同济高等数学极值和最值共27页
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高等数学课件 同济四版
2
2. 判别定理 定理1(必要条件 必要条件) 定理 必要条件 设函数 z = f ( x , y ) 在点( x 0 , y 0 )处偏导数 处取得极大值. 证明 不妨设 z = f ( x , y )在点 ( x 0 , y0 ) 处取得极大值 存在,并取得极值 存在 并取得极值, 则 f x ( x 0 , y 0 ) = 0, f y ( x 0 , y 0 ) = 0 并取得极值 处取得极大值。 则一元函数 f ( x , y 0 )在 x = x 0 处取得极大值。 由一元函数极值必要条件知, 由一元函数极值必要条件知
) 例如 z = −x2 + y2 (鞍形面
z
O
y
x
4
定理2 充分条件 充分条件) 定理 (充分条件 设函数 z = f ( x , y )在点( x 0 ,
y 0 )某邻域内
有一阶及二阶连续偏导,且 有一阶及二阶连续偏导 且 f x ( x 0 , y 0 ) = 0, f y ( x 0 , y 0 ) = 0 令 A = f xx ( x 0 , y 0 ), B = f xy ( x 0 , y 0 ), C = f yy ( x 0 , y 0 ) 时有极大值. A < 0 时有极大值 有极值, (1) 若 AC − B > 0,有极值 且 时有极小值. A > 0 时有极小值 (保证 、C同号的不等式 保证A、 同号的不等式 同号的不等式) 保证
1.定义 定义 设函数 z = f ( x , y )在点 P ( x 0 , y 0 )某邻域 内有定义, 内有定义 对于该邻域内异于点 P ( x 0 , y 0 ) 的任 意点 ( x , y ), 若恒有 1) f ( x , y ) < f ( x0 , y0 ), 则称该函数在点P处有极大值 则称该函数在点 处有极大值 f ( x 0 , y 0 ) 处有 2) f ( x , y ) > f ( x 0 , y0 ) 则称该函数在点P处有极小值 f ( x 0 , y 0 ) 则称该函数在点 处有极小值 处有 极大值与极小值统称为极值 极大值与极小值统称为极值. 极值
2. 判别定理 定理1(必要条件 必要条件) 定理 必要条件 设函数 z = f ( x , y ) 在点( x 0 , y 0 )处偏导数 处取得极大值. 证明 不妨设 z = f ( x , y )在点 ( x 0 , y0 ) 处取得极大值 存在,并取得极值 存在 并取得极值, 则 f x ( x 0 , y 0 ) = 0, f y ( x 0 , y 0 ) = 0 并取得极值 处取得极大值。 则一元函数 f ( x , y 0 )在 x = x 0 处取得极大值。 由一元函数极值必要条件知, 由一元函数极值必要条件知
) 例如 z = −x2 + y2 (鞍形面
z
O
y
x
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定理2 充分条件 充分条件) 定理 (充分条件 设函数 z = f ( x , y )在点( x 0 ,
y 0 )某邻域内
有一阶及二阶连续偏导,且 有一阶及二阶连续偏导 且 f x ( x 0 , y 0 ) = 0, f y ( x 0 , y 0 ) = 0 令 A = f xx ( x 0 , y 0 ), B = f xy ( x 0 , y 0 ), C = f yy ( x 0 , y 0 ) 时有极大值. A < 0 时有极大值 有极值, (1) 若 AC − B > 0,有极值 且 时有极小值. A > 0 时有极小值 (保证 、C同号的不等式 保证A、 同号的不等式 同号的不等式) 保证
1.定义 定义 设函数 z = f ( x , y )在点 P ( x 0 , y 0 )某邻域 内有定义, 内有定义 对于该邻域内异于点 P ( x 0 , y 0 ) 的任 意点 ( x , y ), 若恒有 1) f ( x , y ) < f ( x0 , y0 ), 则称该函数在点P处有极大值 则称该函数在点 处有极大值 f ( x 0 , y 0 ) 处有 2) f ( x , y ) > f ( x 0 , y0 ) 则称该函数在点P处有极小值 f ( x 0 , y 0 ) 则称该函数在点 处有极小值 处有 极大值与极小值统称为极值 极大值与极小值统称为极值. 极值
高等数学3_5极值与最值
2 1 2 2 w=1 b h = b ( d − b ), 6 6
b ∈( 0 , d )
令 得 从而有 即
2 2 w′ = 1 ( d − 3 b ) =0 6
b=
1 3
d
2d 3
h = d 2 − b2 =
d h b
d : h : b = 3 : 2 :1
由实际意义可知 , 所求最值存在 , 驻点只一个, 故所求 结果就是最好的选择 .
