九年级数学上册4.7相似三角形的性质第2课时相似三角形的周长和面积之比作业课件新版北师大版
北师大版九年级上册数学 4.7 第2课时 相似三角形的周长和面积之比 学案
第2课时 相似三角形的周长和面积之比学习目标：1． 理解并初步掌握相似三角形周长的比等于相似比，面积的比等于相似比的平方．2． 能用三角形的性质解决简单的问题．重点：相似三角形的性质与运用．难点：相似三角形性质的灵活运用，及对“相似三角形面积的比等于相似比的平方”性质的理解，特别是对它的反向应用的理解，即对“由面积比求相似比”的理解．【预习案】1．复习提问：已知： ∆ABC ∽∆A’B’C’，根据相似的定义，我们有哪些结论？（从对应边上看； 从对应角上看：）问：两个三角形相似，除了对应边成比例、对应角相等之外，我们还可以得到哪些结论？【探究案】（1）如果两个三角形相似，它们的周长之间有什么关系？（2）如果两个三角形相似，它们的面积之间有什么关系？推导见教材P109．结论：相似三角形的性质：性质1 相似三角形周长的比等于相似比．即：如果 △ABC ∽△A ′B ′C ′，且相似比为k ，那么 k A C C B B A CA BC AB =''+''+''++． 性质2 相似三角形面积的比等于相似比的平方．即：如果 △ABC ∽△A ′B ′C ′，且相似比为k ，那么 22)(k B A AB S S C B A ABC =''='''∆∆． 四、例题讲解例 1（补充） 已知：如图：△ABC ∽△A ′B ′C ′，它们的周长分别是 60 cm 和72 cm ，且AB ＝15 cm ，B ′C ′＝24 cm ，求BC 、AB 、A ′B ′、A ′C ′的长．【训练案】（1）如果两个相似三角形对应边的比为3∶5 ，那么它们的相似比为________，周长的比为_____，面积的比为_____．（2）如果两个相似三角形面积的比为3∶5 ，那么它们的相似比为________，周长的比为________．（3）连结三角形两边中点的线段把三角形截成的一个小三角形与原三角形的周长比等于______，面积比等于_______．（4）两个相似三角形对应的中线长分别是6 cm和18 cm，若较大三角形的周长是42 cm ，面积是12 cm 2，则较小三角形的周长为________cm，面积为_______cm2．3．如图,在正方形网格上有△A1B1C1和△A2B2C2，这两个三角形相似吗？如果相似，求出△A1B1C1和△A2B2C2的面积比．(第3题)。
北师大版九年级数学上册课件 4-7-2 相似三角形中的周长和面积之比
∠BAC=∠EDF。
（1）中线AG与DH的比是多少？
（2）△ABC与△DEF的面积比是多少？
A
B
D
G
C
E
H
F
A
解：(1)∵AB＝2DE，
AC＝2DF，∠BAC＝∠EDF.
∴△ABC∽△DEF，相似比为2 : 1， B
G
∴中线AG与DH的比是2 : 1；
D
△
2
4
∵S△AEF＝S△ABD－S四边形BDFE＝S△ABD－6，
△ − 6 1
∴
＝ .
4
△
∴S△ABD＝8，即△ABD的面积为8.
B
A
E
D
F
C
6. △ABC 中，DE∥BC，EF∥AB，已知△ADE 和
△EFC 的面积分别为 4 和 9，求△ABC 的面积.
解：∵ DE∥BC，EF∥AB，
连接EF.若四边形BDFE的面积为6，求△ABD的面积．
A
E
B
D
F
C
解：∵CF平分∠ACB，DC＝AC，
∴CF是△ACD的中线，即F是AD的中点．
1
∵点E是AB的中点，∴EF∥BD，且 ＝ ，
2
∴∠B＝∠AEF，∠ADB＝∠AFE，
∴△AEF∽△ABD.
△
1 2 1
∴
＝( ) ＝ .
∴△ADE ∽△ABC，
∠ADE =∠EFC，∠A =∠CEF，
∴△ADE ∽△EFC.
又∵S△ADE : S△EFC = 4 : 9，
A
D
B
F
E
C
∴ AE : EC=2 : 3，则 AE : AC =2 : 5，
贵州专用2017秋九年级数学上册4.7第2课时相似三角形的周长和面积之比课件
又∵△ABC与△EBD的周长之差为 10cm，∴p1－p2＝10，
p1 5 ∴ ，解得p1＝25，p2＝15， p1 10 3
p2
3
∴△ABC的周长为25cm.
二 相似三角形的面积比等于相似比的平方
合作探究
问题：图中(1)(2)(3)分别是边长为1，2，3的等边三角形， 回答以下问题： （1） （2） （3） 1 2
3
1∶ 2 (1)与(2)的相似比= ______, 有什么规律吗？ (1)与(2)的面积比=______ 1∶ 4 结论： 相似三角形的面积比 1∶ 3 (1)与(3)的相似比=______, 相似比的平方 等于__________ ． 1∶ 9 (1)与(3)的面积比=______
AE AD 3 求四边形BCDE的面积. AC AB 5
AE AD 3 , 解：∵∠BAD=∠DAE，且 AC AB 5 ∴△ABC ∽△ADE .
A
E
∴它们的相似比为5：3， 面积比为25：9. 又∵△ABC的面积为100 cm2 ， B
D
C
∴△ADE的面积为36 cm2 .
∴四边形BCDE的面积为100-36=64（cm2） .
C′
归纳总结
相似三角形的面积比等于相似比的平方.
练一练
1.已知ΔABC与ΔA′B′C′的相似比为2：3，则对 应边上中线之比 2:3 ，面积之比为 4:9 2. 如果两个相似三角形的面积之比为1:9， 1:3 周长的比为______ . .
典例精析
例2：将△ABC沿BC方向平移得到△DEF，△ABC与△DEF重 叠部分的面积是△ABC的面积的一半.已知BC=2，求△ABC平 移的距离. 解：根据题意，可知EG∥AB. ∴∠GEC=∠B,∠EGC=∠A.
北师大版数学九年级上册4.7《相似三角形的性质》第二课时优秀教学案例
4.总结归纳与知识应用：在总结归纳环节，让学生回顾学习内容，总结相似三角形的性质和判定方法，形成系统的知识体系。同时，强调相似三角形性质在几何证明和实际问题解决中的应用，提高学生的知识应用能力。
五、案例亮点
1.生活情境的引入：通过引入实际问题和生活情境，激发学生的学习兴趣和积极性。例如，计算建筑物面积或解决角度问题等，使学生感受到相似三角形性质在实际生活中的应用，提高学习的贴切性和实际意义。
2.问题导向与学生主动探究：以问题为导向，引导学生主动探究和发现相似三角形的性质。提出引导性问题激发学生思考，通过观察、操作和归纳等方法，发现和总结相似三角形的性质，培养学生的问题解决能力和科学探究精神。
二、教学目标
（一）知识与技能
1.学生能够理解相似三角形的性质，包括对应边成比例、对应角相等。
2.学生能够运用相似三角形的性质解决实际问题，如计算面积、解决角度问题等。
3.学生能够熟练运用相似三角形的判定方法，判断两个三角形是否相似。
4.学生能够掌握相似三角形的性质在几何证明中的应用，提高证明能力。
（二）过程与方法
5.作业小结与反馈指导：布置有关相似三角形性质的练习题，巩固所学知识。要求学生在作业中运用相似三角形的性质解决实际问题，培养学生的应用能力。在批改作业过程中，及时给予反馈和指导，帮助学生纠正错误和提高解题能力。
情境的方式，让学生思考和讨论实际问题。例如，展示一张图片，图片中有一个矩形和一个相似的平行四边形，让学生计算它们的面积。通过这个问题，引导学生思考相似形的性质，从而引出本节课的主题——相似三角形的性质。
精品-2018年秋九年级数学上册第四章图形的相似4.7相似三角形的性质第2课时相似三角形中周长和面积之比备课
