广东省六校(广州二中,深圳实验立等)2019届高三第一次联考理科数学-含答案
2019届广东省六校联考高三第一次联考理科数学试题
，
，
所以，
，
由椭圆定义知点 的轨迹为以 为焦点的椭圆，且
进而
，故轨迹 方程为：
．
（2）当直线 斜率不存在时，
，
或
，
，
此时弦长
．
当直线 斜率存在时，设 的方程为：
，
由 由△
消去 得：
，
恒成立，
设
、
，可得：
，
，
，
令8
，则 ，
，
，
．
综上，弦长 的最大值为 ． 【点睛】本题考查确定曲线轨迹方程的定义法，考查椭圆的定义、圆与圆的位置关系、直线与椭圆的位置 关系的应用，考查了分类讨论思想、等价转化思想，是综合题.
补贴（万元/辆）
3
4
4.5
概率
0.2
0.5
0.3
纯电动汽车 2017 年地方财政补贴的平均数为
(万元)．
（2）由充电车辆天数的频数分布表得每天需要充电车辆数的分布列：
辆数
6000
7000
8000
9000
概率
0.2
0.3
0.4
0.1
若采用方案一，100 台直流充电桩和 900 台交流充电桩每天可充电车辆数为 (辆）；
，一光线从点 出发，经 轴上一点 反射后与圆相切于点 ，则
【答案】
16.已知函数 【答案】(-1,3)
满足
，则 的单调递减区间是______________．
三、解答题：共 70 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第 17～21 题为必考题，每个试 题考生都必须作答。第 22、23 题为选考题，考生根据要求作答。
22.在平面直角坐标系中，将曲线 向左平移 2 个单位，再将得到的曲线上的每一个点的横坐标保持不变，
广东省六校(广州二中,深圳实验立等)2019届高三第一次联考理科数学 含答案
广东省六校（广州二中，深圳实验立等）2019届高三第一次联考理科数学一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知集合，，则∁（）A. B. C. D.2.若复数满足，则的共轭复数的虚部为（）A. B. C. D.3.记为等差数列的前项和，若，，则（）A. B. C. D.4.在区间上随机取两个实数，记向量，，则的概率为，珠海一中，中山纪念，东莞中学，惠州一中（）A. B. C. D.5.已知直线的倾斜角为，直线与双曲线（）的左、右两支分别交于、两点，且、都垂直于轴（其中、分别为双曲线的左、右焦点），则该双曲线的离心率为（）A. B. C. D.6.在△中，为的中点，点满足，则（）A. B. C. D.7.某几何体的三视图如右图所示，数量单位为，它的体积是（）A. B. C. D.8.已知是函数的最大值，若存在实数使得对任意实数总有成立，则的最小值为（）A. B. C. D.9.定义在上的函数满足及，且在上有，则（）A. B. C. D.10.抛物线上有一动弦，中点为，且弦的长度为，则点的纵坐标的最小值为（）A. B. C. D.11.已知三棱锥中，，，，，且二面角的大小为，则三棱锥外接球的表面积为（）A. B. C. D.12.已知数列满足．设，为数列的前项和．若（常数），，则的最小值是（）A. B. C. D.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13.若满足约束条件则的最大值为______________．14.若，则的展开式中常数项为______________．15.已知点及圆，一光线从点出发，经轴上一点反射后与圆相切于点，则的值为______________．16.已知函数满足，则的单调递减区间是______________．三、解答题：共70分。
解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答。
广东省2019届高三六校第一次联考理科数学试题(精编含解析)