f ′′′(±1) ≠ 0
−1
1
x
说明: 极值的判别法( 定理1 ~ 定理3 ) 都是充分的. 当这些充分条件不满足时, 不等于极值不存在 . 例如: 2 1) , x≠0 2 − x ( 2 + sin ⎧ x f ( x) = ⎨ x=0 ⎩2 ,
f (0) = 2 为极大值 , 但不满足定理1 ~ 定理3 的条件.
5μ g ] , α ∈ [0, π F= 2 cosα + μ sin α ϕ (α ) = cosα + μ sin α
∴
即 令
则问题转化为求 ϕ (α ) 的最大值问题 .
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5μ g ] F= , α ∈ [0, π 即 2 cosα + μ sin α ϕ (α ) = cosα + μ sin α 令 则问题转化为求ϕ (α ) 的最大值问题 .
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例7. 一张 1.4 m 高的图片挂在墙上 , 它的底边高于 观察者的眼睛1.8 m , 问观察者在距墙多远处看图才最 清楚(视角θ 最大) ? 解: 设观察者与墙的距离为 x m , 则
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b ∈( 0 , d )
令 得 从而有 即
2 2 w′ = 1 ( d − 3 b ) =0 6
b=
1 3
d
2d 3
h = d 2 − b2 =
d h b
d : h : b = 3 : 2 :1
由实际意义可知 , 所求最值存在 , 驻点只一个, 故所求 结果就是最好的选择 .
f ′′′(±1) ≠ 0
−1
1
x
说明: 极值的判别法( 定理1 ~ 定理3 ) 都是充分的. 当这些充分条件不满足时, 不等于极值不存在 . 例如: 2 1) , x≠0 2 − x ( 2 + sin ⎧ x f ( x) = ⎨ x=0 ⎩2 ,
f (0) = 2 为极大值 , 但不满足定理1 ~ 定理3 的条件.
5μ g ] , α ∈ [0, π F= 2 cosα + μ sin α ϕ (α ) = cosα + μ sin α
∴
即 令
则问题转化为求 ϕ (α ) 的最大值问题 .
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5μ g ] F= , α ∈ [0, π 即 2 cosα + μ sin α ϕ (α ) = cosα + μ sin α 令 则问题转化为求ϕ (α ) 的最大值问题 .
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例7. 一张 1.4 m 高的图片挂在墙上 , 它的底边高于 观察者的眼睛1.8 m , 问观察者在距墙多远处看图才最 清楚(视角θ 最大) ? 解: 设观察者与墙的距离为 x m , 则
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高等数学《函数的极值与最大、最小值》课件
3) 若 f ( x)在开区间内定义,这时最值不一定存 在 ,有些实际应用问题根据实际可确定问题一 定有解 .
设 f ( x)在开区间内定义且可导, f ( x)在开区间内 有唯一驻点 x0 ,若 f ( x0 )是 f ( x)的极小值(极大值) , 则 f ( x0 )是 f ( x)的最小值 (最大值) .
f (0) 1为极大值 , 即为最大值 .
x 1时, f ( x) f (0) 1 , 即当 x 1时, 有 e x 1 . 1 x
小结
注意最值与极值的区别. 最值是整体概念而极值是局部概念. 实际问题求最值的步骤. 利用最大、小值证明不等式
思考题
若 f (a) 是 f ( x) 在[a, b] 上的最大值或最 小值，且 f (a)存在，是否一定有 f (a) 0 ？
当x 2时，f ( x) 0;
M
当x 2时，f ( x) 0.
f (2) 1为f ( x)的极大值.
定理2(第二充分条件)
设 f ( x) 在 x0处具有二阶导数,且 f ( x0 ) 0 , f ( x0 ) 0 ,则 (1) 若 f ( x0 ) 0 ,则 f ( x0 )为 f ( x)的极大值 .
f
( xk ),
f
(a),
f
(b)
}.
min
x[ a ,b ]
f (x)
min{
f ( x1) ,,
f ( xk ),
f (a),
f (b) }.
