考研高等数学D5极值与最值
高数考研重点罗列
考研数学高等数学重难点第一章函数与极限（考研必考章节，其中求极限是本章最重要题型，要掌握求极限的几种经典方法）第一节映射与函数（一般章节）一集合（不用看）二映射（不用看）三函数（了解）第二节数列的极限（一般章节）（本节用极限定义证明极限的题目考纲不作要求，可不看）一数列极限的定义（了解）二收敛数列的性质（了解）第三节函数的极限（一般章节）一函数极限的定义（了解）二函数极限的性质（了解）第四节无穷小与无穷大（重要）一无穷小（重要）二无穷大（了解）第五节极限运算法则（注意运算法则的前提条件是极限存在）第六节极限存在准则（理解）两个重要极限（重要两个重要极限要会证明）第七节无穷小的比较（重要）第八节函数的连续性与间断点（重要基本必考小题）一函数的连续性二函数的间断点第九节连续函数的运算与初等函数的连续性（了解）一连续函数的和、差、积、商的连续性二反函数与复合函数的连续性三初等函数的连续性第十节闭区间上连续函数的性质（重要，不单独考大题，但考大题会用到）一有界性与最大值最小值定理（重要）二零点定理与介值定理（重要）三一致连续性。
（不用看）第二章导数与微分（小题的必考章节）第一节导数概念（重要）一引例（数三可只看切线问题举例）二导数的定义（重难点，考的频率很高）三导数的几何意义（理解）另外：数一数二要知道导数的物理意义，数三要知道导数的经济意义（边际与弹性）四函数可导性与连续性的关系（重要，要会证明）第二节函数的求导法则（考小题）一函数的和、差、积、商求导法则二反函数的求导法则三复合函数的求导法则四基本求导法则与求导公式（要非常熟）第三节高阶导数（重要，考的可能性大）第四节隐函数及由参数方程所确定的函数的导数（考小题）、相关变化率（不用看）一隐函数的导数二由参数方程所确定的函数的导数三相关变化率（不用看）第五节函数的微分（考小题）一微分的定义二微分的几何意义三基本初等函数的微分公式与微分运算法则四微分在近似计算中的应用（不用看，基本上只要有近似两个字，考纲俊不作要求）第三章微分中值定理与导数的应用（考大题、难题经典章节）第一节微分中值定理（最重要，与中值定理的应用有关的证明题）一罗尔定理（要会证）二拉格朗日中值定理（要会证）三柯西中值定理（要会证）另外要会证明费马定理第二节洛比达法则（重要，基本上必定要考）第三节泰勒公式（掌握其应用，可以不用证明公式本身）第四节函数的单调性与曲线的凹凸性（考小题）一函数单调性的判定法二曲线的凹凸性与拐点第五节函数的极值与最大值最小值（考小题为主）一函数的极值及其求法二最大值最小值问题第六节函数图形的描绘（重要）第七节曲率（了解，只有数一数二考，数三不用看）一弧微分（不用看）二曲率及其计算公式（了解）三曲率圆与曲率半径（了解）四曲率中心的计算公式渐屈线与渐伸线（不用看）第八节方程的近似解（只要有近似，考研不考，不用看）第四章不定积分（重要）相对于数一、数三，本章数二考大题的可能性更大第一节不定积分的概念与性质一原函数与不定积分的概念（理解）二基本积分表（全背且熟练准确）三不定积分的性质（理解）第二节换元积分法（重要，其中第二类换元积分法更加重要）一第一类换元法二第二类换元法第三节分部积分法（考研必考）第四节有理函数的积分（重要）一有理函数的积分二可化为有理函数积分的习题举例第五节积分表的使用（不用看）第五章定积分（重要，考研必考）第一节定积分的概念与性质（理解）一定积分问题举例（了解）其中“变速直线运动的路程”数三不用看二定积分定义（理解）三定积分的近似计算（不用看）四定积分的性质（理解）第二节微积分基本公式（重要）一变速直线运动中位置函数与速度函数之间的联系（了解）数三不用看二积分上限的函数及其导数（极其重要，要会证明）三牛顿-莱布尼茨公式（重要，要会证明）第三节定积分的换元积分法与分部积分法（重要，分部积分法更重要）一定积分的换元法二定积分的分部积分法第四节反常积分（考小题）一无穷限的反常积分二无界函数的反常积分第五节反常积分的审敛法T函数（不用看）第六章定积分的应用（考小题为主）第一节定积分的元素法（理解）第二节定积分在几何学上的应用（面积最重要）一平面图形的面积二体积（数三只看旋转体的体积）三平面曲线的弧长（数三不用看，数一数二记住公式即可）第三节定积分在物理学上的应用（数三不用看，数一数二了解）一变力引直线所作的功二水压力三引力第七章微分方程（必考章节，本章相对于数学二相对最重要）第一节微分方程的基本概念（了解）第二节可分离变量的微分方程（理解）第三节齐次方程（理解）一齐次方程二可化为齐次的方程（不用看）第四节一阶线性微分方程（重要，熟记公式）一线性方程二伯努利方程（只有数一考，记住公式即可）第五节可降阶的高阶微分方程（只有数一数二考，理解）一型的微分方程二型的微分方程三型的微分方程第六节高阶线性微分方程（理解）一二阶线性微分方程举例（不用看）二线性微分方程的解的结构（重要）三常数变易法（不用看）第七节常系数齐次线性微分方程（最重要，考大题的备选章节）第八节常系数非齐次线性微分方程（最重要，考大题的备选章节）一型二第九节欧拉方程（只有数一考，了解）第九节常系数线性微分方程的解法举例（不用看）第八章空间解析几何与向量代数（只有数一考，考小题，了解）第一节向量及其线性运算一向量概念二向量的线性运算三空间向量坐标系四利用坐标作向量的线性运算五向量的模、方向角、投影第二节数量积、向量积、混合积一两向量的数量积二两向量的向量积三向量的混合积第三节曲面及其方程一曲面方程的概念二旋转曲面三柱面四二次曲面第四节空间曲线及其方程一空间曲线的一般方程二空间曲线的参数方程三空间曲线在坐标面上的投影第五节平面及其方程一平面的点法式方程二平面的一般方程三两平面的夹角第六节空间直线及其方程一空间直线的一般方程二空间直线的对称式方程与参数方程三两直线的夹角四直线与平面的夹角第九章多元函数微分法及其应用（考大题经典章节，但难度不大）第一节多元函数的基本概念（了解）一平面点集 