第四章 图形的相似7相似三角形的性质第2课时 相似三角形中的周长和面积之比素材一新课导入设计情景导入 置疑导入 归纳导入 复习导入 类比导入 悬念激趣情景导入 如图4－7－29，在比例尺为1∶500的地图上，测得一个三角形地块的周长为12 cm ，面积为6 cm 2，求这个地块的实际周长及面积．图4－7－29问题1 在这个情境中，地图上的三角形地块与实际地块是什么关系？1∶500表示什么含义？问题2 要解决这个问题，需要什么知识？问题3 你能对这个地块的实际周长与面积作出估计吗？ 问题4 如何说明你的猜想是否正确呢？ [说明与建议] 说明：学生们在一个开放的环境中思考生活中遇到的实际问题，亲身经历和感受数学知识来源于生活中的过程．建议：小组交流、总结，学生可能会得到周长之比等于比例尺，面积之比等于比例尺的平方的猜想，通过小组合作，初步验证猜想，引出新知．复习导入 复习比例线段的性质(基本性质、合比性质、等比性质)：①如果a b ＝43，那么a ＋b b ＝__73__，a －b b ＝__13__；②如果a b ＝c d ＝e f ＝57，那么a ＋c ＋e b ＋d ＋f ＝__57__；③在四边形ABCD 和四边形EFGH 中，已知AB EF ＝BC FG ＝CD GH ＝DA HE ＝23，四边形ABCD 的周长是60cm ，求四边形EFGH 的周长．[说明与建议] 说明：通过复习比例的性质，尤其是等比性质，让学生感受多边形的周长比与相似比的关系．引导学生思考问题，自然地过渡到新课的学习上来．建议：重点是让学生动手、动脑，探究相似形周长之比与相似比之间的关系．悬念激趣 某城区施工队在道路拓宽施工时遇到这样一个问题：马路旁边原有一个面积为100平方米、周长为80米的三角形绿化地，由于马路拓宽，绿化地被削去了一个角，变成了一个梯形，如图4－7－30，原绿化地一边AB 的长由原来的20米缩短成12米．则被削去的部分面积有多大？它的周长是多少？图4－7－30[说明与建议] 说明：联系生活实际，提出问题，引发学生探究的积极性，设置悬念，从而激发学生的求知欲．通过思考，让学生带着问题学习新课，同时教师引出新课．建议：在学生操作时，教师要引导学生进行思考、分析，为进一步学习积累数学活动经验．素材二教材母题挖掘110页例2如图4－7－31，将△ABC沿BC方向平移得到△DEF，△ABC与△DEF重叠部分(图中阴影部分)的面积是△ABC的面积的一半．已知BC＝2，求△ABC平移的距离．图4－7－31【模型建立】根据相似三角形的性质——相似三角形的周长比等于相似比，面积比等于相似比的平方，可以解决图形中的周长与面积问题，简化计算与证明过程．对学生的要求是能准确找出相似的两个三角形，再利用性质求解．【变式变形】1．如图4－7－32，△ABC∽△A′B′C′，它们的周长分别为60 cm和72 cm，且AB＝15 cm，B′C′＝24 cm，求BC，AC，A′B′，A′C′的长．图4－7－32[答案：BC＝20 cm，AC＝25 cm，A′B′＝18 cm，A′C′＝30 cm]2．如图4－7－33，在△ABC和△DEF中，AB＝2DE，AC＝2DF，∠A＝∠D，△ABC的周长是24，面积是48，求△DEF的周长和面积．图4－7－33[答案：△DEF的周长为12，面积为12]3．如图4－7－34所示，在ABCD中，AE∶EB＝1∶2，且S△AEF＝6 cm2.(1)求△AEF与△CDF的周长比；(2)求△CDF 的面积．图4－7－34[答案：(1)1∶3 (2)54 cm 2]4．如图4－7－35，在△ABC 中，∠C ＝90°，D 是AC 上一点，DE ⊥AB 于点E.若AB ＝10，BC ＝6，DE ＝2，求四边形DEBC 的面积．图4－7－35[答案：643]素材三考情考向分析[命题角度1] 利用相似三角形的性质求周长比相似三角形的周长比等于相似比，有了边长的关系，就可以求出周长比．例 [湘西中考] 如图4－7－36，在ABCD 中，E 是AD 边上的中点，连接BE ，并延长BE 交CD 的延长线于点F ，则△EDF 与△BCF 的周长比是(A )图4－7－36A ．1∶2B ．1∶3C ．1∶4D ．1∶5[命题角度2] 利用相似三角形的性质求面积比灵活运用相似三角形的面积比等于相似比的平方进行解题．例 [南京中考] 若△ABC∽△A′B′C′，相似比为1∶2，则△ABC 与△A′B′C′的面积比为(C )A ．1∶2B ．2∶1C ．1∶4D ．4∶1[命题角度3] 利用相似三角形的性质求相似比相似三角形的面积之比等于相似比的平方．反过来，当已知两个相似三角形面积之间的关系时，也可以求出相似比．例 [滨州中考] 如图4－7－37，平行于BC 的直线DE 把△ABC 分成的两部分面积相等，则ADAB的值是多少？图4－7－37[答案：22]素材四教材习题答案P110随堂练习判断正误：(1)如果把一个三角形三边的长同时扩大为原来的10倍，那么它的周长也扩大为原来的10倍；( )(2)如果把一个三角形的面积扩大为原来的9倍，那么它三边的长都扩大为原来的9倍．( )[答案] (1)√(2)×P110习题4.121．如图，在方格纸上有△A1B1C1和△A2B2C2，这两个三角形是否相似？如果相似，△A1B1C1与△A2B2C2的周长比和面积比分别是多少？解：相似，周长比为2∶1 ；面积比为4∶1.2．如图，在△ABC和△DEF中，G，H分别是边BC和EF的中点，已知AB＝2DE，AC＝2DF，∠BAC＝∠EDF.(1)中线AG与DH的比是多少？(2)△ABC与△DEF的面积比是多少？解：(1)2∶1 (2)4∶1.3．如图，Rt△ABC∽Rt△EFG，EF＝2AB，BD和FH分别是它们的中线，△BDC与△FHG是否相似？如果相似，试确定其周长比和面积比．解：相似；周长比为1∶2，面积比为1∶4.4．一块三角形土地的一边长为120 m，在地图上量得它的对应边长为0.06 m，这边上的高为0.04 m，求这块地的实际面积．解：4800 m2.5．小明同学把一幅矩形图放大欣赏，经测量其中一条边由10 cm变成了40 cm，那么这次放大的比例是多少？ 这幅画的面积发生了怎样的变化？解：放大的比例是1∶4，这幅画的面积变为原来的16倍．6．一个小风筝与一个大风筝形状相同，它们的形状如图所示，其中对角线AC ⊥BD .已知它们的对应边之比为1∶3，小风筝两条对角线的长分别为12 cm 和14 cm.(1)小风筝的面积是多少？(2)如果在大风筝内装设一个连接对角顶点的十字交叉形的支撑架，那么至少需要多长的材料？(不计损耗)(3)大风筝要用彩色纸覆盖，而彩色纸是从一张刚好覆盖整个风筝的矩形彩色纸(如图中虚线所示)裁剪下来的，那么从四个角裁剪下来废弃不用的彩色纸的面积是多少？解：(1) 设AC 和BD 的交点是O ，风筝面积＝△ABD 的面积＋△BCD 的面积＝12×BD ×AO ＋ 12×BD ×CO ＝12×BD ×(AO ＋CO )＝ 12×BD ×AC ＝12×12×14＝84(cm 2)．(2) 3× (AC ＋BD )＝3×(12＋14)＝78(cm)．(3) 彩纸面积＝12×14×3×3，容易看出裁下的面积是彩纸的一半， 故废弃部分面积＝3×3×12×14×12＝756(cm 2)．7．如图，在△ABC 中，点D ，E 分别在边AB 和AC 上，且DE ∥BC . (1)若AD ∶DB ＝1∶1，则S △ADE ∶S 四边形DBCE 等于多少？(2)若S △ADE ＝S 四边形DBCE ，则DE ∶BC ，AD ∶DB 各等于多少？解：(1)1∶3.(2)DE ∶BC ＝1∶2，AD ∶DB ＝1∶(2－1)．素材五图书增值练习 专题一 相似三角形性质的综合运用1．已知两个相似三角形对应高的比为3∶10，且这两个三角形的周长差为560cm ，求它们的周长．2．如图，Rt△ABC到Rt△DEF是一个相似变换，AC与DF的长度之比是3∶2．（1）DE与AB的长度之比是多少？（2）已知Rt△ABC的周长是12cm，面积是6cm2，求Rt△DEF的周长与面积．3．如图所示，已知平行四边形ABCD中，E是AB延长线上一点，DE交BC于点F，BE∶AB＝2∶3，S△BEF＝4，求S△CDF．专题二相似多边形的性质4．如图，一般书本的纸张是在原纸张多次对开得到．矩形ABCD沿EF对开后，再把矩形EFCD 沿MN对开，依此类推．若各种开本的矩形都相似，那么AB∶AD等于．5．已知两个相似多边形的周长比为1∶2，它们的面积和为25，则较大多边形的面积是．6．