8-5二阶常系数线性微分方程

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微分方程的二阶常系数线性方程与特解求解

微分方程的二阶常系数线性方程与特解求解微分方程是数学中重要的一门分支，广泛应用于物理、工程、经济等领域。

其中，二阶常系数线性微分方程是一类常见且重要的微分方程类型。

在本文中，我们将探讨如何求解二阶常系数线性微分方程以及特解的求解方法。

首先，我们来了解一下什么是二阶常系数线性微分方程。

二阶常系数线性微分方程的一般形式为：$$\frac{d^2y}{dx^2} + a\frac{dy}{dx} + by = f(x)$$其中，$a$和$b$是常数，$f(x)$是关于自变量$x$的函数。

这个方程中的未知函数是$y(x)$，我们的目标是求解$y(x)$的表达式。

要求解二阶常系数线性微分方程，我们可以先求解其对应的齐次方程，再找到特解，最后将齐次方程的通解与特解相加得到原方程的通解。

齐次方程是指当等号右边的$f(x)$为零时的方程，即：$$\frac{d^2y}{dx^2} + a\frac{dy}{dx} + by = 0$$齐次方程的解可以通过特征方程来求解。

特征方程是将齐次方程中的导数项全部移到左边，并将未知函数$y(x)$表示为指数函数$e^{rx}$的形式得到的方程。

假设$y(x) = e^{rx}$，代入齐次方程中得到：$$r^2e^{rx} + are^{rx} + be^{rx} = 0将$e^{rx}$提取出来得到：$$e^{rx}(r^2 + ar + b) = 0$$由指数函数的性质可知，$e^{rx}$不可能为零，所以我们得到一个关于$r$的二次方程：$$r^2 + ar + b = 0$$解这个二次方程可以得到两个不同的解$r_1$和$r_2$。

这两个解可以是实数或复数。

根据这两个解，我们可以得到齐次方程的通解：$$y_h(x) = C_1e^{r_1x} + C_2e^{r_2x}$$其中，$C_1$和$C_2$是常数。

接下来，我们需要找到二阶常系数线性微分方程的特解。

特解是指使得原方程成立的一个特定解。

二阶常系数线性微分方程

一、二阶常系数线性微分方程
1、二阶常系数线性微分方程的概念、二阶常系数线性微分方程的概念形如 y′′ + py′ + qy = f (x) （1））
的方程 (其中 p , q 为常数 ),
称为二阶常系数线性微分方程. 称为二阶常系数线性微分方程.
当f ( x ) ≡ 0时，
方程 (1) 称为二阶常系数非齐次线性微分方程称为二阶常系数非齐次线性微分方程. 当f ( x ) ≡ 0时， y′′ + py′ + qy = 0
*
的个解, Y 是 (2)对的次程的解一特 , (2)对程(1) (1)的解与应齐方 (1) 通是二阶非齐次线性微分方程(2) (2)的那么y = Y + y 是二阶非齐次线性微分方程(2)的
*
通解. 通解.
定理4 定理 4
非齐次方程(2)的端 f (x)是几 (2)的设次方程 (2) 右个函
2i
y = eαx (C1 cosβx + C2 sinβx). 得齐次方程的通解为
4、典型实例、
特征方程的两个根 r1 ,r2 方程y ′′ + py ′ + qy = 0的通解
实根 r1 ≠ r2 实根 r1 = r2
一对共轭复根 r1, 2 = α ± iβ
y = C1e r1 x + C 2 e r2 x
例2
. 求方程 y′′ + 2 y′ + 5 y = 0的通解
解特征方程为特征根为
r 2 + 2r + 5 = 0 ,
r， = −1± 2i, 12
故所求通解为 y = e − x (C1 cos 2 x + C 2 sin 2 x ).

