北京市燕山区2015届中考一模数学试题有答案(word版)
2015年北京市燕山区中考一模数学试卷(解析版)
2015年北京市燕山区中考数学一模试卷一、（本题共30分，每小题3分）下面各题均有四个选项，其中只有一个是符合题意的．1．（3分）﹣2的相反数是（）A．2B．﹣2C．D．2．（3分）据报道，中国内地首次采用“全无人驾驶”的燕房线地铁有望年底完工，列车通车后将极大改善房山和燕山居民的出行条件，预计年输送乘客可达7300万人次，将7300用科学记数法表示应为（）A．73×102B．7.3×103C．0.73×104D．7.3×102 3．（3分）下面的几何体中，俯视图为三角形的是（）A．B．C．D．4．（3分）如图，∠1＝∠B，∠2＝25°，则∠D＝（）A．25°B．45°C．50°D．65°5．（3分）下面是某小区居民家庭的月用水量情况统计表：从中任意抽出一个家庭进行用水情况调查，则抽到的家庭月用水量为6吨的概率为（）A．B．C．D．6．（3分）以下是期中考试后，班里两位同学的对话：小晖：我们小组成绩是85分的人最多；小聪：我们小组7位同学成绩排在最中间的恰好也是85分以上两位同学的对话反映出的统计量是（）A．众数和方差B．平均数和中位数C．众数和平均数D．众数和中位数7．（3分）在多项式x2+9中添加一个单项式，使其成为一个完全平方式，则添加的单项式可以是（）A．x B．3x C．6x D．9x8．（3分）如图，⊙O的半径长6cm，点C在⊙O上，弦AB垂直平分OC于点D，则弦AB的长为（）A．9cm B．cm C．cm D．cm 9．（3分）在△ABC中，按以下步骤作图：①分别以A，B为圆心，大于AB 的长为半径画弧，相交于两点M，N；②作直线MN交AC于点D，连接BD．若CD＝BC，∠A＝35°，则∠C＝（）A．40°B．50°C．60°D．70°10．（3分）李阿姨每天早晨从家慢跑到小区公园，锻炼一阵后，再慢跑回家．表示李阿姨离开家的距离y（单位：米）与时间t（单位：分）的函数关系的图象大致如上图所示，则李阿姨跑步的路线可能是（用P点表示李阿姨家的位置）（）A．B．C．D．二、填空题（本题共18分，每小题3分）11．（3分）若代数式有意义，则x的取值范围是．12．（3分）因式分解：ab2﹣a＝．13．（3分）如图，跷跷板AB的支柱OD经过它的中点O，且垂直于地面BC，垂足为D，OD＝45cm，当它的一端B着地时，另一端A离地面的高度AC为cm．14．（3分）已知某函数图象经过点（﹣1，1），且当x＞0时，y随x的增大而增大．请你写出一个满足条件的函数解析式：y＝．15．（3分）为了节能减排，近期纯电动出租车正式上路运行．某地纯电动出租车的运价为3公里以内10元；超出3公里后每公里2元；单程超过15公里，超过部分每公里3元．小周要到离家10公里的博物馆参观，若他往返都乘坐纯电动出租车，共需付车费元．16．（3分）定义：对于任意一个不为1的有理数a，把称为a的差倒数，如2的差倒数为，﹣1的差倒数为＝．记，a2是a1的差倒数，a3是a2的差倒数，a4是a3的差倒数，…，依此类推，则a2＝；a2015＝．三、简答题（本题共30分，每小题5分）17．（5分）如图，点E，F在线段AC上，AB∥CD，AB＝CD，AE＝CF．求证：BE＝DF．18．（5分）计算：．19．（5分）解不等式组：．20．（5分）已知x2﹣x﹣2＝0，求代数式x（2x﹣1）﹣（x+1）（x﹣1）的值．21．（5分）列方程或方程组解应用题：赵老师为了响应市政府“绿色出行”的号召，改骑自行车上下班，结果每天上班所用时间比自驾车多小时．已知赵老师家距学校12千米，上下班高峰时段，自驾车的速度是自行车速度的2倍．求赵老师骑自行车的速度．22．（5分）已知关于x的方程x2﹣（2k﹣3）x+k2﹣3k＝0．（1）求证：方程总有两个不相等的实数根；（2）已知方程有一个根为0，请求出方程的另一个根．四、解答题（本题共20分，每小题5分）23．（5分）如图，菱形ABCD中，对角线AC，BD交于O点，DE∥AC，CE∥BD．（1）求证：四边形OCED为矩形；（2）在BC截取CF＝CO，连接OF，若AC＝8，BD＝6，求四边形OFCD的面积．24．（5分）根据国家邮政局相关信息，2014年我国快递业务量达140亿件，比2013年增长52%，跃居世界第一，而快递产生的包装垃圾也引起了邮政管理部门的重视．以下是根据相关数据绘制的统计图的一部分．根据以上信息，解答下列问题：（1）请补全条形统计图并标明相应数据；（结果保留整数）（2）每件快递专用包装的平均价格约为1.2元，据此计算2014年全国直接丢弃的快递包装造成了约多少亿元的损失？（3）北京市2014年的快递业务量约为6亿件，预计2015年的增长率与近五年全国快递业务量年增长率的平均值近似相等，据此估计2015年北京市快递业务量将达到亿件．（直接写出结果，精确到0.1）25．（5分）如图，△ABC中，AB＝AC，以AB为直径作⊙O交BC于点D，过点D作⊙O的切线DE交AC于点E．（1）求证：∠CED＝90°；（2）若AB＝13，sin∠C＝，求CE的长．26．（5分）阅读下面材料：小军遇到这样一个问题：如图1，△ABC中，AB＝6，AC＝4，点D为BC的中点，求AD的取值范围．小军发现老师讲过的“倍长中线法”可以解决这个问题．他的做法是：如图2，延长AD到E，使DE＝AD，连接BE，构造△BED≌△CAD，经过推理和计算使问题得到解决．请回答：AD的取值范围是．参考小军思考问题的方法，解决问题：如图3，△ABC中，E为AB中点，P是CA延长线上一点，连接PE并延长交BC于点D．求证：P A•CD＝PC•BD．五、解答题（本题共22分，第27题7分，第28题7分，第29题8分）27．（7分）抛物线C1：y＝+bx+c与y轴交于点C（0，3），其对称轴与x 轴交于点A（2，0）．（1）求抛物线C1的解析式；（2）将抛物线C1适当平移，使平移后的抛物线C2的顶点为D（0，k）．已知点B（2，2），若抛物线C2与△OAB的边界总有两个公共点，请结合函数图象，求k的取值范围．28．（7分）△ABC中，∠ABC＝45°，AH⊥BC于点H，将△AHC绕点H逆时针旋转90°后，点C的对应点为点D，直线BD与直线AC交于点E，连接EH．（1）如图1，当∠BAC为锐角时，①求证：BE⊥AC；②求∠BEH的度数；（2）当∠BAC为钝角时，请依题意用实线补全图2，并用等式表示出线段EC，ED，EH之间的数量关系．29．（8分）在平面直角坐标系中，如果点P的横坐标和纵坐标相等，则称点P为和谐点．例如点（1，1），（﹣，﹣），（﹣，﹣），…，都是和谐点．（1）分别判断函数y＝﹣2x+1和y＝x2+1的图象上是否存在和谐点，若存在，求出其和谐点的坐标；（2）若二次函数y＝ax2+4x+c（a≠0）的图象上有且只有一个和谐点（，），且当0≤x≤m时，函数y＝ax2+4x+c﹣（a≠0）的最小值为﹣3，最大值为1，求m的取值范围．（3）直线l：y＝kx+2经过和谐点P，与x轴交于点D，与反比例函数G：y＝的图象交于M，N两点（点M在点N的左侧），若点P的横坐标为1，且DM+DN ＜3，请直接写出n的取值范围．2015年北京市燕山区中考数学一模试卷参考答案与试题解析一、（本题共30分，每小题3分）下面各题均有四个选项，其中只有一个是符合题意的．1．（3分）﹣2的相反数是（）A．2B．﹣2C．D．【解答】解：﹣2的相反数是：﹣（﹣2）＝2，故选：A．2．（3分）据报道，中国内地首次采用“全无人驾驶”的燕房线地铁有望年底完工，列车通车后将极大改善房山和燕山居民的出行条件，预计年输送乘客可达7300万人次，将7300用科学记数法表示应为（）A．73×102B．7.3×103C．0.73×104D．7.3×102【解答】解：将7300用科学记数法表示为：7.3×103．故选：B．3．（3分）下面的几何体中，俯视图为三角形的是（）A．B．C．D．【解答】解：A、长方体的俯视图是长方形，故本选项错误；B、圆锥的俯视图是带圆心的圆，故本选项错误；C、圆柱的俯视图是圆，故本选项错误；D、三棱柱的俯视图是三角形，故本选项正确；故选：D．4．（3分）如图，∠1＝∠B，∠2＝25°，则∠D＝（）A．25°B．45°C．50°D．65°【解答】解：∵∠1＝∠B，∴AD∥BC，∴∠D＝∠2＝25°．故选：A．5．（3分）下面是某小区居民家庭的月用水量情况统计表：从中任意抽出一个家庭进行用水情况调查，则抽到的家庭月用水量为6吨的概率为（）A．B．C．D．【解答】解：∵共有居民家庭：5+40+30+20+5＝100（户），且家庭月用水量为6吨的有30户，∴从中任意抽出一个家庭进行用水情况调查，则抽到的家庭月用水量为6吨的概率为：＝．故选：C．6．（3分）以下是期中考试后，班里两位同学的对话：小晖：我们小组成绩是85分的人最多；小聪：我们小组7位同学成绩排在最中间的恰好也是85分以上两位同学的对话反映出的统计量是（）A．众数和方差B．平均数和中位数C．众数和平均数D．众数和中位数【解答】解：在一组数据中出现次数最多的数是这组数据的众数，排在中间位置的数是中位数，故选：D．7．（3分）在多项式x2+9中添加一个单项式，使其成为一个完全平方式，则添加的单项式可以是（）A．x B．3x C．6x D．9x【解答】解：①x2若为平方项，则加上的项是：±2x×3＝±6x；②若x2为乘积二倍项，则加上的项是：（）2＝，③若加上后是单项式的平方，则加上的项是：﹣x2或﹣9．故为：6x或﹣6x或或﹣x2或﹣9．故选：C．8．（3分）如图，⊙O的半径长6cm，点C在⊙O上，弦AB垂直平分OC于点D，则弦AB的长为（）A．9cm B．cm C．cm D．cm【解答】解：∵⊙O的半径长6cm，弦AB垂直平分OC，∴OD＝3，由勾股定理得，AD＝＝3，∴AB＝6，故选：B．9．（3分）在△ABC中，按以下步骤作图：①分别以A，B为圆心，大于AB 的长为半径画弧，相交于两点M，N；②作直线MN交AC于点D，连接BD．若CD＝BC，∠A＝35°，则∠C＝（）A．40°B．50°C．60°D．70°【解答】解：∵根据作图过程和痕迹发现MN垂直平分AB，∴DA＝DB，∴∠DBA＝∠A＝35°，∵CD＝BC，∴∠CDB＝∠CBD＝2∠A＝70°，∴∠C＝40°，故选：A．10．（3分）李阿姨每天早晨从家慢跑到小区公园，锻炼一阵后，再慢跑回家．表示李阿姨离开家的距离y（单位：米）与时间t（单位：分）的函数关系的图象大致如上图所示，则李阿姨跑步的路线可能是（用P点表示李阿姨家的位置）（）A．B．C．D．【解答】解：由函数图象的变化趋势，得路程变远，路程不变，路程变近，故D符合题意；故选：D．二、填空题（本题共18分，每小题3分）11．（3分）若代数式有意义，则x的取值范围是x≠2．【解答】解：由代数式有意义，得x﹣2≠0，解得x≠2，故答案为：x≠2．12．（3分）因式分解：ab2﹣a＝a（b+1）（b﹣1）．【解答】解：ab2﹣a，＝a（b2﹣1），＝a（b+1）（b﹣1）．13．（3分）如图，跷跷板AB的支柱OD经过它的中点O，且垂直于地面BC，垂足为D，OD＝45cm，当它的一端B着地时，另一端A离地面的高度AC为90cm．【解答】解：∵O是AB的中点，OD垂直于地面，AC垂直于地面，∴OD是△ABC的中位线，∴AC＝2OD＝2×45＝90（cm）．故答案是：90．14．（3分）已知某函数图象经过点（﹣1，1），且当x＞0时，y随x的增大而增大．请你写出一个满足条件的函数解析式：y＝x+2（答案不唯一）．【解答】解：∵当x＞0时，y随x的增大而增大，∴设解析式为：y＝x+b，∵图象经过点（﹣1，1），∴1＝﹣1+b，解得：b＝2；∴解析式为：y＝x+2（答案不唯一）．故答案为x+2（答案不唯一）．15．（3分）为了节能减排，近期纯电动出租车正式上路运行．某地纯电动出租车的运价为3公里以内10元；超出3公里后每公里2元；单程超过15公里，超过部分每公里3元．小周要到离家10公里的博物馆参观，若他往返都乘坐纯电动出租车，共需付车费48元．【解答】解：由3＜10＜15，得到车费为2[10+2（10﹣3）]＝48（元），则共付车费48元．故答案为：4816．（3分）定义：对于任意一个不为1的有理数a，把称为a的差倒数，如2的差倒数为，﹣1的差倒数为＝．记，a2是a1的差倒数，a3是a2的差倒数，a4是a3的差倒数，…，依此类推，则a2＝2；a2015＝2．【解答】解：因为a1＝，所以a2＝，a3＝，，…，所以这列数是、2、﹣1、、2、﹣1，…，每3个数是一个循环，因为2015÷3＝671…2，所以a2015＝2．故答案为：2、2．三、简答题（本题共30分，每小题5分）17．（5分）如图，点E，F在线段AC上，AB∥CD，AB＝CD，AE＝CF．求证：BE＝DF．【解答】证明：∵AB∥CD，∴∠A＝∠C．在△BAE和△DCF中，，∴△BAE≌△DCF（SAS），∴BE＝DF．18．（5分）计算：．【解答】解：原式＝3+﹣3×+1＝3+﹣+1＝4．19．（5分）解不等式组：．【解答】解：∵解不等式①，得x＜3解不等式②x≥﹣1，∴原不等式组的解集为﹣1≤x＜3．20．（5分）已知x2﹣x﹣2＝0，求代数式x（2x﹣1）﹣（x+1）（x﹣1）的值．【解答】解：x（2x﹣1）﹣（x+1）（x﹣1）＝2x2﹣x﹣（x2﹣1）＝2x2﹣x﹣x2+1＝x2﹣x+1，∵x2﹣x﹣2＝0，即x2﹣x＝2．∴原式＝（x2﹣x）+1＝2+1＝3．21．（5分）列方程或方程组解应用题：赵老师为了响应市政府“绿色出行”的号召，改骑自行车上下班，结果每天上班所用时间比自驾车多小时．已知赵老师家距学校12千米，上下班高峰时段，自驾车的速度是自行车速度的2倍．求赵老师骑自行车的速度．【解答】解：设赵老师骑自行车的速度为x千米/小时，依题意得，解方程得x＝10．经检验，x＝10是原方程的解且符合实际意义．答：赵老师骑自行车的速度是10千米/小时．22．（5分）已知关于x的方程x2﹣（2k﹣3）x+k2﹣3k＝0．（1）求证：方程总有两个不相等的实数根；（2）已知方程有一个根为0，请求出方程的另一个根．【解答】解：（1）△＝（2k﹣3）2﹣4×1×（k2﹣3k）＝4k2﹣12k+9﹣4k2+12k＝9＞0，即原方程总有两个不相等的实数根．（2）解法一：把x＝0代入方程x2﹣（2k﹣3）x+k2﹣3k＝0中，得k2﹣3k＝0，解得k＝0，或k＝3当k＝0时，原方程化为x2+3x＝0，＝﹣3，x2＝0；解得x当k＝3时，原方程化为x2﹣3x＝0，解得x1＝3，x2＝0．综上，原方程的另一个根x＝﹣3，或x＝3．解法二：∵△＝9，由求根公式，得，即原方程的根为x1＝k，x2＝k﹣3．当x1＝k＝0时，x2＝k﹣3＝﹣3；当x2＝k﹣3＝0时，x1＝k＝3．综上，原方程的另一个根x＝﹣3，或x＝3．四、解答题（本题共20分，每小题5分）23．（5分）如图，菱形ABCD中，对角线AC，BD交于O点，DE∥AC，CE∥BD．（1）求证：四边形OCED为矩形；（2）在BC截取CF＝CO，连接OF，若AC＝8，BD＝6，求四边形OFCD的面积．【解答】（1）证明：∵DE ∥AC ，CE ∥BD ，∴四边形OCED 为平行四边形．又∵四边形ABCD 是菱形，∴AC ⊥BD ．∴∠DOC ＝90°．∴四边形OCED 为矩形．（2）∵四边形ABCD 是菱形，∴AC 与BD 互相垂直平分于点O ，∴OD ＝OB ＝BD ＝3，OA ＝OC ＝AC ＝4，∴S △DOC ＝＝＝6．在Rt △OBC 中，BC ＝＝5，sin ∠OCB ＝＝．作FH ⊥OC 于点H ，在Rt △CFH 中，CF ＝CO ＝4，sin ∠HCF ＝＝， ∴FH ＝CF ＝． ∴S △OCF ＝＝＝．∴S 四边形OFCD ＝S △DOC +S △OCF ＝6+＝． 24．（5分）根据国家邮政局相关信息，2014年我国快递业务量达140亿件，比2013年增长52%，跃居世界第一，而快递产生的包装垃圾也引起了邮政管理部门的重视．以下是根据相关数据绘制的统计图的一部分．根据以上信息，解答下列问题：（1）请补全条形统计图并标明相应数据；（结果保留整数）（2）每件快递专用包装的平均价格约为1.2元，据此计算2014年全国直接丢弃的快递包装造成了约多少亿元的损失？（3）北京市2014年的快递业务量约为6亿件，预计2015年的增长率与近五年全国快递业务量年增长率的平均值近似相等，据此估计2015年北京市快递业务量将达到8.5亿件．（直接写出结果，精确到0.1）【解答】解：（1）140÷（1+52%）＝92；补全条形统计图如图：；（2）140×60%×1.2＝100.8亿元；答：2014年全国直接丢弃的快递包装造成了约100.8亿元的损失．（3）全国快递业务量年增长率的平均值为﹣1≈0.416×（1+0.41）＝8.5（亿件），2015年北京市快递业务量将达到8.5亿件，故答案为：8.5．25．（5分）如图，△ABC中，AB＝AC，以AB为直径作⊙O交BC于点D，过点D作⊙O的切线DE交AC于点E．（1）求证：∠CED＝90°；（2）若AB＝13，sin∠C＝，求CE的长．【解答】（1）证明：如图，连接OD，∵DE切⊙O于D，OD是⊙O的半径，∴∠EDO＝90°．∵OD＝OB，∴∠ABC＝∠ODB．∵AB＝AC，∴∠ABC＝∠C，∴∠ODB＝∠C，∴DO∥AC，∴∠CED＝∠EDO＝90°．（2）解：如图，连接AD，∵AB为⊙O直径，∴∠ADB＝90°，即AD⊥BC．在Rt△CED和Rt△BDA中，∠C＝∠ABC，∠DEC＝∠ADB＝90°，∴△CED∽△BDA，∴＝，∴．∵AB＝AC＝13，AD⊥BC，∴sin∠ABC＝＝sin∠C＝，∴AD＝AB＝5，∴CD＝BD＝＝12．∴＝．26．（5分）阅读下面材料：小军遇到这样一个问题：如图1，△ABC中，AB＝6，AC＝4，点D为BC的中点，求AD的取值范围．小军发现老师讲过的“倍长中线法”可以解决这个问题．他的做法是：如图2，延长AD到E，使DE＝AD，连接BE，构造△BED≌△CAD，经过推理和计算使问题得到解决．请回答：AD的取值范围是1＜AD＜5．参考小军思考问题的方法，解决问题：如图3，△ABC中，E为AB中点，P是CA延长线上一点，连接PE并延长交BC于点D．求证：P A•CD＝PC•BD．【解答】解：（1）1＜AD＜5，延长AD到E，使DE＝AD，连接BE，在△ACD与△EBD中，，∴△BDE≌△CDA，∴BE＝AC，∴2＜AE＜10，∴1＜AD＜5；（2）证明：延长PD至点F，使EF＝PE，连接BF，∵BE＝AE，∠BEF＝∠AEP，在△BEF与△AEP中，，∴△BEF≌△AEP，∴∠APE＝∠F，BF＝P A，又∵∠BDF＝∠CDP，∴△BDF∽△CDP，∴＝，∴＝，即P A•CD＝PC•BD．五、解答题（本题共22分，第27题7分，第28题7分，第29题8分）27．（7分）抛物线C1：y＝+bx+c与y轴交于点C（0，3），其对称轴与x 轴交于点A（2，0）．（1）求抛物线C1的解析式；（2）将抛物线C1适当平移，使平移后的抛物线C2的顶点为D（0，k）．已知点B（2，2），若抛物线C2与△OAB的边界总有两个公共点，请结合函数图象，求k的取值范围．【解答】解：（1）∵抛物线与y轴交于点C（0，3），∴c＝3．∵抛物线的对称轴为x＝2，∴，解得b＝﹣2，∴抛物线C1的解析式为．（2）由题意，抛物线C2的解析式为．当抛物线经过点A（2，0）时，，解得k＝﹣2．∵O（0，0），B（2，2），∴直线OB的解析式为y＝x．由，得x2﹣2x+2k＝0，①当△＝（﹣2）2﹣4×1×2k＝0，即时，抛物线C2与直线OB只有一个公共点，此时方程①化为x2﹣2x+1＝0，解得x＝1，即公共点P的横坐标为1，点P在线段OB上．∴k的取值范围是．28．（7分）△ABC中，∠ABC＝45°，AH⊥BC于点H，将△AHC绕点H逆时针旋转90°后，点C的对应点为点D，直线BD与直线AC交于点E，连接EH．（1）如图1，当∠BAC为锐角时，①求证：BE⊥AC；②求∠BEH的度数；（2）当∠BAC为钝角时，请依题意用实线补全图2，并用等式表示出线段EC，ED，EH之间的数量关系．【解答】（1）①证明：∵AH⊥BC于点H，∠ABC＝45°，∴△ABH为等腰直角三角形，∴AH＝BH，∠BAH＝45°，∴△AHC绕点H逆时针旋转90°得△BHD，由旋转性质得，△BHD≌△AHC，∴∠1＝∠2．∵∠1+∠C＝90°，∴∠2+∠C＝90°，∴∠BEC＝90°，即BE⊥AC．②如图1，∵∠AHB＝∠AEB＝90°，∴A，B，H，E四点均在以AB为直径的圆上，∴∠BEH＝∠BAH＝45°，（2）解：补全图2，如图2；EC﹣ED＝EH，过H作HF⊥EH交CE于F，由旋转的性质得：∠D＝∠C，HD＝CH，∠CHD＝90°，∴∠EHD＝∠CHF，在△DEH与△CFH中，，∴△DEH≌△CFH，∴CF＝DE，HF＝EH，∴EF＝EH，∴CE﹣EF＝CE﹣EH＝CF＝DE，∴EC﹣ED＝EH．29．（8分）在平面直角坐标系中，如果点P的横坐标和纵坐标相等，则称点P为和谐点．例如点（1，1），（﹣，﹣），（﹣，﹣），…，都是和谐点．（1）分别判断函数y＝﹣2x+1和y＝x2+1的图象上是否存在和谐点，若存在，求出其和谐点的坐标；（2）若二次函数y＝ax2+4x+c（a≠0）的图象上有且只有一个和谐点（，），且当0≤x≤m时，函数y＝ax2+4x+c﹣（a≠0）的最小值为﹣3，最大值为1，求m的取值范围．（3）直线l：y＝kx+2经过和谐点P，与x轴交于点D，与反比例函数G：y＝的图象交于M，N两点（点M在点N的左侧），若点P的横坐标为1，且DM+DN ＜3，请直接写出n的取值范围．【解答】解：（1）存在，令﹣2x+1＝x，解得，∴函数y＝﹣2x+1的图象上有一个和谐点（，）；令x2+1＝x，即x2﹣x+1＝0，∵根的判别式△＝（﹣1）2﹣4×1×1＝﹣3＜0，∴方程x2﹣x+1＝0无实数根，∴函数y＝x2+1的图象上不存在和谐点．（2）令ax2+4x+c＝x，即ax2+3x+c＝0，由题意，△＝32﹣4ac＝0，即4ac＝9，又方程的根为，解得a＝﹣1，．故函数，即y＝﹣x2+4x﹣3，如图1，该函数图象顶点为（2，1），与y轴交点为（0，﹣3），由对称性，该函数图象也经过点（4，﹣3）．由于函数图象在对称轴x＝2左侧y随x的增大而增大，在对称轴右侧y随x的增大而减小，且当0≤x≤m时，函数y＝﹣x2+4x﹣3的最小值为﹣3，最大值为1，∴2≤m≤4．（3），或0＜n＜1．∵y＝kx+2经过和谐点P，∴y＝x，∴x＝kx+2，∴点P的横坐标为1，∴k＝﹣1，∴直线l为：y＝﹣x+2，分两种情况：①如图2，当n＞0时，∵y＝﹣x+2，与x轴交于点D（2，0），与y轴交于点F（0，2），∴DF＝2，∴DM+DN＜3，∴只要y＝﹣x+2与y＝有交点坐标即可，∴﹣x+2＝，整理得：x2﹣2x+n＝0，∴b2﹣4ac＞0，∴4﹣4n＞0，解得：n＜1，则0＜n＜1；②如图3，当n＜0时，当DM+DN＝3，则DN＝FM＝，∵y＝﹣x+2，与x轴交于点D（2，0），与y轴交于点F（0，2），∴可求出M（﹣，），则xy＝n＝﹣，则﹣＜n＜0．综上，当﹣＜n＜0或0＜n＜1时，反比例函数G2的图象与直线l有两个公共点M，N，且DM+DN＜3．。
2015年北京初三一模数学分类汇编------几何综合(含答案)
E
A
C
B
H
C
图2
A
1
O B
2
D H
E
C
图 1－1
E
B
H
C
1 2， AH BH， 4 3，
∴△AHE≌△BHF，„„„„„„„„„3 分 ∴EH＝FH． ∵∠FHE＝90°，∴△FHE 是等腰直角三角形， ∴∠BEH＝45°．„„„„„„„„„4 分
图 1－2
D
1 DCB 30 ．………………………2 分 2
A
F G D
EDC 180 DEC DCA 100 ．
E
H
C
由菱形的对称性可知， BEC DEC 50 ， EBC EDC 100 ． B ……………………………………………3 分 FBC 50 ，图 3 EBG EBC FBC 50 BEC ．………………………………………………4 分 BH EH ． 在 △GEH 与 △CBH 中，
1（燕山一模） △ABC 中，∠ABC＝45°，AH⊥BC 于点 H，将△AHC 绕点 H 逆时针旋转 90°后，点 C 的对应 点为点 D，直线 BD 与直线 AC 交于点 E，连接 EH．
A D B H
图1 （1）如图 1，当∠BAC 为锐角时， ①求证：BE⊥AC； ②求∠BEH 的度数； （2）当∠BAC 为钝角时， 请依题意用实线补全图 2，并用等式表示出线段 EC，ED，EH 之间的数量关系． （1）①证明：∵AH⊥BC 于点 H，∠ABC＝45°， ∴△ABH 为等腰直角三角形， ∴AH＝BH，∠BAH＝45°， ∴△AHC 绕点 H 逆时针旋转 90°得△BHD， 由旋转性质得，△BHD≌△AHC， ∴∠1＝∠2．„„„„„„„„„1 分 ∵∠1＋∠C＝90°， ∴∠2＋∠C＝90°， ∴∠BEC＝90°，即 BE⊥AC．„„„„„„„„„2 分 ②解法一：如图 1－1， ∵∠AHB＝∠AEB＝90°， ∴A，B，H，E 四点均在以 AB 为直径的圆上，„„„„„„„„„3 分 ∴∠BEH＝∠BAH＝45°．„„„„„„„„„4 分 A 解法二：如图 1－2， 过点 H 作 HF⊥HE 交 BE 于 F 点，∴∠FHE＝90°， 1 即∠4＋∠5＝90°． D 又∵∠3＋∠5＝∠AHB＝90°， F ∴∠3＝∠4． 4 5 在△AHE 和△BHF 中， 2 3
2015-2016燕山地区初中毕业考试(一模)数学试卷
2015-2016燕山年初中毕业考试数学试卷2016．4一、选择题（本题共30分，每小题3分）下面各题均有四个选项，其中只有一个．．．．是符合题意的． 1．从2015年秋季学期起，北京110 000名初一新生通过“北京市初中实践活动管理服务平台”进行选课，参加“开放性科学实践活动”课程．将110 000用科学记数法表示应为（ ） A ．11×104 B ．1.1×105 C ．1.1×106 D ．0.11×1062．实数a ，b ，c ，d 在数轴上的对应点的位置如图所示，其中互为相反数的两个数是（ ）A ．a 和dB ．a 和cC ．b 和dD ．b 和c3．2016年是中国农历丙申猴年，下列四个猴子头像中，是轴对称图形的是（ ）A ．B ．C ．D ．4．学校组织知识竞赛，共设有20道试题，其中有关中国优秀传统文化的试题10道，实践应用试题6道，创新能力试题4道．小捷从中任选一道试题作答，他选中创新能力试题的概率是（ ） A ．21 B ．52 C ．103 D ．515．如图，直线m ∥n ，1＝70，∠2＝30，则∠A 等于（ ）A ．30°B ．35°C ．40°D ．50°6．为了解某种电动汽车一次充电后行驶的里程数，对其进行了抽检，统计结果如图所示，则在一次充电后行驶的里程数这组数据中，众数和中位数分别是（ ）A ．220，220B ．220，210C ．200，220D ．230，2107．为了加强视力保护意识，小明要在书房里挂一张视力表．由于书房空间狭小，他想根据测试距离为5m 的大视力表制作一个测试距离为3m 的小视力表．如图，如果大视力表中“E ”的高度是3.5cm ，那么小视力表中相应“E ”的高度是（ ） A ．3cm B ．2.5cm C ．2.3cm D ．2.1cm8．象棋在中国有着三千多年的历史，由于用具简单，趣味性强，成为流行极为广泛的益智游戏．如图，是一局象棋残局，已知表示棋子“馬”12m nCA DB5200数量/辆里程/千米12342202102305m3m?cm3.5cm31-3d c a x-22和“車”的点的坐标分别为(4，3)，(－2，1)，则表示棋子“炮”的点的坐标为（ ）A ．(－3，3)B ．(3，2)C ．(0，3)D ．(1，3) 9．手工课上，老师将同学们分成A ，B 两个小组制作两个汽车模型，每个模型先由A 组同学完成打磨工作，再由BA ．20分钟B ．22分钟C ．26分钟D ．31分钟10．如图1，△ABC 是一块等边三角形场地，点D ，E 分别是AC ，BC 边上靠近C 点的三等分点．现有一个机器人(点P )从A 点出发沿AB 边运动，观察员选择了一个固定的位置记录机器人的运动情况．设AP ＝x ，观察员与机器人之间的距离为y ，若表示y 与x 的函数关系的图象大致如图2所示，则观察员所处的位置可能是图1的（ ）A ．点B B ．点C C E 二、填空题（本题共18分，每小题3分） 11．分解因式：23ab a -＝ ．12．如图，一个正n 边形纸片被撕掉了一部分，已知它的中心角是40°，那么n ＝ ． 13．关于x 的一元二次方程022=+-m x x 有两个不相等的实数根．请你写出一个．．满足条件的m 值：m ＝ ．14．《孙子算经》是中国古代重要的数学著作，记有许多有趣而又不乏技巧的算术程式．其中记载：“今有甲、乙二人，持钱各不知数．甲得乙中半，可满四十八．乙得甲太半，亦满四十八．问甲、乙二人原持钱各几何？”译文：“甲，乙两人各有若干钱．如果甲得到乙所有钱的一半，那么甲共有钱48文．如果乙得到甲所有钱的32，那么乙也共有钱48文．问甲，乙二人原来各有多少钱？” 设甲原有x 文钱，乙原有y 文钱， 可列方程组为 ．15．我国2010－2015年高铁运营里程情况统计如图所示，根据统计图提供的信息，预估2016年我国高铁运营里程约为万公里，你的预估理由是 ．D 40°AO CD图12010－2015年中国高铁运营里程统计图16．阅读下面材料：在数学课上，老师提出如下问题：老师说：“小敏的作法正确．”请回答：小敏的作图依据是 ． 三、解答题(本题共72分，第17－26题，每小题5分，第27题7分，第28题7分，第29题8分)解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程． 17．计算：01)1(60cos 2|2|)21(π-+︒--+-．18．解不等式组：⎩⎨⎧<-≤+．14751x x ，19．如图，点C 为AB 中点，AD ∥CE ，AD ＝CE ．求证：∠D ＝∠E ．20．已知0142=--x x ，求代数式)1)(1()32(2-+--x x x 的值．A BC D E21．为应对雾霾天气，使师生有一个更加舒适的教学环境，学校决定为南北两幢教学楼安装空气净化器．南楼安装的55台由甲队完成，北楼安装的50台由乙队完成．已知甲队比乙队每天多安装两台，且两队同时开工，恰好同时完成任务．甲、乙两队每天各安装空气净化器多少台？22．如图，△ABC 中，AD 是BC 边的中线，分别过点B ，D 作AD ，AB 的平行线交于点E ，且ED 交AC于点F ，AD ＝2DF ．(1) 求证：四边形ABED 为菱形；(2) 若BD ＝6，∠E ＝60°，求四边形ABED 的面积．23．如图，直线n x y +=2与双曲线)0(≠=m xmy 交于A ，B 两点，且点A 的坐标为(1，4)． (1) 求m ，n 的值；(2) 过x 轴上一点M 作平行于y 轴的直线l ，分别与直线n x y +=2和双曲线)0(≠=m xmy 交于点P ，Q ，若PQ ＝2QM ，求点M 的坐标．24．