如图，梯形ABCD中，AD∥BC，E是AB上的一点，EF∥BC，并且EF将梯形ABCD分成的两个梯形AEFD、EBCF相似，若AD＝4，BC＝9，求AE∶EB．【知识要点】1．相似三角形对应高的比、对应角平分线的比、对应中线的比，都等于相似比．2．相似三角形的周长比等于相似比，面积比等于相似比的平方．3．相似多边形的周长比等于相似比，面积比等于相似比的平方．【温馨提示】1．应用性质时，抓住关键词“对应”，找准对应边．2．不要误认为相似三角形面积的比等于相似比．3．由线段的比求面积的比，或由面积的比求线段的比时，应分两种情况：（1）两个图形是否相似，若是相似图形，则面积比等于相似比的平方；（2）两个图形不相似时，常会出现底在同一条直线上，有同一条高，那么两个三角形面积比等于对应底的比．【方法技巧】1．利用相似三角形性质是求线段长度，角的度数，周长，面积及线段的比等问题的依据．2．等底等高的两三角形面积相等，这个规律在求三角形面积中经常用到．3．应用相似三角形（多边形）的性质，常与三角形（多边形）相似的判定相结合．4．相似多边形的定义是判定多边形相似的主要依据，也是多边形相似的重要性质．参考答案：1．解：设一个三角形周长为C cm，则另一个三角形周长为（C＋560）cm，则C∶（C＋560）＝3∶10，∴C＝240，C＋560＝800，即它们的周长分别为240cm，800cm．2．解：（1）由相似变换可得：DE∶AB＝DF∶AC＝2∶3；（2）∵AC∶DF＝3∶2，∴△DEF的周长∶△ABC的周长＝2∶3，S△DEF：S△ABC＝4∶9．∵直角三角形ABC的周长是12cm，面积是6cm2，∴△DEF的周长为8cm，S△DEF＝cm2．3．解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AE∥DC，∴△BEF∽△CDF．∵AB＝DC，BE∶AB＝2∶3，∴BE∶DC＝2∶3，∴S△DCF＝（）2•S△BEF＝×4＝9．4．[解析]∵矩形ABCD∽矩形BFEA，∴AB∶BF＝AD∶AB，∴AD•BF＝AB•AB．又∵BF＝AD，∴AD2＝AB2，则＝＝．5．20 [解析]根据相似多边形周长的比等于相似比，而面积的比等于相似比的平方，即可求得面积的比值，依据面积和为25，就可求得两个多边形的面积．设两个多边形中较小的多边形的面积是x，则较大的面积是4x．根据题意得：x＋4x＝25，解得x＝5．因而较大多边形的面积20．6．解：∵梯形AEFD∽梯形EBCF，∴＝＝．又∵AD＝4，BC＝9，∴EF2＝AD•BC＝4×9＝36．∵EF＞0，∴EF＝6，∴＝＝，即＝．【知识要点】1.几种特殊四边形的性质和判定：（1）特殊平行四边形具有一般平行四边形的一切性质，需要注重各自图形的特殊性质.（2）判别菱形：①说明是平行四边形+邻边相等; ②说明是平行四边形+对角线垂直；③四条边相等。
秋学期九年级数学上册第四章图形的相似4.7相似三角形的性质第2课时相似三角形中周长和面积之比备课(北师大)
第四章 图形的相似7 相似三角形的性质第2课时 相似三角形中的周长和面积之比素材一 新课导入设计置疑导入 归纳导入 类比导入 趣如图4－7－29，在比例尺为1∶500的地图上，测得一个三角形地块的周长为12 cm ，面积为6 cm 2，求这个地块的实际周长及面积．图4－7－29问题1 在这个情境中，地图上的三角形地块与实际地块是什么关系？1∶500表示什么含义？问题2 要解决这个问题，需要什么知识？问题3 你能对这个地块的实际周长与面积作出估计吗？ 问题4 如何说明你的猜想是否正确呢？ [说明与建议] 说明：学生们在一个开放的环境中思考生活中遇到的实际问题，亲身经历和感受数学知识来源于生活中的过程．建议：小组交流、总结，学生可能会得到周长之比等于比例尺，面积之比等于比例尺的平方的猜想，通过小组合作，初步验证猜想，引出新知．复习比例线段的性质(基本性质、合比性质、等比性质)： ①如果a b ＝43，那么a ＋b b ＝__73__，a －b b ＝__13__；②如果a b ＝c d ＝e f ＝57，那么a ＋c ＋e b ＋d ＋f ＝__57__；③在四边形ABCD 和四边形EFGH 中，已知AB EF ＝BC FG ＝CD GH ＝DA HE ＝23，四边形ABCD 的周长是60cm ，求四边形EFGH 的周长．[说明与建议] 说明：通过复习比例的性质，尤其是等比性质，让学生感受多边形的周长比与相似比的关系．引导学生思考问题，自然地过渡到新课的学习上来．建议：重点是让学生动手、动脑，探究相似形周长之比与相似比之间的关系．某城区施工队在道路拓宽施工时遇到这样一个问题：马路旁边原有一个面积为100平方米、周长为80米的三角形绿化地，由于马路拓宽，绿化地被削去了一个角，变成了一个梯形，如图4－7－30，原绿化地一边AB的长由原来的20米缩短成12米．则被削去的部分面积有多大？它的周长是多少？图4－7－30[说明与建议] 说明：联系生活实际，提出问题，引发学生探究的积极性，设置悬念，从而激发学生的求知欲．通过思考，让学生带着问题学习新课，同时教师引出新课．建议：在学生操作时，教师要引导学生进行思考、分析，为进一步学习积累数学活动经验．素材二教材母题挖掘110页例2如图4－7－31，将△ABC沿BC方向平移得到△DEF，△ABC与△DEF重叠部分(图中阴影部分)的面积是△ABC的面积的一半．已知BC＝2，求△ABC平移的距离．图4－7－31【模型建立】根据相似三角形的性质——相似三角形的周长比等于相似比，面积比等于相似比的平方，可以解决图形中的周长与面积问题，简化计算与证明过程．对学生的要求是能准确找出相似的两个三角形，再利用性质求解．【变式变形】1．如图4－7－32，△ABC∽△A′B′C′，它们的周长分别为60 cm和72 cm，且AB＝15 cm，B′C′＝24 cm，求BC，AC，A′B′，A′C′的长．图4－7－32[答案：BC＝20 cm，AC＝25 cm，A′B′＝18 cm，A′C′＝30 cm]2．如图4－7－33，在△ABC和△DEF中，AB＝2DE，AC＝2DF，∠A＝∠D，△ABC的周长是24，面积是48，求△DEF的周长和面积．图4－7－33[答案：△DEF 的周长为12，面积为12]3．如图4－7－34所示，在ABCD 中，AE ∶EB ＝1∶2，且S △AEF ＝6 cm 2. (1)求△AEF 与△CDF 的周长比； (2)求△CDF 的面积．图4－7－34[答案：(1)1∶3 (2)54 cm 2]4．如图4－7－35，在△ABC 中，∠C ＝90°，D 是AC 上一点，DE ⊥AB 于点E.若AB ＝10，BC ＝6，DE ＝2，求四边形DEBC 的面积．图4－7－35[答案：643]素材三 考情考向分析[命题角度1] 利用相似三角形的性质求周长比相似三角形的周长比等于相似比，有了边长的关系，就可以求出周长比．例 [湘西中考] 如图4－7－36，在ABCD 中，E 是AD 边上的中点，连接BE ，并延长BE 交CD 的延长线于点F ，则△EDF 与△BCF 的周长比是(A )图4－7－36A ．1∶2B ．1∶3C ．1∶4D ．1∶5[命题角度2] 利用相似三角形的性质求面积比灵活运用相似三角形的面积比等于相似比的平方进行解题．例 [南京中考] 若△ABC∽△A′B′C′，相似比为1∶2，则△ABC 与△A′B′C′的面积比为(C )A ．1∶2B ．2∶1C ．1∶4D ．4∶1[命题角度3] 利用相似三角形的性质求相似比相似三角形的面积之比等于相似比的平方．反过来，当已知两个相似三角形面积之间的关系时，也可以求出相似比．例 [滨州中考] 如图4－7－37，平行于BC 的直线DE 把△ABC 分成的两部分面积相等，则ADAB的值是多少？图4－7－37[答案：22]素材四教材习题答案P110随堂练习判断正误：(1)如果把一个三角形三边的长同时扩大为原来的10倍，那么它的周长也扩大为原来的10倍；( )(2)如果把一个三角形的面积扩大为原来的9倍，那么它三边的长都扩大为原来的9倍．