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北京市中考数学一模考试试卷

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2024年北京市九年级中考一模数学汇编：圆(含解析)

2024年北京市九年级中考一模数学汇编：圆(含解析)

2024北京初三一模数学汇编圆章节综合一、单选题1．（2024北京东城初三一模）如图，是的弦，是的直径，于点E ．在下列结论中，不一定成立的是（ ）A ．B ．C ．D ．2．（2024北京东城初三一模）如图，作线段，在线段的延长线上作点，使得，取线段的中点，以为圆心，线段的长为半径作，分别过点作直径的垂线，交于点，连接，过点作于点．设，给出下面4个结论：①；；；④；上述结论中，正确结论的个数是（）A ．4个B ．3个C ．2个D ．1个二、填空题3．（2024北京门头沟初三一模）如图所示，为了验证某个机械零件的截面是个半圆，某同学用三角板放在了如下位置，通过实际操作可以得出结论，该机械零件的截面是半圆，其中蕴含的数学道理是 ．4．（2024北京大兴初三一模）如图，是的直径，点，在上，若，则的度数为 ．AB O CD O CD AB ⊥AE BE =90CBD ∠=︒2COB D ∠=∠COB C∠=∠AC a =AC B ()CB b a b =<AB O O OA O C O 、AB O D F 、OD AF CF 、、C CE OD ⊥E CF c =2a b c +<c <)a b <+2ab ac bc <+AB O C D O AC BC =D ∠︒5．（2024北京通州初三一模）我国魏晋时期数学家刘徽在《九章算术注》中提出了著名的“割圆术”．所谓“割圆术”，是用圆内接正多边形的面积去无限逼近圆面积，并以此求取圆周率的方法，刘徽指出“割之弥细，所失弥少．割之又割，以至于不可割，则与圆周合体，而无所失矣”．例如，的半径为1，运用“割圆术”，以圆内接正六边形面积估计的面积，的面积近似为的面积，可得的估计值为 ．6．（2024北京平谷初三一模）如图，内接于，为的直径， D 为上一点，连接．若，则的度数为 ．7．（2024北京西城初三一模）如图， 在的内接四边形中， 点A 是的中点，连接， 若，则 ．8．（2024北京石景山初三一模）如图，是的直径，是延长线上一点， 与相切于点．若，则 ．πO O 1612S =⨯⨯正六边形O πO πABC O BC O O AD CD 、20D ∠=︒ACB ∠O ABCD BDAC 130DAB ∠=︒ACB =∠︒AB O P AB PC O C 40P ∠=︒A ∠=︒9．（2024北京顺义初三一模）如图，是的外接圆，，，平分，交于点D ，则的度数为 ．10．（2024北京朝阳初三一模）如图，是的外接圆，于点，交于点，若，，则的长为 ．11．（2024北京燕山初三一模）如图，是的直径，点在上，过点作的切线与直线交于点．若，则 °．三、解答题12．（2024北京朝阳初三一模）如图，在矩形中，，，点A 在直线l 上，与直线l 相交所得的锐角为．点F 在直线l 上，，⊥直线l ，垂足为点F 且，以为直径，在的左侧作半圆O ，点M 是半圆O 上任一点．发现：的最小值为 ，的最大值为 ，与直线l 的位置关系是 ．思考：矩形保持不动，半圆O 沿直线l 向左平移，当点E 落在边上时，重叠部分面积为多少？O ABC AB AC =36BAC ∠=︒BD ABC ∠O DAB ∠O Rt ABC △OE AB ⊥D O E 8AB =2DE =BC AB O C O B O AC D 50D ∠=︒BOC ∠=ABCD 6AB =8BC =AD 60︒8AF =EF 6EF =EF EF AM AM OB ABCD AD13．（2024北京通州初三一模）如图，为的直径，过点A 作的切线，C 是半圆上一点（不与点A 、B 重合），连结，过点C 作于点E ，连接并延长交于点F ．(1)求证：；(2)若的半径为5，，求的长．14．（2024北京东城初三一模）在平面直角坐标系中，的半径为1．对于线段给出如下定义：若线段与有两个交点，，且，则称线段是的“倍弦线”．(1)如图，点的横、纵坐标都是整数，在线段，，中，的“倍弦线”是_____；(2)的“倍弦线”与直线交于点，求点纵坐标的取值范围；(3)若的“倍弦线”过点，直线与线段有公共点，直接写出的取值范围．AB O O AM AB AC CD AB ⊥BD AM ∠=∠CAB AFB O 8AC =DF xOy O PQ PQ O M N ==PM MN NQ PQ O A B C D ，，，AB CB CD O O PQ 2x =E E E y O PQ (1,0)y x b =+PQ b15．（2024北京西城初三一模）在平面直角坐标系 中，已知的半径为．对于上的点 和平面内的直线 给出如下定义：点关于直线的对称点记为，若射线 上的点满足 则称点为点关于直线的“衍生点”．(1)当时，已知上两点 在点， 中，点关于直线的“衍生点”是 ，点关于直线的“衍生点”是 ；(2)为 上任意一点， 直线 与轴， 轴的交点分别为点 ，． 若线段上存在点，，使得点是点关于直线的“衍生点”，点不是点关于直线的“衍生点”，直接写出的取值范围；(3)当时，若过原点的直线上存在线段 ，对于线段 上任意一点，都存在上的点和直线，使得点是点关于直线的“衍生点”． 将线段长度的最大值记为，对于所有的直线，直接写出的最小值．16．（2024北京房山初三一模）在平面直角坐标系中，将中心为的等边三角形记作等边三角形，对于等边三角形和点（不与重合）给出如下定义：若等边三角形的边上存在点N ，使得直线与以为半径的⊙相切于点，则称点为等边三角形的“相关切点”．xOy O 1O P :l y ax =P l P 'OP Q OQ PP ='，Q P l 0a =O121.2P P ⎛⎛ ⎝⎝，()112Q，232Q ⎫⎪⎪⎭，()(341,1Q Q --，1P l 2P l P O y x m =+()0m ≠x y A B AB S T S P l T P l m 11a -≤≤s MN MN R O P l R P l MN ()D s s ()D s xOy M M M P O M OP MN M P P M(1)如图，等边三角形的顶点分别为点，，．①在点，，中，等边三角形的“相关切点”是 ；②若直线上存在等边三角形的“相关切点”，求的取值范围；(2)已知点，等边三角形的边长为的两个“相关切点”，，使得△为等边三角形，直接写出的取值范围．17．（2024北京顺义初三一模）在平面直角坐标系中，对于图形M 和图形N 给出如下定义：如果图形M 上存在点P 、轴上存在点T ，使得点P 以点T 为旋转中心，逆时针旋转得到的点Q 在图形N 上，那么称图形N 是形M 的“关联图形”．(1)如图，点，，，．①在点B ，C ，D 中，点A 的“关联图形”是_____；②若不是点A 的“关联图形”，求的半径的取值范围；(2)已知点，，，的半径为1，以线段为对角线的正方形为，若是正方形的“关联图形”，直接写出的最小值和最大值．18．（2024北京门头沟初三一模）在平面直角坐标系中，的半径为2，点P 、Q 是平面内的点，如果点P 关于点Q 的中心对称点在上，我们称圆上的点为点P 关于点Q 的“等距点”．M ()0,0O (A (3,B 132P ⎛ ⎝23,2P ⎛ ⎝()32,2P M y x b =+M b (2)M m m -，M M E F OEF m xOy y 90︒()3,2A -()0,1B -()3,2C ()1,6D -O O r (),0O m '()3,0E m -()2,1G m -O ' EG EFGH O ' EFGH m xOy O O(1)已知如图1点．①如图1，在点 中，上存在点P 关于点Q 的“等距点”的是________；②如图2，点 ，上存在点P 关于点Q 的“等距点”，则m 的取值范围是________；(2)如图3，已知点，点P 在的图象上，若上存在点P 关于点Q 的“等距点”，求b 的取值范围．40（，）P ()()()12330,2,1,1,1Q Q Q -，O (),Q m n O ()1,1Q y x b =-+O参考答案1．D【分析】此题考查了圆周角定理、垂径定理，熟练掌握圆周角定理、垂径定理是解题的关键．根据垂径定理、圆周角定理判断求解即可．【详解】解：是的直径，，，，，，故A 、B 、C 不符合题意，D 符合题意；故选：D ．2．C【分析】本题考查了圆的基本性质以及勾股定理内容以及完全平方公式的应用，先找出半径，结合斜边大于直角边，得知①是正确的，结合勾股定理以及完全平方公式的变形运算，得证③是错误的；同理得证②是正确的．对④运用反证法，得出，与①的结论相矛盾，即可作答．【详解】解：∵∴∵∴（斜边）大于即故①是正确的；∴在中，即∴∵故③是错误的；∵∴∴CD OCD AB ⊥AE BE ∴=90CBD ∠=︒2COB D ∠=∠CBO C ∠=∠2a b c +<2a b c +>2a b c +<()A b C a CB b a ==>，()1122OF AB a b ==+OF AB⊥CF OF2a bc +>()111222OC AO AC a b a b a =-=+-=-Rt COF △222OC OF FC +=22211222a b b a c +⎛⎫⎛⎫-+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭2222a b c +==2a b c +<)a b =+b a>()2b a ->222b a ab +>，故②是正确的；假设是正确的则∴∵，且∴∴即与①的结论相矛盾故④是错误的综上：正确结论的个数是个故选：C3．的圆周角所对的弦是直径【分析】本题考查圆周角定理，掌握“的圆周角所对的弦是直径”是正确解答的关键．根据圆周角定理进行判断即可．【详解】解：根据“的圆周角所对的弦是直径”即可得出答案，故答案为：的圆周角所对的弦是直径．4．45【分析】本题主要考查了圆周角定理，先由直径所对的圆周角为，可得，然后由得：，然后根据同弧所对的圆周角相等，即可求出的度数．【详解】解：∵是的直径，∴，∵，∴，∴．故答案为：455．3【分析】过作于，求得的度数，根据直角三角形的性质得到，求出三角形的面积，于是得到正十二边形的面积，根据圆的面积公式即可得到结论．本题考查了正多边形与圆，三角形的面积的计算，正确地作出辅助线是解题的关键．【详解】如图，是正十二边形的一条边，点是正十二边形的中心，设的半径为1，过作于，>=>c 2ab ac bc <+0ac ab bc ab<-+-()()0a c b b c a <-+-00c b c a -<->，a b<0c b c a ->->b c c a->-2a b c +>2a b c +<290︒90︒90︒90︒90︒90ACB ∠=︒AC BC =45CAB CBA ∠=∠=︒D ∠AB O 90ACB ∠=︒AC BC =45CAB CBA ∠=∠=︒45D CAB ∠=∠=︒A AM OB ⊥M AOB ∠AM AB O O A AM OB ⊥M在正十二边形中，，∴正十二边形的面积为,，,的近似值为3，故答案为：3．6．/70度【分析】本题考查了直径所对的圆周角为直角，同弧所对的圆周角相等，三角形内角和定理等知识．熟练掌握直径所对的圆周角为直角，同弧所对的圆周角相等是解题的关键．由为的直径，可得，由，可得，根据，计算求解即可．【详解】解：∵为的直径，∴，∵，∴，∴，故答案为：．7．25【分析】本题考查了圆的内接四边形性质，圆周角定理等知识，利用圆的内接四边形的性质求出的性质，然后利用圆周角定理求解即可．【详解】解：∵的内接四边形中，，∴，∵点A 是的中点，3601230AOB ∠=︒÷=︒1122AM OA ∴==111112224AOB S OB AM ∴=⋅=⨯⨯= 11234⨯=231π∴=⨯3π∴=π∴70︒BC O 90BAC ∠=︒ AC AC =20ABC D ∠=∠=︒180ACB BAC ABC ∠=︒-∠-∠BC O 90BAC ∠=︒ AC AC =20ABC D ∠=∠=︒18070ACB BAC ABC ∠=︒-∠-∠=︒70︒BCD ∠O ABCD 130DAB ∠=︒18500DA BCD B ∠︒∠==︒- BD∴，∴，故答案为：25．8．【分析】本题考查的是等腰三角形的性质，三角形的外角的性质，切线的性质，如图，连接，求解，再根据圆周角定理即可得答案．【详解】解：如图，连接，∵ 与相切于点．，∴，，∴，故答案为：9．/72度【分析】本题考查了等腰三角形的性质，圆周角定理及三角形内角和定理，熟练掌握等腰三角形的性质及圆周角定理是解题的关键．根据等边对等角和三角形内角和定理可求得，再由角平分线及圆周角定理确定，即可求解．【详解】解：∵，，∴，∵平分，∴，∴，∴，故答案为：．10．【分析】本题考查了垂径定理，勾股定理和中位线定理，由垂径定理得，，则可得是的中位线，设半径为，由勾股定理得，求出即可求解，熟练掌握知识点的应用是解题的关键．【详解】解：∵，AD AB =1252ACD ACB BCD ∠=∠=∠=︒25OC 904050COP ∠=︒-︒=︒OC PC O C 40P ∠=︒90OCP ∠=︒904050COP ∠=︒-︒=︒1252A COP ∠=∠=︒2572︒72ABC C ∠=∠=︒36CBD CAD ∠=∠=︒AB AC =36BAC ∠=︒180180367222BAC ABC C ︒-∠︒-︒∠=∠===︒BD ABC ∠36CBD ∠=︒36CBD CAD ∠=∠=︒72DAB DAC CAB ∠=∠+∠=︒72︒6142AD BD AB ===90ADO BDO ∠=∠=︒OD ABC r 222OA OD AD =+=5r OE AB ⊥∴，，∵，∴是的中位线，∴，即，设半径为，则，在中，由勾股定理得：，∴，解得，∴，∴．11．【分析】本题考查了切线的性质，圆周角定理，直角三角形的性质，熟练掌握圆周角定理是解题的关键．先根据圆的切线垂直于经过切点的半径得到，根据直角三角形两个锐角互余计算出，然后根据圆周角定理即可求解．【详解】解：∵是的直径，为的切线，∴，∴，∵，∴，∴．故答案为：．12；；平行（或）；思考：【分析】发现：如图1，连接，作于，由题意知，，，当三点共线时，最小，为；当重合时，最大，由勾股定理求解即可；由题意知，则，进而求解作答即可； 思考：如图2，连接，作于，则，，由，可得，，根据，计算求解即可．【详解】发现：解：如图1，连接，作于，142AD BD AB ===90ADO BDO ∠=∠=︒OA OC =OD ABC 12OD BC =2BC OD =r 2OD OE DE r =-=-Rt AOD 222OA OD AD =+()22224r r =-+=5r 23OD r =-=26BC OD ==8090ABD Ð=°40A ∠=︒AB O BD O AB BD ⊥90ABD Ð=°50D ∠=︒40A ∠=︒280BOC A ∠=∠=︒80310 3πAO AE 、BP AF ⊥P 3OM =60DAF ∠=︒A M O 、、AM AO OM -M E 、AM 30BAP ∠=︒132BP AB OF ===OG OH AD ⊥H 30AEF ∠=︒1322OH OE ==OE OG =120EOG ∠=︒2GE EH =EOG EOG S S S =- 重叠扇形AO AE 、BP AF ⊥P由题意知，，，当三点共线时，最小，由勾股定理得，∴；当重合时，最大，由勾股定理得，，∴的最大值为；∵矩形，∴，∴，∴，又∵，∴，故答案为：平行（或）；；；平行（或）；思考：解：如图2，连接，作于，∵，∴，∴，∵，∴，∴3OM =60DAF ∠=︒A M O 、、AM AO ==AM 3-M E 、AM 10AE ==AM 10ABCD 90BAD ∠=︒30BAP ∠=︒132BP AB OF ===BP OF ∥OB l ∥ 310 OG OH AD ⊥H 60DAF EF AF ∠=︒⊥，30AEF ∠=︒1322OH OE ==OE OG =120EOG ∠=︒2GE EH ===EOG EOG S S S =- 重叠扇形212031336022π⋅=-⨯3π=∴重叠部分面积为【点睛】本题考查了勾股定理，含的直角三角形，平行线的判定，等腰三角形的判定与性质，扇形面积等知识．熟练掌握勾股定理，含的直角三角形，平行线的判定，等腰三角形的判定与性质，扇形面积是解题的关键．13．(1)证明见解析(2)【分析】本题考查切线的判定和性质，垂径定理，圆周角定理以及勾股定理，掌握切线的性质和判断方法，垂径定理，圆周角定理以及勾股定理是正确解答的关键．（1）根据切线的性质，平行线的判定和性质以及圆周角定理即可得出结论；（2）根据相似三角形的判定和性质以及垂径定理进行计算即可．【详解】（1）证明：是的切线，，于点，，，，，．（2）解：连结，于点，是的直径，，是的垂直平分线，，的半径为5，，，是的直径，，3π30︒30︒323DF =AM O 90BAM ∴∠=o CD AB ⊥ E 90CEA ∴∠= CD AF ∴∥∴∠=∠CDB AFB CDB CAB ∠=∠ ∴∠=∠CAB AFB AD CD AB ⊥ E AB O CE DE ∴=AB ∴CD 8AC AD ∴==O 10AB ∴=6BD =∴AB O 90BDA =∴∠，，，，．14．(1)、；(2)；(3)．【分析】本题是新定义阅读题，考查了理解能力，与圆的位置关系，勾股定理等知识，解决问题的关键是几何直观能力，数形结合．（1）根据定义验证可得结果；（2）根据最大值为6，所以以为圆心，3为半径画圆，根据勾股定理求得，进而求得结果；（3）以为圆心，1为半径作圆，直线与圆相切，此时，以为圆心，2为半径作圆，直线与圆相切，求得，进而求得结果．【详解】（1）解：如图1，，，，是的“倍弦线”，与不相交，，和不是的“倍弦线”，故答案为：、；（2）如图2，BAD AFB ∴∠=∠tan tan ∴∠=∠BAD AFB ∴=AD BD DF AD2AD DF BD ∴=⋅323∴=DF AB CD ≤≤E y 21b -≤≤+PQ O EF (2,0)y x b =+2b =-(1,0)-y x b =+I b 2AF FH BH === CG GF DF ===AB ∴CD O BC O 23AI AE DI BH ==BC ∴AD O AB CD以为圆心，3 为半径画圆交直线于和，，；（3）如图3，以为圆心，2为半径画圆，直线与相切，此时，以为圆心，1为半径作，直线与线切，此时15．(1)(2)(3)【分析】（1）先得出直线为，根据轴对称得出进而可得，勾股定理求得点与原点的距离，进而根据新定义即可求解；（2）依题意，当线段上存在一个点到原点的距离为时，则符合题意，进而分画出图形，即可求解；（3）根据题意，画出图形，就点的位置，分类讨论，根据新定义即可求解．【详解】（1）解：∵当时，直线为，即轴，∵∴∴∵， O 2x =E E'EFE y (1,0)O '-O '1y x b =+ 11b =(2,0)O ''O '' 2y x b =+O '' 22b =-21b ∴-≤≤+23Q Q ，2m ≤≤2m -≤≤-2l 0y =121,.2P P ''⎛⎛ ⎝⎝，11PP '=22P P '=1234,,,Q Q Q Q 02PP '≤≤AB 20,0m m ><P 0a =l 0y =x 121.2P P ⎛⎛ ⎝⎝，121,.2P P ''⎛⎛ ⎝⎝，11PP '=22P P '=()112Q ，232Q ⎫⎪⎪⎭，()(341,1Q Q --，∴，，∴点关于直线的“衍生点”是，点关于直线的“衍生点”是，故答案为：．（2）解：依题意，，由（2）可得当点是点关于直线的“衍生点”则，∵为 上任意一点， 直线 与轴， 轴的交点分别为点 ，．∴，∴当线段上存在一个点到原点的距离为时，当时，如图所示，当时，即与点重合时，存在点是点关于直线的“衍生点”，则则（除端点外）上所有的点到的距离都，∵对称轴为直线，不能为轴，则和不是点关于直线的“衍生点”，则符合题意，∵线段上存在点，，使得点是点关于直线的“衍生点”，点不是点关于直线的“衍生点”，∴，当，此时最短，则当时，，此时只有1个点到的距离为，其他的点都不是点关于直线的“衍生点”，∴根据对称性，当时，可得；综上所述，（3）∵时∴随着的变化，点关于直线的对称点始终在圆上，如图所示，依题意，直线是经过圆心，且经过的直线，经过圆心，1OQ =2OQ ==3OQ ==42OQ ==1P l 2Q 2P l 3Q 23Q Q ，02PP '≤≤S P l 2OS ≤P O y x m =+()0m ≠x y A B OA OB m ==AB 20m >2OS =S B S P l 2m =AB O 2<y ax =y ()0,2()2,0-P l 2m =AB S T S P l T P l m 2≥OS y x m '⊥=+OS '2OS '=m =O 2P l 2m ≤≤0m <2m -≤≤-2m ≤≤2m -≤≤-11a -≤≤a P l P 'l AB s①当点在（包括边界）上时，当重合时，当为直径时，则，根据新定义可得，∴，②当点在的内部的圆弧上时（不包括边界），当为直径时，则，则对于线段 上任意一点，都存在上的点和直线，使得点是点关于直线的“衍生点”．当在轴上时，两条边界线的正中间，则P AB ,P P 'PP '2OQ PP '==02PP '≤≤()2D s =P AD PP '2OQ PP '==MN R O P l R P l P y PP '即综上所述，【点睛】本题考查了一次函数，圆的定义，轴对称的性质，勾股定理求线段长，理解新定义，熟练掌握几何变换是解题的关键．16．(1)①，；②；(2)或．【分析】（）根据新定义即可求解；找到关键点先求出此时的值，然后即可求解；（）由可知，点在直线上，再根据新定义分四种情况画出图即可；本题考查了圆的切线，勾股定理和等边三角形的性质，熟练掌握知识点的应用是解题的关键．【详解】（1）如图，根据题意，直线与以为半径的相切，由图可知，等边三角形的“相关切点”是，故答案为：；根据题意，满足题意的点是以，半径为的弧上，如图，2PP OQ '≤=≤()2D s =()2D s =1P 2P 312b -≤21m ≤≤10m ≤1①②b 2().2M m m -2y x =-①OP MN M M 12P P 、12P P 、②P ()1,01若直线上存在等边三角形的“相关切点”，如图，由，是等腰直角三角形，，∴，∴，即，∵，∴，∴此时，∴的取值范围为；（2）如图，此时中，，，y x b =+M HIK OSK 1HI=KI =1OK OS ==b =3,2P ⎛ ⎝PL =32KL =OG =b =b b 312b -≤≤OEM △30EOM ∠=︒90OEM ∠=︒(),2M m m -此时，，解得：，如图，此时中，，，此时，，解得：（正值舍去），如图，4OM =()22224m m +-=1m =+OEM △30EOM∠=︒90OEM ∠=︒(),2M m m -4OM =()22224m m +-=1m =此时，，解得：或（舍去），如图，此时，，解得：（舍去）或，综上可知：．17．(1)①②；(2)．【分析】（1）①根据“关联图形”的定义判断即可；②根据关联图形的定义，判断出点旋转后的轨迹， 从而得到的半径范围（2）根据关联图形的定义，求出点旋转后的轨迹，当与该轨迹有唯一交点时，取最小值；根据关联图形的定义，求出点旋转后的轨迹，当与该轨迹有唯一交点时，取最大值；2OM =()22222m m +-=2m =0m =2OM =()22222m m +-=2m =0m =21m ≤≤10m ≤B0r <<m m A O G O ' m E O ' m【详解】（1）①点绕逆时针旋转得到点，故答案为：；②设点，那么点绕点逆时针旋转得到点,作轴交轴于点，作轴交轴于点，如图所示由旋转可知，，，，坐标为在上运动设与轴的交点为，与轴交点为当，，当时，，，以点为圆心，作圆，当与有为唯一交点时，半径为斜边上的高当不是点的关联图形时，故答案为：．（2）设点绕点逆时针旋转对应点为点，过点作轴交轴于点，连接A (0,2)90B B (0,)T a A T 90 A 'AJ y ⊥y J A K y '⊥y K AT A T '=90ATA ∠='︒90AJT ∠=︒90TAJ ATJ ∴∠+∠=︒90ATJ A TK =︒'+ TAJ A TK'∴∠=ATJ A KT'∴ ≌(3,2)A - 2TJ a KA '∴=-=3AJ TK==3OK TO TK a ∴=-=-∴A '(2,3)a a --A '∴1y x =-1y x =-x M y N0x =1y =-0y =1x =(1,0)M ∴(0,1)N-MN ∴==O O 1y x =-OMNOM ON r MN ⋅∴===∴OA 0r <0r <<(3,0)E m -(0,)T a 90︒E 'E 'E S y '⊥y S，，如图所示由旋转可知，，，，点坐标为所以在上运动，与轴的夹角为设在轴的交点为，那么点坐标为当与有唯一交点时，最大与相切为等腰直角三角形且故；TE TE 'AE =TE T E '=90ETE ∠='︒90ETO E TO '∴∠+∠=︒90ETO TEO ∠+∠=︒0E T TEO'∴∠=∠90EOT E ST '∠=∠=︒ETO TE S'∴ ≌3EO TS m ∴==-TO E S a'==(3)3TS TO SO a m a m∴=-=--=+-E '∴(,3)a a m +-E '3y x m =+-1k = 3y x m ∴=+-x 45︒3y x m =+-x Q Q (3,0)m -3y x m =+-O ' R m 3y x m =+- O ' 90O RQ ∴='∠︒O RQ '∴ 1O R '=(3)23O Q m m m '∴=--=-=m ∴=m设点绕点逆时针旋转对应点为点，过点作轴交轴于点，过点作轴交连接，，如图所示同理可证，，的坐标是在上运动设与轴的交点为，当与该直线有唯一交点时，取最小值．同理可证为等腰直角三角形，且故【点睛】本题考查了线段的旋转，三角形全等的判定与性质，圆与直线的关系判断，圆的切线的性质与计算，一次函数， “关联图形”等知识点，熟练掌握以上知识点并根据画出正确的图形是解题的关键．18．(1)①；②(2)【分析】（1）①求出点P关于的对称点，利用点到圆心的距离与半径比较，即可判断“等距点”；②在上任取一点点P 关于点Q 的“等距点”M ，连接，取的中点即为点Q ，连接，取其中点，连接，根据中位线定理则判断出点Q 的在以为圆心，半径为1的上，即可求解；（2）过点O 作点Q 的对称点，则点为，则上所有的点关于点Q 的对称点都在以为圆心，半径为2的上，那么直线与有公共点即可，找到两个临界状态，即相切位置，分别求b 即可．(2,1)G m -(0,)T a 90 G 'G 'G P y '⊥y P G GQ y ⊥TG TG 'GTQ G TP ' ≌1TQ PG a '∴==-2GQ TP m==-(2)2PO TO TP a m a m ∴=-=--=+-G '∴(1,2)a a m -+-G '∴1y x m =+-1y x m =+-x (1,0)L m -O ' K m O KL ' O L K ''==112O L m m m '∴=--=-=m ∴=m 12,Q Q 13m ≤≤44b -≤≤+()()()12330,2,1,1,1Q Q Q -，O MP MP OP O 'QO '()2,0O 'O ' O 'O '()2,2O O '()2,2O ' y x b =-+O '【详解】（1）解：①如图，点P 关于的对称点分别为，则，，∴在上，∴点P 关于点Q 的“等距点”的是故答案为：；②在上任取一点点P 关于点Q 的“等距点”M ，连接，取的中点即为点Q ，连接，取其中点，连接，∴，∴点Q 的在以为圆心，半径为1的上，()()()12330,2,1,1,1Q Q Q -，()()()2,0,0,2,2,2--12d R ==22d R ==3d R==>()()2,0,0,2-O 12,Q Q 12,Q Q O MP MP OP O 'QO '112QO OM '==()2,0O 'O '∵与轴交于点，∴，故答案为：．（2）解：过点O 作点Q 的对称点，则点为，∴上所有的点关于点Q 的对称点都在以为圆心，半径为2的上，∵点P 在的图象上，∴当直线与相交即可，当直线与第一次相切时，设切点为点E ，直线与y 轴交点G ，当直线与第二次相切时，设切点为点F ，∵，∴∴，∵点，∴其点Q 与点O 的水平距离与铅锤距离均是1，∴，由相切得：，∴为等腰直角三角形，∴，同理可求当直线与第二次相切时，综上：【点睛】本题考查了新定义，中心对称，圆的定义，中位线定理，点与圆的位置关系，直线与圆的位置关系，勾股定理，熟练掌握知识点是解题的关键．O ' x ()()1,0,3,0-13m ≤≤13m ≤≤O 'O '()2,2O O '()2,2O ' y x b =-+y x b =-+O ' y x b =-+O ' y x b =-+O ' ()2,2O 'OO ¢=2OE OO O E ''=-=()1,1Q 45EOG ∠=︒GE OO '⊥ OGE 4OG b ==-=y x b =-+O ' 4b =+44b -≤≤+。

2024北京顺义区初三一模数学试题及答案

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顺义区2024年初中学业水平考试综合练习（一）数学答案及评分参考二、填空题（本题共16分，每小题2分）9．3x ≠ ； 10．4(1)(1)m m +− ； 11．2x =； 12．6（答案不唯一）；13．OB =OD （答案不唯一）；14．72︒； 15． 60 ； 16．1，2n．三、解答题（共68分，第17-19题，每题5分，第20题6分，第21-22题，每题5分，第23-24题，每题6分，第25题5分，第26题6分，第27-28题每题7分）17．解：1024sin 458(1)π−−++− 1412=− ………………………………………………………4分 32= ………………………………………………………………………………5分 18．解：解不等式①得2x > …………………………………………………………………2分 解不等式②得1x > ………………………………………………………………… 4分 不等式组的解集是 2.x > ………………………………………………………… 5分19．解：()()2411x x ++− =24421x x x =−+−+ ……………………………………………………2分 =225x x ++ ……………………………………………………………3分∵221,x x +=∴ 原式=225x x ++=1+5=6． …………………………………………………5分20．（1）证明：∵四边形ABCD 是菱形，∴AD =BC ，AD ∥EC.∵BE =BC ，∴BE =AD .又BE ∥AD ，∴四边形AEBD 是平行四边形. ……………………………………………………3分（2）解：∵四边形ABCD 为菱形，∴∠BOC =90︒，12OA AC =． ∵四边形AEBD 为平行四边形， ∴AE ∥BD ． ∴∠EAC =∠BOC =90︒． 在Rt △AEC 中, ∵AC =2，tan ∠AEB =12. ∴AO ＝1，AE ＝4.在Rt △AEO 中,由勾股定理，∵22217OE AO AE =+=，∴OE ………………………………………………………………………6分AB C D OE21．解：（1）n =90； ……………………………………………………………………2分（2）丙； ………………………………………………… …………………………3分 （3）推荐乙组；推荐理由：乙组平均分和丙组一样高，大于甲组平均分；由于乙、丙两组平均分都是90，而且有三个数据一样，所以乙组的两个85以上的数据是87，88或86，89，可以判断乙组的方差小于丙组的方差. …………………………………5分22．（1）解：由题意可得，45,1.k b b +=⎧⎨=−⎩，解得3,21.k b ⎧=⎪⎨⎪=−⎩ ∴该函数的解析式为312y x =−. …………………………………………………….2分 ∵点C 的横坐标为2，点C 在函数312y x =−的图象上， 当x =2时，解得y =2.∴点C 的坐标为（2，2）. ……………………………………………………………3分 （2）n 的取值范围是12n ≤≤． ……………………………………………………5分23．设秤砣 x g ，秤盘重y g ．由题意可得， 2.5(40)11,2.5(60)16.y x y x +=⎧⎨+=⎩，…………………………………………………3分 解得10,4.x y =⎧⎨=⎩…………………………………………………………………………….4分 所以这把杆秤的秤星E 对应的最大刻度是261041002.5⨯−=．所以这把杆秤的秤星E 对应的最大刻度是100克．……………………………………6分24．（1）证明：连接OC ，OD ．∵弧AC = 弧AD ，∴∠AOC=∠AOD .又∵OC =OD ，∴AB ⊥CD .∵BF 是⊙O 的切线，∴AB ⊥BF ，∴CD ∥BF . ……………………………………..3分（2）∵E 为AO 中点，OA =4，∴OE =AE =2．在Rt △EOD 中,OD =4，∴DE=．∵CD ∥BF ，F B D E OG C A∴△AED ∽△ABF ， ∴AE ED AB BF=，BF= 在△GEO 和△FBO 中,∠GOE =∠FOB ,∠GEO =∠FBO ,∴△GEO ∽△FBO ∴OE EG OB BF=，EG=∴CG =EG -CE =EG -DE=…………………………………………………..……6分25.（1）……………………………………………………2分（2）6.8 (6.4～7.2)； …………………………………………………………………………3分（3）乙类，6.6 (6.2～7.0) ． ………………………………………………………………. 5分26．解：（1）∵抛物线2(y ax bx c a =++＞经过（0，c ）和（2，c ），∴抛物线对称轴为x =1．…………………………………………………..…………….2分（2）2x t t x t =∵抛物线的对称轴为，＜＜+2，2'x N N ∴点在对称轴右侧，设点关于对称轴对称点的横坐标为2'2,t x t −∴＜＜ 12y y ∵＞，11t x t −−＜＜2 ∴①当点M 在对称轴左侧时， 2t t t −−≤2≥2 ②当点M 对称轴右侧时，11t t t −+≥2≤-21.t t ≥2或≤综述，-所2上…………………………………………………..…………….6分 27. （1）解：∵正方形ABCD ，∴AB =BC ,∠DCB=∠ABC=90°. …………………………………………………1分∴∠ABF=∠BCE=90°.x=h t 1x=h∵CE =BF ，∴△ABF ≌△BCE . ……………………………………………………………..…2分∴∠F=∠E .∵∠GBF=∠CBE ，∴∠FGB=∠ECB=90°.∴∠AGE=90°.……………………………………………………………………..3分（2） ①… ……………………………………………….…4分②BG CH 2=.证明：过点B 作GE BK ⊥交AH 于点K ，过点K 作AF KL ⊥与点L∴∠KBH=∠KLA=90°.∵∠ABC=90°，∴∠ABK+∠KBC=∠KBC +∠CBH .∴∠ABK=∠CBH .∵GH =AG ，∠AGE=90°，∴∠KAL=∠BHK=45°.∴∠AKL=∠BKH=45°.∴BH=BK ，KL=AL .∵AB=BC ，∴△BCH ≌△ABK .∴CH=AK . ……………………………………………………………6分∵∠GLK=∠GBK=∠AGE=90°，∴ 四边形GBKL 为矩形.∴GB=KL .∵△ALK 是等腰直角三角形,∴KL AK 2=.∴BG CH 2=.…………………………………………………………………………7分28.（1）①B ，C. ………………………………………………………………………………2分②设直线BC 的表达式是y =kx +b (k ≠0)，则{b =−1−3k +b =2，解得{k =1b =−1 ∴直线BC 的表达式是y =x -1. …………………………………………………………..3分∴直线BC 与x 轴的交点坐标为B ’（1，0）∴BB ’=√2.作OP ’⊥BB ’于点P ’，∴OP .………………………………………………………………………………4分由①问的探索可知，点A 以y 轴上点T 为旋转中心，逆时针旋转90°，得到的点Q 落在直线BC 上，证明略.若⨀O 不是点A 的“关联图形”，∴0<r .…………………………………………………………………………….…5分（2）m的最小值为…………………………………………7分。