例1 求函数 y 2x3 3x2 12x 14 的在[3,4] 上的最大值与最小值.
解 f ( x) 6( x 2)(x 1)
解方程 f ( x) 0,得 x1 2, x2 1.
高等数学 函数的极值与最大值、最小值
解：（1）设平均成本为 y ，则 y = 25000 + 200 + x
x
40
由
y′
=
−
25000 x2
+
1 40
=
0
，得
x1
= 1000
，
x2
=
−1000
（舍去）
因为 y′′ |x=1000 = 5×10−5 > 0 ，所以当 x = 1000 时， y 取极小值，
也即最小值，因此，要使平均成本最小，应生产 1000 件产品。
2009年7月3日星期五
21
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（2） 利润函数为
L(x)
=
500x
−
⎛ ⎜⎝
问 x = a 是为 f (x) 的极值点？如果是极值点， f (x) 在
x = a 取得极大值还是极小值？（课本 例 3）
解题思路：
（1） f ′(x) 在点 x = a 处连续
lim f ′(x) = f ′(a)
x→a
（2） f ′(a) = lim f ′(x) = lim f ′(x) × (x − a) = (−1) × 0 = 0
又因为 f ′′(x) = − 1 < 0 ， 25
所以当 x = 1800 时， f (x) 取得最大值，
即房租定为 1800 元时，可获得最大收入。
2009年7月3日星期五
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例8
证明
1 2 p−1
≤
xp
+
(1 −
x) p
≤1
(0 ≤ x ≤ 1, p > 1) ．
同济第3版-高数-35第五节函数的极值与最大值最小值
(1) 函数在极值点处的特征 由于极值具有局部最大或最小的特征，故函数在其
极值点的两侧的单调性应发生改变，即函数 y = f( x )在 极值点 x0 的两侧的导数符号应变号，于是可知极值点 的分析特征是导数变号的 临界点。
因此，若函数在极值 点 x0 处可导，则应有
f ( x 0 )= 0 .
可判别导数不存在的点的极值性。 • 缺点 应用第一充分条件判别极值性时，需将导数化为
因子连乘积形式，而当导数为多个因子乘积时，确定 其在各保号区间上的符号较为麻烦。
从几何直观看，函数的极大值对应于曲线凸弧的最 高点，极小值对应于曲线凹弧的最低点。由于曲线弧的 凹向可通过二阶导数的符来表达，因而也可通过曲线弧 的凹向的考察来判别驻点的极值性。
y y f x , x a, b
f x1 f x1 0
Oa
f x2
f x2 0
x1
x2
bx
• 优点 应用极值的第二充分条件的好处是应用简便，只
需通过驻点处的二阶导数值 f ( x 0 )的符号便可确定 可疑点的极值性。
• 缺点 第二充分条件仅能用于判别驻点是否为极值点，
下考察各驻点处的二阶导数符号： 因为 f ( 1 )= -2 < 0 ，故 f( x )在驻点 x 1 = 1 处取 得极大值。极大值为：
f( 1 ) =[( x - 1 )2( x - 2 )3]x = 1 = 0 .
由于 f
7 5
5 x 1 x 22
求得驻点
x1 1, x2
7 5
, x3 2.
• 判别可疑点是否为极值点 由于本例极值可疑点均为驻点，故考虑用第二判别
法考察可疑点的极值性。
(同济大学)高等数学课件D8_8极值与最值
(1) 简单问题用代入法 (2) 一般问题用拉格朗日乘数法
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如求二元函数 z = f (x, y)在条件 (x, y) = 0下的极值, 设拉格朗日函数 F = f (x, y) + λ(x, y) 解方程组 3. 函数的最值问题 第一步 找目标函数, 确定定义域 ( 及约束条件) 第二步 判别 比较驻点及边界点上函数值的大小 根据问题的实际意义确定最值
故圆内接正三角形面积最大 , 最大面积为 R2 2π 3 3 2 Smax = 3sin = R . 2 3 4
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xz y
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2. 求平面上以 a, b, c, d 为边的面积最大的四边形 , 试列出其目标函数和约束条件 ? 提示: 提示
a α
d
b
1 1 目标函数 : S = absinα + cd sin β 2 2 ( 0 <α < π , 0 < β < π )
第八节 多元函数的极值及其求法
一,多元函数的极值 二,最值应用问题 三,条件极值
第八章
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
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一, 多元函数的极值
定义: 定义 若函数 的某邻域内有
则称函数在该点取得极大值(极小值). 极大值和极小值 统称为极值, 使函数取得极值的点称为极值点. 例如 : 在点 (0,0) 有极小值; 在点 (0,0) 有极大值; 在点 (0,0) 无极值.