广东省2019届高三六校第一次联考试题理科数学一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知集合，，则（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】根据形如的分式不等式的解法求集合A，根据指数函数的性质求集合B，再根据补集和交集的运算法则计算【详解】因为，由得，其与不等式为同解不等式，所以；则故选A.【点睛】本题主要考查了集合元素的属性，考查形如不等式的计算方法，即要遵循移项——通分——等效转化的原则进行.2.若复数满足，则的共轭复数的虚部为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】由已知条件得，利用复数的除法运算化简，求出，则共轭复数的虚部可求.【详解】，，共轭复数的共轭复数的虚部1故选C.【点睛】本题考查复数代数形式的除法运算，考查复数的基本概念. 复数除法的关键是分子分母同时乘以分母的共轭复数，解题中要注意把的幂写成最简形式.3.记为等差数列的前项和，若，，则（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】方法一：基本法，将等差数列前项和公式和通项公式代入到已知条件中，联立方程组解得和，即可求得答案.方法二：性质法，根据已知条件得，再根据，即可求得答案. 【详解】方法一：基本法，数列等差数列，，，，整理得，解得方法二：性质法，，，，；；故选D.【点睛】本题考查等差数列的通项公式和前项和公式，考查等差数列的性质与前项和计算的应用，解题时要认真审题，注意灵活运用数列的基本概念与性质.4.在区间上随机取两个实数，记向量，，则的概率为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】建立平面直角坐标系，确定实数所在平面区域，再根据数量积的运算，将转化为，根据面积比即可求出概率.【详解】分别以为横、纵轴建立直角坐标系，由题可知点满足，组成了边长为正方形区域，向量，，则，即，表示正方形内以坐标原点为圆心，为半径的圆以外的部分，如图所示.所以，概率.故选B.【点睛】本题考查了几何概型的概率求法，考查运算求解能力，考查数形结合思想，正确作出几何图形是解题关键.5.已知直线l的倾斜角为，直线与双曲线的左、右两支分别交于M、N两点，且都垂直于x轴（其中分别为双曲线C的左、右焦点），则该双曲线的离心率为( )A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】根据题意设点，，则，又由直线的倾斜角为，得，结合点在双曲线上，即可求出离心率.【详解】直线与双曲线的左、右两支分别交于、两点，且、都垂直于轴，根据双曲线的对称性，设点，，则，即，且，又直线的倾斜角为，直线过坐标原点，，，整理得，即，解方程得，（舍）故选D.【点睛】本题考查双曲线的几何性质、直线与双曲线的位置关系及双曲线离心率的求法，考查化简整理的运算能力和转化思想，属于中档题.圆锥曲线离心率的计算，常采用两种方法：1、通过已知条件构建关于的齐次方程，解出.根据题设条件（主要用到：方程思想，余弦定理，平面几何相似，直角三角形性质等）借助之间的关系，得到关于的一元方程，从而解得离心率.2、通过已知条件确定圆锥曲线上某点坐标，代入方程中，解出.根据题设条件，借助表示曲线某点坐标，代入曲线方程转化成关于的一元方程，从而解得离心率.6.在△中，为的中点，点满足，则A. B.C. D.【答案】A【解析】【分析】利用向量共线的性质得，，再利用向量的三角形法则、即可得出结果.【详解】为的中点，点满足，，故选A.【点睛】本题考查了向量三角形法则、向量共线性质，属于基础题.向量的运算有两种方法，一是几何运算往往结合平面几何知识和三角函数知识解答，运算法则是：（１）平行四边形法则（平行四边形的对角线分别是两向量的和与差）；（２）三角形法则（两箭头间向量是差，箭头与箭尾间向量是和）；二是坐标运算：建立坐标系转化为解析几何问题解答（求最值与范围问题，往往利用坐标运算比较简单）．7.某几何体的三视图如图所示，数量单位为，它的体积是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】由三视图，可知几何体为底面为直角梯形的四棱锥，根据棱锥的体积公式即可求出结果.【详解】如图所示，三视图还原成直观图为底面为直角梯形的四棱锥，故选C.【点睛】本题考查由三视图求几何体体积，解答此类问题的关键是判断几何体的形状及几何尺寸.8.