如图，AB 为⊙O 的直径，C ，D 为⊙O 上不同于A ，B 的两点，过点C作⊙O 的切线CF 交直线AB 于点F ，直线DB ⊥CF 于点E ． (1) 求证：∠ABD ＝2∠CAB ； (2) 若BF ＝5，sin ∠F ＝53，求BD 的长．F AC BED F25．阅读下列材料：数学课程内容分为“数与代数”、“图形与几何”、“统计与概率”、“综合与实践”四个领域，其中“综合与实践”领域通过探讨一些具有挑战性的研究问题，给我们创造了可以动手操作、探究学习、认识数学知识间的联系、发展应用数学知识解决问题的意识和能力的机会．“综合与实践”领域在人教版七－九年级6册数学教材中共安排了约40课时的内容，主要有“数学制作与设计”、“数学探究与实验”、“数学调查与测量”、“数学建模”等活动类型，所占比例大约为30%，20%，40%，10%．这些活动以“课题学习”、“数学活动”和“拓广探索类习题”等形式分散于各章之中.“数学活动”几乎每章后都有2～3个，共60个，其中七年级22个，八年级19个；“课题学习”共7个，其中只有八年级下册安排了“选择方案”和“体质健康测试中的数据分析”2个内容，其他5册书中都各有1个；七上－九下共6册书中“拓广探索类习题”数量分别为44，39，46，35，37，23．根据以上材料回答下列问题：(1) 人教版七—九年级数学教材中，“数学调查与测量”类活动约占课时；(2) 选择统计表或．统计图，将人教版七—九年级数学教材中“课题学习”、“数学活动”和“拓广探索类习题”的数量表示出来．26．如图1，四边形ABCD中，AB＝AD，BC＝CD，我们把这种两组邻边分别相等的四边形叫做筝形．请探究“筝形”的性质和判定方法．ABCD图1ABCDO图2小聪根据学习四边形的经验，对“筝形”的判定和性质进行了探究． 下面是小聪的探究过程，请补充完整：(1) 如图2，连接筝形ABCD 的对角线AC ，BD 交于点O ，通过测量边、角或沿一条对角线所在直线折叠等方法探究发现筝形有一组对角相等，请写出筝形的其他．．性质（一条即可）： ，这条性质可用符号表示为： ；(2) 从边、角、对角线或性质的逆命题等角度进行探究，写出筝形的一个判定方法（定义除外），并证明你的结论．27．抛物线1C ：)3)(1(a x x a y -+=(0>a )与x 轴交于A ，B 两点（A 在B 的左侧），与y 轴交于点C (0，－3)．(1) 求抛物线1C 的解析式及A ，B 点坐标；(2) 将抛物线1C 向上平移3个单位长度，再向左平移n （0n >）个单位长度，得到抛物线2C ．若抛物线2C 的顶点在△ABC 内，求n 的取值范围．28．在等边△ABC 外侧作直线AP ，点B 关于直线AP 的对称点为D ，连接AD ，BD ，CD ，其中CD 交直线AP 于点E ．设∠PAB ＝α，∠ACE ＝β，∠AEC ＝γ．(1) 依题意补全图1；图2A BPCAB CP图1(2) 若α＝15°，直接写出β和γ的度数； (3) 如图2，若60°<α<120°，①判断α，β的数量关系并加以证明；②请写出求γ大小的思路．（可以不写出计算结果．．．．．．．．．）29．在平面直角坐标系xOy 中，给出如下定义：若点P 在图形M 上，点Q 在图形N 上，称线段PQ 长度的最小值为图形M ，N 的密距，记为d (M ，N )．特别地，若图形M ，N 有公共点，规定d (M ，N )＝0． (1) 如图1，⊙O 的半径为2，①点A (0，1)，B (4，3)，则d (A ，⊙O )＝ ，d (B ，⊙O )＝ ． ②已知直线l ：b x y +=43与⊙O 的密距d (l ，⊙O )＝56，求b 的值．(2) 如图2，C 为x 轴正半轴上一点，⊙C 的半径为1，直线33433+=x y －与x 轴交于点D ，与y 轴交于点E ，线段．．DE 与⊙C 的密距d (DE ，⊙C )<21．请直接写出圆心C 的横坐标m 的取值范围．燕山地区2016年初中毕业考试数学试卷参考答案与评分标准 2016年4月一、 选择题（本题共30分，每小题3分）11．))((b a b a a -+ 12．9=n ； 13．满足1<m 即可，如0=m ；14．⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+=+.48324821x y y x ，15．预估理由需包含统计图提供的信息，且支撑预估的数据．如：①2.2．按每年平均增长量近似相等进行估算；② 3．近两年国家高铁建设速度加快．（给出2至4之间均可给分）16．对角线互相平分的四边形是平行四边形；有一个角是直角的平行四边形是矩形．三、解答题(本题共72分，第17－26题，每小题5分，第27题7分，第28题7分，第29题8分) 17．解:原式＝121222+⨯-+ ………………………4分 ＝4．………………………5分18．解：解不等式①，得 4≤x ， ………………………2分解不等式②，得23>x ， ………………………4分 ∴原不等式组的解集为423≤<x ． ………………………5分19．证明：∵点C 为AB 中点，∴AC ＝CB ． ………………………1分∵AD ∥CE ， ∴∠A ＝∠1． ………………………2分在△ACD 和△CBE 中，⎪⎩⎪⎨⎧∠=∠=，＝，，CE AD A CB AC 1∴△ACD ≌△CBE （SAS ）， ………………………4分 ∴∠D ＝∠E ． ………………………5分 20．解：)1)(1()32(2-+--x x x＝)1(912422--+-x x x ………………………2分 ＝1912422+-+-x x x＝101232+-x x ． ………………………3分 ∵0142=--x x ，即142=-x x ． ………………………4分 ∴原式＝10)4(32+-x x ＝3＋10＝13． ………………………5分 21．解：设甲队每天安装空气净化器x 台，则乙队每天安装（x －2）台， …………1分依题意得25055-=x x ， ………………………2分 解方程得 x ＝22． ………………………3分 经检验，x ＝22是原方程的解且符合实际意义． ………………………4分 x －2＝22－2＝20（台）．答：甲队每天安装空气净化器22台，乙队每天安装20台． ………………………5分22．（1）证明：∵DE ∥AB ，AD ∥BE ，∴四边形OCED 为平行四边形． ………………………1分 ∵D 是BC 中点，DF ∥AB ， ∴DF 为△ABC 的中位线， ∴AB ＝2DF ． 又∵AD ＝2DF ， ∴AB ＝AD ．∴四边形ABED 为菱形． ………………………2分 （2）∵菱形ABED ，∴∠DAB ＝∠E ＝60°，AB ＝AD ， ∴△DAB 是等边三角形，∴AB ＝AD ＝DB ＝6． ………………………3分1ABCD EFC ED过点D 作DG ⊥AB 于点G ， ∴DG ＝AD •sin60°＝6×23＝33， ………………………4分 ∴S 菱形ABED ＝DG AB ⋅＝336⨯＝318． ………………………5分 23．解：(1) 把点A 的坐标(1，4)代入)0(≠=m x my 得，14m =， ∴4=m ． ………………………1分把点A 的坐标(1，4)代入n x y +=2中，得n +⨯=124，∴2=n ． ………………………2分 (2) 如图，设点M 的坐标为(a ，0)，∵l ∥y 轴，且l 分别与直线22+=x y 和双曲线4Q ， ∴P （a ，2a +2），Q （a，a4）， ∵PQ ＝2QM ，∴|42||422aa a ⨯=-+｜，………………………3分 ∴aa a 8422=-+，或a a 422=-+化简得，062=-+a a ， ① 或022=++a a ， ② 解方程①得，a ＝-3，或a ＝2；方程②无实数根．∴点M 的坐标为(-3，0)或(2，0). ………………………5分 24．（1）证明：如图，连接OC ，∵OA ＝OC ， ∴∠CAB ＝∠1∴∠2＝∠CAB ＋∠1＝2∠CAB ． ∵CF 切⊙O 于C ，OC 是⊙O 的半径， ∴OC ⊥CF ． ………………………1分∵DB ⊥CF ， ∴OC ∥DB ，∴∠ABD ＝∠2，∴∠ABD ＝2∠CAB ． …………………2分 (2) 如图，连接AD ，∵AB 为⊙O 的直径，∴∠ADB ＝90°，即AD ⊥DE ． ∵DE ⊥CF ，∴AD ∥CF ，∴∠3＝∠F ． …………………3分 在Rt △BEF 中，∵∠BEF ＝90°，BF ＝5，sin ∠F ＝53， ∴BE ＝BF •sin ∠F ＝5×53＝3． ∵OC ∥BE ， ∴△FBE ∽△FOC ，F设⊙O 的半径为r ，则r +5＝r， 解得 r ＝215． ………………………4分(2) 统计表如下：人教版七－九年级数学教材“课题学习”、“数学活动”和“拓广探索类习题”的数量统计表（单位：个）5分26．(1) 筝形的其他性质：两组邻边分别相等；对角线互相垂直；有一条对角线被另一条平分；有一条对角线平分对角； 是轴对称图形 ……（写出一条即可） ………………………1分 符号表示（略） ………………………2分 (2) 筝形的判定方法：有一条对角线平分一组对角的四边形是筝形；………………………3分已知：四边形ABCD 中，AC 为一条对角线，∠BAC ＝∠DAC ，∠BCA ＝∠DCA ． 求证：四边形ABCD 是筝形．证明：在△BAC 和△DAC 中，⎪⎩⎪⎨⎧∠=∠∠=∠，，＝，DCA BCA AC AC DAC BAC∴△BAC ≌△DAC （ASA ）， ∴AB ＝AD ，BC ＝CD ，即四边形ABCD 是筝形． ………………………5分其他正确的判定方法有：有一条对角线垂直平分另一条对角线的四边形是筝形； 有一组邻边相等且对角线互相垂直的四边形是筝形；ABCD……27．解：(1) ∵抛物线)3)(1(a x x a y -+=与y 轴交于点C (0，－3)，∴3)30)(10(-=-+a a , ∴332-=-a , 12=a , ∴1±=a ． ∵0>a , ∴1=a ．∴抛物线1C 的解析式为)3)(1(-+=x x y ＝322--x x ． ………………1分 在)3)(1(-+=x x y 中，令0=y ，得1-=x ，或3=x ，∴A (－1，0)，B (3，0)． ………………………3分 (2) ∵322--=x x y ＝4)1(2--x ，∴抛物线1C 的顶点坐标为（1，－4）． ………………………4分 将抛物线1C 向上平移3个单位长度后，得1)1(2--=x y ，其顶点为（1，－1） 在△ABC 内， ………………………5分 再向左平移n （0n >）个单位长度，要想仍在△ABC 内，则顶点需在直线AC 的右侧． 设直线AC 的解析式为b x k y +=，∵A (－1，0)，C (0，－3)， ∴⎩⎨⎧+⋅-+⋅，＝，＝－b k b k 0310 解得⎩⎨⎧-，＝，＝－33b k∴直线AC 的解析式为33-=x y －， ………………………6分当1－=y 时，32－=x ．∴35)32(1=<－－n ． ∴n 的取值范围是350<<n ． ………………………7分28．(1) 补全图形，如图1所示． ………………………1分 (2) β＝45°，γ＝60°． ………………………3分(3) ①α＝β＋60°． ………………………4分证明：如图2，∵点D 与点B 关于直线AP 对称， ∴AD ＝AB ，∠PAD ＝∠PAB ＝α． ∵△ABC 是等边三角形， ∴AB ＝AC ，∠ACB ＝60°， ∴AD ＝AB ＝AC ，∴点B ，C ，D 在以A 为圆心的圆上， ∴∠BAD ＝2∠BCD ．ED AP BC 图1EDAPBC图2∵∠BAD ＝∠PAD ＋∠PAB ＝2α， ∠BCD ＝∠ACE ＋∠BCA ＝β＋60°， ∴2α＝2(β＋60°)，即α＝β＋60°． …………………………6分 ②由①知∠PAB ＝∠BCD ，∴A ，B ，C ，E 四点在同一个圆上，故∠AEC 与∠ABC 互补． 由△ABC 是等边三角形，得∠ABC ＝60°，可求γ＝∠AEC ＝180°－60°＝120°． …………………………7分 29．解：(1) ①d (A ，⊙O )＝1，d (B ，⊙O )＝3． …………………………2分②如图，设直线l ：b x y +=43与x 轴，y∴P (－b 34，0)，Q (0，b )．过点O 作OH ⊥l 于点H ，OH 交⊙O 于点G ，当0>b 时，OQ ＝b ，PQ ＝b 35，sin ∠OPQ ＝PQ OQ ＝53， ∴OH ＝OP •sin ∠OPQ ＝b 34×53＝b 54． ………………………3分∵ d (l ，⊙O )＝GH ＝56， ∴OH ＝OG ＋GH ＝2＋56＝516， ………………………4分 即b 54＝516， ∴4=b ． ………………………5分 当0<b 时，同理可得4－=b ．∴4±=b ． ………………………6分 （3）2111<<m ． ………………………8分说明：各解答题的其他正确解法请参照以上标准按分步给分的原则酌情评分．。
2015年北京中考数学试卷(内含答案)
2015年北京中考数学试卷(内含答案)l42015 年北京市高级中等学校招生考试数 学 考试学 1．本试卷共8 页，共三道大题，29 道小题，满分 120 分．考试时间 120 分钟． 生 2．在试卷和答题卡上准确填写学校名称、姓名和准考证号． 须 3．试题答案一律填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效． 知 4．在答题卡上，选择题、作图题用 2B 铅笔作答，其他试题用黑色字迹签字笔作答．5．考试结束，将本试卷、答题卡和草稿纸一并交回． 一、选择题（本题共 30 分，每小题 3 分） 下面各题均有四个选项，其中只有一．个．是符合题意的． 1．截止到 2015 年 6 月 1 日，北京市已建成 34 个地下调蓄设施，蓄水能力达到 1 40 000 立 方米，将 1 40 000 用科学记数法表示应为A ．14 ⨯104B ．1.4 ⨯105C ．1.4 ⨯106D ． 0.14 ⨯1062．实数 a , b , c , d 在数轴上的对应点的位置如图所示，这四个数中，绝对值最大的是abc d -4 -3 -2 -1 012 34A ． aB ． bC ． cD ． d 3．一个不透明的盒子中装有 3 个红球，2 个黄球和 1 个绿球，这些球除了颜色外无其他差 别，从中随机摸出一个小球，恰好是黄球的概率为A ． 16B ． 13C ． 12 D ． 234．剪纸是我国传统的民间艺术，下列剪纸作品中，是轴对称图形的为5．如图，直线 l 1 , l 2 , l 3 交于一点，直线 l 4 ∥l 1 ，若 ∠1 = 124︒ ，∠2 = 88︒ ，则 ∠3 的度数为l 3l 231A ． 26︒B ． 36︒ 2C ． 46︒D ． 56︒1l6．如图，公路AC, BC 互相垂直，公路AB 的中点M 与点C A被湖隔开，若测得AM 的长为1.2 km，则M ,C两点间的M 距离为A．0.5 km B．0.6 km BCC．0.9 km D．1.2 km7．某市6 月份日平均气温统计如图所示，则在日平均气温这组数据中，众数和中位数分别是A．21，21 B．21，21.5C．21，22 D．22，228．右图是利用平面直角坐标系画出的故宫博物院的主要建筑分布图，若这个坐标系分别以正东、正北方向为x 轴、y 轴的正方向，表示太和门的点的坐标为(0,-1)，表示九龙壁的点的坐标为(4,1)，则表示下列宫殿的点的坐标正确的是A．景仁宫(4,2)B．养心殿(-2, 3)C．保和殿(1, 0)D．武英殿(-3.5,-4)9．一家游泳馆的游泳收费标准为30 元/次，若购买会员年卡，可享受如下优惠：游泳馆游泳的次数介于45~55 次之间，则最省钱的方式为A．购买A 类会员年卡B．购买B 类会员年卡C．购买C 类会员年卡D．不购买会员年卡D10．一个寻宝游戏的寻宝通道如图 1 所示，通道由在同一平面内的 AB , BC , C A , O A , O B , O C 组成．为记录寻宝者的行进路线，在 BC 的中点 M 处放置了一台定位仪器．设寻宝者行进的时间为 x ，寻宝者与定位仪器之间的距离为 y ，若寻宝者匀速行进，且表示 y 与 x 的函数关系的图象大致如图 2 所示，则寻宝者的行进路线可能为 A ． A → O → BB ． B → A → CC ． B → O → CD ． C → B → OBM C图1图2二、填空题（本题共 18 分，每小题 3 分）11．分解因式： 5x 3 -10x 2 + 5x =．3 C2 12 ．右图是由射线 A B , B C , ∠1+∠2+∠3+∠4+∠5=C D , D E , 组成的平面图形，则4B1E5 A13．《九章算术》是中国传统数学最重要的著作，奠定了中国传统数学的基本框架．它的代数成就主要包括开方术、正负术 和方程术．其中，方程术是《九章算术》最高的数学成就．《九章算术》中记载：“今有牛五、羊二，直金十两；牛二、羊五， 直金八两．问：牛、羊各直金几何？” 译文：“假设有 5 头牛、2 只羊，值金 10 两；2 头牛、5 只羊，值金 8 两．问：每头牛、每只羊各值金多少两？” 设每头牛值金 x 两，每只羊值金 y 两，可列方程组为．14．关于 x 的一元二次方程 ax 2 + bx + 1 = 0 有两个相等的实数根，写出一组满足条件的实数4a ,b 的值： a =, b = ．15．北京市 2009－2014 年轨道交通日均客运量统 计如图所示．根据统计图中提供的信息，预 估 2015 年北京市轨道交通日均客运量约 万 人 次 ， 你 的 预 估 理 由 是．16．阅读下面材料：在数学课上，老师提出如下问题：尺规作图：作一条线段的垂直平分线．已知：线段AB ．A B小芸的作法如下：如图，C（1）分别以点A 和点B 为圆心，大于1 AB 的长为半2A B径作弧，两弧相交于C, D 两点；D （2）作直线CD ．老师说：“小芸的作法正确．”请回答：小芸的作图依据是．三、解答题（本题共72 分，第17－26 题，每小题5 分，第27 题7 分，第28 题7 分，第29 题8 分）解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．17．计算：18．已知2a2 + 3a - 6 = 0 ．求代数式3a(2a+1)-(2a+1)(2a -1)的值．19．解不等式组 ，并写出它的所有非．负．整．数．解．．20．如图，在△ABC 中， AB = AC ， AD 是 BC 边上的中线，BE ⊥ AC 于E 点 E ．BDC求证： ∠CBE = ∠BAD ．21．为解决“最后一公里”的交通接驳问题，北京市投放了大量公租自行车供市民使用．到2013 年底，全市已有公租自行车 25 000 辆，租赁点 600 个．预计到 2015 年底，全市将 有公租自行车 50 000 辆，并且平均每个租赁点的公租自行车数量是 2013 年底平均每个 租赁点的公租自行车数量的1.2 倍．预计到 2015 年底，全市 将有租赁点多少个？D F C22．在口 A B C D 中，过点 D 作 DE ⊥ AB 于点 E ，点 F 在边CD 上， DF = BE ，连接 AF ， BF .A EB（1）求证：四边形 BFDE 是矩形；（2）若 CF = 3 ， BF = 4 ， DF = 5 ，求证： AF 平分 ∠DAB .23．在平面直角坐标系 xOy 中，直线 y = kx + b (k ≠ 0) 与双曲线 y = 8 的一个交点为 P (2 ，m ) ，x与 x 轴、 y 轴分别交于点 A ， B .（1）求 m 的值；（2）若 PA = 2AB ，求 k 的值.24．如图，AB 是 ⊙O 的直径，过点 B 作 ⊙O 的切线 BM ，弦 CD ∥BM ，M交 AB 于点 F ，且DA ︵ == DC ︵连接 AC ， AD ，延长 AD 交 BM 地点 E .B （1）求证：△ACD 是等边三角形； （2）连接 OE ，若 DE = 2 ，求 OE 的长.C25．阅读下列材料：2015 年清明小长假，北京市属公园开展以“清明踏青，春色满园”为主题的游园活动，虽然气温小幅走低，但游客踏青赏花的热情很高，市属公园游客接待量约为190 万人次.其 中，玉渊潭公园的樱花、北京植物园的桃花受到了游客的热捧，两公园的游客接待量分别为38 万人次、21.75 万人次；颐和园、天坛公园、北海公园因皇家园林的厚重文化底蕴与满园 春色成为游客的重要目的地，游客接待量分别为26 万人次、20 万人次、17.6 万人次；北京 动物园游客接待量为18 万人次，熊猫馆的游客密集度较高.2014 年清明小长假，天气晴好，北京市属公园游客接待量约为 200 万人次，其中，玉 渊潭公园游客接待量比2013 年清明小长假增长了25%；颐和园游客接待量为26.2 万人次， 比2013 年清明小长假增加了4.6 万人次；北京动物园游客接待量为22 万人次.2013 年清明小长假，玉渊潭公园、陶然亭公园、北京动物园游客接待量分别为32 万人2015年北京中考数学试卷(内含答案)次、13 万人次、14.9 万人次.根据以上材料解答下列问题：（1）2014 年清明小长假，玉渊潭公园游客接待量为万人次；（2）选择统计表或．统计图，将 2013-2015 年清明小长假玉渊潭公园、颐和园和北京动物园 的游客接待量表示出来.26．有这样一个问题：探究函数 y = 1 x 2 + 1的图象与性质.2 x小东根据学习函数的经验，对函数 y = 1 x 2 + 1的图象与性质进行了探究.2 x 下面是小东的探究过程，请补充完整：（1）函数 y = 1 x 2 + 1的自变量 x 的取值范围是；2 x （2）下表是 y 与 x 的几组对应值.（3）如下图，在平面直角坐标系 xOy 中，描出了以上表中各对对应值为坐标的点.根据描出的点，画出该函数的图象；-3 -42015年北京中考数学试卷(内含答案)数的图象，写出该函数的其它性质（一条即可）：.12 27．在平面直角坐标系 xOy 中，过点（0，2）且平行于 x 轴的直线，与直线 y = x - 1 交于点A ，点 A 关于直线 x = 1 的对称点为B ，抛物线C ∶y = x 2 + bx + c 经过点 A ， B .（1）求点 A ， B 的坐标；（2）求抛物线 C 1 的表达式及顶点坐标；（3）若抛物线 C ∶y = ax 2(a ≠ 0) 与线段AB 恰有一个公共点，结合函数的图象，求 a 的取值范围.-3 -4 备用图28．在正方形 ABCD 中， BD 是一条对角线，点 P 在射线 CD 上（与点 C 、 D 不重合），连接 AP ，平移 △ADP ，使点 D 移动到点 C ，得到 △BCQ ，过点 Q 作 QH ⊥ BD 于 H ，连接 AH ， PH . （1）若点 P 在线段 CD 上，如图 1.①依题意补全图 1；②判断 AH 与 PH 的数量关系与位置关系并加以证明； （2）若点 P 在线段 CD 的延长线上，且 ∠AHQ = 152︒ ，正方形 ABCD 的边长为 1，请写出求 DP 长的思路.（可．以．不．写．出．计．算．结．果．）ABABDP C图1DC备用图29．在平面直角坐标系 xOy 中，⊙C 的半径为 r ， P 是与圆心 C 不重合的点，点 P 关于 ⊙ O的反称点的定义如下：若在射．线．CP 上存在一点 P ' ，满足 CP + CP ' = 2r ，则称 P ' 为点 P 关于 ⊙ C 的反称点，下图为点 P 及其关于 ⊙ C 的反称点 P ' 的示意图. 特别地，当点 P ' 与圆心 C 重合时，规定 CP ' = 0 .yP（1）当 ⊙ O 的半径为 1 时.①分别判断点 M (2 ，1) ，N ( 3 ，0) ，T (1关于 ⊙ O 的反称点是否存在，若存在？2 求其坐标；②点 P 在直线 y = -x + 2 上，若点 P 关于 ⊙O 的反称点 P ' 存在，且点 P ' 不在 x 轴上，求点 P 的横坐标的取值范围；（2）⊙C 的圆心在 x 轴上，半径为 1，直线 y =+ x 轴，y 轴分别交于点 A ，3B ，若线．段．AB 上存在点 P ，使得点 P 关于 ⊙C 的反称点 P ' 在 ⊙ C 的内部，求圆 心 C 的横坐标的取值范围.2015 年北京市高级中等学校招生考试一、选择题数 学 考参考答案= 5= 5 +18．解：原式 = 3a (2a + 1) - (2a + 1)(2a -1)= 6a 2 + 3a - 4a 2 + 1= 2a 2 + 3a + 1 ∵ 2a 2 + 3a - 6 = 0∴ 2a 2 + 3a = 6 ∴原式 = 7⎧4( x + 1) ≤ 7 x + 10①19．解： ⎪x 8⎨ - ⎪ x - 5 <② ⎩ 3由① 4x + 4 ≤7x + 103x ≤6x≥-2由②3x -15 <x -8 2x <7x <7 2∴-2 ≤x <7 2∴非零整数解为0，1，2，3.20．证：∵AB =AC∴∠ABC =∠C又∵AD 是BC 边上的中线∴AD ⊥BC∴∠BAD +∠ABC = 90︒.∵BE ⊥AC .∴∠CBE +∠C =90︒∴∠CBE =∠BAD .21．解：设2015 年底全市租赁点有x 个.50000= 1.2 ⨯25000xx =1000600经检验：x = 1000 是原方程的解，且符合实际情况.答：预计到2015 年底，全市将有租赁点1000 个.22．解⑴∵四边形ABCD 为平行四边形．∴DC ∥AB即DF ∥BE又∵DF =BE ．∴四边形DEBF 为平行四边形．又∵DE ⊥AB ，即∠DEB =90︒．∴四边形DEBF 为矩形．⑵∵四边形DEBF 为矩形．∴∠BFC =90︒∵CF = 3 ，BF = 4 ．∴BC =5∴ AD = BC = 5 ∴ AD = DF = 5 ∴ ∠DAF = ∠DFA ∵ ∠DFA = ∠FAB ∴ ∠DAF = ∠FAB 即 AF 平分 ∠DAB23．解：（1）点 P (2 ，m ) 在 y = 8上.x∴ m = 8 = 42m = 4（2） P （2，4）在 y = kx + b∴ 4 = 2k + bb = 4 - 2k∵ y = kx + b 与 x 、 y 轴交于 A 、 B 两点∴ A (2 - 4，0) ，B (0 ，4 - 2k ) k∵ PA = 2AB 如图①PB = AB ，则 OD = OA = 2 .∴ 4- 2 = 2 . k∴ k = 1 如图②PA = 2AB ， PD = 2OB = 4 ∴ OB = 2 ， 2k - 4 = 2k = 3∴ k = 1 或 k = 324．证：（1）∵ BM 是⊙O 切线， AB 为 ⊙ O 直径∴ AB ⊥ BM ∵ BM ∥CD ∴ AB ⊥ CD∴DA ︵ == AC ︵∴ AD = AC∵ D A ︵ == DC ︵∴ DC = AD ∴ AD = CD = AC ∴ △ACD 为等边三角形.证：（2）△ACD 为等边三角形， AB ⊥ CD∴ ∠DAB = 30︒连结 BD ，∴ BD ⊥ AD .∠EBD = ∠DAB = 30︒∵ DE = 2∴ BE = 4 ，BD =AB =OB =在 Rt △OBE 中OE =25．（1）40（2）2013-2015 清明小长假公园游客接待量统计表26．（1）x ≠0（2）令x =3∴y =1⨯ 32 +1 2 3=9+1=29 2 3 6∴m =29 6（3）如图O 1 2 3 4（4）①该函数没有最大值②该函数在x = 0 处断开③该函数没有最小值④该函数图像没有经过第四象限27．解：①当y = 2 ，则2 =x -1，x =3⎩ ⎩ ∴ A （3，2） ∵ AB 关于 x = 1 对称 ∴ B (-1，2)②把（3，2）（ -1 ，2）代入得：⎧2 = 9 + 3b + c ⎨2 = 1 - b + c ，解得 ⎧b = -2⎨c = -1∴ y = x 2 - 2x - 1③如图，当 C 2 过 A 点， B 点时为临界代入 A (3，2) 则 9a = 2 ， a = 29-12代入 B (-1，2) 则 a = 2∴ 2 ≤ a < 2 928．（1）①ABH②法一：轴对称作法 判断： AH = PH ， AH ⊥ PH 证：连接 CH得：△DHQ 等腰 Rt △D P C Q又∵ DP = CQ ，∴△HDP ≌△HQC∴ PH = CH ， ∠HPC = ∠HCP BD 为正方形 ABCD 对称轴 ∴ AH = CH ， ∠DAH = ∠HCP ∴ AH = PH ， ∠DAH = ∠HPC ∴ ∠AHP = 180︒ - ∠ADP = 90︒ ∴ AH = PH 且 AH ⊥ PH法二：四点共圆作法. 同上得： ∠HPC = ∠DAH ∴ A 、 D 、 P 、 H 共同∴ ∠AHP = 90︒ ， ∠APH = ∠ADH = 45︒ ∴ △APH 等腰 Rt △A BH（2）法一：轴对称作法 考虑△DHQ 等腰 Rt △PD = CQ作 HR ⊥ PC 于 R ∵ ∠AHQ = 152︒∴ ∠AHB = 62︒ ∴ ∠DAH = 17︒ ∴ ∠DCH = 17︒设 DP = x ，则 DR = HR = RQ =1 - x .2由 tan17︒= HR 得： CR∴ x =1 - t an17︒1 + tan17︒1 - x2 1 + x 2= tan17︒法二：四点共同作法 A 、 H 、 D 、 P 共同 ∴ ∠APD = ∠AHB = 62︒∴ PD = AD = tan 62︒1 tan 62︒= tan 28︒29．②∵CP ≤2r = 2 CP 2 ≤4P ( x , -x + 2)CP 2 = x 2 + (-x + 2)2= 2x 2 - 4x + 4 ≤ 4 2x 2 - 4x ≤0 x ( x - 2) ≤0∴0 ≤ x ≤2当 x = 2 时， P (2, 0), P '(0, 0) 不符合题意 当 x = 0 时，P (0, 2), P '(0, 0) 不符合题意 ∴0 < x < 2（2）解：由题意得： A (6, 0), B (0,∴ OA=OB∴∠OAB =30︒设C (x,0)①当C 在OA 上时，作CH ⊥AB 于H则CH ≤CP ≤2r =2∴AC ≤4C 点横坐标x≥2（当x = 2 时，C 点坐标(2,0)，H 点的反称点H'(2,0)在圆的内部）②当C 在A 点右侧时，C 到线段AB 的距离为AC 长∴C 点横坐标x ≤8综上所述：圆心C 的横坐标的取值范围2 ≤x ≤8。
北京各区2015初中数学一模26题汇编及答案
