2020数学新教材高一第一册暑假衔接课学案第4讲一元二次不等式学生

合集下载

暑假衔接班新高一数学教案25次课(5次复习-20次预习共87页)

暑假衔接班新高一数学教案25次课(5次复习-20次预习共87页)-CAL-FENGHAI-(2020YEAR-YICAI)_JINGBIAN1840年，争取成为选举人了，失败了；1843年，参加国会大选落选了；1846年，再次参加国会大选这次当选了！前往华盛顿特区，表现可圈可点；1848年，寻求国会议员连任失败了！1849年，想在自己的州内担任土地局长的工作，被拒绝了！1854年，竞选美国参议员，落选了；1856年，在共和党的全国代表大会上争取副总统的提名，得票不到一百张；1858年，再度竞选美国参议员一一再度落败；1860年，当选美国总统。

评语：此路艰辛而泥泞。

我一只脚滑了一下，另一只脚也因而站不稳；但我缓口气，告诉自己，“这不过是滑一跤，并不是死去而爬不起来。

” ——林肯在竞选参议员落败后如是说。

二、【基础知识梳理】 1.一次函数的定义一次函数：若两个变量x 、y 间的关系式可以表示成b kx y +=（k 、b 为常数，0≠k ）的形式，称y 是x 的一次函数.正比例函数：形如kx y =（0≠k ）的函数，称y 是x 的正比例函数，此时也可说y 与x 成正比例，正比例函数是一次函数，但一次函数并不一定是正比例函数.2.求一次函数的解析式关键：确定一次函数b kx y +=中的字母k 与b 的值. 步骤：1、设一次函数表达式2、将x ，y 的对应值或点的坐标代入表达式3、解关于系数的方程或方程组4、将所求的待定系数代入所设函数表达式中 3.一次函数的图象与性质y=kx ＋b(k 、b 为常数，k ≠0）当k ＞0时，y 的值随x 的值增大而增大；当k ＜0时，y 的值随x 值的增大而减小．直线y=kx ＋b(k 、b 为常数，k ≠0）时在坐标平面内的位置与k 的关系． ①0,0>>b k 直线经过第一、二、三象限（直线不经过第四象限）； ②0,0<>b k 直线经过第一、三、四象限（直线不经过第二象限）； ③0,0><b k 直线经过第一、二、四象限（直线不经过第三象限）； ④0,0><b k 直线经过第二、三、四象限（直线不经过第一象限）； 4.平移直线11b x k y +=与直线22b x k y +=的位置关系：两直线平行⇔21k k =. 平移规律：左加右减，上加又减.5.一次函数与一元一次方程、一元一次不等式和二元一次方程组 ①一次函数与一元一次方程：一般地将0=x 或0=y 代入y= kx+ b 中解一元一次方程可求求直线与坐标轴的交点坐标。

初升高数学衔接班教案(学生版)一元二次不等式

不等式一、【归纳初中知识】初中阶段我们已经学习过一元一次不等式的解法，但在高中学习中往往不够用，我们来总结一下已经学习过不等式的解法：解b ax >应该分三种情况讨论：1. 若0=a ，且0≥b ，不等式无解；若0,0<=b a ，不等式有无数解2. 若0>a ，则解为ab x >3. 若0<a ，则解为a b x < 二、【衔接高中知识】我们在高中阶段主要会接触到三类不等式：1. 一元二次不等式：其通常求解方法有“因式分解乘积法”、“二次函数图像法”；2. 分式不等式：其主要求解方法为将分式不等式转化为整式不等式；3. 简单的高次不等式：常用求解方法为“因式分解乘积法”规律总结：①一般地，解不等式先使不等式右边为______②一般地，对于一元二次不等式)0(02<>++c bx ax ，先化二次项系数为_______，然后找出方程02=++c bx ax 的两根21,x x ，最后根据不等号：小于取______，大于取_____。

三、【例题精讲】例1：因式分解法解不等式：062<-+x x例2：因式分解法解不等式：3522->-x x例3：图像法解不等式0122<++-x x例4：已知不等式022>++bx ax 的解集为321<<-x ，求022<++a bx x 的解集例5：解不等式：（1）0113<+-x x （2） 1312≥+-x x例6：解不等式：0)12)(2(2<--+x x x课后习题1、不等式0262<--x x 的解集为______________2、不等式0322<--x x 的解集为_________________________3、已知不等式02<+-b ax x 的解集为32<<x ，则不等式012≥+-bx ax 的解为_______4、不等式12<-x 的解集为_______________5、不等式0)3)(2)(1(<+-+x x x 的解集为____________________6、不等式04322>--x x 的解集为____________________________7、不等式221>-+x x 的解集为________________8、解不等式0)6)(2(2≥-++x x x9、解不等式：063222<++--+x x x x。

高中高一数学教案：一元二次不等式的解法

高中高一数学教案：一元二次不等式的解法一、教学目标1.知识与技能目标：理解一元二次不等式的概念，掌握一元二次不等式的解法，能够熟练运用解一元二次不等式的方法解决实际问题。

