆：22460x y x y +-+=的圆心坐标和半径分别为( )A ．(2,3)-，13B ．(2,3)-C ．(2,3)-D ．(2,3)-，13【解答】解：圆：22460x y x y +-+=，即圆：22(2)(3)13x y -++=，故圆心坐标和半径分别为(2,3)- 故选：C ．4．（3分）若三条直线2380x y ++=，10x y --=和0x ky +=交于一点，则k 的值为()A ．2-B ．12-C ．2D ．12【解答】解：依题意，238010x y x y ++=⎧⎨--=⎩，解得12x y =-⎧⎨=-⎩，∴两直线2380x y ++=和10x y --=的交点坐标为(1,2)--．Q 直线0x ky +=，2380x y ++=和10x y --=交于一点，120k ∴--=，12k ∴=-．故选：B ．5．（3分）“5k =”是“两直线520kx y +-=和(4)70k x y -+-=互相垂直”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件【解答】解：“1k =”时，两条直线为5520x y +-=与70x y -+-=垂直，充分条件成立； 520kx y +-=和(4)70k x y -+-=互相垂直时，(4)15k k --=-g 解得5k =或1k =-，必要条件不成立所以“5k =”是“两直线520kx y +-=和(4)70k x y -+-=互相垂直”的充分不必要条件． 故选：A ．6．（3分）设m 、n 是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，则( ) A ．若m n ⊥，//n α，则m α⊥ B ．若//m β，βα⊥，则m α⊥ C ．若m β⊥，n β⊥，n α⊥，则m α⊥D ．若m n ⊥，n β⊥，βα⊥，则m α⊥【解答】解：A ．若m n ⊥，//n α，则m α⊥或m α⊂或//m α，故A 错误．B ．若//m β，βα⊥，则m α⊥或m α⊂或//m α，故B 错误．C ．若m β⊥，n β⊥，n α⊥，则m α⊥，正确．D ．若m n ⊥，n β⊥，βα⊥，则m α⊥或m α⊂或//m α，故D 错误．故选：C ．7．（3分）圆2250x y +=与圆22126400x y x y +--+=的公共弦长为( )AB C ．D ．【解答】解：2250x y +=，①；22126400x y x y +--+=②； ②-①得：2150x y +-=为公共弦所在直线的方程，==故选：C ．8．（3分）已知空间直角坐标系O xyz -中有一点(1A -，1-，2)，点B 是xOy 平面内的直线1x y +=上的动点，则A ，B 两点的最短距离是( )A B C ．3 D ．172【解答】解：Q 点B 是xoy 平面内的直线1x y +=上的动点，∴可设点(B m ，1m -，0)由空间两点之间的距离公式，得||AB 令221172292()22t m m m =-+=-+当12m =时，t 的最小值为172∴当12m =时，||AB =A 、B 故选：B ．9．（3分）球O 的截面把垂直于截面的直径分成1:3O 的体积为( )A ．16πB ．163π C ． D ．323π【解答】解：画出过球心的大圆，如图所示，则由题意可得O 为球心，D 为截面圆的圆心，且BD 为截面圆的半径r =，OB 为球的半径R ，由题意11242DC R R ==g ，则12OD R =，在ODB ∆中：2221()2R R =+，解得2R =，所以球O 的体积343233V R ππ==，故选：D ．10．（3分）某几何体的三视图如图所示（单位：)cm ，则该几何体的表面积是( )A ．93+ B ．43+ C ．56D ．5【解答】解：由三视图还原原几何体如图，该几何体是棱长为1的正方体截去一个三棱锥111A AB D -， 则其表面积113933113112222S +=⨯⨯+⨯⨯⨯+⨯⨯⨯=． 故选：A ．11．（3分）在长方体1111ABCD A B C D -中，1B C 和1C D 与底面所成的角分别为60︒和45︒，则异面直线1B C 和1C D 所成角的余弦值为( )A ．6 B ．6 C ．26D ．23【解答】解：如图所示：1B B ⊥Q 平面ABCD ，1BCB ∴∠是1B C 与底面所成角， 160BCB ∴∠=︒．1C C ⊥Q 底面ABCD ，1CDC ∴∠是1C D 与底面所成的角， 145CDC ∴∠=︒．连接1A D ，11A C ，则11//A D B C ．11A DC ∴∠或其补角为异面直线1B C 与1C D 所成的角． 不妨设1BC =，则112CB DA ==，113BB CC CD ===，∴16C D =，112AC =．在等腰△11A C D 中，1111162cos C DA DC A D ∠==．故选：A ．12．（3分）著名数学家华罗庚曾说过：“数形结合百般好，隔裂分家万事休．”事实上，有22()()x a y b -+-可以转化为平面上点(,)M x y 与点(,)N a b 的距离．结合上述观点，可得22()420210f x x x x x =++++的最小值为( ) A ．32B ．42C ．52D ．2【解答】解：()f x =+表示平面上点(,0)M x 与点(2,4)N -，(1,3)H --的距离和， 连接NH ，与x 轴交于(,0)M x ，则10(7M -，0)，()f x ∴=故选：C ．二、填空题（本大题5个小题，每小题4分，共20分）在每小题中，请将答案直接填在答题卷相应题号后的横线上.13．（4分）已知命题:p x R ∀∈，10x e x -->．则p ⌝是 x R ∃∈，使得0010x e x --„ ． 【解答】解：因为全称命题的否定是特称命题，所以命题:p x R ∀∈，10x e x -->的否定是：x R ∃∈，使得0010x e x --„． 故答案为：x R ∃∈，使得0010x e x --„．14．（4分）从22(1)(1)1x y -+-=外一点(3,5)P【解答】解：根据题意，设圆22(1)(1)1x y -+-=的圆心为C ，则(1,1)C ，半径1r =， 过点(3,5)P 向这个圆引切线，切点为T ，又由||PC ==||PT ==；15．（4分）已知直线)20x θ+-=的倾斜角为(0)θθ≠，则θ= 34π（或135)︒ ．【解答】解：由题意得tan θθ=， 0θ≠Q ，cos θ∴=，则34πθ=（或135)︒． 故答案是：34π（或135)︒．16．（4分）已知不等式2121xx ->-的解集为A ，2210(0)x x m m ++->„的解集为B ，若“x A ∈”是“x B ∈”的充分不必要条件，那么实数m 的取值范围是 [4，)+∞ ．【解答】解：不等式2121x x ->-，化为：(1)(21)0x x --<，解得112x <<．可得解集为1(2A =，1)， 2210(0)x x m m ++->„的解集为B ，若“x A ∈”是“x B ∈”的充分不必要条件，则A B Ü．2(1)m x +…，1(2x ∈，1)， 4m ∴…．那么实数m 的取值范围是[4，)+∞．故答案为：[4，)+∞．17．（4分）我国古代数学名著《数书九章》中有“天池盆测雨”题：在下雨时，用一个圆台形的天池盆接雨水．天池盆盆口直径为二尺八寸，盆底直径为一尺二寸，盆深一尺八寸．若盆中积水深九寸，则平地降雨量是 3 寸．（注：①平地降雨量等于盆中积水体积除以盆口面积；②一尺等于十寸）【解答】解：如图，由题意可知，天池盆上底面半径为14寸，下底面半径为6寸，高为18寸．因为积水深9寸，所以水面半径为1(146)102+=寸． 则盆中水的体积为2219(610610)5883ππ⨯++⨯=（立方寸）． 所以则平地降雨量等于2588314ππ=⨯（寸)． 故答案为3．三、解答题（本大题5个小题，共44分，解答时每小题必须给出必要的演算过程或推理步骤.）18．（8分）已知实数x ，y 满足方程22(2)3x y -+=．（1）求y x的最大值和最小值； （2）求该方程对应图形关于直线0x y +=对称图形的方程．【解答】解：22(2)3x y -+=表示圆心为(2,0)，半径3r =， （1）令y k x =，即y kx =，由直线和圆有交点可得d r „，即231k+„， 解得33k -剟， 可得y x的最大值为3和最小值3-； （2）圆心(2,0)关于0x y +=即y x =-对称的点为(0,2)-，22(2)3x y ∴++=．19．（8分）直线l 的方程为(1)20()a x y a a R +++-=∈．（1）若l 在两坐标轴上的截距相等，求a 的值；（2）若l 不经过第二象限，求实数a 的取值范围．【解答】解：（1）当直线过原点时，该直线在x 轴和y 轴上的截距为零，当然相等，2a ∴=，方程即30x y +=；（2分） 若2a ≠，则221a a a -=-+，即11a +=， 0a ∴= 即方程为20x y ++=，a ∴的值为0或2．（6分）（2）Q 过原点时，3y x =-经过第二象限不合题意，∴直线不过原点（10分）1a ∴-„．（12分）20．（8分）如图，在四棱锥P ABCD -中，四边形ABCD 是矩形，平面PCD ⊥平面ABCD ，M 为PC 中点．求证：（1）//PA 平面MDB ；（2）PD BC ⊥．【解答】证明：（1）连接AC ，交BD 与点O ，连接OM ，M Q 为PC 的中点，O 为AC 的中点，//MO PA ∴，MO ⊂Q 平面MDB ，PA ⊂/平面MDB ，//PA ∴平面MDB ．（2）Q 平面PCD ⊥平面ABCD ，平面PCD ⋂平面ABCD CD =，BC ⊂平面ABCD ，BC CD ⊥，BC ∴⊥平面PCD ，PD ⊂Q 平面PCD ，BC PD ∴⊥．21．（10分）已知圆22:(2)9C x y ++=及点(0,1)P ，过点P 的直线与圆交于A 、B 两点．（1）若弦长||42AB =，求直线AB 的斜率；（2）求ABC ∆面积的最大值，及此时弦长||AB ．【解答】解：（1）当直线AB 垂直于x 轴时，不合题意；当直线AB 斜率存在时，设直线方程为1y kx =+，即10kx y -+=．圆心(2,0)-到直线的距离21d k =+ 则22(12)||2921k AB k -=-=+，即0k =或43k =； （2）当直线AB 垂直于x 轴时，直线方程为0x =，与圆22:(2)9C x y ++=联立，可得||25AB =1252252ABC S ∆=⨯=； 当直线AB 斜率存在时，2222221(12)|12|299()21111k k S k k k k --=⨯--++++． 2(0)1t t k =+…，则222299(9)22t tS t t-+=-=g…．当且仅当29 2t=，即22(12)912kk-=+，即1k=-或7k=．此时弦长9||29322AB=-=．22．（10分）如图，在四棱锥S ABCD-中，底面ABCD是菱形，60BAD∠=︒，SAB∆为等边三角形，G是线段SB上的一点，且//SD平面GAC．（1）求证：G为SB的中点；（2）若F为SC的中点，连接GA，GC，FA，FG，平面SAB⊥平面ABCD，2AB=，求三棱锥F AGC-的体积．【解答】（1）证明：如图，连接BD交AC于点E，则E为BD的中点，连接GE，//SDQ平面GAC，平面SDB⋂平面GAC GE=，SD⊂平面SBD，//SD GE∴，而E为BD的中点，G∴为SB的中点．（2）解：FQ，G分别为SC，SB的中点，∴1111122448F AGC S AGC C AGS C ABS S ABC S ABCDV V V V V V ------=====三棱锥三棱锥三棱锥三棱锥三棱锥四棱锥．取AB的中点H，连接SH，SAB∆Q为等边三角形，SH AB∴⊥，又平面SAB⊥平面ABCD，平面SAB⋂平面ABCD AB=，SH⊂平面SAB，SH∴⊥平面ABCD，而3SH122260232ABCDS sin=⋅⋅⋅︒=菱形∴11233233S ABCD ABCDV S SH-=⋅⋅=⋅四棱锥菱形，∴1184F AGC S ABCDV V--==三棱锥四棱锥．。
第一学期高二期末考试数学试卷含答案
第一学期高二期末第一学期期末考试数学试题【满分150分，考试时间为120分钟】一、选择题：（本大题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
）1．函数2()4f x x =的导函数是（ ） A ．'()2f x x = B ．'()4f x x =C ．'()8f x x =D ．'()16f x x =2．已知命题p ：13x <<，q ：31x >，则p 是q 的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件3．双曲线2228x y -=的实轴长是（ ）A ．2B ．C ．4D ．4．某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的体积是 ( ) A ．16B ．13C ．23D ．15．函数)(x f y =的导函数)('x f y =的图象如图所示，则函数)(x f y =的图象可能是( )6．直线01=-+y ax 平分圆0134222=-+-+y x y x 的面积，则a=（ ）A ．1B ．3C D ．27．已知双曲线22221x y C a b -=：（0a >，0b >）的一条渐近线方程为y =，且与椭圆221123x y +=有公共焦点．则C 的方程为（ ）A ．221810x y -=B ．22145x y -=C ．22154x y -=D ．22143x y -=8．函数14ln )(+-=x x x f 递增区间为（ ） A ．)41,0(B ．)4,0(C ．)41,(-∞D ．),41(+∞9．设Q P ,分别为()2622=-+y x 和椭圆11022=+y x 上的点，则Q P ,两点间的最大距离是（ ） A ．25B ．246+C ．27+D ．2610．如图，已知直线与抛物线)0(22>=p px y 交于A ，B 两点，且OA ⊥OB,OD ⊥AB 交AB 于点D ，点D的坐标（4，2），则p=( )。
安徽省芜湖市高二上学期数学期末检测试卷
安徽省芜湖市高二上学期数学期末检测试卷姓名:________班级:________成绩:________一、 单选题 (共 10 题；共 20 分)1. （2 分） 正四棱锥的侧棱长与底面边长都是 1，则侧棱与底面所成的角为（ ）A . 75°B . 60°C . 45°D . 30°2. （2 分） 一个与球心距离为 1 的平面截球所得的圆面积为 ， 则球的表面积为（ ）A. B.C.D.3. （2 分） (2018 高二上·嘉兴期末) 已知 是（ ）A.若，，则B.若，，则C.若，，则是两条不同直线，是不同的平面，下列命题中正确的D.若，，则4. （2 分） (2016·嘉兴模拟) 设 A . 充分不必要条件，则“”是“恒成立”的（ ）第1页共8页B . 必要不充分条件C . 充分必要条件D . 既不充分也不必要条件5. （2 分） (2018 高二上·嘉兴期末) 在三棱锥中， 是 的中点，且，则（）A.B.C.D.6. （2 分） (2018 高二上·嘉兴期末) 在三棱柱 有（ ）中，分别是的中点，则必A.B.C.平面D.平面7. （2 分） (2018 高二上·嘉兴期末) 在平行六面体中，，，，则异面直线与所成角的余弦值是（ ）A. B.C. D.第2页共8页8. （2 分） (2018 高二上·嘉兴期末) 已知-2 与 1 是方程 的最大值为（ ）A . -2 B . -4 C . -6 D . -8 9. （2 分） (2018 高二上·嘉兴期末) 关于 的不等式 围是（ ）的两个根，且，则只有一个整数解，则 的取值范A.B.C.D.10. （2 分） (2018 高二上·嘉兴期末) 已知直角，，，，分别是的中点，将沿着直线 翻折至，形成四棱锥，则在翻折过程中，①；②；③；④平面平面，不可能成立的结论是（ ）A . ①②③B . ①②C . ③④D . ①②④二、 填空题 (共 8 题；共 8 分)11. （1 分） (2020 高二下·天津期中) 若函数在12. （1 分） (2018 高二上·淮安期中) 给定下列四个命题：处取得极小值，则 a=________．第3页共8页①若一个平面内的两条直线与另一个平面都平行，那么这两个平面相互平行；②若一个平面经过另一个平面的 垂线，那么这两个平面相互垂直；③垂直于同一直线的两条直线相互平行；④若两个平面垂直，那么一个平面内与 它们的交线不垂直的直线与另一个平面也不垂直．其中，真命题的序号是________．13. （1 分） (2018 高二上·嘉兴期末) 如图为某几何体的三视图，则该几何体的体积为________.14. （1 分） (2018 高二上·嘉兴期末) 若对任意正实数 ，都有 范围是________．恒成立，则实数 的取值15. （1 分） (2018 高二上·嘉兴期末) 在三棱锥中，底面为正三角形，各侧棱长相等，点分别是棱的中点，且，则________．16. （1 分） (2018 高二上·嘉兴期末) 在四棱锥，，，，的取值范围是________．中，底面为平行四边形，，则当 变化时，直线与平面平面 所成角17. （1 分） (2018 高二上·嘉兴期末) 已知长方体是面上异于 的一动点，则异面直线与，，所成最小角的正弦值为________．，点18. （ 1 分 ） (2018 高 二 上 · 嘉 兴 期 末 ) 已 知，恒成立，则的最小值是________．，当时，关于 的不等式三、 解答题 (共 4 题；共 45 分)19. （15 分） 已知函数（x∈R）．第4页共8页（1） 求函数 f（x）的值域； （2） ①判断函数 f（x）的奇偶性；②用定义判断函数 f（x）的单调性； （3） 解不等式 f（1﹣m）+f（1﹣m2）＜0．20. （10 分） (2019 高一下·顺德期末) 已知向量，，且.（1） 求向量 在 上的投影；（2） 求.21. （10 分） (2018 高二上·嘉兴期末) 已知，，.（1） 求证：；（2） 求的最小值.22. （10 分） (2018 高二上·嘉兴期末) 已知三棱锥三角形，，，二面角，底面 的大小为是以 .为直角顶点的等腰直角（1） 求直线 与平面所成角的大小；（2） 求二面角的正切值.第5页共8页一、 单选题 (共 10 题；共 20 分)1-1、 2-1、 3-1、 4-1、 5-1、 6-1、 7-1、 8-1、 9-1、 10-1、二、 填空题 (共 8 题；共 8 分)11-1、 12-1、 13-1、 14-1、 15-1、参考答案第6页共8页16-1、 17-1、 18-1、三、 解答题 (共 4 题；共 45 分)19-1、19-2、 19-3、 20-1、第7页共8页20-2、 21-1、 21-2、 22-1、22-2、第8页共8页。
2021-2022学年安徽省芜湖市第一中学高二上学期第一次月末诊断测试数学试题(解析版)
2021-2022学年安徽省芜湖市第一中学高二上学期第一次月末诊断测试数学试题一、单选题110y -+=的倾斜角为（ ） A ．6π B ．3π C ．23π D ．56π 【答案】B【分析】根据倾斜角和斜率的关系求解.【详解】由已知得1y +，故直线斜率k =由于倾斜的范围是0,，则倾斜角为3π. 故选：B.2．已知()()1,0,2,6,21,2,//,a b a b λλμ=+=-则,λμ的值分别为 A ．11,52B ．5，2C ．11,52--D ．5,2--【答案】A【分析】由题意得，//a b ，所以a xb =，即()()1,0,26,21,2x λλμ+=-，解得11,52λμ==，故选A ．3．若直线0x y a ++=平分圆222410x y x y +-++=的面积，则a 的值为（ ） A ．2- B ．1- C ．1 D ．2【答案】C【分析】由直线过圆心计算.【详解】根据题意，圆的方程为222410x y x y +-++=，其圆心为(1,2)-． 因为直线0x y a ++=平分圆222410x y x y +-++=的面积， 所以圆心(1,2)-在直线0x y a ++=上， 则有120a +-=，解得1a =． 故选：C ．4．如图在四面体OABC 中，M ，N 分别在棱OA ，BC 上且满足2OM MA =，2BN NC =，点G 是线段MN 的中点，用向量OA ，OB ，OC 表示向量OG 应为（ ）A ．111363OG OA OB OC =++ B ．111336OG OA OB OC =++ C ．111344OG OA OB OC =++ D ．111443OG OA OB OC =++【答案】A【解析】由题意有2OM MA =，2BN NC =，又点G 是线段MN 的中点，结合向量的线性运算及共线向量的运算即可得解.【详解】∵在四面体OABC 中，,M N 分别在棱OA 、BC 上，且满足2OM MA =， 2BN NC =，点G 是线段MN 的中点，∴11122223OG OM ON OA =+=⨯+12111()23363OB BC OA OB OC ⨯+=++.故选：A .【点睛】本题考查了向量的线性运算，重点考查了利用空间基底表示向量，属基础题.5．两个圆221:2220C x y x y +++-=与222:4210C x y x y +--+=的公切线有且仅有（ ） A ．1条 B ．2条 C ．3条 D ．4条【答案】B【解析】先求两圆的圆心和半径，判定两圆的位置关系，即可判定公切线的条数. 【详解】解：将两圆方程化为标准式得： ()()221:114C x y +++=与()()222:214C x y -+-=两圆的圆心分别是(1,1)--，(2,1)，半径分别是2，2 两圆圆心距离：22032134+=，说明两圆相交， 因而公切线只有两条. 故选：B ．【点睛】两圆的位置关系与公切线的条数：①内含时：0条；②内切：1条；③相交：2条；④外切：3条；⑤外离：4条．6．在长方体1111ABCD A B C D -中，12,3AB AD AA ===，点E 为棱1BB 上的点，且12BE EB =，则异面直线DE 与11A B 所成角的正弦值为A ．52B ．63C ．64D ．73【答案】B【分析】在1AA 上取点F ，使得12AF FA =，连接,EF FD ，可得11//EF A B ，得到异面直线DE 与11A B 所成角就是相交直线EF 与DE 所成的角，在DEF ∆中，利用余弦定理和三角函数的基本关系式，即可求解.【详解】在长方体1111ABCD A B C D -中，12,3AB AD AA ===，点E 为棱1BB 上的点，且12BE EB =，如图所示，在1AA 上取点F ，使得12AF FA =，连接,EF FD ，可得11//EF A B ，所以异面直线DE 与11A B 所成角就是相交直线EF 与DE 所成的角， 设DEF θ∠=，又由在直角ADF ∆中，2,2AD AF ==，所以2222DF AD AF =+=， 在直角BDE ∆中，22,2BD BE ==，所以2223DE BD BE =+=， 在DEF ∆中，22,2,23DF EF DE ===，由余弦定理可得22212483cos 232232DE EF DF DE EF θ+-+-===⋅⨯⨯, 所以所以异面直线DE 与11A B 所成角的正弦值sin 63θ=，故选B.