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4
z
y
内容小结
1. 函数的极值问题 第一步 利用必要条件在定义域内找驻点. 如对二元函数 z = f (x, y), 即解方程组
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如求二元函数 z = f (x, y)在条件 (x, y) = 0下的极值, 设拉格朗日函数 F = f (x, y) + λ(x, y) 解方程组 3. 函数的最值问题 第一步 找目标函数, 确定定义域 ( 及约束条件) 第二步 判别 比较驻点及边界点上函数值的大小 根据问题的实际意义确定最值
故圆内接正三角形面积最大 , 最大面积为 R2 2π 3 3 2 Smax = 3sin = R . 2 3 4
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xz y
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2. 求平面上以 a, b, c, d 为边的面积最大的四边形 , 试列出其目标函数和约束条件 ? 提示: 提示
a α
d
b
1 1 目标函数 : S = absinα + cd sin β 2 2 ( 0 <α < π , 0 < β < π )
第八节 多元函数的极值及其求法
一,多元函数的极值 二,最值应用问题 三,条件极值
第八章
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
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一, 多元函数的极值
定义: 定义 若函数 的某邻域内有
则称函数在该点取得极大值(极小值). 极大值和极小值 统称为极值, 使函数取得极值的点称为极值点. 例如 : 在点 (0,0) 有极小值; 在点 (0,0) 有极大值; 在点 (0,0) 无极值.
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z
y
内容小结
1. 函数的极值问题 第一步 利用必要条件在定义域内找驻点. 如对二元函数 z = f (x, y), 即解方程组
同济七版高等数学上册 1.3 函数的极限 ppt
限接近”. f ( x) A 表示 f ( x) A任意小;
x X 表示x 的过程.
定义 如果对于任意给定的正数(不论它多么小), 总存在着正数 X ,使得对于适合不等式 x X 的一切 x,所对应的函数值 f ( x)都满足不等式
f (x) A , 那末常数 A就叫函数 f ( x)当 x 时的极限,记作 lim f ( x) A 或 f ( x) A(当x )
N
x N xN
f (x) A
x x N
过程
x x0
x x0
时刻
从此时刻以后 0 x x0 0 x x0
f (x)
f (x) A
x x0
x x0 0
思考题
1. 设函数
且
存在, 则
2. 求 lim x .
x0 | x |
3. 讨论
ex ex
lim
x
ex
怎样用数学语言刻划 无限接近于确定值A？
函数f ( x)
表示 f ( x) A 任意小;
x x0
表示x x0的过程.
O x0
x0
x0 x
点x0的去心邻域, 体现x接近x0程度.
1.定义
定义1 有定义. 恒有
设函数 f ( x)在点x0某去心邻域内
f (x) A
则称x x0时函数f ( x)有极限A,记作
(2)若在U( x0 , )内有f ( x) 0(或f ( x) 0),
若 lim f (x) A, 则必有A 0(或A 0).
证
xx0
(1) 设A>0, 由 lim
f (x)
A,取正数
A ,
x x0
2
则 0, 使当0 x x0 ,有
x X 表示x 的过程.
定义 如果对于任意给定的正数(不论它多么小), 总存在着正数 X ,使得对于适合不等式 x X 的一切 x,所对应的函数值 f ( x)都满足不等式
f (x) A , 那末常数 A就叫函数 f ( x)当 x 时的极限,记作 lim f ( x) A 或 f ( x) A(当x )
N
x N xN
f (x) A
x x N
过程
x x0
x x0
时刻
从此时刻以后 0 x x0 0 x x0
f (x)
f (x) A
x x0
x x0 0
思考题
1. 设函数
且
存在, 则
2. 求 lim x .
x0 | x |
3. 讨论
ex ex
lim
x
ex
怎样用数学语言刻划 无限接近于确定值A？
函数f ( x)
表示 f ( x) A 任意小;
x x0
表示x x0的过程.