2.过程与方法目标：通过探究一元二次不等式的解法，培养学生的逻辑思维能力和解决问题的能力。

3.情感态度与价值观目标：激发学生对数学的兴趣，培养学生勇于探索、积极思考的精神。

二、教学重点与难点1.教学重点：一元二次不等式的解法。

2.教学难点：一元二次不等式的解法在实际问题中的应用。

三、教学过程1.导入新课（1）引导学生回顾一元二次方程的解法。

（2）提出问题：一元二次不等式与一元二次方程有何关系？如何解一元二次不等式？2.探究一元二次不等式的解法（1）引导学生学习一元二次不等式的解法。

（2）通过例题讲解，让学生掌握一元二次不等式的解法。

（3）让学生尝试独立解决一元二次不等式问题，并及时给予反馈。

3.巩固练习（1）布置一些一元二次不等式的练习题，让学生独立完成。

（2）对学生的练习进行批改，指出错误并给予指导。

4.小组讨论（1）让学生分组讨论一元二次不等式在实际问题中的应用。

（2）让学生分享自己在学习过程中的收获和困惑。

四、教学评价1.课后作业：布置一些一元二次不等式的习题，要求学生独立完成，以检验学生对本节课内容的掌握情况。

2.课堂表现：观察学生在课堂上的参与程度、发言积极性和问题解决能力，以了解学生的学习效果。

五、教学反思六、教学拓展1.引导学生进一步学习一元二次不等式的性质，如单调性、奇偶性等。

2.探讨一元二次不等式与其他数学知识（如函数、几何等）的联系。

七、教学资源1.教材：高中数学教材（人教版）。

2.课件：制作一元二次不等式的解法课件。

3.练习题：设计一些一元二次不等式的习题，供学生课后练习。

八、教学时间1课时九、教学建议1.在教学过程中，要注重启发式教学，引导学生主动探究、积极思考。

2.注重培养学生的团队合作能力，鼓励学生相互交流、分享经验。

高中数学新课程创新教学设计案例--一元二次不等式

49 一元二次不等式教材分析一元二次不等式的解法是高中数学的一个重要内容，它是进一步学习不等式的基础，同时是解决有关实际问题的重要方法之一．这节课通过具体例子，借助二次函数的图像求解不等式，进而归纳、总结出一元二次不等式，一元二次方程与二次函数的关系，得到利用二次函数图像求解一元二次不等式的方法．最后，说明一元二次不等式可以转化为一元一次不等式组，由此又引出了简单分式不等式的解法．这节内容的重点是一元二次不等式的解法，难点是弄清一元二次不等式、一元二次方程与二次函数的关系．教学目标1. 让学生经历从实际情境中抽象出一元二次不等式模型的过程．2. 通过函数图像了解一元二次不等式与相应函数、方程的联系，熟练掌握应用二次函数图像解一元二次不等式的方法．3. 通过一元二次不等式转化为一元一次不等式组的解法，让学生体会等价转化的数学思想，培养学生的逻辑推理能力．任务分析这节课的主要任务是应用二次函数的图像解一元二次不等式．首先通过实例抽象出一元二次不等式模型，让学生感受到现实生活中存在大量的一元二次不等式，从而得出本节的主要任务．然后通过解决一些具体的一元二次不等式，让学生体会和总结出借助二次函数的图像解一元二次不等式的方法．最后抽象和概括出一元二次不等式与相应函数、方程的关系．学习方法是讲练结合，引导学生从具体到一般地总结出一元二次不等式的图像解法．教学设计一、问题情境1. 出示问题（1）某产品的总成本ｃ（万元）与产量ｘ（台）之间满足关系：ｃ＝3000＋20ｘ－0.1ｘ2，其中ｘ∈（0，240），ｘ∈Ｎ，若每台产品售价25万元，试求生产者不亏本时的最低产量ｘ．引导学生建立一元二次不等式模型：由题意，得销售收入为25ｘ（万元），要使生产者不亏本，必须使3000＋20ｘ－0.1ｘ2≤25ｘ，即ｘ2＋50ｘ－30000≥0．（2）国家为了加强对某特种商品生产的宏观管理，实行征收附加税政策．现知每件产品70元，不加收附加税时，每年大约产销100万件，若政府征收附加税，每销售100元要征税R元（即税率为R％），则每年的产销量要减少10R万件．要使每年在此项经营中所收取的附加税税金不少于112万元，问R应怎样确定．2. 引导学生建立一元二次不等式模型设产销量为每年x（万件），则销售收入为每年70x（万元），从中征收的税金为70x·R％（万元），并且ｘ＝100－10R．由题意，知70（100－10R）·R％≥112，即R2－10R＋16≤0．如何求解以上两个一元二次不等式呢？二、建立模型1. 对于不等式ｘ2＋50ｘ－30000≥0，可以借助二次函数的图像来解决设二次函数f（ｘ）＝ｘ2＋50ｘ－30000，抛物线开口向上，与ｘ轴交点的横坐标是相应二次方程ｘ2＋50ｘ－30000＝0的解．此时ｘ1＝－200，ｘ2＝150．如图，所谓解不等式ｘ2－50ｘ－30000≥0，就相当于求使函数f（ｘ）≥0的ｘ的集合．考虑图像在ｘ轴及其上方的部分，即f（ｘ）≥0，相应的ｘ的集合｛ｘ｜ｘ≤－200或ｘ≥150｝就是不等式的解集．结合实际，可知生产者不亏本时的最低产量为150台．运用完全类似的方法，可以求解不等式R2－10R＋16≤0的解集为｛R｜2≤R≤8｝．2. 教师明晰设ａ＞0，解一元二次不等式ａx2＋ｂｘ＋ｃ＞0（＜0），首先，设ｆ（ｘ）＝ａs2＋ｂｘ＋ｃ．（1）计算Δ＝ｂ2－4ａｃ，判断抛物线ｙ＝ｆ（ｘ）与ｘ轴交点的情况．（2）若Δ≥０，解一元二次方程ａｘ2＋ｂｘ＋ｃ＝0，得两根为ｘ1，ｘ2，（ｘ1≤ｘ）．2（3）结合（1）（2）画出ｙ＝ｆ（ｘ）的图像．（4）解不等式ａｘ2＋ｂｘ＋ｃ＞0，就相当于使ｆ（ｘ）＞0．考虑图像在ｘ轴上方的部分，即ｆ（ｘ）＞0，相应的ｘ的集合就是ａｘ2＋ｂｘ＋ｃ＞０的解集．解不等式ａｘ2＋ｂｘ＋ｃ＜0，就相当于使ｆ（ｘ）＜0．考虑图像在ｘ轴下方的部分，即ｆ（ｘ）＜0，相应的ｘ的集合就是ａｘ２＋ｂｘ＋ｃ＜0的解集．根据上述内容，结合图像写出不等式的解集．思考：对于一元二次不等式的二次项系数ａ，如果ａ＜0，上述结论如何？三、解释应用［例题］1. 解不等式2ｘ2－3ｘ－2＞0．解：∵Δ＝（－3）2－4×2×（－2）＝25＞0，方程2ｘ2－3ｘ－2＝0的两根为ｘ1＝－，ｘ2＝2，∴不等式2ｘ2－3ｘ－2＞0的解集为｛ｘ｜ｘ＜－或ｘ＞2｝．2. 解不等式－ｘ2＋2ｘ－3≥0．3. 已知不等式ｍｘ2－（ｍ－2）ｘ＋ｍ＞0的解集为R，求ｍ的取值范围．解：（1）当ｍ＝0时，原不等式可化为2ｘ＞0，解集不是R．（2）当ｍ＜0时，抛物线ｙ＝ｍｘ2－（ｍ－2）ｘ＋ｍ开口向下，解集也不是R．（3）当ｍ＞0时，须满足［练习］1. 解下列不等式．（1）－3ｘ2＋6ｘ＞2．（2）4ｘ2－4ｘ－1＞0．（3）ｘ2－3ｘ＋5＞0．（4）－6ｘ2－ｘ＋2≤0．4. 以每秒ａ（ｍ）的速度从地面垂直向上发射子弹，t（ｓ）后，子弹上升的高度ｘ可由ｘ＝ａｂ－4.9ｔ2确定．已知发射后5ｓ，子弹上升的高度为245ｍ，问：子弹保持在245ｍ以上高度有多少秒？四、拓展延伸一元二次不等式（ａｘ＋ｂ）（ｃｘ＋ｄ）＞0（＜0）也可以根据实数运算的符号法则求解，如解不等式（ｘ＋4）（ｘ－１）＜0．注意到不等式左边是两个ｘ的一次式的积，右边是0，那么它可以根据积的符号法则化为一次不等式组：点评这篇案例设计完整，思想清晰．案例首先从实际问题情境引入，关注不等式从现实问题中的抽象过程，进而利用从已有知识，即二次方程的根的情况及一元二次函数的图像与一元二次不等式的解的关系归纳出一般结论，体现了用数形结合处理问题的思想方法，培养了学生的类比推理能力．例、习题的变形培养了学生灵活运用知识，处理问题的能力，既巩固了所学新知识，又培养了学生灵活解题的能力．“拓展延伸”开发了学生的内在潜力，培养了学生的等价转化意识，为将来处理较复杂问题提供了行之有效的方法．。

高一数学教案一元二次不等式的解法_0161文档

2020高一数学教案一元二次不等式的解法_0161文档EDUCATION WORD高一数学教案一元二次不等式的解法_0161文档前言语料：温馨提醒，教育，就是实现上述社会功能的最重要的一个独立出来的过程。

其目的，就是把之前无数个人有价值的观察、体验、思考中的精华，以浓缩、系统化、易于理解记忆掌握的方式，传递给当下的无数个人，让个人从中获益，丰富自己的人生体验，也支撑整个社会的运作和发展。

本文内容如下：【下载该文档后使用Word打开】教学目标（1）掌握；（2）知道一元二次不等式可以转化为一元一次不等式组；（3）了解简单的分式不等式的解法；（4）能利用二次函数与一元二次方程来求解一元二次不等式，理解它们三者之间的内在联系；（5）能够进行较简单的分类讨论，借助于数轴的直观，求解简单的含字母的一元二次不等式；（6）通过利用二次函数的图象来求解一元二次不等式的解集，培养学生的数形结合的数学思想；（7）通过研究函数、方程与不等式之间的内在联系，使学生认识到事物是相互联系、相互转化的，树立辨证的世界观．教学重点：；教学难点：弄清一元二次不等式与一元二次方程、二次函数的关系．教与学过程设计第一课时Ⅰ．设置情境问题：①解方程②作函数的图像③解不等式【置疑】在解决上述三问题的基础上分析，一元一次函数、一元一次方程、一元一次不等式之间的关系。

能通过观察一次函数的图像求得一元一次不等式的解集吗？【回答】函数图像与x 轴的交点横坐标为方程的根，不等式的解集为函数图像落在轴上方部分对应的横坐标。

能。

通过多媒体或其他载体给出下列表格。

扼要讲解怎样通过观察一次函数的图像求得一元一次不等式的解集。

注意色彩或彩色粉笔的运用在这里我们发现一元一次方程，一次不等式与一次函数三者之间有着密切的联系。

利用这种联系（集中反映在相应一次函数的图像上！）我们可以快速准确地求出一元一次不等式的解集，类似地，我们能不能将现在要求解的一元二次不等式与二次函数联系起来讨论找到其求解方法呢？Ⅱ．探索与研究我们现在就结合不等式的求解来试一试。

2020年高中数学必修第一册：一元二次不等式及其解法学案(北师大版)

