高三数学第一轮复习阶段性测试题4

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2023年新高考数学一轮复习4-4 导数的综合应用(真题测试)含详解

专题4.4 导数的综合应用（真题测试）一、单选题1．（2017·全国·高考真题（理））已知函数211()2()x x f x x x a e e --+=-++有唯一零点，则=a （） A ．12-B ．13C ．12D ．12．（2015·陕西·高考真题（理））对二次函数（为非零整数），四位同学分别给出下列结论，其中有且仅有一个结论是错误的，则错误的结论是 A ．是的零点 B ．1是的极值点 C ．3是的极值D ．点在曲线上3．（2022·青海·海东市第一中学模拟预测（理））已知函数()2e 2xx f x a x =-+，若有且仅有两个正整数，使得()0f x <成立，则实数a 的取值范围是（） A ．211,3e e ⎡⎫⎪⎢⎣⎭B ．3291,5e e ⎡⎫⎪⎢⎣⎭C ．391,5e 3e ⎡⎫⎪⎢⎣⎭D ．212,2e e ⎡⎫⎪⎢⎣⎭4．（2014·全国·高考真题（文））已知函数，若存在唯一的零点，且，则的取值范围是（） A ．B ．C ．D ．5．（2022·青海·海东市第一中学模拟预测（理））若函数()()22e e x x f x x ax a a R =+-∈有三个不同的零点，则实数a 的取值范围是（） A ．1,e ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭B ．1,1e ⎛⎫ ⎪⎝⎭C ．2110,,1e e e ⎛⎫⎛⎫⋃ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭D ．210,e e ⎛⎫ ⎪-⎝⎭6．（2022·河南·开封市东信学校模拟预测（理））对任意0x >，不等式e ln()(1)0x ax a x -+-≥恒成立，则正数a 的最大值为（） ABC ．1eD ．e7．（2015·全国·高考真题（理））设函数()(21)xf x e x ax a =--+，其中1a < ，若存在唯一的整数0x ，使得2()f x ax bx c =++a 1-()f x ()f x ()f x (2,8)()y f x =32()31f x ax x =-+()f x 0x 00x >a ()2,+∞()1,+∞(),2-∞-(),1-∞-0()0f x <，则a 的取值范围是（）A ．3,12e ⎡⎫-⎪⎢⎣⎭B ．33,2e 4⎡⎫-⎪⎢⎣⎭ C ．33,2e 4⎡⎫⎪⎢⎣⎭ D ．3,12e ⎡⎫⎪⎢⎣⎭8．（2022·内蒙古·海拉尔第二中学模拟预测（理））已知函数()()e ln e (0)xf x a a a =+>，若对任意实数1x >，不等式()()ln 1f x x ≥-总成立，则实数a 的取值范围为（） A ．210,e ⎛⎫ ⎪⎝⎭B ．221,e e ⎛⎤⎥⎝⎦C ．21,e ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭D ．21,e ⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭二、多选题9．（2022·辽宁实验中学模拟预测）我们把形如(),,0f x y y '=的方程称为微分方程，符合方程的函数()y f x =称为微分方程的解，下列函数为微分方程0xy y xy +-'=的解的是（） A ．e x y = B ．e x y x =C ．e 1x y x =+D ．e (R)x y c x c =⋅∈⋅10．（2022·河北沧州·二模）已知实数,a b 满足e e e a b a b ++=，则（） A ．0ab < B ．1a b +> C ．e e 4a b +D ．e 1a b >11．（2022·湖南·模拟预测）已知1x >，1y >，且()()1e 11e y xx y ++=+，则下列结论一定正确的是（）A ．()ln 0x y ->B ．122x y +<C ．226x y +>D ．()ln ln3x y +<12．（2022·全国·高考真题）已知函数，则（）A ．有两个极值点B ．有三个零点C ．点是曲线的对称中心D ．直线是曲线的切线三、填空题13．（2020·河南高三其他（理））函数()2222ln x f x x e x ax =--，若0a =，则()f x 在[]1,2的最小值为_______；当0x >时，()1f x ≥恒成立，则a 的取值范围是_____. 14．（2022·全国·模拟预测（理））若曲线ln x y x =与212y kx =-仅有1个公共点，则k 的取值范围是3()1f x x x =-+()f x ()f x (0,1)()y f x =2y x =()y f x =___________.15．（2012·福建·高考真题（理））对于实数a 和b ，定义运算“*”：设f （x ）=（2x -1）*（x -1），且关于x 的方程为f （x ）=m （m ∈R ）恰有三个互不相等的实数根x 1，x 2，x 3，则x 1x 2x 3的取值范围是_________________16．（2022·江苏·常州高级中学模拟预测）已知函数22()ln 2e f x x x mx =-+，若()0f x ≥的解集中恰有一个整数，则m 的取值范围为________．四、解答题17．（2018·全国·高考真题（文））已知函数．（1）求曲线在点处的切线方程；（2）证明：当时，．18．（2017·全国·高考真题（理））已知函数（1）讨论的单调性；（2）若有两个零点，求的取值范围.19．（2017·全国·高考真题（文））已知函数.（1）讨论的单调性；（2）当时，证明. 20．（2016·全国·高考真题（文））设函数．（Ⅰ）讨论的单调性；（Ⅱ）证明当时，；（Ⅲ）设，证明当时，.21．（2015·全国·高考真题（理））设函数．（1）证明：在单调递减，在单调递增；（2）若对于任意，都有，求m 的取值范围．22．（2014·四川·高考真题（理））已知函数，其中，为自然对数的底数.（Ⅰ）设是函数的导函数，求函数在区间上的最小值；22,,a ab a ba b b ab a b ⎧-≠=⎨->⎩()21x ax x f x e +-=()y f x =()0,1-1a ≥()0f x e +≥()()2e 2e x xf x a a x =+--()f x ()f x a 2()ln (21)f x x ax a x =+++()f x 0a <3()24f x a≤--()ln 1f x x x =-+()f x (1,)x ∈+∞11ln x x x-<<1c >(0,1)x ∈1(1)xc x c +->2()e mx f x x mx =+-()f x (,0)-∞(0,)+∞12,[1,1]x x ∈-12|()()|1f x f x e -≤-2()1x f x e ax bx =---,a b R ∈ 2.71828e =()g x ()f x ()g x [0,1]（Ⅱ）若，函数在区间内有零点，求的取值范围(1)0f ()f x (0,1)a专题4.4 导数的综合应用（真题测试）一、单选题1．（2017·全国·高考真题（理））已知函数211()2()x x f x x x a e e --+=-++有唯一零点，则=a （） A ．12-B ．13C ．12D ．1【答案】C 【解析】【分析】【详解】因为()221111()2()1()1x x x x f x x x a e e x a e e --+--+=-++=-++-，设1t x =-，则()()()21t t f x g t t a e e -==++-，因为()()g t g t =-，所以函数()g t 为偶函数，若函数()f x 有唯一零点，则函数()g t 有唯一零点，根据偶函数的性质可知，只有当0=t 时，()0g t =才满足题意，即1x =是函数()f x 的唯一零点，所以210a -=，解得12a =.故选：C. 2．（2015·陕西·高考真题（理））对二次函数（为非零整数），四位同学分别给出下列结论，其中有且仅有一个结论是错误的，则错误的结论是 A ．是的零点 B ．1是的极值点 C ．3是的极值 D ．点在曲线上【答案】A 【解析】【详解】若选项A 错误时，选项B 、C 、D 正确，，因为是的极值点，是的极值，所以，即，解得：，因为点在曲线上，所以，即，解得：，所以，，所以，因为，所以不是的零点，所以选项A 错误，选项B 、C 、D 正确，故选A ．3．（2022·青海·海东市第一中学模拟预测（理））已知函数()2e 2xx f x a x =-+，若有且仅有两个正整2()f x ax bx c =++a 1-()f x ()f x ()f x (2,8)()y f x =()2f x ax b ='+1()f x 3()f x ()()10{13f f '==203a b a b c +=⎧⎨++=⎩2{3b a c a =-=+()2,8()y f x =()42238a a a +⨯-++=5a =10b =-8c =()25108f x x x =-+()()()21511018230f -=⨯--⨯-+=≠1-()f x数，使得()0f x <成立，则实数a 的取值范围是（） A ．211,3e e ⎡⎫⎪⎢⎣⎭B ．3291,5e e ⎡⎫⎪⎢⎣⎭C ．391,5e 3e ⎡⎫⎪⎢⎣⎭D ．212,2e e ⎡⎫⎪⎢⎣⎭【答案】C 【解析】【分析】将()0f x <转化为2(2)exx a x +<，再分别求导分析2()e x x g x =和()(2)h x a x =+的图象，再分别求得1,1g ，()()2,2g ，()()3,3g 到()20-，的斜率，分析临界情况即可【详解】由()0f x <且0x >，得2(2)exx a x +<，设2()e x x g x =，()(2)h x a x =+， 22()exx x g x '-=，已知函数()g x 在（0，2）上单调递增，在(2,)+∞上单调递减，函数()(2)h x a x =+的图象过点(2,0)-，(1)11(2)3e g =--，2(2)12(2)e g =--，3(3)93(2)5e g =--，结合图象，因为329115e 3e e <<，所以3915e 3ea ≤<．故选：C4．（2014·全国·高考真题（文））已知函数，若存在唯一的零点，且，则的取值范围是（） A ． B ． C ． D ．【答案】C 【解析】【详解】试题分析：当时，，函数和，不满足题意，舍去；当时，，令，得或．时，；时，；时，，且，此时在必有零点，故不满足题意，舍去；当时，时，32()31f x ax x =-+()f x 0x 00x >a ()2,+∞()1,+∞(),2-∞-(),1-∞-0a =2()31f x x =-+()f x 0a >2()36f x ax x '=-()0f x '=0x =2x a =(,0)x ∈-∞()0f x '>2(0,)x a ∈()0f x '<2(,)x a∈+∞()0f x '>(0)0f >(,0)x ∈-∞0a <2(,)x a∈-∞；时，；时，，且，要使得存在唯一的零点，且，只需，即，则，选C ．5．（2022·青海·海东市第一中学模拟预测（理））若函数()()22e e x xf x x ax a a R =+-∈有三个不同的零点，则实数a 的取值范围是（） A ．1,e ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭B ．1,1e ⎛⎫ ⎪⎝⎭C ．2110,,1e e e ⎛⎫⎛⎫⋃ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭D ．210,e e ⎛⎫ ⎪-⎝⎭【答案】D 【解析】【分析】令()0f x =得20e e x xx xa a ⎛⎫⎛⎫+-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，利用导数研究()e x x g x =的图像，由函数()f x 有三个零点可知，若令1e e xxt t ⎛⎫=≤ ⎪⎝⎭，则可知方程20t at a +-=的一根1t 必在10,e ⎛⎫ ⎪⎝⎭内，另一根21e t =或20t =或()2,0t ∈-∞上，分类讨论即可求解. 【详解】由22e e 0xxx ax a +-=得20e ex xx xa a ⎛⎫⎛⎫+-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，令()e x x g x =，由()10e xxg x -'==，得1x ＝，因此函数()g x 在(),1-∞上单调递增，在()1,+∞上单调递减，且()00g =，当0x >时，()0e x x g x =>，则()ex xg x =的图像如图所示：即函数()g x 的最大值为()11eg =，令1e e xx t t ⎛⎫=≤ ⎪⎝⎭，则()20h t t at a =+-=，由二次函数的图像可知，二次方程的一根1t 必在10,e ⎛⎫ ⎪⎝⎭内，另一根21e t =或20t =或()2,0t ∈-∞上，当21e t =时，21e ea =-，则另一根111e t =-，不满足题意，当20t =时，a ＝0，则另一根10t =，不满足题意，()0f x '<2(,0)x a ∈()0f x '>(0,)x ∈+∞()0f x '<(0)0f >()f x 0x 00x >2()0f a>24a >2a <-当()2,0t ∈-∞时，由二次函数()20h t t at a =+-=的图像可知22000110e e a a a a ⎧+⋅-<⎪⎨⎛⎫+⋅->⎪ ⎪⎝⎭⎩，解得210e ea <<-，则实数a 的取值范围是210,e e ⎛⎫ ⎪-⎝⎭，故选：D.6．（2022·河南·开封市东信学校模拟预测（理））对任意0x >，不等式e ln()(1)0x ax a x -+-≥恒成立，则正数a 的最大值为（） ABC ．1eD ．e【答案】D 【解析】【分析】将不等式化为ln()e ln()e x ax x ax +≥+，构造()e x f x x =+有()(ln())f x f ax ≥，利用函数的单调性及参变分离法有e xa x ≤在0x >上恒成立，应用导数求右侧最小值，即可得结果.【详解】∵e ln()(1)0x ax a x -+-≥，∴ln()e ln()ln()e x ax x ax ax ax +≥+=+．令()e x f x x =+，则不等式化为()(ln())f x f ax ≥． ∵()e (0)x f x x x =+>为增函数，∴ln()x ax ≥，即e xa x≤．令e ()=x g x x ，则2(1)e ()x x g x x '-=，当01x <<时，()0g x '<，即()g x 递减；当1x >时，()0g x '>，即()g x 递增；所以()()min 1e e g x g a ⇒≤==． ∴实数a 的最大值为e ．故选：D7．（2015·全国·高考真题（理））设函数()(21)xf x e x ax a =--+，其中1a < ，若存在唯一的整数0x ，使得0()0f x <，则a 的取值范围是（）A ．3,12e ⎡⎫-⎪⎢⎣⎭B ．33,2e 4⎡⎫-⎪⎢⎣⎭C ．33,2e 4⎡⎫⎪⎢⎣⎭D ．3,12e ⎡⎫⎪⎢⎣⎭【答案】D 【解析】【分析】设()()21xg x e x =-，()1y a x =-，问题转化为存在唯一的整数0x 使得满足()()01g x a x <-，求导可得出函数()y g x =的极值，数形结合可得()01a g ->=-且()312g a e-=-≥-，由此可得出实数a 的取值范围.【详解】设()()21xg x e x =-，()1y a x =-，由题意知，函数()y g x =在直线y ax a =-下方的图象中只有一个点的横坐标为整数，()()21x g x e x '=+，当12x <-时，()0g x '<；当12x >-时，()0g x '>.所以，函数()y g x =的最小值为12122g e -⎛⎫-=- ⎪⎝⎭.又()01g =-，()10g e =>.直线y ax a =-恒过定点()1,0且斜率为a ，故()01a g ->=-且()31g a a e -=-≥--，解得312a e≤<，故选D.8．（2022·内蒙古·海拉尔第二中学模拟预测（理））已知函数()()e ln e (0)xf x a a a =+>，若对任意实数1x >，不等式()()ln 1f x x ≥-总成立，则实数a 的取值范围为（）A ．210,e ⎛⎫ ⎪⎝⎭B ．221,e e ⎛⎤⎥⎝⎦C ．21,e ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭D ．21,e ⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭【答案】D 【解析】【分析】将所求不等式变形为()()ln 1ln eln eln 1x x ax a x -+++≥+-，构造函数()e xg x x =+，可知该函数在R 上为增函数，由此可得出()ln ln 1a x x ≥--，其中1x >，利用导数求出()()ln 1h x x x =--的最大值，即可求得实数a 的取值范围. 【详解】当1x >时，由()()ln 1f x x ≥-可得()ln eln 1ln 1x aa x +++≥-，即()()()ln 1ln eln 1ln 1eln 1x x ax a x x x -+++≥-+-=+-，构造函数()e xg x x =+，其中x ∈R ，则()e 10x g x '=+>，所以，函数()g x 在R 上为增函数，由()()ln 1ln eln eln 1x x ax a x -+++≥+-可得()()ln ln 1g x a g x +≥-⎡⎤⎣⎦，所以，()ln ln 1x a x +≥-，即()ln ln 1a x x ≥--，其中1x >，令()()ln 1h x x x =--，其中1x >，则()12111xh x x x -'=-=--. 当12x <<时，()0h x '>，函数()h x 单调递增，当2x >时，()0h x '<，函数()h x 单调递减，所以，()()max ln 22a h x h ≥==-，21e a ∴≥. 故选：D.二、多选题9．（2022·辽宁实验中学模拟预测）我们把形如(),,0f x y y '=的方程称为微分方程，符合方程的函数()y f x =称为微分方程的解，下列函数为微分方程0xy y xy +-'=的解的是（） A ．e x y = B ．e x y x =C ．e 1x y x =+D ．e (R)x y c x c =⋅∈⋅【答案】CD 【解析】【分析】根据导数的运算求得导函数y '，代入微分方程检验即可．【详解】选项A ，e x y =，则e x y '=，e e e e 0x x x x xy y xy x x '+-=+-=≠，不是解；选项B ，e x y x =，e e x x y x '=+，22e e e e 0x x x x xy y xy x x x x '+-=+--=，是方程的解；选项C ，e 1x y x =+，e e x x y x '=+，22e e 1e e 10x x x x xy y xy x x x x x x '+-=+++--=+≠，不是方程的解；选项D ，e (R)x y c x c =⋅∈⋅，e e x x y c cx '=+，22e e e e 0x x x x xy y xy cx cx cx cx '+-=+--=，是方程的解．故选：CD ．10．（2022·河北沧州·二模）已知实数,a b 满足e e e a b a b ++=，则（） A ．0ab < B ．1a b +> C ．e e 4a b + D ．e 1a b >【答案】BCD 【解析】【分析】A.由e e e a b a b ++=得到111e ea b +=判断；BC.由e e e 2e e a b a b a b ++==2b 判断；D. 由111e e a b +=，得到e e e 1e 11e 1e 1b b b ab b b b b -+-=-=--，令()e e 1,0b b f b b b =-+>，用导数法判断. 【详解】由e e e a b a b ++=得111e ea b +=，又e 0,e 0a b >>，所以e 1,e 1a b >>，所以0,0a b >>，所以0ab >，选项A 错误；因为e e e 2e e a b a b a b ++==2b ，即e e e 4a b a b ++=，所以ln41a b +>，选项B C ,正确，因为111e e a b +=，所以e e e 1b ab =-，所以e e e 1e 11e 1e 1b b b a bbb b b -+-=-=--.令()e e 1,0b b f b b b =-+>，则()e 0b f b b '=>，所以f b 在区间()0,∞+上单调递增，所以()()00f b f >=，即e e 10b b b -+>，又e 10b ->，所以e 10a b ->，即e 1a b >，选项D 正确. 故选：BCD11．（2022·湖南·模拟预测）已知1x >，1y >，且()()1e 11e y xx y ++=+，则下列结论一定正确的是（）A ．()ln 0x y ->B ．122x y +<C ．226x y +>D ．()ln ln3x y +<【答案】AC 【解析】【分析】构造函数()e xf x x=，利用导数判断函数的单调性，得出1x y >+，结合不等式以及指、对数函数的性质逐一判断即可. 【详解】令()e x f x x=，则()()2e 1e e xx x x x f x x x --'==，所以当1x >时，()0f x '>，所以()f x 在()1,+∞上单调递增；由()()1e 11e yxx y ++=+得1e e 111x y x y y +=+++，即1e e 111x y x y y +-=++，∵1y >，∴11012y <<+， ∴1e e 1012x y x y +<-<+，即()()1012f x f y <-+<， ∴1x y >+，即1->x y ，∴()ln 0x y ->，A 正确；由1x y >+知12x y +>+，所以12222x y y ++>>，所以选项B 错误；由1x y >+知12222326x y y y y ++>+=⋅>，所以选项C 正确．由1x y >+，1y >知213x y y +>+>，所以()()ln ln 21ln3x y y +>+>，所以D 错误，故选：AC ．12．（2022·全国·高考真题）已知函数，则（）A ．有两个极值点B ．有三个零点C ．点是曲线的对称中心D ．直线是曲线的切线【答案】AC 【解析】【分析】利用极值点的定义可判断A ，结合的单调性、极值可判断B ，利用平移可判断C ；利用导数的几何意义3()1f x x x =-+()f x ()f x (0,1)()y f x =2y x =()y f x =()f x判断D. 【详解】由题，，令得或令得，所以在上单调递减，在，上单调递增，所以是极值点，故A 正确；因，，，所以，函数在上有一个零点，当时，，即函数在上无零点，综上所述，函数有一个零点，故B 错误；令，该函数的定义域为，，则是奇函数，是的对称中心，将的图象向上移动一个单位得到的图象，所以点是曲线的对称中心，故C 正确；令，可得，又，当切点为时，切线方程为，当切点为时，切线方程为，故D 错误.故选：AC.三、填空题13．（2020·河南高三其他（理））函数()2222ln x f x x e x ax =--，若0a =，则()f x 在[]1,2的最小值为_______；当0x >时，()1fx ≥恒成立，则a 的取值范围是_____.【答案】e (],1-∞ 【解析】当0a =时，∵()222ln x f x x ex =-，∴()222222x x f x xe x xe x'=+⋅-. 当1x >时，()0f x '>恒成立，()231f x x '=-()0fx '>x >x <()0f x '<x <()f x ((,-∞)+∞x =(10f =+>10f =>()250f -=-<()f x ,⎛-∞ ⎝⎭x ≥()0f x f ≥>⎝⎭()f x ⎫∞⎪⎪⎝⎭()f x 3()h x x x =-R ()()()()33h x x x x x h x -=---=-+=-()h x (0,0)()h x ()h x ()f x (0,1)()y f x =()2312f x x '=-=1x =±()(1)11f f =-=(1,1)21y x =-(1,1)-23y x =+∴()f x 在[]1,2上单调递增.∴()f x 在[]1,2上最小值为()1f e =.又0x >时，()1f x ≥恒成立，令 ()1xg x e x =--,()()100xg x e g ''=->=,所以()g x 在()0,∞+ 递增，()()00g x g >= 所以1x e x >+ ∴()22222ln 22ln 2ln x x x f x x e x ax e x ax +=--=--()2222ln 12ln 111x x x ax a x ≥++--=-+≥恒成立，∴1a ≤.故答案为e ；(],1-∞.14．（2022·全国·模拟预测（理））若曲线ln x y x =与212y kx =-仅有1个公共点，则k 的取值范围是___________. 【答案】(]1,02⎧⎫-∞⋃⎨⎬⎩⎭##1|02k k k ⎧⎫≤=⎨⎬⎩⎭或【解析】【分析】将原问题转化为32ln 12x k x x =+只有一个解,令()()32ln 102x g x x x x =+>,利用导数求出()g x 的单调性及最值即可得答案. 【详解】由题意可得:2ln 12x kx x =-只有一个解()0x >, 即32ln 12x k x x=+只有一个解. 令()32ln 12x g x x x=+, ()0x >原问题等价于y k =与()y g x =只有一个交点. 因为()43413ln 113ln x x xg x x x x '---=-= 因为13ln y x x =--在()0,∞+上单调递减, 且在1x =处的值为0 ,所以当()0,1x ∈时, ()()0,g x g x '>单调递增,当()1,x ∈+∞时, ()()0,g x g x '<单调递减且恒为正, 所以()()max 112g x g ==, 又因为y k =与()y g x =只有一个交点, 所以(]1,02k ⎧⎫∈-∞⎨⎬⎩⎭.故答案为: (]1,02⎧⎫-∞⋃⎨⎬⎩⎭.15．（2012·福建·高考真题（理））对于实数a 和b ，定义运算“*”：设f （x ）=（2x -1）*（x -1），且关于x 的方程为f （x ）=m （m ∈R ）恰有三个互不相等的实数根x 1，x 2，x 3，则x 1x 2x 3的取值范围是_________________ 【答案】【解析】【详解】由定义运算“*”可知即，该函数图像如下：由，假设当关于x 的方程为f （x ）=m （m ∈R ）恰有三个互不相等的实数根时， m 的取值范围是，且满足方程，所以令则，所以令22,,a ab a ba b b ab a b ⎧-≠=⎨->⎩⎫⎪⎪⎝⎭22(21)(21)(1)0()?(1)(21)(1)0x x x x f x x x x x ⎧----=⎨---->⎩2220()0x x x f x x x x ⎧-=⎨-+>⎩1124f ⎛⎫= ⎪⎝⎭1230x x x <<<10,4⎛⎫⎪⎝⎭23,x x 2-+=x x m 23=x x m 22-=x x m 1=x 123==x x x m 10,4⎛⎫=∈ ⎪⎝⎭y m所以，又在递增的函数，所以，所以，所以在递减，则当时，；当时，所以.16．（2022·江苏·常州高级中学模拟预测）已知函数22()ln 2e f x x x mx =-+，若()0f x ≥的解集中恰有一个整数，则m 的取值范围为________．【答案】22ln 22e ,4e 2⎡⎫-⎪⎢⎣⎭【解析】【分析】由()0f x ≥且0x >，得出2ln 2e x x m x -+≥-，构造函数()ln =-xg x x，利用导数研究()g x 的单调性，画出()ln =-x g x x 和22e y x =-的大致图象，由图可知0m >，设0x 为()ln =-xg x x和22e y x m =-+的交点的横坐标，结合题意可知该整数为1，即012x ≤<，当直线22e y x m =-+过1,0A 和ln 22,2B ⎛⎫- ⎪⎝⎭时，即可求出求出m 的值，从而得出m 的取值范围.【详解】由题可知，22()ln 2e f x x x mx =-+，0x >，由于()0f x ≥的解集中恰有一个整数，即22ln 2e 0x x mx -+≥，即222e ln x mx x -+≥-，因为0x >，所以2ln 2e xx m x-+≥-的解集中恰有一个整数，令()ln =-x g x x ，则()2ln 1-'=x g x x ，当1e x <<时，()0g x '<；当e x >时，()0g x '>，所以()g x 在()1,e 上单调递减，在()e,+∞上单调递增，画出()ln xy xg x ==-和22e y x =-的大致图象，如图所示：要使得2ln 2e xx m x-+≥-，可知0m >， 114'⎛= ⎝y ()=h m 10,4⎛⎫⎪⎝⎭()()01>=h m h 0y '<=y 10,4⎛⎫ ⎪⎝⎭0m =0y =14m ==y 123⎫∈⎪⎪⎝⎭x x x设0x 为()ln =-xg x x和22e y x m =-+的交点的横坐标，而2ln 2e xx m x-+≥-的解集中恰有一个整数，可知该整数为1，即012x ≤<，当01x =时，得()10g =；当02x =时，得()ln 222g =-，即1,0A ，ln 22,2B ⎛⎫- ⎪⎝⎭，当直线22e y x m =-+过点1,0A 时，得22e m =，当直线22e y x m =-+过点ln 22,2B ⎛⎫- ⎪⎝⎭时，得2ln 24e 2m =-，所以m 的取值范围为22ln 22e ,4e 2⎡⎫-⎪⎢⎣⎭.故答案为：22ln 22e ,4e 2⎡⎫-⎪⎢⎣⎭四、解答题17．（2018·全国·高考真题（文））已知函数．（1）求曲线在点处的切线方程；（2）证明：当时，．【答案】（1）切线方程是（2）证明见解析【解析】【分析】（1）求导，由导数的几何意义求出切线方程．（2）当时，,令，只需证明即可．【详解】()21x ax x f x e +-=()y f x =()0,1-1a ≥()0f x e +≥210x y --=a 1≥()12f x e 1x x e x x e +-+≥++-（）12gx 1x e x x +=++-gx 0≥（1），．因此曲线在点处的切线方程是．（2）当时，．令，则，当时，，单调递减；当时，，单调递增；所以．因此．18．（2017·全国·高考真题（理））已知函数（1）讨论的单调性；（2）若有两个零点，求的取值范围. 【答案】（1）见解析；（2）. 【解析】【详解】试题分析：（1）讨论单调性，首先进行求导，发现式子特点后要及时进行因式分解，再对按，进行讨论，写出单调区间；（2）根据第（1）问，若，至多有一个零点.若，当时，取得最小值，求出最小值，根据，，进行讨论，可知当时有2个零点.易知在有一个零点；设正整数满足，则.由于，因此在有一个零点.从而可得的取值范围为.试题解析：（1）的定义域为，，（ⅰ）若，则，所以在单调递减. （ⅱ）若，则由得.当时，；当时，，所以在单调递减，在单调递增.（2）（ⅰ）若，由（1）知，至多有一个零点.（ⅱ）若，由（1）知，当时，取得最小值，最小值为. ()()2212xax a x f x e-++'-=()02f '=()y f x =()0,1-210x y --=1a ≥()()211x xf x e x x e e +-+≥+-+()211xg x x x e +=+-+()121x g x x e +=++'()120x g x e +''=+>1x <-()()10g x g '-'<=()g x 1x >-()()10g x g '-'>=()g x ()g x ()1=0g ≥-()0f x e +≥()()2e 2e x xf x a a x =+--()f x ()f x a (0,1)()f x a 0a ≤0a >0a ≤()f x 0a >ln x a =-()f x 1(ln )1ln f a a a-=-+1a =(1,)∈+∞a (0,1)a ∈(0,1)a ∈()f x (,ln )a -∞-0n 03ln(1)n a>-00000000()e (e 2)e 20n n n n f n a a n n n =+-->->->3ln(1)ln a a->-()f x (ln ,)a -+∞a (0,1)()f x (),-∞+∞()()()()2221121x x x xf x ae a e ae e =+---'=+0a ≤()0f x '<()f x (),-∞+∞0a >()0f x '=ln x a =-(),ln x a ∈-∞-()0f x '<()ln ,x a ∈-+∞()0f x '>()f x (),ln a -∞-()ln ,a -+∞0a ≤()f x 0a >ln x a =-()f x ()1ln 1ln f a a a-=-+①当时，由于，故只有一个零点； ②当时，由于，即，故没有零点； ③当时，，即. 又，故在有一个零点.设正整数满足，则.由于，因此在有一个零点. 综上，的取值范围为.19．（2017·全国·高考真题（文））已知函数.（1）讨论的单调性；（2）当时，证明. 【答案】（1）见解析；（2）见解析. 【解析】【分析】（1）先求函数导数，再根据导函数符号的变化情况讨论单调性：当时，，则在单调递增；当时，在单调递增，在单调递减. （2）证明，即证，而，所以需证，设g （x ）=ln x -x +1 ，利用导数易得，即得证. 【详解】（1）的定义域为（0，+），. 若a ≥0，则当x ∈（0，+）时，，故f （x ）在（0，+）单调递增.若a ＜0，则当时，时；当x ∈时，. 故f （x ）在单调递增，在单调递减. （2）由（1）知，当a ＜0时，f （x ）在取得最大值，最大值为. 1a =()ln 0f a -=()f x ()1,a ∈+∞11ln 0a a-+>()ln 0f a ->()f x ()0,1a ∈11ln 0a a-+<()ln 0f a -<()()4222e 2e 22e 20f a a ----=+-+>-+>()f x (),ln a -∞-0n 03ln 1n a ⎛⎫>- ⎪⎝⎭()()00000000e e 2e 20n n n nf n a a n n n =+-->->->3ln 1ln a a ⎛⎫->- ⎪⎝⎭()f x ()ln ,a -+∞a ()0,12()ln (21)f x x ax a x =+++()f x 0a <3()24f x a≤--(21)(1)'()(0)ax x f x x x++=>0a ≥'()0f x >()f x (0,)+∞0a <()f x 1(0,)2a -1(,)2a-+∞3()24f x a ≤--max 3()24f x a ≤--max 1()()2f x f a=-11ln()1022a a -++≤max ()(1)0g x g ==()f x ∞()()‘1211)22(1x ax f x ax a x x++=+++=∞’)(0f x ＞∞10,2x a ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭()0f x '＞1()2a ∞-+，’)(0f x <’)(0f x ＞1()2a∞-+，12x a=-111()ln()1224f a a a -=---所以等价于，即. 设g （x ）=ln x -x +1，则. 当x ∈（0,1）时，；当x ∈（1，+）时，.所以g （x ）在（0,1）单调递增，在（1，+）单调递减.故当x =1时，g （x ）取得最大值，最大值为g （1）=0.所以当x ＞0时，g （x ）≤0.从而当a ＜0时，，即. 20．（2016·全国·高考真题（文））设函数．（Ⅰ）讨论的单调性；（Ⅱ）证明当时，；（Ⅲ）设，证明当时，.【答案】（Ⅰ）当时，单调递增；当时，单调递减；（Ⅱ）见解析；（Ⅲ）见解析．【解析】【详解】试题分析：（Ⅰ）首先求出导函数，然后通过解不等式或可确定函数的单调性；（Ⅱ）左端不等式可利用（Ⅰ）的结论证明，右端将左端的换为即可证明；（Ⅲ）变形所证不等式，构造新函数，然后通过利用导数研究函数的单调性来处理．试题解析：（Ⅰ）由题设，的定义域为，，令，解得. 当时，，单调递增；当时，，单调递减. （Ⅱ）由（Ⅰ）知，在处取得最大值，最大值为. 所以当时，. 故当时，，，即. （Ⅲ）由题设，设，则，令，解得.当时，，单调递增；当时，，单调递减. 由（Ⅱ）知，，故，又，故当时，. 所以当时，.3()24f x a≤--113ln()12244a a a ---≤--11ln()1022a a -++≤’1(1)g x x=-()0g x '>∞()0g x '<∞11ln()1022a a -++≤3()24f x a≤--()ln 1f x x x =-+()f x (1,)x ∈+∞11ln x x x-<<1c >(0,1)x ∈1(1)xc x c +->01x <<()f x 1x >()f x ()f x '()0f x '>()0f x '<()f x x 1x()f x (0,)+∞1()1f x x=-'()0f x '=1x =01x <<()0f x '>()f x 1x >()0f x '<()f x ()f x 1x =(1)0f =1x ≠ln 1x x <-(1,)x ∈+∞ln 1x x <-11ln1x x <-11ln x x x-<<1c >()1(1)x g x c x c =+--'()1ln xg x c c c =--'()0g x =01lnln ln c c x c-=0x x <'()0g x >()g x 0x x >'()0g x <()g x 11ln c c c-<<001x <<(0)(1)0g g ==01x <<()0g x >(0,1)x ∈1(1)xc x c +->21．（2015·全国·高考真题（理））设函数．（1）证明：在单调递减，在单调递增；（2）若对于任意，都有，求m 的取值范围．【答案】（1）在单调递减，在单调递增；（2）.【解析】【详解】（Ⅰ）．若，则当时，，；当时，，．若，则当时，，；当时，，．所以，在单调递减，在单调递增．（Ⅱ）由（Ⅰ）知，对任意的，在单调递减，在单调递增，故在处取得最小值．所以对于任意，的充要条件是：即①，设函数，则．当时，；当时，．故在单调递减，在单调递增．又，，故当时，．当时，，，即①式成立．当时，由的单调性，，即；当时，，即．综上，的取值范围是．22．（2014·四川·高考真题（理））已知函数，其中，为自然对数的底数.（Ⅰ）设是函数的导函数，求函数在区间上的最小值；（Ⅱ）若，函数在区间内有零点，求的取值范围【答案】（Ⅰ）当时，；当时，；当时， .（Ⅱ）的范围为. 【解析】【详解】试题分析：（Ⅰ）易得，再对分情况确定的单调区间，根据在上的单调性即可得在上的最小值.（Ⅱ）设为在区间内的一个零点，注意到2()e mx f x x mx =+-()f x (,0)-∞(0,)+∞12,[1,1]x x ∈-12|()()|1f x f x e -≤-()f x (,0)-∞(0,)+∞[1,1]-()(1)2mx f x m e x -'=+0m ≥(,0)x ∈-∞10mx e -≤()0f x '<(0,)x ∈+∞10mx e -≥()0f x '>0m <(,0)x ∈-∞10mx e ->()0f x '<(0,)x ∈+∞10mx e -<()0f x '>()f x (,0)-∞(0,)+∞m ()f x [1,0]-[0,1]()f x 0x =12,[1,1]x x ∈-12()()1f x f x e -≤-(1)(0)1,{(1)(0)1,f f e f f e -≤---≤-1,{1,m m e m e e m e --≤-+≤-()1t g t e t e =--+()1t g t e =-'0t <()0g t '<0t >()0g t '>()g t (,0)-∞(0,)+∞(1)0g =1(1)20g e e --=+-<[1,1]t ∈-()0g t ≤[1,1]m ∈-()0g m ≤()0g m -≤1m >()g t ()0g m >1m e m e ->-1m <-()0g m ->1m e m e -+>-m [1,1]-2()1x f x e ax bx =---,a b R ∈ 2.71828e =()g x ()f x ()g x [0,1](1)0f =()f x (0,1)a 12a ≤()(0)1g x g b ≥=-122e a <≤()22ln(2)g x a a a b ≥--2e a >()2g x e a b ≥--a ()2,1e -()2,()2x x g x e ax b g x e a -='=--a ()g x ()g x [0,1]()g x [0,1]0x ()f x (0,1).联系到函数的图象可知，导函数在区间内存在零点，在区间内存在零点，即在区间内至少有两个零点. 由（Ⅰ）可知，当及时，在内都不可能有两个零点.所以.此时，在上单调递减，在上单调递增，因此，且必有.由得：，代入这两个不等式即可得的取值范围.试题解答：（Ⅰ）①当时，，所以.②当时，由得.若，则；若，则. 所以当时，在上单调递增，所以. 当时，在上单调递减，在上单调递增，所以. 当时，在上单调递减，所以. （Ⅱ）设为在区间内的一个零点，则由可知，在区间上不可能单调递增，也不可能单调递减.则不可能恒为正，也不可能恒为负.故在区间内存在零点.同理在区间内存在零点.所以在区间内至少有两个零点.由（Ⅰ）知，当时，在上单调递增，故在内至多有一个零点. 当时，在上单调递减，故在内至多有一个零点. 所以. 此时，在上单调递减，在上单调递增，因此，必有.由得：，有(0)0,(1)0f f ==()g x 0(0,)x 1x ()g x 0(),1x 2x ()g x (0,1)12a ≤2e a ≥()g x (0,1)122e a <<()g x [0,ln 2]a [ln 2,1]a 12(0,ln(2)],(ln(2),1)x a x a ∈∈(0)10,(1)20g b g e a b =->=-->(1)10f e a b =---=1b e a =--a ()2,()2x xg x e ax b g x e a -='=--0a ≤()20x g x e a -'=>()(0)1g x g b ≥=-0a >()20x g x e a -'=>2,ln(2)x e a x a >>12a >ln(2)0a >2e a >ln(2)1a >102a <≤()g x [0,1]()(0)1g x g b ≥=-122e a <≤()g x [0,ln 2]a [ln 2,1]a ()(ln 2)22ln 2g x g a a a a b ≥=--2e a >()g x [0,1]()(1)2g x g e a b ≥=--0x ()f x (0,1)0(0)()0f f x ==()f x 0(0,)x ()g x ()g x 0(0,)x 1x ()g x 0(),1x 2x ()g x (0,1)12a ≤()g x [0,1]()g x (0,1)2e a ≥()g x [0,1]()g x (0,1)122e a <<()g x [0,ln 2]a [ln 2,1]a 12(0,ln(2)],(ln(2),1)x a x a ∈∈(0)10,(1)20g b g e a b =->=-->(1)10f e a b =---=12a b e +=-<.解得.当时，在区间内有最小值.若，则，从而在区间上单调递增，这与矛盾，所以.又，故此时在和内各只有一个零点和.由此可知在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增.所以，，故在内有零点.综上可知，的取值范围是. (0)120,(1)210g b a e g e a b a =-=-+>=--=->21e a -<<21e a -<<()g x [0,1](ln(2))g a (ln(2))0g a ≥()0([0,1])g x x ≥∈()f x [0,1](0)(1)0f f ==(ln(2))0g a <(0)20,(1)10g a e g a =-+>=->()g x (0,ln(2))a (ln(2),1)a 1x 2x ()f x 1[0,]x 1(,x 2)x 2[,1]x 1()(0)0f x f >=2()(1)0f x f <=()f x 1(,x 2)x a (2,1)e -。

