三年高考2012017高考数学试题分项版解析专题31复数

专题31 复数1.【2017课标1，理3】设有下面四个命题1p ：若复数满足1z ∈R ，则z ∈R ；2p ：若复数满足2z ∈R ，则z ∈R ；3p ：若复数12,z z 满足12z z ∈R ，则12z z =；4p ：若复数z ∈R ，则z ∈R .其中的真命题为 A.13,p pB ．14,p pC ．23,p pD ．24,p p【答案】B 【解析】对于4p ，因为实数没有虚部，所以它的共轭复数是它本身，也属于实数，故4p 正确，故选B. 【考点】复数的运算与性质.【名师点睛】分式形式的复数，分子分母同乘分母的共轭复数，化简成(,)z a bi a b R =+∈的形式进行判断，共轭复数只需实部不变，虚部变为原来的相反数即可. 2.【2017课标II ，理1】31ii+=+（ ） A ．12i + B ．12i - C ．2i + D ．2i - 【答案】D 【解析】试题分析：由复数除法的运算法则有：()()3+13212i i i i i -+==-+，故选D 。

【考点】 复数的除法【名师点睛】复数的代数形式的运算主要有加、减、乘、除。

除法实际上是分母实数化的过程。

在做复数的除法时，要注意利用共轭复数的性质：若z 1，z 2互为共轭复数，则z 1·z 2＝|z 1|2＝|z 2|2，通过分子、分母同乘以分母的共轭复数将分母实数化。

3.【2017山东，理2】已知a R ∈,i 是虚数单位，若3,4z a i z z =⋅=，则a= （A ）1或-1 （B 77或（C ）3 （D 3 【答案】A【解析】试题分析：由3,4z a i z z =+⋅=得234a +=，所以1a =±，故选A.【考点】 1.复数的概念.2.复数的运算.【名师点睛】复数i(,)a b a b +∈R 的共轭复数是i(,)a b a b -∈R ，据此结合已知条件，求得的方程即可.5.【2017课标3，理2】设复数z 满足(1+i )z =2i ，则∣z ∣=A ．12B ．22C ．2D ．2【答案】C 【解析】试题分析：由题意可得：21iz i=+ ，由复数求模的法则：1121z z z z = 可得：22212i z i ===+ . 故选C .6.【2017北京，理2】若复数()()1i a i -+在复平面内对应的点在第二象限，则实数a 的取值范围是（A ）（–∞，1） （B ）（–∞，–1） （C ）（1，+∞） （D ）（–1，+∞） 【答案】B 【解析】试题分析：()()()()111z i a i a a i =-+=++-，因为对应的点在第二象限，所以1010a a +<⎧⎨->⎩ ，解得：1a <-，故选B. 【考点】复数的运算【名师点睛】复数的分类及对应点的位置问题都可以转化为复数的实部与虚部应该满足的条件问题，只需把复数化为代数形式，列出实部和虚部满足的方程(不等式)组即可．复数z ＝a ＋b i 复平面内的点Z (a ，b )(a ，b ∈R )．复数z ＝a ＋b i(a ，b ∈R ) 平面向量OZ .7. 【2016新课标理】设(1)=1+,x i yi +其中x ,y 实数,则i =x y +( ) （A ）1 （B ）2 （C ）3 （D ）2 【答案】B 【解析】试题分析：因为(1)=1+,x i yi +所以=1+,=1,1,||=|1+|2,x xi yi x y x x yi i +==+=故选B.考点：复数运算8.【2015高考安徽，理1】设i 是虚数单位，则复数21ii-在复平面内所对应的点位于（ ） （A ）第一象限 （B ）第二象限 （C ）第三象限 （D ）第四象限 【答案】B 【解析】由题意22(1)2211(1)(1)2i i i i i i i i +-+===-+--+，其对应的点坐标为(1,1)-，位于第二象限，故选B.【考点定位】1.复数的运算；2.复数的几何意义.【名师点睛】复数的四则运算问题主要是要熟记各种运算法则，尤其是除法运算，要将复数分母实数化（分母乘以自己的共轭复数），这也历年考查的重点；另外，复数z a bi =+在复平面内一一对应的点为(,)Z a b .9. 【2014高考广东卷.