第四节一元二次函数和一元二次不等式4.2一元二次不等式及其解法导学案（1）理解一元二次不等式概念（2）掌握一元二次不等式解法1.一般地，只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的不等式叫作__________.通常，它们都可以化为ax2+bx+c>0 的形式，其中a,b,c均为常数，且a≠0.使一元二次不等式成立的所有未知数的值组成的集合叫作这个一元二次不等式的______.2.完成下列表格1．已知函数f（x）＝x2﹣5ax+6a2（a∈R）．（1）解关于x的不等式f（x）＜0；（2）若关于x的不等式f（x）≥2a的解集为{x|x≥4或x≤1}，求实数a的值．2．设f（x）＝（m+1）x2﹣mx+m﹣1（1）当m＝1时，解关于x的不等式f（x）＞0：（2）若关于x的不等式f（x）﹣m＞0的解集为（1，2），求m的值1．二次函数y＝x2+（a﹣3）x+1的图象与x轴的两个交点的横坐标分别为x1、x2，且x1＜2，x2＞2，如图所示，则a的取值范围是（）A．a＜1或a＞5 B．a＜C．a＜﹣或a＞5 D．﹣＜a＜12．不等式x2﹣9＜0的解集为（）A．{x|x＜﹣3} B．{x|x＜3} C．{x|x＜﹣3或x＞3} D．{x|﹣3＜x＜3}3．若不等式ax2+ax﹣1≤0的解集为实数集R，则实数a的取值范围为（）A．0≤a≤4B．﹣4＜a＜0 C．﹣4≤a＜0 D．﹣4≤a≤04．不等式﹣x2+4x﹣3＞0的解集是（）A．（1，3）B．（﹣1，3）C．（﹣∞，1）∪（3，+∞）D．[1，3]5．不等式（x﹣5）（x+1）＞0的解集是（）A．{x|x≥5，或x≤﹣1} B．{x|x＞5，或x＜﹣1}C．{x|﹣1＜x＜5} D．{x|﹣1≤x≤5}6．不等式8x2﹣6x+1＜0的解集为（）A．B．C．D．7．不等式x2﹣10x+25＞0的解集为（）A．（5，+∞）B．（﹣∞，5）∪（5，+∞）C．（﹣5，5）D．∅8．已知不等式ax2+bx+c＞0的解集是{x|α＜x＜β}（α＞0），则不等式cx2+bx+a＞0的解集是（）A．（，）B．（﹣∞，）∪（，+∞）C．{x|α＜x＜β}D．（﹣∞，α）∪（β，+∞）9．已知关于x的不等式ax2﹣（a+1）x+1＜0，a∈R．（1）若不等式的解集为{x|＜x＜1}，求a；（2）当a∈R时，解此不等式．【答案】：【实践研究】（1）.解：（1）不等式f（x）＜0，即x2﹣5ax+6a2＜0，可化为（x﹣2a）（x﹣3a）＜0，当a＝0时，不等式为x2＜0，其解集为∅；当a＞0时，2a＜3a，不等式的解集为{x|2a＜x＜3a}；当a＜0时，2a＞3a，不等式的解集为{x|3a＜x＜2a}；（2）不等式f（x）≥2a可化为x2﹣5ax+6a2﹣2a≥0，由该不等式的解集为{x|x≥4或x≤1}知，1和4是不等式对应方程的两个实数根，所以，解得a＝1．（2）解：（1）f（x）＞0即2x2﹣x＞0，即x（2x﹣1）＞0，解得x＞或x＜0，即解集为（﹣∞，0）∪（，+∞）；（2）关于x的不等式f（x）﹣m＞0的解集为（1，2），即为1，2为方程（m+1）x2﹣mx﹣1＞0的两根，可得1+2＝，1•2＝﹣，解得m＝﹣．【课后巩固】(1)B (2) D (3) D (4) A (5) B (6) A (7) B (8)A(9) 解：（1）关于x的不等式ax2﹣（a+1）x+1＜0的解集为{x|＜x＜1}，所以，解得a＝2；（2）不等式ax2﹣（a+1）x+1＜0等价于（ax﹣1）（x﹣1）＜0，a∈R；当a＝0时，不等式化为x﹣1＞0，解得x＞1；当a＞0时，不等式等价于（x﹣）（x﹣1）＜0，若0＜a＜1，则＞1，解得1＜x＜；若a＝1，则＝1，解得x∈∅；若a＞1，则＜1，解得＜x＜1；当a＜0时，不等式等价于（x﹣）（x﹣1）＞0，且＜0＜1，解得x＜或x＞1；综上，a＝0时，不等式的解集为（1，+∞），0＜a＜1时，不等式的解集为（1，）；a＝1时，不等式的解集为空集；a＞1时，不等式的解集为（，1）；a＜0时，不等式的解集为（﹣∞，）∪（1，+∞）．。

2020新版新高一暑期衔接数学讲义

新高一衔接教材数学新版高一暑期衔接数学课程第1讲数与式1910+⨯的正整数n ，有1(1)n n ++第2讲一元二次函数与二次不等式第3讲一元二次方程与韦达定理第4讲基本不等式【内容概述】基本不等式2a bab +≤1、若a,b ∈R ,则a 2+b 2≥2ab ,当且仅当a=b 时取等号.2、如果a,b 是正数，那么).""(2号时取当且仅当==≥+b a ab ba 变形：有:a+b ≥ab 2；ab ≤22⎪⎭⎫⎝⎛+b a ,当且仅当a=b 时取等号.3、如果a,b ∈R+,a ·b=P (定值),当且仅当a=b 时,a+b 有最小值P 2;如果a,b ∈R+,且a+b=S (定值),当且仅当a=b 时,ab 有最大值42S .注：1）当两个正数的积为定值时，可以求它们和的最小值，当两个正数的和为定值时，可以求它们的积的最小值，正所谓“积定和最小，和定积最大”． 2）求最值的重要条件“一正，二定，三取等” 4、常用不等式有：1）2222211a b a b ab a b++≥≥≥+(根据目标不等式左右的运算结构选用) ； 2）a 、b 、c ∈R ，222a b c ab bc ca ++≥++（当且仅当a b c ==时，取等号）； 3）若0,0a b m >>>，则b b ma a m+<+（糖水的浓度问题）。

