高等数学考研中有关函数极值和最值问题的求解方法 - 副本
考研数学解题技巧极值法
考研数学解题技巧极值法在考研数学中，解题技巧的掌握是非常重要的。
其中，极值法作为一种常用的解题方法，在求解极值问题时非常有效。
本文将介绍考研数学解题中的极值法，并分享一些关于如何应用极值法解题的技巧。
一、极值法的概念及原理极值法是一种通过找出函数取得极大值或极小值的点来解决问题的方法。
在解决最优化问题时，极值法常常被使用。
其原理是通过求解函数的导数为零的点，即找到函数的极值点，进而确定问题的最优解。
二、应用极值法的基本步骤1. 理解问题并确定目标函数：在应用极值法时，首先需要清楚地理解问题的背景和要求，明确问题的目标函数。
2. 建立方程或函数模型：根据问题的要求，建立相应的方程或函数模型，将问题抽象为数学表达式。
3. 求解导数为零的点：对建立的模型函数，求解其导数为零的点。
这些点即为函数的极值点。
通过求解极值点，可以得出函数在该点取得极大值或极小值。
4. 验证求解结果：将得到的极值点代入原问题，验证结果是否满足问题的要求。
若验证成功，则所得的极值即为问题的最优解。
三、极值法解题的技巧和注意事项1. 辅助方法的灵活使用：在应用极值法时，可以结合其他方法进行辅助。
例如，结合代数方法、几何方法或者计算机辅助方法来解决复杂的数学问题。
2. 掌握求导法则和基本函数的导数：在求解导数为零的点时，需要熟练掌握导数的计算方法，包括求导法则和基本函数的导数表达式。
只有对导数的计算方法熟练掌握，才能快速准确地求解极值点。
3. 理解经典案例和典型题型：在学习极值法解题技巧时，要多加练习和理解经典案例和典型题型。
通过分析和解答这些案例和题目，可以更好地理解和掌握极值法的应用。
4. 注意问题的约束条件：在应用极值法时，要特别注意问题的约束条件。
有时问题的解可能会受到一定的约束条件的限制，必须在这些约束条件下寻找最优解。
四、应用极值法解题举例以下是一个具体的例子，演示了如何应用极值法解题：例题：求解函数y=x^2+2x+1的极值。
函数的极值与最值的求解
函数的极值与最值的求解函数的极值与最值是数学中非常重要的概念，它们在解决实际问题和优化函数方面起着关键作用。
在本文中，我们将探讨函数的极值与最值的求解方法和相关概念。
一、函数的极值与最值在开始详细讨论如何求解函数的极值与最值之前，我们先了解一下函数的极值与最值的定义。
函数的极值分为极大值和极小值。
如果在某个区间上，函数在一个点处的函数值大于其他任意点处的函数值，则称该点为这个区间的极大值点。
同样地，如果在某个区间上，函数在一个点处的函数值小于其他任意点处的函数值，则称该点为这个区间的极小值点。
而函数在整个定义域上的最大值和最小值就是函数的最大值和最小值。
二、求解函数的极值与最值下面，我们将介绍一些经典的方法和定理来求解函数的极值与最值。
1. 导数法导数法是函数求解极值与最值最常用的方法之一。
我们可以通过对函数求导，并将导数为零的解作为潜在的极值点进行分析。
当函数的导数在某个点的左侧变号为正，右侧变号为负时，该点为函数的极大值点；当函数的导数在某个点的左侧变号为负，右侧变号为正时，该点为函数的极小值点。
2. 集合论方法集合论方法是另一种常用的求解函数极值与最值的方法。
通过对函数定义域的划分，可以将函数值的范围进一步限定。
例如，对于定义在闭区间上的函数，我们可以通过计算函数在区间端点处的函数值，再加上函数的极值点，从而得到函数在整个区间上的极值与最值。
3. 极限方法极限法是一种基于函数极限概念的求解函数极值与最值的方法。
通过分别求解函数在定义域的左右极限，可以得到函数在定义域边界处的极值与最值。
4. 辅助线法辅助线法是一种直观、简单的方法。
通过画出函数图像，并对图像进行分析，可以快速确定函数的极值与最值。
在图像上找出函数的极大值和极小值点，然后计算对应的函数值，便可得到函数的极值和最值。
综上所述，函数的极值与最值的求解可以通过导数法、集合论方法、极限方法和辅助线法等进行。
不同的方法在不同的场景中具有不同的优势和适用性。
考研高等数学D5极值与最值
• 对应用问题 , 有时可根据实际意义判别求出的 可疑点是否为最大 值点或最小值点 .
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例3. 求函数 上的最大值和最小值 . 解: 显然
3 2
在闭区间
且
1 2
5 2
x0 (2 x 9 x 12 x) , 1 4 3 2 51 2 x 9 x 12 x , 0 x 4 2
x3 不是极值点
o a x1 x2 x3 x4
x5 b
x
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定理 1 (极值第一判别法)
设函数 f ( x) 在 x0 的某邻域内连续 , 且在空心邻域 内有导数, 当x由小到大通过 x0 时, (1) f ( x) “左正右负” ,则 f ( x) 在 x0 取极大值 .
(2) 类似可证 .
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例2. 求函数 解: 1) 求导数
的极值 .
f ( x) 6 x ( x 2 1) 2 ,
f ( x) 6 ( x 2 1)(5 x 2 1)
2) 求驻点 令 f ( x) 0 , 得驻点 x1 1, x2 0 , x3 1 3) 判别
~ 定理3 的条件.
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二、最大值与最小值问题
则其最值只能
在极值点或端点处达到 .