【点睛】本题主要考查了异面直线所成角的求解，其中解答中根据几何体的结构特征，把异面直线所成的角转化为相交直线所成的角是解答的关键，着重考查了空间向量能力，以及推理与计算能力，属于基础题.7．圆()()22341x y -+-=上一点到原点的距离的最大值为（ ）A ．4B ．5C ．6D ．7【答案】C【解析】求得圆()()22341x y -+-=的圆心和半径，由此求得圆上一点到原点的距离的最大值.【详解】圆()()22341x y -+-=的圆心为()3,4，半径为1，圆心到原点的距离为22345+=，所以圆上一点到原点的距离的最大值为516+=. 故选：C【点睛】本小题主要考查点和圆的位置关系，属于基础题.8．长方体1111ABCD A B C D -中，11,2,AB AD AA E ===为棱1AA 的中点，则直线1C E 与平面11CB D 所成角的余弦值为（ ） A ．69B ．539C ．53D ．23【答案】A【解析】根据题意建立空间直角坐标系，用向量法进行处理. 【详解】根据题意，建立如图所示直角坐标系：则：1C E (1,1,1)=--设平面11B D C 的法向量为n (,,)x y z = 则100n B D n BC ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩可得：020x y x z --=⎧⎨--=⎩ 取n (2,2,1)=-- 则1,cos n C E =11n C E n C E⋅5333=⋅设直线1C E 与平面11B D C 的夹角为θ 则539sin θ=，261sin 9cos θθ=-=. 故选：A.【点睛】本题考查线面角的求解，属基础题.9．圆22(2)(12)4x y ++-=关于直线l ：80-+=x y 对称的圆的方程为（ ） A ．22(3)(2)4x y +++= B ．22(4)(6)4x y ++-= C ．22(4)(6)4x y -+-= D ．22(6)(4)4x y +++=【答案】C【分析】写出已知圆的圆心坐标和半径，求出圆心坐标关于直线l 的对称点的坐标，然后代入圆的标准方程得答案．【详解】圆22:(2)(12)4C x y ++-=的圆心坐标为(2,12)C -，半径为2， 设(2,12)C -关于直线l ：80-+=x y 的对称点为(,)C x y '''， 则21280221212x y y x -+⎧-'''+=⎪⎪⎨-'⎪=-⎪+⎩，解得46x y ''=⎧⎨=⎩．所以(4,6)C '，则圆C 关于直线l 对称的圆的方程为22(4)(6)4x y -+-=． 故选：C ．【点睛】本题考查圆的标准方程，考查了点关于直线的对称点的求法，属于基础题． 10．圆2250x y +=与圆22126400x y x y +--+=的公共弦长为 A ．5 B ．6C ．25D ．26【答案】C【详解】x 2＋y 2＝50与x 2＋y 2－12x －6y ＋40＝0作差，得两圆公共弦所在直线的方程为2x ＋y －15＝0，圆x 2＋y 2＝50的圆心(0，0)到2x ＋y －15＝0的距离35=d ，因此，公共弦长为.选C11．已知直线:2l y x =+与圆22:4O x y +=相交于A ，B 两点，则AB AO ⋅的值为（ ） A ．8 B ．42C ．4D ．2【答案】C【分析】联立直线与圆的方程求A 、B 的坐标，再由向量数量积的坐标表示即可求AB AO ⋅.【详解】由题意，联立2224y x x y =+⎧⎨+=⎩，有220x x +=，解得0x =，2x =-， ∴若()0,2A ，则()2,0B -，则()()2,20,220224AB AO ⋅=--⋅-=-⨯+⨯=. 故选：C.12．已知点M 为直线30x y +-=上的动点，过点M 引圆221x y +=的两条切线，切点分别为A ，B ，则点()0,1P -到直线AB 的距离的最大值为（ ）A ．32B ．53C D 【答案】D【分析】设00(,)M x y ，先求出直线AB 的方程001x x y y ⋅+⋅=，由M 点在直线30x y +-=上，得出直线AB 过定点,从而求出答案.【详解】设00(,)M x y ,过点M 引圆221x y +=的两条切线，切点分别为A ，B .则A ，B 两点在以OM 为直径的圆:22000x x x y y y -⋅+-⋅=上.又A ，B 在圆221x y +=上，所以AB 为两圆的公共弦，将两圆方程联立相减得： 001x x y y ⋅+⋅=，即直线AB 的方程001x x y y ⋅+⋅=又点M 在直线30x y +-=上，则003y x =-，代入直线AB 的方程. 00(3)1x x y x ⋅+⋅-=,得直线AB 过定点11(,)33N ，所以点()0,1P -到直线AB 的距离：||d PN ≤==. 故选：D.【点睛】本题考查圆的切线方程，直线过定点问题，点到直线的距离的最值问题,属于难题. 二、填空题13．已知向量(1,1,0),a =(1,0,2)b =-且ka b +与2a b -互相垂直，则k 的值是________. 【答案】75【解析】利用向量垂直数量积等于零即可求解.【详解】由向量(1,1,0),a =(1,0,2)b =-， 则()1,,2ka b k k +=-，()23,2,2a b -=-， 因为ka b +与2a b -互相垂直，所以()ka b +⋅()20a b -=，即()31240k k -+-=， 解得75k =. 故答案为：75【点睛】本题考查了空间向量的坐标运算以及空间的向量积，属于基础题.14．若将直线30x y c -+=向右平移1个单位长度再向下平移1个单位长度，平移后的直线与圆2210x y +=相切，则c 的值为___________. 【答案】14或6-6-或 14【分析】先得出平移后的解析式，再由圆心到直线的距离等于半径求出c . 【详解】由题意，平移后的直线方程为()311y x c =-+-，即340x y c -+-= 因为平移后的直线与圆2210x y +=相切，|4|1091c -=+，即|4|10c -= 所以求得14c =或6c =-. 故答案为：14或6-15．在长方体1111ABCD A B C D -中，1AB =，2AD =，11AA =，E 为BC 的中点，则点A 到平面1A DE 的距离是______.6【解析】利用等体积法求解点到平面的距离【详解】由题在长方体中，1111211=323A ADE V -=⨯⨯⨯⨯，221115,2,3A D DE EA A A AE ===+=所以22211A D DE A E =+，所以1DE A E ⊥，11623=22A DE S =⨯⨯△ 设点A 到平面1A DE 的距离为h 1161=323A A DE V h -=⨯⨯，解得6=3h 故答案为：63【点睛】此题考查求点到平面的距离，通过在三棱锥中利用等体积法求解，关键在于合理变换三棱锥的顶点. 16．当曲线214y x 与直线(2)4y k x =-+有两个相异交点时，实数k 的取值范围是________． 【答案】53,124【分析】由解析式可知曲线为半圆，直线恒过()2,4；画出半圆的图象，找到直线与半圆有两个交点的临界状态，利用圆的切线的求解方法和两点连线斜率公式求得斜率的取值范围. 【详解】214yx ()()22141x y y ⇒+-=≥()24y k x =-+为恒过()2,4的直线则曲线图象如下图所示：由图象可知，当直线斜率(]12,k k k ∈时，曲线与直线有两个相异交点()124y k x =-+与半圆()()22141x y y +-=≥12121421k k--+=+解得：1512k = 又()2413224k -==-- 53,124k ⎛⎤∴∈ ⎥⎝⎦ 本题正确结果：53,124【点睛】本题考查利用曲线与直线的交点个数求解参数范围的问题，关键是能够通过数形结合的方式找到临界状态，易错点是忽略曲线y 的范围，误认为曲线为圆. 三、解答题17．已知△ABC 的顶点为(0,4),(1,2),(3,4)A B C ---． （1）求BC 边上的中线AM 所在的直线方程； （2）求AB 边上的高所在的直线方程． 【答案】（1）74y x =+；（2）6210x y --=．【解析】（1）求出BC 中点M 的坐标，求出直线AM 的斜率，即可得出其直线方程； （2）先求出直线AB 的斜率，利用直线垂直的斜率关系，得出AB 边上高所在直线的斜率，最后由点斜式得出方程.【详解】（1）∵△ABC 的顶点为(0,4),(1,2),(3,4)A B C ---．(1,3)M ∴--43701+∴==+k ∴BC 边上的中线方程为74y x =+.（2）24610--==--AB k ∴AB 边上的高所在的直线方程为：14(3)6+=+y x ，即6210x y --=．【点睛】本题主要考查了求直线方程，涉及了斜率公式，中点坐标公式，直线垂直斜率间关系的应用，属于中档题.18．已知圆O ：2268240x y x y +--+=. （1）圆O 的圆心和半径；（2）已知点()2,0P ，过点P 作圆O 的切线，求出切线方程.【答案】（1）圆的圆心为()3,4，半径为1；（2）2x =和158300x y --=. 【分析】（1）将圆化为标准方程即可得出圆心和半径；（2）易得斜率不存在时满足，斜率存在时，设出直线方程，利用圆心到直线的距离等于半径求出斜率可得.【详解】（1）由2268240x y x y +--+=可得()()22341x y -+-=， 故圆心为()3,4，半径为1；（2）当直线斜率不存在时，方程为2x =，显然与圆相切， 当直线斜率存在时，设斜率为k ，则直线方程为20kx y k --=，根据相切可得圆心到直线的距离等于半径，即2411k k -=+，解得158k =，则切线方程为158300x y --=，综上，切线方程为2x =和158300x y --=.19．如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是正方形，PD ⊥底面ABCD ，点E 是PC 的中点．（1）求证：//PA 平面EDB ；（2）若2PD AD ==，求二面角C ED B --的余弦值． 【答案】（1）证明见解析；（23【分析】（1）连接AC ，与BD 相交于F ，连接EF ，可证明//EF PA ，进而结合线面平行的判定定理，可证明结论成立；（2）建立空间直角坐标系，求出两个平面的法向量，利用向量公式求解即可． 【详解】（1）证明：连接AC ，与BD 相交于F ，连接EF ． ∵底面ABCD 是正方形，∴F 为AC 中点， 又E 是PC 的中点，∴//EF PA ， ∵PA ⊄平面EDB ，EF ⊂平面EDB ， ∴//PA 平面EDB ．（2）∵PD ⊥底面ABCD ，,AD CD ⊂平面ABCD ，∴,PD AD PD CD ⊥⊥， 又∵底面ABCD 是正方形，∴,,PD AD DC 两两垂直.以D 为原点，,,DA DC DP 分别为x ，y ，z 轴的正方向建立如图所示的空间直角坐标系， ∵2PD AD ==，∴()0,0,0D ，()0,1,1E ，()2,2,0B ，取平面CDE 的一个法向量()11,0,0n =，设平面EDB 的一个法向量为()2,,n x y z =， ()0,1,1DE =，()2,2,0DB =，可得220220n DE y z n DB x y ⎧⋅=+=⎪⎨⋅=+=⎪⎩，令1z =，得1,1x y ==-，即()21,1,1n =-，∴121212co 1,3313s n n n n n n ⋅===⨯. ∴二面角C ED B --的余弦值为33.【点睛】本题考查线面平行的判定及利用空间向量求解二面角的余弦值，考查逻辑推理能力及运算求解能力，属于中档题.20．在平面直角坐标系xOy 中，已知点()0,2A -，()4,0B ，圆C 经过点()0,1-，()0,1及)21,0.斜率为k 的直线l 经过点B . （1）求圆C 的标准方程；（2）当2k =时，过直线l 上的一点P 向圆C 引一条切线，切点为Q ，且满足2=PQ PA ，求点P 的坐标.【答案】（1）()2212x y ++=；（2）()3,2P -或334,55⎛⎫- ⎪⎝⎭P . 【分析】（1）设出圆的方程，代入三点即可求出；（2）设点()00,P x y ，根据题意可求出P 的方程，与直线联立即可求出坐标.【详解】解：（1）设圆C 的方程为220x y Dx Ey F ++++=，因圆C 经过点()0,1-，()0,1及)21,0可得)()2101021210E F E F D F ⎧-+=⎪⎪++=⎨⎪++=⎪⎩，解得0E =，1F =-，2D =，所以圆C 的一般方程为22210x y x ++-=，化为标准方程为()2212x y ++=； （2）设点()00,P x y ，由PQ 与圆C 切于点Q 可得222=-PQ PC CQ ，又2=PQ PA ，所以()()222200001222⎡⎤++-=++⎣⎦x y x y ，整理可得2200002890+-++=x y x y ， 因为直线l 的斜率为2k =，且经过点()4,0B ，所以直线l 的方程为()24y x =-，即28y x =-，又P 在直线l 上，所以0028=-y x ，且2200002890+-++=x y x y ，联立方程解得0032x y =⎧⎨=-⎩或0035345x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩， 所以()3,2P -或334,55⎛⎫- ⎪⎝⎭P . 21．已知圆22:(3)(4)4C x y -+-=.（1）若直线l 过点(2,3)A 且被圆C截得的弦长为l 的方程；（2）若直线l 过点(1,0)B 与圆C 相交于P ，Q 两点，求CPQ ∆的面积的最大值，并求此时直线l 的方程.【答案】（1）2x =或3y =；（2）最大值2，直线l 的方程为10x y --=或770x y --=.【解析】（1）圆的半径、圆心到弦的距离、弦长一半构成直角三角形，用点到直线的距离求得圆心到弦的距离得到答案，注意斜率分情况；（2）圆心C 到直线l的距离为d ，然后利用CPQ的面积S 最值得到d 及k ，求得答案.【详解】（1）圆C 的圆心坐标为(3,4)C ，半径2R =，直线l 被圆E截得的弦长为∴由勾股定理得到圆心C 到直线l 的距离1d = ①当直线l 的斜率不存在时，:2l x =，显然满足1d =；②当直线l 的斜率存在时，设:3(2)l y k x -=-，即320kx y k -+-=，由圆心C 到直线l 的距离1d =1=，解得0k =，故:3l y =； 综上所述，直线l 的方程为2x =或3y =（2）直线与圆相交，l ∴的斜率一定存在且不为0，设直线l 方程：(1)y k x =-， 即kx y k 0--=，则圆心C 到直线l的距离为d =， 又CPQ的面积12S d =⨯⨯=∴当d =S 取最大值2，由d =1k =或7k =， ∴直线l 的方程为10x y --=或770x y --=.【点睛】本题考查直线与圆的位置关系，三角形的面积的最值及直线的方程. 22．如图，平面ABCD ⊥平面ABE ，//AD BC ，BC AB ⊥，22AB BC AE ===，F 为CE上一点，且BF ⊥平面ACE .（1）证明：AE ⊥平面BCE ；（2）若平面ABE 与平面CDE 所成锐二面角为60︒，求AD .【答案】（1）证明见详解；（2）153【分析】（1）利用面面垂直的性质定理证出BC ⊥平面ABE ，从而证出BC AE ⊥，再由线面垂直的性质定理证出BF AE ⊥，由线面垂直的判定定理即可证明. （2）过A 作Ax 垂直AB ，以Ax 为x 轴正方向，以AB 为y 轴正方向，以AD 为z 轴，建立空间直角坐标系，用向量法计算即可.【详解】BF ⊥平面ACE ，∴BF AE ⊥， 又平面ABCD ⊥平面ABE ，且平面ABCD 平面ABE AB =，BC AB ⊥， 所以BC ⊥平面ABE ，BC AE ∴⊥，又BC BF B =，∴AE ⊥平面BCE .（2）因为AE ⊥平面BCE ，BE AE ∴⊥，又21AB ,AE ==,所以60BAE ∠=如图所示，过A 作Ax 垂直AB ，以Ax 为x 轴正方向， 以AB 为y 轴正方向，以AD 为z 轴，建立空间直角坐标系，则()0,0,0A ，()0,2,0B，1,02E ⎫⎪⎪⎝⎭，()0,2,2C ，0,0,D t ， 33,222CE ⎛⎫∴=-- ⎪ ⎪⎝⎭，()0,2,2CD t =--， 设(),,m x y z =为平面CDE 的一个法向量，则00m CE m CD ⎧⋅=⎨⋅=⎩，即()32020220x y z y t z --=⎪-+-⋅=⎩，不妨取2z =，解得2y t =-，x = 所以32,2m t t ⎛⎫=- ⎪ ⎪⎭， 显然平面ABE 的一个法向量为()0,0,2n BC ==， cos ,cos60m n m n m n ⋅∴===⎛，解得t =AD。
安徽省芜湖市2018-2019学年高二上学期期末考试数学试题(解析版)
安徽省芜湖市2018-2019学年高二上学期期末考试数学试题一、选择题（本大题共12小题）1.设l为直线，，是两个不同的平面，下列命题中正确的是A. 若，，则B. 若，，则C. 若，，则D. 若，，则【答案】D【解析】解：若，，则与相交或平行，故A错误；若，，则l与相交、平行或，故B错误；若，，则l与相交、平行或，故C错误；若，，则由平面与平面平行的判定定理知，故D正确．故选：D．利用空间中线线、线面、面面间的位置关系求解．本题考查命题真假的判断，是基础题，解题时要注意空间思维能力的培养．2.下列各对方程中，表示相同曲线的一对方程是A. 与B. 与C. 与D. 与【答案】C【解析】解：对于A：的值定义域为，的定义域为R，故A不是，对于B：，定于域为R，定义域为，故B不是，对于C：与，C正确对于D：的定义域为，的定义域为，两函数定义域不同，故D不是，故选：C．根据函数的三要素，即可得出结论．验证两个函数是不是表示同一个函数，要从函数的三要素：定义域、值域、对应法则入手，当三要素都相同时，才表示同一个函数属简单题．3.圆与圆的位置关系为A. 内切B. 相交C. 外切D. 相离【答案】B【解析】解：圆的圆心，半径．圆的圆心，半径，两圆的圆心距，，，，所以两圆相交，故选：B．求出两圆的圆心和半径，计算两圆的圆心距，将圆心距和两圆的半径之和或半径之差作对比，判断两圆的位置关系．本题考查圆与圆的位置关系及其判定的方法，关键是求圆心距和两圆的半径．4.设p：，q：函数在上时增函数则p是q成立的A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】A【解析】解：q：函数在上时增函数．则，解得．是q成立的充分不必要条件．故选：A．q：函数在上时增函数可得，解得a，即可判断出结论．本题考查了函数的性质、不等式的解法、简易逻辑的判定方法，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．5.下列命题：其中正确命题的个数是“若，则”的逆命题；“全等三角形面积相等”的否命题；“若，则关于x的不等式的解集为R”的逆否命题；“命题“为假”是命题“为假”的充分不必要条件”A. 1B. 2C. 3D. 4【答案】B【解析】解：“若，则”的逆命题为：“若，则”，当时不正确；“全等三角形面积相等”的否命题为：“不全等三角形面积不相等”，不正确；“若，则关于x的不等式的解集为R”正确，因此其逆否命题也正确；“命题“为假”命题“为假”，反之可能不成立，例如p与q中有一个为真，则为真“命题“为假”是命题“为假”的充分不必要条件”，正确．综上可知：正确的命题只有．故选：B．原命题的逆命题为：“若，则”，当时不正确；原命题的否命题为：“不全等三角形面积不相等”，即可判断出正误；由于原命题正确，因此其逆否命题也正确；“命题“为假”命题“为假”，反之可能不成立，例如p与q中有一个为真，则为真，即可判断出正误．本题考查了简易逻辑的判定，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．6.某四棱锥的三视图如图所示，该四棱锥的表面积是A. 32B.C. 48D.【答案】B【解析】解：由已知中的三视图，可得四棱锥的底面棱长为4，故底面面积为：16，棱锥的高为2，故棱锥的侧高为：，故棱锥的侧面积为：，故棱锥的表面积为：，故选：B．由已知中的三视图，可得四棱锥的底面棱长为4，高为2，求出侧高后，代入棱锥表面积公式，可得答案．本题考查的知识点是棱柱的体积和表面积，棱锥的体积和表面积，简单几何体的三视图，难度基础．7.半径为R的半圆卷成底面最大的圆锥，所得圆锥的高为A. B. C. D.【答案】B【解析】解：半径为R的半圆弧长为，圆锥的底面圆的周长为，圆锥的底面半径为：，所以圆锥的高：．故选：B．半径为R的半圆弧长为，圆锥的底面圆的周长为，圆锥的底面半径为：，由此能求出圆锥的高．本题考查圆锥的高的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意圆锥的性质的合理运用．8.已知椭圆，长轴在y轴上，若焦距为4，则m等于A. 4B. 5C. 7D. 8【答案】D【解析】解：将椭圆的方程转化为标准形式为，显然，即，，解得故选：D．先把椭圆方程转换成标准方程，进而根据焦距求得m．本题主要考查了椭圆的简单性质要求学生对椭圆中对长轴和短轴即及焦距的关系要明了．9.圆：上的点到直线的距离最大值是A. 2B.C.D.【答案】B【解析】解：圆可化为标准形式：，圆心为，半径为1圆心到直线的距离，则所求距离最大为，故选：B．先将圆转化为标准方程：，明确圆心和半径，再求得圆心到直线的距离，最大值则在此基础上加上半径长即可．本题主要考查直线与圆的位置关系，当考查圆上的点到直线的距离问题，基本思路是：先求出圆心到直线的距离，最大值时，再加上半径，最小值时，再减去半径．10.如图，在长方体中，，，则与平面所成角的正弦值为A.B.C.D.【答案】D【解析】解：以D点为坐标原点，以DA、DC、所在的直线为x轴、y轴、z轴，建立空间直角坐标系图略，则0，，2，，2，，2，0，，2，，且为平面的一个法向量．，．与平面所成角的正弦值为故选：D．由题意，由于图形中已经出现了两两垂直的三条直线所以可以利用空间向量的方法求解直线与平面所成的夹角．此题重点考查了利用空间向量，抓住直线与平面所成的角与该直线的方向向量与平面的法向量的夹角之间的关系这一利用向量方法解决了抽象的立体几何问题．11.动点P到点的距离是到点的距离的2倍，则动点P的轨迹方程为A. B. C. D.【答案】B【解析】解：设，则由题意可得，化简整理得．故选：B．设P为，依据题中条件动点P到点的距离是到点的距离的2倍，列关于x，y的方程式，化简即可得点P的轨迹方程．求符合某种条件的动点的轨迹方程，其实质就是利用题设中的几何条件，用“坐标化”将其转化为寻求变量间的关系直接法是将动点满足的几何条件或者等量关系，直接坐标化，列出等式化简即得动点轨迹方程．12.设椭圆C：的左、右焦点分别为、，其焦距为2c，点在椭圆的外部，点P是椭圆C上的动点，且恒成立，则椭圆离心率的取值范围是A. B. C. D.【答案】D【解析】解：点在椭圆的外部，，，由椭圆的离心率，，又因为，且，要恒成立，即，，则椭圆离心率的取值范围是．故选：D．由Q在椭圆外部，则，根据椭圆的离心率公式，即可求得，根据椭圆的定义及三角形的性质，，由，则，即可求得椭圆的离心率的取值范围．本题考查椭圆离心率公式及点与椭圆的位置关系，考查转化思想，属于中档题．二、填空题（本大题共5小题，共20.0分）13.命题“，”的否定是______．