2024北京首都师大附中初三一模数学试卷和答案

2024北京首都师大附中初三一模数学试卷和答案

2024北京首都师大附中初三一模数 学一、选择题：本题共8小题，每小题2分，共16分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的．1. 今年“五一”假期，我市某主题公园共接待游客77800人次，将77800用科学记数法表示为（ ）A. 50.77810⨯B. 47.7810⨯C. 377.810⨯D. 277810⨯2. 下列计算正确的是（ ）．A. 235x x x +＝B. 236•x x x ＝C. 32x x x ÷＝D. 23626()x x ＝3. ）A. 1B. 2C. 3D. 44. 不透明的袋子中装有红、绿小球各一个，除颜色外两个小球无其他差别，从中随机摸出一个小球，放回并摇匀，再从中随机摸出一个小球，那么第一次摸到红球、第二次摸到绿球的概率是（ ）A. 14 B. 13 C. 12 D. 345. 实数a ，b ，c ，d 在数轴上的对应点的位置如图所示．若b +d ＝0，则下列结论正确的是（ ）A. b +c >0B. a c >1C. ad >bcD. |a |>|b |6. 如图是30名学生A ，B 两门课程成绩的统计图，若记这30名学生A 课程成绩的方差为21S ，B 课程成绩的方差为22S ，则21S ，22S 的大小关系为（ ）A. 2212s s <B. 2212s s =C. 2212S s >D. 不确定7. 如图①，底面积为230cm 的空圆柱容器内水平放置着由两个实心圆柱组成的“几何体”，现向容器内匀速注水，注满为止，在注水过程中，水面高度()cm h 与注水时间()s t 之间的关系如图②．若“几何体”的下方圆柱的底面积为215cm ，求“几何体”上方圆柱体的底面积为（ ）2cmA. 24B. 12C. 18D. 21二、填空题：本题共8小题，每小题2分，共16分．8. 某潜艇从海平面以下27米上升到海平面以下18米，此潜艇上升了_____米．9. 如图所示的围棋盘放在某个平面直角坐标系内，白棋②的坐标为(－7，－4)，白棋④的坐标为(－6，－8)，那么黑棋①的坐标应该是________．10. 已知一元二次方程256x x x +=+的两根为1x 与2x ，则1211+x x 的值为_______．11. 如图，在64⨯网格正方形中，每个小正方形的边长为1，顶点为格点，若ABC 的顶点均是格点，则sin ABC ∠的值是______．12. 已知21x y =⎧⎨=⎩是方程3ax by +=的一组解()0,0a b ≠≠，任写出一组符合题意的a 、b 值，则a =______，b =______．13. 如图，在矩形ABCD 中，E 是边AB 的中点，连接DE 交对角线AC 于点F ，若86AB AD ==，，则AF 的长为______．14. 图中的小正方形边长都相等，若MNP MFQ ≌，则点Q 可能是图中的_______．15. 初三（1）班同学在“2024义卖”活动中表现特别突出，他们设计了甲乙两款纪念品．销售一件甲纪念品可获利16%：销售一件乙纪念品可获利24%；当销售量的比为3:2时，总获利为18%．当销售量的比为1:3时，总获利为______．三、计算题：本大题共2小题，共10分．16.112cos3013-⎛⎫-︒+ ⎪⎝⎭17. 已知2240x x +-=，求22(1)(6)3x x x ---+的值．四、解答题：本题共10小题，共58分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．18. 解不等式组：()238112x x x x ⎧-≤-⎪⎨+>-⎪⎩19. 已知：如图，△ABC 为锐角三角形，AB ＝AC ．求作：点P ，使得AP ＝AB ，且APC BAC ∠=∠．作法：①以点A 为圆心，AB 长为半径画圆；②以点B 为圆心，BC 长为半径画弧，交A 于点D （异于点C ）；③连接DA 并延长交A 于点P ．所以点P就是所求作的点．（1）使用直尺和圆规，依作法补全图形（保留作图痕迹）；（2）完成下面的证明．证明：连接PC ．∵AB ＝AC ，∴点C 在A 上．∵ DC DC =，∴12DPC DAC =∠∠（____________________）（填推理的依据），由作图可知， BDBC =，∴DAB ∠=______12DAC =∠．∴APC BAC ∠=∠．20. 如图，⊙O 是Rt △ABC 的内切圆，∠B ＝90°．（1）若AB ＝4，BC ＝3，①求Rt △ABC 外接圆的半径；②求Rt △ABC 内切圆的半径；（2）连接AO 并延长交BC 于点D ，若AB ＝6，tan ∠CAD ＝13，求此⊙O 的半径．21. 如图，在四边形ABCD 中，∠DAB =60°，AD ：AB =2：3，BD ，AB ⊥BC ．（1）求sin ∠ABD 的值．（2）若∠BCD =120°，求CD 的长．22. 某社区通过公益讲座的方式普及垃圾分类知识．为了了解居民对相关知识的了解情况及讲座效果，请居民在讲座前和讲座后分别回答了一份垃圾分类知识问卷，从中随机抽取20名居民的两次问卷成绩（百分制），并对数据（成绩）进行整理、描述和分析．下面给出了部分信息．a ．这20名居民讲座前、讲座后成绩得分统计图如下：b ．这20名居民讲座前、讲座后成绩的平均数、中位数、方差如下平均数中位数方差讲座前72.071.599.7讲座后86.8m 88.4c ．结合讲座后成绩x ，被抽取的20名居民中有5人获得“参与奖”(80)x <，有7人获得“优秀奖”809()0x ≤<，有8人获得“环保达人奖”(90100)x ≤≤，其中成绩在8090x ≤<这一组的是：80 82 83 85 87 88 88根据以上信息，回答下列问题：（1）居民小张讲座前的成绩为80分，讲座后的成绩为95分，在图中用“○”圈出代表居民小张的点；（2）写出表中m 的值；（3）参加公益讲座的居民有160人，估计能获得“环保达人奖”的有_____人．23. 如图是某公园人工湖上的一座拱桥的示意图，其截面形状可以看作是抛物线的一部分．经测量拱桥的跨度AB 为12米，拱桥顶面最高处到水面的距离CD 为4米．（1）在边长为1的正方形网格中建立适当的平面直角坐标系，根据已知数据描出点A ，B ，C ，并用平滑曲线连接；（2）结合（1）中所画图象，求出该抛物线的表达式；（3）现有一游船（截面为矩形）宽度为4米，顶棚到水面的高度为2.8米．当游船从拱桥正下方通过时，为保证安全，要求顶棚到拱桥顶面的距离应大于0.5米，请判断该游船能否安全通过此拱桥．24. 如图，矩形AOBC 的顶点B ，A 分别在x 轴，y 轴上，点C 坐标是()5,4，D 为BC 边上一点，将矩形沿AD 折叠，点C 落在x 轴上的点E 处，AD 的延长线与x 轴相交于点.F（1）如图1，求点D 的坐标；（2）如图2，若P 是AF 上一动点，PM AC ⊥交AC 于M ，PN CF ⊥交CF 于N ，设AP t =，FN s =，求s 与t 之间的函数关系式；（3）在（2）的条件下，是否存在点P ，使PMN 为等腰三角形？若存在，请直接写出点P 的坐标；若不存在，请说明理由．25. 为了节省材料，某水产养殖户利用水库的岸堤（岸堤足够长）为一边，用总长为160m 的围网在水库中围成了如图所示的①②③三块矩形区域，而且这三块矩形区域的面积相等设BC 的长度为m x ，矩形区域ABCD 的面积为2m y（1）是否存在x 的值，使得矩形ABCD 的面积是21500m ；（2）x 为何值时，y 有最大值？最大值是多少？26. 如图，在等边ABC 中，点D 在BC 边上，点E 在AC 的延长线上，且DE DA =．（1）求证：BAD EDC ∠=∠；（2）点E 关于直线BC 的对称点为M ，连接DM ，AM ，①根据题意将图补全；②在点D 运动的过程中，DA 和AM 有什么数量关系并证明．27. 如图，AB 是⊙O 的直径，AC 是弦，直线EF 经过点C ，AD ⊥EF 于点D ，∠DAC=∠BAC（1）求证：EF 是⊙O 的切线；（2）求证：AC 2=AD·AB ；（3）若⊙O 的半径为2，∠ACD=30°，求图中阴影部分的面积．参考答案一、选择题：本题共8小题，每小题2分，共16分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的．1. 【答案】B【详解】分析：科学记数法的表示形式为a×10n 的形式，其中1≤|a|＜10，n 为整数．确定n 的值时，要看把原数变成a 时，小数点移动了多少位，n 的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值＞1时，n 是正数；当原数的绝对值＜1时，n 是负数．详解：将77800用科学记数法表示为：47.7810⨯．故选B ．点睛：本题考查了科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n 的形式，其中1≤|a|＜10，n 为整数，表示时关键要正确确定a 的值以及n 的值．2. 【答案】C【分析】根据指数的计算法则计算即可.【详解】解：A 、23x x +不能合并，错误；B 、235•x x x =，错误；C 、32x x x ÷=，正确；D 、23628()x x =，错误；故选C ．【点睛】本题主要考查指数的计算法则，是考试的重点，应当熟练的掌握.3. 【答案】B<<2=，即可得出选项【详解】解：=<<，∴2．故选：B【点睛】本题主要考查了估算无理数的大小，在正数范围内，一个数越大，则它的算术平方根也越大．4. 【答案】A【分析】首先根据题意画出树状图，由树状图求得所有等可能的结果与第一次摸到红球，第二次摸到绿球的情况，然后利用概率公式求解即可求得答案．【详解】解：画树状图得：∵共有4种等可能的结果，第一次摸到红球，第二次摸到绿球有1种情况，∴第一次摸到红球，第二次摸到绿球的概率为14，故选：A ．【点睛】本题考查了画树状法或列表法求概率，列出所有等可能的结果是解决本题的关键．5. 【答案】D【分析】根据数轴上的点表示的数右边的总比左边的大，可得a ＜b ＜0＜c ＜d ，根据有理数的运算，可得答案．【详解】解：∵b +d ＝0，由数轴上的点表示的数右边的总比左边的大，得a ＜b ＜0＜c ＜d ，A 、∵b +d ＝0，∴b +c ＜0，故A 不符合题意；B 、a c＜0，故B 不符合题意；C 、ad ＜bc ＜0，故C 不符合题意；D 、|a |＞|b |＝|d |，故D 正确；故选：D ．【点睛】本题考查了实数与数轴，有理数的运算，利用数轴上的点表示的数右边的总比左边的大得出a ＜b ＜0＜c ＜d 是解题关键．6. 【答案】A【分析】根据方差的意义求解．方差越大，则平均值的离散程度越大，稳定性也越小；反之，则它与其平均值的离散程度越小，稳定性越好．【详解】方差体现了某组数据的波动情况，波动越大，方差越大，由图可知，B 课程成绩的波动大，A 课程成绩的波动小，∴2212s s ；故选：A ．【点睛】本题考查了方差的意义．方差是用来衡量一组数据波动大小的量，方差越大，表明这组数据偏离平均数越大，即波动越大，数据越不稳定；反之，方差越小，表明这组数据分布比较集中，各数据偏离平均数越小，即波动越小，数据越稳定．7. 【答案】A【分析】根据图像，分三个部分：满过“几何体”下方圆柱需18s ，满过“几何体”上方圆柱需()24186s -=，注满“几何体”上面的空圆柱形容器需()422418s -=，再设匀速注水的水流速度为3cm /s x ，根据圆柱的体积公式列方程可得匀速注水的水流速度；设“几何体”下方圆柱的高为cm a ，根据圆柱的体积公式得()3015185a ⋅-=⨯，解得6a =，于是得到“几何体”上方圆柱的高为5cm ，设“几何体”上方圆柱的底面积为2cm S ，根据圆柱的体积公式得()()53052418S ⋅-=⨯-，再解方程即可求解．【详解】解：根据函数图像得到圆柱形容器的高为14cm ，两个实心圆柱组成的“几何体”的高度为11cm ，水从刚满过由两个实心圆柱组成的“几何体”到注满用了：()422418s -=，这段高度为：)14113m (c -=，设匀速注水的水流速度为3cm /s x ，则18303x ⋅=⨯，解得5x =，即匀速注水的水流速度为35cm /s ；“几何体”下方圆柱的高为cm a ，则3015185()a ⋅-=⨯，解得6a =，所以“几何体”上方圆柱的高为)1165m (c -=，设“几何体”上方圆柱的底面积为2cm S ，根据题意得()()53052418S ⋅-=⨯-，解得24S =，即“几何体”上方圆柱的底面积为224cm ，故选：A ．【点睛】本题考查了函数图像的应用：把分段函数图像中自变量与对应的函数值转化为实际问题中的数量关系，然后运用方程的思想解决实际问题是解决本题的关键．二、填空题：本题共8小题，每小题2分，共16分．8. 【答案】9【分析】用潜艇从海平面以下的高度减去上升到海平面以下的高度，就是潜艇上升的高度，据此解答．【详解】根据题意得：﹣18﹣（﹣27）=9（米）．故答案为9．【点睛】本题考查了有理数的减法运算，根据题意列出算式是解答此题的关键．9. 【答案】（-3，-7）【详解】根据白棋的坐标，可确定如图，所示的平面直角坐标系，可得黑棋①的坐标为(－3，－7)．10. 【答案】23-【分析】根据一元二次方程根与系数的关系得出121246x x x x +==-，，将分式通分，代入即可求解．【详解】解：∵一元二次方程256x x x +=+，即2460x x --=，的两根为1x 与2x ，∴121246x x x x +==-，，∴1211+x x 12124263x x x x +===--，故答案为：23-．【点睛】本题考查了分式的化简求值，一元二次方程根与系数的关系，熟练掌握一元二次方程根与系数的关系是解题的关键．11.【分析】本题考查解直角三角形，关键是掌握三角函数定义．构造直角三角形由勾股定理求出AB 长，由锐角的正弦定义即可求解．【详解】如图，利用格点作AD BC ⊥交BC 的延长线于点D ，ABD是直角三角形，AB ∴===sinAD ABC AB ∴∠===，12. 【答案】 ①. 1 ②. 1【分析】把方程组解代入，即得到关于,a b 的一个方程，有无数个解，任意写出一个即可．【详解】解：把21x y =⎧⎨=⎩代入方程3ax by +=可得：23a b +=1a ∴=时，有1b =故答案为：1，1．【点睛】本题考查了二元一次方程的解的意义．熟记相关定义即可．13. 【答案】103【分析】本题考查矩形的性质，勾股定理，相似三角形的判定和性质，先利用勾股定理求出对角线AC 的长，再证明CDF AEF ∽，根据对应边成比例即可求出AF 的长．【详解】解： 四边形ABCD 是矩形，86AB AD ==，，∴8CD AB ==，CD AB ∥，90ADC ∠=︒，∴10AC ===，E 是边AB 的中点，∴142AE AB ==， CD AB ∥，∴CDF AEF ∠=∠，DCF EAF ∠=∠，∴CDF AEF ∽，∴AE AF AF CD CF AC AF ==-，∴4810AF AF=-，解得103AF =，故答案为：103．14. 【答案】点D【分析】设图中小正方形的边长为1，由勾股定理可计算出MNF 的三边长，再计算出点M 、F 分别与A 、B 、C 、D 四点的距离，即可作出判断．【详解】解：设图中小正方形的边长为1，∵2MN MF ==，由勾股定理得：MP ==NP ==，由于AF MF ⊥，显然点A 不可能是点Q ；∵MD FD ====，∴MD MP FD NP ==，，∴MNP MFD ≌，即点D 是点Q ；∵MB MP FB NP ==≠==≠，，∴点B 不是点Q ；同理，点C 不是点Q ；∴点Q 可能是图中的点D ；故答案为：点D ．【点睛】本题考查了全等三角形的性质，勾股定理，利用勾股定理求得各线段的长度是关键．15. 【答案】20.8%【分析】本题考查了分式方程，利润、成本及利润率的关系，设一件甲纪念品的成本为a 元，一件乙纪念品的成本为b 元，由“销售量的比为3:2时，总获利为18%”及利润率公式，可求得a 与b 的关系，则可求得销售量的比为1:3时的总获利．【详解】解：设一件甲纪念品的成本为a 元，一件乙纪念品的成本为b 元，则16%324%218%32a b a b⨯⨯+⨯⨯=+，解得2a b =，当销售量的比为1:3时，总获利为：16%124%3216%124%3104%20.8%3235a b b b b a b b b b⨯⨯+⨯⨯⨯⨯+⨯⨯⨯===++，故答案为：20.8%．三、计算题：本大题共2小题，共10分．16. 【答案】4【分析】先利用负整数指数幂，特殊角锐角三角函数值，绝对值的性质，立方根的性质化简，再合并，即可求解．112cos3013-⎛⎫+-︒+ ⎪⎝⎭2321=+--231=+4=．【点睛】本题主要考查了负整数指数幂，特殊角锐角三角函数值，绝对值的性质，立方根的性质，熟练掌握相关运算法则是解题的关键是解题的关键．17. 【答案】9．【分析】将2240x x +-=化为224x x +=，整体代入化简后的代数式即可．【详解】解：∵2240x x +-=，∴224x x +=.∴22222(1)(6)32426325459x x x x x x x x x ---+=-+-++=++=+=．【点睛】本题考查整式的混合运算及化简求值，掌握完全平方公式和单项式乘多项式的法则正确计算是解题关键．四、解答题：本题共10小题，共58分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．18. 【答案】2x ≤-【分析】分别解两个不等式得到两个不等式的解集，再取解集的公共部分可得答案．【详解】解：()238112x x x x ⎧-≤-⎪⎨+>-⎪⎩①②解不等式①，得2x ≤-解不等式②，得3x <在数轴上表示不等式①、②的解集，所以这个不等式组的解集是2x ≤-．【点睛】本题考查的是解不等式组，熟练掌握不等式组的解法是解题关键．19. 【答案】（1）见解析 （2）圆周角定理或同弧所对的圆周角等于它所对圆心角的一半，∠BAC【分析】（1）根据作法按步骤作图即可；（2）根据圆周角定理进行证明即可【小问1详解】解：如图所示，即为所求；【小问2详解】证明：连接PC ．∵AB ＝AC ，∴点C 在A 上．∵ DC DC =，∴12DPC DAC =∠∠（_圆周角定理 或同弧所对的圆周角等于它所对圆心角的一半__）（填推理的依据），由作图可知， BDBC =，∴DAB ∠=_∠BAC __12DAC =∠．∴APC BAC ∠=∠．故答案为：圆周角定理或同弧所对的圆周角等于它所对圆心角的一半，∠BAC ．【点睛】本题考查了尺规作图作圆，圆周角定理，掌握圆周角定理是解题的关键．20. 【答案】（1） ①52; ②1（2）32【分析】（1）①先求得线段AC 的长度，然后取AC 的中点H ，得到AH 的长即为△ABC 的外接圆半径；②过点O 作OE BC ⊥于点E ，OF AB ⊥于点F ，OG AC ⊥于点G ，然后可得四边形OEBF 是正方形，设半径为1，结合点O 是ABC 的内心可得AF ，CE 的长度，然后由切线长定理得到4AG AF r ==-，3CG CE r ==-，进而得到72AC r =-，最后利用勾股定理求得r 的值；（2）设半径为r ，得到OF r =，6AF r =-，由内心的定义可知CAD BAD ∠=∠，然后利用正切值求得的大小，即为结果．【小问1详解】解：（1）①如图1，取AC 的中点H ，∵90B Ð=°，∴点H 是Rt ABC 的外接圆圆心．∵4AB =，3BC =，90B Ð=°，∴A 5AC ===1522AH AC ∴==，∴Rt ABC 的外接圆半径为52；②如图2，过点O 作OE BC ⊥于点E ，OF AB ⊥于点F ，OG AC ⊥于点G ，则90OFB OEB ∠=∠=︒．90B ∠=︒ ，∴四边形OEBF 是正方形，设半径为r ，则BF OF OE BE r ====，∴O 是Rt ABC 的内切圆，4AB =，3BC =，∴4AG AF r ==-，3CG CE r ==-，∴.72AC AG CG r =+=-，在Rt ABC 中，222AB BC AC +=，()2224372r ∴+=-，解得1r =或6r =(不符合题意舍去)，Rt ABC ∴ 内切圆的半径为l ；【小问2详解】解：如图2，设半径为r ，则0F r =，6AF r =-．O 是Rt ABC 的内切圆，OAF CAD ∴∠=∠.13tan CAD ∠= ，13OF tan OAF AF ∴∠==,163r r ∴=-，解得32r =，O ∴ 的半径为32．【点睛】本题考查了三角形的外接圆和内切圆的性质、解直角三角形，熟知圆的切线长定理是解题关键．21. 【答案】（1）sin ∠；（2）【分析】（1）作DE ⊥AB 于E ，CF ⊥DE 于F ．设AE=a ．在Rt △BDE 中，利用勾股定理构建方程求出a ，即可解决问题；（2）作CF ⊥DE 于F ．首先证明四边形CFEB 是矩形，解直角三角形△CFB 即可解决问题．【详解】解：（1）作DE ⊥AB 于E ，设AE=a ．在Rt △ADE 中，∵∠A=60°，AE=a ，∴∠ADE=30°，∴AD=2a ，a ，∵AD ：AB=2：3，∴AB=3a ，EB=2a ，在Rt △DEB 中，）2+（2a ）2=2，解得a=1，∴BE=2，∴sin ∠ABD=DE AB （2）CF ⊥DE 于F ．∵CB ⊥AB ，CF ⊥DE ，∴∠CFE=∠FEB=∠CBE=90°，∴四边形CFEB 是矩形，∴CF=EB=2，BC=EF ，∵∠DCB=120°，∠FCB=90°，∴∠DCF=30°，∴，∴【点睛】本题考查解直角三角形，矩形的判定和性质，直角三角形30度角性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．22. 【答案】（1）见解析 （2）87.5（3）64【分析】（1）找出横坐标是80，纵坐标是95的点即可；（2）根据中位数的定义求解；（3）利用样本估计总体思想求解．【小问1详解】解：代表居民小张的点如下图所示：【小问2详解】解：将讲座后20人的成绩从低到高排序，第10名和第11名的成绩分别为87，88，因此中位数878887.52m +==；【小问3详解】解：81606420⨯=（人），即估计能获得“环保达人奖”的有64人，故答案为：64．【点睛】本题考查统计图、中位数、利用样本估计总体等知识点，解题的关键是看懂所给统计图，掌握中位数的定义，能够利用样本估计总体思想解决问题．23. 【答案】（1）见详解 （2）21493y x x =-+ （3）能安全通过，理由见详解【分析】（1）以点A 为原点，AB 所在的直线为x 轴，过点A 作垂直于AB 的直线为y 轴，建立平面直角坐标系即可；（2）待定系数法求抛物线的表达式即可；（3）游船从拱桥正下方通过时，抛物线的对称轴为6,x =游船也关于直线6x =对称，宽度为4米，对称轴左右两边各2米，当624x =-=时，求出y 的值，再进行比较即可．【小问1详解】以点A 为原点，AB 所在的直线为x 轴，过点A 作垂直于AB 的直线为y 轴，建立平面直角坐标系，如图所示，【小问2详解】解：(0,0),(12,0)A B ，根据交点式，设抛物线的表达式为2(0)(12)12y a x x ax ax =--=-，代入点(6,4)C 得：136724,9a a a -==-， 抛物线的表达式为21493y x x =-+；【小问3详解】解：能安全通过，理由如下:游船从拱桥正下方通过时，抛物线的对称轴为6,x =游船也关于直线6x =对称，宽度为4米，对称轴左右两边各2米当624x =-=时，2143244939y =-⨯+⨯=，32550.5 2.8918-=> ，故能安全通过．【点睛】本题考查二次函数的实际应用，熟练掌握二次函数的性质是解题关键．24. 【答案】（1）34,2D ⎛⎫ ⎪⎝⎭（2）8s =+ （3）存在，()4,2或4024,1111⎛⎫⎪⎝⎭或4820,1111⎛⎫ ⎪⎝⎭【分析】（1）设()5,D a ，则,4BD a CD ED a ===-，再求出,OE BE 的长，在Rt BDE △中，根据勾股定理求出a 的值，即可求解；（2）延长MP 交OF 于N '，则PN OF '⊥，先证明ADC FDB ∽，可得38BF OF ==，，从而得到AF ==，在Rt BCF 中，由勾股定理可得5CF =，可得AC CF =，从而得到CAF AFC ∠=∠，进而得到CAF EFA AFC ∠∠∠==，可证得PFN DAC ∽，可得到11,422PN s PM s ==-，再证明APM FPN ' ∽，即可求解；（3）分三种情况：①当PM PN =时；②当PM MN =时；当MN NP =时，即可求解．【小问1详解】解：在矩形AOBC 中，()5,4C ，5AC ∴=，4OA BC ==，设()5,D a ，则BD a =，4CD ED a ==-，5AE AC == ，在Rt AOE △中，3O E ===，532BE OB OE ∴=-=-=，在Rt BDE △中，由勾股定理得：222DE BD BE =+，222(4)2a a ∴-=+，0a ∴>，32a ∴=，34,2D ⎛⎫∴ ⎪⎝⎭；【小问2详解】如图2，延长MP 交OF 于N '，则PN OF '⊥，∵AC BF ∥，PAM DFB ∠∠∴=，90ACD FBD ∠∠==︒ ，ADC FDB ∴ ∽，ACCDBF BD ∴=，由（1）知：32BD =，35422CD ∴=-=，又5AC =，55232BF ∴=，38BF OF ∴==，，AF ∴===在Rt BCF中，由勾股定理得：5CF ==，5AC = ，AC CF ∴=，CAF AFC ∴∠=∠，∵AC EF ∥，CAF EFA AFC ∠∠∠∴==，FA ∴平分CFO ∠，,PN CF PN OF '⊥⊥ ，PN PN '∴=，4PM PN PM PN MN ''∴+=+==，90CAF CFA ACD PNF ∠∠∠∠===︒ ，，PFN DAC ∴ ∽，FN PNAC CD ∴=，51252PN CD NF AC ∴===，又NF s =，11,422PN s PM s ∴==-，PA t PF t ==- ，，,PAM PFN APM FPN ∠∠∠∠''== ，APM FPN '∴ ∽，PM AP PN PF ∴='，即14212s s-=8s ∴=+；【小问3详解】分三种情况：①当PM PN =时，如图3，PAM PFN ∠=∠ ，90AMP PNF ∠=∠= ，PAM ∴ ∽PFN ，1PA PMPF PN ∴==，PA PF ∴=，即t t =-，解得：t =，∴84FN s ==+=，2PM PN ∴===，4AM ===，()4,2P ∴；②当PM MN =时，如图4，过M 作MH PN ⊥于H ，PN 与MC 的延长线交于点G ，有1124PH NH PN s ===，4PM PN += ，142PM s ∴=-，GCN MPN BFC ∠∠∠== ，即MPN BFC ∠∠=，90MHP CBF ∠=∠= ，∴ PMH ∽FCB ，53PM FC PH FB ∴==，即1452134ss-=，解得：4811s =，代入8s =+得：t =∵AC OF ∥，∴MAP AFO ∠=∠，tan tan MAP AFO ∠=∠，∴12PM AOAM OF ==，∴::1:2PM AM AP =，∴4011AM =，2011PM =，∴P 的纵坐标为：202441111-=，4024,1111P ⎛⎫∴ ⎪⎝⎭；③当MN NP =时，如图5，过点N 作NQ PM ⊥于Q ，NPQ BFC ∠∠∴=，90NQP CBF ∠=∠= ，NQP ∴ ∽CBF V ，PNCFPQ BF ∴=，又12PN s =，1111422224PQ PM s s ⎛⎫==-=- ⎪⎝⎭ ，5CF =，1521324s s ∴=-，4011s ∴=，代入8s =+得：t =同理可得：4820,1111P ⎛⎫ ⎪⎝⎭；综上，点P 的坐标是()4,2或4024,1111⎛⎫⎪⎝⎭或4820,.1111⎛⎫ ⎪⎝⎭【点睛】此题是四边形综合题，主要考查了折叠的性质，相似三角形的性质和判定，勾股定理，一次函数，等腰三角形的性质和判定，锐角三角函数的应用等知识，用分类讨论的数学思想和方程思想解决问题是解本题的关键．25. 【答案】（1）不存在x 的值，使得矩形ABCD 的面积是21500m ；（2）当40x =时，y 有最大值，最大值是21200m 【分析】（1）设AE a =，由题意得2AE AD BE BC ⋅=⋅，进而得1322BE a AB a ==，，即可得到y 与x 的函数关系式，将数据代入即可判断；（2）将（1）中函数关系式进行变形即可判断；【小问1详解】解：设AE a =，由题意得：2AE AD BE BC ⋅=⋅，∵AD BC =，∴1322BE a AB a ==，，由题意可得：12321602x a a ++⨯=，∴1402a x =-，∴33140222y AB BC ax x x ⎛⎫=⋅==- ⎪⎝⎭，∴()23600804y x x x =-+<<，令1500y =得：236015004x x -+=，化简得：28020000x x -+=，∵28042000640080000∆=-⨯=-<，∴方程无解，答：不存在x 的值，使得矩形ABCD 的面积是21500m ．【小问2详解】()22336040120044y x x x =-+=--+，∴当40x =时，y 有最大值，最大值是21200m ．【点睛】本题主要考查二次函数的应用，根据题意正确列出二次函数关系式是解题的关键．26. 【答案】（1）见解析 （2）①见解析；②DM AM =，证明见解析【分析】本题考查了等腰三角形的性质、等边三角形的判定与性质、轴对称的性质等知识点，利用轴对称的性质求解是解题关键．（1）根据等边三角形的性质可得60BAC ACB ∠=∠=︒，根据等腰三角形的性质及三角形外角的性质即可得出BAD EDC ∠=∠；（2）①根据题意补全图形即可；②根据轴对称的性质得出MDC EDC ∠=∠，DE DM =，结合（1）中结论可得60ADM B ∠=∠=︒，即可证明ADM △是等边三角形，可得DM AM =．【小问1详解】解：∵ABC 是等边三角形，∴60BAC ACB ∠=∠=︒，∵BAD DAC BAC ∠+∠=∠，EDC DEC ACB ∠+∠=∠，∴BAD DAC EDC DEC ∠+∠=∠+∠，∵DE DA =，∴DAC DEC ∠=∠，∴BAD EDC ∠=∠．【小问2详解】①补全图形如图所示：②DM AM =，理由如下：如①中图，连接CM ，∵点M 、E 关于直线BC 对称，∴MDC EDC ∠=∠，DE DM =，由（1）知BAD EDC ∠=∠，∴MDC BAD ∠=∠，∵ADC BAD B ∠=∠+∠，即ADM MDC BAD B ∠+∠=∠+∠，∴60ADM B ∠=∠=︒，∵DA DE DM ==，∴ADM △是等边三角形，∴DM AM =．27. 【答案】(1)证明见解析；(2)证明见解析；23π.【分析】（1）连接OC ，根据OA=OC 推出∠BAC=∠OCA=∠DAC ，推出OC ∥AD ，得出OC ⊥EF ，根据切线的判定推出即可．（2）证△ADC ∽△ACB ，得出比例式，即可推出答案．（3）求出等边三角形OAC ，求出AC 、∠AOC ，在Rt △ACD 中，求出AD 、CD ，求出梯形OCDA 和扇形OCA 的面积，相减即可得出答案．【详解】解：（1）证明：连接OC ，∵OA=OC ，∴∠BAC=∠OCA ．∵∠DAC=∠BAC ，∴∠OCA=∠DAC ．∴OC ∥AD ．∵AD ⊥EF ，∴OC ⊥EF ．∵OC 为半径，∴EF 是⊙O 的切线．（2）证明：∵AB 为⊙O 直径，AD ⊥EF ，∴∠BCA=∠ADC=90°．∵∠DAC=∠BAC ，∴△ACB ∽△ADC ．∴AD ACAC AB =．∴AC 2=AD•AB ．（3）∵∠ACD=30°，∠OCD=90°，∴∠OCA=60°.∵OC=OA ，∴△OAC 是等边三角形．∴AC=OA=OC=2，∠AOC=60°．∵在Rt △ACD 中，AD=12AC=1．由勾股定理得：∴阴影部分的面积是S=S 梯形OCDA ﹣S 扇形OCA =12×（2+1）260223603ππ⋅⋅=-．。

2024北京北师大附中初三一模数学

2024北京北师大附中初三一模数学

2024北京北师大附中初三一模数学一、选择题（本大题共8小题，共24分）1．（3分）下图中标注的角可以用∠O来表示的是（）A．B．C．D．2．（3分）要使二次根式有意义，则a的值可以为（）A．0B．﹣1C．﹣2D．﹣43．（3分）下列说法正确的是（）A．一个有理数的绝对值一定大于它本身B．只有正数的绝对值等于它本身C．负数的绝对值是它的相反数D．一个数的绝对值是它的相反数，则这个数一定是负数4．（3分）如图，在⊙O中，AD是直径，∠ABC＝35°，则∠CAD等于（）A．75°B．65°C．55°D．45°5．（3分）学校组织春游，安排给九年级三辆车，小明和小慧都可以从这三辆车中任选辆乘坐，小明和小慧乘坐同一辆车的概率是（）A．B．C．D．6．（3分）如果，那么代数式的值为（）A．3B．C．D．8. （3分）如图，在四边形ABCD中，AD//BC，AB=CD，B=60°，AD=2，BC=8，点P从点B出发沿折线BA−AD−DC匀速运动，同时，点Q从点B出发沿折线BC−CD匀速运动，点P与点Q的速度相同，当二者相遇时，运动停止，设点P运动的路程为x，△BPQ的面积为y，则y关于x的函数图象大致是()A. B.C. D.二、填空题(共24分)9．（3分）)若分式2a+1有意义，则a的取值范围是_____．10．（3分）方程xx−1+21−x=4的解是______．11．（3分）在函数y＝−1x的图象上有两点（﹣3，y1）、（﹣1，y2），则函数值y1，y2的大小关系是___．12．（3分）直线y＝kx（k＜0）与双曲线y＝﹣交于A（x1，y1），B（x2，y2）两点（A在第二象限），则2x1y2+3x2y1的值为．13．（3分）Rt△BEF和Rt△DFG是一副三角尺，且BE＝DG，按如图所示的方式恰好放置在矩形ABCD内，点E，G分别在边AD，BC上，点B，D恰好与矩形的顶点重合，则＝________________．14．（3分）生活委员小刚对本班50名学生所穿校服尺码的数据统计如下： 尺码 S M L XL XXL XXXL 频率0.050.10.20.3250.30.025则该班学生所穿校服尺码为“XXL ”的人数 个．15．（3分）如图，正六边形ABCDEF 中，G ，H 分别是边AF 和DE 上的点AB ＝2，∠GCH ＝60°____________．16．（3分）2022年北京冬奥会已经越来越近了，这是我国重要历史节点的重大标志性活动，更是全国人民的一次冰雪运动盛宴．与此同时北京冬奥会吉祥物冰墩墩也受到人们的喜爱，公仔的单价是风铃的两倍，且徽章和风铃的单价之和不超过120元．元旦节期间，风铃和抱枕的销售数量相同，其中徽章和风铃共卖出120件，则徽章和风铃销售总额的最大值是____________元．三、解答题（共8题）解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程。

