管理运筹学 第10章 动态规划
运筹学第10章动态规划
管 理 运 精品资料 筹 学
17
动态(dòngtài)规划要求过程指标满足递推关系 ，即
Vk (sk , xk , xk1, , xn ) Vk [v(sk , xk ),Vk1(sk1, xk1, , xn )]
管 理 运 精品资料 筹 学
20
动态(dòngtài)规划方法的基本思想
• 结合解决最短路线问题来介绍动态规划方法(fāngfǎ) 的基本思想。生活中的常识告诉我们, 最短路线有一 个重要特性: 如果由起点A 经过P 点和H 点而到达终 点G 是一条最短路线, 则由点P 出发经过H 点到达终 点G 的这条子路线, 对于从点P 出发到达终点的所有 可能选择的不同路线来说, 必定也是最短路线。
连和形式 (xíngshì)：
VK VK (sk , xk , xk1, , xn ) vk (sk , xk）＋VK (sk＋1, xk1, , xn )
n1
v j (s j , x j）Vn jk
最优指标函数是
f k (sk ) Opt {vk (sk , xk } f k1 (sk1 )}, k 1,2,, n
xk Dk ( sk )
管 理 运 精品资料 筹 学
18
连乘形式(xíngshì)(VvjK≠0)V：K (sk , xk , xk1, , xn )
vk (sk , xk ) VK (sk＋1, xk1, , xn )
n1
j =k
vj
(s j
,
xj
) Vn
最优指标函数是
fk (sk ) Opt {vk (sk , xk } fk1(sk1)}, k 1, 2, , n
第10章 动态规划
管理运筹学
7
缺点
①没有统一的处理方法，求解时要根据问题的 性质，结合多种数学技巧。因此实践经验及 创造性思维将起重要的引导作用；
②“维数障碍”，当变量个数太多时，由于计 算机内存和速度的限制导致问题无法解决。 有些问题由于涉及的函数没有理想的性质使 问题只能用动态规划描述，而不能用动态规 划方法求解。
盈利 工厂 设备台数
0 1 2
3 4 5
甲厂
0 3 7 9 12 13
乙厂
0 5 10 11 11 11
管理运筹学
29
第一阶段：只有1个始点A，终点有B1,B2,B3,B4 。对始点和终 点进行分析和讨论分别求A到B1,B2,B3,B4的最短路径问题：
表10-4
本阶段始 点(状态)
A
阶段1 本阶段各终点（决策）
B1
B2
B3
B4
4+12=16 3+13=16 3+14=17 2+12=14
到E的最 本阶段最优终 短距离 点(最优决策)
第四阶段：两个始点D1和D2，终点只有一个；
表10-1
阶段4
本阶段始点 本阶段各终点（决策） 到E的最短距离
（状态）
E
D1
10
10
D2
6
6
分析得知：从D1和D2到E的最短路径唯一。
本阶段最优终点 （最优决策)
E E
管理运筹学
27
第三阶段：有三个始点C1，C2，C3，终点有D1，D2，对始点
和终点进行分析和讨论分别求C1，C2，C3到D1，D2 的最短路
运筹学第3版熊伟编著习题答案
产品
资源
A
B
C
资源限量
材料<kg>
1.5
1.2
4
2500
设备<台时>
3
1.6
1.2
1400
利润<元/件>
10
14
12
根据市场需求,预测三种产品最低月需求量分别是150、260和120,最高月需求是250、310和130.试建立该问题的数学模型,使每月利润最大．
[解]设x1、x2、x3分别为产品A、B、C的产量,则数学模型为
-16
对应的顶点：
基可行解
可行域的顶点
X<1>=〔0,0,6,10,4〕、
X<2>=〔0,2.5,1,0,1.5,〕、
X<3>=〔2,2,0,0,0〕
X<4>=〔2,2,0,0,0〕
〔0,0〕
〔0,2.5〕
<2,2>
〔2,2〕
最优解：X=〔2,2,0,0,0〕；最优值Z＝－16
该题是退化基本可行解,5个基本可行解对应4个极点.
