山东省济宁市曲阜一中2015届高考数学模拟试卷(理科)

山东省济宁市曲阜一中2015届高考数学模拟试卷（理科）一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（5分）集合U={1，2，3，4，5，6}，S={1，4，5}，T={2，3，4}，则S∩（∁U T）等于（）A．{1，4，5，6} B．{1，5} C．{4} D．{1，2，3，4，5}2．（5分）若复数（a∈R，i为虚数单位）是纯虚数，则实数a的值为（）A．﹣6 B．13 C．D．3．（5分）设a∈R，则“a=﹣2”是“直线l1：ax+2y﹣1=0与直线l2：x+（a+1）y+4=0平行”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件4．（5分）一个几何体的三视图及部分数据如图所示，正视图、侧视图和俯视图都是等腰直角三角形，则该几何体的体积为（）A．B．C．D．15．（5分）已知m，n为异面直线，m⊥平面α，n⊥平面β．直线l满足l⊥m，l⊥n，l⊄α，l⊄β，则（）A．α∥β且l∥αB．α⊥β且l⊥βC．α与β相交，且交线垂直于l D．α与β相交，且交线平行于l6．（5分）f（x）=Acos（ωx+φ）（A，ω＞0）的图象如图所示，为得到g（x）=﹣Asin（ωx+）的图象，可以将f（x）的图象（）A．向右平移个单位长度B．向右平移个单位长度C．向左平移个单位长度D．向左平移个单位长度7．（5分）数列{a n}共有11项，a1=0，a11=4，且|a k+1﹣a k|=1（k=1，2，…，10），则满足该条件的不同数列的个数为（）A．100 B．120 C．140 D．1608．（5分）若正数x，y满足x2+6xy﹣1=0，则x+2y的最小值是（）A．B．C．D．9．（5分）已知抛物线y2=4x，圆F：（x﹣1）2+y2=1，过点F作直线l，自上而下顺次与上述两曲线交于点A，B，C，D（如图所示），则|AB|•|CD|的值正确的是（）A．等于1 B．最小值是1 C．等于4 D．最大值是410．（5分）若函数f（x）=（1﹣x2）（x2+ax+b）的图象关于直线x=2对称，则f（x）的最大值是（）A．9B．14 C．15 D．16二、填空题：本大题共7小题，每小题4分，共28分．11．（4分）如图所示，程序框图（算法流程图）的输出结果为．12．（4分）已知（l+ax）（1+x）5的展开式中x2的系数为5，则a=．13．（4分）若满足条件的点P（x，y）构成三角形区域，则实数k的取值范围是．14．（4分）两个不同的口袋中，各装有大小、形状完全相同的1个红球、2个黄球．现从每一个口袋中各任取2球，设随机变量ξ为取得红球的个数，则Eξ=．15．（4分）已知F1，F2是双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的左、右焦点，若点F2关于直线y=x的对称点M也在双曲线上，则该双曲线的离心率为．16．（4分）若实数x，y满足x≥y＞0，且，则x的取值范围是．17．（4分）在平面上，⊥，||=||=1，=+．若||＜，则||的取值范围是．三、解答题：本大题共5小题，共72分．解答应写出文字说明，证明过程或演算过程．18．（14分）已知函数f（x）=2sinxcosx+2cos2x+m在区间[0，]上的最大值为2．（1）求常数m的值；（2）在△ABC中，角A，B，C所对的边长分别为a，b，c，若f（A）=1，sinB=3sinC，△ABC 面积为，求边长a．19．（14分）已知数列{a n}是等差数列，a2=6，a5=18，数列{b n}的前n项和为S n，且S n+b n=1．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）记c n=a n•b n，若c n+m≤0对任意的n∈N+恒成立，求实数m的取值范围．20．