( )[答案] (1)√(2)×P110习题4.121．如图，在方格纸上有△A1B1C1和△A2B2C2，这两个三角形是否相似？如果相似，△A1B1C1与△A2B2C2的周长比和面积比分别是多少？解：相似，周长比为2∶1 ；面积比为4∶1.2．如图，在△ABC和△DEF中，G，H分别是边BC和EF的中点，已知AB＝2DE，AC＝2DF，∠BAC＝∠EDF.(1)中线AG与DH的比是多少？(2)△ABC与△DEF的面积比是多少？解：(1)2∶1 (2)4∶1.3．如图，Rt△ABC∽Rt△EFG，EF＝2AB，BD和FH分别是它们的中线，△BDC与△FHG是否相似？如果相似，试确定其周长比和面积比．解：相似；周长比为1∶2，面积比为1∶4. 4．一块三角形土地的一边长为120 m ，在地图上量得它的对应边长为0.06 m ，这边上的高为0.04 m ，求这块地的实际面积．解：4800 m 2.5．小明同学把一幅矩形图放大欣赏，经测量其中一条边由10 cm 变成了40 cm ，那么这次放大的比例是多少？ 这幅画的面积发生了怎样的变化？解：放大的比例是1∶4，这幅画的面积变为原来的16倍．6．一个小风筝与一个大风筝形状相同，它们的形状如图所示，其中对角线AC ⊥BD .已知它们的对应边之比为1∶3，小风筝两条对角线的长分别为12 cm 和14 cm.(1)小风筝的面积是多少？(2)如果在大风筝内装设一个连接对角顶点的十字交叉形的支撑架，那么至少需要多长的材料？(不计损耗)(3)大风筝要用彩色纸覆盖，而彩色纸是从一张刚好覆盖整个风筝的矩形彩色纸(如图中虚线所示)裁剪下来的，那么从四个角裁剪下来废弃不用的彩色纸的面积是多少？解：(1) 设AC 和BD 的交点是O ，风筝面积＝△ABD 的面积＋△BCD 的面积＝12 × BD ×AO ＋ 12×BD ×CO ＝12×BD ×(AO ＋CO )＝ 12×BD ×AC ＝12×12×14＝84(cm 2)．(2) 3× (AC ＋BD )＝3×(12＋14)＝78(cm)．(3) 彩纸面积＝12×14×3×3，容易看出裁下的面积是彩纸的一半， 故废弃部分面积＝3×3×12×14×12＝756(cm 2)．7．如图，在△ABC 中，点D ，E 分别在边AB 和AC 上，且DE ∥BC . (1)若AD ∶DB ＝1∶1，则S △ADE ∶S 四边形DBCE 等于多少？(2)若S △ADE ＝S 四边形DBCE ，则DE ∶BC ，AD ∶DB 各等于多少？解：(1)1∶3.(2)DE ∶BC ＝1∶2，AD ∶DB ＝1∶(2－1)．素材五图书增值练习专题一相似三角形性质的综合运用1．已知两个相似三角形对应高的比为3∶10，且这两个三角形的周长差为560 cm，求它们的周长．2．如图，Rt△ABC到Rt△DEF是一个相似变换，AC与DF的长度之比是3∶2．（1）DE与AB的长度之比是多少？（2）已知Rt△ABC的周长是12 cm，面积是6 cm2，求Rt△DEF的周长与面积．3．如图所示，已知平行四边形ABCD中，E是AB延长线上一点，DE交BC于点F，BE∶AB＝2∶3，S△BEF＝4，求S△CDF．专题二相似多边形的性质4．如图，一般书本的纸张是在原纸张多次对开得到．矩形ABCD沿EF对开后，再把矩形EFCD 沿MN对开，依此类推．若各种开本的矩形都相似，那么AB∶AD等于．5．已知两个相似多边形的周长比为1∶2，它们的面积和为25，则较大多边形的面积是．6．如图，梯形ABCD中，AD∥BC，E是AB上的一点，EF∥BC，并且EF将梯形ABCD分成的两个梯形AEFD、EBCF相似，若AD＝4，BC＝9，求AE∶EB．【知识要点】1．相似三角形对应高的比、对应角平分线的比、对应中线的比，都等于相似比． 2．相似三角形的周长比等于相似比，面积比等于相似比的平方． 3．相似多边形的周长比等于相似比，面积比等于相似比的平方． 【温馨提示】1．应用性质时，抓住关键词“对应”，找准对应边． 2．不要误认为相似三角形面积的比等于相似比．3．由线段的比求面积的比，或由面积的比求线段的比时，应分两种情况： （1）两个图形是否相似，若是相似图形，则面积比等于相似比的平方；（2）两个图形不相似时，常会出现底在同一条直线上，有同一条高，那么两个三角形面积比等于对应底的比． 【方法技巧】1．利用相似三角形性质是求线段长度，角的度数，周长，面积及线段的比等问题的依据． 2．等底等高的两三角形面积相等，这个规律在求三角形面积中经常用到．3．应用相似三角形（多边形）的性质，常与三角形（多边形）相似的判定相结合． 4．相似多边形的定义是判定多边形相似的主要依据，也是多边形相似的重要性质． 参考答案： 1．解：设一个三角形周长为 C cm ， 则另一个三角形周长为（C ＋560）cm ， 则C ∶（C ＋560）＝3∶10，∴C ＝240，C ＋560＝800，即它们的周长分别为240 cm ，800 cm ． 2．解：（1）由相似变换可得：DE∶AB ＝DF∶AC ＝2∶3； （2）∵AC∶DF＝3∶2，∴△DEF 的周长∶△ABC 的周长＝2∶3，S △DEF ：S △ABC ＝4∶9．∵直角三角形ABC 的周长是12 cm ，面积是6 cm 2，∴△DEF 的周长为8 cm ，S △DEF ＝38 cm 2． 3．解：∵四边形ABCD 是平行四边形，∴AE∥DC， ∴△BEF∽△CDF ．∵AB＝DC ，BE∶AB ＝2∶3，∴BE∶DC＝2∶3，∴S △DCF ＝（23）2•S △BEF ＝49×4＝9． 4．22[解析] ∵矩形ABCD∽矩形BFEA ， ∴AB∶BF ＝AD∶AB ，∴AD•BF＝AB•AB．又∵BF＝21AD ，∴21AD 2＝AB 2，则AD AB ＝21＝22．5．20 [解析] 根据相似多边形周长的比等于相似比，而面积的比等于相似比的平方，即可求得面积的比值，依据面积和为25，就可求得两个多边形的面积．设两个多边形中较小的多边形的面积是x ，则较大的面积是4x ． 根据题意得：x ＋4x ＝25，解得x ＝5．因而较大多边形的面积20．6．解：∵梯形AEFD∽梯形EBCF ，∴EF AD又∵AD＝4AD•BC＝4×9＝36．∵EF＞0，∴EF＝6【知识要点】1.几种特殊四边形的性质和判定：（1）特殊平行四边形具有一般平行四边形的一切性质，需要注重各自图形的特殊性质.（2）判别菱形：①说明是平行四边形+邻边相等; ②说明是平行四边形+对角线垂直；③四条边相等。
4.7 .2 相似三角形的周长和面积之比课件 2023--2024学年北师大版九年级数学上册
少？
S S S k . 四边形A1B1C1D1
A1B1C1
A1C1D1
2
S四边形A2 B2C2 D2
S S A2B2C2
A2C2 D2
两个相似五边形的周长比及面积 D1 比怎样呢？两个相似的 n 边形呢？ C1
D2 C2
周长的比等于相似比，
面积比等于相似比的平方. A1
B1 A2
B2
例1 将△ABC 沿 BC 方向平移得到△DEF，△ABC 与
于相似比的平方吗？两个相似五边形的周长比及面积比
怎样呢？两个相似的 n 边形呢？ D1
做一做
如图，四边形 A1B1C1D1 ∽ 四 边形 A2B2C2D2，相似比为 k.
A1
C1
D2 C2
B1 A2
B2
(1) 四边形 A1B1C1D1 与四边形 A2B2C2D2 的周长比是 多少？
(2) 连接相应的对角线 A1C1，A2C2. 所得的 △A1B1C1 与 △A2B2C2 相似吗？△A1C1D1 与 △A2C2D2 呢？如果相似， 它们的相似比各是多少？为什么？
EC2 BC 2
2. B
.
E
AD G
CF
∴BE BC EC 2 2. 即△ABC 平移的距离为 2 2.
例2 如图，D，E 分别是 AC，AB 上的点，已知 △ABC
的面积为 100 cm2，且 AE = AD = 3 ，求四边形 BCDE 的
AC AB 5
面积.
解：∵ ∠BAC = ∠DAE，且 AE AD 3，
(1)与(2)的面积比=_1__:_4__； (1)与(3)的面积比=__1_:_9__.