变式1: 变式：（配凑项与系数） 1. 已知54x <，求函数14245y x x =-+-的最大值。

2. 当时，求(82)y x x =-的最大值。

3.（耐克函数型）求2710(1)1x x y x x ++=>-+的值域。

注意：在应用基本不等式求最值时，若遇等号取不到的情况，应结合函数()af x x x=+的单调性。

4.（用耐克函数单调性）求函数2254x y x +=+的值域。

5.（条件不等式）1）若实数满足2=+b a ，则b a 33+的最小值是 .2）已知0,0x y >>，且191x y+=，求x y +的最小值。

年高一数学衔接09一元二次不等式的解法

高一暑假衔接09：一元二次不等式的解法教学案一、主讲知识【知识点讲解1】一元二次不等式1 、一元二次不等式的概念(1)只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的不等式，称为不等式．(2)能使不等式成立的未知数x的一个值称为不等式的一个解．(3)不等式所有解的集合称为解集．2、“三个二次”的关系一元二次不等式与相应的一元二次方程、二次函数的联系，如下表.有两相等实根3、一元二次不等式的解法解一元二次不等式的步骤：(1)化为基本形式ax2＋bx＋c>0或ax2＋bx＋c<0(其中a>0)；(2)计算Δ＝b2－4ac，以确定一元二次方程ax2＋bx＋c＝0是否有解；(3)有根求根；(4)根据图象写出不等式的解集．【讲透例题1】一元二次不等式的解法例1、（1）求不等式4x 2－4x ＋1>0的解集．（2）解不等式－x 2＋2x －3>0.【相似题练习1】1、求不等式2x 2－3x －2≥0的解集．2、求不等式－3x 2＋6x >2的解集．3、求解下列一元二次不等式 (1)求不等式2560x x -+>的解集．(2)求不等式29610x x -+>的解集．(3) 求不等式2230x x -+->的解集．4、已知集合{2,1,0,1,2}A =--，{(1)(2)0}B x x x =-+>，则A B 的子集个数为（）A ．2B ．4C ．6D ．85、已知集合{}2280P x x x =-->，{}Q x x a =≥，若PQ R =，则实数a 的取值范围是______，若P Q Q ⋂=，则实数a 的取值范围是______【知识点讲解2】含参数的二次不等式形如()22120x a x a +--≤，除了主元变量x 以外，还含有其他的变量（参变量）a 的不等式，我们称为含参数的一元二次不等式．规律方法：在解答含有参数的一元二次不等式时，往往要对参数进行分类讨论，为了做到分类“不重不漏”，一般从如下三个方面进行考虑：（1）关于不等式类型的讨论：二次项的系数a >0，a =0，a <0；（2）关于不等式对应的方程的根的讨论：两根(∆>0)，一根(∆=0)，无根(∆<0)；在有根的前提下，恰当的使用十字相乘可有效简化运算．（3）关于不等式对应的方程根的大小的讨论：121212,,x x x x x x >=<．【讲透例题2】含参数的二次不等式例1、解关于x 的不等式ax 2－(a ＋1)x ＋1＜0.【相似题练习2】1、已知0a <，关于x 的一元二次不等式()2220ax a x -++>的解集为（）A ．{2|x x a<，或}1x > B ．2|1x x a ⎧⎫<<⎨⎬⎩⎭C ．{|1x x <，或2x a ⎫>⎬⎭D ．2|1x x a ⎧⎫<<⎨⎬⎩⎭2、（多选）下列四个不等式中，解集为∅的是（） A ．210x x -++≤B ．22340x x -+<C ．23100x x ++≤D ．2440(0)x x a a a ⎛⎫-+-+>> ⎪⎝⎭3、解关于x的不等式(x－a)(x－a2)＜0.4、解关于x的不等式()() 21100 ax a x a-++>>．5、解关于x的不等式56x2＋ax－a2<0.【讲透例题3】“三个二次”间对应关系的应用例1、已知关于x的不等式x2＋ax＋b<0的解集为{x|1＜x＜2}，试求关于x的不等式bx2＋ax＋1>0的解集．【相似题练习3】1、已知不等式ax2－bx＋2<0的解集为{x|1<x<2}，求a，b的值．3、关于x 的不等式22280(0)x ax a a --<>的解集为12(,)x x ，且：2115x x -=，则a =（）A ．52B ．72C ．154D ．1524、若关于x 的不等式2260tx x t -+<的解集(,)(1,)a -∞+∞，则a 的值为______．【知识点讲解4】一元二次不等式恒成立问题不等式的解集为R (或恒成立)的条件【讲透例题4】一元二次不等式恒成立问题例1、要使函数2(1)y mx mx m =++-的值恒为负值，求m 的取值范围．2、不等式x 2＋ax ＋4＜0的解集不为空集，则a 的取值范围是_______3、“不等式x 2−x +m >0在R 上恒成立”的充要条件是（） A ．m >14B ．m <14C ．m <1D ．m >14、对任意实数x ，不等式()()222240a x a x -+--<恒成立，则a 的取值范围是（）． A ．22a -<≤B ．22a -≤≤C ．2a <-或2a ≥D ．2a ≤-或2a ≥5、已知命题“x R ∃∈，210mx x -+<”是假命题，则实数m 的取值范围是_________.6、不等式x 2−kx +1>0对任意实数x 都成立，则实数k 的取值范围是__________．7、已知关于x 的不等式2260,(0)kx x k k -+<≠（1）若不等式的解集是{}|32x x x <->-或，求k 的值；（2）若不等式的解集是R ，求k 的取值范围；（3）若不等式的解集为∅，求k 的取值范围．二、课堂总结三个“二次”的关系b三、课堂练习1．一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0的根为2，－1，则当a <0时，不等式ax 2＋bx ＋c ≥0的解集为( ) A ．{x |x <－1或x >2} B ．{x |x ≤－1或x ≥2} C ．{x |－1<x <2}D ．{x |－1≤x ≤2}2．若0<t <1，则关于x 的不等式(t －x )(x －1t)>0的解集是( )A.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |1t <x <t B.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x >1t 或x <tC.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x <1t 或x >tD.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |t <x <1t3．若不等式mx 2＋2mx －4<2x 2＋4x 的解集为R ，则实数m 的取值范围是( ) A ．(－2,2)B ．(－2,2]C ．(－∞，－2)∪[2，＋∞)D ．(－∞，2)4．不等式－1<x 2＋2x －1≤2的解集是__________．5．若不等式x 2＋mx ＋1>0的解集为R ，则m 的取值范围是__________．6．解关于x 的不等式：x 2＋(1－a )x －a <0.7．若不等式ax 2＋bx ＋c ≥0的解集为⎭⎬⎫⎩⎨⎧≤≤-231|x x ，求关于x 的不等式cx 2－bx ＋a <0的解集．8．解关于x 的不等式ax 2－2(a ＋1)x ＋4>0.。