n维空间二多元函数概念三多元函数的极限四多元函数的连续性第二节偏导数（理解）一偏导数的定义及其计算法二高阶偏导数（重要）第三节全微分（理解）一全微分的定义二全微分在近似计算中的应用（不用看）第四节多元复合函数的求导法则第五节隐函数的求导公式（理解小题）一一个方程的情形二方程组的情形（不用看）第六节多元函数微分学的几何应用（只有数一考，考小题）一一元向量值函数及其导数（不用看）二空间曲线的切线与法平面三曲面的切平面与法线第七节方向导数与梯度（只有数一考，考小题）一方向导数二梯度第八节多元函数的极值及其求法（重要，大题的常考题型）一多元函数的极值及最大值最小值二条件极值、拉格朗日乘数法第九节二元函数的泰勒公式（只有数一考，了解）一二元函数的泰勒公式(了解)二极值充分条件的证明（不用看）第十节最小二乘法（不用看）第十章重积分（重要，数二数三相对于数一，本章更加重要.数二数三基本必考大题）第一节二重积分的概念与性质（了解）一二重积分的概念（了解）二二重积分的性质（了解）第二节二重积分的计算法（重要，数二数三极其重要）一利用直角坐标计算二重积分二利用极坐标计算二重积分三二重积分的换元法（不用看）第三节三重积分（只有数一考，理解）一三重积分的概念（了解）二三重积分的计算（重要）第四节重积分的应用（只有数一考，了解）一曲面的面积二质心三转动惯量四引力第五节含参变量的积分（不用看）第十一章曲线积分与曲面积分（只有数一考，数二数三均不考；数一考大题、考难题经典章节）第一节对弧长的曲线积分（重要）一对弧长的曲线积分的概念（理解）与性质（了解）二对弧长的曲线积分的计算法（重要）第二节对坐标的曲线积分（重要）一对坐标的曲线积分的概念（理解）与性质（了解）二对坐标的曲线积分的计算法（重要）第三节格林公式及其应用（重要）一格林公式（重要）二平面上曲线积分与路径无关的条件（重要）三二元函数的全微分求积（理解）四曲线积分的基本定理（不用看）第四节对面积的曲面积分（重要）一对坐标的曲面积分的概念与性质（了解）二对坐标的曲面积分的计算法（重要）三两类曲面积分之间的联系（了解）第五节对坐标的曲面积分（重要）一对坐标的曲面积分的概念与性质（了解）二对面积的曲面积分的计算法（重要）第六节高斯公式（重要）、通量（不用看）与散度（了解）一高斯公式（重要）二沿任意闭曲面的曲面积分为零的条件（不用看）三通量与散度（了解）第七节斯托克斯公式（重要）环流量与旋度（了解）一斯托克斯公式（重要）二空间曲面积分与路径无关的条件（不用看）三环流量与旋度第十二章无穷级数（数学二不考，不用看；数一数三考大题、考难题的经典章节）第一节常数项级数的概念与性质（一般考点）一常数项级数的概念（了解）二收敛级数的基本性质（考选择题章节）三柯西审敛原理（不用看）第二节常数项级数的审敛法（理解）一正项级数及其审敛法二交错级数及其审敛法三绝对收敛与条件收敛四绝对收敛级数的性质（不用看）第三节幂级数（重要）一函数项级数的概念（了解）二幂级数及其收敛性（最重要）三幂级数的运算（乘或除不用看）第四节函数展开为幂级数（数一相对数三本节更重要）第五节函数的幂级数展开式的应用（不用看）一近似计算二微分方程的幂级数解法三欧拉公式第六节函数项级数的一致收敛性及一致收敛级数的基本性质（不用看）一函数项级数的一致收敛性二一致收敛级数的基本性质第七节傅里叶级数（数三不用看，数一了解）一三角函数系的正交性二函数展开为傅里叶级数三正弦级数和余弦级数第八节一般周期函数的傅里叶级数（数三不用看，数一了解）一周期为2l的周期函数的傅里叶级数二傅里叶级数的复数形式（不用看）。
高等数学 函数的极值与最大值、最小值
解：（1）设平均成本为 y ，则 y = 25000 + 200 + x
x
40
由
y′
=
−
25000 x2
+
1 40
=
0
，得
x1
= 1000
，
x2
=
−1000
（舍去）
因为 y′′ |x=1000 = 5×10−5 > 0 ，所以当 x = 1000 时， y 取极小值，
也即最小值，因此，要使平均成本最小，应生产 1000 件产品。
2009年7月3日星期五
21
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（2） 利润函数为
L(x)
=
500x
−
⎛ ⎜⎝
问 x = a 是为 f (x) 的极值点？如果是极值点， f (x) 在
x = a 取得极大值还是极小值？（课本 例 3）
解题思路：
（1） f ′(x) 在点 x = a 处连续
lim f ′(x) = f ′(a)
x→a
（2） f ′(a) = lim f ′(x) = lim f ′(x) × (x − a) = (−1) × 0 = 0
又因为 f ′′(x) = − 1 < 0 ， 25
所以当 x = 1800 时， f (x) 取得最大值，
即房租定为 1800 元时，可获得最大收入。
2009年7月3日星期五
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例8
证明
1 2 p−1
≤
xp
+
(1 −
x) p
≤1
(0 ≤ x ≤ 1, p > 1) ．
考研数学-专题14多元函数极值与最值
在 (0,3) 点
AC − B2 = −9 < 0, 无极值;
在 (3,0) 点
AC − B2 = −9 < 0, 无极值;
在 (1,1) 点
AC − B2 = 3 > 0, 有极值.
故应选(D).
【例 2】设函数 f (x) ， g(x) 均有二阶连续导数，满足 f (0) > 0 ， g(0) < 0 ，且 f ′(0)
【解】
⎧ ⎨ ⎩
z z
x y
= =
y(3 x(3
− −
2x 2y
− −
y) x)
= =
0 0
(0,0), (0,3), (3,0), (1,1). 都满足上式.
zxx = −2 y, zyy = −2x, zxy = 3 − 2x − 2 y.