2023北京朝阳区初三一模数学试题及参考答案

2023北京朝阳区初三一模数学试题及参考答案

北京市朝阳区九年级综合练习（一）一、选择题（共16分，每题2分）第1-8题均有四个选项，其中符合题意的选项只有一个．1.下图是某几何体的三视图，该几何体是（A ）长方体（B ）三棱柱（C ）圆锥（D ）圆柱第1题 第3题 第4题 第7题2.我国已建成世界上规模最大的社会保障体系、医疗卫生体系，基本养老保险覆盖1 040 000 000人左右，将1 040 000 000用科学记数法表示应为（A ）1.04×1010 （B ）1.04×109 （C ）10.4×109 （D ） 0.104×10113．如上图，若数轴上的点A 表示下列四个无理数中的一个，则这个无理数是（A ） （B（C （D ）π4. 如上图，直线AB ，CD 相交于点O ，若∠AOC =60°，∠BOE =40°，则∠DOE 的度数为（A ）60° （B ）40°（C ）20° （D ）10°5. 经过某路口的汽车，只能直行或右转. 若这两种可能性大小相同，则经过该路口的两辆汽车都直行的概率为（A ）（B ）（C ）（D ）141312346．正六边形的外角和为（A ）180°（B ）360°（C ）540°（D ）720°7．某中学为了解学生对四类劳动课程的喜欢情况，从本校学生中随机抽取了200名进行问卷调查，根据数据绘制了如上面图所示的统计图. 若该校有2000名学生，估计喜欢木工的人数为（A ）64（B ）380（C ）640 （D ）7208. 下面的三个问题中都有两个变量：①矩形的面积一定，一边长y 与它的邻边x ;②某村的耕地面积一定，该村人均耕地面积S 与全村总人口n ;③汽车的行驶速度一定，行驶路程s 与行驶时间t .其中，两个变量之间的函数关系可以用形如的式子表示的是（A ）①②（B ）①③（C ）②③（D ）①②③二、填空题（共16分，每题2分）9在实数范围内有意义，则实数x 的取值范围是 ．10．分解因式：．11． 若关于x 的一元二次方程260x x m ++=有两个相等的实数根，则实数m 的值为 ．12．方程的解为 ．13．在平面直角坐标系xOy 中，若反比例函数的图象经过点和点，则．14．如图，在△ABC 中，DE 是AC 的垂直平分线，AC =6. 若△ABD 的周长为13，则△ABC 的周长为．15．如图，在矩形ABCD 中，点E 在AD 边上，连接BE 并延长，交CD 的延长0ky k k x=≠（为常数，）2363a a -+=322x x=+6y x=()2A m ，()2B n -，m n +=第14题图第15题图线于点F . 若AB =2，BC =4，，则BF 的长为 ．16. 一个33人的旅游团到一家酒店住宿，酒店的客房只剩下4间一人间和若干间三人间，住宿价格是一人间每晚100元，三人间每晚130元.（说明：男士只能与男士同住，女士只能与女士同住. 三人间客房可以不住满，但每间每晚仍需支付130元.）（1）若该旅游团一晚的住宿房费为1530元，则他们租住了间一人间;（2）若该旅游团租住了3间一人间，且共有19名男士，则租住一晚的住宿房费最少为元.三、解答题（共68分，第17-20题，每题5分，第21题6分，第22题5分，第23-24题，每题6分，第25题5分，第26题6分，第27-28题，每题7分）17．计算：．18．解不等式组：19．已知，求代数式的值．20. 下面是证明“等腰三角形的两个底角相等”的两种添加辅助线的方法，选择其2AEDE=(02sin 45π-+-o 17242.3x x xx +⎧⎪+⎨⎪⎩＞-，≤230x x --=(2)(2)(2)x x x x +---中一种，完成证明.已知：如图，在△ABC 中，AB =AC .求证：∠B =∠C .方法一证明：如图，作△ABC 的中线AD .方法二证明：如图，作△ABC 的角平分线AD .21. 如图，在平行四边形ABCD 中，对角线AC ，BD 相交于点O ，点E ，F 在BD 上，AE ∥CF ，连接AF ，CE ．（1）求证：四边形AECF 为平行四边形；（2）若∠EAO +∠CFD =180°，求证：四边形AECF 是矩形．22. 在平面直角坐标系xOy 中，一次函数的图象经过点（0，1），（-2，2），与x轴交于点A .（1）求该一次函数的表达式及点A 的坐标；（2）当2x ≥时，对于x 的每一个值，函数的值大于一次函数0y kx b k =+≠（）2y x m =+的值，直接写出m 的取值范围.23. 如图，AB 是⊙O 的弦，过点O 作OC ⊥AB ，垂足为C ，过点A 作⊙O 的切线，交OC 的延长线于点D ，连接OB .（1）求证：∠B =∠D ；（2）延长BO 交⊙O 于点E ，连接AE ，CE ，若AD=，sinBCE 的长．24．某校为了解读书月期间学生平均每天阅读时间，在该校七、八、九年级学生中各随机抽取了15名学生，获得了他们平均每天阅读时间（单位：min ），并对数据进行了整理、描述，给出部分信息.a . 七、八年级学生平均每天阅读时间统计图：0y kx b k =+≠（）七年级学生平均每天阅读时间八年级学生平均每天阅读时间b . 九年级学生平均每天阅读时间：21 22 25 33 36 36 37 37 39 39 41 42 46 48 50c . 七、八、九年级学生平均每天阅读时间的平均数：年级七八九平均数26.435.236.8根据以上信息，回答下列问题：（1）抽取的15名九年级学生平均每天阅读时间的中位数是 ；（2）求三个年级抽取的45名学生平均每天阅读时间的平均数；（3）若七、八、九年级抽取的学生平均每天阅读时间的方差分别为，，，则，，之间的大小关系为.25．一位滑雪者从某山坡滑下并滑完全程，滑行距离s （单位：m ）与滑行时间t （单位：s ）近似满足“一次函数”、“二次函数”或“反比例函数”关系中的一种. 测得一些数据如下：滑行时间t /s 01234滑行距离s /m261220（1）s 是t 的函数（填“一次”、“二次”或“反比例”）；21s 22s 23s 21s 22s 23s（2）求s 关于t 的函数表达式；（3）已知第二位滑雪者也从坡顶滑下并滑完全程，且滑行距离与第一位滑雪者相同，滑行距离s （单位：m ）与滑行时间t （单位：s ）近似满足函数关系2522s t t =+. 记第一位滑雪者滑完全程所用时间为t 1，第二位滑雪者滑完全程所用时间为t 2，则t 1t 2（填“<”，“=”或“＞”）.26．在平面直角坐标系xOy 中，抛物线y =ax 2+（2m -6）x +1经过点()124m -，.（1）求a 的值；（2）求抛物线的对称轴（用含m 的式子表示）；（3）点()1m y -，，()2m y ，，()32m y +，在抛物线上，若231y y y ＜≤，求m 的取值范围.27. 如图，∠MON =α，点A 在ON 上，过点A 作OM 的平行线，与∠MON 的平分线交于点B ，点C 在OB 上（不与点O ，B 重合），连接AC ，将线段AC 绕点A 顺时针旋转180°-α，得到线段AD ，连接BD .（1）直接写出线段AO 与AB 之间的数量关系，并证明∠MOB =∠DBA ；（2）连接DC 并延长，分别交AB ，OM 于点E ，F . 若α=60°，用等式表示线段EF 与AC 之间的数量关系，并证明.28. 在平面直角坐标系xOy 中，对于点P ，C ，Q （点P 与点C 不重合），给出如下定义：若∠PCQ =90°，且1CQ CP k，则称点Q 为点P 关于点C 的“k -关联点”.已知点A （3，0），点B （0，），⊙O 的半径为r .（1）①在点D （0，3），E （0，-1.5），F （3，3）中，是点A 关于点O 的“1-关联点”的为；②点B 关于点O 的关联点”的坐标为；（2）点P 为线段AB 上的任意一点，点C 为线段OB 上任意一点（不与点B重合）.①若⊙O 上存在点P 关于点O 的关联点”，直接写出r 的最大值及最小值；②当r =⊙O 上不存在点P 关于点C 的“k -关联点”，直接写出k 的取值范围：.北京市朝阳区九年级综合练习（一）数学试卷答案及评分参考2023.4一、选择题（共16分，每题2分）题号12345678答案A B D C A B C A 二、填空题（共16分，每题2分）三、解答题（共68分，第17-20题，每题5分，第21题6分，第22题5分，第23-24题，每题6分，第25题5分，第26题6分，第27，28题，每题7分）17. 解：原式12=-++1=+.18. 解：原不等式组为17242.3x xxx+⎧⎪+⎨⎪⎩＞-，≤解不等式①，得 2.x>解不等式②，得 4.x≤∴原不等式组的解集为2 4.x<≤19. 解：(2)(2)(2)x x x x+---2242x x x=--+222 4.x x=--∵230x x--=，∴2 3.x x-=题号9101112答案5x≥23(1)a-9x=4题号13141516答案01951；1600①②∴原式22()4 2.x x =--=20. 方法一证明：∵AD 是△ABC 的中线， ∴BD =CD .在△ABD 和△ACD 中，AB AC AD AD BD CD =⎧⎪=⎨⎪=⎩，，，∴△ABD ≌△ACD . ∴∠B =∠C .方法二证明：∵AD 是△ABC 的角平分线， ∴∠BAD =∠CAD . 在△ABD 和△ACD 中，AB AC BAD CAD AD AD =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，，，∴△ABD ≌△ACD . ∴∠B =∠C.21. 证明：（1）∵四边形ABCD 是平行四边形，∴OA =OC . ∵AE ∥CF ，∴∠EAO =∠FCO .∵∠AOE =∠COF ，∴△AEO ≌△CFO . ∴OE =OF .∴四边形AECF 为平行四边形.（2）∵∠EAO +∠CFD =180°，∠CFO +∠CFD =180°，∴∠EAO=∠CFO . ∵∠EAO =∠FCO ，∴∠FCO=∠CFO . ∴OC=OF . ∴AC=EF .∴四边形AECF 是矩形．22. 解：（1）∵一次函数的图象经过点（0，1），（-2，2），∴12 2.b k b =⎧⎨-+=⎩，解得 121.k b ⎧=-⎪⎨⎪=⎩ ∴该一次函数的表达式为11.2y x =-+令0y =，得 2.x =∴()20.A ，（2） 4.m ＞-23. （1）证明：如图，连接OA .∵AD 为⊙O 的切线，∴∠OAD =90°.∴∠CAD +∠OAB =90°.∵OC ⊥AB ，∴∠ACD =90°.∴∠CAD +∠D =90°.∴∠OAB =∠D .∵OA =OB ，∴∠OAB =∠B .∴∠B =∠D .（2）解：在Rt △ACD 中，AD=，sin D =sin B，可得sin 2AC AD D =⋅=.∴AB =2AC =4.根据勾股定理，得CD =4.∴tan B =tan D =12.∵BE 为⊙O 的直径，0y kx b k =+≠（）∴∠EAB =90°.在Rt △ABE 中,tan 2AE AB B =⋅=.在Rt △ACE 中，根据勾股定理，得CE=24．解：（1）37．（2）根据题意可知，三个年级抽取的45名学生平均每天阅读时间的平均数为 1526.41535.21536.832.8.45⨯+⨯+⨯=（3）＜＜．25．解：（1）二次.（2）设s 关于t 的函数表达式为s =at 2+bt ，根据题意，得242 6.a b a b +=⎧⎨+=⎩，解得11.a b =⎧⎨=⎩，∴s 关于t 的函数表达式为s =t 2+t.（3）＞.26．解：（1）∵抛物线y =ax 2+（2m -6）x +1经过点()124m -，，∴2m -4=a +（2m -6）+1.∴a =1（2）由（1）得抛物线的表达式为y =x 2+（2m -6）x +1.∴抛物线的对称轴为3.x m =-（3）①当m ＞0时，可知点()1m y -，，()2m y ，，()32m y +，从左至右分布.根据23y y ＜可得232m m m ++-＜.∴ 1.m ＞根据31y y ≤可得232m m m -++-≥.∴ 2.m ≤22s 21s 23s∴1 2.m ＜≤②当m ≤0时，∵3m m m +≤-＜-，∴21y y ≥，不符合题意.综上，m 的取值范围为1 2.m ＜≤27．解：（1）AO =AB .证明：∵OB 平分∠MON ， ∴∠MOB =∠NOB. ∵OM //AB ，∴∠MOB =∠ABO. ∴∠NOB =∠ABO. ∴AO =AB .根据题意，得AC =AD ，∠OAB =∠CAD .∴∠CAO =∠DAB.∴△OAC ≌△BAD. ∴∠COA =∠DBA. ∴∠MOB =∠DBA.（2）EF =.证明：如图，在OM 上截取OH =BE ，连接CH .∵△OAC ≌△BAD ，∴OC=BD.又OH =BE ，∴△OHC ≌△BED.∴CH=DE ，∠OHC=∠BED ，∵OM//AB ，∴∠MFC=∠BED.∴∠MFC=∠OHC.∴CF=CH.∴CF=DE.∴CD=EF.∵α=60°，∴∠CAD=180°－α=120°，作AK ⊥CD 于点K. ∵AC=AD ，∴∠ACK =30°，1.2CK CD =∴.CK AC =∴CD =.∴EF =.28． 解：（1）①D .②（-3，0）或（3，0）.（2）① 3，32.②k .。

2024年北京市朝阳区中考数学一模试卷

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一、选择题（共16分，每题2分）第1-8题均有四个选项，其中符合题意的选项只有一个．1．（2分）2024年1月21日北京市第十六届人民代表大会第二次会议开幕，在政府工作报告中提到，2023年北京向天津、河北输出技术合同成交额74870000000元，将74870000000用科学记数法表示应为（）A．74.87×109B．7.487×1010C．7.487×109D．0.7487×10112．（2分）下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（）A．正三角形B．等腰直角三角形C．正五边形D．正六边形3．（2分）如图，直线AB，CD相交于点O，若∠AOC＝50°，∠DOE＝15°，则∠BOE 的度数为（）A．15°B．30°C．35°D．65°4．（2分）如果一个几何体的三视图都是矩形，那么这个几何体可能是（）A．三棱柱B．长方体C．圆柱D．圆锥5．（2分）若a＜b，则下列结论正确的是（）A．﹣a＜﹣b B．2a＜a+b C．1﹣a＜1﹣b D．2a+1＞2b+1 6．（2分）正十边形的内角和为（）A．144°B．360°C．1440°D．1800°7．（2分）掷一枚质地均匀的骰子，骰子的六个面上分别刻有1到6的点数，向上一面的点数为5的概率是（）A．B．C．D．8．（2分）如图，四边形ABCD是正方形，点E，F分别在AB，BC的延长线上，且BE＝CF，设AD＝a，AE＝b，AF＝c．给出下面三个结论：①a+b＞c；②2ab＜c2；③＞2a．上述结论中，所有正确结论的序号是（）A．①②B．②③C．①③D．①②③二、填空题（共16分，每题2分）9．（2分）若式子在实数范围内有意义，则x的取值范围是．10．（2分）分解因式：3x2+6xy+3y2＝．11．（2分）方程＝的解为．12．（2分）关于x的一元二次方程x2+5x+m＝0有两个不相等的实数根，则实数m的取值范围是．13．（2分）某种植户种植了1000棵新品种果树，为了解这1000棵果树的水果产量，随机抽取了50棵进行统计，获取了它们的水果产量（单位：千克），数据整理如下：水果产量x＜5050≤x＜7575≤x＜100100≤x＜125x≥125果树棵数11520122根据以上数据，估计这1000棵果树中水果产量不低于75千克的果树棵数为．14．（2分）在数学活动课上，小南利用镜子、尺子等工具测量学校教学楼高度（如图所示），当他刚好在点C处的镜子中看到教学楼的顶部D时，测得小南的眼睛与地面的距离AB ＝1.6m，同时测得BC＝2.4m，CE＝9.6m，则教学楼高度DE＝m．15．（2分）如图，⊙O是Rt△ABC的外接圆，OE⊥AB于点D，交⊙O于点E，若AB＝8，DE＝2，则BC的长为．16．（2分）甲、乙两位同学合作为班级联欢会制作A、B、C、D四个游戏道具，每个道具的制作都需要拼装和上色两道工序，先由甲同学进行拼装，拼装完成后再由乙同学上色．两位同学完成每个道具各自的工序需要的时间（单位：分钟）如表所示：A B C D甲9568乙7793（1）如果按照A→B→C→D的顺序制作，两位同学合作完成这四个道具的总时长最少为分钟；（2）两位同学想用最短的时间完成这四个道具的制作，他们制作的顺序应该是．三、解答题（共68分，第17-19题，每题5分，第20-21题，每题6分，第22-23题，每题5分，第24题6分，第25题5分，第26题6分，第27-28题，每题7分）解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程．17．（5分）计算：+|1﹣|+（2﹣π）0﹣2sin45°．18．（5分）解不等式组：．19．（5分）已知x+2y+2＝0，求代数式（x﹣）•的值．20．（6分）如图，在▱ABCD中，AB＝AC，过点D作AC的平行线与BA的延长线相交于点E．（1）求证：四边形ACDE是菱形；（2）连接CE，若AB＝5，tan B＝2，求CE的长．22．（5分）在平面直角坐标系xOy中，正比例函数y＝mx（m≠0）的图象和反比例函数y ＝（k≠0）的图象都经过点A（2，4）．（1）求该正比例函数和反比例函数的解析式；（2）当x＞3时，对于x的每一个值，函数y＝mx+n（m≠0）的值都大于反比例函数y ＝（k≠0）的值，直接写出n的取值范围．23．（5分）某广场用月季花树做景观造型，先后种植了两批各12棵，测量并获取了所有花树的高度（单位：cm），数据整理如下：a．两批月季花树高度的频数：131135136140144148149第一批1304220第二批0123501b．两批月季花树高度的平均数、中位数、众数（结果保留整数）：平均数中位数众数第一批140140n第二批141m144（1）写出表中m，n的值；（2）在这两批花树中，高度的整齐度更好的是（填“第一批”或“第二批”）；（3）根据造型的需要，这两批花树各选用10棵，且使它们高度的平均数尽可能接近．若第二批去掉了高度为135cm和149cm的两棵花树，则第一批去掉的两棵花树的高度分别是cm和cm．24．（6分）如图，AB是⊙O的直径，点C在⊙O上，D是的中点，AD的延长线与过点B的切线交于点E，AD与BC的交点为F．（1）求证：BE＝BF；（2）若⊙O的半径是2，BE＝3，求AF的长．25．（5分）某款电热水壶有两种工作模式：煮沸模式和保温模式，在煮沸模式下将水加热至100℃后自动进入保温模式，此时电热水壶开始检测壶中水温，若水温高于50℃水壶不加热；若水温降至50℃水壶开始加热，水温达到100℃时停止加热…此后一直在保温模式下循环工作．某数学小组对壶中水量a（单位：L），水温T（单位：℃）与时间t（单位：分）进行了观测和记录，以下为该小组记录的部分数据．表1 从20℃开始加热至100℃水量与时间对照表a0.51 1.52 2.53t 4.5811.51518.522表2 1L水从20℃开始加热，水温与时间对照表煮沸模式保温模式t036m101214161820222426…T205080100898072666055505560…对以上实验数据进行分析后，该小组发现，水壶中水量为1L时，无论在煮沸模式还是在保温模式下，只要水壶开始加热，壶中水温T就是加热时间t的一次函数．（1）写出表中m的值；（2）根据表2中的数据，补充完成以下内容：①在图中补全水温与时间的函数图象；②当t＝60时，T＝；（3）假设降温过程中，壶中水温与时间的函数关系和水量多少无关．某天小明距离出门仅有30分钟，他往水壶中注入2.5L温度为20℃的水，当水加热至100℃后立即关闭电源．出门前，他（填“能”或“不能”）喝到低于50℃的水．26．（6分）在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝ax2+bx（a＞0）上有两点（x1，y1），（x2，y2），它的对称轴为直线x＝t．（1）若该抛物线经过点（4，0），求t的值；（2）当0＜x1＜1时，①若t＞1，则y10；（填“＞”“＝”或“＜”）②若对于x1+x2＝2，都有y1y2＞0，求t的取值范围．27．（7分）如图，在菱形ABCD中，∠BAD＝120°，E是CD边上一点（不与点C，D重合）．将线段AE绕点A逆时针旋转60°得到线段AF，连接DF，连接BF交AC于点G．（1）依据题意，补全图形；（2）求证：GB＝GF；（3）用等式表示线段BC，CE，BG之间的数量关系．28．（7分）在平面直角坐标系xOy中，⊙O的半径为1，对于直线l和线段PQ，给出如下定义：若线段PQ关于直线l的对称图形是⊙O的弦P′Q′（P′，Q′分别为P，Q的对应点），则称线段PQ是⊙O关于直线l的“对称弦”．（1）如图，点A1，A2，A3，B1，B2，B3的横、纵坐标都是整数．线段A1B1，A2B2，A3B3中，是⊙O关于直线y＝x+1的“对称弦”的是；（2）CD是⊙O关于直线y＝kx（k≠0）的“对称弦”，若点C的坐标为（﹣1，0），且CD＝1，求点D的坐标；（3）已知直线y＝﹣x+b和点M（3，2），若线段MN是⊙O关于直线y＝﹣x+b 的“对称弦”，且MN＝1，直接写出b的值．。

2024年北京市人大附中朝阳学校中考数学一模试卷及答案解析

2024年北京市人大附中朝阳学校中考数学一模试卷及答案解析

2024年北京市人大附中朝阳学校中考数学一模试卷一.选择题（共16分，每小题2分）1．（2分）右图是某几何体的三视图，该几何体是（）A．长方体B．三棱柱C．圆锥D．圆柱2．（2分）2023年我国规模以上内容创作生产营业收入累计值前三个季度分别约为6500亿元，13000亿元，20000亿元，合计约39500亿元，将39500用科学记数法表示应为（）A．395×102B．3.95×104C．3.95×103D．0.395×105 3．（2分）不透明的袋子中装有2个红球和3个黄球，两种球除颜色外无其他差别，从中随机摸出一个小球，摸到黄球的概率是（）A．B．C．D．4．（2分）如图，直线AB，CD相交于点O，若∠AOC＝60°，∠BOE＝40°，则∠DOE 的度数为（）A．60°B．40°C．20°D．10°5．（2分）正六边形的外角和是（）A．720°B．540°C．360°D．180°6．（2分）已知关于x的方程x2﹣2x+a＝0有两个相等的实数根，则a的值为（）A．﹣1B．0C．2D．17．（2分）图1是变量y与变量x的函数关系的图象，图2是变量z与变量y的函数关系的图象，则z与x的函数关系的图象可能是（）A．B．C．D．8．（2分）如图，正方形边长为a，点E是正方形ABCD内一点，满足∠AEB＝90°，连接CE．给出下面四个结论：①AE+CE≥a；②CE≤a；③∠BCE的度数最大值为60°；④当CE＝a时，tan∠ABE＝．上述结论中，所有正确结论的序号为（）A．①②B．①③C．①④D．①③④二.填空题（共16分，每小题2分）9．（2分）若在实数范围内有意义，则实数x的取值范围是．10．（2分）分解因式：3x2﹣12＝．11．（2分）方程的解为．12．（2分）在平面直角坐标系xOy中，若反比例函数的图象经过点A（2，m）和点B （﹣2，n），则m+n＝．13．（2分）如图，树AB在路灯O的照射下形成投影AC，已知路灯高PO＝5m，树影AC ＝3m，树AB与路灯O的水平距离AP＝4.5m，则树的高度AB长是米．14．（2分）如图，AB 是⊙O 的直径，CD 是弦，连接AC ，AD ．若∠BAC ＝40°，则∠D ＝_______°．15．（2分）用一组a ，b ，m 的值说明“若a ＜b ，则ma ＞mb ”是错误的，这组数可以是a ＝，b ＝，m ＝．16．（2分）从甲地到乙地有A ，B ，C 三条不同的公交线路．为了解早高峰期间这三条线路上的公交车从甲地到乙地的用时情况，在每条线路上随机选取了500个班次的公交车，收集了这些班次的公交车用时（单位：分钟）的数据，统计如下：公交车用时公交车用时的频数线路30≤t ≤3535＜t ≤4040＜t ≤4545＜t ≤50合计A 59151166124500B 5050122278500C4526516723500早高峰期间，乘坐（填“A ”，“B ”或“C ”）线路上的公交车，从甲地到乙地“用时不超过45分钟”的可能性最大．三.解答题（共52分）17．计算：6cos45°﹣+|﹣5|﹣（π﹣2）0．18．解不等式组：．19．已知x 2﹣x ﹣3＝0，求代数式（x +2）（x ﹣2）﹣x （2﹣x ）的值．20．如图，在△ABC 中，AB ＝AC ．（1）使用直尺和圆规，作AD ⊥BC 交BC 于点D （保留作图痕迹）；（2）以D 为圆心，DC 的长为半径作弧，交AC 于点E ，连接BE ，DE ．①∠BEC ＝°；②写出图中一个与∠CBE相等的角．21．如图，在四边形ABCD中，∠ACB＝∠CAD＝90°，点E在BC上，AE∥DC，EF⊥AB，垂足为F．（1）求证：四边形AECD是平行四边形；（2）若AE平分∠BAC，BE＝5，cos B＝，求BF和AD的长．22．在平面直角坐标系xOy中，一次函数y＝kx+b（k≠0）的图象经过点（0，1），（﹣2，2），与x轴交于点A．（1）求该一次函数的表达式及点A的坐标；（2）当x≥2时，对于x的每一个值，函数y＝2x+m的值大于一次函数y＝kx+b（k≠0）的值，直接写出m的取值范围．23．列方程解应用题：无人配送以其高效、安全、低成本等优势，正在成为物流运输行业的新趋势．某物流园区使用1辆无人配送车平均每天配送的包裹数量是1名快递员平均每天配送包裹数量的5倍．要配送6000件包裹，使用1辆无人配送车所需时间比4名快递员同时配送所需时间少2天，求1名快递员平均每天可配送包裹多少件？24．如图，AB是⊙O的直径，点E是OB的中点，过E作弦CD⊥AB，连接AC，AD．（1）求证：△ACD是等边三角形；（2）若点F是的中点，连接AF，过点C作CG⊥AF，垂足为G，若⊙O的半径为2，求线段CG的长．25．学校组织九年级学生进行跨学科主题学习活动，利用函数的相关知识研究某种化学试剂的挥发情况．在两种不同的场景A和场景B下做对比实验，设实验过程中，该试剂挥发时间为x分钟时，在场景A，B中的剩余质量分别为y1，y2（单位：克）．下面是某研究小组的探究过程，请补充完整：记录y1，y2与x的几组对应值如下：x（分钟）05101520…y1（克）2523.52014.57…y2（克）252015105…（1）在同一平面直角坐标系xOy中，描出上表中各组数值所对应的点（x，y1），（x，y2），并画出函数y1，y2的图象；（2）进一步探究发现，场景A的图象是抛物线的一部分，y1与x之间近似满足二次函数：．场景B的图象是直线的一部分y2与x之间近似满足一次函数y2＝kx+c（k≠0）．则b＝，c＝，k＝；（3）查阅文献可知，该化学试剂的质量不低于4克时，才能发挥作用，在上述实验中，记该化学试剂在场景A，B中发挥作用的时间分别为x A，x B，则x A x B（填“＞”，“＝”或“＜”）．26．在平面直角坐标系xOy中，点M（x1，y1），N（x2，y2）是抛物线y＝ax2﹣2ax+c（a＞0）上任意两点．（1）直接写出抛物线的对称轴；（2）若x1＝a+1，x2＝a+2，比较y1与y2的大小，并说明理由；（3）若对于m＜x1＜m+1，m+1＜x2＜m+2，总有y1＜y2，求m的取值范围．27．如图，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝2α（45°＜α＜90°）D是BC的中点，E是BD的中点，连接AE．将射线AE绕点A逆时针旋转α得到射线AM，过点E作EF⊥AE 交射线AM于点F．（1）①依题意补全图形；②求证：∠B＝∠AFE；（2）连接CF，DF，用等式表示线段CF，DF之间的数量关系，并证明．28．在平面直角坐标系xOy中，⊙O的半径为1，点P是⊙O外一点，给出如下定义：若在⊙O上存在点T，使得点P关于某条过点T的直线对称后的点Q在⊙O上，则称点Q为点P关于⊙O的“关联对称点”．（1）若点P在直线y＝2x上；①若点P的坐标为（1，2），则Q1（0，1），Q2（1，0），中，是点P关于⊙O的“关联对称点”的是；②若存在点P关于⊙O的“关联对称点”，求点P的横坐标x P的取值范围；（2）已知点，动点M满足AM≤1，若点M关于⊙O的“关联对称点”N存在，直接写出MN的取值范围．2024年北京市人大附中朝阳学校中考数学一模试卷参考答案与试题解析一.选择题（共16分，每小题2分）1．【分析】根据几何体的主视图和左视图都是长方形，可判断该几何体是柱体，进而根据俯视图的形状，可判断柱体侧面形状，得到答案．【解答】解：由几何体的主视图和左视图都是长方形，可知该几何体是柱体，又因为俯视图是长方形，故该几何体是长方体．故选：A．【点评】本题考查了由三视图判断几何体，如果有两个视图为三角形，该几何体一定是锥体，如果有两个长方形，该几何体一定柱体，其底面由第三个视图的形状决定．2．【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值≥10时，n是正整数；当原数的绝对值＜1时，n是负整数．【解答】解：39500＝3.95×104，故选：B．【点评】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．3．【分析】直接由概率公式求解即可．【解答】解：从中随机摸出一个小球，摸到黄球的概率是＝，故选：D．【点评】本题考查了概率公式：概率＝所求情况数与总情况数之比．熟记概率公式是解题的关键．4．【分析】由对顶角的性质得到∠BOD度数，而∠BOE＝40°，即可求出∠DOE的度数．【解答】解：∵∠BOD＝∠AOC＝60°，∠BOE＝40°，∴∠DOE＝∠BOD﹣∠BOE＝60°﹣40°＝20°．故选：C．【点评】本题考查对顶角，角的计算，关键是掌握对顶角的性质．5．【分析】根据任何多边形的外角和是360度即可求出答案．【解答】解：六边形的外角和是360°．故选：C ．【点评】本题考查了多边形的外角和定理，关键是掌握任何多边形的外角和是360度，外角和与多边形的边数无关．6．【分析】根据判别式的意义得到Δ＝（﹣2）2﹣4×1×a ＝0，然后解一次方程即可【解答】解：根据题意得Δ＝（﹣2）2﹣4×1×a ＝0，解得a ＝1．故选：D ．【点评】本题考查了一元二次方程ax 2+bx +c ＝0（a ≠0）的根的判别式Δ＝b 2﹣4ac ：当Δ＞0，方程有两个不相等的实数根；当Δ＝0，方程有两个相等的实数根；当Δ＜0，方程没有实数根．7．【分析】由图1可设y ＝kx +b （k ，b 为常数，且k ＜0，b ＞0），由图2可设z ＝my （m 为常数，m ＞0），将y ＝kx +b 代入z ＝my 得z ＝mkx +mb ，再根据一次函数图象与系数之间的关系即可判断．【解答】解：由图1可设y ＝kx +b （k ，b 为常数，且k ＜0，b ＞0），由图2可设z ＝my （m 为常数，m ＞0），将y ＝kx +b 代入z ＝my 得：z ＝m （kx +b ）＝mkx +mb ，∴z 与x 的函数关系为一次函数关系，∵k ＜0，b ＞0，m ＞0，∴mk ＜0，mb ＞0，∴z 与x 的函数图象过一、二、四象限．故选：C ．【点评】本题主要考查函数的图象，一次函数的图象与性质，根据图象正确设出函数解析式，学会利用整体思想解决问题是解题关键．8．【分析】根据正方形性质和切线的性质定理逐项分析判断即可．【解答】解：①连接AC ，△ABC 为等腰直角三角形，AC ＝a ，所以AE +CE ≥a正确；②连接CO ，OC ＝＝，CE最小＝＝，故CE ≥a ；故②错误；③当CE 与圆O 相切时，∠BCE 最大，此时∠BCE ＝2∠OCB ，若∠BCE ＝60°，则∠BCO＝30°，tan30＝，但此时tan∠BCO＝，故③错误；④当CE＝a时，CE与圆O相切，tan∠ABE＝tan∠BCO＝，故④正确．故选：C．【点评】本题考查了切线的性质定理，熟练掌握切线的性质是解答本题的关键．二.填空题（共16分，每小题2分）9．【分析】根据二次根式有意义的条件即可解得．【解答】解：由题意可得，∴x﹣1≥0，∴x≥1，故答案为：x≥1．【点评】此题考查了二次根式的意义，解题的关键是列出不等式求解．10．【分析】原式提取3，再利用平方差公式分解即可．【解答】解：原式＝3（x2﹣4）＝3（x+2）（x﹣2）．故答案为：3（x+2）（x﹣2）．【点评】本题考查因式分解．因式分解的步骤为：一提公因式；二看公式．公式包括平方差公式与完全平方公式，要能用公式法分解必须有平方项，如果是平方差就用平方差公式来分解，如果是平方和需要看还有没有两数乘积的2倍，如果没有两数乘积的2倍还不能分解．解答这类题时一些学生往往因分解因式的步骤、方法掌握不熟练，对一些乘法公式的特点记不准确而误选其它选项．要求灵活使用各种方法对多项式进行因式分解，一般来说，如果可以提取公因式的要先提取公因式．11．【分析】按照解分式方程的步骤，进行计算即可解答．【解答】解：，3x＝2（x+2），解得：x＝4，检验：当x＝4时，x（x+2）≠0，∴x＝4是原方程的根，故答案为：x＝4．【点评】本题考查了解分式方程，一定要注意解分式方程必须检验．12．【分析】根据反比例函数系数k＝xy得到2m＝﹣2n，即m＝﹣n，即可得到m+n＝0．【解答】解：∵反比例函数的图象经过点A（2，m）和点B（﹣2，n），∴2m＝﹣2n，∴m＝﹣n，∴m+n＝0．故答案为：0．【点评】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，根据反比例函数系数k＝xy得到2m＝﹣2n是解题的关键．13．【分析】利用相似三角形的性质求解即可．【解答】解：∵AB∥OP，∴△CAB∽△CPO，∴，∴＝，∴AB＝2（m），答：树的高度AB长是2m，故答案为：2．【点评】本题考查中心投影以及相似三角形的应用．测量不能到达顶部的物体的高度，通常利用相似三角形的性质即相似三角形的对应边的比相等和“在同一时刻物高与影长的比相等”的原理解决．14．【分析】连接BC．利用三角形内角和定理求出∠B，即可解决问题．【解答】解：如图，连接BC．∵AB是直径，∴∠ACB＝90°．∵∠CAB＝40°，∴∠B＝90°﹣∠CAB＝50°，∴∠ADC＝∠B＝50°，故答案为：50．【点评】本题考查圆周角定理，三角形内角和定理等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．15．【分析】根据不等式的性质即可求得答案．【解答】解：若a＝2，b＝3，m＝4时，那么ma＝4×2＝8，mb＝4×3＝12，此时a＜b，但ma＜mb，那么原结论错误，故答案为：2（答案不唯一）；3（答案不唯一）；4（答案不唯一）．【点评】本题考查不等式的性质，此为基础且重要知识点，必须熟练掌握．16．【分析】分别计算出用时不超过45分钟的可能性大小即可得．【解答】解：∵A线路公交车用时不超过45分钟的可能性为＝0.752，B线路公交车用时不超过45分钟的可能性为＝0.444，C线路公交车用时不超过45分钟的可能性为＝0.954，∴C线路上公交车用时不超过45分钟的可能性最大，故答案为：C．【点评】本题主要考查可能性的大小，解题的关键是掌握频数估计概率思想的运用．三.解答题（共52分）17．【分析】首先计算零指数幂、特殊角的三角函数值、开平方和绝对值，然后计算乘法，最后从左向右依次计算，求出算式的值即可．【解答】解：6cos45°﹣+|﹣5|﹣（π﹣2）0＝6×﹣3+5﹣1＝3﹣3+5﹣1＝4．【点评】此题主要考查了实数的运算，解答此题的关键是要明确：在进行实数运算时，和有理数运算一样，要从高级到低级，即先算乘方、开方，再算乘除，最后算加减，有括号的要先算括号里面的，同级运算要按照从左到右的顺序进行．18．【分析】分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小找不到确定不等式组的解集．【解答】解：，解不等式①得：x＞3，解不等式②得：x＜5，则不等式组的解集为3＜x＜5．【点评】本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．19．【分析】根据单项式乘多项式的运算法则、平方差公式、合并同类项法则把原式化简，把已知等式变形，代入计算即可．【解答】解：（x+2）（x﹣2）﹣x（2﹣x）＝x2﹣4﹣（2x﹣x2）＝x2﹣4﹣2x+x2＝2x2﹣2x﹣4，∵x2﹣x﹣3＝0，∴x2﹣x＝3，则原式＝2（x2﹣x）﹣4＝2×3﹣4＝2．【点评】本题考查的是整式的化简求值，掌握整式的混合运算法则是解题的关键．20．【分析】（1）利用基本作图，作BC的垂直平分线得到AD；（2））①根据等腰三角形的性质得到DB＝DC，则BC为⊙O的直径，然后根据圆周角定理得到∠BEC＝90°；②先利用AB＝AC得到∠ABC＝∠ACB，再根据圆周角定理得到∠CFB＝∠BEC＝90°，根据等角的余角相等得到∠CBE＝∠CAD＝∠BAD＝∠BCF．【解答】解：（1）如图，AD为所作；（2）①∵AB＝AC，AD⊥BC，∴DB＝DC，AD平分∠BAC，∴BC为⊙O的直径，∴∠BEC＝90°；故答案为：90；②∵AB＝AC，∴∠ABC＝∠ACB，∴BC为⊙O的直径，∴∠CFB＝∠BEC＝90°，∴∠CBE＝∠BCF，∵∠CBE+∠BCE＝90°，∠CAD+∠ACD＝90°，∴∠CBE＝∠CAD，∴∠CBE＝∠CAD＝∠BAD＝∠BCF．故答案为：∠BCF（答案不唯一）．【点评】本题考查了作图﹣基本作图：熟练掌握5种基本作图是解决问题的关键．也考查了等腰三角形的性质和圆周角定理．21．【分析】（1）证AD∥CE，再由AE∥DC，即可得出结论；（2）先由锐角三角函数定义求出BF＝4，再由勾股定理求出EF＝3，然后由角平分线的性质得EC＝EF＝3，最后由平行四边形的性质求解即可．【解答】（1）证明：∵∠ACB＝∠CAD＝90°，∴AD∥CE，∵AE∥DC，∴四边形AECD是平行四边形；（2）解：∵EF⊥AB，∴∠BFE＝90°，∵cos B＝＝，BE＝5，∴BF＝BE＝×5＝4，∴EF＝＝＝3，∵AE平分∠BAC，EF⊥AB，∠ACE＝90°，∴EC＝EF＝3，由（1）得：四边形AECD是平行四边形，∴AD＝EC＝3．【点评】本题考查了平行四边形的判定与性质、锐角三角函数定义、角平分线的性质以及勾股定理等知识；熟练掌握锐角三角函数定义，证明四边形AECD为平行四边形是解题的关键．22．【分析】（1）先利用待定系数法求出函数解析式为y＝﹣x+1，然后计算自变量为0时对应的函数值得到A点坐标；（2）当函数y＝x+n与y轴的交点在点A（含A点）上方时，当x＞0时，对于x的每一个值，函数y＝2x+m的值大于函数y＝kx+b（k≠0）的值．【解答】解：∵一次函数y＝kx+b（k≠0）的图象经过点（0，1），（﹣2，2），∴，解得，该一次函数的表达式为y＝﹣x+1，令y＝0，得0＝﹣x+1，∴x＝2，∴A（2，0）；（2）当x≥2时，对于x的每一个值，函数y＝2x+m的值大于一次函数y＝kx+b（k≠0）的值，∴2x+m＞﹣x+1，∴m＞﹣4．【点评】本题考查了待定系数法求一次函数解析式：掌握待定系数法求一次函数解析式一般步骤是解决问题的关键．也考查了一次函数的性质．23．【分析】设1名快递员平均每天可配送包裹x件，则1辆无人配送车平均每天可配送包裹5x件，利用工作时间＝工作总量÷工作效率，结合“要配送6000件包裹，使用1辆无人配送车所需时间比4名快递员同时配送所需时间少2天”，可列出关于x的分式方程，解之经检验后，即可得出结论．【解答】解：设1名快递员平均每天可配送包裹x件，则1辆无人配送车平均每天可配送包裹5x件，根据题意得：﹣＝2，解得：x＝150，经检验，x＝150是所列方程的解，且符合题意．答：1名快递员平均每天可配送包裹150件．【点评】本题考查了分式方程的应用，找准等量关系，正确列出分式方程是解题的关键．24．【分析】（1）连接OC，先证AB是CD的垂直平分线，从而得AC＝AD，∠DAE＝∠CAE，在Rt△OCE中，利用锐角三角函数可求出∠COE＝60°，进而可得∠DAE＝∠CAE＝60°，则∠CAD＝60°，据此可得出结论；（2）先利用（1）得结论证明∠CAF＝30°，然后求出AE＝3，进而求出AC＝，最后在Rt△ACG中根据AC＝，∠CAF＝30°可得CG的长．【解答】（1）证明：连接OC，如图：∵AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB，∴AB是CD的垂直平分线，∴AC＝AD，∴∠DAE＝∠CAE，∵OC＝OB，点E为OB的中点，∴OE＝OB＝OC，在Rt△OCE中，cos∠COE＝＝，∴∠COE＝60°，∴∠CAE＝∠COE＝30°，∴∠DAE＝∠CAE＝30°，∴∠CAD＝∠DAE+∠CAE＝60°，∴△ABC为等边三角形．（2）解：由（1）可知：△ACD是等边三角形，∠CAE＝30°，∴∠D＝60°，∵点F为弧AC的中点，∴∠CAF＝30°，∵⊙O的半径为2，∴OA＝OB＝2，∵点E为OB的中点，∴OE＝1，∴AE＝OA+OE＝2+1＝3，在Rt△ACE中，cos∠CAE＝，∴AC＝＝＝，在Rt△ACG中，AC＝，∠CAF＝30°，∴CG＝AC＝．【点评】此题主要考查了垂径定理及其推论，等边三角形的判定和性质，锐角三角函数，理解垂径定理及其推论，熟练掌握等边三角形的判定和性质，灵活运用锐角三角函数进行计算是解答此题的关键．25．【分析】（1）依据题意，根据表格数据描点，连线即可作图得解；（2）根据函数图象确定点的坐标，利用待定系数法解答即可；（3）依据题意，分别求出当y＝4时x的值，即可得出答案．【解答】解：（1）由题意，作图如下．（2）由题意，场景A的图象是抛物线的一部分，y1与x之间近似满足函数关系y1＝﹣0.04x2+bx+c．又点（0，25），（10，20）在函数图象上，∴．解得：．∴场景A函数关系式为y1＝﹣0.04x2﹣0.1x+25．对于场景B的图象是直线的一部分，y2与x之间近似满足函数关系y2＝kx+c．又（0，25），（10，15）在函数图象上，∴，解得：，∴场景B函数关系式为y2＝﹣x+25．故答案为：﹣0.1，25，﹣1；（3）由题意，当y＝4时，场景A中，x A≈21.7，场景B中，4＝﹣x B+25，解得：x B＝21，∴x A＞x B．故答案为：＞．【点评】本题主要考查了一次函数、二次函数的应用，读懂题意是解答本题的关键．26．【分析】（1）更近抛物线对称轴公式求出即可；（2）根据条件点M、N都在对称轴右侧，根据函数增减性进行解答即可；（3）根据二次函数图象上点的坐标特征，分析MN中点坐标与对称轴的关系得到不等式，解不等式即可得到m的取值范围．【解答】解：（1）抛物线y＝ax2﹣2ax+c（a＞0）的对称轴为：x＝﹣＝1，∴抛物线的对称轴为直线x＝1；（2）∵a＞0，抛物线开口向上，对称轴为直线x＝1；∴M（x1，y1），N（x2，y2）都在对称轴右侧，∵当x＞1时，y随x的增大而增大，且x1＜x2，∴y1＜y2；（3）∵m＜x1＜m+1，m+1＜x2＜m+2，∴＜，∵y1＜y2，a＞0，∴M（x1，y1）距离对称轴更近，x1＜x2，则MN的中点在对称轴的右侧，∴解得：m．【点评】本题考查了二次函数的性质，熟练掌握二次函数的性质是解答本题的关键．27．【分析】（1）①根据题意画出图形，即可求解；②由余角的性质可得结论；（2）由“SAS”可证△ABE≌△HDE，可得∠BAE＝∠AHD，AB＝DH＝AC，由“SAS”可证△ACF≌△HDF，可得CF＝DF．【解答】解：（1）①解：如图所示，②证明：如图，连接AD，∵AB＝AC，点D是BC的中点，∴∠BAD＝∠CAD＝α，∠B+∠BAD＝90°，∵将射线AE绕点A逆时针旋转α得到射线AM，∴∠EAF＝α＝∠BAD，∵EF⊥AE，∴∠EAF+∠AFE＝90°，∴∠B＝∠AFE；（2）解：DF＝CF，理由如下：如图，延长AE至H，使EH＝AE，连接DH，∵点E是BD的中点，∴BE＝DE，又∵AE＝EH，∠AEB＝∠HED，∴△ABE≌△HDE（SAS），∴∠BAE＝∠AHD，AB＝DH＝AC，∵AE＝EH，AE⊥EF，∴AF＝FH，∴∠FAE＝∠FHE＝α，∵∠BAC＝2α，∴∠BAE+∠CAF＝α＝∠AHD+∠FHD，∴∠CAF＝∠FHD，∴△ACF≌△HDF（SAS），∴DF＝CF．【点评】本题是三角形综合题，考查了等腰三角形的性质，旋转的性质，全等三角形的判定和性质等知识，添加恰当辅助线构造全等三角形是解题的关键．28．【分析】（1）①根据新定义，画出图形，进而即可求解；②设y＝2x与⊙O交于点M，N，过点N，P分别作x轴的垂线，垂足分别为A，B，根据勾股定理得出x2+y2＝1，联立直线解析式，得出交点坐标，进而根据平行线分线段成比例得出p＝，同理可得p的最小值为﹣即可求解；（2）依题意，关于⊙O的关联点在半径为3的圆内，进而根据点与圆的位置关系，求得MN的最值，即可求解．【解答】解：（1）解：如图所示，PQ3连线的中点在⊙O的内部，PQ1的中点的纵坐标为1，则点P，Q1关于y＝1对称，点P关于⊙O的关联点是Q3，Q2，故答案为：Q2，Q3．②如图所示，点P在线段RS和UW上，设R（m，2m），在Rt△OHR中，m2+（2m）2＝32，解得m＝或m＝﹣（舍），∴x R＝；同理x S＝，x U＝﹣，x W＝﹣，∴﹣≤p＜﹣或＜p≤；（2）依题意，关于⊙O的关联点在半径为3的圆内，如图所示，∵AM≤1，则M在半径为1的⊙A上以及圆内，M关于⊙O的关联点N，∴MN的最大值为OM+ON＝3+1＝4，如图所示，当M在线段OA上时，MN取最小值，∴OA＝＝，设MN＝GH＝x，则GT＝HT＝x，∴MH2＝（）2﹣（1+x）2，∴NG2＝12﹣（1﹣x）2，∴（）2﹣（1+x）2＝12﹣（1﹣x）2，解得x＝，∴≤MN≤4．【点评】本题考查了坐标与图形，勾股定理，平行线分线段成比例，解一元二次方程，点与圆的位置关系求最值问题，熟练掌握以上知识是解题的关键。

