21.2.2 公式法
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21.2.2公式法-【高效课堂】2023-2024学年九年级数学上册同步课件+练习(人教版)
人教版数学九年级上册
（2）b2-4ac=0时，
b 2 4ac
=0 ，由①可知，方程有两个相等的实数根
这时
2
4a
（3）b2-4ac＜0时，
b
x1 x2
2a
2
b
b 4ac
这时
＜0 ，而x取任何实数
＜0 ，由①可知 x
2
2a
4a
2
b
都不能使 x ＜0 ，因此方程无实数根.
根,求m的取值范围.
解：由题意得:Δ＞0且m2≠0.
即 (2m+1)2-4m2＞0且m≠0
解得：m＞-1/4且m≠0.
拓展训练
人教版数学九年级上册
2.已知关于x的一元二次方程kx2+(k+3)x+3(k≠0)．求证：方
程一定有两个实数根．
证明：方程kx2+(k+3)x+3(k≠0)，
其中a=k，b=k+3，c=3，
5
小试牛刀
人教版数学九年级上册
1．用公式法解方程 4x 2－12x=3，得到（ D
3 6
A．x=
2
3 6
B．x=
2
3 2 3
C．x=
2
3 2 3
D．x=
2
）．
小试牛刀
人教版数学九年级上册
2.不解方程，判别下列方程的根的情况.
(1)x2-6x+1=0 (2)2x2-x+2=0 (3)x2-4x+4=0 (4)(x-2)2+3=1
(2)找出系数a，b，c，注意各项的系数包括符号.
(3)计算b2-4ac，若结果为负数，方程无解.
21.2.2-一元二次方程的解法(2)公式法
(2) m为何值时,关于x的一元二次方程 m2x2+(2m+1)x+1=0有两个不等实根？ 解：△=(2m+1)2-4m2
=4m+1
若方程有两个不等实根，则△ > 0
b c x x （2）方程两边同除以a，得 a a
2
.
b 2 b 2 4ac (x ) . 2 2a 4a ∵a≠0, 4a2>0,
b 2 4ac 0, 2 ∴当b2－4ac≥0时， 4a
b b2 4ac ∴ x . 2a 2a
b b2 4ac x . 2a
2
2 0 a 0）. 对于方程 ax bx c （
2 ax bx c . （1）将常数项移到方程的左边，得
b 2 ( ) 2a ，得 （3）方程两边同时加上_______ b b 2 c b 2 2 x x( ) ( ) . a 2a a 2a 左边写成完全平方式，右边通分，得 b 2 b 2 4ac (x ) . 2 2a 4a （4）开平方…
（3）
（ 4）
六、拓展练习 提升新知
(1)、若关于x的一元二次方程(m-1)x2-2mx+m=0有 两个实数根，则m的取值范围是 （ D ）
A 、 m ﹥0 C 、 m ﹥ 0 且m≠1 B、 m≥0 D m ≥0且m≠1
解：由题意，得 m-1≠0① ⊿=（－2m)2-4（m-1）m≥0② 解之得，m﹥0且m≠1，故应选D
解 a 1, b 4, c 7
△ b 2 4ac 4 4 1 (7) 44 0.
2
方程有两个不相等的实数根： b b 2 4ac x 2a 4 44 4 2 11 . 2 1 2 2 11
21.2.2 公式法第2课 根的判别式-九年级数学上册课件(人教版)
2
解得 m≥ 且 m≠1.
3
不解方程，判断关于 x 的方程 x 2 2 2kx k 2
解： Δ ＝( 2 2 k )2 − 4×1×k2 = 4k2.
∵ k2≥0，
∴ 4k2≥0，
即 Δ≥0.
∴ 原方程有两个实数根．
0 根的情况.
在等腰△ABC 中，三边长分别为 a，b，c，其中 a = 5，若关于 x 的方程
（2）方程化为 4x2 − 12x + 9 = 0，a = 4，b = −12，c = 9，
∴ Δ = b2 − 4ac = (−12)2 − 4×4×9 = 0.
∴ 方程有两个相等的实数根．
（3）方程化为 5y2 −7y + 5 = 0，a = 5，b = −7，c = 5，
∴ Δ = b2－4ac = (−7)2－4×5×5 = −51＜0.
课堂练习
1.已知一元二次方程 x2 + x = 1，下列判断正确的是( B )
A. 该方程有两个相等的实数根
B. 该方程有两个不相等的实数根
C. 该方程无实数根
D. 该方程根的情况不确定
2.若一元二次方程x2﹣2x+m=0有两个不相同的实数根，则实数m的取值范
围是（ D ）
A．m≥1
B．m≤1
C．m＞1
则一次函数y＝kx＋b的大致图象可能是( B )
课堂小结
根的情况
判别式的情况
Δ= b2 − 4ac > 0
两个不相等的实数根
Δ= b2 − 4ac = 0
两个相等的实数根
Δ = b2 − 4ac< 0
没有实数根
两个实数根
Δ= b2 − 4ac≥0
注意：1.一元二次方程化为一般式
解得 m≥ 且 m≠1.
3
不解方程，判断关于 x 的方程 x 2 2 2kx k 2
解： Δ ＝( 2 2 k )2 − 4×1×k2 = 4k2.