在 (0,0) 点
AC − B2 = −9 < 0, 无极值;
【例 3】 已知函数 z = f (x, y) 的全微分 dz = (ay − x2)dx + (ax − y2)dy, (a > 0) ，则函数
f (x, y)
(A)无极值点；
(B)点 (a, a) 为极小值点；
(C)点 (a, a) 为极大值点；
(D)是否有极值点与 a 的取值有关。
【解】由 dz = (ay − x2)dx + (ax − y2)dy 知， ∂z = ay − x2, ∂z = ax − y2
专题 14：多元函数的极值与最值
（一）无条件极值
定义 设函数 z = f (x, y) 在点 P(x0, y0 ) 的某邻域内有定义，若对该邻域内任 意的点 P(x, y) 均有
f (x, y) ≤ f (x0, y0 ) （或 f (x, y) ≥ f (x0, y0 ) ）， 则称 (x0, y0 ) 为 f (x, y) 的极大值点（或极小值点）；称 f (x0, y0 ) 为 f (x, y) 的极大
带你当学霸之数学篇：极值和最值
带你当学霸之数学篇：极值和最值极值和最值是两个很容易弄错的概念，不是因为他有难度，而是因为，因为你容易看岔眼！！最值在是最大值，极值是最凸和最凹的点。
极值和最值，终有一字之差。
极值定义：设函数f（x）在点的某空心领域内有定义。
如果对该领域内的任何点x(x ),均有f(x)<f( )(或f(x)>f( )),则称f ( )是f(x)的极大值（或极小值），称是f(x)的极大值点（或极小值点）曲线在极值点处，或有水平切线，或不存在。
但点有水平切线的点不一定是极值点，切线不存在的点也不一定是极值点。
这说明，极值点应在f’(x)为0或不存在的点去找。
点是函数f（x）的极值点的必要条件：f’（x）=0或f’（x）不存在使f’（x）=0或f’（x）不存在的点未必是极值点，它们叫做可疑极值点，其中f’（x）=0为f(x)的驻点。
1. 极值点第一判别法：设函数f(x)在点的某空心领域内可导且在点处连续。
1）如果在点的左邻域内有f’（x）>0, 在点的右邻域内有f’（x）<0,则是f(x)的极大值点2）如果在点的左邻域内有f’（x）<0，在点的右邻域内有f’（x）>0, 则是f(x)的极小值点3）如果在点的某空心领域内f’（x）恒为正或负，则不是极值点2. 极值点第二判别法（只适用于驻点,设其为）1）当f”( )>0时，是f(x)的极小值2）当f”( )<0时，是f(x)的极大值最值一.1.连续函数在闭区间上必有最值2,求连续函数在闭区间上的最值只需比较函数及其驻点，导数不存在点以及端点处对函数值3.若连续函数在闭区间上只有一个驻点，且该驻点为极值点，则必为最值点二、例：从一块半径为R的圆铁片上挖去一个扇形做成一个漏斗，求留下的扇形中心角“A”取多大时，做成的漏斗的容积最大？解：设漏斗容积为V，底圆半径为R，高位h.则设漏斗容积为V，底圆半径为r,高为h，则0<x<2令V’=0，舍去x=0——by 曹国凯童睿睿。
2023考研数学高数重要知识点：极值与最值的求解方法
2023考研数学高数重要知识点：极值与最值的求解方法2023考研数学高数重要知识点：极值与最值的求解方法在数学中，极值和最值都是非常重要的概念。
简单来说，极值是指一个函数在某一点处的取值最大或最小，而最值则是指整个区间内的取值最大或最小。
在我们的学习和研究中，极值和最值的求解方法是必须要掌握的重要知识点。
今天，我们就来详细探讨一下2023考研数学高数重要知识点：极值与最值的求解方法。
一、极值的求解方法1. 一阶导数法我们可以通过求导数的方法来求解极值。
首先，我们需要计算出函数的一阶导数，然后让其等于零，求出函数的极值点。
接着，我们再利用二阶导数进行判断，确定是极大值还是极小值。
如何判断？设函数f(x) 在(x0,y0) 处取得极值，且在x0处可导，若f‘(x0) > 0，则 f(x) 在x0 处取得极小值；若f‘(x0) < 0，则f(x) 在x0 处取得极大值。
2. 二阶导数法在使用二阶导数法求解极值时，我们需要先求出函数的二阶导数。
然后，我们需要判断二阶导数的符号。
如果二阶导数大于零，则函数在该点处存在极小值；如果二阶导数小于零，则函数在该点处存在极大值。
如何判断？设函数f(x) 在(x0,y0) 处取得极值，且在x0处可导，若f‘‘(x0) > 0，则 f(x) 在x0 处取得极小值；若f‘‘(x0) < 0，则 f(x) 在x0 处取得极大值。
二、最值的求解方法1. 边界法最值的求解方法有很多种，其中比较简单的是边界法。
所谓边界法，是指在左右端点以及函数在区间上的极值点中，寻找最大值和最小值。
2 讨论法讨论法是最值问题中常用的方法。
对于一个函数f(x)，我们可以考虑：① 若有且仅有一极值点，则该点为极大值或极小值；② 若有多个极值点，则在这些极值点中，函数最大值和最小值一定存在其中；③ 若该函数在一定区间内无极值点，则函数最大值和最小值一定在区间的两个端点上。
三、总结以上就是2023考研数学高数重要知识点：极值与最值的求解方法。
高等数学考研中有关函数极值和最值问题的求解方法 - 副本
（1）如果 ff′′（（xx））＞＜00%%%%xx＜＞xx00，则x0是f（x）的极大值点； （2）如果 ff′′（（xx））＜＞00%%%%xx＜＞xx00，则x0是f（x）的极小值点； （3）如果在点x0的 邻 域 内 ，f′（x）不 变 号 ，则x0不 是f（x）的 极 值点。 如果函数在某驻点具有二阶导数， 也可用极值的第二充 分条件判断。 求极值的步骤如下： ①求函数f（x）的 定 义 域 ，并 求 导 数f′（x）；②求 驻 点 和 不 可 导 的 点 ；③利 用 定 理1确 定 函 数 的 极 值 点 ；④求 出 各 极 值 点 的 函数值，得到函数的极值。 2.求 最 值 的 方 法 求函数的最值的一般步骤为： ①求函数的导数，求出驻点，并求出不可导的点； ②求出第①步所得各点的函数值和该函数定义域端点处 的函数值； ③比较以上各函数值的大小，最大者为最大值，最小者为 最小值。
得极大值。 选（A）。
2x
例2.（2009年 数2考 研 题 ）函 数y=x 在 区 间 （0，1］上 的 最 小
值为%%% %。
解 ：①先 求 驻 点 。
2x
2xlnx