北京各区2015初三数学一模26题汇编26．阅读下面材料：小昊遇到这样一个问题：如图1，在△ABC 中，∠ACB =90°， BE 是AC 边上的中线，点D 在BC 边上，CD ：BD =1：2，AD 与BE 相交于点P ，求APPD的值． 小昊发现，过点A 作AF ∥BC ，交BE 的延长线于点F ，通过构造△AEF ，经过推理和 计算能够使问题得到解决（如图2）． 请回答：APPD的值为 ．参考小昊思考问题的方法，解决问题：如图 3，在△ABC 中，∠ACB =90°，点D 在BC 的延长线上，AD 与AC 边上的中线BE 的延长线交于点P ，DC ：BC ：AC =1：2：3 ． （1）求APPD的值；（2）若CD=2，则BP =． 26. 在四边形ABCD 中，对角线AC 与BD 交于点O ，E 是OC 上任意一点，AG BE ⊥于点G ，交BD 于点F ．(1)如图1,若四边形ABCD 是正方形,判断AF 与BE 的数量关系;明明发现，AF 与BE 分别在AOF △和BOE △中，可以通过证明AOF △和BOE △全等,得到AF 与BE 的数量关系; 请回答：AF 与BE 的数量关系是. (2) 如图2,若四边形ABCD 是菱形,120ABC ∠=︒,请参考上述方法，求AFBE的值.图1 图2图1图2图326.小明遇到这样一个问题：如图1，在锐角△ABC 中，AD 、BE 、CF 分别为△ABC 的高，求证：∠AFE =∠ACB . 小明是这样思考问题的：如图2，以BC 为直径做半⊙O ，则点F 、E 在⊙O 上， ∠BFE +∠BCE =180°，所以∠AFE =∠ACB .请回答：若∠ABC =40 ，则∠AEF 的度数是. 参考小明思考问题的方法，解决问题：如图3，在锐角△ABC 中，AD 、BE 、CF 分别为△ABC 的高，求证：∠BDF =∠CDE .26．阅读下面材料：学习了三角形全等的判定方法（即“SAS ”、“ASA ”、“AAS ”、“SSS ”）和直角三角形全等的判定方法（即“HL ”）后，小聪继续对“两个三角形满足两边和其中一边的对角对应相等”的情形进行研究．小聪将命题用符号语言表示为：在△ABC和△DEF 中，AC =DF ，BC =EF ，∠B =∠E ． 小聪想：要想解决问题，应该对∠B 进行分类研究．∠B 可分为“直角、钝角、锐角”三种情况进行探究．第一种情况：当∠B 是直角时，如图1，在△ABC 和△DEF 中，AC =DF ，BC =EF ， ∠B =∠E =90°，根据“HL”定理，可以知道Rt △ABC ≌Rt △DEF ．第二种情况：当∠B 是锐角时，如图2，BC =EF ，∠B =∠E<90°，在射线EM 上有点D ，使DF =AC ，画出符合条件的点D ，则△ABC 和△DEF 的关系是；A ．全等B ．不全等C ．不一定全等 第三种情况：当∠B 是钝角时，如图3，在△ABC 和△DEF 中，AC =DF ，BC =EF ， ∠B =∠E >90°，求证：△ABC ≌△DEF ．图1 图2 图3O图1图3图226. 阅读下面资料： 问题情境：（1）如图1，等边△ABC ，∠CAB 和∠CBA 的平分线交于点O ，将顶角为120°的等腰三角形纸片（纸片足够大）的顶点与点O 重合，已知OA =2，则图中重叠部分△OAB 的面积是． 探究：（2）在（1）的条件下，将纸片绕O 点旋转至如图2所示位置，纸片两边分别与AB ，AC 交于点E ，F ，求图2中重叠部分的面积．（3）如图3，若∠ABC =α（0°＜α＜90°），点O 在∠ABC 的角平分线上，且BO =2，以O 为顶点的等腰三角形纸片（纸片足够大）与∠ABC 的两边AB ，AC 分别交于点E 、F ，∠EOF =180°﹣α，直接写出重叠部分的面积．（用含α的式子表示）26．阅读下面材料：小军遇到这样一个问题：如图1，△ABC 中，AB ＝6，AC ＝4，点D 为BC 的中点，求AD 的取值范围． 小军发现老师讲过的“倍长中线法”可以解决这个问题．他的做法是：如图2，延长AD 到E ，使DE ＝AD ，连接BE ，构造△BED ≌△CAD ，经过推理和计算使问题得到解决．请回答：AD 的取值范围是．参考小军思考问题的方法，解决问题：如图3，△ABC 中，E 为AB 中点，P 是CA 延长线上一点，连接PE 并延长交BC 于点D ．求证：PA •CD ＝PC •BD ．图1ABDCABDC图2图3E ABP26．阅读下面的材料勾股定理神秘而美妙，它的证法多种多样，下面是教材中介绍 的一种拼图证明勾股定理的方法.先做四个全等的直角三角形，设它们的两条直角边分别为a ,b ， 斜边为c ，然后按图1的方法将它们摆成正方形.由图1可以得到22142a b ab c +=⨯+（）， 整理，得22222a ab b ab c ++=+． 所以222a b c +=．如果把图1中的四个全等的直角三角形摆成图2所示的正方形，请 你参照上述证明勾股定理的方法，完成下面的填空：由图2可以得到， 整理，得， 所以.26．阅读下面材料：小明遇到这样一个问题：如图1，在△ABC 中，DE ∥BC 分别交AB 于D ，交AC 于E ．已知CD ⊥BE ，CD =3，BE =5，求BC +DE 的值．小明发现，过点E 作EF ∥DC ，交BC 延长线于点F ，构造△BEF ，经过推理和计算能够使问题得到解决（如图2）．图1 图2图3请回答：BC +DE 的值为_______． 参考小明思考问题的方法，解决问题：如图3，已知□ABCD 和矩形ABEF ，AC 与DF 交于点G ，AC =BF =DF ，求∠AGF 的度数．图1图2a26．阅读下面材料：小聪遇到这样一个有关角平分线的问题：如图1，在△ABC 中， ∠A =2∠B，CD 平分∠A CB ，AD=2.2，AC=3.6 求BC 的长.小聪思考：因为CD 平分∠A CB ，所以可在BC 边上取点E ，使EC=AC ，连接DE. 这样很容易得到△DEC ≌△DAC ，经过推理能使问题得到解决（如图2）. 请回答：（1）△BDE 是_________三角形.（2）BC 的长为__________.参考小聪思考问题的方法，解决问题：如图3，已知△ABC 中，AB=AC, ∠A =20°，BD 平分∠ABC,BD=2.3,BC=2.求AD 的长. 26．阅读下面材料：小明遇到这样一个问题：如图1，在Rt △ABC 中，∠ACB =90°，∠A =60°，CD 平分 ∠ACB ，试判断BC 和AC 、AD 之间的数量关系．小明发现，利用轴对称做一个变化，在BC 上截取CA′=CA ，连接DA′，得到一对全等的三角形，从而将问题解决（如图2）．图1 图2请回答：（1）在图2中，小明得到的全等三角形是△≌△；（2）BC 和AC 、AD 之间的数量关系是．参考小明思考问题的方法，解决问题：如图3，在四边形ABCD 中，AC 平分∠BAD ，BC =CD =10，AC =17，AD =9． 求AB 的长．A'DDCB CBAAC ED CB ABC图3DCBA26．阅读下面材料：小红遇到这样一个问题：如图1，在四边形ABCD 中，︒=∠=∠90C A ，︒=∠60D ，34=AB ，3=BC ，求AD 的长．小红发现，延长AB 与DC 相交于点E ，通过构造Rt△ADE ，经过推理和计算能够使问题得到解决（如图2）． 请回答：AD 的长为．参考小红思考问题的方法，解决问题：如图3，在四边形ABCD 中，21tan =A ，︒=∠=∠135C B ，9=AB ，3=CD ，求BC 和AD 的长．26．（1）请你根据下面画图要求，在图①中完成画图操作并填空．如图①，△ABC 中，∠BAC =30°，∠ACB =90°，∠P AM =∠A ． 操作：（1）延长BC ． （2）将∠P AM 绕点A 逆时针方向旋转60°后，射线AM 交BC 的延长线于点D ． （3）过点D 作DQ//AB ．（4）∠P AM 旋转后，射线AP 交DQ 于点 （5）连结BG ．．结论：ABAG=__________ （2）如图②，△ABC 中，AB =AC =1，∠BAC =36°，进行如下操作：将△ABC 绕点A 按逆时针方向旋转度角，并使各边长变为原来的n 倍（n >1），得到△''AB C . 当点B 、C 、'B 在同一条直线上，且四边形''ABB C 为平行四边形时（如图③），求和n 的值．αα图1 图2E26．阅读下面的材料：小敏在数学课外小组活动中遇到这样一个问题： 如果α，β都为锐角，且1tan 2α=，1tan 3β=，求αβ+的度数． 小敏是这样解决问题的：如图1，把α，β放在正方形网格中，使得ABD α∠=，CBE β∠=，且BA ，BC 在直线BD 的两侧，连接AC ，可证得△ABC 是等腰直角三角形，因此可求得αβ+=∠ABC =°.请参考小敏思考问题的方法解决问题：如果α，β都为锐角，当tan 4α=，3tan 5β=时，在图2的正方形网格中，利用已作出的锐角α，画出∠MON=αβ-，由此可得αβ-=______°.答案 26. 解：PD AP 的值为23. …………………………………………………………………1分 解决问题：（1）过点A 作AF ∥DB ，交BE 的延长线于点F ，……………………………………2分设DC ＝k ，∵DC ︰BC ＝1︰2， ∴BC ＝2k .∴DB ＝DC ＋BC ＝3k . ∵E 是AC 中点， ∴AE ＝CE . ∵AF ∥DB ， ∴∠F ＝∠1. 又∵∠2＝∠3，∴△AEF ≌△CEB . ……………………………………………………………3分 ∴AF ＝BC ＝2k . ∵AF ∥DB ， ∴△AFP ∽△DBP . ∴DBAFPD AP =. ∴32=PD AP . …………………………………………………………………4分（2） 6. ……………………………………………………………………………5分26. 解：（1）AF =BE ； …………1分（2）AFBE=2分 理由如下：∵四边形ABCD 是菱形，120ABC ∠=︒, ∴AC BD ⊥,60ABO ∠=︒. ∴90FAO AFO ∠+∠=︒. ∵AG BE ⊥，∴90EAG BEA ∠+∠=︒． ∴AFO BEA ∠=∠.又∵90AOF BOE ∠=∠=︒，∴AOF BOE △∽△. …………3分 ∴AF AOBE OB= . ∵60ABO ∠=︒，AC BD ⊥，∴tan 60AOOB=︒=∴AFBE=. …………5分 26. （1）40 ……………………1分 （2）如图由题意：∵90AEB ADB ∠=∠= ,∴点A 、E 、D 、B 在以AB 为直径的半圆上 ∴∠B AE +∠BDE =180°………………3分 又∵∠CDE +∠BDE =180°∴∠CDE =∠B A E ……………………4分 同理：点A 、F 、D 、C 在以AC 为直径的半圆上. ∴∠BDF =∠BAC∴∠BDF =∠CDE ……………………5分26．解：画出DF ，选择A （或画出D ’F ，选择B ）…………………………………………………1 画出DF 和D ’F ，选择C ……………………………………………………………………2 证明：如图，过点C 作CG ⊥AB 交AB 的延长线于点G ， 过点F 作DH ⊥DE 交DE 的延长线于点H ， ∵∠B =∠E ， ∴180°﹣∠B =180°﹣∠E ， 即∠CBG =∠FEH ，…………………………………………………………………………3 在△CBG 和△FEH 中，90CBG FEH G H BC EF ∠=∠⎧⎪∠=∠=︒⎨⎪=⎩， ∴△CBG ≌△FEH （AAS ），-----------1分 -----------2分 -----------3分 -----------5-----------4分 -----------5分∴CG =FH ，在Rt △ACG 和Rt △DFH 中，AC DFCG FH=⎧⎨=⎩，Rt △ACG ≌Rt △DFH （HL ），∴∠A =∠D ， (4)在△ABC 和△DEF 中，A D B E AC DF ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△ABC ≌△DEF （AAS ）．………………………………………………………………5 26.(2) 连接AO 、BO ，如图②，由题意可得：∠EOF =∠AOB ，则∠EOA =∠FOB ． 在△EOA 和△FOB 中，EAO FBO OA OBEOA FOB ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩∴△EOA ≌△FOB ．∴S 四边形AEOF =S △OAB ．过点O 作ON ⊥AB ，垂足为N ，如图， ∵△ABC 为等边三角形， ∴∠CAB =∠CBA =60°．∵∠CAB 和∠CBA 的平分线交于点O ∴∠OAB =∠OBA =30°．∴OB=OA =2．∵ON ⊥AB ，∴AN=NB ，ON =1．∴AN = ∴AB=2AN =2．∴S △OAB =AB •ON =．S 四边形AEOF = (3) S 面积=4sincos．26．（1）1<AD <5；………………………2分（2）证明：延长PD 至点F ，使EF ＝PE ，连接BF ．………………………3分∵BE ＝AE ，∠BEF ＝∠AEP ， ∴△BEF ≌△AEP ， ∴∠APE ＝∠F ，BF ＝PA ． 又∵∠BDF ＝∠CDP ，∴△BDF ∽△CDP ． (4)分 FE AB D CPy =2即PA ·CD ＝PC ·BD ． ………………………5分26.22142ab b a c ⨯+-=（），.…….3分 22222ab b ab a c +-+=，.……. 4分222a b c +=．.……. 5分26.(本小题满分5分)解：BC ＋DE ．解决问题：连接AE ，CE ，如图．∵四边形ABCD 是平行四边形， ∴AB // DC ．∵四边形ABEF 是矩形， ∴AB // FE ，BF ＝AE ． ∴DC //FE ．∴四边形DCEF 是平行四边形． ………………………………………………3分 ∴ CE // DF ． ∵AC ＝BF ＝DF ， ∴AC ＝AE ＝CE ．∴△ACE 是等边三角形．…………………………………………………………4分 ∴∠ACE ＝60°． ∵CE ∥DF ，∴∠AGF ＝∠ACE ＝60°．…………………………………………………………5分26．解：（1）△BDE 是等腰三角形. ………………………1分. （2）BC 的长为5.8.………………………………2分. ∵△ABC 中，AB=AC, ∠A =20°，654321F ED CBA∴∠A BC=∠C= 80°，∵BD 平分∠B. ∴∠1=∠2= 40°，∠BDC= 60°，.在BA 边上取点E ，使BE=BC=2，连接DE ，. ………………………3分 则△DEB ≌△DBC ，∴∠BED=∠C= 80°， ∴∠4=60°，∴∠3=60°，在DA 边上取点F ，使DF=DB ，连接FE ，…………………………4分 则△BDE ≌△FDE ，∴∠5=∠1= 40°，BE=EF=2, ∵∠A =20°，∴∠6=20°，∴AF=EF=2,∵BD=DF=2.3, ∴AD = BD+BC=4.3.…………………………5分. 26．（本小题满分5分） 解：阅读材料（1）△ADC ≌△A ′DC ；………………………………………………………………1分 （2）BC =AC +AD .……………………………………………………………………2分解决问题如图，在AB 上截取AE =AD ，连接CE . ∵ AC 平分∠BAD ， ∴ ∠DAC =∠EAC . 又 ∵AC =AC ， ∴△ADC ≌△AEC . ………………………3分 ∴AE =AD =9，CE=CD =10=BC ． 过点C 作CF ⊥AB 于点F ．∴ EF =BF ．设EF =BF =x ．在Rt △CFB 中，∠CFB =90°，由勾股定理得CF 2=CB 2－BF 2=102－x 2． 在Rt △CFA 中，∠CFA =90°，由勾股定理得CF 2=AC 2－AF 2=172－(9+x )2． ∴ 102－x 2=172－(9+x )2，解得x =6．……………………………………………………………………………4分 ∴ AB =AE +EF +FB =9+6+6=21．∴AB 的长为21．…………………………………………………………………5分26．解：AD 的长为6． ………………………………...1分解决问题：如图，延长AB 与DC 相交于点E ． ∵135ABC BCD ∠=∠=︒， ∴︒=∠=∠45ECB EBC ．∴CE BE =，︒=∠90E ． …………………. ………………….2分 设x CE BE ==，则x BC 2=，x AE +=9，3DE x =+．在Rt △ADE 中，︒=∠90E ，∵21tan =A ， ∴21=AE DE ． D C F E B A即2193=++x x ．……………..3分 ∴3=x ．经检验3=x 是所列方程的解，且符合题意．∴23=BC ，12=AE ，6=DE ． ……………. ………..4分 ∴56=AD ． ……………………………………………… ...5分26. （1）…………………………..(1分)21=AG AB ………………………………………………..(2分)（2）根据题意得，''36C AB CAB ∠=∠=︒，AB’= n ABα=∠'CAC∵四边形ABB 'C '为平行四边形，∴1''===AC AB C B ，'AC ∥'BB ， ∴'''36C AB AB B ∠=∠=︒，， ∵AB =AC ，∠BAC =36°， ∴72ABC ACB ∠=∠=︒，∴''72CAC B AB α=∠=∠=︒，……………………………..(3分) ∵∠BAC =36°，∴'36B AC ∠=︒，∴''36B AC AB C ∠=∠=︒， ∴1'==C B AC∵B B ∠=∠，'36BAC AB B ∠=∠=︒，∴△ABC ∽△'B BA ， ∴'AB BCBB AB=， ∴解得251'+=BB (舍负)， …………………..(4分)∵1n >，∴n =. ………………………………………..(5分)26．解：45． …………………………………………………1分画图见图6． ………………………………………3分 45．…………………………………………………5分图②p。
2015年北京中考数学一模29题汇编(含答案)
∵P(1，2)，
∴P′(1，－2).
设直线P′Q的表达式为 ，
根据题意，有
，解得 .
∴直线P′Q的表达式为 .……………4分
当 时，解得 .
即 .………………………………………………………………………5分
，即当 时， 取最大值2．
当 时， ．
．………………………………………3分
当 时， 或 ．
或 ．………………………………4分
，
由图象可知， 的取值范围是 ．
……………………………………………5分
（3） ，
顶点坐标为 ．………………………6分
若 ， 的取值范围是 或 ，与题意不符．
若 ，当 时， 的最小值为 ，即 ；
12.（石景山） 29．在平面直角坐标系 中，点 在直线 上，以 为圆心， 为半径的圆与 轴的另一个交点为 ．给出如下定义：若线段 ，⊙ 和直线 上分别存在点 ，点 和点 ，使得四边形 是矩形（点 顺时针排列），则称矩形 为直线 的“理想矩形”．
例如,下图中的矩形 为直线 的“理想矩形”．
（1）若点 ，四边形 为直线 的“理想矩形”，则点 的坐标为；
∴ ．.…….3分
∵
∴ ，即 ．∴ ．
∴点 到直线 的距离为 ．.…….4分
② ．.…….6分
（3） 或 ．.…….8分
6.（房山）29.
解：【探究】①1;5;……………2分
②＝.…………………3分
【应用】（1）① ；……………………4分
②1.……………………5分
2015年各区一模27题及答案
2015年各区中考数学一模试题第27题 1海淀2东城3西城4朝阳5丰台6石景山7昌平 8顺义9通州10大兴11怀柔12密云13平谷 14延庆15房山16燕山17门头沟解答题（本题共22分，第27题7分，第28题7分，第29题8分） 海淀一模27．在平面直角坐标系xOy 中，抛物线2212y x x =-+与y 轴交于点A ，顶点为点B ，点C 与点A 关于抛物线的对称轴对称．（1）求直线BC 的解析式；（2）点D 在抛物线上，且点D 的横坐标为4．将抛物线在点A ，D 之间的部分（包含点A ，D ）记为图象G ，若图象G 向下平移t （0t >）个单位后与直线BC 只有一个公共点，求t 的取值范围．东城一模27．在平面直角坐标系xOy 中，抛物线()210y ax bx a =++≠过点()1,0A -，()1,1B ,与y轴交于点C ．（1）求抛物线()210y ax bx a =++≠的函数表达式；（2）若点D 在抛物线()210y ax bx a =++≠的对称轴上，当ACD △的周长最小时，求点D 的坐标;（3）在抛物线()210y ax bx a =++≠的对称轴上是否存在点P ,使ACP △成为以AC为直角边的直角三角形？若存在,求出点P 的坐标；若不存在,请说明理由.西城一模27 已知二次函数21y x bx c =++的图象1C 经过(1,0)-，(0,3)-两点．（1）求1C 对应的函数表达式；（2）将1C 先向左平移1个单位，再向上平移4个单位， 得到抛物线2C ，将2C 对应的函数表达式记为22y x mx n =++，求2C 对应的函数表达式；（3）设323y x =+，在（2）的条件下，如果在2-≤x ≤a 内存在．．某一个x 的值，使得2y ≤3y 成立，利用函数图象直接写出a 的取值范围．朝阳一模27．如图，将抛物线M 1: x ax y 42+=向右平移3个单位，再向上平移3个单位，得到抛物线M 2，直线x y =与M 1的一个交点记为A ，与M 2的一个交点记为B ，点A 的横坐标是－3.（1）求a 的值及M 2的表达式；（2）点C 是线段AB 上的一个动点，过点C 作x 轴的垂线，垂足为D ，在CD 的右侧作正方形CDEF .①当点C 的横坐标为2时，直线n x y +=恰好经过正方形CDEF 的顶点F ，求此时n 的值；②在点C 的运动过程中，若直线n x y +=与正方形CDEF 始终没有公共点，求n 的取值范围（直接写出结果）.丰台一模27．在平面直角坐标系xOy 中，抛物线22y x mx n =++经过点A （-1，a ），B （3，a ），且最低点的纵坐标为-4.（1）求抛物线的表达式及a 的值；（2）设抛物线顶点C 关于y 轴的对称点为点D ，点P 是抛物线对称轴上一动点，记抛物线在点A ，B 之间的部分为图象G （包含A ，B 两点）.如果直线DP 与图象G 恰有两个公共点，结合函数图象，求点P 纵坐标t 的取值范围.石景山一模27．在平面直角坐标系xOy 中，抛物线223(0)y mx mx m =--≠与x 轴交于(3,0)A ，B 两点．（1）求抛物线的表达式及点B 的坐标；（2）当23x -<<时的函数图象记为G ，求此时函数y 的取值范围；（3）在（2）的条件下，将图象G 在x 轴上方的部分沿x 轴翻折，图象G 的其余部分保持不变，得到一个新图象M ．若经过点(4,2)C 的直线(0)y kx b k =+≠与图象M在第三象限内有两个公共点，结合图象求b 的取值范围．顺义一模27．在平面直角坐标系xOy 中，抛物线21212y ax x a =+-+与y 轴交于C 点，与x 轴交于A ，B 两点（点A 在点B 左侧），且点A 的横坐标为-1．（1）求a 的值；（2）设抛物线的顶点P 关于原点的对称点为'P ，求点'P 的坐标； （3）将抛物线在A ，B 两点之间的部分（包括A ， B 两点），先向下平移3个单位，再向左平移m （0m >）个单位，平移后的图象记为图象G ，若图象G 与直线'PP 无交点，求m 的取值范围．通州一模27．二次函数2(0)y ax bx c a =++≠的图象与一次函数1y x b =+k 的图象交于)10(，A 、B 两点，(1,0)C 为二次函数图象的顶点.（1）求二次函数2(0)y ax bx c a =++≠的表达式；（2）在所给的平面直角坐标系中画出二次函数2(0)y ax bx c a =++≠的图象和一次函数1y x b =+k 的图象；（3）把（1）中的二次函数2(0)y ax bx c a =++≠的图象平移后得到新的二次函数4444123123321213xOy22(0,)y ax bx c m a m =+++≠为常数的图象,.定义新函数f ：“当自变量x 任取一值时，x 对应的函数值分别为1y 或2y ，如果1y ≠2y ，函数f 的函数值等于1y 、2y 中的较小值;如果1y =2y ，函数f 的函数值等于1y （或2y ）.” 当新函数f 的图象与x 轴有三个交点时,直接写出m 的取值范围.大兴一模27．已知抛物线222y x x k =++-与x 轴有两个不同的交点．（1） 求k 的取值范围；（2）若k 为正整数，且该抛物线与x 轴的交点都是整数点，求k 的值．（3）如果反比例函数my x=的图象与（2）中的抛物线在第一象限内的交点的横坐标为0x ，且满足1<0x <2，请直接写出m 的取值范围.怀柔一模27．在平面直角坐标系xOy 中，二次函数y=（a-1）x 2+2x+1与x 轴有交点，a 为正整数. （1）求a 的值.（2）将二次函数y=（a-1）x 2+2x+1的图象向右平移m 个单位，向下平移m 2+1个单位，当 -2≤x≤1时，二次函数有最小值-3，求实数m 的值.23.光华农机租赁公司共有50台联合收割机，其中甲型20台，乙型30台.现将这50台联合收割机派往A 、B 两地区收割小麦，其中30台派往A 地区,20台派往B 地区，两地区与该农机租赁公司商定每天的租赁价格见下表：每台甲型收割机的租金 每台甲型收割机的租金 A 地区 1800 1600 B 地区16001200（1）派往A 地区x 台乙型联合收割机，租赁公司这50台联合收割机一天获得的租金为y(元)求x 与y 间的函数关系时，并写出x 的取值范围；（2）若使农机租菱公司这50台联合收割机一天的租金总额比低于79600元，说明有多少种分配方案，并将各种方案设计出来；（3）如果要使这50台联合收割机每天获得的租金最高，请你为光华农机租赁公司提出一条合理建议。
2015初三数学毕业考题目-燕山1
∴ ；………………………1分
∵抛物线 的对称轴为 ，
∴ ，
解得 ，………………………2分
∴抛物线 的解析式为 ．………………………3分
（2）由题意，抛物线 的解析式为 ．………………………4分
∴BE＝DF．………………………5分
18．解:原式＝ ………………………4分
＝4．………………………5分
19．解：解不等式①，得 ，………………………2分
解不等式②，得 ，………………………4分
∴原不等式组的解集为 ．………………………5分
20．解：
＝ ………………………2分
＝
＝ ．………………………3分
∴S△DCB＝ ＝ ＝12．………………………3分
在Rt△OBC中，
BC＝ ＝5，sin∠OCB＝ ＝ ．
作OG⊥BC于点G，
∵CF＝CO＝4，∴BF＝BC−CF＝5−4＝1．
在Rt△OCG中，sin∠OCG＝ ＝ ，
∴OG＝ OC＝ ．………………………4分
∴S△OBF＝ ＝ ＝ ．
∴S四边形OFCD＝S△DCB−S△OBF
（2）证明：延长PD至点F，使EF＝PE，连接BF．………………………3分
∵BE＝AE，∠BEF＝∠AEP，
∴△BEF≌△AEP，
∴∠APE＝∠F，BF＝PA．
又∵∠BDF＝∠CDP，
∴△BDF∽△CDP．………………………4分
∴ ＝ ，
∴ ＝ ，
即PA·CD＝PC·BD．………………………5分
五、解答题（本题共22分，第27、28题每小题7分，第29题8分）
B
A
D
二、填空题（本题共18分，每小题3分）
北京市燕山区中考数学一模试题
北京市燕山地区 初中毕业暨一模考试数学试卷学校 班级 姓名 成绩考 生 须 知 1．本试卷共6页，共五道大题，25道小题，满分120分。
考试时间120分钟。
2．答题纸共6页，在规定位置准确填写学校名称、班级和姓名。
3．试题答案一律书写在答题纸上，在试卷上作答无效。
4．考试结束，请将答题纸交回，试卷和草稿纸可带走。
