高数极值与最值[优质ppt]
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极值和最值教材PPT课件
第二步 判别. 求二阶偏导数
B
C
f xx (x, y) 6x 6, f xy (x, y) 0, f yy (x, y) 6 y 6
A
在点(1,0) 处
AC B2 12 6 0, A 0,
为极小值;
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在点(1,2) 处
AC B2 12 (6) 0,
不是极值;
二元函数的驻点条件:
f x(x0 , y0 ) 0 , f y (x0 , y0 ) 0
三元函数的驻点条件:
fx(x0, y0, z0 ) 0 , f y(x0, y0, z0 ) 0, fz(x0, y0, z0 ) 0
• 驻点不一定是极值点；
• 若点
是可微函数的驻点，且在其任何邻域
内既存在函数值大于
的点，又存在函数值
小于
的点，则称该点为鞍点.
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定理推广 （极值的必要条件）
设 n 元函数 f ( x) 在点 x0 处对各个自变量的一阶
偏导数都存在，且在点 x0 处取极值，则有 f (x0) 0
定理
(极值的充分条件) 设 n 元函数 f ( x) 在点
x0 处具有二阶连续偏导数，且 f (x0) 0, (1) 如果 H(x0) 正定，则 x0 为 f (x)的极小值点；
当
时,
当 时,
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为极小值; 为极大值.
2. 多元函数最值问
题
依据
函数 f 在闭域上连续
函数 f 在闭域上可达到最值
可能最值点
驻点 边界上的最值点
特别, 当区域内部最值存在, 且只有一个极值点 P 时,
f (P)为极小 (大) 值
高数微积分极值与最值
的最大长方体的体积,长方体的各面平行于坐标面
解一 设内接于椭球且各面平行于坐标面的长方体在第
一卦限的顶点的坐标为( x , y , z )
则长方体的体积为V=8xyz
令
F
xyz
(
x2 a2
y2 b2
z2 c2
1)
Fx
yz
2x a2
0
Fy
xz
2y b2
0
Fz
xy
ห้องสมุดไป่ตู้
2z c2
0
x2 a2
y2 b2
z2 c2
a
b
c3
x ,y ,z
3
3
3
25
解四
即求
x2 a2
y2 b2
z2 c2
的最大值
而此三个正数的和一定（=1）
当
x2 a2
y2 b2
z2 c2
1 3
积最大 x
a ,y 3
b ,z 3
c 3
26
例6 将给定的正数 m 分成三个非负数x,y,z 之和 使xa ybzc最大 其中a, b, c 为给定的正数
说明一元函数 f ( x, y0 )在x x0 处有极大值, 必有 f x ( x0 , y0 ) 0; 类似地可证 f y ( x0 , y0 ) 06 .
推广: 如果三元函数u f ( x, y, z)在点 P( x0 , y0 , z0 ) 具有偏导数，则它在 P( x0 , y0 , z0 )有极值的必 要条件为 f x ( x0 , y0 , z0 ) 0， f y ( x0 , y0 , z0 ) 0，
当 A 0时有极大值， 当 A 0时有极小值；
（2） AC B2 0时没有极值；
同济第五版高数3-5极值最值.ppt
• 对于应用问题 有时可根据实际意义判别 对于应用问题,有时可根据实际意义判别 求出的可疑点是否为最大值点或最小值点. 求出的可疑点是否为最大值点或最小值点
例4 求函数 上的最大值和最小值 . 解
在闭区间
′( x) =6x2 − 18x + 12 f = 6( x − 1)( x − 2), 0 < x < 5 2
极 大 值
极大值 f ( −1) = 10, 极小值 f (3) = −22.