著名的微分方程

著名的微分方程微分方程是数学中重要的研究对象之一，广泛应用于物理、工程、生物学等领域。

著名的微分方程不计其数，下面我将介绍几个具有代表性的微分方程。

1.一阶线性微分方程一阶线性微分方程是微分方程中最基本的类型之一。

它的一般形式为：dy/dx + P(x)y = Q(x)，其中P(x)和Q(x)都是已知的函数。

这个方程的解可以通过求解一个一阶的常微分方程得到。

2.二阶线性常系数齐次微分方程二阶线性常系数齐次微分方程是一个具有形式为：ay'' + by' +cy = 0的方程。

其中a、b、c都是常数。

这个方程的解可以用特征方程的根来表示。

3.二阶非齐次线性微分方程二阶非齐次线性微分方程是指具有形式为：ay'' + by' + cy =f(x)的方程。

其中f(x)是一个已知的函数。

这个方程的解可以通过特解和齐次解的线性组合得到。

4.指数衰减方程指数衰减方程是一种特殊的微分方程，具有形式为：dy/dx = -ky。

其中k是一个正常数，代表衰减速率。

它的解可以表示为y = Ce^(-kx)，其中C是一个常数。

5.生长方程生长方程是描述物种或人口数量随时间变化的微分方程。

常见的生长方程包括：指数增长方程、logistic方程和Gompertz方程等。

这些方程可以通过多种方法求解，例如分离变量法、线性变换法等。

6.波动方程波动方程是描述波动现象的微分方程，具有形式为：∂^2u/∂t^2 =c^2 ∂^2u/∂x^2。

其中u是波动的振幅，t和x分别表示时间和空间坐标。

这个方程描述了波在空间和时间上的传播。

以上只是介绍了微分方程的一些基本类型和应用领域的几个例子，实际上微分方程的研究内容非常丰富。

在数学领域，还有很多著名的微分方程定理和解法，例如：皮卡定理、格林函数法、变分法等。

微分方程的研究不仅有助于理解自然规律和现象，也为科学和工程领域提供了重要的分析工具。

二阶微分方程

是线性非齐次方程的解，这说明函数 y = Y + y* 是线性非齐次方程的解，是二阶线性齐次方程的通解，又 Y 是二阶线性齐次方程的通解，它含有两个任意常数，故 y = Y + y* 中含有两个任意常数即 y = Y + y* 中含有两个任意常数. 的通解. 是线性非齐次方程 y″ + p(x)y′ + q(x)y = f (x) 的通解 ″ ′ 求二阶线性非齐次方程通解的一般步骤为：求二阶线性非齐次方程通解的一般步骤为： (1) 求线性齐次方程 y″ + p(x)y′ + q(x)y = 0 的线性 ) ″ ′ 无关的两个特解 y1 与 y2，得该方程的通解 Y=C1 y1 + C2 y2. (2) 求线性非齐次方程 y″ + p(x)y′ + q(x)y = f (x) 的 ) ″ ′ 一个特解 y*. 那么，线性非齐次方程的通解为 y = Y + y*. 那么，
1.二阶常系数线性齐次方程的解法 .
④ 考虑到左边 p，q 均为常数，我们可以猜想该方程，均为常数， ′ 形式的解，为待定常数. 具有 y = erx 形式的解，其中 r 为待定常数将 y′ = 代入上式， rerx, y″ = r2erx 及 y = erx 代入上式，得 ″ erx (r2 + pr + q) = 0 . ⑤ rx 是上述一元二次方程的根时，即 r 是上述一元二次方程的根时， y = e 就是式的解. 方程⑤称为方程④ 特征方程. ④式的解方程⑤称为方程④的特征方程特征方程的根称为特征根特征根. 程的根称为特征根由于e 由于 rx ≠ 0，因此，只要 r 满足方程，因此， r2 + pr + q = 0，，设二阶常系数线性齐次方程为 y″ + py′ + qy = 0 . ″ ′

二阶常系数线性微分方程的解法

3
即原方程的通解为
y

C1e x

C2e3x

x

1 3
.
17
例5 求方程 y 3 y 2 y xe2x 的通解 .
解特征方程 2 3 2 0 ,
特征根 1 1，2 2 ，
对应齐次方程通解 Y C1ex C2e2x .
2是单根，
定理2 设 y ( x) 是方程(1)的一个特解, Y ( x) 是(2)的通解, 那么方程(1)的通解为
y Y y .
11
三、二阶常系数非齐次线性方程解的性质及求解法
y ay by f ( x) (1)
对应齐次方程 y ay by 0 (2)
定理2 设 y ( x) 是方程(1)的一个特解, Y ( x) 是(2)的通解, 那么方程(1)的通解为
因为 r 0, 2 , r i 2i 不是特征根,故设特解为
x2Qm ( x)，是二重特征根
然后将y 代入原方程，或根据恒等式(*)来确定 Q( x) ,从而得到特解 y .
若
f
(x)

Pm ( x)，可看成是 r

0
的特殊情形。
16
例4 求微分方程 y 2 y 3 y 3x 1 的通解.
解特征方程 2 2 3 0
8
例1 求微分方程 y 2 y 3 y 0 的通解. 解特征方程为 2 2 3 0
特征根为 1 1, 2 3
故所求通解为 y C1e x C2e3x 例2 求方程 y 2 y 5 y 0的通解.
解特征方程为 2 2 5 0 解得 1，2 1 2i ,