．．．．母写在答题纸上；本题共32分，每小题4分） 1．若实数a 与－3互为相反数，则a 的值为A ．31B ．0.3C ．－3D ．3 2．春节假期，全国收费公路7座以下小型客车实行免费通行．据交通运输部统计，春节期间，全国收费公路(除四川、西藏、海南外)共免收通行费846 000 000元．把 846 000 000用科学记数法表示应为A ．0.846×108B ．8.46×107C ．8.46×108D ．846×1063．已知某多边形的每一个外角都是40°，则它的边数为A ．7B ．8C ．9D ．10 4．右图是某个几何体的三视图，则这个几何体是A ．圆锥B ．圆柱C ．长方体D ． 三棱锥 5．燕山地区现有小学7所，初中校4所，高中校1所，现从这些学校中随机抽取1所学校对学生进行视力调查，抽取的学校恰好为初中校的概率是 A ．121 B ．31 C ．127D ．326．如图，在□ABCD 中，AD =6，点E 在边AD 上，且DE =3，连接BE 与对角线AC 相交于点M ，则MCAM 的值为A ．12B ．13C ．14D ．197．在一次体育达标测试中，九年级(3)班的15名男同学的引体向上成绩如下表所示：成绩（个）8 9 11 12 13 15 人数123432这A ．12，13 B ．12，12 C ．11，12 D ．3，48． 如图，点P 是⊙O 的弦AB 上任一点(与A ，B 均不重合)，点C 在⊙O 上，PC ⊥OP ，已知AB =8，设BP ＝x ，PC 2＝y ， y 与x 之间的函数图象大致是A俯视图左视图主视图DA EMCB OPy16y16y16y． B ． C ． D ． 二、填空题（本题共16分，每小题4分） 9．分解因式：mn mn 43-＝ .10．把代数式x 2－4x －5化为(x －m )2＋k 的形式，其中m ，k 为常数，则2m －k ＝ . 11．如图，在一间房子的两墙之间有一个底端在P 点的梯子，当它靠在一侧墙上时，梯子的顶端在A 点；当它靠在另一侧墙上时梯子的顶端在D 点．已知∠APB ＝45°，∠DPC ＝30°，点A 到地面的垂直距离为2.4米，则点D 到地面的垂直距离约是米(精确到0.1).12．如图，已知直线1l ：2+-=x y 与2l ：2121+=x y ，过直线1l 与x 轴的交点1P 作x 轴的垂线交2l 于1Q ，过1Q 作x 轴的平行线交1l 于2P ，再过2P 作x 轴的垂线交2l 于2Q ，过2Q 作x 轴的平行线交1l 于3P ，……，这样一直作下去 ，可在直线l 1上继续得到点4P ，5P ，…，n P ，…．设点n P 的横坐标为n x ，则2x ＝ ， 1+n x 与n x 的数量关系是 ．三、解答题（本题共30分，每小题5分）13．计算：013)(30cos 23127-+︒-⎪⎭⎫⎝⎛--π．14． 解不等式1233x x <+-，并把解集在数轴上表示出来．15．如图，点A ，F ，C ，D 在同一直线上，点B 和点E 分别在直线AD 的两侧，且BC ∥EF ，∠A ＝∠D ，AF ＝DC ．求证：AB ＝DE ．16．已知0142=+-x x ，求代数式34)2123(2-÷-+-+x x x x 的值． 17．如图，直线y ＝2x －1与反比例函数xky =的图象交于A ，B 两点，与x 轴交于C 点，已知点A 的坐标为(－1，m )． ⑴ 求反比例函数的解析式；⑵ 若P 是x 轴上一点，且满足△PAC 的面积是6，直接CyxO ABQ3Q 2Q 1P 3P2P 1l 2l 1y xODFC EBA PBCDA写出点P 的坐标．18． 列方程或方程组解应用题:由于面临严重的能源危机，世界各国都在积极研究用生物柴油替代石油产品，微藻是一种非常有潜力的生物柴油来源．据计算，每公顷微藻的年产柴油量约为每公顷大豆年产柴油量的110倍．我国某微藻养殖示范基地的一块试验田投产后年产柴油量可达2200万升，而一块面积比微藻试验田大500公顷的大豆试验田，年产柴油量却只有40万升．求每公顷微藻年产柴油量约为多少万升？ 四、解答题（本题共20分，每小题5分） 19．如图，四边形ABCD 中，∠ADC ＝∠B ＝90°， ∠C ＝ 60°，AD ＝3，E 为DC 中点，AE ∥BC ． 求BC 的长和四边形ABCD 的面积．20．如图，△ABC 中，AC ＝B C ．以B C 为直径作⊙O 交AB 于点D ，交AC 于点G ．作直线DF ⊥AC 交AC 于点F ，交CB 的延长线于点E ． ⑴求证：直线EF 是⊙O 的切线； ⑵若BC ＝6，AB ＝43，求DE 的长． 21．加快新能源和可再生能源发展是建设高效低碳的首都能源体系和“绿色北京”的重要支撑．“十一五”以来，北京市新能源和可再生能源开发利用步伐不断加快，产业规模不断扩大．以下是根据北京市统计局发布的有关数据制作的统计图表的一部分．2010年北京市新能源和可再生能源消费量及结构统计表 类 别 太阳能 生物质能 地热能 风能 水能消费量(万吨标准煤)98 36 78.5 82.8 注：能源消费量的单位是万吨标准煤，简称标煤． 请你结合上面图表中提供的信息解答下列问题： ⑴补全条形统计图并在图中标明相应数据；⑵2010年北京市能源消费总量约是多少万吨标煤（结果精确到百位）？⑶根据北京市“十二五”规划，到2015年，本市能源消费总量比2010年增长31%，其中新能源和可再生能源利用量占全市能源消费总量的6%．已知使用新能源每替代一万吨标煤，可减少二氧化碳排放量约为2万吨，请问到2015年，由于新能源和可再生能源的开发利用，北京市可减少二氧化碳排放量约为多少万吨？ 22．阅读下列材料：问题：如图⑴，已知正方形ABCD 中，E 、F 分别是BC 、CD 边上的点，且 ∠EAF ＝45°． 判断线段BE 、EF 、FD 之间的数量关系，并说明理由．小明同学的想法是：已知条件比较分散，可以通过旋转变换将分散的已知条件集中在一起，于是他将△DAF 绕点A 顺时针旋转90°，得到△BAH ，然后通过证明三角形全等可得出结论．请你参考小明同学的思路，解决下列问题：OFBDGEBACDA DAA D “十一五”期间北京市新能源和可再生能源消费量统计图2010年北京市各类能源消费量占新能源和可再生能源3.2%油品30.3%天然气13.1%煤炭30.3%电力23.1%⑴ 图⑴中线段BE 、EF 、FD 之间的数量关系是 ； ⑵ 如图⑵，已知正方形ABCD 边长为5，E 、F 分别是BC 、CD 边上的点，且∠EAF ＝45°，AG ⊥EF 于点G ，则AG 的长为 ，△EFC 的周长为 ；⑶ 如图⑶，已知△AEF 中，∠EAF ＝45°，AG ⊥EF 于点G ，且EG ＝2，GF ＝3，则△AEF 的面积为 ．五、解答题（本题共22分，第23题7分，第24题7分，第25题8分） 23．己知二次函数)12(221-+-=t tx x y (t >1)的图象为抛物线1C ．⑴求证：无论t 取何值，抛物线1C 与x 轴总有两个交点；⑵已知抛物线1C 与x 轴交于A 、B 两点(A 在B 的左侧)，将抛物线1C 作适当的平移，得抛物线2C ：22)(t x y -=，平移后A 、B 的对应点分别为D (m ，n )，E (m ＋2，n )，求n 的值． ⑶在⑵的条件下，将抛物线2C 位于直线DE 下方的部分沿直线DE 向上翻折后，连同2C 在DE 上方的部分组成一个新图形，记为图形G ，若直线b x y +-=21(b <3)与图形G 有且只有两个公共点，请结合图象求b 的取值范围．24．如图⑴，两块等腰直角三角板ABC 和DEF ，∠ABC ＝∠DEF ＝ 90°，点C 与EF 在同一条直线l 上，将三角板A B C 绕点C 逆时针旋转α角(︒≤<︒900α)得到 △C B A ''．设EF ＝2，BC ＝1，CE ＝x ．⑴如图⑵，当︒=90α，且点C 与点F 重合时，连结'EB ，将直线'EB 绕点E 逆时针旋转45°，交直线D A '于点M ，请补全图形，并求证：M A '＝DM ．⑵如图⑶，当︒<<︒900α，且点C 与点F 不重合时，连结'EB ，将直线'EB 绕点E 逆时针旋转45°，交直线D A '于点M ，求DMMA '的值（用含x 的代数式表示）． 25．定义：对于平面直角坐标系中的任意线段AB 及点P ，任取线段．．AB 上一点Q ，线段PQ长度的最小值称为点P 到线段．．AB 的距离，记作d （P →AB ）． 已知O 为坐标原点，A (4，0)，B (3，3)，C (m ，n )，D (m ＋4，n )是平面直角坐标系中四点．根据上述定义，解答下列问题： ⑴点A 到线段OB 的距离d (A →OB ) ＝ ；⑵已知点G 到线段OB 的距离d （G →OB ）＝5，且点G 的横坐标为1，则点G 的纵坐标为 ．⑶当m 的值变化时，点A 到动线段CD 的距离d (A →CD )始终为2，线段CD 的中点为M ． ①在图⑵中画出点M 随线段CD 运动所围成的图形并求出该图形的面积．②点E 的坐标为(0，2)，m>0，n>0，作MH ⊥x 轴，垂足为H ．是否存在m 的值，使得以A 、M 、H 为顶点的三角形与△AOE 相似，若存在，求出m 的值；若不存在，请说明理由．O xy32-1121-1yB4图⑴ 图⑵ 图⑶AC E A'B'D DE lAMD B'A'E lF C数学试卷参考答案及评分标准 2013.05说明：与参考答案不同，但解答正确相应给分． 一、选择题（本题共32分，每小题4分） DCCA BABA二、填空题（本题共16分，每小题4分）9．mn (n ＋2)(n －2) 10．13 11．1.7 12．21； 321=++n n x x 三、解答题（本题共30分，每小题5分） 13．解：原式＝33－3—2×23＋1 ………………………4分 ＝23－2． ………………………5分14．解：3(2x －3)＜x ＋1， ………………………1分6x －9＜x ＋1， ………………………2分 5x ＜10， ………………………3分 x ＜2． ………………………4分 ∴原不等式的解集为x ＜2．在数轴上表示为 ： ………………………5分 15．证明 ：∵AF ＝DC ，∴ AF ＋FC ＝DC ＋CF ，即AC ＝DF ． ………………………1分 又∵BC ∥EF ，∴∠BCA ＝∠DFE ， ………………………2分 在△ABC 和△DEF 中，∠A ＝∠D ，∠BCA ＝∠DFE ， AC ＝DF ，∴△ABC ≌△DEF （ASA ）， ………………………4分 ∴AB ＝DE ． ………………………5分16．解：原式＝)2)(2(3)2123(-+⨯---+x x x x x ＝)2)(2(322-+⨯-+x x x x ＝2)2(3-x ＝4432+-x x ． ………………………3分 ∵0142=+-x x ，∴142-=-x x ，∴ 原式＝413+-＝1． ………………………5分17．解：⑴∵点 A (－1，m )在直线y ＝2x －1上，∴m ＝2×(-1)－1＝－3， ………………………1分 ∴点A 的坐标为(－1，－3)． ∵点A 在函数xky =的图象上， ∴ k ＝－1×(－3)＝3， ………………………2分∴反比例函数的解析式为xy 3=． ………………………3分 ⑵点P 的坐标为(－27，0)或(29，0)． ………………………5分18．解：设每公顷大豆年产柴油量约为x 万升，则每公顷微藻年产柴油量约为110x 万升，根据题意得， ………………………1分500110220040=-xx ， ………………………2分 解得：x ＝0.04． ………………………3分 经检验：x ＝0.04是原方程的解，并符合题意． ………………………4分∴110x ＝110×0.04＝4.4(万升)．答：每公顷微藻年产柴油量约为4.4万升． ………………………5分 四、解答题（本题共20分，每小题5分）∴DE ＝3360tan =︒AD ＝1，AE ＝︒60sin AD ＝2． ………………………1分 又∵E 为DC 中点，∴CE ＝DE ＝1， 在Rt △CEF 中，∠CFE ＝90°，∠C ＝60°，∴CF ＝CE ·cos 60°＝21，EF ＝CE ·sin 60°＝23．………………………2分∴BC ＝BF ＋CF ＝AE ＋CF ＝2＋21＝25． ………………………3分∴四边形ABCD 的面积ABCD S 四边形＝ADE S ∆＋ABCE S 梯形＝21AD ·DE ＋21(AE ＋ BC )·EF ＝21×3×1＋21×(2＋25)×23＝8313． ………………………5分 20．⑴证法一：如图，连结OD ， ∵AC ＝BC ， ∴∠A ＝∠ABC ∵OD ＝OB ， ∴∠ABC ＝∠BDO ， ∴∠BDO ＝∠A ，∴OD∥AC ， ………………………1分 ∵AC DF ⊥，∴DF OD ⊥，∴直线EF 是⊙O 的切线． ………………………2分 证法二：如图，连结OD ，CD ，∵BC 是⊙O 直径，∴∠BDC ＝90°，即CD ⊥AB ．EBACDF∵AC ＝BC ，∴AD ＝BD ，即D 是AB 的中点． ………………………1分 ∵O 是BC 的中点， ∴D O∥AC ． ∵EF ⊥AC 于F ， ∴DO EF ⊥，∴直线EF 是⊙O 的切线． ………………………2分⑵解法一：如图，连结CD ，由⑴证法二，∠BDC ＝90°，D 是AB 的中点，AB ＝43， ∴AD ＝BD ＝23．在Rt △ADC 中，AC ＝6，AD ＝23，由勾股定理得：CD ＝22AD AC -＝26， ………………3分 又∵EF ⊥AC ， ∴DF ＝ACCD AD ⋅＝66232⋅＝22，∴CF ＝22DF CD -＝4， …………………4分 又∵DO∥C F ， ∴CF OD EF ED =，即4322=+ED ED ，解得ED ＝62． ………………………5分 解法二：如图，连结OD ，CD ，BG ，同解法一得∠BDC ＝90°，CD ＝26， ………………………3分 ∵BC 是⊙O 直径，∴∠BGC ＝90°， 在△ABC 中，有CD AB ⋅⋅21＝BG AC ⋅⋅21， ∴BG ＝ACCD AB ⋅＝66234⋅＝42， ………………………4分又∵∠BGC ＝∠CFE ＝90°， ∴BG EF ∥，∴∠E ＝∠GBC ． 在Rt △BGC 中，BC ＝6，BG ＝42， ∴CG ＝22BG BC -＝2， tan ∠GBC ＝BG CG ＝31， 在Rt △EOD 中，OD ＝21BC ＝3，tan ∠E ＝tan ∠GBC ＝31，∴ED ＝EOD∠tan ＝62． ………………………5分21．解：⑴ 补全统计图如右图，所补数据为98＋36＋78.5＋8＋2.8＝223.3． ………2分OFB DG OFBADG OFBDG⑵ 2010年北京市总能耗量约是223.3÷3.2%≈7000(万吨标煤)．………3分 ⑶到2015年，由于新能源和可再生能源的开发 利用北京市可减少二氧化碳排放量约为7000×（1＋31%）×6%×2＝1100.4（万吨）．………………………5分22．⑴线段BE 、EF 、FD 之间的数量关系是 EF ＝BE ＋FD ；………………………1分 ⑵AG 的长为 5 ，△EFC 的周长为 10 ； ………………………3分 ⑶△AEF 的面积为 15 ． ………………………5分 五、解答题（本题共22分，第23题7分，第24题8分，第25题7分）23．⑴ 令01=y ，得△＝222)1(4484)12(4)2(-=+-=---t t t t t ， …………1分∵t >1，∴△＝2)1(4-t >0，∴无论t 取何值，方程0)12(22=-+-t tx x 总有两个不相等的实数根，∴无论t 取何值，抛物线1C 与x 轴总有两个交点． ………………………2分 ⑵解法一：解方程0)12(22=-+-t tx x 得，11=x ，122-=t x ， ………………………3分∵t >1，∴112>-t ．得A (1，0)，B (12-t ，0)， ∵D (m ，n )，E (m ＋2，n )， ∴DE ＝AB ＝2，即2112=--t ，解得2=t ． ………………………4分 ∴二次函数为1)2(34221--=+-=x x x y ，显然将抛物线1C 向上平移1个单位可得抛物线2C ：22)2(-=x y ，故1=n ． ………………………5分 解法二：∵D (m ，n )在抛物线2C ：22)(t x y -=上，∴2)(t m n -=，解得n t m ±=， ………………………3分∴D (n t -，n )，E (n t +，n )，∵DE ＝2，∴n t +－(n t -)＝n 2＝2， ………………………4分 解得 1=n ． ………………………5分 ⑶由⑵得抛物线2C ：22)2(-=x y ，D (1，1)，E (3，1)， 翻折后，顶点F (2，0)的对应点为F ＇(2，2)， 如图，当直线b x y +-=21经过点D (1，1)时，记为1l ， 此时23=b ，图形G 与1l 只有一个公共点； 当直线b x y +-=21经过点E (3，1)时，记为2l ，此时25=b ，图形G 与2l 有三个公共点；当3<b 时，由图象可知，只有当直线l :b x y +-=21位于1l 与2l 之间时，图形G 与直线l 有且只有两个公共点， ∴符合题意的b 的取值范围是2523<<b ． ………………………7分24．解：⑴补全图形如右图⑴． ………………………1分② 如图⑵，连结AE ，∵△ABC 和△DEF 是等腰直角三角形， ∠ABC ＝∠DEF ＝90°，AB ＝1，DE ＝2， ∴BC ＝1，EF ＝2，∠DFE ＝∠ACB ＝45°． ∴2'==AC C A ，22DF =，'EFB ∠＝90°．∴2''=-=C A DF D A ， ………………………2分 ∴点'A 为DF 的中点． ∴'EA ⊥DF ，'EA 平分∠DEF ．∴E MA '∠＝90°，EF A '∠＝45°，2'=E A ． ∵'MEB ∠＝EF A '∠＝45°， ∴'MEA ∠＝EF B '∠, ∴Rt △E MA '∽Rt △FE B '， ∴F B M A ''＝EFE A '，∴22'=M A ， ………………………3分∴22222''=-=-=M A D A DM ， ∴M A '＝DM ． ………………………4分 ⑵如图⑶，过点'B 作G B '⊥E B '交直线EM 于点G ，连结G A '． ∵G EB '∠＝90°，EM B '∠＝45°，∴GE B '∠＝45°． ∴E B '＝G B '．∵C B A ''∠＝G EB '∠＝90°，∴G B A ''∠＝E CB '∠． 又∵''A B ＝C B '，∴△G B A ''≌△E CB '． ………………………5分 ∴G A '＝CE ＝x ，''GB A ∠＝'CEB ∠．∵''GB A ∠＋GM A '∠＝'CEB ∠＋DEM ∠＝45°，∴GM A '∠＝DEM ∠， …………………………6分 ∴G A '∥DE ． ∴2''xDE G A DM M A ==． …………………………7分 25．解：⑴点A 到线段OB 的距离d (A →OB )＝22； ……1分⑵点G 的纵坐标为 －2或101+． ……………3分 ⑶①如图⑴，当点C 在以A 为圆心，半径为2的⊙A的右半圆上时，点M 在圆弧M 1FM 4上运动；图⑵MDB'A'ElF (C )ABMDB'A'ElF (C )AB图⑴图⑶GMDB'A'ElFCM 4C 4C 2C 1M 3M 2M 1C 3A yxOF-1-111当点C 从C 1到C 2时，点M 在线段M 1M 2上运动； 当点C 从C 4到C 3时，点M 在线段M 4M 3上运动；当点D 在以A 为圆心，半径为2的⊙A 的左半圆上时，点M 在圆弧M 2OM 3上运动； ∴点M 随线段CD 运动所围成的封闭图形是图中实线部分，面积为16+4π． ………5分 ②存在．由A (4，0)，E (0，2)，得2142==OA OE ． （i ）当点M 位于左侧圆弧上时，m ≤0，不合题意； （ii ）如图⑵，当点M 位于线段M 1M 2上时， ∵MH ＝2，∴只要AH ＝1，就有△AOE ∽△MHA ， 此时OH 1＝5，OH 2＝3．∵点M 为线段CD 的中点，CD =4，∴OH 1＝5时，m ＝3；OH 2＝3时，m ＝1． (7)分（iii ）解法一：如图⑶，当点M 位于右侧圆弧M 1FM 4上时，连结GM ，其中点G 是圆弧的圆心，坐标为（6，0）． 设MH 3＝x ，∵AH 3> M 3H 3∴AH 3＝2x ，∴GH 3＝2x －2，又GM ＝2，在Rt △MGH 3中，由勾股定理得：2222)22(=+-x x ，解得581=x ，02=x （不合题意，舍去），此时5163=AH ，53633=+=AH OA OH ，∵点M 为线段CD 的中点，CD =4，∴m ＝526．综上所述，存在m ＝1或m ＝3或m ＝526，使得以A 、M 、H 为顶点的三角形与△AOD 相似．………………………8分解法二：如图⑶，当点M 位于右侧圆弧M 1FM 4上时，连结GM ，其中点G 是圆弧的圆心，坐标为（6，0）．设OH 3＝x ，则GH 3＝x －6．又GM ＝2，∴M 3H 3＝2323GH GM -＝22)6(2--x ＝32122-+-x x∵AH 3> M 3H 3∴△AOE ∽△A H 3M 3， 则333H M AH ＝321242-+--x x x ＝12，即01445652=+-x x ，MH 2H 1M M 2M 1E AyxO F-1-111图⑵H 3M4M 2M 1M 3E AyxO FG M-1-111文档从互联网中收集，已重新修正排版，word 格式支持编辑，如有帮助欢迎下载支持。
北京市燕山区2015届九年级上期末考试数学试题及答案
数学试卷
2015 年 1 月
考 1．本试卷共 8 页，共五道大题，25 道小题，满分 120 分。考试时间 120 分钟。 生 2．答题纸共 6 页，在规定位置准确填写学校名称、班级、姓名和学号。 须 3．试题答案一律书写在答题纸上，在试卷上作答无效。 知 4．考试结束，请将答题纸交回，试卷和草稿纸可带走。
D，E 在边 BC 上，∠DAE＝45°．若 BD＝3，CE＝1，求 DE 的长．
C E
D
C E
F D
D F
C E
B
D C
15．如图，正比例函数 y=2x 与反比例函数 y kx (k 0) 的图象的一个交点为 A(2，m)．
求 m 和 k 的值．
y
A
1
O1
x
y 16．如图，在边长为 1 的小正方形组成的网格中，△ABC
A
C
O 12 3 4 5
x
B
的三个顶点均在格点上，点 A，B，C 的坐标分别为(0，1)，(1，－1)，(5，1)． （1）直接写出点 B 关于原点的对称点 D 的坐标； （2）将△ABC 绕点 C 顺时针旋转 90º 得到△A B1 C1．请在网格中画出△A B 1C，1 并直
A
BF
E
D
C
20．根据某网站调查，2014 年网民们最关注的热点话题分别有：消费、教育、环保、反腐 及其它共五类．根据调查的部分相关数据，绘制的统计图表如下：
科*网]网民关注的热点来自题情况统计万万万万 万 万
420
关注各类热点问题的网民人数统计图 420
万万
万 万 30%
15%
万万
2015北京中考真题数学(含解析)
2015北京中考真题数学(含解析)2015年北京中考真题数学试卷一、选择题（本题共30分，每小题3分）下面各题均有四个选项，其中只有一个是符合题意得．1．截止到2015年6月1日，北京市已建成34个地下调蓄设施，蓄水能力达到140000立方米．将140000用科学记数法表示应为（）． A ．14⨯104B ．1.4⨯105C ．1.4⨯106D ．0.14⨯1062．实数a ，b ，c ，d 在数轴上的对应点的位置如图所示，这四个数中，绝对值最大的是（）．D ．dA ．aB ．bC ．c3．一个不透明的盒子中装有3个红球、2个黄球和1个绿球，这些球除了颜色外无其他差别，从中随机摸出一个小球，恰好是黄球的概率为（）．1112A ． B ． C ． D ．62334．剪纸是我国传统的民间艺术．下列剪纸作品中，是轴对称图形的为（）．A ．B ．C ．D ．5．如图，直线l 1，l 2，l 3交于一点，直线l 4∥l 1，若∠． 1=124︒，∠2=88︒，则∠3的度数为（） l 3l 2A ．26︒B ．36︒ l 1C ．46︒2D ．56︒1l 46．如图，公路AC ，BC 互相垂直，公路AB 的中点M 与点C 被湖隔开，若测得AM 的长为1.2km ，则M ，C 两点间的距离为（）．AA ．0.5kmB ．0.6kmC ．0.9kmD ．1.2kmC7．某市6月份日平均气温统计如图所示，则在日平均气温这组数据中，众数和中位数分别是（）．A ．21，21B ．21，21.5C ．21，22D ．22，228．如图是利用平面直角坐标系画出的故宫博物院的主要建筑分布图，若这个坐标系分别以正东、正北方向为x 轴、y 轴的正方向，表示太和门的点的坐标为(0,-1) ，表示九龙壁的点的坐标为(4,1)，则表示下列宫殿的点的坐标正确的是（）．北A ．景仁宫(4,2)B ．养心殿(-2,3)C ．保和殿(1,0)D ．武英殿(-3.5, -4)9例如，购买A 若一年内在该游泳馆游泳的次数介于45～55次之间，则最省钱的方式为（）． A ．购买A 类会员年卡 B ．购买B 类会员年卡 C ．购买C 类会员年卡 D ．不购买会员年卡10．一个寻宝游戏的寻宝通道如图1所示，通道由在同一平面内的AB ，BC ，CA ，OA ，OB ，OC 组成．为记录寻宝者的行进路线，在BC 的中点M 处放置了一台定位仪器．设寻宝者行进的时间为x ，寻宝者与定位仪器之间的距离为y ，若寻宝者匀速行进，且表示y 与x 的函数关系的图象大致如图2所示，则寻宝者的行进路线可能为（）．ABC图2xM图1A ．A →O →B B ．B →A →C C ．B →O →CD ．C →B →O二、填空题（本题共18分，每小题3分） 11．分解因式：5x 3-10x 2+5x =__________．12．如图是由射线AB ，BC ，CD ，DE ，EA 组成的平面图形，则∠1+∠2+∠3+∠4+∠5=__________．D 43C2B 15AE13．《九章算术》是中国传统数学最重要的著作，奠定了中国传统数学的基本框架，它的代数成就主要包括开放术、正负术和方程术．其中，方程术是《九章算术》最高的数学成就．《九章算术》中记载：“今有牛五、羊二，直金十两；牛二、羊五，直金八两．问：牛、羊各直金几何？” 译文：“假设有5头牛、2只羊，值金10两；2头牛、5只羊，值金8两．问：每头牛、每只羊各值金多少两？”设每头牛值金x 两，每只羊值金y 两，可列方程组为__________．14．关于x 的一元二次方程ax 2+bx +__________，b =__________．1=0有两个相等的实数根，写出一组满足条件的实数a ，b 的值：a =415．北京市2009-2014年轨道交通日均客运量统计如图所示，根据统计图中提供的信息，预估2015年北京市轨道交通日均客运量约为__________万人次，你的预估理由是____________________．16．阅读下面材料：请回答：小芸的作图依据是____________________．三、解答题（本题共72分，第17-26题，每小题5分，第27题7分，第28题7分，第29题8分）解答应写出文字说明，验算步骤或证明过程．117．计算：() -2-(π02+4sin 60︒．218．已知2a 2+3a -6=0，求代数式3a (2a +1) -(2a +1)(2a -1) 的值．⎧4(x +1) ≤719．解不等式组⎪x +10⎨，并写出它的所有非负整数解⎪⎩x -50．当k >0，b <0时，PA =2AB ， 2A (, 0) ，P (2,4)， 3代入直线y =kx +b (k ≠0) 中得，⎧2⎧k =3⎪k +b =0，解得⎨，⎨3b =-2⎩⎪⎩2k +b =4当k >0，b >0，且B 为AP 的中点．即A (-2, 0) ，B (0, 2) ，代入直线y =kx +b (k ≠0) 中得，⎧b =2⎧k =1，解得⎨，⎨⎩-2k +b =0⎩b =2即k 的值为1或3．24．证明：（1）∵AB 是⊙O 的直径，BM 是⊙O 的切线，∴∠ABM =90︒，AB ⊥BM ，∵CD ∥BM ，∴AB ⊥CD ．∴ AD = AC ，∴»DA=DC »，∴ AD = AC = DC，∴AC =CD =AD ，∴△ACD 是等边三角形．（2）连接BD ，∵△ACD 是等边三角形∴∠DAB =30︒．∵AB 是⊙O 的直径，∴AD ⊥BD ．∵∠EBD +∠ABD =∠BAD +∠ABD =90︒，∴∠BAD =∠EBD =30︒，在Rt △BDE 中，DE =2，∴BD=OB =BE =4，在Rt △OBE 中，∠OBE =90︒，OE =即OE的长为25．解：（1）32⨯(1+25%)=40（万人），玉渊潭公园游客接待量为40万人次．26．解：（1）x ≠0．（2）当x =3时，m =1219129292⨯3+3=2+3=6，即m 的值6．（3）如图所示：（4）答案不唯一，如当x <0时，函数值随着x 值得增大而减小．27．解：（1）依题可得，令y =2，x -1=2，x =3，A 点坐标为(3, 2) ，点A 关于直线x =1的对称点B 点坐标为(-1, 2) ．即A 点坐标为(3, 2) ，B 点坐标为(-1, 2) ．（2）抛物线C 1:y =x 2+bx +c 经过点A (3, 2) ，B (-1, 2) ，即抛物线解析式为y =(x +1)(x -3) +2=x 2-2x -1，即抛物线化为顶点式为y =(x -1) 2-2，顶点坐标为(1,-2) ．∴抛物线解析式为y =x 2-2x -1，顶点坐标为(1,-2) ．（3）当a <0时，开口向下，与线段AB 没有交点．当a >0时，抛物线y =ax 2恰好过点A (3, 2) 时，9a =2，a =抛物线y =ax 2恰好过点B (-1, 2) 时，a =2．2即a 的取值范围为≤a <2．928．解：（1）①如图所示．AHB2； 9D P CQ②PH =AH ，PH ⊥AH ．证明：依题可知△ADP ≌△BCQ ，∴DP =CQ ，∴DC =PQ ．∵四边形ABCD 为正方形，∴AD =CD =PQ ，∠ADB =CDB =45︒．∵QH ⊥BD ，∴∠HDQ =∠HQD =45︒，∴DH =QH ．在△AHD 和△PHQ 中，⎧AD =PQ ⎪⎨∠ABH =∠PQH ，⎪HD =HQ ⎩∴△AHD ≌△PHQ (SAS)，∴AH =PH ，∠AHD =∠PHQ ，∴∠AHD +∠DHP =∠PHQ +∠DHP =90︒，∴AH ⊥PH ．（2）如图，易证△AHD ≌△PHQ ．∴△AHP 为等腰直角三角形，∵∠AHP =∠ADP =90︒，∴A 、P 、D 、H 四点共圆．A∴∠PAD =∠PH D ．∵∠AHQ =152︒，∠AHP =90︒，∴∠PHD =28︒．∴∠PAD =28︒，DP∵tan ∠PAD =，AD ∴DP =AD ⋅tan ∠PAD =tan 28︒．D即DP 的长为tan 28︒． 29．解：（1）①M 关于⊙O 的反称点不存在，N 、T 关于⊙O 的反称点存在，1N 关于⊙O 的反称点为N '(, 0) ，T 关于⊙O 的反称点为T '(0, 0) ．2②点P 关于⊙O 的反称点P '若存在，必在以O 为圆心，半径为2的圆内或圆上，点P 还在直线y =-x +2上，且点P '不在x 轴上，∴点P 的横坐标的取值范围050+25x >200+20x >400+15x ，∴办理C 类年卡． 10．【答案】C 【解析】由y 与x 的函数关系的图象可知是一个轴对称的函数图象，即寻宝者的行进路线与定位仪器M 也是轴对称的图形，排除A 、D ；又因为BA >BM ，排除B ．故寻宝者的行进路线可能为B →O →C ．二、填空题（本题共18分，每小题3分） 11．【答案】5x (x -1) 2【解析】分解因式：5x 3-10x 2+5x =5x (x 2-2x +1) =5x (x -1) 2．故答案为5x (x -1) 2． 12．【答案】360︒【解析】由多边形外角和公式可知，∠1+∠2+∠3+∠4+∠5=360︒．故答案为360︒．⎧5x +2y =1013．【答案】⎨⎩2x +5y =8⎧5x +2y =10⎧5x +2y =10【解析】依题可知，⎨．故答案为⎨．2x +5y =82x +5y =8⎩⎩14．【答案】a =1，b =1（答案不唯一）2【解析】关于x 的一元二次方程ax +bx +1=0有两个相等的实数根， 4⎧a ≠0⎪∴⎨， 122∆=b -4⨯a ⨯=b -a =0⎪⎩4a =1，b =1即可，答案不唯一．故答案为a =1，b =1（答案不唯一）． 15．【答案】1040（开放性试题，合理即可）【解析】预估理由是这五年北京市轨道交通日均客运量平均增长108万人次，故2015年北京市轨道交通日均客运量约为1040．故答案为1040． 16．【答案】到线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上，两点确定一条直线．【解析】到线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上，两点确定一条直线（菱形的对角线互相垂直平分）故答案为：到线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上，两点确定一条直线．。
北京市燕山区中考数学一模试卷(含解析)