课堂新坐标2013届高三数学(文)一轮复习阶段知能检测4

阶段知能检测(四)本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分，共150分，考试时间120分钟．第Ⅰ卷一、选择题(本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．(2011·辽宁高考)i 为虚数单位，1i ＋1i 3＋1i 5＋1i 7＝( ) A ．0 B ．2i C ．－2i D ．4i2．设i ，j 是不共线的单位向量，a ＝5i ＋3j ，b ＝3i －5j ，则a ⊥b 是i ⊥j 的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既非充分又非必要条件3．(2011·浙江高考)若复数z ＝1＋i ，i 为虚数单位，则(1＋z )·z ＝( )A ．1＋3iB ．3＋3iC ．3－iD ．34．(2012·江门模拟)若四边形ABCD 满足AB →＋CD →＝0，(AB →－AD →)·AC →＝0，则该四边形一定是( )A ．直角梯形B ．菱形C ．矩形D ．正方形5．平面向量a 与b 的夹角为60°，a ＝(2,0)，|b |＝1，则|a ＋2b |＝( ) A. 3 B ．2 3 C ．4 D ．126．(2011·课标全国卷)复数2＋i 1－2i的共轭复数是( ) A ．－35i B.35i C ．－i D ．i 7．已知向量a 、b 不共线，c ＝k a ＋b (k ∈R )，d ＝a －b .如果c ∥d ，那么( )A ．k ＝1且c 与d 同向B ．k ＝1且c 与d 反向C ．k ＝－1且c 与d 同向D ．k ＝－1且c 与d 反向8．(2011·课标全国卷)a ，b 为平面向量，已知a ＝(4,3)，2a ＋b ＝(3,18)，则a ，b 夹角的余弦值等于( )A.865 B ．－865 C.1665 D ．－16659．已知两点M (－2,0)，N (2,0)，点P 为坐标平面内的动点，满足|MN →|·|MP→|＋MN →·NP→＝0，则动点P (x ，y )的轨迹方程为( ) A ．y 2＝8x B ．y 2＝－8xC ．y 2＝4xD ．y 2＝－4x10．设a ＝(a 1，a 2)，b ＝(b 1，b 2)，定义一种向量积：a ⊗b ＝(a 1b 1，a 2b 2)．已知点P (θ，sin θ)，m ＝(2，12)，n ＝(π3，0)，点Q 在y ＝f (x )的图象上运动，满足OQ →＝m ⊗OP→＋n (其中O 为坐标原点)，则y ＝f (x )的最大值A 及最小正周期T 分别为( )A ．2，πB ．2,4πC.12，4πD.12，π 第Ⅱ卷二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中横线上)11．若向量a ＝(1,1)，b ＝(2,5)，c ＝(3，x )满足条件(8a －b )·c ＝30，则x ＝________.12．(2011·广东高考改编)设复数z 满足(1＋i)z ＝2，其中i 是虚数单位，则z ＝________.13．|a |＝1，|b |＝2，且a ⊥(a －b )，则向量a 与向量b 的夹角是________．14．在四边形ABCD 中，AB →＝DC →＝(1,1)，1|BA →|BA →＋1|BC →|BC →＝3|BD→|BD →，则四边形ABCD 的面积为________．三、解答题(本大题共6小题，共80分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)15．(本小题满分12分)设存在复数z 同时满足下列条件：(1)复数z 在复平面内对应点位于第二象限；(2)z ·z ＋2i z ＝8＋a i(a ∈R )．试求a 的取值范围．16．(本小题满分13分)已知A (3,0)，B (0,3)，C (cos α，sin α)．(1)若AC →·BC →＝－1，求sin(α＋π4)的值； (2)若|OA →＋OC →|＝13，且α∈(0，π)，求OB →与OC →的夹角．17．(本小题满分13分)已知向量OP →＝(2cos x ＋1，cos 2x －sin x ＋1)，OQ →＝(cos x ，－1)，定义f (x )＝OP →·OQ →.(1)求函数f (x )的最小正周期；(2)若x ∈(0,2π)，当OP →·OQ →＜－1时，求x 的取值范围．18．(本小题满分14分)设O 为坐标原点，已知向量OZ 1→，OZ 2→分别对应复数z 1，z 2，且z 1＝3a ＋5＋(10－a 2)i ，z 2＝21－a＋(2a －5)i(其中a ∈R )，若z 1＋z 2可以与任意实数比较大小，求OZ 1→·OZ 2→的值．19．(本小题满分14分)已知△ABC 的角A 、B 、C 所对的边分别是a 、b 、c ，设向量m ＝(a ，b )，n ＝(sin B ，sin A )，p ＝(b －2，a －2)．(1)若m ∥n ，求证：△ABC 为等腰三角形；(2)若m ⊥p ，边长c ＝2，角C ＝π3，求△ABC 的面积． 20．(本小题满分14分)已知两点M (－1,0)，N (1,0)，且点P 使NM →·NP →，PM →·PN→，MP →·MN→成公差为非负的等差数列． (1)求点P 的轨迹方程；(2)若θ为PM →与PN →的夹角，求θ的最大值及此时点P 的坐标．答案及解析1．【解析】原式＝－i ＋i ＋(－i)＋i ＝0.【答案】 A2．【解析】 a ·b ＝(5i ＋3j )·(3i －5j )＝15|i |2－16i ·j －15|j |2＝－16i ·j .∴a ⊥b 是i ⊥j 的充要条件．【答案】 C3．【解析】 ∵z ＝1＋i ，∴(1＋z )·z ＝(2＋i)(1＋i)＝1＋3i.【答案】 A4．【解析】由AB→＋CD →＝0知，AB →＝DC →， ∴四边形ABCD 是平行四边形．又(AB →－AD →)·AC→＝0， ∴DB →·AC→＝0，即AC ⊥BD ，因此四边形ABCD 是菱形．【答案】 B5．【解析】 ∵|a |＝2，且|b |＝1，∴|a ＋2b |2＝(a ＋2b )2＝a 2＋4a ·b ＋4b 2＝4＋4×2×1×cos 60°＋4×12＝12.∴|a ＋2b |＝2 3.【答案】 B6．【解析】 ∵2＋i 1－2i ＝(2＋i )(1＋2i )(1－2i )(1＋2i )＝2＋i ＋4i －25＝i ， ∴2＋i 1－2i的共轭复数为－i. 【答案】 C7．【解析】 ∵c ∥d 且a ，b 不共线，∴存在唯一实数λ，使c ＝λd . ∴k a ＋b ＝λa －λb ，∴⎩⎨⎧ k ＝λ，1＝－λ，∴⎩⎨⎧k ＝－1，λ＝－1.【答案】 D8．【解析】 ∵a ＝(4,3)，2a ＋b ＝(3,18)，∴b ＝(3,18)－2(4,3)＝(－5,12)，∴cos 〈a ，b 〉＝a ·b |a |·|b |＝(4，3)·(－5，12)5×13＝1665【答案】 C9．【解析】 ∵MN→＝(4,0)，MP →＝(x ＋2，y )，NP →＝(x －2，y )， ∴|MN →|·|MP →|＋MN →·NP→ ＝4·(x ＋2)2＋y 2＋4(x －2)＝0. 整理，得(x ＋2)2＋y 2＝2－x ，化简得y 2＝－8x .【答案】 B10．【解析】设点Q (x ，y )，由OQ →＝m ⊗OP →＋n ，得OQ →＝(2θ，12sin θ)＋(π3，0)＝(2θ＋π312sin θ)， ∴x ＝2θ＋π3，且y ＝12sin θ，消去θ，得y ＝12sin(x 2－π6)，依题意f (x )＝12sin(x 2－π6)，因此A ＝12，最小正周期T ＝4π. 【答案】 C11．【解析】由(8a －b )·c ＝30，得18＋3x ＝30，x ＝4.【答案】 412．【解析】 z ＝21＋i ＝2(1－i )(1＋i )(1－i )1－i. 【答案】 1－i13．【解析】设向量a 与b 的夹角为θ，由a ⊥(a －b )，得 a ·(a －b )＝0，即|a |2－a ·b ＝0，∴|a ||b |cos θ＝|a |2，∴cos θ＝|a ||b |＝22，故θ＝π4.【答案】 π414．【解析】如图所示，由AB →＝DC →＝(1,1)知AB 綊DC .又1|BA →|→＋1|BC →|→＝3|BD →|BD →，知四边形ABCD 为菱形，且AB ＝AD ＝2，又∵(1|BA →|·BA →＋1|BC →|·BC →)2＝3， ∴∠ABC ＝60°.∴S 四边形ABCD ＝2×2×32＝ 3. 【答案】 3 15．【解】设z ＝x ＋y i(x ，y ∈R )，由(1)得x ＜0，y ＞0.由(2)得x 2＋y 2＋2i(x ＋y i)＝8＋a i ，即x 2＋y 2－2y ＋2x i ＝8＋a i.由复数相等，得⎩⎨⎧x 2＋y 2－2y ＝8，2x ＝a .解得－6≤a ＜0. 因此实数a 的取值范围是－6≤a ＜0.16．【解】 (1)∵AC→＝(cos α－3，sin α)，BC →＝(cos α，sin α－3)， ∴AC →·BC→＝(cos α－3)cos α＋sin α(sin α－3)＝－1，得cos 2α＋sin 2α－3(cos α＋sin α)＝－1，∴cos α＋sin α＝23∴sin(α＋π4)＝23. (2)∵|OA →＋OC →|＝13，∴(3＋cos α)2＋sin 2α＝13，∴cos α＝12，∵α∈(0，π)，∴α＝π3，sin α＝32，∴C (12，32)， ∴OB →·OC →＝332，设OB→与OC →的夹角为θ，且θ∈[0，π]，则cos θ＝OB →·OC →|OB →|·|OC→|3323＝32.故θ＝π6为所求． 17．【解】 (1)f (x )＝OP →·OQ→ ＝2cos 2x ＋cos x －cos 2x ＋sin x －1＝sin x ＋cos x ＝2sin(x ＋π4)，则f (x )的最小正周期为T ＝2π.(2)由OP →·OQ →＜－1，得sin(x ＋π4)＜－22. 又x ∈(0,2π)，则5π4＜x ＋π4＜7π4，即π＜x ＜3π2. 故x 的取值范围是(π，3π2)． 18．【解】依题意z 1＋z 2为实数，由z 1＝3a ＋5－(10－a 2)i ， ∴z 1＋z 2＝3a ＋5＋21－a＋[(a 2－10)＋(2a －5)]i 的虚部为0， ∴a 2＋2a －15＝0，解得a ＝－5，或a ＝3.又分母不为零，∴a ＝3，此时z 1＝38＋i ，z 2＝－1＋i ，即OZ 1→＝(38，1)，OZ 2→＝(－1,1)， ∴OZ 1→·OZ 2→＝38×(－1)＋1×1＝58. 19．【解】 (1)证明 ∵m ∥n ，∴a sin A ＝b sin B ，由正弦定理，得a 2＝b 2，∴a ＝b .∴△ABC 为等腰三角形．(2)由题意可知m ·p ＝0，即a (b －2)＋b (a －2)＝0.∴a ＋b ＝ab .由余弦定理可知，4＝a 2＋b 2－ab ＝(a ＋b )2－3ab ，即(ab )2－3ab －4＝0，∴ab ＝4(舍去ab ＝－1)，∴S ＝12ab sin C ＝124×sin π3＝ 3. 20．【解】 (1)设点P 的坐标为(x ，y )，又M (－1,0)，N (1,0)，则PM →＝－MP →＝(－1－x ，－y )，PN →＝－NP →＝(1－x ，－y )，MN →＝－NM →＝(2,0)． ∴NM →·NP→＝2(1－x )， PM →·PN →＝x 2＋y 2－1，MP →·MN→＝2(1＋x )，依题意得⎩⎨⎧ 2(x 2＋y 2－1)＝2(1＋x )＋2(1－x )，2(1＋x )－2(1－x )≥0⇔⎩⎨⎧x 2＋y 2＝3，x ≥0.∴点P 的轨迹方程为x 2＋y 2＝3(x ≥0)．(2)∵PM →·PN →＝(－1－x ，－y )·(1－x ，－y )＝x 2＋y 2－1＝2，|PM →|·|PN→|＝(－1－x )2＋(－y )2·(1－x )2＋(－y )2 ＝24－x 2.∴cos θ＝PM →·PN →|PM →|·|PN →|＝14－x 2. ∵0≤x ≤3，∴12≤cos θ≤1，∴0≤θ≤π3. ∴θ的最大值为π3，此时x ＝0，∴点P的坐标为(0，±3)．。

