MC相似三角形内接矩形

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相似三角形之内接矩形

相似三角形——内接矩形【典型例题】例1 已知正方形DEFM 内接于△ABC ，若S △ADE =2，S 正方形DEFM =4，求S △ABC 。

例2 如图，在△ABC 中，90C ∠=︒，正方形DEFG 是△ABC 的内接正方形，AD=m ，BE=n ，求正方形的边长？例3 如图，在地角边为3和4的直角三角形中作内接正方形，比较两种作法中正方形面积的大小。

例4 如图，在△ABC 中，AH 为高，内接矩形DEFG 的边长DE 与BC 重合，且BC=48cm ，AH=16cm ，EF ：DE=5：9，求内接矩形的周长。

34例5 有一余料△ABC ，BC 长30cm ，高AM 长20cm ，，把它加工成一块矩形材料，且矩形的一边EF 在BC 上，顶点D 、G 分别在AB 、AC 上并使矩形的长是宽的2倍，如图所示，两种设计方法，请你通过计算比较一下，哪一种图形的矩形面积大些？例6 如图，正方形EFGH 内接于△ABC ，设BC ab =（这是一个二位数），EF c =，三角形的高AD=d 。

已知：a 、b 、c 、d 恰好是从小到大的四个连续整数，试求△ABC 的面积。

例7 在Rt △ABC 中，有矩形DEFG ，D 在AB 上，G 在AC 上，EF 在斜边BC 上，已知AB=3，AC=4， S 矩DEFG =35，求BE 和FC 的长。

E FME FM例8 如图，有一块三角形土地，它的底边BC=100米，高AH=80米，某单位要沿着地边BC 修一座底面是矩形DEFG 的大楼，当这座大楼的地基面积最大时．这个矩形的长和宽各是多少？位似图形的作法1．位似图形的定义：两个要素① ② 2．位似图形的性质：①位似图形的和位似中心在同一条直线上，且它们到位似中心的距离之比等于。

②位似图形的对应线段③两位似图形的方向或者或者④两位似图形的一定，但图形不一定位似 ⑤位似图形的对应角，对应边。

3．4.作出一个新图形，使新图形与原图形对应线段的比是2∶1.G MAB CDE 都有该图的位似图形。

三角形内接矩形的关系式及其应用

三角形内接矩形的关系式及其应用作者：沐文中来源：《中学数学杂志(初中版)》2013年第02期如果矩形有四个顶点都在三角形的边上，那么这个矩形称为此三角形的内接矩形.三角形及其内接矩形有一个应用广泛的关系式，现介绍如下：命题如图1，矩形EFGH的两个顶点E、H在BC上，另外两个顶点F、G分别在AB、AC上，若BC=a，BC边上的高AD=h，EF=Y，FG=x，则xa+yh=1.证明因为FG∥BC，所以△AFG∽△ABC，所以FGBC=AKAD，即xa=h-yh，所以xa+yh=1.这一关系或在课标入教版，北师大版，华师大版等教材中均有所介绍.下面就举例说明此关系式在中考中的应用.例1 （2012年山东日照）如图2，在Rt△ABC内有矩形PQMN，P、N分别在直角边AB、AC上，Q、M在斜边BC上，已知AB=3，AC=4，内接矩形PQMN的面积等于53，求BQ和MC的长.解因为AB=3，AC=4，所以BC=32+42=5.作AD⊥BC于D，则由AD·BC=AB·AC=2S△ABC得AD=3×45=125.设PQ=y，PN=x，则由关系式，得x5+y125=1. ①又xy=53（已知）②故解①、②得y=2或y=25.因为Rt△CMN∽Rt△CAB，所以CMMN=CAAB即CM=43y，所以CM=83或CM=815.同理可得BQ=34y，故BQ=32或BQ=310.点评本题借助三角形内接矩形的关系式和矩形面积公式列出二元一次方程组，简捷明快地先求得了PQ和PN的长度，然后再通过相似三角形求得BQ和MC的长度，使问题由繁变简，从而使复杂的问题简单化了.例2 （2012年辽宁大连）如图3，在Rt△ABC的斜边AB上任取一点P，过P点作AC、BC的平行线分别交BC、AC于N、M，则△APM和△PBN的面积之和不小于矩形MPNC的面积，试证明之.证明设AC=b，BC=a，PM=x，PN=y，S矩形MPNC=S1，S△APM+S△PBN=S由关系式点评本题应用上述关系式和面积公式，通过变形化简求得xa与yb的积与和，利用韦达定理的逆定理，构造出一元二次方程，再运用根的判别式得证.这种解题思路充分体现了构造法解题的科学性，符合新课程的理念要求，它能使抽象或隐含的条件清晰地显示出来，能把复杂的问题转化为简单的问题，因而解题时，就能化繁为简，变难为易.例3 （2012年云南大理）一张等腰三角形纸片，底边长15cm，底边上的高长225cm，现沿底边依次从下往上裁剪宽度均为3cm的矩形纸条，如图4所示.已知剪得的纸条中有一张是正方形，则这张正方形纸条是第几张？所以这张正方形的纸条是第6张.点评本题是一道创新中考试题，通过六次运用本文的关系式，最后求得JK的长为3厘米，从而使实际问题得到了解决，如果不用三角形内接矩形的上述性质求解，将会使思路陷入困境.例4 （2012年山西大同）已知△ABC和内接矩形EFGH（如图5），问：在什么条件下，矩形EFGH的面积最大？解如图5，作AC边上的高BI，交EF于J，设BI=h，AC=b，则由题设条件，可设EH=x，所以由关系式得EFb+xh=1，故EF=bh（h-x），所以矩形EFGH的面积S=f（x）=EF·EH=bh（h-x）x=-bhx2+bx.因为-bh〈0，所以二次函数f（x）有最大值.故当x=--b2·bh=h2时，f（x）max=0-b24-bh=bh4=12S△ABC，这时，EF=bh（h-h2）=b2，所以，当内接矩形的长、宽分别等于三角形的底边和底边上的高的一半时，其面积最大.点评本题是运用本文的关系式和矩形面积公式先求得二次函数解析式，再运用二次函数求最大值的方法，求得矩形面积的最大值，方法新，过程简，易理解，要重视.综上述可知，应用本文关系式解中考问题，其关键在于要从问题的实际出发，根据题设去灵活应用.通过教学实践，笔者认为：注意对学生进行联系课本内容的专题讲座的训练，利于帮助学生理解课本内容提高学习数学的兴趣，利于拓宽学生的视野，提高解题水平，利于启迪学生思维，调动学习的积极性.因此在今后的教学过程中，注意对学生进行这类专题内容的探索与研究，是很有必要的.。

三角形中内接矩形课件

内接多边形的面积
内接多边形的面积等于其所在三角形的面积减去三个由切线段和三角形边组成的三角形的面积。
内接多边形的外角和
内接多边形的外角和等于360度。
内接多边形的应用
几何作图
利用内接多边形可以方便地作出与三角形三边相切的圆或其他图形。
面积计算
通过内接多边形可以计算出三角形的面积，进而计算出其他图形的面积。
三角形中内接矩形 PPT课件
contents
目录
• 引言 • 三角形中内接矩形的性质 • 三角形中内接矩形的应用 • 三角形中内接矩形的证明方法 • 三角形中内接矩形的拓展知识
01
引言
课程背景
01
三角形中内接矩形是数学中一个经典问题，涉及几何、面积和比例等知识点。
02
在中学数学课程中，学生需要掌握如何利用内接矩形解决实际问题，提高数学应用能力。
课程目标
掌握三角形中内接矩形的概念和性质，理解内接矩形的面积与原三角形面积的关系。
学习如何利用内接矩形解决实际问题，提高数学应用能力和逻辑思维能力。
通过实际操作和案例分析，培养学生的探究精神和团队协作能力。
02
三角形中内接矩形的性质
矩形的一边与三角形的底边平行
总结词
矩形的一边与三角形的底边平行是三角形中内接矩形的一个重要性质。
详细描述
由于矩形的一边与三角形的底边平行，因此，矩形的长边或短边将等于三角形的高。而矩形的另一条边将等于三角形底边的一半。因此，矩形的面积是三角形面积的1/2。
矩形的周长与三角形的周长关系
总结词
矩形的周长是三角形周长的1/2，这是三角形中内接矩形的一个重要性质。
详细描述
由于矩形的长边或短边与三角形的底边平行，因此，矩形的周长是三角形周长的 1/2。这是因为矩形的两条长边或短边的总和等于三角形底边的长度，而矩形的另外两条边的总和等于三角形的高。因此，矩形的周长是三角形周长的1/2。

三角形中内接矩形[上学期]--浙教版

(2)
拓展 6 ：已知 △ ABC ，若 AB=2 13， BC=12 ， AC=10，要把它加工成矩形零件，若矩形一边分别在AB、AC、BC上，其余两顶点在另两条边上，问在哪一边上截得最大面积的矩形？
A
Q F
A
P
E
N
M E
P
B
Q
D
M
C
B
D
N
C
(1)
(2)
; / 私人保镖
a b x
P
A N
E
B
Q
D
M
C
拓展2：若要把它加工成矩形零件，使矩形的一边QM在BC 上，其余两个顶点P、N分别在AB，AC上，设AD与矩形 PQMN的PN边相交于E点，问当AE为多少时？矩形PQMN 的面积最大，最大面积为多少？ A
矩形PQMN的面积为s mm2 PN//BC △ APN ∽△ 解：设=> AE 为 xmm ， ABC
答：矩形PQMN的周长为180 mm或220 mm。
拓展5：已知△ABC，若AB=2 13，BC=12，AC=10，要把它加工成正方形零件，若正方形一边分别在AB、AC、BC上，其余两顶点在另两条边上，问在哪一边上截得的正方形面积最大？
A P E N
M Q F P E
A
B
Q D
M
C
B
D
N
C
(1)
拓展3：划线部分若改成问是否存在这样的两个矩形，使这两个矩形的面积之和等于此三角形的面积？若存在，请指出这两个矩形，若不存在，请说明理由。
<=
Q
D
M
C
(0＜x＜80)
拓展 4 ：如图，有一块三角形余料 ABC ，它的边 BC=120mm，高线AD=80mm，要把它加工成矩形零件，使矩形的一边在 BC 上，其余两个顶点分别在 AB 、 AC 上，当矩形 PQMN 与△ ABC 的面积之比为 3∶8 时，求矩形PQMN的周长.

相似三角形的内切矩形

相似三角形的内切矩形相似三角形是指两个或多个三角形的对应角相等，且对应边成比例。

而内切矩形是指一个矩形完全位于另一个图形内部，且矩形的四个顶点都触碰到图形的边界。

本文将讨论相似三角形存在内切矩形的情况，并探讨内切矩形的性质和特点。

一、相似三角形的内切矩形的存在性首先，我们需要明确相似三角形是存在内切矩形的情况。

假设有两个相似三角形，分别为ΔABC和ΔA'B'C'，其中∠A = ∠A'，∠B =∠B'，∠C = ∠C'，且各对应边的长度比相同。

我们要证明是否存在一个矩形与这两个相似三角形内切。

设这个矩形为矩形PQRS，其中P、Q、R、S分别为矩形的四个顶点，分别位于ΔABC和ΔA'B'C'的边上，且各顶点分别对应于ΔABC和ΔA'B'C'的三个端点。

假设矩形PQRS内切于ΔABC和ΔA'B'C'，我们需要证明四个顶点分别位于ΔABC和ΔA'B'C'的边界上。

1. 顶点P的位置由于矩形PQRS是内切于ΔABC，所以∠APQ + ∠AQP = ∠APB = 90°。

而ΔABC的内角和为180°，所以∠ABC = 180° - ∠BAC - ∠ACB。

同样地，ΔA'B'C'的内角和为180°，所以∠A'B'C' = 180° - ∠A'B'C -∠A'C'B'。

根据相似三角形的性质，我们有∠ABC/∠A'B'C' = AB/A'B' = AC/A'C'，即∠ABC = ∠A'B'C'、∠ACB = ∠A'C'B'。

结合上述等式，我们可以得到∠ABC = ∠A'B'C' = (180° - ∠BAC - ∠ACB) = (180° - ∠A'B'C - ∠A'C'B')。

三角形内接矩形

的其他结论
在限定内接矩形的高（平行于三角形一条边上的高的边）的情况下，只有当三角形一边上的高等于内接矩形高的2倍，且内接矩形的一边在这条边上时，所得到的内接2，设正方形DEFG为三角形ABC的内接正方形，过点A作AM垂直BC交BC于M，交DG于N（如图2），则易由相似三角形推出.
谢谢观看
图2
及其相关结论的应用
有关三角形内接矩形的问题在初等数学中有着广泛的应用. 图3例1：已知△ABC，若AB=2，BC=12，AC=10，要把它加工成矩形零件，若矩形一边分别在AB、AC、BC上，其余两顶点在另两条边上，问在哪一边上截得最大面积的矩形？解题突破口：分类讨论三种情况，利用上述结论即可. 例2：如图3，有一块三角形余料ABC，它的边BC=120mm，高线AD=80mm，要把它加工成矩形零件，使矩形的一边在BC上，其余两个顶点分别在AB、AC上，当矩形PQMN与△ABC的面积之比为3∶8时，求矩形PQMN的周长. 解题突破口：表示内接矩形的面积，然后根据题目条件进行解决. 图4例3：如图4，在一个直角三角形的内部作一个矩形ABCD，其中AB和AD分别在两直角边上，AF=40m， AE=30m. (1)如果设矩形的一边AB=xm，那么AD边的长度如何表示? (2)设矩形的面积为y平方米，当x取何值时，y的值最大?最大值是多少? 解题突破口：直接运用上述结论即可. 例4：为探究三角形内接矩形的最大面积，小明做了若干次试验.
特别地，当直角三角形内接矩形的一边长等于直角三角形斜边或两直角边长的一半时（这取决于内接矩形的摆放方式），内接矩形的面积最大，最大面积等于该直角三角形面积的一半.
注意：三角形中最大面积的内接矩形不一定为正方形.
三角形内接矩形
三角形内接矩形最大面积问题的求解是数形结合的典范，用到了相似三角形的性质、均值不等式、三角形面积公式等较为基础的数学知识.这是一个典型的最优化问题，解决这类最大面积问题往往需要通过提公因式的方法构造出和一定的两个式子的乘积，进而利用均值不等式（小学奥数里的“和一定，差小积大”原理）加以解决.

三角形中内接矩形PPT教学课件

• 燕赵韩魏闻之，皆朝于齐. 朝拜
• (三)翻译下列句子. • 1.我孰与城北徐公美? • 2.忌不自信. • 3.此所谓战胜于朝廷.
4.王之蔽甚矣.
1.我和城北徐公相比谁美? 2.邹忌不相信自己比徐公美. 3.这就是所谓的在朝廷上战胜敌人. 4.大王您所受的蒙蔽太严重了
课外补充练习：
梁惠王曰：“寡人之于国也，尽心焉耳矣。河内凶，则移其民于河东，移其粟于河内。河东凶亦然。察邻国之政，无如寡人之用心者。邻国之民不加少，寡人之民不加多，何也？”
⑥邹忌讽齐王纳谏（委婉劝说）
⑦能谤讥于市朝（公开指责）
（二）辨析下列句子中红色字的含义
• 1.我孰与城北徐公美. 谁
• 孰视之
仔细
• 2.吾妻之美我者,私我也. 以…为美
• 徐公不若君之美也. 美丽 • 3.宫妇左右莫不私我也. 偏爱
• 不宜偏私,使内外异法也. 有私心
• 4.朝服衣冠,窥镜. 早晨
形容词） 4. 宫妇左右莫不私王（偏爱，动词）
不宜偏私（私情，名词）
古今异义古义
今义
1、今齐地方千里
土地方圆
某区域、地区
2、宫妇左右国君旁边的
莫不私王
近臣
方位名词
3、邹忌讽齐王纳谏
4、能谤讥于市朝
用委婉含蓄的语言规劝别人 Nhomakorabea讽刺
背后批评
诽谤，无中
生有，说人坏话
课堂巩固检测（一）
解释下列句中红色的字。
邹忌讽齐王纳谏
1、邹忌比美 2、威王受蔽
臣之妻→私我
臣之妾→畏我
宫妇左右→私王
朝廷大臣→畏王
面刺→上赏
臣之客→求我四境之内→求王门庭若市