第2章线性规划的对偶理论P74
第3章整数规划P88
第4章目标规划P105
第5章运输与指派问题P142
第6章网络模型P173
第7章网络计划P195
第8章动态规划P218
第9章排队论P248
第10章存储论P277
第11章决策论P304
第12章多属性决策品P343
第13章博弈论P371
全书420页
第
1.1工厂每月生产A、B、C三种产品,单件产品的原材料消耗量、设备台时的消耗量、资源限量及单件产品利润如表1－23所示．
运筹学教案动态规划
运筹学教案动态规划一、引言1.1 课程背景本课程旨在帮助学生掌握运筹学中的动态规划方法，培养学生解决实际问题的能力。
1.2 课程目标通过本课程的学习，学生将能够：（1）理解动态规划的基本概念和原理；（2）掌握动态规划解决问题的方法和步骤；（3）能够应用动态规划解决实际问题。
二、动态规划基本概念2.1 定义动态规划（Dynamic Programming，DP）是一种求解最优化问题的方法，它将复杂问题分解为简单子问题，并通过求解子问题的最优解来得到原问题的最优解。
2.2 特点（1）最优子结构：问题的最优解包含其子问题的最优解；（2）重叠子问题：问题中含有重复子问题；（3）无后效性：一旦某个给定子问题的解确定了，就不会再改变；（4）子问题划分：问题可以分解为若干个子问题，且子问题之间是相互独立的。
三、动态规划解决问题步骤3.1 定义状态状态是指某一阶段问题的一个描述，可以用一组变量来表示。
3.2 建立状态转移方程状态转移方程是描述从一个状态到另一个状态的转换关系。
3.3 确定边界条件边界条件是指初始状态和最终状态的取值。
3.4 求解最优解根据状态转移方程和边界条件，求解最优解。
四、动态规划应用实例4.1 0-1背包问题问题描述：给定n个物品，每个物品有一个重量和一个价值，背包的最大容量为W，如何选择装入背包的物品，使得背包内物品的总价值最大。
4.2 最长公共子序列问题描述：给定两个序列，求它们的最长公共子序列。
4.3 最短路径问题问题描述：给定一个加权无向图，求从源点到其他各顶点的最短路径。
5.1 动态规划的基本概念和原理5.2 动态规划解决问题的步骤5.3 动态规划在实际问题中的应用教学方法：本课程采用讲授、案例分析、上机实践相结合的教学方法，帮助学生深入理解和掌握动态规划方法。
教学评估：课程结束后，通过课堂讨论、上机考试等方式对学生的学习情况进行评估。
六、动态规划算法设计6.1 动态规划算法框架介绍动态规划算法的基本框架，包括状态定义、状态转移方程、边界条件、计算顺序等。
运筹学复习资料
试题结构：1、判断题（10×2`）2、单选题（10×2`）3、多选题（5 ×2`）4、计算题（5×10`）（第三、五、七、十一、十三章有计算题）第一张：绪论1.定义：运筹学是应用分析、试验、量化的方法，对经济管理系统中人力、物力、财力等资源进行统筹安排，为管理者提供有依据的最优方案，以实现最有效的管理。
2.研究内容：线性规划、整数线性规划、目标规划、图与网络模型、存储论、排队论、对策论、排序与统筹方法、决策分析、动态规划、预测3.运用运筹学解决问题的一般过程（课件答案）（课本答案）规定目标和明确问题认清问题收集数据和建立模型找出一些可供选择的方案求解模型和优化方案确定目标或评估方案的标准检验模型和评价方案评估各个方案方案实施和不断改进选出一个最优的方案执行此方案进行最后评估：问题是否得到圆满解决第二章：线性规划的图解方法1.怎样辨别一个模型是线性模型？其特征是：（1）问题的目标函数是多个决策变量的线性函数，通常是求最大值或最小值；（2）问题的约束条件是一组多个决策变量的线性不等式或等式。
2.线性规划三个要素建模步骤决策变量、目标函数、约束条件3.LP 问题的标准型11max .1,2,,0,1,2,,nj jj nij ji j j Z c x a x b s t i m x j n ===⎧=⎪=⎨⎪≥=⎩∑∑ 特点：(1)目标函数求最大值(2)约束条件都为等式方程，且右端常数项b i 都大于或等于零 (3)决策变量x j 为非负。
一般形式目标函数： max （min ） z = c 1 x 1 + c 2 x 2 + … + c n x n约束条件： s.t. a 11 x 1 + a 12 x 2 + … + a 1n x n ≤ （ =, ≥ ）b 1 a 21 x 1 + a 22 x 2 + … + a 2n x n ≤ （ =, ≥ ）b 2…… …… a m1 x 1 + a m2 x 2 + … + a mn x n ≤ （ =, ≥ ）b mx 1 ，x 2 ，… ，x n ≥ 0 标准形式目标函数： max z = c 1 x 1 + c 2 x 2 + … + c n x n 约束条件： s.t. a 11 x 1 + a 12 x 2 + … + a 1n x n = b 1 a 21 x 1 + a 22 x 2 + … + a 2n x n = b 2 …… …… a m1 x 1 + a m2 x 2 + … + a mn x n = b mx 1 ，x 2 ，… ，x n ≥ 0，b i ≥04.线性问题的性质与判断 （1 ）线性规划可行域为凸集（2）最优解在凸集上某一顶点达到（特殊情况下为凸集的某条边）（3 ）可行域有界，则一定有最优解5.图解法与解的状况（1）图解法使用范围：仅有两个决策变量的LP（2）基本步骤：a.建立平面直角坐标系；b.将约束条件图解，求得满足约束条件的解的集合；c.作出目标函数的等值线，并根据优化要求，平移目标函数等值线，求出最优解。