∵ k2≥0，
∴ 4k2≥0，
即 Δ≥0.
∴ 原方程有两个实数根．
0 根的情况.
在等腰△ABC 中，三边长分别为 a，b，c，其中 a = 5，若关于 x 的方程
（2）方程化为 4x2 − 12x + 9 = 0，a = 4，b = −12，c = 9，
∴ Δ = b2 − 4ac = (−12)2 − 4×4×9 = 0.
∴ 方程有两个相等的实数根．
（3）方程化为 5y2 −7y + 5 = 0，a = 5，b = −7，c = 5，
∴ Δ = b2－4ac = (−7)2－4×5×5 = −51＜0.
课堂练习
1.已知一元二次方程 x2 + x = 1，下列判断正确的是( B )
A. 该方程有两个相等的实数根
B. 该方程有两个不相等的实数根
C. 该方程无实数根
D. 该方程根的情况不确定
2.若一元二次方程x2﹣2x+m=0有两个不相同的实数根，则实数m的取值范
围是（ D ）
A．m≥1
B．m≤1
C．m＞1
则一次函数y＝kx＋b的大致图象可能是( B )
课堂小结
根的情况
判别式的情况
Δ= b2 − 4ac > 0
两个不相等的实数根
Δ= b2 − 4ac = 0
两个相等的实数根
Δ = b2 − 4ac< 0
没有实数根
两个实数根
Δ= b2 − 4ac≥0
注意：1.一元二次方程化为一般式
21.2.2用公式法求解一元二次方程(教案)
举例1：在推导公式法的过程中，学生需要理解为何要有“±”号，以及如何根据判别式来确定是两个实数根、一个重根还是无实数根。例如，判别式大于0时，方程有两个不相等的实数根；判别式等于0时，方程有一个重根；判别式小于0时，方程无实数根。
举例2：对于判别式的计算，学生可能会忘记在计算过程中先计算b^2，再减去4ac，或者在计算过程中符号出错。
2.教学难点
-公式法的推导过程理解：学生对公式法的推导过程可能感到难以理解，特别是对根号下的判别式的物理意义。
-判别式的计算与应用：学生在计算判别式时可能会出现错误，以及在根据判别式的值判断解的情况时可能会混淆。
-公式法的适用范围：学生可能不清楚何时应该使用公式法求解一元二次方程，以及何时该方法不适用。
21.2.2用公式法求解一元二次方程（教案）
一、教学内容
本节课选自八年级数学下册第21章第2节“用公式法求解一元二次方程”。教学内容主要包括以下两个方面：
1.公式法求解一元二次方程的基本概念：介绍一元二次方程的标准形式ax^2 + bx + c = 0，以及求解该方程的公式：x = (-b ± √(b^2 - 4ac)) / (2a)。
实践活动和小组讨论环节，学生们积极参与，但我也观察到一些小组在讨论时可能会偏离主题。这提醒我在引导讨论时，要更加明确主题，确保讨论的方向和深度。同时，我也发现有些学生在操作实验时，对公式的运用还不够熟练，这说明我们在操作练习上还需要加强。
在学生小组讨论时，我尽量以引导者的身份参与，鼓励学生们发表自己的观点，这有助于培养他们的独立思考能力。但我也发现，部分学生在分享成果时表达不够清晰，这提醒我在今后的教学中，要注重培养学生的表达和交流能力。
五、教学反思
今天的教学中，我发现学生们对一元二次方程的公式法求解表现出很大的兴趣，但也存在一些理解和操作上的难点。在导入新课的时候，通过日常生活中的问题引导学生思考，他们很快就进入了学习状态。但在理论介绍环节，我发现有些学生对标准形式的理解还不够深入，需要通过更多的例子来加强他们的理解。
举例2：对于判别式的计算，学生可能会忘记在计算过程中先计算b^2，再减去4ac，或者在计算过程中符号出错。
2.教学难点
-公式法的推导过程理解：学生对公式法的推导过程可能感到难以理解，特别是对根号下的判别式的物理意义。
-判别式的计算与应用：学生在计算判别式时可能会出现错误，以及在根据判别式的值判断解的情况时可能会混淆。
-公式法的适用范围：学生可能不清楚何时应该使用公式法求解一元二次方程，以及何时该方法不适用。
21.2.2用公式法求解一元二次方程（教案）
一、教学内容
本节课选自八年级数学下册第21章第2节“用公式法求解一元二次方程”。教学内容主要包括以下两个方面：
1.公式法求解一元二次方程的基本概念：介绍一元二次方程的标准形式ax^2 + bx + c = 0，以及求解该方程的公式：x = (-b ± √(b^2 - 4ac)) / (2a)。
实践活动和小组讨论环节，学生们积极参与，但我也观察到一些小组在讨论时可能会偏离主题。这提醒我在引导讨论时，要更加明确主题，确保讨论的方向和深度。同时，我也发现有些学生在操作实验时，对公式的运用还不够熟练，这说明我们在操作练习上还需要加强。
在学生小组讨论时，我尽量以引导者的身份参与，鼓励学生们发表自己的观点，这有助于培养他们的独立思考能力。但我也发现，部分学生在分享成果时表达不够清晰，这提醒我在今后的教学中，要注重培养学生的表达和交流能力。
五、教学反思
今天的教学中，我发现学生们对一元二次方程的公式法求解表现出很大的兴趣，但也存在一些理解和操作上的难点。在导入新课的时候，通过日常生活中的问题引导学生思考，他们很快就进入了学习状态。但在理论介绍环节，我发现有些学生对标准形式的理解还不够深入，需要通过更多的例子来加强他们的理解。
人教版九年级数学上册课件：21.2.2公式法
21.2.2 公式法
(2)方程整理，得 x2－2 5x＋10＝0，
∵Δ＝b2－4ac＝(－2 5)2－4×1×10＝－20<0，∴此方程无实数根．
(3)方程整理，得 x2＋4x－2＝0.∵a＝1，b＝4，c＝－2，
∴b2－4ac＝16＋8＝24>0，∴x＝－42±×1 24，
∴x1＝－2＋ 6，x2＝－2－ 6. (4)原方程可化为 x2－9x＋2＝0.∵a＝1，b＝－9，c＝2，
1)·(－2)＝9＋8(a－1)≥0，且 a－1≠0，即得 a≥－81且 a≠1.