2024年北京市石景山区中考数学一模试卷

2024年北京市石景山区中考数学一模试卷

、选择题（共16分，每题2分）第1-8题均有四个选项，符合题意的选项只有一个．1．（2分）下列几何体中，主视图是三角形的是（）A．B．C．D．2．（2分）2023年10月26日，搭载神舟十七号载人飞船的长征二号F摇十七运载火箭在酒泉卫星发射中心成功发射．长征二号F（代号：CZ﹣2F，简称：长二F，绰号：神箭）主要用于发射神舟飞船和大型目标飞行器到近地轨道，其近地轨道运载能力是8500千克．将8500用科学记数法表示应为（）A．85×102B．8.5×102C．8.5×103D．0.85×1043．（2分）下列图书馆标志图形中，是轴对称图形的是（）A．B．C．D．4．（2分）如图，直线a∥b，直线l与a，b分别交于点A，B，过点A作AC⊥b于点C．若∠1＝55°，则∠2的大小为（）A．35°B．45°C．55°D．125°5．（2分）已知m+3＜0，则下列结论正确的是（）A．﹣3＜m＜﹣m＜3B．m＜﹣3＜﹣m＜3C．﹣3＜m＜3＜﹣m D．m＜﹣3＜3＜﹣m 6．（2分）一个多边形的内角和是720°，这个多边形的边数是（）A．4B．5C．6D．77．（2分）不透明的袋子中装有两个黄球和一个红球，除颜色外三个小球无其他差别．从中随机摸出一个小球，放回并摇匀，再从中随机摸出一个小球，那么两次都摸到黄球的概率是（）A．B．C．D．8．（2分）如图，∠ABC＝90°，BA＝BC，BM是∠ABC内部的射线且∠CBM＜45°，过点A作AD⊥BM于点D，过点C作CE⊥BM于点E，在DA上取点F，使得DF＝DE，连接EF．设CE＝a，BE＝b，EF＝c，给出下面三个结论：①；②；③．上述结论中，所有正确结论的序号是（）A．①②B．①③C．②③D．①②③二、填空题（共16分，每题2分）9．（2分）若在实数范围内有意义，则实数x的取值范围是．10．（2分）分解因式：xy2﹣4x＝．11．（2分）如图，在▱ABCD中，点E在BC上且EB＝2EC，AE与BD交于点F．若BD＝5，则BF的长为．12．（2分）方程的解为．13．（2分）在平面直角坐标系xOy中，若点A（1，y1），B（3，y2）在反比例函数y＝（k ＞0）的图象上，则y1y2（填“＞”“＝”或“＜”）．14．（2分）若关于x的一元二次方程x2﹣2x﹣m＝0有两个相等的实数根，则m的值是．15．（2分）如图，AB是⊙O的直径，P是AB延长线上一点，PC与⊙O相切于点C．若∠P＝40°，则∠A＝°．16．（2分）某酒店在客人退房后清洁客房需打扫卫生、整理床铺、更换客用物品、检查设备共四个步骤．某清洁小组有甲、乙、丙三名工作人员，工作要求如下：①“打扫卫生”只能由甲完成；每间客房“打扫卫生”完成后，才能进行该客房的其他三个步骤，这三个步骤可由任意工作人员完成并可同时进行；②一个步骤只能由一名工作人员完成，此步骤完成后该工作人员才能进行其他步骤；③每个步骤所需时间如表所示：步骤打扫卫生整理床铺更换客用物品检查设备所需时间/分钟9764在不考虑其他因素的前提下，若由甲单独完成一间客房的清洁工作，需要分钟；若由甲、乙、丙合作完成四间客房的清洁工作，则最少需要分钟．三、解答题（共68分，第17-19题，每题5分，第20-21题，每题6分，第22-23题，每题5分，第24题6分，第25题5分，第26题6分，第27-28题，每题7分）解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程．17．（5分）计算：．18．（5分）解不等式组：．19．（5分）已知x2﹣3x﹣6＝0，求代数式的值．20．（6分）如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，AB＝AD，AE平分∠BAD交BC于点E，连接DE．（1）求证：四边形ABED是菱形；（2）连接BD交AE于点F．若∠BCD＝90°，cos∠DBC＝，BD＝2，求EC的长．21．（6分）为了保护水资源，提倡节约用水，北京市居民用水实行阶梯水价，实施细则如表：北京市居民用水阶梯水价表（单位：元/立方米）供水类型阶梯户年用水量（立方米）水价其中水费水资源费污水处理费自来水第一阶梯0﹣180（含）5 2.07 1.57 1.36第二阶梯181﹣260（含）7 4.07第三阶梯260以上9 6.07某户居民2023年用水共缴纳1040元，求这户居民2023年的用水量．22．（5分）在平面直角坐标系xOy中，函数y＝kx+b（k≠0）的图象过点A（0，3）和B（﹣2，1），与过点（0，5）且平行于x轴的直线交于点C．（1）求该函数的解析式及点C的坐标；（2）当x＜2时，对于x的每一个值，函数y＝mx（m≠0）的值小于y＝kx+b（k≠0）的值，直接写出m的取值范围．23．（5分）为了培养学生的爱国情感，某校在每周一或特定活动日举行庄严的升国旗仪式．该校的国旗护卫队共有18名学生，测量并获取了所有学生的身高（单位：cm），数据整理如下：a.18名学生的身高：170，174，174，175，176，177，177，177，178，178，179，179，179，179，181，182，183，186b.18名学生的身高的平均数、中位数、众数：平均数中位数众数178m n（1）写出表中m，n的值；（2）该校的国旗护卫队由升旗手、护旗手、执旗手组成，其中12名执旗手分为两组：甲组学生的身高175177177178178181乙组学生的身高170174174176177179对于不同组的学生，如果一组学生的身高的方差越小，则认为该组的执旗效果越好．据此推断：在以上两组学生中，执旗效果更好的是（填“甲组”或“乙组”）；（3）该校运动会开幕式的升国旗环节需要6名执旗手，因甲组部分学生另有任务，已确定四名执旗手的身高分别为175，177，178，178．在乙组选另外两名执旗手时，要求所选的两名学生与已确定的四名学生所组成的六名执旗手的身高的方差最小，则选出的另外两名学生的身高分别为和．24．（6分）如图，AB是⊙O的直径，CD是⊙O的弦，CD⊥AB于点E，点F在⊙O上且，连接AF．（1）求证：AF＝CD；（2）连接BF，BD．若AE＝2，BF＝6，求BD的长．25．（5分）某农科所的科研小组在同一果园研究了甲、乙两种果树的生长规律．记果树的生长时间为x（单位：年），甲种果树的平均高度为y1（单位：米），乙种果树的平均高度为y2（单位：米）．记录的部分数据如下：x0.0 1.0 2.0 3.0 4.0 5.0 6.07.08.09.010.0 y1 1.00 2.50 5.007.509.009.649.879.959.9810.0010.00 y2 1.50 4.24 5.67 5.95 5.99 6.00 6.00 6.00 6.00 6.00 6.00对以上数据进行分析，补充完成以下内容．（1）可以用函数刻画y1与x，y2与x之间的关系，在同一平面直角坐标系xOy中，已经画出y1与x的函数图象，请画出y2与x的函数图象；（2）当甲种果树的平均高度达到8.00米时，生长时间约为年（结果保留小数点后一位）；当乙种果树的平均高度为5.00米时，两年后平均高度约为米（结果保留小数点后两位）；（3）当甲、乙两种果树的平均高度相等时，生长时间约为年（结果保留小数点后一位）．26．（6分）在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝x2﹣（2+m）x+2m的对称轴为直线x＝t．（1）求t的值（用含m的代数式表示）；（2）点A（﹣t，y1），B（t，y2），C（t+1，y3）在该抛物线上．若抛物线与x轴的一个交点为（x0，0），其中0＜x0＜2，比较y1，y2，y3的大小，并说明理由．27．（7分）在△ABC中，AB＝AC，0°＜∠BAC＜60°，将线段BC绕点B逆时针旋转60°得到线段BD，连接AD．将线段AD绕点A顺时针旋转90°得到线段AE，连接DE．（1）如图1，求证：EA∥BC；（2）延长BC到点F，使得CF＝CB，连接DF交AC于点M，依题意补全图2．若点M 是AC的中点，用等式表示线段MF，MD，DE之间的数量关系，并证明．28．（7分）对于线段MN和点P给出如下定义：点P在线段MN的垂直平分线上，若以点P为圆心，PM为半径的优弧上存在三个点A，B，C，使得△ABC是等边三角形，则称点P是线段MN的“关联点”．例如，图1中的点P是线段MN的一个“关联点”．特别地，若这样的等边三角形有且只有一个，则称点P是线段MN的“强关联点”．在平面直角坐标系xOy中，点A的坐标为（2，0）．（1）如图2，在点C1（1，﹣3），C2（1，0），，C4（2，1）中，是线段OA的“关联点”的是；（2）点B在直线上．存在点P，是线段OA的“关联点”，也是线段OB的“强关联点”．①直接写出点B的坐标；②动点D在第四象限且AD＝2，记∠OAD＝α．若存在点Q，使得点Q是线段AD的“关联点”，也是OB的“关联点”，直接写出α及线段AQ的取值范围．。

2024年北京市东城区九年级中考复习一模数学试卷(含答案)

2024年北京市东城区九年级中考复习一模数学试卷(含答案)

东城区2023—2024学年度第二学期初三年级统一测试（一）数学试卷2024．4一、选择题（本题共16分，每小题2分）第1-8题均有四个选项，符合题意的选项只有一个1.在下列几何体中，俯视图是矩形的几何体是2. 2024年2月29日，在国家统计局发布的《中华人民共和国2023年国民经济和社会发展统计公报》中，2023年全年完成造林面积400万公顷，其中人工造林面积133万公顷.将1 330 000用科学记数法表示应为A. B. C. D.3.在平面直角坐标系xOy中，点A(0,2), B(-1,0),C(2,0),为□ABCD的顶点，则顶点D的坐标为A.(-3,2)B. (2,2)C. (3,2)D. (2,3)4.若实数a,b在数轴上的对应点的位置如图所示，在下列结论中，正确的是A. B. C. D.5. 在平面直角坐标系xOy中，点P(1，2)在反比例函数 (k是常数，k≠0)的图象上.下列各点中，在该反比例函数的图象上的是A. (-2，0)B. (-1，2)C. (-1，-2)D. (1，-2)6. 如图，AB是O的弦，CD是O的直径，CD⊥AB于点E. 在下列结论中，不一定成立的是A. AE=BEB. ∠CBD=90°C. ∠COB=2∠DD. ∠COB=∠C7. 一个不透明的口袋中有三个完全相同的小球，把它们分别标号为1,2,3．随机摸出一个小球后放回，摇匀后再随机摸出一个小球，两次摸出的小球标号相同的概率为A. B. C. D.8. 2024年1月23日，国内在建规模最大塔式光热项目-----甘肃省阿克塞汇东新能“光热+光伏”试点项目，一万多面定日镜（如图1）全部安装完成．该项目建成后，年发电量将达17亿千瓦时．该项目采用塔式聚光热技术，使用国内首创的五边形巨蜥式定日镜，单块定日镜（如图2）的形状可近似看作正五边形，面积约为48．则该正五边形的边长大约是（结果保留一位小数，参考数据：tan36°≈0.7，tan54°≈1.4，，）A. 5.2 mB. 4.8 mC. 3.7 mD. 2.6 m二、填空题（本题共16分，每小题2分）9. 若二次根式有意义，则实数的取值范围是 .10. 因式分解：= .11.方程的解为 .12. 若关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则实数的取值范围是 .13. 为了解某校初三年级500名学生每周在校的体育锻炼时间（单位：小时），随机抽取了50名学生进行调查，结果如下表所示：时间学生人数1016195以此估计该校初三年级500名学生一周在校的体育锻炼时间不低于7小时的约有________人.14. 在Rt△ABC中，∠A=90°，点D在AC上，DE⊥BC于点E，且DE=DA，连接DB.若∠C=20°，则∠DBE的度数为°.15. 阅读材料：如图，已知直线l及直线l外一点P.按如下步骤作图：①在直线l上任取两点A，B，作射线AP,以点P为圆心，PA的长为半径画弧，交射线AP于点C；②连接BC,分别以点B,C为圆心，大于的长为半径画弧，两弧分别交于点M,N，作直线MN，交BC于点Q；②作直线PQ.回答问题：（1）由步骤②得到的直线MN是线段BC的；（2）若△CPQ与△CAB的面积分别为,则= .16. 简单多面体的顶点数（V）、面数（F）、棱数（E）之间存在一定的数量关系，称为欧拉公式.（1）四种简单多面体的顶点数、面数、棱数如下表.在简单多面体中V，F，E之间的数量关系是_________；（2）数学节期间，老师布置了让同学们自制手工艺品进行展示的任务，小张同学计划做一个如图所示的简单多面体作品.该多面体满足以下两个条件：①每个面的形状是正三角形或正五边形；②每条棱都是正三角形和正五边形的公共边.小张同学需要准备正三角形和正五边形的材料共个.三、解答题（本题共68分，第17-22题，每题5分，第23-26题，每题6分，27-28题，每题7分) 解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程．17. 计算：18.解不等式组：19. 已知，求代数式的值.20．如图，四边形ABCD是菱形. 延长BA到点E，使得AE=A B，延长DA到点F，使得AF=AD，连接BD，DE，EF，FB.（1）求证：四边形BDEF是矩形；（2）若∠ADC=120°，EF=2，求BF的长.21. 每当优美的“东方红”乐曲从北京站的钟楼响起时，会唤起很多人的回忆，也引起了同学们的关注.某数学兴趣小组测量钟楼AB的高度.同学们发现在钟楼下方有建筑物遮挡，不能直接到达钟楼的底部点B的位置，被遮挡部分的水平距离为BC的长度.通过对示意图的分析讨论，制定了多种测量方案 ,其中一种方案的测量工具是皮尺和一根直杆.同学们在某两天的正午时刻测量了钟楼AB顶端A的影子D到点C的距离，以及同一时刻直杆的高度与影长. 设AB 的长为x米，BC的长为y米.测量数据（精确到0.1米）如表所示：（1）由第一次测量数据列出关于x,y的方程是，由第二次测量数据列出关于x,y的方程是，（2）该小组通过上述方程组成的方程组，已经求得y=10,则钟楼的高度约为米 .22. 在平面直角坐标系中，一次函数（k为常数，k≠0）的图象由函数的图象平移得到，且经过点A,与x轴交于点．（1）求这个一次函数的解析式及点的坐标；（2）当时，对于的每一个值，函数的值大于一次函数的值，直接写出的取值范围.23. 某校初三年级两个班要举行韵律操比赛. 两个班各选择8名选手，统计了他们的身高（单位：cm），数据整理如下：a. 1班 1681711721741741761771792班 168170171174176176178183b. 每班8名选手的身高的平均数、中位数、众数如下：根据以上信息，回答下列问题：(1)写出表中m，n的值；(2)如果某班选手的身高的方差越小，则认为该班选手的身高比较整齐.据此推断：在1班和2班的选手中，身高比较整齐的是班(填“1”或“2”)；(3) 1班的6位首发选手的身高分别为171，172，174，174，176，177．如果2班已经选出5位首发选手，身高分别为171，174，176，176，178，要使得2班6位首发选手的平均身高不低于1班6位首发选手的平均身高，且方差尽可能小，则第六位选手的身高是 cm ．24. 如图，AB 为⊙O 的直径，点C 在⊙O 上，∠EAC =∠CAB ，直线CD ⊥AE 于点D ,交AB 的延长线于点F .(1)求证：直线CD 为⊙O 的切线；(2)当，CD =4时，求BF 的长.25. 小明是一位羽毛球爱好者，在一次单打训练中，小明对“挑球”这种击球方式进行路线分析，球被击出后的飞行路线可以看作是抛物线的一部分.建立如图所示的平面直角坐标系xOy ，击球点P 到球网AB 的水平距离OB ＝1.5m .小明在同一击球点练习两次,球均过网，且落在界内.第一次练习时，小明击出的羽毛球的飞行高度(单位：m )与水平距离x (单位：m )近似满足函数关系.第二次练习时，小明击出的羽毛球的飞行高度(单位：m )与水平距离x (单位：m )的几组数据如下：根据上述信息，回答下列问题:（1）直接写出击球点的高度；（2）求小明第二次练习时，羽毛球的飞行高度与水平距离x 满足的函数关系式；水平距离x / m01234竖直高度/ m 1.1 1.6 1.92 1.9（3）设第一次、第二次练习时，羽毛球落地点与球网的距离分别为d1,d2,则d1d2（填“＞”，“＜”或“=”）26. 在平面直角坐标系xOy中，，是抛物线上任意两点，设抛物线的对称轴为直线.（1）若点（2，1）在该抛物线上，求的值；（2）当时，对于，都有，求的取值范围.27. 在Rt△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，点D，E是BC边上的点，，连接AD. 过点D作AD的垂线，过点E作BC的垂线，两垂线交于点F.连接AF交BC于点G.（1）如图1，当点D与点B重合时，直接写出∠DAF与之间的数量关系；（2）如图2，当点D与点B不重合（点D在点E的左侧）时，①补全图形；②∠DAF与在（1）中的数量关系是否仍然成立？若成立，加以证明；若不成立，请说明理由.（3）在（2）的条件下，直接用等式表示线段BD,DG，CG的数量关系.28. 在平面直角坐标系xOy中，已知线段PQ和直线，，线段PQ关于直线，的“垂点距离”定义如下：过点P作PM⊥于点M，过点Q作QN⊥于点N，连接MN，称MN的长为线段PQ关于直线和的“垂点距离”，记作d．(1)已知点P(2，1)，Q(1，2)，则线段PQ关于x轴和y轴的“垂点距离”d为________；(2)如图1，线段PQ在直线上运动（点P的横坐标大于点Q的横坐标）），若PQ=，则线段PQ关于x轴和y轴的“垂点距离”d的最小值为________；(3) 如图2，已知点A(0,2)，⊙A的半径为1，直线与⊙A交于P，Q两点（点P的横坐标大于点Q的横坐标），直接写出线段PQ关于x轴和直线的“垂点距离”d的取值范围．东城区2023—2024学年度第二学期初三年级统一测试（一）数学答案2024．4一、选择题（每题2分，共16分）题号12345678答案 B C C B C D B A二、填空题(每题2分，共16分）9．10．11．12. 13. 240 14．35 15．（1）垂直平分线（2）1:416．（1）（2）32三、解答题（共68分，17-22题，每题5分，第23-26题，每题6分，27-28题，每题7分)17. 解：——————————————————————————4分———————————————————— 5分18. 解：解不等式①，得—————————————————————————2分解不等式②，得—————————————————————————4分∴原不等式组的解集为——————————————————— 5分19. 解：——————————————————————————2分——————————————————————————3分∵，∴——————————————————————————4分∴原式—————————————————————5分20. (1) 证明：∵AE＝AB，AF＝AD，∴四边形BDEF是平行四边形. ——————1分∵四边形ABCD是菱形，∴AD=AB.∴DF=BE.∴四边形BDEF是矩形. ——————————————————————2分(2) 解：∵四边形BDEF是矩形，EF＝2，∴∠DBF=90°，BD = EF＝2.—————————————————————3分∵四边形ABCD是菱形，∠ADC=120°，∴∠ADB=∠ADC=60°.——————————————————————4分∴∠DFB=30°.在Rt△DBF中，∠DBF=90°，BD =2，∴DF=2 BD=4.根据勾股定理，得—————————5分21.解：（1），；——————————————3分（2）43.0 —————————————————5分22.解：（1）∵一次函数y = kx + b( k ≠0）的图象由函数的图象平移得到，∴. ——————————————————————1分∵一次函数的图象过点（3, 2),∴l+b=2.∴b = 1.∴这个一次函数的解析式为——————————2分当时，∴点坐标为. ——————————3分(2) m≥3. ——————————5分23.解：（1）175，176.-------------2分（2）1. ------------------------------------4分（3）170. ------------------------------------6分24. （1）证明：如图，连接OC.∵OA＝OC,∴∠ACO＝∠CAO.∵∠EAC=∠CAB,∴∠EAC＝∠ACO.∴AD∥OC. -----------------------------1分∵CD⊥AE于点D，∴∠ADC＝90°，∴∠OCF＝∠ADC＝90°. --------------------------------2分∴OC⊥DC.∵OC为⊙O的半径，∴直线CD为⊙O的切线. ------------------------------------3分（2）设.∵∴-----------------------------------4分∴∵||∴-----------------------------------5分∵∴∴∵∴.-----------------------------------6分25.解：（1）小明在两次练习中击球点的高度均为1.1m；-----------------------1分（2）设羽毛球的飞行路线满足的函数关系式为.将（0，1.1）代入，解得.∴羽毛球的飞行路线满足的函数关系式为：.---4分（3）-----------------------6分26.解：（1）∵点（2，1）在抛物线上，∴.∴..........................................................2分（2）∵，∴当时，y随x的增大而增大；当时，y随x的增大而减小......3分①当时，∵，，∴.∴成立......................................................4分②当时，（i）若，则点关于直线的对称点为.∴,∴成立.（ii）若，则.∴成立......................................................5分③当时，∵，总可取，∵，∴.此时，，不合题意.④当时，若，取此时，不合题意.综上所述，的取值范围为..................................................................6分27.解：(1)---------------1分(2)①补全图形如图.-------------------------2分②关系仍成立.-------------------------3分证明：过点A作AH⊥BC于H，(3)---------------7分28. 解：(1)2.------------2分(2)2. -------------2分(3).--------7分。

2023北京大兴区初三一模数学试题及参考答案

2023北京大兴区初三一模数学试题及参考答案

大兴区2022－2023学年一模试卷一、选择题（本题共16分，每小题2分）第1－8题均有四个选项，符合题意的选项只有一个．1．如图所示的圆柱，其俯视图是A ．B ．C ．D ．2．2022年10月12日，“天宫课堂”第三课在距离地球约400 000米的中国空间站开讲，数据400 000用科学记数法表示为A ．40×104B ．4×105C ．4×106D ．0.4×1063．已知M ，N ，P ，Q 四点的位置如图所示，下列结论正确的是A ．∠NOQ ＝40°B ．∠NOP ＝140°C ．∠NOP 比∠MOQ 大D ．∠MOQ 与∠MOP 互补第3题 第4题 第7题4．实数a ，b 在数轴上的对应点的位置如图所示，下列结论中正确的是A ．a ＜-2B ．b ＞2C ．b -a ＜0D ．a ＞-b5．一个不透明的口袋中有三个完全相同的小球，把它们分别标号为1，2，3，随机摸出一个小球然后放回，再随机摸出一个小球，求两次摸出小球的标号相同的概率是A ．13B ．23C ．19D ．296．若关于x 的一元二次方程x 2＋2x ＋m ＝0有实数根，则实数m 的取值范围为A ．m ＜1B ．m ≤1C ．m ＞1D ．m ≥17．如图，在正方形网格中，A ，B ，C ，D ，E ，F ，G ，H ，I ，J 是网格线交点，△ABC 与△DEF 关于某点成中心对称，则其对称中心是 A ．点GB ．点HC ．点ID ．点J8．下面的三个问题中都有两个变量：①面积一定的等腰三角形，底边上的高y 与底边长x ；②将泳池中的水匀速放出，直至放完，泳池中的剩余水量y 与放水时间x ；③计划从A 地到B 地铺设一段铁轨，每日铺设长度y 与铺设天数x ．其中，变量y 与变量x 满足反比例函数关系的是A ．①②B ．①③C ．②③D ．①②③二、填空题（本题共16分，每小题2分）9x 的取值范围是___________．10．分解因式：2363m m ++=__________．11．方程123x x=-的解为___________．12．在平面直角坐标系xOy 中，若反比例函数(0)ky k x=≠的图象经过点23（，）A 和点()2，B m -，则m 的值为________．13．九年级（1）班同学分6个小组参加植树活动，此活动6个小组的植树棵数的数据如下：5，7，3，x ，6，4（单位：株）．若这组数据的众数是5，则该组数据的平均数是．14．如图，A ，B ，C ，D 是⊙O 上的四个点， AB = BC，若∠AOB =68°，则∠BDC =____°．第14题 第15题15．如图，在矩形ABCD 中，E 是AD 边上一点，且AE =2DE ,连接CE 交对角线BD 于点F .若BD =10,则DF 的长为______．16．某校需要更换部分体育器材，打算用1800元购买足球和篮球，并且把1800元全部花完．已知每个足球60元，每个篮球120元，根据需要，购买的足球数要超过篮球数，并且足球数不超过篮球数的2倍，写出一种满足条件的购买方案____________________．三、解答题（本题共68分，第17-22题，每小题5分，第23-26题， 每小题6分，第27-28题，每小题7分）解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程．17．计算：()2sin 601︒--π18．解不等式组：()32411.3≥，x x x x ⎧+-⎪⎨-<+⎪⎩19．已知210x x +-=，求代数式(21)(21)(3)x x x x +---的值．20．下面是用面积关系证明勾股定理的两种拼接图形的方法，请选择其中一种，完成证明．21．如图，在菱形ABCD中，对角线AC、BD的交于点O，延长CB到E，使得BE=BC．连接AE．过点B作BF//AC，交AE于点F，连接OF．（1）求证：四边形AFBO是矩形；（2）若∠ABC=60°，BF=1，求OF的长．22．在平面直角坐标系xOy中，函数(0)=+≠的图象经过点（1，1），（2，y kx b k3）.（1）求该函数的解析式；（2）当1x>-时，对于x的每一个值，函数(0)y mx m=≠的值大于一次函数=+≠的值，直接写出m的取值范围．(0)y kx b k23．某校为了解九年级学生周末家务劳动时长的情况，随机抽取了50名学生，调查了这些学生某一周末家务劳动时长（单位：分钟）的数据，并对数据（保留整数）进行整理、描述和分析，下面给出部分信息：a．学生家务劳动时长的数据在70≤x＜80这一组的具体数据如下：72，72，73，74，74，75，75，75，75，75，75，76，76，76，77，77，78，79 b．学生家务劳动时长的数据的频数分布直方图如下：根据以上信息，回答下列问题：（1）补全频数分布直方图；（2）学生家务劳动时长的数据的中位数为；（3）若该校九年级有学生500人，估计该校九年级学生家务劳动时长至少90分钟的有人．24．如图，AB是☉O的直径，C为圆上一点，连接AC，BC，过点O作OD⊥AC于点D．过点A作☉O的的切线交OD的延长线于点P，连接CP．（1）求证：CP 是☉O 的切线；（2）过点B 作BE ⊥PC 于点E ，若CE =4，cos ∠CAB =45，求OD 的长．25．羽毛球作为国际球类竞技比赛的一种，发球后羽毛球的飞行路线可以看作是抛物线的一部分．建立如图所示的平面直角坐标系，羽毛球从发出到落地的过程中竖直高度y （单位：m ）与水平距离x （单位：m ）近似满足函数关系式：2()(0)y a x h k a =-+≠．某次发球时，羽毛球的水平距离x 与竖直高度y 的几组数据如下：水平距离x /m 02468…竖直高度y/m13253321…请根据上述数据，解决问题（1）直接写出羽毛球飞行过程中竖直高度的最大值，并求出满足的函数关系2()(0)y a x h k a =-+≠；（2）已知羽毛球场的球网高度为1.55m ，当发球点O 距离球网5m 时羽毛球____________（填“能”或“不能”）越过球网．26．在平面直角坐标系xOy 中，点()12，y -，()22，y ，()33，y 在抛物线2221y x tx t =-++上．（1）抛物线的对称轴是直线 （用含t 的式子表示）；（2）当12y y =，求t 的值；（3）点()()33，m y m ≠在抛物线上，若231＜＜y y y ，求t 取值范围及m 的取值范围．27．在△ABC 中，AC =BC ，∠C =90°，点D 为射线CB 上一动点（不与B ，C 重合），连接AD ，点E 为AB 延长线上一点，且DE =AD ，作点E 关于射线CB 的对称点F ，连接BF ，DF ．（1）如图1，当点D 在线段CB 上时，①依题意补全图形，求证：∠DAB =∠DFB ；②用等式表示线段BD ，BF ，BC 之间的数量关系，并证明；（2）如图2，当点D 在线段CB 的延长线上时，请直接用等式表示线段BD ，BF ，BC 之间的数量关系．图128．在平面直角坐标系xOy 中，对于△ABC 与⊙O ，给出如下定义：若△ABC 的一个顶点在⊙O 上，除这个顶点外△ABC 与⊙O 存在且仅存在一个公共点，则称△ABC 为⊙O 的“相关三角形”．（1）如图1，⊙O 的半径为1，点C （2，0），△AOC 为⊙O 的“相关三角形”．在点P 1（0，1），P 2，（12 P 3（1，1）这三个点中，点A 可以与点重合；图1 图2（2）如图2，⊙O的半径为1，点A（0，2），点B是x轴上的一动点，且点B的横坐标x B的取值范围是-1<x B<1，点C在第一象限，若△ABC为直角三角形，且△ABC为⊙O的“相关三角形”．求点C的横坐标x C的取值范围；（3）⊙O的半径为r，直线y=与⊙O在第一象限的交点为A，点C（2，0）,若平面直角坐标系xOy中存在点B（点B在x轴下方），使得△ABC为等腰直角三角形，且△ABC为⊙O的“相关三角形”．直接写出r的取值范围.备用图大兴区九年级第二学期期中练习初三数学参考答案及评分标准一、选择题（本题共16分，每小题2分）题号12345678答案ABDDABCB二、填空题（本题共16分，每小题2分）9．≥1x 10．23(1)m +11．6x =12．3-13．5 14．3415．5216．答案不唯一， 9个篮球，12个足球；8个篮球，14个足球三、解答题（本题共68分，第17-22题，每小题5分，第23-26题，每小题6分，第27-28题，每小题7分）17．解：原式1- …………………………………………………………4分=1．…………………………………………………………………………….…5分18．解：3(2)4,11.3x x x x +-⎧⎪⎨-<+⎪⎩≥①②解不等式①，得52x ≥．………………………………………………………………………2分解不等式②，得2＞-x ．………………………………………………………………………4分∴不等式组的解集为52x ≥．…………………………………………………………………5分19．解：(21)(21)(3)x x x x +--- 22=413x x x --+………………………………………………………………………2分2=331x x +-．…………………………………………………………………………3分∵210x x +-=，∴21x x +=，……………………………………………………………………………………4分∴2333x x +=，∴原式312=-=．…………………………………………………………………………………………………………………5分20．选择方法一．证明：∵22142（）a+b ab c =⨯+， ……………………………………………………………3分∴222+2+=2+a ab b ab c ，……………………………………………………………………4分∴222+=a b c ．…………………………………………………………………………………5分选择方法二．证明：∵22142（）b a ab c -+⨯=， ……………………………………………………………3分∴2222++2=-b ab a ab c ， ……………………………………………………………………4分∴222+=a b c ．…………………………………………………………………………………5分21．（1）证明：∵四边形ABCD 是菱形，∴AO =OC ，AC ⊥BD ，∴∠AOB =90°．∵BE =BC ，∴OB ∥AE ．又∵BF ∥AC ，∴四边形AFBO 是平行四边形．又∵∠AOB =90°，∴四边形AFBO 是矩形．………………………………………………………………………3分（2）解：∵四边形ABCD 是菱形， ∴∠ABO =12∠ABC ．∵∠ABC =60°，∴∠ABO =30°．∵四边形AFBO 是矩形，∴OB ∥AF ，OF =AB ，∠BFA =90°，∴∠FAB =∠ABO ，∴∠FAB =30°．又∵在△ABF 中，∠BFA =90°，BF =1，∴AB =2BF =2，∴OF =2．………………………………………………………………………………………5分22．（1）解：依据题意，得12 3.k b k b +=⎧⎨+=⎩，…………………………………………………1分解得2,1.k b =⎧⎨=-⎩…………………………………………………………3分∴该函数的解析式为21y x =-．（2）23≤≤m ．…………………………………………………………………………………5分23．解：（1）如图………………………2分（2）74.5； ……………………………………………………………………………………4分（3）40． ………………………………………………………………………………………6分24．（1）证明：连接OC ．∵AP 是⊙O 的切线，∴AP ⊥OA ，∴∠PAO =90°．∵OD ⊥AC ， ∴AD =CD ，∴AP =CP ，又∵OA=OC ，OP=OP ，∴△AOP ≌△COP ，∴∠PAO =∠PCO =90°，∴OC ⊥PC .又∵点C 在⊙O 上，∴CP 是⊙O 的切线．…………………………………………………………………………3分（2）解：∵AB 是⊙O 的直径，∴∠ACB =90°． ∴∠ACO+∠OCB=90°．∵CP 是⊙O 的切线，∴∠OCE =90°，∴∠OCB+∠ECB=90°，∴∠ECB=∠OCA ．∵OA =OC ，∴∠CAB=∠OCA ，∴∠CAB=∠ECB ．∵cos ∠CAB =45,∴cos ∠BCE =45．∵BE ⊥PC ，∴∠CEB=90°．在△BCE 中，∵CE =4，cos ∠BCE =CE CB =45，∴CB =5．∵OA =OB ，AD =CD ，∴OD =12BC =52．………………………………………………………………………………6分25．解：（1）最大值是53m ．……………………………………………………………………1分根据表格中的数据可知，抛物线的顶点坐标为543（，），∴54,3h k ==，∴()()25403y a x a =-+≠．∵当0x =时，1y =，∴()250413a -+=解得124a =-，∴函数关系为()2154243y x =--+．………………………………………………4分（2）能．………………………………………………………………………………………6分26．解：（1）x t =．…………………………………………………………………………1分（2）∵点()12y -，，()22y ，在抛物线上，且12y y =，∴2(2)t t -=--．解得0t =．………………………………………………………………………………3分（3）∵点()12，y -，()22，y ，()33，y 在抛物线2221y x tx t =-++上，∴21441y t t =+++，22441y t t =-++，23961y t t =-++．由23y y ＜，得52t ＜．由31y y ＜，得12t ＞．∴1522t ＜＜．………………………………………………………………………………5分∵点()()33m y m ≠，在抛物线上，∴点3（，）m y ，33（，）y 关于抛物线的对称轴x t =对称，且m t <．∴3t t m -=-，解得23m t =-．∴22m -<<．……………………………………………………………………………6分27.（1）①补全图形，如下图．………………………………………………………………1分证明：∵DE=AD，∴∠DAB=∠DEA．∵点E关于射线CB的对称点为F，∴△DBF≌△DBE，∴∠DFB=∠DEB，∴∠DAB=∠DFB．……………………………………………………………………………3分BC BD．……….……………………………………………………………4分②= Array证明：设EF与射线CB交于点G．∵点E关于射线CB的对称点为F，∴△DBF≌△DBE，EF⊥CB，∴∠BDF=∠BDE，DF=DE，∠DFB=∠DEB．∵AC=BC，∠C=90°，∴∠BAC=∠CBA=45°，∴∠ABC=∠BDE+∠DEB=45°，∴∠DFB+∠BDF=45°．∵∠CAD+∠DAB=45°，又∵∠DAB=∠DFB，∴∠CAD=∠BDF．∵DE=AD，DF=DE，∴AD=DF．∵∠C=90°，EF⊥CB，∴∠C=∠FGD=90°，∴△ACD≌△DGF，∴CD=FG．∵∠FBG=∠DFB+∠BDF=45°，∴△FBG为等腰直角三角形，∴=FB，∴=FG，∵BC =BD +CD ，∴=BC BD ．.…….…………………………………………………………………6分（2）=-BC BD ．…….………………………………………………………………7分28．（1）2P ；………………………………………………………………………………1分（2）图2-1 图2-2解：由条件可知，点C 在⊙O 上，如图2-1所示，当 B （-1，0），D （1，0）时，连接AD ，与⊙O 交于点C ，∴BD 为⊙O 直径，∴∠BCD =∠ACB=90°．∵在Rt △AOD 中，∠AOD =90°，由勾股定理得AD．∵在Rt △BCD 中，cos ∠CDB=DCBD，在Rt △AOD 中，cos ∠CDB =ODAD，∴DC BD =OD AD，∴2DC过点C 作CE ⊥BD ．∴在Rt △CED 中，cos ∠CDB =DE CD =∴2=5DE ．∵OD=1，∴3=5OE ，∴3=5C x ．………………………………………………………………………………………3分如图2-2所示，当B 位于原点，AC 与圆O 相切时，过点C 作CD ⊥y 轴于点D ．∵AC 与⊙O 相切，∴∠ACO =90°，∴在Rt △AOC 中，由勾股定理得AC ∵在Rt △DCA 中，sin ∠DAC =DCAC ，在Rt △OCA 中，sin ∠DAC =OCAO，∴DC OCAC AO=，12=，∴DC =．∴C x =．综上所述，35C x ＜………………………………………………………………………5分（3）r 1r ≤．………………………………………………………………7分。