运筹学答案_第_10_章__动态规划
用，第五年继续使用，总成本＝4500 元。
9．最优解为第一年购买的设备到第二、三、四年初各更新一组，用到第 5 年末， 其总收入为 17 万元。
10．最优解为第一批投产 3 台，如果无合格品，第二批再投产 3 台，如果仍全部 不合格，第三批投产 4 台。总研制费用最小为 796 元。
11．
月份
采购量
最优解：X1=4、X2＝0、X3＝4、X4＝3 即第一个月生产 4 台，第一个月生产 0 台，第一个月生产 4 台，第一个月生
产 3 台。
最优值：Z=252000 元 4、最优解：运送第一种产品 5 件
最优值：Z=500 元 5．最大利润 2790 万元。最优安排如下表：
年度
年初完好设备 高负荷工作设备 低负荷工作设备
数
数1Βιβλιοθήκη 1250125
2
100
0
100
3
80
0
80
4
64
64
0
5
32
32
0
6．最优解（0，200，300，100）或（200，100，200，100）或者（100，100， 300，100）或（200，200，0，200）。总利润最大增长额为 134 万。
7．在区 1 建 3 个分店，在区 2 建 2 个分店，不在区 3 建立分店。最大总利润 22。 8．最优解为：第一年继续使用，第二年继续使用，第三年更新，第四年继续使
第 10 章 动态规划
1、最优解：A―B2―C1―D1―E；A―B3―C1―D1―E；A―B3―C2―D2―E 最优值：13
2、最优解：项目 A：300 万元、项目 B：0 万元、项目 C：100 万元、
最优值：Z=71+49+70=190 万元 3、设每个月的产量是 Xi 百台（i=1、2、3、4）
运筹学动态规划
特别注意：动态规划是求解某类问题的一种 方法，是考察问题的一种途径，而不是一种算法 （如线性规划是一种算法）。
因而，动态规划没有标准的数学表达式和明 确定义的一组规则，而必须对具体问题进行具体 分析处理．
动态规划
8.1 多阶段决策过程及实例 8.2 动态规划的基本概念和
基本方程 8.3 动态规划的最优性定理 8.4 动态规划与静态规划关系
综述
动态规划是运筹学的一个分支，是解决多 阶段决策过程最优化问题的一种数学方法。
该方法是由美国数学家贝尔曼(R.Bellman)等 人在本世纪50年代初提出的。
他们针对多阶段决策问题的特点，把多阶段 决策问题变换为一系列互相联系单阶段问题，然 后逐个加以解决。
1
2
3
始点
5
B1
6 3
A
4 B2 4 6
2
5
B3 6
C1
1 2
2
C2 2
3
C3
3
4 终点
D1 2
D2 3
E
4
D3
2、状态
5
B1
6 3
A 4 B246
25
B3 6
C1
1 2
2
C2 2
C3 3 3
D1 2
D2 3 E 4
D3
各个阶段开始时所处的自然状况和客观条件称为
状态,描述了研究问题过程的状况(称不可控因素).
一些与时间没有关系的静态规划（如线性 规划，非线性规划）问题，只要人为地引进 “时间”因素，也可把它视为多阶段决策问题， 用动态规划方法去处理。
管理运筹学复习
管理运筹学复习（1)某工厂在计划期内要安排Ⅰ,Ⅱ两种产品的生产。
生产单位产品所需的设备台时及A，B 两种原材料的消耗以及资源的限制如下表所示:多少单位产品Ⅰ和产品Ⅱ才能使获利最多？解: max z=50X1+100X2 ；满足约束条件：X1+X2≤300，2X1+X2≤400，X2≤250，X1≥0，X2≥0。
（2）：某锅炉制造厂，要制造一种新型锅炉10台，需要原材料为∮63.5×4mm的锅炉钢管，每台锅炉需要不同长度的锅炉钢管数量如下表所示:多少根原材料？设按14 种方案下料的原材料的根数分别为X1,X2，X3,X4,X5,X6,X7,X8，X9,X10，X11,X12，X13，X14, 可列出下面的数学模型:min f＝X1+X2+X3+X4+X5+X6+X7+X8+X9+X10+X11+X12+X13+X14满足约束条件：2X1＋X2＋X3＋X4≥ 80X2＋3X5＋2X6＋2X7＋X8＋X9＋X10≥420X3＋X6＋2X8＋X9＋3X11＋X12＋X13≥ 350X4＋X7＋X9＋2X10＋X12＋2X13＋3X14≥ 10X1,X2,X3，X4，X5，X6,X7，X8，X9，X10，X11，X12，X13，X14≥ 0(3)某公司从两个产地A1、A2将物品运往三个销地B1、B2、B3，各产地的产量、应如何调运，使得总运输费最小?解：此运输问题的线性规划的模型如下min f =6X11+4X12+6X13+6X21+5X22+5X23约束条件: X11+X12+X13=200X21+X22+X23=300X11+X21=150X12+X22=150X13+X23=200X ij≥0(i=1，2;j=1，2,3）（4) 某公司从两个产地A1、A2将物品运往三个销地B1、B2、B3，各产地的产（6)箱、500箱。
