考研高等数学D5极值与最值
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~ 定理3 的条件.
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二、最大值与最小值问题
则其最值只能
在极值点或端点处达到 .
求函数最值的方法: (1) 求 在 内的极值可疑点
(2) 最大值
M max
最小值
f (a) , f (b)
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特别:
•当 在 内只有一个极值可疑点时,
若在此点取极大 (小) 值 , 则也是最大 (小)值 .
定理2 (极值第二判别法)
二阶导数 , 且 则 则 在点 在点 取极大值 ; 取极小值 .
f ( x) f ( x) f ( x0 ) 证: (1) f ( x0 ) lim lim x x0 x x0 x x0 x x0
由 f ( x0 ) 0 知, 存在 0 , 当0 x x0 时, f ( x) 0 ; 故当 x0 x x0 时， f ( x) 0 , 当x0 x x0 时， x0 x0 x0 由第一判别法知 f ( x) 在 x0 取极大值 .
(2) f ( x) “左负右正” ,则 f ( x) 在 x0 取极小值 ;
(自证)
点击图中任意处动画播放\暂停
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例1. 求函数
解: 1) 求导数 f ( x) x 2) 求极值可疑点 3) 列表判别
2 3
的极值 .
1 3 x ( x 1) 2 3
2 x 5 5 3 3x
第三章 第五节 函数的极值与 最大值最小值
一、函数的极值及其求法
二、最大值与最小值问题
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一、函数的极值及其求法
定义: 在其中当 (1) 时,
则称
称
为
的极大点 ,
为函数的极大值 ;
(2)
则称 称
为
的极小点 , 为函数的极小值 .
极大点与极小点统称为极值点 .
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x3 不是极值点
o a x1 x2 x3 x4
x5 b
x
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定理 1 (极值第一判别法)
设函数 f ( x) 在 x0 的某邻域内连续 , 且在空心邻域 内有导数, 当x由小到大通过 x0 时, (1) f ( x) “左正右负” ,则 f ( x) 在 x0 取极大值 .
(2) 类似可证 .
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例2. 求函数 解: 1) 求导数
的极值 .
f ( x) 6 x ( x 2 1) 2 ,
f ( x) 6 ( x 2 1)(5 x 2 1)
2) 求驻点 令 f ( x) 0 , 得驻点 x1 1, x2 0 , x3 1 3) 判别
在闭区间
由于 ( x) 与 f ( x) 最值点相同 , 因此也可通过 ( x) 求最值点. ( 自己练习 )
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例如 , 例2中
y
f ( x) 24 x (5 x 2 3) , f (1) 0
所以
不是极值点 .
1
1
x
说明: 极值的判别法( 定理1 ~ 定理3 ) 都是充分的.
当这些充分条件不满足时, 不等于极值不存在 . 例如:
f (0) 2 为极大值 , 但不满足定理1
因 f (0) 6 0 , 故 为极小值 ;
y
又 f (1) f (1) 0 , 故需用第一判别法判别.
1
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1
x
结束
定理3 (判别法的推广)
数,且 则: 1) 当 n为偶数时,
f
为极值点 , 且
是极小点 ; 是极大点 .
( n)
( x0 ) 0 ,
2; 令 f ( x) 0 , 得 x1 5
令 f ( x) , 得 x2 0
2 5 2 , ) (5
x ( , 0) f ( x) f ( x)
0 0
2) (0 , 5
0 0.33
其极大值为 是极大点，
是极小点， 其极小值为
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•当 在 上单调时, 最值必在端点处达到.
• 对应用问题 , 有时可根据实际意义判别求出的 可疑点是否为最大 值点或最小值点 .
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例3. 求函数 上的最大值和最小值 . 解: 显然
3 2
在闭区间
且
1 2
5 2
x0 (2 x 9 x 12 x) , 1 4 3 2 51 2 x 9 x 12 x , 0 x 4 2
2
x0 6 x 18 x 12 6( x 1)( x 2) , 1 4 f ( x) 2 5 0 x 6 ( x 1 )( x 2 ) , 6 x 18 x 12 2 f ( x) x (2 x 2 9 x 12) x1 0 , x2 1, x3 2
(9) 4 2 12 81 96 0
2 2 5 故函数在 取最小值 0 ; 0 9 x 12 0在 x 1及 2 取最大值 5. x 2x
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例3. 求函数 上的最大值和最小值 . 说明: 令 ( x) f 2 ( x)
结束
例如 (P146例4)
y
f ( x) 2 x 3 9 x 2 12 x 3
为极大点 , 是极大值
2 1
为极小点 ,
注意:
是极小值
o
1 2
x
y
1) 函数的极值是函数的局部性质. 2) 对常见函数, 极值可能出现在导数为 0 或 不存在的点.
x 1 , x4 为极大点 x 2 , x5 为极小点
2) 当 n为奇数时,
证: 利用 在
不是极值点 .
点的泰勒公式 , 可得
故结论正确 .
f ( n ) ( x0 ) ( x x0 ) n f ( x) f ( x0 ) f ( x0 )( x x0 ) n! n 当 充分接近 上式左端正负号由右端第一项确定 , o(( 时 x , x ) ) 0
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二、最大值与最小值问题
则其最值只能
在极值点或端点处达到 .