求函数最值的方法: (1) 求 在 内的极值可疑点
(2) 最大值
M max
最小值
f (a) , f (b)
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函数的极值与最值的求解方法
函数的极值与最值的求解方法函数的极值与最值是数学中的重要概念，它们在各个领域的问题中都有着广泛的应用。
本文将介绍函数的极值与最值的求解方法，帮助读者更好地理解和应用这些概念。
一、函数的极值函数的极值是指函数在定义域内的某个点或某些点上取得的最大值或最小值。
寻找函数的极值可以通过以下步骤进行。
1. 确定函数的定义域首先，我们需要确定函数的定义域，即函数所能取值的范围。
函数的定义域可以通过对函数进行分析、画图或进行其他方法来确定。
2. 求函数的导数求出函数的导数后，我们可以通过导数的性质来确定函数的极值点。
导数为0的点可能是函数的极值点，但并不确定它们是否为极值点，还需要进一步的分析。
3. 确定极值点经过分析导数为0的点，我们可以通过二阶导数的符号判断这些点是否为函数的极值点。
若二阶导数为正，则该点为函数的极小值点；若二阶导数为负，则该点为函数的极大值点。
若二阶导数不存在，则需要通过其他方法进行分析。
二、函数的最值函数的最值是指函数在定义域内的某个点或某些点上取得的最大值或最小值。
寻找函数的最值可以通过以下步骤进行。
1. 确定函数的定义域与寻找函数的极值相同，首先我们需要确定函数的定义域。
2. 分析函数的边界点在定义域的边界上求函数的值，将这些点与极值点进行比较，即可求得函数的最值。
需要注意的是，在闭区间上求最值时，要将区间的两个端点也考虑进去。
3. 比较函数的极值以及边界值对于函数的极值点和边界点所对应的函数值，进行比较，找出其中的最大值和最小值即可得到函数的最值。
三、总结与应用函数的极值和最值的求解方法是数学中重要的内容，对于优化问题、最优化问题等有着广泛的应用。
在实际问题中，可以将函数的极值与最值的求解应用到经济学、物理学、工程学等多个领域中。
需要注意的是，函数的极值与最值可能有多个，所以在求解的过程中需要综合考虑多个情况，并进行分析和比较。
同时，在实际问题中，由于函数形式的多样性，有时可能需要借助数值方法或计算机仿真等手段来求解函数的极值与最值。
函数的极值与最值的求解
函数的极值与最值的求解在数学中，我们经常需要找出一个函数的极值和最值。
极值和最值是指在一个给定的区间内，函数所能达到的最大和最小值。
求解函数的极值和最值是优化问题中的一个重要部分。
本文将详细介绍几种常用的方法来求解函数的极值和最值。
（正文开始）一、函数的极值求解函数的极值指的是在某个区间内，函数的斜率等于零的点。
求解函数的极值可以通过以下步骤进行：1. 求函数的导数首先，我们需要求解函数的导数。
导数可以告诉我们函数在某个点上的斜率。
记函数为f(x)，则其导数可以表示为f'(x)或dy/dx。
2. 求导数的根接下来，我们需要找出导数的根。
导数的根即为函数的极值点，因为在这些点上，函数的斜率等于零。
3. 检验导数的根对于导数的根，我们需要检验它们是否确实对应函数的极值点。
可以通过计算二阶导数来确定。
如果二阶导数大于零，则说明导数的根对应函数的极小值；如果二阶导数小于零，则说明导数的根对应函数的极大值。
二、函数的最值求解函数的最值指的是在一个给定的区间内，函数所能达到的最大和最小值。
求解函数的最值可以通过以下步骤进行：1. 确定求解区间首先，我们需要确定在哪个区间内求解函数的最值。
这需要根据具体的问题来确定。
2. 将求解区间分成若干小区间将求解区间按照一定的步长进行划分，可以得到若干小区间。
步长的选择需要根据函数的变化情况来确定。
3. 在每个小区间内求解对于每个小区间，分别求解函数的极值。
可以使用之前介绍的函数的极值求解方法。
4. 比较每个小区间的最值将每个小区间的最值进行比较，找出最大值和最小值。
这些最值即为函数的最值。
总结：函数的极值和最值的求解是数学中的重要问题。
通过求解函数的导数和二阶导数，我们可以找到函数的极值点和确定其对应的极值类型。
而求解函数的最值则可以通过将求解区间分成若干小区间，并在每个小区间内求解函数的极值来实现。
这些方法可以帮助我们更好地理解和应用函数的极值和最值。
（正文结束）以上是关于函数的极值与最值的求解的文章，希望对您有所帮助。
函数的极值与最值的求解方法
函数的极值与最值的求解方法在数学中，函数的极值与最值是我们经常遇到的问题。
极值是指函数在某一区间内达到的最大值或最小值，而最值则是函数在整个定义域内的最大值或最小值。
正确地求解函数的极值与最值对于解决实际问题和优化算法具有重要意义。
本文将介绍一些常见的函数极值与最值的求解方法。
一、导数法求函数极值导数法是求解函数极值的常用方法之一。
对于一元函数，我们可以通过求取其导数来确定函数的极值点。
具体步骤如下：1. 求取函数的导数。
根据函数的表达式，求取其一阶导数。
对于高阶导数存在的情况，可以继续求取导数直到找到导数不存在的点。
2. 解方程求取导数为零的点。
导数为零的点对应着函数的极值点。
将导数等于零的方程进行求解，找到函数的极值点。
3. 判断极值类型。
在找到导数为零的点后，可以通过二阶导数或借助函数图像来判断该点处的极值类型。
若二阶导数大于零，则为极小值；若二阶导数小于零，则为极大值。
二、边界法求函数最值边界法是求解函数最值的一种有效方法。
当函数在闭区间上连续且有界时，最值一定是在该闭区间的端点处取得的。
具体步骤如下：1. 确定函数定义域的闭区间。
根据函数表达式或实际问题，找到函数定义域所对应的闭区间。
2. 计算函数在端点处的取值。
将函数在闭区间的端点处依次带入函数表达式，计算函数的取值。
3. 比较函数取值找到最值。
对于最大值，选取函数取值最大的端点；对于最小值，选取函数取值最小的端点。