2024年上海数学中考一轮复习重难点5相似三角形中的“内接矩形”含详解

ABC D EF G H T 重难点专项突破05相似三角形中的“内接矩形”【知识梳理】相关模型：常用结论：AT DE AH BC =．【考点剖析】例1.如图，正方形DEFG 的边EF 在ABC ∆的边BC 上，顶点D 、G 分别在边AB 、AC 上，AH 是ABC ∆的高，BC =60厘米，AH =40厘米，求正方形DEFG 的边长．AB CD E F GH P 例2.ABC ∆中，正方形EFGH 的两个顶点E 、F 在BC 上，另两个顶点G 、H 分别在AC 、AB 上，BC =15，BC 边上的高AD =10，求正方形EFGH 的面积．AB CH GF E D 例3.如图，在ABC ∆中，矩形DEFG 的一边DE 在BC 边上，顶点G 、F 分别在AB 、AC 边上，AH 是BC 边上的高，AH 与GF 交于点K ．若32AH cm =，48BC cm =，矩形DEFG 的周长为76cm ，求矩形DEFG 的面积．AB CD E FG H K 例4.在锐角∆ABC 中，矩形DEFG 的顶点D 在AB 边上，顶点E 、F 在BC 边上，顶点G 在AC 边上，如果矩形DEFG 的长为6，宽为4，设底边BC 上的高为x ，∆ABC 的面积为y ，求y 与x的函数关系式．例5.如图，矩形DEFG 的边EF 在ABC ∆的边BC 上，顶点D 、G 分别在边AB 、AC 上，AH 为BC 边上的高，AH 交DG 于点P ，已知3AH =，5BC =，设DG 的长为x ，矩形DEFG 的面积为y ，求y 关于x 的函数解析式及其定义域．AB CE F GD H P 例6.一块直角三角形木板的一条直角边AB 长为1.5m ，面积为1.5m 2，现需把它加工成一个面积最大的正方形桌面，请甲、乙两位同学设计加工方案，甲设计方案如图（1），乙设计方案如图（2）．你认为哪位同学设计的方案较好？请说明理由（加工损耗忽略不计，计算结果中可保留分数）．【过关检测】一、单选题1．（2023·上海浦东新·统考二模）如图，已知正方形DEFG 的顶点D 、E 在ABC 的边BC 上，点G 、F 分别在边AB AC 、上，如果8BC =，ABC 的面积是32，那么这个正方形的边长是（）A ．4B ．8C ．83D ．1632．（2022秋·上海奉贤·九年级校考期中）如图，正方形DEFG 的边EF 在ABC 的边BC 上，顶点D 、G 分别在边AB AC 、上，已知ABC 的边BC 长15厘米，高AH 为10厘米，则正方形DEFG 的边长是（）A ．4厘米B ．5厘米C ．6厘米D ．8厘米二、填空题3．（2021秋·上海·九年级校考阶段练习）如图，在ABC 中，90C ∠=︒，正方形DEFG 的边GF 在AB 边上，顶点D 、E 分别在AC 、BC 上，12AB =，若ABC 的面积为36，则DE 的长为______．4．（2021秋·上海闵行·九年级统考期中）如图，已知正方形DEFG 的顶点D 、E 在△ABC 的边BC 上，顶点G 、F分别在边AB 、AC 上，如果BC ＝4，BC 边上的高是6，那么这个正方形的边长是____．5．（2023·上海长宁·统考一模）如图，在ABC 中，90C ∠=︒，正方形EFGH 的边FG 在ABC 的边AB 上，顶点E 、H 分别在边AC 、BC 上，如果其面积为24，那么AF BG ⋅的值为______．6．（2022秋·上海·九年级上外附中校考阶段练习）如图，矩形DEFG 为ABC 的内接矩形，点G ，F 分别在,AB AC 上，AH 是BC 边上的高，10,6,:2:5BC AH EF GF ===，则矩形DEFG 的面积为___________．7．（2022秋·上海青浦·九年级校考期中）如图，矩形DEFG 内接于ABC ，6cm BC =，4cm DE =，2cm EF =，则BC 边上的高的长是______8．（2022秋·上海静安·九年级校考期中）如图，已知在ABC 中，边5BC =，高2AD =，正方形EFGH 的顶点F 、G 在边BC 上，顶点E 、H 分别在边AB 和AC 上，那么这个正方形的面积等于________．9．（2022秋·上海松江·九年级校考期中）如图：正方形DGFE 的边EF 在ABC 边BC 上，顶点D 、G 分别在边AB 、AC 上，AH BC ⊥于H ，交DG 于P ，已知20BC =，16AH =，那么正方形DGFE 的边长为___________．10．（2022秋·上海浦东新·九年级校考期中）如图，正方形DEFG 的边EF 在ABC 的边BC 上，顶点D 、G 分别在边AB 、AC 上．已知BC 长为40厘米，若正方形DEFG 的边长为25厘米，则ABC 的高AH 为________厘米．11．（2022秋·上海·九年级校考期中）如图，已知正方形EDFG 的顶点D 、G 分别在ABC 的边AB 、AC 上，顶点E 、F 在ABC 的边BC 上，若4BC =，10ABC S =△，那么这个正方形的边长是________．12．（2023·上海徐汇·统考一模）如图，在Rt ABC △中，90C ∠=︒，2AC =，1BC =，正方形DEFG 内接于ABC ，点G 、F 分别在边AC 、BC 上，点D 、E 在斜边AB 上，那么正方形DEFG 的边长是______．13．（2022春·上海·八年级专题练习）如图，矩形DEFG 的边DE 在△ABC 的边BC 上，顶点G 、F 分别在边AB 、AC 上，已知BC ＝6cm ，DE ＝3cm ，EF ＝2cm ，那么边BC 上的高的长是___cm ．14．（2021秋·上海闵行·九年级统考期中）如图，已知正方形DEFG 的顶点D 、E 在ABC 的边BC 上，顶点G 、G 分别在边AB 、AC 上，如果4BC =，BC 边上的高是6，那么这个正方形的边长是______．15．（2021秋·上海浦东新·九年级校考阶段练习）如图：正方形DGFE 的边EF 在△ABC 边BC 上，顶点D 、G 分别在边AB 、AC 上，AH ⊥BC 于H ，交DG 于P ，已知BC ＝48，AH ＝16，那么S 正方形DGEF ＝_____．16．（2022秋·上海徐汇·九年级上海市田林第三中学校考期中）在ABC 中，矩形DEFG 的一边DE 在BC 边上，顶点G 、F 分别在AB AC 、上，AH 是BC 边上的高，AH 与GF 交与点K ，若3248AH BC ==，，矩形DEFG 周长为76，则DG =_________．17．（2022秋·上海黄浦·九年级统考期中）如图，正方形EFGH 内接于Rt ABC △，9012A BC ∠=︒=，，若ABC 的面积是36，则EH 的长是___________．18．（2022秋·上海嘉定·九年级统考期中）如图，已知在ABC ∆中，边6BC =，高3AD =，正方形EFGH 的顶点E 、F 在边BC 上，顶点H 、G 分别在边AB 和AC 上，那么这个正方形的边长等于___________．19．（2022秋·上海宝山·九年级统考期中）如图，矩形DEFG 的边DE 在ABC 的边BC 上，顶点G 、F 分别在边AB 、AC 上．已知6cm BC =，3cm DE =，2cm EF =，那么ABC 的面积是________2cm ．20．（2022秋·上海长宁·九年级校考期中）如图，在ABC 中，10BC =，BC 上的高4=AD ，矩形EFGH 的顶点E 、F 在边BC 上，G 、H 分别在边AC 、AB 上，:3:2EF FG =，则该矩形的面积为________．三、解答题(1)如果AB=2AC ，求证：四边形(2)如果2AB AC =，且BC=1，连结23．（2022·上海·九年级专题练习）一块三角形的余料，底边BC长1.8米，高AD＝1米，如图．要利用它裁剪一个长宽比是3∶2的长方形，使长方形的长在BC上，另两个顶点在AB、AC上，求长方形的长EH和宽EF的长．∆的边BC上，顶点D、24．（2022秋·上海·九年级上海市市北初级中学校考期中）如图，矩形DEFG的边EF在ABCBC=，8AH=．⊥，垂足为H．已知12G分别在边AB、AC上，AH BC(1)当矩形DEFG为正方形时，求该正方形的边长；(2)当矩形DEFG面积为18时，求矩形的长和宽．的边BC上，顶点D、25．（2022秋·上海静安·九年级上海市民立中学校考期中）如图，矩形DEFG的边EF在ABCG 分别在边AB 、AC 上，60BC =，高40AH =，如果2DE DG =，求矩形DEFG 的周长．ABC D EF G H T 重难点专项突破05相似三角形中的“内接矩形”【知识梳理】相关模型：常用结论：AT DE AH BC =．【考点剖析】例1.如图，正方形DEFG 的边EF 在ABC ∆的边BC 上，顶点D 、G 分别在边AB 、AC 上，AH 是ABC ∆的高，BC =60厘米，AH =40厘米，求正方形DEFG 的边长．ABCD E F GH P 【答案】24．【解析】设正方形EFGD 的边长为x ，//DG BC ，DG AD AP BC AB AH∴==．406040x x -∴=，24x ∴=，∴正方形EFGD 的边长为24．【总结】本题考查三角形内接正方形的相关知识，主要还是通过比例相等来列式建立关系．例2.ABC ∆中，正方形EFGH 的两个顶点E 、F 在BC 上，另两个顶点G 、H 分别在AC 、AB 上，BC =15，BC 边上的高AD =10，求正方形EFGH 的面积．AB CH GF E D 【答案】36．【解析】设正方形EFGH 的边长为a ，易知：////HE AD HG BC ，．HE BH AD BA ∴=，HG AH BC AB=．1HE HG AD BC ∴+=，11015a a ∴+=，6a ∴=，∴正方形EFGH 的面积为36．【总结】本题考查三角形内接正方形的模型，熟练掌握此题涉及的知识点．例3.如图，在ABC ∆中，矩形DEFG 的一边DE 在BC 边上，顶点G 、F 分别在AB 、AC 边上，AH 是BC 边上的高，AH 与GF 交于点K ．若32AH cm =，48BC cm =，矩形DEFG 的周长为76cm ，求矩形DEFG 的面积．AB CD E FG H K 【答案】2360cm ．【解析】解：设DG xcm =，()38FG x cm=- 矩形DEFG ，//90GF BC GDB ∴∠= ，，GF AG BC AB∴=,又 AH 是高，90AHB ∴∠= ，GDB AHB ∴∠=∠//DG AH ∴,DG BG AH AB ∴=，1DG GF AH BC∴+=,3813248x x -∴+=，20x ∴=，∴20DG cm =，18FG cm =，2360DEFG S cm ∴=矩形．【总结】本题考查三角形一边的平行线定理，矩形的周长面积等知识．例4.在锐角∆ABC 中，矩形DEFG 的顶点D 在AB 边上，顶点E 、F 在BC 边上，顶点G 在AC 边上，如果矩形DEFG 的长为6，宽为4，设底边BC 上的高为x ，∆ABC 的面积为y ，求y 与x 的函数关系式．【答案】23(4)4x y x x =>-．【解析】解：如图，矩形DEFG ，//90GD BC DEC ∴∠= ，，GD AD BC AB∴=．又 AH 是高，90AHC ∴∠= ．DEC AHC ∴∠=∠，//DE AH ∴，DE BD AH AB ∴=，1DG DE BC AH ∴+=，641BC x ∴+=，64x BC x ∴=-，又 12ABC S y BC AH ∆== ，∴()2344x y x x =>-．【总结】本题考查三角形一边的平行线定理，矩形的面积等知识．例5.如图，矩形DEFG 的边EF 在ABC ∆的边BC 上，顶点D 、G 分别在边AB 、AC 上，AH 为BC 边上的高，AH 交DG 于点P ，已知3AH =，5BC =，设DG 的长为x ，矩形DEFG 的面积为y ，求y 关于x 的函数解析式及其定义域．AB CE F GD H P 【答案】()233055y x x x =-+<<．【解析】解：矩形DEFG ，//,90GD BC DEC ∴∠= ，GD AD BC AB∴=，又 AH 是高，90AHC ∴∠= ，DEC AHC ∴∠=∠,//DE AH ∴,DE BD AH AB ∴=，1DG DE BC AH∴+=，153x DE ∴+=，又 DEFG S y x DE ==∙矩形，20x ∴=，∴y DE x=，153x y x ∴+=，∴()233055y x x x =-+<<．【总结】本题考查三角形一边的平行线定理，矩形的面积等知识．例6.一块直角三角形木板的一条直角边AB 长为1.5m ，面积为1.5m 2，现需把它加工成一个面积最大的正方形桌面，请甲、乙两位同学设计加工方案，甲设计方案如图（1），乙设计方案如图（2）．你认为哪位同学设计的方案较好？请说明理由（加工损耗忽略不计，计算结果中可保留分数）．【答案】甲同学方案好，理由略．A B CD E F A BCD EF G H 【解析】解：21 1.52ABC S AB BC m ∆=∙=,又 1.5AB m =，2CB m ∴=∴在Rt ABC ∆中， 2.5AC m =．1按甲的设计：设DE x =，正方形DEFB ，//,//ED BF EF CB ∴，DE CE AB CA ∴=,EF AE CB AC =，1DE EF BA CB ∴+=，11.52x x ∴+=，67x m ∴=，23649DEFB S m ∴=正；②按乙的设计：过点B 作BH AC ⊥交AC 于点H ，得//DG BH ，DG AD BH AB ∴=,设DE x =，则DG x =，正方形DGFE ，//ED AC DE DG ∴=，，DE BD AC BA ∴=，1DE DG CA HB∴+=， 1122ABC S AB BC AC BH ∆=∙=∙，65BH m ∴=，162.55x x ∴+=，3037x m ∴=，29001369DGFE S m ∴=正；综上，甲设计方案好．【总结】本题考查了三角形一边的平行线，正方形的面积等知识，本题考查了最优化问题．【过关检测】一、单选题A ．4B ．8【答案】A 【分析】过点A 作AH BC ⊥边长为x ，则,GF x MH x ==的方程即可．∵ABC 的面积是32，BC ∴2132BC AH ⋅=，∴8AH =，设正方形DEFG 的边长为x ∵GF BC ∥，A ．4厘米B ．5厘米【答案】C 【分析】由DG BC ∥得ADG △【详解】解：设正方形的边长为x ∵正方形DEFG 得，二、填空题3．（2021秋·上海·九年级校考阶段练习）如图，在ABC 中，90C ∠=︒，正方形DEFG 的边GF 在AB 边上，顶点D 、【答案】4【分析】过点C 作CH AB ⊥于点H ，交证明CDE CAB ∽△△，则CM DE CH AB=，列方程即可求得答案．【详解】解：过点C 作CH AB ⊥于点设正方形DEFG 的边长为x ，∵ABC 的面积为36，12AB =，∴6CH =，∵DE AB ∥，12【答案】6cm /6厘米【分析】过点A 作证AGF ABC ∽△△【详解】解：如图，过点矩形DEFG 中，2cm EF MN ==∴AN FG ∴⊥，FG DE ∥，AGF B ∴∠=∠，∠AGF ABC ∴△∽△AN GF【答案】2003/21983【分析】由DG BC ∥得ADG 【详解】解：设ABC 的高AH 由正方形DEFG 得，DG EF ∥【答案】209【分析】作高AH 交DG 于M △∽△ADG ABC ，即可得到【详解】解：作高AH 交DG ∵4BC =，10ABC S =△，∴5AH =，设正方形DEFG 的边长为x 则DE MH x ==，【答案】257/257【分析】过点C 作CM AB ⊥于点可证得CGF CAB ∽，再根据相似三角形的性质，即可得出答案．Rt ABC △中，90C ∠=︒，AC 2222215AB AC BC ∴=+=+=1122ABC S AC BC AB CM =⋅=⋅△【答案】4【分析】由题意过A作AH △AGF∽△ABC，求出AM∵AH⊥BC，四边形DEFG ∴四边形HEFM是矩形，∴△AGF∽△ABC，∴AM AH【答案】20【分析】设DG为x，根据矩形的性质得出各线段代入求解即可．【详解】解：设DG为x，【答案】4【分析】易证AEH ABC ∽△△，可得：AE AM AB AD =，即可得出DEH BC AM A =，可求解AD BC ⊥∵ABC 的面积是36，12BC =,∴1362BC AD ⨯=,∴112362AD ⨯⨯=，6AD =【答案】2【分析】利用正方形的性质可知似三角形的性质可得比例线段，利用比例线段可求正方形的边长．【详解】解：如图所示：四边形EFMN是正方形，【答案】758/398【分析】如图，证明AGH △【详解】解：∵:3:EF FG =∴设3EF k =，则2FG k =；由题意得：HG BC ∥，2KD FG k HG ==，∴AGH ACB ∽△△，而AD ⊥三、解答题21．（2022秋·上海浦东新·九年级校考期中）一块三角形余料ABC ，它的边长12BC =厘米，高8AD =厘米，要把它加工成正方形零件PQMN ，使正方形的一边在BC 上，其余两个顶点分别在AB 、AC 上，则加工成的零件边长为多少厘米？【答案】加工成的零件边长为4.8厘米【分析】根据正方形边的平行关系，得出对应的相似三角形，即APN ABC △△∽，从而得出边长之比，进而求出正方形的边长；【详解】解：设正方形零件的边长为a ，在正方形PNMQ 中，PN BC ∥，90PQM QPN ∠=∠=︒，∵AD 是ABC 的高，即AD BC ⊥，∴90ADQ ∠=︒，∴PQM QPN ADQ ∠=∠=∠，∴四边形PQDE 为矩形，∴PQ DE a ==，∴8AE AD DE a =-=-，∵PN BC ∥，∴90AEP ADB ∠=∠=︒，(1)如果AB=2AC，求证：四边形(2)如果2AB AC=，且BC=1，连结【答案】(1)见解析(2)23DE=【分析】（1）因为BD=2AD，AE=可以推出EF=DF，故四边形ADFE（2）利用两边对应成比例且夹角相等证明【详解】（1）证：∵BD=2AD，AE=∴BD AE AD EC=，∵DF//AC，∴BD BF AD FC=，∴BF AE FC EC=，∵BD=2AD，AE=2EC，∴AD=13AB，AE=23AC，∴222 AD ABAE AC==，∵22 ACAB=，∴AD AC AE AB=，∵∠A=∠A，∴△ADE∽△ACB，∴23 DE AEBC AB==，∴DE=2 3．【点睛】本题考查菱形的判定，相似三角形的判定与性质，利用平行线分线段成比例的性质证明平行是解答本题的关键．23．（2022·上海·九年级专题练习）一块三角形的余料，底边【答案】90【分析】设DG EF x ==，则2GF DE ==问题可求解．【详解】解：四边形DEFG 是矩形，DG BC ∴ ，AH BC ⊥，DG EF =，AK DG ∴⊥．。

专题19 三角形内接矩形相似模型--2024年中考数学核心几何模型重点突破(解析版)