（15分）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为直角梯形，AD∥BC，∠ADC=90°，平面PAD⊥底面ABCD，Q为AD的中点，M是棱PC上的点，PA=PD=2，，．（1）求证：平面MQB⊥平面PAD；（2）若满足BM⊥PC，求异面直线AP与BM所成角的余弦值；（3）若二面角M﹣BQ﹣C大小为30°，求QM的长．21．（15分）已知F1，F2分别是椭圆E：+y2=1（a＞1）的左、右焦点，A，B分别为椭圆的上、下顶点，若F2到直线AF1的距离为．（1）求椭圆E的方程；（2）过椭圆的右顶点C的直线l与椭圆交于点D（点D不同于点C），交y轴于点P（点P不同于坐标原点O），直线AD与BC交于点Q，试判断•是否为定值，并证明你的结论．22．（14分）已知函数f（x）=klnx，g（x）=e x．（1）若函数φ（x）=f（x）+x﹣，求φ（x）的单调区间；（2）设直线l为函数f（x）的图象上一点A（x0，f（x0））处的切线．若在区间（2，+∞）上存在唯一的x0，使得直线l与曲线y=g（x）相切，求实数k的取值范围．山东省济宁市曲阜一中2015届高考数学模拟试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（5分）集合U={1，2，3，4，5，6}，S={1，4，5}，T={2，3，4}，则S∩（∁U T）等于（）A．{1，4，5，6} B．{1，5} C．{4} D．{1，2，3，4，5}考点：交、并、补集的混合运算．专题：计算题．分析：利用补集的定义求出T的补集；利用交集的定义求出两个集合的交集．解答：解：∁U T={1，5，6}∴S∩（∁U T）={1，5}故选B．点评：本题考查利用集合的交集、补集、并集的定义求集合的交、并、补运算．2．（5分）若复数（a∈R，i为虚数单位）是纯虚数，则实数a的值为（）A．﹣6 B．13 C．D．考点：复数代数形式的乘除运算；复数的基本概念．专题：计算题．分析：利用复数的除法运算化简为a+bi（a，b∈R）的形式，由实部等于0且虚部不等于求解a的值．解答：解：由复数==是纯虚数，则，解得a=﹣6．故选A．点评：本题考查了复数代数形式的乘除运算，考查了复数的基本概念，是基础的计算题．3．（5分）设a∈R，则“a=﹣2”是“直线l1：ax+2y﹣1=0与直线l2：x+（a+1）y+4=0平行”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件考点：必要条件、充分条件与充要条件的判断．专题：简易逻辑．分析：根据直线平行的条件，结合充分条件和必要条件的定义进行判断即可．解答：解：当a=﹣2时，两直线方程分别为l1：﹣2x+2y﹣1=0与直线l2：x﹣y+4=0满足，两直线平行，充分性成立．当a=1时，满足直线l1：x+2y﹣1=0与直线l2：x+2y+4=0平行，∴必要性不成立，∴“a=﹣2”是“直线l1：ax+2y﹣1=0与直线l2：x+（a+1）y+4=0平行”的充分不必要条件，故选：A．点评：本题主要考查充分条件和必要条件的应用，利用直线平行的条件是解决本题的关键．4．（5分）一个几何体的三视图及部分数据如图所示，正视图、侧视图和俯视图都是等腰直角三角形，则该几何体的体积为（）A．B．C．D．1考点：由三视图求面积、体积．专题：计算题．分析：由正视图、侧视图和俯视图均为等腰直角三角形，可判定几何体为三棱锥，我们根据三视图的数据求出三棱锥的底面面积和高，代入棱锥体积公式，即可得到答案．解答：解：由三视图判断几何体为三棱锥，如图：由已知中侧视图是一个等腰直角三角形，宽为1，∴棱锥的高H=1；底面△的高也为1，又由俯视图为等腰直角三角形，且底面斜边长为2，∴底面面积S=×2×1=1，则几何体的体积V=×1×1=．故选A．点评：本题考查的知识点是由三视图求体积，其中根据三视图判断出几何体的形状，分析出几何体的几何特征，进而求出底面面积，高是解答本题的关键．5．（5分）已知m，n为异面直线，m⊥平面α，n⊥平面β．