2x
f′（x）=（x ）′=（e ）′=2x （lnx+1）=0，得驻点x=
1
;
e
2
②求驻点和端点处的函数值。
f（
1
-
）=e e ，f（1）=1;
鄣
2
鄣鄣F′λ=x2+
y 4
-1=0
高等数学考研中有关函数极值和最值问题的求解方法-副本（PDF）
3.2.3师生共评。
提高学生的参与意识与鉴赏能力，提高学生获取成功的能力。
3.3有关中职学校《体育与健康》课程考试手段的探讨3.3.1必测项目。
主要包括运动能力的测试，从中获取学生个体运动能力量化数据。
3.3.2机能测试。
主要获取身体机能评价数据。
3.3.3自我锻炼。
从中获取锻炼的态度及自我按需锻炼态度。
3.4有关中职学校《体育与健康》课程考试项目及规定分值的探讨附注说明：①体育与健康课中的旨在彰显体育集体配合项目的测试评分标准各校自行确定，原则上以完成集体配合的质量，完成的顺利程度评分，该项最高得分不超过10分。
②《中职学校学生岗前体能量化及等级标准》中的旨在彰显可提升对未来岗位适应能力的专项身体素质的测试评分标准各校可自行确定，但评定原则上以该测试班级前十名为优秀级，后十名为及格级，其余中间人员均为良好级。
或参照郴州市中职学校《体育与健康》模块式教材中岗前专项身体素质章节测试内容、量化标准进行，但该项最高分为10分。
③《国家学生体质健康标准》中各测试项目的单项评分按《国家学生体质健康标准》各单项实际得分与该单项规定分值相乘后得出。
该单项最高分值不得自行超过规定分值。
④各学期学生体育与健康课程无故缺勤达8节，该学期学业成绩记不及格。
4.结语如果说传授式的学生学业成绩评价体系因缺乏时代特征和考试目的不明确等因素，不能引领当代以突出技能为核心的中职教育改革而退出教育舞台的话，那么，具有时代特征和全新理念，以培养学生技能，注重学生学习过程，最终以适应职业需要为目的当代中职学校学生学业评价体系必将应运而生。
其实现学生学业成绩评价体系的途径、方法和手段自然需要探索，需要重视。
参考文献：［1］陈龙，刘秋良.中职学校体育与健康课程现状调查及模块化教学培养体系构想的研究.新闻天地，2009，63.［2］刘秋良，曹万江，曹云，陈龙，黄小江.湘南郴州中职学校学生身体素质现状调查分析及对第的研究.中国科技教育，2009，7.［3］刘秋良，曹万江，黄小江，陈海波，曹云.湘南郴州中职学校体育与健康课程模块化实践问题的理论探讨与研究.考试周刊，2009，37.本文系湖南郴州市“十一五”科研课题。
D3_5极值与最值
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例1. 求函数
的极值 .
解:
1) 2)
求导数 f (x)
求极值可疑点
2
x3
(x
1)
2 3
x
1 3
5 3
x
2 5
3x
令
f
(x)
0
,
得
x1
2 5
;
令 f (x) , 得 x2 0
3) 列表判别
(
x0
)
lim
xx0
f (x) f (x0 ) x x0
lim
x x0
f (x) x x0
由 f (x0) 0知, 存在 0,当0 x x0 时,
故当 x0 ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ x x0 时，f (x) 0;
当x0 x x0 时，f
M max
最小值
f (a), f (b)
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特别: • 当 在 内只有一个极值可疑点时,
若在此点取极大 (小)值 , 则也是最大(小)值 . • 当 在 上单调时, 最值必在端点处达到. • 对应用问题 , 有时可根据实际意义判别求出的
可疑点是否为最大 值点或最小值点 .
为极小值
(4) 判别法的推广 ( Th.3)
定理3 目录 上页 下页 返回 结束
最值点应在极值点和边界点上找 ; 应用题可根据问题的实际意义判别 .
作业
基础题：1(4)(9),3,,5,6 提高题：15
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第五节函数的极值与最值
第五节 函数的极值与最值 一、 函数极值 1、 数极值概念定义4.1 如果在0x 的某邻域内，只要0x x ≠，总有①()()x f x f ≥0 称()0x f 为极大值②()()x f x f ≤0 称()0x f 为极小值注：①极值是局部概念，最值是整体概念②极值不能在端点取得，最值可能在端点取得。
2、函数极值的必要条件定理4①()x f在x处有极值②()xf'存在()0='xf注：极值点可能在临界点处取得，即在驻点（使()0='xf的点）或函数的导数不存在的点（导函数中分母=0的点）3．取得极值的充分条件1）．充分条件I定理5设()x f在点0x的某邻域内连续且可导，（但()xf'可以不存在）（即对函数的所有临界点作出判断）例1 求()32)1()1(+-=x x x f 的单调区间和极值解：())15()1)(1(2-+-='x x x x f例2 求()3223x x x f -=的单调区间和极值 解：()0,112133==⇒-='x x xx x f （临界点） 2）．充分条件II定理6设()00='x f ，()0x f ''存在如果①()00>''x f ()0x f 是极小值 ②()00<''x f ()0x f 是极大值③()0= ''xf例3 求()xxxf33-=的极值注：1）、求极值的一般过程①解方程()0='xf求出所有的根及导数不存在的点，即临界点②将所有的临界点从小到大排列划分函数()x f的定义域，列表，由判定定理写出结果③确定单调区间与极值2）、导数复杂，第②步困难时，可用()xf''来判断，但有时可能会失效。
二、最大值与最小值引入：问题1 最值存在的条件？ 问题2 如何求最值？ 极值点最值点 不可导点 求最值方法端点注：极值、最值的应用： ①如果()x f 在[]b a ,上单调 最值在端点取得 ②如果()x f 在给定区间内只有一个极值点，则该极值就为最值。
《高等数学教学资料》05第五节函数极限与最大值最小值.docx