21.2.2 公式法
13．已知等腰三角形的腰长为 x，周长为 20，则方程 x2－ 12x＋31＝0 的根为___6＋___5__．
【解析】由方程 x2－12x＋31＝0 得 a＝1，b＝－12，c＝31，b2－4ac＝(－12)2 12± 20
(2)方程的根为 x＝ ，即 x ＝2，x ＝k＋1.∵方程总有一个根 艰闹群垛漆除蛾多悠纷铝终锰炕毅贞绵粳压谣灸艇磁诧酱述凶妖喧朝芋疡人教版九年级数学上册课件：211.
2
2 2公式法作业本人教版九年级数学上册课件：21.
馏亥磨甩僵钾河纪灿翼大实刃昂拎赣崇捍您戌登棺秤渣肃例笆荚弗窿鼻冗人教版九年级数学上册课件：21.
2公式法作业本人教版九年级数学上册课件：21.
【解析】∵点 P(a，c)在第二象限，∴a＜0，c＞0， 第二十一章 一元二次方程
敞憨厦打员寨玩缠厦驰农头宗怂在例沫呢蒲绥河谣泞躲结旧双峻饯喘兽纸人教版九年级数学上册课件：21.
敞憨厦打员寨玩缠厦驰农头宗怂在例沫呢蒲绥河谣泞躲结旧双峻饯喘兽纸人教版九年级数学上册课件：21.
21.2.2 公式法
14．用公式法解下列方程：
21.2.2_公式法
x b
b2
4ac
. b2
4ac
;
0.
7.定解:写出原方程的解
2a
.
用配方法解一般形式的一元二次方程
ax2 bx c 0 (a 0) ∵a 0,4a2 0 当 b2 4ac 0
即
b
b2 4ac
x
2a
2a
特别提醒
b b2 4ac x
b b2 4ac b b2 4ac
2a
2a
b b 2a 2a
b 0
五、师生互动，课堂小结
通过本节课的学习，你有哪些收获和体会？
课后作业
1.布置作业：从教材“习题21.2”中选取。 2.完成状元导练中本课时练习的“课后作业”部分。
解：将x=0代入方程, 得m²+2m-3=0， 解得m1=1，m2=-3, 又∵m-1≠0，即m≠1. 故m的值为-3.
5.解下列方程：
（1）x²+x-6=0； （2）x2 3x 1 0 ；
4
（3）3x²-6x-2=0； （4）4x²-6x=0； （5）x²+4x+8=4x+11； （6）x（2x-4）=5-8x.
3.方程 2x2 4 3x 6 2 0 的根是（ D ）
A. x1 2, x2 3 B. x1 6, x2 2 C.x1 2 2, x2 2 D. x1 x2 6
4.关于x的一元二次方程（m-1）x²+x+m²+2m-3=0有 一个根为0，试求m的值.
