第九章 第八节 极值与最值

A
在点(1,0) 处 AC B 2 12 6 0 , A 0 , 为极小值;
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在点(1,2) 处
AC B 2 12 (6) 0 ,
在点(3,0) 处
不是极值; 不是极值;
AC B 2 12 6 0 ,
在点(3,2) 处
设拉氏函数 F sin x sin y sin z ( x y z 2 ) cos x 0 2 cos y 0 x yz , 得 解方程组 3 cos z 0 x y z 2 0 xz 故圆内接正三角形面积最大 , 最大面积为 y 2 R 2 3 3 2 S max 3 sin R . 2 3 4
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思考：对于三元函数甚至多元函数，怎么求极值可疑点？ 怎么判别？
（用到黑塞矩阵正定和负定）
sin 0 , x 0 12 2 x x cos 0 24 cos 2 x cos x(cos2 sin 2 ) 0
解得:
3 由题意知,最大值在定义域D 内达到,而在域D 内只有


60 , x 8 (cm)
一个驻点, 故此点即为所求.
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三、条件极值
极值问题 无条 对自变量除定义域限制外, 还有其它条件限制 条件极值的求法: 方法1 代入法. 例如 ,
在条件 ( x, y) 0 下, 求函数 z f ( x, y) 的极值
转 化
从条件 ( x, y) 0中解出 y ( x)
令 A f x x ( x0 , y0 ) , B f x y ( x0 , y0 ) , C f y y ( x0 , y0 )
则: 1) 当AC B 0 时, 具有极值
2) 当 AC B 0 时, 没有极值.
2
2
A<0 时取极大值;
A>0 时取极小值.
3) 当 AC B 2 0 时, 不能确定 , 需另行讨论.
解方程组
可得到条件极值的可疑点 .
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例7. 求表面积为 a 2 而体积最大的长方体的体积。
解: 设 x , y , z 分别表示长、宽、高, 则问题为求x , y ,
z 使在条件 a2 2xz 2 yz 2xy 函数 V xyz 的最大值。
2 F xyz (2 xz 2 yz 2 xy a ) 令
z
yz 2 ( y z) 0
解方程组
xz 2 ( x z) 0
xy 2 ( y x) 0
x
y
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6 得唯一驻点 x y z 6 a
由题意可知最大值是存在的,因此 这个唯一的驻点即为最大值点。
z
x
y
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内容小结
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例6.(P112) 有一宽为 24cm 的长方形铁板把它折起来做成 ,
一个断面为等腰梯形的水槽, 问怎样折法才能使断面面 积最大. 解: 设折起来的边长为 x cm, 倾角为 , 则断面面积 1 为 ( 24 2 x 2 x cos ) x sin 2 2 2 24 x sin 2 x sin x cos sin
则水箱所用材料的面积为
2 2 x y 2 x y

令
Ax 2( y
Ay 2( x
2)0 x2 2)0 y2
得驻点 ( 3 2 , 3 2 )
根据实际问题可知最小值在定义域内应存在, 因此可 断定此唯一驻点就是最小值点. 即当长、宽均为 3 2
高为 3 23
2 2
3 2 时, 水箱所用材料最省.
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拉格朗日乘数法可推广到多个自变量和多 个约束条件的情形. 例如, 求函数 u f ( x, y, z ) 在条件 ( x, y, z ) 0 ,
推广
( x, y, z ) 0下的极值. 设 F f ( x, y, z ) 1 ( x, y, z ) 2 ( x, y, z )
x
fx