猜一猜 如果 △ABC 的 △A'B'C'，相似比为 k，那么你能求 △ABC 与△A'B'C' 的周长比和面积比吗？
九年级数学上册 4.7 相似三角形周长和面积的比(第2课时)学案 (新版)北师大版
相似三角形周长和面积的比【学习目标】1．理解并初步掌握相似三角形的周长比，面积比与相似比的关系．2．会运用相似三角形的性质解决简单的实际问题．【学习重点】相似三角形的周长比及面积比与相似比的关系．【学习难点】相似三角形的面积比等于相似比的平方．情景导入生成问题1．顺次连接三角形三边的中点，所成的三角形与原三角形对应边上的中线的比是( A)A．1∶2 B．2∶1C．1∶4 D．4∶12．如图，DE∥BC，则△ADE∽△ABC．若AD＝3，BD＝2，AF⊥BC，交DE于G，则AG∶AF＝3∶5，△AGE∽△AFC，且它们的相似比为3∶53．已知△ABC与△DEF相似且对应角平分线之比为2∶3，若△ABC的最长边为6，则△DEF的最长边为9．自学互研生成能力知识模块一探索相似三角形周长和面积的比与相似比的关系先阅读教材P109页的内容，然后完成下面的填空：1．相似三角形的对应角相等，对应边成比例；2．相似三角形的对应高的比、对应角平分线的比与对应中线的比都等于相似比；3．相似三角形的周长之比等于相似比；相似多边形的面积之比等于相似比的平方．问题1：如果△ABC∽△A′B′C′，相似比为2，那么△ABC与△A′B′C′的周长比是多少？面积比呢？解：(1)∵△ABC∽△A′B′C′，∴ABA′B′＝BC B′C′＝ACA′C′＝2，∴AB＋BC＋ACA′B′＋B′C′＋A′C′＝ABA′B′＝2，∴△ABC的周长△A′B′C′的周长＝2；(2)∵S△ABC＝12AB·CD，S△A′B′C′＝12A′B′·C′D′，∴S△ABCS△A′B′C′＝12AB·CD12A′B′·C′D′＝ABA′B′·CDC′D′＝2×2＝22＝4.目的：使学生建立从特殊到一般的思想．问题2：如果△ABC∽△A′B′C′，相似比为k，那么△ABC与△A′B′C′的周长比和面积比分别是多少？学生分小组讨论交流，教师引导学生写出证明过程．归纳结论：相似三角形的周长比等于相似比，面积比等于相似比的平方．议一议：两个相似四边形的周长比等于相似比吗？面积比等于相似比的平方吗？两个相似五边形的周长比与面积比怎样呢？两个相似的n边形呢？无论是三角形、四边形、还是多边形，都有相同的结论，所以可以推导出：相似多边形的周长比等于相似比，面积比等于相似比的平方．知识模块二相似三角形性质的应用完成下面各题：1．教材P110页的随堂练习．2．若△ABC∽△A′B′C′，相似比为1∶2，则△ABC与△A′B′C′的面积的比为( C)A．1∶2 B．2∶1 C．1∶4 D．4∶1典例讲解：见教材P110页的例2.对应练习：1．教材P110页习题4.12的第1题．答：相似，周长比为2∶1，面积比为4∶1.2．教材P111页习题4.12的第2题．解：(1)∵AB＝2DE，AC＝2DF，∠BAC＝∠EDF.∴△ABC∽△DEF，相似比为2∶1，∴中线AG与DH的比是2∶1；(2)△ABC与△DEF的面积比是4∶1.交流展示生成新知1．将阅读教材时“生成的问题”和通过“自主探究、合作探究”得出的“结论”展示在各小组的小黑板上．并将疑难问题也板演到黑板上，再一次通过小组间就上述疑难问题相互释疑．2．各小组由组长统一分配展示任务，由代表将“问题和结论”展示在黑板上，通过交流“生成新知”．知识模块一 探索相似三角形周长和面积的比与相似比的关系知识模块二 相似三角形性质的应用检测反馈 达成目标1．下列命题中错误的是( C )A ．相似三角形的周长比等于对应中线的比B ．相似三角形对应高的比等于相似比C ．相似三角形的面积比等于相似比D ．相似三角形对应角平分线的比等于相似比2．若两个相似多边形的面积之比为1∶4，则它们的周长之比为( B )A ．1∶4B ．1∶2C ．2∶1D ．4∶13．若两个三角形相似，且它们的最大边分别为6cm 和8cm ，它们的周长之和为35cm ，则较小的三角形的周长为15cm ．4．在▱ABCD 中，BE ＝2AE ，若S △AEF ＝6，求S CDF .解：∵四边形ABCD 是平行四边形，∴DC ＝AB ，DC ∥AB ，∴∠DCA ＝∠BAC，又∵∠CFD＝∠AFE，∴△AFE ∽△CFD ，∵BE ＝2AE ，∴AE AB ＝13，∵CD ＝AB ，∴AE CD ＝13，∴S △AEF S △CDF ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫AE CD 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫132＝19，∴S △CDF ＝9S △AEF ＝9×6＝54. 课后反思 查漏补缺1．收获：________________________________________________________________________2．存在困惑：________________________________________________________________________。
北师大版九年级数学上册4.7 第2课时 相似三角形的周长和面积之比2 教学设计
第2课时相似三角形的周长和面积之比●教学目标（一）教学知识点1.相似三角形的周长比，面积比与相似比的关系.2.相似三角形的周长比，面积比在实际中的应用.（二）能力训练要求1.经历探索相似三角形的性质的过程，培养学生的探索能力.2.利用相似三角形的性质解决实际问题训练学生的运用能力.（三）情感与价值观要求1.学生通过交流、归纳，总结相似三角形的周长比、面积比与相似比的关系，体会知识迁移、温故知新的好处.2.运用相似多边形的周长比，面积比解决实际问题，增强学生对知识的应用意识.●教学重点1.相似三角形的周长比、面积比与相似比关系的推导.2.运用相似三角形的比例关系解决实际问题.●教学难点相似三角形周长比、面积比与相似比的关系的推导及运用.●教学方法引导启发式通过温故知新，知识迁移，引导学生发现新的结论，通过比较、分析，应用获得的知识达到理解并掌握的目的.●教具准备投影片两张第一张：（记作§4.7.2 A）第二张：（记作§4.7.2 B）●教学过程Ⅰ.创设问题情境，引入新课［师］（拿大小不同的两个等腰直角三角形三角板）.我手中拿着两名同学的两个大小不同的三角板.请同学们观察其形状，并请两位同学来量一量它们的边长分别是多少.然后告诉大家数据.（让学生把数据写在黑板上）［师］同学们通过观察和计算来回答下列问题.1.两三角形是否相似.2.两三角形的周长比和面积比分别是多少？它们与相似比的关系如何？与同伴交流.［生］因为两三角形都是等腰直角三角形，其对应角分别相等，所以它们是相似三角形.周长比与相似比相等，而面积比与相似比却不相等.［师］能不能找到面积比与相似比的量化关系呢？［生］面积比与相似比的平方相等.［师］老师为你的重大发现感到骄傲.但这是特殊三角形，对一般三角形、多边形，我们发现的结论成立吗？这正是我们本节课要解决的问题.Ⅱ.新课讲解1.做一做投影片（§4.7.2 A）在上图中，△ABC ∽△A ′B ′C ′，相似比为43. （1）请你写出图中所有成比例的线段. （2）△ABC 与△A ′B ′C ′的周长比是多少？你是怎么做的？ （3）△ABC 的面积如何表示？△A ′B ′C ′的面积呢？△ABC 与△A ′B ′C ′的面积比是多少？与同伴交流.［生］（1）∵△ABC ∽△A ′B ′C ′∴B A AB ''=C B BC ''=C A AC ''=D C CD ''=D B BD ''=D A AD ''=43. （2）43='''∆∆的周长的周长C B A ABC . ∵B A AB ''=C B BC ''=C A AC ''=43. ∴C A C B B A AC BC AB l l C B A ABC ''+''+''++='''∆∆ =C A C B B A C A C B B A ''+''+''''+''+''434343 =43)(43=''+''+''''+''+''C A C B B A C A C B B A . （3）S △ABC =21AB ·C D. S △A ′B ′C ′=21A ′B ′·C ′D ′. ∴2)43(2121=''⋅''=''⋅''⋅='''∆∆D C CD B A AB D C B A CD AB S S C B A ABC . 2.想一想如果△ABC ∽△A ′B ′C ′，相似比为k ，那么△ABC 与△A ′B ′C ′的周长比和面积比分别是多少？ ［生］由上可知若△ABC ∽△A ′B ′C ′，相似比为k ，那么△ABC 与△A ′B ′C ′的周长比为k ，面积比为k 2.3.议一议投影片（§4.7.2 B ）.如图，四边形A 1B 1C 1D 1∽四边形A 2B 2C 2D 2，相似比为k .（1）四边形A 1B 1C 1D 1与四边形A 2B 2C 2D 2的周长比是多少？