二阶常系数线性微分方程

第八章 8.4讲第四节二阶常系数线性微分方程一、二阶常系数线形微分方程的概念形如 )(x f qy y p y =+'+'' (1)的方程称为二阶常系数线性微分方程.其中p 、q 均为实数,)(x f 为已知的连续函数.如果0)(≡x f ,则方程式 (1)变成0=+'+''qy y p y (2)我们把方程(2)叫做二阶常系数齐次线性方程,把方程式(1)叫做二阶常系数非齐次线性方程. 本节我们将讨论其解法.二、二阶常系数齐次线性微分方程1．解的叠加性定理1 如果函数1y 与2y 是式(2)的两个解, 则2211y C y C y +=也是式(2)的解,其中21,C C 是任意常数.证明因为1y 与2y 是方程(2)的解,所以有0111=+'+''qy y p y 0222=+'+''qy y p y 将2211y C y C y +=代入方程(2)的左边,得)()()(221122112211y C y C q y C y C p y C y C ++'+'+''+'' =0)()(22221111=+'+''++'+''qy y p y C qy y p y C 所以2211y C y C y +=是方程(2)的解.定理1说明齐次线性方程的解具有叠加性.叠加起来的解从形式看含有21,C C 两个任意常数,但它不一定是方程式(2)的通解.2.线性相关、线性无关的概念设,,,,21n y y y 为定义在区间I 内的n 个函数,若存在不全为零的常数,,,,21n k k k 使得当在该区间内有02211≡+++n n y k y k y k , 则称这n个函数在区间I 内线性相关,否则称线性无关.例如 x x 22sin ,cos ,1在实数范围内是线性相关的,因为0sin cos 122≡--x x又如2,,1x x 在任何区间(a,b)内是线性无关的,因为在该区间内要使 02321≡++x k x k k必须0321===k k k .对两个函数的情形,若=21y y 常数, 则1y ,2y 线性相关,若≠21y y 常数, 则1y ,2y 线性无关.3.二阶常系数齐次微分方程的解法定理 2 如果1y 与2y 是方程式(2)的两个线性无关的特解,则212211,(C C y C y C y +=为任意常数)是方程式(2)的通解.例如, 0=+''y y 是二阶齐次线性方程,x y x y cos ,sin 21==是它的两个解,且≠=x y y tan 21常数,即1y ,2y 线性无关, 所以 x C x C y C y C y cos sin 212211+=+=( 21,C C 是任意常数)是方程0=+''y y 的通解.由于指数函数rxe y =(r 为常数)和它的各阶导数都只差一个常数因子,根据指数函数的这个特点,我们用rx e y =来试着看能否选取适当的常数r ,使rx e y =满足方程(2).将rx e y =求导,得rx rx e r y re y 2,=''='把y y y ''',,代入方程(2),得0)(2=++rx e q pr r因为0≠rx e , 所以只有 02=++q pr r (3)只要r 满足方程式(3),rx e y =就是方程式(2)的解.我们把方程式(3)叫做方程式(2)的特征方程,特征方程是一个代数方程,其中r r ,2的系数及常数项恰好依次是方程(2)y y y ,,'''的系数.特征方程(3)的两个根为 2422,1q p p r -±-=, 因此方程式(2)的通解有下列三种不同的情形. (1) 当042>-q p 时，21,r r 是两个不相等的实根.2421q p p r -+-=,2422q p p r ---= x r x r e y e y 2121,==是方程(2)的两个特解,并且≠=-x r r e y y )(2121常数,即1y 与2y 线性无关.根据定理2,得方程(2)的通解为 x r x r e C e C y 2121+=(2) 当042=-q p 时, 21,r r 是两个相等的实根.221p r r -==,这时只能得到方程(2)的一个特解x r e y 11=,还需求出另一个解2y ,且≠12y y 常数,设)(12x u y y =, 即 )(12x u e y x r =)2(),(21121211u r u r u e y u r u e y x r x r +'+''=''+'='. 将222,,y y y '''代入方程(2), 得 []0)()2(12111=++'++'+''qu u r u p u r u r u e x r 整理,得0])()2([12111=+++'++''u q pr r u p r u e x r由于01≠x r e , 所以 0)()2(1211=+++'++''u q pr r u p r u因为1r 是特征方程(3)的二重根, 所以 02,01121=+=++p r q pr r 从而有 0=''u因为我们只需一个不为常数的解,不妨取x u =,可得到方程(2)的另一个解 x r xe y 12=.那么,方程(2)的通解为x r x r xe C e C y 1121+=即 xr e x C C y 1)(21+=.(3) 当042<-q p 时,特征方程(3)有一对共轭复根 βαβαi r i r -=+=21, (0≠β)于是 x i x i e y e y )(2)(1,βαβα-+==利用欧拉公式 x i x e ix sin cos +=把21,y y 改写为 )sin (cos )(1x i x e e e e y x x i x x i ββαβαβα+=⋅==+)sin (cos )(2x i x e e e e y x x i x xi ββαβαβα-=⋅==-- 21,y y 之间成共轭关系,取-1y =x e y y x βαcos )(2121=+, x e y y i y x βαsin )(2121_2=-= 方程(2)的解具有叠加性,所以-1y ,-2y 还是方程(2)的解,并且≠==--x x e x e y y x x βββααtan cos sin 12常数,所以方程(2)的通解为 )sin cos (21x C x C e y x ββα+=综上所述,求二阶常系数线性齐次方程通解的步骤如下:(1)写出方程(2)的特征方程02=++q pr r(2)求特征方程的两个根21,r r(3)根据21,r r 的不同情形,按下表写出方程(2)的通解.例1求方程052=+'+''y y y 的通解.解: 所给方程的特征方程为0522=++r ri r i r 21,2121--=+-=所求通解为 )2sin 2cos (21x C x C e y x +=-.例 2 求方程0222=++S dt dS dtS d 满足初始条件2,400-='===t t S S 的特解.解所给方程的特征方程为0122=++r r121-==r r通解为 t e t C C S -+=)(21 将初始条件40==t S 代入,得 41=C ,于是t e t C S -+=)4(2,对其求导得t e t C C S ---=')4(22 将初始条件20-='=t S 代入上式,得22=C所求特解为t e t S -+=)24(例3求方程032=-'+''y y y 的通解.