2024届高三数学一轮复习-三角函数与解三角形第4练二倍角公式及应用(解析版)

B． cos A cos B
C． sin 2A sin 2B
D． cos 2A cos 2B
12．（2023·全国·高三专题练习）给出下列说法，其中正确的是（）
A．若 cos 1 ，则 cos 2 7
3
9
C．若 x 1 ，则 x 1 的最小值为 2
2
x
B．若 tan 2 4 ，则 tan 1
D． 5 或
5
5
）
D． 24 25
7．（2023·全国·高三专题练习）下列四个函数中，最小正周期与其余三个函数不同的是（）
A． f x cos2 x sin x cos x
B． f x 1 cos 2 x
2sin x cos x
C．
f
x
cos
x
π 3
cos
x
π 3
D．
f
x
sin
D
不
正确，
故选：BC.
10．AD
【分析】根据二倍角正弦公式、辅助角公式，结合正弦型函数的单调性、平移的性质、对称
性、换元法逐一判断即可.
【详解】 f (x) sin x cos x 1 sin 2x, g(x) sin x cos x 2 sin(x π ) ，
2
4
当
x
0,
π 4
时，
3 5 8
2
5 1 5 1．
16
4
故选：D．
2．B 【分析】根据三角恒等变换公式求解.
【详解】
sin
π 6
cos
3 sin 1 cos cos 3 ,
2
2
5
所以 3 sin 1 cos 3 ，

2023高三文科数学上学期一轮复习联考全国卷4pdf

2023届高三一轮复习联考（四）全国卷8．已知函数J(x)＝屈s in(2x+0)—cos(2x+0),0 E（气］，且f(O)=l，则0=re_6．A产4．B亢＿3．c产2．D文科数学试题注意事项：l．答卷前，考生务必将自己的姓名、考场号、座位号、准考证号填写在答题卡上。

2．回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。

如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。

回答非选择题时，将答案写在答题卡上。

写在本试卷上无效。

3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

考试时间为120分钟，满分150分一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．已知集合A={x lx2<l},B = {x I O<x<2}，则AnB=A.(—1, 2)2.(2+i)(2—3i)=A.l—i3．下列命题中的假命题是迈A.3 x E R, s in x=— 2A.—2B.25．函数f(x)=cos x+sin 2x的图象可能是yB.(—1,0)B.7—IyC.(O, 1)C.l—4iB.3 xER,ln x=—lC.'efxER,x2>0D.'efxER,3气＞04．已知数列{a n}是各项均为正数的等差数列，a s=10，且a4• a6=96，则公差为C.—2或2D.4y yAXB c D16．已知a=lg—,b=cos l,c=z-2，则a,b,c的大小关系为2A.a<b<cB.a<c<bC.b<a<cxD.Cl,2)D.7—4iD.b<c<a.,7．如图，正方形ABCD中，E、F分别为AB、A D的中点，且BF＝入B E+AXDµBD，则入十µ的值是1 EA.1B.—23D.2C.—2 B CX 2 y 2 ＇，9直线l:y＝瓦x与椭圆C:勹+—=1交于P,Q两点，F是椭圆C的右焦点，且PP·QF=a z, b20，则椭圆的离心率为A.4—2祁B.2点—3C．点—l10．已知正数a,b满足矿＋2矿＝1，则a矿的最大值是A. 屈屈B. C.— D.—11如图所示，在正方体ABCD—A1B1C卫中，O,F分别为BD,AA]的中D,点，设二面角F—D10—B的平面角为a直线O F与平面B B丸D所成A,＇\ \B角为p，则::;：三：高三三三三：三＜言昙三三：个立体，被任一平行千这两个平面的平面所截，如果两个截面的面积相等，则这两个几何体的体积相等．上述原理在中国被称为祖睢原理，国外则一般称之为卡瓦列利原理．已知y将双曲线C：三——=1与直线y＝土2围成的图形绕y轴8 2旋转一周得到一个旋转体E，则旋转体E的体积是昼2D二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

2021高三数学(理)一轮复习专练4函数及其表示含解析

2021高三数学（理）人教版一轮复习专练4函数及其表示含解析专练4函数及其表示命题范围：函数的概念及其表示、映射、函数的对应法则、函数的定义域、值域．[基础强化]一、选择题1．已知集合A到集合B的映射f：（x，y)→(x＋2y，2x－y）,在映射f下对应集合B中元素(3，1)的A中元素为(）A．(1,3) B．（1，1）C．（3，1）D．（5,5)2．下列各组函数中，表示同一函数的是（)A．f（x）＝|x｜,g（x)＝错误!B．f（x）＝错误!,g（x）＝（错误!)2C．f（x)＝x2－1x－1，g(x）＝x＋1D．f（x）＝x＋1·错误!，g(x）＝错误!3．已知函数f（错误!＋1）＝x＋1,则函数f(x)的解析式为（）A．f(x）＝x2B．f（x）＝x2＋1（x≥1)C．f(x）＝x2－2x＋2(x≥1）D．f（x)＝x2－2x（x≥1)4．函数y＝错误!的定义域为（)A．(－∞，1］B．［－1，1]C．［1,2）∪(2，＋∞）D。

错误!∪错误!5．若函数y＝f（x）的定义域为［1,2 019］,则函数g（x）＝错误!的定义域为（）A．［0，2 018］B．［0,1）∪(1，2 018］C．(1,2 018] D．[－1,1)∪(1，2 018]6．[2020·葫芦岛一中测试]已知f(x）是一次函数,且f［f(x)］＝x＋2，则函数f(x)＝()A．x＋1 B．2x－1C．－x＋1 D．x＋1或－x－17．[2020·邢台一中测试]如图所表示的函数解析式为(）A．y＝错误!｜x－1｜,0≤x≤2B．y＝错误!－错误!|x－1|,0≤x≤2C．y＝32－|x－1|,0≤x≤2D．y＝1－|x－1｜，0≤x≤28．已知函数f（x)＝错误!若f(a）＋f(1)＝0，则实数a的值等于（)A．－4 B．－1C．1 D．49．已知函数f(x）＝－x2＋4x，x∈[m，5］的值域是［－5，4]，则实数m的取值范围是(）A．（－∞,－1) B．（－1,2]C．[－1，2］D．［2，5]二、填空题10．函数f（x)＝错误!的定义域为________．11．[2020·广东珠海测试］已知函数f（x）＝错误!且f(a)＝－3，则f（6－a)＝________。

天津市第二十中学2024-2025学年高三上学期第一次阶段性检测数学试题(含解析)

2024—2025第一学期高三数学学科第一次阶段性检测一､单选题：本题共9小题，每小题5分，共45分.1.已知集合，集合，则集合为（）A. B. C. D.2.在中，若是的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分又不必要条件3.如图5个数据，去掉后，下列说法错误的是（）A.相关系数变大B.相关指数变大C.残差平方和变大D.解释变量与预报变量的相关性变强4.已知函数的图象如图所示，则函数的解析式可能为（）A. B.C. D.5.已知，则（）A.B.C. D.6.从一副不含大小王的52张扑克牌中，每次从中随机抽取1张扑克牌，抽出的牌不再放回.在第一次抽到{}2540A xx x =-+≥∣{}12B x x =∈-≤Z ∣()R A B ⋂ð()1,3{}2,3(]1,3{}1,2,3ABC V :60,:sin p A q A ==p q (),x y ()3,10D r 2R x y ()f x ()f x ()e e x x f x x --=()221sin2ln x f x x x +=⋅()e e x x f x x -+=()221cos2ln x f x x x +=⋅2log 0.40.40.312,log 2,log 0.4a b c ===a b c >>b a c >>c a b >>a c b>>牌的条件下，第二次抽到牌的概率为（）A. B. C. D.7.定义运算､若，则等于（）A. B. C. D.8.在锐角中，，则的周长的取值范围是（）A. B.C. D.9.已知函数，有下列命题：①为函数图象的一条对称轴②将的图象向左平移个单位，得到函数的图象，若在上的最大值为，则的最大值为③在上有3个零点，则实数的取值范围是④函数在上单调递增其中错误的命题个数为（）A.1 B.2 C.3 D.4二､填空题：本题共6小题，共29分.10.是虚数单位，则复数__________.11.在的展开式中，的系数是__________.12.已知随机变量，且，则__________.13.从六个数字中任取三个组成无重复数字的三位数.其中偶数的个数为__________.K K 14113126117a b ad bc c d =-sin sin 1πcos ,cos cos 72αβαβααβ==<<<βπ12π6π4π3ABC V 222(),2S a b c a =--=ABC V (]4,6(4,2⎤⎦(6,2⎤+⎦(2⎤+⎦()44cos 2sin cos sin f x x x x x =+-5π8x =()f x ()f x π4()g x ()g x []0,t ()0g t 3π4()f x []0,a a 9π13π,88⎡⎫⎪⎢⎣⎭()f x ππ,42⎡⎤⎢⎥⎣⎦i 34i 1i +=+522x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭2x ()6,B p ξ~()2E ξ=()32D ξ+=0,1,2,3,4,514.已知，且，则的最小值为__________.15.设，函数，若在区间内恰有4个零点，则的取值范围是__________.三､解答题：本题共5小题，共67分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.16.在中，.（1）求；（2）求；（3）求.17.（本小题12分）已知函数的部分图象如图所示.（1）求的解析式及对称中心坐标；（2）先将的图象纵坐标缩短到原来的倍，再向右平移个单位，最后将图象向上平移1个单位后得到的图象，求函数在上的单调减区间和最值.18.（本小题12分）如图，在四棱台中，，四边形和都是正方形，平面，点为棱的中点0,0a b >>111a b +=1411a b +--a ∈R ()2sin2π,0474,0x x f x x x a x <⎧=⎨-+->⎩()f x (),a ∞-+a ABC V 92cos ,5,163a Bbc ===a sin A ()cos 2B A -()()cos (0,0,π)f x A x A ωϕωϕ=+>><()f x ()f x 12π12()g x ()y g x =π3π,124x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦1111ABCD A B C D -1111,2A A A B AB ===ABCD 1111A B C D 1AA ⊥ABCD E BC（1）求证：平面；（2）求平面与平面所成角的余弦值；（3）求点到平面的距离.19.（本小题12分）已知函数.（1）讨论的单调性；（2）若时，的图象恒在轴上方，求的范围；（3）若存在不相等的实数，使得，证明：.20.（本小题16分）已知函数.（1）求曲线在处的切线斜率；（2）当时，求证：；（3）证明：.1ED ∥11AA B B 1A DE ABCD B 1C DC ()()ln f x x m x m =-∈R ()f x 0m >()f x x m 12,x x ()()12f x f x =120m x x <<+()()11ln 12f x x x ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭()y f x =2x =0x >()1f x >()51ln !ln 162n n n n ⎛⎫<-++≤ ⎪⎝⎭2024—2025第一学期高三数学学科第一次阶段性检测一､单选题：本题共9小题，每小题5分，共45分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的.1.【答案】B【解析】解：集合或，则，集合，故.故选：B.先求出集合，再结合补集､交集的定义，即可求解.本题主要考查集合的混合运算，属于基础题.2.【答案】A【解析】略3.【答案】C【解析】【分析】本题考查了利用散点图判断两个变量的相关关系，相关系数和相关指数，属于简单题.由散点图知，去掉后，与的线性相关加强，由相关系数，相关指数及残差平方和与相关性的关系得出选项.【解答】解：由散点图知，去掉后，与的线性相关加强，且为正相关，所以变大，变大，残差平方和变小.故选C.4.【答案】B 【解析】解：根据题意，由函数的图象，的定义域为，其图象关于原点对称，在区间上，函数图象与轴存在交点，由此分析选项：对于A ，，其定义域为，有为偶函数，不符合题意；对于B ，，其定义域为，有{}2540{4A x x x x x =-+≥=≥∣∣1}x ≤R {14}A xx =<<∣ð{}{}121,0,1,2,3B x x =∈-≤=-Z∣(){}R 2,3A B ⋂=ð,A B ()3,10D y x r 2R ()3,10D y x r 2R ()f x {}0x x ≠∣()0,∞+x ()e e x x f x x --={}0x x ≠∣()()()e e e e ,x x x x f x f x f x x x-----===-()221sin2ln x f x x x+=⋅{}0x x ≠∣为奇函数，其图象关于原点对称，当时，函数图象与轴存在交点，符合题意；对于C ，，当时，，必有恒成立，该函数图象在区间上与轴不存在交点，不符合题意；对D ，于，其定义域为，有为偶函数，不符合题意.故选：B.根据题意，由函数的图象分析的性质，由此分析选项，综合可得答案.本题考查函数的图象分析，涉及函数奇偶性和函数值的分析，属于基础题.5.【答案】C【解析】解：，，则，故.故选：C.根据已知条件，结合指数函数的单调性，即可求解.本题主要考查数值大小的比较，属于基础题.6.【答案】D【解析】解：由题意，第一次抽到牌后剩余51张扑克牌，剩余牌3张，故第二次抽到牌的概率为.故选：D.根据题意，第一次抽到牌后剩余51张扑克牌，剩余牌3张，进而求解即可.本题主要考查了条件概率公式，属于基础题.7.【答案】D【解析】【分析】此题要求学生会根据新定义化简求值，灵活运用角度的变换解决数学问题.掌握两角和与差的正弦函数公式的运用.()()()()222211sin 2ln sin2ln ,x x f x x x f x f x x x++-=-⋅=-⋅=-ππ2x k =+()(),sin20,0k x f x ∈==Z x ()e e x xf x x-+=0x >e e 0,0x x x +->>()0f x >()0,∞+x ()221cos2ln x f x x x+=⋅{}0x x ≠∣()()()()222211cos 2ln cos2ln ,x x f x x x f x f x x x++-=-⋅=⋅=()f x 2log 0.40.40.420.4,log 2log 10a b ===<=0.30.30.30log 1log 0.4log 0.31=<<=1c >c a b >>K K K 315117=K K根据新定义化简原式，然后根据两角差的正弦函数公式变形得到的值，根据，利用同角三角函数间的基本关系求出，再根据求出，利用两边取正切即可得到的值，根据特殊角的三角函数值即可求出.【解答】解：依题设得：..又，.故选D.8.【答案】A【解析】【分析】本题考查了正余弦定理在解三角形中的应用，及三角形面积公式，结合二倍角公式及和差化积公式化简，属于难题.根据结合三角形面积公式，得到和，再由正弦定理得到的周长可表示为，再根据和差化积和二倍角公式进行化简，最后结合角的范围求得答案.【解答】解：根据，得到，化简得，根据()sin αβ-π02βα<<<()cos αβ-cos αsin α()βααβ⎡⎤=--⎣⎦tan ββ()sin cos cos sin sin αβαβαβ⋅-⋅=-=()π130,cos 214βααβ<<<∴-= 1cos ,sin 7αα=∴= ()()()sin sin sin cos cos sin βααβααβααβ⎡⎤=--=⋅--⋅-⎣⎦131147=-=π3β∴=222()S a b c =--3cos 5A =4sin 5A =ABC V ()52sin sin 2l a b c B C =++=++222()S a b c =--()12sin 21cos 2b c A b c A ⋅⋅⨯⨯=⨯⨯⨯-()sin 21cos A A =-，化简得，解得（舍）.又因为为锐角三角形，故.再由正弦定理，，则的周长可表示为，再根据和差化积公式得到：，再根据二倍角公式得到，下面讨论，根据题意得到，则，得到，故，故，故.9.【答案】B【解析】解：由，可得，对于①，当时，对于②，，当，则，()21cos A =-25cos 8cos 30A A -+=3cos,cos 15A A ==ABC V 4sin 5A =254sin sin sin 24b c a B C A ====ABC V ()52sin sin 2l a b c B C =++=++25sincos 22B C B C l +-=+⨯π25sin cos 22A B C --=+⨯π2252cos 22B C A C l ---=+=+π2cos 2A C --π02A <<π0π2A C <--<πππ,2222A A A A C A C --<<--<-<π2cos cos 122A A C --<…π2cos 12A C --<…(6,2l ⎤∈+⎦()44cos 2sin cos sin f x x x x x =+-()()()2222πcos sin cos sin 2sin cos cos2sin224f x x x x x x x x x x ⎛⎫=-++=+=+ ⎪⎝⎭5π8x =5π5ππ2884f ⎛⎫⎛⎫=⨯+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭()ππππ224244g x f x x x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+=++=+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭[]0,x t ∈πππ2,2444x t ⎡⎤+∈+⎢⎥⎣⎦由于在上的最大值为，所以，故，故的最大值为，故②正确；对于③，令，则，可得，故的正零点有，要使在上有3个零点，则，故③错误，对于④，当，则，故在上单调递减，故④错误.故选：B.根据三角恒等变化化简，根据对称轴处取得最值判断①，根据平移判断②，根据零点求值判断③，根据正弦函数的单调区间判断④.本题考查三角函数的性质，属中档题.二､填空题：本题共6小题，共29分.10.【答案】【解析】解：.故答案为：.根据已知条件，结合复数的四则运算，即可求解.本题主要考查复数的四则运算，属于基础题.11.【答案】10【解析】【分析】写出二项展开式的通项公式，整理后令的指数为2，即可求出.【详解】因为的展开式的通项公式为，令，解得.所以的系数为.故答案为：10.【点睛】本题主要考查二项展开式的通项公式的应用，属于基础题.()g x []0,t ()0g π7π244t +≤3π4t ≤t 3π4()π204f x x ⎛⎫=+= ⎪⎝⎭π2π,4x k k +=∈Z ππ,82k x k =-+∈Z ()f x 3π7π11π15π,,,,8888r = ()f x []0,a 11π15π88a ≤<ππ,42x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦π3π5ππ3π2,,44422x ⎡⎤⎡⎤+∈∈⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦()f x ππ,42⎡⎤⎢⎥⎣⎦()π24f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭71i 22+()()()()34i 1i 34i 71i 1i 1i 1i 22+-+==++-+71i 22+x 522x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭()55315522C C 20,1,2,3,4,5rr r r r r r T x x r x --+⎛⎫==⋅⋅= ⎪⎝⎭532r -=1r =2x 15C 210⨯=12.【答案】12【解析】【分析】本题考查二项分布的期望和方差，考查推理能力和计算能力，属于基础题.先求出和，再利用即可求解.【解答】解：因为随机变量，所以，又因为，所以.故答案为12.13.【答案】52【解析】【分析】本题考查排列的应用，考查分类､分步计数原理的应用，解题需要注意偶数的末位数字以及0不能在首位等性质.分2种情况讨论：①､若0在个位，由排列公式即可得此时三位偶数的数目，②､若0不在个位，且由于0不能在首位，由分步计数原理可得此情况下三位偶数的数目，综合2种情况，由分类计数原理计算可得答案.【解答】解：根据题意，分2种情况讨论：①､若0在个位，此时只须在中任取2个数字，作为十位和百位数字即可，有个没有重复数字的三位偶数；②､若0不在个位，此时必须在2或4中任取1个，作为个位数字，有2种取法，0不能作为百位数字，则百位数字有4种取法，十位数字也有4种取法，此时共有个没有重复数字的三位偶数；综合可得，共有个没有重复数字的三位偶数.故答案为52.13p =()()413D n p p ξ=⋅⋅-=()()329D D ξξ+=()6,B p ξ~()62E np p ξ===13p =()()12416333D n p p ξ=⋅⋅-=⨯⨯=()()32912D D ξξ+==1,2,3,4,525A 20=24432⨯⨯=203252+=14.【答案】4【解析】【分析】本题考查利用基本不等式求最值，属于中档题.由正数满足，可得，所以结合基本不等式即可求解.【解答】解：正数满足，，解得同理则，当且仅当时取等号（此时.的最小值为4.故答案为：4.15.【答案】【解析】解：①当在区间有4个零点且在区间没有零点时，满足，无解；②当在区间有3个零点且在区间有1个零点时，满足，或,a b 111a b +=01a b a =>-()1414141111111a a ab a a a +=+=+-------,a b 111a b+=01ab a ∴=>-1,a >1,b >141411111a ab a a +=+-----()14141a a =+-=- (3)2a =3)b =1411a b ∴+--371,,224⎛⎤⎛⎤⋃ ⎥⎥⎝⎦⎝⎦()f x (),0a -[)0,∞+()Δ164740522a a ⎧=--<⎪⎨-≤-<-⎪⎩()f x (),0a -[)0,∞+()()Δ16474000322a f a ⎧⎪=-->⎪<⎨⎪⎪-≤-<-⎩者解得③当在区间有2个零点且在区间有2个零点时，满足，解得，综上所述，的取值范围是.分类讨论，分在区间有4个零点且在区间没有零点，在区间有3个零点且在区间有1个零点和在区间有2个零点且在区间有2个零点三种情况求解即可.本题考查了分段函数，函数的零点与方程根的关系，属于难题.三､解答题：本题共5小题，共67分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.16.【答案】解：（1）在中，，设，则，，解得，；（2）由（1）得，由正弦定理得，即解得.（3）是锐角，且，()Δ164740322a a ⎧--=⎪⎨-≤-<-⎪⎩72;4a <≤()f x (),0a -[)0,∞+()()Δ16474000312a f a ⎧⎪=-->⎪≥⎨⎪⎪-≤-<-⎩312a <≤a 371,,224⎛⎤⎛⎤⋃ ⎥⎥⎝⎦⎝⎦()f x (),0a -[)0,∞+()f x (),0a -[)0,∞+()f x (),0a -[)0,∞+ABC V 92cos ,5,163a Bbc ===2a k =3,0c k k =>2294259cos 23216k k B k k +-∴==⨯⨯2k =24a k ∴==4,6,sin a c B ====sin sin a bA B=4sin A =sin A =π,sin sin ,4a b A A <=<=∴ π4A <，.17.【答案】解：（1）根据函数的部分图象，可得，.再由图象知：，又，故有.令，解得，故函数的对称中心为.（2）先将的图象纵坐标缩短到原来的倍，可得的图象，再向右平移个单位，得到的图象，最后将图象向上平移1个单位后得到的图象.令，求得，sin22sin cos 2A A A ∴===1cos28A ==()cos 2cos cos2sin sin2B A B A B A∴-=+91168=⨯5764=()()cos (0,0,π)f x A x A ωϕωϕ=+>><πϕ<32π5ππ2,4123A ω=⋅=+2ω∴=5π22π,12k k ϕ⨯+=∈Z 5ππ,6ϕϕ<∴=-()5π2cos 26f x x ⎛⎫=-⎪⎝⎭5ππ2π62x k -=+2ππ,32k x k =+∈Z 2ππ,0,32k k ⎛⎫+∈⎪⎝⎭Z ()f x 125πcos 26y x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭π12()cos 2πcos2y x x =-=-()cos21g x x =-+2ππ22π,k x k k -≤≤∈Z πππ,2k x k k -≤≤∈Z可得的减区间为，结合，可得的单调减区间为.，故当时，取得最大值，为；当时，取得最小值，为.【解析】本题主要考查由函数的部分图象求解析式，函数的图象变换规律，三角函数的图象的对称性，余弦函数的定义域和值域，属于中档题.（1）由函数的图象的顶点坐标求出，由周期求出，由图象过点求出的值，可得的解析式，再利用三角函数的图象的对称性，得出结论；（2）由题意利用函数的图象变换规律求得的解析式，再利用余弦函数的单调性､余弦函数的定义域和值域，得出结论.18.【答案】（1）证明：连接，在四棱台中，且，又四边形是正方形，故，点为棱的中点，则，故，即四边形为平行四边形，则平面平面，故平面；（2）由于平面，四边形是正方形，以为坐标原点，所在直线为轴，建立空间直角坐标系，()g x ππ,π,2k k k ⎡⎤-∈⎢⎥⎣⎦Z π3π,124x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦()g x π3π,24⎡⎤⎢⎥⎣⎦π3π2,62x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦2πx =()g x ()112--+=π26x =()gx 1+()sin y A x ωϕ=+()sin y A x ωϕ=+A ω5π,212⎛⎫⎪⎝⎭ϕ()f x ()sin y A x ωϕ=+()g x 1A B 1111ABCD A B C D -11A D ∥AD 1112A D AD =ABCD BC ∥,AD BC AD =E BC BE ∥1,2AD BE AD =11A D ∥11,BE A D BE =11A D EB 1D E∥11,A B D E ⊄111,AA B B A B ⊂11AA B B 1ED ∥11AA B B 1AA ⊥ABCD ABCD A 1,,AB AD AA ,,x y z由于，则，则，设平面的一个法向量为，则，即，令，则，平面的一个法向量为，故由图知平面与平面所成角为锐角，故平面与平面（3）由（2）可知，则，设平面的一个法向量为，则，即，令，则，设点到平面的距离为，则.【解析】1）连接，先证明，再根据线面平行的判定定理即可证明结论；（2）建立空间直角坐标系，求出相关点的坐标，求出平面与平面的法向量，根据空间角的向量求法，即可求得答案；1111,2A A A B AB ===()()()10,0,1,0,2,0,2,1,0A D E ()()10,2,1,2,1,0DA ED =-=-1A DE (),,m x y z = 100m DA m ED ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩2020yz x y -+=⎧⎨-+=⎩1x =()1,2,4m =ABCD ()0,0,1n =cos ,m n m n m n ⋅<>===1A DE ABCD 1A DE ABCD ()()()()11,1,1,0,2,0,2,2,0,2,0,0C D C B ()()()10,2,0,1,1,1,2,0,0BC DC DC ==-=1C DC (),,u s t g = 100u DC u DC ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩ 020s t g s -+=⎧⎨=⎩1t =()0,1,1u =B 1C DC d BC u d u ⋅=== 1A B 1D E∥1A B 1A DE ABCD（3）求出平面的法向量，根据空间距离的向量求法，即可求得答案.19.【答案】解：（1）函数的定义域为，，①当时，，所以在上是增函数；②当时，由得，所以在上是增函数，由得，所以在上是减函数；故时，在上单调递增；当时，在上单调递增，在上单调递减；（2）由的图象恒在轴上方，可得，因为且，不等式两边同时除以，可得，设可得令，解得，令，解得所以在上单调递增，在上单调递减，所以当时，取得最大值为，所以，即，所以的范围是；（3）证明：，1C DC ()f x ()0,∞+()1m x m f x x x-=-='0m ≤()0f x '>()f x ()0,∞+0m >()0f x '>x m >()f x (),m ∞+()0f x '<0x m <<()f x ()0,m 0m ≤()f x ()0,∞+0m >()f x (),m ∞+()0,m ()f x x ()ln 0f x x m x =->0x >0m >mx 1ln xm x>()ln ,x h x x =()21ln ,xh x x-='()0h x '>0e x <<()0h x '<e,x >()h x ()0,e ()e,∞+e x =()h x ()1e eh =max 1()h x m>11em >m ()0,e ()ln ,0f x x m x x =->则，由（1）可知，当时，在上是增函数，故不存在不相等的实数，使得，所以，由，得，即，不妨设，则，要证，只需证，即证，只需证令只需证，即证令，则，所以在上是增函数，所以，即成立，故成立.【解析】本题考查了利用导数求函数的单调区间（含参）､利用导数研究恒成立与存在性问题､利用导数求函数的最值（含参）､利用导数解（证明）不等式，属于较难题.()1m x m f x x x-=-='0m ≤()f x ()0,∞+12,x x ()()12f x f x =0m >()()12f x f x =1122ln ln x m x x m x -=-()2121ln ln m x x x x -=-120x x <<21210ln ln x x m x x -=>-12m x x <+211221ln ln x x x x x x -<+-212112ln ln x x x x x x -<-+2122111ln 1x x x x x x -<+211x t x =>1ln 1t t t -<+1ln 0,1t t t -->+()()1ln 11t g t t t t -=->+()2221210(1)(1)t g t t t t t +=-=>++'()g t ()1,∞+()()10g t g >=1ln 01t t t -->+120m x x <<+（1）求出函数的导数，讨论的取值，利用导数判断函数的单调性与单调区间；（2）问题转化为，设，利用导数求出，即可求出结果；（3）易得，由得，要证，只需证，只需证，令，只需证，即证，令，利用导数研究单调性即可得证.20.【答案】解：（1）对函数求导，可得，则曲线在处的切线斜率为；（2）证明：当时，，即，即，而在上单调递增，因此原不等式得证；（3）证明：设数列的前项和，则；当时，，由（2），，故，不等式右边得证；要证，只需证：对任意的，()f x m ()f x 1ln x m x >()ln x h x x=max ()h x 0m >()()12f x f x =21210ln ln x x m x x -=>-12m x x <+211221ln ln x x x x x x -<+-2122111ln 1x x x x x x -<+211x t x =>1ln 1t t t -<+1ln 01t t t -->+()()1ln 11t g t t t t -=->+()f x ()()()221ln 121x f x x x x x+=-++'()y f x =2x =()1ln3234f =-'0x >()1f x >()2ln 112x x x ++>()()2ln 102xg x x x =+->+()()()220,1(2)x g x g x x x =>++'()0,∞+()()00,g x g >={}n a n ()1ln !ln 2n S n n n n ⎛⎫=-++ ⎪⎝⎭111a S ==2n ≥11111111ln 1ln 11122111n n n n a S S n f n n n n -⎛⎫ ⎪-⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-=+-=-++=- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎪-⎝⎭()02n a n <≥11n S S ≤=56n S ≤()22112,116n n k k k n a f k ==⎛⎫⎛⎫≥-=-≤ ⎪⎪-⎝⎭⎝⎭∑∑令，则，当时，，函数在上单调递减，则，即，则，因此当时，，当时，累加得，又，故，即得证.【解析】（1）对函数求导，求出的值即可得解；（2）令，先利用导数求出的单调性，由此容易得证；（3）设数列的前项和，可得当时，，由此可知，证得不等式右边；再证明对任意的，令，利用导数可知，由此可得.再求得，由此可得证不等式左边，进而得证.本题考查导数的综合运用，考查逻辑推理能力和运算求解能力，属于难题.()()()()2ln 121x x h x x x +=+-+()222(1)x h x x '=-+0x >()0h x '<()h x ()0,∞+()0h x <()()()2ln 121x x x x ++<+()()()()222211221414x x x x x f x x x x ++-<⋅-=<++2k ≥22111111114(1)4(1)122321f k k k k k ⎛⎫⎛⎫-<<=- ⎪ ⎪------⎝⎭⎝⎭4n ≥()441111111111111,1257792321252110n nk k k a f k n n n ==⎛⎫⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=-<-+-++-=-< ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥----⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦∑∑ ()()233353511ln210.69410.041,ln 1 1.10.69310.017522222a f a -=-=-<⨯-=-=-<--=()()2324110.0410.01750.1585106nnkk k k a aa a ==-=--+-=++=<∑∑()f x ()2f '()()1g x f x =-()g x {}n a n ()1ln !ln 2n S n n n n ⎛⎫=-++ ⎪⎝⎭2n ≥10n n n a S S -=-<11n S S ≤=()22112,116nnk k k n a f k ==⎛⎫⎛⎫≥-=-≤⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭∑∑()(2)()ln 12(1)x x h x x x +=+-+()()()2ln 121x x x x ++<+()4110n k k a =-<∑23,a a --。