（2）连接相应的对角线A 1C 1，A 2C 2，所得的△A 1B 1C 1与△A 2B 2C 2相似吗？△A 1C 1D 1与△A 2C 2D 2呢？如果相似，它们的相似各是多少？为什么？（3）设△A 1B 1C 1，△A 1C 1D 1，△A 2B 2C 2，△A 2C 2D 2的面积分别是,111C B A S ∆ 222222111,,D C A C B A D C A S S S ∆∆∆ 那么222111222111D C A D C A C B A C B A S S S S ∆∆∆∆=各是多少？（4）四边形A 1B 1C 1D 1与四边形A 2B 2C 2D 2的面积比是多少？如果把四边形换成五边形，那么结论又如何呢？［生］解：（1）∵四边形A 1B 1C 1D 1∽四边形A 2B 2C 2D 2.相似比为k .（2）△A 1B 1C 1∽△A 2B 2C 2、△A 1C 1D 1∽△A 2C 2D 2，且相似比都为k .∵四边形A 1B 1C 1D 1∽四边形A 2B 2C 2D 2∴2211221122112211D A D A D C D C C B C B B A B A === ∠D 1A 1B 1=∠D 2A 2B 2,∠B 1=∠B 2.∠B 1C 1D 1=∠B 2C 2D 2,∠D 1=∠D 2.在△A 1B 1C 1与△A 2B 2C 2中∵22112211C B C B B A B A = ∠B 1=∠B 2. ∴△A 1B 1C 1∽△A 2B 2C 2.∴2211B A B A =k . 同理可知，△A 1C 1D 1∽△A 2C 2D 2，且相似比为k .（3）∵△A 1B 1C 1∽△A 2B 2C 2,△A 1C 1D 1∽△A 2C 2D 2.22222222222222)(k S S S S k D C A C B A D C A C B A =++∆∆∆∆照此方法，将四边形换成五边形，那么也有相同的结论.由此可知：相似多边形的周长比等于相似比，面积比等于相似比的平方.Ⅲ.随堂练习完成教材随堂练习Ⅳ.课时小结本节课我们重点研究了相似三角形的对应线段（高、中线、角平分线）的比，周长比都等于相似比，面积比等于相似比的平方.Ⅴ.课后作业习题4.12●板书设计 4.7 相似三角形的性质第2课时 相似三角形的周长和面积之比一、1.做一做2.想一想3.议一议二、课堂练习三、课时小结四、课后作业。
北师大版九年级数学上册4.7 第2课时 相似三角形的周长和面积之比2 教学设计
第2课时相似三角形的周长和面积之比●教学目标（一）教学知识点1.相似三角形的周长比，面积比与相似比的关系.2.相似三角形的周长比，面积比在实际中的应用.（二）能力训练要求1.经历探索相似三角形的性质的过程，培养学生的探索能力.2.利用相似三角形的性质解决实际问题训练学生的运用能力.（三）情感与价值观要求1.学生通过交流、归纳，总结相似三角形的周长比、面积比与相似比的关系，体会知识迁移、温故知新的好处.2.运用相似多边形的周长比，面积比解决实际问题，增强学生对知识的应用意识.●教学重点1.相似三角形的周长比、面积比与相似比关系的推导.2.运用相似三角形的比例关系解决实际问题.●教学难点相似三角形周长比、面积比与相似比的关系的推导及运用.●教学方法引导启发式通过温故知新，知识迁移，引导学生发现新的结论，通过比较、分析，应用获得的知识达到理解并掌握的目的.●教具准备投影片两张第一张：（记作§4.7.2 A）第二张：（记作§4.7.2 B）●教学过程Ⅰ.创设问题情境，引入新课［师］（拿大小不同的两个等腰直角三角形三角板）.我手中拿着两名同学的两个大小不同的三角板.请同学们观察其形状，并请两位同学来量一量它们的边长分别是多少.然后告诉大家数据.（让学生把数据写在黑板上）［师］同学们通过观察和计算来回答下列问题.1.两三角形是否相似.2.两三角形的周长比和面积比分别是多少？它们与相似比的关系如何？与同伴交流.［生］因为两三角形都是等腰直角三角形，其对应角分别相等，所以它们是相似三角形.周长比与相似比相等，而面积比与相似比却不相等.［师］能不能找到面积比与相似比的量化关系呢？［生］面积比与相似比的平方相等.［师］老师为你的重大发现感到骄傲.但这是特殊三角形，对一般三角形、多边形，我们发现的结论成立吗？这正是我们本节课要解决的问题.Ⅱ.新课讲解1.做一做投影片（§4.7.2 A）在上图中，△ABC ∽△A ′B ′C ′，相似比为43. （1）请你写出图中所有成比例的线段. （2）△ABC 与△A ′B ′C ′的周长比是多少？你是怎么做的？ （3）△ABC 的面积如何表示？△A ′B ′C ′的面积呢？△ABC 与△A ′B ′C ′的面积比是多少？与同伴交流.［生］（1）∵△ABC ∽△A ′B ′C ′∴B A AB ''=C B BC ''=C A AC ''=D C CD ''=D B BD ''=D A AD ''=43. （2）43='''∆∆的周长的周长C B A ABC . ∵B A AB ''=C B BC ''=C A AC ''=43. ∴C A C B B A AC BC AB l l C B A ABC ''+''+''++='''∆∆ =C A C B B A C A C B B A ''+''+''''+''+''434343 =43)(43=''+''+''''+''+''C A C B B A C A C B B A . （3）S △ABC =21AB ·C D. S △A ′B ′C ′=21A ′B ′·C ′D ′. ∴2)43(2121=''⋅''=''⋅''⋅='''∆∆D C CD B A AB D C B A CD AB S S C B A ABC . 2.想一想如果△ABC ∽△A ′B ′C ′，相似比为k ，那么△ABC 与△A ′B ′C ′的周长比和面积比分别是多少？ ［生］由上可知若△ABC ∽△A ′B ′C ′，相似比为k ，那么△ABC 与△A ′B ′C ′的周长比为k ，面积比为k 2.3.议一议投影片（§4.7.2 B ）.如图，四边形A 1B 1C 1D 1∽四边形A 2B 2C 2D 2，相似比为k .（1）四边形A 1B 1C 1D 1与四边形A 2B 2C 2D 2的周长比是多少？（2）连接相应的对角线A 1C 1，A 2C 2，所得的△A 1B 1C 1与△A 2B 2C 2相似吗？△A 1C 1D 1与△A 2C 2D 2呢？如果相似，它们的相似各是多少？为什么？（3）设△A 1B 1C 1，△A 1C 1D 1，△A 2B 2C 2，△A 2C 2D 2的面积分别是,111C B A S ∆ 222222111,,D C A C B A D C A S S S ∆∆∆ 那么222111222111D C A D C A C B A C B A S S S S ∆∆∆∆=各是多少？（4）四边形A 1B 1C 1D 1与四边形A 2B 2C 2D 2的面积比是多少？如果把四边形换成五边形，那么结论又如何呢？［生］解：（1）∵四边形A 1B 1C 1D 1∽四边形A 2B 2C 2D 2.相似比为k .（2）△A 1B 1C 1∽△A 2B 2C 2、△A 1C 1D 1∽△A 2C 2D 2，且相似比都为k .∵四边形A 1B 1C 1D 1∽四边形A 2B 2C 2D 2∴2211221122112211D A D A D C D C C B C B B A B A === ∠D 1A 1B 1=∠D 2A 2B 2,∠B 1=∠B 2.∠B 1C 1D 1=∠B 2C 2D 2,∠D 1=∠D 2.在△A 1B 1C 1与△A 2B 2C 2中∵22112211C B C B B A B A = ∠B 1=∠B 2. ∴△A 1B 1C 1∽△A 2B 2C 2.∴2211B A B A =k . 同理可知，△A 1C 1D 1∽△A 2C 2D 2，且相似比为k .（3）∵△A 1B 1C 1∽△A 2B 2C 2,△A 1C 1D 1∽△A 2C 2D 2.22222222222222)(k S S S S k D C A C B A D C A C B A =++∆∆∆∆照此方法，将四边形换成五边形，那么也有相同的结论.由此可知：相似多边形的周长比等于相似比，面积比等于相似比的平方.Ⅲ.随堂练习完成教材随堂练习Ⅳ.课时小结本节课我们重点研究了相似三角形的对应线段（高、中线、角平分线）的比，周长比都等于相似比，面积比等于相似比的平方.Ⅴ.课后作业习题4.12●板书设计 4.7 相似三角形的性质第2课时 相似三角形的周长和面积之比一、1.做一做2.想一想3.议一议二、课堂练习三、课时小结四、课后作业。
北师大版九年级上册数学 4.7 第2课时 相似三角形的周长和面积之比2 教案
