美国中小学数学课程标准2：模式、函数和代数

美国中小学数学课程标准2：模式、函数和代数数学教学纲要应包括关注模式、函数、符号和数学模型，以便所有学生能够——◆ 理解各种类型的模式和函数关系；◆ 使用符号形式表示和分析数学情形和结构；◆ 应用数学模型以及分析在实际和抽象的背景下的数学模型变化。

说明：幼儿园前-12年级模式、函数和代数包括系统地使用符号，数学体系的代数特征，现象的模型以及对变化的数学。

这些概念不仅彼此互相关联，而且还与数、运算以及几何紧密相联。

它们对数学的所有领域都是至关重要的，并且它们组成表达数学的基本语言。

这个标准里的思想观念形成了学校课程的主要组成部分。

在方程解的研究中，代数有根。

这个科目已向几个方向发展，它包括方程的学习，抽象事物的推理，归纳，以及符号概念的中心意思。

所有这些发展都应在学校课程中得到反映。

对模式、函数和代数的学习应在低年级非正式地开始，然后在学校的学习中逐步向深度和广度发展。

早期接触模式、函数和代数的概念，能为在初中后阶段和整个高中阶段更深入细致地关注这个领域的学生提供部分理解基础（Smith 1998）。

◆ 理解各种类型的模式和函数关系制作、认识和拓展模式对儿童们来说是非常自然的活动。

早期接触模式的工作是识别规律性，认识不同形式的相同模式，以及应用模式去推测数值。

例如，"红-蓝-蓝-红-蓝-蓝-红-蓝-蓝…"与"ABBABBABB…"具有相同的模式，所以其第12个元素是蓝。

从简单的状况出现的模式是函数和序列的萌芽。

例如，如果1个玩具2美元，那么1个玩具，2个玩具，3个玩具，n个玩具多少美元？随后接触的一个是增长的模式，例如，"1，3，6，10，15，…，"一个是重复的模式，例如"1，1，3，1，1，3，…，"上述这些例子加深了对模式概念的理解。

到了初中和高中，隐藏在模式和序列下的规律性变得越来越复杂，包括那些以指数方式增长的模式。

接触作为函数的例子--序列，在中学得到扩展的目的是建立极限和无穷序列这些概念的基础。

在低年级，学生注意到每一项通过前一项而得到，来描述象"2，4，6，8，…，"这样的模式，在这种情况下，后一项=前一项+2。

这是递推思维的开始。

以后，学生能够研究被定义的序列以及通过递推得到的序列，如Fibonacci序列"1，1，2，3，5，8，…"在这个序列中，每一项都是前面两项的和。

在许多科目中，递推数列非常自然地出现，并可通过技术手段来研究。

9～12年级的学生研究由递推产生的函数和模式。

最初接触模式时，一个重要的步骤是，学生经常口头地表述隐含的规律性，而不是应用数学符号来表示（English and Warren 1998）。

学生数学课程的一个目标是基于口语表述，提供给学生足够的经历，使他们舒适地、流利地使用数学符号表示归纳的结果。

函数的早期萌芽和它们的表示，包括这样一些活动，记录日常气温或在图表中随时表示随着平面高度的变化产生温度的变化。

在低年级可以使用函数图象来描述函数。

在6～8年级线性函数和对函数图象的解释是学习过程中特别重要的东西。

对9～12年级的学生来讲，尽管已经系统地学习其他一些函数，如多项式函数、指数函数、三角函数，但对函数图象的解释仍然是重要的。

在高中，这种系统的学习应建立在学生早期有过的代数思想的经历上。

熟悉函数的解析表示、数值表示以及图象表示是非常重要的。

在这些表示中，能力是向思维深度和容易的方向发展。

坐标几何使函数和关系的图象表示以及观察函数和关系的几何性质，如图象的对称性，成为可能。

图形计算器和计算机能够帮助学生进行图象和数值表示方面的实验，检验和对比函数的不同性质。

包括两、三个变量的函数之间的关系可以有几何表示，在y-z平面内，当抛物线z=y2绕z 轴旋转会得到什么？所得图象如何用代数表示？许多学生首次理解函数的概念是通过如下一系列教学过程，"任给一个n ，如 n=0，1，2，3时，求2n的值"（Vinner and Dreyfus 1989）为了帮助学生发展对函数概念的更深的理解，对函数的多种表示-如数值表示、图象表示、解析表示有相当丰富的经历是必需的。

◆ 使用符号形式表示和分析数学情形和结构数量关系的符号表示是代数的灵魂。

概括地说，它能使复杂的数学被简明地表达出来，而且符号和表达式能够提供探索和发现解决问题的途径。

然而，这种作用也遇到会一系列概念障碍，例如，变量的概念是相当复杂的。

在低年级，典型的一个例子是在下面式子中空位处的一个特定的数字是一个变量○+2=11。

以后，学生会学到方程3x+2=11中的变量x ，方程中的变量x ，这两个变量的意义是不同的，而且它们与公式中的变量的意义不同。

完全理解变量的概念需要相当长的时间，它需要丰富的实践经历作为基础（Wagner and Parker 1993）。

另一个在理解数量关系的符号表示的概念困难是关于相等的概念。

相等的符号可以以不同的方式被察觉。

例如，对在算术计算中广泛经历的相等符号的结果。

学生一个典型的察觉是，把相等符号作为计算的符号（Kieran 1981）。

然而，在高中之前，学生也需要学习到把相等符号作为相等和平衡的符号。

总之，如果学生在发展他们工作中固定的概念基础之前，学生被要求从事较多的符号演算，但他们不能进行更多地机械性的演算（Wagner and Parker 1993）。