需要供应四个地方的销售,这四地的产品需求分别为400箱、250②如果2分厂的产量从400箱提高到了600箱,那么应如何安排运输方案，使得总运费为最小？③如果销地甲的需求从400箱提高到550箱,而其他情况都同①,那该如何安排运输方案,使得运费为最小?解：①此运输问题的线性规划的模型如下minf=21X11+17X12+23X13+25X14+10X21+15X22+30X23+19 X24+23X31+21X32+20X33+22X34 约束条件：X11+X12+X13 +X14=300X21+X22+X23+X24=400X31+X32+X33+X34=500X11+X21+X31=400X12+X22+X32=250X13+X23+X33=350X14+X24+X34=200X ij≥0(i=1，2,3;j=1,2，3，4)某公司拟用集装箱托运甲、乙两种货物，这两种货物每件的体积、重量、可获利解：设X1,X2分别为甲、乙两种货物托运的件数,其数学模型如下所示：max z=2X1+3X2约束条件：195X1+273X2≤1365，4X1+40X2≤140，X1≤4，X1, X2≥0，X1，X2 为整数。
管理运筹学讲义：动态规划
谢家平 博士 副教授
研究领域：系统建模与优化、生产与运作管理、物流与供应链管理
讲授课程：管理运筹学、管理系统工程、生产运作管理、
供应链管理、国际物流管理、企业资源计划
单
位：上海财经大学国际工商管理学院供应链管理研究中心
E-mail：jiaping_xie@ 电 话：55036936(H)
若 V k ,n
v ( s , x )，过程指标等于各阶 边界条件：
n
f k (sk )
opt v
xk X k ( S k )
k
( s k , x k ) f k 1 ( s k 1 )
f n 1 ( s n 1 ) 0
SHUFE
第二节 动态规划原理
二、动态规划方法的基本思路
• 逆序算法：逆着阶段顺序的方向，由后向前推算。
把寻求最优策略看作连续递推过程，从最终阶段开始，逆着实 际过程的进展方向逐段求解； 在每一阶段求解过程中都是其后部子过程最优策略的基础上， 再考虑本阶段的指标函数，求出本阶段的最优策略； 直到第一阶段为止。
A1 11,A3 Q 2 4 3
8,B1 6 4 A2 2 4 8,B1 4 2 A3 5
阶段1 阶段2
C1 3
0 T
6
3 4,T C2 4
6,C1 3 B3 3
阶段3
阶段4
• 最短路径：Q→ A3→ B1→ C1→T
6
上海财经大学国际工商管理学院
SHUFE
第一节
多阶段决策问题
三、 多阶段决策的基本特征
上海财经大学国际工商管理学院
SHUFE
第二节 动态规划原理
• 指标函数
运筹学基本概念及判断题（含答案）
运筹学基本概念及判断题（含答案）第1章线性规划1.任何线性规划一定有最优解。
2.若线性规划有最优解,则一定有基本最优解。
3.线性规划可行域无界,则具有无界解。
4.在基本可行解中非基变量一定为零。
5.检验数λj表示非基变量xj增加一个单位时目标函数值的改变量。
7.可行解集非空时,则在极点上至少有一点达到最优值。
8.任何线性规划都可以化为下列标准形式:9.基本解对应的基是可行基。
10.任何线性规划总可用大M单纯形法求解。
11.任何线性规划总可用两阶段单纯形法求解。
12.若线性规划存在两个不同的最优解,则必有无穷个最优解。
13.两阶段法中第一阶段问题必有最优解。
14.两阶段法中第一阶段问题最优解中基变量全部非人工变量,则原问题有最优解。
15.人工变量一旦出基就不会再进基。
16.普通单纯形法比值规则失效说明问题无界。
17.最小比值规则是保证从一个可行基得到另一个可行基。
18.将检验数表示为的形式,则求极大值问题时基可行解是最优解的充要条件是。
19.若矩阵B为一可行基,则|B|=0。
20.当最优解中存在为零的基变量时,则线性规划具有多重最优解。
第2章线性规划的对偶理论21．原问题第i个约束是“≤”约束，则对偶变量yi≥0。
22．互为对偶问题，或者同时都有最优解，或者同时都无最优解。
23．原问题有多重解，对偶问题也有多重解。
24．对偶问题有可行解，原问题无可行解，则对偶问题具有无界解。
25．原问题无最优解，则对偶问题无可行解。
26．设X*、Y*分别是的可行解，则有（1）CX*≤Y*b；（2）CX*是w的上界（3）当X*、Y*为最优解时，CX*=Y*b；（4）当CX*=Y*b时，有 Y*Xs+Ys X*=0成立（5）X*为最优解且B是最优基时，则Y*=CBB－1是最优解；（6）松弛变量Ys的检验数是λs，则 X=－λS是基本解，若Ys是最优解，则X=－λS是最优解。
第5章运输与指派问题61.运输问题中用位势法求得的检验数不唯一。
运筹学课程动态规划课件
5 A
3
1 B1 3
6
8 B2 7
6
C1 6 8
3 C2 5
3 C3 3
84 C4
2 D1
2
D2 1 2
3 D3
3
E1 3
5 5 E2 2
6 6
E3
F1 4
G 3 F2
1
2
3 4 运筹学课程动态规划
5
6
7
示例5（生产与存储问题）：
某工厂生产并销售某种产品。已知今后四个月市场需求 预测及每月生产j个单位产品的费用如下：
上一个阶段的决策直接影响下一个阶段的决策
运筹学课程动态规划
8
示例6（航天飞机飞行控制问题）：
由于航天飞机的运动的环境是不断变化的，因 此就要根据航天飞机飞行在不同环境中的情况， 不断地决定航天飞机的飞行方向和速度（状态）， 使之能最省燃料和实现目的（如软着落问题）。