高三数学第一轮复习专题测试试题

卜人入州八九几市潮王学校二零二零—二零二壹第一学期高三数学第一轮复习专题测试
〔1〕—集合与函数
〔2〕—数列
〔3〕—三角函数
〔4〕—平面向量
〔5〕—不等式
〔1〕—集合与函数
一、选择题：本大题一一共12小题，每一小题5分，一共60分.在每一小题给出的四个选项里面，只有一项为哪一项哪一项符合题目要求的.
1．设集合 ,那么满足的集合B的个数是〔〕
[解法二]当时， .
由得，
令，解得或者，
在区间上，当时，的图像与函数的图像只交于一点；
当时，的图像与函数的图像没有交点.
如图可知，由于直线过点，当时，直线是由直线
绕点逆时针方向旋转得到.因此，在区间上，的图像
位于函数图像的上方.
22．〔1〕∵ ，∴要使有意义，必须且，即
A．1B．3C．4D．8
2．集合M＝｛x| ｝，N＝｛y|y＝3x2＋1，xR｝，那么MN＝〔〕
A．B．{x|x1}C．｛x|x1｝D．{x|x1或者x0}
3．有限集合中元素个数记作card ，设、
① 的充要条件是card =card +card ；
② 的必要条件是card card ；
③ 的充分条件是card card ；
card card =0 .由的定义知card card .
4．D． ,用数轴表示可得答案D．
5．A．∵ ∴ 即
∵ ∴ 即
∴函数的反函数为 .
6．B．由，应选B．
7．B．在其定义域内是奇函数但不是减函数;C在其定义域内既是奇函数又是增函数;D在其定义域内不是奇
函数,是减函数;应选A．
8．C．利用互为反函数的图象关于直线y=x对称，得点〔2，0〕在原函数的图象上，即，

高三数学阶段性试卷及答案

考试时间：120分钟满分：150分一、选择题（每题5分，共50分）1. 已知函数$f(x) = x^3 - 3x^2 + 4$，则$f(x)$的对称中心是：A. $(0, 4)$B. $(1, 2)$C. $(1, 0)$D. $(0, 0)$2. 若复数$z = a + bi$（其中$a, b \in \mathbb{R}$）满足$|z - 1| = |z + 1|$，则实数$a$的取值为：A. $0$B. $1$C. $-1$D. 无解3. 在$\triangle ABC$中，$a = 3$，$b = 4$，$c = 5$，则$\sin A$的值为：A. $\frac{3}{5}$B. $\frac{4}{5}$C. $\frac{5}{3}$D. $\frac{3}{4}$4. 下列命题中，正确的是：A. 若$a > b$，则$a^2 > b^2$B. 若$a > b$，则$\log_a b < 1$C. 若$a > b$，则$\sqrt{a} > \sqrt{b}$D. 若$a > b$，则$a^3 > b^3$5. 已知函数$y = \log_2(x + 1)$的图象上一点$P(x, y)$，若点$P$到直线$y = x$的距离为1，则$x$的值为：A. $1$B. $\sqrt{3} - 1$C. $\sqrt{3} + 1$D. $\frac{1}{\sqrt{3}}$6. 若等差数列$\{a_n\}$的前$n$项和为$S_n$，且$S_5 = 20$，$S_8 = 56$，则公差$d$的值为：A. 2B. 3C. 4D. 57. 在直角坐标系中，若点$A(1, 2)$关于直线$x + y = 1$的对称点为$B$，则$B$的坐标为：A. $(2, -1)$B. $(1, -2)$C. $(-2, 1)$D. $(-1, 2)$8. 已知等比数列$\{a_n\}$的前$n$项和为$S_n$，且$a_1 = 1$，$S_3 = 7$，则公比$q$的值为：A. 2B. $\frac{1}{2}$C. 3D. $\frac{1}{3}$9. 若函数$y = ax^2 + bx + c$的图象开口向上，且顶点坐标为$(h, k)$，则下列不等式中正确的是：A. $a > 0$B. $b > 0$C. $c > 0$D. $ah^2 + bh + c > 0$10. 已知函数$f(x) = x^3 - 3x^2 + 4x - 6$，则$f(x)$的极值点为：A. $x = 1$B. $x = 2$C. $x = 3$D. $x = 4$二、填空题（每题5分，共50分）11. 已知函数$f(x) = 2x^3 - 3x^2 + 2$，则$f'(x) =\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_ \_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_ \_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_ \_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_ \_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_ \_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_ \_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_ \_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_ \_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_ \_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_ \_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_ \_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_ \_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_ \_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_ \_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_ \_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_ \_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_ \_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_ \_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_ \_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_ \_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_ \_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_ \_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_ \_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_ \_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_ \_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_ \_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_ \_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_ \_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_ \_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_ \_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_ \_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_ \_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_ \_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_ \_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_ \_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_ \_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_ \_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_ \_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_ \_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_ \_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_ \_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_ \_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_ \_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_ \_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_ \_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_ \_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_ \_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_ \_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_ \_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_ \_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_ \_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_ \_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_ \_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_ \_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\。

2022届高三数学(理)一轮复习：阶段检测卷四 Word版含解析

阶段检测四立体几何(时间:120分钟总分:150分)一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)1.△ABC所在的平面为α,直线l⊥AB,l⊥AC,直线m⊥BC,m⊥AC,则两不同直线l,m的位置关系是( )A.相交B.异面C.平行D.不确定2.已知某几何体的正视图和侧视图均如图所示,给出下列5个图形:其中可以作为该几何体的俯视图的图形个数是( )A.5B.4C.3D.23.下列命题中正确的是( )A.若直线l平行于平面α内的很多条直线,则l∥αB.若直线a在平面α外,则a∥αC.若直线a∥b,b⊂α,则a∥αD.若直线a∥b,b⊂α,则a平行于平面α内的很多条直线4.已知正方体的棱长为1,其俯视图是一个面积为1的正方形,侧视图是一个面积为√2的矩形,则该正方体的正视图的面积等于( )A.√32B.1 C.√2+12D.√25.下图是一个几何体的三视图,若它的表面积为7π,则正视图中a=( ) A.1 B.√2 C.√3 D.26.如图,在三棱柱ABC-A1B1C1中,AA1⊥平面ABC,A1A=AC=2,BC=1,AB=√5,则此三棱柱的侧视图的面积为( )A.2B.4C.4√55D.2√57.某几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积为( )A.23B.43C.53D.738.如图,长方体ABCD-A1B1C1D1中,O为BD1的中点,三棱锥O-ABD的体积为V1,四棱锥O-ADD1A1的体积为V2,则V1V2的值为( )A.12B.13C.1D.√229.设甲、乙两个圆柱的底面积分别为S1、S2,体积分别为V1、V2,若它们的侧面积相等,且S1S2=94,则V1V2的值是( )A.23B.13C.32D.5210.如图所示,P为矩形ABCD所在平面外一点,矩形对角线交点为O,M为PB的中点,给出下列五个结论:①PD∥平面AMC;②OM∥平面PCD;③OM∥平面PDA;④OM∥平面PBA;⑤OM∥平面PBC.其中正确的个数为( )A.1B.2C.3D.411.已知球O的表面积为20π,A,B,C三点在球面上,且AB⊥BC,AB=BC,AC=2√2,则三棱锥C-AOB的高为( )A.√3B.√2C.2D.112.在长方体ABCD-A1B1C1D1中,AB=√2,BC=AA1=1,点M为AB1的中点,点P为体对角线AC1上的动点,点Q为底面ABCD内的动点(点P,Q可以重合),则MP+PQ的最小值为( )A.√22B.√32C.34D.11 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 得分二、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分.请把正确答案填在题中的横线上)13.一个几何体的三视图如图所示,已知此几何体的体积为10√3,则h= .14.如图,已知圆锥SO的母线SA的长度为2,一只蚂蚁从点B围着圆锥侧面爬回点B的最短路程为2,则圆锥SO 的底面半径为.第14题图第15题图15.如图是长方体被一平面截得的几何体,四边形EFGH为截面,则四边形EFGH的外形为. 16.在三棱锥P-ABC中,PA,PB,PC两两垂直,且PA=3,PB=2,PC=1.设M是底面ABC内一点,定义f(M)=(m,n,p),其中m,n,p分别是三棱锥M-PAB、三棱锥M-PBC、三棱锥M-PCA的体积.若f(M)=(12,x,y),且1x+ay≥8(a>0)恒成立,则正实数a的最小值为.三、解答题(本大题共6小题,共70分,解答时写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)17.(本小题满分10分)四周体ABCD及其三视图如图所示,过棱AB的中点E作平行于AD,BC的平面分别交四周体的棱BD,DC,CA于点F,G,H.(1)证明:四边形EFGH是矩形;(2)求直线AB与平面EFGH夹角θ的正弦值.18.(本小题满分12分)如图,四棱锥S-ABCD中,SD⊥底面ABCD,AB∥DC,AD⊥DC,AB=AD=1,DC=SD=2,E为棱SB上一点,且SE=2EB.(1)证明:DE⊥平面SBC;(2)求二面角A-DE-C的大小.19.(本小题满分12分)如图,在平行四边形ABCD中,AB=1,BC=2,∠CBA=π3,四边形ABEF为直角梯形,BE∥AF,∠BAF=π2,BE=2,AF=3,平面ABCD⊥平面ABEF.(1)求证:AC⊥平面ABEF;(2)求平面ABCD与平面DEF所成锐二面角的余弦值.20.(本小题满分12分)如图,在几何体ABCDEF中,AB ∥CD,AD=DC=CB=1,∠ABC=60°,四边形ACFE为矩形,FB=√10,M,N分别为EF,AB的中点.(1)求证:MN∥平面FCB;(2)若直线AF与平面FCB所成的角为30°,求平面MAB与平面FCB所成锐二面角的余弦值. 21.(本小题满分12分)如图1,在直角梯形ABCD中,AD∥BC,AD⊥DC,BC=2AD=2DC,四边形ABEF是正方形.将正方形ABEF沿AB折起到四边形ABE1F1的位置,使平面ABE1F1⊥平面ABCD,M为AF1的中点,如图2.(1)求证:BE1⊥DC;(2)求BM与平面CE1M所成角的正弦值;(3)推断直线DM与CE1的位置关系,并说明理由.22.(本小题满分12分)已知四边形ABCD是矩形,BC=kAB(k∈R),将△ABC沿着AC翻折,得到△AB1C,设顶点B1在平面ABCD上的射影为O.(1)若点O恰好落在AD上.①求证:AB1⊥平面B1CD;②若B1O=1,AB>1,当BC取到最小值时,求k的值.(2)当k=√3时,若点O恰好落在△ACD的内部(不包括边界),求二面角B1-AC-D的余弦值的取值范围.阶段检测四立体几何一、选择题1.C l⊥AB,l⊥AC,AB∩AC=A⇒l⊥α;m⊥BC,m⊥AC,BC∩AC=C⇒m⊥α,故l∥m.2.B由题知可以作为该几何体的俯视图的图形有①②③⑤,共4个.故选B.3.D选项A中,若直线l在平面α内,则l与α不平行,故选项A不正确;选项B中,有可能a与α相交,故选项B不正确;选项C中,有可能a⊂α,故选项C不正确;选项D中,易知a∥α或a⊂α,所以a平行于平面α内的很多条直线,故选项D正确.4.D由题意可知该正方体的放置方式如图所示,侧视的方向垂直于面BDD1B1,正视的方向垂直于面A1C1CA,且正视图是长为√2,宽为1的矩形,故正视图的面积为√2,因此选D.5.D由三视图可知该几何体为圆柱与圆锥的组合体,则其表面积S=2π×1×a+π×12+π×1×√12+(√3)2=2πa+3π=7π,所以a=2. 6.C如图,过点C作CD⊥AB于点D,过点C1作C1D1⊥A1B1于D1,连接D1D,易知三棱柱的侧视图为矩形CDD1C1.在△ABC中,AC=2,BC=1,AB=√5,所以AC2+BC2=AB2,AC⊥BC,所以12·AC·BC=12·AB·CD,即2×1=√5CD,所以CD=2√55,所以三棱柱ABC-A1B1C1的侧视图的面积S=CC1·CD=2×2√55=4√55.7.B由题意可知该几何体是由一个直三棱柱与一个三棱锥组成的,其中该直三棱柱的底面是直角边长分别为1,2的直角三角形,高为1,该三棱锥的底面是直角边长分别为1,2的直角三角形,高为1,因此该几何体的体积为12×2×1×1+13×12×2×1×1=43,故选B.8.A设长方体的长、宽、高分别为a,b,c,则V1=13×12ab×12c=abc12,V2=13×bc×12a=abc6,所以V1V2=12.9.C设圆柱甲的底面半径为r1,高为h1,圆柱乙的底面半径为r2,高为h2.由题意得S1S2=πr12πr22=94,∴r1r2=32.又∵S甲侧=S乙侧,即2πr1h1=2πr2h2,∴ℎ1ℎ2=r2r1=23,故V1V2=S1ℎ1S2ℎ2=S1S2·ℎ1ℎ2=94×23=32.10.C矩形ABCD的对角线AC与BD交于点O,所以O为BD的中点.在△PBD中,M是PB的中点,所以OM 是△PBD的中位线,OM∥PD,则PD∥平面AMC,OM∥平面PCD,且OM∥平面PDA.由于M∈PB,所以OM与平面PBA、平面PBC相交.11.A∵球O的表面积为20π,∴球O的半径为√5.设三棱锥C-AOB的高为h.点O在平面ABC上的射影为点O',易得O'为AC的中点,连接BO',OO'.∵AB⊥BC,AB=BC,AC=2√2,∴BO'=√2,OO'=√(√5)2-(√2)2=√3,AB=BC=2.易知S△OAB=12×2×2=2,S△ABC=12×2×2=2.由V三棱锥C-AOB=V三棱锥O-ABC,即13×2×h=13×2×√3,解得h=√3.12.C易知当MP+PQ最小时,PQ⊥平面ABCD.过点P作PQ1⊥平面ABB1A1于点Q1,易知Q1在AB1上,由对称性可知,当PQ⊥平面ABCD时,PQ=PQ1,因此(PM+PQ)min=(PM+PQ1)min,问题转化为在平面AB1C1内,在AC1上找一点P使得PM+PQ1的值最小,如图所示,过点M 作MM 1⊥AC 1交直线AC 1于点O,且OM 1=OM,则点M 1为点M 关于直线AC 1的对称点,过点M 1作M 1Q 1⊥AB 1交AB 1于点Q 1,交AC 1于点P,则M 1Q 1的长度即为所求的最小值,易得∠C 1AB 1=30°,所以OM=12AM=√34,MM 1=√32,M 1Q 1=√32MM 1=34,即MP+PQ 的最小值为34. 二、填空题13.答案 √3解析由三视图可知该几何体是四棱锥,有一条侧棱与底面垂直,底面积S=5×6=30,体积V=13Sh=10h=10√3,解得h=√3. 14.答案 13解析该圆锥的侧面开放图是半径为2的扇形,如图所示,易知一只蚂蚁从点B 围着圆锥侧面爬回点B 的最短路程为弦BB'的长,为2,所以扇形的圆心角为π3.设圆锥的底面半径为r,则2πr=π3×2,解得r=13. 15.答案平行四边形解析 ∵平面ABFE ∥平面DCGH,平面EFGH ∩平面ABFE=EF,平面EFGH ∩平面DCGH=HG,∴EF∥HG.同理,EH ∥FG,∴四边形EFGH 是平行四边形. 16.答案 1解析 ∵PA、PB 、PC 两两垂直,且PA=3,PB=2,PC=1,∴V P-ABC =13×12×3×2×1=12+x+y,即x+y=12,则2x+2y=1.1x +ay =(1x +ay )(2x+2y)=2+2a+2y x +2axy≥2+2a+4√a ≥8,(√a +1)2≥4,√a +1≥2,解得a ≥1,∴正实数a 的最小值为1.三、解答题17.解析 (1)证明:由该四周体的三视图可知,BD ⊥DC,BD ⊥AD,AD ⊥DC,BD=DC=2,AD=1.由于BC ∥平面EFGH,平面EFGH ∩平面BDC=FG,平面EFGH ∩平面ABC=EH,∴BC∥FG,BC ∥EH,∴FG∥EH.同理,EF ∥AD,HG ∥AD,∴EF∥HG,∴四边形EFGH 是平行四边形.又∵AD⊥DC,AD ⊥BD,∴AD⊥平面BDC,∴AD⊥BC,∴EF⊥FG,∴四边形EFGH 是矩形.(2)解法一:如图,以D 为坐标原点建立空间直角坐标系,则D(0,0,0),A(0,0,1),B(2,0,0),C(0,2,0), DA ⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,0,1),BC⃗⃗⃗⃗⃗ =(-2,2,0),BA ⃗⃗⃗⃗⃗ =(-2,0,1). 设平面EFGH 的法向量为n =(x,y,z), ∵EF∥AD,FG ∥BC, ∴n ·DA ⃗⃗⃗⃗⃗ =0,n ·BC⃗⃗⃗⃗⃗ =0, 得{z =0,-2x +2y =0,可取n =(1,1,0), ∴sinθ=|cos<BA ⃗⃗⃗⃗⃗ ,n >|=BA⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·n |BA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗||n|=√5×√2=√105.解法二:如图,以D 为坐标原点建立空间直角坐标系,则D(0,0,0),A(0,0,1),B(2,0,0),C(0,2,0),∵E 是AB 的中点,∴F,G 分别为BD,DC 的中点,得E (1,0,12),F(1,0,0),G(0,1,0).∴FE ⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,0,12),FG⃗⃗⃗⃗⃗ =(-1,1,0),设平面EFGH 的法向量为n =(x,y,z),则n ·FE ⃗⃗⃗⃗⃗ =0,n ·FG ⃗⃗⃗⃗⃗ =0,得{12z =0,-x +y =0,可取n =(1,1,0),又BA ⃗⃗⃗⃗⃗ =(-2,0,1),∴sinθ=|cos<BA ⃗⃗⃗⃗⃗ ,n >|=BA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗·n |BA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ||n|=√5×√2=√105. 18.解析(1)证明:∵SD⊥底面ABCD,∴SD⊥AD,SD ⊥DC,又AD ⊥DC,因此可以分别以DA,DC,DS 所在直线为x 轴,y 轴,z 轴建立空间直角坐标系(如图),连接BD.则D(0,0,0),A(1,0,0),B(1,1,0),C(0,2,0),S(0,0,2),DB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(1,1,0),DS ⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,0,2), ∵SE=2EB,∴DE ⃗⃗⃗⃗⃗ =23DB⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +13DS ⃗⃗⃗⃗⃗ =23(1,1,0)+13(0,0,2)=(23,23,23), 又BC⃗⃗⃗⃗⃗ =(-1,1,0),BS ⃗⃗⃗⃗⃗ =(-1,-1,2), ∴DE⃗⃗⃗⃗⃗ ·BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =0,DE ⃗⃗⃗⃗⃗ ·BS ⃗⃗⃗⃗⃗ =0, ∴DE⃗⃗⃗⃗⃗ ⊥BC ⃗⃗⃗⃗⃗ ,DE ⃗⃗⃗⃗⃗ ⊥BS ⃗⃗⃗⃗⃗ , 又∵BC∩BS=B,∴DE⊥平面SBC. (2)由(1)知,DE ⊥平面SBC, ∵EC⊂平面SBC,∴DE⊥EC. ∵DE⃗⃗⃗⃗⃗ =(23,23,23),∴E (23,23,23), ∴EC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(-23,43,-23). 取DE 的中点F,连接FA,则F (13,13,13),FA ⃗⃗⃗⃗⃗ =(23,-13,-13), 有FA ⃗⃗⃗⃗⃗ ·DE ⃗⃗⃗⃗⃗ =0,故FA ⊥DE,∴向量FA ⃗⃗⃗⃗⃗ 与EC ⃗⃗⃗⃗⃗ 的夹角等于二面角A-DE-C 的平面角, 又∵cos<FA ⃗⃗⃗⃗⃗ ,EC ⃗⃗⃗⃗⃗ >=FA ⃗⃗⃗⃗⃗ ·EC ⃗⃗⃗⃗⃗|FA ⃗⃗⃗⃗⃗ ||EC ⃗⃗⃗⃗⃗ |=-12, ∴二面角A-DE-C 的大小为120°.19.解析 (1)在△ABC 中,AB=1,∠CBA=π3,BC=2,所以AC 2=BA 2+BC 2-2BA×BC·cos ∠CBA=3,所以AC 2+BA 2=BC 2,所以AB ⊥AC.又由于平面ABCD ⊥平面ABEF,平面ABCD ∩平面ABEF=AB,AC ⊂平面ABCD,所以AC ⊥平面ABEF.(2)如图,建立空间直角坐标系A-xyz,则A(0,0,0),B(1,0,0),C(0,0,√3),D(-1,0,√3),E(1,2,0),F(0,3,0),AF⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,3,0)是平面ABCD 的一个法向量. 设平面DEF 的法向量为n =(x,y,z),又DE ⃗⃗⃗⃗⃗ =(2,2,-√3),DF ⃗⃗⃗⃗⃗ =(1,3,-√3),则{2x +2y -√3z =0,x +3y -√3z =0,得{x =√3z4,y =√3z 4,取z=4,则x=y=√3,故n =(√3,√3,4)是平面DEF 的一个法向量.设平面ABCD 与平面DEF 所成的锐二面角为θ,则cosθ=|AF⃗⃗⃗⃗⃗ ·n |AF ⃗⃗⃗⃗⃗||n||=3√33×√3+3+16=√3√22=√6622.20.解析 (1)取BC 的中点Q,连接NQ,FQ,则NQ=12AC,NQ ∥AC.又MF=12AC,MF ∥AC,∴MF=NQ,MF∥NQ,则四边形MNQF 为平行四边形,则MN ∥FQ.∵FQ⊂平面FCB,MN ⊄平面FCB,∴MN∥平面FCB.(2)由AB ∥CD,AD=DC=CB=1,∠ABC=60°可得∠ACB=90°,AC=√3,AB=2.∵四边形ACFE 为矩形,∴AC⊥FC,又AC ⊥CB,FC ∩CB=C,∴AC⊥平面FCB,则∠AFC 为直线AF 与平面FCB 所成的角,即∠AFC=30°,∴FC=3. ∵FB=√10,∴FC⊥BC.则可建立如图所示的空间直角坐标系C-xyz,∴A(√3,0,0),B(0,1,0),M (√32,0,3).则MA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(√32,0,-3),MB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(-√32,1,-3). 设m =(x,y,z)为平面MAB 的法向量, 则{MA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·m =0,MB⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·m =0,即{√32x -3z =0,-√32x +y -3z =0.取x=2√3,则m =(2√3,6,1)为平面MAB 的一个法向量. 又CA⃗⃗⃗⃗⃗ =(√3,0,0)为平面FCB 的一个法向量, ∴cos<m ,CA⃗⃗⃗⃗⃗ >=m ·CA ⃗⃗⃗⃗⃗ |m||CA⃗⃗⃗⃗⃗ |=2√3×√37×√3=2√37. ∴平面MAB 与平面FCB 所成锐二面角的余弦值为2√37. 21.解析 (1)由于四边形ABE 1F 1为正方形,所以BE 1⊥AB.由于平面ABCD ⊥平面ABE 1F 1,平面ABCD ∩平面ABE 1F 1=AB,BE 1⊂平面ABE 1F 1,所以BE 1⊥平面ABCD,所以BE 1⊥DC. (2)以点B 为坐标原点,分别以BC,BE 1所在的直线为x 轴,z 轴,以平面BCE 1的垂线(过点B)为y 轴,建立如图所示的空间直角坐标系B-xyz,设AD=1,则B(0,0,0),C(2,0,0),E 1(0,0,√2),M (1,1,√22).所以BM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(1,1,√22),CE 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(-2,0,√2),E 1M ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(1,1,-√22).设平面CE 1M 的法向量为n =(x,y,z). 由{n ·CE 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0,n ·E 1M ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0,得{-2x +√2z =0,x +y -√22z =0. 令x=1,得z=√2,y=0,所以n =(1,0,√2)是平面CE 1M 的一个法向量. 设BM 与平面CE 1M 所成的角为θ,则sinθ=|cos<BM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,n >|=|BM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗·n |BM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ||n||=|√52×√3|=2√3015.所以BM 与平面CE 1M 所成的角的正弦值为2√3015.(3)直线DM 与直线CE 1平行.理由如下:由题意及(2)得,D(2,1,0),DM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(-1,0,√22),CE 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗=(-2,0,√2). 所以CE 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =2DM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ .所以CE 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ∥DM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ . 由于DM,CE 1不重合,所以DM ∥CE 1.22.解析 (1)①∵点B 1在平面ABCD 上的射影为O,点O 恰好落在AD 上,∴平面AB 1D ⊥平面ACD,又平面AB 1D ∩平面ACD=AD,CD ⊥AD,∴CD⊥平面AB 1D,∴AB 1⊥CD,又AB 1⊥CB 1,CD ∩CB 1=C,∴AB 1⊥平面B 1CD. ②设AB=x,BC=y,则k=yx .由①知,AB 1⊥B 1D,则AB 1·B 1D=AD ·B 1O,故B 1D=yx ,由①知CD ⊥B 1D,在Rt △B 1CD 中,B 1D 2+CD 2=B 1C 2,故(y x )2+x 2=y 2,整理得y=√x 4x 2-1=√x 2+x 2x 2-1=√x 2-1+1x 2-1+2≥2,当且仅当x 2-1=1x 2-1,即x=√2时取等号, ∴当BC 取到最小值时,k=√2.(2)作BF ⊥AC,交AC 于E,交AD 于F,连接B 1E,当点O 恰好落在△ACD 的内部(不包括边界)时,点O 恰好在线段EF 上(不包括端点),又B 1E ⊥AC,EF ⊥AC,∴∠B 1EF 为二面角B 1-AC-D 的平面角,设AB=1,则BC=√3,B 1E=√32,EO ∈(0,√36), ∴cos∠B 1EF=EO B 1E ∈(0,13),故二面角B 1-AC-D 的余弦值的取值范围为(0,13).。