【答案】，【解析】解：因为全称命题的否定是特称命题，所以命题“，”的否定是：，．故答案为：，．利用全称命题的否定是特称命题写出结果即可．本题考查命题的否定，特称命题与全称命题的否定关系，是基本知识的考查，14.在空间直角坐标系Oxyz中，y轴上有一点M到已知点3，和点5，的距离相等，则点M的坐标是______．【答案】4，【解析】解：设y，由题意得解得得故4，故答案为：4，．根据点M在y轴上，设出点M的坐标，再根据M到A与到B的距离相等，由空间中两点间的距离公式求得AM，BM，解方程即可求得M的坐标．考查空间两点间的距离公式，空间两点的距离公式和平面中的两点距离公式相比较记忆，利于知识的系统化，属基础题．15.椭圆：的左、右焦点分别为，，焦距为2c，若直线与椭圆的一个交点满足，则该椭圆的离心率等于______．【答案】【解析】解：椭圆：的左、右焦点分别为，，焦距为2c，直线与椭圆的一个交点满足，如图，在中，设，则，，，，，，该椭圆的离心率．故答案为：．在中，设，则，，由，得，，从而，由此能求出该椭圆的离心率．本题考查椭圆的离心率的求法，考查椭圆、直线方程等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力，考查化归与转化思想、函数与方程思想，考查创新意识、应用意识，是中档题．16.已知p：，q：，；若￢是￢的必要不充分条件，求实数m的取值范围______．【答案】【解析】解：q：，因式分解为：，解得：．￢是￢的必要不充分条件，是q充分不必要条件．，，等号不能同时成立，解得：．故答案为：．q：，因式分解为：，解得x范围根据￢是￢的必要不充分条件，可得p是q充分不必要条件即可得出．本题考查了不等式的解法、简易逻辑的判定方法，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．17.在平面直角坐标系xOy中，过点，向圆C：引两条切线，切点分别为A、B，则直线AB过定点______．【答案】【解析】解：根据题意，圆C：圆心为，其一般方程为，设PC的中点为M，则M的坐标为；过点，向圆C：引两条切线，切点分别为A、B；则P、C、A、B在以线段PC为直径的圆上，且有，则圆M的方程为，即，AB为圆M与圆C的公共弦，又由，联立可，则直线AB的方程为，变形可得，又由，解可得，，即直线AB过定点；故答案为：根据题意，分析可得P、C、A、B在以线段PC为直径的圆上，AB为两圆的公共弦，设PC的中点为M，求出M的坐标以及圆M的半径，可得圆M的方程，与圆C的方程联立可得直线AB的方程为，将其变形分析可得答案．本题考查直线与圆方程的应用，涉及直线过定点问题，关键是求出直线AB的方程．三、解答题（本大题共5小题）18.已知的三个顶点分别为，，，求：若BC的中点为D，求直线AD的方程；求的面积．【答案】解：，，．直线AD的方程为，整理得：；，，．又直线BC的方程为，则A点到直线BC的距离为，的面积为．【解析】求出BC的中点，即可求BC边上的中线AD所在的直线方程；由已知求出，再利用点到直线的距离公式求出d，然后由三角形面积公式求解即可．本题考查了点到直线的距离公式，考查了三角形面积公式的应用，是中档题．19.已知命题p：，；命题q：关于x的方程有两个不同的实数根若为真命题，为假命题，求实数m的取值范围．【答案】解：若命题p：，；为真命题，则，由函数的单调性易得，即，即，若命题q：关于x的方程有两个不同的实数根，为真命题，则，解得：，又为真命题，为假命题，则p，q一真一假，或，即或解得：或，故答案为：【解析】由不等式恒成立问题有：若命题p：，；为真命题，，由二次方程的根的问题有关于x的方程有两个不同的实数根，为真命题，则，再求解即可．本题考查了不等式恒成立问题及方程的根的问题及复合命题及其真假，属简单题．20.在平面直角坐标系xOy中，已知圆M的圆心在直线上，且圆M与直线相切于点．求圆M的方程；过坐标原点O的直线l被圆M截得的弦长为，求直线l的方程．【答案】解：过点且与直线垂直的直线方程为，分由解得，所以圆心M的坐标为，分所以圆M的半径为，分所以圆M的方程为分因为直线l被圆M截得的弦长为，所以圆心M到直线l的距离为，分若直线l的斜率不存在，则l为，此时，圆心M到l的距离为1，不符合题意．若直线l的斜率存在，设直线l的方程为，即，由，分整理得，解得或，分所以直线l的方程为或分【解析】求求出圆心坐标与半径，即可求出圆M的方程；分类讨论，利用点到直线的距离公式，结合过坐标原点O的直线l被圆M截得的弦长为，求直线l的方程．本题考查圆的方程，考查直线与圆的位置关系，考查分类讨论的数学思想，属于中档题．21.已知椭圆C：的离心率为，短轴长为4．求椭圆的标准方程；已知过点作弦且弦被P平分，则此弦所在的直线方程．【答案】解：，，所以，，，椭圆标准方程为，设以点为中点的弦与椭圆交于，，则，则，分别代入椭圆的方程，两式相减可得，，，点为中点的弦所在直线方程为，整理，得：．【解析】根据椭圆的性质列方程组解出a，b，c即可；设以点为中点的弦与椭圆交于，，利用点差法能求出结果．本题考查直线方程的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意点差法的合理运用．22.如图1，在边长为1的等边三角形ABC中，D，E分别是AB，AC边上的点，，F是BC的中点，AF与DE交于点G，将沿AF折起，得到如图2所示的三棱锥，其中．证明：平面BCF；证明：平面ABF；当时，求三棱锥的体积．【答案】解：在等边三角形ABC中，，，在折叠后的三棱锥中也成立，．又平面BCF，平面BCF，平面BCF．在等边三角形ABC中，F是BC的中点，所以，即，且．在三棱锥中，，，．又，平面ABF．由可知，结合可得平面DFG．．【解析】在等边三角形ABC中，由，可得，在折叠后的三棱锥中也成立，故有，再根据直线和平面平行的判定定理证得平面BCF．由条件证得，且在三棱锥中，由，可得，从而，结合，证得平面ABF．由可知，结合可得平面再由，运算求得结果．本题主要考查直线和平面平行的判定定理、直线和平面垂直的判定的定理的应用，用等体积法求三棱锥的体积，属于中档题．。
安徽省芜湖市2023-2024学年高二上学期期末考试 数学含解析
2023-2024学年度第一学期芜湖市教学质量监控高二年级数学试题卷（答案在最后）一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.等比数列{}n a 中，123232a a a =⋅=，，则4a 为（）A.2B.4C.8D.162.若{,,}a b c构成空间的一个基底，则下列向量共面的是（）A.,,a b a b c +-B.,,a c a c b -+C.,,a b a b a +-D.,,a b a b a b c+-++ 3.已知直线1:210l x ay +-=与直线2:(21)10l a x ay ---=互相平行，则实数a 为（）A.12B.14C.0或14D.0或124.抛物线()220y px p =>的焦点为F ，A 为准线上一点，则线段FA 的中垂线与抛物线的位置关系为（）A.相交B.相切C.相离D.以上都有可能5.在空间直角坐标系Oxyz 中，点()()0,1,11,1,2A B -，，点A 关于y 轴对称的点为C ，点B 关于平面xOz 对称的点为D ，则向量CD的坐标为（）A.()1,2,1-- B.()1,2,1- C.()1,0,1- D.()1,0,1-6.“陶辛水韵”于1999年被评为芜湖市新十景之一，每年入夏后，千亩水面莲叶接天，荷花映日，吸引远道游客纷至沓来，坐上游船穿过一座座圆拱桥，可以直达“香湖岛”赏荷．圆拱的水面跨度20米，拱高约5米．现有一船，水面以上高3米，欲通过圆拱桥，船宽最长约为（）A.12米B.13米C.14米D.15米7.已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的左顶点和右焦点分别为A ，F ，点P 为椭圆外一点，线段PA ，PF恰好均被椭圆平分，且与椭圆分别交于M ，N 两点，当||||MA MF =时，椭圆的离心率为（）A.13B.14C.15D.28.已知数列{}n a 满足：11420n n n n a a a a ++⋅+-+=，则下列命题正确的是（）A.若数列{}n a 为常数列，则11a =B.存在1(1,2)a ∈，使数列{}n a 为递减数列C.任意1(0,1)a ∈，都有{}n a 为递减数列D.任意1(2,)a ∈+∞，都有12na a <≤二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多个选项符合要求.全部选对得5分，部分选对得2分，有错选得0分.9.下列说法中正确的有（）A.若()ln f x x x =，则()ln 1f x x '=+B.若sin(1)y x =+，则cos y x '=C.若1y x =，则21y x'=D.一质点A 沿直线运动，位移y （单位：m ）与时间t （单位：s ）之间的关系为2()2y t t t =+，则该质点在2s =t 时的瞬时速度是6m /s10.如图，在三棱柱111ABC A B C -中，M ，N 分别是线段111,A B B C 上的点，且11122BM A M C N B N ==，．设1AB a AC b AA c ===，，，且均为单位向量，若119060BAC BAA CAA ∠=︒∠=∠=︒，，则下列说法中正确的是（）A.AB 与11B C的夹角为60︒B.111333MN a b c=++ C.63MN =D.MN BC⊥11.已知抛物线2:2(0)C y px p =>的焦点为F ，点Q 和点M 分别在y 轴和抛物线上且90MQF ∠=︒，则下列说法正确的是（）A.若点M 坐标为()1,2-，则抛物线的准线方程为=1x -B.若线段MF 与x 轴垂直时长度为4，则抛物线方程为24y x =C.以线段MF 为直径的圆与y 轴相切D.若点Q 坐标为()0,4且10MF =，则4p =或16p =12.古希腊数学家阿波罗尼斯采用平面切割圆锥面的方法来研究圆锥曲线．后经研究发现：当圆锥轴截面的顶角为2α时，用一个与旋转轴所成角为β的平面γ（不过圆锥顶点）去截该圆锥面，则截口曲线（圆锥曲线）的离心率为cos cos e ba=．比如，当αβ=时，1e =，即截得的曲线是抛物线．如图，在空间直角坐标系Oxyz 中放置一个圆锥，顶点(0,0,2),(0,1,1)S M ，底面圆O 的半径为2，直径AB ，CD 分别在x ，y 轴上，则下列说法中正确的是（）A.已知点(0,0,1)N ，则过点,M N 的平面截该圆锥得的截口曲线为圆B.平面MAB 截该圆锥得的截口曲线为抛物线的一部分C.若(E F ，则平面MEF 截该圆锥得的截口曲线为双曲线的一部分D.若平面γ的双曲线的一部分，则平面γ不经过原点O三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.双曲线221x y -=的两条渐近线的夹角大小为___________．14.圆222x y +=与圆22(3)(4)16x y -+-=的公共弦所在直线方程为___________．15.已知数列{}{}n n a b ，是公差相等的等差数列，且25n n a b n +=+，若n b 为正整数，设()*n n b c a n =∈N ，则数列{}n c 的通项公式为n c =___________．16.已知椭圆22:142x y C +=的上、下顶点分别为M ，N ，点P 为椭圆上任意一点（不同于M ，N ），若点Q满足QM MP QN NP ⊥⊥，，则点Q 到坐标原点距离的取值范围为___________．四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.17.已知圆22:4440C x y x y +--+=，直线:10l x my m +--=．（1）求证：直线l 恒过定点；（2）若直线l 被圆C截得的弦长为m 的值．18.已知函数2()f x x x =+与函数()ln 2g x x x =+．（1）求曲线()y f x =在点(0,0)处的切线方程；（2）求曲线()y f x =与曲线()y g x =在公共点处的公切线方程．19.已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，若数列n S n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭为等差数列，且36936S S ==，．（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）若1nn n n S b a a +=，求数列{}n b 的前n 项和n T ．20.如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是矩形，PA ⊥平面ABCD ，42PA AD AB ===，．若点O ，M 分别为棱AC ，PD 的中点，点N 在棱PC 上，且满足AN PC ⊥．（1）求线段MN 的长；（2）求平面ACM 与平面BON 夹角的余弦值．21.已知数列{}n a 满足13a =，132nn n a a +⋅=⨯，**22,21,N log 2,2,Nn n n a n k k b a n n k k ⎧=-∈=⎨-=∈⎩数列{}n a ，{}n b 的前n 项和分别为n n S T ，．（1）求24a a ，，并证明数列{}2n a 为等比数列；（2）当n m ≥时，有n n T S ≥恒成立，求正整数m 的最小值．22.在平面直角坐标系xOy 中，已知双曲线2222:1(0)x yC a b a b-=>>的左、右焦点分别为12F F ，，焦距为4，右顶点到点12F F ，的距离之差为（1）求双曲线的标准方程；（2）点P 在双曲线C 上，且射线12PF PF ，分别交双曲线于点M ，N ，求直线MN 斜率k 的取值范围．2023-2024学年度第一学期芜湖市教学质量监控高二年级数学试题卷一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.等比数列{}n a 中，123232a a a =⋅=，，则4a 为（）A.2B.4C.8D.16【答案】D 【解析】【分析】设数列{}n a 的公比为q ，依题意，列出关于首项与公比的方程组，解之即可求得数列{}n a 的通项公式，从而可得答案.【详解】设数列{}n a 的公比为q ，依题意2111322a q a q a ⎧⨯=⎨=⎩，解得2q =，1222n n n a -∴=⨯=．44162a ==，故选：D.2.若{,,}a b c构成空间的一个基底，则下列向量共面的是（）A.,,a b a b c+- B.,,a c a c b -+ C.,,a b a b a +- D.,,a b a b a b c+-++ 【答案】C 【解析】【分析】对于ABD ，若向量共面，利用空间向量基本定理建立方程组，可得方程组无解．对于C ，根据()()1122a ab a b =++-判断．【详解】因为{,,}a b c 构成空间的一个基底，所以,,a b c不共面．选项A ，若向量,,a b a b c +-共面，存在实数x ，y ，使()a b x a b yc xa xb yc +=-+=-+ ，可得110x x y =⎧⎪-=⎨⎪=⎩，方程组无解．所以,,a b a b c +-不共面；选项B ，若向量,,a c a c b -+共面，存在实数x ，y ，使()a c x a c yb xa xc yb -=++=++ ，可得110x x y =⎧⎪=-⎨⎪=⎩，方程组无解．所以,,a c a c b -+不共面．选项C ，因为向量()()11,22a ab a b =++-所以,,a b a b a +-共面．选项D ，若向量,,a b a b a b c +-++共面，存在实数x ，y ，使()()()()a b x a b y a b c x y a y x b yc +=-+++=++-+，可得110x y x y y +=⎧⎪-+=⎨⎪=⎩，方程组无解．所以,,a b a b a b c +-++不共面．故选：C ．3.已知直线1:210l x ay +-=与直线2:(21)10l a x ay ---=互相平行，则实数a 为（）A.12B.14C.0或14D.0或12【答案】C 【解析】【分析】进出两条直线不相交时的a 值，再验证即得.【详解】当直线1:210l x ay +-=与直线2:(21)10l a x ay ---=不相交时，2(21)1()0a a a --⋅-=，解得0a =或14a =，当0a =时，直线1:10l x -=与2:10l x --=平行，当14a =时，直线11:102+-=l x y 与211:1024l x y ---=平行，所以实数a 为0或14.故选：C4.抛物线()220y px p =>的焦点为F ，A 为准线上一点，则线段FA 的中垂线与抛物线的位置关系为（）A.相交B.相切C.相离D.以上都有可能【答案】B 【解析】【分析】求出直线AF 的中垂线方程，代入22y px =，可得2220y ay a -+=，即可得出结论．【详解】设,2p A a ⎛⎫- ⎪⎝⎭，,02p F ⎛⎫ ⎪⎝⎭，则AF 的中点坐标为0,2a ⎛⎫⎪⎝⎭，AF a k p =-，所以中垂线的斜率为p k a =，所以直线AF的中垂线方程为2p ay x a =+，代入22y px =，可得2220y ay a -+=∴22440a a ∆=-=，∵线段FA 的中垂线与抛物线相切.故选：B5.在空间直角坐标系Oxyz 中，点()()0,1,11,1,2A B -，，点A 关于y 轴对称的点为C ，点B 关于平面xOz对称的点为D ，则向量CD的坐标为（）A.()1,2,1-- B.()1,2,1- C.()1,0,1- D.()1,0,1-【答案】B 【解析】【分析】根据空间向量坐标关于坐标轴、平面的对称性性质求得结果.【详解】()0,1,1A -，点A 关于y 轴对称的点为()0,1,1C ，()1,1,2B ，点B 关于平面xOz 对称的点为()1,1,2D -.则()1,2,1CD =-.故选：B.6.“陶辛水韵”于1999年被评为芜湖市新十景之一，每年入夏后，千亩水面莲叶接天，荷花映日，吸引远道游客纷至沓来，坐上游船穿过一座座圆拱桥，可以直达“香湖岛”赏荷．圆拱的水面跨度20米，拱高约5米．现有一船，水面以上高3米，欲通过圆拱桥，船宽最长约为（）A.12米B.13米C.14米D.15米【答案】B 【解析】【分析】建立平面直角坐标系，根据已知条件求出圆的方程为221562524x y ⎛⎫++= ⎪⎝⎭.代入3y =，得出46x =即可得出答案.【详解】如图，拱形桥ACD ，以AB 所在的直线为x 轴，以线段AB 的垂直平分线为y 轴，如图建立平面直角坐标系，则()10,0A -，()10,0B ，()0,5C ，圆心在y 轴上，设为()0,E b ，则有AE CE =，即21005b b +=-，整理可得2150b +=，解得152b =-，所以，圆心为150,2E ⎛⎫- ⎪⎝⎭，半径为2552CE b =-=，所以，圆的方程为221562524x y ⎛⎫++= ⎪⎝⎭.设(),3D x ，则有2215625324x ⎛⎫++= ⎪⎝⎭，解得46x =.所以，要使小船通过圆拱桥，船宽最长为.因为6.57<<，所以1314<<.故选：B.7.已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的左顶点和右焦点分别为A ，F ，点P 为椭圆外一点，线段PA ，PF恰好均被椭圆平分，且与椭圆分别交于M ，N 两点，当||||MA MF =时，椭圆的离心率为（）A.13B.14C.15D.2【答案】A 【解析】【分析】设()00,P x y ，()(),0,,0A a F c -，根据||||MA MF =和M 为PA 的中点得到0x c =，从而得到点M ，N 的坐标，再根据//MN x 轴，由M N y y =求解.【详解】解：如图所示：设()00,P x y ，()(),0,,0A a F c -，因为||||MA MF =，所以2M c ax -=，又因为M 为PA 的中点，所以02M x ax -=，则0x c =，所以20,,,22y c a b M N c a ⎛⎫-⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，因为点M 在椭圆上，代入椭圆方程得()0222214c a y b a ⎡⎤-=-⎢⎥⎢⎥⎣⎦，因为//MN x 轴，所以()2222214c a b b a a ⎡⎤-⎛⎫-=⎢⎥ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦，整理得22320c ac a +-=，即23210e e +-=，解得13e =或1e =-（舍去），故选：A8.已知数列{}n a 满足：11420n n n n a a a a ++⋅+-+=，则下列命题正确的是（）A.若数列{}n a 为常数列，则11a =B.存在1(1,2)a ∈，使数列{}n a 为递减数列C.任意1(0,1)a ∈，都有{}n a 为递减数列D.任意1(2,)a ∈+∞，都有12na a <≤【答案】D 【解析】【分析】解方程判断A,利用单调性结合数学归纳法判断BD,举反例判断C.【详解】对A:若数列{}n a 为常数列，则2320n n a a -+=，解得1n a =或2n a =，故A 错误；对B:易得1421n n n a a a +-=+，若{}n a 为递减数列，则214232011n n n n n n n n a a a a a a a a +--+--=-=<++，解得2n a >或11n a -<<且0n a ≠，故不存在()11,2a ∈使得{}n a 递减数列，故B 错误；对C ,令112a =，则2340,2,10a a a ==-=，故{}n a 不是递减数列，故C 错误；对D ,用数学归纳法证明2n a >当1,n =1(2,)a ∈+∞显然成立，假设当()N n kk *=∈，2na>则1n k =+时，()1042212221k k k k k a a a a a +-=--+->+=，故当1n k =+时2n a >成立,由选项B 知，对任意2n a >则数列{}n a 为递减数列，故1n a a ≤故D 正确故选：D【点睛】利用递推关系结合数学归纳法证明，是本题关键.二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多个选项符合要求.全部选对得5分，部分选对得2分，有错选得0分.9.下列说法中正确的有（）A.若()ln f x x x =，则()ln 1f x x '=+B.若sin(1)y x =+，则cos y x '=C.若1y x =，则21y x'=D.一质点A 沿直线运动，位移y （单位：m ）与时间t （单位：s ）之间的关系为2()2y t t t =+，则该质点在2s =t 时的瞬时速度是6m /s 【答案】AD 【解析】【分析】利用求导公式可判断ABC 选项；求导代入求出()2y '可判断D 选项.【详解】对于A ，1()ln ln 1f x x x x x'=+⋅=+，故A 正确；对于B ，若sin(1)y x =+，则()cos 1y x ='+，故B 错误；对于C ，若1y x =，则21y x'=-，故C 错误；对于D ，若2()2y t t t =+，()22y t t =+'，(2)6y '=，故该质点在2s =t 时的瞬时速度是6m /s ，故D 正确.