运筹学课程动态规划
9
所谓多阶段决策问题是指一类活动过程，它可以分为若 干个相互联系的阶段，在每个阶段都需要作出决策。这 个决策不仅决定这一阶段的效益，而且决定下一阶段的 初
1 6
C3
D1
10
E
D2
6
运筹学课程动态规划
12
以上求从A到E的最短路径问题，可以转化为四个性质完
全相同，但规模较小的子问题，即分别从 Di 、 Ci 、Bi、
A到E的最短路径问题。
第四阶段：两个始点 D 1 和 D 2 ，终点只有一个；
本阶段始点 （状态）
D1 D2
本阶段各终点（决策） E 10 6
cj30j
j0 j1,2,6
月1 2 3
4
需求 2 3 2
(NEW)运筹学教材编写组《运筹学》(第4版)笔记和课后习题(含考研真题)详解
线性规划问题的共同特征：
（1）每一个问题都用一组决策变量
表示某一方案，这组
决策变量的某一确定值就代表一个具体方案。一般这些变量的取值是非
负且连续的。
（2）存在有关的数据，如资源拥有量、消耗资源定额、创造新价值 量等，同决策变量构成互不矛盾的约束条件，这些约束条件可以用一组 线性等式或线性不等式来表示。
1.2 课后习题详解
本章无课后习题。
1.3 考研真题详解
本章只是对本课程的一个简单介绍，不是考试重点，所以基本上没 有学校的考研试题涉及到本章内容，因此，读者可以简单了解，不必作 为复习重点，本部分也就没有可选用的考研真题。Leabharlann 第2章 线性规划与目标规划
2.1 复习笔记
1．线性规划模型的概念及其一般形式
目 录
第1章 运筹学概论 1.1 复习笔记 1.2 课后习题详解 1.3 考研真题详解
第2章 线性规划与目标规划 2.1 复习笔记 2.2 课后习题详解 2.3 考研真题详解
第3章 对偶理论与灵敏度分析 3.1 复习笔记 3.2 课后习题详解 3.3 考研真题详解
第4章 运输问题 4.1 复习笔记 4.2 课后习题详解
2．线性规划问题的标准型及标准化 （1）线性规划的标准型
或
（2-4） （2-5） 线性规划的标准型要求：目标函数是Max型；约束条件是等式约 束；决策变量非负。 （2）线性规划的标准化方法
① 若要求目标函数实现最小化，即
，则只需将目标函数最
小化变换为求目标函数最大化，即令 ，于是得到
第13章 排队论
13.1 复习笔记 13.2 课后习题详解 13.3 考研真题详解 第14章 存储论 14.1 复习笔记 14.2 课后习题详解 14.3 考研真题详解 第15章 对策论基础 15.1 复习笔记 15.2 课后习题详解 15.3 考研真题详解 第16章 单目标决策 16.1 复习笔记 16.2 课后习题详解 16.3 考研真题详解 第17章 多目标决策 17.1 复习笔记
运筹学中的动态规划原理-教案
运筹学中的动态规划原理-教案一、引言1.1动态规划的基本概念1.1.1动态规划的定义：动态规划是一种数学方法，用于求解多阶段决策过程的最优化问题。
1.1.2动态规划的特点：将复杂问题分解为简单的子问题，通过求解子问题来得到原问题的最优解。
1.1.3动态规划的应用：广泛应用于资源分配、生产计划、库存控制等领域。
1.2动态规划的基本原理1.2.1最优性原理：一个最优策略的子策略也是最优的。
1.2.2无后效性：某阶段的状态一旦确定，就不受这个状态以后决策的影响。
1.2.3子问题的重叠性：动态规划将问题分解为子问题，子问题之间往往存在重叠。
1.3动态规划与静态规划的关系1.3.1静态规划：研究在某一特定时刻的最优决策。
1.3.2动态规划：研究在一系列时刻的最优决策。
1.3.3动态规划与静态规划的区别：动态规划考虑时间因素，将问题分解为多个阶段进行求解。
二、知识点讲解2.1动态规划的基本模型2.1.1阶段：将问题的求解过程划分为若干个相互联系的阶段。
2.1.2状态：描述某个阶段的问题情景。
2.1.3决策：在每个阶段，根据当前状态选择一个行动。
2.1.4状态转移方程：描述一个阶段的状态如何转移到下一个阶段的状态。
2.2动态规划的基本算法2.2.1递归算法：通过递归调用求解子问题。
2.2.2记忆化搜索：在递归算法的基础上，保存已经求解的子问题的结果，避免重复计算。
2.2.3动态规划算法：自底向上求解子问题，将子问题的解存储在表格中。
2.2.4动态规划算法的优化：通过状态压缩、滚动数组等技术，减少动态规划算法的空间复杂度。
2.3动态规划的经典问题2.3.1背包问题：给定一组物品，每种物品都有自己的重量和价值，求解在给定背包容量下，如何选择物品使得背包中物品的总价值最大。
2.3.2最长递增子序列问题：给定一个整数序列，求解序列的最长递增子序列的长度。
2.3.3最短路径问题：给定一个加权有向图，求解从源点到目标点的最短路径。
运筹学第3版熊伟编著习题答案
求没有限制，由于仓库容量有限，仓库最多库存产品 A1000 件，1 月初仓库库存 200 件。1～
6 月份产品 A 的单件成本与售价如表 1－25 所示。
表 1－25
月份
1
2
3
4
5
6
产品成本(元/件)
300 330 320 360
360
300
销售价格(元/件)
350 340 350 420
410
340
（1）1～6 月份产品 A 各生产与销售多少总利润最大，建立数学模型；
（2）当 1 月初库存量为零并且要求 6 月底需要库存 200 件时，模型如何变化。