2a
一元二次方程 的求根公式
x1 b
b2 2a
人教版21.2.2公式法
C. k<1
D. k<1 且k≠0
2 2 b 4 ac ( 2 ) 4k (1) 4 4k ＞0 解:∵
∴k＞-1 又∵k≠0 ∴ k＞-1且k≠0
思考题： 1、关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0 (a≠0)。 当 a，b，c 满足什么条件时，方程的两根为 互为相反数？
21.2 解一元二次方程
21.2.2
公式法
温 故 知 新
4x 6x 3 0
2
3 3 x x , 二次项系数化为1，得 2 4 2 2 3 3 3 3 2 x x , 配方，得： 2 4 4 4 2 3 21 x , 4 4
用配方法解一般形式的一元二次方程
ax bx c 0
2
(a 0)
∵a 0,4a 0 当
2
b 4ac 0
2
即
b b2 4ac x 2a 2a
2
特别提醒 一元二次方程 的求根公式
b b 4ac x 2a
b b2 4ac b b2 4ac x1 , x2 . 2a 2a
6 x1 ; x 2 2. 5
b b 2 4ac x 2a 4 256 4 16 . 25 10 28 5
解方程： 解方程： 解方程：
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
x 7 x 18 0
2
b b 4ac x 2a
2
x 3 2 3x
2
解:移项，得：
4 x 6 x 3,
2
由此得:
3 21 x1 , 4 2
21.2.2解一元二次方程--公式法
平原二中九年级数学（上）学案课题：21.2.2 解一元二次方程--公式法班级 小组 姓名 组长评语 师评 学习目标1、经历推导求根公式的过程，加强推理技能的训练。
2、 会用公式法解简单系数的一元二次方程。
3、会利用b 2-4ac 来判断一元二次方程根的情况学习重点：求根公式的推导和公式法的应用．学习方法：启发式学习过程：一、自主学习。
针对目标，自学教材9-12页内容，自学后完成下面问题。
1、简要总结用公式法解一元二次方程的步骤．2、用公式法解下列方程 x 2-4x-7=0二、探究新知如果这个一元二次方程是一般形式ax 2+bx+c=0（a,b,c 为常数且a ≠0），你能否用上节课所学习的配方法的步骤求出它们的两根．问题：已知ax 2+bx+c=0（a ≠0且b 2-4ac ≥0，）试推导它的两个根x 1x 2分析：因为前面具体数字已做得很多，我们现在不妨把a 、b 、c •也当成一个具体数字解：移项，得：ax 2+bx=-c二次项系数化为1，得x 2+b a x=-c a配方，得：x 2+b a x+（2b a ）2=-c a +（2b a ）2 即（x+2b a ）2=2244b ac a - ∵b 2-4ac ≥0且4a 2>0∴2244b ac a -≥0直接开平方，得：x+2b a =即∴x 1=2b a -x 2=2b a-- 由上可知，一元二次方程ax 2+bx+c=0（a ≠0）的根由方程的系数a 、b 、c 而定，因此：（1）解一元二次方程时，可以先将方程化为一般形式ax 2+bx+c=0，当b-4ac ≥0时，•将a 、b 、c 代入式子 （2）这个式子叫做一元二次方程的求根公式．（3）利用求根公式解一元二次方程的方法叫公式法．（4）由求根公式可知，一元二次方程最多有两个实数根思考： = b 2-4ac 与一元二次方程的根有什么联系？三、问题展示 1、 用公式法解下列方程．（1）2x 2-4x-1=0 （2）5x+2=3x 2 （3）（x-2）（3x-5）=0 （4）4x 2-3x+1=0提示：用公式法解一元二次方程，首先应把它化为一般形式，找出a,b,c.然后代入公式即可．2、不解方程，判别下列方程根的情况。
21.2.2公式法
视频：求根公式的趣味记忆
二 公式法解方程
典例精析
例1 用公式法解方程 x2-4x-7=0
x b b2 4ac 2a
解：∵a=1,b=-4,c=-7， =b2-4ac=(-4)2-4×1×(-7)=44>0.
方程有两个 不b 等的b实2数根4ac x 2a
(4) 44 2 11 即 x1 2 21 11, x2 2 11
2
.
即
x
b 2a
2
b2 4ac 4a 2
.
问题：接下来能用直接开平方解吗？
因为a≠0,4a2>0,式子b2－4ac的值有以下三种情况：
（1）当 根．
b2 4ac 0 时，一元二次方程 ax2 bx c 0（a 0）有实数
x1 b
b2 2a
4ac
,
x2
b
b2 4ac ; 2a
这里的a、b、
c的值是什么？
=b2-4ac=(-4)2-4×5×(-1)=36>0.
方程有两个不等的实数根
b b2 4ac x
2a
x b b2 4ac (4) 36 4 6
2a
25
10
即
x1
1,
x2
1 5
例4 解方程：x2 17 8x
解：∵a=1,b=-8,c=17，
这里的a、b、
由上可知当△＞0时，方程有两个不相等的实数根；当△=0时，方
程有两个相等的实数根；当△＜0时，方程无实数根。
一般地,对于一元二次方程 ax2+bx+c=0(a≠0)
0,它的根是 :
x b b2 4ac b2 4ac 0 2a
当 b2 4ac 0
21.2.2公式法3--由根的情况求参数的值