直线l满足l⊥m，l⊥n，l⊄α，l⊄β，则（）A．α∥β且l∥αB．α⊥β且l⊥βC．α与β相交，且交线垂直于l D．α与β相交，且交线平行于l考点：平面与平面之间的位置关系；平面的基本性质及推论．专题：空间位置关系与距离．分析：由题目给出的已知条件，结合线面平行，线面垂直的判定与性质，可以直接得到正确的结论．解答：解：由m⊥平面α，直线l满足l⊥m，且l⊄α，所以l∥α，又n⊥平面β，l⊥n，l⊄β，所以l∥β．由直线m，n为异面直线，且m⊥平面α，n⊥平面β，则α与β相交，否则，若α∥β则推出m∥n，与m，n异面矛盾．故α与β相交，且交线平行于l．故选D．点评：本题考查了平面与平面之间的位置关系，考查了平面的基本性质及推论，考查了线面平行、线面垂直的判定与性质，考查了学生的空间想象和思维能力，是中档题．6．（5分）f（x）=Acos（ωx+φ）（A，ω＞0）的图象如图所示，为得到g（x）=﹣Asin（ωx+）的图象，可以将f（x）的图象（）A．向右平移个单位长度B．向右平移个单位长度C．向左平移个单位长度D．向左平移个单位长度考点：函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．专题：三角函数的图像与性质．分析：由函数的最值求出A，由周期求出ω，由五点法作图求出φ的值，可得函数f（x）的解析式．再根据函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，得出结论．解答：解：由题意可得A=1，T=•=﹣，解得ω=2，∴f（x）=Acos（ωx+φ）=2cos（2x+φ）．再由五点法作图可得2×+φ=，∴φ=﹣，∴f（x）=2cos（2x﹣）=2cos2（x﹣），g（x）=﹣2sin（2x+）=2cos（2x++）=2cos2（x+），而﹣（﹣）=，故将f（x）的图象向左平移个单位长度，即可得到函数g（x）的图象，故选：D．点评：本题主要考查由函数y=Asin（ωx+φ）的部分图象求解析式，函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，属于中档题．7．（5分）数列{a n}共有11项，a1=0，a11=4，且|a k+1﹣a k|=1（k=1，2，…，10），则满足该条件的不同数列的个数为（）A．100 B．120 C．140 D．160考点：数列的应用．专题：综合题；等差数列与等比数列．分析：根据题意，先确定数列中1的个数，再利用组合知识，即可得到结论．解答：解：∵|a k+1﹣a k|=1，∴a k+1﹣a k=1或a k+1﹣a k=﹣1设有x个1，则有10﹣x个﹣1∴a11﹣a1=（a11﹣a10）+（a10﹣a9）+…+（a2﹣a1）∴4=x+（10﹣x）•（﹣1）∴x=7∴这样的数列个数有=120．故选：B．点评：本题考查数列知识，考查组合知识的运用，确定数列中1的个数是关键．8．（5分）若正数x，y满足x2+6xy﹣1=0，则x+2y的最小值是（）A．B．C．D．考点：基本不等式．专题：不等式的解法及应用．分析：先对已知等式整理表示出y，带入x+2y，利用基本不等式求得最小值．解答：解：∵x2+6xy﹣1=0，∴y=，∴x+2y=x+=x+≥，当且仅当=，即x=时，取等号．故选A．点评：本题主要考查了基本不等式的应用，解题的关键是消元，转化成关于x的表达式求得最小值．9．（5分）已知抛物线y2=4x，圆F：（x﹣1）2+y2=1，过点F作直线l，自上而下顺次与上述两曲线交于点A，B，C，D（如图所示），则|AB|•|CD|的值正确的是（）A．等于1 B．最小值是1 C．等于4 D．最大值是4考点：抛物线的简单性质；直线与圆锥曲线的综合问题．专题：圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：利用抛物线的定义和|AF|=|AB|+1就可得出|AB|=x A，同理可得：|CD|=x D，要分l⊥x 轴和l不垂直x轴两种情况分别求值，当l⊥x轴时易求，当l不垂直x轴时，将直线的方程代入抛物线方程，利用根与系数关系可求得．