2023年北京中考一模数学试卷(含答案)

2023年北京中考一模数学试卷(含答案)

北京2022—2023学年度第二学期初三数学模拟一模考试试卷考生须知：1．本试卷分为第Ⅰ卷、第Ⅱ卷和答题纸，共18页；其中第Ⅰ卷2页，第Ⅱ卷8页，答题纸8页.全卷共三大题，28 道小题.2．本试卷满分100分，考试时间120分钟.3．在第Ⅰ卷、第Ⅱ卷指定位置和答题纸的密封线内准确填写班级、姓名、考号、座位号.4．考试结束，将答题纸交回.第Ⅰ卷（选择题共60分）一、选择题（以下每题只有一个题正确的选项，每小题2分，共16分）1.根据北京市统计局发布的统计数据，2022年首都的各项事业都取得了新进展，其中GDP总量达到41600亿元，数字41600用科学记数法可表示为（）A. B. C. D.2.有理数在数轴上的对应点的位置如图所示，若有理数满足，则的值可能是（）A.2B.-2C.0D.-33.下列图形中，是轴对称图形不是中心对称图形的是（）A. B. C. D.4.若正多边形的内角和是，则该正多边形的一个外角是（）A. B. C. D.5. 关于的一元二次方程根的情况是（）A.无实根B.有实根C.有两个不相等实根D.有两个相等实根6.为庆祝中国共产主义青年团成立100周年，某区举办了团课知识竞赛，甲、乙两所中学各派5名学生参加，两队学生的竞赛成绩如图所示，下列关系完全正确的是（）甲乙A.，B.C.D.7.如图是一个没有完全剪开的正方体，若再剪开一条棱，则得到的平面展开图不可能是（）A. B. C. D.8.已知在正方形ABCD中，P是对角线BD上一个动点，过P作CD、AD的平行线分别交正方形ABCD的边于E、F和M、N，若，图中阴影部分的面积为y，则y与x之间的函数关系图象大致是（）A. B. C. D.第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）9.方程的解是．10.因式分解：．11.已知点，都在一次函数的图象上，那么与的大小关系是（填“>”，“=”“<”）.12.如图（示意图）所示，某校数学兴趣小组利用标杆BE测量建筑物的高度，已知标杆BE的高为2.4m，测得，，则建筑物CD的高为.13.如图，在中，，以点为圆心，适当长为半径画弧，分别交AB、AC于点D，再分别以点D，E为圆心，大于长为半径画弧，两弧交于点，作射线AF交边BC于点，若，，则的面积为．14.如图，的顶点都在正方形网格的格点上，则的值为．15.一个不透明的布袋中有完全相同的三个小球，标号分别为1，2，3.小林和小华做一个游戏，按照以下方式抽取小球：先从布袋中随机抽取一个小球，记下标号后放回布袋中搅匀，再从布袋中随机抽取一个小球，记下标号.若两次抽取的小球标号之和为奇数，则小林贏；若标号之和为偶数，则小华贏.小林贏的概率是．16.一次数学考试共有8道判断题，每道题5分，满分40分.规定正确的画√，错误的画×.甲、乙、丙、丁四名同学的解答及得分情况如下表所示，则的值为．题号12345678得分学生甲×√×√××√×30乙××√√√××√25丙√×××√√√×25丁×√×√√×√√m三、解答题（本题共68分，第17-20题，每题5分，第21题6分，第22题5分，第23题6分，第24题5分，第25-26题，每题6分，第27-28题，每题7分）17.计算：.18.解不等式组：.19.已知，求代数式的值.20.同学们在做题时，经常用到“在直角三角形中，角所对的直角边等于斜边的一半”这个定理，下面是两种添加辅助线的证明方法，请你选择一种进行证明.已知在中，，，求证：.法一：如图1，在AB上取一点D，使得，连接CD.法二：如图2，延长BC到D，使得，连接AD.图1 图2你选择方法．证明：21.如图，四边形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，BC，EO为矩形BECO对角线，，.（1）求证：四边形ABCD是菱形；（2）连接DE，若，，求DE的值.22.在平面直角坐标系xOy中，直线与反比例函数图象的一个交点为点M.（1）当点M的坐标为时，求k的值；（2）当时，对于x的每一个值，都有，求k的取值范围.23.第二十四届冬季奥林匹克运动会于2022年2月4日至2月20日在北京举行，北京成为历史上第一座既举办夏奥会又举办冬奥会的城市．北京冬奥会的成功兴办掀起了全民“冬奥热”，某校九年级举行了两次“冬奥知识”竞赛．该校九年级共有学生480人参加了竞赛，从中随机抽取30名学生的两次竞赛成绩，小明对两次数据（成绩）进行整理、描述和分析．下面给出了部分信息：a.小明在统计第二次竞赛成绩各分数段人数时，不小心污染了统计表：成绩45.54646.54747.54848.54949.550（分）人数2102111414（人）注：成绩只能为0.5的整数倍.b.将竞赛成绩按四舍五入取整后，得出的频数分布折线图如下（数据分组：，，，，，）某校抽取30名学生的两次"冬奥知识"竞赛成绩折线统计图c.两次竞赛成绩的平均数、中位数如下：平均数中位数第一次46.7546.75第二次48.50m根据以上信息，回答下列问题：（1）请补全折线统计图，并标明数据；（2）请完善c中的统计表，的值是．（3）若成绩为46.5分及以上为优秀，根据以上信息估计，第二次竞赛九年级约有名学生成绩达到优秀；（4）通过观察、分析，小明得出这样的结论“在抽取30名学生的第一次竞赛成绩中，众数一定出现在这一组”.请你判断小明的说法．（填“正确”或“错误”），你的理由是．24.如图，杂技团进行杂技表演，一名演员从跷跷板右端A处恰好弹跳到人梯顶端椅子B处，其身体（看成一点）的路线是抛物线的一部分，演员在弹跳过程中，当身体离地面最大高度为5米时，与点A所在y轴的水平距离为3米，已知点A距离地面高度为1米．（1）求该抛物线的解析式．（2）已知人梯米，在一次表演中，人梯到起跳点A的水平距离是5米，问这次表演能否成功（接触到人梯则代表表演成功）？请说明理由．25.如图，AB是的直径，C为AB延长线上一点.CD为切线，D为切点，于点H，交CD 于点E.（1）求证：；（2）若，，求EH和半径的长.26.在平面直角坐标系xOy中，，，在拋物线上.（1）抛物线的对称轴为直线，直接写出和的大小关系；（2）若，且，则的值是．（3）若对于任意，都有，求的取值范围.27.在中，，D是外一点，且，将射线AD绕点A顺时针旋转，与BD相交于点E.（1）如图1，探究和的数量关系并证明；（2）如图2，当时，过点E作交BC于点G，射线AD与射线BC相交于点F.请补全图形，写出FG与AB的数量关系，并证明.图1 图228.在平面直角坐标系xOy中，直线在x轴及其上方的部分记为射线l.对于定点和直线，给出如下定义：同时将射线AO和直线分别绕点A和原点O顺时针旋转得到和，与的交点为点P，我们称点P为射线l的“”双旋点.如图，点P为的“”双旋点.（1）若①在给定的平面直角坐标系xoy中，画出“”的双旋点；②直接写出的双旋点的坐标；③点、、是的“”双旋点的是；（2）直线分别交x轴、y轴于点M、N，若存在，使直线的“”双旋点在线段MN 上，求k的取值范围；（3）当时，对于任意的，若存在某个三角形上的所有点都是射线的“”双旋点，直接写出这个三角形面积的最大值.备用图备用图初三数学模拟一模考试试卷答案一、选择题1-4：ADCB5-8：CBBD二、填空题9.10.11.>12.2013.214.15.16.30三、解答题17.-418.19.-720.法一：在AB上取一点D，使得，连CD.，是等边三角形，，.，，.法二：延长BD到D，使得，连结AD.AC垂直平分BD.，是等边三角形，即.21.（1）四边形ABCD是矩形，，，，，，四边形ABCD是平行四边形.，平行四边形ABCD是菱形.（2）.22.（1）；（2）且23、（1）成绩为46分的学生人数为：；（2）；（3）（名）；（4）错误，理由：成绩的分数可以是45.5或46这两个分数，虽然这一组人数最多，但也可能出现在或这两组中.24.解：（1）由题意可知，抛物线的顶点为，设此抛物线的解析式为，把代入，得，解得：，抛物线的解析式为：，（2）当时，表演不成功25.解：（1）连OD，，为切线，.，.，，为直径，.，.，..（2）连接OD，，在中，，，，，，，，，，，在中，，，026.（1）a，<（2）（3）或.27.（1），，，，四点共圆.，，，.（2）在BD上取点M使得，连接CM，过C作于N，可证，，，又，.，，.，.28.（1）①作图略；②；③，（2）或.（3）.。

北京市大兴区2024年九年级中考一模数学试卷(含答案)

北京市大兴区2024年九年级中考一模数学试卷(含答案)

北京市大兴区2024年九年级中考一模数学试卷学校：___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、选择题（本题共8小题，共16分）1．下面几何体中，是圆锥的为( )A.B.C.D.2．2024年是京津冀协同发展十周年，高标准建设雄安新区成效显著.从新区设立至2023年底，累计开发面积184平方公里，4017栋楼宇拔地而起，总建筑面积4370万平方米.将43700000用科学记数法表示应为( )A. B. C. D.3．五边形的内角和为( )A. B.C. D.4．如图，直线，相交于点O，，若，则的大小为( )A. B. C... D.5．实数a，b，c在数轴上的对应点的位置如图所示，下列结论中正确的是( )A. B. C. D.6．不透明的盒子中装有3个小球，每个小球上面写着一个汉字分别是“向”、“前”、“冲”，这3个小球除汉字外无其他差别，从中随机摸出一个小球，记录其汉字，放回并摇匀，再从中随机摸出一个小球，记录其汉字，则两次都摸到“冲”字的概率是( )7．若关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，则实数m的取值范围是( )643.710⨯74.3710⨯84.3710⨯90.43710⨯180︒360︒540︒720︒AB CD OE AB⊥30AOC∠=︒EOD∠30︒60︒120︒150︒b c->0ac>0b c+<1ab<220x x m+-=A. B. C. D.8．如图，在中，，于点D ，设，，，给出下面三个结论：①；②；③若，则.上述结论中，所有正确结论的序号是( )A.①②B.①③C.②③D.①②③二、填空题（本题共8小题，共16分）10．分解因式：_______.12．在平面直角坐标系中，若点和在反比例函数的图象上，则m 的值为_______.13．如图，是的直径，点C ，D 在上，若，则的度数为_______°.14．如图，在矩形中，与相交于点O ，于点E .若，，则的长为_______.1m >-1m ≥-1m >1m ≥ABC △90BAC ∠=︒AD BC ⊥BD a =DC b =AD c =2c ab =2a b c +≥a b >a c >24ab a -==xOy (5,2)A (,2)B m -(0)k y k x =≠AB O O AC BC =D ∠ABCD AC BD OE BC ⊥4AC =30DBC ∠=︒OE15．某年级为了解学生对“足球”“篮球”“排球”“乒乓球”“羽毛球”五类体育项目的喜爱情况，现从中随机抽取了100名学生进行问卷调查，根据数据绘制了如图所示的统计图.若该年级有800名学生，估计该年级喜爱“篮球”项目的学生有_______人.16．某公园门票价格如下表：某学校组织摄影、美术两个社团的学生游览该公园，两社团的人数分别为a 和.若两社团分别以各自社团为单位购票，共需1560元；若两社团作为一个团体合在一起购票，共需1170元，那么这两个社团的人数为_______，_______.三、解答题（共68分，第17-19题，每题5分，第20-21题，每题6分，第22-23题，每题5分，第24题6分，第25题5分，第26题6分，第27-28题，每题7分）解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程..18．解不等式组：.19．已知，求代数式的值.20．某学校开展“浸书香校园，品诗词之美”读书活动.现有A ，B 两种诗词书籍整齐地叠放在桌子上，每本A 书籍和每本B 书籍厚度的比为，根据图中所给出的数据信息，求每本A 书籍的厚度.()b a b >a =b =0π2024)2cos 45+︒4125213x x x x -≥+⎧⎪-⎨<⎪⎩2310a a +-=2(1)(4)2a a a +++-5:621．如图，在正方形中，点E ，F 分别在，上，，连接，射线和线段的延长线交于点G .（1）求证：四边形是平行四边形；（2）若，求线段的长.22．种子被称作农业的“芯片”，粮安天下，种子为基.农科院计划为某地区选择合适的甜玉米种子，随机抽取20块自然条件相同的试验田进行试验，得到各试验田每公顷产量（单位：t ），并对数据（每公顷产量）进行了整理、描述和分析，下面给出了部分信息：a .20块试验田每公顷产量的频数分布表如下：这一组的是：7.55，7.55，7.57，7.58，7.59，7.59c .20块试验田每公顷产量的统计图如下：ABCD BC AD BE DF =CF AE DC AECF tan BAE ∠=9DG =CE 7.60x ≤<（1）写出表中m 的值；（2）随机抽取的这20块试验田每公顷产量的中位数为______.（3）下列推断合理的是______（填序号）；①20块试验田的每公顷产量数据中，每公顷产量低于的试验田数量占试验田总数的；②3号试验田每公顷产量在20块试验田的每公顷产量数据中从高到低排第5名.（4）号试验田使用的是甲种种子，11~20号试验田使用的是乙种种子，已知甲、乙两种种子的每公顷产量的平均数分别为及，若某种种子在各试验田每公顷产量的10个数据的方差越小，则认为这种种子的产量越稳定.据此推断：甲、乙两种种子中，这个地区比较适合种植的种子是______（填“甲”或“乙”）.23．在平面直角坐标系中，函数的图象经过点和，与过点且平行于y 轴的直线交于点C .（1）求该函数的表达式及点C 的坐标；（2）当时，对于x 的每一个值，函数的值大于函数的值且小于，直接写出n 的取值范围.24．某洒水车为绿化带浇水，图1是洒水车喷水区域的截面图，其上、下边缘都可以看作是抛物线的一部分，下边缘抛物线是由上边缘抛物线向左平移得到的.喷水口H 距地面的竖直高度为，喷水区域的上、下边缘与地面交于A ，B 两点，上边缘抛物线的最高点C 恰好在点B 的正上方，已知，，.建立如图2所示的平面直角坐标系.7.50t 25%1~107.537t 7.545t xOy (0)y kx b k =+≠(1,3)A (1,1)B --(2,0)-2x <-(0)y nx n =≠(0)y kx b k =+≠2-OH 1.5m 6m OA =2m OB =2m CB =（1）在①，②两个表达式中，洒水车喷出水的上边缘抛物线的表达式为______，下边缘抛物线的表达式为______（把表达式的序号填在对应横线上）；（2）如图3，洒水车沿着平行于绿化带的公路行驶，绿化带的横截面可以看作矩形，水平宽度，竖直高度.如图4，为喷水口距绿化带底部的最近水平距离（单位：m ）.若矩形在喷水区域内，则称洒水车能浇灌到整个绿化带.①当时，判断洒水车能否浇灌到整个绿化带，并说明理由；②若洒水车能浇灌到整个绿化带，则的取值范围是______.25．如图，过外一点A 作的切线，切点为点B ，为的直径，点D 为上一点，且，连接，，线段交直径于点E ，交于点F ，连接.21(2)28y x =-++21(2)28y x =--+DEFG 3m DE =0.5m DG =OD DEFG 2.6m OD =OD O O BC O O BD BA =CD AD AD BC O BF（1）求证：；（2）若半径的长.26．在平面直角坐标系中，，是抛物线上任意两点.设抛物线的对称轴为直线.（1）若，，求t 的值；（2）若对于，，都有，求t 的取值范围.27．在中，，，点D 是线段上一个动点（不与点A ，B 重合），，以D 为中心，将线段顺时针旋转得到线段，连接.（1）依题意补全图形；（2）求的大小（用含的代数式表示）；（3）用等式表示线段，，之间的数量关系，并证明.28．在平面直角坐标系中，已知点，的半径为1，过外一点P 作两条射线，一条是的切线，另一条经过点T ，若这两条射线的夹角大于或等于，则称点P 为的“伴随点”.（1）当时，①在，，，中，的“伴随点”是______.②若直线上有且只有一个的“伴随点”，求b 的值；EF BF =sin A ==O xOy ()11,M x y ()22,N x y 2(0)y ax bx c a =++<x t =22x =2y c =112t x t +<<+245x <<12y y >ABC △AC BC =90ACB ∠=︒AB ()045ACD αα∠=<<︒DC 90︒DE EB EDB ∠αBE BC AD xOy (,0)T t T T T 45︒T 0t =1(1,0)P 2P 3(1,1)P -4(1,2)P -T 12y x b =+T（2）已知正方形的对角线的交点，点，若正方形上存在的“伴随点”，直接写出t 的取值范围.EFGH (0,)M t 11,22E t ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭T参考答案1．答案：D2．答案：B3．答案：C4．答案：B5．答案：C6．答案：D7．答案：A8．答案：D9．答案：10．答案：11．答案：12．答案：13．答案：4514．答案：115．答案：24016．答案：60；3018．解：解不等式①，得.解不等式②，得.不等式组的解集为.19．解：3x ≥()()22a b b +-1x =5-0π2024)2cos 45+︒312=++-31=++-4=+4125213x x x x -≥+⎧⎪⎨-<⎪⎩①②3x ≥1x >-∴3x ≥2(1)(4)2a a a +++-.，..原式.20．解：设每本A 书籍厚度为，桌子高度为，由题意可得：，解得，答：每本A 书籍厚度为.21．证明：（1）四边形是正方形，，.，.即.又，四边形是平行四边形.（2）四边形是正方形，，，.，，在中，222142a a a a =++++-2261a a =+-2310a a +-= 231a a ∴+=2262a a ∴+=∴2261a a =+-21=-1=cm x cm y 37965825x y x y +=⎧⎪⎨⨯+=⎪⎩176x y =⎧⎨=⎩1cm ABCD //AD BC ∴AD BC =BE FD = AD FD BC BE ∴-=-AF CE =//AF CE ∴AECF ABCD //AD BC ∴90BCD D ∠=∠=︒AD CD =BAE G ∴∠=∠90ECG ∠=︒tan tan BAE G ∴∠==Rt ADG △，...在中，，.22．解：（1）（2）随机抽取的这20块试验田每公顷产量的中位数是这一组的第1个和第2个数据，即：7.55和7.55，，故答案为：7.55；（3）20块试验田的每公顷产量数据中，每公顷产量低于的试验田数量有5块，，故①正确；3号试验田每公顷产量在20块试验田的每公顷产量数据中从高到低排第4名，故②错误，故答案为：①；（4）从20块试验田每公顷产量的统计图中可看出甲种种子每公顷产量波动大，乙种种子每公顷产量波动小，据此推断：甲、乙两种种子中，这个地区比较适合种植的种子是乙；故答案为：乙.23．解：（1）函数的图象经过点和，将点和代入中，，解得：，该函数的表达式为：，与过点且平行于y 轴的直线交于点C ，tan AD G DG == 9=6AD ∴=6CD ∴=3CG ∴=Rt ECG △2tan 3CE G CG== 2CE ∴=2032654m =----=7.557.60x ≤<7.55=7.50t 10025%= (0)y kx b k =+≠(1,3)A (1,1)B --∴(1,3)A (1,1)B --(0)y kx b k =+≠31k b k b +=⎧⎨-+=-⎩21k b =⎧⎨=⎩∴21y x =+ (2,0)-将代入中，得，；（2）当时，对于x 的每一个值，函数的值大于函数的值且小于，通过图象可知，当的函数值小于时，即将代入中，，当的函数值大于函数的值将代入中，，n 的取值范围为：24．解：（1）由题意可知：，故设上边缘抛物线的函数解析式为：，，将其代入可得：，解得：上边缘抛物线的函数解析式为：，关于对称轴的对称点为：，∴下边缘抛物线是由上边缘抛物线向左平移4个单位得到，∴2x =-21y x =+3y =-(2,3)C ∴-- 2x <-(0)y nx n =≠(0)y kx b k =+≠2-(0)y nx n =≠2-(2,2)H --(0)y nx n =≠1n =(0)y nx n =≠(0)y kx b k =+≠(2,3)C --(0)y nx n =≠32n =∴1n ≤≤()2,2C ()222y a x =-+()0,1.5H ()222y a x =-+()21.5022a =-+a =∴()21228y x =--+()0,1.5H 2x =()4,1.5∴下边缘抛物线为：，故答案为：②；①.（2）①不能，理由如下，依题意，将代入上边缘抛物线的函数解析式得绿化带不全在喷头口的喷水区域内，洒水车不能浇灌到整个绿化带；②设灌溉车到绿化带的距离为d ，要使灌溉车行驶时喷出的水能浇灌到整个绿化带，则当点B 和点D 重合时，d 有最小值，此时；当上边缘抛物线过点F 时，d 有最大值，，.令，解得：结合图像可知：d 的最大值为：；.故答案为：.25．证明：（1）为的切线，..为的直径，..，..()21228y x =-++2.635.6OE =+=5.6x =()21228y x =--+()215.6220.380.58y =--+=<∴∴OD 2d =3m DE = 0.5m EF =∴()21220.58y x =--+=2x =+2x =-()2F +∴231d =+=-21d ∴≤≤21OD ≤≤-AB O 90OBA ∴∠=︒90A AEB ∴∠+∠=︒BC O 90CDB ∴∠=︒90CDE BDE ∴∠+∠=︒BD BA = BDA A ∴∠=∠CDE AEB ∴∠=∠又，..（2）连接.为的切线，.，.，...设，则.在中，，.为直径，.，，.在中，，.，CDE CBF ∠=∠ AEB CBF ∴∠=∠EF BF ∴=CF AB O 90OBA ∴∠=︒90AEB A ∴∠+∠=︒90EBF FBA ∠+∠=︒AEB CBF ∠=∠ FBA A ∴∠=∠AF BF ∴=AF BF EF ∴==BF EF AF x ===2AE x =Rt ABE △sin A = 2AE x =23BE x ∴=BC 90CFB ∴∠=︒BCF BDA ∠=∠ BDA A ∠=∠BCF A ∴∠=∠sin sin A BCF ∴=∠=Rt BFC △BF x = 3BC x ∴=22()BC OB OE BE ==+.解得..26．解：（1），，，，，（2），抛物线开口向下，抛物线的对称轴为，，点M 在对称轴的右侧，①当点N 在对称轴上或对称轴右侧时，抛物线开口向下，在对称轴右侧，y 随x 的增大而减小.由，，，解得，，523223x x ⎛⎫∴=+ ⎪⎝⎭3x =OB ∴=∴ 22x = 2y c =42a b c c ∴++=2b a ∴=-12b t a∴=-=2(0)y ax bx c a =++< ∴ x t =112t x t +<<+∴ ∴12y y >12x x ∴<424t t ≤⎧∴⎨+≤⎩42t t ≤⎧⎨≤⎩2t ∴≤②当点N 在对称轴上或对称轴左侧时，设抛物线上的点关于的对称点为，，解得，，，，在对称轴右侧，y 随x 的增大而减小，由，，，解得，，综上所述，t 的取值范围是或.27．解：（1）补全图形如下：（2），，..，.（3）用等式表示线段，，之间的数量关系是.证明：过点D 作，交于点F ，交的延长线于点M.()22,N x y x t =()2,N d y '2t x d t ∴-=-22d t x =-()222,N t x y ∴-'245x << 225224t t x t ∴-<-<-12y y >122x t x ∴<-5225t t t ≥⎧∴⎨+≤-⎩57t t ≥⎧⎨≥⎩7t ∴≥2t ≤7t ≥AC BC = 90ACB ∠=︒45A ABC ∴∠=∠=︒45CDB A ACD α∴∠=∠+∠=︒+90CDE ∠=︒ 45EDB CDE CDB α∴∠=∠-∠=︒-BE BCAD BC BE =+DM AB ⊥AC BC，.，..又，..，，...在中，，，，.，.，，.28．解：（1）①如图1，设射线与相切于点M ，连接，90MDB CDE ∠=∠=︒ CDM EDB ∴∠=∠45MBD ∠=︒ 45M MBD ∴∠=∠=︒DM DB ∴=DC DE = DCM DEB ∴≌△△CM BE ∴=45M ∠=︒ 90ACB ∠=︒45CFM M ∴∠=∠=︒CF CM ∴=CF BE ∴=Rt FAD △45A ∠=︒ 45AFD A ∴∠=∠=︒AD FD ∴=AF ∴==AC AF FC=+ AC FC ∴=+CF BE =BC AC =BC BE ∴=+PM T TM，当时，为等腰直角三角形，，当点P 在外，时，当时，点，，在，，，中，的“伴随点”是，；故答案为：，②当点P 在外，时，如图2：直线上有且只有一个的“伴随点”，直线与以，设直线与x 轴，y 轴分别交于点A 、B ，与以TM PM ∴⊥45P ∠=︒PTM △1PM TM ∴==PT ===∴T 45P ∠≥︒1PT <≤0t =()0,0T 11PT = 2PT =3==4==>∴1(1,0)P 2P 3(1,1)P -4(1,2)P -T 2P 3P 2P 3P T 45P ∠≥︒1PT <≤ 12y x b =+T ∴12y x b =+(0,0T 0b ∴≠12y x b =+(0,0T相切于点C，连接，，令，，令，，，，在中，，，，，在中（2）正方形的对角线的交点，点，点，，，当时，如图所示：TCTC AB∴⊥x=y b=0y=2x b=-()2,0A b∴-()0,B bAT∴Rt ATB△tan12bBTAT b∠===-1290+∠=︒TC AB⊥2390∴∠+∠=︒13∴∠=∠tan3tan1∴∠=∠=Rt TCB△tan3BCCT∠===BC∴=BT∴===b∴=b∴=EFGH(0,)M t11,22E t⎛⎫-+⎪⎝⎭∴11,22G t⎛⎫-⎪⎝⎭11,22F t⎛⎫+⎪⎝⎭11,22H t⎛⎫--⎪⎝⎭t>此时正方形上的点到圆心T 的最大距离为，最小距离为，正方形上存在在以1为半径的圆外，，，当时，如图所示：此时正方形上的点到圆心T 的最大距离为，最小距离为，正方形上存在在以1为半径的圆外，EFGH ET GT T 1ET ∴>GT ≤12ET t ⎫==+⎪⎭GT ==1212t ⎫+⎪⎭∴≤t <≤0t <EFGH GT ET T，，解得：；ET ∴≤1>ET == 12GT t ⎫==-⎪⎭1212t ≤∴⎫-⎪⎭32t -≤<t <≤32t <≤。