21.2.2公式法3--由根的情况求参数的值一．【知识要点】1.由根的情况求参数的值二．【经典例题】1.k 为何值时，关于x 的方程：21290kx x -+=.（1）有两个不相等的实数根?（2）有两个根?（3）无实数根？2. 关于x 的方程：()()21230m x mx m +++-=有实根. （1）求m 的取值范围？（2）M 为何值时，方程有两个相等的实数根，并求出这两个根?3．已知关于x 的一元二次方程mx 2﹣（m+2）x+2＝0．（Ⅰ）证明：不论m 为何值时，方程总有实数根．（Ⅱ）m 为何整数时，方程有两个不相等的正整数根．三．【题库】【A】1.若关于x的一元二次方程（m+2）x2﹣2x﹣1＝0有实数根，则实数m的取值范围是（）A．m＞3 B．m≥﹣3且m≠﹣2 C．m＞﹣3且m≠﹣2 D．m≥﹣3【B】1.关于x的一元二次方程x2-5x+k=0有两个不相等的实数根,则k可能的最大整数为______.2.关于x的方程k2x2+(2k-1)x+1=0有实根,则k的取值范围是________.3.如果关于x的一元二次方程kx2-√2k+1x+1=0有两个不相等的实数根,那么k的取值范围是( )A.k<12B.k<12且k≠0 C.-12≤k<12D.-12≤k<12且k≠0【C】2.已知:ABCD的两边AB,AD的长是关于x的方程x2-mx+m2−14=0的两个实数根.(1)当m为何值时,ABCD是菱形?求出这时菱形的边长;(2)若AB的长为2,那么ABCD的周长是多少?3.(满分10分)已知关于x的方程mx2-(m+2)x+2=0(m≠0).(1)求证:方程总有两个实数根;(2)若方程的两个实数根都是整数,求正整数m的值. 【D】。
人教版九年级数学上册21.2解一元二次方程-21.2.2公式法教案
另外，对于一元二次方程在实际生活中的应用，学生们提出了很多有趣的观点，这超出了我的预期。这说明学生们能够将所学知识与现实生活联系起来，这是非常可贵的。但同时，我也发现，将理论应用到具体问题中，对学生们的抽象思维能力要求较高。我需要设计更多的实际问题，帮助学生提高这方面的能力。
在课程总结时，我强调了理解和掌握一元二次方程的重要性，并鼓励学生们在课后继续思考和练习。从他们的反馈来看，大部分学生对今天的课程内容表示理解，但也有部分学生表示还需要进一步巩固。我计划在下一节课开始时，用一些简单的练习题来复习今天的知识点，确保学生们能够扎实掌握。
2.教学难点
-理解并运用求根公式中根的判别式，判断方程的根的性质；
-在解题过程中，对公式法解一元二次方程的步骤进行熟练操作；
-在应用一元二次方程解决实际问题时，如何将问题抽象成一元二次方程。
举例解释：
-难点一：学生对判别式的理解，包括何时方程有两个不同实数根、何时有两个相同实数根、何时无实数根；
-难点二：在应用求根公式解题时，学生可能会在计算过程中出现错误，如符号错误、计算次序错误等；
3.成果分享：每个小组将选择一名代表来分享他们的讨论成果。这些成果将被记录在黑板上或投影仪上，以便全班都能看到。
（五）总结回顾（用时5分钟）
今天的学习，我们了解了一元二次方程的基本概念、求根公式、根的判别式以及在实际生活中的应用。同时，我们也通过实践活动和小组讨论加深了对一元二次方程的理解。我希望大家能够掌握这些知识点，并在日常生活中灵活运用。最后，如果有任何疑问或不明白的地方，请随时向我提问。
（二）新课讲授（用时10分钟）
1.理论介绍：首先，我们要了解一元二次方程的基本概念。一元二次方程是形如ax^2 + bx + c = 0（a≠0）的方程。它在数学和生活中有着广泛的应用，能够帮助我们解决很多实际问题。
在课程总结时，我强调了理解和掌握一元二次方程的重要性，并鼓励学生们在课后继续思考和练习。从他们的反馈来看，大部分学生对今天的课程内容表示理解，但也有部分学生表示还需要进一步巩固。我计划在下一节课开始时，用一些简单的练习题来复习今天的知识点，确保学生们能够扎实掌握。
2.教学难点
-理解并运用求根公式中根的判别式，判断方程的根的性质；
-在解题过程中，对公式法解一元二次方程的步骤进行熟练操作；
-在应用一元二次方程解决实际问题时，如何将问题抽象成一元二次方程。
举例解释：
-难点一：学生对判别式的理解，包括何时方程有两个不同实数根、何时有两个相同实数根、何时无实数根；
-难点二：在应用求根公式解题时，学生可能会在计算过程中出现错误，如符号错误、计算次序错误等；
3.成果分享：每个小组将选择一名代表来分享他们的讨论成果。这些成果将被记录在黑板上或投影仪上，以便全班都能看到。
（五）总结回顾（用时5分钟）
今天的学习，我们了解了一元二次方程的基本概念、求根公式、根的判别式以及在实际生活中的应用。同时，我们也通过实践活动和小组讨论加深了对一元二次方程的理解。我希望大家能够掌握这些知识点，并在日常生活中灵活运用。最后，如果有任何疑问或不明白的地方，请随时向我提问。
（二）新课讲授（用时10分钟）
1.理论介绍：首先，我们要了解一元二次方程的基本概念。一元二次方程是形如ax^2 + bx + c = 0（a≠0）的方程。它在数学和生活中有着广泛的应用，能够帮助我们解决很多实际问题。
21.2.2 公式法
6.无论p取何值，方程(x-3)(x-2)-p2=0总有两个不等
的实数根吗？给出你的答案并说明理由. 解：方程化简为x2-5x+6-p2=0
∴b2-4ac=(-5)2-4×1×(6-p2)=4p2+1≥1,
∴Δ>0
∴无论p取何值，方程(x-3)(x-2)-p2=0总有两
个不等的实数根.
课堂小结
公 式 法 ห้องสมุดไป่ตู้求根公式 解一元二次 方程的方法 求根公式
(b2－4ac≥0)
b b2 4ac x 2a
当b2－4ac>0时，方程有两个不等的实数根； 一元二次方程根的 判别式Δ= b2－4ac 当b2－4ac=0时，方程有两个相等的实数根； 当b2－4ac<0时，方程无实数根.