2020-2021学年新教材人教A版必修第一册一元二次不等式的应用学案

第2课时一元二次不等式的应用[目标] 1.理解三个二次的关系，会解与一元二次不等式有关的恒成立问题；2.能从实际问题中建立一元二次不等式的模型，并会应用其解决实际问题．[重点] 利用一元二次不等式解决恒成立问题及实际问题． [难点] 从实际问题中建立一元二次不等式的模型．知识点一简单的分式不等式的解法[填一填]若f (x )与g (x )是关于x 的多项式，则不等式f (x )g (x )>0(或<0，或≥0，或≤0)称为分式不等式．解分式不等式总的原则是利用不等式的同解原理将其转化为有理整式不等式(组)求解． (1)f (x )g (x )>0⇔f (x )g (x )>0； (2)f (x )g (x )<0⇔f (x )g (x )<0； (3)f (x )g (x )≥0⇔⎩⎪⎨⎪⎧f (x )g (x )≥0，g (x )≠0； (4)f (x )g (x )≤0⇔⎩⎪⎨⎪⎧f (x )g (x )≤0，g (x )≠0. [答一答]1．不等式2x －12x ＋1<0的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |－12<x <12.解析：原不等式可以化为(2x －1)(2x ＋1)<0，即⎝⎛⎭⎫x －12⎣⎡⎦⎤x －⎝⎛⎭⎫－12<0，故原不等式的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |－12<x <12.2．不等式x ＋2x －4≥0的解集是{x |x >4或x ≤－2}．解析：原不等式等价于⎩⎪⎨⎪⎧(x ＋2)(x －4)≥0，x －4≠0，解得x >4或x ≤－2，故不等式的解集是{x |x >4或x ≤－2}．知识点二不等式中的恒成立问题[填一填]1．不等式的解集为R 的条件2.有关不等式恒成立求参数的取值范围的方法[答一答]3．不等式f (x )＝ax 2＋bx ＋c <0(a >0)在{x |m ≤x ≤n }上恒成立，你能写出成立的等价条件吗？提示：⎩⎨⎧f (m )<0，f (n )<0知识点三一元二次不等式的实际应用[填一填]对于一元二次不等式的应用题，其解题关键在于如何把文字语言转换成数学语言，从而把实际问题转换成数学问题．同时注意问题答案的实际意义，还要增强解决问题的自信心，不要被问题的表面形式所迷惑．[答一答]4．解不等式应用题的解题步骤是什么？提示：(1)阅读理解、认真审题，把握问题中的关键量、找准不等关系； (2)引入数学符号，用不等式表示不等关系(或表示成函数关系)； (3)解不等式(或求函数最值)； (4)回扣实际问题．类型一简单的分式不等式的解法[例1] 解下列不等式． (1)2x －13x ＋1≥0；(2)2－x x ＋3>1. [分析] 等价转化为一元二次不等式或一元一次不等式组．[解] (1)∵2x －13x ＋1≥0⇔⎩⎪⎨⎪⎧(2x －1)(3x ＋1)≥0，3x ＋1≠0⇔⎩⎨⎧x ≤－13或x ≥12，x ≠－13⇔x <－13或x ≥12，∴原不等式的解集为{x |x <－13，或x ≥12}．(2)方法一：原不等式可化为⎩⎪⎨⎪⎧x ＋3>0，2－x >x ＋3，或⎩⎪⎨⎪⎧x ＋3<0，2－x <x ＋3⇔⎩⎪⎨⎪⎧ x >－3，x <－12，或⎩⎪⎨⎪⎧x <－3，x >－12.⇔－3<x <－12.∴原不等式的解集为{x |－3<x <－12}．方法二：原不等式可化为(2－x )－(x ＋3)x ＋3>0⇔－2x －1x ＋3>0⇔2x ＋1x ＋3<0⇔(2x ＋1)(x ＋3)<0⇔－3<x <－12.∴原不等式的解集为{x |－3<x <－12}．(1)对于比较简单的分式不等式，可直接转化为一元二次不等式或一元二次不等式组求解，但要注意分母不为零．(2)对于不等号右边不为零的较复杂的分式不等式，先移项再通分(不要去分母)，使之转化为不等号右边为零，然后再用上述方法求解．[变式训练1] (1)下列选项中，使不等式x <1x <x 2成立的x 的取值范围是( A )A ．x <－1B ．－1<x <0C ．0<x <1D ．x >1(2)不等式：x ＋2x 2＋x ＋1>1的解集为{x |－1<x <1}．解析：(1)由x <1x <x 2可得⎩⎨⎧x <1x，1x <x 2，即⎩⎪⎨⎪⎧x 2－1x<0，1－x 3x <0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x <－1或0<x <1，x <0或x >1，所以x <－1.(2)因为x 2＋x ＋1＝⎝⎛⎭⎫x ＋122＋34>0，所以原不等式可化为x ＋2>x 2＋x ＋1，即x 2－1<0，解得－1<x <1，所以原不等式的解集为{x |－1<x <1}．类型二不等式恒成立问题命题视角1：一元二次不等式在实数集上恒成立问题 [例2] 关于x 的不等式(a 2－1)x 2－(a －1)x －1<0的解集为R ，求实数a 的取值范围．[分析] a 2－1＝0时转化不等式求解→a 2－1≠0时数形结合转化→解不等式组→得解 [解] (1)若a 2－1＝0，即a ＝±1时，若a ＝1，不等式变化为－1<0，解集为R ；若a ＝－1，不等式变为2x －1<0，解集为{x |x <12}．∴a ＝1时满足条件．(2)若a 2－1≠0，即a ≠±1时，原不等式解集为R 的条件是⎩⎪⎨⎪⎧a 2－1<0，Δ＝[－(a －1)]2＋4(a 2－1)<0.解得－35<a <1.综上所述，当－35<a ≤1时，原不等式解集为R .[变式训练2] 若不等式(a －2)x 2＋2(a －2)x －4<0对一切x ∈R 恒成立，则a 的取值范围是－2<a ≤2.解析：当a －2＝0，即a ＝2时，不等式为－4<0，恒成立，解集为R ，∴a ＝2满足条件；当a －2≠0时，则原不等式解集为R 时，a 满足⎩⎪⎨⎪⎧a －2<0，Δ<0，解得－2<a <2.综上所述，a 的范围是－2<a ≤2.命题视角2：一元二次不等式在某特定范围上恒成立问题 [例3] 已知y ＝x 2＋ax ＋3－a ，若{x |－2≤x ≤2}，y ≥2恒成立，求a 的取值范围．[分析] 对于含参数的函数在某特定范围上函数值恒大于等于或小于等于常数问题，通常利用函数最值转化．[解] 若x ∈{x |－2≤x ≤2}，y ≥2恒成立可转化为： ∀x ∈{x |－2≤x ≤2}，y min ≥2⇔⎩⎪⎨⎪⎧－a 2<－2，y min ＝7－3a ≥2或⎩⎨⎧－2≤－a2≤2，y min＝3－a －a24≥2或⎩⎪⎨⎪⎧－a 2>2，y min ＝7＋a ≥2，解得a 的取值范围为－5≤a ≤－2＋2 2.a ≥y 或a ≤y 型不等式是恒成立问题中最基本的类型，由a ≥y 在x ∈D 上恒成立，则a ≥y max (x ∈D ，y 存在最大值)；a ≤y 在x ∈D 上恒成立，则a ≤y min (x ∈D ，y 存在最小值).[变式训练3] 若∀1≤x ≤4，不等式x 2－(a ＋2)x ＋4≥－a －1恒成立，求实数a 的取值范围．解：∀1≤x ≤4，不等式x 2－(a ＋2)x ＋4≥－a －1恒成立，即∀1≤x ≤4，a (x －1)≤x 2－2x ＋5恒成立．①当x ＝1时，不等式为0≤4恒成立，此时a ∈R ； ②当1<x ≤4时，a ≤x 2－2x ＋5x －1＝x －1＋4x －1.∵1<x ≤4，∴0<x －1≤3， ∴x －1＋4x －1≥2(x －1)·4x －1＝4(当且仅当x －1＝4x －1，即x ＝3时取等号)，∴a ≤4.综上，实数a 的取值范围为{a |a ≤4}．类型三一元二次不等式的实际应用[例4] 某农贸公司按每担200元的价格收购某农产品，并每100元纳税10元(又称征税率为10个百分点)，计划可收购a 万担，政府为了鼓励收购公司多收购这种农产品，决定将征税率降低x (x ≠0)个百分点，预测收购量可增加2x 个百分点．(1)写出降税后税收y (万元)与x 的函数关系式；(2)要使此项税收在税率调节后，不少于原计划税收的83.2%，试确定x 的取值范围． [解] (1)降低税率后的税率为(10－x )%，农产品的收购量为a (1＋2x %)万担，收购总金额为200a (1＋2x %)万元．依题意得y ＝200a (1＋2x %)(10－x )%＝150a (100＋2x )(10－x )(0<x <10)．(2)原计划税收为200a ×10%＝20a (万元)．依题意得150a (100＋2x )(10－x )≥20a ×83.2%，化简得x 2＋40x －84≤0，解得－42≤x ≤2. 又因为0<x <10，所以0<x ≤2. 故x 的取值范围是0<x ≤2.解不等式应用题的步骤[变式训练4] 某商品每件的成本价为80元，售价为100元，每天售出100件．若售价降低x 成(1成＝10%)，则售出商品的数量就增加85x 成．要求售价不能低于成本价．(1)设该商品一天的销售额为y 元，试求y 与x 之间的函数关系式，并写出x 的取值范围； (2)若要求该商品一天的销售额至少为10 260元，求x 的取值范围．解：(1)若售价降低x 成，则降低后的商品售价为100⎝⎛⎭⎫1－x10元，售出商品的数量为100⎝⎛⎭⎫1＋850x 件，由题意，得y 与x 之间的函数关系式为y ＝100⎝⎛⎭⎫1－x 10·100⎝⎛⎭⎫1＋850x . 因为售价不能低于成本低，所以100⎝⎛⎭⎫1－x10－80≥0，解得x ≤2，所以y ＝20(10－x )(50＋8x )，x 的取值范围为{x |0≤x ≤2}．(2)由题意，得20(10－x )(50＋8x )≥10 260，化简得8x 2－30x ＋13≤0，解得12≤x ≤134，因为0≤x ≤2，所以x 的取值范围是12≤x ≤2.1．若集合A ＝{x |－1≤2x ＋1≤3}，B ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x|x －2x ≤0 ，则A ∩B ＝( B )A ．{x |－1≤x <0}B ．{x |0<x ≤1}C ．{x |0≤x ≤2}D ．{x |0≤x ≤1}解析：∵A ＝{x |－1≤x ≤1}，B ＝{x |0<x ≤2}，∴A ∩B ＝{x |0<x ≤1}． 2．已知不等式x 2＋ax ＋4<0的解集为空集，则a 的取值范围是( A ) A ．－4≤a ≤4 B ．－4<a <4 C ．a ≤－4或a ≥4D ．a <－4或a >4解析：依题意应有Δ＝a 2－16≤0，解得－4≤a ≤4，故选A.3．不等式x ＋1x ≤3的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x <0或x ≥12.解析：x ＋1x ≤3⇔x ＋1x －3≤0⇔2x －1x ≥0⇔x (2x －1)≥0且x ≠0⇔x <0或x ≥12.4．已知函数f (x )＝x 2＋mx －1，若对于任意的m ≤x ≤m ＋1都有f (x )<0，则实数m 的取值范围为－22<m <0. 解析：根据题意得⎩⎪⎨⎪⎧f (m )＝m 2＋m 2－1<0，f (m ＋1)＝(m ＋1)2＋m (m ＋1)－1<0，解得－22<m <0. 5．已知当2≤x ≤3时，不等式2x 2－9x ＋a <0恒成立．求a 的取值范围．解：∵当2≤x ≤3时，2x 2－9x ＋a <0恒成立， ∴当2≤x ≤3时，a <－2x 2＋9x 恒成立．令g (x )＝－2x 2＋9x ，∵2≤x ≤3，且对称轴方程为x ＝94，∴g (x )min ＝g (3)＝9，∴a <9. ∴a 的取值范围为a <9.——本课须掌握的四大问题1．对于比较简单的分式不等式，可直接转化为一元二次不等式或一元二次不等式组求解，但要注意分母不为零．对于不等号右边不为零的较复杂的分式不等式，先移项再通分(不要去分母)，使之转化为不等号右边为零，然后再用上述方法求解．2．对于有的恒成立问题，分离参数是一种行之有效的方法．这是因为将参数予以分离后，问题往往会转化为函数问题，从而得以迅速解决．当然这必须以参数容易分离作为前提．分离参数时，经常要用到下述简单结论：(1)a >y 恒成立⇔a >y max ；(2)a <y 恒成立⇔a <y min .3．解一元二次不等式应用题的关键在于构造一元二次不等式模型，选择其中起关键作用的未知量为x ，用x 来表示其他未知量，根据题意，列出不等关系再求解．4．一元二次方程根的分布问题要注意数形结合，从开口方向，对称轴位置，判别式等方面考虑．。

