江西省遂川中学高三第一次月考数学试卷(理)(集合与简易逻辑、函数、数列、三角函数)

江西省遂川中学2008届高三第一次月考数学试卷（理） 考试范围：集合与简易逻辑、函数、数列、三角函数命题人：林长华（2007-9-21）第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．已知I 是全集，,M N 是非空集合，且M N I ⊂⊂，则下面结论中不正确．．．的是（ ） A ．I C MN I = B ．MN N = C ．I C MN φ= D ．I MC N φ=2．函数)(),1ln(2R x x x y ∈++=的反函数为( )A ．R x e e y x x ∈-=-),(21 B ．),0(),(21+∞∈-=-x e e y x x C ．R x e e y x x ∈+=-),(21 D ．),0(),(21+∞∈+=-x e e y x x3．用长度为24m 的材料围成一矩形场地，并且中间加两道隔墙，要使矩形的面积最大，则隔墙的长度为（ ） A ．3m B ．4m C ．6m D ．12m4．命题p ：若,a b R ∈，则1a b +>是1a b +>的充分不必要条件；命题q ：函数y =的定义域是(][),13,-∞-+∞，则（ ）A ．“p 或q ”为假B ．“p 且q ”为真C ．p 真q 假D ．p 假q 真5. 已知51cos sin =+αα，],0[πα∈，则tan α的值是 （ ） A ．34- B ．43- C ．43 D ．346．已知点P(sin α－cos α，tan α)在第一象限，则在［0，2π)内，α的取值范围是( )A ．( π2， 3π4)∪(π， 5π4)B ．( π4， π2)∪(π， 5π4)C ．( π2 ， 3π4 )∪(5π4，3π2)D ．( π4， π2 )∪(3π4 ，π)7．数列{}n a 的前n 项和n S 与通项n a 满足关系式222()n n S na n n n N +=+-∈,则10010a a -= ( )A. 90-B. 180-C. 360-D. 400-8．不等式2()0f x ax x c =-->的解集为{|21}x x -<<,则函数()y f x =-的图象为（ ）9. 探索以下规律： 则根据规律，从2004到2006，箭头的方向依次是( ) A B C D10．若22sin sin =+βα，则cos α+cos β的取值范围是（）A ．]22,0[ B ．]22,22[- C ．[－2，2]D ．]214,214[-11．若数列{}n a 的通项公式为)(524525122+--∈⎪⎭⎫ ⎝⎛⨯-⎪⎭⎫⎝⎛⨯=N n a n n n ，{}na 的最大值为第x项，最小项为第y 项，则x+y 等于 （ ）A.3B.4C.5D.612．已知定义在R 上的函数()f x 的图像关于点3,04⎛⎫- ⎪⎝⎭对称，且满足3()()2f x f x =-+，(1)1f -=，(0)2f =-，则(1)(2)(2006)f f f +++ 的值为（ ）A ．2-B ．0C ．1D ．2第Ⅱ卷二、填空题:本大题共4小题，每小题4分，共16分，把答案填在题中横线上. 13．设函数2()log (3)f x x =+的图像为1C ，函数()y g x =的图像为2C ，若1C 与2C 关于直线y x =对称，则(1)(1)f g +的值为 ． 14．设集合(){},1,,P x y y x x y R ==+∈，()1,,,2Q x y y ax x y R ⎧⎫==+∈⎨⎬⎩⎭，且12567 91011 …… ， 0 3 4 8P Q φ=，则实数a 的取值范围是 ．15．（ 3 tan12°-3）csc12°4cos 212°-2＝16．对于各数互不相等的正数数组()n i i i ,,,21 （n 是不小于2的正整数），如果在q p <时有q p i i >，则称p i 与q i 是该数组的一个“逆序”，一个数组中所有“逆序”的个数称为此数组的“逆序数”．若各数互不相等的正数数组()654321,,,,,a a a a a a 的“逆序数”是2，则()123456,,,,,a a a a a a 的“逆序数”是 ．三、解答题：本大题共6小题，共70分。

解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.17．（本小题共12分）（1）已知函数2π()cos 12f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，1()1sin 22g x x =+．设0x x =是函数()y f x =图象的一条对称轴，求0()g x 的值．（2）已知函数0)(,]3,0[44)(2>∈-++-=x f x a x ax x x f 时在成立，求a 的取值范围。

18．（本小题共 1 2分）已知关于x 的不等式ax x ax <--122的解集为A ，且)1,(-∞⊆A ，求实数a 的取值范围．19 （本小题满分12分）已知数列{}n a 的各项均为正数，它的前n 项和S n 满足)2)(1(61++=n n n a a S ，并且942,,a a a 成等比数列.（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）设n n n n n T a a b ,)1(11++-=为数列{}n b 的前n 项和，求n T 2。

20．（本小题共12分）已知函数.)sin 2cos 2()(2b x xa x f ++= （1）当1=a 时，求)(x f 的单调递增区间；（2）当0>a ，且],0[π∈x 时，)(x f 的值域是]4,3[，求a 、b 的值。

21．（本小题满分12分）已知二次函数2()f x ax bx =+的图象过点(4,0)n -，且*(0)2,()f n n N '=∈（1）求()f x 的解析式；（2）若数列{}n a 满足111()n n f a a +'=，且14a =，求数列{}n a 的通项公式；（3）对于（2）中的数列{}n a ，求证： 12315nk n k a a a a a ==+++⋅⋅⋅+<∑。