第2课时相似三角形的周长和面积之比●教学目标（一）教学知识点1.相似三角形的周长比，面积比与相似比的关系.2.相似三角形的周长比，面积比在实际中的应用.（二）能力训练要求1.经历探索相似三角形的性质的过程，培养学生的探索能力.2.利用相似三角形的性质解决实际问题训练学生的运用能力.（三）情感与价值观要求1.学生通过交流、归纳，总结相似三角形的周长比、面积比与相似比的关系，体会知识迁移、温故知新的好处.2.运用相似多边形的周长比，面积比解决实际问题，增强学生对知识的应用意识.●教学重点1.相似三角形的周长比、面积比与相似比关系的推导.2.运用相似三角形的比例关系解决实际问题.●教学难点相似三角形周长比、面积比与相似比的关系的推导及运用.●教学方法引导启发式通过温故知新，知识迁移，引导学生发现新的结论，通过比较、分析，应用获得的知识达到理解并掌握的目的.●教具准备投影片两张第一张：（记作§4.7.2 A）第二张：（记作§4.7.2 B）●教学过程Ⅰ.创设问题情境，引入新课［师］（拿大小不同的两个等腰直角三角形三角板）.我手中拿着两名同学的两个大小不同的三角板.请同学们观察其形状，并请两位同学来量一量它们的边长分别是多少.然后告诉大家数据.（让学生把数据写在黑板上）［师］同学们通过观察和计算来回答下列问题.1.两三角形是否相似.2.两三角形的周长比和面积比分别是多少？它们与相似比的关系如何？与同伴交流.［生］因为两三角形都是等腰直角三角形，其对应角分别相等，所以它们是相似三角形.周长比与相似比相等，而面积比与相似比却不相等.［师］能不能找到面积比与相似比的量化关系呢？［生］面积比与相似比的平方相等.［师］老师为你的重大发现感到骄傲.但这是特殊三角形，对一般三角形、多边形，我们发现的结论成立吗？这正是我们本节课要解决的问题.Ⅱ.新课讲解1.做一做投影片（§4.7.2 A）在上图中，△ABC ∽△A ′B ′C ′，相似比为43. （1）请你写出图中所有成比例的线段. （2）△ABC 与△A ′B ′C ′的周长比是多少？你是怎么做的？ （3）△ABC 的面积如何表示？△A ′B ′C ′的面积呢？△ABC 与△A ′B ′C ′的面积比是多少？与同伴交流.［生］（1）∵△ABC ∽△A ′B ′C ′∴B A AB ''=C B BC ''=C A AC ''=D C CD ''=D B BD ''=D A AD ''=43. （2）43='''∆∆的周长的周长C B A ABC . ∵B A AB ''=C B BC ''=C A AC ''=43. ∴C A C B B A AC BC AB l l C B A ABC ''+''+''++='''∆∆ =C A C B B A C A C B B A ''+''+''''+''+''434343 =43)(43=''+''+''''+''+''C A C B B A C A C B B A . （3）S △ABC =21AB ·C D. S △A ′B ′C ′=21A ′B ′·C ′D ′. ∴2)43(2121=''⋅''=''⋅''⋅='''∆∆D C CD B A AB D C B A CD AB S S C B A ABC . 2.想一想如果△ABC ∽△A ′B ′C ′，相似比为k ，那么△ABC 与△A ′B ′C ′的周长比和面积比分别是多少？ ［生］由上可知若△ABC ∽△A ′B ′C ′，相似比为k ，那么△ABC 与△A ′B ′C ′的周长比为k ，面积比为k 2.3.议一议投影片（§4.7.2 B ）.如图，四边形A 1B 1C 1D 1∽四边形A 2B 2C 2D 2，相似比为k .（1）四边形A 1B 1C 1D 1与四边形A 2B 2C 2D 2的周长比是多少？（2）连接相应的对角线A 1C 1，A 2C 2，所得的△A 1B 1C 1与△A 2B 2C 2相似吗？△A 1C 1D 1与△A 2C 2D 2呢？如果相似，它们的相似各是多少？为什么？（3）设△A 1B 1C 1，△A 1C 1D 1，△A 2B 2C 2，△A 2C 2D 2的面积分别是,111C B A S ∆ 222222111,,D C A C B A D C A S S S ∆∆∆ 那么222111222111D C A D C A C B A C B A S S S S ∆∆∆∆=各是多少？（4）四边形A 1B 1C 1D 1与四边形A 2B 2C 2D 2的面积比是多少？如果把四边形换成五边形，那么结论又如何呢？［生］解：（1）∵四边形A 1B 1C 1D 1∽四边形A 2B 2C 2D 2.相似比为k .（2）△A 1B 1C 1∽△A 2B 2C 2、△A 1C 1D 1∽△A 2C 2D 2，且相似比都为k .∵四边形A 1B 1C 1D 1∽四边形A 2B 2C 2D 2∴2211221122112211D A D A D C D C C B C B B A B A === ∠D 1A 1B 1=∠D 2A 2B 2,∠B 1=∠B 2.∠B 1C 1D 1=∠B 2C 2D 2,∠D 1=∠D 2.在△A 1B 1C 1与△A 2B 2C 2中∵22112211C B C B B A B A = ∠B 1=∠B 2. ∴△A 1B 1C 1∽△A 2B 2C 2.∴2211B A B A =k . 同理可知，△A 1C 1D 1∽△A 2C 2D 2，且相似比为k .（3）∵△A 1B 1C 1∽△A 2B 2C 2,△A 1C 1D 1∽△A 2C 2D 2.22222222222222)(k S S S S k D C A C B A D C A C B A =++∆∆∆∆照此方法，将四边形换成五边形，那么也有相同的结论.由此可知：相似多边形的周长比等于相似比，面积比等于相似比的平方.Ⅲ.随堂练习完成教材随堂练习Ⅳ.课时小结本节课我们重点研究了相似三角形的对应线段（高、中线、角平分线）的比，周长比都等于相似比，面积比等于相似比的平方.Ⅴ.课后作业习题4.12●板书设计 4.7 相似三角形的性质第2课时 相似三角形的周长和面积之比一、1.做一做2.想一想3.议一议二、课堂练习三、课时小结四、课后作业。
北师大版九年级上册数学 4.7 第2课时 相似三角形的周长和面积之比 优秀教案
第2课时 相似三角形的周长和面积之比1.理解并初步掌握相似三角形周长的比等于相似比，面积的比等于相似比的平方；（重点）2.掌握相似三角形的周长比、面积比在实际中的应用.（难点）一、情景导入如图所示是一个三角形的花坛，要在上面种满花草，园丁沿与AB 平行的方向画一条直线，将花坛分割出一片三角形地块，测出△CDE 的面积为10平方米，CD 长为4m ，BD 长为6m.根据所测得的数据，请你计算出整个花坛△ABC 的面积.二、合作探究探究点一：相似三角形的周长比已知△ABC ∽△A ′B ′C ′，AD 是△ABC 的中线，A ′D ′是△A ′B ′C ′的中线，若AD A ′D ′＝12，且△A ′B ′C ′的周长为20cm ，求△ABC 的周长.解：因为△ABC ∽△A ′B ′C ′，所以它们周长的比等于它们的相似比，对应边中线的比等于相似比，即相似比k ＝AD A ′D ′＝12，△ABC 的周长△A ′B ′C ′的周长＝12.已知△A ′B ′C ′的周长为20cm ，所以△ABC 的周长20＝12.所以△ABC 的周长为10cm.易错提醒：在相似表达式△ABC ∽△A ′B ′C ′及对应中线比AD A ′D ′＝12中，都是△ABC 在前，△A ′B ′C ′在后，而在出现问题时，△A ′B ′C ′在前，△ABC 在后，顺序已经不同了，所以相似比要随之调整或者直接把相关量代入关系式求解.探究点二：相似三角形的面积比如图，在△ABC 中，BC ＞AC ，点D 在BC 上，且DC ＝AC ，∠ACB 的平分线CF 交AD 于点F ，点E 是AB 的中点，连接EF .若四边形BDFE 的面积为6，求△ABD 的面积.解：∵CF 平分∠ACB ，DC ＝AC ， ∴CF 是△ACD 的中线，即F 是AD 的中点.∵点E 是AB 的中点，∴EF ∥BD ，且EFBD ＝12. ∴∠B ＝∠AEF ，∠ADB ＝∠AFE ，∴△AEF ∽△ABD .∴S △AEF S △ABD＝（12）2＝14.∵S △AEF ＝S △ABD －S 四边形BDFE ＝S △ABD －6，∴S △ABD －6S △ABD＝14.∴S △ABD ＝8，即△ABD 的面积为8.易错提醒：在运用“相似三角形的面积比等于相似比的平方”这一性质时，同样要注意是对应三角形的面积比，在本题中不要犯由EF ：BD ＝1：2得S △AEF ：S △ABD ＝1：2，或S △AEF ：S 四边形BDFE ＝1：2之类的错误.三、板书设计相似三角形的周长和面积之比：相似三角形的周长比等于相似比，面积比等于相似比的平方.经历相似三角形的性质的探索过程，培养学生的探索能力.通过交流、归纳，总结相似三角形的周长比、面积比与相似比的关系，体验化归思想.运用相似多边形的周长比，面积比解决实际问题，训练学生的运用能力，增强学生对知识的应用意识.。
九年级数学上册-北师大版九年级上册数学 4.7 第2课时 相似三角形的周长和面积之比教案2
