福建省泉州一中、莆田哲理中学2019-2020学年九年级(上)期中数学试卷 含解析

2019-2020学年九年级（上）期中数学试卷

一、选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有

一项是符合题目要求的．

1．下列事件中，是必然事件的是（）

A．购买一张彩票，中奖

B．射击运动员射击一次，命中靶心

C．经过有交通信号灯的路口，遇到红灯

D．任意画一个三角形，其内角和是180°

2．反比例函数y＝﹣，下列说法不正确的是（）

A．图象经过点（1，﹣3）B．图象位于第二、四象限

C．图象关于直线y＝x对称D．y随x的增大而增大

3．对温州某社区居民最爱吃的鱼类进行问卷调查后（每人选一种），绘制成如图所示统计图．已知选择鲳鱼的有40人，那么选择黄鱼的有（）

A．20人B．40人C．60人D．80人

4．如图，晚上小亮在路灯下散步，在小亮由A处径直走到B处这一过程中，他在地上的影子（）

A．逐渐变短B．先变短后变长

C．先变长后变短D．逐渐变长

5．如图，▱ABCD中，E为AD的中点．已知△DEF的面积为S，则△DCF的面积为（）

A．S B．2S C．3S D．4S

6．如图，网格中的两个三角形是位似图形，它们的位似中心是（）

A．点A B．点B C．点C D．点D

7．抛物线C1：y＝x2+1与抛物线C2关于x轴对称，则抛物线C2的解析式为（）A．y＝﹣x2B．y＝﹣x2+1 C．y＝x2﹣1 D．y＝﹣x2﹣1 8．对于题目“一段抛物线L：y＝﹣x（x﹣3）+c（0≤x≤3）与直线l：y＝x+2有唯一公共点，若c为整数，确定所有c的值，”甲的结果是c＝1，乙的结果是c＝3或4，则（）A．甲的结果正确

B．乙的结果正确

C．甲、乙的结果合在一起才正确

D．甲、乙的结果合在一起也不正确

9．验光师测得一组关于近视眼镜的度数y（度）与镜片焦距x（米）的对应数据如下表，根据表中数据，可得y关于x的函数表达式为（）

A．y＝B．y＝C．y＝D．y＝

10．已知点A（﹣1，m），B（1，m），C（2，m﹣n）（n＞0）在同一个函数的图象上，这个函数可能是（）

A．y＝x B．y＝﹣C．y＝x2D．y＝﹣x2

二、填空题：本题共6小题，每小题4分，共24分．

11．cos30°＝．

12．二次函数y＝x2﹣3的对称轴是．

13．从甲、乙、丙三名同学中随机抽取环保志愿者，抽取两名，甲在其中的概率．14．如图，在正六边形ABCDEF的上方作正方形AFGH，联结GC，那么∠GCD的正切值为．

15．如图，在△ABC中，AB：AC＝7：3，∠BAC的平分线交BC于点E，过点B作AE的垂线段，垂足为D，则AE：ED＝．

16．已知如图，直线y＝x分别与双曲线y＝（m＞0，x＞0）、双曲线y＝（n＞0，x ＞0）交于点A，点B，且＝，将直线y＝x向左平移6个单位长度后，与双曲线y＝交于点C，若S△ABC＝4，则mn的值为．

三、解答题：本题共9小题，共86分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．解方程x（x﹣2）﹣1＝2x．

18．如图，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝108°，点D、E分别在边BC、边AB上，且∠ADE

＝36°．求证：△ADC∽△DEB．

19．如图所示，已知：在△ABC中，∠A＝60°，∠B＝45°，AB＝8．求：△ABC的面积．（结果可保留根号）

20．求证：三角形的中位线平行于三角形的第三边，并且等于第三边的一半．解答要求如下：

（1）对于图中△ABC，用尺规作出一条中位线DE；（不必写作法，但应保留作图痕迹）（2）根据（1）中作出的中位线，写出已知，求证和证明过程．

21．已知抛物线y＝x2﹣mx+2m﹣1必过定点H．

（1）写出H的坐标．

（2）若抛物线经过点A（0，3），求证：该抛物线恒在直线y＝﹣2x﹣1上方．

22．市面上贩售的防晒产品标有防晒指数SPF，而其对抗紫外线的防护率算法为：防护率＝

×100%，其中SPF≥1．

请回答下列问题：

（1）厂商宣称开发出防护率90%的产品，请问该产品的SPF应标示为多少？

（2）某防晒产品文宣内容如图所示．

请根据SPF与防护率的转换公式，判断此文宣内容是否合理，并详细解释或完整写出你的理由．

23．有一块形状如图的五边形余料ABCDE，AB＝AE＝6，BC＝5，∠A＝∠B＝90°，∠C＝135°，∠E＞90°，要在这块余料中截取一块矩形材料，其中一条边在AE上，并使所截矩形材料的面积尽可能大．

（1）若所截矩形材料的一条边是BC或AE，求矩形材料的面积．

（2）能否截出比（1）中更大面积的矩形材料？如果能，求出这些矩形材料面积的最大值；如果不能，说明理由．

24．如果三角形的两个内角α与β满足2α+β＝90°，那么我们称这样的三角形为“准互余三角形”．

（1）若△ABC是“准互余三角形”，∠C＞90°，∠A＝60°，则∠B＝°；

（2）如图①，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝4，BC＝5．若AD是∠BAC的平分线，不难证明△ABD是“准互余三角形”．试问在边BC上是否存在点E（异于点D），使得△ABE也是“准互余三角形”？若存在，请求出BE的长；若不存在，请说明理由．

（3）如图②，在四边形ABCD中，AB＝7，CD＝12，BD⊥CD，∠ABD＝2∠BCD，且△ABC 是“准互余三角形”，求对角线AC的长．

25．若抛物线与x轴的两个交点及其顶点构成等边三角形，则称该抛物线为“等边抛物线”

（1）若对任意m，n，点M（m，n）和点N（﹣m+4，n）恒在“等边抛物线”C1：y＝ax2+bx 上，求抛物线C1的解析式；

（2）若抛物线C2：y＝ax2+bx+c为“等边抛物线“，求b2﹣4ac的值；

（3）对于“等边抛物线“C3：y＝x2+bx+c，当1＜x＜m时，总存在实数b，使二次函数C3的图象在一次函数y＝x图象的下方，求m的最大值．