理.2】已知复数满足()3425i z +=，则z =( )A .34i -B .34i +C .34i --D .34i -+【答案】A【解析】解法一：由题意得()()()()25342534253434343425i i z i i i i --====-++-，故选A . 解法二：设(),z a bi a b R =+∈，则()()()()()3434344325i z i a bi a b a b i +=++=-++=，由复数相等得3425430a b a b -=⎧⎨+=⎩，解得34a b =⎧⎨=-⎩，因此34z i =-，故选A .【考点定位】本题考查复数的四则运算，属于容易题.【名师点晴】本题主要考查的是复数的除法运算，属于容易题．解题时一定注意分子和分母同时乘以34i +的共轭复数，否则很容易出现错误．解本题需要掌握的知识点是复数的除法运算，即2222a bi ac bd bc ad i c di c d c d++-=++++，21i =-． 10. 【2016高考新课标3理数】若i 12z =+，则4i1zz =-（ ） (A)1 (B) -1 (C) (D) i - 【答案】C 【解析】 试题分析：4i 4ii (12i)(12i)11zz ==+---，故选C ． 考点：1、复数的运算；2、共轭复数．11.【2015高考广东，理2】若复数()32z i i =- (是虚数单位 )，则z =（ ） A ．32i - B ．32i + C ．23i + D ．23i - 【答案】D ．【解析】因为()3223z i i i =-=+，所以z =23i -，故选D ． 【考点定位】复数的基本运算，共轭复数的概念．【名师点睛】本题主要考查复数的乘法运算，共轭复数的概念和运算求解能力，属于容易题；复数的乘法运算应该是简单易解，但学生容易忘记和混淆共轭复数的概念，z a bi =+的共轭复数为z a bi =-．12.【 2014湖南1】满足i ziz =+（是虚数单位）的复数=z （ ） A.i 2121+ B. i 2121- C. i 2121+- D. i 2121-- 【答案】B 【解析】由题可得()()()()111111122i i z i i i z i zi z i i z i z i i i -++-=⇒+=⇒-=-⇒===---+,【考点定位】复数 复数除法13.【2016高考新课标2理数】已知(3)(1)i z m m =++-在复平面内对应的点在第四象限，则实数m 的取值范围是（ ）（A ）(31)-， （B ）(13)-， （C ）(1,)∞+ （D ）(3)∞--， 【答案】A 【解析】 试题分析：要使复数对应的点在第四象限应满足：m 30m 10+>⎧⎨-<⎩，解得3m 1-<<，故选A.考点： 复数的几何意义.【名师点睛】复数的分类及对应点的位置问题都可以转化为复数的实部与虚部应该满足的条件问题，只需把复数化为代数形式，列出实部和虚部满足的方程(不等式)组即可． 复数z ＝a ＋b i复平面内的点Z (a ，b )(a ，b ∈R )．复数z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )平面向量OZ .14.【2016高考山东理数】若复数z 满足232i,z z +=- 其中i 为虚数单位，则z =（ ） （A ）1+2i（B ）12i（C ）12i -+（D ）12i --【答案】B 【解析】试题分析：设bi a z +=，则i bi a z z 2332-=+=+，故2,1-==b a ，则i z 21-=，选B. 考点：1.复数的运算；2.复数的概念.【名师点睛】本题主要考查复数的运算及复数的概念，是一道基础题目.从历年高考题目看，复数题目往往不难，有时运算与概念、复数的几何意义综合考查，也是考生必定得分的题目之一. 15.【2015高考山东，理2】若复数满足1zi i=-，其中为虚数为单位，则=（ ） （A ）1i - （B ）1i + （C ）1i -- （D ）1i -+【解析】因为1zi i=-，所以，()11z i i i =-=+ ，所以，1z i =- 故选：A. 【考点定位】复数的概念与运算.【名师点睛】本题考查复数的概念和运算，采用复数的乘法和共轭复数的概念进行化简求解. 本题属于基础题，注意运算的准确性.16. 【2015高考新课标2，理2】若为实数且(2)(2)4ai a i i +-=-，则a =（ ） A ．1- B ． C ． D ． 【答案】B17. 【2014新课标，理2】设复数1z ，2z 在复平面内的对应点关于虚轴对称，12z i =+，则12z z =（ ）A. - 5B. 5C. - 4+ iD. - 4 - i 【答案】A【解析】由题意知：22z i =-+，所以12z z =-5，故选A 。