图形如下： f ( x ) = x − 3 x − 9 x + 5 图形如下：3 2来自yf ( −1)
−1 o
3
f ( 3)
x
定理3 第二充分条件 第二充分条件) 定理 (第二充分条件 处具有二阶导数,且 设 f (x)在 x0 处具有二阶导数 且 f ′( x0 ) = 0,
思考题
1.下列命题正确吗？ 1.下列命题正确吗？ 下列命题正确吗
的极小值点, 如果 x 0 为 f ( x ) 的极小值点,那么必存在 的某邻域,在此邻域内, x0 的某邻域,在此邻域内, f ( x ) 在 x0 的左侧 下降, 的右侧上升. 下降,而在 x 0 的右侧上升.
例3 求出函数 f ( x ) = 1 − ( x − 2) 的极值 .
2 解 f ′( x ) = − ( x − 2 ) ( x ≠ 2) 3 当x = 2时 , f ′( x )不存在 . y
− 1 3
2 3
但 函 数 f ( x )在 该 点 连 续 . 当x < 2时， f ′( x ) > 0; 当x > 2时，f ′( x ) < 0. o ∴ f (2) = 1为f ( x )的极大值 .
高数第三章第五节极值与最值
y k ( 5x
令 得 极小点 , 从而为最小点 , 故 AD =15 km 时运费最省 .
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400 x 又
5 k y 3 ) , ( k 为某一常数 ) 2
400
2 32 x )
(400 所以 x 15 为唯一的
结束
例5. 把一根直径为 d 的圆木锯成矩形梁 , 问矩形截面
R( x ) 0
x 350 （唯一驻点）
(2) 类似可证 .
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例2. 求函数 解: 1) 求导数
的极值 .
f ( x) 6 x ( x 2 1) 2 ,
f ( x) 6 ( x 2 1)(5 x 2 1)
2) 求驻点 令 f ( x) 0 , 得驻点 x1 1, x2 0 , x3 1 3) 判别
3 2
在闭区间
且
1 2
5 2
x0 (2 x 9 x 12 x) , 1 4 3 2 51 2 x 9 x 12 x , 0 x 4 2
2
f ( x) x (2 x 2 9 x 12) x1 0 (导数不存在), x2 1, x3 2
x0 6 x 18 x 12 6( x 1)( x 2) , 1 4 f ( x) 2 5 0 x 6 ( x 1 )( x 2 ) , 6 x 18 x 12 2
(9) 4 2 12 81 96 0
2 2 5 故函数在 取最小值 0 ; 0 9 x 12 0在 x 1及 2 取最大值 5. x 2x
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令 得 极小点 , 从而为最小点 , 故 AD =15 km 时运费最省 .
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400 x 又
5 k y 3 ) , ( k 为某一常数 ) 2
400
2 32 x )
(400 所以 x 15 为唯一的
结束
例5. 把一根直径为 d 的圆木锯成矩形梁 , 问矩形截面
R( x ) 0
x 350 （唯一驻点）
(2) 类似可证 .
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例2. 求函数 解: 1) 求导数
的极值 .
f ( x) 6 x ( x 2 1) 2 ,
f ( x) 6 ( x 2 1)(5 x 2 1)
2) 求驻点 令 f ( x) 0 , 得驻点 x1 1, x2 0 , x3 1 3) 判别
3 2
在闭区间
且
1 2
5 2
x0 (2 x 9 x 12 x) , 1 4 3 2 51 2 x 9 x 12 x , 0 x 4 2
2
f ( x) x (2 x 2 9 x 12) x1 0 (导数不存在), x2 1, x3 2
x0 6 x 18 x 12 6( x 1)( x 2) , 1 4 f ( x) 2 5 0 x 6 ( x 1 )( x 2 ) , 6 x 18 x 12 2