故选：AD .10.如图，在三棱柱111ABC A B C -中，M ，N 分别是线段111,A B B C 上的点，且11122BM A M C N B N ==，．设1AB a AC b AA c ===，，，且均为单位向量，若119060BAC BAA CAA ∠=︒∠=∠=︒，，则下列说法中正确的是（）A.AB 与11B C的夹角为60︒B.111333MN a b c=++C.3MN =D.MN BC⊥【答案】BD 【解析】【分析】由空间向量的运算法则和空间向量的夹角公式、模长公式、数量积的定义对选项一一判断即可得出答案.【详解】对于A ，1AB AC == ，o90BAC ∠=，o 45ABC ∴∠=，所以AB 与BC 的夹角为o 135，又11BC B C = ，所以AB 与11B C的夹角为o 135，故A 错误；对于B ，因为12BM A M =，112C N B N =，所以()1111111112133333A N AB B N AB BC AB BC AB AC AB AC =+=+=+=+-=+u u u u r u u u u r u u u u r u u u r u u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r，()1111133A M A B AB AA ==- ，()1111311111111233333333MN A N A M AB AC AB AA AB AC a b c ∴=-=+--=++=++u u u u r u u u u r u u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r uu u r r r r ，故B 正确；对于C ，1a b c ===r r rQ ，o 90BAC ∠=，o1160BAA CAA ∠=∠=，0a b ∴⋅=，12a c ⋅= ，12b c ⋅= ，22222111111222333999999MN a b c a b c a b a c c b⎛⎫∴=++=+++⋅+⋅+⋅ ⎪⎝⎭u u u u r r r r r r r r r r r r r1112121599992929=+++⨯+⨯=，53MN ∴=u u u u r .故C 错误；对于D ，()22111111103333333MN BC a b c b a a b b c a c ⎛⎫⋅=++⋅-=-++⋅-⋅= ⎪⎝⎭u u u u r u u u r r r r r r r r r r r r，MN BC ∴⊥u u u u r u u u r.故D 正确.故选：BD.11.已知抛物线2:2(0)C y px p =>的焦点为F ，点Q 和点M 分别在y 轴和抛物线上且90MQF ∠=︒，则下列说法正确的是（）A.若点M 坐标为()1,2-，则抛物线的准线方程为=1x -B.若线段MF 与x 轴垂直时长度为4，则抛物线方程为24y x =C.以线段MF 为直径的圆与y 轴相切D.若点Q 坐标为()0,4且10MF =，则4p =或16p =【答案】ACD 【解析】【分析】对A ：代点计算即可得；对B ：线段MF 与x 轴垂直时长度为4，则有22422pp p =⨯=，计算即可得；对C ：由抛物线定义可得MF ，即可得半径，设出点M 坐标可得圆心坐标，即可得圆心到y 轴的距离，结合直线与圆的位置关系即可得；对D ：结合题意计算即可得.【详解】对A ：若点M 坐标为()1,2-，则有()222p -=，即2p =，则其准线方程为12px =-=-，故A 正确；对B ：若线段MF 与x 轴垂直时长度为4，即22422pp p =⨯=，故4p =或4p =-（舍去），故28y x =，故B 错误；对C ：设()00,M x y ，有,02p F ⎛⎫⎪⎝⎭，则02p MF x =+，MF 中点坐标为002,22p x y ⎛⎫+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭，即002,22p x y ⎛⎫+ ⎪⎪ ⎪⎝⎭，此时，该点到y 轴的距离为022p x +，以线段MF 为直径的圆的半径亦为022p x +，故以线段MF 为直径的圆与y 轴相切，故C 正确；对D ：若点Q 坐标为()0,4且10MF =，则有102M pMF x =+=，由90MQF ∠=︒，故244010022M M y p y p--⋅=---，化简得216640M M y y -+=，即8M y =，则64322M x p p ==，则321022M p pMF x p =+=+=，化简得220640p p -+=，即()()4160p p --=，故4p =或16p =，故D 正确.故选：ACD.12.古希腊数学家阿波罗尼斯采用平面切割圆锥面的方法来研究圆锥曲线．后经研究发现：当圆锥轴截面的顶角为2α时，用一个与旋转轴所成角为β的平面γ（不过圆锥顶点）去截该圆锥面，则截口曲线（圆锥曲线）的离心率为cos cos e ba=．比如，当αβ=时，1e =，即截得的曲线是抛物线．如图，在空间直角坐标系Oxyz 中放置一个圆锥，顶点(0,0,2),(0,1,1)S M ，底面圆O 的半径为2，直径AB ，CD 分别在x ，y 轴上，则下列说法中正确的是（）A.已知点(0,0,1)N ，则过点,M N 的平面截该圆锥得的截口曲线为圆B.平面MAB 截该圆锥得的截口曲线为抛物线的一部分C.若(E F ，则平面MEF 截该圆锥得的截口曲线为双曲线的一部分D.若平面γ的双曲线的一部分，则平面γ不经过原点O 【答案】BCD 【解析】【分析】根据情境，由题可知πcos cos 4α=，再对每个选项，求出过点M 的平面与旋转轴OS 所成角的余弦，即cos β的值，代入cos cos e ba=求值，从而利用离心率的范围判断截口曲线类型即可．【详解】对于A ：只有过点M ，N 且与底面平行的平面截该圆锥得的截口曲线才是圆，其他情况均不是圆，故A 不正确；对于B ：由题得底面圆O 的半径为2，则2OD =，2OS =，则M 为SD 中点，易知AB ⊥平面SCD ，SD ⊂平面SCD ，所以SD AB ⊥，又,,SD OM OM AB O OM ⊥⋂=⊂平面MAB ，AB ⊂平面MAB ，所以SD ⊥平面MAB ，又易知OM SM MD ==，所以平面MAB 与旋转轴OS 所成角为π4SOM ∠=，π4OSD ∠=，即ππ,44βα==，所以cos 1cos e βα==，所以平面MAB 截该圆锥得的截口曲线为抛物线的一部分，故B 正确；对于C：((0,1,1)E F M ，则()),1,1EF MF ==--，设平面MEF 的一个法向量为(),,m x y z =，则)10EF m MF m y z ⎧⋅=+=⎪⎨⋅=+-=⎪⎩，取1x =，则1,1y z =-=，故(1,1,1)m =-，所以sin cos ,,cos 33m OS m OS m OS ββ⋅===∴=，故cos 33(1,)πcos 32cos 42e β∞α===+，所以平面MEF 截该圆锥得的截口曲线为双曲线的一部分，故C 正确；对于D ：若平面γ的双曲线的一部分，则cos πcos 1,[0,],0cos 22ββββα==∴=∈∴= ，所以平面//OS γ，故平面γ不经过原点O ，故D 正确．故选：BCD ．【点睛】关键点睛：本题解决的关键是理解截口曲线（圆锥曲线）的离心率的定义，结合空间向量法即可得解.三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.双曲线221x y -=的两条渐近线的夹角大小为___________．【答案】π2【解析】【分析】由双曲线方程写出渐近线方程，即可判断夹角大小.【详解】由双曲线方程知：渐近线方程为y x =±，显然渐近线斜率乘积为1-，所以两条渐近线垂直，即两条渐近线的夹角大小为π2.故答案为：π214.圆222x y +=与圆22(3)(4)16x y -+-=的公共弦所在直线方程为___________．【答案】68110x y +-=【解析】【分析】两相交圆的方程相减后，即可求得两圆公共弦所在直线方程.【详解】由222x y +=可得圆心为()0,0，由22(3)(4)16x y -+-=可得圆心为()3,4，半径为4，5=，两半径之和为4+4-，有454<<+，故两圆相交，两圆方程作差为2222(3)(4)162x x y y ----+=-，化简可得68110x y +-=，即两圆公共弦所在直线方程为68110x y +-=.故答案为：68110x y +-=.15.已知数列{}{}n n a b ，是公差相等的等差数列，且25n n a b n +=+，若n b 为正整数，设()*n n b c a n =∈N ，则数列{}n c 的通项公式为n c =___________．【答案】5n +##5n +【解析】【分析】设数列{}{}n n a b ，的公差为d ，由25n n a b n +=+可得11,+a b d ，代入n b a 可得答案.【详解】设数列{}{}n n a b ，的公差为d ，由()1111225122+-=-+=+=+++n n a b n a a nd b d b n d ，可得112225d a b d =⎧⎨+-=⎩，解得1117d a b =⎧⎨+=⎩，111,1==+-+-n n a a n n b b ，()111111725+-==++--=-+=+n n b b n n n a a a b ，所以5+=n c n .故答案为：5n +.16.已知椭圆22:142x y C +=的上、下顶点分别为M ，N ，点P 为椭圆上任意一点（不同于M ，N ），若点Q 满足QM MP QN NP ⊥⊥，，则点Q 到坐标原点距离的取值范围为___________．【答案】⎡⎣【解析】【分析】设000(,)(0)P x y x ≠，代入椭圆方程可得12PM PN k k =-⋅，再由题意可得2QM QN k k ⋅=-，设(),Q x y ，直接列方程即可出轨迹Q 的方程，所以()cos Q θθ，由两点间的距离公式结合三角函数的性质可求出答案.【详解】设000(,)(0)P x y x ≠，由已知(0,M N ，22200021422x y y -=-=，202212y x -∴=，所以2000200021=2PM PNy y y k k x x x -+-⋅=⋅=-，设(),Q x y ，因为QM MP QN NP ⊥⊥，，所以1,1QM PM QN PN k k k k ⋅=-⋅=-，所以2QM QN k k ⋅=-，2y y xx-+∴⋅=-，即2222y x -=-，∴轨迹Q 的方程为221(0)2y x x +=≠.所以()cos Q θθ，点Q 到坐标原点距离为2222cos 2sin 1sin OQ θθθ=+=+，因为[)2sin0,1θ∈，[)21,2OQ ∈，所以OQ ⎡∈⎣.点Q到坐标原点距离的取值范围为.故答案为：.【点睛】关键点睛：本题的解题关键是求出2QM QN k k ⋅=-，即可求出轨迹Q 的方程，设()cos Q θθ，由两点的距离公式结合三角函数的性质即可得出答案.四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.17.已知圆22:4440C x y x y +--+=，直线:10l x my m +--=．（1）求证：直线l 恒过定点；（2）若直线l 被圆C 截得的弦长为m 的值．【答案】（1）证明见解析（2）0m =【解析】【分析】（1）将:10l x my m +--=化为:1(1)0l x m y -+-=即可得答案；（2）由（1）结合题意可得l 的方程，由弦长求得圆C 圆心到l 的距离，结合点到直线距离公式可得答案．【小问1详解】直线方程可化为()110x my -+-=，由1010x y -=⎧⎨-=⎩可得11x y =⎧⎨=⎩所以直线l 恒过定点(1,1).【小问2详解】22:4440C x y x y +--+=化为()()22224x y -+-=，圆心()2,2C ，半径2r =，设圆心到直线l 的距离为d ，因为直线l 被圆C 截得的弦长为，所以1d ==⇒=，所以1d ==解得0m =．18.已知函数2()f x x x =+与函数()ln 2g x x x =+．（1）求曲线()y f x =在点(0,0)处的切线方程；（2）求曲线()y f x =与曲线()y g x =在公共点处的公切线方程．【答案】（1）y x =（2）310x y --=【解析】【分析】（1）求导，然后根据导数的几何意义结合条件即得；（2）设曲线()y f x =与曲线()y g x =的公切点为()00,P x y ，然后根据导数的几何意义可得切点，进而即得.【小问1详解】2()f x x x =+ ，()21f x x '∴=+，(0)1f '=.()f x ∴在(0,0)点处的切线方程为：y x =；【小问2详解】设曲线()y f x =与曲线()y g x =的公切点为()00,P x y ，2(),()ln 2f x x x g x x x =+=+ ，1()21,()2f x x g x x''∴=+=+，令()()00f x g x =''，即001212x x +=+，01x ∴=或012x =-（舍），(1,2),(1)3P f '∴=，∴所求公切线方程：()231y x -=-，即310x y --=.19.已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，若数列n S n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭为等差数列，且36936S S ==，．（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）若1nn n n S b a a +=，求数列{}n b 的前n 项和n T ．【答案】19.()*21n a n n =-∈N ，20.(1)2(21)n n n T n +=+【解析】【分析】（1）令n n S c n=，设数列{}n c 公差为d ，列式计算求出1,c d ，可得,n n c S ，再根据n a 与n S 关系求出n a ；（2）由（1）代入求出n b ，利用分组求和和裂项相消法求得结果.【小问1详解】记n n S c n =，设数列{}n c 公差为d ，则31612356c cd c c d =+=⎧⎨=+=⎩，解之得111c d =⎧⎨=⎩则n n S c n n ==，则2n S n =，当2n ≥时，121,1n n n a S S n n -=-=-=也符合，则()*21,n n a n =-∈N.【小问2详解】()221141111144(21)(21)(21)(21)482121n n n b n n n n n n -+⎛⎫===+- ⎪-+-+-+⎝⎭，则11111111148335572121n n T n n ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+-+-+-++ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥-+⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦ 11(1)148212(21)n n n n n +⎛⎫=+-= ⎪++⎝⎭.20.如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是矩形，PA ⊥平面ABCD ，42PA AD AB ===，．若点O ，M 分别为棱AC ，PD 的中点，点N 在棱PC 上，且满足AN PC ⊥．（1）求线段MN 的长；（2）求平面ACM 与平面BON 夹角的余弦值．【答案】（1）3（2）63【解析】【分析】（1）以A 为坐标原点建立空间直角坐标系，设PN PC λ= ，由AN PC ⊥得出向量数量积为零，求出λ，再结合向量模长公式求得结果；（2）根据空间向量法求出两个平面的法向量，进一步计算求解两平面夹角的余弦值．【小问1详解】因为PA ⊥平面ABCD ，AB ⊂平面ABCD ，AD ⊂平面ABCD ，所以,PA AB PA AD ⊥⊥.如图所示，以A 为坐标原点，以,,AB AD AP 分别为x 轴，y 轴，z轴建立空间直角坐标系，则(0,0,0),(0,0,4),(2,0,0),(2,4,0),(0,4,0),(0,2,2)A P B C D M ；因为AN PC ⊥，(2,4,4)PC =-uu u r ，设(2,4,4)PN PC λλλλ==- ，则(2,4,44)AN AP PN λλλ=+=- ，所以(2,4,44)(2,4,4)36160AN PC λλλλ⋅=-⋅-=-= 解得49λ=，所以81620,,999AN ⎛⎫= ⎪⎝⎭ ，即81620,,999N ⎛⎫ ⎪⎝⎭.又(0,2,2)M ，则822,,999MN ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，所以223MN = ．【小问2详解】设平面ACM 的一个法向量111(,,)n x y z =，由,n AC n AM ⊥⊥ 可得：1111240220x y y z +=⎧⎨+=⎩，令11z =，则(2,1,1)n =- ．81620(1,2,0),(2,0,0),,,999O B N ⎛⎫ ⎪⎝⎭，则1220,,,(1,2,0)999ON OB ⎛⎫=--=- ⎪⎝⎭设平面ACM 的一个法向量222(,,)m x y z =，由,m ON m OB ⊥⊥ 可得：222221220099920x y z x y ⎧--+=⎪⎨⎪-=⎩，令25y =，则(10,5,1)m = ．设平面ACM 与平面BON 所成的角为θ，则cos cos ,63m n m n m n θ⋅==== ．21.已知数列{}n a 满足13a =，132n n n a a +⋅=⨯，**22,21,N log 2,2,N n n n a n k k b a n n k k ⎧=-∈=⎨-=∈⎩数列{}n a ，{}n b 的前n 项和分别为n n S T ，．（1）求24a a ，，并证明数列{}2n a 为等比数列；（2）当n m ≥时，有n n T S ≥恒成立，求正整数m 的最小值．【答案】（1）22a =，44a =，证明见解析（2）11【解析】【分析】（1）依题中条件，对n 进行赋值可求得24a a ，；通过递推关系式，令1=+n n 得到新的关系式，两者相比，即可证明;（2）先作差考查22n n T S ≥时的条件，再作差考查2121n n T S --≥时的条件，综合求解即可.【小问1详解】因为113,32nn n a a a +=⋅=⨯，令1n =，则126a a =，22a =，令2,3n =得2233343232a a a a ⎧⋅=⨯⎨⋅=⨯⎩，则44a =，由11123232n n n n n n a a a a ++++⎧⋅=⨯⎨⋅=⨯⎩得22n n a a +=，由22a =，所以数列{}2n a 为以2为首项，2为公比的等比数列．【小问2详解】由（1）知：22n n a =，同理：数列{}21n a -是以3为首相，2为公比的等比数列，即12132n n a --=⨯，则**2,21,N 3,2,N 2n n a n k k b n n k k ⎧=-∈⎪=⎨-=∈⎪⎩，22n n T S -()()1352113521n n b b b b a a a a --⎡⎤=++++-+++++⎣⎦ ()()24622462n n b b b b a a a a ⎡⎤++++-++++⎣⎦ ()()135212462n n a a a a a a a a -⎡⎤=++++-+++++⎣⎦ ()2462n b b b b ++++ ()()12112223123n n -=++++-++++ 123(1)122n n n -+=--3(1)212n n n +=--，令3(1)212n n n n c +=--，则123(1)n n n c c n +-=-+，当1,2,3n =时，1n n c c +<，当4n ≥时，1n n c c +>，又14562,45,34,0c c c c =-=-=-=，则当5n ≤时，22n n T S <，当6n ≥时，22n n T S ≥，()()21212222n n n n n n T S T S b a ---=---()1223(1)21322n n n n n n n T S ++=--++>-，综上知：正整数m 的最小值为11．22.在平面直角坐标系xOy 中，已知双曲线2222:1(0)x y C a b a b-=>>的左、右焦点分别为12F F ，，焦距为4，右顶点到点12F F ，的距离之差为（1）求双曲线的标准方程；（2）点P 在双曲线C 上，且射线12PF PF ，分别交双曲线于点M ，N ，求直线MN 斜率k 的取值范围．【答案】（1）2213x y -=（2）,321213k ⎛⎛∈-- ⎝⎭⎝⎭【解析】【分析】（1）根据焦距为4求c ，根据右顶点到点12F F ，的距离之差为a ，进而解出结果.（2）将直线12PF PF ，与双曲线联立，用P 的坐标表示,M N ，进而表示MN 的斜率，求出斜率的范围即可.【小问1详解】设焦距为2c ，则由24c =得2c =，由双曲线的定义可知2a =，则a =因此1b ==，所以双曲线的标准方程为2213x y -=【小问2详解】设()()1122,,,M x y N x y ,()00,P x y ，直线1PF 为12x m y =-，其中0102x m y +=，则220013x y -=，220033y x -=-联立方程组122213x m y x y =-⎧⎪⎨-=⎪⎩得()22113410m y m y --+=，则20012101347y y y m x ==-+，计算得01047y y x =+，代入直线方程得01071247x x x +=-+，同理得002200712,7447y x y x x x -==--，则直线MN 的斜率为()0000021222100081168562173x y x y x y y k x x x y x -====----，又因为M ，N 分别在双曲线的左支和右支，则010712047x x x +=-<+且020712047x x x -=>-，解得074x >，而由220013x y -=得220001111,31473y x x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-∈ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，即00x y ∈，综上3333,,321213k ⎛⎫⎛∈--⋃ ⎪ ⎪ ⎝⎭⎝⎭．。
安徽省芜湖市高二数学上学期期末考试试题(B)