【考点定位】复数的运算及概念.【名师点睛】本题考查了复数的乘法运算，复数的几何意义，本题属于基础题，注意运算的准确性.18．【2015高考四川，理2】设i 是虚数单位，则复数32i i-( ) （A ）-i （B ）-3i （C ）i. （D ）3i 【答案】C 【解析】32222ii i i i i i i-=--=-+=，选C. 【考点定位】复数的基本运算.【名师点睛】复数的概念及运算也是高考的热点，几乎是每年必考内容，属于容易题.一般来说，掌握复数的基本概念及四则运算即可. 19.【2015高考新课标1，理1】设复数z 满足11zz+-=，则|z|=( )（A ）1 （B ）2 （C ）3 （D ）2 【答案】A 【解析】由11z i z +=-得，11i z i-+=+=(1)(1)(1)(1)i i i i -+-+-=，故|z|=1，故选A. 【考点定位】本题主要考查复数的运算和复数的模等.【名师点睛】本题将方程思想与复数的运算和复数的模结合起来考查，试题设计思路新颖，本题解题思路为利用方程思想和复数的运算法则求出复数z ，再利用复数的模公式求出|z|,本题属于基础题，注意运算的准确性.20. 【2015高考北京，理1】复数()i 2i -=（ ） A ．12i +B ．12i -C ．12i -+D ．12i --【答案】A21. 【2014天津，理1】是虚数单位，复数734ii（ ）（A ）1i （B ）1i （C ）17312525i （D ）172577i 【答案】A ． 【解析】 试题分析：()()()()()()7342142837134343425i i i i i i i i +-++-++===-++-，故选A ． 考点：复数的运算．【名师点睛】本题考查复数的乘法运算，本题属于基础题，数的概念的扩充部分主要知识点有：复数的概念、分类，复数的几何意义、复数的运算，特别是复数的乘法与除法运算，运算时注意21i =-，注意运算的准确性,近几年高考主要考查复数的乘法、除法，求复数的模、复数的虚部、复数在复平面内对应的点的位置等.22. 【2014年普通高等学校招生全国统一考试湖北卷1】为虚数单位，则=+-2)11(ii （ ） A. 1- B. C. i - D.【答案】A 【解析】 试题分析：因为122)11(2-=-=+-iii i ，故选A. 考点：复数的运算，容易题.23. 【2015高考湖北，理1】为虚数单位，607i 的共轭复数．．．．为（ ） A ． B ．i - C ．1 D ．1- 【答案】A【解析】i i i i -=⋅=⨯31514607,所以607i 的共轭复数．．．．为，选A . 【考点定位】共轭复数.【名师点睛】复数中，是虚数单位,24142434111()n n n n i i i i i i i n +++=-==-=-=∈Z ；，，，.24. 【2014福建，理1】复数(32)z i i =-的共轭复数等于（ ）.23A i -- .23B i -+ .23C i - .23D i +【答案】C 【解析】试题分析：依题意可得32,23z i z i =+∴=-.故选C. 考点：复数的运算.【名师点睛】复数题是每年高考必考内容,一般以客观题形式出现,属得分题.高考中复数考查频率较高的内容有：复数的几何意义,共轭复数,复数的模及复数的乘除运算,这类问题一般难度不大,但容易出现运算错误,所以做复数题要注意运算的准确性,注意共轭复数的实部相等,虚部是互为相反数.25. 【2014辽宁理2】设复数z 满足(2)(2)5z i i --=，则z =（ ）A ．23i +B ．23i -C ．32i +D ．32i -【答案】A 【解析】试题分析：因为5223(2)z i z i i =+∴=+-，故选A . 