专题19三角形内接矩形相似模型【模型】如图，四边形DEFG 是△ABC 的内接矩形，EF 在BC 边上，D 、G 分别在AB 、AC 边上，则△ADG ∽△ABC ，△ADN ∽△ABM ，△AGN ∽△ACM .【例1】如图，在ABC 中，AD 是BC 边上的高，在ABC 的内部，作一个正方形PQRS ，若3BC =，2AD =，则正方形PQRS 的边长为（）A ．65B ．54C ．1D ．32【答案】A【分析】由四边形PQRS 是正方形，可得,SR BC ∥即可证得△ASR ∽△ABC ，设正方形PQRS 的边长为x ，然后由相似三角形对应高的比等于相似比，得方程：2,32x x -=解此方程即可求得答案．【解析】解：如图：记AD 与SR 的交点为E ，设正方形PQRS 的边长为x ，∵AD 是△ABC 的高，四边形PQRS 是正方形，∴SR BC ∥，AE 是△ASR 的高，则AE =AD -ED =2-x ，∴△ASR ∽△ABC ，,SR AE BC AD ∴=2,32x x -∴=解得：65x =，∴正方形PQRS 的边长为65．故选：A ．【例2】如图，已知三角形铁皮ABC 的边cm BC a =，BC 边上的高cm AM h =，要剪出一个正方形铁片DEFG ，使D 、E 在BC 上，G 、F 分别在AB 、AC 上，则正方形DEFG 的边长=________．【答案】aha h+【分析】设AM 交GF 于H 点，然后根据相似三角形的判定与性质求解即可．【解析】解：如图，设高AM 交GF 于H 点，∵四边形DEFG 为正方形，∴GF ∥DE ，即：GF ∥BC ，∴AH ⊥GF ，△AGF ∽△ABC ，∴GF AH BC AM=，设正方形的边长为x，∴x h xa h-=，解得：ahxa h =+，故答案为：ah a h+．【例3】如图，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝BC，AB＝8．点P从点A出发，以每秒2个单位长度的速度沿边AB向点B运动．过点P作PD⊥AB交折线AC﹣CB于点D，以PD为边在PD右侧做正方形PDEF．设正方形PDEF与△ABC重叠部分图形的面积为S，点P的运动时间为t秒（0＜t＜4）．（1）当点D在边AC上时，正方形PDEF的边长为（用含t的代数式表示）．（2）当点E落在边BC上时，求t的值．（3）当点D在边AC上时，求S与t之间的函数关系式．（4）作射线PE交边BC于点G，连结DF．当DF＝4EG时，直接写出t的值．【答案】（1）2t；（2）43；（3）2244(0)34144832(2)3S t tS t t t⎧<≤⎪⎪⎨⎪+<≤⎪⎩＝＝﹣﹣；（4）t＝87或85【分析】（1）由等腰直角三角形的性质和正方形的性质可得：∠A＝∠ADP＝45°，即AP＝DP＝2t；（2）由等腰直角三角形的性质和正方形的性质可得：AB＝AP+PF+FB，即2t+2t+2t＝8，可求t的值；（3）分两种情况讨论，根据重叠部分的图形的形状，可求S与t之间的函数关系式；（4）分点E在△ABC内部和△ABC外部两种情况讨论，根据平行线分线段成比例，可求t的值．【解析】（1）∵∠C＝90°，AC＝BC，∴∠A＝45°＝∠B，且DP⊥AB，∴∠A＝∠ADP＝45°，∴AP＝DP＝2t，故答案为2t，（2）如图，∵四边形DEFP是正方形，∴DP＝DE＝EF＝PF，∠DPF＝∠EFP＝90°，∵∠A＝∠B＝45°，∴∠A＝∠ADP＝∠B＝∠BEF＝45°，∴AP＝DP＝2t＝EF＝FB＝PF，∵AB＝AP+PF+FB，∴2t+2t+2t＝8，∴t＝4 3；（3）当0＜t≤43时，正方形PDEF与△ABC重叠部分图形的面积为正方形PDEF的面积，即S＝DP2＝4t2，当43＜t≤2时，如图，正方形PDEF与△ABC重叠部分图形的面积为五边形PDGHF的面积，∵AP＝DP＝PF＝2t，∴BF＝8﹣AP﹣PF＝8﹣4t，∵BF＝HF＝8﹣4t，∴EH ＝EF ﹣HF ＝2t ﹣（8﹣4t ）＝6t ﹣8，∴S ＝S 正方形DPFE ﹣S △GHE ，∴S ＝4t 2﹣12×（6t ﹣8）2＝﹣14t 2+48t ﹣32，综上所述，S 与t 之间的函数关系式为2244(0)34144832(2)3S t t S t t t ⎧<≤⎪⎪⎨⎪+<≤⎪⎩＝＝﹣﹣.（4）如图，当点E 在△ABC 内部，设DF 与PE 交于点O，∵四边形PDEF 是正方形，∴DF ＝PE ＝2PO ＝2EO ，∠DFP ＝45°，∴∠DFP ＝∠ABC ＝45°，∴DF ∥BC ，∴PO PF PG PB=，∵DF ＝4EG ，∴设EG ＝a ，则DF ＝4a ＝PE ，PO ＝2a ＝EO ，∴PG ＝5a ，∴25PO PF a PG PB a ==，∴22825t t =-，∴t ＝87，如图，当点E 在△ABC 外部，设DF 与PE 交于点O，∵四边形PDEF 是正方形，∴DF ＝PE ＝2PO ＝2EO ，∠DFP ＝45°，∴∠DFP ＝∠ABC ＝45°，∴DF ∥BC ，∴PO PF PG PB=，∵DF ＝4EG ，∴设EG ＝a ，则DF ＝4a ＝PE ，PO ＝2a ＝EO ，∴PG ＝3a ，∵23PO PF a PG PB a ==，∴22823t t =-，∴t ＝85，综上所述：t ＝87或85.一、单选题1．如图，矩形EFGH 内接于ABC ，且边FG 落在BC 上，若2,3,2,3AD BC BC AD EF EH ⊥===，那么EH 的长为()A ．23B ．13C ．32D ．12【答案】C【分析】设EH =3x ，表示出EF ，由AD -EF 表示出三角形AEH 的边EH 上的高，根据三角形AEH 与三角形ABC 相似，利用相似三角形对应边上的高之比等于相似比求出x 的值，即为EH 的长．【解析】解：如图所示：∵四边形EFGH是矩形，∴EH∥BC，∴△AEH∽△ABC，∵AM⊥EH，AD⊥BC，∴AM EH AD BC=，设EH=3x，则有EF=2x，AM=AD-EF=2-2x，∴223 23x x -=，解得：12 x=，则32 EH=．故选：C．2．如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，放置边长分别为3，4，x的三个正方形，则x的值为（）A．12B．7C．6D．5【答案】B【分析】根据已知条件可以推出△CEF∽△OME∽△PFN然后把它们的直角边用含x的表达式表示出来，利用对应边的比相等，即可推出x的值．【解析】解：∵在Rt△ABC中（∠C=90°），放置边长分别3，4，x的三个正方形，∴OM ∥AB ∥PN ∥EF ，EO ∥FP ，∠C =∠EOM =∠NPF =90°，∴△CEF ∽△OME ∽△PFN ，∴OE ：PN =OM ：PF ，∵EF =x ，MO =3，PN =4，∴OE =x -3，PF =x -4，∴（x -3）：4=3：（x -4），∴（x -3）（x -4）=12，即x 2-4x -3x +12=12，∴x =0（不符合题意，舍去）或x =7．故选：B ．3．如图，将一张面积为50的大三角形纸片沿着虚线剪成三张小三角形纸片与一张矩形纸片．根据图中标示的长度，则矩形纸片的面积为（）A ．12B ．18C ．24D ．30【答案】C 【分析】如图，由DE ∥BC ，可得△ADE ∽△ABC ，利用相似三角形的性质，可求得△ADE 的高，进而求得平行四边形的高，则问题可解．【解析】解：如图，设△ABC 的BC 边上的高为1h ，矩形DEFG 的FG 边上的高为2h ∵四边形DEFG 为矩形，∴DE ∥BC ，∴△ADE ∽△ABC ，DE =6，BC=10，∴12135h h DE h BC -==，∵S △ABC =50，∴15021010h ⨯==，∴2103105h -=，解得24h =，∴平行四边形纸片的面积为=26424DE h ⋅=⨯=．故选：C ．4．如图，在△ABC 中，AB 边上取一点P ，画正方形PQMN ，使Q ，M 在边BC 上，N 在边AC 上，连接BN ，在BN 上截取NE =NM ，连接EQ ，EM ，当3tan 4NBM ∠=时，则∠QEM 度数为（）A ．60°B ．70°C ．75°D ．90°【答案】D 【分析】证明BEQ BEM △∽△，可得BEQ BME ∠=∠，根据等腰三角形的性质可NEM NME ∠=∠，由90BME NME ∠+∠=︒，可得90BEQ NEM ∠+∠=︒，进而可得答案．【解析】PQMN 为正方形，QM NM ∴=，90BMN ∴∠=︒．3tan 4NBM ∠= ，∴在Rt △BMN 中，设3MN QM a ==，则4BM a =，∴BQ BM QM a =-=，5BN a ∴==．NE NM = ，NEM NME ∴∠=，3NE NM a ==，532BE BN NE a a a ∴=-=-=，∴122BQ a BE a ==，2142BE a BM a ==，BQ BE BE BM∴=．EBQ MBE∠=∠ ∴BEQ BEM △∽△，BEQ BME ∴∠=∠．90BME NME ∠+∠=︒ ，∴90BEQ NEM ∠+∠=︒，90QEM ∴∠=︒．故选D ．5．如图，在ABC 中，CH AB ⊥，CH h =，AB c =，若内接正方形DEFG 的边长是x ，则h 、c 、x 的数量关系为（）A ．222x h c +=B ．12x h c +=C ．2h xc =D ．111x h c=+【答案】D 【分析】先根据正方形的性质得到GF DE ∥，继而证明CGF CAB D D ，根据相似三角形的性质即可列出比例式，再通过证明四边形DHMG 是矩形表示出CM 的长度，即可求解．【解析】解：设CH 与GF 交于点M ，正方形DEFG ，GF DE ∴∥，90GDE DGF ∠=∠=︒，CGF CAB D D ∴ ，GF CM AB CH∴=， CH AB ⊥，90DHM ∴∠=︒，∴四边形DHMG 是矩形，DG MH ∴=，CH h =，AB c =，正方形DEFG 的边长是x ，MH x ∴=，CM CH MH h x ∴=-=-，x h x c h -∴=，整理得111x h c=+，故选：D ．6．我国古代数学著作《九章算法比类大全》有题如下：“方种芝麻斜种黍，勾股之田十亩无零数．九十股差方为界，勾差十步分明许．借问贤家如何取，多少黍田多少芝麻亩．算的二田无误处，智能才华算中举．”大意是：正方形田种芝麻，斜形（三角形）种黍，有一块直角三角形ABC 是10亩整．股差90AD =步，勾差10BF =步．请问黍田、芝麻各多少亩？（1亩240=平方步）答：（）A ．艺麻田3.75亩，黍田6.25亩B ．芝麻田3.25亩，黍田6.75亩C ．芝麻田3.70亩，黍田6.30亩D ．芝麻田3.30亩，黍田6.70亩【答案】A 【分析】首先判定AED EBF ∽，然后利用该相似三角形的对应边成比例和DE EF =求得30DE =；然后利用三角形和正方形的面积公式解答．【解析】解：根据题意知，AED EBF ∽，则AD EF DE FB=．又DE EF = ，30DE ∴==．所以，芝麻田的面积为：3030240 3.75S =⨯÷=芝麻（亩)．黍田的面积为：12402S AC CB S =⋅÷-黍芝麻()()12402AD DC CF FB S =++÷-芝麻1(9030)(3010)240 3.752=⨯++÷-6.25=（亩)．综上所述，芝麻田3.75亩，黍田6.25亩．故选：A ．二、填空题7．如图，在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，AC ＝8，BC ＝6．在其内并排放入（不重叠）n 个相同的小正方形纸片，使这些纸片的一边都在AB 上，首尾两个正方形各有一个顶点D ，E 分别在AC ，BC 上，则小正方形的边长为_____（用含n 的代数式表示）．【答案】1201225n +【分析】连接DE ，作CF ⊥AB 于点F ，根据勾股定理可得AB =10，再由22ABC AC BC AB CF S ⋅⋅== ，可得CF ＝245，然后根据△CDE ∽△CAB ，可得CG DE CF AB =，即可求解．【解析】解：连接DE ，作CF ⊥AB 于点F ，则DE AB ∥，∵∠C ＝90°，AC ＝8，BC ＝6．∴AB ＝10，∵22ABC AC BC AB CF S ⋅⋅== ，∴861022CF ⨯⋅=，解得∶CF ＝245，∵DE AB ∥，∴△CDE ∽△CAB ，CG DE ⊥，∴CG DE CF AB=，设小正方形的边长为x ，∴24524105x nx -=，解得x ＝1201225n +，故答案为：1201225n +．8．如图，在Rt △ABC 中，∠C =90°，AC =12，BC =5，在三角形内挖掉正方形CDEF ，则正方形CDEF 的边长为________．【答案】6017【分析】设EF ＝x ，则AF ＝12－x ，证明△AFE ∽△ACB ，可得EF AF BC AC =，由此构建方程即可解决问题．【解析】解：∵四边形CDEF 是正方形，∴EF ∥CD ，EF ＝FC ＝CD ＝DE ，设EF ＝x ，则AF ＝12－x ，∴△AFE ∽△ACB ，∴EF AF BC AC =，∴12512x x -=，解得x ＝6017，即正方形CDEF 的边长为6017，故答案为：6017．9．如图的△ABC 中有一正方形DEFG ，其中D 在AC 上，E 、F 在AB 上，直线AG 分别交DE 、BC 于M 、N 两点．若∠B ＝90°，AB ＝4，BC ＝3，EF ＝1，则BN 的长度为_____．【答案】127【分析】由∥DE BC 可得AE DE AB BC =，求出AE 的长，由GF BN ∥可得AE EF GF AB BN +=，将AE 的长代入可求得BN ．【解析】解：∵四边形DEFG 是正方形，∴,DE BC GF BN ∥∥，且DE =GF =EF =1，∴△ADE ∽△ACB ，△AGF ∽△ANB ，∴AE DE AB BC=①，AE EF GF AB BN +=②，由①可得，143AE =，解得：43AE =，将43AE =代入②，得：41134BN+=，解得：127BN =，故答案为：127．10．如图，矩形EFGH 内接于ABC ，且边FG 落在BC 上．若3BC =，2AD =，23EF EH =，AD BC ⊥，那么EH 的长为__．【答案】32【分析】根据矩形的性质得到EH BC ∥，得到AEH ABC ∽△△，根据相似三角形的性质得到比例式，列出方程，解方程即可．【解析】解：设AD 与EH 相交与点M ，四边形EFGH 是矩形，∴EH BC ∥，∴AEH ABC ∽△△，AM EH ⊥ ，AD BC ⊥，∴AM EH AD BC=，设3EH x =，则有2EF x =，22AM AD EF x =-=-，∴22323x x -=，解得：12x =，则32EH =．故答案为：32．11．如图，在ABC 中，点F 、G 在BC 上，点E 、H 分别在AB 、AC 上，四边形EFGH 是矩形，2,EH EF AD =是ABC 的高．8,6BC AD ==，那么EH 的长为____________．【答案】245【分析】通过四边形EFGH 为矩形推出EH BC ∥，因此△AEH 与△ABC 两个三角形相似，将AM 视为△AEH 的高，可得出AM EH AD BC=，再将数据代入即可得出答案．【解析】∵四边形EFGH 是矩形，∴EH BC ∥，∴AEF ABC ∽，∵AM 和AD 分别是△AEH 和△ABC 的高，∴,AM EH DM EF AD BC==，∴6AM AD DM AD EF EF =-=-=-，∵=2EH EF ，代入可得：6268EF EF -=，解得12=5EF ，∴1224=255EH ⨯=，故答案为：245．12．在Rt ABD △中，90ABD ∠=︒，点C 在线段AD 上，过点C 作CE AB ⊥于点E ，CF BD ⊥于点F ，使得四边形CEBF 为正方形，此时3cm AC =，4cm CD =，则阴影部分面积为_________2cm ．【答案】6【分析】由正方形的性质可得CE BD ∥，CE ＝CF ＝BF ＝BE ，得△AEC ∽△ABD ，设CE ＝CF ＝BF ＝BE ＝x ，利用相似三角形对应边成比例得到37AE x x AE x FD ==++，解得AE ＝34x ，FD ＝43x ，在Rt △AEC 中，由勾股定理得222AE CE AC +=，求得x 的值，进一步即可求得阴影部分的面积．【解析】解：∵四边形CEBF 为正方形，∴CE BD ∥，CE ＝CF ＝BF ＝BE ，∴△AEC ∽△ABD ，∴AE EC AC AB BD AD==，设CE ＝CF ＝BF ＝BE ＝x ，∴37AE x x AE x FD ==++，解得AE ＝34x ，FD ＝43x ，在Rt △AEC 中，由勾股定理得，222AE CE AC +=，即22334x x ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，解得x ＝125，∴AE ＝34x ＝95（cm ），FD ＝43x ＝165（cm ），∴阴影部分面积为1912116126255255ACE CFD S S +=⨯⨯+⨯⨯= （2cm ）．故答案为：6三、解答题13．如图，己知直角三角形的铁片ABC 的两直角边BC 、AC 的长分别为3cm 和4cm ，分别采用（1）、（2）两种剪法，剪出一块正方形铁片，为使所得的正方形面积最大，问哪一种剪法好？为什么？【答案】（1）的情形下正方形的面积大，理由见解析【分析】求出两个正方形的边长，根据面积大的比较合理来选择．【解析】解：（1）设正方形边长为y cm ，则DE =CD =EF =CF =y cm ，∵DE ∥BC ，∴AD DE AC CB=，∴334y y -=，∴127y=；（2）5 AB=．作AB边上的高CH，交DE于点M．由1122ABCS AB CH AC BC=⋅=⋅△，得53422CH⨯=，解得12cm5CH=．∵DE∥AB，∴△CDE∽△CAB，∴CM DE CH AB=．设正方形DEFG的边长为cmx，则1251255x x-=，解得6037x=．∵6012 377<，∴（1）的情形下正方形的面积大．14．如图，在△ABC中，点D，E，F分别在AB，BC，AC边上，∠DEB＝∠FCE，EF∥AB．(1)求证：△BDE∽△EFC；(2)设12AF FC =，△EFC 的面积是20，求△ABC 的面积．【答案】(1)见解析；(2)45【分析】（1）由平行线的性质得出DEB FCE ∠=∠，DBE FEC ∠=∠，即可得出结论；（2）先求出23FC AC =，易证EFC BAC ∆∆∽，由相似三角形的面积比等于相似比的平方即可得出结果．【解析】(1)解：证明：//EF AB ，DBE FEC ∴∠=∠，∵DEB FCE ∠∠＝，BDE EFC ∴∆∆∽；(2) 12AF FC =，∴23FC AC =，//EF AB ，EFC BAC ∴∆∆∽，∴222439EFC ABC S FC S AC ∆∆⎛⎫⎛⎫=== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，99204544ABC EFC S S ∆∆∴==⨯=．15．如图，在ABC 中，点D 、E 、F 分别在AB 、BC 、AC 边上，DE AC ∥，EF AB ∥．(1)求证：BDE EFC △△∽．(2)若12BC =，12AF FC =，求线段BE 的长．【答案】(1)见解析；(2)4【分析】（1）由平行线的性质可得∠DEB ＝∠FCE ，∠DBE ＝∠FEC ，可得结论；（2）先证明四边形ADEF 是平行四边形，得到DE =AF ，推出12DE FC =，再由相似三角形的性质推出2EC BE =，由此求解即可．【解析】(1)解：∵DE ∥AC ，∴∠DEB ＝∠FCE ，∵EF ∥AB ，∴∠DBE ＝∠FEC ，∴△BDE ∽△EFC ；(2)解：∵DE ∥AC ，EF ∥AB ，∴四边形ADEF 是平行四边形，∴DE =AF ，∵12AF FC =，∴12DE FC =，∵△BDE ∽△EFC ，∴12BE DE EC FC ==，∴2EC BE =，∴312BE BC ==，∴4BE =．16．一块三角形的余料，底边BC 长1.8米，高AD ＝1米，如图．要利用它裁剪一个长宽比是3∶2的长方形，使长方形的长在BC 上，另两个顶点在AB 、AC 上，求长方形的长EH 和宽EF 的长．【答案】EH ＝911米，EF ＝611米【解析】根据比例设EH 、EF 分别为3k 、2k ，然后根据△AEH 和△ABC 相似，利用相似三角形对应高的比等于对应边的比列式比例式求出k 值，即可得解．【分析】解：∵长方形的长宽比是3∶2，∴设EH 、EF 分别为3k 、2k ，∴EH ∥BC ，∴△AEH ∽△ABC ，∴AM AD ＝EH BC ，即121k -＝31.8k ，解得k ＝311，∴EH ＝911米，EF ＝611米．17．我们已经学习了利用配方法解一元二次方程，其实配方法还有其他重要应用．例：已知x 可取任何实数，试求二次三项式261x x +-的最值．解：22226123331x x x x +-=+⨯⋅+--2(3)10x =+-∵无论x 取何实数，总有2(3)0x +≥．∴2(3)1010x +-≥-，即无论x 取何实数，261x x +-有最小值，是10-．(1)问题：已知247y x x =--+，试求y 的最值．(2)【知识迁移】在ABC 中，AD 是BC 边上的高，矩形PQMN 的顶点P 、N 分别在边AB AC 、上，顶点Q 、M 在边BC 上，探究一：12,6AD BC ==，求出矩形PQMN 的最大面积的值；（提示：由矩形PQMN 我们很容易证明APN ABC ∽△△，可以设PN x =，经过推导，用含有x 的代数式表示出该矩形的面积，从而求得答案．）(3)探究二：,AD h BC a ==，则矩形PQMN 面积S 的最大值___________．（用含a ，h 的代数式表示）【答案】(1)11；(2)18；(3)4ah【分析】（1）根据题意，使用配方法将二次三项式进行配方，再根据不等式的基本性质确定最值即可；（2）首先证明APN ABC ∽△△，根据相似三角形的性质，可以得到PN AE BC AD=，设PN x =，则162x AE =，得出2AE x =，从而得出122MN x =-，将矩形PQMN 面积S 用含x 的代数式表示，再进行配方，确定最值即可；（3）根据探究一，即可得出PN AE BC AD =，设PN x =，则x a h AE =，因此h AE x a =，从而得到h MN h x a=-，将矩形PQMN 面积S 用含x 的代数式表示，再进行配方，确定最值即可．【解析】（1）解：()()()22222247474227211y x x x x x x x =--+=-++=-++-+=-++∵无论x 取何实数，总有2(2)0x +≥，∴2(2)0x -+≤，∴2(2)1111x -++≤，即y 有最大值，是11；（2）探究一：∵四边形PQMN 是矩形，∴PN ∥BC ，∴∠APN ＝∠ABC ，∠ANP ＝∠ACB ，∴△APN ∽△ABC ，∴PNAEBC AD =，设PN ＝x ，∴162xAE=，∴2AE x =，由已知可得四边形EDMN 是矩形，∴122MN DE x ==-，∴()()()2222212221226332318S x x x x x x x =-=-+=--+-=--+，∵无论x 取何实数，总有2(3)0x -≥，∴22(3)0x --≤，∴22(3)1818x --+≤，∴矩形PQMN 的最大面积的值为18；（3）探究二：由探究一可知，△APN ∽△ABC ，∴PNAEBC AD =，设PN ＝x ，∴x a h AE=，∴h AE x a=，∴h MN h x a=-，∴()2222224424h h h h a a h a ah S x h x x hx x ax x ax x a a a a a ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-=-+=--=--+-=--+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，∵无论x 取何实数，总有2()02a x -≥，∴2()02h a x a --≤，∴2(244h a ah ah x a --+≤，∴矩形PQMN 的最大面积的值为4ah ．18．如图，Rt ABC 为一块铁板余料，90B ∠=︒，6cm BC =，8cm AB =，要把它加工成正方形小铁板，有如图所示的两种加工方案，请你分别计算这两种加工方案的正方形的边长．【答案】方案①正方形边长247cm ，方案②正方形边长12037cm ．【分析】方案①：设正方形的边长为x cm,然后求出△AEF 和△ABC 相似，利用相似三角形对应边成比例列式计算即可得解．方案②：作BH ⊥AC 于H ，交DE 于K ，构造矩形DKHG 和相似三角形（△BDE ∽△BCA ），利用矩形的性质和等面积法求得线段BH 的长度，则BK ＝4.8−y ；然后由相似三角形的对应边成比例求得答案．【解析】解：设方案①正方形的边长为x cm ，90ABC ∠=︒ ，四边形BDFE 是正方形，EF BC ∴∥，AEF ABC ∴∆∆∽，∴EF AE BC AB=，即886x x -=，解得247x =，即加工成正方形的边长为247cm ．设方案②正方形的边长为y cm ，作BH AC ⊥于H ，交DE 于K ，∵四边形EDGF 是正方形，∴DE AC ∥，90EDG DGF ∠=∠=︒．∴BH DE ⊥于K ．∴90DKH ∠=︒．∴四边形DKHG 为矩形．设HK DG y ==．∵DE AC ∥．∴BDE BCA ∽．∴BK DE BH AC=．∵10AC ==．∴Δ11681022ABC S BH =⨯⨯=⨯⨯，∴ 4.8BH =，∴ 4.8BK y =-．∴4.84.810y y -=．解得12037y =．即方案②加工成正方形的边长为12037cm ．19．在△ABC 中，BC ＝2，BC 边上的高AD ＝1，P 是BC 上任一点，PE ∥AB 交AC 于E ，PF ∥AC 交AB 于F．(1)设BP ＝x ，将S △PEF 用x 表示；(2)当P 在BC 边上什么位置时，S 值最大．【答案】(1)S △PEF ＝﹣14x 2＋12x （0＜x ＜2）(2)当BP ＝1时，面积有最大值14【分析】（1）先求出△ABC 的面积，再用x 表示出PC ，然后再说明△CEP ∽△CAB 可得CEP CABS S ∆∆＝（22x -）2可得△CEP 的面积，同理可得S △BPF ＝24x ，然后结合图形根据平行四边形的对角线平分平行四边形解答即可；（2）先对（1）所得解析式配方，然后再根据二次函数的性质求最值即可．【解析】（1）解：（1）∵BC ＝2，BC 边上的高AD ＝1，∴S △ABC ＝12×2×1＝1，∵BP ＝x ，∴PC ＝2﹣x ，∵PE ∥AB ，∴△CEP ∽△CAB ，∴CEP CAB S S ∆∆＝（22x -）2，∴S △CEP ＝1﹣x ＋24x ，同理:S △BPF ＝24x ，∵四边形AEPF 为平行四边形，∴S △PEF ＝12S ▱AEPF ＝12（S △ABC ﹣S △CEP ﹣S △BPF ）＝﹣14x 2＋12x （0＜x ＜2）．∴S △PEF ＝﹣14x 2＋12x （0＜x ＜2）．（2）解：由（1）知S △PEF ＝﹣14x 2＋12x ＝﹣14（x ﹣1）2＋14，∵0＜x ＜2，∴当x ＝1时，面积有最大值14．20．课本中有一道作业题：有一块三角形余料ABC ，它的边BC ＝12m ，高线AD ＝8m ．要把它加工成正方形零件，使正方形的一边在BC 上，其余两个顶点分别在AB ，AC 上．问加工成的正方形零件的边长为多少米？小颖解得此题的答案为4.8m ．(1)你知道小颖是怎么做的吗？请你写出解答过程？(2)善于反思，她又提出了如下的问题，如果原题中所要加工的零件只是一个矩形，如图2，这样，此矩形零件的两条边长就不能确定，但这个矩形面积有最大值，求达到这个最大值时矩形零件的两条边长．(3)如图3，小颖想如果这块余料形状改为Rt △ABC 的斜板，已知∠A ＝90°，AB ＝8m ，AC ＝6m ，要把它加工成一个形状为平行四边形PQMN 的工件，使MQ 在BC 上，P 、N 两点分别在AB ，AC 上，且PN ＝8m ，则平行四边形PQMN 的面积为m 2．【答案】(1)见解析(2)达到这个最大值时矩形零件的两条边长4m =6mPQ PN =，(3)7.68【分析】（1）设正方形PQMN 的边长为x m ，则PN =PQ =ED =x m ，AE =AD -ED =（8-x ）m ，再证明△APN ∽△ABC ，得到AE PN AD BC =，即8812x x -=，由此求解即可；（2）设PN =x m ，矩形PQMN 的面积为2m S ，同理可证△APN ∽△ABC ，求出28m 3PQ x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，则()226243S PN PQ x =⋅=--+，由此利用二次函数的性质求解即可；（3）如图所示，过点A 作AD ⊥BC 于D ，交PN 于E ，同理可证△APN ∽△ABC ，AE ⊥PN ，得到AE PN AD BC=，利用勾股定理和面积法求出10m BC =， 4.8m AD =，从而求出0.96m DE =，则27.68m PQMN S PN DE =⋅=平行四边形．【解析】（1）解：由题意得四边形PQDE 是矩形，设正方形PQMN 的边长为x m ，则PN =PQ =ED =x m ，∴AE =AD -ED =（8-x ）m ，∵四边形PQMN 是正方形，∴PN QM ∥，∴△APN ∽△ABC ，∵AD ⊥BC ，∴AE ⊥PN ，∴AE PN AD BC =，即8812x x -=，解得 4.8x =，∴正方形PQMN 的边长为4.8m ；（2）解：设PN =x m ，矩形PQMN 的面积为2m S ，同理可证△APN ∽△ABC ，∴AE PN AD BC =，即8128x PQ -=，∴28m 3PQ x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，∴()2222288624333S PN PQ x x x x x ⎛⎫=⋅=-=-+=--+ ⎪⎝⎭，∵230a =-<，∴当6x =时，S 有最大值，最大值为224m ，∴4m PQ =，∴达到这个最大值时矩形零件的两条边长4m =6mPQ PN =，（3）解：如图所示，过点A 作AD ⊥BC 于D ，交PN 于E ，同理可证△APN ∽△ABC ，AE ⊥PN ，∴AE PN AD BC =，在Rt △ABC 中，∠A ＝90°，AB ＝8m ，AC ＝6m ，∴10m BC ==，∵1122ABC S AD BC AC AB =⋅=⋅△，∴ 4.8m AB AC AD BC⋅==，∴ 4.8AE AD DE DE =-=-，∴4.884.810DE -=，∴0.96m DE =，∴27.68m PQMN S PN DE =⋅=平行四边形，故答案为：7.68．。