解所给方程的特征方程为 0322=-+r r其根为 1,321=-=r r所以原方程的通解为 x x e C e C y 231+=-二、二阶常系数非齐次方程的解法1.解的结构定理3 设*y 是方程(1)的一个特解,Y 是式(1)所对应的齐次方程式(2)的通解,则*+=y Y y 是方程式(1)的通解.证明把*+=y Y y 代入方程(1)的左端:)()()(*++*'+'+*''+''y Y q y Y p y Y=)()(*+*'+*''++'+''qy py y qY Y p Y=)()(0x f x f =+*+=y Y y 使方程(1)的两端恒等,所以*+=y Y y 是方程(1)的解. 定理4 设二阶非齐次线性方程(1)的右端)(x f 是几个函数之和,如 )()(21x f x f qy y p y +=+'+'' (4)而*1y 与*2y 分别是方程 )(1x f qy y p y =+'+''与 )(2x f qy y p y =+'+''的特解,那么**+21y y 就是方程(4)的特解, 非齐次线性方程(1)的特解有时可用上述定理来帮助求出.2.)()(x P e x f m x λ=型的解法)()(x P e x f m x λ=,其中λ为常数,)(x P m 是关于x 的一个m 次多项式. 方程(1)的右端)(x f 是多项式)(x P m 与指数函数x e λ乘积的导数仍为同一类型函数,因此方程(1)的特解可能为x e x Q y λ)(=*,其中)(x Q 是某个多项式函数.把 x e x Q y λ)(=*x e x Q x Q y λλ)]()(['+=*'x e x Q x Q x Q y λλλ)]()(2)([2''+'+=*''代入方程(1)并消去xe λ,得)()()()()2()(2x P x Q q p x Q p x Q m =+++'++''λλλ (5)以下分三种不同的情形,分别讨论函数)(x Q 的确定方法:(1) 若λ不是方程式(2)的特征方程02=++q pr r 的根, 即02≠++q p λλ,要使式(5)的两端恒等,可令)(x Q 为另一个m 次多项式)(x Q m :m m m x b x b x b b x Q ++++= 2210)(代入(5)式,并比较两端关于x 同次幂的系数,就得到关于未知数m b b b ,,,10 的1+m 个方程.联立解方程组可以确定出),,1,0(m i b i =.从而得到所求方程的特解为x m e x Q y λ)(=*(2) 若λ是特征方程02=++q pr r 的单根, 即02,02≠+=++p q p λλλ,要使式(5)成立, 则)(x Q '必须要是m 次多项式函数,于是令)()(x xQ x Q m =用同样的方法来确定)(x Q m 的系数),,1,0(m i b i =.(3) 若λ是特征方程02=++q pr r 的重根,即,02=++q p λλ 02=+p λ.要使(5)式成立,则)(x Q ''必须是一个m 次多项式，可令)()(2x Q x x Q m =用同样的方法来确定)(x Q m 的系数.综上所述,若方程式(1)中的x m e x P x f λ)()(=,则式(1)的特解为xm k e x Q x y λ)(=*其中)(x Q m 是与)(x P m 同次多项式,k 按λ不是特征方程的根,是特征方程的单根或是特征方程的重根依次取0,1或2.例4 求方程x e y y 232-='+''的一个特解.解 )(x f 是x m e x p λ)(型, 且2,3)(-==λx P m对应齐次方程的特征方程为 022=+r r ,特征根根为2,021-==r r . =-2是特征方程的单根, 令xe xb y 20-=*,代入原方程解得230-=b故所求特解为 xxe y 223--=* .例5 求方程x e x y y )1(2-='-''的通解.解先求对应齐次方程02=+'-''y y y 的通解.特征方程为 0122=+-r r , 121==r r齐次方程的通解为 x e x C C Y )(21+=.再求所给方程的特解1)(,1-==x x P m λ由于1=λ是特征方程的二重根,所以x e b ax x y )(2+=*把它代入所给方程,并约去x e 得126-=+x b ax比较系数,得61=a 21-=b于是 xe x x y )216(2-=*所给方程的通解为 x e x x x C C y y y )6121(3221+-+=+=* 3.x B x A x f ϖϖsin cos )(+=型的解法 ,sin cos )(x B x A x f ωω+=其中A 、B 、ω均为常数.此时,方程式(1)成为x B x A q y p y ωωsin cos +=+'+'' (7)这种类型的三角函数的导数,仍属同一类型,因此方程式(7)的特解*y 也应属同一类型,可以证明式(7)的特解形式为)sin cos (x b x a x y k ωω+=*其中b a ,为待定常数.k 为一个整数.当ω±i 不是特征方程02=++q pr r 的根, k 取0;当ω±i 不是特征方程02=++q pr r 的根, k 取1;例6 求方程x y y y sin 432=-'+''的一个特解.解 1=ω，ω±i i ±=不是特征方程为0322=-+r r 的根，0=k .因此原方程的特解形式为x b x a y sin cos +=*于是 x b x a y cos sin +-=*'x b x a y sin cos --=*''将*''*'*y y y ,,代入原方程，得⎩⎨⎧=--=+-442024b a b a 解得 54,52-=-=b a原方程的特解为: x x y sin 54cos 52--=* 例7 求方程x e y y y x sin 32+=-'-''的通解.解先求对应的齐次方程的通解Y .对应的齐次方程的特征方程为0322=--r r3,121=-=r rx x e C e C Y 321+=-再求非齐次方程的一个特解*y .由于x e x x f -+=2cos 5)(,根据定理4,分别求出方程对应的右端项为,)(1x e x f =x x f sin )(2=的特解*1y 、*2y ,则 **+=*21y y y 是原方程的一个特解.由于1=λ,ω±i i ±=均不是特征方程的根,故特解为)sin cos (21x c x b ae y y y x ++=+=***代入原方程,得 x e x c b x c b ae x x sin sin )42(cos )24(4=-++--比较系数,得14=-a 024=+c b 142=-c b解之得 51,101,41-==-=c b a . 于是所给方程的一个特解为 x x e y x sin 51cos 10141-+-=* 所以所求方程的通解为x x e e C e C y Y y x x x sin 51cos 10141321-+-+=+=-*.。