第2课时相似三角形的周长和面积之比●教学目标（一）教学知识点1.相似三角形的周长比，面积比与相似比的关系.2.相似三角形的周长比，面积比在实际中的应用.（二）能力训练要求1.经历探索相似三角形的性质的过程，培养学生的探索能力.2.利用相似三角形的性质解决实际问题训练学生的运用能力.（三）情感与价值观要求1.学生通过交流、归纳，总结相似三角形的周长比、面积比与相似比的关系，体会知识迁移、温故知新的好处.2.运用相似多边形的周长比，面积比解决实际问，增强学生对知识的应用意识.●教学重点1.相似三角形的周长比、面积比与相似比关系的推导.2.运用相似三角形的比例关系解决实际问题.●教学难点相似三角形周长比、面积比与相似比的关系的推导及运用.●教学方法引导启发式通过温故知新，知识迁移，引导学生发现新的结论，通过比较、分析，应用获得的知识达到理解并掌握的目的.●教具准备投影片两张第一张：（记作§4.7.2 A）第二张：（记作§4.7.2 B）●教学过程Ⅰ.创设问情境，引入新课［师］（拿大小不同的两个等腰直角三角形三角板）.我手中拿着两名同学的两个大小不同的三角板.请同学们观察其形状，并请两位同学来量一量它们的边长分别是多少.然后告诉大家数据.（让学生把数据写在黑板上）［师］同学们通过观察和计算来回答下列问题.1.两三角形是否相似.2.两三角形的周长比和面积比分别是多少？它们与相似比的关系如何？与同伴交流.［生］因为两三角形都是等腰直角三角形，其对应角分别相等，所以它们是相似三角形.周长比与相似比相等，而面积比与相似比却不相等.［师］能不能找到面积比与相似比的量化关系呢？［生］面积比与相似比的平方相等.［师］老师为你的重大发现感到骄傲.但这是特殊三角形，对一般三角形、多边形，我们发现的结论成立吗？这正是我们本节课要解决的问.Ⅱ.新课讲解1.做一做投影片（§4.7.2 A）在上图中，△ABC ∽△A ′B ′C ′，相似比为43. （1）请你写出图中所有成比例的线段. （2）△ABC 与△A ′B ′C ′的周长比是多少？你是怎么做的？ （3）△ABC 的面积如何表示？△A ′B ′C ′的面积呢？△ABC 与△A ′B ′C ′的面积比是多少？与同伴交流.［生］（1）∵△ABC ∽△A ′B ′C ′∴B A AB ''=C B BC ''=C A AC ''=D C CD ''=D B BD ''=D A AD ''=43. （2）43='''∆∆的周长的周长C B A ABC . ∵B A AB ''=C B BC ''=C A AC ''=43. ∴C A C B B A AC BC AB l l C B A ABC ''+''+''++='''∆∆ =C A C B B A C A C B B A ''+''+''''+''+''434343 =43)(43=''+''+''''+''+''C A C B B A C A C B B A . （3）S △ABC =21AB ·C D. S △A ′B ′C ′=21A ′B ′·C ′D ′. ∴2)43(2121=''⋅''=''⋅''⋅='''∆∆D C CD B A AB D C B A CD AB S S C B A ABC . 2.想一想如果△ABC ∽△A ′B ′C ′，相似比为k ，那么△ABC 与△A ′B ′C ′的周长比和面积比分别是多少？ ［生］由上可知若△ABC ∽△A ′B ′C ′，相似比为k ，那么△ABC 与△A ′B ′C ′的周长比为k ，面积比为k 2.3.议一议投影片（§4.7.2 B ）.如图，四边形A 1B 1C 1D 1∽四边形A 2B 2C 2D 2，相似比为k .（1）四边形A 1B 1C 1D 1与四边形A 2B 2C 2D 2的周长比是多少？（2）连接相应的对角线A 1C 1，A 2C 2，所得的△A 1B 1C 1与△A 2B 2C 2相似吗？△A 1C 1D 1与△A 2C 2D 2呢？如果相似，它们的相似各是多少？为什么？（3）设△A 1B 1C 1，△A 1C 1D 1，△A 2B 2C 2，△A 2C 2D 2的面积分别是,111C B A S ∆ 222222111,,D C A C B A D C A S S S ∆∆∆ 那么222111222111D C A D C A C B A C B A S S S S ∆∆∆∆=各是多少？（4）四边形A 1B 1C 1D 1与四边形A 2B 2C 2D 2的面积比是多少？如果把四边形换成五边形，那么结论又如何呢？［生］解：（1）∵四边形A 1B 1C 1D 1∽四边形A 2B 2C 2D 2.相似比为k .（2）△A 1B 1C 1∽△A 2B 2C 2、△A 1C 1D 1∽△A 2C 2D 2，且相似比都为k .∵四边形A 1B 1C 1D 1∽四边形A 2B 2C 2D 2∴2211221122112211D A D A D C D C C B C B B A B A === ∠D 1A 1B 1=∠D 2A 2B 2,∠B 1=∠B 2.∠B 1C 1D 1=∠B 2C 2D 2,∠D 1=∠D 2.在△A 1B 1C 1与△A 2B 2C 2中∵22112211C B C B B A B A = ∠B 1=∠B 2. ∴△A 1B 1C 1∽△A 2B 2C 2.∴2211B A B A =k . 同理可知，△A 1C 1D 1∽△A 2C 2D 2，且相似比为k .（3）∵△A 1B 1C 1∽△A 2B 2C 2,△A 1C 1D 1∽△A 2C 2D 2.22222222222222)(k S S S S k D C A C B A D C A C B A =++∆∆∆∆照此方法，将四边形换成五边形，那么也有相同的结论.由此可知：相似多边形的周长比等于相似比，面积比等于相似比的平方.Ⅲ.随堂练习完成教材随堂练习Ⅳ.课时小结本节课我们重点研究了相似三角形的对应线段（高、中线、角平分线）的比，周长比都等于相似比，面积比等于相似比的平方.Ⅴ.课后作业习题4.12●板书设计 4.7 相似三角形的性质第2课时 相似三角形的周长和面积之比一、1.做一做2.想一想3.议一议二、课堂练习三、课时小结四、课后作业。
九年级数学上册 4.7 第2课时 相似三角形的周长和面积之比教案2 北师大版(2021年最新整理)
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第2课时相似三角形的周长和面积之比●教学目标(一)教学知识点1。
相似三角形的周长比，面积比与相似比的关系。
2.相似三角形的周长比，面积比在实际中的应用。
（二)能力训练要求1。
经历探索相似三角形的性质的过程，培养学生的探索能力.2。
利用相似三角形的性质解决实际问题训练学生的运用能力。
(三）情感与价值观要求1。
学生通过交流、归纳，总结相似三角形的周长比、面积比与相似比的关系，体会知识迁移、温故知新的好处。
2。
运用相似多边形的周长比,面积比解决实际问题,增强学生对知识的应用意识.●教学重点1。
相似三角形的周长比、面积比与相似比关系的推导。
2。
运用相似三角形的比例关系解决实际问题.●教学难点相似三角形周长比、面积比与相似比的关系的推导及运用。
●教学方法引导启发式通过温故知新,知识迁移，引导学生发现新的结论，通过比较、分析，应用获得的知识达到理解并掌握的目的。
●教具准备投影片两张第一张：（记作§4.7.2 A）第二张：（记作§4.7。
2 B）●教学过程Ⅰ.创设问题情境,引入新课［师］(拿大小不同的两个等腰直角三角形三角板).我手中拿着两名同学的两个大小不同的三角板。
2018年秋九年级数学上册第四章图形的相似4.7相似三角形的性质第2课时相似三角形中周长和面积之比教
(3)设△ABG，△AiGD，△ARG，△AGD的面积分别是SAiBlGi,
SAciD，S姓B2C2，SA2C2D2
那么沁1Ci=込1Di各是多少？
S.A2B2C2S.a2c2d2
(4)四边形A BiCD与四边形ABC2Db的面积比是多少？ 如果把四边形换成五边形，那么结论又如何呢？
［生］面积比与相似比的平方相等.
［师］老师为你的重大发现感到骄傲.但这是特殊三角形，对一般三角形、多边形，我
们发现的结论成立吗？这正是我们本节课要解决的问题
n.新课讲解
1.做一做
投影片（§4.7.2 A）
在上图中，△ABGAAB' C',相似比为3.
4
(1)请你写出图中所有成比例的线段•
(2)4ABC与△AB' C的周长比是多少？你是怎么做的？
••四边形AiB C Ds四边形ABC2Db
A BiBiCiCiDiA Di
A2B2B2C2C2D2A2D2
/DA B=ZDAB,/B=ZB./B CD=ZBCD,/D=ZD2.在厶ABC与厶ARG中
4.7
•教学目标
（一）教学知识点
1.相似三角形的周长比，面积比与相似比的关系
2.相似三角形的周长比，面积比在实际中的应用
（二）能力训练要求
1.经历探索相似三角形的性质的过程，培养学生的探索能力
2.利用相似三角形的性质解决实际问题训练学生的运用能力
（三）情感与价值观要求
1.学生通过交流、归纳，总结相似三角形的周长比、面积比与相似比的关系，体会知识 迁移、温故知新的好处.
［生］解：(1)•••四边形AiBiC Ds四边形ABGD.相似比为k.