22．（本小题共14分）设)(x f y =是定义在R 上的函数，如果存在A 点，对函数)(x f y =的图像上任意点P ，P 关于点A 的对称点Q 也在函数)(x f y =的图像上，则称函数)(x f y =关于点A 对称，A 称为函数)(x f 的一个对称点. 对于定义在R 上的函数)(x f ，可以证明点),(b a A 是)(x f 图像的一个对称点的充要条件是b x a f x a f 2)()(=++-,R x ∈. (1) 求函数233)(x x x f +=图像的一个对称点；(2)函数13)(++=x x e e x g 的图像是否有对称点？若存在则求之，否则说明理由。

参考答案一、选择题1~4：CAAD 5~8：ACBB 9~12：ADAD 二、填空题13、1 14、[]1,1- 15、-16、13 三、解答题17、解：（1）由题设知1π()[1cos(2)]26f x x =++．因为0x x =是函数()y f x =图象的一条对称轴，所以0π26x +πk =，即0 π2π6x k =-（k ∈Z ）．所以0011π()1sin 21sin(π)226g x x k =+=+-．当k 为偶数时，01π13()1sin 12644g x ⎛⎫=+-=-= ⎪⎝⎭，当k 为奇数时，01π15()1sin 12644g x =+=+=（2）成立]3,0[0442∈>-++-x a x ax x211111)1(2)1(14422++++=+++++=+++<∴x x x x x x x x a42111≥++++x x 时取0(=x “二”) 4<∴a18、解：由ax x ax <--122，得：0122<---ax x ax ， ∴012<--x ax ，∴0)1)(2(<--x ax ． 当0=a 时，原不等式的解集}1|{>=x x A 不是)1,(-∞的子集．当0≠a 时，∵aaa -=-212，（1）当2>a 时，02<-a a ，则12<a，此时，不等式的解集)1,(}12|{-∞⊆<<=x ax A ；（2）当2=a 时，0)1(2<-x ,故)1,(-∞⊆∅=A ；（3）当20<<a 时，02>-a a ，则12>a，此时，不等式的解集}21|{a x x A <<=不是)1,(-∞的子集；（4）当0<a 时，12<a，此时，不等式的解集}12|{><=x a x x A 或不是)1,(-∞的子集．综上，),2[+∞∈a ．19、解：（1）∵对任意+∈N n ，有)2)(1(61++=n n n a a S ①∴当n=1时，有)2)(1(611111++==a a a S ，解得a 1=1或2 当n ≥2时，有)2)(1(61111++=---n n n a a S ② 当①－②并整理得0)3)((11=--+--n n n n a a a a而{a n }的各项均为正数，所以.31=--n n a a当a 1=1时，9224,23)1(31a a a n n a n =-=-+=此时成立； 当a 1=2时，9224,13)1(32a a a n n a n =-=-+=此时不成立；舍去. 所以+∈-=N n n a n ,23（2）122544332212212+--+-=+++=n n n n a a a a a a a a a a b b b T)()()(12122534312+--+-+-=n n n a a a a a a a a an n n n a a a a a a n n 6182)264(6)(66662242242--=-+⨯-=++-=---= 20、解（1）1)4sin(2sin cos 1)(+++=+++=b x b x x x f π, ∴递增区间为.],42,432[Z k k k ∈+-ππππ （2）,)4sin(2)cos (sin )(b a x a b a x x a x f +++=+++=π而]1,22[)4sin(],45,4[4],,0[-∈+∈+∈πππππx x x ，故⎪⎩⎪⎨⎧=-=∴⎪⎩⎪⎨⎧=++-=++.312,3)22(2,42b a b a a b a a 21、解（1）由b ax x f +='2)(，∴⎪⎩⎪⎨⎧=-=041622nb a n nb 解之得n b a 2,21==即2*1()2()2f x x nx n N =+∈； （2）由n a a nn 2111+=+ ∴n a a nn 2111=-+由累加得n n a n-=-2411∴*24()(21)n a n N n =∈-； （3）11111(1)1(1)4k a k k k kk k =<=----+(2k ≥)当1n =时，显然成立；当2n ≥时，11111114[(1)()()]552231nk k a n n n =≤+-+-++-=-<-∑；……12分22、解：(1)设),(b a A 为函数233)(x x x f +=图像的一个对称点，则bx a f x a f 2)()(=++-对于R x ∈恒成立. 即b x a x a x a x a 2)(3)()(3)(2323=++++-+-对于R x ∈恒成立，0)262()66(232=-+++∴b a a x a 由⎩⎨⎧=-=⇒⎩⎨⎧=-+=+21026206623b a b a a a ， 故函数)(x f 图像的一个对称点为)2,1(-.（2）假设),(n m A 是函数11213)(++=++=x x x e e e x g 的图像的一个对称点，则n e e x m x m 2112112=++++++-对于R x ∈恒成立，即 0)2(]2)1)(1[()2(22=-+⋅++-+⋅⋅-m x m x m e n e e n e e n 对于R x ∈恒成立，所以⎩⎨⎧==⇒⎩⎨⎧=++-=-2002)1)(1(0)2(2n m e n e n m m .故函数13)(++=x x e e x g 的图像有一个对称点)2,0(A .（其实21113)(++-=++=x x x x e e e e x g ，而函数x xe e y +-=11是奇函数，其图象关于原点对称，故)(x g 的图象关于)2,0(对称）。