二阶线性常系数微分方程

令zu
0
y 1 z ( 2 y 1 P y 1 ) z f (一阶线性方程)
设其通解为 zC 2Z (x)z(x)
积分得
u C 1 C 2 U (x ) u (x )
由此得原方程③的通解: y C 1 y 1 ( x ) C 2 U ( x ) y 1 ( x ) u ( x ) y 1 ( x )
因此特y 原征方p 方程y y 程的 e 通q r 2y 解x ( C 为p0 1 rc (qp o ,x q 0为 C s 2 s常 )ix ) n 数
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小结: ypyqy0(p ,q 为常 ) 数
特征方程: r2prq0, 特征:r根 1,r2
第五节
第八章
二阶常系数线性微分方程
y p y q y f( x )( p ,q 是常数）
一、二阶常系数齐次线性微分方程二、二阶常系数非齐次线性微分方程
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一、二阶线性常系数齐次微分方程
ypyqy0(p ,q 为常 ) 数
基本思路: 求解常系数线性齐次微分方程
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例5. 求 x 2 y 方 ( x 2 ) ( 程 x y y ) x 4 的通解. 解: 对应齐次方程为 x 2 y (x 2 )(xy y ) 0
由观察可知它有特解: y1x, 令 yxu(x),代入非齐次方程后化简得
uux 解上述可降阶微分方程,可得通解:
y * e x [Q (x ) Q (x )]
y * e x [2 Q ( x ) 2 Q ( x ) Q ( x ) ]
代入原方程 , 得

二阶常系数线性微分方程

E-mail: xuxin@
§6 二阶常系数线性微分方程
高阶线性微分方程在实际问题中应用比较多，本节以讨论二阶线性微分方程为主，所得的结果可以推广到二阶以上的线性微分方程。定义形如
d2y dy P( x) Q( x) y f ( x) 2 dx dx 的方程，称为二阶线性微分方程。
E-mail: xuxin@
(ii) 当是单实根, 即2 + p1 + p2 = 0 , 但2 + p2 0. Q(x)是 m+1次多项式, 取常数项为零. Q(x) = x Qm(x)
y* xe Qm ( x)
x
E-mail: xuxin@
y (C1 C 2 x)e x .
因=1是特征方程的重根，Pm(x)=x+1,故特解形式为： 2 x y* x e (ax b).
E-mail: xuxin@
代入原方程中得
6ax 2b x 1.
所以从而有一特解为
1 1 a ,b . 6 2 1 1 y* x e ( x ). 6 2
上述结论可推广到n阶常系数非齐次线性微分方程.
E-mail: xuxin@
例6 求方程 y''+y=xcos2x 的通解. 解：特征方程为 r2+1=0, 其根为r1,2= i, 所以对应齐次线性方程的通解为 y = C1cosx + C2sinx. 因 i =2i不是特征方程的根, P1(x)=x, Qn(x)0, 故可设特解为 y* = (ax+b)cos2x+(cx+d)sin2x y*'' = (–4ax+4c–4b)cos2x+(–4cx–4a–4d)sin2x

常见的微分方程类型归纳

常见的微分方程类型归纳微分方程是指含有未知函数的导数的方程。

未知函数是一元函数的叫做常微分方程，未知函数是多元函数的叫做偏微分方程。

《微积分》里面的微分方程仅限于常微分方程。

咱们所讲到的微分方程归纳为以下几类：一、可分离变量的微分方程形如：()()dy f x g y dx= 求解方式：若是()0g y ≠，方程可化为： ()()dy f x dx g y = ,两边取积分, ()()dy f x dx c g y =+⎰⎰求出积分，那么为方程的通解。

例1：2cos dy y x dx= 解：将变量分离，取得 2cos dy xdx y= 两边积分，即得 1sin x c y-=+ 那么通解为 1sin y x c =-+ 二、一阶线性微分方程形如： )()(x Q y x P dxdy =+ （1）若0)(=x Q ，那么原方程称为一阶线性齐次方程；假设0)(≠x Q ，原方程称为一阶线性非齐次方程。