三、拉格朗日乘数法求函数约束条件下的极值当函数需要满足一定的约束条件时，可以使用拉格朗日乘数法来求解函数的极值。
该方法适用于带有约束条件的最优化问题，具体步骤如下：1. 设置拉格朗日函数。
将原函数与约束条件构建为一个拉格朗日函数，其中拉格朗日乘子为未知数。
2. 求取拉格朗日函数的偏导数。
对拉格朗日函数进行偏导数运算，得到一组方程。
3. 解方程求取极值点。
将得到的偏导数方程组求解，找到满足约束条件的极值点。
4. 判断极值类型。
考研数学函数极值题解题思路
考研数学函数极值题解题思路在考研数学中，函数极值题一直都是一个比较常见和重要的题型。
对于函数极值的解题思路，我们可以通过以下几个方面来进行分析和解答。
1. 确定函数的定义域：首先，我们需要确定函数的定义域。
函数的定义域是指在哪些自变量的取值范围内函数是有意义的。
当确定了函数的定义域，我们就可以在这个范围内进行进一步的分析。
2. 求出函数的导数：函数的导数是函数变化率的表示，也是函数极值的重要工具。
通过求导可以得到函数的斜率和变化趋势。
对于一元函数，可以使用求导规则进行求导，对于多元函数，可以使用偏导数进行求导。
3. 解方程求临界点：通过导数求得的函数变化趋势以及极值点，我们可以将导数置为零来求解方程，得到临界点。
这些临界点可能是函数的极值点，也可能是函数的驻点。
通过进一步的分析，我们可以判断这些临界点是否为函数的极值点。
4. 使用二阶导数判断极值点：在确定了临界点后，我们可以使用二阶导数测试来判断这些临界点是否为函数的极值点。
二阶导数的正负性可以告诉我们函数的凹凸性，从而确定函数的局部极值点。
5. 结合边界条件确定全局极值：除了考虑函数的临界点外，我们还需要注意函数在定义域的边界点的取值情况。
对于有界域上的函数，通过对边界点的取值情况进行分析，我们可以确定函数的全局极值。
通过上述的步骤，我们可以总结出一般的解题思路。
当然，在实际的解题过程中，还可能会出现其他的一些情况，需要根据具体的题目特点灵活应对。
下面，我们通过一个例题来具体说明这个解题思路。
例题：已知函数 f(x) = x^3 - 6x^2 + 9x + 1 ，求函数的极值点及极值。
解题过程：1. 确定函数的定义域：由于是一个多项式函数，函数的定义域为一切实数。
2. 求出函数的导数：对函数 f(x) 求导，得到 f'(x) = 3x^2 - 12x + 9 。
3. 解方程求临界点：将导数 f'(x) 置为零，得到 3x^2 - 12x + 9 = 0 。
2023考研数学高数重要知识点：极值与最值的求解方法
2023考研数学高数重要知识点：极值与最值的求解方法2023考研数学高数重要知识点：极值与最值的求解方法在数学中，极值和最值都是非常重要的概念。
简单来说，极值是指一个函数在某一点处的取值最大或最小，而最值则是指整个区间内的取值最大或最小。
在我们的学习和研究中，极值和最值的求解方法是必须要掌握的重要知识点。
今天，我们就来详细探讨一下2023考研数学高数重要知识点：极值与最值的求解方法。
一、极值的求解方法1. 一阶导数法我们可以通过求导数的方法来求解极值。
首先，我们需要计算出函数的一阶导数，然后让其等于零，求出函数的极值点。
接着，我们再利用二阶导数进行判断，确定是极大值还是极小值。
如何判断？设函数f(x) 在(x0,y0) 处取得极值，且在x0处可导，若f‘(x0) > 0，则 f(x) 在x0 处取得极小值；若f‘(x0) < 0，则f(x) 在x0 处取得极大值。
2. 二阶导数法在使用二阶导数法求解极值时，我们需要先求出函数的二阶导数。
然后，我们需要判断二阶导数的符号。
如果二阶导数大于零，则函数在该点处存在极小值；如果二阶导数小于零，则函数在该点处存在极大值。
如何判断？设函数f(x) 在(x0,y0) 处取得极值，且在x0处可导，若f‘‘(x0) > 0，则 f(x) 在x0 处取得极小值；若f‘‘(x0) < 0，则 f(x) 在x0 处取得极大值。
二、最值的求解方法1. 边界法最值的求解方法有很多种，其中比较简单的是边界法。
所谓边界法，是指在左右端点以及函数在区间上的极值点中，寻找最大值和最小值。
2 讨论法讨论法是最值问题中常用的方法。
对于一个函数f(x)，我们可以考虑：① 若有且仅有一极值点，则该点为极大值或极小值；② 若有多个极值点，则在这些极值点中，函数最大值和最小值一定存在其中；③ 若该函数在一定区间内无极值点，则函数最大值和最小值一定在区间的两个端点上。
三、总结以上就是2023考研数学高数重要知识点：极值与最值的求解方法。
高等数学3.5函数的极值与最大值最小值（PDF）
定义 使导数为零的点(即方程 f ( x) 0 的实根)叫 做函数 f ( x) 的驻点.
定理1(必要条件) 设 f ( x) 在 x0 有导数，且在 x0 处
取得极值，则f (x0 ) 0
则 f ( x) 在 x0 取得极大值.
(2) 如果 x ( x0 , x0 ) 有 f ( x) 0 而 x ( x0 , x0 ) 有 f ( x) 0;
则 f ( x) 在 x0 取得 极小值.
y
o
x0
y
(是极值点情形)
xo
x0
x
一、函数极. 值的求法
定理2(第一充分条件)
设f
x
3
x 2, f ( x) 不存在. 但f ( x)在 x 2 连续
当x 2时，f ( x) 0;
M
当x 2时，f ( x) 0.
f (2) 1 是f ( x) 的极大值
一、函数极值的求法
定理1(必要条件) 设 f ( x)在点 x0 处具有导数,且 在 x0处取得极值,那末必定 f '( x0 ) 0.
有 f '( x) 0，则 f ( x)在 x0 处取得极大值. (2)如果 x ( x0 , x0 ),有 f '( x) 0;而 x ( x0 , x0 )
有 f '( x) 0，则 f ( x)在 x0处取得极小值.