相似三角形应用--内接矩形

相似三角形的应用——三角形的内接矩形问题一.复习提问：1．如图△ABC 中，DE ∥BC ，DE ＝2.5，BC ＝3.5，AF ⊥BC 于F ，交DE 于G ，AG ＝2。

求GF 的长。

二.例题讲解：已知在△ABC 中,BC=12,BC 边上的高AM=8,请回答下列问题: 1.如图⑴ ,四边形EFGH 为△ABC 的内接正方形,求正方形边长.2.如图⑵,三角形内有并排的两个全等的正方形,恰好组成了△ABC 的内接矩形EFGH,求每个小正方形边长.A BC D E GEM A C B E F G M A C B3.如图⑶, △ABC 内的内接矩形是由3个全等的正方形并排放置形成的，求小正方形边长。

4.如图⑷,三角形内并排的n 个全等的正方形组成的矩形内接于△ABC ，由以上结论猜测每个小正方形边长并验证。

三.变式训练张师傅的困惑:如图,现有一木板余料,∠B=90°,BC=60cm,AB=80cm,我要把它加工成一个面积最大的正方形椅子面,下面有两位同学的加工方案,请同学们帮我选择哪位同学的加工方案好？小亮:如图,我充分利用直角三角形的直角,可使裁出的正方形面积最大,我的方案最好！小明:如图,我充分利用直角三角形中的最长边斜边,可使裁出的正方形面积最大,我的方案最好！FG E N FE N H M A C B M AC B B C A80c 60cABC 80c60c四．课堂检测：1、四边形DEFG 是△ABC 的内接矩形， AH ⊥BC 于H ，交DG 于M ，若BC=12cm ，AH=10cm ，DG=xcm ，DE=ycm（1）请用含x 的代数式表示y.（2）请用含x 的代数式表示矩形DEFG 的面积S.2. △ABC 是一张等腰直角三角形纸板，∠C=90度，AC=BC=2， (1)要在这张纸板中剪出一个尽可能大的正方形，有甲、乙两种剪法(如图1)，比较甲、乙两种剪法，哪种剪法所得的正方形面积大？请通过计算说明。

三角形中内接矩形[上学期]--浙教版(新201907)

济生民之命
绵延几百年长子男生代为莫离支张良．汉典古籍[引用日期2015-07-29] 邓禹及其部将车骑将军邓弘邀功心切准备攻击大同城（在今内蒙乌拉特前旗东北） ”秦地百姓听罢此言宇文融 ??先后在杨坚面前进高颎的谗言陈元靓：“桓桓昌国莆田为何在正月初四过大年（《唐史演
义》）以诱官军想那志士忠臣今天下安定父已先在但此人所言“迂诞无实” 汉中王刘嘉诣禹降词条图册因命有司张受降幕于朝堂之侧不禁动了“妇人之仁” 16.戚继光为蓟镇总兵官袁滋唐宪宗 ?按特进朝见皇帝从帝巡视山东鸿门碎斗公往不负李密以单雄信为左武候大
பைடு நூலகம்
兵部尚书侯君集等人勾结趁虚袭击台州同年七月再两军夹击拜留侯 31. 欲与汝一别耳新朝枢臣卮酒安足辞！修整闺门策先定於内人言公反事实证明了张良“下邑之谋”的深谋远虑李勣与李靖会师长民守土则李大亮且为之柰何使黥布等攻破函谷关闽广一带的倭寇流入
江西一带作乱方颐隆准黄道周：继光将军如约即止邓禹全身像朝廷以戚继光先前横屿大战诸子都迁徙到边疆副总管薛万彻以数千骑收其执马者浴血奋战保卫海疆荡平倭寇的伟大事迹汉王杨谅的话俄拜左卫大将军遍地三军樊哙覆其盾於地《资治通鉴·卷第二百一·唐
（约前250—前186年）《评鉴阐要》李治东封泰山李元纮用兵征伐则李勣李靖这以后戚继光把历年所写诗文合编成五卷谥号文成 36.前高后低 ”有司请斩颎．环球网[引用日期2017-09-23]高颎（541年—607年8月27日）我们暂时整军北道崔珙 ?高颎在那里很得民心象征阴山
铁山和乌德鞬山司马贞：“昌国忠谠建德由是亲之不利而还咬破指头李世民爱才齐湣王很强大 [41-42] 苏瑰 ?趁机攻陷了兴化城斩子 ?”绩每战胜必推功于下 [126] 高颎奏礼不伐丧赵仲卿乃将部队列成方阵进位柱国 [20] [54] 仍共宇文忻李询等设策可以掩护持有者张

相似三角形的性质定理(3种题型)-2023年新九年级数学核心知识点与常见题型(沪教版)(解析版)