安徽省芜湖市2016-2017学年高二数学上学期期末考试试题（B）（满分100分，时间120分钟）一、选择题（本大题12个小题，每小题3分，共36分）在每个小题的下面，都给出了代号为A、B、C、D的四个答案，其中只有一个是正确的，请将正确答案的代号填在题后的括号中．1．三个平面把空间分成7部分时，它们的交线有A．1条 B．2条 C．3条 D．1条或2条2．已知直线l1：（k-3）x+（4-k）y+l =0与l2：2（k-3）x-2y+3 =0平行，则k的值是A．1或3 B．1或5 C．3或5 D．1或23．已知两个不同的平面α，β和两条不重合的直线m，n，有下列四个命题：①若m∥n，m⊥α，则n⊥α；②若m⊥α，m⊥p，则α∥β；③若m⊥α，m∥n，ncβ，则α⊥β；④若m∥α，αβ=n，则m∥n．其中假命题的个数为A．0 B.1 C．2 D．34．从原点向圆x2+ y2—12x +27 =0作两条切线，则这两条切线的夹角的大小为A. 30°B. 60°C. 90°D. 120°5．如图，在四面体ABCD中，E，F分别是AC与BD的中点，若CD= 2AB=4，EF⊥BA，则EF与CD所成的角为 ( )A．90° B．45°C．30° D．60°6．三棱锥P -ABC的高为PH，若三个侧面两两垂直，则H为△ABC的A．垂心 B．外心 C．内心 D．重心7．若动点P到点F(l，1)和直线3x +y -4 =0的距离相等，则点P的轨迹方程为A.3x +y -6 =0 B．x-3y+2 =0 C．x+3y -2 =0 D.3x -y+2 =08．若a∈{-2，0，1，34}，则方程x2 +y2 +ax+2ay+2a2 +a-l =0表示的圆的个数为( )A．0 B.1C．2 D．39．已知三棱柱的三视图如图所示，其中俯视图为正三角形，则该三棱柱的体积为 ( )A． B．C．6 D．10．如图所示，已知两点A(4，0)，B(0，4)，从点P(2，0)射出的光线经直线AB反射后再射到直线OB上，最后经直线OB反射后又回到P 点，则光线所经过的路程是 ( )A．．6C． D．11．如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，点O为线段BD的中点．设点P在线段CC1上，直线OP与平面A1 BD所成的角为α，则slnα的取值范围是 ( )A ．[3，1]B ．[31]C ．3]D ．[3，1] 12.已知圆C 1：（x-2)2+（y-3)2=1，圆C 2：(x-3)2+（y-4)2=9，M 、N 分别是圆C 1、C 2上的动点，P 为x 轴上的动点，则|PM|+|PN|的最小值为 ( )二、填空题（本大题5个小题，每小题4分，共20分）在每小题中，请将答案直接填在题后的横线上.13.若A （1，-2，1），B(2，2，2)，点P 在z 轴上，且|PA|=|PB|，则点P 的坐标为14.不论m 取何实数，直线(3m+4)x+(5 -2m)y+7m -6 =0都恒过一个定点P ，则点P 的坐标是15.如图所示，已知矩形ABCD 中，AB =3，BC =a ，若PA ⊥平面AC ，在满足条件PE ⊥DE 的E 点有两个时，a 的取值范围是16.若圆x 2 +y 2 -ax +2y+1 =0与圆x 2 +y 2 =1关于直线y=x-l 对称，过点C （-a ，a ）的圆P 与y 轴相切，则圆心P 的轨迹方程为17.如图，在正方体ABCD - A'B'C'D'中，E ，F 分别是A'A ，C'C 的中点，则下列判断正确的是____（填序号）．①四边形BFD'E 在底面ABCD 内的投影是正方形；②四边形BFD'E 在平面A'D'DA 内的投影是菱形；③四边形BFD'E 在平面A'D'DA 内的投影与在面ABB'A'内的投影是全等的平行四边形．三、解答题（本大题6个小题，共44分，解答时每小题必须给出必要的演算过程或推理步骤．）18．（本小题满分6分）如图所示，在正方体ABCD - A 1B 1C 1D 1中，M ，E ，F ，N 分别是A 1 B 1，B 1 C 1，C 1D 1，D 1A 1的中点，求证：(1)E ，F ，B ，D 四点共面；（2）平面MAN ∥平面EFDB.19．（本小题满分6分）求与圆（x-2）2+y 2 =2相切且在x 轴，y 轴上截距相等的直线方程．20.（本小题满分6分）如图，直三棱柱ABC - A 1B 1C 1的六个顶点都在半径为1的半球面上，AB=AC ，侧面 BCC 1B 1是半球底面圆的内接正方形，求侧面ABB1A1的面积．21.（本小题满分8分）已知实数x，y满足方程(x-2)2+(y-2)2=1．(1)求1yx的取值范围；(2)求|x +y+l|的取值范围．22.（本小题满分12分）如图，在四棱锥P -ABCD中，底面ABCD是矩形，已知AB =3，AD =2，PA =2，，∠PAB=60°．(1)求证：AD⊥平面PAB；(2)求异面直线PC与AD所成的角的正切值；(3)求二面角P-BD-A的正切值．。
高二数学上学期期末考试试题Aword版本
安徽省芜湖市2016-2017学年高二数学上学期期末考试试题（A ）（满分100分，时间120分钟）一、选择题（本大题12个小题，每小题3分，共36分）在每个小题的下面，都给出了代号为A 、B 、C 、D 的四个答案，其中只有一个是正确的，请将正确答案的代号填在题后的括号中．1．三个平面把空间分成7部分时，它们的交线有A ．1条B ．2条C ．3条D ．1条或2条2．已知直线l 1：（k-3）x+（4-k ）y+l =0与l 2：2（k-3）x-2y+3 =0平行，则k 的值是A ．1或3B ．1或5C ．3或5D ．1或23．已知两个不同的平面α，β和两条不重合的直线m ，n ，有下列四个命题：①若m ∥n ，m ⊥α，则n ⊥α；②若m ⊥α，m ⊥p ，则α∥β；③若m ⊥α，m ∥n ，nc β，则α⊥β；④若m ∥α，αβ=n ，则m ∥n ．其中假命题的个数为A ．0 B.1 C ．2 D ．34．从原点向圆x 2+ y 2—12x +27 =0作两条切线，则这两条切线的夹角的大小为A. 30°B. 60°C. 90°D. 120°5．如图，在四面体ABCD 中，E ，F 分别是AC 与BD 的中点，若CD= 2AB=4，EF ⊥BA ，则EF 与CD 所成的角为 ( )A ．90°B ．45°C ．30°D ．60°6．三棱锥P -ABC 的高为PH ，若三个侧面两两垂直，则H 为△ABC 的A ．垂心B ．外心C ．内心D ．重心7．若动点P 到点F(l ，1)和直线3x +y -4 =0的距离相等，则点P 的轨迹方程为A.3x +y -6 =0 B ．x-3y+2 =0 C ．x+3y -2 =0 D.3x -y+2 =08．如图所示，已知两点A(4，0)，B(0，4)，从点P(2，0)射出的光线经直线AB 反射后再射到直线OB 上，最后经直线OB 反射后又回到P点，则光线所经过的路程是 ( )A ．．6C ．3D ．29．如图，在正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中，点O 为线段BD 的中点．设点P 在线段CC 1上，直线OP 与平面A 1BD 所成的角为α，则sln α的取值范围是 ( )A ．[3，1]B ．[3，1]C ．[33] D ．[3，'1]10.某几何体的三视图（单位：cm ）如图所示，则此几体体的体积是A ．36 cm 3B ．48cm 3C ．60cm 3D ．72cm 311.若圆C:x 2 +y 2 -4x -4y -10 =0上至少有三个不同的点到直线l ：x-y+c=0的距离为2，则c 的取值范围是 ( )A ．[一2，2]B ．（一2，2）C ．[ -2，2]D ．（-2，2）12.正四棱锥的顶点都在同一球面上，若该棱锥的高为6，底面边长为4，则该球的表面积为A ．443πB ．16C ．314πD ．4849π 二、填空题（本大题5个小题，每小题4分，共20分）在每小题中，请将答案直接填在题后的横线上．13.若A （1，-2，1），B(2，2，2)，点P 在z 轴上，且|PA|=|PB|，则点P 的坐标为14.不论m 取何实数，直线(3m+4)x+(5 -2m)y+7m -6 =0都恒过一个定点P ，则点P 的坐标是15.如图所示，已知矩形ABCD 中，AB =3，BC =a ，若PA ⊥平面AC ，在满足条件PE ⊥DE 的E 点有两个时，a 的取值范围是16.若圆x 2 +y 2 -ax +2y+1 =0与圆x 2 +y 2 =1关于直线y=x-l 对称，过点C （-a ，a ）的圆P 与y 轴相切，则圆心P 的轨迹方程为17.已知正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1的棱长为1，给出下列四个命题：①对角线AC 1被平面A,BD 和平面B 1 CD 1三等分；②正方体的内切球、与各条棱相切的球、外接球的表面积之比为1:2:3； ③以正方体的顶点为顶点的四面体的体积都是16； ④正方体与以4为球心，1为半径的球在该正方体内部部分的体积之比为6：其中正确命题的序号为____．三、解答题（本大题6个小题，共44分，解答时每小题必须给出必要的演算过程或推理步骤．）18．（本小题满分6分）如图所示，在正方体ABCD - A 1B 1C 1D 1中，M ，E ，F ，N 分别是A 1 B 1，B 1 C 1，C 1D 1，D 1A 1的中点，求证：(1)E ，F ，B ，D 四点共面；（2）平面MAN ∥平面EFDB.19．（本小题满分6分）求与圆（x-2）2+y 2 =2相切且在x 轴，y 轴上截距相等的直线方程．20.（本小题满分6分）如图，直三棱柱ABC - A 1B 1C 1的六个顶点都在半径为1的半球面上，AB=AC ，侧面 BCC 1B 1是半球底面圆的内接正方形，求侧面ABB 1A 1的面积．21.（本小题满分8分）已知实数x，y满足方程(x-2)2+(y-2)2=1．(1)求21x yx+-的取值范围；(2)求|x +y+l|的取值范围．22.（本小题满分8分）已知圆C:x2+y2 -2x +4y -4 =0．问是否存在斜率为1的直线l，使以l被圆C截得的弦 AB 为直径的圆经过原点？若存在，求出直线l的方程；若不存在，说明理由，23.（本小题满分10分）如图，在直三棱柱ABC -A1B1C1中（即侧棱垂直于底面的三棱柱），∠ACB= 90°，AA1=BC= 2AC=2．(1)若D为AA1的中点，求证：平面B1CD⊥平面B1C1D；(2)在AA1上是否存在一点D，使得二面角B1-CD-C l的大小为60°．。
安徽省芜湖市2020-2021学年高二上学期期末文科数学试题及答案
安徽省芜湖市2020-2021学年高二上学期期末文科数学试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．如图所示，观察以下四个几何体，其中判断正确的是（ ）A ．①是棱台B ．②是圆台C ．③是棱锥D ．④不是棱柱【答案】C 【分析】根据棱台、圆台、棱柱、棱锥的几何结构特征判断即可. 【详解】图①中的几何体不是由棱锥截来的，且上、下底面不是相似的图形，所以①不是棱台； 图②中的几何体上、下两个面不平行，所以②不是圆台； 图③中的几何体是棱锥；图④中的几何体前、后两个面平行，其他面是平行四边形， 且每相邻两个平行四边形的公共边平行，所以④是棱柱. 故选：C. 点评本题主要考查了棱台、圆台、棱柱、棱锥的判断，属于基础题. 2．命题“若220x y +=，则0x =且0y =的逆否命题是（ ） A ．若220x y +≠，则0x ≠且0y ≠ B ．若220x y +≠，则0x ≠或0y ≠ C ．若0x ≠且0y ≠，则220x y +≠ D ．若0x ≠或0y ≠，则220x y +≠【答案】D 【分析】根据逆否命题的定义判断即可，但需要注意“0x =且0y =”的否定为“0x ≠或0y ≠”.【详解】因为原命题为“若220x y +=，则0x =且0y =，所以逆否命题为“若0x ≠或0y ≠，则220x y +≠”，故选D.点评本题考查逆否命题的改写，结合逆否命题的定义是解本题的关键，但要注意“p q ∧”与“p q ⌝⌝∨”互为否定，考查推理能力，属于基础题.3．已知直线1l ：(3)(4)10k x k y -+-+=与2l ：2(3)230k x y --+=平行，则k 的值是（ ）. A ．1或3 B ．1或5C ．3或5D ．1或2【答案】C 【解析】当k-3=0时，求出两直线的方程，检验是否平行；当k-3≠0时，由一次项系数之比相等且不等于常数项之比，求出k 的值．解：由两直线平行得，当k-3=0时，两直线的方程分别为 y=-1 和 y=3/2，显然两直线平行．当k-3≠0时，由()k 34k1/32k 32--=≠--，可得 k=5．综上，k 的值是 3或5， 故选 C ．4．已知直线a 、b 都不在平面α内，则下列命题错误的是（ ） A ．若//a b ，//a α，则//b α B ．若//a b ，a α⊥，则b α⊥ C ．若a b ⊥，//a α，则b α⊥ D ．若a b ⊥，a α⊥，则//b α【答案】C 【分析】利用线面平行的性质和判定定理可判断A 选项的正误；由线面垂直的定义可判断B 选项的正误；根据已知条件判断b 与α的位置关系，可判断C 选项的正误；根据已知条件判断b 与α的位置关系，可判断D 选项的正误. 【详解】由于直线a 、b 都不在平面α内.在A 中，若//a α，过直线a 的平面β与α的交线m 与a 平行，在B 中，若a α⊥，则a 垂直于平面α内所有直线，//a b ，则b 垂直于平面α内所有直线，故b α⊥，B 选项正确；在C 中，若a b ⊥，//a α，则b 与α相交或平行，C 选项错误； 在D 中，若a b ⊥，a α⊥，则//b α或b α⊂，b α⊄，//b α∴，D 选项正确.故选：C. 点评方法点睛：对于空间线面位置关系的组合判断题，解决的方法是“推理论证加反例推断”，即正确的结论需要根据空间线面位置关系的相关定理进行证明，错误的结论需要通过举出反例说明其错误，在解题中可以以常见的空间几何体（如正方体、正四面体等）为模型进行推理或者反驳． 5．若直线20x y a -+=经过圆22440x y x y ++-=的圆心，则a 的值为（ ） A ．4 B ．6- C ．6 D ．2-【答案】C 【分析】求出圆心坐标，将圆心的坐标代入直线方程，即可求得实数a 的值. 【详解】圆22440x y x y ++-=的标准方程为()()22228x y ++-=，圆心坐标为()2,2-，由题意可得2220a --⨯+=，解得6a =. 故选：C.6．在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆()2222:10x y E a b b a+=>>的一个焦点()0,F c 到直线20bx ay -=，则E 的离心率为（ ）A ．2B ．12C D ．3【答案】A 【分析】利用点到直线的距离公式可得出关于a 、b 的齐次等式，结合222b a c =-可求得椭圆E 的离心率. 【详解】点()0,F c 到直线20bx ay -=的距离为2d ==2=，2222444a b a c ∴==-，a =，因此，椭圆E 的离心率为c e a ==. 故选：A. 点评方法点睛：求解椭圆或双曲线的离心率的方法如下：（1）定义法：通过已知条件列出方程组，求得a 、c 的值，根据离心率的定义求解离心率e 的值； （2）齐次式法：由已知条件得出关于a 、c 的齐次方程，然后转化为关于e 的方程求解； （3）特殊值法：通过取特殊位置或特殊值，求得离心率.7．“方程2240x y y k +-+=表示一个圆”是“04k <<”的（ ） A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件【答案】B 【分析】先由“方程2240x y y k +-+=表示一个圆”求出k 的范围，再根据充分条件与必要条件的概念即可求出结果. 【详解】因为方程2240x y y k +-+=表示一个圆，所以()2440k -->得4k <，所以由04k <<能推出4k <；由4k <不能推出04k <<，所以“方程2240x y y k +-+=表示一个圆”是“04k <<”的必要而不充分条件.故选B 点评本题主要考查圆的一般方程以及充分条件与必要条件，熟记概念即可，属于基础题型.8．已知两点()1,2A ，()3,6B ，动点M 在直线y x =上运动，则MA MB +的最小值为（ ）A ．BC ．4D ．5【答案】B 【分析】根据题意画出图形，结合图形求出点A 关于直线y x =的对称点A '，则A B '即为MA MB +的最小值.根据题意画出图形，如图所示：设点A 关于直线y x =的对称点()2,1A '，连接A B '，则A B '即为MA MB +的最小值，且A B '故选：B . 点评本题考查了动点到定点距离之和最小值问题，解题方法是求出定点关于直线对称的点坐标，然后运用两点之间的距离公式求出最值.9．已知圆柱的侧面展开图矩形面积为3，底面周长2，则圆柱的体积为（ ） A ．3πB ．32πC ．23πD ．32π 【答案】B 【分析】设圆柱的底面圆的半径为r ，母线长为h ，计算出r 、h 的值，利用柱体的体积公式可求得结果. 【详解】设圆柱的底面圆的半径为r ，母线长为h ，则圆柱的底面圆周长为22r π=，可得1r π=，圆柱侧面展开图的面积为23rh π=，解得32h =， 因此，该圆柱的体积为2213322V r h ππππ⎛⎫==⨯⨯=⎪⎝⎭.故选：B.10．已知实数x ，y 满足2264120x y x y +--+=的最大值为（ ） A ．4 B ．5C ．6D ．7【答案】C由题意将圆的方程化为22(3)(2)1x y -+-=的几何意义可求其最大值． 【详解】实数x ，y 满足2264120x y x y +--+=，即22(3)(2)1x y -+-=，表示圆上的点(),P x y 到()0,2-的距离，又圆心到()0,2-5=的最大值为516+=． 故选：C ． 点评表示的几何意义为点(),P x y 到()0,2-的距离，这是解决此题的关键.11．如图，正方体1111ABCD A B C D -的棱长为a ，E 是DD 1的中点，则（ ）A ．直线B 1E //平面A 1BD B ．11B E BD ⊥C ．三棱锥C 1-B 1CE 的体积为313aD ．直线B 1E 与平面CDD 1C 1 【答案】D 【分析】建立空间直角坐标系，利用空间向量一一验证即可； 【详解】解：如图建立空间直角坐标系，则()1,0,A a a ，()1,,B a a a ，0,0,2a E ⎛⎫ ⎪⎝⎭，(),,0B a a ，()0,0,0D ，()10,0,D a ，则1,,2a B E a a ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭，(),,0DB a a =，()1,0,DA a a =，()1,,BD a a a =--，设面1A BD 的法向量为(),,n x y z =，所以00ax az ax ay +=⎧⎨+=⎩，取1x =，则1y z ==-，所以()1,1,1n =--，所以()()()()11111122a aB E n a =⨯-+-⨯-+-⨯=-，当2a ≠时10B E n ≠，故1B E 不一定平行面1A BD ，故A 错误；因为()()()()2115022a B E BD a a a a a a =-⨯-+-⨯-+⨯=≠，所以1B E 与1BD 不垂直，故B 错误；111113111136C B CE B C EC C ECV V SB C a --===，故C 错误；面11CDD C 的法向量为()1,0,0m =，设直线B 1E 与平面CDD 1C 1所成的角为θ，则112sin31m B Em B Eθ===⨯，所以cos θ==所以2sin tan cos 5θθθ===，故D 正确； 故选：D点评本题考查了立体几何中的线面平行的判定和线面角的求解问题，意在考查学生的空间想象能力和逻辑推理能力；解答本题关键在于能利用直线与直线、直线与平面、平面与平面关系的相互转化，通过严密推理，同时对于立体几何中角的计算问题，往往可以利用空间向量法，通过求解平面的法向量，利用向量的夹角公式求解.12．已知椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>，焦点()12,0F -，()22,0F .过()12,0F -作倾斜角为60︒的直线L 交上半椭圆于点A ，以11 , F A F O (O 为坐标原点)为邻边作平行四边形1 OF AB ，点B 恰好也在椭圆上，则2b =（ ）A B ．C ．D ．12【答案】B 【分析】设()11,A x y ，()22,B x y ，根据四边形1OF AB 为平行四边形可得12y y =，利用椭圆方程可得21x x =-，利用1//F A OB ，且直线1F A 的倾斜角为60°可得121,1x x =-=，12y y ==得(A -，代入椭圆方程并结合2224a b c -==可得1a =，从而可得结果.【详解】依题意可知，2c =，设()()1122,,,A x y B x y ， 因为四边形1 OF AB 为平行四边形，所以12 y y =， 又2211221x y a b +=，2222221x y a b+=， 所以21 x x =-，又1/ /F A OB ，且直线1F A 的倾斜角为60︒，所以12122y y x x ==+因为12y y =，21x x =-，所以11x =-，21x =，12y y ==所以(A -，将其代入22221x y a b+=，得22131a b +=➀ 又2c =，所以2224a b c -==②所以联立①②解得24a =+2b =故选：B. 点评本题以椭圆为背景，考查了椭圆的性质，考查了斜率公式，考查了运算求解能力，属于中档题.二、填空题13．命题“20000,20200x x x ∃>+->”的否定是___________. 【答案】20000,20200x x x ∀>+-≤ 【分析】利用含有一个量词的否定的定义求解即可． 【详解】命题“20000,20200x x x ∃>+->”的否定是“20000,20200x x x ∀>+-≤” 故答案为：20000,20200x x x ∀>+-≤14．过()1,2P 且与()2,3A 和()4,5B -距离相等的直线方程为___________. 【答案】460x y +-=或3270x y +-= 【分析】分所求直线与直线AB 平行或所求直线过线段AB 的中点，结合点斜式可得出所求直线的方程. 【详解】直线AB 的斜率为35424AB k +==--，线段AB 的中点坐标为()3,1-. ①若所求直线与直线AB 平行时，则所求直线的方程为()241y x -=--，即460x y +-=；②若所求直线过AB 的中点时，则所求直线的斜率为213132+=--， 故所求直线方程为()3212y x -=--，即3270x y +-=. 综上所述，所求直线方程为460x y +-=或3270x y +-=. 故答案为：460x y +-=或3270x y +-=. 点评思路点睛：过点P 且与点A 、B 距离相等的直线的方程的求解，要注意分以下两种情况讨论： （1）所求直线与直线AB 平行； （2）所求直线过线段AB 的中点.15．已知空间三点A (0，2，3)，B (2-，1，1)，C (1，1-，3)，四边形ABCD 是平行四边形，其中AC ，BD 为对角线，则||BD =___________.【分析】设(D x ，y ，)z ，根据AB DC =，求出点D 的坐标，可的(5BD =，1，4)，即可求出||BD 【详解】解：空间三点(0A ，2，3)，(2B -，1，1)，(1C ，1-，3)，四边形ABCD 是平行四边形， 设(D x ，y ，)z ，(2AB =-，1-，2)-，(1DC x =-，1y --，3)z -，AB DC =，21x ∴-=-，11y -=--，23z -=-，解得3x =，0y =，5z =，(3D ∴，0，5)， ∴(5BD =，1，4)，||BD ∴==16．