(3)如果当 x ( x0 , x0 )及 x ( x0, x0 )时, f '( x)
若目标函数只有唯一驻点，则该点的函数值 为所求的最值
三、应用举例
例2 敌人乘汽车从河的北岸A处以1千米/分钟 的速度向正北逃窜，同时我军摩托车从河的 南岸B处向正东追击，
高等数学考研中有关函数极值和最值问题的求解方法 - 副本
（1）如果 ff′′（（xx））＞＜00%%%%xx＜＞xx00，则x0是f（x）的极大值点； （2）如果 ff′′（（xx））＜＞00%%%%xx＜＞xx00，则x0是f（x）的极小值点； （3）如果在点x0的 邻 域 内 ，f′（x）不 变 号 ，则x0不 是f（x）的 极 值点。 如果函数在某驻点具有二阶导数， 也可用极值的第二充 分条件判断。 求极值的步骤如下： ①求函数f（x）的 定 义 域 ，并 求 导 数f′（x）；②求 驻 点 和 不 可 导 的 点 ；③利 用 定 理1确 定 函 数 的 极 值 点 ；④求 出 各 极 值 点 的 函数值，得到函数的极值。 2.求 最 值 的 方 法 求函数的最值的一般步骤为： ①求函数的导数，求出驻点，并求出不可导的点； ②求出第①步所得各点的函数值和该函数定义域端点处 的函数值； ③比较以上各函数值的大小，最大者为最大值，最小者为 最小值。
得极大值。 选（A）。
2x
例2.（2009年 数2考 研 题 ）函 数y=x 在 区 间 （0，1］上 的 最 小
值为%%% %。
解 ：①先 求 驻 点 。
2x
2xlnx
2x
f′（x）=（x ）′=（e ）′=2x （lnx+1）=0，得驻点x=
1
;
e
2
②求驻点和端点处的函数值。
f（
1
-
）=e e ，f（1）=1;
鄣
2
鄣鄣F′λ=x2+
y 4
-1=0
函数极值与最值问题的解决方法
函数极值与最值问题的解决方法在数学中，函数极值与最值问题一直是学习者们面临的难题。
解决这类问题需要运用一些特定的方法和技巧。
本文将探讨一些常见的解决方法，帮助读者更好地理解和应用。
一、导数法导数法是解决函数极值与最值问题的一种常用方法。
对于给定的函数，我们可以通过求导数来找到其极值点。
具体步骤如下：1. 求出函数的导函数。
2. 解方程f'(x) = 0，找出导函数的零点，即可能的极值点。
3. 利用二阶导数的符号判断这些零点的性质。
若f''(x) > 0，则该点为极小值点；若f''(x) < 0，则该点为极大值点。
4. 将极值点带入原函数，求出函数的极值。
举个例子，考虑函数f(x) = x^3 - 3x^2 + 2x + 1。
首先，求导得到f'(x) = 3x^2 -6x + 2。
然后，解方程f'(x) = 0，得到x = 1和x = 2/3。
接着，计算二阶导数f''(x) =6x - 6，发现f''(1) = 0，f''(2/3) = -2。
因此，x = 1是极小值点，x = 2/3是极大值点。
最后，将这两个点带入原函数，求得f(1) = 2和f(2/3) = 4/27，即函数f(x)在x = 1处取得极小值2，在x = 2/3处取得极大值4/27。
二、区间法区间法是一种直观且易于理解的解决函数极值与最值问题的方法。
它通过观察函数在不同区间的变化趋势来确定极值点的位置。
具体步骤如下：1. 找出函数的定义域。
2. 将定义域分成若干个区间。
3. 在每个区间内，计算函数的值，并找出最大值和最小值。
4. 比较各个区间的最大值和最小值，确定函数的最大值和最小值。
例如，考虑函数f(x) = x^2 - 4x + 3。
首先，求出函数的定义域为(-∞, +∞)。
然后，将定义域分成三个区间：(-∞, 1)，(1, 3)，(3, +∞)。
函数的极值与最值的求解
函数的极值与最值的求解在数学中，函数的极值与最值是常见的概念。
极值指的是函数在某个特定区间内的最大值或最小值，而最值则是函数在整个定义域内的最大值或最小值。
求解函数的极值与最值是数学分析的重要内容之一，本文将介绍函数求解极值与最值的方法和技巧。
一、确定区间要求解函数的极值与最值，首先需要确定函数的定义域或者要求解的区间范围。
根据函数的特点或问题的要求，确定区间是取整个定义域还是某个特定的局部区间。
二、求解极值在确定了求解的区间后，接下来的任务就是求解函数在该区间内的极值。
函数的极值主要分为两种：极大值和极小值。
求解极值的方法一般有以下几种：1. 导数法对于可导函数，极值通常出现在导数为零的点或者导数不存在的点。
因此，可以通过求解函数的导数来确定函数的极值。
具体步骤如下：a. 求解函数的导数；b. 解方程f'(x)=0，求得导数为零的点；c. 判断导数不存在的点是否为极值点。
2. 边界法对于闭区间上的函数，除了导数为零或不存在的点外，还需要考虑区间的边界点。
因此，可以通过求解边界点的函数值来确定函数的极值。
3. 二阶导数法（Hessian矩阵法）对于多元函数，可以通过计算其Hessian矩阵的特征值来确定函数的极值。
当Hessian矩阵的特征值全为正数时，函数取得极小值；当Hessian矩阵的特征值全为负数时，函数取得极大值。
4. Lagrange乘子法（约束条件法）对于多元函数在一定的条件下求取最值，可以使用Lagrange乘子法。
该方法通过引入等式约束条件，将求解极值的问题转化为求解方程组的问题。
三、求解最值对于求解函数在整个定义域内的最值，可以采用以下方法：1. 导数法求解函数的导数，找出导数的零点，再将这些零点与定义域的边界点比较，从中选取最大值或最小值。
2. 二阶导数法对于多元函数，可以通过计算其Hessian矩阵的特征值来确定函数的最值。
当Hessian矩阵的特征值全为正数时，函数取得最小值；当Hessian矩阵的特征值全为负数时，函数取得最大值。
高数极值与最值
(1)求出导数f (x)
(2)求出f(x)的全部驻点和不可导点
(3)考察在每个驻点和不可导点的左右邻近f (x)的符号
(4)确定出函数的所有极值点和极值
例1. 求函数
的极值 .