2020-2021学年高中数学北师大版新教材必修一同步：1.4.2 一元二次不等式及其解法

【解题策略】解不含参数的一元二次不等式的一般步骤 (1)化标准.通过对不等式的变形,使不等式右侧为0,使二次项系数为正. (2)判别式.对不等式左侧因式分解,若不易分解,则计算对应方程的判别式. (3)求实根.求出相应的一元二次方程的根或根据判别式说明方程有无实根. (4)画草图.根据一元二次方程根的情况画出对应的二次函数的草图. (5)写解集.根据图象写出不等式的解集.
【思考】 (1)不等式x2+ 2 >0是一元二次不等式吗?为什么?
x
提示:不是,一元二次不等式一定为整式不等式. (2)一元二次不等式的一般形式中“a≠0”可以省略吗?请说明理由.
提示:不可以,若a=0,就不是一元二次不等式了.
2.一元二次函数与一元二次方程的解、不等式的解集的对应关系
Δ=b2-4ac
ax2+bx+c=0(a>0) 的根
Δ>0
b
x1,2= 2a
Δ=0
b
x1=x2=- 2a
Δ<0 没有实数根
函数y=ax2+bx+c (a>0)的图象
Δ=b2-4ac
ax2+bx+c>0(a>0) 的解集
ax2+bx+c<0(a>0) 的解集
Δ>0 _{_x_|_x_<_x_1_或__x>__x_2}_
B.{x|-4<x<3}
C.{x|x≤-4或x≥3} D.{x|-4≤x≤3}
【解析】选C.由题意得,函数满足x2+x-12≥0,
即(x-3)(x+4)≥0,
解得x≤-4或x≥3,
所以函数的定义域为{x|x≤-4或x≥3}.

2021-2022学年新高一数学暑期衔接讲义-第3讲不等式的进阶——一元二次不等式(学生版)

进门测试
①关于x的二次方程x2+2(m+3)x+2m+14=0有两根，且一个大于1，一个小于1，求m的范围；
②关于x的二次方程x2+2(m+3)x+2m+14=0有两根，且在内，求m的范围；
③关于x的二次方程x2+2(m+3)x+2m+14=0有两根，且在[1，3]之外，求m的范围；
④关于x的二次方程mx2+2(m+3)x+2m+14=0有两根，且一个大于4，一个小于4，求m的范围．
课堂导入
柯西
柯西1789年8月21日生于巴黎，他的父亲路易·弗朗索瓦·柯西是法国波旁王朝的官员，在法国动荡的政治漩涡中一直担任公职．由于家庭的原因，柯西本人属于拥护波旁王朝的正统派，是一位虔诚的天主教徒．
他在纯数学和应用数学的功力是相当深厚的，很多数学的定理和公式也都以他的名字来称呼，如柯西不等式、柯西积分公式...在数学写作上，他是被认为在数量上仅次于欧拉的人，他一生一共著作了789篇论文和几本书，其中有些还是经典之作，不过并不是他所有的创作质都很高，因此他还曾被人批评高产而轻率，这点倒是与数学王子相反，据说，法国科学院''会刊''创刊的时候，由于柯西的作品实在太多，以致于科学院要负担很大的印刷费用，超出科学院的预算，因此，科学院后来规定论文最长的只能够到四页，所以，柯西较长的论文只得投稿到其他地方．
精讲精练。

专题11 一元二次不等式及其解法-2020-2021学年新高一数学暑假衔接特训班专题(人教版)

有两相异实根 x1，x2(x1<x2)
{x|x<x1 或 x>x2}
{x|x1<x<x2}
有两相等实根 x1＝x2＝－ b
2a {x|x≠x1}
∅
没有实数根 {x|x∈R} ∅
2. 用程序框图来描述一元二次不等式 ax2＋bx＋c>0 (a>0)的求解的算法过程为
1
3. 上述不等式 ax2＋bx＋c>0 (<0)中的 a 均大于 0，若 a<0，则可先进行转化，使 x2 的系数为正，但一定注意在转化过程中，不等号的变化.
【重点与难点】
一元二次不等式的解集及解集的确定一元二次不等式 ax2＋bx＋c<0 (a≠0)的解集的确定受 a 的符号、b2－4ac 的符号的影响，且与相应的二次函数、一元二次方程有密切联系，可结合相应的函数 y＝ax2＋bx＋c (a≠0)的图象，数形结合求得不等式的解集. 若一元二次不等式经过不等式的同解变形后，化为 ax2＋bx＋c>0(或<0)(其中 a>0)的形式，其对应的方程 ax2＋bx＋c＝0 有两个不等实根 x1，x2，(x1<x2) (此时Δ＝b2－4ac>0)，则可根据“大于取两边，小于夹中间” 求解集.
ax2＋bx＋1>0
的解集为
x|－1<x<1 3
，则
ab
的值为(
C)
A.－6 B.－5 C.6 D.5
【解析】∵x＝－1，1是方程 ax2＋bx＋1＝0 的两根， 3
∴－b＝－1＋1，∴b＝2，又－1×1＝1，
a
3 a3
3a
∴a＝－3，b＝－2，∴ab＝6.
4.不等式 x2－3x＋2<0 的解集为 ( D )