已知是函数的最大值，若存在实数使得对任意实数总有成立，则的最小值为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】利用诱导公式化简函数，确定，再由题意可知，即可求得答案.【详解】，对任意实数总有成立.故选B.【点睛】本题考查三角函数的最值，考查三角函数的诱导公式、正弦型函数的图象和性质，考查逻辑推理能力和转化思想，着重考查正弦函数的图象和性质.9.定义在上的函数满足及，且在上有，则（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】由已知可得函数为定义域内的奇函数，并可以求出函数的周期，利用函数的周期性和奇偶性将转换到范围内，即可求出答案.【详解】及，，函数为周期为4的奇函数.又在上有.故选D.【点睛】本题考查函数值的计算，考查抽象函数的周期性、对称性和奇偶性的关系，考查抽象函数有关的函数性质的应用，根据条件判断函数的周期性和奇偶性是解决本题的关键.10.抛物线上有一动弦，中点为，且弦的长度为，则点的纵坐标的最小值为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】由题意设，，直线的方程为，代入抛物线方程，写出韦达定理关系式及弦长与点的纵坐标关系式，通过基本不等式确定最小值.【详解】由题意设，，，直线的方程为，联立方程，整理得，，，点M 的纵坐标，弦的长度为，即， 整理得，即根据基本不等式，，当且仅当，时取等，即，，点的纵坐标的最小值为.故选A.【点睛】本题考查直线与抛物线位置关系，考查基本不等式在圆锥曲线综合问题中的应用，解题时要认真审题，注意等价转化思想的合理运用. 解决直线与圆锥曲线综合问题基本步骤为：（1）设，即设交点坐标和直线方程，注意考虑直线斜率是否存在; （2）联，即联立直线方程与圆锥曲线，消元;（3）判，即直线与圆锥曲线的位置关系可以通过判别式加以判断; （4）韦，即韦达定理，确定两根与系数的关系.（5）代，即根据已知条件，将所求问题转换到与两点坐标和直线方程相关的问题，进而求解问题. 11.已知三棱锥中，，，，，且二面角的大小为，则三棱锥外接球的表面积为（）A.B.C.D.【答案】D 【解析】 【分析】由题意可知，三棱锥外接球的球心在过外接圆圆心的法线上，设，由题设条件可知，外接球半径，由此解得，从而求出外接球的半径及表面积.【详解】如图，设中点为，过点作，，过点作垂足为，交于，则为外接圆的圆心，三棱锥外接球球心在直线上，设，，，且二面角的大小为，，，，，，，,在中，；在中，；外接球半径，，解得，外接球表面积故选D.【点睛】本题考查三棱锥外接球表面的求法，涉及到棱锥的结构特征、二面角的平面角、直角三角形的性质、勾股定理和球的简单性质等知识点，解题时要认真审题，注意合理地转化空间几何问题.12.已知数列满足．设，为数列的前项和．若（常数），，则的最小值是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】当时，类比写出，两式相减整理得，当时，求得，从而求得数列和的通项公式.；再运用错位相减法求出，结合的性质，确定的最小值.【详解】①当时，类比写出②由①-②得，即.当时，，，③④③-④得，（常数），，的最小值是故选C.【点睛】本题考查数列通项公式的求法和数列前n项和的计算方法，解题时要认真审题，仔细解答，注意公式的合理选用.1、已知数列的前项和与的关系式，求数列的通项公式的方法如下：（1）当时，用替换中的得到一个新的关系，利用便可求出当时的表达式；（2）当时，求出；（3）对时的结果进行检验，看是否符合时的表达式，如果符合，则可以把数列的通项公式合写；如果不符合，则应该分与两段来写．2、错位相减法：若，其中是等差数列，是公比为的等比数列，那么这个数列的前项和即可用此法来求。
【精选】广东省2019届高三上学期期末联考数学理试卷及答案解析
华附、省实、广雅、深中2019届高三上学期期末联考理科数学第一部分选择题一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知，则复数的共轭复数的虚部为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】由复数的运算法则直接计算即可.【详解】，，虚部为【点睛】本题主要考查复数的运算法则，属于基础题型.2.设，，则下列不等式中恒成立的是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】由不等式的性质，逐项判断即可.【详解】对于A，当a为正数，b为负数时，，所以，A错误；对于B，当a＝2，b＝时，B不成立，所以错误。