解: 1) 求导数
f
( x)
2
x3
(x
1)
2 3
x
1 3
5 3
x
2 5
观察者的眼睛1.8 m , 问观察者在距墙多远处看图才最
清楚(视角 最大) ?
1.4
解: 设观察者与墙的距离为 x m , 则
1.8
arctan1.4 1.8 arctan1.8,
x x (0, )
x
x
3.2 x2 3.22
x2
1.8 1.82
(
x
1.4(x2 5.76) 2 3.22 )(x2 1.82
x1 x2 x3 x4 x5
定理2(第一充分条件)
设函数f(x)在x0处连续 且在(x0-δ x0)(x0 x0+δ)内可导 (1)如果在(x0-δ x0)内f (x)0 在(x0 x0+δ)内f (x)0 那么 函数f(x)在x0处取得极大值 (2)如果在(x0-δ x0)内f (x)0 在(x0 x0+δ)内f (x)0 那么 函数f(x)在x0处取得极小值 (3)如果在(x0-δ x0)及(x0 x0+δ)内 f (x)的符号相同 那么 函数f(x)在x0处没有极值
问力F 与水平面夹角
为多少时才可使力F 的大小最小?
解: 克服摩擦的水平分力
函数的极值与最值求解的方法和步骤
函数的极值与最值求解的方法和步骤在数学中，函数的极值与最值是研究函数性质的重要内容之一。
通过求解函数的极值与最值，我们可以找到函数的最高点和最低点，从而更好地理解函数的特性。
本文将介绍一些常见的方法和步骤，帮助读者更好地理解和应用这一概念。
一、函数的极值与最值的定义在开始讨论求解方法之前，我们首先需要明确函数的极值与最值的概念。
对于定义在某个区间上的函数f(x)，如果存在一个点c，使得在c的邻域内，对于任意的x都有f(x)≤f(c) 或f(x)≥f(c)，那么我们称c为函数f(x)的极值点。
如果函数在整个定义域上的极值点中有一个最大值或最小值，那么我们称之为函数的最值。
二、求解函数极值与最值的方法1. 导数法导数法是求解函数极值与最值的常用方法之一。
通过求解函数的导数，我们可以找到函数的极值点。
具体步骤如下：（1）求出函数f(x)的导函数f'(x)；（2）解方程f'(x)=0，求得函数的驻点；（3）通过二阶导数判别法，判断驻点是极大值点还是极小值点；（4）将驻点代入原函数f(x)，求得函数的极值。
2. 区间法区间法是一种直观且易于理解的方法。
通过将函数在给定区间内的所有值进行比较，我们可以找到函数的最大值和最小值。
具体步骤如下：（1）确定函数f(x)的定义域；（2）将定义域分成若干个子区间；（3）在每个子区间内求出函数的值，并进行比较；（4）找出子区间中的最大值和最小值，即为函数的最值。
3. Lagrange乘数法Lagrange乘数法是一种用于求解约束条件下的极值问题的方法。
当我们需要求解函数在一定条件下的最值时，Lagrange乘数法可以帮助我们进行求解。
具体步骤如下：（1）建立拉格朗日函数L(x,y,...,λ)=f(x,y,...)-λg(x,y,...)，其中f(x,y,...)为目标函数，g(x,y,...)为约束条件；（2）对拉格朗日函数求偏导数，得到一组方程；（3）求解方程组，得到函数的驻点；（4）通过二阶导数判别法，判断驻点是极大值点还是极小值点；（5）将驻点代入原函数f(x,y,...)，求得函数的极值。
函数的极值与最值的求解方法
函数的极值与最值的求解方法函数的极值和最值是数学中一个重要的概念，它们在各个领域的应用中都具有重要的作用。
在本文中，我们将介绍一些常见的函数极值和最值的求解方法，帮助读者更好地理解和应用这一知识。
一、极值的定义和求解方法极值是函数在某一区间内的最大值或最小值。
对于一个单变量函数，要求其极值，可以通过以下步骤进行：1. 求导：首先，我们需要求出函数的导数。
导数就是函数在某一点上的斜率，它可以告诉我们函数的变化趋势。
通过求导，我们可以找到函数的驻点，也就是导数为零的点。
2. 驻点分析：找到导数为零的点后，我们需要对这些点进行分析。
根据驻点的情况，可以得到以下几种可能性：a. 极大值：如果驻点的二阶导数为负，那么这个点就是函数的极大值点。
b. 极小值：如果驻点的二阶导数为正，那么这个点就是函数的极小值点。
c. 无法判断：如果驻点的二阶导数为零或不存在，那么可能是函数的拐点，此时无法确定其极值。
通过上述步骤，我们可以求得函数在给定区间内的极值点和极值值。
二、最值的定义和求解方法最值是函数在整个定义域上的最大值或最小值。
对于一个单变量函数，要求其最值，可以通过以下步骤进行：1. 确定定义域：首先，我们需要确定函数的定义域，也就是函数在哪些区间上有意义。
2. 端点分析：在定义域的首尾，通常会有一些特殊点，如开区间的端点或无穷大。
我们需要对这些点进行分析，看是否有可能成为最值点。
3. 内部分析：在定义域的内部，我们可以借助极值的求解方法来找到函数的最值点。
通过上述步骤，我们可以求得函数的最值点和最值值。
三、扩展部分：多变量函数的极值与最值除了单变量函数外，我们还经常遇到多变量函数的极值和最值的求解问题。
对于一个多变量函数，要求其极值和最值，可以通过以下步骤进行：1. 求偏导数：首先，我们需要对函数进行偏导数的计算。
偏导数是指在求导时将其他变量视为常数，只对某一个变量进行求导。
2. 驻点分析：找到偏导数为零的点，即驻点。
函数的极值与最值的求解方法
函数的极值与最值的求解方法函数的极值与最值是数学中常见的概念，它们在解决实际问题和优化计算等方面起着重要的作用。
本文将介绍函数的极值与最值的求解方法。
一、函数的极值函数的极值包括极大值和极小值。