新教材高中数学第1章预备知识4一元二次不等式的应用学案含解析北师大版必修第一册

新教材高中数学：4.3 一元二次不等式的应用学习目标核心素养掌握一元二次不等式解法的实际应用．(重点、难点)通过一元二次不等式解法的实际应用，培养数学建模素养．1．分式不等式的解法类型同解不等式ax ＋bcx ＋d>0 (其中a ，b ，c ，d 为常数)法一：⎩⎪⎨⎪⎧ax ＋b >0cx ＋d >0，或⎩⎪⎨⎪⎧ax ＋b <0cx ＋d <0；法二：()ax ＋b ()cx ＋d >0.ax ＋bcx ＋d≥0 (其中a ，b ，c ，d 为常数)法一：⎩⎪⎨⎪⎧ax ＋b ≥0cx ＋d >0，或⎩⎪⎨⎪⎧ax ＋b ≤0cx ＋d <0；法二：⎩⎨⎧()ax ＋b ()cx ＋d ≥0cx ＋d ≠0.ax ＋bcx ＋d>k (其中a ，b ，c ，d ，k 为常数)先移项转化为()a －ck x ＋()b －kd cx ＋d>0，再求解对于分式不等式的其他类型，可仿照上述方法求解．思考：已知集合A ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫ |x x ＋a x ＋b >0，则集合∁R A 与⎩⎨⎧⎭⎬⎫|x x ＋a x ＋b ≤0相等吗？提示：不相等，∁R A ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫ |x x ＋ax ＋b ≤0或x ＋b ≠0. 2．建立一元二次不等式模型的步骤(1)阅读理解，认真审题，分析题目中有哪些已知量和未知量，找准不等关系． (2)设出起关键作用的未知量，用不等式表示不等关系(或表示成函数关系). (3)解不等式(或求函数的最值). (4)回扣实际问题．1．设全集I ＝R ，M ＝{x |x 2>4}，N ＝{x |2x －1≥1}，如图，则图中阴影部分所表示的集合为( )A ．{x |x <2}B ．{x |－2<x <1}C ．{x |－2≤x ≤2}D ．{x |1<x ≤2}D [图中阴影部分就是M 的补集与N 的交集，先化简集合M 和N ，通过运算可知应选D.] 2．不等式(x 2－7x ＋12)(x 2＋x ＋1)＞0的解集为( ) A ．(－∞，－4)∪(－3，＋∞) B ．(－∞，3)∪(4，＋∞) C ．(－4，－3) D ．(3，4)B [∵x 2＋x ＋1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋122＋34＞0恒成立．∴原不等式等价于x 2－7x ＋12＞0，∴不等式的解集为{x |x ＜3或x ＞4}．]3．某产品的总成本y (万元)与产量x (台)之间的函数关系式是y ＝3000＋20x －0.1x 2()0<x <240，x ∈N *，若每台产品的售价为25万元，则生产者不亏本时(销售收入不小于总体)的最低产量是( )A ．100台B ．120台C ．150台D ．180台C [由题意知：利润为25x －()3000＋20x －0.1x 2＝0.1x 2＋5x －3000，由0.1x 2＋5x －3000≥0，得x ≥150或x ≤－200(舍去)，故选C.]4．一服装厂生产某种风衣，月产量x (件)与售价P (元/件)之间的关系为P ＝160－2x ，生产x 件的成本总数R ＝500＋30x (元)，假设生产的风衣当月全部售出．试问该厂的月产量为多少时，每月获得的利润不少于1 300 元？[解] 设该厂月获得的利润为y 元，则y ＝(160－2x )x －(500＋30x )＝－2x 2＋130x －500(0＜x ＜80).由题意知y ≥1 300，所以－2x 2＋130x －500≥1 300，解得20≤x ≤45.所以当月产量在20至45件(包括20和45)之间时，月获得的利润不少于1 300元．分式不等式的解法【例1】解不等式x ＋1x≤3. [思路点拨] 先移项并通分，再利用商的符号法则将其转化为整式不等式． [解] 原不等式可化为x ＋1x －3≤0，即1－2xx≤0， ∴2x －1x≥0，∴⎩⎪⎨⎪⎧x （2x －1）≥0，x ≠0，解得x ≥12或x <0.故原不等式的解集为{x |x ≥12或x <0}．分式不等式一般解题步骤(1)移项并通分，不等式右侧化为“0”； (2)转化为同解的整式不等式； (3)解整式不等式．[跟进训练] 1．不等式x －2x －1≥0的解集是( ) A ．[2，＋∞) B ．(－∞，1]∪(2，＋∞) C ．(－∞，1)D ．(－∞，1)∪[2，＋∞)D [原不等式可化为⎩⎪⎨⎪⎧（x －2）（x －1）≥0x －1≠0解得x ≥2或x ＜1，故原不等式的解集为(－∞，1)∪[2，＋∞).]不等式恒成立问题 [探究问题]设y ＝ax 2＋bx ＋c ，x ∈R ，1．若y >0恒成立，则y ＝ax 2＋bx ＋c ，x ∈R 的图象有什么特征？提示：在x 轴上方．2．若y >0恒成立，则a ，b ，c 需要满足什么条件？提示：⎩⎪⎨⎪⎧a ＝b ＝0c >0 或⎩⎪⎨⎪⎧a >0b 2－4ac <0 . 3．由y ＜0的解集是{}x |x 1<x <x 2，你可以获得哪些结论？提示：(1)a >0；(2)Δ＝b 2－4ac >0；(3)x 1＋x 2＝－ba ，x 1x 2＝c a等．【例2】若()m ＋1x 2－()m －1x ＋3()m －1<0对任意实数x 恒成立，求实数m 的取值范围．[思路点拨] 结合二次函数的图象、一元二次方程的根与一元二次不等式的解集间的关系，找出不等式恒成立的条件．[解] 由题意可知当m ＋1＝0，即m ＝－1时，原不等式可化为2x －6<0，解得x <3，不符合题意，应舍去．当m ＋1≠0时，若()m ＋1x 2－()m －1x＋3()m －1<0对任何实数x 恒成立，则有⎩⎪⎨⎪⎧m ＋1<0，()m －12－12()m ＋1()m －1<0，解得m <－1311.综上所述，实数m 的取值范围是⎝⎛⎭⎪⎫－∞，－1311.1．若关于x 的不等式x 2－ax －a ≤－3的解集不是空集，则实数a 的取值范围是________． (－∞，－6]∪[2，＋∞) [x 2－ax －a ≤－3，即x 2－ax －a ＋3≤0.它的解集不是空集，则y ＝x 2－ax －a ＋3的图象与x 轴有交点，所以Δ＝(－a )2－4×1×(－a ＋3)≥0，解得a ≤－6或a ≥2. ]2．已知不等式ax 2＋4x ＋a ＞1－2x 2对一切实数x 恒成立，求实数a 的取值范围． [解] 原不等式等价于(a ＋2)x 2＋4x ＋a －1＞0对一切实数x 恒成立，显然a ＝－2时，解集不是R ，因此a ≠－2，从而有⎩⎪⎨⎪⎧a ＋2＞0Δ＝42－4（a ＋2）（a －1）＜0，整理得⎩⎪⎨⎪⎧a ＞－2，（a －2）（a ＋3）＞0，所以⎩⎪⎨⎪⎧a ＞－2，a ＜－3或a ＞2，所以a ＞2.故a 的取值范围是(2，＋∞).一元二次不等式的实际应用【例3】某农贸公司按每担200元收购某农产品，并按每100元纳税10元(又称征税率为10个百分点)，计划可收购a 万担，政府为了鼓励收购公司多收购这种农产品，决定将征税率降低x ()x ≠0个百分点，预测收购量可增加2x 个百分点．(1)写出税收y (万元)与x 的函数关系式；(2)要使此项税收在税率调节后，不少于原计划税收的83.2%，试确定x 的取值范围． [思路点拨]原计划降税后价格(元/担)200 200税率 10%()10－x %()0<x <10收购量(万担) aa ()1＋2x %收购总金额(万元) 200a 200·a ()1＋2x % 税收y (万元)200a ·10%200·a ()1＋2x %()10－x %[解] (1)降低税率后的税率为()10－x %，农产品的收购量为a ()1＋2x %万担，收购总金额为200a (1＋2x %).依题意：y ＝200a ()1＋2x %()10－x %＝150a (100＋2x )(10－x )(0<x <10).(2)原计划税收为200a ·10%＝20a (万元). 依题意得：150a ()100＋2x ()10－x ≥20a ×83.2%，化简得，x 2＋40x －84≤0，∴－42≤x ≤2.又∵0<x <10，∴0<x ≤2. ∴x 的取值范围是{}x |0<x ≤2.1．解应用题的关键是通过仔细阅读，弄清题中的数量关系，提炼出数学模型，解之即可，但需要注意问题的“实际含义”．2．列表法比较清晰地反映了各个量之间的关系，值得推广．[跟进训练]2．某种商品原来定价为每件p 元，每月将卖出n 件．假若定价上涨x 成(x 成即x10，0<x≤10)，每月卖出数量将减少y 成，而售货金额变成原来的z 倍．若y ＝23x, 探求使售货金额比原来有所增加的x 的取值范围．[解] 依题意，涨价后的售货金额为npz ＝p ⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋x 10·n ·⎝ ⎛⎭⎪⎫1－y 10，∴np ⎝⎛⎭⎪⎫1 ＋ x 10⎝ ⎛⎭⎪⎫1－y 10 > np . ∵n ＞0，p ＞0，y ＝23x ，∴⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋x 10⎝ ⎛⎭⎪⎫1－115x ＞1. 整理得x 2－5x ＜0，解得0＜x ＜5. 又∵0＜x ≤10，∴0＜x ＜5. 故x 的取值范围是{x |0＜x ＜5}．1．解分式不等式时．先将其化为右侧为零的形式，利用商的符号法则再将其化为整式不等式，通过解整式不等式来求解．2．应用一元二次不等式解决实际问题的关键是把实际问题转化为数学模型，解不等式时，要注意变量的实际意义．3．有关不等式恒成立求参数的取值范围，通常有两种处理方法：(1)将参变量分离，构造关于变量的函数，转化为求函数的最大(小)值，从而建立关于参变量的不等式．(2)若参变量不能分离，则应构造关于变量的函数，并结合图象建立关于参变量的不等式求解．解答本题的关键是根据题目条件，构建恰当的函数，将不等式问题转化为函数问题处理．1．思考辨析(正确的画“√”，错误的画“×”) (1)不等式1x＞1的解集是{x |x ＜1}．( )(2)若a ＜0，则关于x 的不等式ax 2＋bx ＋c ≤0的有解集的充要条件是Δ＝b 2－4ac ≥0.( )(3)若关于x 的不等式ax 2＋bx ＋c ＞0在R 上恒成立，则⎩⎪⎨⎪⎧a ＞0，b 2－4ac ＜0.( )[答案] (1)× (2)√ (3)×2．将进货单价为80元的商品按90元一个售出时，能卖出400个，每涨价1元，其销售量就减少20个，为了使商家利润有所增加，售价所在的范围应是( )A ．(90，100)B ．(90，110)C ．(100，110)D ．(80，100)A [设每个涨价x 元，则y 表示涨价后的利润与原利润之差，则y ＝(10＋x )(400－20x )－10×400＝－20x 2＋200x .要使商家利润有所增加，则必须使y >0，即x 2－10x <0，得0<x <10.∴售价应在(90，100)范围之内．] 3．不等式2x ＋1x －1≤1的解集为________．{x |－2≤x <1} [2x ＋1x －1≤1⇔2x ＋1x －1－1≤0⇔x ＋2x －1≤0⇔⎩⎪⎨⎪⎧（x ＋2）（x －1）≤0，x ≠1⇔－2≤x <1.所以原不等式的解集是{x |－2≤x <1}．]4．已知集合A ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪2x x －2≤1，集合B ＝{x |x 2－(2m ＋1)x ＋m 2＋m ＜0}，(1)求集合A 、B ；(2)若B ⊆A ，求m 的取值范围． [解] (1)2x x －2≤1⇔x ＋2x －2≤0⇔－2≤x ＜2，即A ＝{x |－2≤x ＜2}， x 2－(2m ＋1)x ＋m 2＋m ＜0⇔(x －m )[x －(m ＋1)]＜0⇔m ＜x ＜m ＋1，即B ＝{x |m ＜x ＜m ＋1}． (2)B ⊆A ⇔⎩⎪⎨⎪⎧m ≥－2m ＋1≤2⇒－2≤m ≤1.。