2024北京西城区初三一模数学试卷和答案

2024北京西城区初三一模数学试卷和答案

2024北京西城初三一模数 学考生须知：1. 本试卷共7页，共两部分， 28道题．满分 100分．考试时间120分钟．2. 在试卷和草稿纸上准确填写姓名、准考证号、考场号和座位号．3. 试题答案一律填涂或书写在答题卡上， 在试卷上作答无效．4. 在答题卡上，选择题、作图题用2B 铅笔作答，其他试题用黑色字迹签字笔作答．5. 考试结束， 将本试卷、答题卡和草稿纸一并交回．第一部分 选择题一、选择题 (共16分，每题2分)第1-8题均有四个选项，符合题意的选项只有一个.1. 如图是某几何体的展开图，该几何体是（ ）A. 圆锥B. 三棱柱C. 三棱锥D. 四棱锥2. 2024年5.5G 技术正式开始商用，它的数据下载的最高速率从5G 初期的1Gbps 提升到10Gbps ，给我们的智慧生活“提速”.其中10Gbps 表示每秒传输10000000000 位(bit )的数据. 将10000000000用科学记数法表示应为（ ）A.110.110⨯ B. 10110⨯ C. 11110⨯ D. 91010⨯3. 下列图形中，既是中心对称图形也是轴对称图形的是（ ）A. B. C. D.4. 直尺和三角板如图摆放，若155∠=︒，则2∠的大小为（ ）A. 35︒B. 55︒C. 135︒D. 145︒5. 不透明袋子中装有红、蓝小球各一个，除颜色外无其他差别，随机摸出一个小球后，放回并摇匀，再从中随机摸出一个小球，则两次都摸到蓝球的概率为（ ）A.14B.13C. 12D.236. 已知21a -<<-， 则下列结论正确的是（ ）A. 12a a <<-< B. 12a a <<-< C. 12a a <-<<D.12a a -<<<7. 若关于x 的一元二次方程 220kx x +-=有两个实数根，则实数k 的取值范围是（ ）A. 18k ≤- B. 18k >-且0k ≠ C. 18k ≥-且0k ≠ D. 14k ≥-且0k ≠8. 如图，在Rt ABC 中，90ACB ∠=︒，BC a =，AC b = (其中a b <)．CD AB ⊥于点D ，点E 在边AB 上，.BE BC = 设CD h =，AD m =，BD n =， 给出下面三个结论∶①()²²²n h m n +<+；②2222h m n >+；③AE 的长是关于 x 的方程 2220x ax b +-=的一个实数根．上述结论中，所有正确结论的序号是（ ）A. ①B. ①③C. ②③D. ①②③第二部分 非选择题二、填空题 (共16分，每题2分)9. 在实数范围内有意义，则实数x 的取值范围是______．10. 分解因式：21236x y xy y -+=______．11. 方程43312x x =--的解为______.12. 在平面直角坐标系xOy 中，若函数()0ky k x=≠的图象经过点()1,8-和()2,n ， 则n 的值为______．13. 如图， 在ABCD Y 中，点E 在边AD 上，BA ，CE 的延长线交于点F ．若1AF =，2AB =， 则AEED= ．14. 如图， 在O 的内接四边形ABCD 中， 点A 是 BD的中点，连接AC ， 若130DAB ∠=︒，则ACB =∠_______︒．15. 如图，两个边长相等的正六边形的公共边为BD ，点A ，B ，C 在同一直线上， 点1O ，2O 分别为两个正六边形的中心． 则2tan O AC ∠的值为______．16. 将1，2，3，4，5，…，37这37个连续整数不重不漏地填入37个空格中．要求：从左至右，第1个数是第2个数的倍数，第1个数与第2个数之和是第3个数的倍数，第1，2，3个数之和是第4个数的倍数，…，前36个数的和是第37个数的倍数．若第1个空格填入37，则第2个空格所填入的数为______，第37个空格所填入的数为______．3717. 计算： 112sin605-⎛⎫-+︒- ⎪⎝⎭．18. 解不等式组: ()21521.32x x x x ⎧+<+⎪⎨+-≥⎪⎩，19. 已知 240x x --=，求代数式2(2)(1)(3)x x x -+-+的值.20.如图，点E 在ABCD Y 的对角线DB 的延长线上，AE AD =，AF BD ⊥于点F ，EG BC ∥交AF 的延长线于点G ，连接DG ．（1）求证: 四边形AEGD 是菱形；（2）若 1tan 42AF BF AEF AB =∠==，，求菱形AEGD 的面积．21. 某学校组织学生社团活动，打算恰好用1000元经费购买围棋和象棋，其中围棋每套40元，象棋每套30元．所购买围棋的套数能否是所购买象棋套数的2倍?若能，请求出所购买的围棋和象棋的套数，若不能，请说明理由．22. 在平面直角坐标系xOy 中，函数()0y kx b k =+≠的图象经过点()()3,5,2,0A B -， 且与y 轴交于点 C ．（1）求该函数的解析式及点C 的坐标；（2）当2x <时， 对于x 的每一个值， 函数3y x n =-+的值大于函数()0y kx b k =+≠的值，直接写出n 的取值范围．23. 某学校组织学生采摘山楂制作冰糖葫芦(每串冰糖葫芦由5颗山楂制成)．同学们经过采摘、筛选、洗净等环节，共得到7.6kg 的山楂．甲、乙两位同学各随机分到了15颗山楂，他们测量了每颗山楂的重量(单位：g )，并对数据进行整理、描述和分析．下面给出了部分信息．a ． 甲同学的山楂重量的折线图：b ． 乙同学的山楂重量：8， 8.8， 8.9， 9.4， 9.4， 9.4， 9.6， 9.6， 9.6， 9.8， 10， 10， 10， 10， 10c ． 甲、乙两位同学的山楂重量的平均数、中位数、众数：平均数中位数众数甲9.5m 9.2乙9.59.6n根据以上信息，回答下列问题：（1）写出表中m ， n 的值；（2）对于制作冰糖葫芦，如果一串冰糖葫芦中5颗山楂重量的方差越小，则认为这串山楂的品相越好．①甲、乙两位同学分别选择了以下5颗山楂制作冰糖葫芦．据此推断：品相更好的是 (填写“甲”或“乙”)；甲9.29.29.29.29.1乙9.49.49.48.98.8②甲同学从剩余的 10颗山楂中选出5颗山楂制作一串冰糖葫芦参加比赛，首先要求组成的冰糖葫芦品相尽可能好，其次要求冰糖葫芦的山楂重量尽可能大．他已经选定的三颗山楂的重量分别为9.4，9.5，9.6，则选出的另外两颗山楂的重量分别为 和 ；（3）估计这些山楂共能制作多少串冰糖葫芦．24. 如图， AB 为O 的直径， 弦CD AB ⊥于点H ，O 的切线CE 与BA 的延长线交于点E ， AF CE ∥， AF 与O 的交点为F .（1）求证: AF CD =；（2）若O 的半径为6， 2AH OH =，求AE 的长．25. 如图，点O 为边长为1的等边三角形ABC 的外心． 线段PQ 经过点O ，交边AB 于点P ， 交边AC 于点Q ． 若 12:APQ ABC AP x AQ y S S y ===，，，下表给出了x ，1y ，2y 的一些数据 (近似值精确到0.0001)．x0.50.550.60.650.70.750.80.850.90.9511y 10.84620.750.68420.63640.60.57140.54840.52940.51350.52y 0.46540.450.44470.44550.450.45710.46610.47650.48780.5（1）补全表格；（2）在同一平面直角坐标系xOy 中描出了部分点()()12,,x y x y ，．请补全表格中数据的对应点，并分别画出1y 与2y 关于x 的函数图象；（3）结合函数图象，解决下列问题：①当APQ △是等腰三角形时，1y 关于x 的函数图象上的对应点记为(),a b ，请在x 轴上标出横坐标为a 的点；②当2y 取最大值时，x 的值为 ．26. 在平面直角坐标系xOy 中，点 ()()()2,2,,A y B y C m y -₁，₂，₃在抛物线 ²3y ax bx =++(0)a >上．设抛物线的对称轴为直线x =t ．（1）若 3y =₁，求t 的值；（2）若当 12t m t +<<+时，都有 y y y >>₁₃₂，求t 的取值范围．27. 在 ABC 中， 45ABC ACB ∠=∠=︒，AM BC ⊥于点M .D 是射线AB 上的动点 (不与点 A ， B 重合)， 点 E 在射线AC 上且满足 AE AD =，过点D 作直线BE 的垂线交直线BC 于点F ， 垂足为点 G ， 直线BE 交射线AM 于点P ．（1）如图1， 若点D 在线段AB 上， 当 AP AE =时，求 BDF ∠的大小；（2）如图2，若点D 在线段AB 的延长线上，依题意补全图形，用等式表示线段CF ，MP ，AB 的数量关系， 并证明．28. 在平面直角坐标系xOy 中，已知O 的半径为1．对于O 上的点 P 和平面内的直线:l y ax =给出如下定义：点P 关于直线l 的对称点记为P '，若射线OP 上的点Q 满足OQ PP ='，则称点Q 为点P 关于直线l 的“衍生点”．（1）当0a =时，已知O 上两点 121.2P P ⎛⎛ ⎝⎭⎝⎭，在点()112Q ，，232Q ⎫⎪⎪⎭， ()(341,1Q Q --，中，点1P 关于直线l 的“衍生点”是 ，点2P 关于直线l 的“衍生点”是 ；（2）P 为O 上任意一点， 直线y x m =+ ()0m ≠与x 轴， y 轴的交点分别为点 A ，B ． 若线段AB 上存在点S ，T ，使得点S 是点P 关于直线l 的“衍生点”，点T 不是点P 关于直线l 的“衍生点”，直接写出m 的取值范围；（3）当11a -≤≤时，若过原点的直线s 上存在线段 MN ，对于线段 MN 上任意一点R ，都存在O 上的点P 和直线l ，使得点R 是点P 关于直线l 的“衍生点”． 将线段MN 长度的最大值记为()D s ，对于所有的直线s ，直接写出()D s 的最小值．参考答案第一部分 选择题一、选择题 (共16分，每题2分)第1-8题均有四个选项，符合题意的选项只有一个.1. 【答案】C【分析】本题考查了几何体的侧面展开图，从实物出发，结合具体的问题，辨析几何体的展开图，通过结合立体图形与平面图形的转化，建立空间观念，是解决此类问题的关键．根据侧面展开图为4个三角形，所以该几何体是三棱锥．【详解】解：∵侧面展开图为4个三角形，∴该几何体是三棱锥，故选C ．2. 【答案】B【分析】此题考查科学记数法的表示方法：10n a ⨯，110a ≤<，n 是整数，大于10的数的整数位数减去1即是n 的值，据此解答．【详解】1010000000000110=⨯，故选：B ．3. 【答案】D【分析】根据轴对称图形和中心对称图形的概念，对各选项分析判断即可得解．把一个图形绕某一点旋转180︒，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形；如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形．本题考查了中心对称图形和轴对称图形，熟练掌握中心对称图形和轴对称图形的概念是解题的关键．【详解】解：A ．不是中心对称图形，是轴对称图形，故本选项不符合题意；B ．是中心对称图形，不是轴对称图形，故本选项不合题意；C ．不是中心对称图形，是轴对称图形，故本选项符合题意；D ．既是中心对称图形也是轴对称图形，故本选项合题意．故选：D ．4. 【答案】D【分析】本题主要考查了平行线的性质，三角板中角度的计算，熟知两直线平行，内错角相等是解题的关键．根据平行线的性质得到3435∠∠==︒，再由邻补角互补即可得出结果．【详解】解：如图所示：1+3=90∠∠︒，∵155∠=︒，∴335∠=︒，由题意得，直尺的两边平行，∴3435∠∠==︒，∴21804145=︒-=︒∠∠，故选D ．5. 【答案】A【分析】本题考查列表法与树状图法，列表可得出所有等可能的结果数以及两次都摸到蓝球的结果数，再利用概率公式可得出答案．【详解】解：列表如下：红蓝红（红，红）（红，蓝）蓝（蓝，红）（蓝，蓝）共有4种等可能的结果，其中两次都摸到蓝球的结果有1种，∴两次都摸到蓝球的概率为14．故选：A ．6. 【答案】A【分析】本题考查了不等式的性质．熟练掌握不等式的性质是解题的关键．由21a -<<-，可得12a <-<，然后判断作答即可．【详解】解：∵21a -<<-，∴12a <-<， ∴12a a <<-<，故选：A ．7. 【答案】C【分析】本题主要考查了一元二次方程的定义，一元二次方程根的判别式，解题的关键在于能够熟练掌握一元二次方程的定义和一元二次方程根的判别式．根据一元二次方程的定义以及根的判别式的意义可得()2Δ1420k =-⨯-≥ 且0k ≠，求出k 的取值范围即可．【详解】解：∵一元二次方程220kx x +-=有两个实数根，∴()2Δ14200k k ⎧=-⨯-≥⎨≠⎩，∴18k ≥-且0k ≠，故选C ．8. 【答案】B【分析】本题主要考查了勾股定理，公式法解一元二次方程，关键在于找出各边的几何关系．【详解】解：∵在Rt BDC 中，222BD CD BC +=，即222n h a +=，在Rt ABC 中，222BC AC AB +=，即()222a b m n +=+，∴()222222n h a a b m n +=<+=+ ，即()²²²n h m n +<+，故①正确．∵在Rt BDC 中，222n a h =-，在Rt ADC 中，222m b h =-，∴222222n m a b h +=+-，又∵在Rt ABC 中，()222a b m n +=+，∴()22222n m m n h +=+-，即2222222n m n m mn h +=++-，即222mn h =，∴()()()222222220m nh m n mn m n m n +-=+-=->≠，∴2222m n h +>，故②错误．∵DE BE BD BC BD a n =-=-=-，∴()AE AD DE m a n m n a =-=--=+-，∵2220x ax b +-=的实数根为：()()222a m n x a m n -±+===-±+，∴AE 的长是关于 x 的方程 2220x axb +-=的一个实数根，故③正确．综上①③正确，故选：B ．第二部分 非选择题二、填空题 (共16分，每题2分)9. 【答案】3x ≥【分析】此题主要考查了分式有意义及二次根式有意义的条件，正确掌握相关定义是解题关键．由分式有意义及二次根式有意义的条件，进而得出x 的取值范围．【详解】由二次根式的概念，可知30x -≥，解得3x ≥.故答案为：3x ≥10. 【答案】()26y x -【分析】本题考查了因式分解，熟练掌握因式分解的方法是解题的关键．先提取公因式，再运用完全平方公式进行分解即可．【详解】解：()()222123612366x y xy y y x x y x -+=-+=-．故答案为：()26y x -．11. 【答案】=1x -【分析】本题考查了解分式方程，熟练掌握解法是解决本题的关键．先去分母，转化为一元整式方程，再求解即可．【详解】解：()()42331x x -=-，4893x x -=-，解得：=1x -，经检验：=1x -是原方程的根，所以，原方程的根为：=1x -，故答案为：=1x -．12. 【答案】4-【分析】本题考查了反比例函数的性质，根据题意，()1,8-和点()2,n ，都满足解析式()0k y k x=≠，即可求解．熟练掌握反比例函数的性质是解题的关键．【详解】解：∵反比例函数()0k y k x =≠的图象经过点()1,8-和()2,n ，∴182n -⨯=，解得：n =-4故答案为：4-．13. 【答案】12【分析】本题考查平行四边形的性质，相似三角形的判定和性质，关键是由FAE CDE ∽，推出AE AF DE CD=．由平行四边形的性质得到AB CD ∥，2CD AB ==，推出FAE CDE ∽，得到AE AF DE CD=，而1AF =，于是得到12AE DE =．【详解】解： 四边形ABCD 是平行四边形，AB CD ∴∥，2CD AB ==，FAE CDE ∴∽，∴AE AF DE CD=，1AF =Q ，∴12AE DE =．故答案为：12．14. 【答案】25【分析】本题考查了圆的内接四边形性质，圆周角定理等知识，利用圆的内接四边形的性质求出BCD ∠的性质，然后利用圆周角定理求解即可．【详解】解：∵O 的内接四边形ABCD 中，130DAB ∠=︒，∴18500DA BCD B ∠︒∠==︒-，∵点A 是 BD的中点，∴ AD AB =，∴1252ACD ACB BCD ∠=∠=∠=︒，故答案为：25．15. 【分析】本题考查正多边形和圆，掌握正六边形的性质，直角三角形的边角关系以及锐角三角函数的定义是正确解答的关键．连接2O C ，过2O 点作2O E BC ⊥，垂足为E ，根据正六边形的性质，直角三角形的边角关系以及锐角三角函数的定义进行计算即可．【详解】解：如图，连接2O C ，过2O 点作2O E BC ⊥，垂足为E ，设正六边形的边长为a ，则112O A O B O C a ===，在2Rt O CE 中，22,3606230O C a CO E =∠=︒÷÷=︒，∴21122EC O C a BE ===，22O E C ==，∴15222AE a a a =+=，∴22tan O E O AC AE ∠==．16. 【答案】 ①. 1 ②. 19【分析】本题考查了有理数四则混合运算的应用，熟练掌握四则运算法则是解题关键．根据第1个数是第2个数的倍数可得第2个空格所填入的数；先得出这37个数的和也是第37个数的倍数，再求出这37个数的和，由此即可得．【详解】解：∵第1个空格填入37，第1个数是第2个数的倍数，∴第2个空格所填入的数为1，∵前36个数的和是第37个数的倍数，∴这37个数的和也是第37个数的倍数，又∵12337++++ ()()()137236182019=+++++++ 381819=⨯+703=3719=⨯，∴第37个空格所填入的数为19，故答案为：1，19．17. 【答案】5-【分析】本题考查的是含特殊角的三角函数值的混合运算，掌握运算顺序是解本题的关键，先计算绝对值，负整数指数幂，代入三角函数值，化简二次根式，再合并即可．【详解】解∶112sin605-⎛⎫-+︒⎪⎝⎭52=+-=5-．18. 【答案】3x<【分析】本题考查了解一元一次不等式组，熟练掌握一元一次不等式组的解法是解题的关键．分别求出两个不等式的解，再求公共解，即得答案．【详解】原不等式组为()2152132x xx x⎧+<+⎪⎨+-≥⎪⎩①②解不等式①，得3x<，解不等式②，得7x≤，∴原不等式组的解集为3x<．19. 【答案】9【分析】本题考查了整式的化简求值，利用整体代入法解答是解题的关键．先化简原式，再将²40x x--=变形为24x x-=，最后将24x x-=以整体的形式代入原式，即得答案．【详解】2(2)(1)(3)x x x-+-+22(44)(23)x x x x=-+++-2221x x=-+，²40x x--=，24x x∴-=，∴原式22()19x x=-+=．20. 【答案】（1）见详解（2）32【分析】（1）根据等腰三角形三线合一的性质得出EF DF=，再证GEF△和ADF△全等，得出EF DF=，于是根据对角线相互平分的四边形AEGD是平行四边形，再根据一组邻边相等的平行四边形是菱形即可得出四边形AEGD是菱形；（2）分别求出AF 、EF 的长，即可得出对角线AG 、ED 的长，根据菱形的面积公式计算即可．【小问1详解】证明：AE AD = ，AF BD ⊥，EF DF ∴=，四边形ABCD 是平行四边形，AD BC ∴∥，EG BC ∥，AD EG ∴∥，GEF ADF ∴∠=∠，在GEF △和ADF △中，GEF ADFEF DF EFG DFA∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩，(ASA)GEF ADF ∴△≌△，∴=GF AF ，EF DF = ，∴四边形AEGD 是平行四边形，AE AD = ，∴四边形AEGD 是菱形；【小问2详解】解：AF BD ⊥ ，AF BF =，AFB ∴ 是等腰直角三角形，4AB = ，∴由勾股定理得，4AF BF AB ====1tan 2AEF ∠= ，∴12AFEF =，12=，EF ∴=，四边形AEGD 是菱形，2AG AF ∴==2ED EF ==∴菱形AEGD 32=．【点睛】本题考查了菱形的判定与性质，平行四边形的性质，勾股定理，锐角三角函数，菱形的面积等，熟练掌握这些知识点是解题的关键．21. 【答案】购买围棋的套数不能是所购买象棋套数的2倍，理由见解析【分析】本题考查了二元一次方程组的应用．熟练掌握二元一次方程组的应用是解题的关键．设购买x 套围棋，y 套象棋，假设所购买围棋的套数能是所购买象棋套数的2倍，依题意得，403010002x y x y +=⎧⎨=⎩，计算求解，然后判断作答即可．【详解】解：设购买x 套围棋，y 套象棋，假设所购买围棋的套数能是所购买象棋套数的2倍，依题意得，403010002x y x y +=⎧⎨=⎩， 解得，10011y =，∵y 不为正整数，∴不合题意．答：所购买围棋的套数不能是所购买象棋套数的2倍．22. 【答案】（1）函数的解析式为2y x =+，点C 的坐标为()0,2（2）10n ≥【分析】本题考查了待定系数法求函数解析式及解不等式，（1）利用待定系数法即可求得函数解析式，当0x =时，求出2y =即可求解．（2）根据题意结合解出不等式32x n x -+>+结合2x <，即可求解．【小问1详解】解：将()()3,5,2,0A B -，代入函数解析式得，3520k b k b +=⎧⎨-+=⎩，解得12k b =⎧⎨=⎩，∴函数的解析式为：2y x =+，当0x =时，2y =，∴点C 的坐标为()0,2．【小问2详解】解：由题意得，32x n x -+>+，即24n x -<，又2x <，∴224n -≥，解得：10n ≥，∴n 的取值范围为10n ≥．23.【答案】（1）9.4，10（2）①甲，②9.3，9.6（3）160串【分析】（1）根据中位数和众数的概念，即可求解；（2）①根据方差的定义，即可求解；②根据题意可知，剩余两个山楂的重量应该尽可能大，且接近已有的三个山楂的重量，以保证方差最小，据此解答即可．（3）已知总重量和调查的平均数，用总数量除以调查的平均数先求出大概有多少个山楂，再用山楂数除以每串冰糖葫芦的山楂数即可求出能制作多少串冰糖葫芦．【小问1详解】解：根据甲的折线图可以看出，这组数据从小到大排列，中间第8个数为9.4，也就是说这组数据的中位数为9.4，所以9.4m =；根据乙同学的山楂重量数据可以发现，重量为10克出现的次数最多，也就是说这组数据的众数为10，所以10n =．【小问2详解】解：①根据题意可知甲同学的5个冰糖葫芦重量分布于9.19.2-之间，乙同学的5个冰糖葫芦重量分布于8.89.4-，从中可以看出，甲同学的5个数据比乙同学的5个数据波动较小，所以，甲同学的5个冰糖葫芦重量的方差较小，故甲同学冰糖葫芦品相更好．② 要求数据的差别较小，山楂重量尽可能大，∴可供选择的有9.3、9.6、9.9，当剩余两个为9.3、9.6，这组数据的平均数为9.48，方差为：222221[(9.39.48)(9.49.48)(9.59.48)(9.69.48)(9.69.48)]0.01365-+-+-+-+-⨯=，当剩余两个为9.6、9.9，这组数据的平均数为9.6，方差为：222221[(9.49.6)(9.59.6)(9.69.6)(9.69.6)(9.99.6)]0.0285-+-+-+-+-⨯=，当剩余两个为9.3、9.9，这组数据平均数为9.54，方差为：222221[(9.39.54)(9.49.54)(9.59.54)(9.69.54)(9.99.54)]0.04245-+-+-+-+-⨯=，据此，可发现当剩余两个为9.3、9.6，方差最小，山楂重量也尽可能大．【小问3详解】解：7.6千克7600=克，76009.5800÷=（个)，8005160÷=（串)，答：能制作160串冰糖葫芦．【点睛】本题考查了折线统计图，平均数，众数，中位数和方差，熟记方差的计算公式以及方差的意义是解题的关键．24. 【答案】（1）见解析 （2）12【分析】本题考查切线的性质，全等三角形的判定和性质，解直角三角形，掌握切线的性质是解题的关键．（1） 连接OC ，OC 与AF 交于点G ，根据切线的性质得到90OCE ∠=︒，根据垂径定理得到 2AF AG =，然后证明OAG OCH ≌即可得到结论；（2）在Rt OCH 和Rt OCE 运用解直角三角形得到OE 长，然后利用AE OE OA =-解题即可．【小问1详解】证明: 如图， 连接OC ，OC 与AF 交于点 G .∵ CE 与O 相切， 切点为C ，∴CE OC ⊥.∴90OCE ∠=︒ .∵ AF CE ∥，∴ 90OGA OCE ∠∠==︒ .∴ OC AF ⊥于点 G .∴ 2AF AG =.∵CD AB ⊥ 于点 H ，∴90OHC ∠=︒， 2CD CH =.∴OGA OHC ∠∠=.又∵ AOG COH ∠∠=，OA OC =，∴ OAG OCH ≌.∴AG CH =.∴A F CD =；【小问2详解】解: ∵ O 的半径为6， 2AH OH =，∴2OH =， 4AH =.在Rt OCH 中， 190cos .3OHOHC COH OC ∠=︒∠==，在Rt OCE 中， 190cos 63OCE COE OC ∠=︒∠==，，，18cos OCOE COE ∴==∠，∴18612AE OE OA =-=-=.25. 【答案】（1）见解析 （2）见解析（3）①见解析；②0.5或1【分析】（1）根据等边三角形的性质，得出此时点Q 在点C 处，从而得出12APQ ABC S S =△△，即可得出答案；（2）根据解析（1）得出的数据，先描点，再连线即可；（3）①连接AO 并延长交BC 于点D ，连接OB ，根据等边三角形的性质求出23OA AD ==，当APQ △是等腰三角形时，AP AQ =，根据60PAQ ∠=︒，证明PAQ △为等边三角形，解直角三角形求出23a =，23b =，在函数图象上描出该点即可；②根据函数图象，得出2y 取最大值时x 的值即可．【小问1详解】解：当0.5x =时，点P 为AB 的中点，∵点O 为边长为1的等边三角形ABC 的外心，∴此时点Q 在点C 处，如图所示：∵ABC 为等边三角形，点P 为AB 的中点，点Q 在点C 处，∴12APQ ABC S S =△△，∴20.5APQABCS y S == ；填报如下：x 0.50.550.60.650.70.750.80.850.90.9511y 10.84620.750.68420.63640.60.57140.54840.52940.51350.52y 0.50.46540.450.44470.44550.450.45710.46610.47650.48780.5【小问2详解】解：如图所示：【小问3详解】解：①连接AO 并延长交BC 于点D ，连接OB ，如图所示：∵ABC 为等边三角形，点O 为ABC 外心，∴30OBD BAD ∠=∠=︒，AD BC ⊥，1122BD BC ==，OA OB =，∴12OD OB =，AD ===，∴23OA AD ==，当APQ △是等腰三角形时，AP AQ =，∵60PAQ ∠=︒，∴PAQ △为等边三角形，∴60APQ ∠=︒，∴APQ ABC ∠=∠，∴PQ BC ∥，∴90AOP ADB ∠=∠=︒，∴2cos303AOAP ===︒，∴23AQ AP ==，∴23a =，23b =，∴此时在1y 关于x 的函数图象上标出点22,33⎛⎫⎪⎝⎭，如图所示：②根据函数图象可知，函数2y 的最大值为0.5，此时0.5x =或1x =．26. 【答案】（1）1-（2）13t ≤≤【分析】本题考查了二次函数的性质，二次函数图象上点的坐标特征，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键．（1）把A 点的坐标代入解析式求得2b a =，然后利用对称轴公式即可求得；（2）由题意可知点1(2,)A y -在对称轴的左侧，3(,)C m y 在对称轴的右侧，点1(2,)A y -关于直线x t =的对称点为(22)t +，2(2,)B y 关于直线x t =的对称点为(22)t -，分两种情况讨论，得到关于t 的不等式组，解不等式组从而求得t 的取值范围．【小问1详解】解： 点(2,3)A -在抛物线23(0)y ax bx a =++>上，3423a b ∴=-+，2b a ∴=，12b t a∴=-=-；【小问2详解】解：0a > ，∴抛物线23(0)y ax bx a =++>开口向上，当x t >时，y 随x 的增大而增大，当12t m t +<<+时，都有132y y y >>，∴点1(2,)A y -在对称轴的左侧，3(,)C m y 在对称轴的右侧，点1(2,)A y -，2(2,)B y ，3(,)C m y 在抛物线23(0)y ax bx a =++>上，∴点1(2,)A y -关于直线x t =的对称点为(22)t +，2(2,)B y 关于直线x t =的对称点为(22)t -，当2t ≥时，则222221t t t t +>+⎧⎨-≤+⎩，解得03t <≤，23t ∴≤≤；当2t <时，则22212t t t +>+⎧⎨+≥⎩，解得12t ≤<，综上所述，t 的取值范围为13t ≤≤．27. 【答案】（1）67.5︒（2）2CF MP =，证明见解析【分析】（1）根据等腰三角形的性质求得345∠=︒，再根据等腰三角形性质与三我内角和定理求得267.5∠=︒，然后由余角性质得出2BDF ∠=∠，即可求解．（2）作CQ AP ∥交BE 于点 Q ，利用相似三角形的性质求得2CQ MP =，证明BDF CEQ ≌，得到BF CQ =，由勾股定理得BC ，即可由CF BF BC CQ =+=，得出结论．【小问1详解】解∶如图4．∵在ABC 中，45ABC ACB ∠=∠=︒，∴AB AC =，90BAC ∠=︒，1290∠+∠=︒．∵AM BC ⊥于点 M ， 3452BAC BM CM ∠∴∠==︒=，．∵AP AE =， 180318045267.522︒-∠︒-︒∴∠===︒．∵DF BE ⊥于点 G ，∴190BDF ∠+∠=︒，∴267.5BDF ∠=∠=︒．【小问2详解】解：补全图形，如图5．2CF MP =+．证明∶ 如图5， 作CQ AP ∥交BE 于点 Q ．∵CQ AP ∥，∴BMP BCQ∽∴MP BM CQ BC=，∵BM =CM ， AM ⊥BC ， 1902MP BM BCQ AMC CQ BC ∴==∠=∠=︒ 2518045CQ MP ACB BCQ ∴=∠=︒-∠-∠=︒，．445ABC ∠=∠=︒ ，∴45∠=∠，DBG ABE DG BE ∠=∠⊥ ，于点 G ， 90BAC ∠=︒，∴D E∠=∠ AD AE AB AC == ，，AD AB AE AC ∴-=-， 即BD CE =．∴BDF CEQ≌BF CQ =∶．．CF BF BC BC =+= ，，2CF CQ MP ∴=+=+．【点睛】本题考查等腰直角三角形的性质，勾股定理，三角形内角和定理，角平分线有关的角的计算，全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质．熟练掌握等腰直角三角形的性质是解题的关键．28. 【答案】（1）23Q Q ，（2）2m ≤≤2m -≤≤-（3）2-【分析】（1）先得出直线l 为0y =，根据轴对称得出121,.2P P ''⎛⎛ ⎝⎭⎝⎭，进而可得11PP '=，22P P '=，勾股定理求得点1234,,,Q Q Q Q 与原点的距离，进而根据新定义即可求解；（2）依题意，02PP '≤≤当线段AB 上存在一个点到原点的距离为2时，则符合题意，进而分0,0m m ><画出图形，即可求解；（3）根据题意，画出图形，就点P 的位置，分类讨论，根据新定义即可求解．【小问1详解】解：∵当0a =时，直线l 为0y =，即x 轴，∵121.2P P ⎛⎛ ⎝⎭⎝⎭，∴121,.2P P ''⎛⎛ ⎝⎭⎝⎭，∴11PP '=22P P '=，∵()112Q ，， 232Q ⎫⎪⎪⎝⎭， ()(341,1Q Q --，∴1OQ ==，2OQ ==3OQ ==，42OQ ==，∴点1P 关于直线l 的“衍生点”是2Q ，点2P 关于直线l 的“衍生点”是3Q ，故答案为：23Q Q ，．【小问2详解】解：依题意，02PP '≤≤，由（2）可得当点S 是点P 关于直线l 的“衍生点”则2OS ≤，∵P 为O 上任意一点， 直线y x m =+ ()0m ≠与x 轴， y 轴的交点分别为点 A ，B ．∴OA OB m ==，∴当线段AB 上存在一个点到原点的距离为2时，当0m >时，如图所示，当2OS =时，即S 与B 点重合时，存在点S 是点P 关于直线l 的“衍生点”，则2m =则AB （除端点外）上所有的点到O 的距离都2<，∵对称轴为直线y ax =，不能为y 轴，则()0,2和()2,0-不是点P 关于直线l 的“衍生点”，则2m =符合题意，∵线段AB 上存在点S ，T ，使得点S 是点P 关于直线l 的“衍生点”，点T 不是点P 关于直线l 的“衍生点”，∴m 2≥，当OS y x m '⊥=+，此时OS '最短，则当2OS '=时，m =，此时只有1个点到O 的距离为2，其他的点都不是点P 关于直线l 的“衍生点”，∴2m ≤≤根据对称性，当0m <时，可得2m -≤≤-；综上所述，2m ≤≤2m -≤≤-【小问3详解】∵11a -≤≤时∴随着a 的变化，点P 关于直线l 的对称点P '始终在圆上，如图所示，依题意，直线l 是经过圆心，且经过 AB 的直线，s 经过圆心，①当点P 在 AB （包括边界）上时，当,P P '重合时，当PP '为直径时，则2OQ PP '==，根据新定义可得02PP '≤≤，∴()2D s =，②当P 点在 AD 的内部的圆弧上时（不包括边界），当PP '为直径时，则2OQ PP '==，则对于线段 MN 上任意一点R ，都存在O 上的点P 和直线l ，使得点R 是点P 关于直线l 的“衍生点”．当P 在y 轴上时，两条边界线的正中间，则PP '，2PP OQ '≤=≤即()2D s =-综上所述，()2D s =．【点睛】本题考查了一次函数，圆的定义，轴对称的性质，勾股定理求线段长，理解新定义，熟练掌握几何变换是解题的关键．。