(9) 4 2 12 81 96 0
2 2 5 故函数在 取最小值 0 ; 0 9 x 12 0在 x 1及 2 取最大值 5. x 2x
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《函数极值与最值》课件
在工程设计中的应用
结构设计
在工程结构设计中，结构的稳定 性、强度和刚度等性能指标需要 通过计算和分析来保证。函数极 值与最值的方法可以用于分析结 构的应力分布、变形等关键参数 ，优化结构设计。
控制系统设计
在控制系统的设计中，系统的稳 定性、响应速度和精度等性能指 标需要经过权衡和优化。函数极 值与最值的方法可以用于分析控 制系统的性能指标，找到最优的 控制策略。
光学设计
在光学设计中，透镜的形状和材料需要经过精密的计算和设计，以达到最佳的光学性能。函数极值与最值的方法可以 用于分析透镜的光路，优化光学系统的性能。
电磁场研究
在电磁场的研究中，电场和磁场的变化可以通过函数极值与最值来描述。例如，在研究电磁波的传播和 散射时，可以利用函数极值与最值的方法分析电磁场的分布和变化规律。
连续函数的性质
如果函数在某区间内连续，则该函数在该区间内 必取得最大值和最小值。
极值的性质
极值点一定是驻点或不可导点，但驻点或不可导 点不一定是极值点。
最值的求法
代数法
通过函数的导数或二阶导数，结合函数的单调性、凹 凸性等性质，求得函数的最大值或最小值。
几何法
通过函数图像，直观地观察函数的最大值或最小值。
航空航天设计
在航空航天领域，飞行器的设计 和性能分析需要经过严密的计算 和分析。函数极值与最值的方法 可以用于分析飞行器的气动性能 、推进系统效率等关键参数，提 高飞行器的性能和安全性。
04
函数极值与最值的求解方法
导数法
总结词
通过求导数判断函数单调性，值和最值的一种常用方法。首先求出函数的导数，然后根据导数的符号变化判断函 数的单调性，从而确定极值点。在极值点处，函数的导数由正变负或由负变正，即一阶导数为零的点 。
高一数学函数极值PPT优秀课件
并不意味着它在函数的整个的定义域 内最大或最小
（ⅱ）函数的极值不是唯一的 即一个函数在某区间上或定义域内极大 值或极小值可以不止一个
（ⅲ）极大值与极小值之间无 确定的大小关系
即一个函数的极大值未必大于极小值
（ⅳ）函数的极值点一定出现在区间
的内部，区间的端点不能成为极值点
而使函数取得最大值、最小值的点可
在点 x0 的右侧近旁 f ´(x)恒为正， 则函数 f (x)在点 x0 处取得极小值 f ´( x0 )
y yf(x)
在极大值点附近
f (x)>0
f (x)<0
f (x)<0
f (x)>0
Oa
x1x2bx Nhomakorabea在极小值点附近
注意： （ⅰ）极值是一个局部概念
由定义，极值只是某个点的函数值与它 附近点的函数值比较是最大或最小
y
y f ?( x)
a
O
b x
A．1个 C．3个
B．2个 D． 4个
函数极值的求法
求可导函数 f (x) 的极值点和极值的步骤： (1) 确定函数的定义域；
(2) 求出导数f´(x)； (3) 令f ´(x)=0，求出 f (x)的全部驻点；
(4)用驻点把定义域划分为部分区间，
考察每个部分区间内 f ´(x) 的符号，
x (－∞,－2) －2
(－2 , 3)
3 (3 , + ∞)
f ´(x) －
0
+
0
－
f (x) 单调减少 极小值－62 单调增加 极大值16.5单调减少
函数在 x = －2处取得极小值－62 在 x = 3处取得极大值16.5
THANKS
（ⅱ）函数的极值不是唯一的 即一个函数在某区间上或定义域内极大 值或极小值可以不止一个
（ⅲ）极大值与极小值之间无 确定的大小关系
即一个函数的极大值未必大于极小值
（ⅳ）函数的极值点一定出现在区间
的内部，区间的端点不能成为极值点
而使函数取得最大值、最小值的点可
在点 x0 的右侧近旁 f ´(x)恒为正， 则函数 f (x)在点 x0 处取得极小值 f ´( x0 )
y yf(x)
在极大值点附近
f (x)>0
f (x)<0
f (x)<0
f (x)>0
Oa
x1x2bx Nhomakorabea在极小值点附近
注意： （ⅰ）极值是一个局部概念