【解】设 xj、yj（j＝1，2，…，6）分别为 1～6 月份的生产量和销售量，则数学模型为
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max Z 300x1 350 y1 330x2 340 y2 320x3 350 y3 360x4
第1章 线性规划
1.1 工厂每月生产 A、B、C 三种产品 ,单件产品的原材料消耗量、设备台时的消耗量、资源
限量及单件产品利润如表 1－23 所示．
表1－23
产品 资源
A
B
C
资源限量
材料(kg)
1.5
1.2
4
2500
设备(台时)
3
1.6
1.2
利润(元/件)
10
14
12
1400
根据市场需求,预测三种产品最低月需求量分别是 150、260 和 120,最高月需求是 250、310 和 130.试建立该问题的数学模型,使每月利润最大． 【解】设 x1、x2、x3 分别为产品 A、B、C 的产量，则数学模型为
xj 0, j 1, 2, ,10
运筹学动态规划汇总
j
aj
…
…
n
an
c1
c2
…
cj
…
cn
这就是背包问题。类似的还有工厂里的下料问题、运输中的 货物装载问题、人造卫星内的物品装载问题等。
静态规划模型：
maxZ c j x j
j 1
n
n a j x j a ji x 0且 为 整 数 ( j 1.2. .n) j
例：某厂设计一种电子设备，由三种元件 D1，D2、D3组成。已知这三种元件 的 价格和可靠性如表9—9所示，要求在 设计中所使用元件的费用不超过105 元。试问应如何设计使设备的可靠性 达到最大(不考虑重量的限制)。
元件 D1 D2 D3 单位/元（Ck） 30 15 20 可靠性(Pk) 0.9 0.8 0.5
状态转移方程
允许决策集合
动态规划基本方程
复合系统可靠性问题
某种复合系统由n个部件串联而成； 部件1 部件2 …... 部件n
部件i装有zi个备用元件，它正常工作的概率为pi(zi);
系统正常工作的概率为：
p pi ( zi )
i 1
n
部件i装一个备用元件的费用为ci，系统总费用不得超过c; 部件i装一个备用元件的重量为wi，系统总费用不得超过w; 求可以使得p达到最大的zi的选取方法。
内容
复合系统可靠性问题
部件1 部件2
…...
部件n 部件i装有zi个备用元件，它失败的概率为pi(zi); 部件i装一个备用元件的费用为ci，系统总费用不得超过c; 部件i装一个备用元件的重量为wi，系统总费用不得超过w; 求可以使得p达到最大的zi的选取方法。
静态规划的模型为：
管理运筹学-动态规划
盈利：万元
套数
分厂
0 0 0 0
第7章
1 3 4 2
2 5 6 5
3 6 7 9
4 7 8 8
5 6 9 8
6 5 10 7
1 2 3
13
动态规划
7.3
解 1. 建立DP模型
离散确定型典例
以 k = 1，2，3 表示给三个分厂分配的顺序。 设 sk = 在给k分厂分配时尚余的套数； xk = 分给k分厂的套数； 可知状态方程为 sk+1 = sk - xk vk ( sk, xk ) = 从现有sk套设备中分给k分厂xk套 设备后的预计创利额； fk ( sk, xk ) = 将现有sk套设备从 k - 3 分配后 (其中k分厂分得xk套)的预计创利额之和；
盈利：万元
价格 (元 )
年
1 9 7 6 8
第7章
2 2 5 5 7
动态规划
3 4 8 9 6
4 5 6 7 6
5 8 4 3 4
5 6 7 8
11
7.3
年 1 9
35
离散确定型典例
2 2
28
p1* = { 8, 8 , 7, 6 , 5 } (元)
价格 5 6 7
37 24
3 4
f *1 = 38 万元
把每批的制造过程做为一个阶段则阶段变量为11当第k段之前未得到合格品00否则动态规划4374其他典例状态转移方程为k111106k100k111动态规划4474其他典例因此函数基本方程为minb100x321边界条件为ff442000表示总共三批全未得到合格品而赔偿用户20002000动态规划4574其他典例20002000065006002000120072043270025980090015693ffff4411200016001220956956956956动态规划4674其他典例4005006007008009009569560695657434420612411956974806806806806ff33动态规划4774其他典例综上最优策略是
《管理运筹学》演示(动态规划)
动态规划
C1 6
(最短路问题)
1
B1 3 6
8 3
2
D1 2 E1 5 E2
3
5 F1 4
5
A
C2
5 D2 1 2 3
2
G
3
k=1 fu (A) = = 18 B1 1 1(A)
8 7
B2 6
C3
8
3
3 D3 3
6
E3 6 F2
3
k=4 k=2 C4 (D =7 7 ff ))= k = 3 4(D 1 4 1 f2 13 u4(D1)=E2 u 1 2(B1 2 1) = C2 f (C1)=D ) = 13 ff (D u 33(C2 =6 6 ))= 1 4 (D 2 4 2 f2 (B2 ) = 16 f (C ) = 10 2 2 3 2 (D =8 8 ff (D ))= 44 33 A f B C D E (C ) = 9 2 1 2 3 13 G 1 2 4 f3 (C4) =312