要求函数的极值，首先需要找到函数的驻点，即导数为零或不存在的点。
然后，通过判断驻点的二阶导数来确定驻点是极大值还是极小值。
1. 寻找驻点对于给定的函数f(x)，我们首先需要求导数f'(x)，然后找到导数为零或不存在的点。
这些点就是函数的驻点。
2. 判断驻点的性质驻点的性质可以通过二阶导数f''(x)来判断。
若f''(x)>0，则该驻点为极小值；若f''(x)<0，则该驻点为极大值；若f''(x)=0，则无法判断。
二、函数的最值函数的最值包括最大值和最小值。
要求函数的最值，可以通过以下方法进行求解。
1. 首先，找到函数的定义域。
在定义域内，求出函数的一阶导数f'(x)。
2. 确定导数的零点和边界点。
将导数f'(x)置为零，求解方程f'(x)=0，得到导数的零点。
同时，找到定义域的边界点。
3. 将零点和边界点代入原函数f(x)。
计算这些点对应的函数值，比较大小，即可得到函数的最值。
三、实例分析下面通过一个实例来说明函数的极值与最值的求解方法。
例：求函数f(x)=x^3-3x的极值与最值。
1. 寻找驻点求导得到f'(x)=3x^2-3。
令f'(x)=0，解得x=±1。
所以驻点为x=-1和x=1。
2. 判断驻点的性质求二阶导数f''(x)=6x。
将驻点代入得到f''(-1)=-6<0和f''(1)=6>0。
所以驻点x=-1为极大值点，驻点x=1为极小值点。
3. 求最值由于函数定义域为全体实数，不存在边界点。
代入驻点和边界点得到f(-1)=2和f(1)=-2。
极值与最值的求解方法
极值与最值的求解方法极值和最值是数学中一种重要的求解方法，用于寻找函数在特定区间上的最大值和最小值。
在实际问题中，我们常常需要找到某一函数的最优解，从而得到最优的方案或结果。
本文将介绍极值和最值的概念，以及常见的求解方法。
一、极值与最值的概念极值是指函数在某一点或某一区间内取得的最大值或最小值。
根据函数在极值点的导数性质，可以将极值分为两类：局部极值和全局极值。
1. 局部极值：局部极值是指函数在某一点附近取得的最大值或最小值。
在数学上，局部极值点的判断依据是函数在该点的导数为零或不存在。
如果导数为零，该点可能是极大值点、极小值点或拐点。
如果导数不存在，该点可能是间断点。
2. 全局极值：全局极值是指函数在整个定义域内取得的最大值或最小值。
全局极值点的判断需要考虑函数在定义域端点处的取值情况，并比较区间内各个局部极值点的函数值。
二、求解极值与最值的方法在求解极值与最值的过程中，我们常用的方法有以下几种：极值定理法、导数法、区间划分法和图像法。
1. 极值定理法：极值定理是数学中的一个重要定理，用于判断函数的极值点。
根据这个定理，如果函数在某一区间上连续，并且在区间的内部有导数，则函数在该区间内必定存在极值点。
通过对函数进行区间划分并计算函数值，可以找到局部极大值点和极小值点。
2. 导数法：导数是函数在某一点的变化率，通过计算函数的导数可以判断函数在极值点的增减性。
当函数在某一点导数为零或导数存在突变时，该点有可能是局部极值点。
通过求解函数导数为零的方程，可以得到可能的极值点，进而通过对函数值的比较得出最终的极值。
3. 区间划分法：区间划分法适用于函数在闭区间上求解最大值和最小值的情况。
通过将区间分为若干个子区间，并计算函数在每个子区间的值，然后比较这些值，即可找到全局最值所对应的点。
4. 图像法：图像法是通过绘制函数的图像来观察函数在特定区间上的变化趋势，从而估计函数的极值位置。
通过观察函数图像的特点，可以找到局部极大值点和极小值点的位置。
函数的极值与最值的求解
函数的极值与最值的求解在数学中，我们经常需要求解函数的极值和最值。
函数的极值指的是函数在某个定义域内取得的最大值或最小值，最值则是函数在整个定义域内的最大值或最小值。
本文将介绍如何求解函数的极值和最值的方法。
一、函数的极值求解方法1. 导数法导数法是求解函数极值的一种常用方法。
根据函数的极值定义，极值点处函数的导数为零或不存在。
因此，我们可以通过以下步骤求解函数的极值：1）求函数的导数；2）令导数等于零，解方程得到极值点的横坐标；3）将极值点的横坐标代入原函数，求得纵坐标。
例如，对于函数f(x) = x^2 - 2x + 1，我们可以进行如下计算：1）求导：f'(x) = 2x - 2；2）令导数等于零：2x - 2 = 0，解得x = 1；3）将x = 1代入原函数：f(1) = 1^2 - 2(1) + 1 = 0，得到极小值0。
2. 二阶导数法在某些情况下，使用二阶导数可以更方便地求解函数的极值。
根据函数的极值定义，当函数的一阶导数为零且二阶导数大于零时，函数取得极小值；当一阶导数为零且二阶导数小于零时，函数取得极大值。
例如，对于函数f(x) = x^3 - 6x^2 + 9x + 2，我们可以进行如下计算：1）求导：f'(x) = 3x^2 - 12x + 9；2）求二阶导数：f''(x) = 6x - 12；3）令一阶导数等于零，解方程得到极值点的横坐标：3x^2 - 12x +9 = 0，解得x = 1；4）将x = 1代入二阶导数：f''(1) = 6 - 12 = -6，表明函数在x = 1处取得极大值。
二、函数的最值求解方法函数的最值即为整个定义域内的最大值或最小值。
求解函数最值的方法有以下几种：1. 导数法和求解极值类似，我们可以通过求解函数在定义域内的导数来找到函数的最值。