解答：解：∵y2=4x，焦点F（1，0），准线l0：x=﹣1．由定义得：|AF|=x A+1，又∵|AF|=|AB|+1，∴|AB|=x A，同理：|CD|=x D，当l⊥x轴时，则x D=x A=1，∴|AB|•|CD|=1当l：y=k（x﹣1）时，代入抛物线方程，得：k2x2﹣（2k2+4）x+k2=0，∴x A x D=1，∴|AB|•|CD|=1综上所述，|AB|•|CD|=1，故选：A．点评：本题主要考查抛物线的定义、一元二次方程的根与系数关系，考查学生的计算能力，属于中档题．10．（5分）若函数f（x）=（1﹣x2）（x2+ax+b）的图象关于直线x=2对称，则f（x）的最大值是（）A．9B．14 C．15 D．16考点：函数的最值及其几何意义．专题：导数的综合应用．分析：根据对称性求出a，b，利用导数研究函数的最值即可．解答：解：∵f（x）=（1﹣x2）（x2+ax+b）的图象关于直线x=2对称，∴f（1）=f（3），f（﹣1）=f（5），即，解得a=﹣8，b=15，即f（x）=（1﹣x2）（x2﹣8x+15）=﹣x4+8x3﹣14x2﹣8x+15，则f′（x）=﹣4x3+24x2﹣28x﹣8=﹣4（x﹣2）（x2﹣4x﹣1），由f′（x）=0，解得x=2或x=2+或x=2﹣，由f′（x）＞0，解得2＜x＜2+或x＜2﹣，此时函数单调递增，由f′（x）＜0，解得2﹣＜x＜2或x＞2+，此时函数单调递减，作出对应的函数图象如图：则当x=2﹣或2+时，函数f（x）取得极大值同时也是最大值则f（2+）=16，故选：D．点评：本题主要考查函数最值的区间，根据对称性求出a，b的值，利用导数研究函数的单调性和函数的最值求法等知识，综合性较强．二、填空题：本大题共7小题，每小题4分，共28分．11．（4分）如图所示，程序框图（算法流程图）的输出结果为．考点：程序框图．专题：算法和程序框图．分析：根据框图的流程依次计算运行的结果，直到条件不满足，计算输出s的值．解答：解：由程序框图知：第一次循环：s=0+，n=2+2=4；第二次循环：s=+=，n=4+2=6；第三次循环：s=+=，n=6+2=8；不满足条件n＜8，程序运行终止，输出s=．故答案为：．点评：本题考查了循环结构的程序框图，根据框图的流程依次计算运行的结果是解答此类问题的常用方法．12．（4分）已知（l+ax）（1+x）5的展开式中x2的系数为5，则a=﹣1．考点：二项式系数的性质．专题：二项式定理．分析：由题意可得展开式中x2的系数为前一项中常数项与后一项x的二次项乘积加上第一项x的系数与第二项x的系数乘积之和等于5，由此解得a的值．解答：解：已知（1+ax）（1+x）5=（1+ax）（1+x+x2+x3+x4+x5）展开式中x2的系数为+a•=5，解得a=﹣1，故答案为：﹣1．点评：本题主要考查二项式定理的应用，二项式展开式的通项公式，求展开式中某项的系数，属于中档题．13．（4分）若满足条件的点P（x，y）构成三角形区域，则实数k的取值范围是（﹣∞，﹣1）．考点：简单线性规划．专题：不等式的解法及应用．分析：作出不等式组对应的平面区域，根据平面区域是三角形，即可确定k的取值范围．解答：解：作出不等式组对应的平面区域，如图示：直线kx﹣y﹣2k+1=0得k（x﹣2）+1﹣y=0，则直线过定点（2，1），当直线k（x﹣2）+1﹣y=0与x+y﹣2=0平行时，即k=﹣1时，此时对应的平面区域不是三角形，∴要使对应的平面区域是三角形，则k（x﹣2）+1﹣y=0与x+y﹣2=0在第一象限内相交，即k＜﹣1，故答案为：（﹣∞，﹣1）．点评：本题主要考查线性规划的应用，利用数形结合是解决本题的关键．14．（4分）两个不同的口袋中，各装有大小、形状完全相同的1个红球、2个黄球．现从每一个口袋中各任取2球，设随机变量ξ为取得红球的个数，则Eξ=．考点：离散型随机变量的期望与方差．专题：概率与统计．