课后作业 1.从课后习题中选取；
2.完成练习册本课时的习题。
教学反思
推进新课
知识点1 一元二次方程根的判别式
任何一个一元二次方程都可以写成一般形式 ax2+bx+c=0(a≠0) 能否也用配方法得出它的解呢？
ax2+bx+c=0(a≠0)
b c 二次项系数化为1，得 x x a a
2
b b 2 c b 2 配方，得 x x ( ) ( ) a 2a a 2a
( 4) 36 4 6 2 5 10 1 x1 1, x2 5
思考：说说运用公式法解一元二次方程的一般步骤， 有哪些易错点？ 步骤：先将方程化一般形式，确定a,b,c的值； 计算判别式，Δ=b2-4ac的值，判断方程是否有解； 若Δ≥0，利用求根公式计算方程的根， 若Δ<0，方程无实数根. 易错点：计算Δ时，注意a,b,c符号的问题.
21.2.2+解一元一次方程(公式法)-【高效课堂】2023-2024学年九年级数学上册同步精品课件
新知探究
用配方法解一般形式的一元二次方程
ax2+bx+c=0 (a≠0).
解: 移项，得 ax2 bx c，
方程两边都除以a x2 b x c ，
a
a
配方，得
x2
b a
x
b 2a
2
c a
b 2a
2
.
即
x
b 2a
2
b2 4ac 4a 2
.
新知探究
∵a ≠0,4a2>0，式子b2-4ac 的值有以下三种情况：
巩固练习
2.用公式法解方程：2x2＋1＝－2x. 2
解：方程化为 2x2＋2x＋21＝0. a＝2，b＝2，c＝12. Δ＝b2－4ac＝22－4×2×12＝0. 方程有两个相等的实数根 x1＝x2＝－2ba＝－2×2 2＝－12.
巩固练习
3.用公式法解方程：2x2－ 5x＋1＝0.
解：a＝2，b＝－ 5，c＝1. Δ＝b2－4ac＝(－ 5)2－4×2×1＝－3＜0. 方程无实数根．
⑴b2-4ac＞ 0 b2 4ac ＞0，
这时 4a2
即
b
b2 4ac
x
.
2a
2a
x b
b2 4ac .
2a
方程有两个不相等实 数根
新知探究
⑵b2-4ac=0 这时 b2 4ac 0，
4a 2
x1=x2=-
b 2a
方程有两个相等实数 根
新知探究
（3）b2-4ac ＜0时，
x
b 2a
第21章
一元二次方程
21.2.2 解一元一次方程（公式法）
教学目标/Teaching aims
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（2）会用公式法解一元二次方程.
状元成才路
推进新课
知识点1 一元二次方程根的判别式 任何一个一元二次方程都可以写成一般形式 ax2+bx+c=0(a≠0) 那么我们能否也用配方法得出它的解呢？
状元成才路
ax2+bx+c=0(a≠0)
二次项系数化为1，得
x2 b x c
a
a
配方，得
ห้องสมุดไป่ตู้
x2
b a
2
别是（ C ）
状元成才路
解：Δ=b2-4ac =(-24)2-4×16×9 =0
方程有两个相等的实数根
状元成才路
5.用公式法解下列方程：
（1）x2+x－12=0； 解：a=1，b=1，c=-12
Δ= b2－4ac=12-4×1×(-12) =49>0 b b2 4ac
x 2a
1 49 21
一元二次方程根的 判别式Δ= b2－4ac
当b2－4ac>0时，方程有两个不等的实数根； 当b2－4ac=0时，方程有两个相等的实数根； 当b2－4ac<0时，方程无实数根.
状元成才路
课后作业 1.从课后习题中选取； 2.完成练习册本课时的习题。
状元成才路
声明
本文件仅用于个人学习、研究或欣赏，以及其他非商 业性或非盈利性用途，但同时应遵守著作权法及其他相关 法律的规定，不得侵犯本司及相关权利人的合法权利。
=36>0 b b2 4ac
x 2a
(4) 36 4 6
25
10
状元成才路
1 x1 1, x2 5
(4)x2+17=8x.
解：方程化为x2-8x+17=0 a=1，b=-8，c=17 Δ= b2－4ac =(-8)2-4×1×17 =-4＜0
方程无实数根
思考：运用公式法解一元二次方程时，有哪些注意 事项？ 步骤：先将方程化为一般形式，确定a,b,c的值；
计算判别式Δ=b2-4ac的值，判断方程是否有解； 若Δ≥0，利用求根公式计算方程的根， 若Δ<0，方程无实数根. 易错点：计算Δ的值时，注意a，b，c符号的问题.
状元成才路
随堂演练
1. 一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）有两个不相
等的实数根，则b2-4ac满足的条件是（ B ）
A.b2-4ac=0
x1 2 11, x2 2 11
状元成才路
解：a 2，b 2 2，c 1 b2 4ac (2 2)2 4 21 0 b x1 x2 2a 2 2 2 22 2
(3)5x2-3x=x+1；
解：方程化为5x2-4x-1=0 a=5，b=-4，c=-1 Δ= b2－4ac=(-4)2-4×5×(-1)
2a
状元成才路
②当b2－4ac=0时，b2 4ac =0，方程有两个相等的 4a 2
b 实数根 x1 x2 2a .