高三数学第一轮复习试卷

一、选择题（每题5分，共50分）1. 若函数f(x) = ax^2 + bx + c在x=1时取得最小值，则下列选项中正确的是（）A. a > 0, b = 0, c < 0B. a < 0, b = 0, c > 0C. a > 0, b ≠ 0, c > 0D. a < 0, b ≠ 0, c < 02. 下列各数中，无理数是（）A. √3B. -√2C. 3/4D. 1.4143. 若复数z满足|z - 2i| = 3，则复数z在复平面内对应的点的轨迹是（）A. 圆B. 线段C. 直线D. 双曲线4. 已知函数f(x) = log2(x - 1)，则f(x)的定义域是（）A. (1, +∞)B. (0, 1)C. (1, 2]D. (2, +∞)5. 若等差数列{an}的前n项和为Sn，且S3 = 9，S5 = 21，则该数列的公差d是（）A. 2B. 3C. 4D. 56. 下列命题中，正确的是（）A. 若两个函数的图像关于y轴对称，则这两个函数互为反函数B. 若两个函数的图像关于x轴对称，则这两个函数互为反函数C. 若两个函数的图像关于原点对称，则这两个函数互为反函数D. 若两个函数的图像关于直线y = x对称，则这两个函数互为反函数7. 已知函数f(x) = x^3 - 3x，若存在实数a和b，使得f(a) + f(b) = 0，则a + b的值为（）A. 0B. 1C. -1D. 28. 下列方程中，无解的是（）A. x^2 + 2x + 1 = 0B. x^2 + 2x - 1 = 0C. x^2 - 2x + 1 = 0D. x^2 - 2x - 1 = 09. 若不等式x^2 - 4x + 3 < 0的解集是（）A. (1, 3)B. (-∞, 1) ∪ (3, +∞)C. (-∞, 1) ∩ (3, +∞)D. (1, +∞) ∪ (-∞, 3)10. 已知函数f(x) = (x - 1)/(x + 1)，则f(-1)的值为（）A. 0B. 1C. -1D. 不存在二、填空题（每题5分，共50分）11. 已知等差数列{an}的前n项和为Sn，若a1 = 2，d = 3，则S10 = ________.12. 若复数z = a + bi（a, b ∈ R），则|z|^2 = ________.13. 函数f(x) = log2(3 - 2x)的定义域为 ________.14. 若等比数列{an}的公比q = -2，且a1 = 3，则第5项a5 = ________.15. 已知函数f(x) = x^2 - 2x + 3，则f(-1) = ________.16. 若不等式x^2 - 4x + 3 ≤ 0的解集为A，则不等式x^2 - 4x + 3 > 0的解集为 ________.17. 已知函数f(x) = 2x - 1，则f(-3) + f(2) = ________.18. 若复数z满足|z - 2i| = 3，则复数z在复平面内对应的点的坐标是________.19. 已知函数f(x) = (x - 1)/(x + 1)，则f(1)的值为 ________.20. 若等差数列{an}的前n项和为Sn，且S3 = 9，S5 = 21，则该数列的第4项a4 = ________.三、解答题（每题20分，共60分）21. （本题满分20分）已知函数f(x) = ax^2 + bx + c（a ≠ 0），若f(1) = 2，f(2) = 5，求a，b，c的值。

高三数学第一轮复习阶段性考试卷试题

大港中学2021届高三数学第一轮复习阶段性考试卷制卷人：歐陽文化、歐陽理複；制卷時間：二O 二二年二月七日2006-9-7第一卷〔选择题一共50分〕一、选择题：本大题一一共10小题，每一小题5分，一共50分。

在每一小题给出的四个选项里面，只有一项是哪一项符合题意要求的。

1．集合B A x y y B x x y y A x⋃>==>==则},1,)21(|{},1,log |{2=〔〕〔A 〕}210|{<<y y 〔B 〕}0|{>y y〔C 〕〔D 〕R2．在等差数列{}n a 中，2712496a a a ++=，那么3152a a +的值是……… 〔〕〔A 〕 24 〔B 〕 48 〔C 〕 96 〔D 〕 192 3、函数x x f a log )(=满足2)9(=f ，那么)2log (91--f的值是………〔〕〔A 〕2 〔B 〕2 〔C 〕22〔D 〕2log 3 4、在等比数列{}n a 中，1234162,18,a a a a +=+=那么45a a +的值是…………〔〕. 〔A 〕6 〔B 〕-6 〔C 〕2± 〔D 〕6± 5．函数32()31f x x x =-+是减函数的区间为………… ( ) 〔Ａ〕(2,)+∞〔Ｂ〕(,2)-∞〔Ｃ〕(,0)-∞〔Ｄ〕(0,2)6．在数列{}n a 中，1(0,n n a pa p p +=≠为常数），且前n 项和为3nn S a =+，那么实数a为〔Ａ〕1- 〔Ｂ〕1 〔Ｃ〕0 〔Ｄ〕2 7、设)(x f 为偶函数，对于任意的0>x 的数都有)2(2)2(x f x f --=+，4)1(=-f ，那么=-)3(f ……………………………………………〔〕〔A 〕2 〔B 〕-2 〔C 〕8 〔D 〕-88、函数(),0)(2≠++=a c x b ax x f 其定义域R 分成了四个单调区间，那么实数c b a ,,满足 …… 〔〕〔A 〕0042>>-a ac b 且〔B 〕02>-a b 〔C 〕042>-ac b 〔D 〕02<-ab9．假设数列{}n a 满足121,2a a ==，且12(3)n n n a a n a --=≥，那么2005a 为…………〔〕〔A 〕1 〔B 〕2 〔C 〕12〔D 〕20052 10、按如下方式定义函数()f x ：对于每个实数x ，()f x 的值是2,6,215x x x -+中的最小值.那么()f x 最大值为………………………………………………〔〕〔A 〕4 〔B 〕9 〔C 〕16 〔D 〕25第二卷〔非选择题一共100分〕二、填空题：本大题一一共6小题，每一小题5分，一共30分。