由定义，极值只是某个点的函数值与它 附近点的函数值比较是最大或最小
y
y f ?( x)
a
O
b x
A．1个 C．3个
B．2个 D． 4个
函数极值的求法
求可导函数 f (x) 的极值点和极值的步骤： (1) 确定函数的定义域；
(2) 求出导数f´(x)； (3) 令f ´(x)=0，求出 f (x)的全部驻点；
(4)用驻点把定义域划分为部分区间，
考察每个部分区间内 f ´(x) 的符号，
x (－∞,－2) －2
(－2 , 3)
3 (3 , + ∞)
f ´(x) －
0
+
0
－
f (x) 单调减少 极小值－62 单调增加 极大值16.5单调减少
函数在 x = －2处取得极小值－62 在 x = 3处取得极大值16.5
THANKS
《极值与最值》课件
THANKS
感谢观看
性方程、积分方程等问题时非常有效。
在日常生活中的应用
要点一
建筑设计
在建筑设计中，极值理论用于优化设计方案。通过找到结 构强度、稳定性等性能指标的极值点，可以设计出既美观 又安全的建筑结构。
要点二
资源分配
在日常生活中，我们经常面临资源分配的问题。极值理论 可以帮助我们找到最优的资源分配方案，使得总体效益达 到最大或损失最小。例如，在旅行计划中，我们可以使用 极值理论找到最短的旅行路线或最低的旅行成本。
《极值与最值》ppt 课件
目录
• 极值与最值的定义 • 极值的性质 • 最值的性质 • 极值与最值的计算方法 • 极值与最值的应用
01
极值与最值的定义
极值的定义
极值是函数在某点附近的小邻域内的最大值或最 01 小值。
极值点是函数的一阶导数为零的点，或者一阶导 02 数不存在的点。
极值点可以是局部最大值或局部最小值，取决于 03 一阶导数的符号变化。
05
极值与最值的应用
在经济领域的应用
金融分析
极值与最值理论在金融领域中用于风险 评估和投资决策。通过对历史数据的分 析，确定资产价格的最大值和最小值， 以及达到这些极值的概率，从而评估投 资风险。
VS
供需分析
在经济学中，极值理论用于分析供需关系 ，确定市场价格的可能波动范围。通过对 需求和供给曲线的极值点进行分析，可以 预测市场价格的最高点和最低点。
判别式法
总结词
通过求解一元二次方程的判别式，确定函数的极值点。
详细描述
对于形式为$f(x) = ax^2 + bx + c$的一元二次函数，通过求解判别式$Delta = b^2 4ac$，可以确定函数的极值点。当$Delta > 0$时，函数有两个实根，此时在两根之间
《D98极值与最值》课件
感谢您的耐心观看
汇报人：
数学建模：用于解决实际问题中的极值 与最值问题
经济学：用于分析市场价格、供需关系 等
物理学：用于分析物理量、运动轨迹等
工程学：用于优化设计、提高效率等
计算机科学：用于算法优化、数据挖掘 等
生物学：用于分析生物种群数量、分布 等
D98极值与最值的计算 步骤确定研究区域确定研究问题的范 围和性质
确定研究问题的具 体内容和要求
D98极值与最值的优缺 点分析
D98极值与最值的优点
计算速度快：D98极值与最值的计算速度非常快，可以快速得到结果。 精度高：D98极值与最值的计算精度非常高，可以保证结果的准确性。 适用范围广：D98极值与最值的适用范围非常广，可以应用于各种类型的问题。 易于理解：D98极值与最值的概念和计算方法都非常简单，易于理解和掌握。
极值：函数在某点处的值大于或等于该点附近的所有其他点的值
最值：函数在某点处的值大于或等于该点附近的所有其他点的值，且该点附近的所有其他点的值都 小于或等于该点处的值
极值与最值的区别：极值是局部最大值或最小值，而最值是全局最大值或最小值
极值与最值的应用：在数学、物理、工程等领域都有广泛应用，如优化问题、控制理论等
D98极值与最值的应用前景
在数学、 物理、工 程等领域 有广泛应 用
可以用于 优化问题、 决策问题 等
在人工智 能、机器 学习等领 域有潜在 应用
可以用于 数据分析、 预测等
在金融、 经济等领 域有应用 前景
可以用于 科学研究、 技术开发 等
D98极值与最值的改进 方向
算法优化方向
提高计算效率：减 少计算时间，提高 计算速度
数据增强：通过生成新数据提高模 型泛化能力
高数数学课件-D3_5极值与最值共29页文档
例2. 求函数 f(x)(x2 1 )3 1 的极值 .