对于C，，所以选项C正确；对于D，取反例：【点睛】本题主要考查不等式的性质，属于基础题型.3.已知是等比数列，，，则（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】先求公比，再求,最后根据等比数列前n项和公式的结果.【详解】，，.，故,选C.【点睛】本题考查等比数列前n项和公式以及通项公式,考查基本求解能力,属基础题.4.祖暅原理：“幂势既同，则积不容异”.意思是说：两个同高的几何体，如在等高处的截面积恒相等，则体积相等.设、为两个同高的几何体，、的体积不相等，、在等高处的截面积不恒相等.根据祖暅原理可知，是的（）A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】B【解析】的体积相等，在同高处的截面积相等，由于A、B体积相等，A、B在同高处的截面积不恒相等，譬如一个为柱体另一个为椎体，所以条件不充分；反之成立，条件是必要的，因此是的必要不充分条件.选B.5.如图是一个算法流程图，若输入的值为，输出的值是，则的取值范围是（）A. B.C. D.【答案】B【解析】分析：模拟执行程序框图，只要按照程序框图规定的运算方法逐次计算，直到达到输出，即可得到输出条件.详解：输入，第一次循环；第二次循环；第三次循环；第四次循环，输出，此时应满足退出循环的条件，故的取值范围是，故选B.点睛：本题主要考查程序框图的循环结构流程图，属于中档题. 解决程序框图问题时一定注意以下几点：(1) 不要混淆处理框和输入框；(2) 注意区分程序框图是条件分支结构还是循环结构；(3) 注意区分当型循环结构和直到型循环结构；(4) 处理循环结构的问题时一定要正确控制循环次数；(5) 要注意各个框的顺序,（6）在给出程序框图求解输出结果的试题中只要按照程序框图规定的运算方法逐次计算，直到达到输出条件即可.6.如图，在正方形区域内任取一点，则此点取自阴影部分的概率是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】利用定积分先求出阴影部分的面积，再由几何概型的计算公式计算即可.【详解】阴影部分的面积，正方形面积为，所以所求概率为.【点睛】本题主要考查与面积有关的几何概型.7.已知函数，R，先将图像上所有点的横坐标缩短到原的（纵坐标不变），再将得到的图像上所有点向右平移个单位长度，得到的图像关于轴对称，则的最小值为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】因，将其图像上的点的横坐标缩短到原的后所得函数的解析式为，图像在轴左侧的第一条对称轴，故至少向右平移个单位就可以得到关于轴对称的图像，选C.点睛：若三角函数的图像平移后得到的图像为奇函数或偶函数的图像，那么最小的平移往往和轴附近的对称轴或对称中心有关.8.的展开式中常数项为( )A. B. C. D.【答案】C【解析】的通项为，，根据式子可知当或时有常数项，令 ; 令;故所求常数项为，故选C.【点睛】求解与二项式相关的复杂式子的一般方法及步骤是：将复杂式子分解转化成与简单的二项式相关的式子根据条件找到符合条件的二项式的项，利用二项式的通项求出符合条件的项，整合最终得出所求9.已知是边长为2的等边三角形边上的动点，则的值（）A. 有最大值B. 是定值C. 有最小值D. 与点的位置有关【答案】B【解析】【分析】先设=，=，=t ，然后用和表示出，再由=+将=、=t 代入可用和表示出，最后根据向量的线性运算和数量积运算可求得的值，从而可得到答案．【详解】设===t则=﹣=﹣，2=4=2•=2×2×cos60°=2=+=+t﹙﹣﹚=﹙1﹣t﹚+t , +=+,•﹙+﹚=﹙﹙1﹣t﹚+t ﹚•﹙+﹚=﹙1﹣t﹚2+[﹙1﹣t﹚+t]+t 2=﹙1﹣t﹚×4+2+t×4=6故答案为：B【点睛】本题主要考查向量的数量积运算和向量的线性运算．