2023年新高考数学一轮复习4-1 导数的概念、运算及导数的几何意义(真题测试)含详解

专题4.1 导数的概念、运算及导数的几何意义（真题测试）一、单选题1. （2021·四川省叙永第一中学校高三阶段练习）对于以下四个函数：①y x =；②2y x ；③3y x =；④1y x=．在区间[]1,2上函数的平均变化率最大的是（） A ．①B ．②C ．③D ．④2．（2020·全国·高考真题（理））函数43()2f x x x =-的图像在点(1(1))f ，处的切线方程为（） A ．21y x =-- B ．21y x =-+ C ．23y x =-D ．21y x =+3．（2006·安徽·高考真题（理））若曲线4y x =的一条切线l 与直线480x y +-=垂直，则l 的方程为（） A ．430x y --= B ．450x y +-= C ．430x y -+= D ．430x y ++= 4．（2019·全国·高考真题（文））曲线y =2sin x +cos x 在点(π，–1)处的切线方程为（） A ．10x y --π-= B ．2210x y --π-= C ．2210x y +-π+=D ．10x y +-π+=5．（2016·山东·高考真题（文））若函数()y f x =的图象上存在两点，使得函数的图象在这两点处的切线互相垂直，则称()y f x =具有T 性质．下列函数中具有T 性质的是（） A ．sin y x =B ．ln y x =C ．x y e =D ．3y x =6．（2018·全国·高考真题（文））设函数()()321f x x a x ax =+-+．若()f x 为奇函数，则曲线()y f x =在点()00，处的切线方程为( )A ．2y x =-B ．y x =-C ．2y x =D ．y x =7．（2016·四川·高考真题（文））设直线l 1，l 2分别是函数f(x)= ln ,01,{ln ,1,x x x x -<<>图象上点P 1，P2处的切线，l 1与l 2垂直相交于点P ，且l 1，l 2分别与y 轴相交于点A ，B ，则△PAB 的面积的取值范围是（） A ．(0,1)B ．(0,2)C ．(0,+∞)D ．(1,+∞)8．（2022·四川省内江市第六中学模拟预测（文））若函数()21f x x =+与()2ln 1g x a x =+的图象存在公共切线，则实数a 的最大值为（）A ．e 2B ．eCD ．2e二、多选题9．（2022·黑龙江·哈尔滨三中高二阶段练习）近两年为抑制房价过快上涨，政府出台了一系列以“限购、限外、限贷、限价”为主题的房地产调控政策．各地房产部门为尽快实现稳定房价，提出多种方案，其中一项就是在规定的时间T 内完成房产供应量任务S ．已知房产供应量S 与时间t 的函数关系如图所示，则在以下各种房产供应方案中，在时间[]0,T 内供应效率（单位时间的供应量）不是．．逐步提高的（） A ． B ．C ．D ．10．（2022·吉林·长春市第二实验中学高二期中）若曲线()sin 1f x x x =-在πx =处的切线与直线210ax y ++=互相垂直，则（）A ．()sin cos f x x x x '=-B ．()sin cos f x x x x '=+C ．()ππf '=-D ．2πa =-11．（2022·广东·二模）吹气球时，记气球的半径r 与体积V 之间的函数关系为r （V ），()r V '为r （V ）的导函数．已知r （V ）在03V ≤≤上的图象如图所示，若1203V V <≤≤，则下列结论正确的是（）A．()()()()10211021r r r r --<-- B ．()()'1'2r r > C ．()()121222r V r V V V r ++⎛⎫< ⎪⎝⎭D ．存在()012,V V V ∈，使得()()()21021r V r V r V V V --'=12．（2022·全国·高三专题练习）已知0,0a b >>，直线y x a =+与曲线1e 21x y b -=-+相切，则下列不等式成立的是（）A ．18ab ≤B ．218a b+≤C D ．3a b +≤三、填空题13．（2015·天津·高考真题（文））已知函数()()ln ,0,f x ax x x =∈+∞，其中a 为实数，()f x '为()f x 的导函数，若()13f '=，则a 的值为_________．14．（2015·全国·高考真题（文））已知曲线ln y x x =+在点()1,1处的切线与曲线()221y ax a x =+++相切,则a=________．15.（2020·全国·高考真题（文））曲线ln 1y x x =++的一条切线的斜率为2，则该切线的方程为______________. 16．（2012·浙江·高考真题（文））定义：曲线C 上的点到直线l 的距离的最小值称为曲线C 到直线l 的距离．已知曲线C 1：y ＝x 2＋a 到直线l ：y ＝x 的距离等于C 2：x 2＋(y ＋4) 2 ＝2到直线l ：y ＝x 的距离，则实数a ＝______________．四、解答题17．（2022·浙江·高三专题练习）已知()f x '是一次函数，()()()2212x f x x f x '--=，求()f x 的解析式．18．（2021·全国·高三专题练习）已知曲线313y x =.求该曲线的过点82,3P ⎛⎫ ⎪⎝⎭的切线方程.19．（2022·全国·高三专题练习）已知曲线32y x x =+-在点0P 处的切线1l 平行于直线410x y --=，且点0P 在第三象限． (1)求0P 的坐标；(2)若直线1l l ⊥，且l 也过切点0P ，求直线l 的方程．20．（2011·陕西·高考真题（理））如图，从点1(0,0)P 作x 轴的垂线交曲线xy e =于点1(0,1)Q ，曲线在1Q 点处的切线与x 轴交于点2P ，再从2P 作x 轴的垂线交曲线于点2Q ，依次重复上述过程得到一系列点：1P ，1Q ；2P ，2Q ；；n P ，n Q 记k P 点的坐标为(,0)k x （1,2,,k n =）（1）试求k x 与1k x -的关系（2k n ≤≤）（2）求1122n n PQ P Q P Q +++21．（2022·四川·绵阳中学实验学校模拟预测（文））已知曲线()()()211ln ,2f x x x x ax b a b =+--+∈R 在1x =处的切线经过坐标原点．(1)求b 的值；(2)若()0f x ≤，求a 的取值范围．22．（2020·北京·高考真题）已知函数2()12f x x =-．（Ⅰ）求曲线()y f x =的斜率等于2-的切线方程；（Ⅱ）设曲线()y f x =在点(,())t f t 处的切线与坐标轴围成的三角形的面积为()S t ，求()S t 的最小值．专题4.1 导数的概念、运算及导数的几何意义（真题测试）一、单选题1. （2021·四川省叙永第一中学校高三阶段练习）对于以下四个函数：①y x =；①2y x ；①3y x =；①1y x=．在区间[]1,2上函数的平均变化率最大的是（） A ．① B ．②C ．③D ．④【答案】C 【解析】【分析】分析求出四个函数的平均变化率，然后比较即可. 【详解】①21121y x ∆-==∆-，②41321y x ∆-==∆-，③81721y x ∆-==∆-，④1112212y x -∆==-∆-．故选：C ．2．（2020·全国·高考真题（理））函数43()2f x x x =-的图像在点(1(1))f ，处的切线方程为（） A ．21y x =-- B ．21y x =-+ C ．23y x =- D ．21y x =+【答案】B 【解析】【分析】求得函数()y f x =的导数()f x '，计算出()1f 和()1f '的值，可得出所求切线的点斜式方程，化简即可. 【详解】()432f x x x =-，()3246f x x x '∴=-，()11f ∴=-，()12f '=-，因此，所求切线的方程为()121y x +=--，即21y x =-+. 故选：B.3．（2006·安徽·高考真题（理））若曲线4y x =的一条切线l 与直线480x y +-=垂直，则l 的方程为（） A ．430x y --= B ．450x y +-= C ．430x y -+= D ．430x y ++= 【答案】A 【解析】【详解】与直线480x y +-=垂直的直线l 为40x y m -+=，即4y x =在某一点的导数为4，而34y x '=，所以4y x =在(1，1)处导数为4，此点的切线为430x y --=，故选A4．（2019·全国·高考真题（文））曲线y =2sin x +cos x 在点(π，–1)处的切线方程为（） A ．10x y --π-= B ．2210x y --π-= C ．2210x y +-π+= D ．10x y +-π+=【答案】C 【解析】【分析】先判定点(,1)π-是否为切点，再利用导数的几何意义求解. 【详解】当x π=时，2sin cos 1y =π+π=-，即点(,1)π-在曲线2sin cos y x x =+上．2cos sin ,y x x '=-2cos sin 2,x y πππ=∴=-=-'则2sin cos y x x =+在点(,1)π-处的切线方程为(1)2()y x --=--π，即2210x y +-π+=．故选C ．5．（2016·山东·高考真题（文））若函数()y f x =的图象上存在两点，使得函数的图象在这两点处的切线互相垂直，则称()y f x =具有T 性质．下列函数中具有T 性质的是（） A ．sin y x = B ．ln y x = C ．x y e = D ．3y x =【答案】A 【解析】【分析】若函数y ＝f （x ）的图象上存在两点，使得函数的图象在这两点处的切线互相垂直，则函数y ＝f （x ）的导函数上存在两点，使这点的导函数值乘积为﹣1，进而可得答案．【详解】解：函数y ＝f （x ）的图象上存在两点，使得函数的图象在这两点处的切线互相垂直，则函数y ＝f （x ）的导函数上存在两点，使这点的导函数值乘积为﹣1，当y ＝sin x 时，y ′＝cos x ，满足条件；当y ＝lnx 时，y ′1x=＞0恒成立，不满足条件；当y ＝ex 时，y ′＝ex ＞0恒成立，不满足条件；当y ＝x 3时，y ′＝3x 2＞0恒成立，不满足条件；故选A ．6．（2018·全国·高考真题（文））设函数()()321f x x a x ax =+-+．若()f x 为奇函数，则曲线()y f x =在点()00，处的切线方程为( )A ．2y x =-B ．y x =-C ．2y x =D ．y x =【答案】D 【解析】【详解】分析：利用奇函数偶次项系数为零求得1a =，进而得到()f x 的解析式，再对()f x 求导得出切线的斜率k ，进而求得切线方程.详解：因为函数()f x 是奇函数，所以10a -=，解得1a =，所以3()f x x x =+，2()31x f 'x =+，所以'(0)1,(0)0f f ==，所以曲线()y f x =在点(0,0)处的切线方程为(0)'(0)y f f x -=，化简可得y x =，故选D.7．（2016·四川·高考真题（文））设直线l 1，l 2分别是函数f(x)= ln ,01,{ln ,1,x x x x -<<>图象上点P 1，P2处的切线，l 1与l 2垂直相交于点P ，且l 1，l 2分别与y 轴相交于点A ，B ，则△PAB 的面积的取值范围是（） A ．(0,1) B ．(0,2) C ．(0,+∞) D ．(1,+∞)【答案】A 【解析】【详解】试题分析：设()()111222,ln ,,ln P x x P x x -（不妨设121,01x x ><<），则由导数的几何意义易得切线12,l l 的斜率分别为121211,.k k x x ==-由已知得12122111,1,.k k x x x x =-∴=∴=∴切线1l 的方程分别为()1111ln y x x x x -=-，切线2l 的方程为()2221ln y x x x x +=--，即1111ln y x x x x ⎛⎫-=-- ⎪⎝⎭．分别令0x =得()()110,1ln ,0,1ln .A x B x -++又1l 与2l 的交点为221111112222111121211,ln .1,1,0111211PAB A B P PAB x x x x P x x S y y x S x x x x ∆∆⎛⎫-++>∴=-⋅=<=∴<< ⎪++++⎝⎭，故选A ． 8．（2022·四川省内江市第六中学模拟预测（文））若函数()21f x x =+与()2ln 1g x a x =+的图象存在公共切线，则实数a 的最大值为（） A ．e 2B ．e CD ．2e【答案】B 【解析】【分析】分别设公切线与()21f x x =+和:()2ln 1C g x a x =+的切点()211,1x x +，()22,2ln 1x a x +，根据导数的几何意义列式，再化简可得2222222ln a x x x =-，再求导分析22()22ln (0)h x x x x x =-⋅>的最大值即可【详解】()2f x x '=，()2a g x x'=，设公切线与()21f x x =+的图象切于点()211,1x x +，与曲线:()2ln 1C g x a x =+切于点()22,2ln 1x a x +，∴()()2221211221212ln 1122ln 2a x x a a x x x x x x x x +-+-===--，故12a x x =，所以212211212ln 2x x x x x x x -=-，∴122222ln x x x x =-⋅，∵12a x x =，故2222222ln a x x x =-，设22()22ln (0)h x x x x x =-⋅>，则()2(12ln )h x x x '=-，∴()h x在上递增，在)+∞上递减，∴max ()e h x h ==， ∴实数a 的最大值为e 故选：B. 二、多选题9．（2022·黑龙江·哈尔滨三中高二阶段练习）近两年为抑制房价过快上涨，政府出台了一系列以“限购、限外、限贷、限价”为主题的房地产调控政策．各地房产部门为尽快实现稳定房价，提出多种方案，其中一项就是在规定的时间T 内完成房产供应量任务S ．已知房产供应量S 与时间t 的函数关系如图所示，则在以下各种房产供应方案中，在时间[]0,T 内供应效率（单位时间的供应量）不是．．逐步提高的（）A ． B ．C ．D ．【答案】ACD 【解析】【分析】根据变化率的知识，结合曲线在某点处导数的几何意义，可得结果. 【详解】单位时间的供应量逐步提高时，供应量的增长速度越来越快，图象上切线的斜率随着自变量的增加会越来越大，则曲线是上升的，且越来越陡，故函数的图象应一直下凹的.则选项B 满足条件，所以在时间[0，T ]内供应效率（单位时间的供应量）不是逐步提高的是ACD 选项，故选：ACD.10．（2022·吉林·长春市第二实验中学高二期中）若曲线()sin 1f x x x =-在πx =处的切线与直线210ax y ++=互相垂直，则（）A ．()sin cos f x x x x '=-B ．()sin cos f x x x x '=+C ．()ππf '=-D ．2πa =-【答案】BCD 【解析】【分析】由已知，选项A 、选项B ，可根据给出的曲线解析式直接求导做出判断，选项C ，可将πx =带入求解出的()f x '中进行求解判断，选项D ，根据求解出的()πf '结合直线方程的斜率，利用在πx =处的切线与直线互相垂直即可列出等量关系，求解出a 的值.【详解】选项A ，已知曲线()sin 1f x x x =-，所以()sin cos f x x x x '=+，故该选项错误；选项B ，已知曲线()sin 1f x x x =-，所以()sin cos f x x x x '=+，故该选项正确；选项C ，因为()sin cos f x x x x '=+，所以()πsin ππcos πf '=+0ππ=-=-，故该选项正确；选项D ，直线210ax y ++=的斜率为2a-，而()ππf '=-，由已知，曲线()sin 1f x x x =-在πx =处的切线与直线210ax y ++=互相垂直，所以(π)12a--=-，所以2πa =-，该选项正确；故选：BCD.11．（2022·广东·二模）吹气球时，记气球的半径r 与体积V 之间的函数关系为r （V ），()r V '为r （V ）的导函数．已知r （V ）在03V ≤≤上的图象如图所示，若1203V V <≤≤，则下列结论正确的是（）A ．()()()()10211021r r r r --<-- B ．()()'1'2r r > C ．()()121222r V r V V V r ++⎛⎫< ⎪⎝⎭D ．存在()012,V V V ∈，使得()()()21021r V r V r V V V --'=【答案】BD 【解析】【分析】 A ：设()()()()1021tan ,tan =1021r r r r αθ--=--，由图得αθ>，所以该选项错误； B:根据图象和导数的几何意义得()()12r r '>'，所以该选项正确； C:设120,3,V V == 3(3)()22r r >，所以该选项错误；D:结合图象和导数的几何意义可以判断该选项正确. 【详解】解：A ：设()()()()1021tan ,tan =1021r r r r αθ--=--，由图得αθ>，所以tan tan ,αθ>所以()()()()10211021r r r r -->--，所以该选项错误；B:由图得图象上点的切线的斜率越来越小，根据导数的几何意义得()()12r r '>'，所以该选项正确；C:设()()1212123(3)=(0,3,),2222r V r V V V r r V V r ++⎛⎫= ⎪⎝⎭==∴，因为3()(0)2r r ->3(3)(),2r r -所以3(3)()22r r >，所以该选项错误； D:()()2121r V r V V V --表示1122(,()),(,())A V r V B V r V 两点之间的斜率，()0r V '表示00(,())C V r V 处切线的斜率，由于()012,V V V ∈，所以可以平移直线AB 使之和曲线相切，切点就是点C ,所以该选项正确. 故选：BD12．（2022·全国·高三专题练习）已知0,0a b >>，直线y x a =+与曲线1e 21x y b -=-+相切，则下列不等式成立的是（） A ．18ab ≤B ．218a b+≤C D ．3a b +≤【答案】AC 【解析】【分析】利用导数的几何意义，求出a ，b 的关系，再结合均值不等式逐项分析、计算并判断作答. 【详解】设直线y x a =+与曲线1e 21x y b -=-+相切的切点为00(,)x y ，由1e 21x y b -=-+求导得：1e x y -'=，则有01e 1x -=，解得01x =，因此，0122y a b =+=-，即21a b +=，而0,0a b >>，对于A ，211212()2228a b ab a b +=⋅⋅≤=，当且仅当122a b ==时取“=”，A 正确；对于B ，21214(2)()448b a a b a b a b a b +=++=++≥+=，当且仅当4b a a b =，即122a b ==时取“=”，B 不正确；对于C ，因22332(2)222a a b b a b +=+++=+=，则有232≤，=4a b =时取“=”，由214a b a b+=⎧⎨=⎩得21,36a b ==，所以当21,36a b ==时，max C 正确；对于D ，由21a b +=，0,0a b >>得，102b <<，11(,1)2a b b +=-∈，而函数3x y =在R 上单调递增，33a b +<，D 不正确. 故选：AC 三、填空题13．（2015·天津·高考真题（文））已知函数()()ln ,0,f x ax x x =∈+∞，其中a 为实数，()f x '为()f x 的导函数，若()13f '=，则a 的值为_________．【答案】3 【解析】'()ln f x a x a =+，所以'(1)3f a ==．14．（2015·全国·高考真题（文））已知曲线ln y x x =+在点()1,1处的切线与曲线()221y ax a x =+++相切,则a=________．【答案】8 【解析】【详解】试题分析：函数ln y x x =+在(1,1)处的导数为111|1|2x x y x===+='，所以切线方程为；曲线2(2)1y ax a x =+++的导函数的为，因与该曲线相切，可令，当时，曲线为直线，与直线平行，不符合题意；当时，代入曲线方程可求得切点，代入切线方程即可求得.15.（2020·全国·高考真题（文））曲线ln 1y x x =++的一条切线的斜率为2，则该切线的方程为______________. 【答案】2y x = 【解析】【分析】设切线的切点坐标为00(,)x y ，对函数求导，利用0|2x y '=，求出0x ，代入曲线方程求出0y ，得到切线的点斜式方程，化简即可. 【详解】设切线的切点坐标为001(,),ln 1,1x y y x x y x=++'=+， 00001|12,1,2x x y x y x ='=+===，所以切点坐标为(1,2)，所求的切线方程为22(1)y x -=-，即2y x =. 故答案为：2y x =.16．（2012·浙江·高考真题（文））定义：曲线C 上的点到直线l 的距离的最小值称为曲线C 到直线l 的距离．已知曲线C 1：y ＝x 2＋a 到直线l ：y ＝x 的距离等于C 2：x 2＋(y ＋4) 2 ＝2到直线l ：y ＝x 的距离，则实数a ＝______________．【答案】94【解析】【详解】试题分析：由新定义可知，直线与曲线相离，圆的圆心到直线的距离为，此时直线与圆相离，根据新定义可知，曲线到直线的距离为，对函数求导得，令，故曲线在处的切线方程为，即，于是曲线到直线的距离为，则有，解得或，当时，直线与曲线相交，不合乎题意；当时，直线与曲线相离，合乎题意.综上所述，.四、解答题17．（2022·浙江·高三专题练习）已知()f x '是一次函数，()()()2212x f x x f x '--=，求()f x 的解析式．【答案】()2442f x x x =++【解析】【分析】分析可知，函数()f x 为二次函数，可设()()20f x ax bx c a =++≠，根据导数的运算法则结合已知条件可得出关于a 、b 、c 的方程组，解出这三个未知数的值，即可得出函数()f x 的解析式. 【详解】由()f x '为一次函数可知()f x 为二次函数．设()()20f x ax bx c a =++≠，则()2f x ax b '=+．所以，()()()()()()222212212x f x x f x x ax b x ax bx c '--=+--++=，即()()2220a b x b c x c -+-+-=，所以，02020a b b c c -=⎧⎪-=⎨⎪-=⎩，解得442a b c =⎧⎪=⎨⎪=⎩，因此，()2442f x x x =++.18．（2021·全国·高三专题练习）已知曲线313y x =.求该曲线的过点82,3P ⎛⎫⎪⎝⎭的切线方程.【答案】123160x y --=或3320x y -+=. 【解析】【分析】设出曲线过P 点的切线方程的切点坐标，把切点的横坐标代入到导函数中即可表示出切线的斜率，根据切点坐标和表示出的斜率，写出切线的方程，把P 的坐标带入到切线方程即可得到关于切点横坐标的方程，求出方程的解即可得到切点横坐标的值，分别代入所设的切线方程即可. 【详解】解：设切点坐标为()00,x y ，切点在曲线上，∴在点()00,x y 处切线的斜率为020x x k y x =='=.∴切线方程为()2000y y x x x -=-.又切线过点82,3P ⎛⎫ ⎪⎝⎭，且切点()00,x y 在曲线313y x =上()200030082,31,3y x x y x ⎧-=-⎪⎪∴⎨⎪=⎪⎩整理得3200340x x -+=，即()()200210x x -+=，解得02x =或01x =-.∴当02x =，083y =，即切线斜率为4时，切线的方程为123160x y --=；当01x =-，031y =-，即切线斜率为1时，切线的方程为3320x y -+=.综上，所求切线方程为123160x y --=或3320x y -+=.19．（2022·全国·高三专题练习）已知曲线32y x x =+-在点0P 处的切线1l 平行于直线410x y --=，且点0P 在第三象限． (1)求0P 的坐标；(2)若直线1l l ⊥，且l 也过切点0P ，求直线l 的方程．【答案】(1)(1,4)--； (2)4170x y ++=. 【解析】【分析】（1）设点000(,)P x y ，求出给定函数的导数，再利用导数的几何意义，列式计算作答. （2）求出直线l 的斜率，由（1）的结论结合直线的点斜式方程求解作答. (1)由32y x x =+-求导得：231y x '=+，设切点000(,)P x y ，而点0P 在第三象限，即000,0x y <<，依题意，20314x +=，解得：01x =-，此时，04y =-，显然点(1,4)--不在直线410x y --=上，所以切点0P 的坐标为(1,4)--. (2)直线1l l ⊥，而1l 的斜率为4，则直线l 的斜率为14-，又l 过切点0P (1,4)--，于是得直线l 的方程为14(1)4y x +=-+，即4170x y ++=，所以直线l 的方程为：4170x y ++=.20．（2011·陕西·高考真题（理））如图，从点1(0,0)P 作x 轴的垂线交曲线xy e =于点1(0,1)Q ，曲线在1Q 点处的切线与x 轴交于点2P ，再从2P 作x 轴的垂线交曲线于点2Q ，依次重复上述过程得到一系列点：1P ，1Q ；2P ，2Q ；；n P ，n Q 记k P 点的坐标为(,0)k x （1,2,,k n =）（1）试求k x 与1k x -的关系（2k n ≤≤）（2）求1122n n PQ P Q P Q +++【答案】（1）11k k x x -=-()2k n ≤≤（2）11ne e e --- 【解析】【详解】（1）根据函数的导数求切线方程，然后再求切线与x 轴的交点坐标；（2）尝试求出通项n n P Q 的表达式，然后再求和．（1）设点1k P -的坐标是1(,0)k x -，∵x y e =，∴x y e '=， ∴111(,)k x k k Q x e---，在点111(,)k x k k Q x e ---处的切线方程是111()k k x x k y e e x x ----=-，令0y =，则11k k x x -=-（2k n ）．（2）∵10x =，11k k x x --=-，∴(1)k x k =--，∴(1)k x k k k PQ e e--==，于是有 112233n n PQ PQ PQ P Q ++++12(1)1111n k e e e ee -------=++++=-11ne e e --=-，即112233n n PQ PQ PQ P Q ++++11ne e e --=-．21．（2022·四川·绵阳中学实验学校模拟预测（文））已知曲线()()()211ln ,2f x x x x ax b a b =+--+∈R 在1x =处的切线经过坐标原点．(1)求b 的值； (2)若()0f x ≤，求a 的取值范围．【答案】(1)32b = (2)[)1,+∞【解析】【分析】（1）利用导数的几何意义可求得()f x 在1x =处的切线方程，代入坐标原点即可求得b ；（2）采用分离变量的方式可得()1131ln 22a g x x x x x ⎛⎫≥=+-+ ⎪⎝⎭，利用导数可求得()g x 单调性，由此可得()max 1g x =，进而得到a 的取值范围.(1)()1ln x f x x x a x+'=+--，()11f a '∴=-，又()112f a b =--+，()f x ∴在1x =处的切线为：()()1112y a b a x ++-=--，又该切线过原点，112a b a ∴+-=-+，解得：32b =.(2)由（1）得：()()2131ln 22f x x x x ax =+--+，()f x 定义域为()0,∞+；若()0f x ≤恒成立，则1131ln 22a x x x x ⎛⎫≥+-+ ⎪⎝⎭；令()1131ln 22g x x x x x ⎛⎫=+-+ ⎪⎝⎭，则()222ln 212x x x g x x--+-'=；令()22ln 21h x x x x =--+-，则()()221x x h x x-+'=-；210x x -+>恒成立，()0h x '∴<，()h x ∴在()0,∞+上单调递减，又()10h =，∴当()0,1x ∈时，()0h x '>；当()1,x ∈+∞时，()0h x '<；()g x ∴在()0,1上单调递增，在()1,+∞上单调递减，()()max 131122g x g ∴==-+=，1a ∴≥，即a 的取值范围为[)1,+∞.22．（2020·北京·高考真题）已知函数2()12f x x =-．（Ⅰ）求曲线()y f x =的斜率等于2-的切线方程；（Ⅱ）设曲线()y f x =在点(,())t f t 处的切线与坐标轴围成的三角形的面积为()S t ，求()S t 的最小值．【答案】（Ⅰ）2130x y +-=，（Ⅱ）32. 【解析】【分析】（Ⅰ）根据导数的几何意义可得切点的坐标，然后由点斜式可得结果；（Ⅱ）根据导数的几何意义求出切线方程，再得到切线在坐标轴上的截距，进一步得到三角形的面积，最后利用导数可求得最值. 【详解】（Ⅰ）因为()212f x x =-，所以()2f x x '=-，设切点为()00,12x x -，则022x -=-，即01x =，所以切点为()1,11，由点斜式可得切线方程为：()1121y x -=--，即2130x y +-=. （Ⅱ）[方法一]：导数法显然0t ≠，因为()y f x =在点()2,12t t -处的切线方程为：()()2122y t t x t --=--，令0x =，得212y t =+，令0y =，得2122t x t+=，所以()S t =()221121222||t t t +⨯+⋅，不妨设0t >(0t <时，结果一样)，则()423241441144(24)44t t S t t t t t++==++，所以()S t '=4222211443(848)(324)44t t t t t+-+-= 222223(4)(12)3(2)(2)(12)44t t t t t t t -+-++==，由()0S t '>，得2t >，由()0S t '<，得02t <<，所以()S t 在()0,2上递减，在()2,+∞上递增，所以2t =时，()S t 取得极小值，也是最小值为()16162328S ⨯==. [方法二]【最优解】：换元加导数法 ()()2222121121()12(0)2|2|4||t t S t t t t t ++=⋅⋅+=⋅≠．因为()S t 为偶函数，不妨设0t >，221()4S t =⋅，令a =2,0t a a =>．令412()a g a a +=，则面积为21[()]4S g a =，只需求出412()a g a a+=的最小值．34422412312()a a a a g a a a ⋅---='=()()()222223223(2a a a a a a a-++==．因为0a >，所以令()0g a '=，得a = 随着a 的变化，(),()g a g a '的变化情况如下表：所以min [()]g a g ===所以当a =2t =时，2min 1[()]324S t =⨯=．因为[()]S t 为偶函数，当0t <时，min [()](2)(2)32S t S S =-==．综上，当2t =±时，()S t 的最小值为32． [方法三]：多元均值不等式法同方法二，只需求出412()(0)a g a a a +=>的最小值．令4312444()a g a a a a a a +==+++≥=当且仅当34a a=，即a =所以当a =2t =时，2min 1[()]324S t =⨯=．因为()S t 为偶函数，当0t <时，min [()](2)(2)32S t S S =-==．综上，当2t =±时，()S t 的最小值为32． [方法四]：两次使用基本不等式法同方法一得到()()()()()22222222222121241646464()41616324||444tt t t S t t t t t t ++++++=≥==+++≥=+++ ,下同方法一. 【整体点评】（Ⅱ）的方法一直接对面积函数求导数，方法二利用换元方法，简化了运算，确定为最优解；方法三在方法二换元的基础上，利用多元均值不等式求得最小值，运算较为简洁；方法四两次使用基本不等式，所有知识最少，配凑巧妙，技巧性较高.60。