③当b2－4ac<0时，b
2
4ac 4a 2
<0，方程没有实数根.
状元成才路
Δ=b2－4ac叫做一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的 根的判别式.
当b2－4ac>0时，方程ax2+bx+c=0(a≠0)有两个不等的实数根； 当b2－4ac=0时，方程ax2+bx+c=0(a≠0)有两个相等的实数根； 当b2－4ac<0时，方程ax2+bx+c=0(a≠0)无实数根.
x
b 2a
2
c a
b 2a
2
即
x
b 2a
2
b2 4ac 4a2
状元成才路
因为a≠0，所以4a2＞0. 式子ax2+bx+c=0的根有以下三种 情况：
①当b2－4ac>0时，b2 4ac >0，方程有两个不等的 4a 2
实数根 x1 b
b2 4ac
b
2a
, x2
b2 4ac .
解：方程化简为x2-5x+6-p2=0 ∴b2-4ac=(-5)2-4×1×(6-p2)=4p2+1≥1, ∴Δ>0 ∴无论p取何值，方程(x-3)(x-2)-p2=0总有两
个不等的实数根.
状元成才路
公
用求根公式
式
解一元二次
法
方程的方法
课堂小结
求根公式
b b2 4ac x
2a
(b2－4ac≥0)
状元成才路
不解方程，利用判别式判断下列方程的根的情况.
x2+5x+6=0； Δ=b2-4ac =52-4×1×6 =1>0 方程有两个不等的实数根
9x2+12x+4=0； Δ=b2-4ac
=122-4×9×4 =0 方程有两个相等的实数根
状元成才路
2x2+4x－3=2x－4； 化简得 2x2+2x+1=0
Δ=b2-4ac =22-4×2×1 =-4<0
方程无实数根
x(x+4)=8x+12. 化简得 x2-4x-12=0
Δ=b2-4ac =(-4)2-4×(-12) =64>0
方程有两个不等的实数根
状元成才路
知识点2 用公式法解一元二次方程 当Δ≥0时，一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的实数根可
x1 4, x2 3
状元成才路
（2）x2+4x+8=2x+11；
解：化简，得 x2+2x-3=0 a=1，b=2，c=-3
Δ= b2－4ac=22-4×1×(-3)
=16>0
b b2 4ac 2 16
x
2a
21
x1 3, x2 1
6.无论p取何值，方程(x-3)(x-2)-p2=0总有两个不等 的实数根吗？给出你的答案并说明理由.
除此以外，将本文件任何内容用于其他用途时，应获 得授权，如发现未经授权用于商业或盈利用途将追加侵权 者的法律责任。
武汉天成贵龙文化传播有限公司 湖北山河律师事务所
状元成才路
状元成才路
写为 x b b2 4ac 的形式，这个式子叫做一元 2a
二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的求根公式.
状元成才路
例2 用公式法解下列方程：
解：a=1，b=-4，c=-7 Δ= b2－4ac=(-4)2-4×1×(-7) =44>0
b b2 4ac x
2a
(4) 44 2 11 21
B.b2-4ac＞0
C.b2-4ac＜0
D.b2-4ac≥0
状元成才路
2. 已知一元二次方程：①x2+2x+3=0，②x2-2x-3=0. 下列说法正确的是（ B ） A.①②都有实数解 B.①无实数解，②有实数解 C.①有实数解，②无实数解 D.①②都无实数解
3. 利用求根公式求5x2+ 1 =6x的根时，a，b，c的值分
21.2.2 公式法 ——根的判别式及求根公式
R·九年级上册
状元成才路
新课导入
（1）用配方法解一元二次方程的步骤是什么？ （2）你能用配方法解一般形式的一元二次方程
ax2+bx+c=0(a≠0)吗？ 我们继续学习另一种解一元二次方程的方法 ——公式法.
状元成才路
（1）知道一元二次方程根的判别式，能运用根的判别式 直接判断一元二次方程的根的情况.
状元成才路
推进新课
知识点1 一元二次方程根的判别式 任何一个一元二次方程都可以写成一般形式 ax2+bx+c=0(a≠0) 那么我们能否也用配方法得出它的解呢？
状元成才路
ax2+bx+c=0(a≠0)
二次项系数化为1，得
x2 b x c
a
a
配方，得
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x2
b a
2
别是（ C ）
状元成才路
解：Δ=b2-4ac =(-24)2-4×16×9 =0
方程有两个相等的实数根
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5.用公式法解下列方程：
（1）x2+x－12=0； 解：a=1，b=1，c=-12
Δ= b2－4ac=12-4×1×(-12) =49>0 b b2 4ac
x 2a
1 49 21
一元二次方程根的 判别式Δ= b2－4ac
当b2－4ac>0时，方程有两个不等的实数根； 当b2－4ac=0时，方程有两个相等的实数根； 当b2－4ac<0时，方程无实数根.
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课后作业 1.从课后习题中选取； 2.完成练习册本课时的习题。
状元成才路
声明
本文件仅用于个人学习、研究或欣赏，以及其他非商 业性或非盈利性用途，但同时应遵守著作权法及其他相关 法律的规定，不得侵犯本司及相关权利人的合法权利。
=36>0 b b2 4ac
x 2a
(4) 36 4 6
25
10
状元成才路
1 x1 1, x2 5
(4)x2+17=8x.