例如，对于函数f(x) = -x^2 + 4x - 3，我们可以进行如下计算：1）求导：f'(x) = -2x + 4；2）令导数等于零，解方程得到最值点的横坐标：-2x + 4 = 0，解得x = 2；3）将x = 2代入原函数：f(2) = -(2^2) + 4(2) - 3 = 1，得到函数的最大值1。
解函数的最值与极值问题
解函数的最值与极值问题函数的最值与极值问题是数学中的常见问题，通过求解函数的最大值、最小值以及函数的极值点，可以帮助我们研究函数的性质和应用。
在本文中，我将介绍一些常见的方法和技巧，以解决函数的最值与极值问题。
一、最值问题的概念函数的最值问题是指在给定的定义域范围内，寻找函数的最大值和最小值的过程。
最大值是函数在定义域范围内取得的最大值，最小值则是函数在定义域范围内取得的最小值。
这些最值点可以通过找到函数的驻点（即导数等于零的点）和端点来确定。
二、最值问题的解法1. 使用导数法求解最值问题导数法是最常见也最基本的方法，通过求解函数的导数来确定函数的极值点和最值。
首先，计算函数的导数，然后将导数等于零求解，得到的解即为函数的驻点。
接着，将这些驻点代入原函数，求出对应的函数值，最大值和最小值即是其中的一个。
2. 使用二次函数的顶点公式求解最值问题当函数是二次函数时，可以使用顶点公式来求解最值问题。
二次函数的图像是一个开口朝上或朝下的抛物线，最值点即为函数的顶点。
顶点的横坐标是函数的最值点，将这个横坐标代入原函数，求出对应的纵坐标即为函数的最大值或最小值。
3. 使用辅助线段求解最值问题辅助线段法是一种简单有效的方法，特别适用于定义域为闭区间的函数。
通过构造一个辅助线段，将函数的定义域划分为若干个小区间。
然后，在每个小区间内比较函数的值，找到最大值和最小值。
4. 使用函数性质求解最值问题有时候，在函数的性质中可以找到求解最值问题的思路。
比如，对于周期函数，可以通过观察周期内的变化情况，确定函数的最大值和最小值。
当函数具有对称性或者特殊的增减性质时，也可以通过这些特点来求解最值问题。
三、极值问题的概念函数的极值是指函数在某一点上的最大值或最小值。
极大值是函数在该点的函数值大于它周围的函数值，而极小值则是函数在该点的函数值小于它周围的函数值。
四、极值问题的解法1. 使用导数法求解极值问题与最值问题类似，使用导数法也可以求解函数的极值问题。
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种方法，下面具体地来看看这种方法。
若f（x1，x2，…，xn）及Gk（x1，x2，…，xn）=0（k=1，2，…，m. m＜n） 有 连 续 偏 导 数 ，且Jacobi矩 阵 鄣（G1，G2，…，Gm） 的 秩 为m，则 可
鄣（x1，x2，… ，xn） 用拉格朗日乘数法求极值。
得极大值。 选（A）。
2x
例2.（2009年 数2考 研 题 ）函 数y=x 在 区 间 （0，1］上 的 最 小
值为%%% %。
解 ：①先 求 驻 点 。
2x
2xlnx
2x
f′（x）=（x ）′=（e ）′=2x （lnx+1）=0，得驻点x=
1
;
e
2
②求驻点和端点处的函数值。
f（
1
-
）=e e ，f（1）=1;
参考文献： ［1］陈 龙 ，刘 秋 良.中 职 学 校 体 育 与 健 康 课 程 现 状 调 查 及 模 块 化 教 学 培 养 体 系 构 想 的 研 究 .新 闻 天 地 ，2009，63. ［2］刘秋良，曹万江，曹云 ，陈龙 ，黄小江.湘南郴州中职学 校学生身体素质现状调查分析及对第的研究.中国科技教育， 2009，7. ［3］刘秋良，曹万江，黄小江 ，陈海波 ，曹云.湘南郴州中职 学校体育与健康课程模块化实践问题的理论探讨与研究.考 试 周 刊 ，2009，37.
2
2
|x +
y
≤1}上 的 最 大 值 和 最 小 值 。
4
分析：f（x，y）在椭圆域上的最大值和最小值， 可能在区域
的内部达到，也可能在区域的边界上达到。 因此①求驻点及其
函 数 值 ；②求 边 界 上 的 极 值 。
f″f′解 ：求 函 数 的 驻 点 。
解方程组
f′x（x，y f′y（x，y
）=2x=0 ）=2y=0
关键词： 高数 考研 函数极值最值
函数的极值和最值是函数的重要性质， 在实际中有着重 要的应用，许多实际问题最终都归结为函数极值或最值问题， 并且研究生《高等数学考试大纲》也对求函数的极值和最值这 部分要求比较高。 所以从2001年到2009年的研究生高等数学 入学考试试卷中几乎都出现了这部分的试题。 2001年到2009 年考题中函数最值和极值的题型主要有一元函数的极值最 值、二元函数的极值最值、条件极值问题，以及函数的极值最 值的应用题。 笔者在此以考研函数的极值和最值问题为例，详 细论述了解决这类问题的方法。
值f（0，±2）=-2。
2
可 见 z=f（x，y） 在
区
2
域D={（x，y）|x +
y
≤1} 内 的 最 大 值 为 3，
4
最 小 值 为 -2。
2
2
2
方法3：代入法。 即y =4-4x 代入f（x，y）中得f（x，y）=5x -2，
转化为一元函数求极值（略）。
三、条件极值问题
条件极值问 题 ：在Gk（x1，x2，… ，xn）=0（k=1，2，… ，m. m＜n） 的 条 件 下 ，求 函 数 f（x1，x2，… ，xn）的 极 值 。
（3）若 H（p0）为 不 定 的 ，则 f在 p0无 极 值 。
定理3（二元函数 极 值 充 分 条 件 ）：设 函 数z=f（x，y）在 （x0，y
0）点 具 有 直 到 二 阶 的 连 续 偏 导 数 ，且 （x0，y0）点 是 函 数 的 稳 定