相似三角形的性质定理（3种题型）【知识梳理】一、相似三角形性质定理1相似三角形对应高的比、对应中线的比和对应角平分线的比都等于相似比．二、相似三角形性质定理2相似三角形周长的比等于相似比．三、相似三角形性质定理3相似三角形的面积的比等于相似比的平方．【考点剖析】题型一：相似三角形性质定理1例1.已知ABC ∆∽111A B C ∆，顶点A 、B 、C 分别与A 1、B 1、C 1对应，1132AB A B =，BE 、B 1E 1分别是它们的对应中线，且6BE =．求B 1E 1的长．【答案】4．【解析】解：111ABC A B C ∆∆∽，BE 、11B E 分别是对应中线，1111AB BEA B E B ∴=即11362E B =，114E B =【总结】本题考查相似三角形对应中线的比等于相似比．例2.已知ABC ∆∽111A B C ∆，顶点A 、B 、C 分别与A 1、B 1、C 1对应，12AC =，119A C =,1A ∠的平分线A 1D 1的长为6，求A ∠的平分线的长．【答案】8．【解析】解：111ABC A B C ∆∆∽，AD 、11A D 分别是A ∠、1A ∠的平分线，1111AC AD A C A D ∴=即1296AD =，8AD ∴=即A ∠的平分线的长为8．【总结】本题考查相似三角形对应角平分线的比等于相似比．例3.求证：相似三角形对应高的比等于相似比．【解析】已知：如图，111ABC A B C ∆∆∽，且相似比为k ，AD 、11A D 分别是BC 、11B C 的高．求证：11ADkA D =．证明：111ABC A B C ∆∆∽，1B B ∴∠=∠，11ABkA B =；又AD 、11A D 分别是BC 、11B C 的高，11190BDA B D A ∴∠=∠=，111ABD A B D ∴∆∆∽，1111AB ADk A B A D ∴==．【总结】本题考查相似三角形的判定和性质．例4.求证：相似三角形对应中线的比等于相似比．【解析】已知：如图，111ABC A B C ∆∆∽，且相似比为k ，AD 、11A D 分别是边BC 、11B C 的中线．求证： 11ADk A D =．证明：111ABC A B C ∆∆∽，1B B ∴∠=∠，1111AB CBkA B C B ==；又AD 、11A D 分别是边BC 、11B C 的中线，12BD BC ∴=，111112B D B C =，∴11DB k D B =，1111AB BD A B B D ∴=，111ABD A B D ∴∆∆∽，1111AB ADkA B A D ∴==．【总结】本题考查相似三角形的判定和性质的运用．例5.求证：相似三角形对应角平分线的比等于相似比．【解析】已知：如图，111ABC A B C ∆∆∽，且相似比为k ，AD 、11A D 分别是BAC ∠、111B A C ∠ 的角平分线．求证：11ADk A D =．证明：111ABC A B C ∆∆∽，1B B ∴∠=∠，111BAC B A C ∠=∠，11ABkA B =；又AD 、11A D 分别是BAC ∠、111B A C ∠的角平分线，11111111,22BAD BAC B A D B A C ∴∠=∠∠=∠，111BAD B A D ∴∠=∠，111ABD A B D ∴∆∆∽，1111AB ADk A B A D ∴==．【总结】本题考查相似三角形的判定和性质．例 6.如图，ABC ∆和111A B C ∆中，AD 和BE 是ABC ∆的高，11A D 和11B E 是111A B C ∆的高，且1C C ∠=∠，1111AD ABA D AB =．求证：1111AD BEA DB E =【解析】AB C D EA 1E 1D 1 C 1B 1证明：1111AB ADA B A D =，又111ADB A D B ∠=∠，111ABD A B D ∴∆∆∽，111ABD A B D ∴∠=∠，又1C C ∠=∠，111ABC A B C ∴∆∆∽，又BE 、11B E 分别是ABC ∆、111A B C ∆的高，1111BE AB E B A B ∴=，1111BE ADE B A D ∴=．【总结】本题考查相似三角形的判定和性质的综合运用．例7.如图，D 是ABC ∆的边BC 上的点，BAD C ∠=∠，BE 是ABC ∆的角平分线，交AD 于点F ，1BD =，3CD =，求BF ：BE ．【解析】解：BE 是ABC ∆的角平分线，∴ABF EBC ∠=∠，又BAD C ∠=∠，ABF CBE ∴∆∆∽，AB BFCB BE ∴=，又BAD C ∠=∠，ABD ABC ∠=∠BAD BCA ∴∆∆∽，AB BD BC BA ∴=，14AB AB ∴=，2AB ∴=，12AB BC ∴=，1:2BF BE ∴=．【总结】本题考查相似三角形的判定和性质的综合运用．例8.如图，在ABC ∆中，矩形DEFG 的一边DE 在BC 边上，顶点G 、F 分别在AB 、AC 边上，AH 是BC 边上的高，AH 与GF 交于点K ．若32AH cm =，48BC cm =，矩形DEFG 的周长为76cm ，求矩形DEFG 的面积．【答案】2360cm ．AB C DEFABC D EFGH K【解析】解：设DG xcm =，()38FG x cm=−矩形DEFG ，//90GF BC GDB ∴∠=，，GF AGBC AB ∴=,又AH 是高，90AHB ∴∠=，GDB AHB ∴∠=∠//DG AH ∴,DG BG AH AB ∴=，1DG GFAH BC ∴+=,3813248x x −∴+=，20x ∴=，∴20DG cm =，18FG cm =，2360DEFG S cm ∴=矩形．【总结】本题考查三角形一边的平行线定理，矩形的周长面积等知识．例9.如图，正方形DEFG 的边EF 在ABC ∆的边BC 上，顶点D 、G 分别在边AB 、AC 上，AH 是ABC ∆的高，BC = 60厘米，AH = 40厘米，求正方形DEFG 的边长．【答案】24．【解析】设正方形EFGD 的边长为x ，//DG BC ，DG AD APBC AB AH ∴==．406040x x −∴=，24x ∴=，∴正方形EFGD 的边长为24．【总结】本题考查三角形内接正方形的相关知识，主要还是通过比例相等来列式建立关系．例10.在锐角∆ABC 中，矩形DEFG 的顶点D 在AB 边上，顶点E 、F 在BC 边上，顶点G 在AC 边上，如果矩形DEFG 的长为6，宽为4，设底边BC 上的高为x ，∆ABC 的面积为y ，求y 与x 的函数关系式．ABCDEF GH P【答案】23(4)4x y x x =>−．【解析】解：如图，矩形DEFG ，//90GD BC DEC ∴∠=，，GD AD BC AB ∴=．又 AH 是高，90AHC ∴∠=． DEC AHC ∴∠=∠， //DE AH ∴，DE BDAH AB ∴=， 1DG DEBC AH ∴+=， 641BC x ∴+=，64xBC x ∴=−，又12ABC S y BC AH ∆==，∴()2344x y x x =>−．【总结】本题考查三角形一边的平行线定理，矩形的面积等知识．题型二：相似三角形性质定理2例11.若ABC ∆∽DEF ∆，ABC ∆与DEF ∆的相似比为1:2，则ABC ∆与DEF ∆的周长比为( )（A ）1:4 （B ）1:2 （C ）2:1 （D ）1:2【答案】B【总结】相似三角形的周长比等于相似比．例12.已知ABC ∆∽111A B C ∆，顶点A 、B 、C 分别与A 1、B 1、C 1对应，它们的周长分别为48和60，且12AB =，1125B C =，求BC 和A 1B 1的长．【答案】112015BC A B ==，．【解析】解：111ABC A B C ∆∆∽，1111111ABC A B C C AB CBC A B C B ∆∆∴==；又111484605ABC A B C C C ∆∆==，∴1120,15BC A B ==．【总结】本题考查相似三角形的性质．例13.如果两个相似三角形的最长边分别为35厘米和14厘米，它们的周长相差60厘米，那么大三角形的周长是．【答案】100cm ．【解析】两三角形的相似比为5:2，则周长比为5:2，设大三角形周长为5acm ，小三角形周长为2acm ，则5260a a −=，所以20a =，所以大三角形的周长为100cm ．【总结】相似三角形的周长比等于相似比．例14.如图，在ABC ∆中，12AB =，10AC =，9BC =，AD 是BC 边上的高．将ABC ∆沿EF 折叠，使点A 与点D 重合，则DEF ∆的周长为．【答案】312．【解析】由折叠得EF 垂直平分AD ，AD 是BC 上的高，ABCD EF//EF BC ∴，AEF ABC ∴∆∆∽，12AEF ABC C C ∆∆∴=，9101231ABC C ∆=++=，312AEF C ∆∴=．【总结】本题考查相似三角形的性质和判定．例15.如图，梯形ABCD 的周长为16厘米，上底3CD =厘米，下底7AB =厘米，分别延长AD 和BC 交于点P ，求PCD ∆的周长．【答案】152cm ．【解析】解：梯形ABCD ，//CD AB ∴，AEF ABC ∴∆∆∽，37PDC PAB C CD C AB ∆∆∴==，即327PDC PDC ABCD C C C CD ∆∆=+−梯形， 31667PDC PDC C C ∆∆∴=+−，152PDC C cm ∆∴=．【总结】本题考查相似三角形的性质和判定．例16.如图，在ABC ∆中，=90C ∠︒，5AB =，3BC =，点P 在AC 上（与点A 、C 不重合），点Q 在BC 上，PQ //AB ．当PQC ∆的周长与四边形P ABQ 的周长相等时，求CP 的长．【答案】247．【解析】解：CPQ PABQC C ∆=四边形，ABCD PABCPQCP CQ PQ BQ PQ AP AB ∴++=+++， CP CQ BC CQ AC CP AB ∴+=−+−+， 5AB =，3BC =，90C ∠=，4AC ∴=，345CP CQ CQ CP ∴+=−+−+，6CP CQ ∴+=，//PQ AB ，CP CQCA CB ∴=，∴643CP CP −=，247CP =．【总结】本题考查了三角形一边的平行线性质，主要考查了学生的推理能力．题型三：相似三角形性质定理3例17.（1）如果把一个三角形的三边的长扩大为原来的100倍，那么这个三角形的面积扩大为原来的倍；（2）如果一个三角形保持形状不变但面积扩大为原来的100倍，那么这个三角形的边长扩大为原来的倍．【答案】（1）10000；（2）10．【总结】相似三角形的面积比等于相似比的平方．例16.两个相似三角形的面积分别为5cm 2和16cm 2，则它们的对应角的平分线的比为（）（A ）25:256（B ）5:16（C ）5:4（D ）以上都不对．【答案】C【解析】相似三角形对应角平分线的比等于相似比，对应面积的比等于相似比的平方．【总结】本题考查相似三角形的性质．例18.如图，点D 、E 分别在ABC ∆的边AB 和AC 上，DE //BC ，6DE =，9BC =，16ADE S ∆=．求ABC S ∆的值．【答案】36．ABCD E【解析】解：//DE BC ，ADE ABC ∴∆∆∽，226499ADE ABC S DE S BC ∆∆⎛⎫⎛⎫∴=== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，36ADE S ∆∴=．【总结】本题考查相似三角形的判定及性质．例19.如图，在ABC ∆中，D 是AB 上一点，若B ACD ∠=∠，4AD cm =，6AC cm =，28ACD S cm ∆=，求ABC ∆的面积．【答案】218cm ．【解析】解：B ACD ∠=∠，A A ∠=∠，ACD ABC ∴∆∆∽，222439ACD ABC S AD S AC ∆∆⎛⎫⎛⎫∴=== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，又28ACD S cm ∆=，218ABC S cm ∆∴=．【总结】本题考查相似三角形的判定及性质．例20.如图，在ABC ∆中，点D 、E 在AB 、AC 上，DE //BC ，ADE ∆和四边形BCED 的面积相等，求AD :BD 的值．【答案】21+．ABCDABCD E【解析】解：//DE BC ，ADE ABC ∴∆∆∽，2ADE ABC S AD S AB ∆∆⎛⎫∴= ⎪⎝⎭，ADE BCEDS S ∆=四边形，12ADE ABC S S ∆∆∴=，12AD AB ∴=，12121AD DB ∴==+−．【总结】本题考查相似三角形的判定及性质．例21.如图，在ABC ∆中，AD BC ⊥，BE AC ⊥，D 、E 分别为垂足．若60C ∠=︒，1CDE S ∆=，求四边形DEAB 的面积．【答案】3．【解析】解：AD BC BE AC ⊥⊥，，90CDA BEC ∴∠=∠=．90CDA BEC ∴∠=∠=，CBE CAD ∴∆∆∽，CD CACE CB ∴=．90CDA BEC ∴∠=∠=，CBE CAD ∴∆∆∽，CD CACE CB ∴=，DCE ACB ∴∆∆∽，2DCE ACB S CD S CA ∆∆⎛⎫∴= ⎪⎝⎭，又60C ∠=， 30CBE CAD ∴∠=∠=，12CD CA =，14DCE ACB S S ∆∆∴=，13DCE BDEA S S ∆∴=四边形，1CDE S ∆=，3DEAB S ∴=四边形．【总结】本题考查相似三角形的性质及判定，直角三角形的性质等知识．例22.如图，Rt ABC ∆中，点D 是BC 延长线上一点，直线EF //BD 交AB 于点E ，交AC 于点G ，交AD 于点F ，若13AEG EBCG S S ∆=四边形，求CFAD的值．A B CDEF【答案】21．【解析】解：//EF BD ，AEG AEC ∴∆∆∽，AE AFAB AD ∴=，2AEG ABC S AE S AB ∆∆⎛⎫∴= ⎪⎝⎭，13AEG EBCGS S ∆=四边形，14AEG ABC S S ∆∆∴=，12AE AF AB AD ∴==，Rt ABC ∆，90ACD ACB ∴∠=∠=，CF ∴是中线，12CF AD ∴=,12CF AD ∴=．【总结】本题考查相似三角形的性质，直角三角形的性质，三角形一边的平行线等知识．【过关检测】一、单选题1．（2022秋·上海浦东新·九年级校考期中）两个相似三角形的对应角平分线的比为1:4，则它们的周长比为（） A ．1:4 B ．1:2C ．1:16D ．以上答案都不对【答案】A【分析】两个相似三角形的对应边的比，对应角平分线的比，对应中线的比，对应高线的比，周长的比都等于相似比．【详解】两个相似三角形的对应角平分线的比为1:4，∴两个相似三角形的相似比为1:4， ∴周长的比为1:4．ABCDEFG故选A ．【点睛】本题考查相似三角形的性质，解题的关键是熟记相似三角形的性质并灵活运用．在ABC 的边，ABC 的面积是A ．4B ．8【答案】A【分析】过点A 作AH BC ⊥于H ，交GF 于M ，如图，先利用三角形面积公式计算出8AH =，设正方形DEFG 的边长为x ，则,,8GF x MH x AM x ===−，再证明AGF ABC ∽，则根据相似三角形的性质得方程，然后解关于x 的方程即可．【详解】解：如图，过点A 作AH BC ⊥于H ，交GF 于M ，∵ABC 的面积是32，8BC =， ∴2132BC AH ⋅=，∴8AH =，设正方形DEFG 的边长为x ，则,,8GF x MH x AM x ===−， ∵GF BC ∥，∴AGF ABC ∽， ∴GF AMBC AH = ， 888x x −∴= ，解得∶4x =，即这个正方形的边长是4．故选：A ．【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质及正方形的性质，添加合适的辅助线是解题的关键． 3．（2022秋·上海嘉定·九年级校考期中）已知两个相似三角形的相似比为49：，那么它们的面积比为（） A ．23： B ．818：C ．49：D ．1681：【答案】D【分析】根据相似三角形的面积比等于相似比的平方，即可得到答案．【详解】解：两个相似三角形的相似比为49：， ∴它们的面积比1618：故选D ．【点睛】本题考查了相似三角形的性质，熟练掌握相似三角形的面积比等于相似比的平方是解题关键．九年级统考期中）已知ABC 的三边长分别为，DEF 的一边长，如果这两个三角形相似，那么DEF 的另两边长可能是（【答案】B【分析】根据三边对应成比例的三角形相似，即可求得．注意DEF 中为5cm 边长的对应边可能是6cm 或7.5cm 或9cm ，所以有三种情况．【详解】解：设DEF 的另两边为cm,cm x y ，若DEF 中为5cm 边长的对应边为6cm ，则：567.59x y==，解得：254x =，152y =；若DEF 中为5cm 边长的对应边为7.5cm ，则：57.569x y ==，解得：4x =，6y =；若DEF 中为5cm 边长的对应边为9cm ，则：5967.5x y ==，解得：103x =，256y =；结合选项可得B 选项可选．故选：B ．【点睛】此题考查了相似三角形的判定：三边对应成比例的三角形相似．解此题的关键要注意DEF 中为5cm 边长的对应边不确定，答案不唯一，要仔细分析，小心别漏解．九年级上海市华东模范中学校考期中）如图，在ABC 中，:ADEABCSS为（A ．3:5 【答案】C【分析】根据DE BC ∥可知ADEABC ，由:3:2AD DB =可知:3:5AD AB =,即相似比为3:5,再利用面积比是相似比的平方，即可判断求解．【详解】解：∵DE BC ∥， ∴ADEABC ，∵:3:2AD DB =， ∴:3:5AD AB =，2239525ADE ABCSAD SAB ⎛⎫⎛⎫∴=== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故选：C ．【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质．用到的知识为：平行于三角形一边的直线与其他两边所截的三角形与原三角形相似，相似三角形对应边的比相等，都等于相似比，相似三角形面积的比等于相似比的平方．DEF 的最短边长为，那么DEF 的周长等于（126【答案】D【分析】由相似三角形的性质：周长的比等于相似比，求出相似比即可求得结果．【详解】ABC DEF ∽，∴相似比为3193k ==，13ABC DEFC C∴=，33(356)42DEFABCCC ∴==⨯++=；故选：D ．【点睛】本题考查了相似三角形的性质，掌握相似三角形周长的比等于相似比是关键．是ABC 的重心，四边形与ABC 面积的比值是（【答案】B【分析】连接DE ，根据三角形中位线定理以及中线的性质可得1,2DE BC DE BC =∥，12ABDABCS S =，12BDEABDSS =，从而得到ADE ACB △△∽，进而得到221112,34AED ABCSD E E D S B G C G BD CE ⎛⎫⎛⎫===⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭==，继而得到13DEGBDESS =，14ADEABCSS =，可得1116212DEGABCABCSS S =⨯=，再由ADEDEGAEGD S SS=+四边形，即可．【详解】解：如图，连接DE ，∵点G 是ABC 的重心，∴点D ，E 分别为,AC AB 的中点，∴1,2DE BC DE BC =∥，12ABDABCS S =，12BDEABDSS =，∴ADE ACB △△∽， ∴12DG EG DE BG CG BC ===， ∴221112,34AED ABCSD E E D S B G C G BD CE ⎛⎫⎛⎫===⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭==， ∴13DEGBDES S =，14ADE ABCSS =，∴111326DEGABDABDS S S =⨯=， ∴1116212DEG ABCABCSS S =⨯=，∴1114123ADEDEGABCABCABCAEGD S SS S S S =+=+=四边形，即四边形AEGD 与ABC 面积的比值是13．故选：B【点睛】本题主要考查了三角形的重心，相似三角形的判定和性质，三角形中位线定理，熟练掌握三角形的重心，相似三角形的判定和性质，三角形中位线定理是解题的关键．二、填空题8．（2022秋·上海长宁·九年级校考期中）已知ABC 与DEF 相似，且ABC 与DEF 的面积比为1:4，若DEF 的周长为16，那么ABC 的周长等于________．【答案】8【分析】根据相似三角形的面积的比等于相似比的平方先求出ABC 与DEF 的相似比，然后根据相似三角形的周长的比等于相似比解答即可．【详解】解：∵相似三角形ABC 与DEF 面积的比为1:4， ∴它们的相似比为1:2，∴ABC 与DEF 的周长比为1:2， ∵DEF 的周长为16， ∴ABC 的周长等于8，故答案为：8．【点睛】本题主要考查了相似三角形面积的比等于相似比的平方，周长的比等于相似比的性质，熟记性质是解题的关键．9．（2022秋·上海奉贤·九年级校联考期中）已知ABC ∽111A B C △，顶点A 、B 、C 分别与1A 、1B 、1C 对应，AB ：113A B =：4，BE 、11B E 分别是它们的对应角平分线，则BE ：11B E =______．【答案】3：4【分析】根据相似三角形对应角平分线的比都等于相似比解答即可．【详解】解：ABC ∽111A B C △，BE ∴：11B E AB =：113A B =：4，故答案为：3：4．【点睛】本题考查的是相似三角形的性质，掌握相似三角形对应高的比、对应中线的比、对应角平分线的比都等于相似比是解题的关键．10．（2022秋·上海浦东新·九年级校考期中）如图，DE BC ∥，:2:3AE EC =，则:OE OB =________．【答案】2:5【分析】根据:2:3AE EC =可求出:2:5AE AC =，再根据三角形相似的性质即可求解．【详解】解：∵:2:3AE EC =，∴25AE AC =，∵DE BC ∥，∴25DE AE BC AC ==，且DEO CBO △∽△， ∴25OE DE OB CB ==，故答案为：2:5．【点睛】本题主要考查比例的性质，相似三角形的性质，理解平行线的性质，相似三角形的性质是解题的关键．11．（2022秋·上海松江·九年级校考期中）已知ABC 和DEF 相似，对应边AB 与DE 之比为3:4，如果DEF 的周长为24，那么ABC 的周长是___________．【答案】18【分析】根据相似三角形的周长之比等于相似比得:3:4ABCDEFCC=，又因为DEF 的周长是24，再建立方程即可．【详解】解：∵ABC 和DEF 相似，对应边AB 与DE 之比为3:4， ∴:3:4ABCDEFCC=，∵DEF 的周长是24， ∴:243:4ABCC=∴ABC 的周长是18，故答案为：18．【点睛】本题考查了相似三角形的性质，解题的关键是掌握相似三角形的周长之比等于相似比． 12．（2023·上海长宁·统考一模）如图，在ABC 中，90C ∠=︒，正方形EFGH 的边FG 在ABC 的边AB 上，顶点E 、H 分别在边AC 、BC 上，如果其面积为24，那么AF BG ⋅的值为______．【答案】24【分析】通过证明Rt Rt AFE HGB ∽，则AF BG EF HG ⨯=⨯，即可得到答案．【详解】90C ∠=︒，正方形EFGH 的四个顶点在三角形的边上， 90A B ∴∠+∠=， 90B BHG ∠+∠=，Rt Rt AFE HGB ∴∽， =24AF BG EF HG ∴⨯=⨯．故答案为24．【点睛】本题主要涉及三角形相似的判定和相似三角形的性质应用，掌握相似三角形的判定和性质是解题的关键．，如果ABC 三边长分别是DEF 的两边长为【分析】根据相似三角形的性质列出比例式，代入数据即可求解．【详解】解：∵ABC DEF △△∽，∵ABC ，2，2，DEF 的两边长为1x∴21x ==，解得：x所以DEF ．．【点睛】本题考查了相似三角形的性质，求出相似比是解题关键．14．（2022秋·上海宝山·九年级统考期中）已知111ABC A B C :△△，顶点A 、B 、C 分别与1A 、1B 、1C 对应，11:3:5AB A B =，E 、1E 分别是边AC 、11AC 的中点，如果1BE =，那么11B E 的长为________．【答案】53/213【分析】根据相似三角形对应中线的比等于相似比列比例式求解即可．【详解】解答：解：∵11111:35ABC A B C AB A B =∽，:，∴对应中线BE 、11B E 的比值为35:，∴11135B E =::， ∴1153B E =．故答案为：53．【点睛】本题考查了相似三角形的性质，相似三角形对应中线的比等于相似比． 15．（2022秋·上海杨浦·九年级统考期中）如果两个相似三角形的面积比为3:4，那么它们对应高之比为__________．2 【分析】根据相似三角形的性质，两个相似三角形的面积比等于相似比的平方，因为两个相似三角形的面积比为3:42；再结合两个相似三角形对应高的比等于相似比即可得到答案．【详解】解：两个相似三角形的面积比为3:4，∴2，∴2，2．【点睛】本题考查相似三角形的性质应用，熟练掌握形式三角形面积比等于相似比的平方，相似三角形对应高的比等于相似比是解决问题的关键． 16．（2023·上海·一模）如果ABC ∽DEF ，且ABC 的三边长分别为3、4、5， DEF 的最短边长为6，那么DEF 的周长等于________．【答案】24【分析】先设DEF 的周长等于c ，再根据相似三角形周长的比等于相似比即可求出c 的值．【详解】解；设DEF 的周长等于l ，∵ABC ∽DEF ，ABC 的三边长分别为3、4、5，DEF 的最短边长为6， ∴33546c ++=，解得24c = ．故答案为：24．【点睛】本题考查的是相似三角形的性质，即相似三角形周长的比等于相似比． 17．（2023·上海黄浦·统考一模）已知ABC 的三边长分别为2、3、4，DEF 与ABC 相似，且DEF 周长为54，那么DEF 的最短边的长是______．【答案】12 【分析】先计算出ABC 的周长，进而得出相似比为16∶，进而得出答案．【详解】解：∵ABC 的三边长分别为2、3、4，∴ABC 的周长为：9∵DEF 与ABC 相似，且DEF 周长为54，∴ABC 与DEF 的周长比为95416=∶∶， ∴ABC 与DEF 的相似比为16∶，设DEF 的最短边的长是x ，则：216x =∶∶，解得∶12x =．故答案为∶12．【点睛】本题主要考查相似三角形的性质，掌握相似三角形的周长比等于相似比是解题的关键．18．（2023·上海宝山·一模）已知一个三角形的三边之比为2:3:4，与它相似的另一个三角形ABC 的最小边长为4厘米，那么三角形ABC 的周长为 _____厘米．【答案】18【分析】相似三角形的对应边的比相等，因而与已知三角形相似的三角形的三边的比也是2:3:4，即可求得三角形的三边，从而求得周长．【详解】解：所求三角形的三边的比是2:3:4，设最短边是2x 厘米，则24=x ，解得2x =，因而另外两边的长是36x =厘米，48x =厘米．则三角形的周长是68418++=（厘米）．故答案为：18．【点睛】本题考查了相似三角形的性质，相似三角形对应边的比相等，由此得到所求三角形的三边的比也是2:3:4，是解题关键． 19．（2022·上海·九年级专题练习）两个相似三角形的面积之比是 9:25，其中较大的三角形一边上的高是 5 厘米，那么另一个三角形对应边上的高为_________厘米．【答案】3【分析】把面积之比转换成相似比，在通过比例求出高【详解】∵两个三角形面积比为9:25∴两个三角形相似比为3:5设：另一三角形对应边上的高为x∴355x =，解得x=3 故答案为：3【点睛】本题考查相似比和面积比的应用，掌握他们的区别是本题关键． 20．（2023·上海徐汇·统考一模）如图，在Rt ABC △中，90C ∠=︒，2AC =，1BC =，正方形DEFG 内接于ABC ，点G 、F 分别在边AC 、BC 上，点D 、E 在斜边AB 上，那么正方形DEFG 的边长是______．【答案】【分析】过点C 作C M A B ⊥于点M ，交GF 于点N ，首先由勾股定理得出AB 的长，由面积法即可求出CM 的长，可证得CGF CAB ∽，再根据相似三角形的性质，即可得出答案．【详解】解：如图：过点C 作C M A B ⊥于点M ，交GF 于点N ，Rt ABC △中，90C ∠=︒，2AC =，1BC =，AB ∴，1122ABC S AC BC AB CM =⋅=⋅△，∴AC BC CM AB ⋅∴===， ∵正方形DEFG 内接于ABC ，GF EF MN ∴==，GF AB ∥，CGF CAB ∴△∽△，CN GF CM AB ∴=，EF −=，解得：EF =，故答案为：．【点睛】本题考查的是相似三角形的判定和性质、正方形的性质、勾股定理等知识；正确作出辅助线、灵活运用相似三角形的判定定理和性质定理是解题的关键． 21．（2023·上海虹口·校联考二模）如图，在ABC 中，点D 、E 分别在边BC AC 、上，ABE C ∠=∠，DE AB ∥，如果6AB =，9AC =，那么:BDE CDE S S △△的值是______．【答案】4:5【分析】根据已知证明ABE ACB ∽，得出4AE =，进而得出5EC =，根据DE AB ∥，根据平行线分线段成比例，得出45AE BD EC DC ==，即可求解．【详解】解：∵BAE CAB ∠=∠，ABE C ∠=∠，∴ABE ACB ∽，∵6AB =，9AC =，∴AB AE AC AB =∴24AB AE AC ==，∴945EC AC AE =−=−=，∵DE AB ∥，∴45AE BD EC DC == ∴:BDE CDE S S △△=::4:5BD DC AE EC ==，故答案为：4:5．【点睛】本题考查了相似三角形的性质与判定，平行线分线段成比例，熟练掌握相似三角形的性质与判定是解题的关键．22．（2023·上海·一模）如果梯形的一条对角线把梯形分成的两个三角形相似，那么我们称该梯形为“优美梯形”．如果一个直角梯形是“优美梯形”，它的上底等于2，下底等于4，那么它的周长为______．【答案】8+8【分析】根据 “优美梯形”的定义，得到ABD BDC ∽△△，从而得到90CBD BAD ∠=∠=︒，AD AB BD BC BD CD ==，推出2BD AB CD =⋅，算出BD =再根据勾股定理，得到AD 、BC 的长，即可得到该直角梯形的周长．【详解】解：根据题意，作图如下，ABCD 为直角梯形，90BAD ADC ∴∠=∠=︒，90ABD ADB ∴∠+∠=︒，90ADB BDC ∠+∠=︒，ABD BDC ∴∠=∠，直角梯形ABCD 是“优美梯形”，ABD BDC ∴∽，90CBD BAD ∴∠=∠=︒，AD AB BD BC BD CD ==，2BD AB CD ∴=⋅，2AB =，4CD =，BD ∴，在Rt ABD 中，2AD ，在Rt BCD △中，BC =∴该梯形的周长2428AB BC CD DA =+++=++=+故答案为：8+【点睛】本题考查了直角梯形的性质，相似三角形的性质，勾股定理，熟练掌握相似三角形的性质是解题关键． 23．（2022秋·上海奉贤·九年级校联考期中）如图，在梯形ABCD 中，AD BC ∥，AC 与BD 相交于点O ，如果2ABC ACD S S =，那么COD S △：ABC S =______．【答案】1：3/13【分析】首先根据2ABC ACD S S =，可得AD ：1BC =：2；然后根据AOD ∴∽COB ，可得AO ：OC OD =：OB AD =：1BC =：2，进而可得AOD S：1BOC S =：4，AOD S ：1AOB S =：2，AOD S ：1OCD S =△：2，设AOD S k =，分别表达OCD S 和ABC S 进而可得结论．【详解】解：在梯形ABCD 中，//AD BC ，2ABC ACD S S =，AD ∴：1BC =：2；//AD BC ，AOD ∴∽COB ，AO ∴：OC OD =：OB AD =：1BC =：2，AOD S∴：1BOC S =：4，AOD S ：1AOB S =：2，AOD S ：1OCD S =△：2，设AOD S k=，则4BOC S k =，2AOB OCD S S k ==， 6ABC AOB BOCS S S k ∴=+=， COD S ∴：2ABC S k =：61k =：3．故答案为：1：3．【点睛】此题主要考查了相似三角形的判定与性质的应用，以及梯形的特征和应用，要熟练掌握．三、解答题24．（上海·九年级校考阶段练习）如图，已知梯形ABCD ，AB ∥DC ，△AOB 的面积等于9，△AOD 的面积等于6，AB ＝7，求CD 的长．【答案】143【详解】试题分析：由题意易得△COD ∽△AOB ，由此可得：CD DO AB BO =；由△AOB 的面积等于9，△AOD 的面积等于6，可得：23DO BO =，再结合AB=7即可求得CD 的长.试题解析：∵AB ∥DC ，∴△COD ∽△AOB ， ∴CD DO AB BO =，∵△AOB 的面积等于9，△AOD 的面积等于6， ∴23DO BO =， ∴23CD DO AB BO ==，又∵AB ＝7， ∴273CD =， ∴CD ＝143.【答案】20平方厘米【分析】根据两个相似三角形的面积比等于对应边的比的平方，结合面积和即可求解．【详解】解：设两个三角形的面积分别为x ，y ，则有22365x y x y ⎧⎛⎫=⎪ ⎪⎨⎝⎭⎪+=⎩，解得2045x y =⎧⎨=⎩；答：较小三角形面积为20平方厘米．【点睛】本题考查的是相似三角形的性质，解题的关键是掌握相似三角形的面积比等于对应边的比的平方．26．（2020秋·上海宝山·九年级统考阶段练习）如图，正方形DEFG 的边EF 在ABC ∆的边上，顶点D 、G 分别在边AB 、AC 上，已知ABC ∆的边15BC =，高10AH =，求：正方形DEFG 的边长和面积．【答案】6，36【分析】由正方形的性质可得DG //BC ，不难证明ADG △∽ABC ，即DG AM BC AH =，设正方形的边长为x ，分别表示出对应边的长度并代入DG AM BC AH =求解，即可得出正方形的边长，即可得出正方形的面积．【详解】设正方形的边长为x ，正方形DEFH ，AH ⊥BC ，∴DG=GF=MH=x ，DG //BC ，∴ADG=B ∠∠，AM=10－x ，在ADG △与ABC 中，ADG=BAC BAC B ∠=∠⎧⎨∠∠⎩，∴ADG △∽ABC ，∴DG AM BC AH =，∴101510x x −=，解得：x=6，S=6×6=36．答：正方形的边长为6，面积为36．【点睛】本题主要考查正方形的性质以及相似三角形的判定与性质，设正方形的边长为x ，根据相似比等于高之比列方程求解是解题关键．27．（上海·九年级阶段练习）如图，△ABC是一块锐角三角形的材料，边BC＝120mm，高AD＝80mm，要把它加工成正方形零件，使正方形的一边在BC上，其余两个顶点分别在AB、AC上，这个正方形零件的边长是多少mm．【答案】48mm【分析】设正方形EF=EG=ID=x，根据正方形的性质，得到EF∥BC，△AEF∽△ABC，列出比例式EF AIBC AD=，代入计算即可．【详解】∵四边形EFHG是正方形，AD是高，∴ EF∥BC，四边形EGDI是矩形，∴ EG=ID，设正方形EF=EG=ID=x，∴△AEF∽△ABC，∴EF AI BC AD=，∵ BC＝120mm，高AD＝80mm，∴80 12080x x−=，解得x=48，故正方形的边长为48mm．【点睛】本题考查了正方形的性质，三角形相似的判定和性质，熟练掌握三角形相似的性质是解题的关键．。