2016年北京市燕山区中考数学一模试卷一、选择题（本题共30分，每小题3分）下面各题均有四个选项，其中只有一个是符合题意的．1．从2015年秋季学期起，北京110 000名初一新生通过“北京市初中实践活动管理服务平台”进行选课，参加“开放性科学实践活动”课程．将110 000用科学记数法表示应为（）A．11×104B．1.1×105C．1.1×106D．0.11×1062．实数a，b，c，d在数轴上的对应点的位置如图所示，其中互为相反数的两个数是（）A．a和d B．a和c C．b和d D．b和c3．2016年是中国农历丙申猴年，下列四个猴子头像中，是轴对称图形的是（）A．B．C．D．4．学校组织知识竞赛，共设有20道试题，其中有关中国优秀传统文化的试题10道，实践应用试题6道，创新能力试题4道．小捷从中任选一道试题作答，他选中创新能力试题的概率是（）A．B．C．D．5．如图，直线m∥n，∠1=70°，∠2=30°，则∠A等于（）A．30° B．35° C．40° D．50°6．为了解某种电动汽车一次充电后行驶的里程数，对其进行了抽检，统计结果如图所示，则在一次充电后行驶的里程数这组数据中，众数和中位数分别是（）A．220，220 B．220，210 C．200，220 D．230，2107．为了加强视力保护意识，小明要在书房里挂一张视力表．由于书房空间狭小，他想根据测试距离为5m的大视力表制作一个测试距离为3m的小视力表．如图，如果大视力表中“E”的高度是3.5cm，那么小视力表中相应“E”的高度是（）A．3cm B．2.5cm C．2.3cm D．2.1cm8．象棋在中国有着三千多年的历史，由于用具简单，趣味性强，成为流行极为广泛的益智游戏．如图，是一局象棋残局，已知表示棋子“馬”和“車”的点的坐标分别为（4，3），（﹣2，1），则表示棋子“炮”的点的坐标为（）A．（﹣3，3）B．（3，2）C．（0，3）D．（1，3）9．手工课上，老师将同学们分成A，B两个小组制作两个汽车模型，每个模型先由A组同学完成打磨工作，再由B组同学进行组装完成制作，两个模型每道工序所需时间如下：则这两个模型都制作完成所需的最短时间为（）A．20分钟B．22分钟C．26分钟D．31分钟10．如图1，△ABC是一块等边三角形场地，点D，E分别是AC，BC边上靠近C点的三等分点．现有一个机器人（点P）从A点出发沿AB边运动，观察员选择了一个固定的位置记录机器人的运动情况．设AP=x，观察员与机器人之间的距离为y，若表示y与x的函数关系的图象大致如图2所示，则观察员所处的位置可能是图1的（）A．点B B．点C C．点D D．点E二、填空题（本题共18分，每小题3分）11．因式分解：a3﹣ab2= ．12．如图，一个正n边形纸片被撕掉了一部分，已知它的中心角是40°，那么n= ．13．关于x的一元二次方程x2﹣2x+m=0有两个不相等的实数根．请你写出一个满足条件的m 值：m= ．14．《孙子算经》是中国古代重要的数学著作，记有许多有趣而又不乏技巧的算术程式．其中记载：“今有甲、乙二人，持钱各不知数．甲得乙中半，可满四十八．乙得甲太半，亦满四十八．问甲、乙二人原持钱各几何？”译文：“甲，乙两人各有若干钱．如果甲得到乙所有钱的一半，那么甲共有钱48文．如果乙得到甲所有钱的，那么乙也共有钱48文．问甲，乙二人原来各有多少钱？”设甲原有x文钱，乙原有y文钱，可列方程组为．15．我国2010﹣2015年高铁运营里程情况统计如图所示，根据统计图提供的信息，预估2016年我国高铁运营里程约为万公里，你的预估理由是．16．阅读下面材料：在数学课上，老师提出如下问题：小敏的作法如下：老师说：“小敏的作法正确．”请回答：小敏的作图依据是．三、解答题（本题共72分，第17-26题，每小题5分，第27题7分，第28题7分，第29题8分）解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．17．计算：（）﹣1+|﹣2|﹣2cos60°+（1﹣π）0．18．解不等式组：．19．如图，点C为AB中点，AD∥CE，AD=CE．求证：∠D=∠E．20．已知x2﹣4x﹣1=0，求代数式（2x﹣3）2﹣（x+1）（x﹣1）的值．21．为应对雾霾天气，使师生有一个更加舒适的教学环境，学校决定为南北两幢教学楼安装空气净化器．南楼安装的55台由甲队完成，北楼安装的50台由乙队完成．已知甲队比乙队每天多安装两台，且两队同时开工，恰好同时完成任务．甲、乙两队每天各安装空气净化器多少台？22．如图，△ABC中，AD是BC边的中线，分别过点B，D作AD，AB的平行线交于点E，且ED交AC于点F，AD=2DF．（1）求证：四边形ABED为菱形；（2）若BD=6，∠E=60°，求四边形ABED的面积．23．如图，直线y=2x+n与双曲线y=（m≠0）交于A，B两点，且点A的坐标为（1，4）．（1）求m，n的值；（2）过x轴上一点M作平行于y轴的直线l，分别与直线y=2x+n和双曲线y=（m≠0）交于点P，Q，若PQ=2QM，求点M的坐标．24．如图，AB为⊙O的直径，C，D为⊙O上不同于A，B的两点，过点C作⊙O的切线CF交直线AB于点F，直线DB⊥CF于点E．（1）求证：∠ABD=2∠CAB；（2）若BF=5，sin∠F=，求BD的长．25．阅读下列材料：数学课程内容分为“数与代数”、“图形与几何”、“统计与概率”、“综合与实践”四个领域，其中“综合与实践”领域通过探讨一些具有挑战性的研究问题，给我们创造了可以动手操作、探究学习、认识数学知识间的联系、发展应用数学知识解决问题的意识和能力的机会．“综合与实践”领域在人教版七﹣九年级6册数学教材中共安排了约40课时的内容，主要有“数学制作与设计”、“数学探究与实验”、“数学调查与测量”、“数学建模”等活动类型，所占比例大约为30%，20%，40%，10%．这些活动以“课题学习”、“数学活动”和“拓广探索类习题”等形式分散于各章之中．“数学活动”几乎每章后都有2～3个，共60个，其中七年级22个，八年级19个；“课题学习”共7个，其中只有八年级下册安排了“选择方案”和“体质健康测试中的数据分析”2个内容，其他5册书中都各有1个；七上﹣九下共6册书中“拓广探索类习题”数量分别为44，39，46，35，37，23．根据以上材料回答下列问题：（1）人教版七﹣九年级数学教材中，“数学调查与测量”类活动约占课时；（2）选择统计表或统计图，将人教版七﹣九年级数学教材中“课题学习”、“数学活动”和“拓广探索类习题”的数量表示出来．26．如图1，四边形ABCD中，AB=AD，BC=CD，我们把这种两组邻边分别相等的四边形叫做筝形．请探究“筝形”的性质和判定方法．小聪根据学习四边形的经验，对“筝形”的判定和性质进行了探究．下面是小聪的探究过程，请补充完整：（1）如图2，连接筝形ABCD的对角线AC，BD交于点O，通过测量边、角或沿一条对角线所在直线折叠等方法探究发现筝形有一组对角相等，请写出筝形的其他性质（一条即可）：，这条性质可用符号表示为：；（2）从边、角、对角线或性质的逆命题等角度进行探究，写出筝形的一个判定方法（定义除外），并证明你的结论．27．抛物线C1：y=a（x+1）（x﹣3a）（a＞0）与x轴交于A，B两点（A在B的左侧），与y 轴交于点C（0，﹣3）．（1）求抛物线C1的解析式及A，B点坐标；（2）将抛物线C1向上平移3个单位长度，再向左平移n（n＞0）个单位长度，得到抛物线C2，若抛物线C2的顶点在△ABC内，求n的取值范围．28．在等边△ABC外侧作直线AP，点B关于直线AP的对称点为D，连接AD，BD，CD，其中CD交直线AP于点E．设∠PAB=α，∠ACE=β，∠AEC=γ．（1）依题意补全图1；（2）若α=15°，直接写出β和γ的度数；（3）如图2，若60°＜α＜120°，①判断α，β的数量关系并加以证明；②请写出求γ大小的思路．（可以不写出计算结果）29．在平面直角坐标系xOy中，给出如下定义：若点P在图形M上，点Q在图形N上，称线段PQ长度的最小值为图形M，N的密距，记为d（M，N）．特别地，若图形M，N有公共点，规定d（M，N）=0．（1）如图1，⊙O的半径为2，①点A（0，1），B（4，3），则d（A，⊙O）= ，d（B，⊙O）= ．②已知直线l：y=与⊙O的密距d（l，⊙O）=，求b的值．（2）如图2，C为x轴正半轴上一点，⊙C的半径为1，直线y=﹣与x轴交于点D，与y轴交于点E，线段DE与⊙C的密距d（DE，⊙C）＜．请直接写出圆心C的横坐标m的取值范围．2016年北京市燕山区中考数学一模试卷参考答案与试题解析一、选择题（本题共30分，每小题3分）下面各题均有四个选项，其中只有一个是符合题意的．1．从2015年秋季学期起，北京110 000名初一新生通过“北京市初中实践活动管理服务平台”进行选课，参加“开放性科学实践活动”课程．将110 000用科学记数法表示应为（）A．11×104B．1.1×105C．1.1×106D．0.11×106【考点】科学记数法—表示较大的数．【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值＞1时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．【解答】解：110 000用科学记数法表示应为1.1×105，故选B．2．实数a，b，c，d在数轴上的对应点的位置如图所示，其中互为相反数的两个数是（）A．a和d B．a和c C．b和d D．b和c【考点】实数与数轴．【分析】根据相反数位于原点的两侧且到原点的距离相等，可得答案．【解答】解：由相反数位于原点的两侧且到原点的距离相等，得a与d互为相反数，故选：A．3．2016年是中国农历丙申猴年，下列四个猴子头像中，是轴对称图形的是（）A．B．C．D．【考点】轴对称图形．【分析】根据轴对称图形的概念：如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴进行分析即可．【解答】解：A、不是轴对称图形，故此选项错误；B、不是轴对称图形，故此选项错误；C、是轴对称图形，故此选项正确；D、不是轴对称图形，故此选项错误；故选：C．4．学校组织知识竞赛，共设有20道试题，其中有关中国优秀传统文化的试题10道，实践应用试题6道，创新能力试题4道．小捷从中任选一道试题作答，他选中创新能力试题的概率是（）A．B．C．D．【考点】概率公式．【分析】根据共设有20道试题，其中创新能力试题4道，再根据概率公式即可得出答案．【解答】解：∵共设有20道试题，其中创新能力试题4道，∴他选中创新能力试题的概率是=；故选D．5．如图，直线m∥n，∠1=70°，∠2=30°，则∠A等于（）A．30° B．35° C．40° D．50°【考点】平行线的性质．【分析】首先根据平行线的性质求出∠3的度数，然后根据三角形的外角的知识求出∠A的度数．【解答】解：如图，∵直线m∥n，∴∠1=∠3，∵∠1=70°，∴∠3=70°，∵∠3=∠2+∠A，∠2=30°，∴∠A=40°，故选C．6．为了解某种电动汽车一次充电后行驶的里程数，对其进行了抽检，统计结果如图所示，则在一次充电后行驶的里程数这组数据中，众数和中位数分别是（）A．220，220 B．220，210 C．200，220 D．230，210【考点】众数；条形统计图；中位数．【分析】根据众数与中位数的定义，找出出现次数最多的数，把这组数据从小到大排列，求出最中间两个数的平均数即可．【解答】解：数据220出现了4次，最多，故众数为220，共1+2+3+4=10个数，排序后位于第5和第6位的数均为220，故中位数为220，故选A．7．为了加强视力保护意识，小明要在书房里挂一张视力表．由于书房空间狭小，他想根据测试距离为5m的大视力表制作一个测试距离为3m的小视力表．如图，如果大视力表中“E”的高度是3.5cm，那么小视力表中相应“E”的高度是（）A．3cm B．2.5cm C．2.3cm D．2.1cm【考点】相似三角形的应用．【分析】直接利用平行线分线段成比例定理列比例式，代入可得结论．【解答】解：由题意得：CD∥AB，∴=，∵AB=3.5cm，BE=5m，DE=3m，∴，∴CD=2.1cm，故选D．8．象棋在中国有着三千多年的历史，由于用具简单，趣味性强，成为流行极为广泛的益智游戏．如图，是一局象棋残局，已知表示棋子“馬”和“車”的点的坐标分别为（4，3），（﹣2，1），则表示棋子“炮”的点的坐标为（）A．（﹣3，3）B．（3，2）C．（0，3）D．（1，3）【考点】坐标确定位置．【分析】根据棋子“馬”和“車”的点的坐标可得出原点的位置，进而得出答案．【解答】解：如图所示：棋子“炮”的点的坐标为：（1，3）．故选：D．9．手工课上，老师将同学们分成A ，B 两个小组制作两个汽车模型，每个模型先由A 组同学完成打磨工作，再由B 组同学进行组装完成制作，两个模型每道工序所需时间如下：则这两个模型都制作完成所需的最短时间为（ ）A ．20分钟B ．22分钟C ．26分钟D ．31分钟【考点】推理与论证．【分析】分两种情况，①当A 组先打磨模型甲共需26分钟．②当A 组先打磨模型乙共需22分钟．再比较大小即可．【解答】解：①当A 组先打磨模型甲需要9分钟，然后B 组装模型甲需要5分钟，在这5分钟内，A 组已打磨模型乙用了5分钟，还需等1分钟，B 才能组装模型乙，之后B 组在组装模型乙需要11分钟，则整个过程用时9+5+1+11=26分钟．②当A 组先打磨模型乙需要6分钟，然后B 组装模型乙需要9分钟，在这11分钟内，A 组已打磨好模型甲，因为A 组打磨模型甲只需要9分钟，之后B 组在组装模型甲需要5分钟，则整个过程用时6+11+5=22分钟．而26＞22，∴这两个模型都制作完成所需的最短时间为22分钟，故选B ．10．如图1，△ABC 是一块等边三角形场地，点D ，E 分别是AC ，BC 边上靠近C 点的三等分点．现有一个机器人（点P）从A点出发沿AB边运动，观察员选择了一个固定的位置记录机器人的运动情况．设AP=x，观察员与机器人之间的距离为y，若表示y与x的函数关系的图象大致如图2所示，则观察员所处的位置可能是图1的（）A．点B B．点C C．点D D．点E【考点】动点问题的函数图象．【分析】根据题意可以得到当观察员分别处于选项中的各点时，y随x的增大如何变化，从而可以得到哪个选项是正确的．【解答】解：当观察员所处的位置在点B时，y随x的增大而减小，与图2不符，故选项A 错误；当观察员所处的位置在点C时，y随x的增大先减小再增大，且减小与增大的距离相等，故选B错误；当观察员所处的位置在点D时，y随x的增大先减小再增大，由大变小的距离小于由小变大的距离，故选项C正确；当观察员所处的位置在点E时，y随x的增大先减小再增大，由大变小的距离大于由小变大的距离，故选项D错误；故选C．二、填空题（本题共18分，每小题3分）11．因式分解：a3﹣ab2= a（a+b）（a﹣b）．【考点】提公因式法与公式法的综合运用．【分析】观察原式a3﹣ab2，找到公因式a，提出公因式后发现a2﹣b2是平方差公式，利用平方差公式继续分解可得．【解答】解：a3﹣ab2=a（a2﹣b2）=a（a+b）（a﹣b）．12．如图，一个正n边形纸片被撕掉了一部分，已知它的中心角是40°，那么n= 9 ．【考点】正多边形和圆．【分析】利用360度除以中心角的度数即可求得．【解答】解：∵正n边形的中心角==40°，n==9．故答案为：9．13．关于x的一元二次方程x2﹣2x+m=0有两个不相等的实数根．请你写出一个满足条件的m 值：m= 0 ．【考点】根的判别式．【分析】若一元二次方程有两不等根，则根的判别式△=b2﹣4ac＞0，建立关于m的不等式，求出m的取值范围．【解答】解：∵方程有两个不相等的实数根，a=1，b=﹣2，c=m，∴△=b2﹣4ac=（﹣2）2﹣4×1×m＞0，解得m＜1，故答案是：0．14．《孙子算经》是中国古代重要的数学著作，记有许多有趣而又不乏技巧的算术程式．其中记载：“今有甲、乙二人，持钱各不知数．甲得乙中半，可满四十八．乙得甲太半，亦满四十八．问甲、乙二人原持钱各几何？”译文：“甲，乙两人各有若干钱．如果甲得到乙所有钱的一半，那么甲共有钱48文．如果乙得到甲所有钱的，那么乙也共有钱48文．问甲，乙二人原来各有多少钱？”设甲原有x文钱，乙原有y文钱，可列方程组为．【考点】由实际问题抽象出二元一次方程组．【分析】设甲原有x文钱，乙原有y文钱，根据题意可得，甲的钱+乙的钱的一半=48文钱，乙的钱+甲所有钱的=48文钱，据此列方程组可得．【解答】解：设甲原有x文钱，乙原有y文钱，根据题意，得：，故答案为：．15．我国2010﹣2015年高铁运营里程情况统计如图所示，根据统计图提供的信息，预估2016年我国高铁运营里程约为 2.2 万公里，你的预估理由是每年平均增长量近似相等．【考点】用样本估计总体；折线统计图．【分析】根据折线统计图可以预估2016年我国高铁运营里程约为多少公里，以及预估的理由，本题得以解决．【解答】解：由折线统计图可得，预估2016年我国高铁运营里程约为：1.9+（1.9﹣1.6）=1.9+0.3=2.2万公里，理由是：每年平均增长量近似相等，故答案为：2.2，每年平均增长量近似相等．16．阅读下面材料：在数学课上，老师提出如下问题：小敏的作法如下：老师说：“小敏的作法正确．”请回答：小敏的作图依据是对角线互相平分的四边形是平行四边形；有一个角是直角的平行四边形是矩形．【考点】作图—复杂作图．【分析】直接利用平行四边形的判定方法结合矩形的判定进而得出答案．【解答】解：小敏的作图依据是：对角线互相平分的四边形是平行四边形；有一个角是直角的平行四边形是矩形．故答案为：对角线互相平分的四边形是平行四边形；有一个角是直角的平行四边形是矩形．三、解答题（本题共72分，第17-26题，每小题5分，第27题7分，第28题7分，第29题8分）解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．17．计算：（）﹣1+|﹣2|﹣2cos60°+（1﹣π）0．【考点】实数的运算；零指数幂；负整数指数幂；特殊角的三角函数值．【分析】本题涉及负整数指数幂、绝对值、特殊角的三角函数值、零指数幂4个考点．在计算时，需要针对每个考点分别进行计算，然后根据实数的运算法则求得计算结果．【解答】解：（）﹣1+|﹣2|﹣2cos60°+（1﹣π）0=2+2﹣2×+1=2+2﹣1+1=4．18．解不等式组：．【考点】解一元一次不等式组．【分析】分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小无解了确定不等式组的解集．【解答】解：解不等式x+1≤5，得：x≤4，解不等式7﹣4x＜1，得：x＞，∴原不等式组的解集为＜x≤4．19．如图，点C为AB中点，AD∥CE，AD=CE．求证：∠D=∠E．【考点】全等三角形的判定与性质．【分析】根据题意证明△ADC≌△CEB，得到∠D=∠E即可解决问题．【解答】证明：∵点C为AB中点，∴AC=CB，∵AD∥CE，∴∠A=∠ECB，在△ADC与△ECB中，，∴△ADC≌△ECB（SAS），∴∠D=∠E．20．已知x2﹣4x﹣1=0，求代数式（2x﹣3）2﹣（x+1）（x﹣1）的值．【考点】整式的混合运算—化简求值．【分析】原式利用完全平方公式，平方差公式化简，去括号合并得到最简结果，把已知等式变形后代入计算即可求出值．【解答】解：原式=4x2﹣12x+9﹣x2+1=3x2﹣12x+10=3（x2﹣4x）+10，由x2﹣4x﹣1=0，得到x2﹣4x=1，则原式=3+10=13．21．为应对雾霾天气，使师生有一个更加舒适的教学环境，学校决定为南北两幢教学楼安装空气净化器．南楼安装的55台由甲队完成，北楼安装的50台由乙队完成．已知甲队比乙队每天多安装两台，且两队同时开工，恰好同时完成任务．甲、乙两队每天各安装空气净化器多少台？【考点】分式方程的应用．【分析】设乙队每天安装x台，则甲队每天安装（x+2）台，根据两队同时开工，恰好同时完成任务，即所用的时间相等，即可列方程求解．【解答】解：设乙队每天安装x台，则甲队每天安装（x+2）台．由题意得：，解得：x=20．经检验：x=20是原方程的根，则x+2=22．答：甲队每天安装22台，乙队每天安装20台．22．如图，△ABC中，AD是BC边的中线，分别过点B，D作AD，AB的平行线交于点E，且ED交AC于点F，AD=2DF．（1）求证：四边形ABED为菱形；（2）若BD=6，∠E=60°，求四边形ABED的面积．【考点】菱形的判定．【分析】（1）先证明四边形ABED是平行四边形，利用三角形中位线定理可以证明AD=AB即可．（2）求出菱形的对角线即可求面积．【解答】（1）证明：∵AD是BC边中线，∴DC=DB，DF∥AB，∴CF=FA，∴AB=2DF，∵AD=2DF，∴AB=AD，∵AD∥BE，DE∥AB，∴四边形ABED是平行四边形，∵AD=AB，∴四边形ABED是菱形．（2）连接AE交BD于O，∵∠DEB=60°，四边形ABED是菱形，∴△BDE、△ABD是等边三角形，DO=BO=3，在RT△DOE中，∵DO=3，∠EDO=60°，DE=6，∴EO===3，∴AE=2EO=6，∴S菱形ABED=•AE•BD=×6×6=18．23．如图，直线y=2x+n与双曲线y=（m≠0）交于A，B两点，且点A的坐标为（1，4）．（1）求m，n的值；（2）过x轴上一点M作平行于y轴的直线l，分别与直线y=2x+n和双曲线y=（m≠0）交于点P，Q，若PQ=2QM，求点M的坐标．【考点】反比例函数与一次函数的交点问题．【分析】（1）把点A的坐标为（1，4）代入y=（m≠0），求得m=4，代入y=2x+n中得n=2；（2）设M（a，0），表示出P（a，2a+2），Q（a，），根据PQ=2QD，列方程|2a+2﹣|=|2×，解得a=2，a=﹣3，即可得到结果．【解答】解：（1）∵直线y=2x+n与双曲线y=（m≠0）交于A，B两点，∴把A（1，4）代入y=（m≠0），得m=4，把A（1，4）代入y=2x+n中得n=2；（2）设M（a，0），∵l∥y轴，∴P（a，2a+2），Q（a，），∵PQ=2QD，∴|2a+2﹣|=|2×|，解得：a=2或a=﹣3，∴M（﹣3，0）或（2，0）．24．如图，AB为⊙O的直径，C，D为⊙O上不同于A，B的两点，过点C作⊙O的切线CF交直线AB于点F，直线DB⊥CF于点E．（1）求证：∠ABD=2∠CAB；（2）若BF=5，sin∠F=，求BD的长．【考点】切线的性质．【分析】（1）连接OC，根据等腰三角形性质和外角的性质得出∠2=2∠CAB，根据切线的性质得出OC⊥CF，即可证得OC∥DB，根据平行线的性质得出∠ABD=∠2，即可证得∠ABD=2∠CAB；（2）连接AD，根据圆周角定理得出AD⊥DE，即可证得AD∥CF，根据平行线的性质得出∠3=∠F，从而证得△FBE∽△FOC，根据三角形相似的性质求得半径，然后通过解直角三角形即可求得BD的长．【解答】（1）证明：连接OC，∵OA=OC，∴∠CAB=∠1，∴∠2=∠CAB+∠1=2∠CAB，∵CF切⊙O于C，OC是⊙O的半径，∴OC⊥CF，∵DB⊥CF，∴OC∥DB，∴∠ABD=∠2，∴∠ABD=2∠CAB；（2）解：连接AD，∵AB为⊙O的直径，∴∠ADB=90°，即AD⊥DE，∵DE⊥CF，∴AD∥CF，∴∠3=∠F，在RT△BEF中，∵∠BEF=90°，BF=5，sin∠F=，∴BE=BF•sin∠F=5×=3，∵OC∥BE，∴△FBE∽△FOC，∴=，设⊙O的半径为r，则=，解得r=，在RT△ABD中，∠ADB=90°，AB=2r=15，sin∠3=sin∠F=，∴BD=AB•sin∠3=15×=9．25．阅读下列材料：数学课程内容分为“数与代数”、“图形与几何”、“统计与概率”、“综合与实践”四个领域，其中“综合与实践”领域通过探讨一些具有挑战性的研究问题，给我们创造了可以动手操作、探究学习、认识数学知识间的联系、发展应用数学知识解决问题的意识和能力的机会．“综合与实践”领域在人教版七﹣九年级6册数学教材中共安排了约40课时的内容，主要有“数学制作与设计”、“数学探究与实验”、“数学调查与测量”、“数学建模”等活动类型，所占比例大约为30%，20%，40%，10%．这些活动以“课题学习”、“数学活动”和“拓广探索类习题”等形式分散于各章之中．“数学活动”几乎每章后都有2～3个，共60个，其中七年级22个，八年级19个；“课题学习”共7个，其中只有八年级下册安排了“选择方案”和“体质健康测试中的数据分析”2个内容，其他5册书中都各有1个；七上﹣九下共6册书中“拓广探索类习题”数量分别为44，39，46，35，37，23．根据以上材料回答下列问题：（1）人教版七﹣九年级数学教材中，“数学调查与测量”类活动约占16 课时；（2）选择统计表或统计图，将人教版七﹣九年级数学教材中“课题学习”、“数学活动”和“拓广探索类习题”的数量表示出来．【考点】统计图的选择；统计表．【分析】（1）用“数学调查与测量”类活动课时数=总课时×该活动所占百分比；（2）列表可得．【解答】解：（1）“数学调查与测量”类活动约为：40×40%=16（课时）；（2）列表如图：故答案为：（1）16．26．如图1，四边形ABCD中，AB=AD，BC=CD，我们把这种两组邻边分别相等的四边形叫做筝形．请探究“筝形”的性质和判定方法．小聪根据学习四边形的经验，对“筝形”的判定和性质进行了探究．下面是小聪的探究过程，请补充完整：（1）如图2，连接筝形ABCD的对角线AC，BD交于点O，通过测量边、角或沿一条对角线所在直线折叠等方法探究发现筝形有一组对角相等，请写出筝形的其他性质（一条即可）：对角线互相垂直，这条性质可用符号表示为：已知四边形ABCD是筝形，则AC⊥BD．；（2）从边、角、对角线或性质的逆命题等角度进行探究，写出筝形的一个判定方法（定义除外），并证明你的结论．【考点】翻折变换（折叠问题）；全等三角形的判定与性质．【分析】（1）根据筝形的定义可以证明△BAC≌△DAC，依据全等三角形的性质即可证得边和对角线的关系；（2）利用△BAC≌△DAC，根据边、角、对角线的性质证得．【解答】解：（1）筝形的性质：两组邻边分别相等；对角线互相垂直，即已知四边形ABCD是筝形，则AC⊥BD；有一条对角线被另一条平分；有一条对角线平分对角；是轴对称图形．（写出一条即可）；故答案是：对角线互相垂直；已知四边形ABCD是筝形，则AC⊥BD；（2）筝形的判定方法：有一条对角线平分一组对角的四边形是筝形．已知：四边形ABCD中，AC是一条对角线，∠BAC=∠DAC，∠BCA=∠DCA．求证：四边形ABCD是筝形．证明：在△BAC和△DAC中，，∴△BAC≌△DAC，∴AB=AD，BC=CD，即四边形ABCD是筝形．其他正确的判定方法：有一条对角线垂直平分另一条对角线的四边形是筝形；有一组邻边相等且互相垂直的四边形是筝形．27．抛物线C1：y=a（x+1）（x﹣3a）（a＞0）与x轴交于A，B两点（A在B的左侧），与y 轴交于点C（0，﹣3）．（1）求抛物线C1的解析式及A，B点坐标；（2）将抛物线C1向上平移3个单位长度，再向左平移n（n＞0）个单位长度，得到抛物线C2，若抛物线C2的顶点在△ABC内，求n的取值范围．【考点】二次函数图象与几何变换．【分析】（1）根据已知点的坐标代入已知的函数的解析式即可利用待定系数法确定二次函数的解析式；（2）首先根据平移确定平移后的函数的解析式，然后确定抛物线C2的顶点坐标；结合图形确定n的取值范围即可．【解答】解：（1）∵抛物线C1：y=a（x+1）（x﹣3a）y轴交于点C（0，﹣3），∴﹣3=a（0+1）（0﹣3a），解得a=1（舍去负值）．∴抛物线C1的解析式为：y=（x+1）（x﹣3）．∴A（﹣1，0），B（3，0）；（2）∵y=（x+1）（x﹣3）=（x﹣1）2﹣4，∴该抛物线的解析式为y=（x﹣1）2﹣4，则该抛物线的顶点坐标为（1，﹣4）．将（1）中求得的抛物线向上平移3个单位长度，再向左平移n（n＞0）个单位长度得到新抛物线y=（x﹣1+n）2﹣1，∴平移后抛物线的顶点坐标是（1﹣n，﹣1），∴﹣1＜1﹣n＜3，解得﹣2＜n＜2．。
北京市燕山区215届九年级(上)期末考试数学试题(含答案)
燕山地区2014—2015学年度第一学期九年级期末考试 数 学 试 卷 2015年1月考 生 须 知1．本试卷共8页，共五道大题，25道小题，满分120分。
考试时间120分钟。
2．答题纸共6页，在规定位置准确填写学校名称、班级、姓名和学号。
3．试题答案一律书写在答题纸上，在试卷上作答无效。
4．考试结束，请将答题纸交回，试卷和草稿纸可带走。