O x0
x0
x0 x
点x0的去心邻域, 体现x接近x0程度.
1.定义
定义1 有定义. 恒有
设函数 f ( x)在点x0某去心邻域内
f (x) A
则称x x0时函数f ( x)有极限A,记作
(2)若在U( x0 , )内有f ( x) 0(或f ( x) 0),
若 lim f (x) A, 则必有A 0(或A 0).
证
xx0
(1) 设A>0, 由 lim
f (x)
A,取正数
A ,
x x0
2
则 0, 使当0 x x0 ,有
同济第五版高数3-5极值最值.ppt
• 对于应用问题 有时可根据实际意义判别 对于应用问题,有时可根据实际意义判别 求出的可疑点是否为最大值点或最小值点. 求出的可疑点是否为最大值点或最小值点
例4 求函数 上的最大值和最小值 . 解
在闭区间
′( x) =6x2 − 18x + 12 f = 6( x − 1)( x − 2), 0 < x < 5 2
极 大 值
极大值 f ( −1) = 10, 极小值 f (3) = −22.
图形如下： f ( x ) = x − 3 x − 9 x + 5 图形如下：3 2来自yf ( −1)
−1 o
3
f ( 3)
x
定理3 第二充分条件 第二充分条件) 定理 (第二充分条件 处具有二阶导数,且 设 f (x)在 x0 处具有二阶导数 且 f ′( x0 ) = 0,
思考题
1.下列命题正确吗？ 1.下列命题正确吗？ 下列命题正确吗
的极小值点, 如果 x 0 为 f ( x ) 的极小值点,那么必存在 的某邻域,在此邻域内, x0 的某邻域,在此邻域内, f ( x ) 在 x0 的左侧 下降, 的右侧上升. 下降,而在 x 0 的右侧上升.
例3 求出函数 f ( x ) = 1 − ( x − 2) 的极值 .
2 解 f ′( x ) = − ( x − 2 ) ( x ≠ 2) 3 当x = 2时 , f ′( x )不存在 . y
− 1 3
2 3
但 函 数 f ( x )在 该 点 连 续 . 当x < 2时， f ′( x ) > 0; 当x > 2时，f ′( x ) < 0. o ∴ f (2) = 1为f ( x )的极大值 .
高等数学(同济大学第七版)第一章函数与极限课后答案
高等数学(同济大学第七版)第一章函数与极限课后答案高等数学（同济大学第七版）第一章函数与极限课后答案1. 函数的概念1.1 什么是函数在数学中，函数是一种特殊的关系，它将一个集合中的每个元素映射到另一个集合中的唯一元素。
函数可以用各种形式表示，例如数学公式、图表或者一种操作规则。
1.2 函数的分类根据函数的性质和表达方式，函数可以分为代数函数、三角函数、指数函数、对数函数等等。
每种类型的函数都有其独特的性质和特点。
2. 极限的概念与性质2.1 极限的定义在数学中，当自变量趋近于某个特定值时，函数的值可能会趋近于一个常数或无限大。
这种趋近的过程被称为极限。
极限可以用数学符号进行表示。
2.2 极限的性质极限具有一些重要的性质，例如唯一性、局部性以及四则运算法则。
这些性质对于研究函数的性质和行为至关重要。
3. 函数的连续性与间断点3.1 函数的连续性连续性是函数的重要性质之一，它表示函数在某个区间内没有突变或间断。
一个函数可以是连续的，也可以是不连续的。
3.2 间断点的分类根据函数在某个点处的性质，间断点可以分为可去间断点、跳跃间断点和无穷间断点。
每种类型的间断点都有其特定的定义和判断条件。
4. 导数与微分4.1 导数的定义在数学中，导数表示函数在某一点处的变化率或斜率。
导数可以通过极限的概念来定义，并且具有一些重要的性质。
4.2 微分的概念与计算微分是导数的一个重要应用，它可以用于计算函数在某一点处的近似值。
微分也可以用于解决最优化问题和求解方程的近似解。
5. 函数的凸性与极值5.1 函数的凸性凸性是函数曲线的重要性质之一，它表示函数曲线在某个区间内的凸凹形态。
凸性可以通过函数的二阶导数来判断。
5.2 极值的概念与求解极值是函数在某个区间内取得的最大值或最小值。
求解极值可以通过函数的导数和二阶导数来进行，常用的方法包括 Fermat 定理和 Euler 判别法。
6. 函数的图形与曲线的绘制6.1 函数的图形与性质函数的图形是函数曲线在平面直角坐标系上的表示。
高等数学第四章 第一节、极值
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LOGO
对作业的讲解：
1.求函数 f ( x) arctan x x 的增减区间及极值点。 1 1 解： f ( x) 1 ,令f ( x) 0，即 1=0， 2 2 1 x 1 x x2 解得 x 0, 当x 0时, f ( x)= 0. 2 1 x x2 当x 0时, f ( x)= 0. 2 1 x 于是可得 , 是函数的减区间，并且无极值点。
0
y
y
o
x0
x
x0
o
x
(是极值点情形)
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y
y
o
x0
x
o
x0
x
(不是极值点情形)
求极值的步骤:
(1) 求导数 f ( x );
(2) 求驻点，即方程 f ( x ) 0 的根;
(3) 检查 f ( x ) 在驻点左右的正负号 , 判断极值点 ;
(4) 求极值.