fy
y

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极值点必满足
f x x 0 f y y 0 ( x, y ) 0
引入辅助函数 F f ( x, y ) ( x, y )
则极值点满足:
辅助函数F 称为拉格朗日( Lagrange )函数. 利用拉格 朗日函数求极值的方法称为拉格朗日乘数法.
( D : 0 x 12 , 0 ) 2
x
x
24 2 x
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24
A 24 x sin 2 x 2 sin x 2 cos sin ( D : 0 x 12 , 0 ) 2
令
Ax 24 sin 4 x sin 2 x sin cos 0 A 24 x cos 2 x 2 cos x 2 (cos 2 sin 2 ) 0
1. 函数的极值问题 第一步 利用必要条件在定义域内找驻点. 如对二元函数 z f ( x, y ) , 即解方程组
f x ( x, y ) 0 f ( x, y ) 0 y 第二步 利用充分条件 判别驻点是否为极值点 . 2. 函数的条件极值问题
(1) 简单问题用代入法 (2) 一般问题用拉格朗日乘数法
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如求二元函数 z f ( x, y )在条件 ( x, y ) 0 下的极值, 设拉格朗日函数 F f ( x, y ) ( x, y )
解方程组
3. 函数的最值问题
求驻点 .
第一步 找目标函数, 确定定义域 ( 及约束条件)
第二步 判别
解: 显然 (0,0) 都是它们的驻点 , 并且在 (0,0) 都有 在(0,0)点邻域内的取值
z
正
可能为 负 , 因此 z(0,0) 不是极值. 0
2 2
2 2 2
o
x
y
当 x y 0 时, z ( x y ) z (0,0) 0
因此 为极小值.
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证明见 第九节.
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例1.(P111) 求函数 解: 第一步 求驻点. 解方程组 得驻点: (1, 0) , (1, 2) , (–3, 0) , (–3, 2) . 第二步 判别. 求二阶偏导数
的极值.
B
C
f x x ( x, y ) 6 x 6 , f x y ( x, y ) 0 , f y y ( x, y ) 6 y 6
面积最大.
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备用题 求半径为R 的圆的内接三角形中面积最大者. 解: 设内接三角形各边所对的圆心角为 x , y , z ,则 x y z 2 , x 0 , y 0 , z 0 它们所对应的三个三角形面积分别为
2 S3 1 R sin z 2
• 比较驻点及边界点上函数值的大小 • 根据问题的实际意义确定最值
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思考与练习 已知平面上两定点 A( 1 , 3 ), B( 4 , 2 ),
x2 y2 1 ( x 0, y 0) 圆周上求一点 C, 使 试在椭圆 9 4 △ABC 面积 S△最大. y A
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Example 6.4.3 Find the global maximum and minimum of the function f ( x, y) x 2 x y y on the region
2 2 2
D={(x,y)|x2 +y2 1}
例 5. （P112)某厂要用铁板做一个体积为2 的有盖长方体水箱 问当长、宽、高各取怎样的尺寸时, 才能使用料最省? 解: 设水箱长,宽分别为 x , y m ,则高为 x2y m ,
z x y 在(0, 0)处的偏导数不存在,
2 2
但在该点取得极大值. 所以极值点除了驻点外, 还有可能是 偏导数不存在的点
二、最值应用问题
依据 函数 f 在有界闭域上连续 函数 f 在有界闭域上可取得最值
驻点 最值可疑点 边界上的最值点
特别, 当按实际情况知道区域内部最值存在, 且只有 一个极值点P 时, f ( P ) 为最小(大)值 f ( P ) 为极小(大) 值
解答提示: 设 C 点坐标为 (x , y),
D
C
B
则
i j k 3 1 0 x 1 y 3 0
1 x 3 y 10 2
机动
o
E
x
1 (0 , 0, x 3 y 10) 2
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2 2 x y 设拉格朗日函数 F ( x 3 y 10) 2 (1 ) 9 4 2 2( x 3 y 10) x0 9 解方程组 6( x 3 y 10) 2 y 0 4 x2 y2 1 0 9 4 3 4 ,y , 对应面积 S 1.646 得驻点 x 5 5 而 S D 2 , SC 3.5 , 比较可知, 点 C 与 E 重合时, 三角形
AC B 2 12 (6) 0 , A 0 ,