关于符号概念有意义的工作基础需要持续相当长的时间，从低年级开始，直到初中或高中阶段正式接触“代数”这门课程。

当儿童接触数时，他们常常采纳在本质上是代数化的策略。

教师们可以以相似的方式建立这种自然的趋势。

例如，一个儿童可能注意到“4+5=4+4+1”和“5+6=5+5+1”等等。

把他或她观察到的介绍给另一个儿童时，学生可能画出如图3—2所示的图：□ □ □ □□ □ □ □ □图3—2 2+1使用图形作为一个范例以及不是一个孤立事件的记录使代数表示图象化。

或者，儿童可能会说“2+1”，因为这种表达表示的是一个归纳，它就是代数化。

在6～8年级，代数表示变得越来越正规，因此在符号、肖像、具体和几何之间再加上一个强有力的透视。

当它们被几何化后，即使复杂的代数关系也变得清晰起来。

当学生在进行系统的推理、复杂的代数符号演算时，学生很容易理解几何表示。

例如，图3—3帮助我们解释为什么前n个奇数的和等于n2。

图3—3学生能够给出像“1+3+…+(2n-1)=n2”关系的符号表示，而且，以后学生能给出它的数学演绎证明。

因此，这种代数归纳可以以两种不同的方式得到发展和证实，一种在中学阶段学生能够接受，而另外一种需要较多的数学准备。

两种方式互相补充，事实上，每种方式都能揭示不同的数学情形。

代数和几何彼此向对方渗透，正如学生把几何思想代数化。

例如，一个半径为r的土球被加工成一个半径为r的土圆锥，问圆锥的高是多少？代数结构的概念来自于对数的演算的关注。

理解封闭性（如两个正整数的和仍是正整数，而两个正整数的差不是正整数）和代数性（如加法符合交换律，而减法不符合交换律）对于学习诸多的系统，包括数系、多项式系统、函数系统和矩阵系统来说，是非常重要的。

学生能够对运算进行推理，例如，他们发现减法运算是加法运算的逆运算。

考虑一个复杂的数系时，询问关于数系的内部互相联系的问题，以及找出这些问题的解法，对于学习数学是非常重要的。

数学结构中另一个重要的部分是同构的概念，即表面看似不同，而实质相同的数学结构。

例如，两种不同的物理情形，可用相同的图形把他们模型化。

这显示两种不同的过程具有相同重要的数学特征。

◆ 应用数学模型以及分析在实际和抽象的背景下的数学模型变化数学的一个强有力的应用是现象的数学模型。

应用符号记法是模型化的中心。

例如，分配律和交换律、物理定律、人口模型、以及对数据集的统计都可以用符号语言表示出来。

在任何复杂的表格的使用中，代数是不明晰的。

如果能够很好地理解数集之间的关系，那么这种理解能用变量、函数、关系的语言表示出来。

基于以上事实，对于学生来说，从低年级开始，把众多现象数学模型化是非常重要的。

随着学生对标准函数族的熟练程度，他们能够应用线性函数、指数函数等把一些现象模型化，且可用它们进行鉴别。

三角函数表示周期现象是非常有用的。

基于计算机的实验室的应用能够使学生快速地从物理实验中获得可靠的数据，这样就能扩大对状况所作模型的使用范围。

计算机或计算器的图形、数值、或符号功能可被用于探讨这个模型可能的变量的作用。

在解决涉及这些变化的情形中，最大值和最小值是非常重要的。

对变化的最终研究是在微积分中，但学生在正式学习微积分课程之前，已经对变化讨论了很长时间。

在幼儿园前—2年级，一个描绘运动员跑的距离与时间图形的学生能够指出，在一段时间内距离增长得非常快，而在另一段时间内距离增长得较慢。

这个过程依赖于时间函数y=f(t)，它在steep区域变化得非常快，而在shallow区域变化得非常慢。

算术序列和几何序列的不同之处在于，序列中每项的定义依它前一项的方式。

对变化的学习与递归思想相连。

低年级的学生能够观察到像5，8，11，14，…这种模式，也就是每个数比它前面的数大3。

随着学习的深入，他们将学习到序列中更加复杂的变化，像1，3，6，10，…，在这个序列中，每一项对于后一项来说，是按照比例增长的。

又如2，4，8，16，…，在这个序列中，每一项是前面一项的2倍，也就是指数关系。

y=2n总之，模式、函数和代数这些领域内的概念和技能逐步变得深入和复杂。

同样地，在这些领域，学生的思维也是随着步入高年级而逐步发展和成熟的。