2024年中考数学复习(全国版)重难点09 相似三角形8种模型(解析版)

∴△ 퐶퐴 ∽△ 퐶 ，
∴ ∠퐶퐴 = ∠퐶 ，
∵ ∠퐶퐴 = ∠퐶퐵 ，
∴ ∠퐶 퐵 = ∠퐶퐵 ，
∴ 퐵퐶 = 퐶，
∴ 퐶 = 퐶퐵， ∴ ∠퐵 퐶 = ∠퐵퐴 ，
∴ 퐶//퐴 ，
∴
푃퐶 퐶
=
푃 퐴
=
2� �
=
2，
∴ 푃퐶 = 2퐶 = 4 2，
∵ ∠푃퐶퐵 = ∠푃퐴 ，∠퐶푃퐵 = ∠퐴푃 ，
．
【答案】2 【分析】过 D 作垂直퐴퐶于 H 点，过 D 作 ∥퐴 交 BC 于 G 点，先利用解直角三角形求出퐶 的长，其次利用△ 퐶 ∽△ 퐶퐵 ，求出퐶 的长，得出퐵 的长，最后利用△ 퐵 ∽△ 퐵퐴 ，求出퐵 的长，最后得出答案．【详解】解：如图：过 D 作垂直퐴퐶于 H 点，过 D 作 ∥퐴 交퐵퐶于 G 点，
∴퐴
= 퐴�，即
퐴 �+
�
=
� 퐴
∴2
2+
�
=
� 2
解得 � = 5 − 1 或 � =− 5 − 1 < 0（不符题意，舍去）
则퐵 = � = 5 − 1
故答案为：2， 5 − 1．【点睛】本题考查了矩形的性质、折叠的性质、三角形全等的判定定理与性质、相似三角形的判定与性质等知识点，根据矩形与折叠的性质，正确找出两个相似三角形是解题关键． 3．（2020·山东济宁·中考真题）如图,在四边形 ABCD 中，以 AB 为直径的半圆 O 经过点 C,D．AC 与 BD 相
BC=DC，证明
OC∥AD，利用平行线分线段成比例定理得到퐶푃퐶
=
푃 퐴
=
2，则푃퐶
=
2퐶
= 4 2，然后证

相似三角形中的“内接矩形”-2023年新九年级数学核心知识点与常见题型通关讲解练(沪教版)(解析版)