第五节函数的极值与最大值最小值在讨论函数的单调性时，曾遇到这样的情形，两数先是单调增加(或减少)，到达某一点后又变为单调减少(或增加)，这一类点实际上就是使函数单调性发生变化的分界点.如在上节例3的图3・4・5中，点兀=1和兀=2就是具有这样性质的点，易见，对兀=1的某个邻域内的任一点兀(2 1),恒有f(x) </(I),即曲线在点(1,/(1))处达到“峰顶”：同样，对“2 的某个邻域内的任一点X(XH2),恒有f(x) > /(2),即曲线在点(2,/(2))处达到“谷底”. 具有这种性质的点在实际应用中有着重耍的意义.由此我们引要入函数极值的概念.分布图示★函数极值的定义★函数极值的求法★例1★例2★例3笫二充分条件★例4★例5★例6最大值最小值的求法★例7★例8★例9★例10★例11★例］2内容小结★课堂练习★习题3・5 ★返回内容要点一、函数的极值极值的必要条件第一充分条件与第二充分条件求函数的极值点和极值的步骤(1)确定函数/(兀)的定义域，并求其导数;(2)解方程f\x) = 0求出于(兀)的全部驻点与不可导点；(3)讨论厂(劝在驻点和不可导点左、右两侧邻近符号变化的情况，确定函数的极值点；(4)求出各极值点的函数值，就得到函数/(兀)的全部极值.二、函数的最大值与最小值在实际应用屮，常常会遇到求最大值和最小值的问题.如用料最省、容暈最大、花钱最少、效率最高、利润最大等.此类问题在数学上往往可归结为求某一函数(通常称为目标函数)的最大值或最小值问题.求函数在创上的最大(小)值的步骤如下：(1)计算函数/(兀)在一切可能极值点的函数值，并将它们与相比较，这些值中最大的就是最大值，最小的就是最小值；(2)对于闭区间［d,b］上的连续函数/(兀)，如果在这个区间内只有一个可能的极值点,并且函数在该点确有极值，则这点就是函数在所给区I'可上的最大值(或最小值)点.例题选讲求函数的极值例1 (E01)求出函数/(%) = x3 -3x2 -9x4-5的极值.解f(x) =3X2-6X-9=3(X +1)(X一3),令f(x) = 0,得驻点x1=-l,x2=3.列表讨论如下：X(―-1)-1(-1, 3)3(3, 4- °°)•厂⑴+0——0+f(x)f极大值1极小值t所以，极大值/(-!) = 10,极小值/(3) = -22.例2 (E02)求函数的极值.解⑴ 函数f(兀)在(-oo,+oo)内连续，除x = -l外处处可导，且厂(无)=孝二2;3沿+1(2)令f\x) = 0,得驻点x = l;兀=-1为/*(兀)的不可导点;(3)列表讨论如下：(-00,-1)-1(-1, 1)1(1,+呵/'(X)+不存在—0+/⑴f极大值1极小值t⑷ 极大值为/(-1) = 0,极小值为/⑴=-3^4.3例3求函数y(x) = x-jx2/3的单调增减区间和极值.解求导数= 当"1时八0) = 0,而x = 0时/©)不存在，因此，函数只可能在这两点取得极值.列表如下：X(一8,0)0(0,1)1(1, + °°) f\x)+ 不存在—0+fM/极大值0极小值-丄2/由上表可见：函数/(兀)在区间(_oo,0),(l,+oo)单调增加，在区间(0,1)单调减少.在点x =()处有极大值，在点兀=1处有极小值/(I) = 如图.例4 (E03)求出函数/(x) = x3 + 3x2一24兀- 20的极值.解f(x) = 3x2 +6x-24 = 3(x + 4)(兀—2),令f\x) = 0,得驻点册=-4,勺=2.又/'(x) = 6x + 6, ・・・/"(-4) = —18vO,故极大值于(一4) = 60, /*(2) = 18>0,故极小值/(2) = -4&注意：1./"(必)=0吋，/(X)在点勺处不一定収极值，仍用第一充分条件进行判断.2.函数的不可导点，也可能是函数的极值点.例5 (E04)求函数f(x) =(X2 -厅+ I的极值.解由/，(X)=6X(X2-I)2=0,得驻点可=一1,七=0*3=1. f\x) = 6(x2 -l)(5x2 -1).因f\x) = 6 > 0,故/(x)在x = 0处収得极小值，极小值为/(0) = 0.因厂(-1)=厂⑴=0,故用定理3无法判别.考察一阶导数f\x)在驻点册=-1及勺=1左右邻近的符号：当兀取-1左侧邻近的值时，f(x) < 0;当兀取-1右侧邻近的值吋，f(x) < 0;因厂(兀)的符号没有改变，故/(兀)在x = -l处没有极值.同理，/(兀)在x = l 处也没有极值.如图所示.例6求出函数/W=1-(X-2)2/3的极值.2 --解f'M = -一(兀-2) '("2). x = 2是函数的不可导点.当xv2时，f(x) > 0;当x>2时，.厂(兀)v0. /. /(2) = 1为/(兀)的极大值.例7 (E05)求y = 2疋+ 3兀$ _ 12x + 14的在［-3,4］上的最大值与最小值.解*«*= 6(x + 2)(兀一1),解方程f\x) = 0,得x, =-2,X2 =1.计算/(-3) = 23; /(—2) = 34; /⑴二7; /⑷二142;比较得最大值/⑷=142,最小值/(I) = 7.例8求函数)usin2x-x在-彳冷上的最大值及最小值.解函数y = sin2x- x在-巴工上连f\x) = / = 2cos2x-1, 2 2令)/ = (),得/ = 土牛.故皿¥上最大值为务最小值为号例9 (E06)设工厂4到铁路线的垂直距离为20km,垂足为3.铁路线上距离B为100km 处有一原料供应站C,如图3-5-4.现在要在铁路BC屮间某处D修建一个原料屮转车站，再由车站D 向工厂修一条公路.如果已知每km 的铁路运费与公路运费之比为3:5,那么，D 应 选在何处，才能使原料供应站C 运货到工厂A 所需运费最省？解 BD = x (km), CD = 100 — x (km), AD = ^202 + x 2 ・铁路每公里运费眈公路每公里5R,记那里目标函数(总运费)y 的函数关系式: y = 5kAD + 3k-CD 即y = 5k ・ 7400 +x 2 + 3k(l 00-x) (0<x<100).问题归结为：x 収何值时目标函数y 最小./ \ I求导得y f = k 1 =一3，令y" = 0得x = 15(km).、V400 + x~ ) 由于 y(0) = 400£, y(15) = 380£, y(100) = 100@£. 从而当BD = 15 (kmJB'J-，总运费最省.