2.求函数 f ( x ) x 区间及极值点。
1 x 的增减
1 解： f ( x ) 1 , 2 1 x 1 令f ( x ) 0，即 1 =0， 2 1 x 3 解得 x , 4 并且知函数的定义域为 -，， 1
3 2 1 x 1 当1 x 时, f ( x)= 0. 4 2 1 x 3 当x 时, f ( x) 0. 4 3 3 于是可得 ,1 是函数的减区间， , 是函数 4 4 3 3 5 的增区间，并且极大值点为x ，极大值为f ( )= 。 4 4 4
(a,b)内的一个点, 如果存在着点x 0的一个邻域, 对于这邻域内的任何点 x,除了点x 0外, 恒有： f(x) f(x0 )均成立, f(x) f(x0 )均成立, 就称f(x 0 )是函数f(x)的一 个极小值.
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对作业的讲解：
1.求函数 f ( x) arctan x x 的增减区间及极值点。 1 1 解： f ( x) 1 ,令f ( x) 0，即 1=0， 2 2 1 x 1 x x2 解得 x 0, 当x 0时, f ( x)= 0. 2 1 x x2 当x 0时, f ( x)= 0. 2 1 x 于是可得 , 是函数的减区间，并且无极值点。
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(是极值点情形)
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(不是极值点情形)
求极值的步骤:
(1) 求导数 f ( x );
(2) 求驻点，即方程 f ( x ) 0 的根;
(3) 检查 f ( x ) 在驻点左右的正负号 , 判断极值点 ;
(4) 求极值.
2.求函数 f ( x ) x 区间及极值点。
1 x 的增减
1 解： f ( x ) 1 , 2 1 x 1 令f ( x ) 0，即 1 =0， 2 1 x 3 解得 x , 4 并且知函数的定义域为 -，， 1
3 2 1 x 1 当1 x 时, f ( x)= 0. 4 2 1 x 3 当x 时, f ( x) 0. 4 3 3 于是可得 ,1 是函数的减区间， , 是函数 4 4 3 3 5 的增区间，并且极大值点为x ，极大值为f ( )= 。 4 4 4
(a,b)内的一个点, 如果存在着点x 0的一个邻域, 对于这邻域内的任何点 x,除了点x 0外, 恒有： f(x) f(x0 )均成立, f(x) f(x0 )均成立, 就称f(x 0 )是函数f(x)的一 个极小值.
同济六版高等数学第三章第五节课件
试求 f (x) 在[0 ,1] 上的 5. 设 f ( x) n x (1 x) n , n N ，
最大值 M (n) 及 lim M (n).