2021版高考数学一轮复习滚动评估检测(四)(含解析)新人教B版-新人教B版高三全册数学试题

滚动评估检测(四)(120分钟150分)一、单项选择题(本大题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)1.集合A={y=,0≤x≤4},B=,则A∩B=( )A.∪B.∪C.D.【解析】选D.因为A=[0,2],B=,所以A∩B=(1,2].2.已知i为虚数单位,复数z满足=2+i,则= ( )A.1B.C.D.5【解析】选A.由题可得1-i=(2+i)(1+z),整理得z=--i,==1.3.已知x∈R,则“x>2”是“x2-3x+2>0”成立的( )A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【解析】选A.由x2-3x+2>0得x<1或x>2,所以“x>2”是“x2-3x+2>0”成立的充分不必要条件.4.已知是等差数列,其前n项和为S n,若a3=6,S3=12,则公差d等于( ) A.1B. C.2D.3【解析】选C.因为a3=a1+2d=6,S3=3a1+3d=12,所以a1=2,d=2.5.在△ABC中,M是BC的中点,AM=1,点P在AM上且满足=2,则·(+)等于( )A.-B.-C.D.【解析】选A.如图,因为=2,所以=+,所以·(+)=-,因为AM=1且=2,所以||=,所以·(+)=-.6.某调查机构对全国互联网行业进行调查统计,得到整个互联网行业从业者年龄分布饼状图、90后从事互联网行业岗位分布条形图,则下列结论中不正确的是( ) 注:90后指1990-1999年之间出生,80后指1980-1989年之间出生,80前指1979年及以前出生.A.互联网行业从业人员中90后占一半以上B.互联网行业中从事技术岗位的人数超过总人数的20%C.互联网行业中90后从事运营岗位的人数比从事产品岗位的人数多D.互联网行业中从事技术岗位的人数90后比80后多【解析】选D.A.由互联网行业从业者年龄分布饼状图可知,90后占了56%,故A选项结论正确;B.互联网行业中,从事技术的90后占56%×39.6%>20%,仅90后就超过20%,故B选项结论正确;C.由90后从事互联网行业岗位分布条形图可知C选项结论正确;D.在互联网行业从业者中90后与80后的比例相差不大,故无法判断其技术岗位的人数是谁多,故D选项结论不一定正确.7.(2020·某某模拟)已知函数f(x)=,则y=f(x)的图象大致为( )【解析】选A.令g(x)=x-lnx-1,则x>0,因为g′(x)=1-=,由g′(x)>0,得x>1,即函数g(x)在(1,+∞)上单调递增,由g′(x)<0,得0<x<1,即函数g(x)在(0,1)上单调递减,所以当x=1时,函数g(x)有最小值,g(x)min=g(1)=0,于是对任意的x∈(0,1)∪(1,+∞),有g(x)>0,则f(x)>0,故排除B、D.8.(2019·全国卷Ⅱ)设函数f(x)的定义域为R,满足f(x+1)=2f(x),且当x∈(0,1]时,f(x)=x(x-1).若对任意x∈(-∞,m],都有f(x)≥-,则m的取值X围是世纪金榜导学号( )A. B.C. D.【解析】选B.如图,令f(x)=-,结合图象可得f(x-1)=-,则f(x-2)=-,当x∈(0,1]时,f(x)=x(x-1)=-,解得x=或,当f(x)=-时,x=或,即若f(x)≥-,对任意x∈(-∞,m]都成立,则m≤.二、多项选择题(本题共4小题,每小题5分,共20分,多选题全部选对得5分,选对但不全对的得3分,有选错的得0分)9.已知sinx=,则sin2x= ( )A.-B.-C.D.【解析】选BD.因为sinx=,所以cosx=±=±=±,所以sin2x=2sinxcosx=2××=±.10.(2020·某某新高考模拟)函数f(x)的定义域为R,且f(x+1)与f(x+2)都为奇函数,则( )A.f(x)为奇函数B.f(x)为周期函数C.f(x+3)为奇函数D.f(x+4)为偶函数【解析】选ABC.由f(x+1)与f(x+2)都为奇函数知函数f(x)的图象关于点(-1,0),(-2,0)对称,所以f(x)+f(-2-x)=0,f(x)+f(-4-x)=0,所以f(-2-x)=f(-4-x),所以f(x)是以2为周期的函数.所以f(x),f(x+3)均为奇函数.11.(2020·某某新高考模拟)如图为某地区2006年～2018年地方财政预算内收入、城乡居民储蓄年末余额折线图.根据该折线图可知,关于该地区2006年～2018年的说法正确的是( )A.财政预算内收入、城乡居民储蓄年末余额均呈增长趋势B.财政预算内收入、城乡居民储蓄年末余额的逐年增长速度相同C.财政预算内收入年平均增长量高于城乡居民储蓄年末余额年平均增长量D.城乡居民储蓄年末余额与财政预算内收入的差额逐年增大【解析】选AD.由图可以看出两条曲线均在上升,从而选项A正确;图中两曲线间隔越来越大,说明年增长速度不同,差额逐年增大,故选项B错误,选项D正确;又从图中可以看出财政预算内收入年平均增长量应该小于城乡居民储蓄年末余额年平均增长量,所以选项C错误.12.(2020·某某新高考模拟)正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为1,E,F,G分别为BC,CC1,BB1的中点.则( )A.直线D1D与直线AF垂直B.直线A1G与平面AEF平行C.平面AEF截正方体所得的截面面积为D.点C与点G到平面AEF的距离相等【解析】选BC.对选项A:方法一:以D点为坐标原点,DA,DC,DD1所在的直线分别为x,y,z轴,建立空间直角坐标系,则D(0,0,0),D1(0,0,1),A(1,0,0),A1(1,0,1),E,F,G.从而=(0,0,1),=,从而·=≠0,所以D1D与直线AF不垂直,选项A错误;方法二:取DD1的中点N,连接AN,则AN为直线AF在平面ADD1A1内的射影,AN与DD1不垂直,从而AF与DD1也不垂直,选项A错误;取B1C1的中点为M,连接A1M、GM,则A1M∥AE,GM∥EF,A1M∩GM=M,AE∩EF=E,所以平面A1MG∥平面AEF,从而A1G∥平面AEF,选项B正确;对于选项C,连接AD1,D1F,易知四边形AEFD1为平面AEF截正方体所得的截面四边形(如图所示),且D1H=AH=,AD1=,所以=×=,而==,从而选项C正确;对于选项D:方法一:由于S△GEF=S梯形BEFG-S△EBG=×-××=,而S△ECF=××=,而V A-GEF=S△EFG·AB,V A-ECF=S△ECF·AB,所以V A-GEF=2V A-ECF,即V G-AEF=2V C-AEF,点G到平面AEF的距离为点C到平面AEF的距离的二倍.从而D错误. 方法二:假设点C与点G到平面AEF的距离相等,即平面AEF将CG平分,则平面AEF必过CG的中点,连接CG交EF于点O,易知O不是CG的中点,故假设不成立,从而选项D错误.三、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分.请把正确答案填在题中横线上)13.的展开式中x2y3的系数为________.【解析】由二项式定理可知,展开式的通项为T r+1=(-2y)r,要求的展开式中含x2y3的项,则r=3,所求系数为(-2)3=-20.答案:-2014.(2018·全国卷Ⅰ)记S n为数列的前n项和.若S n=2a n+1,则S6=________. 世纪金榜导学号【解析】依题意,作差得a n+1=2a n,所以数列{a n}是公比为2的等比数列,又因为a1=S1=2a1+1,所以a1=-1,所以a n=-2n-1,所以S6==-63.答案:-6315.双曲线-=1的离心率为__________,渐近线方程为__________.【解析】双曲线-=1中,a=2,b=,c==,所以e==,渐近线方程为y=±x=±x.答案:y=±x16.圆O的半径为1,P为圆周上一点,现将如图放置的边长为1的正方形(实线所示,正方形的顶点A与点P重合)沿圆周逆时针滚动,点A第一次回到点P的位置,则点A走过的路径的长度为________. 世纪金榜导学号【解析】每次转动一个边长时,圆心角转过60°,正方形有4边,所以需要转动11次,回到起点.在这11次中,半径为1的6次,半径为的3次,半径为0的2次,点A走过的路径的长度=×2π×1×6+×2π××3=.答案:四、解答题(本大题共6小题,共70分.解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)17.(10分)(2020·某某新高考模拟)在①b1+b3=a2,②a4=b4,③S5=-25这三个条件中任选一个,补充在下面问题中,若问题中的k存在,求k的值,若k不存在,请说明理由.设等差数列{a n}的前n项和为S n,{b n}是等比数列,____________,b1=a5,b2=3,b5=-81,是否存在k,使得S k>S k+1且S k+1<S k+2?注:如果选择多个条件分别解答,按第一个解答计分.【解析】因为在等比数列{b n}中,b2=3,b5=-81,所以其公比q=-3, 从而b n=b2(-3)n-2=3×(-3)n-2,从而a5=b1=-1.若存在k,使得S k>S k+1,即S k>S k+a k+1,从而a k+1<0;同理,若使S k+1<S k+2,即S k+1<S k+1+a k+2,从而a k+2>0.方法一:若选①:由b1+b3=a2,得a2=-1-9=-10,所以a n=3n-16,当k=4时满足a5<0,且a6>0成立;若选②:由a4=b4=27,且a5=-1,所以数列{a n}为递减数列,故不存在a k+1<0,且a k+2>0;若选③:由S5=-25==5a3,解得a3=-5,从而a n=2n-11,所以当k=4时,能使a5<0,a6>0成立.方法二:若选①:由b1+b3=a2,得a2=-1-9=-10,所以公差d==3,a1=a2-d=-13,从而S n=-13n+×d=(3n2-29n);⇔解得<k<,又k∈N*,从而k=4满足题意.若选②与若选③(仿上可解决,略).18.(12分)(2020·黄冈模拟)在△ABC中,设内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,且=.(1)求角B的大小.(2)求cos2-sin cos的取值X围.【解析】(1)由=得到=,即2sinAcosB=sin(B+C),即2sinAcosB=sinA.又因为A为三角形内角,所以sinA≠0,所以cosB=,从而B=.(2)cos2-sin cos=(cosC+1)-sinA=cosC-sin+=cosC-sinC+=cos(C+)+,因为0<C<,所以<C+<,所以-<cos(C+)<,所以<cos(C+)+<.所以cos2-sin cos的取值X围为.19.(12分)如图,在四棱锥P-ABCD中,AB∥CD,AB⊥AD,平面ABCD⊥平面PAD,E是PB的中点,F 是DC上一点,G是PC上一点,且PD=AD,AB=2DF=6.(1)求证:平面EFG⊥平面PAB.(2)若PA=4,PD=3,求直线PB与平面ABCD所成角的正弦值.【解析】(1)如图,取PA的中点M,连接MD,ME,则ME∥AB,ME=AB,又DF∥AB,DF=AB,所以ME∥DF,ME=DF,所以四边形MDFE是平行四边形,所以EF∥MD,因为PD=AD,所以MD⊥PA,因为平面ABCD⊥平面PAD,平面ABCD∩平面PAD=AD,AB⊥AD,所以AB⊥平面PAD,因为MD⊂平面PAD,所以MD⊥AB,因为PA∩AB=A,所以MD⊥平面PAB,所以EF⊥平面PAB,又EF⊂平面EFG,所以平面EFG⊥平面PAB.(2)过点P作PH⊥AD于点H,则PH⊥平面ABCD,以H为坐标原点,HA所在直线为x轴,过点H 且平行于AB的直线为y轴,PH所在直线为z轴,建立如图所示的空间直角坐标系H-xyz,在等腰三角形PAD中,PD=AD=3,PA=4,因为PH·AD=MD·PA,所以3PH=4×,解得PH=,则AH=,所以P,B,所以=,易知平面ABCD的一个法向量为n=(0,0,1),所以cos<,n>==-,所以直线PB与平面ABCD所成角的正弦值为.20.(12分)已知F1,F2是椭圆C:+=1(a>b>0)的左、右焦点,圆O:x2+y2=c2(|F1F2|=2c)与椭圆有且仅有两个交点,点在椭圆上.(1)求椭圆的标准方程.(2)过y轴正半轴上一点P的直线l与圆O相切,与椭圆C交于点A,B,若=,求直线l的方程.【解析】(1)依题意,得c=b,所以a==b,所以椭圆C为+=1,将点代入,解得b=1,则a=,所以椭圆的标准方程为+y2=1.(2)由题意知直线l的斜率存在,设l斜率为k,P(0,m)(m>1),则直线l的方程为y=kx+m,设A(x1,y1),B(x2,y2),直线l与圆O相切,则=1,即m2=1+k2,联立直线与椭圆方程,消元得(1+2k2)x2+4kmx+2m2-2=0,Δ>0⇒k≠0,x1+x2=-,x1x2==,因为=,所以x2=2x1,即x1=-,=,所以=1,解得k2=,即k=±,m=,故所求直线方程为y=±x+.21.(12分)(2018·某某高考)已知某单位甲、乙、丙三个部门的员工人数分别为24,16,16. 现采用分层抽样的方法从中抽取7人,进行睡眠时间的调查.(1)应从甲、乙、丙三个部门的员工中分别抽取多少人?(2)若抽出的7人中有4人睡眠不足,3人睡眠充足,现从这7人中随机抽取3人做进一步的身体检查.①用X表示抽取的3人中睡眠不足的员工人数,求随机变量X的分布列与数学期望;②设A为事件“抽取的3人中,既有睡眠充足的员工,也有睡眠不足的员工”,求事件A发生的概率.【解析】(1)由已知,得甲、乙、丙三个部门的员工人数之比为3∶2∶2,由于采用分层抽样的方法从中抽取7人,因此应从甲、乙、丙三个部门的员工中分别抽取3人,2人,2人.(2)①随机变量X的所有可能取值为0,1,2,3.P(X=k)=(k=0,1,2,3).所以,随机变量X的分布列为X 0 1 2 3P所以随机变量X的数学期望E(X)=0×+1×+2×+3×=.②设事件B为“抽取的3人中,睡眠充足的员工有1人,睡眠不足的员工有2人”;事件C为“抽取的3人中,睡眠充足的员工有2人,睡眠不足的员工有1人”,则A=B∪C,且B与C互斥,由①知,P(B)=P(X=2)=,P(C)=P(X=1)=,故P(A)=P(B∪C)=P(X=2)+P(X=1)=.所以,事件A发生的概率为.22.(12分)已知函数f=cos,g=e x·f′,其中e为自然对数的底数.世纪金榜导学号(1)求曲线y=g在点处的切线方程.(2)若对任意x∈不等式g≥x·f+m恒成立,某某数m的取值X围.(3)试探究当x∈时,方程g=x·f的解的个数,并说明理由.【解析】(1)依题意得f=si n x,g=e x·cosx.g=e0cos0=1,g′=e x cosx-e x si n x,g′(0)=1,所以曲线y=g在点(0,g(0))处的切线方程为y=x+1.(2)原题等价于对任意x∈,m≤[g-x·f]mi n.设h(x)=g-x·f,x∈.则h′=e x cosx-e x si n x-si n x-xcosx=cosx-si n x,因为x∈,所以cosx≥0,si n x≤0,所以h′≥0,故h(x)在上单调递增,因此当x=-时函数h(x)取得最小值, h=-;所以m≤-,即实数m的取值X围是. (3)设H(x)=g-x·f,x∈.当x∈时,H′(x)=e x(cosx-si n x)-si n x-xcosx<0,所以函数H(x)在上单调递减,故函数H(x)在上至多只有一个零点,又H=(-)>0,H=-<0,而且函数H(x)在上是连续不断的, 因此,函数H(x)在上有且只有一个零点.即方程g(x)=x·f(x)只有一个解.。

昆明市第一中学 2023届高中新课标高三第四次一轮复习检测数学试卷

机密★启用前【考试时间：１１月２９日１５：００—１７：００】昆明市第一中学郑重声明：严禁提前考试、发放及网络传播试卷，违反此规定者取消其联考资格，并追究经济和法律责任；对于首位举报者，经核实奖励２０００元。

举报电话：０８７１－６５３２５７３１昆明市第一中学２０２３届高中新课标高三第四次一轮复习检测数学试卷命题人：昆一中数学命题小组审题人：杨昆华　彭力　顾先成　莫利琴　孙思应　梁云虹　丁茵　张远雄　崔锦　秦绍卫本试卷共４页，２２题。

全卷满分１５０分。

考试用时１２０分钟。

注意事项：１答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。

２选择题的作答：每小题选出答案后，用２Ｂ铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。

写在试卷、草稿纸和答题卡的非答题区域均无效。

３非选择题的作答：用黑色签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。

写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。

４考试结束后，请将本试卷和答题卡一并上交。

一、单选题：本题共８小题，每小题５分，共４０分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

１设复数ｚ满足ｚ·ｚ－＝１，则ｚ在复平面内对应的点（ｘ，ｙ）的轨迹为Ａ直线Ｂ圆Ｃ椭圆Ｄ双曲线２设集合Ａ＝｛１，２，ｘ｝，Ｂ＝｛２，ｘ２｝，且Ａ∪Ｂ＝Ａ，则ｘ＝Ａ－１Ｂ１Ｃ－１或０Ｄ－１或０或１３等差数列｛ａｎ｝的前ｎ项和为Ｓｎ，若ａ１＋ａ２＝０，Ｓ４＝１６，则Ｓ６等于Ａ４８Ｂ５４Ｃ６４Ｄ７２４为帮助某贫困山区的基层村镇完成脱贫任务，某单位要从５名领导和６名科员中选出４名人员去某基层村镇做帮扶工作，要求选出人员中至少要有２名领导，且必须有科员参加，则不同的选法种数是Ａ２１０Ｂ３６０Ｃ４２０Ｄ７２０５已知双曲线Ｃ：ｘ２ａ２－ｙ２ｂ２＝１（ａ＞０，ｂ＞０）的渐近线方程为ｙ＝±１４ｘ，左、右焦点分别为Ｆ１，Ｆ２，过Ｆ２的直线与Ｃ的右支交于Ｐ，Ｑ两点，且ＰＱ＝１０，△ＰＱＦ１的周长为３６，则该双曲线的焦距等于槡槡Ａ２Ｂ４Ｃ１７Ｄ２１７数学·第１页（共４页）数学·第２　页（共４页）６若点Ｐ为曲线ｙ＝ｅｘ上的动点，点Ｑ为直线ｙ＝ｘ上的动点，则ＰＱ的最小值为Ａ槡２２Ｂ槡３２Ｃ１Ｄ３２７已知ａ＝１１１２，ｂ＝１２１１，ｃ＝ｌｏｇ１２１１，则ａ、ｂ、ｃ的大小关系为Ａａ＞ｂ＞ｃＢｂ＞ａ＞ｃＣｂ＞ｃ＞ａＤｃ＞ｂ＞ａ８已知函数ｆ（ｘ）＝ｅｘ（ｓｉｎｘ＋ｃｏｓｘ）（０≤ｘ≤２０２２π），则函数ｆ（ｘ）的极小值点的个数为Ａ２０２１Ｂ２０２２Ｃ１０１１Ｄ１０１２二、多选题：本题共４小题，每小题５分，共２０分。

2009届高三数学第一轮复习分类汇编测试题(4)：平面向量

2009届高三数学第一轮复习分类汇编测试题（4）—《平面向量》一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．如图1所示，D 是△ABC 的边AB 上的中点，则向量=（）A ．21+- B ．21--C ．BA BC 21-D ．BA BC 21+2．与向量a ==⎪⎭⎫ ⎝⎛b ,21,27⎪⎭⎫ ⎝⎛27,21的夹解相等，且模为1的向量是（）A ．⎪⎭⎫-⎝⎛53,54B ．⎪⎭⎫- ⎝⎛53,54或⎪⎭⎫ ⎝⎛-53,54 C ．⎪⎭⎫- ⎝⎛31,322 D ．⎪⎭⎫- ⎝⎛31,322或⎪⎭⎫⎝⎛-31,322 3．设a 与b 是两个不共线向量，且向量a b λ+ 与()2b a --共线，则λ=（）A ．0B ．－1C ．－2D ．0.54．已知向量()1,3=a ，b 是不平行于x 轴的单位向量，且3=⋅b a ，则b =（）A ．⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛21,23 B ．⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛23,21 C ．⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛433,41 D ．（1，0）5．如图,已知正六边形P 1P 2P 3P 4P 5P 6,下列向量的数量积中最大的是（）A ．3121P P P P ⋅B ．4121P P P P ⋅C ．5121P P P P ⋅D ．6121P P P P ⋅6．在OAB ∆中，OA a = ，OB b = ，OD 是AB 边上的高，若AD AB λ=，则实数λ等于（）A ．2()a b a a b ⋅-- B ．2()a a b a b ⋅--C ．()a b a a b⋅--D ．()a a b a b⋅--7．设1(1,)2OM = ，(0,1)ON = ，则满足条件01OP OM ≤⋅≤ ，01OP ON ≤⋅≤ 的动点P 的变化范围（图中阴影部分含边界）是（）8．将函数f (x )=tan(2x +3π)+1按向量a 平移得到奇函数g(x )，要使|a |最小，则a =（）A ．（,16π-）B ．（,16π-）C ．（,112π）D ．（,112π--）9．已知向量a 、b 、c 且0a b c ++= ，||3a = ，||4b = ，||5c =.设a 与b 的夹角为1θ，b与c 的夹角为2θ，a 与c的夹角为3θ，则它们的大小关系是（）A ．123θθθ<<B ．132θθθ<<C ．231θθθ<<D ．321θθθ<<10．已知向量),(n m =，)sin ,(cos θθ=，其中R n m ∈θ,,.若||4||=，则当2λ<⋅恒成立时实数λ的取值范围是（）A ．2>λ或2-<λB ．2>λ或2-<λC ．22<<-λD ．22<<-λ 11．已知1OA = ，OB = ，0OA OB ⋅= ，点C 在AOB ∠内，且30oAOC ∠=，设OC mOA nOB =+ (,)m n R ∈，则mn等于（）A ．13B ．3CD 12．对于直角坐标平面内的任意两点11(,)A x y ，22(,)B x y ，定义它们之间的一种“距离”：2121.AB x x y y =-+-给出下列三个命题：①若点C 在线段AB 上，则;AC CB AB += ②在ABC ∆中，若90,o C ∠=则222;AC CB AB +=③在ABC ∆中，.AC CB AB +>其中真命题的个数为（） A ．0 B ．1 C ．2 D ．3二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分，把答案填在题中横线上.13．在中，,,3AB a AD b AN NC === ，M 为BC 的中点，则MN = _______.（用a b、表示）14．已知()()2,1,1,1,A B O --为坐标原点，动点M 满足OM mOA nOB =+，其中,m n R ∈且2222m n -=，则M 的轨迹方程为 .15．在ΔABC 中，O 为中线AM 上的一个动点，若AM=2，则)(OC OB OA +⋅的最小值为 .16．已知向量)3,5(),3,6(),4,3(m m ---=-=-=，若点A 、B 、C 能构成三角形，则实数m 满足的条件是 .三、解答题：本大题共6小题，共74分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17．（本小题满分12分）已知向量)sin 1,sin 1(x x -=，)2cos ,2(x =.（1）若]2,0(π∈x ，试判断与能否平行？（2）若]3,0(π∈x ，求函数x f ⋅=)(的最小值.18．（本小题满分12分）（2006年湖北卷）设函数()()c b a x f +⋅=，其中向量 ()()x x b x x a cos 3,sin ,cos ,sin -=-=，()R x x x c ∈-=,sin ,cos .（1）求函数()x f 的最大值和最小正周期；（2）将函数()x f y =的图像按向量d 平移，使平移后得到的图像关于坐标原点成中心对称，求长度最小的d .19．（本小题满分12分）（2007年宁夏卷）在平面直角坐标系xOy 中，经过点(0且斜率为k 的直线l 与椭圆2212x y +=有两个不同的交点P 和Q ．（I ）求k 的取值范围；（II ）设椭圆与x 轴正半轴、y 轴正半轴的交点分别为A B ，，是否存在常数k ，使得向量OP OQ + 与AB共线？如果存在，求k 值；如果不存在，请说明理由．20.（本小题满分12分）在ABC △中，2AB AC AB AC ⋅=-=．（1）求22AB AC + 的值；（2）当ABC △的面积最大时，求A ∠的大小．21．（本小题满分12分）如图，三定点A (2,1)，B (0,－1)，C (－2,1); 三动点D ，E ，M 满足]1,0[,,,∈===t DE t DM BC t BE AB t AD（1）求动直线DE 斜率的变化范围; （2）求动点M 的轨迹方程.22．（本小题满分14分）已知点P 是圆221x y +=上的一个动点，过点P 作PQ x ⊥轴于点Q ，设OM OP OQ =+.（1）求点M 的轨迹方程；（2）求向量OP 和OM夹角的最大值，并求此时P参考答案（4）1．21+-=+=，故选A ． 2．B 设所求向量e=（cos θ,sin θ）,则由于该向量与,a b 的夹角都相等,故e b e a ⋅=⋅⇔=7117c o s s i n c o ss i n2222θθθθ⇔+=-⇔3cos θ=-4sin θ,为减少计算量,可将选项代入验证,可知B 选项成立,故选B ．3．D 依题意知向量a b λ+ 与b a -2共线，设a b λ+k =（b a -2），则有0)()21(=++-b k a k λ，所以⎩⎨⎧=+=-021λk k ，解得5.0=k ，选D ．4．解选B ．设(),()b x y x y =≠，则依题意有1,y =+=1,22x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩ 5．解析:利用向量数量积121(1,2,3,4,5,6)i PP PP i = 的几何意义:数量积121i PP PP 等于12P P的长度12PP 与1i P P 在12P P 的方向上的投影1121cos ,i i PP PP PP <>的乘积.显然由图可知13P P 在12P P 方向上的投影最大.所以应选(A).6． B(),,AD AB OD OA OB OA λλ=∴-=-即得()()11,O D O A O B a b λλλλ=-+=-+又OD 是AB 边上的高，0OD AB ∴⋅=即()()()0,10OD OB OA a b b a λλ⋅-=∴-+⋅-=⎡⎤⎣⎦ ，整理可得()2(),b a a a b λ-=⋅-即得()2a ab a bλ⋅-=-，故选B ．7．A 设P 点坐标为),(y x ，则),(y x =.由01OP OM ≤⋅≤ ，01OP ON ≤⋅≤得⎩⎨⎧≤≤≤+≤10220y y x ，在平面直角坐标系中画出该二元一次不等式组表示的平面区域即可，选A ．8．A 要经过平移得到奇函数g(x)，应将函数f(x)=tan(2x+3π)+1的图象向下平移1个单位，再向右平移)(62Z k k ∈+-ππ个单位.即应按照向量))(1,62(Z k k a ∈-+-=ππ进行平移.要使|a|最小，应取a=（,16π-），故选A ．9．B 由0a b c ++=得)(+-=，两边平方得1222cos ||||2||||||θ++=，将||3a = ，||4b = ，||5c = 代入得0cos 1=θ，所以0190=θ；同理，由0a b c ++= 得)(b c a +-=，可得54cos 2-=θ，53cos 3-=θ，所以132θθθ<<.10． B 由已知得1||=b ，所以4||22=+=n m a ，因此)s i n (s i n c o s 22ϕθθθ++=+=⋅n m n m 4)s i n (4≤+=ϕθ，由于2λ<⋅恒成立，所以42>λ，解得2>λ或2-<λ.11．答案B ∵ 1OA =，OB =0OA OB ⋅=∴△ABC 为直角三角形，其中1142AC AB == ∴11()44OC OA AC OA AB OA OB OA =+=+=+- ∴31,44m n == 即3m n= 故本题的答案为B ．12．答案B 取特殊值、数形结合在ABC ∆中， 90oC ∠=，不妨取A （0，1）， C （0，0），B （0，1），则 ∵2121AB x x y y =-+- ∴ 1AC = 、1BC =、|10||01|2AB =-+-= 此时222AC CB +=、24AB = 、222AC CB AB +≠；AC CB AB +=即命题②、③是错误的.设如图所示共线三点11(,)A x y ，22(,)B x y ，33(,)C x y ，则1313||||||||||||AC x x y y AC CC ''-+-=+＝＝||||||||AB B C C C C C ''''''''+++＝||||||||AB B B BC C C ''''''+++1212||||||||||||AB x x y y AB BB ''=-+-=+ 2323||||||||||||BC x x y y BC C C ''''=-+-=+AC 'CBB 'C ''C∴ AC CB AB += 即命题①是正确的. 综上所述，真命题的个数1个，故本题的答案为B ．13．解：343A =3A N N C A N C a b ==+由得，12AM a b =+ ，所以3111()()4244MN a b a b a b =+-+=-+ .14．2222=-y x 设),(y x M ，则),(y x OM =，又)1,1(),1,2(-=-=OB OA ，所以由OM mOA nOB =+ 得),(),2(),(n n m m y x -+-=，于是⎩⎨⎧+-=-=nm y nm x 2，由2222m n -=消去m, n 得M 的轨迹方程为：2222=-y x .15．2- 如图，设xAO =，则xOM -=2，所以)(+⋅OM OA ⋅⋅-=⋅=222)1(242)2(222--=-=--x x x x x ，故当1=x 时，OM mOA nOB =+取最小值-2.16．21≠m 因为)3,5(),3,6(),4,3(m m OC OB OA ---=-=-=，所以),1(),1,3(m m BC AB ---==.由于点A 、B 、C 能构成三角形，所以AB 与BC 不共线，而当与共线时，有m m -=--113，解得21=m ，故当点A 、B 、C 能构成三角形时实数m 满足的条件是21≠m .17．解析：（1）若与平行，则有2sin 12cos sin 1⋅-=⋅x x x ，因为]2,0(π∈x ，0sin ≠x ，所以得22cos -=x ，这与1|2cos |≤x 相矛盾，故a 与b 不能平行.（2）由于x f ⋅=)(xx x x x x x x x sin 1sin 2sin sin 21sin 2cos 2sin 2cos sin 22+=+=-=-+=，又因为]3,0(π∈x ，所以]23,0(sin ∈x ，于是22sin 1sin 22sin 1sin 2=⋅≥+xx x x ，当x x sin 1sin 2=，即22sin =x 时取等号.故函数)(x f 的最小值等于22. 18．解：（Ⅰ）由题意得，f(x)＝a·(b+c)=(sinx,－cosx)·(sinx －cosx,sinx －3cosx)＝sin 2x －2sinxcosx+3cos 2x ＝2+cos2x －sin2x ＝2+2sin(2x+43π). 所以，f(x)的最大值为2+2，最小正周期是22π＝π. （Ⅱ）由sin(2x+43π)＝0得2x+43π＝k.π，即x ＝832ππ-k ,k ∈Z ，于是d ＝（832ππ-k ，－2），,4)832(2+-=ππk d k ∈Z. 因为k 为整数，要使d 最小，则只有k ＝1，此时d ＝（―8π，―2）即为所求.19．解：（Ⅰ）由已知条件，直线l 的方程为y kx =代入椭圆方程得22(12x kx +=．整理得221102k x ⎛⎫+++=⎪⎝⎭① 直线l 与椭圆有两个不同的交点P 和Q 等价于2221844202k k k ⎛⎫∆=-+=->⎪⎝⎭，解得2k <-或2k >．即k 的取值范围为⎛⎫-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，∞∞．（Ⅱ）设1122()()P x y Q x y ，，，，则1212()OP OQ x x y y +=++，，由方程①，12212x x k+=-+． ②又1212()y y k x x +=++ ③而(01)()A B AB =，，．所以OP OQ + 与AB共线等价于1212)x x y y +=+，将②③代入上式，解得2k =．由（Ⅰ）知2k <-或2k >，故没有符合题意的常数k ．20．解：（Ⅰ）由已知得：222,2 4.AB ACAB AB AC AC⎧⋅=⎪⎨-⋅+=⎪⎩因此，228AB AC+=．（Ⅱ）2cosAB ACAAB AC AB AC⋅==⋅⋅，1sin2ABCS AB AC A=⋅△12AB=⋅=≤=．（当且仅当2AB AC==时，取等号），当ABC△1cos2AB ACAAB AC⋅==⋅，所以3π=∠A.解：（I）由条件知：0a b=≠且2222(2)444a b a b a b b+=++=42a-=⋅，设a b和夹角为θ，则41||||cos-==baθ，∴1cos4arcθπ=-，故a b和的夹角为1cos4arcπ-，（Ⅱ）令)a a b-和(的夹角为βa b-===，∴41021||||||||cos222=+=-=-=baabaaβ∴)a a b-和(的夹角为21．解析：如图，（Ⅰ）设D(x0,y0),E(x E,y E),M(x,y).由AD→=tAB→, BE→= t BC→,知(x D－2,y D－1)=t(－2,－2). ∴⎩⎨⎧x D=－2t+2y D=－2t+1同理⎩⎨⎧x E=－2ty E=2t－1.∴k DE =y E－y Dx E－x D=2t－1－(－2t+1)－2t－(－2t+2)= 1－2t.∴t∈[0,1] , ∴k DE∈[－1,1].（Ⅱ）如图, OD→=OA→+AD→= OA→+ tAB→= OA→+ t(OB→－OA→) = (1－t) OA→+tOB→,OE→=OB→+BE→= OB→+tBC→= OB→+t(OC→－OB→)=(1－t) OB →+tOC →, OM → = OD →+DM →= OD →+ tDE →= OD →+t(OE →－OD →)=(1－t) OD →+ tOE →= (1－t 2) OA → + 2(1－t)tOB →+t 2OC →.设M 点的坐标为(x ,y),由OA →=(2,1), OB →=(0,－1), OC →=(－2,1)得 ⎩⎨⎧x=(1－t 2)·2+2(1－t)t ·0+t 2·(－2)=2(1－2t)y=(1－t)2·1+2(1－t)t ·(－1)+t 2·1=(1－2t)2 消去t 得x 2=4y, ∵t ∈[0,1], x ∈[－2,2]. 故所求轨迹方程为: x 2=4y, x ∈[－2,2]22．解析：（1）设(,)P x y ，(,)M x y ，则(,)O P x y = ，(,0)OQ x =，(2,)OM OP OQ x y =+=222212,1,124x x x x x x y y y y y y ⎧==⎧⎪∴⇒+=∴+=⎨⎨=⎩⎪=⎩.（2）设向量OP与OM的夹角为α，则222cos ||||OP OMOP OM α⋅===⋅令231t x =+，则21(2)1422cos 433t t t t α+==++≥当且仅当2t =时，即P点坐标为(时，等号成立. OP ∴ 与OM夹角的最大值是.。