已知F 1，F 2为椭圆22C :14x y +=的左､右焦点，点P 在椭圆C 上，1260F PF ∠=︒，则12PF PF ⋅=【答案】43【分析】 根据椭圆定义，可得|PF 1|＋|PF 2|＝4，利用余弦定理，变形整理，即可求得结果.【详解】由椭圆定义可得|PF 1|＋|PF 2|＝4，利用余弦定理可得|PF 1|2＋|PF 2|2－2|PF 1|·|PF 2|·cos 60°＝|F 1F 2|2， 所以22121212()312PF PF PF PF F F +-⋅==， 解得3|PF 1|·|PF 2|＝4，即12PF PF ⋅=43， 故答案为：4317．已知圆C 的圆心在y 轴上，截直线1:3430l x y ++=所得弦长为8，且与直线2:34370l x y -+=相切，则圆C 的方程___________.【答案】22(3)25x y +-=【分析】设圆C 的圆心为()0,C b ，半径为()0r r >，分别求出圆心C 到直线1l 和2l 的距离，利用直线与圆的位置关系列出方程组，可得圆的方程．【详解】设圆C 的圆心为()0,C b ，半径为()0r r >圆心C 到直线1l的距离为1435b d +==， 圆心C 到直线2l 的距离为24375b d -== 则2221282r d r d ⎧⎛⎫=+⎪ ⎪⎨⎝⎭⎪=⎩，即()()222243162543725b r b r ⎧+=+⎪⎪⎨-⎪=⎪⎩，解得35b r =⎧⎨=⎩ 则圆C 的方程为22(3)25x y +-=故答案为：22(3)25x y +-=点评关键点点睛：本题考查直线与圆的位置关系，考查点线距公式，解决本题的关键点是直线与圆相交时，半径的平方与弦长一半的平方和圆心到直线的距离的平方和相等，并利用直线2l 与相切，列出方程组，解出圆的标准方程，考查学生逻辑思维能力与计算能力，属于中档题．三、解答题18．已知直线l 的方程为210x y -+=．（1）求过点()3,2A ，且与直线l 垂直的直线1l 方程；（2）求与直线l 平行，且到点()3,0P2l 的方程【答案】（1）（2）或 【解析】试题分析：()1直接利用直线垂直的充要条件求出直线的方程； ()2设所求直线方程为20x y c -+=，由于点()3,0P=，解出1c =-或11c =-，即可得出答案；解析：（1）∵直线l 的斜率为2，∴所求直线斜率为12-， 又∵过点()3,2A ，∴所求直线方程为()1232y x -=--， 即270x y +-=．（2）依题意设所求直线方程为20x y c -+=，∵点P ()3,0=，解得1c =-或11c =-，所以，所求直线方程为210x y --=或2110x y --=． 19．设某几何体的三视图如图(尺寸的长度单位为cm )，（1）用斜二测画法画出该几何体的直观图(不写画法)；（2）求该几何体最长的棱长.【答案】（1）答案见解析；（2）4cm .【分析】（1）直接画出三棱锥S ABC -即可；（2）作SE ⊥面ABC ，取线段AC 中点为D ，分别在等腰ABC ，Rt SEA △，Rt SEC △，Rt BDE △和Rt SEB △中，求出线段长度，得到该几何体最长的棱长．【详解】（1）（2）如下图，SE ⊥面ABC ，线段AC 中点为D2,3,1,4,2,=1SE cm AE cm CE cm AC cm AD DC cm DE cm ======，BD AC ⊥，3BD cm =，在等腰ABC 中，AB AC ===在Rt SEA △中，SA ==在Rt SEC △中，SC ===在Rt BDE △中，BE ==SE ⊥面ABC ，SE BE ∴⊥在Rt SEB △中，SB ===在三梭锥S-ABC 中，SC AB AC SA SB AC <==<<，所以最长的棱为AC ，长为4cm点评关键点点睛：本题考查几何体的三视图，以及棱锥的性质，解决本题的关键点是作出SE ⊥面ABC ，取线段AC 中点为D ，由三视图得出等腰ABC ，Rt SEA △，Rt SEC △，Rt BDE △和Rt SEB △，分别求出线段长度，得出答案，考查学生空间想象能力与计算能力，属于中档题．20．已知命题p ：实数m 满足23230m am a --<，其中>0a ；命题q ：点(1，1)在圆222222100x y mx my m +-++-=的内部.（1）当1a =，p q ∧为真时，求m 的取值范围；（2）若p ⌝是q ⌝的充分不必要条件，求a 的取值范围.【答案】（1）(1,2)-；（2）[2,)+∞.【分析】（1）分解因式化简命题p ，将1a =代入，由p q ∧为真，可得m 的取值范围；（2）p ⌝是q ⌝的充分不必要条件，∴p 是q 的必要不充分条件，利用集合的包含关系列出不等式组，可得a 的取值范围．【详解】依题意变形，得:()(3)0p m a m a +-<，即3(0)a m a a -<<>.由题意得2:4q m <，22m ∴-<<.（1）当1a =时，:13p m -<<，p q ∧为真，,p q ∴都为真，(1,2)m ∴∈-. （2）p ⌝是q ⌝的充分不必要条件，即 p 是q 的必要不充分条件，(2,2)∴- (,3)a a -结合数轴得，>0223a a a ⎧⎪-≥-⎨⎪≤⎩，即2a ≥，经检验2a =时满足p 是q 的必要不充分条件，[2,)a ∴∈+∞.21．如图，在四棱锥M ABCD -中，四边形ABCD 为梯形，90ABC BAD ∠=∠=，//BC AD ，22AD AB BC ==（1）若E 为MA 中点，证明：BE //面MCD（2）若点M 在面ABCD 上投影在线段AC 上，1AB =，证明：CD ⊥面MAC .【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析.【分析】（1）取MD 中点为F ，连接EF ，CF ，四边形BCFE 为平行四边形，所以//BE CF ，利用线面平行的性质定理即可证明；（2）利用勾股定理证明AC CD ⊥，设点M 在面ABCD 上投影在线段AC 上设为点H ，再利用已知条件证明MH CD ⊥，利用线面垂直的判断定理即可证明.【详解】（1）取MD 中点为F ，连接EF ，CF ，则EF 为△MAD 中位线，∴ 1//2EF AD 且1=2EF AD ， 又四边形ABCD 是直角梯形，22AD AB BC ==1//2BC AD ∴，1=2BC AD //BC EF ∴且=BC EF ，∴四边形BCFE 为平行四边形，所以//BE CF ，因为BE ⊄面MCD ，CF ⊂面 MCD ，所以//BE 面MCD .（2）在四棱锥M ABCD -中，四边形ABCD 是直角梯形，222AD AB BC ===，90ABC BAD ∠=∠=，AC CD ∴===222AC CD AD ∴+=，AC CD ∴⊥，设点M 在面ABCD 上投影在线段AC 上，设为点H ，MH ∴⊥面ABCD ，CD ⊂面ABCD ，MH CD ∴⊥，又AC CD ⊥，AC MH H ⋂=， CD 面MAC .点评方法点睛：证明直线与平面平行的常用方法（1）定义法：证明直线与平面没有公共点，通常要借助于反证法来证明；（2）判定定理：在利用判断定理时，关键找到平面内与已知直线平行的直线，常考虑利用三角形中位线、平行四边形的对边平行或过已知直线作一平面，找其交线进行证明；22．已知椭圆2222:1(0)x y D a b a b +=>>的离心率为2e =，点1)-在椭圆D 上. （1）求椭圆D 的标准方程；（2）设点(2,0)M -，(2,0)N，过点F 的直线l 与椭圆交于A ，B 两点(A 点在x 轴上方)，设直线MA ，NB (O 为坐标原点)的斜率分别为k 1，k 2，求证：12k k 为定值. 【答案】（1）22142x y +=；（2）证明见解析. 【分析】（1）由已知得到关于,a b 的方程组，解方程组即得解；（2）设直线l的方程为x my =+联立直线和椭圆方程得到韦达定理，再利用韦达定理化简12k k 即得解.【详解】（1）椭圆D的离心率e ==，a ∴=，又点1)-在椭圆D 上， 22211a b∴+=，得2a =，b = ∴椭圆D 的标准方程22142x y +=. （2）由题意得，直线l的方程为x my =由22142x y x my ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩消元可得()22220m y ++-=，设())()1122,,,A x y B x y ，则1222y y m+=-+，12222y y m =-+， ()()1212121212222()4(2(4x x x x x x my my my my ++=+++=+++++221212(2()2)m y y m y y =+++22222212(22222)m m m m m ⎛⎫+⎛⎫=-++-+= ⎪ ⎪ ⎪+++⎝⎭⎝⎭ ()()()2112122121222212121212222223222422x k y x y y x y y y y k x y x y x x x x ----∴=⋅=⋅=⋅==-+++-++定值). 点评方法点睛：定值问题在几何问题中，有些几何量与参数无关，这就构成了定值问题，定值问题的处理常见的方法有：（1）特殊探究，一般证明；（2）直接求题目给定的对象的值，证明其结果是一个常数.。
安徽省芜湖市第一中学2022-2023学年高二上学期第一次阶段性诊断测试数学试题
安徽省芜湖市第一中学2022-2023学年高二上学期第一次阶段性诊断测试数学试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________A ．()12c a b --C ．()12a b c -+2．若向量()1,2,3a =-，b =A．50 m B．107．如图，已知四棱锥P ABCD-A．22B．28．在棱长为1的正方体ABCD A B C-''界）的一个动点，若直线AP与平面AA角的余弦值相等，则线段DP长度的最小值是（A．62B．223二、多选题⊥A．1D D AF--的正切值为B．二面角F AE CC．异面直线1A G与EF所成角的余弦值为D．点G到平面AEF的距离是点三、填空题(1)求证：1EF B C ⊥；(2)求1cos ,EF C G <>；(3)求FH 的长．20．如图，在三棱柱ABC A 60A AC ∠= ，90ACB ∠= ，(1)若D 为1AC 的中点，求证：1AD A B ⊥；(2)求二面角11A A C B --的正弦值.21．如图，将一块直角三角形木板ABO 置于平面直角坐标系中，已知AB OB ⊥，点11,24P ⎛⎫⎪⎝⎭是三角形木板内一点，现因三角形木板中阴影部分受到损坏，要把损坏部分锯掉，可用经过点P 的任一直线的斜率为k .(1)用k 表示出直线MN 的方程，并求出(2)求锯成的AMN 的面积的最小值.22．如图，在四边形PDCB 中，//PD BC BA 将PAB 翻折到SBA 的位置，使得2（1）作出平面SCD 与平面SBA 的交线l ，并证明l ⊥平面CSB ；（2）点Q 是棱SC 于异于S ，C 的一点，连接QD ，当二面角Q -参考答案：故选：D.4．D【分析】画出图形，由图可知，BC k k ≥【详解】因为过点()1,0C 且斜率为k 的直线所以由图可知，BC k k ≥或AC k k ≤，因为10121BCk-==-或20201ACk -==--5．A【分析】由平行线与直线AB 垂直时，平行线间距离最大，从而求得直线程．【详解】解：由题意可得，1l ，2l 间的距离最大时，设(),,n x y z =是平面PAC 的法向量，因为PA 则406230n PA x az n AC x y ⎧⋅=-=⎪⎨⋅=-+=⎪⎩ ，令x a =，得n =可设(),0,P x z ，01x <<，0z <由()1,0,0A ，()0,1,1C '，()0,0,0D ，()1,0,AP x z =- ，()0,1,1DC '=，过点C 作CM AE ⊥，交AE 的延长线于M ，连接FM 二面角F AE C --的平面角，不妨设正方体的棱长为15tan 2255FC FMC CM ∴∠=== ，选项B 正确；取11B C 的中点H ，连接1,A H GH ，则//GH EF ，故异面直线1A G 与EF 所成角即为直线1A G 与GH 所成角而21215A H =+=，21215AG =+=，GH =3则1(0,0,0),(0,0,1),(1,1,0),(0,2,0),D E F C C 因为1(1,1,1),(2,0,2)B E C F -=-=-，所以(1,1,1)(2,0,2)1(2)EF BC ⋅=-⋅--=⨯-所以1EF B C ⊥ ，故1EF B C ⊥；（2）解：因为12(0,,2)3C G =-- ，所以|C由已知条件和上图可知，(0,0,0)C ，(2,0,0)A ，由题意可知，(0,2,0)CB →=为平面1AA C 的一个法向量，不妨设111(,,)n x y z →=平面11A CB 的一个法向量，因为1(1,0,3)CA →=，1(1,2,3)CB →=-，从而11111113000230x z CA n CB n x y z ⎧⎧+=⋅=⎪⎪⇒⎨⎨⋅=⎪-++=⎪⎩⎩，→证明：在SAD 中，1SA =，12AD =，52SD =，则22SA AD +由SA AD ⊥，AD AB ⊥，SA AB A ⋂=，得AD ⊥平面SAB .又BC AD ∥，所以BC ⊥平面SAB ，所以BC SE ⊥.由PD BC ，1AB BC ==，12AD =，得1AE =.所以AE AB SA ==，所以⊥SE SB .又因为BC SB B = ，所以SE ⊥平面CSB ，即l ⊥平面CSB .易得()0,0,0A ，1,0,02D ⎛⎫ ⎪⎝⎭，()0,1,0B ，()0,0,1S ，()1,1,0C ，则设SQ SC λ= （01λ<<），则(),,1Q λλλ-，则(,1,1BQ λλ=-- 设(),,n x y z =是平面QBD 的一个法向量，则()()110102x y z x y λλλ⎧+-+-=⎪⎨-=⎪⎩，。
2019-2020学年安徽省芜湖市高二上学期期末数学(文)试题(含答案解析)
2019-2020学年安徽省芜湖市高二上学期期末数学（文）试题一、单选题1．过点()1,3-且与直线2 3 0x y -+=平行的直线方程是（ ） A ．27 0x y -+= B ．2 1 0x y +-= C ．27 0x y --=D ．2 4 0x y --=【答案】A 【解析】计算12k =，根据平行计算得到答案. 【详解】2 3 0x y -+=，则12k =，故直线方程为：()1132y x =++，即27 0x y -+= 故选：A 【点睛】本题考查了根据平行求直线方程，意在考查学生的计算能力. 2．若“()p q ⌝∧”为真命题，则（ ） A ．p 、q 均为真命题B ．p 、q 均为假命题C ．p 、q 中至少有一个为真命题D ．p 、q 中至多有一个为真命题【答案】D【解析】由“()p q ⌝∧”为真命题，可得p q ∧为假命题，进而可得结果. 【详解】因为“()p q ⌝∧”为真命题，所以p q ∧为假命题，所以p 、q 中至多有一个为真命题. 故选D 【点睛】本题主要考查复合命题的真假，属于基础题型.3．圆22460x y x y +-+=的圆心坐标和半径分别为（ ） A ．()2,3-，13 B ．()2,3-13C ．()2,3--，13D ．()2,3--，13【答案】B【解析】变换得到()()222313x y -++=，得到答案. 【详解】变换得到()()222313x y -++=，故圆心为()2,3-，半径为13. 故选：B 【点睛】本题考查了求圆的圆心和半径，属于简单题.4．若三条直线2380x y ++=，10x y --=与直线0x ky +=交于一点，则k =（ ）A ．-2B ．2C ．12-D ．12【答案】C【解析】由前两个方程求出交点，将交点坐标代入第三条直线的方程中，即可求出参数值. 【详解】两方程联立可得交点坐标为：()1,2--，代入第三条直线方程：120k --=， 解得：12k =-. 故选C. 【点睛】本题考查直线的交点，只需要联立方程即可求出交点，本题可将任意两条直线联立求交点坐标或其表达式，再代入另一条直线的方程即可，注意计算的准确性. 5．“k=5”是“两直线kx+5y-2=0和（4-k)x+y-7=0互相垂直”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件【答案】A【解析】试题分析：两直线互相垂直时()4510k k -+⨯=，解得1k =-或5k =．所以"5"k =是两直线和()470k x y -+-=互相垂直的充分不必要条件．故A 正确．【考点】1充分必要条件;2两直线垂直． 6．设是两条不同的直线，是两个不同的平面，则下列结论正确的是（ ） A ．若，，则B ．若，则C ．若，则D ．若，则【答案】A【解析】依据立体几何有关定理及结论，逐个判断即可。
20-21学年安徽省芜湖市高二上学期期末数学复习卷(含答案解析)
20-21学年安徽省芜湖市高二上学期期末数学复习卷一、选择题（本大题共12小题，共36.0分）1.过点(−1,3)且平行于直线x−2y+3=0的直线方程为()A. x−2y=0B. 2x+y−1=0C. x−2y+7=0D. 2x+y−5=02.如果命题“¬(p∧q)”是真命题，则()A. 命题p、q均为假命题B. 命题p、q均为真命题C. 命题p、q中至少有一个是真命题D. 命题p、q中至多有一个是真命题3.圆x2+y2−4x+6y=0的圆心坐标和半径分别为()A. (2,−3)，13B. (2,−3)，√13C. (−2,−3)，13D. (−2,−3)，√134.若三条直线2x+3y+8=0，x−y−1=0和x+ky=0相交于一点，则k=A. −2B. −12C. 2 D. 125.“m=1”是“直线x+my+1=0与直线m2x−y−3=0互相垂直”的()A. 充要条件B. 必要不充分条件C. 充分不必要条件D. 既不充分也不必要条件6.设m，n是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，则()A. 若m⊥n，n//α，则m⊥αB. 若m//β，β⊥α，则m⊥αC. 若m⊥β，n⊥β，n⊥α，则m⊥αD. 若m⊥n，n⊥β，β⊥α，则m⊥α7.圆x2+y2=50与圆x2+y2−12x−6y+40=0的公共弦长为A. √5B. √6C. 2√5D. 2√68.已知空间直角坐标系O—xyz中有一点A(−1,−1,2)，点B是平面xOy内的直线x+y=1上的动点，则A，B两点的最短距离是A. √6B. 3C. √342D. √1729.已知球的半径为5，球心到截面的距离为3，则截面圆的面积为()A. 4πB. 6πC. 9πD. 16π10.某几何体的三视图如图所示，该几何体的表面积是()A. 28B. 24+6√2C. 20+2√13D. 16+6√2+2√1311.长方体ABCD−A1B1C1D1中，异面直线AB，A1D1所成的角等于()A. 30°B. 45°C. 60°D. 90°12.著名数学家华罗庚曾说过：“数形结合百般好，隔裂分家万事休．”事实上，有很多代数问题可以转化为几何问题加以解决，如：√(x−a)2+(y−b)2可以转化为平面上点M(x,y)与点N(a,b)的距离．结合上述观点，可得f(x)=√x2+4x+20+√x2+2x+10的最小值为()A. 2√5B. 5√2C. 4D. 8二、填空题（本大题共5小题，共20.0分）13.设命题p:∃x0∈R,x02>1，则¬p为__________．14.已知圆C的圆心(2,0)，点A(−1,1)在圆C上，则圆C的方程是______ ；以A为切点的圆C的切线方程是______ ．15.直线√3x−y+3=0的倾斜角θ=______．16.已知p：(x−a)2<9，q：log3(x+2)<1.若¬p是¬q的充分不必要条件，则a的取值范围是________．17.我国古代数学名著《数书九章》中有“天池盆测雨”题：在下雨时，用一个圆台形的天池盆接雨水.天池盆盆口直径为二尺八寸，盆底直径为一尺二寸，盆深一尺八寸.若盆中积水深九寸，则平地降雨量是_______寸.(注：①平地降雨量等于盆中积水体积除以盆口面积；②一尺等于十寸③V圆台=13(S上+S下+√S上S下)ℎ)三、解答题（本大题共5小题，共44.0分）18.已知实数x、y满足方程(x−3)2+(y−3)2=6，求x+y的最大值和最小值．19.设直线l的方程为(a+1)x+y+2−a=0(a∈R)．(1)若直线l不经过第二象限，求实数a的取值范围；(2)若直线l与两坐标轴围成的三角形面积等于2，求实数a的值．20.如图：已知四棱锥P−ABCD中，PD⊥平面ABCD，ABCD是正方形，E是PA的中点，求证：(1)PC//平面EBD；(2)BC⊥平面PCD．21.已知圆C：(x+2)2+y2=9及点P(0,1)，过点P的直线与圆交于A，B两点．(1)若弦长|AB|=4√2，求直线AB的斜率；(2)求△ABC面积的最大值，及此时弦长|AB|．22.如图，在四棱锥S−ABCD中，底面ABCD是菱形，∠BAD=60∘，△SAB为等边三角形，G是线段SB上的一点，且平面GAC．(1)求证：G为SB的中点；(2)若F为SC的中点，连接GA，GC，FA，FG，平面SAB⊥平面ABCD，AB=2，求三棱锥F−AGC的体积．-------- 答案与解析 --------1.答案：C解析：解：由平行关系可设要求直线方程为x−2y+c=0，代入点(−1,3)可得−1−2×3+c=0，解得c=7∴所求直线的方程为：x−2y+7=0故选：C．由平行关系设直线方程，代点求系数即可．本题考查直线的一般式方程和平行关系，属基础题．2.答案：D解析：本题考查复合命题的真假，属基础题．可知p∧q是假命题，由复合命题的真假可知：命题p，q中至少有一个是假命题，进而可得答案．解：由题意可知：“¬(p∧q)”是真命题，∴p∧q是假命题，由复合命题的真假可知：命题p，q中至少有一个是假命题，即命题p，q中至多有一个是真命题，故选D．3.答案：B解析：本题主要考查圆的一般方程和标准方程，属于基础题．把所给的圆的一般方程化为标准方程，可得圆心坐标和半径．解：圆：x2+y2−4x+6y=0，即圆：(x−2)2+(y+3)2=13，故圆心坐标和半径分别为(2,−3)，√13，故选B．4.答案：B解析：本题考查两条直线的交点坐标，考查方程思想，属于基础题．通过解方程组可求得其交点，将交点坐标代入x +ky =0，即可求得k 的值．解：依题意{2x +3y +8=0x −y −1=0, 解得{x =−1y =−2,∴两直线2x +3y +8=0和x −y −1=0的交点坐标为(−1,−2)．∵直线x +ky =0，2x +3y +8=0和x −y −1=0交于一点，∴−1−2k =0，∴k =−12． 故选B ．5.答案：C解析：本题主要考查充分条件、必要条件、充要条件的判断，以及两直线垂直的判定，属于基础题． 由两直线垂直的充要条件可得m =1或m =0，所以“m =1”可推出“直线x +my +1=0和直线m 2x −y −3=0互相垂直”反之则不一定成立．解：由两直线垂直的充分必要条件可得：若直线x +my +1=0和直线m 2x −y −3=0互相垂直， 则1×m 2+m ×(−1)=0，解得m =1或m =0．据此可得：“m =1”是“直线x +my +1=0和直线m 2x −y −3=0互相垂直”的充分不必要条件．