函数的极值与最值

较极值与端点函数值大小上，从而 解决问题，往往伴随有分类讨论。
应用
1、实际应用问题的表现形式，常常不是以纯数学模 式反映出来:
首先，通过审题，认识问题的背景，抽象出问题的实质; 其次，建立相应的数学模型, 将应用问题转化为数学问题,再解.
2、求最大（最小）值应用题的一般方法: (1)分析实际问题中各量之间的关系，把实际问题 化为数学问题，建立函数关系式，这是关键一步; (2)确定函数定义域，并求出极值点; (3)比较各极值与定义域端点函数的大小， 结合实 际，确定最值或最值点.
【思路点拨】 (1)利用导数求单调区间和极值.
(2)由(1)的结论，问题转化为y＝f(x)和y＝a的图象
有3个不同的交点，利用数形结合的方法求解.
【解】 (1)f′(x)＝3x2－6，令 f′(x)＝0， 解得 x1＝－ 2，x2＝ 2. 因为当 x＞ 2或 x＜－ 2时，f′(x)＞0； 当－ 2＜x＜ 2时，f′(x)＜0. 所以 f(x)的单调递增区间为(－∞，－ 2)和( 2， ＋∞)；单调递减区间为(－ 2， 2)． 当 x＝－ 2时，f(x)有极大值 5＋4 2；
问题在于如果在没有给出函数图象的情况下，怎 样才能判断出f(x3)是最小值，而f(b)是最大值呢？
导数的应用-----求函数最值. 求f(x)在闭区间[a,b]上的最值的步骤
(1)求f(x)在区间(a,b)内极值(极大值或极小值)
(2)将y=f(x)的各极值与f(a)、f(b)(端点处) 比较,其中最大的一个为最大值，最小的 一个最小值.
所有极值连同端点函数值进行比较， 最大的为最大值，最小的为最小值
※典型例题6
求函数f (x) 6 12x x3在3，3上的最值.
解：f ' x 12 3x2 x 3,3 1、求出所有导数为0的点；
令f ' x 0,解得：x 2或x 2 2、计算；
A m,若 M=m,则 f ( x) ( )
(A)等于 0 (B)大于 0 (C)小于 0 (D)以上都有可能
A 3.函数 y= 1 x4 1 x3 1 x2 ,在［－1,1］上的最小值为( ) 432
(A)0
(B)－2 (C)－1
(D) 13 12
小结
求在[a,b]上连续,(a,b)上可导的函数f(x)在 [a,b]上的最值的步骤:
函数f(x)有一个极值点时，极值点必定是最值点。
有两个极值点时，函数有无最值情况不定。
如果函数f(x)在开区间（a,b）上只有一个极 值点，那么这个极值点必定是最值点。
(1)求f(x)在(a,b)内的极值;
(2)将f(x)的各极值与f(a)、f(b)比较,其中 最大的一个是最大值,最小的一个是最小值.
※思考
已知函数f (x) 2x3 6x2 a在2，2上有最小值 37 1求实数a的值； 2求f (x)在2，2上的最大值。
反思：本题属于逆向探究题型； 其基本方法最终落脚到比
D、
ຫໍສະໝຸດ Baidu
解:由题设条件得：

f f
(1) 10 / (1) 0
以上都不对
1 a b a
2

入检验
10

3 2a b 0
解之得
a3 b 3
或ab

4 11
注意：f/(x0)=0是函数取得极值的必要不充分条件
已知极值求参数
已知函数极值情况，逆向应用确定函数的解析式, 进而研究函数性质时，注意两点： (1)常根据极值点处导数为0和极值两个条件列方 程组，利用待定系数法求解． (2)因为导数值等于零不是此点为极值点的充要 条件，所以利用待定系数法求解后必须验证根的 合理性．
方法感悟
1．极值的概念理解 在定义中，取得极值的点称为极值点，极值点指 的是自变量的值，极值指的是函数值．请注意以 下几点： (1)极值是一个局部概念．由定义，极值只是某 个点的函数值与它附近点的函数值比较是最大或 最小，并不意味着它在函数的整个定义域内最大 或最小．
(2)函数的极值不一定是惟一的，即一个函数在 某个区间上或定义域内的极大值或极小值可以不 止一个． (3)极大值与极小值之间无确定的大小关系，即 一个函数的极大值未必大于极小值，如下图所示，
2、f (x) 6 12x x3
x


1 3
,
3
3、f (x) 3x x3 x2,3
※典型例7题
（浙江）（本题满分12分） 已知a为实数，f ( x) ( x2 4)( x a)
（Ⅰ）求导数 f ( x) ；
（Ⅱ）若 f (1) 0 ，求 f ( x)在[-2，2]上的 最大值和最小值；
S( x) 6x2 24x 16.
令
S(
x)