一、选择题（本题共32分，每小题4分）下面各题均有四个选项，其中只有一个．．．．是符合题意的，请将符合题意的答案代号写在答题纸的相应位置上．1．观察下列图形，是中心对称图形的是A ．B ．C ．D ．2．某校举办中学生汉字听写大会，准备从甲、乙、丙、丁4套题中随机抽取一套题对选手进行训练，则抽中甲套题的概率是A ．41 B ．31C ．21 D ．13．右图是某几何体的三视图，该几何体是A ．圆锥B ．圆柱C ．棱柱D ．正方体4．已知△ABC ∽△DEF ，相似比为1∶2，△ABC 的周长为4，则△DEF 的周长为A ．2B ．4C ．8D ．16 5．如图，点A ，B ，C 均在⊙O 上，∠ACB ＝35°，则∠AOB 的度数为A ．20°B ．40°C ．60°D ．70°6．如图，在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，AC ＝1，BC ＝2，则cos B 的值是A ．55 B ．552 C ．21 D ．27．某蔬菜生产基地在气温较低时，用装有恒温系统的大棚栽培一种在自然光照且温度为18℃的条件下生长最快的新品种．如图是某天恒温系统从开启到关闭及关闭后，大棚内温度y (℃)随时间x (小时)O CBAACB18122y (℃)x (时)CBO A俯视图左视图正视图变化的函数图象，其中BC 段是双曲线)0(≠=k xky 的一部分，则当x ＝16时，大棚内的温度约为A ．18℃B ．15.5℃C ．13.5℃D ．12℃ 8．如图，在Rt △OAB 中，∠AOB ＝90°，OA ＝4，OB ＝3． ⊙O 的半径为2，点P 是线段AB 上的一动点，过点P 作 ⊙O 的一条切线PQ ，Q 为切点．设AP ＝x ，PQ 2＝y ， 则y 与x 的函数图象大致是 A ． B ． C ． D ． 二、填空题（本题共16分，每小题4分） 9．若y x 54=，则yx＝ ． 10．已知反比例函数)0(≠=k xky 的图象在其每一分支上，y 随x 的增大而减小，则此反比例函数的解析式可以是 ．（注：只需写出一个正确答案即可） 11．如图，小明在打网球时，要使球恰好能打过网，且落点恰好在离网4米的位置上，则球拍击球的高度h 为 米．(已知网高为0.8米，击球点到网的水平距离为3米)12．在函数)0(8>=x xy 的图象上有点P 1，P 2，P 3，…，P n ，P n +1，它们的横坐标依次为1，2，3，…，n ，n +1．过点P 1，P 2，P 3，…，P n ，P n +1分别作x 轴、y 轴的垂线段，构成如图所示的若干个矩形，将图中阴影部分的面积从左至右依次记为1S ，2S ，3S ，…，n S ，则点P 1的坐标为 ；2S ＝ ；n S ＝ ． （用含n 的代数式表示）POB AQh 米0.8米3米4米5512Oxy5512OxyyxO 12555512OxyP 5P 4S 1S 2P 3P 1P 2S 3 (56)3421Oxy三、解答题（本题共30分，每小题5分） 13．计算：2sin45°－tan60°·cos30°．14．如图，点D 是△ABC 的边AC 上的一点，AB 2＝AC ·AD ．求证：△ADB ∽△ABC ．15．如图，正比例函数y=2x 与反比例函数)0(≠=k xky 的图象的一个交点为A (2，m )． 求m 和k 的值．yxO11ADCAB16．如图，在边长为1的小正方形组成的网格中，△ABC 的三个顶点均在格点上，点A ，B ，C 的坐标分别为(0，1)，(1，－1)，(5，1)． （1）直接写出点B 关于原点的对称点D 的坐标； （2）将△ABC 绕点C 顺时针旋转90º得到△A 1B 1C ．请在网格中画出△A 1B 1C ，并直接写出点A 1和B 1的坐标．17．如图，在半径为6cm 的⊙O 中，圆心O 到弦AB 的距离OE 为3cm ．（1）求弦AB 的长；（2）求劣弧AB ⌒的长．E OABO5342xy1BAC18．在燕房线地铁施工期间，交管部门在施工路段设立了矩形路况警示牌（如图所示）．已知立杆AB 的高度是3米，从路侧点D 处测得路况警示牌顶端C 点和底端B 点的仰角分别是60°和45°，求路况警示牌宽BC 的值．（精确到0.1米） （参考数据：2≈1.41，3≈1.73）四、解答题（本题共20分，每小题5分）19．如图，四边形ABCD 的对角线AC ，BD 交于点F ，点E 是BD 上一点，且∠BAC ＝∠BDC ＝∠DAE ．（1）求证：△ABE ∽△ACD ；（2）若BC ＝2，AD ＝6，DE ＝3，求AC 的长．地 铁 施 工请绕道慢行CAB D ABCDEF20．根据某网站调查，2014年网民们最关注的热点话题分别有：消费、教育、环保、反腐及其它共五类．根据调查的部分相关数据，绘制的统计图表如下：根据以上信息解答下列问题：（1）请补全条形统计图并在图中标明相应数据；（2）若北京市约有2100万人口，请你估计最关注环保问题的人数约为多少万人？ （3）在这次调查中，某单位共有甲、乙、丙、丁四人最关注教育问题，现准备从这四人中随机抽取两人进行座谈，则抽取的两人恰好是甲和乙的概率为 ．21．如图，AB 为⊙O 的直径，直线l 与⊙O 相切于点C ，过点A 作AD ⊥l 于点D ，交⊙O于点E ．（1）求证：∠CAD ＝∠BAC ；（2）若sin ∠BAC ＝53，BC ＝6，求DE 的长．反腐20%消费30%环保10%教育25%其他15%网民关注的热点问题情况统计图反腐140280210420其他教育环保消费人数（万人）热点问题420350280210140700关注各类热点问题的网民人数统计图lE D AOBC22．阅读下面材料：小辉遇到这样一个问题：如图1，在Rt △ABC 中，∠BAC ＝90°，AB ＝AC ，点D ，E 在边BC 上，∠DAE ＝45°．若BD ＝3，CE ＝1，求DE 的长．小辉发现，将△ABD 绕点A 按逆时针方向旋转90º，得到△ACF ，连接EF （如图2），由图形旋转的性质和等腰直角三角形的性质以及∠DAE ＝45°，可证△FAE ≌△DAE ，得FE ＝DE ．解△FCE ，可求得FE (即DE )的长．请回答：在图2中，∠FCE 的度数是 ，DE 的长为 ． 参考小辉思考问题的方法，解决问题：如图3，在四边形ABCD 中，AB ＝AD ，∠B ＋∠D ＝180°．E ，F 分别是边BC ，CD 上的点，且∠EAF ＝21∠BAD ．猜想线段BE ，EF ，FD 之间的数量关系并说明理由．初四数学期末试卷第5页（共8页）图1ABC DE图2FABC DE图3EFDABC五、解答题（本题共22分，第23、24题每题7分，第25题8分） 23．已知关于x 的方程012=-+-k kx x .（1）求证：当2>k 时，方程总有两个不相等的实数根；（2）若二次函数)2(12>-+-=k k kx x y 的图象与x 轴交于A ，B 两点（A 在B 的左侧），与y 轴交于点C ，且tan ∠OAC ＝4，求该二次函数的解析式；（3）已知点P （m ，0）是x 轴上的一个动点，过点P 作垂直于x 轴的直线交（2）中的二次函数图象于点M ，交一次函数q px y +=的图象于点N ．若只有当51<<m 时，点M 位于点N 的下方，求一次函数q px y +=的解析式．11Oxy24．在正方形ABCD 中，点E ，F ，G 分别是边AD ，AB ，BC 的中点，点H 是直线BC 上一点．将线段FH 绕点F 逆时针旋转90º，得到线段FK ，连接EK ．（1）如图1，求证：EF ＝FG ，且EF ⊥FG ；（2）如图2，若点H 在线段BC 的延长线上，猜想线段BH ，EF ，EK 之间满足的数量关系，并证明你的结论．（3）若点H 在线段BC 的反向延长线上，请在图3中补全图形并直接写出线段BH ，EF ，EK 之间满足的数量关系．G EFC D BAH图3KGE FC D BAH图2G E FC D BA图125．在平面直角坐标系xOy 中，对于任意三点A ，B ，C ，给出如下定义：若矩形的任何一条边均与某条坐标轴平行，且A ，B ，C 三点都在矩形的内部或边界上，则称该矩形为点A ，B ，C 的外延矩形．点A ，B ，C 的所有外延矩形中，面积最小的矩形称为点A ，B ，C 的最佳外延矩形．例如，右图中的矩形1111D C B A ，2222D C B A ，333CD B A 都是点A ，B ，C 的外延矩形，矩形333CD B A 是点A ，B ，C 的最佳外延矩形． （1）如图1，已知A (－2，0)，B (4，3)，C (0，t )．①若2=t ，则点A ，B ，C 的最佳外延矩形的面积为 ； ②若点A ，B ，C 的最佳外延矩形的面积为24，则t 的值为 ； （2）如图2，已知点M (6，0)，N (0，8)．P (x ，y )是抛物线542++-x x y ＝上一点，求点M ，N ，P 的最佳外延矩形面积的最小值，以及此时点P 的横坐标x 的取值范围；（3）如图3，已知点D (1，1)．E (m ，n )是函数)0(4>=x xy 的图象上一点，矩形OFEG 是点O ，D ，E 的一个面积最小的最佳外延矩形，⊙H 是矩形OFEG 的外接圆，请直接写出⊙H 的半径r 的取值范围．yxO11BA 图1图3OxyH G DE FO xyD 1D 2B 3A 3D 3C A B A 2B 2A 1B 1C 2C 1图211O xyNM数学试卷参考答案与评分标准 2015年1月一、选择题（本题共32分，每小题4分）B ．A ．B ．C ．D ．B ．C ．A ． 二、填空题（本题共16分，每小题4分） 9．45 10．x y 1-= )0(<=k xky （答案不唯一）11．1.4 12．(1，8)；34；)1(8+n n ． 三、解答题（本题共30分，每小题5分） 13．解：原式＝233222⨯-⨯……………………………………3分 ＝123-＝21-． ……………………………………5分14．证明：∵AB 2＝AC ·AD ，∴AC AB ＝ABAD． ……………………………………2分 又∵∠A ＝∠A ， ……………………………………4分 ∴△ADB ∽△ABC ． ……………………………………5分 15．解：将点A (2，m )的坐标代入y=2x 中，得m ＝2×2，即m ＝4． ……………………………………2分 ∴A (2，4)． ……………………………………3分将点A (2，4)的坐标代入xky =，得 k ＝2×4，即k ＝8． ………………5分 16．解：（1）D (－1，1)； ………………2分（2）画出△A 1B 1C ，如图； ………………3分 A 1(5，6)，B 1(3，5)． ………………5分 17．解：（1）∵AB 为⊙O 的弦，OE ⊥AB 于E ，∴AE ＝BE ＝21AB ． ……………………………………1分 在Rt △AOE 中，OA ＝6，OE ＝3，∴AE ＝22OE OA -＝2236-＝27＝33， ………………2分 ∴AB ＝2AE ＝36． ……………………………………3分 （2）由（1）知，在Rt △AOE 中，∠AEO ＝90°，OA ＝6，OE ＝3， ∴cos ∠AOE ＝OA OE＝21， ∴∠AOE ＝60°，O 5342x y 1BA B1CA 1-1-1∴∠AOB ＝2∠AOE ＝120°， ……………………………………4分 ∴AB⌒的长l ＝1806120⨯π＝π4． ……………………………………5分18．解：由题意，在Rt △ABD 中，∠DAB ＝90°，∠ADB ＝45°，AB ＝3米，∴AD ＝AB ＝3米， ……………………………………2分 又∵Rt △ACD 中，∠DAC ＝90°，∠ADC ＝60°，∴AC ＝AD ·tan ∠ADC ＝3·tan60°＝33米， ………………4分 ∴BC ＝AC －AB ＝33－3≈2.2米． ………………5分 即路况警示牌宽BC 的值约为2.2米． 四、解答题（本题共20分，每小题5分） 19．（1）证法一：∵∠BAC ＝∠DAE ，∴∠BAC ＋∠CAE ＝∠DAE ＋∠CAE ，即∠BAE ＝∠CAD ． ……………………………………1分 又∵∠BAC ＝∠BDC ，∠BFA ＝∠CFD ，∴180°－∠BAC －∠BFA ＝180°－∠BDC －∠CFD ，即∠ABE ＝∠ACD ． ……………………………………2分 ∴△ABE ∽△ACD ． ……………………………………3分 证法二：∵∠BAC ＝∠DAE ， ∴∠BAC ＋∠CAE ＝∠DAE ＋∠CAE ，即∠BAE ＝∠CAD ． ……………………………………1分 又∵∠BEA ＝∠DAE ＋∠ADE ，∠ADC ＝∠BDC ＋∠ADE ，∠DAE ＝∠BDC ，∴∠AEB ＝∠ADC ． ……………………………………2分 ∴△ABE ∽△ACD ． ……………………………………3分 (2)∵△ABE ∽△ACD ，∴AC AB ＝ADAE ． 又∵∠BAC ＝∠DAE ，∴△ABC ∽△AED ， ……………………………………4分 ∴DE BC ＝ADAC， ∴AC ＝AD DE BC ⋅＝632⨯＝4． ……………………………………5分 20．（1）补全条形统计图如图； ………………2分（2）2100×10%＝210万人； ………………4分（3）61． ………………5分21．（1）证明：连接OC ，350反腐140280210420其他教育环保消费 人数（万人）热点问题42035028021014070∵CD 为⊙O 的切线，∴OC ⊥CD ， ……………………………………1分 ∵AD ⊥CD ，∴OC ∥AD ， ∴∠CAD ＝∠ACO ． 又∵OC ＝OA ， ∴∠ACO ＝∠OAC ，∴∠CAD ＝∠OAC ，即∠CAD ＝∠BAC ． ……………………………………2分 （2）解法一：过点B 作BF ⊥l 于点F ，连接BE ， ∵AB 为⊙O 的直径，∴∠AEB ＝90°， 又AD ⊥l 于点D ，∴∠AEB ＝∠ADF ＝∠BFD ＝90°， ∴四边形DEBF 是矩形，∴DE ＝BF ． ……………………………………3分∵AB 为⊙O 的直径，∴∠ACB ＝90°，∴∠ACD ＋∠BCF ＝90°．∵∠ADC ＝90°，∴∠ACD ＋∠CAD ＝90°， ∴∠BCF ＝∠CAD ． ∵∠CAD ＝∠BAC ，∴∠BCF ＝∠BAC ． ……………………………………4分在Rt △BCF 中，BC ＝6，sin ∠BCF ＝BC BF ＝sin ∠BAC ＝53， ∴BF ＝BC 53＝518，∴DE ＝BF ＝518． ……………………………………5分解法二：连接CE ，∵AB 为⊙O 的直径，∴∠ACB ＝90°． ∵A ，B ，C ，E 四点共圆， ∴∠AEC ＋∠ABC ＝180°． 又∵∠AEC ＋∠DEC ＝180°，∴∠DEC ＝∠ABC ，∴Rt △CDE ∽Rt △ACB ， ……………………………………3分 ∴BC DE ＝ACCD． 在Rt △ABC 中，sin ∠BAC ＝AB BC ＝53，BC ＝6， ∴AB ＝BC 35＝10，∴AC ＝22BC AB ＝8． lEDA O BClF E D A OBClEDA O BC在Rt △ADC 中，∵∠DAC ＝∠BAC ，∴sin ∠DAC ＝AC CD ＝sin ∠BAC ＝53， ∴CD ＝AC 53＝524． ……………………………………4分∴DE ＝AC BC CD ⋅＝86524⨯＝518． ……………………………………5分22．90°；10． ……………………………………2分猜想：EF =BE ＋FD ； ……………………………………3分 理由如下：如图，将△ABE 绕点A 按逆时针方向旋转，使AB 与AD 重合，得到△ADG ， ∴BE ＝DG ，AE ＝AG ，∠DAG ＝∠BAE ，∠B ＝∠ADG ， ∵∠B ＋∠ADC ＝180°，∠B ＝∠ADG ，∴∠ADG ＋∠ADC ＝180°，即点F ，D ，G 在同一条直线上． ∵∠EAF ＝21∠BAD ， ∴∠GAF ＝∠DAG ＋∠DAF ＝∠BAE ＋∠DAF ＝∠BAD －∠EAF ＝∠EAF ， 即∠GAF ＝∠EAF ． ……………………………………4分在△AEF 和△AGF 中，⎪⎩⎪⎨⎧∠∠AF AF GAF EAF AG AE ＝，＝，＝∴△AEF ≌△AGF ， ∴EF ＝FG ．∵FG ＝DG ＋FD ＝BE ＋DF ，∴EF ＝BE ＋FD ． ……………………………………5分五、解答题（本题共22分，第23题8分，第24、25题每小题7分）23．（1）证明：∵)1(14)(2-⨯⨯--=∆k k ＝2)2(-k ， ………………1分又∵2>k ，∴02>-k ，∴0)2(2>-k ，即0>∆，∴当2>k 时，方程总有两个不相等的实数根． ………………2分 （2）解：∵)2(12>-+-=k k kx x y 与x 轴交于A 、B 两点，∴令0y =，有210x kx k -+-=，解得 1=x ，或1-=k x ． ………………3分EFD GABC C1yP N∵2>k ，点A 在点B 的左侧， ∴A (1，0)，B (1-k ，0)． ∵抛物线与y 轴交于点C ，∴C (0，1-k )． ……………………………………4分 在Rt △AOC 中，tan ∠OAC ＝OA OC ＝11-k ＝4， 解得5=k ．∴抛物线的解析式为452+-=x x y ． ……………………………………5分 （3）依题意并结合图象可知，一次函数的图象与二次函数的图象交点的横坐标分别为1和5，由此可得交点坐标为(1，0)和(5，4)． ………………6分 将交点坐标分别代入一次函数解析式q px y +=中，得⎩⎨⎧+=+q p q p 54,0＝， 解得⎩⎨⎧-1,1＝＝q p ， ∴一次函数的解析式为1-=x y ． ……………………………………7分 24．（1）证明：∵正方形ABCD ，E ，F ，G 分别是边AD ，AB ，BC 的中点，∴AE ＝AF ＝FB ＝BG ，∠A ＝∠B ＝90°，∴△AEF ≌△BGF ， ……………………………………1分 ∴EF ＝FG ，∠AFE ＝∠BFG ＝45°，∴∠EFG ＝180°－∠AFE －∠BFG ＝90°，即EF ⊥FG ． ………………2分 （2）BH ＝22EF ＋EK ； ……………………………………3分 证明：将线段FH 绕点F 逆时针旋转90º，得到线段FK ， ∴FH ＝FK ，∠HFK ＝90°， ∴∠KFE ＋∠EFH ＝90°，∵∠EFG ＝90°，∴∠HFG ＋∠EFH ＝90°， ∴∠KFE ＝∠HFG ， 在△EFK 和△GFH 中，FK ＝FH ，∠KFE ＝∠HFG ，EF ＝FG ，∴△EFK ≌△GFH ， ……………………………………4分 ∴EK ＝GH ．∵△BFG 是等腰直角三角形，∴BG ＝22FG ，∴BH ＝BG ＋GH ＝22FG ＋EK ＝22EF ＋EK ， 即BH ＝22EF ＋EK ．……………………………………5分（3）补全图形如图； ……………………………………6分BH ＝EK －22EF ． ……………………………………7分25．（1）①18； ……………………………………1分②4=t 或1-=t ； ……………………………………3分 （2）如图，过M 点作x 轴的垂线与过N 点垂直于y 轴的直线交于点Q ，则当点P 位于矩形OMQN 内部或边界时，矩形OMQN 是点M ，N ，P 的最佳外延矩形，且面积最小．∵S 矩形OMQN ＝OM ·ON ＝6×8＝48，∴点M ，N ，P 的最佳外延矩形面积的最小值为48．………………4分 抛物线542++-x x y ＝与y 轴交于点T (0，5)． 令0y =，有0542＝++-x x ， 解得 1-=x （舍），或5=x ． 令8=y ，有8542＝++-x x ， 解得 1=x ，或3=x ．∴10≤≤x ，或53≤≤x ． ……………………………………6分 （3）2172≤≤r ． ……………………………………8分 说明：各解答题的其他正确解法请参照以上标准按分步给分的原则酌情评分．yxO 11J R SN M TQK PK G E F C D BA H。
2015北京中考真题数学(含解析)
2015年北京中考真题数学试卷一、选择题（本题共30分，每小题3分）下面各题均有四个选项，其中只有一个是符合题意得．1．截止到2015年6月1日，北京市已建成34个地下调蓄设施，蓄水能力达到140000立方米．将140000用科学记数法表示应为（ ）． A ．41410⨯ B ．51.410⨯ C ．61.410⨯ D ．60.1410⨯2．实数a ，b ，c ，d 在数轴上的对应点的位置如图所示，这四个数中，绝对值最大的是（ ）．A ．aB ．bC ．cD ．d3．一个不透明的盒子中装有3个红球、2个黄球和1个绿球，这些球除了颜色外无其他差别，从中随机摸出一个小球，恰好是黄球的概率为（ ）．A ．16B ．13C ．12D ．234．剪纸是我国传统的民间艺术．下列剪纸作品中，是轴对称图形的为（ ）．A ．B ．C ．D ．5．如图，直线1l ，2l ，3l 交于一点，直线41l l ∥，若1124∠=︒，288∠=︒，则3∠的度数为（ ）． A ．26︒ B ．36︒ C ．46︒D ．56︒6．如图，公路AC ，BC 互相垂直，公路AB 的中点M 与点C 被湖隔开，若测得AM 的长为1.2km ，则M ，C 两点间的距离为（ ）．A ．0.5kmB ．0.6kmC ．0.9kmD ．1.2kmd c ba4321－1－2－3－4l 4l 3l 2l 1321M CBA7．某市6月份日平均气温统计如图所示，则在日平均气温这组数据中，众数和中位数分别是（ ）．A ．21，21B ．21，21.5C ．21，22D ．22，228．如图是利用平面直角坐标系画出的故宫博物院的主要建筑分布图，若这个坐标系分别以正东、正北方向为x 轴、y 轴的正方向，表示太和门的点的坐标为(0,1)-，表示九龙壁的点的坐标为(4,1)，则表示下列宫殿的点的坐标正确的是（ ）．A ．景仁宫(4,2)B ．养心殿(2,3)-C ．保和殿(1,0)D ．武英殿( 3.5,4)--9．一家游泳馆的游泳收费标准为30元/次，若购买会员年卡，可享受如下优惠：会员年卡类型 办卡费用（元） 每次游泳收费（元）A 类50 25 B 类200 20 C 类400 15 例如，购买A 类会员年卡，一年内游泳20次，消费502520550+⨯=元．若一年内在该游泳馆游泳的次数介于45～55次之间，则最省钱的方式为（ ）． A ．购买A 类会员年卡 B ．购买B 类会员年卡 C ．购买C 类会员年卡 D ．不购买会员年卡10．一个寻宝游戏的寻宝通道如图1所示，通道由在同一平面内的AB ，BC ，CA ，OA ，OB ，OC 组成．为记录寻宝者的行进路线，在BC 的中点M 处放置了一台定位仪器．设寻宝者行进的时间为x ，寻宝者与定位仪器之间的距离为y ，若寻宝者匀速行进，且表示y 与x 的函数关系的图象大致如图2所示，则寻宝者的行进路线可能为（ ）．A ．A OB →→ B ．B AC →→ C ．B O C →→D ．C B O →→二、填空题（本题共18分，每小题3分） 11．分解因式：325105x x x -+=__________．12．如图是由射线AB ，BC ，CD ，DE ，EA 组成的平面图形，则12345∠+∠+∠+∠+∠=__________．13．《九章算术》是中国传统数学最重要的著作，奠定了中国传统数学的基本框架，它的代数成就主要包括开放术、正负术和方程术．其中，方程术是《九章算术》最高的数学成就．《九章算术》中记载：“今有牛五、羊二，直金十两；牛二、羊五，直金八两．问：牛、羊各直金几何？” 译文：“假设有5头牛、2只羊，值金10两；2头牛、5只羊，值金8两．问：每头牛、每只羊各值金多少两？”设每头牛值金x 两，每只羊值金y 两，可列方程组为__________．14．关于x 的一元二次方程2104ax bx ++=有两个相等的实数根，写出一组满足条件的实数a ，b 的值：a =__________，b =__________．图1M OCBA图2yxO54321ED CB A15．北京市20092014-年轨道交通日均客运量统计如图所示，根据统计图中提供的信息，预估2015年北京市轨道交通日均客运量约为__________万人次，你的预估理由是____________________．16．阅读下面材料：在数学课上，老师提出如下问题：尺规作图：做一条线段的垂直平分线． 已知：线段AB ．求作：线段AB 的垂直平分线．小芸的作法如下：如图，（1）分别以点A 和点B 为圆心，大于12AB 的长为半径作弧，两弧相交于C ，D 两点； （2）作直线CD ．所以直线CD 就是所求作的垂直平分线．老师说：“小芸的作法正确．”请回答：小芸的作图依据是____________________．三、解答题（本题共72分，第17-26题，每小题5分，第27题7分，第28题7分，第29题8分） 解答应写出文字说明，验算步骤或证明过程．17．计算：201()(π7)324sin 602---+-+︒．BABA18．已知22360a a +-=，求代数式3(21)(21)(21)a a a a +-+-的值．19．解不等式组4(1)710853x x x x ++⎧⎪-⎨-<⎪⎩≤，并写出它的所有非负整数解．．．．．．20．如图，在ABC △中，AB AC =，AD 是BC 边上的中线，BE AC ⊥于点E ．求证：CBE BAD ∠=∠．21．为解决“最后一公里”的交通接驳问题，北京市投放了大量公租自行车供市民使用．到2013年底，全市已有公租自行车25000辆，租赁点600个．预计到2015年底，全市将有公租自行车50000辆，并且平均每个租赁点的公租自行车数量是2013年底平均每个租赁点的公租自行车数量的1.2倍．预计2015年底，全市将有租赁点多少个？22．在平行四边形ABCD 中，过点D 作DE AB ⊥于点E ，点F 在边CD 上，DF BE =，连接AF ，BF ．（1）求证：四边形BFDE 是矩形．（2）若3CF =，4BF =，5DF =，求证：AF 平分DAB ∠．ED CB AFEDCBA23．在平面直角坐标系xOy 中，直线(0)y kx b k =+≠与双曲线8y x=的一个交点为(2,)P m ，与x 轴、y 轴分别交于点A ，B ． （1）求m 的值．（2）若2PA AB =，求k 的值．24．如图，AB 是⊙O 的直径，过点B 作⊙O 的切线BM ，弦CD BM ∥，交AB 于点F ，且»»DADC =，连接AC ，AD ，延长AD 交BM 于点E ．（1）求证：ACD △是等边三角形．（2）连接OE ，若2DE =，求OE 的长．25．阅读下列材料：2015年清明小长假，北京市属公园开展以“清明踏青，春色满园”为主题的游园活动，虽然气温小幅走低，但游客踏青赏花的热情很高，市属公园游客接待量约为190万人次，其中，玉渊潭公园的樱花、北京植物园的桃花受到了游客的热捧，两公园的游客接待量分别为38万人次，21.75万人次；颐和园、天坛公园、北海公园因皇家园林的厚重文化底蕴与满园春色成为游客的重要目的地，游客接待量分别为26万人次、20万人次、19.6万人次；北京动物园游客接待量为18万人次，熊猫馆的游客密集度较高．2014年清明小长假，天气晴好，北京市属公园游客接待量约为200万人次．其中，玉渊潭公园游客接待量比2013年情面小长假增长了25%；颐和园游客接待量为26.2万人次，比2013年清明小长假增加了4.6万人次；北京动物园游客接待量为22万人次．2013年清明小长假，玉渊潭公园、陶然亭公园、北京动物园游客接待量分别为32万人次、13万人次、14.9万人次．根据以上材料解答下列问题：（1）2014年清明小长假，玉渊潭公园游客接待量为__________万人次．（2）选择统计表或统计图，将20132015-年清明小长假玉渊潭公园、颐和园和北京动物园的游客接待量表示出来．MOFEDCBA26．有这样一个问题：探究函数2112y x x=+的图像与性质． 小东根据学习函数的经验，对函数2112y x x=+的图像与性质进行了探究．下面是小东的探究过程，请补充完整：（1）函数2112y x x=+的自变量x 的取值范围是__________；（2）下表是y 与x 的几组对应值．x … 3- 2- 1- 12- 13- 1312 1 23 …y (256)32 12- 158- 5318- 5518 178 32 52 m …求m 的值；（3）如图，在平面直角坐标系xOy 中，描出了以上表中各对对应值为坐标的点．根据描出的点，画出该函数的图像；（4）进一步探究发现，该函数图像在第一象限内的最低点的坐标是3(1,)2．结合函数的图像，写出该函数的其它性质（一条即可）：__________．－4－3－2－1－1－2－3－41234654321Oy x27．在平面标系xOy 中，过点(0,2)且平行于x 轴的直线，与直线1y x =-交于点A ，点A 关于直线1x =的对称点为B ，抛物线21:C y x bx c =++经过点A ，B ．（1）求A ，B 的坐标；（2）求抛物线1C 的表达式及顶点坐标；（3）若抛物线22:(0)C y ax a =≠与线段AB 恰有一个公共点，结合函数的图像，求a 的取值范围．28．在正方形ABCD 中，BD 是一条对角线．点P 在射线CD 上（与点C 、D 不重合），连接AP ，平移ADP △，使点D 移动到点C ，得到BCQ △，过点Q 作QH BD ⊥于点H ，连接AH ，PH ． （1）若点P 在线段CD 上，如图1， ①依题意补全图1；②判断AH 与PH 的数量关系与位置关系并加以证明；（2）若点P 在线段CD 的延长线上，且152AHQ ∠=︒，正方形ABCD 的边长为1，请写出求DP 长的思路．（可以不写出计算结果．．．．．．．．．）－4－3－2－1－1－2－3－41234654321Oy x图1PD CBA备用图D CBA29．在平面直角坐标系xOy 中，⊙C 的半径为r ，P 是与圆心C 不重合的点，点P 关于⊙C 的反对称点的定义如下：若在射线．．CP 上存在一点P '，满足2CP CP r '+=，则称P '为点P 关于⊙C 的反称点．下图为点P 及其关于⊙C 的反称点P '的示意图．特别地，当点P '与圆心C 重合时，规定0CP '=． （1）当⊙O 的半径为1时，①分别判断点(2,1)M ，3(,0)2N ，(1,3)T 关于⊙O 的反称点是否存在？若存在，求其坐标；②若点P 在直线2y x =-+上，若点P 关于⊙O 的反称点P '存在，且点P '不在x 轴上，求点P 的横坐标的取值范围；（2）⊙C 的圆心在x 轴上，半径为1．直线3233y x =-+与x 轴、y 轴分别交予点A ，B ．若线段．．AB 上存在点P ，使得点P 关于⊙C 的反称点P '在⊙C 的内部，求圆心C 的横坐标的取值范围．P 'PC yx11O2015北京中考真题数学试卷答案一、选择题（本题共30分，每小题3分）题目1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案B A B D B DCD C C二、填空题（本题共18分，每小题3分）11．25(1)x x - 12．360︒13．5210258x y x y +=⎧⎨+=⎩14．1a =，1b =（答案不唯一） 15．104016．到线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上三、解答题（本题共72分，第17-26题，每小题5分，第27题7分，第28题7分，第29题8分）17．解：原式3412342=-+-+⨯412323=-+-+ 53=+．18．解：原式226341a a a =+-+2231a a =++． ∵22360a a +-=， ∴2236a a +=， ∴原式617=+=． 即原代数式的值为7．19．解：解4(1)710x x ++≤得，44710x x ++≤，36x -≥，2x -≥．解853x x --<得，3158x x -<-，27x <，72x <．∴原不等式的解集为722x -<≤，它的所有非负整数解为0，1，2，3．20．证明：∵AD 是BC 边上的中线，∴BD CD =． 又∵AB AC =，∴BAD CAD ∠=∠，AD BC ⊥． 又∵BE AC ⊥，∴90CBE C CAD C ∠+∠=∠+∠=︒， ∴CBE CAD ∠=∠， ∴CBE BAD ∠=∠．21．解：设预计2015年底，全市将有租赁点为x 个，依题可知，列方程为50000250001.2600x =⨯， 解得1000x =．经检验：1000x =是原方程的解，且符合题意．答：预计2015年底，全市将有租赁点为1000个．22．证明：（1）∵四边形ABCD 是平行四边形，∴AB CD ∥．∵DF BE =，∴四边形DEBF 是平行四边形，∵DE AB ⊥，∴90DEB ∠=︒，∴四边形BFDE 是矩形．（2）∵四边形ABCD 是平行四边形，∴AD BC =．∵四边形BFDE 是矩形，∴DF BE =，90BFD BFC ∠=∠=︒．在Rt BFC △中，3CF =，4BF =，∴5BC AD ==．∵5DF BE ==，∴AD DF =，∴DAF DFA ∠=∠．∵AB CD ∥，∴DFA BAF ∠=∠，∴BAF DAF ∠=∠，∴AF 平分DAB ∠．23．解：（1）∵双曲线8y x=过点(2,)P m ， ∴842m ==． 即m 的值为4．（2）当0k <时，PA AB <，与题意矛盾，舍去．故0k >．当0k >，0b <时，2PA AB =，2(,0)3A ，(2,4)P ， 代入直线(0)y kx b k =+≠中得，20324k b k b ⎧+=⎪⎨⎪+=⎩，解得32k b =⎧⎨=-⎩， 当0k >，0b >，且B 为AP 的中点．即(2,0)A -，(0,2)B ，代入直线(0)y kx b k =+≠中得，220b k b =⎧⎨-+=⎩，解得12k b =⎧⎨=⎩， 即k 的值为1或3．24．证明：（1）∵AB 是⊙O 的直径，BM 是⊙O 的切线，∴90ABM ∠=︒，AB BM ⊥，∵CD BM ∥，∴AB CD ⊥．∴AD AC =，∴»»DA DC =，∴AD AC DC ==，∴AC CD AD ==，∴ACD △是等边三角形．（2）连接BD ，∵ACD △是等边三角形∴30DAB ∠=︒．∵AB 是⊙O 的直径，∴AD BD ⊥．∵90EBD ABD BAD ABD ∠+∠=∠+∠=︒，∴30BAD EBD ∠=∠=︒，在Rt BDE △中，2DE =，∴BD =23OB =，4BE =，在Rt OBE △中，90OBE ∠=︒，224(23)27OE =+=．即OE 的长为27．25．解：（1）32(125%)40⨯+=（万人），玉渊潭公园游客接待量为40万人次． （2）统计表如下：游客接待量 玉渊潭公园 颐和园 北京动物园2013 38 26 182014 40 26.2 222015 32 21.6 14.926．