求函数最值的方法: (1) 求 在 内的极值可疑点
(2) 最大值
M max
最小值
f (a) , f (b)
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特别:
•当 在 内只有一个极值可疑点时,
若在此点取极大 (小) 值 , 则也是最大 (小)值 .
定理2 (极值第二判别法)
二阶导数 , 且 则 则 在点 在点 取极大值 ; 取极小值 .
f ( x) f ( x) f ( x0 ) 证: (1) f ( x0 ) lim lim x x0 x x0 x x0 x x0
由 f ( x0 ) 0 知, 存在 0 , 当0 x x0 时, f ( x) 0 ; 故当 x0 x x0 时， f ( x) 0 , 当x0 x x0 时， x0 x0 x0 由第一判别法知 f ( x) 在 x0 取极大值 .
(2) f ( x) “左负右正” ,则 f ( x) 在 x0 取极小值 ;
(自证)
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例1. 求函数
解: 1) 求导数 f ( x) x 2) 求极值可疑点 3) 列表判别
2 3
的极值 .
1 3 x ( x 1) 2 3
2 x 5 5 3 3x
第三章 第五节 函数的极值与 最大值最小值
一、函数的极值及其求法
二、最大值与最小值问题
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一、函数的极值及其求法
定义: 在其中当 (1) 时,
则称
称
为
的极大点 ,
为函数的极大值 ;
(2)
则称 称
为
的极小点 , 为函数的极小值 .
极大点与极小点统称为极值点 .
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x3 不是极值点
o a x1 x2 x3 x4
x5 b
x
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定理 1 (极值第一判别法)
设函数 f ( x) 在 x0 的某邻域内连续 , 且在空心邻域 内有导数, 当x由小到大通过 x0 时, (1) f ( x) “左正右负” ,则 f ( x) 在 x0 取极大值 .
(2) 类似可证 .
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例2. 求函数 解: 1) 求导数
的极值 .
f ( x) 6 x ( x 2 1) 2 ,
f ( x) 6 ( x 2 1)(5 x 2 1)
2) 求驻点 令 f ( x) 0 , 得驻点 x1 1, x2 0 , x3 1 3) 判别
在闭区间
由于 ( x) 与 f ( x) 最值点相同 , 因此也可通过 ( x) 求最值点. ( 自己练习 )
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例如 , 例2中
y
f ( x) 24 x (5 x 2 3) , f (1) 0
所以
不是极值点 .
1
1
x
说明: 极值的判别法( 定理1 ~ 定理3 ) 都是充分的.
当这些充分条件不满足时, 不等于极值不存在 . 例如:
f (0) 2 为极大值 , 但不满足定理1
因 f (0) 6 0 , 故 为极小值 ;
y
又 f (1) f (1) 0 , 故需用第一判别法判别.
1
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x
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定理3 (判别法的推广)
数,且 则: 1) 当 n为偶数时,
f
为极值点 , 且
是极小点 ; 是极大点 .
( n)
( x0 ) 0 ,
2; 令 f ( x) 0 , 得 x1 5
令 f ( x) , 得 x2 0
2 5 2 , ) (5
x ( , 0) f ( x) f ( x)
0 0
2) (0 , 5
0 0.33
其极大值为 是极大点，
是极小点， 其极小值为
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• 对应用问题 , 有时可根据实际意义判别求出的 可疑点是否为最大 值点或最小值点 .
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例3. 求函数 上的最大值和最小值 . 解: 显然
3 2
在闭区间
且
1 2
5 2
x0 (2 x 9 x 12 x) , 1 4 3 2 51 2 x 9 x 12 x , 0 x 4 2
2
x0 6 x 18 x 12 6( x 1)( x 2) , 1 4 f ( x) 2 5 0 x 6 ( x 1 )( x 2 ) , 6 x 18 x 12 2 f ( x) x (2 x 2 9 x 12) x1 0 , x2 1, x3 2
(9) 4 2 12 81 96 0
2 2 5 故函数在 取最小值 0 ; 0 9 x 12 0在 x 1及 2 取最大值 5. x 2x
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例3. 求函数 上的最大值和最小值 . 说明: 令 ( x) f 2 ( x)
结束
例如 (P146例4)
y
f ( x) 2 x 3 9 x 2 12 x 3
为极大点 , 是极大值
2 1
为极小点 ,
注意:
是极小值
o
1 2
x
y
1) 函数的极值是函数的局部性质. 2) 对常见函数, 极值可能出现在导数为 0 或 不存在的点.
x 1 , x4 为极大点 x 2 , x5 为极小点
2) 当 n为奇数时,
证: 利用 在
不是极值点 .
点的泰勒公式 , 可得
故结论正确 .
f ( n ) ( x0 ) ( x x0 ) n f ( x) f ( x0 ) f ( x0 )( x x0 ) n! n 当 充分接近 上式左端正负号由右端第一项确定 , o(( 时 x , x ) ) 0