求解方式：先解原方程对应齐次方程的通解：对应齐次方程为： 0)(=+y x P dxdy （2）分离变量，得 dx x P ydy )(-= 两边积分，得 ⎰=-dx x P ce y )( （3）（3）为一阶线性齐次方程（2）的通解。

常数变易法：令对应齐次方程的通解⎰=-dx x P ce y )(中的常数c 为 ()c u x =（常数变函数）则⎰=-dx x P e x u y )()(为非齐次方程(1)的通解；将⎰=-dx x P e x u y )()(代入（1）式，解得()u x 的具体函数表达式，即求出（1）式的通解。

例2：求微分方程x xy y =-'2的通解解：对应齐次方程为： 20y xy '-=分离变量，得 12xdx dy y= 两边取积分，得 12 xdx dy y =⎰⎰解得：22211x c c x x y e e e ce +=±=±⋅=令 ()c u x =那么 ()2x y u x e =为原方程的通解，带入原式。

二阶常系数线性微分方程

3. f ( x) A1 cos x A2 sin x
下面考察二阶常系数非齐次线性微分方程解的结构
y ay by f ( x)
(9 30)
y ay by 0
(9 25)
定理9.2 如果 y( x) 是方程 ( 9 30) 的一个特解, Y 是
方程 ( 9 30) 对应齐次方程( 9 25) 的通解, 则方程
形如
y ay by 0
(9 25)
称为二阶常系数齐次线性微分方程, 其中a , b 为已知常数.
定义9.4 设 y1( x), y2( x)为定义在 (a,b)内的两个函数. 如果存在非零常数k , 使得 y1( x) ky2( x), 则称 y1( x), y2( x) 线性相关, 如果对于任意常数k , y1( x) ky2( x), 则称 y1( x), y2( x) 线性无关.
故方程的通解为
将 y ex 求导, 得
y ex , y 2ex ,
把 y, y, y 代入齐次线性微分方程中,
(2 a b)ex 0
由于 ex 0,
所以
2 a b 0
(9 27)
只要是上方程的根，y ex 就是微分方程的解.
方程 2 a b 0 称为齐次线性微分方程的特征方程.
(9 30) 的通解为
y(x) Y y(x)
(9 31)
y ay by 0的通解
y ay by f ( x)的一个特解
归纳
对线性方程组Ax = b，它的通解：
x k11 k22 knr nr
齐次方程通解
非齐次方程特解
对一阶线性微分方程y P( x) y Q( x)，它的通解：
特征方程的根为
1,2 a

二阶线性微分方程

二阶线性微分方程\[y''+p(x)y'+q(x)y=r(x)\]的微分方程，其中$p(x)$、$q(x)$、$r(x)$都是已知的函数，$y$是未知函数，$y''$表示关于自变量$x$的二阶导数。

在解二阶线性微分方程时，主要有三个步骤：寻找特解、寻找齐次方程的通解、将特解和齐次方程的通解相加得到二阶线性微分方程的通解。

首先，我们来看如何寻找特解。

对于非齐次方程$y''+p(x)y'+q(x)y=r(x)$，我们可以根据非齐次项$r(x)$的形式来选择合适的特解形式。

常见的特解形式包括：常数特解、多项式特解、指数函数特解、三角函数特解等。

如果非齐次项$r(x)$是一个常数，我们可以选择一个与$r(x)$无关的常数作为特解。

如果$r(x)$是一个多项式，我们可以选择与$r(x)$同次数的多项式作为特解。

如果$r(x)$是指数函数$e^{kx}$，我们可以选择同样的指数函数$Ae^{kx}$作为特解。

如果$r(x)$是三角函数$\sin(kx)$或$\cos(kx)$，我们可以选择相同的三角函数$A\sin(kx)$或$A\cos(kx)$作为特解。

特解确定之后，接下来需要寻找齐次方程$y''+p(x)y'+q(x)y=0$的通解。

齐次方程的特征方程是由方程的系数$p(x)$和$q(x)$决定的，它是一个二阶常系数线性齐次方程的特殊形式。

解特征方程可以得到齐次方程的通解形式。

特征方程的解决定了齐次方程的解的形状。

将特解和齐次方程的通解相加，即可得到二阶线性微分方程的通解。

特解与齐次方程的解相加得到的通解可以覆盖方程的所有解。

需要注意的是，特解和齐次方程的通解的系数可以通过给定的初始条件来确定。

初始条件可以是函数在其中一点$x_0$的值$y(x_0)$和导数$y'(x_0)$的值。

根据初始条件，可以求解出特解和齐次方程的通解中的任意常数。

二阶线性常微分方程的解的结构

二阶线性常微分方程的解的结构二阶线性常系数微分方程的解的求法二阶线性常微分方程：y ’’+p(x)y ’+q(x)y=r(x) p(x)、q(x)、r(x)是区间I 上的已知函数 y ’’+p(x)y ’+q(x)y=0 齐次 y ’’+p(x)y ’+q(x)y=r(x)，r(x)≠0, 非齐次【一】对齐次方程：y ’’+p(x)y ’+q(x)y=01.若y 1(x)和y 2(x)都是上述齐次方程的解，则C 1y 1(x)+C 2y 2（x ）仍是上述方程的解.2.若y 1(x)和y 2(x)在区间I 上线性无关，即αy 1(x)+βy 2(x)=0仅当α=β=0时成立，则y=C 1y 1(x)+C 2y 2（x ）即是y ’’+p(x)y ’+q(x)y=0的通解。