动态规划(基本概念)－5 状态转移方程
状态转移方程描述了过程由一个状态向另一个状态
转移规律或者说演变规律。也就是说，如果给定第k阶 段状态变量sk的值，该阶段的决策变量uk也确定，那么， 第 k+1 阶段的状态变量 sk+1 的值也就完全确定，这种状 态之间的对应关系，称为状态转移方程，记为，
sk+1=T(sk,uk)
动态规划(基本概念)－4 策略 允许策略集合 全(子)过程策略 最优策略 由一系列决策所构成的决策序列，称为一个策略。 从第1阶段到第n阶段的决策序列,则称为一个全过程 策略；用P1,n(s1)={ u1(s1), u2(s2), … un(sn) }. 若决策序列是从第 k 阶段到第 n 阶段 , 则称为 k 子过程 策略；用Pk,n(sk)={ uk(sk), uk+1(sk+1),…un(sn) }. 在实际问题中，存在着许多不同的策略，这些可供 选择的策略范围，称为允许策略集合，用P表示。 在允许策略集合中，使问题达到最优效果的策略， 称为最优策略，用P1,n*。 如在上例中，从 A 到 E 共有 18 种策略，最优策略只有 一个，即A→B2→C1→D1→E。
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C3
11 1
14 7 5
B4
12
以上过程，仅用了22次加法，计算效率远高于穷举法。
管 理 运 筹 学
8
§2 基本概念、基本方程与最优化原理
一、基本概念： 1、阶段k：表示决策顺序的离散的量，阶段可以按时间或空间划 分。 2、状态sk：能确定地表示决策过程当前特征的量。状态可以是数 量，也可以是字符，数量状态可以是连续的，也可以是离散的。
上式中“opt”表示“max”或“min”。对于可乘性指标函数，上式 可以
写为
f k ( sk )
opt
xk Dk ( sk )
{vk ( sk , xk ) f k 1 ( sk 1 )}
k 1,2,, n
以上式子称为动态规划最优指标的递推方程，是动态规划的基本 方程。 终端条件：为了使以上的递推方程有递推的起点，必须要设定最 优指标的终端条件，一般最后一个状态n+1下最优指标fn+1(sn+1) = 0。
f3 (s3 ) x *3
0
0
－
－
－
－
－
0
0
1 2
3
－ －
－
4 －
－
－ 6
－
－ －
11
－ －
－－Βιβλιοθήκη －－4 611
1 2
3
4 5
－ －
－ －
－ －
管 理 运
－ － －
筹 学
12 － 12 12 12
4 5
16
§3
动态规划的应用(1)
其中 x *3 表示取3子过程上最优指标值 f3 (s3 )时的 x3 决策，例如在表10-6中可知当s 3 =4时，有 r3 (4,4) 12; 有 * f 3 (4) 12, 此时 x 3 4 ，即当 s3 4 时，此时取 x3 4 （把4台设备分配给第3厂）是最优决策，此时阶段指标值 （盈利）为12，最优3子过程最优指标值也为12。 第二阶段： 当把 s2 (s2 0,1,2,3,4,5) 台设备分配给第2工厂和第3工 厂时，则对每个s 2 值，有一种最优分配方案，使最大盈利 即最优2子过程最优指标函数值为 f 2 ( s2 ) max [r2 ( s2 , x2 ) f 3 ( s3 )]
管 理 运 筹 学
9
§2 基本概念、基本方程与最优化原理
6、阶段指标函数vk(sk, xk)：从状态sk出发，选择决策xk所产生的第 k阶段指标。
过程指标函数Vk,n(sk, xk, xk+1,…, xn)：从状态sk出发，选择决策xk,
xk+1, …, xn所产生的过程指标。动态规划要求过程指标具有可分离 性，即 Vk,n(sk, xk, xk+1, …, xn) = vk(sk, xk)+Vk+1(sk+1, xk+1, …, xn)
同，但规模较小的子问题，即分别从Di 、Ci、Bi、A到E的最短路
径问题。 第四阶段：两个始点D1和D2，终点只有一个；
表10-1 阶段4
本阶段始点 （状态） D1 D2 本阶段各终点（决策） E 10* 6 10 6 到E的最短距离 本阶段最优终点 （最优决策) E E
分析得知：从D1和D2到E的最短路径唯一。
3、决策xk：从某一状态向下一状态过渡时所做的选择。决策是所 在状态的函数，记为xk(sk)。
决策允许集合Dk(sk)：在状态sk下，允许采取决策的全体。
4、策略Pk,n(sk)：从第k阶段开始到最后第n阶段的决策序列，称k 子策略。P1,n(s1)即为全过程策略。
5、状态转移方程 sk+1=Tk(sk, xk)：某一状态以及该状态下的决策， 与下一状态之间的函数关系。
k 的值增加时，需要进行的加法和比较的
次数将迅速增加；
例如当 k=20时，加法次数为 4.2550833966227×1015 次， 比较 1.3726075472977×1014 次。若用1亿次/秒的计算机计算 需要约508天。
管
理
运
筹
学
3
§1 多阶段决策过程最优化问题举例
讨论： 1、以上求从A到E的最短路径问题，可以转化为四个性质完全相
称指标具有可加性，或 Vk,n(sk, xk, xk+1, …, xn) = vk(sk, xk)×Vk+1(sk+1,