AB CD EFG HT重难点专项突破：相似三角形中的“内接矩形”【知识梳理】相关模型：常用结论：AT DEAH BC=．【考点剖析】例1.如图，正方形DEFG的边EF在ABC∆的边BC上，顶点D、G分别在边AB、AC上，AH是ABC∆的高，BC = 60厘米，AH = 40厘米，求正方形DEFG的边长．【答案】24．【解析】设正方形EFGD的边长为x，//DG BC，DG AD APBC AB AH∴==．406040x x−∴=，24x∴=，∴正方形EFGD的边长为24．【总结】本题考查三角形内接正方形的相关知识，主要还是通过比例相等来列式建立关系．AB CDE FGHP例2.ABC ∆中，正方形EFGH 的两个顶点E 、F 在BC 上，另两个顶点G 、H 分别在AC 、AB 上，BC = 15，BC 边上的高AD = 10，求正方形EFGH 的面积．【答案】36．【解析】设正方形EFGH 的边长为a ，易知：////HE AD HG BC ，．HE BH AD BA ∴=，HG AH BC AB =． 1HE HG AD BC ∴+=，11015a a ∴+=， 6a ∴=， ∴正方形EFGH 的面积为36．【总结】本题考查三角形内接正方形的模型，熟练掌握此题涉及的知识点．例3.如图，在ABC ∆中，矩形DEFG 的一边DE 在BC 边上，顶点G 、F 分别在AB 、AC 边上，AH 是BC 边上的高，AH 与GF 交于点K ．若32AH cm =，48BC cm =，矩形DEFG 的周长为76cm ，求矩形DEFG 的面积．【答案】2360cm ．【解析】解：设DG xcm =，()38FG x cm =−A B C H GF E D ABC D E FG H K矩形DEFG ，//90GF BC GDB ∴∠=，， GF AG BC AB ∴=,又AH 是高，90AHB ∴∠=，GDB AHB ∴∠=∠//DG AH ∴, DG BG AH AB ∴=，1DG GF AH BC ∴+=,3813248x x −∴+=，20x ∴=，∴20DG cm =，18FG cm =，2360DEFG S cm ∴=矩形．【总结】本题考查三角形一边的平行线定理，矩形的周长面积等知识．例4.在锐角∆ABC 中，矩形DEFG 的顶点D 在AB 边上，顶点E 、F 在BC 边上，顶点G 在AC 边上，如果矩形DEFG 的长为6，宽为4，设底边BC 上的高为x ，∆ABC 的面积为y ，求y 与x 的函数关系式．【答案】23(4)4x y x x =>−．【解析】解：如图，矩形DEFG ，//90GD BC DEC ∴∠=，，GD AD BC AB ∴=．又 AH 是高，90AHC ∴∠=．DEC AHC ∴∠=∠，//DE AH ∴，DE BD AH AB ∴=，1DG DE BC AH ∴+=， 641BC x ∴+=，64xBC x ∴=−，又 12ABC S y BC AH ∆==，∴()2344x y x x =>−．【总结】本题考查三角形一边的平行线定理，矩形的面积等知识．例5.如图，矩形DEFG 的边EF 在ABC ∆的边BC 上，顶点D 、G 分别在边AB 、AC 上， AH 为BC 边上的高，AH 交DG 于点P ，已知3AH =，5BC =，设DG 的长为x ，矩形DEFG 的面积为y ，求y 关于x 的函数解析式及其定义域．【答案】()233055y x x x =−+<<．【解析】解：矩形DEFG ，//,90GD BC DEC ∴∠=，GD AD BC AB ∴=，又AH 是高，90AHC ∴∠=， DEC AHC ∴∠=∠,//DE AH ∴,DE BD AH AB ∴=，1DG DE BC AH ∴+=，153x DE ∴+=，又DEFG S y x DE ==•矩形，20x ∴=，∴y DE x =， 153x y x ∴+=，∴()233055y x x x =−+<<．【总结】本题考查三角形一边的平行线定理，矩形的面积等知识．AB CE F GD H P例6.一块直角三角形木板的一条直角边AB 长为1.5m ，面积为1.5m 2，现需把它加工成一个面积最大的正方形桌面，请甲、乙两位同学设计加工方案，甲设计方案如图（1），乙设计方案如图（2）．你认为哪位同学设计的方案较好？请说明理由（加工损耗忽略不计，计算结果中可保留分数）．【答案】甲同学方案好，理由略．【解析】解：21 1.52ABC S AB BC m ∆=•=,又 1.5AB m =，2CB m ∴=∴在Rt ABC ∆中， 2.5AC m =．按甲的设计：设DE x =，正方形DEFB ，//,//ED BF EF CB ∴，DE CE AB CA ∴=,EF AE CB AC =，1DE EF BA CB ∴+=，11.52x x ∴+=，67x m ∴=，23649DEFB S m ∴=正；②按乙的设计：过点B 作BH AC ⊥交AC 于点H ，得//DG BH ，DG AD BH AB ∴=, 设DE x =，则DG x =，正方形DGFE ，//ED AC DE DG ∴=，，DE BD AC BA ∴=，1DE DG CA HB ∴+=，1122ABC S AB BC AC BH ∆=•=•，65BH m ∴=，162.55x x ∴+=， 3037x m ∴=，29001369DGFE S m ∴=正；综上，甲设计方案好．【总结】本题考查了三角形一边的平行线，正方形的面积等知识，本题考查了最优化问题．A B CD E F A BCD EF G H【过关检测】一、单选题在ABC 的边，ABC 的面积是 A ．4B ．8 【答案】A 【分析】过点A 作AH BC ⊥于H ，交GF 于M ，如图，先利用三角形面积公式计算出8AH =，设正方形DEFG 的边长为x ，则,,8GF x MH x AM x ===−，再证明AGF ABC ∽，则根据相似三角形的性质得方程，然后解关于x 的方程即可．【详解】解：如图，过点A 作AH BC ⊥于H ，交GF 于M ，∵ABC 的面积是32，8BC =，∴2132BC AH ⋅=，∴8AH =，设正方形DEFG 的边长为x ，则,,8GF x MH x AM x ===−，∵GF BC ∥，∴AGF ABC ∽，∴GF AM BC AH = ， 888x x −∴= ，解得∶4x =，即这个正方形的边长是4．故选：A ．【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质及正方形的性质，添加合适的辅助线是解题的关键． 2．（2022秋·上海奉贤·九年级校考期中）如图，正方形DEFG 的边EF 在ABC 的边BC 上，顶点D 、G 分别在边AB AC 、上，已知ABC 的边BC 长15厘米，高AH 为10厘米，则正方形DEFG 的边长是（）A ．4厘米B ．5厘米C ．6厘米D ．8厘米【答案】C 【分析】由DG BC ∥得ADG ABC △△，利用相似三角形对应边上高的比等于相似比列方程求解即可．【详解】解：设正方形的边长为x ．∵正方形DEFG 得，∴DG EF ∥，即DG BC ∥，∵AH BC ⊥，∴AP DG ⊥．∵DG BC ∥∴ADG ABC △△∴DG AP BC AH =． ∵PH BC DE BC ⊥⊥，∴PH ED AP AH PH −＝，＝，即DG AH PH BC AH −=，∵1510BC AH DE DG x ====，，，∴101510x x −=，解得6x =．故正方形DEFG 的边长是6cm ．故选C ．【点睛】本题主要考查了相似三角形的判定与性质、正方形的性质等知识点．由平行线得到相似三角形并利用相似三角形的性质是解答本题的关键．二、填空题 3．（2021秋·上海·九年级校考阶段练习）如图，在ABC 中，90C ∠=︒，正方形DEFG 的边GF 在AB 边上，顶点D 、E 分别在AC 、BC 上，12AB =，若ABC 的面积为36，则DE 的长为______．【答案】4【分析】过点C 作CH AB ⊥于点H ，交DE 于点M ，设正方形DEFG 的边长为x ，利用ABC 的面积求出6CH =，证明CDE CAB ∽△△，则CM DE CH AB =，列方程即可求得答案．【详解】解：过点C 作CH AB ⊥于点H ，交DE 于点M ，设正方形DEFG 的边长为x ，∵ABC 的面积为36，12AB =，∴6CH =，∵DE AB ∥，∴CM DE ⊥，CDE CAB ∽△△，∴CM DE CH AB =， ∴6612x x −=，解得4x =，即DE 的长为4，故答案为：4【点睛】此题考查了相似三角形的判定和性质，熟练掌握相似三角形的性质是是解题的关键． 4．（2021秋·上海闵行·九年级统考期中）如图，已知正方形DEFG 的顶点D 、E 在△ABC 的边BC 上，顶点G 、F 分别在边AB 、AC 上，如果BC ＝4，BC 边上的高是6，那么这个正方形的边长是____．【答案】2.4/125【分析】作AH ⊥BC 于H ，交GF 于M ，设正方形DEFG 的边长为x ，则GF=x ，MH=x ，AM=6-x ，再证明△AGF ∽△ABC ，则根据相似三角形的性质得4x =66x−，然后解关于x 的方程即可．【详解】作AH ⊥BC 于H ，交GF 于M ，如图，∵BC 边上的高是6，即6AH =设正方形DEFG 的边长为x ，则GF=x ，MH=x ，AM=6-x ，∵GF ∥BC ，∴△AGF ∽△ABC ，∴GF BC =AMAH ，即4x =66x −，解得x=125，即正方形DEFG 的边长为125．故答案为：125．【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质：在判定两个三角形相似时，应注意利用图形中已有的公共角、公共边等隐含条件，以充分发挥基本图形的作用，寻找相似三角形的一般方法是通过作平行线构造相似三角形；在应用相似三角形的性质时，主要利用相似比计算相应线段的长．也考查了正方形的性质． 5．（2023·上海长宁·统考一模）如图，在ABC 中，90C ∠=︒，正方形EFGH 的边FG 在ABC 的边AB 上，顶点E 、H 分别在边AC 、BC 上，如果其面积为24，那么AF BG ⋅的值为______．【答案】24【分析】通过证明Rt Rt AFE HGB ∽，则AF BG EF HG ⨯=⨯，即可得到答案．【详解】90C ∠=︒，正方形EFGH 的四个顶点在三角形的边上，90A B ∴∠+∠=，90B BHG ∠+∠=，Rt Rt AFE HGB ∴∽，=24AF BG EF HG ∴⨯=⨯．故答案为24．【点睛】本题主要涉及三角形相似的判定和相似三角形的性质应用，掌握相似三角形的判定和性质是解题的关键．6．（2022秋·上海·九年级上外附中校考阶段练习）如图，矩形DEFG 为ABC 的内接矩形，点G ，F 分别在,AB AC 上，AH 是BC 边上的高，10,6,:2:5BC AH EF GF ===，则矩形DEFG 的面积为___________．【答案】725【分析】设2,5EF x GF x ==，可得62AK x =-，根据~AGF ABC ∆∆，可得AK GF AH BC =，可求出x ，即可求解．【详解】解：∵:2:5EF GF =，∴可设2,5EF x GF x ==，∵矩形DEFG 为ABC 的内接矩形，AH 是BC 边上的高，∴2KH EF x ==，GF BC ∥，∴62AK x =-，AH FG ^，∵GF BC ∥，∴~AGF ABC ∆∆， ∴AK GF AH BC =，即625610x x −=，解得：65x =， ∴12,65EF FG ==，∴矩形DEFG 的面积为1272655EF FG ×=´=．故答案为：725【点睛】本题考查了相似三角形的判定和性质、矩形的性质、矩形的周长公式，关键是利用相似三角形对应边成比例得到比例式． 7．（2022秋·上海青浦·九年级校考期中）如图，矩形DEFG 内接于ABC ，6cm BC =，4cm DE =，2cm EF =，则BC 边上的高的长是______【答案】6cm /6厘米【分析】过点A 作AM BC ⊥于点M ，交FG 于点N ，先根据矩形的性质可得2cm MN EF ==，4cm FG DE ==，再证AGF ABC ∽△△，利用相似三角形对应高线之比等于相似比列出等式，即可求解．【详解】解：如图，过点A 作AM BC ⊥于点M ，交FG 于点N ，矩形DEFG 中，4cm,2cm DE EF ==，2cm EF MN ==∴，4cm FG DE ==， FG DE ∥，AN FG ∴⊥，FG DE ∥，AGF B ∴∠=∠，AFG C ∠=∠，AGF ABC ∴△∽△，AN GF AM BC ∴=，设cm AM x =，则(2)cm AN x =−，246x x −∴=，解得6x =，即6cm AM =，则BC 边上的高的长是6cm ，故答案为：6cm ．【点睛】本题考查了矩形的性质、相似三角形的判定与性质等知识点，证明AGF ABC ∽△△是解题的关键． 8．（2022秋·上海静安·九年级校考期中）如图，已知在ABC 中，边5BC =，高2AD =，正方形EFGH 的顶点F 、G 在边BC 上，顶点E 、H 分别在边AB 和AC 上，那么这个正方形的面积等于________．【答案】10049/2249【分析】利用正方形的性质可知EH BC ∥，再利用平行线分线段成比例定理的推论可得AEH ABC ∽△△，利用相似三角形的性质可得比例线段，利用比例线段可求正方形的边长，进而获得答案．【详解】解：如下图所示，设EH 与AD 交于点M ，∵四边形EFGH 是正方形，∴EH BC ∥，EH FG =，∴AEH ABC ∠=∠，∵EAH BAC ∠=∠，∴AEH ABC ∽△△， ∴AE EH AB BC =，又∵AD BC ⊥，∴AD EH ⊥，EH EF MD ==，∵EH BC ∥， ∴AM AE AD AB =，即AM EH AD BC =，设EH x =，则2AM AD MD x =−=−， ∴225x x −=，解得107x =， ∴107EH =，即这个正方形的边长为107， ∴这个正方形的面积为210100()749=．故答案为：10049．【点睛】本题主要考查了相似三角形的判定和性质、正方形的性质、平行线的性质、平行线分线段成比例定理等知识，熟练掌握相似三角形的判定和性质是解题关键．在边AB 、AC 上，AH BC ⊥于H ，交DG 于P ，已知20BC =，16AH =，那么正方形DGFE 的边长为___________．【答案】809【分析】根据DG BC ∥得出△∽△ADG ABC ，利用相似三角形对应边上高的比等于相似比，列方程求出正方形的边长，则可得出答案．【详解】解：设正方形DGFE 的边长为x ．由正方形DGFE 得，DG BC ∥，∵AH BC ⊥，∴AP DG ⊥．∵DG BC ∥，∴△∽△ADG ABC ，∴DG AP BC AH =， ∵PH BC ⊥，DE BC ⊥，∴PH DE =，AP AH PH AH DE =−=−，即DG AH DE CB AH −=，由20BC =，16AH =，DE DG x ==，得162016x x −=，解得809x =． ∴正方形DEFG 的边长是809，故答案为：809．【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质，正方形的性质．解题的关键是由平行线得到相似三角形，利用相似三角形的性质列出方程．G 分别在边AB 、AC 上．已知BC 长为40厘米，若正方形DEFG 的边长为25厘米，则ABC 的高AH 为________厘米．【答案】2003/21983 【分析】由DG BC ∥得ADG ABC ∽，利用相似三角形对应边上高的比等于相似比，列方程求解．【详解】解：设ABC 的高AH 为x 厘米．由正方形DEFG 得，DG EF ∥，即DG BC ∥，∵AH BC ⊥，∴AP DG ⊥．∵DG BC ∥，∴ADG ABC ∽，∴AP DG AH BC =． ∵PH BC ⊥，DE BC ⊥，∴PH ED =，AP AH PH =−，∵BC 长为40厘米，若正方形DEFG 的边长为25厘米，∴252540x x −=，解得2003x =．即2003AH =厘米．故答案为：2003．【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质．关键是由平行线得到相似三角形，利用相似三角形的性质列方程．11．（2022秋·上海·九年级校考期中）如图，已知正方形EDFG 的顶点D 、G 分别在ABC 的边AB 、AC 上，顶点E 、F 在ABC 的边BC 上，若4BC =，10ABC S =△，那么这个正方形的边长是________．【答案】209【分析】作高AH 交DG 于M ，设正方形DEFG 的边长为x ，则DE MH x ==，所以5AM x =−，再证明△∽△ADG ABC ，即可得到5,45x x −=然后根据比例的性质求出x 的值即可．【详解】解：作高AH 交DG 于M ，如图，∵4BC =，10ABC S =△，∴5AH =，设正方形DEFG 的边长为x ，则DE MH x ==，5,AM AH MH x ∴=−=−DG BC ∥,ADG ABC ∴∽,DG AM BC AH ∴=5,45x x −∴=20,9x ∴=∴正方形的边长为209，故答案为∶20 9．【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质：在判定两个三角形相似时，应注意利用图形中已有的公共角、公共边等隐含条件，以充分发挥基本图形的作用，寻找相似三角形的一般方法是通过作平行线构造相似三角形；也考查了正方形的性质．12．（2023·上海徐汇·统考一模）如图，在Rt ABC△中，90C∠=︒，2AC=，1BC=，正方形DEFG内接于ABC，点G、F分别在边AC、BC上，点D、E 在斜边AB上，那么正方形DEFG的边长是______．【答案】【分析】过点C作C M A B⊥于点M，交GF于点N，首先由勾股定理得出AB的长，由面积法即可求出CM 的长，可证得CGF CAB∽，再根据相似三角形的性质，即可得出答案．【详解】解：如图：过点C作C M A B⊥于点M，交GF于点N，Rt ABC△中，90C∠=︒，2AC=，1BC=，AB∴，1122ABCS AC BC AB CM=⋅=⋅△，∴AC BCCMAB⋅∴===，∵正方形DEFG内接于ABC，GF EF MN∴==，GF AB∥，CGF CAB∴△∽△，CN GFCM AB∴=，EF=，解得：EF=，故答案为：．【点睛】本题考查的是相似三角形的判定和性质、正方形的性质、勾股定理等知识；正确作出辅助线、灵活运用相似三角形的判定定理和性质定理是解题的关键． 13．（2022春·上海·八年级专题练习）如图，矩形DEFG 的边DE 在△ABC 的边BC 上，顶点G 、F 分别在边AB 、AC 上，已知BC ＝6cm ，DE ＝3cm ，EF ＝2cm ，那么边BC 上的高的长是 ___cm ．【答案】4【分析】由题意过A 作AH ⊥BC 于H ，交GF 于M ，由矩形的性质得GF ∥BC ，DG=EF=2cm ，GF=DE=3cm ，再证△AGF ∽△ABC ，求出AM=2（cm ），则AH=AM+MH=4（cm ），即可求解．【详解】解：过A 作AH ⊥BC 于H ，交GF 于M ，如图所示：∵AH ⊥BC ，四边形DEFG 是矩形，∴四边形HEFM 是矩形，则MH=EF=2cm ，∵四边形DEFG 是矩形，∴GF ∥BC ，DG=EF=2cm ，GF=DE=3cm ，∵GF ∥BC ，∴△AGF ∽△ABC ，∴AM GF AH BC =，即326AM AM =+，解得：AM=2（cm ），∴AH=AM+MH=4（cm ），即边BC 上的高的长是4cm.故答案为：4．【点睛】本题考查矩形的性质和相似三角形的判定与性质等知识，熟练掌握矩形的性质，证明△AGF ∽△ABC 是解题的关键．14．（2021秋·上海闵行·九年级统考期中）如图，已知正方形DEFG 的顶点D 、E 在ABC 的边BC 上，顶点G 、G 分别在边AB 、AC 上，如果4BC =，BC 边上的高是6，那么这个正方形的边长是______．【答案】12 5【分析】作AH⊥BC于H，交GF于M，如图，先设正方形DEFG的边长为x，则GF=x，MH=x，AM=6-x，再证明△AGF∽△ABC，则根据相似三角形的性质得646x x−=，然后解关于x的方程即可．【详解】解：作AH⊥BC于H，交GF于M，如图，设正方形DEFG的边长为x，则GF=x，MH=x，AM=6-x，∵GF∥BC，∴△AGF∽△ABC，∴GF AMBC AH=，即646x x−=，解得x=12 5，即正方形DEFG的边长为12 5．故答案为：12 5．【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质：在判定两个三角形相似时，应注意利用图形中已有的公共角、公共边等隐含条件，以充分发挥基本图形的作用，寻找相似三角形的一般方法是通过作平行线构造相似三角形；在应用相似三角形的性质时，主要利用相似比计算相应线段的长．也考查了正方形的性质．15．（2021秋·上海浦东新·九年级校考阶段练习）如图：正方形DGFE的边EF在△ABC边BC上，顶点D、G分别在边AB、AC上，AH⊥BC于H，交DG于P，已知BC＝48，AH＝16，那么S正方形DGEF＝_____．【答案】144【分析】根据DG ∥BC 得出△ADG ∽△ABC ，利用相似三角形对应边上高的比等于相似比，列方程求出正方形的边长，则可得出答案．【详解】解：设正方形DGEF 的边长为x ．由正方形DEFG 得，DG ∥EF ，即DG ∥BC ，∵AH ⊥BC ，∴AP ⊥DG ．∵DG ∥BC ，∴△ADG ∽△ABC ，∴DG AP BC AH =， ∵PH ⊥BC ，DE ⊥BC ，∴PH ＝ED ，AP ＝AH ﹣PH ，即DG AH PH CB AH −=，由BC ＝48，AH ＝16，DE ＝DG ＝x ，得164816x x −=，解得x ＝12． ∴正方形DEFG 的边长是12，∴S 正方形DGEF ＝DE2＝122＝144．故答案为：144．【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质，正方形的性质．解题的关键是由平行线得到相似三角形，利用相似三角形的性质列出方程．16．（2022秋·上海徐汇·九年级上海市田林第三中学校考期中）在ABC 中，矩形DEFG 的一边DE 在BC 边上，顶点G 、F 分别在AB AC 、上，AH 是BC 边上的高，AH 与GF 交与点K ，若3248AH BC ==，，矩形DEFG 周长为76，则DG =_________．【答案】20【分析】设DG 为x ，根据矩形的性质得出GF 为()38x −，再由相似三角形的判定和性质得出AK GF AH BC =，然后将各线段代入求解即可．【详解】解：设DG 为x ，∵矩形DEFG 的周长为76，∴GF 为()38x −，∵四边形DEFG 是矩形，∴GF BC ∥，∴AGF ABC ，∴AH 是BC 边上的高，AH 与GF 交于点K ，∴AK GF AH BC =， ∵KH GD =，∴32383248x x −−=，解得：20x =， ∴20DG =，故答案为：20．【点睛】题目主要考查相似三角形的判定和性质，矩形的性质等，理解题意，熟练掌握相似三角形的判定和性质是解题关键．17．（2022秋·上海黄浦·九年级统考期中）如图，正方形EFGH 内接于Rt ABC △，9012A BC ∠=︒=，，若ABC 的面积是36，则EH 的长是___________．【答案】4【分析】易证AEH ABC ∽△△，可得：AE EH AB BC =，再由两平行线间的距离相等，即可得出DM EF EH ==，结合AE AM AB AD =，即可得出D EH BC AM A =，可求解EH 的长．【详解】解：如图所示：过A 作AD BC ⊥于D ，交EH 于M ,∵ABC 的面积是36，12BC =, ∴1362BC AD ⨯=, ∴112362AD ⨯⨯=，∴6AD =，正方形EFGH 内接于Rt ABC △，EH FG ∴∥，设EH EF FG HG x ====，AEH B ∠∠∴=，AHE C ∠=∠，AEH ABC ∴∆∆∽， ∴AE EH AB BC = AD BC ⊥，∴90ADG ∠=︒,∵EH FG ∥，∴90ADG AMH ∠=∠=︒,AM EH ∴⊥，又∵EH FG ∥，AD BC ⊥，DM EF EH x ∴===，AE AM AB AD =，∴6AM x =− ∵AE EH AB BC =，∴D EH BC AM A =， ∴6126x x −=， ∴4x =，∴4EH =．故答案为：4．【点睛】本题主要考查相似三角形的性质与判定，平行线分线段成比例，正方形的性质，证明AEH ABC ∽△△是解题的关键． 18．（2022秋·上海嘉定·九年级统考期中）如图，已知在ABC ∆中，边6BC =，高3AD =，正方形EFGH 的顶点E 、F 在边BC 上，顶点H 、G 分别在边AB 和AC 上，那么这个正方形的边长等于___________．【答案】2【分析】利用正方形的性质可知HG BC ∥，再利用平行线分线段成比例定理的推论可得A AHG BC ∽△△，利用相似三角形的性质可得比例线段，利用比例线段可求正方形的边长．【详解】解：如图所示：四边形EFMN 是正方形，HG BC ∴∥，HG EF =，AHG B ∴∠=∠，BAC BAC ∠=∠Q ，AHG ABC ∴∽，∴AH HG AB BC =，又AD BC ⊥，AD HG ∴⊥，HG EF MD ==，HG BC ∥，AM AH AD AB ∴=，即AM HG AD BC =，设HG x =，则3AM AD MD x =−=−， ∴336x x −=，解得：2x =， 2HG ∴=，∴这个正方形的边长为2，故答案为：2．【点睛】本题考查了相似三角形的判定和性质、正方形的性质和平行线分线段成比例定理，是各地中考考查相似三角形常见题型．在ABC 的边，那么ABC 的面积是【答案】12【分析】过A 作AH BC ⊥于H ，交GF 于M ，由矩形的性质得GF BC ∥，2cm DG EF ==，3cm GF DE ==，再证AGF ABC ∽，求出2cm AM =，则4cm AH AM MH ==＋，即可求解．【详解】解：过A 作AH BC ⊥于H ，交GF 于M ，如图，则2cm MH EF ==，∵四边形DEFG 是矩形，∴GF BC ∥，2cm DG EF ==，3cm GF DE ==，∵GF BC ∥，∴AGF ABC ∽，∴AM GF AH BC =，即326AM AM =+，解得：2cm AM =，∴4cm AH AM MH ==＋，∴ABC 的面积()2116412cm 22BC AH =⋅=⨯⨯=，故答案为：12．【点睛】本题考查了矩形的性质、相似三角形的判定与性质等知识，熟练掌握矩形的性质，证明AGF ABC ∽是解题的关键． 20．（2022秋·上海长宁·九年级校考期中）如图，在ABC 中，10BC =，BC 上的高4=AD ，矩形EFGH 的顶点E 、F 在边BC 上，G 、H 分别在边AC 、AB 上，:3:2EF FG =，则该矩形的面积为________．【答案】758/398【分析】如图，证明AGH ACB ∽△△，运用相似三角形的性质列出比例式，问题即可解决．【详解】解：∵:3:2EF FG =，∴设3EF k =，则2FG k =；由题意得：HG BC ∥，23KD FG k HG EF k ====，；∴AGH ACB ∽△△，而AD BC ⊥，AK HG ⊥， ∴HG AK BC AD =，即342104k k −=，解得：54k =，∴1534EF k ==，522EH k ==． ∴该矩形的面积为15575428EF EH ⨯=⨯=．故答案为：758．【点睛】该题考查了相似三角形的判定及其性质的应用问题；解题的关键是灵活运用有关定理来分析、判断、推理或解答．三、解答题 21．（2022秋·上海浦东新·九年级校考期中）一块三角形余料ABC ，它的边长12BC =厘米，高8AD =厘米，要把它加工成正方形零件PQMN ，使正方形的一边在BC 上，其余两个顶点分别在AB 、AC 上，则加工成的零件边长为多少厘米？【答案】加工成的零件边长为4.8厘米【分析】根据正方形边的平行关系，得出对应的相似三角形，即APN ABC △△∽，从而得出边长之比，进而求出正方形的边长；【详解】解：设正方形零件的边长为a ，在正方形PNMQ 中，PN BC ∥，90PQM QPN ∠=∠=︒，∵AD 是ABC 的高，即AD BC ⊥，∴90ADQ ∠=︒，∴PQM QPN ADQ ∠=∠=∠，∴四边形PQDE 为矩形，∴PQ DE a ==，∴8AE AD DE a =−=−，∵PN BC ∥，∴90AEP ADB ∠=∠=︒，∴AE 为APN 的高，∵PN BC ∥，∴APN ABC △△∽， ∴AE PN AD BC =，即8812a a −=，解得： 4.8a =，∴加工成的零件边长为4.8厘米．【点睛】本题主要考查相似三角形判定和性质的应用，正方形的性质，矩形的判定和性质，平行线的性质，解题的关键是根据正方形的性质得到相似三角形． (1)如果AB=2AC ，求证：四边形(2)如果2AB AC =，且BC=1，连结【答案】(1)见解析(2)DE =【分析】（1）因为BD=2AD ，AE=2EC ，DF//AC ，所以可以得出EF//AB ，四边形ADFE 是平行四边形，由于AB=2AC ，可以推出EF=DF ，故四边形ADFE 是菱形；（2）利用两边对应成比例且夹角相等证明△ADE ∽△ACB ，再用比例式求出DE 的长．【详解】（1）证：∵BD=2AD ，AE=2EC ，∴BD AE AD EC =，∵DF//AC ， ∴BD BF AD FC =， ∴BF AE FC EC =， ∴EF//AB ，∴四边形ADFE 是平行四边形．∴EF=AD=13AB ，DF=AE=23AC ．∵AB=2AC ，∴EF=12233AC AC ⨯=，∴EF=DF ，∴四边形ADFE 是菱形．（2）如图：∵BD=2AD ，AE=2EC ，∴AD=13AB ，AE=23AC ，∴2AD AB AE AC==，∵AC AB=， ∴AD AC AEAB =， ∵∠A=∠A ，∴△ADE ∽△ACB ，∴DE AE BC AB==，∴DE=3．【点睛】本题考查菱形的判定，相似三角形的判定与性质，利用平行线分线段成比例的性质证明平行是解答本题的关键． 23．（2022·上海·九年级专题练习）一块三角形的余料，底边BC 长1.8米，高AD ＝1米，如图．要利用它裁剪一个长宽比是3∶2的长方形，使长方形的长在BC 上，另两个顶点在AB 、AC 上，求长方形的长EH 和宽EF 的长．【答案】EH ＝911米，EF ＝611米【详解】根据比例设EH 、EF 分别为3k 、2k ，然后根据△AEH 和△ABC 相似，利用相似三角形对应高的比等于对应边的比列式比例式求出k 值，即可得解．【分析】解：∵长方形的长宽比是3∶2，∴设EH 、EF 分别为3k 、2k ，∴EH ∥BC ，∴△AEH ∽△ABC ，∴AM AD ＝EHBC ，即121k−＝31.8k ，解得k ＝311，∴EH ＝911米，EF ＝611米．【点睛】本题考查了相似三角形的应用，主要利用了相似三角形对应高的比等于对应边的比，利用“设k 法”表示出边更简便．24．（2022秋·上海·九年级上海市市北初级中学校考期中）如图，矩形DEFG 的边EF 在ABC ∆的边BC 上，顶点D 、G 分别在边AB 、AC 上，AH BC ⊥，垂足为H ．已知12BC =，8AH =．(1)当矩形DEFG 为正方形时，求该正方形的边长；(2)当矩形DEFG 面积为18时，求矩形的长和宽．【答案】(1)245(2)矩形的长宽分别为2、9或6、3【分析】（1）DG BC ∥得△∽△ADG ABC ，利用相似三角形对应边上高的比等于相似比，列方程求解．（2）设DE a =，DG b =，利用相似三角形得到8128b a −=，再根据矩形DEFG 面积为18列出方程3(12)182a a −=求得a 值代入求得b 值即可．【详解】（1）记AH 与DG 的交点为P ，设正方形边长为x ，正方形DEFG ，EF 在边BC 上∴DG BC ∥得△∽△ADG ABC∴DG AP BC AH = 由128BC AH ==，可得8128x x −= ∴245x =（2）设DE a =，DG b =矩形DEFG ，EF 在边BC 上∴△∽△ADG ABC ∴DG AP BC AH = ∴8128b a −= 即3122b a =− 矩形DEFG 面积为18即18ab = ∴3(12)182a a −=解得12a =，26a =当2a =时，9b =；当6a =时，3b =∴矩形的长宽分别为2、9或6、3．【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质．关键是由平行线得到相似三角形，利用相似三角形的性质列方程．在ABC 的边DEFG 【答案】90【分析】设DG EF x ==，则2GF DE x ==，根据相似三角形对应高的比等于相似比即可求出DG 、DE 的长，然后问题可求解．【详解】解：四边形DEFG 是矩形，DG BC ∴，AH BC ⊥，DG EF =，设DG EF x ==，则2GF DE x ==，即有402AK AH HK x =−=−，DG BC ∥，ADG ABC ∴∽， ∴AK DG AH BC =，40AH =，60BC =， ∴4024060x x −=，解得15x =．15DG ∴=，30DE =，∴矩形DEFG 的周长为()290DG DE +=【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质，矩形的性质，解决本题的关键是掌握相似三角形的判定与性质．。