故选C ．6.答案：C解析：本题主要考查空间直线，平面之间的位置关系的判定，要求熟练掌握相应的判定定理和性质定理．根据空间线线，线面，面面之间的位置关系分别进行判定即可得到结论．解：A.若m⊥n，n//α，则m⊥α或m⊂α或m//α，故A错误．B.若m//β，β⊥α，则m⊥α或m⊂α或m//α，故B错误．C.若m⊥β，n⊥β，则m//n，又n⊥α，则m⊥α，故C正确．D.若m⊥n，n⊥β，β⊥α，则m⊥α或m⊂α或m//α，故D错误．故选：C7.答案：C解析：本题主要考查圆与圆的公共弦问题．解：两圆的公共弦所在直线为2x+y−15=0，圆心(0,0)到直线的距离为d=√22+12=3√5，所以弦长为2√50−(3√5)2=2√5．故选C．8.答案：C解析：本题借助于空间一个定点到平面内定直线上动点的最短距离问题，着考查了空间两点的距离公式和二次函数的最值等知识点，属于基础题．因为点B是xOy平面内的直线x+y=1上的动点，则可设点B(m,1−m,0)，运用空间两点的距离公式，得到A，B两点的距离是√2m2−2m+9，最后用配方的方法，得到当m=12时，被开方数的最小值为172，从而得到A，B两点的最短距离．解：∵点B是xOy平面内的直线x+y=1上的动点，∴可设点B(m,1−m,0)由空间两点之间的距离公式，得|AB|=√(−1−m)2+[−1−(1−m)]2+(2−0)2=√2m2−2m+9，令t=2m2−2m+9=2(m−12)2+172，当m=12时，t的最小值为172，∴当m=12时，|AB|的最小值为√172=√342，即A、B两点的最短距离是√342．故选C．9.答案：D解析：解：由题意知，球的半径为5，球心到截面的距离为3，∴截面圆的半径为4．∴截面圆的面积为π⋅42=16π故选：D．由题意求出截面圆的半径，即可求出截面圆的面积．本题考查截面圆的面积，是基础题，解题时要认真审题，注意球的半径，截面圆的半径，球心到截面圆的距离满足勾股定理．10.答案：B解析：解：由三视图作出原图形如图，∵AC=5，PB=4√2，则三棱锥P−ABC的表面积S=12×4×3+12×4×4+12×3×4√2+12×5×4=24+6√2．故选：B．由三视图画出原几何体，然后求出各面面积作和得答案．本题考查由三视图求原几何体的表面积，关键是由三视图还原原几何体，是基础题．11.答案：D解析：解：∵长方体ABCD−A1B1C1D1中，DA//A1D1，∴AB与AD所成的角即为异面直线AB，A1D1所成的角，在矩形ABCD中易得AB与AD所成的角为90°，故异面直线AB，A1D1所成的角等于90°故选：D．由长方体的特点可得AB与AD所成的角即为异面直线AB，A1D1所成的角，由矩形的性质可求．本题考查异面直线所成的角，属基础题．12.答案：B解析：本题考查两点间的距离公式，考查学生分析解决问题的能力，合理转化是正确解题的关键，属于中档题．f(x)=√(x+2)2+(0−4)2+√(x+1)2+(0+3)2，表示平面上点M(x,0)与点N(−2,4)，H(−1,−3)的距离和，利用两点间的距离公式，即可得出结论．解：f(x)=√x2+4x+20+√x2+2x+10=√(x+2)2+(0−4)2+√(x+1)2+(0+3)2，表示平面上点M(x,0)与点N(−2,4)，H(−1,−3)的距离和，,0)，连接NH，与x轴交于M(x,0)，则M(−107∴f(x)的最小值为√(−2+1)2+(4+3)2=5√2，故选B．13.答案：∀x∈R,x2≤1解析：本题考查命题的否定，特称命题的否定是全称命题.关键是分清否命题与命题的否定的区别．解：∵特称命题的否定为全称命题，故p:∃x0∈R,x02>1的否定为∀x∈R,x2≤1，故答案为∀x∈R,x2≤1．14.答案：(x−2)2+y2=10；y=3x+4解析：根据题意，分析可得圆的半径r=|CA|，结合两点间距离公式计算可得|CA|的值，可得r，由圆的标准方程计算可得答案；由C、A的坐标计算可得直线CA的斜率，又由互相垂直直线的斜率关系，可得切线方程斜率k，结合直线的点斜式方程可得答案．本题考查圆的标准方程，圆的切线方程，关键是掌握圆的标准方程、直线的点斜式方程．解：根据题意，圆C的圆心(2,0)，点A(−1,1)在圆C上，则圆的半径r=|CA|=√[2−(−1)]2+(0−1)2=√10，故圆的方程为(x−2)2+y2=10，又由C(2,0)、A(−1,1)，则K CA=0−12−(−1)=−13，则以A为切点的圆C的切线方程斜率k=−1−13=3，切线过点A，则其方程为y−1=3(x+1)，即y=3x+4．15.答案：π3解析：解：设直线√3x−y+3=0的倾斜角为θ．由直线√3x−y+3=0化为y=√3x−3，∴tanθ=√3，∵θ∈[0,π)，∴θ=π3．故答案为π3．设直线√3x−y+3=0的倾斜角为θ.由直线√3x−y+3=0化为y=√3x−3，可得tanθ=√3，即可得出．本题考查了直线的斜率与倾斜角的关系，属于基础题．16.答案：[−2,1]解析：本题主要考查充分条件和必要条件的应用，求出命题p ，q 的等价条件是解决本题的关键． 求出p ，q 的等价条件，结合充分条件和必要条件的定义进行转化求解即可．解：由(x −a)2<9得−3<x −a <3，得a −3<x <a +3，由log 3(x +2)<1得0<x +2<3，即−2<x <1，∵￢p 是￢q 的充分不必要条件，∴q 是p 的充分不必要条件，则{a +3≤−2a +3≥1，得{a ≤1a ≥−2，即−2≤a ≤1， 即实数a 的取值范围是[−2,1]，故答案为：[−2,1]17.答案：3解析：本题主要考查空间线面关系、几何体的体积等知识，考查数形结合、化归与转化的数学思想方法，以及空间想象能力、推理论证能力和运算求解能力，是基础题．由题意得到盆中水面的半径，利用圆台的体积公式求出水的体积，用水的体积除以盆的上地面面积即可得到答案．解：如图，由题意可知，天池盆上底面半径为14寸，下底面半径为6寸，高为18寸．因为积水深9寸，所以水面半径为12×(14+6)=10寸．则盆中水的体积为13π×9(62+102+6×10)=588π(立方寸)．所以则平地降雨量等于588ππ×142=3(寸)．故答案为3．18.答案：解：设x +y =t ，则直线y =−x +t 与圆(x −3)2+(y −3)2=6有公共点，∴√2≤√6，∴6−2√3≤t ≤6+2√3，则x +y 最小值为6−2√3，最大值为6+2√3．解析：设x +y =t ，可得出直线y =−x +t 与圆有公共点，即圆心到直线的距离小于等于圆的半径，利用点到直线的距离公式列出不等式，求出不等式的解集得到t 的范围，求出t 的最大值与最小值，即为x +y 的最大值与最小值．此题考查了直线与圆的位置关系，直线与圆的位置关系由d 与r 来判断：当d >r 时，直线与圆相离；当d =r 时，直线与圆相切；当d <r 时，直线与圆相交(d 为圆心到直线的距离，r 为圆的半径)． 19.答案：解：(1)直线l 的方程(a +1)x +y +2−a =0化为y =−(a +1)x +a −2．∵直线l 不经过第二象限，∴{−(a +1)≥0a −2≤0，解得a ≤−1． ∴实数a 的取值范围是a ≤−1，(2)当x =0时，y =a −2，y =0时，x =a−2a+1，∴12|(a −2)⋅a−2a+1|=2，解得a =0或a =8．解析：8(1)直线l 不经过第二象限，得到{−(a +1)≥0a −2≤0，解得即可； (2)当x =0时，y =a −2，y =0时，x =a−2a+1，根据三角形的面积公式得到12|(a −2)⋅a−2a+1|=2，解得即可．本题考查了直线方程、直线的斜率与截距的意义，考查了推理能力与计算能力，属于基础题20.答案：证明：(1)连BD，与AC交于O，连接EO，∵ABCD是正方形，∴O是AC的中点，∵E是PA的中点，∴EO//PC，又∵EO⊂平面EBD，PC⊄平面EBD，∴PC//平面EBD；(2)∵PD⊥平面ABCD，BC⊂平面ABCD，∴BC⊥PD，∵ABCD是正方形，∴BC⊥CD，又∵PD∩CD=D，PD⊂平面PCD，CD⊂平面PCD，∴BC⊥平面PCD．解析：本题考查线面平行、线面垂直的判定，掌握线面平行、线面垂直的判定方法是关键．(1)连BD，与AC交于O，利用三角形的中位线，可得线线平行，从而可得线面平行；(2)证明BC⊥PD，BC⊥CD，即可证明BC⊥平面PCD．21.答案：解：(1)当直线AB垂直于x轴时，不合题意；当直线AB斜率存在时，设直线方程为y=kx+1，即kx−y+1=0．圆心(−2,0)到直线的距离d=2，则|AB|=2√9−(1−2k)2k2+1=4√2，即k=0或k=43；(2)当直线AB垂直于x轴时，直线方程为x=0，与圆C：(x+2)2+y2=9联立，可得|AB|=2√5，S△ABC=12×2√5×2=2√5；当直线AB斜率存在时，S=12×2√9−(1−2k)2k2+1×√k2+1=√9−(√k2+1)2×√k2+1．令√k2+1=t(t≥0)，则S =√(9−t 2)⋅t 2≤9−t 2+t 22=92． 当且仅当t 2=92，即(1−2k)2k 2+1=92，即k =−1或k =7． 此时弦长|AB|=2√9−92=3√2．解析：(1)当直线AB 垂直于x 轴时，不合题意；当直线AB 斜率存在时，设直线方程为y =kx +1，即kx −y +1=0.利用点到直线距离公式求出圆心到直线的距离，再由弦长公式求解；(2)当直线AB 垂直于x 轴时，直线方程为x =0，求出△ABC 面积；当直线斜率存在时，写出三角形面积，换元后了由基本不等式求最值，从而可得△ABC 面积的最大值，并求此时弦长|AB|．本题考查直线与圆位置关系的应用，考查分类讨论的数学思想方法，考查计算能力，是中档题． 22.答案：解：(1)证明：如图，连接BD 交AC 于点E ，则E为BD 的中点，连接GE ，∵SD//平面GAC ，平面SDB ∩平面GAC =GE ，SD ⊂平面SBD ，∴SD//GE ，而E 为BD 的中点，∴G 为SB 的中点．(2)解：∵F ，G 分别为SC ，SB 的中点，=14V 三棱锥C−ABS =14V 三棱锥S−ABC =18V 四棱锥S−ABCD ． 取AB 的中点H ，连接SH ，∵△SAB 为等边三角形，∴SH ⊥AB ，又平面SAB ⊥平面ABCD ，平面SAB ∩平面ABCD =AB ，SH ⊂平面SAB ，∴SH ⊥平面ABCD ，而SH =√3，，，∴V 三棱锥F−AGC =18V 四棱锥S−ABCD =14．解析：本题考查直线与平面平行的判定定理的应用，几何体的体积的求法，考查空间想象能力、转化思想以及计算能力．(1)连接BD 交AC 于点E ，则E 为BD 的中点，连接GE ，证明SD//GE ，然后得到G 为SB 的中点．(2)F，G分别为SC，SB的中点，通过V三棱锥F−AGC =12V三棱锥S−AGC=12V三棱锥C−AGS=14V三棱锥C−ABS=1 4V三棱锥S−ABC=18V四棱锥S−ABCD.取AB的中点H，连接SH，转化求解几何体的体积即可．。
安徽省芜湖市2020-2021学年高二上学期期末理科数学试题及答案
安徽省芜湖市2020-2021学年高二上学期期末理科数学试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．以下不属于公理的是（ ）A ．如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线在此平面内B ．过不在一条直线上的三点，有且只有一个平面C ．空间中如果两个角的两边分别对应平行，那么这两个角相等或互补D ．平行于同一条直线的两条直线平行 【答案】C 【分析】利用平面的公理直接判断求解． 【详解】解：在A 中，由公理一知：如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线在此平面内，故A 是公理；在B 中，由公理二得，过不在一条直线上的三点，有且只有一个平面，故B 正确；在C 中，由等角定理知：空间中如果两个角的两边分别对应平行，那么这两个角相等或互补，故C 是定理，不是公理；在D 中，由平行公理得：平行于同一条直线的两条直线互相平行，故D 是公理； 故选：C2．伟人毛泽东的《清平乐•六盘山》传颂至今，“天高云淡，望断南飞雁.不到长城非好汉，屈指行程二万，六盘山上高峰，红旗漫卷西风，今日长缨在手，何时缚住苍龙？”现在许多人前往长城游玩时，经常会用“不到长城非好汉”来勉励自己，由此推断，“到长城”是“为好汉”的（ ） A ．充分条件 B ．必要条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件【答案】B 【分析】根据充分条件和必要条件的定义进行判断即可． 【详解】解：设p ⌝为不到长城，推出q ⌝非好汉，即p q ⌝⇒⌝，则q p ⇒，即好汉⇒到长城， 故“到长城”是“好汉”的必要条件， 故选：B ．3．设m ，n 是两条不同的直线，α表示平面，下列说法正确的是（ ） A ．若m //α，n ⊂α，则m //n B ．若m //α，m ⊥n ，则n ⊥α C ．若m ⊥α，m ⊥n ，则n //α D ．若m ⊥α，n //α，则m ⊥n【答案】D 【分析】根据线面关系的性质依次判断即可. 【详解】对于A ，若m //α，n ⊂α，则m //n 或,m n 异面，故A 错误；对于B ，若m //α，m ⊥n ，则n 与α相交、平行或n 在α内，故B 错误； 对于C ，若m ⊥α，m ⊥n ，则n //α或n 在α内，故C 错误； 对于D ，若m ⊥α，n //α，则m ⊥n ，故D 正确. 故选：D.4．已知命题:p x R ∀∈，2104x x -+，则p ⌝（ ）A ．21,04x x x ∃∈-+R B ．21,04x x x ∃∈-+>R C ．21,04x x x ∀∈-+>R D ．21,04x x x ∀∈-+<R 【答案】B 【分析】根据全称命题的否定直接写出答案. 【详解】命题p 为全称命题，根据全称命题的否定为特称命题，可得：p ⌝： 21,04x x x ∃∈-+>R故选：B 点评全称量词命题的否定是特称（存在）量词命题，特称（存在）量词命题的否定是全称量词命题．5．如果直线l 上任意一点沿y 轴向下平移1个单位，再沿x个单位后，仍在直线l 上，那么直线l 的倾斜角为（ ） A ．6π B ．3π C ．56π D ．23π 【答案】C 【分析】设直线l 的方程为y kx b =+，倾斜角为α，根据平移，得到1y kx b =-+-，结合两直线重合，求得k =，得到tan α=，即可求解. 【详解】设直线l 的方程为y kx b =+，倾斜角为α，将直线l 上任意一点沿y 轴向下平移1个单位，再沿x个单位后，可得(1y k x b =+-，即1y kx b =+-，因为两直线重合，可得1b b +-=，解得k =，则tan 3α=-，且[0,)απ∈，所以56πα=. 故选：C.6．高为(,)m n m n <的两圆柱体枳分别为V m 和V n ，其侧面面积相等，则V m 与V n 的大小关系是（ ） A ．m n V V > B ．m n V V =C ．m n V V <D ．不确定【答案】A 【分析】根据体积公式表示底面半径，再由侧面积相等列等式化简得1m n V nV m=>，从而可判断. 【详解】设高为(,)m n m n <的两圆柱的底面半径分别为,m n r r ，所以22,m m n n r m V r n V ππ==，所以m n r r ==根据侧面积相等可得：2222m n r m r n πππ=⇒=， 整理得1m n V nV m=>，所以m n V V >. 故选：A.7．已知双曲线22:149x y C -=-，1F ，2F 分別是双曲线C 的两个焦点.点P 在双曲线C 上，且17PF =，则2PF 等于（ ）A ．11B ．3或11C ．13D ．1或13【答案】D 【分析】根据双曲线的定义，得到126PF PF -=，由题中条件，即可求出结果. 【详解】因为1F ，2F 分別是双曲线22:194y x C -=的两个焦点，点P 在双曲线C 上，所以1226PF PF a -==，又17PF =，所以276PF -=，解得21PF =或13. 故选：D. 8．若“,33x ππ⎡⎤∃∈-⎢⎥⎣⎦，tan x m <”是假命题，则实数m 的最大值为（ ） AB．CD．【答案】B 【分析】将存在性命题进行否定，得全称命题为真，从而由tan tan()3x π≥-=m ≤.【详解】若“,33x ππ⎡⎤∃∈-⎢⎥⎣⎦，tan x m <”是假命题， 则“,33ππ⎡⎤∀∈-⎢⎥⎣⎦x ，tan x m ≥”是真命题，因为,33ππ⎡⎤∀∈-⎢⎥⎣⎦x，tan tan()3x π≥-=m ≤.故选：B.9．已知四棱锥P ABCD -的侧棱长与底面边长都相等，点M 是PB 的中点，则异面直线AM 与PD 所成角的余弦值为（ ）A ．23BC．3D ．13【答案】B 【分析】连接AC 、BD ，设AC 与BD 的交点为O ，连接MO ，则AMO ∠为AM 与PD 所成的角或其补角；再由题中条件，设该四棱锥的棱长为a ，由余弦定理求出AMO ∠，即可得出结果. 【详解】连接AC 、BD ，设AC 与BD 的交点为O ，连接MO ， 则AMO ∠为AM 与PD 所成的角或其补角；因为四棱锥P ABCD -的侧棱长与底面边长都相等，所以该四棱锥为正四棱锥，设该四棱锥的棱长为a，则2AMa =，12MO a =，2OA a =，所以2222221222cos 2a a a AM OA MO AMO AM OA ⎛⎫⎛⎫⎛⎫+- ⎪ ⎪ ⎪+-∠===⋅⎝⎭⎝⎭. 故选：B. 点评思路点睛：平移线段法是求异面直线所成角的常用方法，其基本思路是通过平移直线，把异面直线的问题化归为共面直线问题来解决，具体步骤如下：（1）平移：平移异面直线中的一条或两条，作出异面直线所成的角； （2）认定：证明作出的角就是所求异面直线所成的角； （3）计算：求该角的值，常利用解三角形； （4）取舍：由异面直线所成的角的取值范围是0,2π⎛⎤⎥⎝⎦，当所作的角为钝角时，应取它的补角作为两条异面直线所成的角．10．在平面直角坐标系xOy 中，圆O 的方程为224x y +=，直线l 的方程为()2y k x =+，若在圆O 上至少存在三点到直线l 的距离为1，则实数k 的取值范围是（ ） A．⎡⎢⎣⎦B．⎡⎢⎣⎦C ．11,22⎡⎤-⎢⎥⎣⎦D ．10,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦【答案】B 【解析】根据直线与圆的位置关系可知，若圆O ：224x y +=上至少存在三点到直线l ：()2y k x =+的距离为1，则圆心()0,0到直线20kx y k -+=的距离d 应满足1d ≤，1≤，解得：213k ≤，即k ≤≤B. 方法点睛：当圆上有三个点到直线l 的距离等于1时，则直线l 过半径中点，且垂直于半径，向圆心方向平移直线l ，显然圆上到直线l 距离为1的点有4个，符合题意，此时圆心到直线l 距离小于12r ，可以根据点到直线距离公式求解参数取值范围. 11．两圆2221:240()C x y ax a a R +++-=∈与2222:210()C x y by b b R +--+=∈只有一条公切线，则+a b 的最小值为( ) A ．1 BC．D ．2-【答案】C 【分析】由两圆的标准方程，求得圆心坐标和半径，再由题意可知两圆相内切，求得221a b +=，利用基本不等式即可求解a b +的最小值，得到答案. 【详解】由题意可知两圆相内切，又由两圆的标准方程为()()222212:4,:1C x a y C x x b ++=+-=， 可的圆心分别为()()12,0,0,C a C b -，半径分别为2和1，211=-=，所以221a b +=，又由()22222212a b a b ab a b +=++≤++=，当且仅当a b =时等号成立，所以a b ≤+≤a b +的最小值为，故选C.点评本题主要考查了两圆的位置关系的应用，以及利用基本不等式求最值，其中解答中根据两圆的位置关系，求得221a b +=是解答本题的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于基础题. 12．光线从椭圆的一个焦点发出，被椭圆反射后会经过椭圆的另一个焦点；光线从双曲线的一个焦点发出，被双曲线反射后的反射光线等效于从另一个焦点射出，如图①，一个光学装置由有公共焦点1F 、2F 的椭圆Γ与双曲线Ω构成，现一光线从左焦点1F 发出，依次经Ω与Γ反射，又回到了点1F ，历时1t 秒；若将装置中的Ω去掉，如图②，此光线从点1F 发出，经Γ两次反射后又回到了点1F ，历时2t 秒；若218t t =，则Γ与Ω的离心率之比为（ ）A ．3:4B ．2:3C ．1:2D ．1:【答案】A 【分析】设122F F c =，设椭圆Γ的长轴长为12a ，双曲线Ω的实轴长为22a ，设光速为v ，推导出112a vt =，利用椭圆和双曲线的定义可得出1243a a =，由此可计算得出Γ与Ω的离心率之比. 【详解】设122F F c =，设椭圆Γ的长轴长为12a ，双曲线Ω的实轴长为22a ，在图②中，1CDF 的周长为111212124CF DF CD CF CF DF DF a vt ++=+++==， 所以，1148a vt =，可得112a vt =，在图①中，由双曲线的定义可得2122AF AF a -=，由椭圆的定义可得1212BF BF a +=，22AF BF AB =-，则2121111222AF AF BF AB AF a BF AB AF a -=--=---=，即()111222a AB AF BF a -++=，由题意可知，1ABF 的周长为111AB AF BF vt ++=，即112111322222a a a a vt a =-=-=， 所以，1243a a =. 因此，Γ与Ω的离心率之比为122112:::3:4c ce e a a a a ===. 故选：A. 点评方法点睛：求解椭圆或双曲线的离心率的方法如下：（1）定义法：通过已知条件列出方程组，求得a 、c 的值，根据离心率的定义求解离心率e 的值； （2）齐次式法：由已知条件得出关于a 、c 的齐次方程，然后转化为关于e 的方程求解； （3）特殊值法：通过取特殊位置或特殊值，求得离心率.二、填空题13．若直线(2)(1)30a x a y ++--=与(1)(23)20a x a y -+++=互相垂直，则a 为________ 【答案】±1 【分析】根据两条直线垂直的充要条件可得：（a+2）（a ﹣1）+（1﹣a ）（2a+3）=0，从而可求a 的值 【详解】∵直线（a+2）x+（1﹣a ）y ﹣3=0与（a ﹣1）x+（2a+3）y+2=0互相垂直∴（a+2）（a ﹣1）+（1﹣a ）（2a+3）=0 ∴（a ﹣1）（a+2﹣2a ﹣3）=0 ∴（a ﹣1）（a+1）=0 ∴a=1，或a=﹣1 故答案为：1±． 点评本题以直线为载体，考查两条直线的垂直关系，解题的关键是利用两条直线垂直的充要条件．14．双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的一条渐近线与直线210x y +-=平行，则双曲线的离心率为___________.【分析】由双曲线的一条渐近线与直线210x y +-=平行，求得12b a =，进而求得双曲线的离心率，得到答案. 