点 ， 令 A=f″xx（x0，y0），B=f″xy（x0，y0），C=f″yy（x0，y0）。
11
○ 教改研究 2009年第48期
周刊
论三维目标引领高职教学改革
肖武
（随州职业技术学院，湖北 随州 441300）
摘 要： 现代课程理论和改革的基本理念是：能力发展是核 心，知识、文化积累是基础，情感态度养成是灵魂。 三者相互依存， 相互促进，高职的教学改革必须紧紧围绕这三个维度来进行。
○ 题型研究 2009年第48期
周刊
高等数学考研中有关函数极值和最值问题的求解方法
梁存利
（西藏民族学院 教育学院，陕西 咸阳 712082）
摘 要： 最近几年考研高等数学试题中所出现的求函数 极值和最值问题主要有一元函数的极值和最值、 二元函数的 极值和最值、条件极值和最值，以及函数最值的在实际中的应 用。 本文以考研高等数学试题为例探讨了函数的极值和最值 问题的主要的求解方法。
②《中职学校学生岗前体能量化及等级标准》中的旨在 彰显可提升对未来岗位适应能力的专项身体素质的测试评 分标准各校可自行确定， 但评定原则上以该测试班级前十 名为优秀级，后十名为及格级，其余中间人员均为良好级。 或参照郴州市中职学校《体育与健康》模块式教材中岗前专 项身体素质章节测试内容、量化标准进行，但该项最高分为 10分 。
本文系湖南郴州市“十一五”科研课题。
例1.（1988年 考 研 题 ）设y=f（x）是 方 程y″-2y′+4y=0的 一 个
解，且f（x0）＞0，f′（x0）=0，则函数f（x）在x0点处（% %）。
A.取 得 极 大 值 %
%%%%%B.取 得 极 小 值
C.某邻域内单调递增% %D.某邻域内单调减少
附注说明： ①体育与健康课中的旨在彰显体育集体配合项目的测试 评分标准各校自行确定，原则上以完成集体配合的质量，完成 的 顺 利 程 度 评 分 ，该 项 最 高 得 分 不 超 过 10分 。 10
（1）如果 ff′′（（xx））＞＜00%%%%xx＜＞xx00，则x0是f（x）的极大值点； （2）如果 ff′′（（xx））＜＞00%%%%xx＜＞xx00，则x0是f（x）的极小值点； （3）如果在点x0的 邻 域 内 ，f′（x）不 变 号 ，则x0不 是f（x）的 极 值点。 如果函数在某驻点具有二阶导数， 也可用极值的第二充 分条件判断。 求极值的步骤如下： ①求函数f（x）的 定 义 域 ，并 求 导 数f′（x）；②求 驻 点 和 不 可 导 的 点 ；③利 用 定 理1确 定 函 数 的 极 值 点 ；④求 出 各 极 值 点 的 函数值，得到函数的极值。 2.求 最 值 的 方 法 求函数的最值的一般步骤为： ①求函数的导数，求出驻点，并求出不可导的点； ②求出第①步所得各点的函数值和该函数定义域端点处 的函数值； ③比较以上各函数值的大小，最大者为最大值，最小者为 最小值。
e
2
③比较上述函数值的大小。
f（
1
-
）=e
e
＜1。
所以函数的最
e
2
小 值 为 ：f（
1
-
）=e
e
。
e
二、求多元函数的极值和最值
1.求 多 元 函 数 的 极 值 的 方 法
定 理 2：设 函 数 z=（x1，x2，… ，xn）在 p0 点 具 有 直 到 二 阶 的 连
续 偏 导 数 ， 且 p0点 是 函 数 的 稳 定 点 ， 函 数 在 p0 点 的 Hessian 矩
方法2：三角换元法。 令x=cost，y=2sint，则：
2
2
f（x，y）=cos t-4sin t+2=
5
cos2t+
1
，所以：
2
2
当 t=kπ 时 ， 即 x=±1，y=0 时 ，f （x，y） 在 边 界 上 取 得 极 大 值 f （±
1，0）=3。
当t=kπ+ π 时 ，即x=0，y=±2时 ，f（x，y）在 边 界 上 取 得 极 小 2
分析：从表面看此题是微分方程的问题，如果从微分方程
入 手 ，那 就 步 入 误 区 。 从 结 论 看 是 极 值 问 题 。 因 为 y″-2y′+4y=0，
所以f″（x0）-2f′（x0）+4f（x0）=0，且f′（x0）=0，f（x0）＞0，那 么f″（x0）=
2f′（x0）-4f（x0 ）=-4f （x0 ）＜0 由 极 值 第 二 充 分 条 件 可 知 f （x） 在 x0 取
阵为：
f″x1x1%%f″x1x2%%…%%f″x1xn
H（p0）= …%% …%% …%% … ， f″xnx1%%f″xnx2%%…%%f″xnxn
（1）若 H（p0）为 正 定 的 ，则 f在 p0取 得 极 小 值 ；
（2）若 H（p0）为 负 定 的 ，则 f在 p0取 得 极 大 值 ；
2
，得 唯 一 驻 点 （0，
f′y（x，y）=2x y+lny+1=0
1 e
）。
2
由于（下面利用定理3判断）A=f″xx（x，y）=2（2+y ），B=f″xy（x，y）=
2
4xy，C=f″yy=2x +
1 y
，于是：
2
（AC-B ）| 1 （0， e
2
2
=［2（2+y ）（2x +
）
1 y
22
）-16x y ］|
，
得
驻
点
（0，0），且f（0，0）=2。
求函数在边界上的极值（有下面的三种方法）。
方法1：条件极值法。 令拉格朗日函数为：
2
2
F（x，y，λ）=f（x，y）+λ（x +
y
-1），
4
鄣鄣F′x=
鄣f 鄣x
+2λx=2（1+λ）x=0
解
鄣 ：鄣F′y=
鄣f 鄣y
+
λy 2
=-2y+
1 2
λy=0得可能极值点x=0，y=2，λ=4；
（0，
1 e
=2e（2+ 1
）
2
e