考点： 复数的运算.【名师点睛】本题考查复数的概念和运算，其解答利用方程思想，采用分母实数化求解. 本题属于基础题，注意运算的准确性.26. 【2015湖南理1】已知()211i i z-=+（为虚数单位），则复数=（ ） A.1i + B.1i - C.1i -+ D.1i -- 【答案】D. 【解析】试题分析：由题意得，i iii i z --=+-=+-=1121)1(2，故选D. 【考点定位】复数的计算.27.【2017天津，理9】已知a ∈R ，i 为虚数单位，若i2ia -+为实数，则a 的值为 . 【答案】2- 【解析】()(2)(21)(2)2122(2)(2)555a i a i i a a i a a i i i i -----+-+===-++-为实数， 则20,25a a +==-. 【考点】 复数的分类【名师点睛】复数的分类及对应点的位置问题都可以转化为复数的实部与虚部应该满足的条件问题，只需把复数化为代数形式，列出实部和虚部满足的方程(不等式)组即可． 复数(,)z a bi a b R =+∈， 当0b ≠时，为虚数， 当0b =时，为实数， 当0,0a b =≠时，为纯虚数.28.【2017浙江，12】已知a ，b ∈R ，2i 34i a b +=+（）（i 是虚数单位）则22a b += ，ab = ．【答案】5，2 【解析】试题分析：由题意可得22234a b abi i -+=+，则2232a b ab ⎧-=⎨=⎩，解得2241a b ⎧=⎨=⎩，则225,2a b ab +==29. 【2016高考天津理数】已知,a b ∈R ，i 是虚数单位，若(1)(1)i bi a +-=，则ab的值为_______. 【答案】2 【解析】试题分析：(1)(1)1(1)i bi b b i a +-=++-=，则110b a b +=⎧⎨-=⎩，所以21a b =⎧⎨=⎩，2ab =，故答案为2．考点：复数相等【名师点睛】本题重点考查复数的基本运算和复数的概念，属于基本题.首先对于复数的四则运算，要切实掌握其运算技巧和常规思路，如()()()(),(,,.)++=-++∈，a bi c di ac bd ad bc i a b c d R22()(),(,,.)+++-=∈++，a bi ac bd bc ad ia b c d R c di c d. 其次要熟悉复数相关基本概念，如复数(,)+∈a bi a b R 的实部为a 、虚部为b 22+a b .-a bi30. 【2015江苏高考，3】设复数z 满足234z i =+（i 是虚数单位），则z 的模为_______. 5【解析】22|||34|5||5||5z i z z =+=⇒=⇒=【考点定位】复数的模【名师点晴】在处理复数相等的问题时，一般将问题中涉及的两个复数均化成一般形式，利用复数相等的充要条件“实部相等，虚部相等”进行求解.本题涉及复数的模，利用复数模的性质求解就比较简便：2211121222||||||||||||.||z z z z z z z z z z ==⋅=，，11 31.【2016年高考北京理数】设a R ∈，若复数(1)()i a i ++在复平面内对应的点位于实轴上，则a =_______________.【答案】1-.【解析】试题分析：(1)()1(1)1i a i a a i R a ++=-++∈⇒=-，故填：1-.考点：复数运算【名师点睛】复数代数形式的加减乘除运算的法则是进行复数运算的理论依据，加减运算类似于多项式的合并同类项，乘法法则类似于多项式乘法法则，除法运算则先将除式写成分式的形式，再将分母实数化32.【2015高考重庆，理11】设复数a +bi （a ，bR ）的模为3，则（a +bi ）（a -bi ）=________.【答案】3【解析】由3a bi +=得223a b +=，即223a b +=，所以22()()3a bi a bi a b +-=+=. 【考点定位】复数的运算.33. 【2016高考江苏卷】复数(12i)(3i),z =+-其中i 为虚数单位，则z 的实部是_______________.【答案】5【解析】试题分析：(12)(3)55z i i i =+-=+，故z 的实部是5考点：复数概念。