解：（1）0x ≠．（2）当3x =时，2119129323236m =⨯+=+=，即m 的值296．（3）如图所示：（4）答案不唯一，如当0x <时，函数值随着x 值得增大而减小．xyO 1234564321－4－3－2－1－1－2－3－427．解：（1）依题可得，令2y =，12x -=，3x =，A 点坐标为(3,2)，点A 关于直线1x =的对称点B 点坐标为(1,2)-．即A 点坐标为(3,2)，B 点坐标为(1,2)-．（2）抛物线21:C y x bx c =++经过点(3,2)A ，(1,2)B -，即抛物线解析式为2(1)(3)221y x x x x =+-+=--，即抛物线化为顶点式为2(1)2y x =--，顶点坐标为(1,2)-．∴抛物线解析式为221y x x =--，顶点坐标为(1,2)-．（3）当0a <时，开口向下，与线段AB 没有交点．当0a >时，抛物线2y ax =恰好过点(3,2)A 时，94a =，49a =； 抛物线2y ax =恰好过点(1,2)B -时，2a =．即a 的取值范围为429a <≤．28．解：（1）如图所示．（2）PH AH =．证明：依题可知ADP △≌BCQ △，∴DP CQ =，∴DC PQ =．∵四边形ABCD 为正方形，∴AD CD PQ ==，45ADB CDB ∠==︒．∵QH BD ⊥，∴45HDQ HQD ∠=∠=︒，∴DH QH =．在AHD △和PHQ △中，AD PQ ABH PQH HD HQ =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩， ∴AHD △≌PHQ △(SAS)，∴AH PH =，AHD PHQ ∠=∠，∴90AHD DHP PHQ DHP ∠+∠=∠+∠=︒，∴AH PH ⊥．（2）如图，易证AHD △≌PHQ △．∴AHP △为等腰直角三角形，∵90AHP ADP ∠=∠=︒，∴A 、P 、D 、H 四点共圆．H QP D C B AP Q HD CB A ∴PAD PH D ∠=∠．∵152AHQ ∠=︒，90AHP ∠=︒，∴28PHD ∠=︒．∴28PAD ∠=︒， ∵tan DP PAD AD ∠=， ∴tan tan 28DP AD PAD =⋅∠=︒． 即DP 的长为tan 28︒．29．解：（1）①M 关于⊙O 的反称点不存在，N 、T 关于⊙O 的反称点存在，N 关于⊙O 的反称点为1(,0)2N '，T 关于⊙O 的反称点为(0,0)T '． ②点P 关于⊙O 的反称点P '若存在，必在以O 为圆心，半径为2的圆内或圆上，点P 还在直线2y x =-+上，且点P '不在x 轴上，∴点P 的横坐标的取值范围02x <<．（2）直线3233y x =-+与x 轴、y 轴分别交予点A ，B ， (6,0)A ，(0,23)B ，30BAO ∠=︒． ∵点P 关于⊙C 的反称点P '在⊙C 的内部， ∴点P 在必在以C 为圆心，半径大于1小于等于2圆上， 当C 点到线段AB 的距离为2时，4CA =，此时C 点坐标为(2,0)， 圆心C 的横坐标的取值范围28C x ≤≤．2015北京中考真题数学试卷部分答案解析一、选择题（本题共30分，每小题3分）1．【答案】B【解析】140000用科学记数法表示为51.410⨯，故答案为B ．2．【答案】A 【解析】a 的绝对值表示该a 到原点距离，所以绝对值最大的即为到原点最远的点，根据数轴可知为a ．故答案为A ．3．【答案】B 【解析】依题可知，摸出黄球的概率为：21=3+2+13，故答案为B ．4．【答案】D【解析】根据轴对称图形的定义可知选项D 为轴对称图形．5．【答案】B【解析】∵41l l ∥， ∴14180∠+∠=︒， ∵1124∠=︒， ∴456∠=︒，∵234180∠+∠+∠=︒，288∠=︒， ∴336∠=︒．6．【答案】D 【解析】由直角三角形斜边中线等于斜边一半可知1=1.2km 2MC AB AM ==．7．【答案】C【解析】根据众数的定义可知这组数据得到众数为21，中间的两个数字均为22，∴中位数为22．8．【答案】D【解析】由太和门和九龙壁两点的坐标可知中和殿为原点，可得景仁宫(2,4)，养心殿(2,3)-，保和殿(0,1)，武英殿( 3.5,3)--．故答案为D ．9．【答案】C【解析】设游泳次数为x ，若不办理年卡，费用为30x ；若办理A 类年卡，费用为50+25x ；若办理B 类年卡，费用为200+20x ；若办理C 类年卡，费用为40015x +；∵4555x <<，3050252002040015x x x x >+>+>+，∴办理C 类年卡．10．【答案】C【解析】由y 与x 的函数关系的图象可知是一个轴对称的函数图象，即寻宝者的行进路线与定位仪器M 也是轴对称的图形，排除A 、D ；又因为BA BM >，排除B ．故寻宝者的行进路线可能为B O C →→．二、填空题（本题共18分，每小题3分）11．【答案】25(1)x x -4l 4l 3l 2l 1321【解析】分解因式：322251055(21)5(1)x x x x x x x x -+=-+=-．故答案为25(1)x x -．12．【答案】360︒【解析】由多边形外角和公式可知，12345360∠+∠+∠+∠+∠=︒．故答案为360︒．13．【答案】5210258x y x y +=⎧⎨+=⎩ 【解析】依题可知，5210258x y x y +=⎧⎨+=⎩．故答案为5210258x y x y +=⎧⎨+=⎩．14．【答案】1a =，1b =（答案不唯一）【解析】关于x 的一元二次方程2104ax bx ++=有两个相等的实数根， ∴2201404a b a b a ≠⎧⎪⎨∆=-⨯⨯=-=⎪⎩， 1a =，1b =即可，答案不唯一．故答案为1a =，1b =（答案不唯一）．15．【答案】1040（开放性试题，合理即可）【解析】预估理由是这五年北京市轨道交通日均客运量平均增长108万人次，故2015年北京市轨道交通日均客运量约为1040．故答案为1040．16．【答案】到线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上．【解析】到线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上（菱形的对角线互相垂直平分） 故答案为：到线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上．。
北京各区2015初中数学一模27题汇编及答案
北京各区2015初中数学一模27题汇编27．如图，将抛物线M 1:x ax y 42+=向右平移3个单位，再向上平移3个单位，得到抛物线M 2，直线x y =与M 1 的一个交点记为A ，与M 2的一个交点记为B ，点A 的 横坐标是－3. （1）求a 的值及M 2的表达式；（2）点C 是线段AB 上的一个动点，过点C 作x 轴的垂线，垂足为D ，在CD 的右侧作正方形CDEF . ①当点C 的横坐标为2时，直线n x y +=恰好经过 正方形CDEF 的顶点F ，求此时n 的值；②在点C 的运动过程中，若直线n x y +=与正方形CDEF 始终没有公共点，求n 的 取值范围（直接写出结果）.27．在平面直角坐标系xOy 中，抛物线()210y ax bx a =++≠过点()1,0A -，()1,1B ,与y轴交于点C ．（1）求抛物线()210y ax bx a =++≠的函数表达式；（2）若点D 在抛物线()210y ax bx a =++≠的对称轴上，当ACD △的周长最小时，求点D 的坐标;（3）在抛物线()210y ax bx a =++≠的对称轴上是否存在点P ,使ACP △成为以AC为直角边的直角三角形？若存在,求出点P 的坐标；若不存在,请说明理由.27. 在平面直角坐标系中，抛物线32++=bx ax y 与x 轴的两个交点分别为A （-3，0）, B （1，0），顶点为C .(1) 求抛物线的表达式和顶点坐标；(2) 过点C 作CH ⊥x 轴于点H ，若点P 为x 轴上方的抛物线上一动点（点P 与顶点C 不重合），PQ ⊥AC 于点Q ，当△PCQ 与△ACH 相似时，求点P 的坐标.27．已知抛物线y =ax 2+x +c （a ≠0）经过A （1-，0），B （2，0）两点，与y 轴相交于点C ，点D 为该抛物线的顶点．（1）求该抛物线的解析式及点D 的坐标； （2）点E 是该抛物线上一动点，且位于第一象限，当点E 到直线BC的距离为2时，求点E 的坐标；（3）在（2）的条件下，在x 轴上有一点P ，且∠EAO +∠EPO =∠α，当tanα=2时，求点P 的坐标．27.二次函数2y x mx n =-++的图象经过点A （﹣1，4），B （1，0），12y x b =-+经过点B ，且与二次函数2y x mx n =-++交于点D ．过点D 作DC ⊥x 轴，垂足为点C ． （1）求二次函数的表达式；（2）点N 是二次函数图象上一点（点N 在BD 上方），过N 作NP ⊥x 轴，垂足为点P ，交BD 于点M ，求MN 的最大值.27．抛物线c bx x y C ++=2121:与y 轴交于点C (0，3)，其对称轴与x 轴交于点A (2，0)． （1）求抛物线1C 的解析式；（2）将抛物线1C 适当平移，使平移后的抛物线2C 的顶点为D (0，k )．已知点B (2，2)，若抛物线2C 与△OAB 的边界总有两个公共点，请结合函数图象，求k 的取值范围．O yx27．在平面直角坐标系中，抛物线经过点（-1，a ），（3，a ），且最低点的纵坐标为-4.（1）求抛物线的表达式及a 的值；（2）设抛物线顶点C 关于y 轴的对称点为点D ，点P 是抛物线对称轴上一动点，记抛物线在点A ，B 之间的部分为图象G （包含A ，B 两点）.如果直线DP 与图象G 恰有两个公共点，结合函数图象，求点P 纵坐标t 的取值范围.27．在平面直角坐标系xOy 中，抛物线2212y x x =-+与y 轴交于点A ，顶点为点B ，点C 与点A 关于抛物线的对称轴对称． （1）求直线BC 的解析式；（2）点D 在抛物线上，且点D 的横坐标为4．将抛物线在点A ，D 之间的部分（包含点A ，D ）记为图象G ，若图象G 向下平移t （0t >）个单位后与直线BC 只有一个公共点，求t 的取值范围．27．在平面直角坐标系xOy 中，二次函数y=（a-1）x 2+2x+1与x 轴有交点，a 为正整数. （1）求a 的值.（2）将二次函数y=（a-1）x 2+2x+1的图象向右平移m 个单位，向下平移m 2+1个单位，当 -2≤x ≤1时，二次函数有最小值-3，求实数m 的值.xOy 22y x mx n =++A BOyx27．已知：关于x 的一元二次方程－x 2+(m +1)x +(m +2)=0（m ＞0）．（1）求证：该方程有两个不相等的实数根； （2）当抛物线y =－x 2+(m +1)x +(m +2)经过点（3，0），求该抛物线的表达式；（3）在（2）的条件下，记抛物线y =－x 2+(m +1)x +(m +2)在第一象限之间的部分为图象G ，如果直线 y =k (x +1)+4与图象G 有公共点，请结合函数的图象，求直线y =k (x +1)+4与y 轴交点的纵坐标t 的取值范围．27．在平面直角坐标系xOy 中，抛物线223(0)y mx mx m =--≠与x 轴交于(3,0)A ，B两点．（1）求抛物线的表达式及点B 的坐标；（2）当23x -<<时的函数图象记为G ，求此时函数y 的取值范围；（3）在（2）的条件下，将图象G 在x 轴上方的部分沿x 轴翻折，图象G 的其余部分保持不变，得到一个新图象M ．若经过点(4,2)C 的直线(0)y kx b k =+≠与图象M 在第三象限内有两个公共点，结合图象求b 的取值范围．27．二次函数2(0)y ax bx c a =++≠的图象与一次函数k 的图象交于、两点，(1,0)C 为二次函数图象的顶点.（1）求二次函数2(0)y ax bx c a =++≠的表达式；（2）在所给的平面直角坐标系中画出二次函数2(0)y ax bx c a =++≠的图象和一次函数k 的图象；（3）把（1）中的二次函数2(0)y ax bx c a =++≠的图象平移后得到新的二次函数22(0,)y ax bx c m a m =+++≠为常数的图象,.定义新函数f ：“当自变量x 任取一值时，x 对应的函数值分别为1y 或2y ，如果1y ≠2y ，函数f 的函数值等于1y 、2y 中的较小值;如果1y =2y ，函数f 的函数值等于1y （或2y ）.”当新函数f 的图象与x 轴有三个交点时,直接写出m 的取值范围.1y x b =+)10(，A B 1y x b =+答案27已知二次函数21y x bx c =++的图象1C 经过(1,0)-，(0,3)-两点．（1）求1C 对应的函数表达式；（2）将1C 先向左平移1个单位，再向上平移4个单位，得到抛物线2C ，将2C 对应的函数表达式记为22y x mx n =++，求2C 对应的函数表达式；（3）设323y x =+，在（2）的条件下，如果在2-≤x ≤a 内存在．．某一个x 的值，使得2y ≤3y 成立，利用函数图象直接写出a 的取值范围．27. 解：（1）∵点A 在直线x y =，且点A 的横坐标是－3，∴A (－3，－3) . ………………………………………………………………1分 把A (－3，－3)代入x ax y 42+=，解得a =1.……………………………………………………………………2分 ∴M 1 :x x y 42+=，顶点为(－2，－4) . ∴M 2的顶点为(1，－1) .∴M2的表达式为x x y 2-2=.…………3分（2）①由题意，C (2，2)，∴F (4，2) . ………………………………4分 ∵直线n x y +=经过点F ， ∴2=4+n .解得n =－2.………………………5分②n ＞3，n ＜－6.………………7分27．解：（1）∵抛物线()210y ax bx a =++≠过点()1,0A -，()1,1B ，∴10,1 1.a b a b -+=⎧⎨++=⎩∴1,21.2a b ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩∴抛物线的函数关系式为211122y x x =-++. …………2分 （2）∵122b x a =-=，()0,1C ∴抛物线211122y x x =-++的对称轴为直线12x =. 设点E 为点A 关于直线12x =的对称点，则点E 的坐标为()2,0. 连接EC 交直线12x =于点D ，此时ACD △的周长最小. 设直线EC 的函数表达式为y kx m =+，代入,E C 的坐标，则2m 0,1.k m +=⎧⎨=⎩解得1,21.k m ⎧=-⎪⎨⎪=⎩所以，直线EC 的函数表达式为112y x =-+. 当12x =时，34y =. ∴ 点D 的坐标为13,24⎛⎫⎪⎝⎭. …………4分 （3）存在.①当点A 为直角顶点时，过点A 作AC 的垂线交y 轴于点M ，交对称轴于点1P . ∵AO OC ⊥，1AC AP ⊥， ∴90AOM CAM ∠=∠=︒. ∵()0,1C ，()1,0A -， ∴1OA OC ==. ∴45CAO ∠=︒.∴45OAM OMA ∠=∠=︒. ∴1OA OM ==.∴点M 的坐标为()0,1-.设直线AM 对应的一次函数的表达式为11y k x b =+，代入,A M 的坐标，则1110,1.k b b -+=⎧⎨=-⎩解得111,1.k b =-⎧⎨=-⎩所以，直线AM 的函数表达式为1y x =--.令12x =，则32y =-. ∴点1P 的坐标为13,22⎛⎫-⎪⎝⎭. …………5分 ②当点C 为直角顶点时，过点C 作AC 的垂线交对称轴于点2P ，交x 轴于点N . 与①同理可得Rt CON △是等腰直角三角形， ∴1OC ON ==. ∴点N 的坐标为()1,0. ∵2CP AC ⊥，1AP AC ⊥， ∴21CP AP ∥.∴直线2CP 的函数表达式为1y x =-+.令12x =，则12y =. ∴点2P 的坐标为11,22⎛⎫⎪⎝⎭. …………6分 综上，在对称轴上存在点1P 13,22⎛⎫- ⎪⎝⎭，2P 11,22⎛⎫⎪⎝⎭，使ACP △成为以AC 为直角边的直角三角形．…………7分27. （1）由题意，得9-33030a b a b +=⎧⎨++=⎩解得，⎩⎨⎧-=-=21b a抛物线的解析式为y=-x 2-2x+3 ………………………2分顶点C 的坐标为（-1，4） ………………………3分 （2）①若点P 在对称轴右侧（如图①），只能是△PCQ ∽△CAH ，得∠QCP =∠CAH . 延长CP 交x 轴于M ，∴AM =CM ，∴AM 2=CM 2. 设M （m ，0），则( m +3)2=42+(m +1)2，∴m =2，即M （2，0）. 设直线CM 的解析式为y=k 1x+b 1， 则⎩⎨⎧=+=+-0241111b k b k ， 解之得341-=k ，381=b .∴直线CM 的解析式3834+-=x y .…………………………………4分 3238342+--=+-x x x ， 解得311=x ，12-=x (舍去).9201=y .∴)92031(，P . ………………………………………………5分②若点P 在对称轴左侧（如图②），只能是△PCQ ∽△ACH ，得∠PCQ =∠ACH . 过A 作CA 的垂线交PC 于点F ，作FN ⊥x 轴于点N .由△CFA ∽△CAH 得2==AHCHAF CA ， 由△FNA ∽△AHC 得21===CA AF HC NA AH FN .∴12==FN AN ，, 点F 坐标为（-5,1）.设直线CF 的解析式为y=k 2x+b 2，则⎩⎨⎧=+-=+-1542222b k b k ，解之得419,4322==b k .∴直线CF 的解析式41943+=x y .……………………………………6分 32419432+--=+x x x ，解得471-=x ，12-=x (舍去).∴)165547(，-P . …………………………………7分 ∴满足条件的点P 坐标为)201(，或)557(，-27．解：（1）∵抛物线y=ax 2+x+c （a ≠0）经过A （﹣1，0），B （2，0）两点，∴10420a c a c -+=⎧⎨++=⎩，解得12a c =-⎧⎨=⎩．∴抛物线为y =﹣x 2+x +2①；………………………………………………………1 ∴顶点D （12，94）．………………………………………………………………2 （2）如图，作EN ∥BC ，交y 轴于N ，过C 作CM ⊥EN 于M ，令x =0，得y =2, ∴OC =OB =2． ∴∠OCB =45°． ∵EN ∥BC ，∴∠CNM =∠OCB =45°． ∵CM ⊥EN 于M ， ∴∠CNM =∠CMN =45°． ∴MN =CM∴CN =1．∴直线NE 的解析式为：把②代入①，解得1x y =⎧⎨=⎩∴E （1，2）．（3）过E 作EF ⊥AB 于F∴tan ∠EOF =2，又∵tan ∠α=2， ∴∠EOF =∠α，∵∠EOF =∠EAO +∠AEO =∠EAO +∠EPO =∠α，∴∠EPO =∠AEO ， ∵∠EAO =∠P AE ，∴△AEP ∽△AOE ， (5)（图①）（图②）∴AP AEAE AO=， ∵AEAO =1， ∴AP =8， ∴OP =7，∴()7,0P ，………………………………………………………………………6 由对称性可得，()'5,0P -………………………………………………………7 ∴()7,0P 或()5,0-．27. 解：（1）∵二次函数2y x mx n =-++的图象经过点A （﹣1，4），B （1，0） ∴4101m nm n=--+⎧⎨=-++⎩∴m=-2,n=3∴二次函数的表达式为223y x x =--+ （2）12y x b =-+经过点B ∴12b =画出图形()211(,),2322M m m m m m -+--+设，则N ∴21123()22MN m m m =--+--+设∴23522MN m m =--+ ∴2349()416MN m =-++∴MN 的最大值为491627．解：（1）∵抛物线c bx x y ++=221与y 轴交于点C (0，3)，∴3=c ； ………………………1分∵抛物线c bx x y ++=221的对称轴为2=x ，∴2212=⨯-b ，解得2-=b ， ………………………2分∴抛物线1C 的解析式为32212+-=x x y ． ………………………3分（2）由题意，抛物线2C 的解析式为k x y +=221． ………………………4分-----------7分-----------2分-----------6分-----------5分-----------3分 -----------4分y =2当抛物线经过点A (2，0)时，02212＝k +⨯， 解得2-=k ．………………………5分∵O (0，0)，B (2，2)，∴直线OB 的解析式为x y =．由⎪⎩⎪⎨⎧+==k x y x y 221,， 得0222=+-k x x ，（*）当Δ＝k 214)2(2⨯⨯--＝0，即21=k 时， ………………………6分 抛物线2C 与直线OB 只有一个公共点， 此时方程（*）化为0122=+-x x ， 解得1=x ，即公共点P 的横坐标为1，点P 在线段OB 上． ∴k 的取值范围是212<<-k ． (7)27. 解：（1）∵抛物线过点 （-1，a ），（3，a ）， ∴抛物线的对称轴x =1．.……. 1分 ∵抛物线最低点的纵坐标为-4 ， ∴抛物线的顶点是（1，-4）．.……. 2分 ∴抛物线的表达式是22(1)4y x =--， 即2242y x x =--．.…3分22y x mx n =++A B把（-1，a ）代入抛物线表达式，求出4a =．.……. 4分（2）∵抛物线顶点(1,4)C -关于y 轴的对称点为点D ，∴(1,4)D --．求出直线CD 的表达式为4y =-. .……. 5分求出直线BD 的表达式为22y x =-，当1x =时，0y =．.……. 6分 所以40t -<≤．.……. 7分27. (本小题满分7分)解：（1）∵抛物线2212y x x =-+与y 轴交于点A ，∴点A 的坐标为（0，2）．…………………………………………1分 ∵2211(232)212y x x x -+==+-，∴抛物线的对称轴为直线1x =，顶点B 的坐标为（1，32）．…………2分又∵点C 与点A 关于抛物线的对称轴对称，∴点C 的坐标为(2，2)，且点C 在抛物线上． 设直线BC 的解析式为y kx b =+． ∵直线BC 经过点B （1，32）和点C (2，2)，∴322 2.，k b k b ⎧+=⎪⎨⎪+=⎩解得121.k b ⎧=⎪⎨⎪=⎩， ∴直线BC 的解析式为112y x =+．…………………………3分（2）∵抛物线2212y x x =-+中，当4x =时，6y =，∴点D 的坐标为(4，6)．………………4分∵直线112y x =+中，当0x =时，1y =， 当4x =时，3y =，A∴如图，点E 的坐标为(0，1)，点F 的坐标为(4，3)．设点A 平移后的对应点为点'A ，点D 平移后的对应点为点'D ． 当图象G 向下平移至点'A 与点E 重合时，点'D 在直线BC 上方， 此时t =1；…………………………………………………………5分当图象G 向下平移至点'D 与点F 重合时，点'A 在直线BC 下方，此时t =3．……………………………………………………………………………………6分结合图象可知，符合题意的t 的取值范围是13t <≤．……………………7分27.解：（1）∵二次函数y=（a-1）x 2+2x+1与x 轴有交点，令y=0，则（a-1）x 2+2x+1=0，∴=4-4(a-1)0∆≥，解得a ≤2. …………………………………1分. ∵a 为正整数. ∴a=1、2又∵y=（a-1）x 2+2x+1是二次函数，∴a-1≠0，∴a ≠1， ∴a 的值为2. ………………………………………2分（2）∵a=2，∴二次函数表达式为y=x 2+2x+1，将二次函数y=x 2+2x+1化成顶点式y=（x+1）2二次函数图象向右平移m 个单位，向下平移m 2+1个单位后的表达式为y=（x+1-m ）2-（m 2+1）.此时函数的顶点坐标为（m-1, -m 2-1）. …………………………………4分 当m-1＜-2，即m ＜-1时， x=-2时，二次函数有最小值-3， ∴-3=（-1-m ）2-（m 2+1），解得32m =-且符合题目要求. ………………………………5分 当 -2≤m-1≤1,即-1≤m ≤2,时，当 x= m-1时，二次函数有最小值-m 2-1=-3，解得m =.∵m =-1≤m ≤2的条件，舍去.∴m =.……………………………………6分当m-1＞1，即m ＞2时，当 x=1时，二次函数有最小值-3， ∴-3=（2-m ）2-（m 2+1），解得32m =,不符合m ＞2的条件舍去.综上所述，m 的值为32-……………………………………7分 27．（本小题满分7分）（1）证明：∵ △= (m +1)2－4×(－1)×(m +2)=(m +3)2. ……………………………………………………………1分 ∵ m ＞0， ∴ (m +3)2＞0， 即 △＞0，∴ 原方程有两个不相等的实数根. …………………………………2分（2）解：∵ 抛物线抛物线y =－x 2+(m +1)x +(m +2)经过点（3，0），∴ －32+3(m +1)+(m +2)=0，………………………………………………3分 ∴ m =1.∴ y =－x 2+2x +3. (4)分（3）解：∵ y =－x 2+2x +3=－(x －1)2+4，∴ 该抛物线的顶点为（1，4）.∴ 当直线y =k (x +1)+4经过顶点（1，4）时， ∴ 4=k (1+1)+4， ∴ k =0， ∴ y =4.∴ 此时直线y =k (x +1)+4与y 轴交点的纵坐标为 4. ………………………5分∵ y =－x 2+2x +3， ∴ 当x =0时，y =3，∴ 该抛物线与y 轴的交点为（0，3）.∴ 此时直线y =k (x +1)+4与y 轴交点的纵坐标为 3. ………………………6分∴ 3＜t ≤4. …………………………………………………………………7分27．解：（1）将()3,0A 代入，得1m =．∴抛物线的表达式为223y x x =--． …1分B 点的坐标()1,0-．………………2分（2）()222314y x x x =--=--．∵当21x -<<时，y 随x 增大而减小；当13x ≤<时，y 随x 增大而增大，∴当1x =，min 4y =-； ………………3分 当2x =-，5y =．∴y 的取值范围是45y -≤<．…………4分（3）当直线y kx b =+经过()1,0B -和点()4,2时，解析式为2255y x =+．…….………………5分 当直线y kx b =+经过()2,5--和点 ()4,2时，解析式为7863y x =-．………. ……………6分 结合图象可得，b 的取值范围是8235b -<<． ………….7分27.解：（1）设抛物线解析式为，由抛物线过点，可得 ………..(2分) （2）如图：………………………………………..(5分)（3）-4<m <0 ………………………………………..(7分)27．解：（1）∵ 二次函数21y x bx c =++的图象1C 经过(1,0)-，∴10,3.b c c -+=⎧⎨=-⎩………………………………1分解得2,3.b c =-⎧⎨=-⎩…………………………………2分∴ 抛物线1C 的函数表达式为3221--=x x y ． ……………………………………3分（2）∵ 22123=(1)4y x x x =----，∴ 抛物线1C 的顶点为(1,4)- ∴ 平移后抛物线2C 的顶点为(0,0)，它对应的函数表达式为22y x =．…5分 （3）a ≥1-（见图7）．………………………………………………………………7分2)1(-=x a y )10(，A 122+-=x x y 1。
燕山区初中一模数学试卷及答案
北京市燕山初中毕业暨一模考试数学试卷 5月1．本试卷共4页，共五道大题，25个小题，满分120分；考试时间120分钟。
2．答题纸共6页，在规定位置认真填写学校名称、班级和姓名。
3．试题答案一律书写在答题纸上，在试卷上作答无效。
4．考试结束，请将答题纸交回，试卷和草稿纸可带走。