【y ’’+p(x)y ’+q(x)y=0的任何一个解可表示成y=C 1y 1(x)+C 2y 2（x ）的形式】由上述1和2，求y ’’+p(x)y ’+q(x)y=0的通解，只需找到两个其两个线性无关的特解.【二】对非齐次方程：y ’’+p(x)y ’+q(x)y=r(x)，r(x)≠0y*(x)是其一y ’’+p(x)y ’+q(x)y=r(x)，r(x)≠0的一个特解Y(x)是对应齐次方程y ’’+p(x)y ’+q(x)y=0的某个解则1）y*’’+py*’+qy*=r 2) y ’’+py ’+qy=r两式相减：（y-y*）’’ + p(y-y*) ‘+q(y-y*)=0记Y=y-y*,则Y 是对应齐次方程y ’’+p(x)y ’+q(x)y=0的通解 y=y*+Y即：y ’’+p(x)y ’+q(x)y=r(x)，r(x)≠0的任何一个解y(x)都可以表示为：y(x)=y*(x)+Y(x) 即：非齐次方程的通解=非齐次方程的一个特解+对应其次方程的通解.如何求二阶线性常系数齐次微分方程y ’’+p(x)y ’+q(x)y=0 的通解？设y(x)是 y ’’+p(x)y ’+q(x)y=0 的解，p 、q 均为常数则在I 内y ’’(x)+py ’(x)+qy(x)=0,恒成立所以y ’、py ’、qy 必须能够抵消掉，即y 、y ’、y ’’必须是同一类型的函数. 只能是指数函数令kxe =y 是方程y ’’+py ’+qy=0（p 、q 为常数）的解即0k 2≡++kxe q pk ）（，可得02=++q pk k02=++q pk k 是一个一元二次方程，称为y ’’+py ’+qy=0的特征方程解一元二次方程得.24,24k 2221q p p k q p p ---=-+-=则与k 1k 2对应的.,y 2121xk xk e y e ==必是y ’’+py ’+qy=0（p 、q 为常数）的解但是.,y 2121xk xk e y e ==是否线性无关？【能否构成通解y ’’+py ’+qy=0（p 、q 为常数）】分类讨论： 1.04p 2>-q即k 1k 2是两个不等实根，且常数≠=-)(2121e x k x k x k x k e e ，即.,y 2121xk x k e y e ==线性无关所以x k xk e C eC 2121y +=2.04p 2<-q.,k 21βαβα-=+=k i 是一对共轭的复根则)s i n (c o s )()s i n (c o s )()(2)(121x i x e eex y x i x e e e x y xxi xk x x i x k -===+===-+ββαβααβα 线性无关复函数用起来不方便，不用其来构造y ’’+py ’+qy=0（p 、q 为常数）的通解取其线性组合：x e e e ix yx e e e x yx x k x k x x k xk ββααsin )(21)(ˆcos )(21)(ˆ212121=-==+=)(y ˆ),(yˆ21x x 是y ’’+py ’+qy=0（p 、q 为常数）的解，且)(y ˆ),(y ˆ21x x 线性无关. y ’’+py ’+qy=0（p 、q 为常数）的通解：)sin cos ()(21x C x C e x y xββα+= 3.042=-q p此时k 1=k 2，即重根，记重根为k ，kxe x =)(y 1必是y ’’+py ’+qy=0（p 、q 为常数）的一个解求通解，只需再找一个与kxe x =)(y 1线性无关的解.将上述这个解表示成为待定函数但非常数)(,)(y x u e x u kx=，代入y ’’+py ’+qy=0（p 、q 为常数），得到0])(')2(''[e 2=++++++u q pk k u p k u kx ，)2,0(k 212pk k q pk -===++ 所以u ’’=0.取u(x)=x,则得到y ’’+py ’+qy=0（p 、q 为常数）的另一个解kxxe y = 此时y ’’+py ’+qy=0（p 、q 为常数）的通解为kx e x C C x )()(y 21+=如何求二阶线性常系数非齐次微分方程y ’’+p(x)y ’+q(x)y=r(x)，r(x)≠0的通解？由刚开始的分析，只需求出它的一个特解y*(x)设齐次方程通解为)()()(2211x y C x y C x y +=，)()(y 21x y x 、是齐次方程的两个线性无关解设非齐次方程有一个形如)()()()()(2211*x y x C x y x C x y +=的解.上一行中的21,C C 已变易为待定函数接下来的任务是选择)(),(21x C x C ，使)()()()()(2211*x y x C x y x C x y +=是y ’’+p(x)y ’+q(x)y=r(x)，r(x)≠0的一个解将)()()()()(2211*x y x C x y x C x y +=代入y ’’+p(x)y ’+q(x)y=r(x)，r(x)≠0中得到：()()()()()()()()()x y x C x y x C x y x C x y x C x '''''y 22112211*+++=因为只要求出一个特解，即只要确定一组函数)(),(21x C x C ，我们就有比较大的自由度对)(),(21x C x C 加以限制，如选择)(),(21x C x C 使()()()()0''2211=+x y x C x y x C这样，()()()()()()()()()()()()()()x y x C x y x C x y x C x y x C x x y x C x y x C x 22112211*2211*'''''''''y'''y'+++=+=将()()()()()()()()()()()()()()()()()()()x y x C x y x C x y x C x y x C x x y x C x y x C x x y x C x y x C x 22112211*2211*2211*'''''''''y'''y'y +++=+=+=代入y ’’+p(x)y ’+q(x)y=r(x)，r(x)≠0()()()()()()()()()()()()()()()()()()()x r x y x C x y x C q x y x C x y x C p x y x C x y x C x y x C x y x C =+++++++2211221122112211''''''''''()()x x 21y ,y 都是齐次方程的解，可将上式化简为()()()()()x r x y x C x y x C =+2211''()()()()0''2211=+x y x C x y x C 与()()()()()x r x y x C x y x C =+2211''是关于()()x C x C 21,的线性代数方程组，解之，得()()()()()()()()()()()()()()()()x y x y x y x y x r x y x y x C x y x y x y x y x y x r x y x C 21211122121221'''0','''0'==再积一次分即可求出()()x C x C 21,.这就是参数变易法求二阶线性常系数非齐次微分方程.。