【详解】由题意，双曲线22221(0,0)x y a b a b -=>>的渐近线方程为b y x a=±，因为双曲线的一条渐近线与直线210x y +-=平行，可得12b a -=-，即12b a =，则2c e a ===.. 点评本题主要考查了双曲线的标准方程及其几何性质的应用，其中解答中熟记双曲线的几何性质是解答的关键，着重考查运算与求解能力.15．在三棱锥O-ABC 中，OA ､OB ､OC 两两垂直，3OA =，4OB =，5OC =，D 是AB 的中点，则CD 与平面OAB 所成的角的正切值为___________. 【答案】2 【分析】由已知建立空间直角坐标系，求出CD 的坐标和平面OAB 的法向量，由数量积公式可得CD 与平面OAB 所成的角的正弦值，再由三角函数平方关系和商数关系可得答案. 【详解】因为OC OA OB 、、两两垂直， 所以以O 为原点，OA OB OC 、、分别为x y 、、z 轴的正半轴建立如图所示空间直角坐标系，连接CD ，所以()3,0,0A ，()0,4,0B ，()0,0,5C ，3,2,02D ⎛⎫ ⎪⎝⎭，3,2,52CD ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，由于CO ⊥底面OAB ，所以CO 是底面OAB 的法向量，且()0,0,5CO =-，设CD 与平面OAB 所成的角为0,2πθθ⎛⎫⎡⎤∈ ⎪⎢⎥⎣⎦⎝⎭，所以sin cos ,5CO CD CO CDCO CDθ⋅====⋅⨯所以cos θ==，所以sin tan 2cos θθθ==. 即CD 与平面OAB 所成的角正切值为2. 故答案为：2.点评本题考查了线面角的求法，解题关键点是建立空间直角坐标系利用向量的数量积公式求解，考查了学生的空间想象力和计算能力.16．张衡(78年~139年)是中国东汉时期伟大的天文学家､文学家､数学家､地理学家，他的数学著作有《算罔论》，他曾经得出结论：圆周率的平方除以十六等于八分之五，已知正方体的外接球与内切球上各有一个动点A ，B ，若线段AB 1，利用张衡的结论可得该正方体的内切球的表面积为___________. 【答案】【分析】设正方体的棱长为a ，正方体的内切球半径为2a r =，正方体的外接球半径R =，再由已知条件和球的表面积公式可得答案． 【详解】设正方体的棱长为a ，正方体的内切球半径为2a r =，正方体的外接球半径R 满足：22222a R a ⎛⎫⎛⎫=+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则2R a =.由题意知：122aR r a -=-=，则2a =，R ， 该正方体的内切球的表面积为4π，又因为圆周率的平方除以十六等于八分之五，即25168π=，所以π=所以内切球的表面积为故答案为：点评关键点点睛：本题考查正方体的外接球和内切球问题，考查空间几何新定义，解决本题的关键点是利用正方体的外接球半径，内切球半径和正方体面对角线的一半组成勾股定理，得出正方体内切球半径，进而得出表面积，考查学生空间想象能力和计算能力，属于中档题．17．已知点(1,3)C -，直线CA 与x 轴交于点A ，过点C 且与直线CA 垂直的直线CB 与y 轴交于B 点，M 为线段AB 的中点，则点M 的轨迹方程为___________. 【答案】350x y -+= 【分析】分析在直角三角形ACB 中，1=2MC AB ,直角三角形AOB 中，1=2MO AB ，从而可得MO MC =，进而得点M 的轨迹为线段OC 的垂直平分线，从而得解. 【详解】如图所示，CA CB ⊥，所以在直角三角形ACB 中，1=2MC AB , 又在直角三角形AOB 中，1=2MO AB ， 所以MO MC =,点M 的轨迹为线段OC 的垂直平分线，(1,3),(0,0),3CO C O k -=-，中点为13(,)22-，所以垂直平分线方程为：311()232y x -=+，整理得：350x y -+=.故答案为：350x y -+=.三、解答题18．已知命题p ：c 2＜c ，和命题q ：∀x ∈R ，x 2+4cx+1＞0且p ∨q 为真，p ∧q 为假，求实数c 的取值范围．【答案】[，1）∪（﹣，0] 【解析】试题分析：先化简两个命题，当p 是真命题，且q 是假命题时，求得实数c 的取值范围；当p 是假命题，且q 是真命题时，求得实数c 的取值范围．再把这两个实数c 的取值范围取并集，即得所求． 解：由命题p 为真命题，可得c 2＜c ，解得 0＜c ＜1． 由命题q 为真命题，可得△=16c 2﹣4＜0，解得﹣＜c ＜．∵p Ⅴq 为真，p ∧q 为假，故p 和 q 一个为真命题，另一个为假命题． 若p 是真命题，且q 是假命题，可得 ≤c ＜1． 若p 是假命题，且q 是真命题，可得﹣＜c≤0．综上可得，所求的实数c 的取值范围为[，1）∪（﹣，0]． 考点：复合命题的真假．19．如图，ABC 是边长为2的正三角形，ABD △是以AB 为斜边的等腰直角三角形，且2CD =.（1）求证：平面ABC ⊥平面ABD ； （2）求二面角A-BC-D 的余弦值.【答案】（1）证明见解析；（2）7. 【分析】（1）取AB 中点O ，连OC ､OD ，即可得到COD ∠是二面角C AB D --的平面角，再由勾股定理逆定理得到222OC OD CD +=，即可得到二面角是直二面角，即可得证；（2）过O 作OM ⊥BC 交BC 于M ，连DM ，即可证明BC ⊥平面DOM ，从而得到ODM ∠为二面角A-BC-D 的平面角，再利用锐角三角函数计算可得； 【详解】（1）证明：取AB 中点O ，连OC ､OD ，因为ABC 是边长为2的正三角形，ABD △是以AB 为斜边的等腰直角三角形， 所以OC AB ⊥，⊥OD AB ，所以COD ∠是二面角C AB D --的平面角. 在OCD 中，因为OC =1OD =，2CD =，所以222OC OD CD +=所以90COD ∠=︒. 所以平面ABC ⊥平面ABD .（2）过O 作OM ⊥BC 交BC 于M ，连DM ，由（1）可知DO ⊥面ABC ，又BC ⊂面ABC ，所以BC DO ⊥，由OM DO O =，,OM DO ⊂面DOM所以BC ⊥平面DOM因为DM ⊂面DOM ，所以BC ⊥DM ， 则ODM ∠为二面角A-BC-D 的平面角.在Rt OMD 中，1OD =，OM =DM ，∴二面角A-BC-D 的余弦值为cos 7OM OMD DM ∠==.点评本题考查了立体几何中的面面垂直的判定和二面角的求解问题，意在考查学生的空间想象能力和逻辑推理能力；解答本题关键在于能利用直线与直线、直线与平面、平面与平面关系的相互转化，通过严密推理，同时对于立体几何中角的计算问题，往往可以利用空间向量法，通过求解平面的法向量，利用向量的夹角公式求解.20．已知以点P 为圆心的圆经过点A （－1，0）和B （3，4），线段AB 的垂直平分线交圆P 于点C 和D ，且|CD |＝. （1）求直线CD 的方程； （2）求圆P 的方程.【答案】（1）x ＋y －3＝0（2）圆P 的方程为（x ＋3）2＋（y －6）2＝40或（x －5）2＋（y ＋2）2＝40 【分析】（1）求出AB 中点坐标和直线CD 的斜率，即得直线CD 的方程；（2）设圆心P （a ，b ），求出,a b 的值，即得圆P 的方程. 【详解】（1）由题意知，直线AB 的斜率k ＝1，中点坐标为（1，2）. 所以1CD k =-.则直线CD 的方程为y －2＝－（x －1）， 所以直线CD 的方程为x ＋y －3＝0.（2）设圆心P （a ，b ），则由点P 在CD 上得a ＋b －3＝0.①又因为直径|CD |＝，所以|P A |＝， 所以（a ＋1）2＋b 2＝40.② 由①②解得36a b =-⎧⎨=⎩或52a b =⎧⎨=-⎩ 所以圆心P （－3，6）或P （5，－2）.所以圆P 的方程为（x ＋3）2＋（y －6）2＝40或（x －5）2＋（y ＋2）2＝40. 点评本题主要考查直线和圆的方程的求法，考查直线和圆的位置关系的求法，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.21．如图，在三棱柱111ABC A B C -中，1AA ⊥底面ABC ，AB AC ⊥，且11AC AA ==，满足2CE EB =，113CF C C =-.（1）证明：1EF A C ⊥.（2）若G 为侧面11ACC A 上一动点，且EG //平面1BAC ，求点G 在侧面11ACC A 上运动的轨迹长度.【答案】（1）证明见解析；（2）3. 【分析】（1）先证1A C ⊥面1ABC ，可得11A C BC ⊥，由2CE EB =，113CF C C =-可知，E 、F 分别是棱BC ､1CC 上靠近点C 的三等分点，可得1//EF BC ，最后得出1EF A C ⊥； （2）由面//GEF 面1ABC 可得//AB GE ，再由E 是棱BC 上靠近点C 的三等分点，易得G 是线段AC 上靠近点C 的三等分点，进而可得1//GF AC ，且113GF AC ==即点G 在侧面1ACC A 上的运动轨迹长为3. 【详解】（1）在三棱柱111ABC A B C -中，1AC AA =， ∴ 侧面11A ACC 是正方形， ∴ 11A C AC ⊥， ∵ 1AA ⊥底面ABC ，∴ 1AB AA ⊥，又AB AC ⊥，1AC AA A =∩， ∴ AB ⊥面1AA C ，1AB A C ∴⊥，∵ 1AB AC A ⋂=，1A C ∴⊥面1ABC ， 11AC BC ∴⊥， 由2CE EB =，113CF C C =-可知，E 、F 分别是棱BC ､1CC 上靠近点C 的三等分点， ∴ 1//EF BC ，∴ 1EF A C ⊥；（2）∵ 面//GEF 面1ABC ，面ABC 面GEF GE =，面ABC 面1ABC AB =，∴ //AB GE ，∵ 在ABC 中，E 是棱BC 上靠近点C 的三等分点， ∴ G 是线段AC 上靠近点C 的三等分点，∴ 1//GF AC ，且1133GF AC ==，∴ 点G 在侧面1ACC A 上的运动轨迹长为3. 点评方法点睛：证明线线垂直常用的方法：1.由线面垂直证线线垂直；2.勾股定理；3.向量法. 22．已知椭圆的中心在坐标原点O ，焦点在x 轴上，短轴长为2，且两个焦点和短轴的两个端点恰为一个正方形的顶点.过右焦点F 与x 轴不垂直的直线l 交椭圆于P ，Q 两点. （1）求椭圆的方程；（2）当直线l 的斜率为2时，求POQ △的面积；（3）在线段OF 上是否存在点M (m ，0)，使得MPQ 为等腰三角形？若存在，求出m 的取值范围；若不存在，请说明理由.【答案】（1）2212x y +=；（2）9；（3）存在102m <<，理由见解析.【分析】（1）设椭圆方程为22221(0)x y a b a b+=>>，根据题意得1b c ==，即可求出a ，从而求出椭圆方程；（2）根据题意得直线l 的方程为2(1)y x =-，设()11,P x y ，()22,Q x y ，联立直线与椭圆方程，消元、列出韦达定理，即可求出弦PQ ，再利用点到直线的距离公式求出高，即可取出面积； （3）假设在线段OF 上存在点(,0)(01)M m m <<，使得以MPQ 为等腰三角形，联立直线与椭圆，分别计算即可判断； 【详解】解：（1）设椭圆方程为22221(0)x y a b a b+=>>，根据题意得1b c ==，所以2222a b c =+=，所以椭圆的方程为2212x y +=.（2）根据题意得直线l 的方程为2(1)y x =-，即220x y --=，与2212x y +=联立，得：291660x x -+=设()11,P x y ，()22,Q x y ，则12169x x +=，1223x x ⋅=.所以12|9PQ x x =-=O 到l 的距离为d =，所以 91122 59ABC PQ d S ===⨯△. （3）存在，102m <<. 假设在线段OF 上存在点(,0)(01)M m m <<，使得以MPQ 为等腰三角形，若直线l 与x 轴不垂直，直线l 的斜率存在，可设直线l 的方程为(1)(0)y k x k =-≠，设()11,P x y ，()22,Q x y ，则()11,MP x m y =-，()22,MQ x m y =-， 由22(1)12y k x x y =-⎧⎪⎨+=⎪⎩得2222)202142(-=+-+x k x k k ，所以2122421k x x k ，21222221k x x k -⋅=+. ①当||||MP MQ =时设PQ 的中点为N ，则2222,2121k k N k k ⎛⎫- ⎪++⎝⎭，又1MN k k ⋅=-， 所以22211212k m k k ==++，所以102m <<. ②|||PQ MP ≠，|||MQ PQ ≠∣.∵()12224||212k PQ a e x x k =-+==+MP ==>>∴不可能|||PQ MP =.同理，根据椭圆对称性，也不可能||||MQ PQ =. 所以当102m <<时MPQ 为等腰三角形； 点评(1)解答直线与椭圆的题目时，时常把两个曲线的方程联立，消去x (或y )建立一元二次方程，然后借助根与系数的关系，并结合题设条件建立有关参变量的等量关系．(2)涉及到直线方程的设法时，务必考虑全面，不要忽略直线斜率为0或不存在等特殊情形．。
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芜湖一中2014—2015学年第一学期期末考试高二数学（文科）试卷一、选择题（每题3分，共30分，答案写在答题卷上） 1．下列命题中正确的命题的是A ．平行于同一平面的两条直线平行B ．与同一平面成等角的两条直线平行C ．垂直于同一平面的两条直线平行D ．垂直于同一直线的两条直线平行 2．已知点(,1,2)A x 和点(2,3,4)B，且AB =则实数x 的值是A ．3-或4B ．6-或2C ．3或4-D ．6或2-3．过点(4,1)P -且与直线3460x y -+=垂直的直线方程是A ．43130x y +-=B ．43190x y --=C ．34160x y --=D ．3480x y +-=4．一个正方体的所有顶点都在同一球面上,若球的体积是43π,则正方体的表面积是 A ．8 B ．6 C ．4 D ．3 5．在正三棱柱111ABC A B C -中，1AA AB =，则1AC 与平面11BBC C 所成的角的正弦值为 A ．22 B ．515 C ．46 D ．366．圆222430x x y y +++-=上到直线10x y ++=A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个7．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为A ．54B ．60C ．66D ．728．如图:直三棱柱'''ABC A B C -的体积为V ，点P 、Q 分别在侧棱'AA 和'CC 上，'AP C Q =，则四棱锥B APQC -的体积为 A ．5V B ．4V C ．3V D ．2VQPC'B'A'CBA9．在平面直角坐标系中，A ，B 分别是x 轴和y 轴上的动点，若以AB 为直径的圆C 与直线240x y +-= 相切，则圆C 面积的最小值为A ．45π B ．34π C．(6π- D ．54π10．已知点,,P A B 共面，且2,2,AB PA PB ==若记P 到AB 中点O 的距离的最大值为1d ，最小值为2d ，则12d d -的值是A ．73B ．103C ．3D ．83二、填空题（每题4分，共20分，答案写在答题卷上）11．一个圆柱和一个圆锥的底面直径和它们的高都与某一个球的直径相等，这时圆柱、圆锥、球的体积之比为 ．（11题图） （13题图）12．已知直线220x y k -+=与两坐标轴所围成的三角形的面积不大于1，则实数k 的取值范围是___________．13．如图，已知可行域为ABC ∆及其内部，若目标函数z kx y =+当且仅当在点B 处取得最大值，则k 的取值范围是 ． 14．如图，正方体1111ABCD A B C D -，则下列四个命题： ①P 在直线1BC 上运动时，三棱锥1A D PC -的体积不变；②P 在直线1BC 上运动时，直线AP 与平面1ACD 所成角的大小不变； ③P 在直线1BC 上运动时，二面角1P AD C --的大小不变；④M 是平面1111A B C D 上到点D 和1C 距离相等的点，则M 点的轨迹是过1D 点的直线． 其中正确的命题是 ．15．设m R ∈，过定点A 的动直线0x my +=和过定点B 的动直线30mx y m --+=交于点(,)P x y ，则PA PB ⋅的最大值是________．三、解答题（6题，共50分，答案写在答题卷上）16．（本题8分）求经过直线1:3450L x y +-=与直线2:2380L x y -+=的交点M ，且满足下列条件的直线方程．（1）与直线250x y ++=平行； （2）与圆22(2)4x y -+=相切．17．（本题8分）已知方程04222=+--+m y x y x . （1）若此方程表示圆，求m 的取值范围；（2）若（1）中的圆与直线042=-+y x 相交于M ，N 两点，且OM ON ⊥（O 为坐标原点）求m的值．18．（本题8分）如图所示，在四棱锥P －ABCD 中，PD ⊥平面ABCD ，PD ＝DC ＝BC ＝1，AB ＝2，AB ∥DC ，∠BCD＝90°.（1）求证：PC ⊥BC ；（2）求点A 到平面PBC 的距离．19．（本题8分）如图，在直三棱柱111ABC A B C -中，12CC CA ==，AB BC =，D 是1BC 上一点，CD ⊥ 平面1ABC ．（1）求证：AB ⊥平面11BCC B ； （2）求异面直线1AC 与BC 所成的角．20．（本题9分）在如图所示的四棱锥P ABCD -中，已知PA ⊥面ABCD ，//AB DC ，90DAB ∠=，1,2PA AD DC AB ====，M 为PB 的中点．（1）求证：MC ∥平面PAD ；（2）求直线MC 与平面PAC 所成角的余弦值； （3）求二面角A PB C --的平面角的正切值．21．（本题9分）如图所示，已知直线l ：y ＝x ，圆C 1的圆心为点(3，0)，且经过点A (4，1)． (1)求圆C 1的方程；(2)若圆C 2与圆C 1关于直线l 对称，点B 、D 分别为圆C 1、C 2上任意一点，求|BD |的最小值；(3)已知直线l 上一点M 在第一象限，点P 、Q 同时从原点出发，点P 以每秒1个单位的速度沿x 轴正方向运动，点Q 以每秒22个单位的速度沿射线OM 方向运动，设运动时二、填空题（每题4分，共20分）DA1CBC1A1B11． 3：1：2 12． 110k k -≤≤≠且 13． 122k -<< 14． ①③④ 15． 5 三、解答题（共50分） 16．（8分） 解：⎩⎨⎧-=-=+832543y x y x 解得⎩⎨⎧=-=21y x ，所以交点（-1，2）--------2分（1）直线方程为02=+y x --------4分 （2）直线方程为2=y -----6分和122(1)5y x -=-+------8分 17．（8分）解：（1）由D 2+E 2-4F=4+16-4m =20-4m >0，得m <5．--------3分 （2）设M(x 1,y 1),N(x 2,y 2)，由OM ⊥ON 得x 1x 2+ y 1y 2=0。
将直线方程x +2y -4=0与曲线C ：x 2+y 2-2x -4y +m =0联立并消去y 得5x 2-8x +4m -16=0，由韦达定理得x 1+x 2=58①,x 1x 2=5164-m ②， 又由x +2y -4=0得y =21(4-x ), ∴x 1x 2+y 1y 2=x 1x 2+21(4-x 1)²21(4-x 2)=45x 1x 2-( x 1+x 2)+4=0 将①、②代入得m =58．--------8分 18．（8分）（1）证明：因为PD ⊥平面ABCD ，BC平面ABCD ，所以PD ⊥BC ，由∠BCD=90°，得BC ⊥DC ，又PD ∩DC=D ，PD 平面PCD ，DC平面PCD ，所以BC ⊥平面PCD ，因为PC平面PCD ，所以PC ⊥BC ．--------4分（2）解：连结AC ，设点A 到平面PBC 的距离为h ，因为AB ∥DC ，∠BCD=90°，所以∠ABC=90°， 从而由AB=2，BC=1，得△ABC 的面积S △ABC =1，由PD ⊥平面ABCD 及PD=1， 得三棱锥P-ABC 的体积，因为PD ⊥平面ABCD ，DC平面ABCD ，所以PD ⊥DC ，又PD=DC=1，所以，由PC ⊥BC ，BC=1，得△PBC 的面积，由，得，因此，点A 到平面PBC 的距离为．--------8分19．（10分）（1）略证：易证1,AB CC AB CD ⊥⊥,可得AB ⊥平面11BCC B --------4分（2）转化为1AC 与11B C 所成的角，在△11AB C 中可求113B C A π∠=--------8分20．（9分） 解：（1）如图，取PA 的中点E ，连接ME ，DE ，∵M 为PB 的中点，∴EM//AB ,且EM= 12AB . 又∵//AB DC ，且12DC AB =，∴EM//DC ，且EM =DC ∴四边形DCME 为平行四边形,则MC ∥DE ，又MC ⊄平面PAD, DE ⊂平面PAD 所以MC ∥平面PAD --------3分 （2）取PC 中点N ，则MN ∥BC ，∵PA ⊥平面ABCD ，∴PA ⊥BC ，又22222AC BC AB AC BC +=+=∴⊥,∴BC ⊥平面PAC ，则MN ⊥平面PAC 所以，MCN ∠为直线MC 与平面PAC 所成角，1122NC PC MC PB ====cos NC MCN MC ∴∠==--------6分 （3）取AB 的中点H ，连接CH ，则由题意得CH AB ⊥，又PA ⊥平面ABCD ，所以PA CH ⊥，则CH ⊥平面PAB.所以CH PB ⊥,过H 作HG PB ⊥于G,连接CG ，则PB ⊥平面CGH,所以,CG PB ⊥则CGH ∠为二面角A PB C --的平面角.11,2,PA CH AB PB =∴====则sinPA GH BH PBA BH AB =∠=⋅=tan CHCGH GH ∴∠==故二面角A PB C ----------9分21．（9分）解：（1）依题意，设圆C 1的方程为(x －3)2＋y 2＝r 2，因为圆C 1经过点A (4，1)，所以r 2＝(4－3)2＋12＝2.所以圆C 1的方程为(x －3)2＋y 2＝2. --------3分(2)由(1)知圆C 1的圆心坐标为(3，0)，半径为2，C 1到直线l 的距离d ＝2231103=+-， 所以圆C 1上的点到直线l 的最短距离为222223=-. 因为圆C 2与圆C 1关于直线l 对称，所以｜BD ｜min ＝2³22＝2.--------6分 (3)当运动时间为t 秒时，｜OP ｜＝t ，｜OQ ｜＝22t ，则P (t ，0)，由Q ∈l ，可设点Q 的坐标为(m ，m )(m ＞0)，则m 2＋m 2＝(22t )2，解得m ＝2t ，即Q (2t ，2t )，所以k PQ ＝tt t --202＝2.所以直线PQ 的方程为y ＝2(x －t )，即2x －y －2t ＝0.若直线PQ 与圆C 1相切，则C 1到直线PQ 的距离d ′＝1220322+--⨯t＝2，解得t ＝3±210.即当t ＝3±210时，直线PQ 与圆C 1相切．--------9分。