一、选择题（在下列各题的四个备选答案中，只有一个是符合题意的，请将正确答案前的字母写在答题纸上；本题共32分，每小题4分） 1. 下列每两个数中,互为相反数的是A. 3和31 B. －3和31C. －3和0D. －3和3 2. 已有600年历史的紫禁城在中国独一无二，在世界也是独一无二. 据媒体报道，参观故宫的人数已突破1400万，把1400万用科学记数法表示应为A ．0.14×108B ．1.4×107C ．1.4×106D ．14×106 3．已知某多边形的每一个外角都是72°，则它的边数为A . 4B . 5 C. 6 D. 8 4. 下列各式计算正确的是A ．532a )(a = B.2)3(-=±3C. (m+n)(n -m)=n 2-m 2D. 222y x )y x (+=+5. 学雷锋活动中，初四1班评选出了7名学雷锋活动带头人，其中团员同学占了4位，现需要采用抽签的方法从中确定一人参加表彰大会，被选中的同学为共青团员的概率是A.21 B.43 C.73 D ．4 6. 某一次函数y=ax+b A. a<0, b<0 B. a<0, b>0C. a>0, b<0D. a>0, b>07．某短跑运动员在集训中的5次测试成绩（单位：秒）如下：12.5，12.7，12.1，12.8，12.4.这组数据的方差是A ．0.06B ．0.3C ．0.6D ．68. 如图，任意四边形ABCD 中，AC 和BD 相交于点O ，把△AOB 、△AOD 、△COD 、△BOC 的面积分别记作S 1 、S 2 、S 3 、S 4，则下列各式成立的是 A ．S 1 + S 3 = S 2+S 4B ．S 3－S 2 = S 4－S 1C ．S 1·S 4= S 2·S 3D ．S 1·S 3 = S 2·S 4BAS 1S 2 O S 4S 3D C二、填空题（本题共16分, 每小题4分）9．函数y =62x x-中，自变量x 的取值范围是 _____ .10．如图，平地上A 、B 两点被池塘隔开，测量员在岸边 选一点C ，并分别找到AC 和BC 的中点M 、N ，经量得 MN=24米，则AB=_________米.11. 已知圆锥的底面直径是4cm ，侧面上的母线长为3cm ，则它的侧面积为 ________cm 2． 12．图中的抛物线是函数y=x 2+1的图象，把这条抛物线 沿射线y ＝x （x ≤0）的方向平移2个单位，其函数 解析式变为_________；若把抛物线y=x 2+1沿射线y =21x -1（ x ≥0）方向平移5个单位，其函数解析 式则变为_________.三、解答题（本题共30分, 每小题5分）13. 计算：151-⎪⎭⎫⎝⎛－４cos45°＋21-－()02012-14. 解不等式组 ⎩⎨⎧-≥+->+;54x 4x ,1x 12x 并把解集在数轴上表示出来．15. 如图，点F 在线段AB 上，AD ∥BC ，AC 交DF 于点E ，∠BAC=∠ADF ，AE=BC.求证：△ACD 是等腰三角形.16．已知x 2-1=0，求代数式)x 12x x (x 1x --÷-的值． 17. 列方程或方程租应用题:北京到石家庄的铁路里程约为280km , 底京石高铁即将通车，其上运行的新型动车速度可比目前的普通列车提高 1.8倍, 届时从北京到石家庄乘坐高铁新型动车将比现在乘坐普通列车少用一个半小时即可到达，求目前普通列车的运行速度． 18. 已知：关于x 的一元二次方程kx 2－(4k+1)x+3k+3=0 (k 是整数)． （1）求证：方程有两个不相等的实数根；（2）若方程的两个实数根分别为x 1，x 2（其中x 1<x 2），设y= x 2－x 1，判断y 是否为变量kD CE AF B的函数？如果是，请写出函数解析式；若不是，请说明理由. 四、解答题（本题共20分, 每小题5分）19. 如图，梯形ABCD 中，AB ∥CD ，AD ⊥AB ，AB=2，BC=CD=4，求∠B 的度数和AC 的长．20. 寒假期间，某校同学积极参加社区公益活动. 开学后，校团委随机选取部分学生对每人的“累计参与时间”进行了调查，将数据绘制成图1、图2. 请结合这两幅不完整的统计图解答下列问题：（1）这次调查共选取了多少名学生？ （2）将图1的内容补充完整；（3）求图2中“约15小时”对应的圆心角度数，并把图2的内容补充完整； （4）若该校共有学生680人，估计这个寒假有多少学生参加了社区公益活动？21. 已知：如图， M 是AB 的中点，以AM 为直径的⊙O 与BP 相切于点N ，OP ∥MN. （1）求证：直线PA 与⊙O 相切； （2）求tan ∠AMN 的值.22. 请你先动笔在草稿纸上画一画，再回答下列问题： （1（2）平面内3条直线，可以把平面分成几部分？ （3）平面内4条直线，可以把平面最多．．分成多少部分？ （4）平面内100条直线，可以把平面最多．．分成多少部分？A BD CNB M O A·五、解答题（本题共22分, 第23、24题各7分，第25题8分） 23．已知：如图，在直角坐标系xOy 中，直线y=2x 与函数y=x2的图象在第一象限的交于A 点，AM ⊥关于l 对称.（1）画出线段AN （保留画图痕迹）； （2）求点A 的坐标； （3）求直线AN 的函数解析式.24. 已知：如图，点P 是线段AB 上的动点，分别以AP 、和正△BPD ，AD 和BC 交于点M.（1）当△APC 和△BPD 面积之和最小时，直接写出AP : PB 的值和∠AMC 的度数； （2）将点P 在线段AB 上随意固定，再把△BPD 按顺时针方向绕点P 旋转一个角度α，当α<60°时，旋转过程中，∠AMC 的度数是否发生变化？证明你的结论. （3）在第（2）小题给出的旋转过程中，若限定60°<α<120°，∠AMC 的大小是否会发生变化？若变化，请写出∠AMC 的度数变化范围；若不变化，请写出∠AMC 的度数.25. 已知点A （1，21）在抛物线y=31x 2+bx+c 上，点F （-21，21）在它的对称轴上，点P 为抛物线上一动点.（1）求这条抛物线的函数解析式；（2）判断是否存在直线l ，使得线段PF 的长总是等于点P 到直线l 的距离，需说明理由. （3）设直线PF 与抛物线的另一交点为Q ，探究：PF 和QF 这两条线段的倒数和是否为定值？证明你的结论.燕山初中数学毕业暨一模考试评卷参考.5.2一、 DBBC DAAD 二、y=x 2+2x+1，y=x 2-4x +6三、13. 原式=5-22-1+2-1 ………………………………………4分 = 3-2. ………………………………………………5分 14. 解①得 x >-2， ……………………………………………1分解②得 x ≤3， ……………………………………………2分 ∴ 不等式组的解集是-2 < x ≤3 . ……………………………………………3分数轴上正确表示解集 ……………………………………………5分15. 证明：∵AD ∥BC ，∴ ∠CAD=∠BCA ，即∠EAD=∠BCA. ……………………1分在△ADE 和△CAB 中,又∵∠ADE=∠ADF=∠CAB ， AE=BC ，∴△ADE ≌△CAB. …………………………………………3分∴ AD=AC. …………………………………………4分∴ △ACD 是等腰三角形. ……………………………………5分16. 原式=x 1x -÷x12x x 2+- ………………………………………1分=x 1x -÷x)1x (2- ………………………………………2分=x 1x -·2)1x (x- =1x 1- ……………………………………3分 由x 2 -1=0 ，得x=±1. ……………………………………4分 ∴当x=1时， 原式无意义；DC EA F B当x= -1时，原式= -21………………………………………5分 17. 设目前普通列车的运行速度是x 千米/时， ………………………………1分 依题意，得x280- 8x .2280= 23. ……………………………………2分 解得 x=120. ……………………………………3分 经检验, x=120是原分式方程的根. ……………………………………4分 答: 目前普通列车的运行速度是120千米/时. ………………………………5分18. ⑴证明：Δ= (4k+1)2-4k(3k+3) ……………………………………1分=(2k -1)2∵k 是整数，∴k ≠21，2k -1≠0. ∴Δ= (2k -1)2 >0 ∴方程有两个不相等的实数根. …………………………………2分 ⑵ y 是k 的函数；解方程得，x=2k)12k ()14k (2-±+.∵k 是整数， ∴k 1≤1，1+k1≤2<3. 又∵x 1< x 2, ∴x 1=1+k1, x 2=3. …………………………………………4分∴ y=3-(1+k 1)=2-k1. ……………………………………………5分四、19.作BE ⊥CD 于E ， ………………………………………………1分∵梯形ABCD 中，AB ∥CD ，AD ⊥AB ，∴四边形ABED 是矩形.∴DE=AB=2，CE=CD -DE=4-2=2. ………………………2分在Rt △BEC 中，又∵BC=4=2CE ，∴∠B=∠ABC=120°. ………………4分在Rt △ADC 中，又∵AD=BE∴AC=22CD AD +=1612+=27. ………………………………………5分 20. ⑴ 32 ………………………………………………1分 ⑵ 补图 ………………………………………………2分 ⑶ 67.5° ………………………………………………3分 把扇形统计图补全 ………………………………………………4分 ⑷ 595 ………………………………………………5分21. ⑴证明：连结ON ，∵BP 与⊙O 相切于点N ，∴ON ⊥BP, ∠ONP=90°. …………………………………………1分∵MN ∥OP,∴∠OMN=∠AOP, ∠MNO=∠ A BD E C又∵∠OMN =∠MNO, ∴∠AOP =∠NOP. 又∵OA=ON ，OP 公用， ∴△AOP ≌△NOP.∴∠OAP =∠ONP=90°.∴直线PA 与⊙O 相切. ………………………………………………2分.⑵ 设⊙O 的直径是2r.∵M 是AB 的中点，∴BM=2r ，OB=3r.∴BN=22ON OB -=28r =22r. ………………………………………3分 ∵∠PAB =∠ONB=90°，∴△PAB ∽△ONB.∴22r 24r NB AB ON PA ===. …………………………………………4分∴tan ∠AMN= tan ∠AOP=2ON PA OA PA ==. ……………………………5分22.（1）3或4 …………………………………………1分（2）4，或6，或7 ………………………………………3分 （3）11 ………………………………………………4分 （4）5051 …………………………………………5分 五、23.⑴ 图形大体正确，有画图痕迹 …………………………………………1分∵点A 在第一象限，∴x=1.∴点A （1，2）. …………………………………3分⑶ 设l 与=1 ，AM=2 ，AM ⊥x 轴 ∴OA=5，OB=25………………………………4分 易证Rt △POB ∽Rt △AOM ，∴ OM OB OA OP =.∴OP=25×5=25.∴点P （25，0）. ……………………………………5分 把点A 和P 的坐标分别代入y=kx+b ，得 ⎪⎩⎪⎨⎧=+=+.0b k 25,2b k ………………………………………………6分解得k =34-，b =310.又∵直线AN 必过点P ， ∴直线AN 的解析式是y=34-x+310. ……………………………………7分24.⑴ 1，60° …………………………………………2分⑵ 不变化.证明：如图，点E 在AP 的延长线上，∠BPE=α<60°.（3分∵∠BPC=∠CPD+60°,∠DPA=∠CPD+60°, ∴∠BPC=∠DPA. 在△BPC 和△DPA 中， 又∵BP=DP ，PC=PA ，∴△BPC ≌△DPA. …………………………………………4分 ∴∠BCP=∠DAP. ∴∠AMC=180°-∠MCP -∠PCA -∠MAC= 120°-∠BCP -∠MAC=120°-（∠DAP +∠MAC ）-∠PCA =120°-∠PAC= 60°，且与α的大小无关. ………………………………………6分⑶ 不变化，60° ………………………………………7分25.⑴ 由2a b -=21-，a=31，得b=31………………………………1分 把b =31和点A （1，21）代入y=31x 2+bx+c ，可求得c=61-.∴这条抛物线的解析式是y=31x 2+31x 61-. ………………………………2分⑵设点P （x 0，y 0），则y 0=31x 02+31x 061-.作PM ⊥AF 于M ，得 PF 2=PM 2+MF 2= (x 0+21)2+ (y 0-21)2 又∵y 0=31x 02+31x 061-=31(x 0+21)2-41∴(x 0+21)2=3y 0+43∴PF 2=3y 0+43+ y 02- y 0+41=( y 0+1)2.易知y 0≥-41，y 0+1＞0. ∴PF= y 0+1. ……………………………………4分 y 0+1即为点P 到直线l 的距离.∴存在符合题意的直线l . ………………………………………5分 ⑶ 是定值.证明：当PF ∥x 轴时，PF=QF=23，34QF 1PF 1=+. ……………………………6分当PF 与FP ∽△NFQ ，∴QFQNPF PM =. 再依据第⑵小题的结果，可得QFQF -23PF 23-PF =. ……………………………7分 整理上式，得 34QF 1PF 1=+. …………………………………8分。
北京市燕山区中考一模题及答案2015界0506132148_38597要点
F 列各小题均有四个选项，其中只有一个选项符合题意。
1.在国际单位制中，电压的单位是A .安培B .伏特2•下列物品中，通常情况下属于导体的是A •塑料笔杆B •橡胶手套3.下列现象中，质量发生变化的是A .铁水凝固成铁块 C .菜刀被磨光以后4•下列现象中，属于光的反射现象的是A .岸边景物在水中形成倒影 C •小孔成像5.下列四个实例中，能够使蒸发减慢的是A •将湿衣服晾在通风向阳处 C .将新鲜的黄瓜装入塑料袋6•下列用电器中，利用电流热效应工作的是A .电视机B .电热毯7•下列实例中，目的是为了减小压强的是A•上学出发前，将不用的书本从书包中取出C •把酸奶吸管的一端切成斜口 8.A •两手相互摩擦，手的温度升高B .用煤气炉给水加热，水的温度升高9.如图1所示的四种情景中，所使用的杠杆属于费力杠杆的是2015年北京市燕山地区初中毕业考试物理试卷2015年4月C .把蔬菜放进冰箱，蔬菜的温度降低D .用炭火将肉烤熟 （共30分，每小题2分）C .焦耳D .瓦特C .不锈钢尺D .陶瓷碗B .将一块矿石由地球运到太空 D .将铁丝用拔丝机拉长B .放大镜把字体放大 D .雨后天空出现彩虹B .将湿手伸到干手器下方吹 D .将新收获的玉米摊开晾晒C .电风扇D .电脑B .啄木鸟的喙坚硬而细长 D .把菜刀磨得很锋利F 列实例中，通过做功的方式改变物体内能的是10.下列事例中，由弹性势能转化为动能的是A .风吹动树叶B .拉弯的弓把箭射出C .汽车在盘山公路匀速前进D .秋千从高处向低处摆动11•生活中需要对一些物理量进行估测，以下估测接近实际的是A .一个鸡蛋的质量约为 0.5kg C •人正常体温约27 C 12.下列能源中属于不可再生能源的是 A •风能B •太阳能 B .教室门框的高度接近于 2mD .一般初中生的体重大约是 600gC .水能D .核能13•图2中两个小灯泡串联接入电路，闭合开关后小灯泡均发光，它们一定相等的是14. 龙卷风的实质是高速旋转的气流.它能把地面上的人、动物或物体等入空中，如图3所示。
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北京市燕山2015年初中毕业考试数 学 试 卷 2015年4月一、选择题（本题共30分，每小题3分）下面各题均有四个选项，其中只有．．一个．．是符合题意的． 1．-2的相反数是A ．2B ．2-C ．12-D ．122．据报道，中国内地首次采用“全无人驾驶”的燕房线地铁有望年底完工，列车通车后将极大改善房山和燕山居民的出行条件，预计年输送乘客可达7300万人次，将7300用科学记数法表示应为A ．21073⨯ B ．3103.7⨯ C ．41073.0⨯ D ．2103.7⨯ 3A ．B ．C ．D ． 4．如图，∠1＝∠B ，∠2＝25°，则∠D ＝A ．25°B ．45°C ．50°D ．65° 5．下面是某小区居民家庭的月用水量情况统计表：从中任意抽出一个家庭进行用水情况调查，则抽到的家庭月用水量为6吨的概率为 A ．41 B ．52 C ．103 D ．201 6以上两位同学的对话反映出的统计量是A ．众数和方差B ．平均数和中位数C ．众数和平均数D ．众数和中位数7．在多项式x 2+9中添加一个单项式，使其成为一个完全平方式，则添加的单项式可以是A ．xB ．3xC ．6xD ．9x第4题图12ABCD8．如图，⊙O 的半径长6cm ，点C 在⊙O 上，弦AB 垂直平分OC 于点D ，则弦AB 的长为A ．9 cmB ．36cmC ．29cm D ．33cm9．在△ABC 中，按以下步骤作图：①分别以A ，B 为圆心，大于21AB 的长为半径画弧，相交于两点M ，N ；②作直线MN 交AC 于点D ，连接BD ．若CD ＝BC ，∠A ＝35°，则 ∠C ＝ A ．40°B ．50°C ．60°D ．70°10．李阿姨每天早晨从家慢跑到小区公园，锻炼一阵后，再慢跑回家．表示李阿姨离开家的距离y (单位：米)与时间t (单位：分)的函数关系的图象大致如上图所示，则李阿姨跑步的路线可能是(用)A．B ．C ．D ．二、填空题（本题共18分，每小题3分） 11．若代数式23-x 有意义，则x 的取值范围是． 12．分解因式：a ab -2＝．13．如图，跷跷板AB 的支柱OD 经过它的中点O ，且垂直于地面BC ，垂足为D ，OD ＝45cm ，当它的一端B 着地时，另一端A 离地面的高度AC 为 cm ．14．已知某函数图象经过点(-1，1)，且当x >0时，y 随x 的增大而增大．请你写出一个．．满足条件的函数解析式：y ＝ .15．为了节能减排，近期纯电动出租车正式上路运行．某地纯电动出租车的运价为3公里以内10元；超出3公里后每公里2元；单程超过15公里，超过部分每公里3元．小周要到离家10公里的博物馆参观，若他往返都乘坐纯电动出租车，共需付车费 元．NM ABD C第9题图B 第13题图第8题图分第10题图16．定义：对于任意一个不为1的有理数a ，把a -11称为a 的差倒数，如2的差倒数为1211-=-，1-的差倒数为)1(11--＝21．记211=a ，2a 是1a 的差倒数，3a 是2a 的差倒数，4a 是3a 的差倒数，…，依此类推，则2a ＝ ；2015a ＝ ．三、解答题（本题共30分，每小题5分）17．如图，点E ，F 在线段AC 上，AB ∥CD ，AB ＝CD ，AE ＝CF ． 求证：BE ＝DF ．18．计算：01)3(30tan 3|3|)31(π-+︒--+-．19．解不等式组：⎩⎨⎧≤-<-．21512x x ，20．已知022=--x x ，求代数式)1)(1()12(-+--x x x x 的值．21．列方程或方程组解应用题：赵老师为了响应市政府“绿色出行”的号召，改骑自行车上下班，结果每天上班所用时间比自驾车多53小时．已知赵老师家距学校12千米，上下班高峰时段，自驾车的速度是自行车速度的2倍．求赵老师骑自行车的速度．22．已知关于x 的方程03)32(22=-+--k k x k x ．（1）求证：方程总有两个不相等的实数根；（2）已知方程有一个根为0，请求出方程的另一个根． 四、解答题（本题共20分，每小题5分）23．如图，菱形ABCD 中，对角线AC ，BD 交于O 点，DE ∥AC ，CE ∥BD ．（1）求证：四边形OCED 为矩形；（2）在BC 上截取CF ＝CO ，连接OF ，若AC ＝8，BD ＝6，求四边形OFCD 的面积．ABCDE F D O FECAB24．根据国家邮政局相关信息，2014年我国快递业务量达140亿件，比2013年增长52%，跃居世界第一，而快递产生的包装垃圾也引起了邮政管理部门的重视．以下是根据相关数据绘制的统计图的一部分．根据以上信息，解答下列问题：（1）请补全条形统计图并标明相应数据；（结果保留整数）（2）每件快递专用包装的平均价格约为1.2元，据此计算2014年全国直接丢弃的快递包装造成了约多少亿元的损失？（3）北京市2014年的快递业务量约为6亿件，预计2015年的增长率与近五年全国快递业务量年增长率的平均值近似相等，据此估计2015年北京市快递业务量将达到 亿件．（直接写出结果，精确到0.1）25．如图，△ABC 中，AB ＝AC ，以AB 为直径作⊙O 交BC 于点D ，过点D 作⊙O 的切线DE 交AC于点E ．（1）求证：∠CDE ＝90°；（2）若AB ＝13，sin ∠C ＝135，求CE 的长．市民收到快递后对包装处理方式统计图D ：其他C ：留着下次寄件 使用；B ：收集整理后作 为废品卖掉；A:直接丢弃；(年)(亿件)2010－2014年全国快递业务量统计图26．阅读下面材料：小军遇到这样一个问题：如图1，△ABC 中，AB ＝6，AC ＝4，点D 为BC 的中点，求AD的取值范围．小军发现老师讲过的“倍长中线法”可以解决这个问题．他的做法是：如图2，延长AD 到E ，使DE ＝AD ，连接BE ，构造△BED ≌△CAD ，经过推理和计算使问题得到解决．如图3，△ABC 中，E 为AB 中点，P 是CA 延长线上一点，连接PE 并延长交BC 于点D ． 求证：PA •CD ＝PC •BD ．五、解答题（本题共22分，第27题7分，第28题7分，第29题8分） 27．抛物线c bx x y C ++=2121:与y 轴交于点C (0，3)，其对称轴与x 轴交于点A (2，0)． （1）求抛物线1C 的解析式；（2）将抛物线1C 适当平移，使平移后的抛物线2C 的顶点为D (0，k )．已知点B (2，2)，若抛物线2C 与△OAB 的边界总有两个公共点，请结合函数图象，求k 的取值范围．图1AB CABDCE 图2图3E ABDP28．△ABC 中，∠ABC ＝45°，AH ⊥BC 于点H ，将△AHC 绕点H 逆时针旋转90°后，点C 的对应点为点D ，直线BD 与直线AC 交于点E ，连接EH ．（1）如图1，当∠BAC 为锐角时，①求证：BE ⊥AC ； ②求∠BEH 的度数； （2）当∠BAC 为钝角时，请依题意用实线补全图2，并用等式表示出线段EC ，ED ，EH 之间的数量关系．图1图2ABH CABHCED29．在平面直角坐标系中，如果点P 的横坐标和纵坐标相等，则称点P 为和谐点．例如点（1，1），(31-，31-)，(2-，2-)，…，都是和谐点． （1）分别判断函数12+-=x y 和12+=x y 的图象上是否存在和谐点，若存在，求出其和谐点的坐标；（2）若二次函数)0(42≠++=a c x ax y 的图象上有且只有一个和谐点(23，23)，且当m x ≤≤0时，函数)0(4342≠-++=a c x ax y 的最小值为－3，最大值为1，求m 的取值范围．（3）直线2:+=kx y l 经过和谐点P ，与x 轴交于点D ，与反比例函数xny G =：的图象交于M ，N 两点（点M 在点N 的左侧），若点P 的横坐标为1，且23<+DN DM ，请直接写出n 的取值范围．燕山地区2015年初中毕业考试数学试卷参考答案与评分标准 2015年4月一、 选择题（本题共30分，每小题3分）二、填空题（本题共18分，每小题3分）11．2≠x 12．)1)(1(-+b b a ； 13．90； 14．答案不唯一：xy 1-=，2x y =，2+=x y ，… 15．48； 16．2；2．三、解答题（本题共30分，每小题5分）17．证明：∵AB ∥CD ，∴∠A ＝∠C ． ………………………1分在△BAE 和△DCF 中，⎪⎩⎪⎨⎧∠=∠=，＝，CF AE C A CD AB ,∴△BAE ≌△DCF （SAS ）， ………………………4分 ∴BE ＝DF ． ………………………5分18．解:原式＝133333+⨯-+ ………………………4分 ＝4．………………………5分19．解：解不等式①，得 3<x ， ………………………2分解不等式②，得1-≥x ， ………………………4分∴原不等式组的解集为31<≤-x ． ………………………5分20．解：)1)(1()12(-+--x x x x＝)1(222---x x x ………………………2分 ＝1222+--x x x＝12+-x x ． ………………………3分 ∵022=--x x ，即22=-x x ． ………………………4分 ∴原式＝1)(2+-x x ＝2＋1＝3． ………………………5分 21．解：设赵老师骑自行车的速度为x 千米/小时， ………………………1分依题意得5321212=-x x ， ………………………2分 解方程得 x ＝10. ………………………3分 经检验，x ＝10是原方程的解且符合实际意义. ………………………4分 答：赵老师骑自行车的速度是10千米/小时. ………………………5分22．解:(1)Δ＝)3(14)32(22k k k -⨯⨯-- ………………………1分＝k k k k 124912422+-+-＝9>0，∴ 原方程总有两个不相等的实数根． ………………………2分(2)解法一： 把0=x 代入方程03)32(22=-+--k k x k x 中，得 032=-k k ，解得 0=k ，或3=k ． ………………………3分当0=k 时，原方程化为032=+x x ，解得 31-=x ，02=x ； ………………………4分当3=k 时，原方程化为032=-x x ，解得 31=x ，02=x ．综上，原方程的另一个根3-=x ，或3=x ． ………………………5分 解法二：∵Δ＝9，由求根公式，得23)32(129)32(21±-=⨯±-=k k x ，， ∴原方程的根为k x =1，32-=k x ． ………………………3分 当01==k x 时，332-=-=k x ； ………………………4分 当032=-=k x 时，31==k x ．综上，原方程的另一个根3-=x ，或3=x ． ………………………5分四、解答题（本题共20分，每小题5分） 23．（1）证明：∵DE ∥AC ，CE ∥BD ，∴四边形OCED 为平行四边形． ………………………1分 又∵四边形ABCD 是菱形， ∴AC ⊥BD ．∴∠DOC =90°．∴四边形OCED 为矩形． ………………………2分（2）解法一：∵菱形ABCD ，∴AC 与BD 互相垂直平分于点O ， ∴OD ＝OB ＝21BD ＝3，OA ＝OC ＝21AC ＝4， ∴S △DOC ＝OC OD ⋅21＝4321⨯⨯＝6． ………………………3分在Rt △OBC 中，BC ＝22OC OB +＝5，sin ∠OCB ＝BC OB ＝53． 作FH ⊥OC 于点H ，在Rt △CFH 中，CF ＝CO ＝4，sin ∠HCF ＝FCFH＝53， ∴FH ＝53CF ＝512． ………………………4分 ∴S △OCF ＝FH OC ⋅21＝512421⨯⨯＝524． ∴S 四边形OFCD ＝S △DOC ＋S △OCF ＝6＋524＝554． ………………………5分解法二：∵菱形ABCD ，∴AC 与BD 互相垂直平分于点O ， ∴OD ＝OB ＝21BD ＝3，OA ＝OC ＝21AC ＝4， ∴S △DCB ＝OC DB ⋅21＝4621⨯⨯＝12． ………………………3分 在Rt △OBC 中，BC ＝22OC OB +＝5，sin ∠OCB ＝BC OB ＝53． 作OG ⊥BC 于点G ，∵CF ＝CO ＝4，∴BF ＝BC − CF ＝5− 4＝1． 在Rt △OCG 中，sin ∠OCG ＝OC OG ＝53， HB ACD EFOGB ACDEFO∴OG ＝53OC ＝512． ………………………4分 ∴S △OBF ＝OG BF ⋅21＝512121⨯⨯＝56．∴S 四边形OFCD ＝S △DCB −S △OBF＝12−56＝554．…………5分24．解：（1）140÷（1＋52%）＝92；补全条形统计图如图；…………2分（2）140×60%×1.2＝100.8亿元； …………4分答：2014年全国直接丢弃的快递包装造成了约100.8亿元的损失．（3）9.1，9.2，9.3，9.4，9.5，9.6，9.7其中之一． ………………………5分 25．（1）证明：如图，连接OD ，∵DE 切⊙O 于D ，OD 是⊙O 的半径，∴∠EDO ＝90°． 1分 ∵OD ＝OB ， ∴∠ABC ＝∠ODB ． ∵AB ＝AC ， ∴∠ABC ＝∠C ， ∴∠ODB ＝∠C ， ∴DO ∥AC ，∴∠CED ＝∠EDO ＝90°． ………………………2分 （2）如图，连接AD ，∵AB 为⊙O 直径，∴∠ADB ＝90°，即AD ⊥BC ． ………………………3分 在Rt △CED 和Rt △BDA 中，∠C ＝∠ABC ，∠DEC ＝∠ADB ＝90°， ∴△CED ∽△BDA ， ∴CD ＝BD ＝22AD AB -＝12．年)(亿件)∴131212⨯＝CE ＝13144． ………………………5分 26．（1）1<AD <5； ………………………2分（2）证明：延长PD 至点F ，使EF ＝PE ，连接BF ． ………………………3分∵BE ＝AE ，∠BEF ＝∠AEP ， ∴△BEF ≌△AEP ， ∴∠APE ＝∠F ，BF ＝PA ． 又∵∠BDF ＝∠CDP ，即PA ·CD ＝PC ·BD ． ………………………5分五、解答题（本题共22分，第27、28题每小题7分，第29题8分） 27．解：（1）∵抛物线c bx x y ++=221与y 轴交于点C (0，3)， ∴3=c ； ………………………1分 ∵抛物线c bx x y ++=221的对称轴为2=x ， ∴2212=⨯-b ，解得2-=b ， ………………………2分 ∴抛物线1C 的解析式为32212+-=x x y ． ………………………3分 （2）由题意，抛物线2C 的解析式为k x y +=221． ………………………4分 当抛物线经过点A (2，0)时，02212＝k +⨯， 解得2-=k ． ………………………5分∵O (0，0)，B (2，2)，∴直线OB 的解析式为x y =．由⎪⎩⎪⎨⎧+==k x y x y 221,， 得0222=+-k x x ，（*） 当Δ＝k 214)2(2⨯⨯--＝0，即21=k 时， ………………………6分 抛物线2C 与直线OB 只有一个公共点， 此时方程（*）化为0122=+-x x ， 解得1=x ，即公共点P 的横坐标为1，点P 在线段OB 上． ∴k 的取值范围是212<<-k ．分 28．（1）①证明：∵AH ⊥BC 于点H ，∠ABC ＝45°，∴△ABH 为等腰直角三角形， ∴AH ＝BH ，∠BAH ＝45°，∴△AHC 绕点H 逆时针旋转90°得△BHD ， 由旋转性质得，△BHD ≌△AHC ，∴∠1＝∠2． ………………………1分 ∵∠1＋∠C ＝90°， ∴∠2＋∠C ＝90°，∴∠BEC ＝90°，即BE ⊥AC ． ………………………2分 ②解法一：如图1－1，∵∠AHB ＝∠AEB ＝90°，∴A ，B ，H ，E 四点均在以AB 为直径的圆上， ………………………3分 ∴∠BEH ＝∠BAH ＝45°． ………………………4分解法二：如图1－2，过点H 作HF ⊥HE 交BE 于F 点，∴∠FHE ＝90°即∠4＋∠5＝90°．又∵∠3＋∠5＝∠AHB ＝90°， ∴∠3＝∠4． 在△AHE 和△BHF 中， 图1－1⎪⎩⎪⎨⎧∠=∠=∠=∠，，，3421BH AH ∴△AHE ≌△BHF ， ………………………3分 ∴EH ＝FH ．∵∠FHE ＝90°，∴△FHE 是等腰直角三角形，∴∠BEH ＝45°． ………………………4分29．解：（1）令x x =+-12，解得31=x ，∴函数12+-=x y 的图象上有一个和谐点(31，31)； ………………………2分 令x x ＝12+，即012＝+-x x ， ∵根的判别式Δ＝114)1(2⨯⨯--＝－3<0，∴方程012＝+-x x 无实数根， ∴函数12+=x y 的图象上不存在和谐点． 3分 （2）令x c x ax ＝++42，即032＝c x ax ++，由题意，Δ＝ac 432-＝0，即94=ac ，又方程的根为2323=-a ， 解得1-=a ，49-=c ． ………………………4分 ∴函数4342-++=c x ax y ，即342-+-=x x y ， 如图，该函数图象顶点为(2，1)，与y 轴交点为(0，－3)， 由对称性，该函数图象也经过点(4，－3)． ………………………5分由于函数图象在对称轴2=x 左侧y 随x 的增大而增大，在对称轴右侧y 随x 的增大而减小，且当m x ≤≤0时，函数342-+-=x x y 的最小值为－3，最大值为1， ∴42≤≤m ． ………………………6分图1－2图2（3）045<<n －，或10<<n ． ………………………8分说明：各解答题的其他正确解法请参照以上标准按分步给分的原则酌情评分．。