解: 1) 求导数
f(x ) 6 x(x 2 1 )2 , f(x ) 6 (x 2 1 )5 x (2 1 )
2) 求驻点
令 f(x)0, 得驻点 x 1 1 ,x 2 0 ,x 3 1
3) 判别
因 f(0 ) 6 0 ,故 f(0)0为极小值 ;
x 1 ,x 2 , ,x m
(2) 最大值
M m f(x1),a f(x2), x ,f(x m ),f (a), f (b)
最小值
m m f(x1), fi (x2)n , ,f(x m ),f (a), f (b)
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又 f( 1 ) f( 1 ) 0 ,故需用第一判别法判别.
y
由于 f(x)在x1左右邻域内 , 不变号
f(x)在x1没有.极值
1 O 1 x
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定理3 (判别法的推广) 若函 f(x)在 数 x0点有 n阶 直
数 , 且 f ( x 0 ) f ( x 0 ) f ( n 1 ) ( x 0 ) 0 , f(n)(x0)0,
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定理2 (极值第二判别法) 设函 f(x)在 数x0 点 处具 二阶导数 , 且 f(x0)0, f(x0)0
( 1 )若 f(x 0 ) 0 ,则 f (x)在点 x0 取极大值 ; ( 2 )若 f( x 0 ) 0 ,则 f (x)在点 x0 取极小值 .
证: (1) f(x0)xl ix0m f(xx ) x f0 (x0)xl im x0xf(xx0)
则: 1) 当 n为偶数时, x 0 为极值点 , 且
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(2) 类似可证 .
定理3(第二充分条件)
设函数f(x)在点x0处具有二阶导数且f (x0)0 f (x0)0 那么
(1)当f (x0)0时 函数f(x)在x0处取得极大值 (2)当f (x0)0时 函数f(x)在x0处取得极小值
应注意的问题：
如果f (x0)0 f (x0)0 则定理3不能应用 但不能由此 说明f (x0)不是f (x)的极值。
lim f (x) xx0 xx0
故 由 f(xx 0 当 0 )0 知 x ,存x0 在时 f(0， x,)当 0 0 ; xx0 时 , xf (xx0) 0
由第当 一x0判别x 法x知0f(时 x)在 fx， (0x取 )0极 , 大.x 值 0 x 0 x 0
x1 x2 x3 x4 x5
最大值和最小值的求法 (1)求出函数f(x)在(a b)内的驻点和不可导点 设这此点
为x1 x2 xn (2)计算函数值 f(a) f(x1) f(xn) f(b) (3)判断: 最大者是函数f(x)在[a b]上的最大值 最小者是
x1为极大值点, f(1)2是极大值
2 1
x2为极小值点, f(2)1是极小值 O 1 2 x
注意: 1) 函数的极值是函数的局部性质.