0
,得x1

2

2
3 3
,
x2

2

2
3 3
.
x1 (0,2), 所以当 因此当点B为(2 2
x
3

2
23 3
时,S( x)max

32 9
3
.
,0) 时,矩形的最大面积是
32
3.
2
9
※拓展提高
我们知道，如果在闭区间【a，b】上函数 y=f（x）的图像是一条连续不断的曲线，那 么它必定有最大值和最小值；那么把闭区间 【a，b】换成开区间（a,b）是否一定有最 值呢？
不同.
如果在x0的两侧f′(x)的符号相同，则x0不是极
值点．
二、新课——函数的最值 y
观察右边一
个定义在区间
[a,b]上的函数
y=f(x)的图象.
a x1 o X2
X3
bx
发现图中__f_(_x_1)_、__f(_x_3_) _是极小值，__f_(_x_2)____是极 大值，在区间上的函数的最大值是___f(_b_)_，最小值 是__f_(_x_3)__。
函数极值的综合应用
极值问题的综合应用主要涉及到极值的正用和逆 用，以及与单调性问题的综合，题目着重考查已 知与未知的转化，以及函数与方程的思想、分类 讨论的思想在解题中的应用，在解题过程中，熟 练掌握单调区间问题以及极值问题的基本解题策 略是解决综合问题的关键．
例5
设函数f(x)＝x3－6x＋5，x∈R. (1)求函数f(x)的单调区间和极值； (2)若关于x的方程f(x)＝a有三个不同的实根，求实 数a的取值范围．
【解】 (1)f′(x)＝3x2＋2ax＋b，令 f′(x)＝0. 由题设，知 x1＝1 与 x2＝－23为 f′(x)＝0 的解． ∴－23a＝1－23，b3＝1×(－23)． ∴a＝－12，b＝－2. (2)由(1)知 f(x)＝x3－12x2－2x＋c，
由 f(－1)＝－1－12＋2＋c＝32，得 c＝1.
（Ⅲ）若 f ( x) 在（-∞，-2]和[2，+∞）上 都是递增的，求a的取值范围。
练习:
D 1．下列说法正确的是( )
(A)函数的极大值就是函数的最大值
(B)函数的极小值就是函数的最小值
(C)函数的最值一定是极值
(D)若函数的最值在区间内部取得,则一定是极值.
2.函数 y=f(x)在区间［a,b］上的最大值是 M，最小值是
∴f(x)＝x3－12x2－2x＋1.∴f′(x)＝3x2－x－2. 当 x 变化时，f′(x)、f(x)的变化情况如下表：
x (－∞，－23 ) －23
f′(x)
＋
0
(－23，1) －
1 (1，＋∞)
0
＋
f(x) 单调递增 极大值 单调递减 极小值 单调递减
∴f(x)的递增区间为(－∞，－23)和(1，＋∞)，递 减区间为(－23，1)． 当 x＝－23时，f(x)有极大值，f(－23)＝4297； 当 x＝1 时，f(x)有极小值，f(1)＝－12.
(所说区间的也适用于开区间或无穷区间)
例2: 如图,在二次函数f(x)=
4x-x2的图象与x轴所
y
围成的图形中有一个
内接矩形ABCD,求这 个矩形的最大面积.
解:设B(x,0)(0<x<2), 则
x
A(x, 4x-x2).
从而|AB|= 4x-x2,|BC|=2(2-x).故矩形ABCD的面积
为:S(x)=|AB||BC|=2x3-12x2+16x(0<x<2).
x1是极大值点，x4是极小值点，而f(x4)＞ f(x1)．
2．极值点与导数为零的点
(1)可导函数的极值点是导数为零的点，但是导
数为零的点不一定是极值点，即“点x0是可导函 数f(x)的极值点”是“f′(x0)＝0”的充分但不
必要条件；
(2)可导函数f(x)在点x0处取得极值的充要条件 是f′(x0)＝0，且在x0左侧和右侧f′(x)的符号
例1、在边长为60cm的正方形铁皮的四角切去
相等的正方形，再把它的边沿虚线折起，做成 一个无盖的方底箱子，箱底边长为多少时，箱 子容积最大？最大容积是多少？
x
60 x
x x
60
解:设箱底边长为x,则箱高h=(60-x)/2.箱子容积
V(x)=x2h=(60x2-x3)/2(0<x<60).
令V ( x) 60x 3 x2 0 ,解得x=0(舍去),x=40.且V(40)=
当 x＝ 2时，f(x)有极小值 5－4 2.
(2)由(1)的分析知 y＝f(x)的图象的 大致形状及走向如图所示．所以， 当 5－4 2＜a＜5＋4 2时，直线 y ＝a 与 y＝f(x)的图象有三个不同 交点，即方程 f(x)＝a 有三个不同 的解．
【名师点评】 用求导的方法确定方程根的个数, 是一种很有效的方法．它通过函数的变化情况， 运用数形结合思想来确定函数图象与x轴的交点 个数，从而判断方程根的个数．
又f (2) 22，f (2) 10，f (3) 15, f (3) 3
所以函数f (x) 6 12x x3在3，3上的
最大值为22，最小值为 10.
3、比较确定最值。
※动手试试
求下列函数在给定区间上的最大值与最小值：
1、f (x) x3 27x x4,4
求f(x)(x2 1)3 1的极值
函数 f (x) x3 ax2 bx a2 在 x 1时有极值10，则a，
b的值为（ ）
，
A、 a 3,b 3 或 a 4, b 11 B、 a 4, b 1 或 a 4,b 11
注意代
C、a 4, b 11
例2 已知 f(x)＝x3＋ax2＋bx＋c 在 x＝1 与 x＝ －23时都取得极值． (1)求 a，b 的值； (2)若 f(－1)＝32，求 f(x)的单调区间和极值． 【思路点拨】 先求导数 f′(x)，再令 f′(x)＝0
得到关于 x 的一元二次方程，其两根为 x1＝1 与
x2＝－23，最后由一元二次方程根与系数的关系求 a，b 的值．
16000.
2
由题意可知,当x过小(接近0)或过大(接近60)时,箱子 的容积很小,因此,16000是最大值.
答:当x=40cm时,箱子容积最大,最大容积是16000cm3.
说明
1、设出变量找出函数关系式；确定出定义域； 所得结果符合问题的实际意义
2、若函数 f ( x )在定义域内只有一个极值点x0 ， 则不需与端点比较， f ( x0 )即是所求的最大值或 最小值.