n
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1 4. 试问a 为何值时, f ( x) a sin x sin 3 x 3 2 在 x 时取得极值 , 求出该极值, 并指出它是极大 3 还是极小.（P163 第3题） 解: f ( x) a cos x cos 3x 由题意应有 2 ( ) a cos( 2 ) cos 3( 2 ) 0 f 3 3 3 a2
M
m x1 x2
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x3 x4 x5
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例3 求函数f(x)|x23x2|在[3 4]上的最大值与最小值
2 x[3, 1][2, 4] 解：解法一 f (x) x 3x 2 解 x 2 3x 2 x(1, 2) x(3, 1) (2, 4) 2x 3 f (x) 2x 3 x(1, 2) 3 在(3 4)内 f(x)的驻点为 x 不可导点为 x1 和 x2 23 1 由于 f(3)20 f(1)0 f ( ) f(2)0 f(4)6 2 4 比较可得f(3)20是 f(x)在[3 4]上的最大值 f(1)f(2)0是f(x) 在[3 4]上的最小值
确定极值点和极值的步骤
(1)求出导数f (x) (2)求出f(x)的全部驻点和不可导点 (3)考察在每个驻点和不可导点的左右邻近f (x)的符号 (4)确定出函数的所有极值点和极值
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例1 例 1 求函数 f (x) (x 4)3 (x 1)2 的极值 解 (1)f(x)在( )内连续 除x1外处处可导 且
最大值 M (n) 及 lim M (n).
n
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1 4. 试问a 为何值时, f ( x) a sin x sin 3 x 3 2 在 x 时取得极值 , 求出该极值, 并指出它是极大 3 还是极小.（P163 第3题） 解: f ( x) a cos x cos 3x 由题意应有 2 ( ) a cos( 2 ) cos 3( 2 ) 0 f 3 3 3 a2
M
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例3 求函数f(x)|x23x2|在[3 4]上的最大值与最小值
2 x[3, 1][2, 4] 解：解法一 f (x) x 3x 2 解 x 2 3x 2 x(1, 2) x(3, 1) (2, 4) 2x 3 f (x) 2x 3 x(1, 2) 3 在(3 4)内 f(x)的驻点为 x 不可导点为 x1 和 x2 23 1 由于 f(3)20 f(1)0 f ( ) f(2)0 f(4)6 2 4 比较可得f(3)20是 f(x)在[3 4]上的最大值 f(1)f(2)0是f(x) 在[3 4]上的最小值
确定极值点和极值的步骤
(1)求出导数f (x) (2)求出f(x)的全部驻点和不可导点 (3)考察在每个驻点和不可导点的左右邻近f (x)的符号 (4)确定出函数的所有极值点和极值
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例1 例 1 求函数 f (x) (x 4)3 (x 1)2 的极值 解 (1)f(x)在( )内连续 除x1外处处可导 且
高等数学高等教育出版社第九章D98极值与最值ok-PPT资料21页
引入辅助函数 F f( x ,y ) ( x ,y )
则极值点满足:
辅助函数F 称为拉格朗日( Lagrange )函数. 利用拉格 朗日函数求极值的方法称为拉格朗日乘数法.
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推广
拉格朗日乘数法可推广到多个自变量和多 个约束条件的情形.
例如, 求函数 uf(x,y,z)在条件 (x,y,z)0,
转 化
从 条 (x ,y ) 件 0 中y 解 (x )出
求一元函数 zf(x,(x))的无条件极值问题
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方法2 拉格朗日乘数法. 例如,
在条 (x,y)件 0下 ,求函 zf数 (x,y)的极 . 值
分析：如方法 1 所述, 设 (x,y)0可确定隐函数
在点(1,2) 处
A C B 2 1 2 ( 6 ) 0 ,
不是极值;
在点(3,0) 处
A C B 2 1 2 60,
在点(3,2) 处
不是极值;
A C B 2 1 2 ( 6 ) 0 ,A0,
为极大值.
fxx(x,y)6x6, fxy(x,y)0, fyy(x,y)6y6
则: 1) 当AC B20时, 具有极值
A<0 时取极大值; A>0 时取极小值.
2) 当 AC B20时, 没有极值.
3) 当 AC B20时, 不能确定 , 需另行讨论.
证明见 第九节(P122) .
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例1. 求函数 解: 第一步 求驻点.
的极值.
解方程组
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F ( x , y , z ) ( x y 2 z 2 ) 2 ( z x 2 y 2 )
则极值点满足:
辅助函数F 称为拉格朗日( Lagrange )函数. 利用拉格 朗日函数求极值的方法称为拉格朗日乘数法.
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推广
拉格朗日乘数法可推广到多个自变量和多 个约束条件的情形.