分析：先确定随机变量ξ的可能取值，然后利用事件的独立性求出ξ在每个可能值下对应的概率，根据随机变量的数学期望的定义求Eξ即可．解答：解：由题意ξ的取值为0，1，2．则P（ξ=0）==；P（ξ=1）=2••=；P（ξ=2）==，所以数学期望：Eξ=0×+1×+2×=．故答案为：．点评：本题考查事件的独立性、离散型随机变量的概率分布列与数学期望，比较基础．15．（4分）已知F1，F2是双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的左、右焦点，若点F2关于直线y=x的对称点M也在双曲线上，则该双曲线的离心率为．考点：双曲线的简单性质．专题：圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：利用垂直、中点在轴上这两个条件求出的对称点M的坐标，再把点M的坐标代入双曲线﹣=1，化简可得该双曲线的离心率．解答：解：由题意可得点F2（c，0），设它关于直线y=x的对称点M（h，k），由求得，故点M（，），即M（，）．再把点M的坐标代入双曲线﹣=1，化简可得（2a2﹣c2）2=a2（4a2+c2），求得c2=3a2，可得=，故答案为：．点评：本题主要考查双曲线的简单性质的应用，求一个点关于某条直线的对称点的坐标的方法，属于中档题．16．（4分）若实数x，y满足x≥y＞0，且，则x的取值范围是（4，20]．考点：基本不等式．专题：不等式的解法及应用．分析：设=t则可知t＞0，重新整理等式，利用一元二次方程根的情况，要使方程有正数根，需要△≥0且f（0）＞0，解不等式组即可求得x的范围解答：解：设=t，t＞0，则=，∴x=4t+2，整理得20t2﹣8xt+x2﹣4x=0，要使方程有正数解需，求得4＜x≤20，故答案为：（4，20]点评：本题主要考查了函数和方程思想的运用．这道题需要运用转化和化归的思想，把问题转化为函数和方程的问题，利用根的分布来解决x的范围问题．17．（4分）在平面上，⊥，||=||=1，=+．若||＜，则||的取值范围是（，]．考点：向量的模．专题：平面向量及应用．分析：由题意，A、B1、P、B2构成一个矩形AB1PB2，以AB1，AB2所在直线为坐标轴建立直角坐标系，设出点O的坐标（x，y）以及点P的坐标（a，b）；求出x2+y2的取值范围，即可得出||的取值范围．解答：解：根据题意知，A、B1、P、B2构成一个矩形AB1PB2，以AB1，AB2所在直线为坐标轴建立直角坐标系，如图所示；设|AB1|=a，|AB2|=b，点O的坐标为（x，y），则点P的坐标为（a，b）；由||=||=1，得，则；∵||＜，∴（x﹣a）2+（y﹣b）2＜，∴1﹣y2+1﹣x2＜，∴x2+y2＞；①又∵（x﹣a）2+y2=1，∴y2=1﹣（x﹣a）2≤1，∴y2≤1；同理x2≤1，∴x2+y2≤2；②由①②知＜x2+y2≤2，∵||=，∴＜||≤．故答案为：（，]．点评：本题考查了平面向量的应用问题，也考查了不等式的应用问题，是较难的题目．三、解答题：本大题共5小题，共72分．解答应写出文字说明，证明过程或演算过程．18．（14分）已知函数f（x）=2sinxcosx+2cos2x+m在区间[0，]上的最大值为2．（1）求常数m的值；（2）在△ABC中，角A，B，C所对的边长分别为a，b，c，若f（A）=1，sinB=3sinC，△ABC 面积为，求边长a．考点：正弦定理；三角函数中的恒等变换应用．专题：计算题；三角函数的图像与性质．分析：（1）先化简得f（x）=2sin（2x+）+m+1，由x的范围可求得函数最大值，令其等于2可求m；（2）由f（A）=1可求A，由sinB=3sinC得b=3c，①由△ABC面积为，得bc=9，②联立可求；解答：解：（1）f（x）=2sinxcosx+2cos2x+m=2sin（2x+）+m+1，∵x∈[0，]，∴2x+∈[，]，∴当2x+=即x=时，函数f（x）在区间[0，]上取到最大值，此时，=m+3=2，解得m=﹣1；（2）∵f（A）=1，∴2sin（2A+）=1，即sin（2A+）=，解得A=0（舍去）或A=，∵sinB=3sinC，，∴b=3c，①∵△ABC面积为，∴S===，即bc=9，②由①②解得b=3，c=，∵a2=b2+c2﹣2bccosA=21，∴a=．