例10（E07）某房地产公司有50套公寓要出租，当租金定为每月180元时，公寓会全部 租111去.当租金每月增加10元时，就有一套公寓租不出去，而租出去的房子每月需花费20 元的整修维护费.试问房租定为多少可获得最大收入？解 设房租为每月兀元，租出去的房子有50-（犬二型］套，每月总收入为10V =70 一一，解 R\x ） = 0,得兀=350 （唯一驻点）. 故每月每套租金为350元时收入最高.最大收入为/?（350） = 10890（元）.求函数的最大值最小值例11敌人乘汽车从河的北岸A 处以1米/分钟的速度向正北逃窜，同时我军摩托车从 河的南岸B 处向正东追击，速度为2千米/分钟，问我军摩托车何吋射击最好（相距最近射击 最好）?解（1）建立敌我相距函数关系 设t 为我军从B 处发起追击至射击的事件（分）.敌我相距函数5（/）5(f) = J(0.5 + r)2+(4-2r)2⑵求5 = 5(r)的最小值点5/-7.5 7(0.5 + z)2+(4-2r)2令= o,得唯一驻点（ = 1.5.故得我军从B 处发起追击后1.5分钟设计最好. 实际问题求最值应注意：（1） 建立目标函数； （2） 求最值；若目标函数只有唯一驻点，则该点的函数值即为所求的最人（或最小）值.R(x) = U - 20) 50- x-180、10 )X = (x-20) 68——,I 10丿 + (“20)卜茁2 2例12求内接于椭圆与+务=1而面积最大的矩形的各边之长. a~ b~ 解 设M(x,y)为椭圆上第一象限内任意一点，则 以点M 为一顶点的内接矩形的面积为S(x) = 2x- 2y = — x^a 1 -x 2,0 <x<a,a且 S(0) = S(d) = 0.Qyla 2-x 2是S(x)的最人值,最大值仏=乎诗卜倍!=切课堂练习1. 下列命题正确吗？若兀()为/(X )的极小值点，则必存在旳的某邻域，在此邻域内，/(兀)在兀()的左侧下降，而 在兀()的右侧上升.2. 若/(d)是/(兀)在［d,切上的最大值或最小值，且广⑺)存在，是否一定有f(a) = 0?4b a 2 -2x 2 万需2“由 S3 = o,求得驻点尤0 =为唯一的极值可疑点.依题意，S(x)存在最大值，故对应的y 值为即当矩形的边长分别为血a, Qb 时面积最大.。
高数极值与最值
要点二
求解方法
若多元函数f(x1,x2,...,xn)在有界闭区域D上连续，则 f(x1,x2,...,xn)在D上必有最大值和最小值。
对于多元函数的最值问题，通常需要先求出函数的一阶偏 导数，并令其为0得到驻点。然后计算这些驻点及区域边界 上的函数值，比较大小即可得到最大值和最小值。需要注 意的是，对于多元函数而言，驻点不一定是最值点，还需 结合函数的二阶偏导数或Hessian矩阵来判断驻点是否为 极值点。同时，由于多元函数可能存在多个极值点，因此 需要通过比较所有极值点和边界点处的函数值来确定最值 。
02 极值概念及性质
极值定义
极值是一个函数的局部性质，在一个点的附近（邻域）内， 该点的函数值比其他点的函数值都要大（或小），则称该点 的函数值为极大值（或极小值）。
极值点不一定是函数的最值点，但最值点一定是极值点或函 数定义域的端点。
极值存在条件
一阶导数等于零的点可能是极值点（驻点）。
一阶导数不存在的点也可能是极值点。
数学作为一门基础学科，将在更多领域发 挥重要作用，跨学科应用将成为未来数学 发展的另一重要趋势。
复杂性与不确定性研究
人工智能与数学结合
随着现代科学的发展，复杂性与不确定性 问题日益突出，数学将在解决这些问题中 发挥越来越重要的作用。
人工智能的发展离不开数学的支持，未来数 学将与人工智能更加紧密地结合，共同推动 科技进步和社会发展。
求解方法
首先求出函数f(x)在(a,b)内的驻点（即 导数为0的点）和不可导点，然后计算 这些点及区间端点a,b处的函数值，比 较大小即可得到最大值和最小值。
开区间上可导函数最值问题
定理
若函数f(x)在开区间(a,b)内可导，则f(x) 在(a,b)内的极值点只可能是驻点或不可 导点。
高数第三章第五次函数极值最值
(2) x0两近旁f ′′( x)不变号 点 x0 , f ( x0 ))不是拐点 , ( .
2 若 f ′′( x0 ) 不存在点( x0 , f ( x0 )) 也可能是连续曲线 , y = f ( x) 的拐点 x0两近旁 ′′( x)变号 点 x0 , f ( x0 ))即为拐点 , f , ( .
一、函数极值的定义
y y
o
x0
x
。
o
x0
x
f ( x0 ) 极大值：∀x ∈U( x0 , δ), f ( x) < f ( x0 ); 极大值：
。
处取得极大值. 有 f ' ( x ) < 0，则 f ( x ) 在 x0处取得极大值. (2)如果 (2)如果x ∈ ( x0 − δ , x0 ), 有 f ' ( x ) < 0; 而 x ∈ ( x0 , x0 + δ ) 有 f ' ( x ) > 0 ，则 f ( x ) 在 x0 处取得极小值. 处取得极小值. (3)如果当 (3)如果当 x ∈ ( x0 − δ , x0 ) 及 x ∈ ( x0 , x0 + δ ) 时,
第五讲 函数的极值与 最大值最小值
知识回顾
定理1 定理 设y = f ( x)在[a, b]上连续，在 a, b) 上连续， ( 内可导.
1 若在 上单调增加； （） (a, b)内f ′( x) > 0， f ( x)在[a, b]上单调增加； ⇒ (2)若在(a, b)内 f ′( x) < 0， f ( x)在[a, b]上单调减少 . ⇒
高等数学第五节 极值 最值精品文档
Fcos
相等时物体就将要移.(见 动图)
G
容易求得正 GF 压 si力 n(G为 为 G的模 ),于是
摩 擦 (G F 力 s i)n ,
F的水平分力的大 Fc小 os,
从而得 F co s(G F si)n.
则目标函数为
FcosG sin,
其中 [0,).
6
所x 以 a是极,故 大最 值 x大 点 a,最 点 大 为 容
6
6
V 2 a3. 27
例7 求内接(于 半球 径R为 )的圆柱体的最 . 大体
解 设圆柱体 h,底 的 半 高 r,径 体 为 为 积 V, 为
则目标函V数 为 r2h,
其r,中 h应满 r2h 足 2R 2, 即r2R2h2.