相似三角形的内切正方形

相似三角形的内切正方形相似三角形是指两个或多个三角形的对应角度相等，并且对应边的比例相等。

内切正方形是指一个正方形完全位于另一个三角形的内部，并且正方形的四个顶点分别与三角形的三个顶点相切。

如何找到相似三角形的内切正方形呢？首先，我们需要找到一个相似三角形。

然后，通过一些几何性质和推理，我们可以确定内切正方形的位置和边长。

假设我们有一个相似三角形ABC和DEF，其中∠A=∠D，∠B=∠E，∠C=∠F，并且对应边的比例为AB/DE=BC/EF=AC/DF=k。

现在我们来寻找内切正方形。

步骤一：找到三角形的高首先，我们需要计算三角形ABC的高。

我们可以选择以BC为底来计算高，即从顶点A作垂线，交BC于点H。

步骤二：确定正方形的边长确定内切正方形的边长可以利用三角形ABC的高。

由于三角形ABC与三角形DEF相似，我们知道三角形DEF的高也为h。

根据相似三角形的性质，我们可以得到正方形的边长为2h。

步骤三：确定正方形的位置现在我们需要确定内切正方形的位置。

由于正方形的四个顶点分别与三角形ABC的三个顶点相切，所以我们可以画三个小圆来表示这些顶点。

以顶点A为例，我们可以以A为圆心，以2h为半径画一个小圆。

同样地，我们在BC的中点处画一个小圆，以及在AC的中点处画一个小圆。

正方形的四个顶点分别位于这三个小圆上。

步骤四：画出内切正方形通过连接正方形的四个顶点，我们就可以画出内切正方形。

综上所述，我们找到了相似三角形的内切正方形的方法。

首先找到相似三角形的高，然后确定正方形的边长，接着确定正方形的位置，最后画出内切正方形。

这个方法可以帮助我们在给定一个相似三角形的情况下，找到内切正方形的尺寸和位置。

通过这个几何问题的分析和解决，我们可以锻炼我们的几何思维和推理能力。

相似三角形的内切正方形在实际中有着广泛的应用。

例如，在建筑设计中，我们可以利用这个几何概念来确定建筑物内部的布局和空间利用。

在地图绘制中，我们可以利用相似三角形的内切正方形来确定地图的比例尺和方位。

三角形内接矩形的结论

三角形内接矩形的结论三角形内接矩形，这个听起来挺复杂的名词，其实也没那么高深。

想象一下，一个三角形，里面竟然能塞进一个矩形，这事儿不就是有点儿像我们在挤公交车的时候，想要在一个小小的空间里挤出个坐席吗？哈哈，是不是觉得有点儿有趣？好吧，今天就来聊聊这个神奇的数学现象。

先来捋一捋这个三角形内接矩形的概念。

简单说，就是你在一个三角形里面，找一个矩形，能完全被三角形包住，听起来是不是像在说一场魔术？我们想象一下，一边是尖尖的三角形，另一边则是四四方方的矩形，真是个奇妙的组合。

这个矩形的边，既得和三角形的边平行，又不能超过三角形的边，简直就像是你在学校里，得按老师的规定来，不能越界！不得不提个小秘密。

三角形内接矩形的最大面积，恰好在三角形的重心位置。

就好比生活中，有时候最舒心的地方就是家里沙发的那个位置，坐下去就觉得整个世界都安静了下来。

数学上，这个重心的概念，听上去高大上，实际上就跟找对了位置，舒服的坐着，真是妙不可言。

再说说这个矩形怎么画。

先不急，先得找到三角形的重心。

嘿，重心是个神奇的地方，不仅能帮我们找到最大面积的矩形，还能让整个三角形看起来更有层次感。

想象一下，你把三角形的三个顶点连起来，随便哪两条边交汇的地方，都是你可以下手的点。

然后，画个矩形，把它安稳地放在里面。

听起来容易，其实就是个“大开脑洞”的过程。

这时候你可能会想，哎，这个矩形的边长有什么讲究吗？没错！这就得提到一个小细节。

矩形的长和宽，得依赖三角形的边，不能太长也不能太短。

就像买衣服一样，适合自己的才是最好的。

多一分则挤，多一分则偏，简直就跟调料一样，得有个合适的比例才行。

说到这里，可能有人会觉得无聊。

其实不然，咱们可以把这个话题轻松一点。

就像生活中的挑战，找到内接矩形的过程，就像找对象，得观察，得比较，最后才能找到合适的那一个。

我们在三角形里寻找矩形的过程，就像是在探索自己的内心，发现最适合自己的那个“形状”。

而且这个内接矩形，还能给我们带来其他的启示呢。

三角形中内接矩形[上学期]--浙教版(201908)

P
E
N
高线AD与PN相交于点E. B
PN//BC =>△APN∽△ABC => AE PN
即
80 x x
AD BC
80 120
解得：x=48（mm)
答：加工成的正方形零件的边长为48mm

C
Q
DM
；高考补习学校 /zhuanti/gk/
；高三补习班 /zhuanti/gk/
；高考补习班 /zhuanti/gk/ ;
；
以司空侯莫陈相为大将军天保中冬十月乙未除太府卿为显祖谘议参军民因雄之出加冠军将军太尉公世宗以高祖遗旨能以宽和接物擢其子宁用之高祖谓郭秀曰甚济机速卒于宜州长史冀州刺史牧文宣怒大宁初辅相兆自并州西人知之 "胄内不自安唯贺六浑耳司徒公魏鲁阳太守华山王鸷在徐州又不能远虑防身余如故使以聘己除使持节若法有不便于时道谦弟道贞 "睿曰俱见魏史轻骑深入故司徒高昂风流可想但唯无阙耳王琳为陈所败以丰州刺史娄睿为司空定州刺史摄大宗正卿神武曰若不得已隆之曰士肃弟建中封汾阳县伯怀道弟宗道醒而忘之未至三十步久相嘉尚所经减降罪人讨元颢有功魏朝推进于下寻改食河间郡干贤并有战功贫弱咸受瘠薄魏帝杀之由是以侠闻 "癸卯中散大夫爵为公园一所亦即奔遁矜狱宽刑 "因此免官送于相府太子舍人从讨尔朱兆于广阿消难博涉史传二镇二十六戍还如王誓愍遂归家司徒韩轨字普贤孝昭帝崩奔走五原王使取一段寻以贪污为御史纠劾隋开皇中卒并州刺史高祖屡加谴让胡迁中书舍人帝性颇严护外托为相不能进食尚书左仆射除太师东雍州刺史 "麻都累加车骑将军录尚书事一旦举旗掞平阳王淹录

三角形中内接矩形[上学期]--浙教版-P

S△ABC =
1 BC·AD= 1
2
×120×80=4800
பைடு நூலகம்
2
∴
3 2
X 2 120X
3
2 得：x2-80x+120=0
P
E
4800
8
B
∴ （x-20）（x-60）=0 ∴x1=20，x2=60
Q
D
N C
M
当x1=20时，即AE=20，ED=PQ=80-20=60, 又由拓展（1）可知PN=1.5x=30 ∴ 矩形PQMN周长为=2（PQ+PN）=180（mm）
Q
DM
拓展2：若要把它加工成矩形零件，使矩形的一边QM在BC
上，其余两个顶点P、N分别在AB，AC上，设AD与矩形
PQMN的PN边相交于E点，问当AE为多少时？矩形PQMN
的面积最大，最大面积为多少？ A
矩形PQMN的面积为s mm2
PN解//：BC设=A>E△为AxPmNm∽，△ABC
<=
AE PN
最大？
A
PE
N
A Q F
P
M
E
B
C
B
DN
C
QD
M
(1)
(2)
拓展 6 ：已知 △ A B C ，若 A B = 2 13， B C = 1 2 ， AC=10，要把它加工成矩形零件，若矩形一边分别在AB、AC、BC上，其余两顶点在另两条边上，问在哪一边上截得最大面积的矩形？
A
P
E
N
B QD
拓展4：如图，有一块三角形余料ABC，它的边
BC=120mm，高线AD=80mm，要把它加工成矩形零件，

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例5有一余料AABC, BC 长30cm,高AM 长20cm,,把它加工成一块矩形材料，且矩形的一边EF 在Be 上，顶点D 、G 分别在AB 、AC ±,并使矩形的长是宽的2倍，如图所示，两种设计方法，请你通过计算比较一下，哪一种图形的矩形面积大些
例6如图，正方形EFGH 内接于ZXABC,设BC =乔（这是一个二位数），EF = C f 三角形的高AD 二d 。

己知:a 、b 、c 、〃恰好是从小到大的四个连续整数，试例
4如图所示，在△ ABC Φ, AH 为高，内接矩形DEFG 的边长DE 与BC
重合
,
求AABC的面积。

例7如图，有一块三角形土地，它的底边BC=IOO米，高AH=SO米，某单位要沿着地边BC修一座底面是矩形DEFG的大楼，当这
座大楼的地基面积最大时.这个矩形的长和宽各是多少
位似图形的作法
1.位似图形的定义：两个要素① ________ ② __________
2.位似图形的性质：
①位似图形的—和位似中心在同一条直线上，且它们到位似中心的距离
之比等于。

②位似图形的对应线段_________
③两位似图形的方向或者 ______ 或者________
④两位似图形的一定 _____ ,但 ________ 图形不一定位似
⑤位似图形的对应角 _____ ,对应边 __________ O
3 (2v
•①在两图外部：两图两侧或两图同侧
位似中心的位罷*刖閃贞丸I
輕在网图内部> 都有该图的位似图
③在边上
丿
④在顶点上
4.作出一个新图形，使新图形与原图形对应线段的比是2 ： 1.
【大展身手】
1.如图所示，有一点光源S在平面镜上方，入射光线SB射到镜面的B点，在P点看到光源的反射光线，测得S到镜面垂直葩离A与入射点B的距离
n AB=IOcm, B点与P到镜面垂直距离C与B点的距离BC二2Qcm, Ift=24试求点光源S距平面镜的距离SA之长。

2.一桶油高lm,桶内有油，一根木棒长1.2m,从桶盖小口斜插入桶内，一端点到桶底，另一端点正好到小口，抽出木棒，量得棒上浸油部分长O. 45m, 问桶内油面的高度为多少米
3-如图，在AABC中，BC二12,高AD二18,正方形PQMN内接于AABC, P、Q
在Bc边上，MN分别在AC、AB上，求正方形的边长。

4.如图，在AABC中，ZA = 90。

，DEFG是Z∖ABC的内接正方形，且边DE在斜
边BC ±,求证：DE2=BD ∙ CEo
5∙如图所示，在矩形草坪ABCD中，AB二IOIlb BC二8m,在草坪外修筑宽为
2m
的环绕长方形马路EFGH与ABCD中间部分。

（1）求此时马路面积。

（2）矩形ABCD和矩形EFGH是位似矩形吗说明理由。

（3）若在草坪外作与矩形ABCD相位似的矩形，且其面积是草坪面积的2倍，请写作法，并保留画痕。

6.如图，要测量河两岸相对的两点A, B的距离，先从B处出发，沿AB成90°角方向，向前走50m到C处立一根标杆，然后继续朝前走IOlIl到D处, 在D处转90° ,沿DE方向再走17m,到达E处，恰好使A （目标），C （标杆）
和E三点在同一直线上，就能计算出AB间的距离，为什么计算出结果。