高一数学衔接班第4课――一元二次方程的根与系数

高一数学衔接班第4课――一元二次方程的根与系数高一数学衔接班第4课――一元二次方程的根与系数高一数学衔接班第4课――一元二次方程的根与系数一、学习目标：1、掌握一元二次方程的根的判别式，并能运用根的判别式判断方程解的个数。

2、掌握一元二次方程的根与系数的关系，即韦达定理，并能运用韦达定理处理一些简单问题。

二、学习重点：一元二次方程的根与系数的关系三、课程精讲：1、旧知回顾：一元二次方程ax bx c 0 (a 0)的两个根为：x1b22a2、新知探秘：x2b 2a对于一元二次方程ax bx c 0 (a 0)，有没有实数根的关键因素是什么？知识点一：一元二次方程的根的判别式一元二次方程ax bx c 0 (a0)2（1）当b 4ac 022（2）当b 4ac 0（3）当b 4ac 0222由于可以用b 4ac的取值情况来判定一元二次方程的根的情况．因此，把b 4ac叫做一元二次方程ax bx c 0 (a 0)的根的判别式，表示为：b 4ac 不解方程，判断下列方程的实数根的个数：22（1）2x 3x 1 0 （2）4y 9 12y （3）5(x 3) 6x 0 思路导航：可以用根的判别式来判断一元二次方程解的个数2222解：（1）( 3) 4 2 1 1 0，∴ 原方程有两个不相等的实数根．（2）原方程可化为：4y 12y 9 0( 12) 4 4 9 0，∴ 原方程有两个相等的实数根．222（3）原方程可化为：5x 6x 15 02高一数学衔接班第4课――一元二次方程的根与系数( 6) 4 5 15 264 0，∴ 原方程没有实数根．2点津：在使用判别式时，务必先把方程变形为一元二次方程的一般形式．已知关于x的一元二次方程3x 2x k 0，根据下列条件，分别求出k的取值范围：（1）方程有两个不相等的实数根；（2）方程有两个相等的实数根思路导航：已知一元二次方程解的个数则可知判别式的值与零的大小关系，从而求出k的取值范围。

新高一衔接教材数学学案第四讲一元二次方程

新高一衔接教材数学学案第四讲一元二次方程一、知识要点现行初中数学教材主要要求学生掌握一元二次方程的概念、解法及应用，而一元二次方程的根的判断式及根与系数的关系，在高中教材中的二次函数、不等式及解析几何等章节有着许多应用。

本节将对一元二次方程根的判别式、根与系数的关系进行阐述。

1.一元二次方程的根的判别式：一元二次方程20 (0)ax bx c a ++=≠，用配方法将其变形为： .(1) 当240b ac ->时，方程有两个不相等的实数根：；(2) 当240b ac -=时，方程有两个相等的实数根：；(3) 当240b ac -<时，方程没有实数根.由于可以用24b ac -的取值情况来判定一元二次方程的根的情况。

因此，把24b ac -叫做一元二次方程20 (0)ax bx c a ++=≠的根的，表示为Δ= .2.一元二次方程的根与系数的关系：一元二次方程20 (0)ax bx c a ++=≠的两个根为 1x =a ac b b 242-+-, 2x =aac b b 242---. 故=+21x x = ，=⋅21x x = .定理如果一元二次方程20 (0)ax bx c a ++=≠的两个根为12,x x ，那么1212,b c x x x x a a+=-= 说明一元二次方程根与系数的关系由十六世纪的法国数学家韦达发现，所以通常把此定理称为”韦达定理”.上述定理成立的前提是0∆≥.二、例题讲练例1不解方程，判断下列方程的实数根的个数：(1) 22310x x -+= ；(2) 24912y y +=； (3) 25(3)60x x +-=.说明在求判断式时，务必先把方程变形为一元二次方程的一般形式.例2 已知关于x 的一元二次方程2320x x k -+=，根据下列条件，分别求出k 的范围：(1) 方程有两个不相等的实数根；(2) 方程有两个相等的实数根；(3)方程有实数根；(4) 方程无实数根.例3 若12,x x 是方程2220070x x +-=的两个根，试求下列各式的值：(1) 2212x x +；(2)1211x x +；(3) 12(5)(5)x x --；(4) 12||x x -.说明利用根与系数的关系求值，要熟练掌握以下等式变形：222121212()2x x x x x x +=+-，12121211x x x x x x ++=，22121212()()4x x x x x x -=+-，12||x x -=2212121212()x x x x x x x x +=+，33312121212()3()x x x x x x x x +=+-+等等.韦达定理体现了整体思想.例4 已知关于x 的方程221(1)104x k x k -+++=，根据下列条件，分别求出k 的值. (1) 方程两实根的积为5； (2) 方程的两实根12,x x 满足12||x x =.说明根据一元二次方程两实根满足的条件，求待定字母的值，务必要注意方程有两实根的条件，即所求的字母应满足0∆≥.例5 已知12,x x 是一元二次方程24410kx kx k -++=的两个实数根.(1)是否存在实数k ，使12123(2)(2)2x x x x --=-成立？若存在，求出k 的值；若不存在，请您说明理由.(2)求使12212x x x x +-的值为整数的实数k 的整数值.说明 1.存在性问题的题型，通常是先假设存在，然后推导其值，若能求出，则说明存在，否则即不存在；2.本题综合性较强，要学会对41k +为整数的分析方法.三、备用练习1．方程2230x k -+=的根的情况是（）.A.有一个实数根B.有两个不相等的实数根C.有两个相等的实数根D.没有实数根2.若关于x 的方程mx 2＋ (2m ＋1)x ＋m ＝0有两个不相等的实数根，则实数m 的取值范围是（）. A.m ＜14 B.m ＞－14 C.m ＜14，且m ≠0 D .m ＞－14，且m ≠0 3.填空:（1）若方程x 2－3x －1＝0的两根分别是x 1和x 2，则1211x x +＝．（2）方程mx 2＋x －2m ＝0（m ≠0）的根的情况是．（3）以－3和1为根的一元二次方程是．4.|1|0b -=，当k 取何值时，方程kx 2＋ax ＋b ＝0有两个不相等的实数根？5.已知方程x 2－3x －1＝0的两根为x 1和x 2，求(x 1－3)( x 2－3)的值．6.一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0（a ≠0）的两根为x 1和x 2．求：（1）| x 1－x 2|和122x x +；（2）x 13＋x 23．7.已知关于x 的方程22(2)04m x m x ---=．（1）求证：无论m 取什么实数时，这个方程总有两个相异实数根；（2）若这个方程的两个实数根x 1，x 2满足|x 2|＝|x 1|＋2，求m 的值及相应的x 1，x 2．。