例2 求函f数 (x)x33x的增减区间及 . 极值 增(减)区间是:在 指该区间上函数 (或是减增)的 .的
解 函数的定义 (,域 )为 又 . f(x)3x23. 令 f(x)0,即 3x230, 3 (x 1 )x ( 1 ) 0 , 得驻 x1 ,x点 1 .
这些点均应在 义函 域,否 数 内则 的不 定必 . 讨
(2)如果用定 ,那理 么四 就讨论驻 微点 点和 两不 侧 附近导数,从 的而 正判 负断出 . 极值点
(3 )如果,计 用算 定 f(x 驻 ) 理 的点 五 正 , 处 负 从而判断 .当 f(x 出 )0时 极 ,需值 另点 .作
x4 x5 x
图3-7
如何去寻找极 ?有值如点下呢 .定理
定理一 (极值点的必要条件) 如 x 0 是 果f函 (x )的 数 极 ,且 x 值 0 处 在 点 函 , 数 则 f(x0)0.
定理一讲的是这样一事个实, 对于可微,函 极数 值点 必在导数等 ,即 于在 零 f方 (x的 )程 0的 点根 中 . 中
高等数学 第五节 函数的极值与最大最小值
∴ f ′( x0 ) = 0 .
2
同理可证极大值的情形 .
根据定理 1 , 函数 f ( x ) 的极值点只可能是 : 1 ) . f ′( x ) = 0 的实根 , (驻 ) 2) . 不可导的点. 点 这些点统称临界点 , 但临界点并不一定都是 极值点 . 因此 , 求极值的步骤 : 1. 找出 f ( x ) 的全部临界点 , + － 2 . 对每一个临界点进行判 别 , 判别 方法如下 : 设 x0 是 f ( x ) 的一个临界点 , A ) . 当 x 由 x0 的左侧变到右侧时 , － + 1 ) . f ( x ) 由单调增变为单调减 , 或 f ′( x ) 由正变负 , 则 f ( x0 ) 为极大值 . 2) . f ( x ) 由单调减变为单调增 , + 或 f ′( x ) 由负变正 , 则 f ( x0 ) 为极小值 . 3) . f ( x ) 的增减性不变 , 或 f ′( x ) 的符号不变 , 结合图形使用 . 则 x0 不是极值点 .
M = f 3 =5, 4 4
( )
m = f ( −5) = −5 + 6 .
11
例 7 . 问函数 y = x 2 − 54 ( x < 0) 在何处取最小值 ? x
解 . y 在 ( −∞ , 0 ) 连续 , y′ = 2 x + 54 . x2 由 y′ = 0 得驻点 x = −3 .
解 . f ′( x ) = a cos x + cos 3 x , f ( x ) 在 ( − ∞ , + ∞ ) 可导 .
f ′ π = a cos π + cos π = a − 1 = 0 , 3 3 2
第五节函数的极值与最值
如 y 3 x 在x 0 处不可导,却不是极值点.
y
y
y | x|
O
y3 x
x
O
x
3
这就是说,极值点要么是驻点,要么是不可导点, 两者必居其一. 我们把驻点和孤立的不可导点统称为极值可疑点.
下面给出两个充分条件,用来判别这些极值可疑点 是否为极值点.
4
定理2(极值的第一充分条件) 设函数 f ( x ) 在 x0 处连续, 在 x0 的某去心邻域U ( x0 , ) 内可导. (1) 若 x ( x 0 , x 0 ) 时 , f ( x ) 0 , y x ( x 0 , x 0 ) 时 , f ( x ) 0 , x0 o x 则 x 0 为极大值点；
定义 设函数 f ( x ) 在 x 0 的某个邻域U ( x 0 , ) 有定义 ,
且当 x U ( x 0 , ) 时,恒有 f ( x ) f ( x 0 ) ,则称 f ( x 0 ) 为 f ( x ) 的一个 极大值 ；如果当 x U ( x 0 , ) 时 , 恒有
( 1,3)
0
极 大 值
3 0
极 小 值
( 3, )
f ( x)
极大值 f ( 1) 10,
极小值 f ( 3) 22.
8
例1 求函数 f ( x) x 3 3 x 2 9 x 5 的极值.
解法二
f ( x ) 3 x 2 6 x 9 3( x 1)( x 3) ,
x
f ( x )
f ( x)
(, 0)
2 3
0
无
高等数学《函数的极值与最大、最小值》
y
o
x0
x
y
o
x0
x
(不是极值点情形)
求极值的步骤: (1) 求驻点及不可导点 (2) 检查 f ( x)在这些点左右的符号,判断
是否为极值点
(3) 求极值
例1 求出函数 f ( x) x3 3x2 9x 5 的极值. 解 f ( x) 3x2 6x 9 3( x 1)(x 3) 令 f ( x) 0， 得驻点 x1 1, x2 3. 列表讨论
当x 2时，f ( x) 0;
M
当x 2时，f ( x) 0.
f (2) 1为f ( x)的极大值.
定理2(第二充分条件)
设 f ( x) 在 x0处具有二阶导数,且 f ( x0 ) 0 , f ( x0 ) 0 ,则 (1) 若 f ( x0 ) 0 ,则 f ( x0 )为 f ( x)的极大值 .
(2) 若 f ( x0 ) 0 ,则 f ( x0 )为 f ( x)的极小值 . (3) 若 f ( x0 ) 0 ,则 f ( x0 )可能是也可能不是
f ( x)的极值 . 此时 f ( x)在点x0处是否取极值, 仍用定理1 判定 .
证
(1)
f
( x0 )
lim
x0
f
( x0
x) x
实际问题求最值应注意:
(1)建立目标函数; (2)求最值; 若目标函数只有唯一驻点，则该点的函数值 即为所求的最大(或最小)值．
例3 某房地产公司有50套公寓要出租，当租金定 为每月180元时，公寓会全部租出去．当租 金每月增加10元时，就有一套公寓租不出去， 而租出去的房子每月需花费20元的整修维护 费．试问房租定为多少可获得最大收入？
f (2) 18 0, 故极小值 f (2) 48.