点评：该题考查三角恒等变换、正弦定理及其应用，考查学生的运算求解能力，属中档题．19．（14分）已知数列{a n}是等差数列，a2=6，a5=18，数列{b n}的前n项和为S n，且S n+b n=1．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）记c n=a n•b n，若c n+m≤0对任意的n∈N+恒成立，求实数m的取值范围．考点：等差数列的性质．专题：计算题；等差数列与等比数列．分析：（1）设a n的公差为d，根据等差数列通项公式根据a2=6，a5=18可求得a1和d，进而可求得数列{a n}的通项公式；（2）先证明数列{b n}是以为首项，为公比的等比数列，求得数列{b n}的通项公式，进而可得{c n}的通项公式，求出n=1时，c n取到最大值，即可求实数m的取值范围．解答：解：（1）设a n的公差为d，则：a2=a1+d，a5=a1+4d，∵a2=6，a5=18，∴a1+d=6，a1+4d=18，∴a1=2，d=4．∴a n=2+4（n﹣1）=4n﹣2．（2）当n=1时，b1=S1，由S1+b1=1，可得b1=当n≥2时，∵S n+b n=1，S n﹣1+b n﹣1=1，∴两式相减，整理可得b n=b n﹣1，∴数列{b n}是以为首项，为公比的等比数列，∴b n=，∴c n=a n•b n=，∴c n+1﹣c n=，∴n≥1，∴c n+1≤c n，∴n=1时，c n取到最大值，∵c n+m≤0对任意的n∈N+恒成立，∴+m≤0，∴m≤﹣．点评：本题主要考查了等差数列、等比数列的通项公式，考查恒成立问题，考查学生的计算能力，属于中档题．20．（15分）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为直角梯形，AD∥BC，∠ADC=90°，平面PAD⊥底面ABCD，Q为AD的中点，M是棱PC上的点，PA=PD=2，，．（1）求证：平面MQB⊥平面PAD；（2）若满足BM⊥PC，求异面直线AP与BM所成角的余弦值；（3）若二面角M﹣BQ﹣C大小为30°，求QM的长．考点：二面角的平面角及求法；异面直线及其所成的角；平面与平面垂直的判定．专题：综合题；空间位置关系与距离．分析：（1）证明QB⊥AD，根据平面PAD⊥平面ABCD可得BQ⊥平面PAD，即可证明平面MQB⊥平面PAD；（2）确定PQ⊥平面ABCD，建立空间直角坐标系，求出，利用向量的夹角公式求异面直线AP与BM所成角的余弦值；（3）根据二面角M﹣BQ﹣C大小为30°，利用向量的夹角公式，即可求QM的长．解答：（1）证明：∵AD∥BC，BC=AD，Q为AD的中点，∴四边形BCDQ为平行四边形，∴CD∥BQ．…（1分）∵∠ADC=90°∴∠AQB=90°，即QB⊥AD．又∵平面PAD⊥平面ABCD且平面PAD∩平面ABCD=AD，…（2分）∴BQ⊥平面PAD．…（3分）∵BQ⊂平面MQB，∴平面MQB⊥平面PAD．…（4分）（2）解：∵PA=PD，Q为AD的中点，∴PQ⊥AD．∵平面PAD⊥平面ABCD，且平面PAD∩平面ABCD=AD，∴PQ⊥平面ABCD．…（5分）如图，以Q为原点建立空间直角坐标系．则Q（0，0，0），A（1，0，0），，，由，且0≤λ≤1，得∵BM⊥PC，∴…（6分）∴设异面直线AP与BM所成角为θ，则cosθ==…（9分）∴异面直线AP与BM所成角的余弦值为…（10分），（3）解：由（2）知平面BQC的法向量为…（11分）由，且0≤λ≤1，得又，∴平面MBQ法向量为．…（13分）∵二面角M﹣BQ﹣C为30°，∴，∴．∴|QM|=…（15分）点评：本题考查平面与平面垂直，考查异面直线AP与BM所成角的余弦值，考查二面角大小的确定，考查向量知识的运用，综合性强．