例如, 求函数 uf(x,y,z)在条件 (x,y,z)0,
转 化
从 条 (x ,y ) 件 0 中y 解 (x )出
求一元函数 zf(x,(x))的无条件极值问题
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方法2 拉格朗日乘数法. 例如,
在条 (x,y)件 0下 ,求函 zf数 (x,y)的极 . 值
分析：如方法 1 所述, 设 (x,y)0可确定隐函数
在点(1,2) 处
A C B 2 1 2 ( 6 ) 0 ,
不是极值;
在点(3,0) 处
A C B 2 1 2 60,
在点(3,2) 处
不是极值;
A C B 2 1 2 ( 6 ) 0 ,A0,
为极大值.
fxx(x,y)6x6, fxy(x,y)0, fyy(x,y)6y6
则: 1) 当AC B20时, 具有极值
A<0 时取极大值; A>0 时取极小值.
2) 当 AC B20时, 没有极值.
3) 当 AC B20时, 不能确定 , 需另行讨论.
证明见 第九节(P122) .
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例1. 求函数 解: 第一步 求驻点.
的极值.
解方程组
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F ( x , y , z ) ( x y 2 z 2 ) 2 ( z x 2 y 2 )
高数同济§3.5函数的极值与最大值最小值
思考题1
下命题正确吗？
如果 x 0 为 f ( x ) 的极小值点，那么必存在 x 0 的某邻域，在此邻域内， f ( x ) 在 x 0 的左侧 下降，而在 x 0 的右侧上升.
定理3(第二充分条件)设 f ( x ) 在x0 处具有二阶导数, 且 f ' ( x0 ) 0 , f '' ( x0 ) 0 , 那末 f '' ( x0 ) 0 时, 函数 f ( x ) 在x0 处取得极大值; (1)当 '' 小值.
y k ( 5x 400 x 又
2
3) ,
y 5 k
400
2 32 x )
令 得 极小点 , 从而为最小点 , 故 AD =15 km 时运费最省 .
(400 所以 x 15 为唯一的
P161-15
例6 某房地产公司有50套公寓要出租，当租金定为 每月180元时，公寓会全部租出去．当租金每月增加 10元时，就有一套公寓租不出去，而租出去的房子 每月需花费20元的整修维护费．试问房租定为多少 可获得最大收入？
f ( 2) 34; f (4) 142;
比较得 最大值 f (4) 142，
最小值 f (1) 7.
实际问题求最值应注意:
(1)建立目标函数; (2)求最值;
若目标函数只有唯一驻点，则该点的函数 值即为所求的最（或最小）值．
例5. 铁路上 AB 段的距离为100 km , 工厂C 距 A 处20 km , AC⊥ AB , 要在 AB 线上选定一点 D 向工厂修一条 公路, 已知铁路与公路每公里货运价之比为 3:5 , 为使货 物从B 运到工厂C 的运费最省, 问 A x D B 100 20 D 点应如何选取? C 解: 设 AD x (km) , 则 CD 202 x 2 , 总运费 ( k∈R)
高等数学课件D35极值与最值
存在一个取得最大利润的生产水平? 如果存在, 找出它来.
解: 售出 x 千件产品的利润为 p(x) R(x) C(x) x3 6x2 6x
p(x) 3x2 12x 6 3(x2 4x 2)
令p(x) 0, 得 x1 2 2 0.586 y
同济高等数学课件
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例2. 求函数
解: 1) 求导数
f (x) 6x (x2 1)2,
的极值 .
f (x) 6(x2 1)(5x2 1)
2) 求驻点
令 f (x) 0, 得驻点 x1 1, x2 0, x3 1
3) 判别
因 f (0) 6 0, 故
2020/1/16
同济高等数学课件
定理3 目录 上页 下页 返回 结束
2. 连续函数的最值 最值点应在极值点和边界点上找 ; 应用题可根据问题的实际意义判别 .
思考与练习
1.
设
lim
xa
f
(x) f (a) (x a)2
1,
则在点
a
处(
B
).
(A) f (x) 的导数存在 , 且 f (a) 0；
2020/1/16
是极小值点，其极小值为
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定理2 (极值第二判别法) 二阶导数 , 且
则 在点 取极大值 ;
则 在点 取极小值 .
证: (1)
f
(
x0
)
lim
xx0
f (x) f (x0 ) x x0
lim
x x0
f (x) x x0