《极值与最值》课件
THANKS
感谢观看
性方程、积分方程等问题时非常有效。
在日常生活中的应用
要点一
建筑设计
在建筑设计中，极值理论用于优化设计方案。通过找到结 构强度、稳定性等性能指标的极值点，可以设计出既美观 又安全的建筑结构。
要点二
资源分配
在日常生活中，我们经常面临资源分配的问题。极值理论 可以帮助我们找到最优的资源分配方案，使得总体效益达 到最大或损失最小。例如，在旅行计划中，我们可以使用 极值理论找到最短的旅行路线或最低的旅行成本。
《极值与最值》ppt 课件
目录
• 极值与最值的定义 • 极值的性质 • 最值的性质 • 极值与最值的计算方法 • 极值与最值的应用
01
极值与最值的定义
极值的定义
极值是函数在某点附近的小邻域内的最大值或最 01 小值。
极值点是函数的一阶导数为零的点，或者一阶导 02 数不存在的点。
极值点可以是局部最大值或局部最小值，取决于 03 一阶导数的符号变化。
05
极值与最值的应用
在经济领域的应用
金融分析
极值与最值理论在金融领域中用于风险 评估和投资决策。通过对历史数据的分 析，确定资产价格的最大值和最小值， 以及达到这些极值的概率，从而评估投 资风险。
VS
供需分析
在经济学中，极值理论用于分析供需关系 ，确定市场价格的可能波动范围。通过对 需求和供给曲线的极值点进行分析，可以 预测市场价格的最高点和最低点。
判别式法
总结词
通过求解一元二次方程的判别式，确定函数的极值点。
详细描述
对于形式为$f(x) = ax^2 + bx + c$的一元二次函数，通过求解判别式$Delta = b^2 4ac$，可以确定函数的极值点。当$Delta > 0$时，函数有两个实根，此时在两根之间
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• 对应用问题 , 有时可根据实际意义判别求出的 可疑点是否为最大 值点或最小值点 .
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例3. 求函数 上的最大值和最小值 . 解: 显然
3 2
在闭区间
且
1 2
5 2
x0 (2 x 9 x 12 x) , 1 4 3 2 51 2 x 9 x 12 x , 0 x 4 2
x3 不是极值点
o a x1 x2 x3 x4
x5 b
x
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定理 1 (极值第一判别法)
设函数 f ( x) 在 x0 的某邻域内连续 , 且在空心邻域 内有导数, 当x由小到大通过 x0 时, (1) f ( x) “左正右负” ,则 f ( x) 在 x0 取极大值 .
(2) 类似可证 .
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例2. 求函数 解: 1) 求导数
的极值 .
f ( x) 6 x ( x 2 1) 2 ,
f ( x) 6 ( x 2 1)(5 x 2 1)
2) 求驻点 令 f ( x) 0 , 得驻点 x1 1, x2 0 , x3 1 3) 判别
~ 定理3 的条件.
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二、最大值与最小值问题
则其最值只能
在极值点或端点处达到 .
求函数最值的方法: (1) 求 在 内的极值可疑点
(2) 最大值
M max
最小值
f (a) , f (b)
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特别:
•当 在 内只有一个极值可疑点时,
若在此点取极大 (小) 值 , 则也是最大 (小)值 .
2
x0 6 x 18 x 12 6( x 1)( x 2) , 1 4 f ( x) 2 5 0 x 6 ( x 1 )( x 2 ) , 6 x 18 x 12 2 f ( x) x (2 x 2 9 x 12) x1 0 , x2 1, x3 2
在闭区间
由于 ( x) 与 f ( x) 最值点相同 , 因此也可通过 ( x) 求最值点. ( 自己练习 )
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2) 当 n为奇数时,
证: 利用 在
不是极值点 .
点的泰勒公式 , 可得
故结论正确 .
f ( n ) ( x0 ) ( x x0 ) n f ( x) f ( x0 ) f ( x0 )( x x0 ) n! n 当 充分接近 上式左端正负号由右端第一项确定 , o(( 时 x , x ) ) 0
(2) f ( x) “左负右正” ,则 f ( x) 在 x0 取极小值 ;
(自证)
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例1. 求函数
解: 1) 求导数 f ( x) x 2) 求极值可疑点 3) 列表判别
2 3
的极值 .
1 3 x ( x 1) 2 3
2 x 5 5 3 3x
定理2 (极值第二判别法)
二阶导数 , 且 则 则 在点 在点 取极大值 ; 取极小值 .
f ( x) f ( x) f ( x0 ) 证: (1) f ( x0 ) lim lim x x0 x x0 x x0 x x0
由 f ( x0 ) 0 知, 存在 0 , 当0 x x0 时, f ( x) 0 ; 故当 x0 x x0 时， f ( x) 0 , 当x0 x x0 时， x0 x0 x0 由第一判别法知 f ( x) 在 x0 取极大值 .
2; 令 f ( x) 0 , 得 x1 5
令 f ( x) , 得 x2 0
2 5 2 , ) (5
x ( , 0) f ( x) f ( x)
0 0
2) (0 , 5
0 0.33
其极大值为 是极大点，
是极小点， 其极小值为
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因 f (0) 6 0 , 故 为极小值 ;
y
又 f (1) f (1) 0 , 故需用第一判别法判别.
1
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1
x
结束
定理3 (判别法的推广)
数,且 则: 1) 当 n为偶数时,
f
为极值点 , 且
是极小点 ; 是极大点 .
( n)
( x0 ) 0 ,
第三章 第五节 函数的极值与 最大值最小值
一、函数的极值及其求法
二、最大值与最小值问题
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一、函数的极值及其求法
定义: 在其中当 (1) 时,
则称
称
为
的极大点 ,
为函数的极大值 ;
(2)
则称 称
为
的极小点 , 为函数的极小值 .
极大点与极小点统称为极值点 .
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例如 , 例2中
y
f ( x) 24 x (5 x 2 3) , f (1) 0
所以
不是极值点 .
1
1
x
说明: 极值的判别法( 定理1 ~ 定理3 ) 都是充分的.
当这些充分条件不满足时, 不等于极值不存在 . 例如:
f (0) 2 为极大值 , 但不满足定理1
(9) 4 2 12 81 96 0
2 2 5 故函数在 取最小值 0 ; 0 9 x 12 0在 x 1及 2 取最大值 5. x 2x
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例3. 求函数 上的最大值和最小值 . 说明: 令 ( x) f 2 ( x)
结束
例如 (P146例4)
y
f ( x) 2 x 3 9 x 2 12 x 3
为极大点 , 是极大值
2 1
为极小点 ,
注意:
是极小值
o
1 2
x
y
1) 函数的极值是函数的局部性质. 2) 对常见函数, 极值可能出现在导数为 0 或 不存在的点.
x 1 , x4 为极大点 x 2 , x5 为极小点