2024北京顺义区初三一模数学试卷和答案

2024北京顺义区初三一模数学试卷和答案

2024北京顺义初三一模数 学学校名称 姓名 准考证号考生须知1．本试卷共8页，共两部分，三道大题，28道小题，满分100分。

考试时间120分钟。

2．在答题卡上准确填写学校名称、姓名和准考证号。

3．试题答案一律填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效。

4．在答题卡上，选择题、作图题用2B 铅笔作答，其他试题用黑色字迹签字笔作答。

5．考试结束，将答题卡交回。

一、选择题（本题共16分，每小题2分）第1-8题均有四个选项，符合题意的选项只有一个．1．全国绿化委员会办公室发布的《2023年中国国土绿化状况公报》显示，2023年全国完成国土绿化任务超800万公顷，其中造林3 998 000公顷．将3 998 000用科学记数法表示应为（A ）3.998×107 （B ）3.998×106 （C ）3998×103（D ）3.998×1032．实数a ，b 在数轴上对应点的位置如图所示，下列结论正确的是（A ）1a >- （B ） 1b > （C ） a b -< （D ）b a->3．若一个多边形的内角和是540°，则该多边形的边数为（A ）5 （B ）6（C ）7（D ）84．如图，直线AB ，CD 相交于点O ，OE 平分∠AOD ，∠AOC =30°，则∠BOE 的度数为（A ）30° （B ）75° （C ）105° （D ）115°5．同时抛掷两枚质地均匀的硬币，则两枚硬币均正面向上的概率是（A ）14 （B ） 13 （C ） 12 （D ） 346．下列正多边形中，是轴对称图形但不是中心对称图形的是（A ） （B ）（C ） （D ）EACODB7．若关于x 的方程220x x m +-=有两个不相等的实数根，则实数m 的取值范围是（A ）14m >-（B ）1m <- （C ）1m >- （D ）1m ≥-8．已知y 是x 的函数，下表是x 与y 的几组对应值：x…124…y…421…y 与x 的函数关系有以下3个描述：①可能是一次函数关系；②可能是反比例函数关系；③可能是二次函数关系．所有正确描述的序号是（A ）①② （B ）①③ （C ）②③ （D ）①②③二、填空题（本题共16分，每小题2分）9．若代数式23xx -有意义，则实数x 的取值范围是 ．10．分解因式：244m -= ．11．方程121x x =-，的解为 ．12．已知点A （3，y 1），B （m ，y 2）在反比例函数6y x=的图象上．若y 1>y 2，写出一个满足条件的m 的值 ．13．如图，在矩形ABCD 中，直线EF 分别交AD ，BC ，BD 于点E ，F ，O ，只需添加一个条件即可证明△BOF ≌△DOE ，这个条件可以是 （写出一个即可）．第13题图 第14题图14．如图，⊙O 是△ABC 的外接圆，AB =AC ，∠BAC =36°，BD 平分∠ABC ，交⊙O 于点D ，则∠DAB 的度数为 ．15. 某商场为了解顾客对某一款式围巾的不同花色的需求情况，调查了某段时间内销售该款式的30条围巾的花色，数据如下：FABCDOEAB花色A B C D E F G H 销售量/条22453914若商场准备再购进200条同款式围巾，估计购进花色最多的围巾数量为______条．16．小明观看了纸牌魔术表演，非常感兴趣，并做了如下实验和探究：将几张纸牌摞起来（从上面分别记为第1张，第2张，第3张……），先将第1张牌放到整摞牌的下面，再去掉第2张牌；继续将第3张牌放在整摞的下面，再去掉第4张牌……如此循环往复，最终到只留下一张纸牌为止.例如，若将4张纸牌摞起来，按上述规则操作，陆续去掉第2张，第4张，第3张，最终留下第1张纸牌.若将8张纸牌摞起来，按上述规则操作，最终留下的是第 张纸牌；将m 张纸牌摞起来，按上述规则操作，若最终留下的是第1张纸牌，则m = （用含n 的代数式表示，其中n 为自然数）.三、解答题（共68分，第17-19题，每题5分，第20题6分，第21-22题，每题5分，第23-24题，每题6分，第25题5分，第26题6分，第27-28题每题7分）解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．17．计算：()124sin 451π--++- ．18.解不等式组： 371,11122x x ->-⎧⎪⎨+>⎪⎩．19．已知221x x +=，求代数式()()2411x x ++-的值．20．如图，在菱形ABCD 中，AC ，BD 交于点O ，延长CB 到点E ，使BE =BC ，连接AE ．（1）求证：四边形AEBD 是平行四边形；（2）连接OE ，若tan ∠AEB =12，AC =2，求OE 的长．21．某校举办“跨学科综合实践活动”，五名评委对每组同学的参赛作品打分．对参加比赛的甲、乙、丙三个组参赛作品得分（单位：分）的数据进行整理、描述和分析，下面给出了部分信息． a ．甲、丙两组参赛作品得分的折线图：BACDEOb．在给乙组参赛作品的打分中，其中三位评委打分分别为87，93，95，其余两位评委的打分均高于85分；c．甲、乙、丙三个组参赛作品得分的平均数：甲组乙组丙组8890n根据以上信息，回答下列问题：（1）写出表中n的值；（2）某组参赛作品评委打分的5个数据的方差越小，则认为评委对该组参赛作品的评价越“一致”．据此推断：对于甲、丙两组的参赛作品，五位评委评价更“一致”的是_____组（填“甲”或“丙”）；（3）该校准备推荐一个小组的作品到区里参加比赛，你认为应该推荐哪个小组，请说明理由．22．在平面直角坐标系xOy中，函数y＝kx+b（k≠0）的图象经过点A（4，5）和B（0，-1），与过点（2，0）且平行于y轴的直线交于点C．（1）求该函数的表达式及点C的坐标；（2）当 x<2 时，对于x的每一个值，函数1+2y x n的值大于函数y＝kx+b（k≠0）的值且小于3，直接写出n的取值范围．23．杆秤是我国度量衡“三大件（尺斗秤）”重要组成部分，是中华民族衡重的基本量具．杆秤依据杠杆原理制作而成，一般由秤钩（秤盘）、秤杆和秤砣三部分组成，秤杆上的刻度叫做“秤星”，古时候秤杆叫做“权”，秤砣叫做“衡”，“权衡”一词就来源于此．下图是小阳同学利用自制杆秤称重的示意图，使用时将货物放在秤盘上，用手提起B（相当于支点）处的秤纽，在秤杆上移动秤砣的位置，当秤杆水平平衡时，可根据秤砣在秤杆上的位置读出货物的质量．如图1所示，称量货物甲时，秤杆在C处秤杆平衡，此时可读出货物甲的质量是40g；如图2所示，称量货物乙时，秤杆在D处秤杆平衡，此时可读出货物甲的质量是60g．根据图中所给数据，求这把杆秤的秤星E对应的最大刻度是多少克．图1 图224. 如图，AB 是⊙O 的直径，AC =AD ，CD 与AB 交于点E ，⊙O 的切线BF 交AD 的延长线于点F ． （1）求证：CD ∥BF ；（2）连接FO 并延长，交DC 的延长线于点G ．若E 为AO 的中点，⊙O 的半径为4，求CG 的长．25．为了去除衣物上的某种有害物质（记作“P ”），某小组研究了衣物上P 的含量（单位：mg/kg ）与浸泡时长（单位：h ）的关系．该小组选取甲、乙两类服装样品，将样品分成多份，进行浸泡处理，检测处理后样品中P 的含量．所得数据如下：含量（mg/kg ）甲类乙类0807923732431256292182818102717122716（1）设浸泡时间为x ，甲，乙两类衣物中P 的含量分别为y 1， y 2，在平面直角坐标系xOy 中，描出表中各组数值所对应的点（x ，y 1），（x ，y 2），并画出y 1， y 2的图象；（2）结合实验数据，利用所画的函数图象可以推断，当浸泡时长为5h 时，甲，乙两类衣物中P 的含量的差约为_______ mg/kg （精确到0.1）；（3）根据衣物中P 的含量（单位：mg/kg ）将衣物分为A 级（含量＜20）、B 级（20≤含量＜75）和C 级（75≤含量＜300）.若浸泡时长不超过12h ，则经过浸泡处理后可能达到A 级标准的衣物为_______（填“甲类”或“乙类”），该类衣物达到A 级标准至少需要浸泡_______h （精确到0.1）．26．在平面直角坐标系xOy 中，M 11()x y ，，N 22()x y ，是抛物线2(0)y ax bx c a =++＞上任意两点，设抛物线的对称轴为x t =.（1）当12x =时，1y c =，求抛物线的对称轴；（2）若对于11t x t --＜＜2，2t x t ＜＜+2，都有12y y ＞，求t 的取值范围.27．如图，在正方形ABCD 中，点E ，F 分别在DC ，CB 的延长线上，且BF=CE ，EB 的延长线交AF 于点G ．（1）求∠AGE 的度数；（2）在线段EG 上取点H ，使得 GH =AG ，连接AH ，CH①依题意补全图形；②用等式表示线段CH 与GB 的数量关系，并证明．28．在平面直角坐标系xOy 中，对于图形M 和图形N 给出如下定义：如果图形M 上存在点P ，y 轴上存在点T ，使得点P 以点T 为旋转中心，逆时针旋转90°得到的点Q 在图形N 上，那么称图形N 是图形M 的关联图形．（1）如图，点A (-3，2)，B (0，-1)，C (3，2)，D (-1，6) ．①在点B，C，D中，点A的关联图形是_______；②若⊙O不是点A的关联图形，求⊙O的半径r的取值范围；（3）已知点'O(m，0)，E(m-3，0)，G(m-2，1)，⊙'O的半径为1，以线段EG为对角线的正方形为EFGH，若⊙'O是正方形EFGH的关联图形，直接写出m的最小值和最大值．参考答案一、选择题（共16分，每题2分）题号12345678答案BDACABCC二、填空题（本题共16分，每小题2分）9．3x ≠ ； 10．4(1)(1)m m +- ； 11．2x =； 12．6（答案不唯一）； 13．OB =OD （答案不唯一）；14．72︒； 15． 60 ； 16．1，2n．三、解答题（共68分，第17-19题，每题5分，第20题6分，第21-22题，每题5分，第23-24题，每题6分，第25题5分，第26题6分，第27-28题每题7分）17．解：1024sin 45(1)π--++-1412=-++………………………………………………………4分 32=………………………………………………………………………………5分18．解：解不等式①得2x >…………………………………………………………………2分解不等式②得1x >………………………………………………………………… 4分不等式组的解集是 2.x > ………………………………………………………… 5分19．解：()()2411x x ++-=24421x x x =-+-+ ……………………………………………………2分=225x x ++ ……………………………………………………………3分 ∵221,x x +=∴ 原式=225x x ++=1+5=6． …………………………………………………5分20．（1）证明：∵四边形ABCD 是菱形，∴AD =BC ，AD ∥EC.∵BE =BC ，∴BE =AD . 又BE ∥AD ，∴四边形AEBD 是平行四边形. ……………………………………………………3分（2）解：∵四边形ABCD 为菱形，∴∠BOC =90︒，12OA AC =． ∵四边形AEBD 为平行四边形，∴AE ∥BD ．∴∠EAC =∠BOC =90︒．在Rt △AEC 中,∵AC =2，tan ∠AEB =12.∴AO ＝1，AE ＝4.在Rt △AEO 中,由勾股定理，∵22217OE AO AE =+=，∴OE………………………………………………………………………6分21．解：（1）n =90； ……………………………………………………………………2分（2）丙；………………………………………………… …………………………3分（3）推荐乙组；推荐理由：乙组平均分和丙组一样高，大于甲组平均分；由于乙、丙两组平均分都是90，而且有三个数据一样，所以乙组的两个85以上的数据是87，88或86，89，可以判断乙组的方差小于丙组的方差. …………………………………5分22．（1）解：由题意可得，45,1.k b b +=⎧⎨=-⎩，解得3,21.k b ⎧=⎪⎨⎪=-⎩∴该函数的解析式为312y x =-. …………………………………………………….2分∵点C 的横坐标为2，点C 在函数312y x =-的图象上，当x =2时，解得y =2.∴点C 的坐标为（2，2）. ……………………………………………………………3分（2）n 的取值范围是12n ≤≤． ……………………………………………………5分23．设秤砣 x g ，秤盘重y g ．由题意可得， 2.5(40)11,2.5(60)16.y x y x +=⎧⎨+=⎩，…………………………………………………3分解得10,4.x y =⎧⎨=⎩…………………………………………………………………………….4分ABCDOE所以这把杆秤的秤星E对应的最大刻度是26104100 2.5⨯-=．所以这把杆秤的秤星E对应的最大刻度是100克．……………………………………6分24．（1）证明：连接OC，OD．∵弧AC =弧AD，∴∠AOC=∠AOD.又∵OC=OD，∴AB⊥CD.∵BF是⊙O的切线，∴AB⊥BF，∴CD∥BF. ……………………………………..3分（2）∵E为AO中点，OA=4，∴OE=AE=2．在Rt△EOD中,OD=4，∴DE=．∵CD∥BF，∴△AED∽△ABF，∴AE EDAB BF=，BF=在△GEO和△FBO中,∠GOE=∠FOB,∠GEO=∠FBO,∴△GEO∽△FBO∴OE EGOB BF=，EG=∴CG=EG-CE=EG-DE=．…………………………………………………..……6分25.（1）FBDEOGCA……………………………………………………2分（2）6.8 (6.4～7.2)； …………………………………………………………………………3分（3）乙类，6.6 (6.2～7.0) ． ………………………………………………………………. 5分26．解：（1）∵抛物线2(0)y ax bx c a =++＞经过（0，c ）和（2，c ），∴抛物线对称轴为x =1．…………………………………………………..…………….2分（2）2x t t x t =∵抛物线的对称轴为，＜＜+2，2'x N N ∴点在对称轴右侧，设点关于对称轴对称点的横坐标为2'2,t x t -∴＜＜12y y ∵＞，11t x t --＜＜2∴①当点M 在对称轴左侧时，2t t t --≤2≥2②当点M 对称轴右侧时，11t t t -+≥2≤-21.t t ≥2或≤综述，-所2上…………………………………………………..…………….6分27.（1）解：∵正方形ABCD ，∴AB =BC ,∠DCB=∠ABC=90°. …………………………………………………1分∴∠ABF=∠BCE=90°.∵CE =BF ，∴△ABF ≌△BCE . ……………………………………………………………..…2分∴∠F=∠E .∵∠GBF=∠CBE，x=h tx=h∴∠FGB=∠ECB=90°.∴∠AGE=90°.……………………………………………………………………..3分（2） ①……………………………………………….…4分②BG CH 2=.证明：过点B 作GE BK ⊥交AH 于点K ，过点K 作AF KL ⊥与点L∴∠KBH=∠KLA=90°.∵∠ABC=90°，∴∠ABK+∠KBC=∠KBC +∠CBH .∴∠ABK=∠CBH .∵GH =AG ，∠AGE=90°，∴∠KAL=∠BHK=45°.∴∠AKL=∠BKH=45°.∴BH=BK ，KL=AL .∵AB=BC ，∴△BCH ≌△ABK .∴CH=AK . ……………………………………………………………6分∵∠GLK=∠GBK=∠AGE=90°，∴ 四边形GBKL 为矩形.∴GB=KL .∵△ALK 是等腰直角三角形,∴KL AK 2=.∴BG CH 2=.…………………………………………………………………………7分28.（1）①B ，C. ………………………………………………………………………………2分②设直线BC 的表达式是y =kx +b (k ≠0)，则b =−1−3k +b =2，解得k =1b =−1∴直线BC 的表达式是y =x -1. …………………………………………………………..3分∴直线BC与x轴的交点坐标为B’（1，0）∴BB’=2.作OP’⊥BB’于点P’，∴OP.………………………………………………………………………………4分由①问的探索可知，点A以y轴上点T为旋转中心，逆时针旋转90°，得到的点Q落在直线BC上，证明略.若⨀O不是点A的“关联图形”，∴0<r<…………………………………………………………………………….…5分（2）m的最小值为…………………………………………7分。

2024北京通州区初三一模数学试卷和答案

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2024北京通州初三一模数 学考生须知1．本试卷共8页，共三道大题，28个小题，满分为100分，考试时间为120分钟．2．请在试卷和答题卡上准确填写学校名称、班级、姓名．3．试题答案一律填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效．4．在答题卡上，选择题、作图题用2B 铅笔作答，其他试题用黑色字迹签字笔作答．5．考试结束后，请将答题卡交回．一、选择题（本题共8个小题，每小题2分，共16分）每题均有四个选项，符合题意的选项只有一个．1. 如图是某几何体的三视图，该几何体是（ ）A. 三棱柱B. 三棱锥C. 长方体D. 圆柱2. 2024年政府工作报告中提出“大力推进现代化产业体系建设，加快发展新质生产力”．北京正在建设国际科技创新中心，人工智能产业是北京的主导产业之一．目前，人工智能相关企业数量约2200家，全国40％人工智能企业聚集于此．2023年，北京在人工智能领域融资总额约223亿元，约占全国四分之一．数据22300000000用科学记数法表示应为（ ）A. 110.22310⨯ B. 102.2310⨯ C. 922.310⨯ D. 822310⨯3. 如图，已知AB CD ∥，点E 在线段AD 上（不与点A ，点D 重合），连接CE ．若∠C ＝20°，∠AEC ＝50°，则∠A ＝（ ）A. 10°B. 20°C. 30°D. 40°4. 已知关于x 的方程240x x n -+=有两个不相等的实数根，则n 的取值范围是（ ）A. 4n < B. 4n ≤ C. 4n > D. 4n =5. 如图，由5个“○”和3个“□”组成的图形关于某条直线对称，该直线是（ ）A. 1lB. 2lC. 3lD. 4l 6. 一个不透明的口袋中有2个红球和1个白球，这三个球除颜色外完全相同．摇匀后，随机从中摸出一个小球不放回，再随机摸出一个小球，则两次摸出小球的颜色相同的概率是（ ）A.34B.13C.14D. 127. 已知数轴上有A 、B 两点，点B 在点A 的右侧，若点A 、B 分别表示数a 、b ，且满足2a b +=，则下列各式的值一定为负数的是（ ）A. aB. a- C. 1a - D. 1b -8. 如图，在菱形ABCD 中，60ABC ∠=︒，点P 和点Q 分别在边CD 和AD 上运动（不与A 、C 、D 重合），满足DP AQ =，连接AP 、CQ 交于点E ，在运动过程中，则下列四个结论正确的是（ ）①AP CQ =；②AEC ∠的度数不变；③180APD CQD ∠+∠=︒；④2=⋅CP AP EP ．A. ①②B. ③④C. ①②④D. ①②③④二、填空题（本题共8个小题，每小题2分，共16分）9. 在实数范围内有意义，则实数x 的取值范围是______．10. 分解因式：x 2y -4y =____．11. 分式方程2132x x=+的解是x =______．12. 在平面直角坐标系xOy 中，直线y x =与双曲线ky x=交于点(,3)P m ，则k 的值是________．13. 如图，点E 是ABCD Y 的边AD 上一点，且:1:2AE DE =，连接CE 并延长，交BA 的延长线于点F ．若6AF =，则CD 的长为________．14. 为合理安排进、离校时间，学校调查小组对某一天九年级学生上学、放学途中的用时情况进行了调查．本次调查在九年级随机抽取了20名学生，建立以上学途中用时为横坐标、放学途中用时为纵坐标的平面直角坐标系，并根据调查结果画出相应的点，如图所示：已知该校九年级共有400名学生，请估计九年级学生上学途中用时不超过15min 的有________人．15. 我国魏晋时期数学家刘徽在《九章算术注》中提出了著名的“割圆术”．所谓“割圆术”，是用圆内接正多边形的面积去无限逼近圆面积，并以此求取圆周率π的方法，刘徽指出“割之弥细，所失弥少．割之又割，以至于不可割，则与圆周合体，而无所失矣”．例如，O 的半径为1，运用“割圆术”，以圆内接正六边形面积估计O 的面积，1612S =⨯⨯=正六边形，所以O得π，若用圆内接正十二边形估计O 的面积，可得π的估计值为________．16. 某公司筹备一场展览会，现列出筹备展览会的各项工作．具体筹备工作包含以下内容（见下表）．其中，“前期工作”是指相对于某项工作，排在该工作之前需完成的工作称为该工作的前期工作．工作代码工作名称持续时间（天）前期工作A 张贴海报、收集作品7无B 购买展览用品3无C 打扫展厅1无D 展厅装饰3CE 展位设计与布置3ABDF 展品布置2EG 宣传语与环境布置2ABD H展前检查1FG（1）在前期工作结束后，完成“展厅装饰 ”最短需要________天；（2）完成本次展览会所有筹备工作的最短总工期需要________天．三、解答题（本题共68分，第17-20题每题5分；第21题6分；第22题5分；第23-24题每题6分；第25题5分；第26题6分；第27-28题每题7分）解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程．17. 计算：2014sin 45(3)2π-⎛⎫︒-+- ⎪⎝⎭．18. 解不等式组：2(1)21.2x x x x -<+⎧⎪⎨+<⎪⎩，19. 已知2210x x --=，求代数式4(1)(21)(21)-++-x xx x 的值．20. 2023年12月27日北京城市副中心“三大文化建筑”之一的北京城市图书馆对外开放，其总建筑面积约7.5万平方米，藏书量达800万册，建有世界最大的单体图书馆阅览室．图书馆内的功能区设置阅览坐席，方便读者使用．其中，山体阅览区、非遗文献馆、少年儿童馆的坐席总数为1900个，非遗文献馆的坐席数与少年儿童馆坐席数之比为23：，山体阅览区的坐席数是少年儿童馆坐席数的4倍多200个，求山体阅览区、非遗文献馆、少年儿童馆的坐席数量．21. 如图，ABC 中，90ACB ∠=︒，点D 为AB 边中点，过D 点作AB 的垂线交BC 于点E ，在直线DE 上截取DF ，使DF ED =，连结AE 、AF 、BF ．（1）求证：四边形AEBF 是菱形；（2）若4sin 5EAF ∠=，5BE =，求AD 的长．22. 在平面直角坐标系xOy 中，函数()0y kx b k =+≠的图象经过点()0,1A -和()4,3B ，与过点()0,3-且平行于x 轴的直线交于点C ．（1）求该函数的表达式及点C 的坐标；（2）当2x >-时，对于x 的每一个值，函数()0y mx m =≠的值大于函数()0y kx b k =+≠的值，直接写出m 的取值范围．23. 为了选出适应市场需求的小番茄秧苗，在条件基本相同的情况下，工作人员把两个品种的小番茄秧苗分别种植在甲、乙两个大棚．对两个品种的小番茄的产量进行了抽样调查，数据整理如下：a ．从甲、乙两个大棚各收集了20株秧苗，将每株秧苗上的小番茄的个数做如下记录：甲：26 32 40 74 44 63 81 54 62 41 54 43 34 51 63 64 73 64 54 33乙：27 34 46 52 48 67 82 48 56 63 73 35 56 56 58 60 36 46 40 71b ．对以上样本数据按如下分组整理：个数大棚2535x ≤<3545x ≤<4555x ≤<5565x ≤<6575x ≤<7585x ≤<甲44m n 21乙235631c ．两组样本数据的平均数、众数、中位数和方差如下表所示：统计量大棚平均数众数中位数方差甲52.554p 228.75乙52.75654196.41（1）m =________，n =________．（2）p =________．（3）可以推断出________大棚的小番茄秧苗品种更适应市场需求，理由为_____________．（从两个不同的角度说明推断的合理性）24. 如图，AB 为O 的直径，过点A 作O 的切线AM ，C 是半圆AB 上一点（不与点A 、B 重合），连结AC ，过点C 作CD AB ⊥于点E ，连接BD 并延长交AM 于点F ．（1）求证：∠=∠CAB AFB ；（2）若O 的半径为5，8AC =，求DF 的长．25. 某部门研究本公司生产某种产品的利润变化y （万元）与生产总量x （吨）之间的关系情况，产品的生产总量为x （吨）时，所获得的利润记为p （万元），公司生产x 吨产品所获得的利润与生产(1)x -吨产品获得的利润之差记为y （万元）．例如：当0x =时， 1.00=-p ，当1x =时， 2.50=p ．所以，当1x =时， 2.50( 1.00) 3.50=--=y ；当 1.5x =时， 6.31=p ，当 2.5x =时，16.19=p ．所以，当 2.5x =时，16.19 6.319.88=-=y ．记录的部分数据如下：x 00.50.751 1.5 1.752 2.533.544.555.56p 1.00-0.06- 1.04 2.50 6.318.5711.0016.1921.5026.5631.0034.4436.5036.8135.00y 3.50 6.377.53m 9.8810.5010.379.50n 5.50 2.37 1.50-根据以上数据，解决下列问题：（1）m =________，n =_______．（2）结合表中的数据，当16x ≤≤时可以用函数刻画利润的变化量y （万元）和生产总量x （吨）之间的关系，在平面直角坐标系xOy 中画出此函数的图象．（3）结合数据，利用所画的函数图象可以推断：①当生产总量约为________吨（精确到0.1），利润变化值y 最大．②当生产总量约为________吨（精确到0.1），利润开始降低．26. 在平面直角坐标系xOy 中，1(,)M m y ，2(2,)N m y +是抛物线2(0)y ax bx c a =++>上两点，且满足0m >．设抛物线的对称轴为直线x t =．（1）当12y y =时，写出m ，t 的之间的等量关系．（2）当34t <<时，均满足21>>c y y ，求m 的取值范围．27. 如图，将线段AB 绕点A 逆时针旋转α度（0180α︒<<︒）得到线段AC ，连结BC ，点N 是BC 的中点，点D ，E 分别在线段AC ，BC 的延长线上，且CE DE =．（1）EDC ∠=________（用含α的代数式表示）；（2）连结BD ，点F 为BD 的中点，连接AF ，EF ，NF ．①依题意补全图形；②若AF EF ⊥，用等式表示线段NF 与CE 的数量关系，并证明．28. 在平面直角坐标系xOy 中，已知点(,)M m n ，A 为坐标系中任意一点．现定义如下两种运动：P 运动：将点A 向右平移m 个单位长度，再向上平移n 个单位长度，得到点A '，再将点A '绕点O 逆时针旋转90︒，得到点1A ；Q 运动：将点A 绕点O 逆时针旋转90︒，得到点A ''，再将点A ''向右平移m 个单位长度，再向上平移n 个单位长度，得到点2A ．（1）如图，已知点(1,1)A ，(,0)M m ，点A 分别经过P 运动与Q 运动后，得到点1A ，2A ．①若1m =，请你在下图中画出点1A ，2A 的位置；②若122A A =，求m 的值．（2）已知AB t =，点A ，B 分别经过P 运动与Q 运动后，得到点1A ，2A 与点1B ，2B ，连接11A B ，22A B ．若线段11A B 与22A B 存在公共点，请直接写出此时线段MO 长度的取值范围（用含有t 的式子表示）．参考答案一、选择题（本题共8个小题，每小题2分，共16分）每题均有四个选项，符合题意的选项只有一个．1. 【答案】A【分析】本题考查了三视图的相关知识，其中主视图、左视图、俯视图是分别从物体正面、左面和上面观察物体所得到的图形，三视图的掌握程度和空间想象能力是解题关键．结合选项，根据主视图和俯视图确定是柱体，锥体还是球体，再根据左视图确定具体形状．【详解】解：由主视图和左视图为长方形可知，这个几何体是柱体，由俯视图为三角形可知，这个柱体是三棱柱，故选：A ．2. 【答案】B【分析】本题考查了把绝对较大的数用科学记数法表示，关键是确定 n 与a 的值． 科学记数法的表示形式为10n a ⨯的形式，其中1||10a ≤<，n 为整数，它等于原数的整数数位与1的差．【详解】解：1022300000000 2.2310=⨯；故选：B ．3. 【答案】C【分析】根据三角形外角的性质、平行线的性质进行求解即可；【详解】解：∵∠C +∠D ＝∠AEC ，∴∠D =∠AEC -∠C ＝50°-20°=30°，∵AB CD ∥，∴∠A ＝∠D=30°，故选：C ．【点睛】本题主要考查三角形外角的性质、平行线的性质，掌握相关性质并灵活应用是解题的关键．4. 【答案】A【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式；根据方程有两个不相等的实数根，则判别式为正，解不等式即可求得n 的取值范围．【详解】解：∵关于x 的方程240x x n -+=有两个不相等的实数根，∴2(4)410n ∆=--⨯⨯>，解得：4n <；故选：A ．5. 【答案】C【分析】本题考查的是轴对称的性质，熟知如果两个图形的对应点的连线被同一条直线垂直平分，那么这两个图形关于这条直线对称是解题的关键．根据轴对称的性质解答即可．【详解】解：由图可知，该图形关于直线3l 对称．故选：C 6. 【答案】B【分析】本题主要考查了树状图法或列表法求解概率，先画出树状图得到所有等可能性的结果数，再找到两次摸出小球的颜色相同的结果数，最后依据概率计算公式求解即可．【详解】解：画树状图如下：由树状图可知，一共有6种，其中两次摸出小球的颜色相同的结果数有2种，∴两次摸出小球的颜色相同的概率为2163=，故选：B ．7. 【答案】C【分析】本题考查了数轴，由点B 在点A 的右侧确定a b <是本题的关键．因为点B 在点A 的右侧，所以a b <，由2a b +=，可得2b a =-，所以2a a <-，化简得1a <，所以1a -一定为负数．【详解】解：由题意得，a b <，2a b += ，即2b a =-，2a a ∴<-，1a ∴<，10a ∴-<，故选：C ．8. 【答案】D【分析】本题考查了菱形的性质，等边三角形的性质与判定，全等三角形的性质与判定，相似三角形的性质与判定，掌握以上知识点是解题的关键．证明ACP CDQ ≌可得APC CQD ∠=∠，PAC DCQ ∠=∠，AP CQ =，进而判断①；进而可得180APD CQD ∠+∠=︒，进而判断②，根据120QEP ∠=︒，进而判断③；证明APC CPE ∽△△，进而判断④；【详解】解：∵ABCD 是菱形，60ABC ∠=︒，DP AQ =，∴60,ACP D ACD ∠=∠=︒V 是等边三角形，∴AC CD =，∴ACP CDQ ≌，∴APC CQD ∠=∠，PAC DCQ ∠=∠，AP CQ =，故①正确；∵180APD APC ∠+∠=︒，∴180APD CQD ∠+∠=︒，故②正确；∵60,180D APD CQD ∠=︒∠+∠=︒，∴120QEP ∠=︒，∴120AEC QEP ∠=∠=︒，故③正确；∵PAC DCQ ∠=∠，APC EPC ∠=∠，∴APC CPE ∽△△，∴AP CP CP EP=，∴2=⋅CP AP EP ，故④正确；故选：D ．二、填空题（本题共8个小题，每小题2分，共16分）9. 【答案】3x ≥【分析】此题主要考查了分式有意义及二次根式有意义的条件，正确掌握相关定义是解题关键．由分式有意义及二次根式有意义的条件，进而得出x 的取值范围．【详解】由二次根式的概念，可知30x -≥，解得3x ≥.故答案为：3x ≥10. 【答案】y (x +2)(x -2)【分析】要将一个多项式分解因式的一般步骤是首先看各项有没有公因式，若有公因式，则把它提取出来，之后再观察是否是完全平方公式或平方差公式，若是就考虑用公式法继续分解因式．【详解】x 2y -4y =y (x 2-4)=y (x +2)(x -2)，故答案为：y (x +2)(x -2)．【点睛】提公因式法和应用公式法因式分解．11. 【答案】1【分析】根据解分式方程的步骤“先去分母化为整式方程，再解整式方程，最后进行检验”进行解答即可得．【详解】解：2132x x=+方程两边同乘2(3)x x +，得43x x =+，移项，得33x =，系数化为1，得1x =，检验：当1x =时，2(3)0x x +≠，∴原分式方程的解为1x =，故答案为：1．【点睛】本题考查了解分式方程，解题的关键是掌握解分式方程的方法并检验．12. 【答案】9【分析】本题考查了正比例函数与一次函数的交点问题，交点坐标满足两个函数解析式是解答本题的关键．根据反比例函数图象上点的坐标特征进行解答即可．【详解】解： 点(,3)P m 在直线y x =上，3m ∴=，()3,3P ∴，()3,3P 在反比例函数图象上，339k ∴=⨯=．故答案为：9．13. 【答案】12【分析】本题考查平行四边形的性质，相似三角形的判定和性质，关键是由FAE CDE ∽，推出::1:2AF CD AE DE ==．由平行四边形的性质得到AB DC ，推出FAE CDE ∽，得到::1:2AF CD AE DE ==，即可求出12CD =．【详解】解： 四边形ABCD 是平行四边形，AB DC ∴ ，FAE CDE ∴∽，::1:2AF CD AE DE ∴==，6AF =Q ，12CD ∴=．故答案为：12．14. 【答案】280【分析】本题考查了从图象获取信息，用样本估计总体，熟练掌握用样本估计总体的思想是解题的关键．根据图中信息，可得上学途中用时不超过15min 的学生有14人，用总人数⨯抽取的学生中上学用时不超过15min 的学生所占比例，即可求解．【详解】解：根据图中信息可知，上学途中用时不超过15min 的学生有14人，故该校九年级学生上学途中用时不超过15min 的人数为1440028020⨯=（人）．故答案为：280．15. 【答案】3【分析】过A 作AM OB ⊥于M ，求得AOB ∠的度数，根据直角三角形的性质得到AM ，求出三角形的面积，于是得到正十二边形的面积，根据圆的面积公式即可得到结论．本题考查了正多边形与圆，三角形的面积的计算，正确地作出辅助线是解题的关键．【详解】如图，AB 是正十二边形的一条边，点O 是正十二边形的中心，设O 的半径为1，过A 作AM OB ⊥于M ，在正十二边形中，3601230AOB ∠=︒÷=︒，1122AM OA ∴==111112224AOB S OB AM ∴=⋅=⨯⨯= ∴正十二边形的面积为11234⨯=,231π∴=⨯，3π∴=,π∴的近似值为3，故答案为：3．16. 【答案】 ①. 4 ②. 13【分析】本题考查了优化问题，即如何在最短的时间内完成工作，实现最优效果．（1）根据表格知，完成“展厅装饰 ”要完成C 、D 两项工作，故可得到至少需要的天数；（2）由表格知，完成A 的时间里，可同时完成B 、C 、D 的工作，可进行E 的工作，则可进行G 、H 的工作，从而完成整个工作，从而可得最短总工作时间．【详解】解：（1）由表格知，在前期工作结束后，完成“展厅装饰 ”最短需要134+=（天）；故答案为：4；（2）完成本次展览会所有筹备工作的路径为：A E G H →→→，最短总工期需要的天数为：732113+++=（天）；故答案为为：13．三、解答题（本题共68分，第17-20题每题5分；第21题6分；第22题5分；第23-24题每题6分；第25题5分；第26题6分；第27-28题每题7分）解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程．17. 【答案】5【分析】本题考查了特殊角的三角函数值、二次根式的性质、负整数次幂和取绝对值等知识．先运用特殊角的三角函数值、二次根式的性质、负整数次幂和取绝对值对原式进行化简，然后再计算即可．【详解】解：214sin45(3)2π-⎛⎫︒++-⎪⎝⎭441=-+41=-++5=．18. 【答案】14x<<【分析】首先解每个不等式，两个不等式的解集的公共部分就是不等式组的解集．【详解】解：原不等式组为2(1)212x xxx-<+⎧⎪⎨+<⎪⎩①②解不等式①得，4x<，解不等式②得，1x>，∴原不等式组的解集为14x<<．【点睛】本题考查的是解一元一次不等式组，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．19. 【答案】3【分析】本题考查了整式的乘法混合运算，涉及单项式乘多项式及平方差公式；先利用单项式乘多项式、平方差公式展开，再合并同类项；再由2210x x--=，得221x x-=，最后整体代入即可求值．【详解】解：原式224441=-+-x x x2841=--x x；2210x x--=，221x x∴-=，∴原式24(2)1=--x x3=．20. 【答案】非遗文献馆的坐席数为200个，少年儿童馆坐席数为300个，山体阅览区的坐席数为1400个【分析】本题考查的是一元一次方程的应用，找出等量关系列方程是解题关键，设非遗文献馆的坐席数为2x个，则少年儿童馆坐席数为3x个，山体阅览区的坐席数为()12200x+个，根据坐席总数为1900个列方程解决即可．【详解】解：设非遗文献馆的坐席数为2x 个，则少年儿童馆坐席数为3x 个，山体阅览区的坐席数为()12200x +个，根据题意得：23122001900+++=x x x ，解得，100x =，答：非遗文献馆的坐席数为200个，少年儿童馆坐席数为300个，山体阅览区的坐席数为1400个．21. 【答案】（1）证明见解析（2）AD =【分析】本题考查了菱形的判定与性质、矩形的判定与性质、平行四边形的判定与性质、锐角三角函数定义以及勾股定理等知识，熟练掌握菱形的判定与性质是解题的关键．（1）先证明四边形AEBF 是平行四边形，再由菱形的判定即可得出结论；（2）过点E 作EG AF ^于点G ，由菱形的性质得5,BE AE AF BC ==∥，再证明四边形ACEG 是矩形，得,AC EG CE AG ==，进而解直角三角形求出4,3EG AG ==，然后由勾股定理求出AB 的长，即可解决问题．【小问1详解】证明：∵点D 为AB 边中点，∴AD BD =，∵DF ED =，∴四边形AEBF 是平行四边形，∵EF AB ⊥，∴四边形AEBF 是菱形；【小问2详解】解：如图，过点E 作EG AF ^于点G ，∵四边形AEBF 是菱形，∴5,BE AE AF BC ==∥，∴EG BC ⊥，∴90GEC ∠=︒，∴90CEG GEC ACB ∠=∠=∠=︒，∴四边形ACEG 是矩形，∴,AC EG CE AG ==，∵4sin 5EG EAF AE ∠==，∴445455EG AE ==⨯=，在Rt AGE 中，由勾股定理得：AG =3==，4,3AC EG CE AG ∴====，538BC BE CE ∴=+=+=，在Rt ABC 中，由勾股定理得：AB ===∵点D 为AB 边中点，1122AD AB ∴==⨯=．22. 【答案】（1）1y x =-，()2,3C --（2）312m ≤≤【分析】（1）将A 、B 坐标分别代入函数表达式y kx b =+，即可得到一次函数解析式，然后计算函数值为3-对应的自变量的值即可得到C 点坐标；（2）分情况讨论：当直线y mx =过点C 时和当直线y mx =与直线1y x =-平行时，即可得到符合条件的m 的取值范围．【小问1详解】解：将()0,1A -、()4,3B 代入函数表达式y kx b =+可得：143b k b =-⎧⎨+=⎩，解得11k b =⎧⎨=-⎩，则函数的表达式为1y x =-，依题得，过点()0,3-且平行于x 轴的直线为3y =-，C 是该函数与过点()0,3-且平行于x 轴的直线的交点，13x ∴-=-，解得2x =-，1213y x =-=--=-，即()2,3C --．【小问2详解】解：当直线y mx =过点C 时，即把()2,3--代入y mx =，得23m -=-，32m =， 当2x >-时，对于x 的每一个值，()0y mx m =≠的值大于1y x =-的值，221m ∴-≥-- ，解得32m ≤，当y mx =与直线1y x =-平行时，1m =，此时，满足条件，且当1m <时，不满足条件，即312m ≤≤．【点睛】本题考查的知识点是待定系数法求解析式、一次函数的图象与性质，解题关键是熟练掌握数形结合的方法解题．23. 【答案】（1）4，5 （2）54（3）乙；乙大棚每株秧苗上的小番茄个数的平均数高于甲大棚，且方差小，产量的稳定性更好【分析】本题考查了众数、中位数以及平均数，掌握众数、中位数以及平均数的定义是解题的关键．（1）根据收集数据进行求解；（2）根据中位线的定义进行求解即可；（3）根据平均数和方差进行求解即可．【小问1详解】解：甲大棚中4555x ≤<的有4株，5565x ≤<的有5株，∴4m =，5n =；故答案为：4，5；【小问2详解】解：将甲大棚中20株秧苗上小番茄的个数从小到大进行排序，排在第10、11位的都是54个，所以中位数为5454542+=，故答案为：54．【小问3详解】解：乙大棚的小番茄秧苗品种更适应市场需求，因为乙大棚每株秧苗上的小番茄个数的平均数高于甲大棚，且方差小，产量的稳定性更好；故答案为：乙，乙大棚每株秧苗上的小番茄个数的平均数高于甲大棚，且方差小，产量的稳定性更好．24. 【答案】（1）证明见解析（2）323DF =【分析】本题考查切线的判定和性质，垂径定理，圆周角定理以及勾股定理，掌握切线的性质和判断方法，垂径定理，圆周角定理以及勾股定理是正确解答的关键．（1）根据切线的性质，平行线的判定和性质以及圆周角定理即可得出结论；（2）根据相似三角形的判定和性质以及垂径定理进行计算即可．【小问1详解】证明：AM 是O 的切线，90BAM ∴∠=o ，CD AB ⊥ 于点E ，90CEA ∴∠= ，CD AF ∴∥，∴∠=∠CDB AFB ，CDB CAB ∠=∠ ，∴∠=∠CAB AFB ．【小问2详解】解：连结AD ，CD AB ⊥ 于点E ，AB 是O 的直径，CE DE ∴=，AB ∴是CD 的垂直平分线，8AC AD ∴==，O 的半径为5，10AB ∴=，6BD =∴，AB 是O 的直径，90BDA =∴∠ ，BAD AFB ∴∠=∠，tan tan ∴∠=∠BAD AFB ，∴=ADBDDF AD ，2AD DF BD ∴=⋅，323∴=DF ．25. 【答案】（1）8.50,7.88（2）见详解 （3）①3.2（答案不唯一，介于3.1 3.3:）；②5.8（答案不唯一，介于5.6 5.9:）【分析】本题考查二次函数的应用，理解题意并掌握描点作图的方法是解题的关键．（1）根据题意和举例的计算方法求出m 和n 的值即可；（2）将表格中数据对()，x y 描点并连线即可；（3）①根据图象作答即可；②0y =时对应x 的值即为答案．【小问1详解】解：当2x =时，11.00p =，当1x =时， 2.50=p ，∴当2x =时，11.00 2.508.50m =-=；当 4.5x =时，34.44p =，当 3.5x =时，26.56p =，∴当 4.5x =时，34.4426.567.88n =-=．故答案为：8.50,7.88．【小问2详解】描点并作图如图所示：【小问3详解】①由图象可知，当生产总量约为3.2吨时，利润变化值y 最大；②由图象可知，当生产总量约为5.8吨时，利润变化值0y =，之后利润开始降低．故答案为：3.2，5.8．26. 【答案】（1）1t m =+（2）34m ≤≤【分析】本题考查了二次函数的性质，二次函数图像上点的坐标特征，二次函数图像的对称性等知识．（1）根据抛物线关于对称轴对待的性质，点M 、N 到对称轴的距离相等，即可求得m ，t 的之间的等量关系；（2）将点M 到对称轴的距离记为M d ，点N 到对称轴的距离记为N d ，抛物线与y 轴交点记为点()0,C c ，到对称轴的距离记为C d ．根据21>>c y y ，分别考虑21y y >及2>c y 时m 的范围，最后取两个范围的公共部分即可．【小问1详解】解： 点()1,M m y ，()22,N m y +是抛物线2(0)y ax bx c a =++>上两点，当12y y =时，点M 和点N 关于抛物线的对称轴直线x t =对称，2m t t m ∴+-=-，212++∴==+m m t m ．【小问2详解】解：将点()1,M m y 到对称轴的距离记为M d ，点()22,N m y +到对称轴的距离记为N d ，抛物线与y 轴交点记为点()0,C c ，到对称轴的距离记为C d ．0a > ，21y y >，∴点N 到对称轴的距离大于点M 到对称轴的距离，即>N M d d ，2m t m t ∴+->-，22(2)()0∴+--->m t m t ，()()220m t m t m t m t ∴+-+-+--+>，1∴>-m t ，当34t <<时，均满足21y y >，3m ∴≥，0a > ，2>c y ，∴点C 到对称轴的距离大于点N 到对称轴的距离，即>N C d d ，2t m t ∴>+-，22(2)0∴-+->t m t ，22∴<-m t ；当34t <<时，均满足2>c y ，4m ∴≤，综上，34m ≤≤．27. 【答案】（1）1902α︒-（2）①见解析；②CE =，证明见解析【分析】本题考查了根据条件画图，平行四边形的性质和判定，全等三角形的判定和性质，解直角三角形等知识，解决问题的关键是作辅助线，构造全等三角形．（1）根据旋转和题意即可得出1902CDE DCE ACB α∠=∠=∠=︒-；（2）①根据题意画出图形即可；②延长AF 至点M ，使FM AF =，连接,,,BM DM EM AE ．证明四边形ABMD 为平行四边形，证明ACE MDE V V ≌，算出90α=︒，45ECD EDC ∠=∠=︒，结合三角形中位线定理即可求解；【小问1详解】∵A α∠=，由旋转得AB AC =，∴18019022ABC ACB αα︒-∠=∠==︒-，∵CE DE =，∴1902CDE DCE ACB α∠=∠=∠=︒-．【小问2详解】①补全图形如图：②延长AF 至点M ，使FM AF =，连接,,,BM DM EM AE ．∵点F 为线段BD 中点，∴四边形ABMD 为平行四边形，,AB DM AB DM ∴=∥，180BAC ADM ∴∠+∠=︒，180ADM α∴∠=︒-，AF EF ⊥ ，AE ME ∴=，又,AB AC EC ED ==Q ，AC DM ∴=，∴()ACE MDE SSS ≌，∴1180902MDE ACE ACB α∠=∠=︒-∠=︒+，11909022ADM MDE CDE ααα⎛⎫∴∠=∠-∠=︒+-︒-= ⎪⎝⎭，180αα∴︒-=，90α∴=︒，∴45ECD EDC ∠=∠=︒，∴CD =，∵N 为BC 中点，F 为BD 中点，∴NF 是BDC 中位线，2CD NF ∴=，∴CE =．28. 【答案】（1）①见详解；②m =（2）0MO ≤≤【分析】本题考查了旋转的性质，平移的性质，全等三角形的判定与性质，熟练掌握知识点是解题的关键．（1）①根据P 运动和Q 运动的运动方式求解即可;②首先表示出点1A 的坐标为()1,1m -+，2A 的坐标为()1,1m -+，然后根据122A A =得到2=，进而求解即可；（2）由题意得：1122A B A B ∥，1122A B A B t ==设(),A x y ，经过P 运动，则(),A x m y n '++，则()1,A y n x m --+；Q 运动后，(),A y x ''-，()2,A y m x n -++，则12A A t =≤即可求解．【小问1详解】①作图如图所示：由P 运动知()2,1A '，由旋转得1OA OA '=，190AOA '∠=︒，而90M N ∠=∠=︒，∴11809090A OM AON '∠+∠=︒-︒=︒，90A OM OA M ''∠+∠=︒，∴1AON OA M '∠=∠，∴1A NO A OM '△≌△，∴12,1A N OM ON A N '====，∴()11,2A -；由Q 运动同理可求()1,1A ''-，再向右平移1个单位，向上平移0个单位得到()20,1A ．②∵(1,1)A ，∴点A 经过P 运动后得到的点1A 的坐标为()1,1m -+点A 经过Q 运动后得到的点2A 的坐标为()1,1m -+∵122A A =2=，∴m =．【小问2详解】由题意可得：由旋转的不变性和平移的性质得：1122A B A B ∥，1122A B A B t ==，设(),A x y ，经过P 运动，则(),A x m y n '++，则()1,A y n x m --+；Q 运动后，(),A y x ''-，()2,A y m x n -++，则12A A ===，∴当12A A t ≤时，线段11A B 与22A B 存在公共点，t ≤，∴0MO ≤≤．。