二阶常系数线性微分方程

r2 p r q 0 ; （1）写出特征方程：（2）求出特征根：r1 , r2 ;
（3）按下表写出微分方程的通解：
特征方程 r 2 pr q 0 的两个根r1r2 微分方程 y py qy 0 的通解
两个不等实根 r1 r2
两个不等实根 r1 r2 一对共轭复根 r1, 2 i ,
欧拉公式： r2 e i cos i sin i ,
y1 e ( i ) x ex (cos x i sin x )
y2 e ( i ) x ex (cos x i sin x )
y c1 y1 c2 y2 c1e ( i ) x c2e ( i ) x
设 y* 是二阶非齐次线性方程 y py q y f ( x ) 的一个特解, Y 是与之对应的齐次方程的通解, 那么 y Y y* 是二阶非齐次线性微分方程的通解.
对应的齐次方程：y py qy 0 通解问题已经解决 , 如何求非齐次方程的特解？
方法：待定系数法，其特点是不用做积分运算。
( 2) f ( x ) 0 时，y py qy f ( x ) 为非齐次方程 .
二、解的性质与结构
定理1 如果函数 y1 ( x ) 与 y2 ( x ) 是齐次方程 y py qy 0 的解，则 c1 y1 ( x ) c2 y2 ( x )也是它的解，
1 重新组合 y1 ( y1 y2 ) ex cos x , 2 1 y2 ( y1 y2 ) ex sin x , 2i
得齐次方程的通解为 y ex (C1 cos x C2 sin x ).
综上所述，求二阶齐次线性微分方程 y py qy 0 的通解步骤为：

2.2二阶常系数线性微分方程的解法

当自由项 f (x) 为两种特殊类型函数时方程②特解的求法—待定系数法。
13
2.2 二阶常系数线性微分方程的解法
1. f (x) Pm(x)ex ( 其中 pm ( x)是 x 的 m 次多项式 )
这时方程②为 ay by cy Pm ( x)ex
③
可以设 y Q( x)ex ( 其中Q( x) 是多项式 ) 。
例 1．求方程 y 5 y 6 y 2x 3 的特解。
解： f ( x) 2x 3 (2x 3)e0x ，
属 f ( x) Pm ( x)e x 型（ m 1, 0 ），
特征方程为 r2 5r 6 0 ， r1 2 ， r2 3 ，
∵ 0 不是特征根，
∴设特解为 y Q1( x)e0x Aox A1 ，
得 erx (ar 2 br c) 0 ，但 erx 0 ，故有
ar 2 br c 0 ，
②
2
2.2 二阶常系数线性微分方程的解法
ar 2 br c 0 ，
②
若 r 是一元二次方程②的一个根，则 y erx 就是方程①的一个特解。
方程②叫做方程①的特征方程。
按特征方程的两个根 r1, r2 的三种可能情况： 1． r1 r2 是两个不相等的实根； 2． r1 r2 是两个相等的实根；
9
2.2 二阶常系数线性微分方程的解法
高阶常系数线性齐次方程的解法 n 阶常系数线性齐次方程为
a0 y(n) a1 y(n1) an1 y an y 0 ， ③
其特征方程为 a0r n a1r n1 an1r an 0 . ④
方程②是一个一元 n 次方程，有 n 个根。类似二阶常系
Q( x) 应为 m 次多项式 , Q( x) 应为 m 1 次多项式 ,