解：方程化为x2-8x+17=0 a=1，b=-8，c=17 Δ= b2－4ac =(-8)2-4×1×17 =-4＜0
方程无实数根
思考：运用公式法解一元二次方程时，有哪些注意 事项？ 步骤：先将方程化为一般形式，确定a,b,c的值；
计算判别式Δ=b2-4ac的值，判断方程是否有解； 若Δ≥0，利用求根公式计算方程的根， 若Δ<0，方程无实数根. 易错点：计算Δ的值时，注意a，b，c符号的问题.
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随堂演练
1. 一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）有两个不相
等的实数根，则b2-4ac满足的条件是（ B ）
A.b2-4ac=0
x1 2 11, x2 2 11
状元成才路
解：a 2，b 2 2，c 1 b2 4ac (2 2)2 4 21 0 b x1 x2 2a 2 2 2 22 2
(3)5x2-3x=x+1；
解：方程化为5x2-4x-1=0 a=5，b=-4，c=-1 Δ= b2－4ac=(-4)2-4×5×(-1)
2a
状元成才路
②当b2－4ac=0时，b2 4ac =0，方程有两个相等的 4a 2
b 实数根 x1 x2 2a .
③当b2－4ac<0时，b
2
4ac 4a 2
<0，方程没有实数根.
状元成才路
Δ=b2－4ac叫做一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的 根的判别式.
当b2－4ac>0时，方程ax2+bx+c=0(a≠0)有两个不等的实数根； 当b2－4ac=0时，方程ax2+bx+c=0(a≠0)有两个相等的实数根； 当b2－4ac<0时，方程ax2+bx+c=0(a≠0)无实数根.
x
b 2a
2
c a
b 2a
2
即
x
b 2a
2
b2 4ac 4a2
状元成才路
因为a≠0，所以4a2＞0. 式子ax2+bx+c=0的根有以下三种 情况：
①当b2－4ac>0时，b2 4ac >0，方程有两个不等的 4a 2
实数根 x1 b
b2 4ac
b
2a
, x2
b2 4ac .
解：方程化简为x2-5x+6-p2=0 ∴b2-4ac=(-5)2-4×1×(6-p2)=4p2+1≥1, ∴Δ>0 ∴无论p取何值，方程(x-3)(x-2)-p2=0总有两
个不等的实数根.
状元成才路
公
用求根公式
式
解一元二次
法
方程的方法
课堂小结
求根公式
b b2 4ac x
2a
(b2－4ac≥0)
状元成才路
不解方程，利用判别式判断下列方程的根的情况.
x2+5x+6=0； Δ=b2-4ac =52-4×1×6 =1>0 方程有两个不等的实数根
9x2+12x+4=0； Δ=b2-4ac
=122-4×9×4 =0 方程有两个相等的实数根
状元成才路
2x2+4x－3=2x－4； 化简得 2x2+2x+1=0
Δ=b2-4ac =22-4×2×1 =-4<0
方程无实数根
x(x+4)=8x+12. 化简得 x2-4x-12=0
Δ=b2-4ac =(-4)2-4×(-12) =64>0
方程有两个不等的实数根
状元成才路
知识点2 用公式法解一元二次方程 当Δ≥0时，一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的实数根可
x1 4, x2 3
状元成才路
（2）x2+4x+8=2x+11；
解：化简，得 x2+2x-3=0 a=1，b=2，c=-3
Δ= b2－4ac=22-4×1×(-3)
=16>0
b b2 4ac 2 16
x
2a
21
x1 3, x2 1
6.无论p取何值，方程(x-3)(x-2)-p2=0总有两个不等 的实数根吗？给出你的答案并说明理由.
除此以外，将本文件任何内容用于其他用途时，应获 得授权，如发现未经授权用于商业或盈利用途将追加侵权 者的法律责任。
武汉天成贵龙文化传播有限公司 湖北山河律师事务所
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状元成才路
写为 x b b2 4ac 的形式，这个式子叫做一元 2a
二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的求根公式.
状元成才路
例2 用公式法解下列方程：
解：a=1，b=-4，c=-7 Δ= b2－4ac=(-4)2-4×1×(-7) =44>0
b b2 4ac x
2a
(4) 44 2 11 21
B.b2-4ac＞0
C.b2-4ac＜0
D.b2-4ac≥0
状元成才路
2. 已知一元二次方程：①x2+2x+3=0，②x2-2x-3=0. 下列说法正确的是（ B ） A.①②都有实数解 B.①无实数解，②有实数解 C.①有实数解，②无实数解 D.①②都无实数解
3. 利用求根公式求5x2+ 1 =6x的根时，a，b，c的值分
21.2.2 公式法 ——根的判别式及求根公式
R·九年级上册
状元成才路
新课导入
（1）用配方法解一元二次方程的步骤是什么？ （2）你能用配方法解一般形式的一元二次方程
ax2+bx+c=0(a≠0)吗？ 我们继续学习另一种解一元二次方程的方法 ——公式法.
状元成才路
（1）知道一元二次方程根的判别式，能运用根的判别式 直接判断一元二次方程的根的情况.