高中数学人教b版必修5学案：2.1.1数列课堂探究学案(含答案)

2.1.1 数列
课堂探究
一、对数列通项公式的理解
剖析：(1)数列的通项公式实际上是一个以自然数或它的有限子集{1，2，…，n}为定义域的函数表达式．
(2)如果知道了数列的通项公式，那么依次用1，2，3，…去替代公式中的n 就可以求出这个数列的各项；同时，用数列的通项公式也可以判断某数是否是某数列中的项，如果是的话，是第几项．
(3)与所有的函数关系不一定都有解析式一样，并不是所有的数列都有通项公式．如2的不足近似值，精确到1，0．1，0．01，0．001，0．000 1，…，所构成的数列1，1．4，1．41，1．414，1．414 2，…就没有通项公式．
(4)有的数列的通项公式，在形式上不一定是唯一的，正如数列：－1，1，
－1，1，－1，1，…，它可以写成a n ＝(－1)n ，也可以写成a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧ －1，n 为奇数，
1，n 为偶数，还可以写成a n ＝(－1)n ＋2(n ＝1，2，3，…)等，这些通项公式，形式上虽然不同，但都表示同一个数列．
(5)有些数列，只给出它的前几项，并没有给出它的构成规律，那么仅由前面几项归纳出数列的通项公式并不唯一．
二、函数思想在数列中的应用
剖析：数列是一种特殊的函数，判断数列的单调性，求数列的最值、周期等都可以利用函数的思想来解决．
(1)数列是一种特殊的函数，其定义域为正整数集(或它的有限子集)，值域是数列中的项的集合．
(2)数列的通项公式是项a n与项数n的等量关系式．从函数的思想看，就是函数值a n与自变量n的等量关系式．利用通项公式求数列中的项的问题，从函数的观点看就是已知函数解析式求函数值的问题．因此，用函数的思想解决数列问题可使问题变得更简单．
(3)数列中求数列最大(小)项的问题也是常见题目，就是用函数的思想求函数的最值问题，可利用函数求最值的方法求数列中的最大(小)项问题，如图象法等，可使问题简单化．
(4)数列中求数列的单调性问题也是常见题目．就是用函数的思想求数列的单调性问题，可利用函数单调性的定义求数列的单调性，又使问题函数化了．总之，在函数中研究的函数性质在数列中都有可能利用到，利用函数的思想解决数列的有关问题可达到事半功倍的效果．
三、教材中的“思考与讨论”
是否存在一个各项都小于5的无穷递增数列？如果存在，请写出一个这样的数列的通项公式．(提示：先定义一个在(0，＋∞)上，且函数值都小于5的函数)
剖析：存在这样的数列，如a n＝－1
n
，a n＝5－
2
n
等均满足条件．
题型一数列的概念
【例1】下列哪些表示数列？哪些不表示数列？
(1){1，5，2，3，6，7}；
(2)方程x(x－1)(x－2)(x－3)(x－4)＝0的解；
(3)f(x)＝x2－x＋2的函数值f(－1)，f(0)，f(1)，f(2)；
(4)当x＝1时，x，x＋1，x－2，x2，2x的值；
(5)－3，－1，1，x，5，7，y，11．
分析：由数列的定义，抓住两点：(1)是否是一列数；(2)是否按照一定的顺序排列，即可判断出是否为数列．
解：(1){1，5，2，3，6，7}表示的是一个数集，而不是数列；
(2)表示的是方程的解，虽然是数，却没有一定的顺序，不能叫数列；
(3)f(－1)，f(0)，f(1)，f(2)是有顺序的一列数，是数列；
(4)当x＝1时，x，x＋1，x－2，x2，2x都是一些数，而且具有顺序，故是数列；
(5)当x，y表示数时为数列；当x，y中有一个不代表数时，便不是数列．
反思：运用数列的定义判断一组元素是否为数列的一般步骤是：(1)判断这组元素是否都是数；(2)判断这组元素是否按照一定的顺序排列．注意：按一定顺序不表示该数列具有规律性，即数列中的每一项可以是有规律的，也可以是无规律的．
题型二根据通项公式求项
【例2】根据下面数列的通项公式，写出它们的前5项．
(1)a n＝
n
2n＋1
；(2)a n＝3n＋2n．
分析：已知数列的通项公式，依次用1，2，3，…代替公式中的n，便可以求出数列的各项．
解：(1)在通项公式a n＝
n
2n＋1
中，依次取n＝1，2，3，4，5，得到数。