2024年北京市海淀区中考数学一模试卷及答案解析

2024年北京市海淀区中考数学一模试卷及答案解析

2024年北京市海淀区中考数学一模试卷一、选择题（共16分，每题2分）第1-8题均有四个选项，符合题意的选项只有一个．1．（2分）下列几何体放置在水平面上，其中俯视图是圆的几何体为（）A．B．C．D．2．（2分）据报道，2024年春节假期北京接待游客约1750万人次，旅游收入同比增长近四成．将17500000用科学记数法表示应为（）A．175×105B．1.75×106C．1.75×107D．0.175×108 3．（2分）如图，AB⊥BC，AD∥BE，若∠BAD＝28°，则∠CBE的大小为（）A．66°B．64°C．62°D．60°4．（2分）实数a在数轴上的对应点的位置如图所示，下列结论中正确的是（）A．a≥﹣2B．a＜﹣3C．﹣a＞2D．﹣a≥35．（2分）每一个外角都是40°的正多边形是（）A．正四边形B．正六边形C．正七边形D．正九边形6．（2分）若关于x的一元二次方程x2+2x+m＝0有两个相等的实数根，则实数m的值为（）A．1B．﹣1C．4D．﹣47．（2分）现有三张背面完全一样的扑克牌，它们的正面花色分别为，，．若将这三张扑克牌背面朝上，洗匀后从中随机抽取两张，则抽取的两张牌花色相同的概率为（）A．B．C．D．8．（2分）如图，AB经过圆心O，CD是⊙O的一条弦，CD⊥AB，BC是⊙O的切线．再从条件①，条件②，条件③中选择一个作为已知，使得AD＝BC．条件①：CD平分AB；条件②：OB＝OA；条件③：AD2＝AO•AB．则所有可以添加的条件序号是（）A．①B．①③C．②③D．①②③二、填空题（共16分，每题2分）9．（2分）代数式在实数范围内有意义，则x的取值范围是．10．（2分）分解因式：a3﹣4a＝．11．（2分）方程的解为．12．（2分）在平面直角坐标系xOy中，若函数的图象经过点A（a，2）和B （b，﹣2），则a+b的值为．13．（2分）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝5，AC＝3．点D在射线BC上运动（不与点B重合），当BD的长为时，AB＝AD．14．（2分）某实验基地为全面掌握“无絮杨”树苗的生长规律，定期对2000棵该品种树苗进行抽测．近期从中随机抽测了100棵树苗，获得了它们的高度x（单位：cm），数据经过整理后绘制的频数分布直方图如图所示．若高度不低于300cm的树苗为长势良好，则估计此时该基地培育的2000棵“无絮杨”树苗中长势良好的有棵．15．（2分）如图，在正方形ABCD中，点E，F，G分别在边CD，AD，BC上，FD＜CG．若FG＝AE，∠1＝α，则∠2的度数为（用含α的式子表示）．16．（2分）2019年11月，联合国教科文组织将每年的3月14日定为“国际数学日”，也被许多人称为“π节”．某校今年“π节”策划了五个活动，规则见图：小云参与了所有活动．（1）若小云只挑战成功一个，则挑战成功的活动名称为；（2）若小云共挑战成功两个，且她参与的第四个活动成功，则小云最终剩下的“π币”数量的所有可能取值为．三、解答题（共68分，第17-19题，每题5分，第20-21题，每题6分，第22-23题，每题5分，第24题6分，第25题5分，第26题6分，第27-28题，每题7分）解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程。

2024北京延庆区初三一模数学试卷和答案

2024北京延庆区初三一模数学试卷和答案

b a 21-2-12024北京延庆初三一模数 学2024.04一、选择题：（共16分，每小题2分）第1—8题均有四个选项，符合题意的选项只有一个．1.右图是某几何体的三视图，该几何体是（A ）圆柱 （B ）圆锥 （C ）长方体 （D ）三棱柱2.截止2024年2月18日，在春节期间延庆区共接待游客1320000人，火盆锅、十字花柿为火热的延庆旅游春节档增添了流量.将1320000用科学记数法表示应为（A ）710132.0⨯ （B ）71032.1⨯ （C ）61032.1⨯ （D ）5102.13⨯3.如图，直线b a ∥，若∠1=30°，∠2=50°，则∠A 的度数为（A ）︒20 （B ）︒30 （C ）︒40 （D ）︒504.下列图形，既是中心对称图形又是轴对称图形的是（A ） （B ） （C ） （D ）5.正七边形的外角和是（A ）︒180 （B ）︒360 （C ）︒900 （D ）︒12606.实数a ，b 在数轴上的对应点的位置如图所示，下列结论正确的是（A ）a ＞-1 （B ）b ＜1 （C ）a ＞b （D）a+b ＞07.不透明的盒子中装有黑白两个小球，除颜色外两个小球无其他差别.从中随机摸出一个小球，放回并摇动，再从中随机摸出一个小球，那么第一次摸出白球，第二次摸出黑球的概率是考生须知1.本试卷共8页，共三道大题，28道小题，满分100分，考试时间120分钟．2.在试卷和答题卡上正确填写学校名称、姓名和考号．3.试题答案一律填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效．4.在答题卡上，选择题、作图题用2B 铅笔作答，其他试题用黑色签字笔作答．21a Ab（A ）21 （B ）31 （C ）41 （D ）438.小明和弟弟周末去图书馆．二人先后从家出发沿同一条路匀速去往图书馆，小明用10min 到达图书馆，弟弟比他早出发2min ，但是在小明到达时弟弟还距离图书馆30m .设小明和弟弟所走的路程分别为1y ，2y ，其中1y ，2y 与时间x 之间的函数关系如图所示．则下列结论正确的是①小明家与图书馆之间的距离为750m ；②当小明出发时，弟弟已经离家120m ；③小明每分钟比弟弟多走10m ； ④小明出发7分钟后追上弟弟.（A ）①② （B ）①③ （C ）②③ （D ）①②④二、填空题 （共16分，每小题2分）9.若代数式41-x 有意义，则实数x 的取值范围是 ．10.分解因式：=-23xy x ． 11.方程xx 1132=-的解为 ．12.在平面直角坐标系xOy 中，若点)1(1y A ，，)3(2y B ，在反比例函数)0(>=k xky 的图象上，则1y _____2y （填“＞”“＝”或“＜”）． 13.如图，□ABCD 中，延长BC 至E ，使得BC CE 21=．若CF =2，则DF 的长为 ．14.某次射击训练中，在同一条件下，甲、乙两名运动员五次射击成绩如下表：甲86777乙95768甲、乙二人射击成绩的平均数分别为甲x ，乙x ，方差分别为2甲s ，2乙s ，则甲x 乙x ，2甲s 2乙s（填“＞”“＜”或“＝”）．15.如图，PA ，PB 与⊙O 分别相切于A ，B 两点，连接OA，OB .若∠APB =48°，则∠AOB 的度数为 ．16.小明是某蛋糕店的会员，他有一张会员卡，在该店购买的商品均按定价打八五折.周末他去蛋糕店，发现店内正在举办特惠活动：任选两件商品，第二件打七折，如果两件商品不同价，则按照低价商品的价格打折，并且特惠活动不能使用会员卡.小明打算在该店购买两个面包，他计算后发现，使用会员卡与参加特惠活动两者的花费相差0.9元，则 花费较少（直接填写序号：①使用会员卡；②参加特惠活动）；两个FED CBA面包的定价相差 元．三、解答题（共68分；17-20题，每小题5分；21题6分；22题5分；23题6分；24题5分；25-26题，每小题6分；27-28题，每小题7分）17.计算：231(845sin 41-++-︒-.18.解不等式组：⎪⎩⎪⎨⎧>+≥+.22312x x x x ，19.已知032=--x x ，求代数式2)1()4(++-x x x 的值.20.已知关于x 的一元二次方程01342=++-m x x 有实数根，且m 为正整数，求m 的值及此时方程的根.21.如图，在矩形ABCD 中，对角线AC 的垂直平分线与边BC ，AD 分别交于点E ，F ，连接AE ，CF ．（1）求证：四边形AECF 是菱形；（2）连接OB ，若4=AF ，15tan =∠AEB ，求OB 的长．22.在平面直角坐标系xOy 中，一次函数)0(≠+=k b kx y 的图象经过点A （0，1）和点B （3，2）．（1）求这个一次函数的表达式；（2）当x ＜3时，对于x 的每一个值，函数)0(1≠-=m mx y 的值小于一次函数y ＝kx +b 的值，直接写出m 的取值范围．23.如图，⊙O 是△ABC 的外接圆，⊙O 的直径AD 交BC 于点E ，点D 为BC ︵的中点，连接BD ．（1）求证：∠DBC =∠BAD ；（2）过点C 作CF ⊥BD ，交BD 的延长线于点F ，若23cos =∠DBC ，DF =3，求AC 的长．OBECDF A AD24.某校七、八年级各有400名学生，为了解他们每学期参加社会实践活动的时间情况，现从七、八年级各随机抽取20名学生进行调查，下面给出部分信息．a .七年级20名学生参加社会实践活动时间的数据如下：3，4，8，9，6，8，10，11，5，7，4，11，9，6，7，9，10，9，10，5b .八年级20名学生参加社会实践活动时间的数据的频数分布直方图如下：（数据分为5组：3.5≤x ＜5.5，5.5≤x ＜7.5，7.5≤x ＜9.5，9.5≤x ＜11.5，11.5≤x ＜13.5）c .八年级20名学生参加社会实践活动时间的数据在7.5≤x ＜9.5这一组的是：时间/h 89人数42根据以上信息，解答下列问题：（1）补全b 中的频数分布直方图；（2）七年级20名学生参加社会实践活动时间的数据的众数是 ；八年级20名学生参加社会实践活动时间的数据的中位数是 ；（3）为鼓励学生积极参加社会实践活动，对七、八年级在本学期参加社会实践活动时间不小于8小时的同学进行表彰，估计这两个年级共有多少同学受表彰？25.如图，已知∠ABC ，点D 是边AB 上一点，且DB =6cm ，点P 是线段DB 上的动点，过点P 作BC 的垂线，垂足为E ，连接DE ．设DP =x ，DE =y .通过分析发现可以用函数来刻画y 与x 之间的关系，请将以下过程补充完整：/hEP D CBA（1）选点、画图、测量，得到x 与y 的几组数值，数据如下：x / cm 0123456y / cm2.02.22.83.54.35.1m（说明：补全表格时相关数值保留一位小数）；（2）自变量x 的取值范围是 ；（3）在平面直角坐标系xOy 中，画出此函数的图象；（4）结合函数图象解决问题：当DE =2DP 时，DE 的长约为 cm .26.在平面直角坐标系xOy 中，点A （3，m ），点B （5，n ）在抛物线2(0)y ax bx c a =++>上.设抛物线的对称轴为直线x t =.（1）若m =n ，求t 的值；（2）点)(0p x C ，在该抛物线上，若对于100＜＜x ，都有p n m ＜＜，求t 的取值范围.27.在△ABC 中，AC = BC ，∠ACB =90°，点D 在线段AC 上（点D 与点A 、点C 不重合），连接BD ，过点D 作DB 的垂线交直线AB 于点E ，过点A 作AB 的垂线交直线DE 于点F .（1）如图1，当点D 在线段AC 上时，①求证：∠ABD=∠AFD ；②用等式表示线段AB ，AD ，AF 之间的数量关系并证明.（2）如图2，当点D 在线段AC 的延长线上时，依题意补全图形，并直接用等式表示线段AB ，AD ，AF 之间的数量关系.28.我们规定：将图形M 先向右平移a （a ＞0）个单位，得到图形M '，再作出图形M '关于直线x =b 的对称图形M ''，则称图形M ''是图形M 的a ，b 平对图形.（1）已知点B （1,2），若a =3，b =1，则点B '的坐标是 ；点B ''的坐标是 ； （2）已知点C （0,3），它的平对图形C ''（4,3），求出a 与b 的数量关系；（3）已知⊙O 的半径为1，其中a ≥1，若存在实数b ，使⊙O 的平对图形与直线y =ax +b 有公共点，直接写出b 的最小值及相应的a 的值.FE DC BA图2图1参考答案第一部分 选择题一、选择题（共16分，每小题2分）题号12345678答案DCADBBCA第二部分 非选择题二、填空题：（共16分，每小题2分）9．4≠x 10．()()x x y x y +- 11．1=x 12．＞13．4 14．＝，＜ 15．132 16．①，6三、解答题（共68分）17．解：231(845sin 41-++-︒- 2322224++-⨯=5=．18.解：⎪⎩⎪⎨⎧>+≥+②①.223,12x x x x 由①得，1-≥x ； 由②得，1<x ；∴原不等式组的解集为：11<≤-x ．19.解：2)1()4(++-x x x 12422+++-=x x x x 1222+-=x x 1)(22+-=x x ．∵032=--x x ，∴32=-x x ．∴原式=7．20.解：∵ 关于x 的方程01342=++-m x x 有实数根，∴△≥0．∵ a =1，b =-4，c =3m +1，∴01212)13(41642≥-=+-=-=∆m m ac b ．……………………………4分……………………………5分……………………………5分……………………………4分……………………………2分……………………………5分……………………………4分……………………………3分……………………………2分OBECDF A ∴1≤m ．∵ m 为正整数， ∴1=m ．∴此时的方程为：0442=+-x x ．∴方程的解为：221==x x ．21.（1）证明：∵矩形ABCD ，∴AF ∥EC,．∴∠FAC=∠ACE ．∵EF 的垂直平分AC ，∴AO =CO ，∠AOF=∠EOC=90°．∴△AOF ≌△EOC ．∴AF =EC ．∴四边形AECF 为平行四边形．∵∠AOF=90°，∴平行四边形AECF 为菱形．（2）解：∵ 菱形AECF ，∴ AF =AE=EC=4．∵ 矩形ABCD ，∴∠ABC=90°． ∵ 15tan =∠AEB ，∴ABEB=设BE=x ，则x 15，在Rt △ABC 中，由勾股定理得222AE BE AB =+，∴ x=1．∴ BE=1，BC =5．在Rt △ABC 中，由勾股定理得222AC BC AB =+，∴102=AC ．∴1021==AC OB ．22.解：（1）∵一次函数)0(≠+=k b kx y 的图象经过点A （0，1）和点B （3，2），∴⎩⎨⎧+==.32,1b k b ……………………………5分……………………………4分……………………………3分……………………………3分……………………………6分∴⎪⎩⎪⎨⎧==.31,1k b ∴一次函数表达式为131+=x y ．（2）m 的取值范围是113m ≤≤．23.（1）证明：∵点D 为BC ︵的中点，∴弧CD =弧BD .∴∠DBC =∠BAD . （2）∵cos DBC =∠， ∴∠DBC =30°.∵AD 是⊙O 的直径，AD ⊥BC ，∴∠ABD =90°.∴∠ABC =60°.∵弧AB =弧AC ，∴AB =AC .∴△ABC 是等边三角形.∴AC =BC .∵∠DBC =∠DAC =30°，∴∠BAD =30°.∴∠BDA =∠ADC =60°.∴∠CDF =60°.∵CF ⊥BD ，∴∠DCF =30°.∵DF =3，∴DC =6.∴AD =12.∴AC =BC=∴AC 24.解：（1）图略；（2）七年级20名学生参加社会实践活动时间的数据的众数是 9 ；……………………………3分……………………………5分……………………………1分……2分……3分FA……………………………6分……………………………2分八年级20名学生参加社会实践活动时间的数据的中位数是8.5 ；（3）估计这两个年级共有500名同学受表彰．25.解：（1）表中的m 的值为 6.0 ；（2）x 的取值范围是60≤≤x ；（3）（3）DE 的长约为 2.4 cm .26.（1）解：∵点A （3，m ），点B （5，n ）在抛物线2(0)y ax bx c a =++>上，且m =n ，抛物线的对称轴为x=t ，∴5-t =t -3.∴t =4.（2）∵点A （3，m ），点B （5，n ），点)(0p x C ，在抛物线2(0)y ax bx c a =++>上，∴c b a m ++=39， c b a n ++=525， c bx ax p ++=020.∵ p n m <<， ∴n m <且p n <.①当n m ＜时，有c b a c b a ++<++52539， ∴b a b a 52539+<+. ∴08>+b a . ∴a b 8->. ∵0>a .∴0<-a . ∴42<-ab. …………………………5分……………………1分……………………5分……………………6分……………………2分……………………3分……………………3分……………………4分 ∵t ab =-2，∴4<t . ②当p n ＜时，有c bx ax c b a ++<++020525，∴a ax bx b 255200-<-.∴)5)(5()5(000-+<-x x a x b .∵100＜＜x ，∴)5(0+<x a b .∴2520+>-x a b.∴3≥t .综上：43<≤t .27.（1）①证明：∵DB ⊥DE ，AF ⊥AB ，∴∠BDE =∠EAF=90°.∴∠DBE+∠DEB =∠AFE+∠AEF .∵∠DEB =∠AEF ，∴∠DBE =∠AFE .②过点D 作DG ⊥AC ，交AB 于G ，∵AC = BC ，∠ACB =90°，∴∠DAG =∠DGA =45°.∴AD =DG ，∠DGB =∠DAF=135°.∵∠ADG =∠BDF =90°，∴∠DAF =∠BDG .∴△DAF ≌△BDG .∴AF =BG .在Rt △ADG 中，由勾股定理得，AD AG 2=.∵AB=AG+BG ，∴AF AD AB +=2.（2）........................2分 (5)分……………………4分……………………6分……………………5分AF AD AB -=2.28.解：（1）点B '的坐标是（4,2）；点B ''的坐标是 （-2,2） ；（2）∵ 点C （0,3），它的平对图形C ''（4,3），∴设C （0,3）向右平移a 个单位长度，得到)3,(a C '，C '关于直线x =b 的对称图形C ''，∴4-b =b -a .∴2b -a=4.（3）b 的最小值为321-，相应的a 的值为1.E FA BCD ……………6分…………2分……………………7分……………………4分……………7分。

2024年北京市平谷区中考数学一模试卷

2024年北京市平谷区中考数学一模试卷

一、选择题（本题共16分，每小题2分）下面各题均有四个选项，其中只有一个是符合题意的．1．从水利部长江水利委员会获悉，截止2024年3月24日，南水北调中线一期工程自2014年12月全面通水以来，已累计调水700亿立方米．其中70000000000用科学记数法表示为（）A．7×108B．7×109C．7×1010D．7×10112．下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（）A．B．C．D．3．如图，点C为直线AB上一点，CD⊥CE，若∠1＝65°，则∠2的度数是（）A．15°B．25°C．35°D．65°4．已知﹣1＜x＜0，下列四个结论中，错误的是（）A．|x|＜1B．﹣x＞0C．﹣x＞1D．x+1＞05．正多边形每个内角都是120°，则它的边数为（）A．5B．6C．7D．86．先后两次抛掷同一枚质地均匀的硬币，则两次都是正面向上的概率是（）A．B．C．D．7．已知两组数据（1）3005，3005，3003，3000，2994；（2）5，5，3，0，﹣6．设第一组数据的平均值为，方差为，设第二组数据的平均值为，方差为，下列结论正确的是（）A．，B．，C．，D．，8．如图，正方形ABCD中，点E、H、G、F分别为AB、BC、CD、AD边上的点，点K、M、N为对角线BD上的点，四边形EKNF和四边形MHCG均为正方形，它们的面积分别表示为S1和S2，给出下面三个结论：①S1＝S2；②DF＝2AF；③S正方形ABCD＝S1+2S2．上述结论中，所有正确结论的序号是（）A．②B．①③C．②③D．①②③二、填空题（本题共16分，每小题2分）9．若代数式有意义，则实数x的取值范围是．10．分解因式：ax2+2ax+a＝．11．化简：的结果为．12．写出一个大于1且小于4的无理数．（答案不唯一）13．如图，反比例函数经过点A、点B，则m＝．14．关于x的一元二次方程x2+2x+k＝0有两个不相等的实数根，则k的取值范围是．15．如图，△ABC内接于⊙O，BC为⊙O的直径，D为⊙O上一点，连接AD、CD．若∠D＝20°，则∠ACB的度数为．16．某工艺坊加工一件艺术品，完成该任务共需A，B，C，D，E，F六道工序，其中A，B是前期准备阶段，C，D，E是中期制作阶段，F为最后的扫尾阶段，三个阶段不能改变顺序，也不能同时进行，但各阶段内的几个工序可以同时进行，完成各道工序所需时间如表所示：阶段准备阶段中期制作阶段扫尾阶段工序A B C D E F 所需时间/分钟1115201763100701008050不能缩短加工时间每缩短一分钟需要增加投入费用/元在不考虑其它因素的前提下，加工该件艺术品最少需要分钟；现因情况有变，需将加工时间缩短到30分钟．每道工序加工时间每缩短一分钟需要增加投入费用如表，则所增加的投入最少是元．三、解答题（共68分，第17-19题，每题5分，第20题，6分，第21题，5分，第22-23题，每题6分，第24-25题，每题5分，第26题6分；第27-28题，每题7分）解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程．17．计算：2cos30°+（）﹣1+|﹣1|﹣．18．解不等式组：．19．已知x2+x﹣5＝0，求代数式（x+1）（x﹣1）+x （x+2）的值．20．我国古代数学著作《九章算术》里记载了这样一个有趣的问题：“今有善行者行100步，不善行者60步．今不善行者先行100步，善行者追之，问几何步追之？”其意思是：走路快的人走100步时，走路慢的人只走了60步，现在走路慢的人先走100步，走路快的人去追他，问走路快的人走多少步能够追上他？请你解决该问题．21．在平面直角坐标系xOy中，一次函数y＝kx+b（k≠0）的图象由函数y＝x的图象平移得到，且经过点（0，3）．（1）求这个一次函数的解析式；（2）当x＞0时，对于x的每一个值，一次函数y＝x+n的值小于函数y＝kx+b（k≠0）的值且大于0，直接写出n的取值范围．22．如图，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，点D、E分别是BC、AB边的中点，连接DE并延长，使EF＝2DE，连接AF、CE．（1）求证：四边形ACEF是平行四边形；（2）若∠B＝30°，求证：四边形ACEF是菱形．23．如图，△ABC内接于⊙O，∠ACB＝45°，连接OA，过B作⊙O的切线交AC的延长线于点D．（1）求证：∠D＝∠OAD；（2）若BC＝4，tan D ＝，求⊙O半径的长．24．光合作用是指在光的照射下，植物将二氧化碳和水转化为有机物，并产生氧气的过程，呼吸作用指的是植物将有机物和氧气分解成二氧化碳和水以维持植物生命所必要的过程，光合作用产氧速率与呼吸作用耗氧速率差距越大越利于有机物的积累，植物生长越快，水果的品质越好．下表是某农科院为了更好的指导果农种植草莓，在0℃至50℃气温，水资源及光照充分的条件下，对温度对光合作用和呼吸作用的影响进行研究的相关数据：温度（℃）51015202530354045500.020.180.300.400.580.82 1.420.900.400.02光合作用产氧速率（μmol/m2s）呼吸作用耗氧速率0.030.100.150.200.280.370.420.600.820.60（μmol/m2s）（1）通过观察表格数据可以看出，若设温度为x，光合作用产氧速率、呼吸作用耗氧速率是这个自变量的函数；建立平面直角坐标系，描出表中各组数值所对应的点，图中已经描出部分点，请补全其余点，并画出函数图象；（2）结合函数图象，解决问题：（结果取整）①最适合草莓生长的温度约为℃；②当温度约在什么范围内时，呼吸作用耗氧速率大于光合作用产氧速率，呼吸作用成为植物的主要活动，植物生长缓慢．25．4月24日是中国的航天日．为了激发全民尤其是青少年崇尚科学、勇于创新的热情，某学校在七、八年级进行了一次航天知识竞赛．现从七、八年级参加该活动的学生的成绩中各随机抽取20个数据，分别对这20个数据进行整理、描述和分析，下面给出了部分信息：a．七年级参加活动的20名学生成绩的数据的频数分布直方图如下（数据分成5组：50≤x＜60，60≤x ＜70，70≤x＜80，80≤x＜90，90≤x≤100）；b．七年级参加活动的20名学生成绩的数据在80≤x＜90这一组的是：84 85 85 86 86 88 89c．八年级参加活动的20名学生成绩的数据如下：分数738182858891929496100人数1323131411根据以上信息，解答下列问题：（1）补全a中频数分布直方图；（2）七年级参加活动的20名学生成绩的数据的中位数是；八年级参加活动的20名学生成绩的数据的众数是；（3）已知七八两个年级各有300名学生参加这次活动，若85分以上算作优秀，估计这两个年级共有多少人达到了优秀．26．在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝x2﹣2bx．（1）当抛物线过点（2，0）时，求抛物线的解析式；（2）若抛物线上存在两点A（x1，y1）和B（x2，y2），若对于1≤x1≤2，x2＝b+2，都有y1•y2＜0，求b的取值范围．27．如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，点D为BC边中点，DE⊥AB于E，作∠EDC的平分线交AC于点F，过点E作DF的垂线交DF于点G，交BC于点H．（1）依题意补全图形；（2）求证：DH＝BE；（3）判断线段FD、HC与BE之间的数量关系，并证明．28．平面直角坐标系xOy中，已知⊙M和平面上一点P，若P A切⊙M于点A，PB切⊙M于点B，且90°≤∠APB＜180°，则称点P为⊙M的伴随双切点．（1）如果⊙O的半径为2，①下列各点P1（﹣1，0），P2（﹣2，2），P3（3，3），P4（﹣1，﹣2）是⊙O的伴随双切点的是；②直线y＝x+b上存在点P为⊙O的伴随双切点，则b的取值范围；（2）已知点E（1，2）、F（0，﹣2），过点F作y轴的垂线l，点C（m，0）是x轴上一点，若直线l 上存在以CE为直径的圆的伴随双切点，直接写出m的取值范围．。

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北京市中考数学一模考试试卷
姓名:________ 班级:________ 成绩:________
一、选择题 (共12题；共24分)
1. （2分）(2016·义乌) ﹣8的绝对值等于（）
A . 8
B . ﹣8
C . -
D .
2. （2分）将一包卷卫生纸按如图所示的方式摆在水平桌面上，则它的俯视图是（）
A .
B .
C .
D .
3. （2分）第29届北京奥运会火炬接力活动历时130天,传递行程约为137 000km．用科学记数法表示137 000是（）
A . 1.37×105
B . 13.7×104
C . 1.37×104
D . 1.37×103
4. （2分）在□ABCD中,∠A-∠B=40°，则∠C的度数为（）
A . 70°
B . 40°
C . 110°
D . 150°
5. （2分）(2019·石首模拟) 为了调查某校同学的体质健康状况，随机抽查了若干名同学的每天锻炼时间如表：
每天锻炼时间（分钟）20406090
学生数2341
则关于这些同学的每天锻炼时间，下列说法错误的是（）
A . 众数是60
B . 平均数是21
C . 抽查了10个同学
D . 中位数是50
6. （2分）(2018·高台模拟) 下列图形中，是中心对称图形的是（）
A .
B .
C .
D .
7. （2分）如图，正方形ABCD的边AB=1，BD和AC都是以1为半径的圆弧，则无阴影部分的两部分的面积之差是（）
A .
B .
C .
D .
8. （2分）王芳将如图所示的三条水平直线m1 ， m2 ， m3的其中一条记为x轴（向右为正方向），三条竖
直直线m4 ， m5 ， m6的其中一条记为y轴（向上为正方向），并在此坐标平面内画出了抛物线y=ax2﹣6ax﹣3，则她所选择的x轴和y轴分别为（）
A . m1 ， m4
B . m2 ， m3
C . m3 ， m6
D . m4 ， m5
9. （2分）如图，已知∠ABC=90°，BD⊥AC于D ， AB=4，AC=10，则AD=（）
A .
B . 2
C .
D . 1
10. （2分）如图，G，E分别是正方形ABCD的边AB，BC的点，且AG=CE，AE⊥EF，AE=EF，现有如下结论：
①BE=GE；②△AGE≌△ECF；③∠FCD=45°；④△GBE∽△ECH，其中，正确的结论有（）
A . 1个
B . 2个
C . 3个
D . 4个
11. （2分） (2017八下·宁波期中) 如图，矩形ABCD的两条对角线相交于点O，∠AOB＝120°，AD＝2，点E是BC的中点，连结OE，则OE的长是（）
A .
B . 2
C . 2
D . 4
12. （2分）已知点A（a﹣2b，2﹣4ab）在抛物线y=x2+4x+10上，则点A关于抛物线对称轴的对称点坐标为（）
A . （﹣3，7）
B . （﹣1，7）
C . （﹣4，10）
D . （0，10）
二、填空题 (共6题；共8分)
13. （1分） (2019九下·江苏月考) 分解因式：2a2-2=________.
14. （1分）如果代数式与的值相等，那么x＝________．
15. （2分） (2020九下·丹阳开学考) 用1，2，3三个数字排成一个三位数，则排出的数是偶数的概率是________.
16. （1分）如图，是半圆的直径，，则的长为________.
17. （2分） (2017八下·石景山期末) 如图1，将正方形置于平面直角坐标系中，其中边在
轴上，其余各边均与坐标轴平行.直线沿轴的负方向以每秒1个单位的速度平移，在平移的过程中，该直线被正方形的边所截得的线段长为，平移的时间为（秒），与的函数图象如图2所示，则图1中的点的坐标为________，图2中的值为________.
图1 图2
18. （1分）(2017·长春模拟) 如图，⊙O的半径为2，AB，CD是互相垂直的两条直径，点P是⊙O上任意一点（P与A，B，C，D不重合），过点P作PM⊥AB于点M，PN⊥CD于点N，点Q是MN的中点，当点P沿着圆周转过45°时，点Q走过的路径长为________．
三、计算题 (共2题；共7分)
19. （5分）(2016·上海) 计算：| ﹣1|﹣﹣ + ．
20. （2分）（1）化简：（x+2）2+x（x+3）
（2）解不等式组：
四、综合题 (共7题；共72分)
21. （5分）如图，已知AD∥BC，按要求完成下列各小题（保留作图痕迹，不要求写作法）．
（1）用直尺和圆规作出∠BAD的平分线AP，交BC于点P．
（2）在（1）的基础上，若∠APB=55°，求∠B的度数．
（3）在（1）的基础上，E是AP的中点，连接BE并延长，交AD于点F，连接PF．求证：四边形ABPF是菱形．
22. （10分）(2017·河池) 某班为满足同学们课外活动的需求，要求购排球和足球若干个．已知足球的单价比排球的单价多30元，用500元购得的排球数量与用800元购得的足球数量相等．
（1）
排球和足球的单价各是多少元？
（2）
若恰好用去1200元，有哪几种购买方案？
23. （10分） (2019九上·淅川期末) 观察发现：如图（1），⊙O是△ADC的外接圆，点B是边CD上的一点，且△ABC是等边三角形.OD与AB交于点E，以O为圆心、OE为半径的圆交AB于点F，连接CF、OF.
（1）求∠AOD的度数；
（2）线段AE、CF有何大小关系？证明你的猜想.
拓展应用：如图（2），△HJI是等边三角形，点K是IH延长线上的一点.点O是△JKI的外接圆圆心，OK与JH 相交于点E.如果等边三角形△JHI的边长为2，请直接写出JE的最小值和此时∠JEO的度数.
24. （2分）在“阳光体育”活动时间，小英、小丽、小敏、小洁四位同学进行一次羽毛球单打比赛，要从中选出两位同学打第一场比赛
（1）
若已确定小英打第一场，再从其余三位同学中随机选取一位，求恰好选中小丽同学的概率
（2）
用画树状图或列表的方法，求恰好选中小敏、小洁两位同学进行比赛的概率
26. （15分）(2018·番禺模拟) 如图，在Rt△ABC中，，角平分线交BC于O，以OB为半径作⊙O.
（1）判定直线AC是否是⊙O的切线，并说明理由;
（2）连接AO交⊙O于点E，其延长线交⊙O于点D，，求的值;
（3）在（2）的条件下，设的半径为3，求AC的长.
参考答案一、选择题 (共12题；共24分)
1-1、
2-1、
3-1、
4-1、
5-1、
6-1、
7-1、
8-1、
9-1、
10-1、
11-1、
12-1、
二、填空题 (共6题；共8分)
13-1、
14-1、
15-1、
16-1、
17-1、
18-1、
三、计算题 (共2题；共7分)
19-1、
20-1、
四、综合题 (共7题；共72分)
21-1、22-1、
22-2、23-1、
23-2、24-1、
24-2、26-1、26-2、
26-3、。

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