21．（15分）已知F1，F2分别是椭圆E：+y2=1（a＞1）的左、右焦点，A，B分别为椭圆的上、下顶点，若F2到直线AF1的距离为．（1）求椭圆E的方程；（2）过椭圆的右顶点C的直线l与椭圆交于点D（点D不同于点C），交y轴于点P（点P不同于坐标原点O），直线AD与BC交于点Q，试判断•是否为定值，并证明你的结论．考点：直线与圆锥曲线的综合问题．专题：圆锥曲线中的最值与范围问题．分析：（1）由已知条件推导出，由此能求出椭圆E的方程．（2）设直线CD：y=k（x﹣），（k≠0），则P（0，﹣），联立，得，由此利用韦达定理结合已知条件能求出•是为定值1．解答：解：（1）∵F1，F2分别是椭圆E：+y2=1（a＞1）的左、右焦点，A，B分别为椭圆的上、下顶点，F2到直线AF1的距离为．∴，解得a=，∴椭圆E的方程为=1．（2）•是为定值1．证明：∵椭圆的右顶点C（，0），∴设直线CD：y=k（x﹣），（k≠0），则P（0，﹣k），联立，得（1+2k2）x2﹣4﹣2=0，∴x C•x D=，∴=，设点Q（），直线BC的方程为y=，A、D、Q三点共线，则有，∴，∴，∴，又∵，∴=，将x D=代入，得：，∴y′=﹣，∴．点评：本题考查椭圆方程的求法，考查向量的数量积是否为定值的判断与证明，解题时要认真审题，注意直线方程、韦达定理、椭圆性质等知识点的灵活运用．22．（14分）已知函数f（x）=klnx，g（x）=e x．（1）若函数φ（x）=f（x）+x﹣，求φ（x）的单调区间；（2）设直线l为函数f（x）的图象上一点A（x0，f（x0））处的切线．若在区间（2，+∞）上存在唯一的x0，使得直线l与曲线y=g（x）相切，求实数k的取值范围．考点：利用导数研究曲线上某点切线方程；利用导数研究函数的单调性．专题：导数的综合应用．分析：（1）把f（x）的解析式代入φ（x）=f（x）+x﹣，求导后得到，然后利用分子二次三项式对应方程的判别式与0的关系得到k的范围，由k得范围及二次三项式在不同区间内的符号得到导函数的符号，进一步得到定义域内φ（x）的单调区间；（2）利用导数求出过f（x）的图象上一点A（x0，f（x0））处的切线l的方程，再设出l与g （x）的切点B的坐标，由导数得到l的另一方程，通过比较系数得到两切点横坐标间的关系，进一步得到k与A点横坐标的关系lnk=1+x0+lnx0﹣x0lnx0，构造辅助函数h（x）=1+x+lnx﹣xlnx（x＞2），利用导数判断其单调性，求出其最值，列不等式求得在区间（2，+∞）上存在唯一的x0，使得直线l与曲线y=g（x）相切的实数k的取值范围．解答：解：（1）∵f（x）=klnx，∴f（x）+x﹣=klnx+x﹣（x＞0），，方程x2+kx+2=0的判别式△=k2﹣8．由△＞0，得k＜﹣或k＞2．当△＞0时，．若k＞，φ′（x）＞0在x∈（0，+∞）上恒成立，若k＜﹣，当x∈（0，x1），（x2，+∞）时，φ′（x）＞0．当x∈（x1，x2）时，φ′（x）＜0．若，φ′（x）＞0在x∈（0，+∞）上恒成立．∴若，函数φ（x）的增区间为（0，x1），（x2，+∞），减区间为（x1，x2）；若，则函数φ（x）的增区间为（0，+∞）．（2）由f（x）=klnx，得，．∴直线l的方程为，即．设l与y=g（x）切于点B（x1，y1），则l的方程又可写为，即．∴⇒⇒x0（lnx0﹣1）=1﹣x1⇒x1=1+x0﹣x0lnx0，又，化简得：lnk=1+x0+lnx0﹣x0lnx0．设h（x）=1+x+lnx﹣xlnx（x＞2），，当x＞2时，，∴h′（x）＜0恒成立，h（x）在（2，+∞）上单调递减，且h（2）=3﹣ln2，要使x0唯一，只要令lnk＜3﹣ln2=．∴．∴实数k的取值范围是．点评：本题考查了利用导数研究曲线上某点处的切线方程，考查了利用导数研究函数的单调性，考查了数学转化思想方法，训练了利用导数求函数的最值，综合考查了学生分析问题和解决问题的能力，是压轴题．。