xk+1, …, xn)称指标具有可乘性。
二、基本方程：
最优指标函数fk(sk)：从状态sk出发，对所有的策略Pk,n，过程指 标Vk,n的最优值，即
f k (sk )
管
opt
管 理 运 筹 学
4
§1 多阶段决策过程最优化问题举例
第三阶段：有三个始点C1，C2，C3，终点有D1，D2，对始点 和终点进行分析和讨论分别求C1，C2，C3到D1，D2 的最短路 径问题：
表10-2 阶段3
本阶段始点 （状态）
C1 C2 C3
本阶段各终点（决策）
D1 8+10=18 7+10=17 1+10=11 D2 6+6=12 5+6=11 6+6=12
表10-3 阶段2 本阶段始点 （状态） B1 B2 B3 B4 本阶段各终点（决策） 到E的最 短距离 12 13 14 12 本阶段最优终 点（最优决策) C2 C3 C3 C3
C1
2+12=14 4+12=16 4+12=16 7+12=19
C2
1+11=12 7+11=18 8+11=19 5+11=16
第十章 动态规划
§1 多阶段决策过程最优化问题举例
§2 基本概念、基本方程与最优化原理
§3 动态规划的应用(1) §4 动态规划的应用(2)
管
理
运
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学
1
§1 多阶段决策过程最优化问题举例
例1 最短路径问题 下图表示从起点A到终点E之间各点的距离。求A到E的最 短路径。
B 2 1 1 6 4 A 3 2 3 B2 7 2 C2 7 5 6 E
管 理 运 筹 学
11
§2 基本概念、基本方程与最优化原理 三、最优化原理 作为整个过程的最优策略具有如下性质： 不管在此最优策略上的某个状态以前的状 态和决策如何，对该状态来说，以后的所有决 策必定构成最优子策略。就是说，最优策略的 任意子策略都是最优的。
管
理
运
筹
学
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§3
一、资源分配问题
动态规划的应用(1)
本阶段最优终点 到E的最短距离 （最优决策)
12 11 11 D2 D2 D1
分析得知：如果经过C1，则最短路为C1-D2-E； 如果经过C2，则最短路为C2-D2-E； 如果经过C3，则最短路为C3-D1-E。
管
理
运
筹
学
5
§1 多阶段决策过程最优化问题举例
第二阶段：有4个始点B1,B2,B3,B4，终点有C1,C2,C3。对始点和终点进行分 析和讨论分别求B1,B2,B3,B4到C1,C2,C3 的最短路径问题：
x2
管
理
运
筹
学
17
§3
x2
动态规划的应用(1)
因为 s3 s2 x2,上式也可写成
f 2 ( s2 ) max r2 ( s2 , x2 ) f 3 ( s2 x2 )
表10－7
其数值计算如表10－7所示。
s2
0 1 2
x2
0 1 － 2
r2 (s2 , x2 ) f3 (s3 x2 )
3 － － － － － 4 － － － 5 － － －
f 2 (s2 )
0 5 10
x*2
0 1 2
00
0＋4 0＋6
50
5＋4
10 0
10 4
10 6
3
4
0＋11
0＋12
5＋6
11＋0
11＋4
－
11＋0
－
－
14
16
2
1,2
5 11
5
0＋12
5＋12 10 11
管 理
11＋6
11＋4
C3
6+11=17 2+11=13 3+11=14 1+11=12
分析得知：如果经过B1，则走B1-C2-D2-E； 如果经过B2，则走B2-C3-D1-E； 如果经过B3，则走B3-C3-D1-E； 如果经过B4，则走B4-C3-D1-E。
管 理 运 筹 学
6
§1 多阶段决策过程最优化问题举例
第一阶段：只有1个始点A，终点有B1,B2,B3,B4 。对始点和终 点进行分析和讨论分别求A到B1,B2,B3,B4的最短路径问题：
11＋0
21
2
运
筹
学
18
§3
动态规划的应用(1)
r2 (s2 , x2 ) f3 (s2 x2 ) r2 (4,1) f3 (4 1) r2 (4,1) f3 (3) 5 11 16
其中在 s2 4 的这一行里，当 x2 1 时，
这里 r2 (4,1) 从表10－5中可知，把1台设备交给乙厂所得盈 利数即可，知 r2 (4,1) 5，这里 f3 (4 1) f3 (3) 从表10－6查 f 3 (3) 即可知 f 3 (3) =11。同样可知当 x2 2 时，可知 r2 (s2 , x2 ) f3 (s2 x2 ) r2 (4,2) f3 (4 2) r2 (4,2) f3 (2) 10 6 16 ; r 当 x2 0 时，2 (4,0) f3 (4 0) 0 12 12 ；当 x2 3 时， r2 (4,3) f3 (4 3) 11 4 ；当 x2 4 时， r2 (4,4) f3 (4 4) 11 0 11 ；由于 s2 4 ，不可能分2厂5 台设备，故 x2 5 时， r2 (4,5) f3 (4 5) 栏空着不填。从 这些数值中取得最大即得 f 2 (4)，即有f 2 (4) =16。在此行中 我们在取最大值的 r2 (s2 , x2 ) f3 (s2 x2 )上面加一横以示 区别，也可知这时 x2的最优决策为1或2。