2) 对常见函数, 极值可能出现在导数为 0 或
不存在的点. y
x1 , x4 为极大值点
x 2 , x5 为极小值点
x 3 不是极值点
O ax 1 x 2 x 3 x 4 x 5 b x
3) 判别
因 f(0)60,故 f(0)0为极小值 ;
又 f( 1 ) f(1 ) 0 ,故需用第一判别法判别.
y
由于 f(x)在x1左右邻域内 , 不变号
f(x)在x1没有极 . 值
1 O 1 x
二、最大值与最小值问题
观察与思考：
观察哪些点有可能成为函数的最大值或最小值点 怎样求函数的最大值和最小值
f(52)0.33
定理3(第二充分条件)
设函数f(x)在点x0处具有二阶导数且f (x0)0 f (x0)0 那么
(1)当f (x0)0时 函数f(x)在x0处取得极大值 (2)当f (x0)0时 函数f(x)在x0处取得极小值
证: (1)
f
(x0)xl ixm 0 f(xx) xf0(x0)
确定极值点和极值的步骤
(1)求出导数f (x)
(2)求出f(x)的全部驻点和不可导点
(3)考察在每个驻点和不可导点的左右邻近f (x)的符号
(4)确定出函数的所有极值点和极值
2
例1. 求函数 f(x)(x1)x3的极值 .
解: 1) 求导数
f
(x)
2
x3
(x1)
32x13
(1) f(x)f(x0),则称 x 0 为 f (x) 的极大值点 , 称 f (x0)为函数的极大值 ;
(2) f(x)f(x0),则称 x 0 为 f (x) 的极小值点 , 称 f (x0)为函数的极小值 .
极大值点与极小值点统称为极值点 . 极大值与极小值统称为极值 .
例如 , 函数 f(x) 2 x3 9 x2 1x2 3 y
函数f(x)在x0处取得极小值 “左负右正”
(3)如果在(x0-δ x0)及(x0 x0+δ)内 f (x)的符号相同 那么 函数f(x)在x0处没有极值
x1 x2 x3 x4 x5
定理2(第一充分条件)
设函数f(x)在x0处连续 且在(x0-δ x0)(x0 x0+δ)内可导 (1)如果在(x0-δ x0)内f (x)0 在(x0 x0+δ)内f (x)0 那么 函数f(x)在x0处取得极大值 (2)如果在(x0-δ x0)内f (x)0 在(x0 x0+δ)内f (x)0 那么 函数f(x)在x0处取得极小值 (3)如果在(x0-δ x0)及(x0 x0+δ)内 f (x)的符号相同 那么 函数f(x)在x0处没有极值
讨论：
函数f(x)x4 g(x)x3在点x0是否有极值？
例2. 求函数 f(x)(x21)31的极值 .
解: 1) 求导数
f(x)6x(x21)2, f(x) 6 (x2 1 )5 (x2 1 )
2) 求驻点
令 f(x)0, 得驻点 x 1 1 ,x 2 0 ,x 3 1
M
m x1 x2 x3 x4 x5
极值与最值的关系
闭区间上的连续函数其最大值和最小值只可能在区间的 端点及区间内的极值点处取得
函数在闭区间[a b]上的最大值一定是函数的所有极大值 和函数在区间端点的函数值中的最大者 其最小值一定是函 数的所有极小值和函数在区间端点的函数值中的最小者
M
m
定理2(第一充分条件)
设函数f(x)在x0处连续 且在(x0-δ x0)(x0 x0+δ)内可导 (1)如果在(x0-δ x0)内f (x)0 在(x0 x0+δ)内f (x)0 那么
函数f(x)在x0处取得极大值 “左正右负”
(2)如果在(x0-δ x0)内f (x)0 在(x0 x0+δ)内f (x)0 那么
5 3
x
2 5
3x
2) 求极值可疑点
令 f(x)0,得 x1 52; 令 f(x),得 x2 0
3) 列表判别
x (,0) f (x) f (x)
0
(0
,
2 5
)
2 5
(52, )
0
0
0.33
x0是极大值点，其极大值为 f(0)0
x
2 5
是极小值点，其极小值为
一、函数的极值及其求法
函数的极值与 最大值最小值
二、最大值与最小值问题
一、函数的极值及其求法
y
yf(x)
a o x1
x2 x3
x4
b x 5 x 6
x
y
y
o
x0
x
o
x0
x
定义: 设函f(数 x)在 (a,b)内有,定 x0 义 (a,b), 若存x在 0的一个邻 ，在域 其中当 xx0 时,