江西省2024届高三上学期11月一轮总复习调研测试数学试题

一、单选题1. 如图，在面积为1的正方形内作四边形使以此类推，在四边形内再作四边形……，记四边形的面积为，则（）A．B．C．D．2.若函数在上是增函数，则的取值范围是（）A．B．C．D．3.已知在处有极值0，且函数在区间上存在最大值，则的最大值为（）A．B．C．D．4. 已知某几何体的三视图如图所示，则此几何体的体积是（）A．B．C．D．5.如图，在矩形中，，，和交于点，将沿直线翻折，则错误的是（）A ．存在，在翻折过程中存在某个位置，使得B ．存在，在翻折过程中存在某个位置，使得C ．存在，在翻折过程中存在某个位置，使得平面D ．存在，在翻折过程中存在某个位置，使得平面6.已知等差数列的前项和为，若，，，则（）A ．1004B ．1005C ．1006D ．10077. 定义在R 上的函数，满足，当时，，当时，，则（）.A ．403B ．405C ．806D ．809江西省2024届高三上学期11月一轮总复习调研测试数学试题江西省2024届高三上学期11月一轮总复习调研测试数学试题二、多选题三、填空题8. 已知复数为纯虚数（其中是虚数单位），则的值为（）A．B．C．D．9.先后两次掷一枚质地均匀的骰子，事件“两次掷出的点数之和是6”，事件“第一次掷出的点数是奇数”，事件“两次掷出的点数相同”，则（）A．与互斥B．与相互独立C．D．10. 某校对参加高校综合评价测试的学生进行模拟训练，从中抽出名学生，其数学成绩的频率分布直方图如图所示．已知成绩在区间内的学生人数为2人．则（）A ．的值为0.015，的值为40B ．平均分为72，众数为75C ．中位数为75D ．已知该校共1000名学生参加模拟训练，则不低于90分的人数一定为50人11.已知附件某地区甲、乙两所高中学校的六次联合模拟考试的数学平均分数（满分分）的统计如图所示，则（）A ．甲校的平均分均高于乙校的平均分B ．甲校六次平均分的方差小于乙校六次平均分的方差C．甲校六次平均分第百分位数小于乙校六次平均分的第百分位数D ．甲校的平均分极差小于乙校的平均分极差12. 为了调查某地大学应届毕业生的工资情况，并绘制相应的频率分布直方图，研究人员得到数据后将他们的工资分为5组，分别为[1000，2000），[2000，3000），[3000，4000），[4000，5000），[5000，6000]，其对应的频率为（）．已知绘制的频率分布直方图关于直线对称，则不能确定该频率分布的数据是（）A．B．C．D．13.若函数同时满足：（i）为偶函数；（ii ）对任意且，总有；（iii ）定义域为，值域为，则称函数具有性质，现有个函数：①，②，③，④，其中具有性质的是___________（填上所有满足条件的序号）.14. 已知6个正整数，它们的平均数是5，中位数是4，唯一的众数是3，则这6个数的极差最大时，方差的值是__________.15.已知正数满足，则的取值范围是___________.四、解答题16. 已知A，B是抛物线E：上不同的两点，点P在x轴下方，PA与抛物线E交于点C，PB与抛物线E交于点D，且满足，其中λ是常数，且．(1)设AB，CD的中点分别为点M，N，证明：MN垂直于x轴；(2)若点P为半圆上的动点，且，求四边形ABDC面积的最大值．17.已知，记在处的切线方程为.(1)证明：；(2)若方程有两个不相等的实根，证明：.18. 如图，某国家森林公园的一区域为人工湖，其中射线、为公园边界.已知，以点为坐标原点，以为轴正方向，建立平面直角坐标系（单位：千米）.曲线的轨迹方程为：.计划修一条与湖边相切于点的直路（宽度不计），直路与公园边界交于点、两点，把人工湖围成一片景区.(1)若点坐标为，计算直路的长度；（精确到0.1千米）(2)若为曲线（不含端点）上的任意一点，求景区面积的最小值.（精确到0.1平方千米）19. 已知是递增的等差数列，是等比数列，且，，，．(1)求数列与的通项公式；(2)，数列满足，求的前项和．20. 已知椭圆的焦点在轴上，一个顶点为，其右焦点到直线的距离为3．(1)求椭圆的方程；(2)设椭圆的长轴为，为椭圆上除外任意一点，引，和的交点为，求点的轨迹方程．21. 已知数列满足，当时，.(1)求数列的通项公式；(2)已知数列，证明：.。

2022届高三高考数学一轮复习第四章：导数专练—双变量与极值点偏移问题(2)【含答案】

2022届高三高考数学一轮复习第四章：导数专练—双变量与极值点偏移问题（2）【含答案】1．已知函数．（1）讨论()f x 的单调性；（2）若()f x 有2个极值点1x ，2x ，证明：12()()3f x f x +>．解：（1）2()2(0)f x kx x lnx x =+->，21221()22kx x f x kx x x+-∴'=+-=， ①若0k =，()f x 在1(0,)2上单调递减，在1(2，)+∞上单调递增；②若0k ≠，令2()221(0)t x kx x x =+->，△48k =+，当k >时，△0>，248112()0k kt x x -++-++>⇒>=，112()00kt x x -++<⇒<<，()f x ∴在112k -++上单调递减，在112(k-++)+∞上单调递增；当102k -<<时，同理可得，()f x 在112k -++，112(k--+)+∞上单调递减，在112(k -++112k--+上单调递增；当12k -时，△0，()0t x 恒成立，即())0f x '恒成立，()f x ∴在(0,)+∞上单调递减．综上所述，当12k -时，()f x 的递减区间为(0,)+∞，无增区间；当102k -<<时，()f x 的递减区间为112k -++，112(k--+，)+∞，递增区间为112(k -++112k--+；当0k =时，()f x 的递减区间为1(0,)2，递增区间为1(2，)+∞；当0k >时，()f x 的递减区间为112k -++，递增区间为112(k-++)+∞；（2）证明：函数()f x 有两个极值点1x ，2x ，由（1）可知102k -<<，且1x ，2x 是方程2221kx x +-两个根，1210x x k ∴+=->，12102x x k=->， 2212111222()()(2)(2)f x f x kx x lnx kx x lnx ∴+=+-++-2121212122112[()2]2()()(2)k x x x x x x lnx x k ln k k k k=+-++-=+-+- 11(2)1(0)2ln k k k =-+-+-<<；令11()(2)1(0)2g k ln k k k =--+-<<，则22111()0k g k k k k+'=+=>恒成立， ()g k ∴在1(2-，0)上单调递增，1()()32g k g ∴>-=，即12()()3f x f x +>． 2．已知函数()(,)bf x lnx a a R b R x=+-∈∈有最小值M ，且0M ．（Ⅰ）求11a e b --+的最大值；（Ⅱ）当11a e b --+取得最大值时，设F （b ）1()a m m R b-=-∈，()F x 有两个零点1x ，212()x x x <，若0λ>，不等式112x x e λλ+⋅>恒成立，求λ的取值范围．解：（Ⅰ）有题意221()b x bf x x x x-'=-=，0x >，当0b 时，()0f x '，()f x 在(0,)+∞上单增，此时显然不成立；当0b >时，令()0f x '=，得x b =，此时()f x 在(0,)b 上单减，在(,)b +∞上单增， M f =（b ）10lnb a =+-，即1lnb a -， 1a b e -∴，10a e b --．11a e b -∴-+的最大值为1；（Ⅱ）当11a e b --+取得最大值时，1a lnb -=，1()a lnbF b m m b b-=-=-． ()F x 的两个零点为1x ，2x ，则110lnx m x -=，220lnxm x -=，即11lnx mx =，22lnx mx =，不等式112x x e λλ+⋅>恒成立等价于121212()1lnx lnx mx mx m x x λλλλ+=+=+>+．两式相减得11212212()x lnx x ln m x x m x x x =-⇒=-，代入上式得1121122121122122(1)(1)(1)()()1x xlnx x x x x x x ln x x x x x x x λλλλλλ+-+-+⋅>+⇔<=-++，令12(01)x t t x =<<，(1)(1)(),(01)t g t lnt t t λλ+-=-<<+， 22(1)()()()t t g t t t λλ--'=+，其中10t -<，2()0t t λ+>； ①当1λ时，222(1)()0,()0()t t t g t t t λλλ--'-<=>+，函数()g t 在(0,1)上单调递增，()g t g <（1）0=，满足题意；②当01λ<<时，函数()g t 在2(λ，1)上单调递减，此时()g t g >（1）0=，不满足题意．综上所述：λ的取值范围是1λ． 3．已知函数()f x lnx =．（1）讨论函数()()()g x f x ax a R =-∈的单调性；（2）设图数1()()(x F x f x e e=-为自然对数的底数）在区间(1,2)内的零点为0x ，记(){()m x min xf x =，}xxe （其中{min a ，}b 表示a ，b 中的较小值），若()()m x n n R =∈在区间(1,)+∞内有两个不相等的实数根1x ，212()x x x <，证明：1202x x x +>．解：（1）()g x 的定义域是(0,)+∞， 11()(0)ax g x a x x x-'=-=>，当0a 时，()0g x '>恒成立，()g x 在(0,)+∞递增，当0a >时，令()0g x '=，解得：1x a=，当1(0,)x a ∈时，()0g x '>，()g x 单调递增，当1(x a∈，)+∞时，()0g x '<，()g x 单调递减，综上：当0a 时，()g x 在(0,)+∞递增，当0a >时，()g x 在1(0,)a 单调递增，在1(a，)+∞单调递减；（2）证明：1()xF x lnx e =-，定义域是(0,)+∞，11()x F x x e'=+，而(1,2)x ∈，故()0F x '>，()F x 在(1,2)单调递增，又F （1）10e =-<，F （2）2120ln e=->，且()F x 在(1,2)内的图像连续不断，故根据零点存在性定理，有()F x 在(1,2)上有且只有1个零点，故存在0(1,2)x ∈，使得0()0F x =，即001x lnx e =，且当01x x <<时，1()()x xx f x xf x e e <⇒<，当0x x >时，1()()x x x f x xf x e e>⇒>，故00,1(),x xlnx x x m x x x x e <⎧⎪=⎨>⎪⎩，当01x x <<时，()m x xlnx =，由()10m x lnx '=+>得()m x 单调递增，当0x x >时，()x x m x e =，由1()0xxm x e -'=<得()m x 单调递减，若()m x n =在区间(1,)+∞内有2个不相等的实数根1x ，212()x x x <，要证1202x x x +>，即证2012x x x >-，又0102x x x ->，而()m x 在区间0(x ，)+∞内单调递减，故可证201()(2)m x m x x <-，又由12()()m x m x =，即证101()(2)m x m x x <-，即01011122x x x x x lnx e --<，记0022()x xx xh x xlnx e --=-，01x x <<，其中0()0h x =，记()t t t e ϕ=，则1()ttt e ϕ-'=，当(0,1)t ∈时，()0t ϕ'>，当(1,)t ∈+∞时，()0t ϕ'<，故()t ϕ的最大值是1e ，而()0t ϕ>，故10()t e ϕ<<，而021x x ->，故002210x x x x e e---<-<，故00022211()110x xx xx x h x lnx e e e ---'=++->->，即()h x 单调递增，故当01x x <<时，0()()0h x h x <=，即01011122x x x x x lnx e--<，故1202x x x +>． 4．已知函数22()(0)a f x alnx x a x=++≠．（1）讨论函数()f x 的单调性；（2）设0a >，点1(A x ，1)y ，2(B x ，2)y 为曲线22()()a F x f x x x=--上两个不同的点，且120.x x <<若存在31(x x ∈，2)x ，使曲线()y F x =在点3(P x ，3())F x 处的切线与直线AB 平行，证明：1232x x x +<．解：（1）由题意得2()(2)()(0)x a x a f x x x -+'=>，0a >时，0x >，由()0f x '>，得()(2)0x a x a -+>，解得：x a >，由()0f x '<，得()(2)0x a x a -+<，解得：0x a <<，故函数()f x 在(0,)a 递减，在(,)a +∞递增，当0a <时，0x >，由()0f x '>得()(2)0x a x a -+>，解得：2x a >-，由()0f x '<，得()(2)0x a x a -+<，解得：02x a <<-，故函数()f x 在(0,2)a -递减，在(2,)a -+∞递增，综上：当0a >时，函数()f x 在(0,)a 递减，在(,)a +∞递增，当0a <时，函数()f x 在(0,2)a -递减，在(2,)a -+∞递增；（2）证明：由题意知()F x alnx =，直线AB 的斜率2121AB alnx alnx K x x -=-，又()a F x x '=，33()a F x x '=，故21213alnx alnx a x x x -=-， 0a >，21321x x x lnx lnx -∴=-，1232x xx +∴<⇔2112212x x x x lnx lnx -+<-，120x x <<，210x x ∴->，211x x >，21lnx lnx >，整理2112212x x x x lnx lnx -+<-，可得2121122()x x lnx lnx x x -<-+，即22211212112(1)2()(*)1x x x x x lnx x x x x -->=++，令21x t x =，则1t >，欲证(*)成立，等价于证明2(1)1t lnt t ->+成立，即证：2(1)01t lnt t -->+，(1)t >，令2(1)()(1)1t g t lnt t t -=->+，则2(1)4()211t g t lnt lnt t t -=-=+-++， 22214(1)()0(1)(1)t g t t t t t -'=-=>++，故()g t 在(1,)+∞单调递增，故()g t g >（1）0=，即2(1)1t lnt t ->+成立，故1232x x x +<． 5．已知函数()()x f x me x m R =-∈有两个零点1x ，2x ，且12x x <．（Ⅰ）求m 的取值范围；（Ⅱ）当214x x 时，不等式21112()(13)x x x me me a x ax -<-+恒成立，求a 的取值范围．解：（Ⅰ）解法一：()1x f x me '=-，当0m <时，()0f x '<，()f x 单调递减，不可能有两个零点，不符合题意，当0m =时，()f x x =-，有一个零点，不符合题意，当0m >时，令()0f x '=，则110,0x xme e m-==>，解得1x ln m =，当1x lnm <时，()0f x '<，()f x 为减函数，当1x ln m>时，()0f x '>，()f x 为增函数，所以当1x lnm =时，()f x 有极小值也是最小值，且11()()1min f x f ln ln m m==-，因为()f x 有两个零点，所以11()10f ln ln m m=-<，即11lnm >，即1e m >，解得10m e<<，此时，(0)0f m =>，f （1）10me =-<，所以101x <<，因为21242lnln ln m m m <=，244222()22()f ln ln ln m m m m m=-=-，易知当0x >时恒有0x lnx ->，所以24()0f ln m>，所以2122lnx ln m m<<，且符合12x x <，所以m 的取值范围为1(0,)e．解法二：令()0x f x me x =-=，因为0x e >，所以xxm e =．（2分）令()xxx e ϕ=，则1()x x x e ϕ-'=，令()0x ϕ'=，解得1x =，当1x <时，()0x ϕ'>，()x ϕ单调递增；当1x >时，()0x ϕ'<，()x ϕ单调递减，故当1x =时，()x ϕ有极大值也是最大值，且1()max x eϕ=，当0x <时，()0x ϕ<，当0x =时，()0x ϕ=，当0x >时，()0x ϕ>，所以当10m e<<时，()0x f x me x =-=有两个零点，所以m 的取值范围为1(0,)e．（Ⅱ）因为1111()0,0x f x me x x =-=>，2222()0,0x f x me x x =-=>，所以21212211,x x x xx me me x x e x --=-=，所以2211x x x ln x -=，又因为当214x x 时，不等式21112()(13)x x x me me a x ax -<-+恒成立，所以21121(13)x x ln a x ax x <-+，221131x xln a a x x <-+，令21x t x =，因为214x x ，所以4t ，则(3)1lnt t a <-+，所以13lnt a t ->-对4t 恒成立，令1()3lnt g t t -=-，则221(3)(1)23()(3)(3)t lnt t tlnt t g t t t t -----'==--，令()23h t t tlnt =--，则()1h t lnt '=-，当4t 时，()0h t '<，所以()h t 在[4，)+∞上单调递减，()h t h （4）5440ln =-<，所以()0g t '<，()g t 在[4，)+∞上单调递减， ()g t g （4）221ln =-，所以221a ln >-．6．已知函数2()2a f x lnx x =+，()(1)g x a x =+．（1）若1a =-，求()f x 的最大值；（2）若函数()()()h x f x g x =-，讨论()h x 的单调性；（3）若函数()()()m x f x g x x =-+有两个极值点1x ，212()x x x <，求证：12()()2am x m x lna -<-．解：（1）当1a =-时，21()2f x lnx x =-，21()x f x x-'=，当(0,1)x ∈时，()0f x '>，()f x 单调递增，当(1,)x ∈+∞时，()0f x '<，()f x 单调递减，故()f x 极大值也是最大值是f （1）12=-．（2）由已知得2()()()(1)2a h x f x g x lnx x a x =-=+-+， ()h x 的定义域是(0,)+∞，(1)(1)()ax x h x x--'=，当0a =时，1()xh x x-'=，当(0,1)x ∈时，()0h x '>，()h x 单调递增，当(1,)x ∈+∞时，()0h x '<，()h x 单调递减，当0a <时，由()0h x '=，解得：1x =或10x a=<，故当(0,1)x ∈时，()0h x '>，()h x 单调递增，当(1,)x ∈+∞时，()0h x '<，()h x 单调递减，当01a <<时，由()0h x '=，解得：1x =或11x a=>，故(0,1)x ∈，1(a ，)+∞时，()0h x '>，()h x 单调递增，当1(1,)x a∈时，()0h x '<，()h x 单调递减，故1a =时，()0h x '，当(0,)x ∈+∞时，()h x 单调递增，当1a >时，由()0h x '=，解得：1x =或11x a=<，故1(0,)x a ∈，(1,)+∞时，()0h x '>，()h x 单调递增，当1(x a∈，1)时，()0h x '<，()h x 单调递减，综上，当0a 时，()h x 在(0,1)上单调递增，在(1,)+∞上单调递减，当01a <<时，()h x 在(0,1)与1(a ，)+∞上单调递增，在1(1,)a单调递减，当1a =时，()h x 在(0,)+∞上单调递增，当1a >时，()h x 在1(0,)a ，(1,)+∞单调递增，在1(a，1)单调递减．（3）证明：2()2a m x lnx x ax =+-，则()m x 的定义域是(0,)+∞，则21()ax ax m x x-+'=，若()m x 有2个极值点1x ，212()x x x <，则方程210ax ax -+=的判别式△240a a =->，且121x x +=，1210x x a=>，4a >，又12x x <，∴21121x x x a<=，即10x a <<22121111111111()()()[(1)][(1)]()22a am x m x lnx ln x x a x x lnx ln ax ax ax -=-+-----=++-，设()()2a p t lnt ln at at =++-，其中1)t x a =∈，由2()0p t a t '=-=，解得：2t a=，由于220a a a--=<，即2a a <，()p t ∴在2(0,)a 上单调递增，在2(aa 上单调递减，即()p t 的最大值是2()2(21)22a ap ln lna lna a =-+-<-，从而12()()2am x m x lna -<-． 7．已知函数1()()x f x ln x a x a-=+-+，函数()g x 满足2[()]ln g x x lnx x a +=+-．（1）讨论函数()f x 的单调性；（2）若()g x 有两个不同的零点1x ，2x ，证明：121x x <．解：（1）由已知得函数()f x 的定义域为(,)a -+∞，则221(1)1()()()x a x x f x x a x a x a +---'=-=+++， ∴当1a -，即1a -时，()f x 在(,)a -+∞上单调递增，∴当1a -<，即1a >-时，()f x 在(,1)a -上单调递减，在(1,)+∞上单调递增，综上：1a -时，()f x 在(,)a -+∞上单调递增，1a >-时，()f x 在(,1)a -上单调递减，在(1,)+∞上单调递增．（2）证明：2[()]ln g x x lnx x a +=+-，2()()x a x a g x x e x x e x --∴=⋅-=⋅-，其定义域为(0,)+∞，2()()0x a x a g x x e x x e x --=⋅-=⋅-=等价于0x a e x --=，即x lnx a -=，设()(0)h x x lnx x =->，∴11()1x h x x x-'=-=，令()0h x '>，则1x >；令()0h x '<，则01x <<，∴当(1,)x ∈+∞时()h x 单调递增；当(0,1)x ∈时()h x 单调递减，函数()g x 有两个不同的零点，即()h x 有两个不同的零点，0x →时()h x →+∞，x →+∞时()h x →+∞，a h ∴>（1）1=，()g x ∴有两个不同的零点1x ，2x ，且1201x x <<<，12()()h x h x a ==，令1()()(),(01)x h x h x x ϕ=-<<，则22221111(1)()()()(1)0x x x h x h x x x x x x ϕ--'''=+=+⋅-=>， ()x ϕ∴在(0,1)x ∈时单调递增，()x ϕϕ∴<（1）0=，即01x <<时，1()()h x h x<，又101x <<，∴1211()()()h x h x h x =<，2111,1x x >>，且(1,)x ∈+∞时()h x 单调递增，∴211x x <，故而121x x <，得证．。

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