高考对向量的考查一般不会太难，以基础题为主，而且经常和三角函数练习起考查综合题，平时要多注意这方面的练习．10.函数的部分图象大致是（）A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】由题意结合函数的奇偶性和函数在特殊点的函数值确定函数图像即可.【详解】∵函数f（x）的定义域为（-∞，-）∪（-，）∪（，+∞）f（-x）===f（x），∴f（x）为偶函数，∴f（x）的图象关于y轴对称，故排除A，令f（x）=0，即=0，解得x=0，∴函数f（x）只有一个零点，故排除D，当x=1时，f（1）=＜0，故排除C，综上所述，只有B符合，本题选择B选项.【点睛】函数图象的识辨可从以下方面入手：(1)从函数的定义域，判断图象的左右位置；从函数的值域，判断图象的上下位置．(2)从函数的单调性，判断图象的变化趋势．(3)从函数的奇偶性，判断图象的对称性．(4)从函数的特征点，排除不合要求的图象．利用上述方法排除、筛选选项．11.设、分别是椭圆（）的左、右焦点，若在直线上存在点，使线段的中垂线过点，则椭圆离心率的取值范围是( )A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】结合题意，计算出，结合两点距离公式，距离方程，用c表示m，结合，建立关于e的不等式，计算范围，即可。
广东省六校届高三第一次联考试题目数学理共10页
广东省六校2019届高三第一次联考试题数学（理）本试卷共4页，21小题，满分150分．考试用时120分钟．第 Ⅰ 卷一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，满分40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．设U =R ，{|0}A x x =>，{|1}B x x =>，则U A B ⋂=ðA ．{|01}x x ≤<B ．{|01}x x <≤C ．{|0}x x <D ．{|1}x x >2．已知3sin 4θ=，且θ在第二象限，那么2θ在A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限 3．已知命题p ：21,04x R x x ∀∈-+≥，则命题p 的否定p ⌝是A ．21,04x R x x ∃∈-+< B ．21,04x R x x ∀∈-+≤ C ．21,04x R x x ∀∈-+<D ．21,04x R x x ∃∈-+≥4．已知3log,2321==b a ,运算原理如右图所示，则输出的值为A ．22B ．2C ．212-D ．212+5．函数21()log f x x x =-A ．10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭B ．1,12⎛⎫⎪⎝⎭ C ．()1,2 D ．()2,36．一个锥体的主视图和左视图如图所示，下面选项中，不可能是该锥体的俯视图的是 7．在△OAB 中，, OA a OB b ==，OD 是AB 边上的高，若AB AD λ=，则实数λ等于ab 1-A ．()2||a b aa b ⋅-- B ．()2||a a ba b ⋅--C ．()||a b aa b ⋅-- D ．()||a a ba b ⋅-- 8．已知集合{}1,2,3,4A =，函数()f x 的定义域、值域都是A ，且对于任意i A ∈，()f i i≠，设1a ，2a ，3a ，4a 是1，2，3，4的任意一个排列，定义数表()()()()12341234 a a a a f a f a f a f a ⎛⎫⎪⎝⎭，若两个数表对应位置上至少有一个数不同，就说这是两个不同的数表，那么满足条件的不同的数表共有A ．216个B ．108个C ．48个D ．24个 第 Ⅱ 卷二、填空题：本大题共7小题，考生作答6小题，每小题5分，满分30分． （一）必做题：第9、10、11、12、13题是必做题，每道试题考生都必须做答． 9．设i 为虚数单位，复数z 满足i 1i z =-，则z = ．10．在二项式521⎪⎭⎫ ⎝⎛+x x 的展开式中，含4x 项的系数为_____________．（用数字作答）11．《中华人民共和国道路交通安全法》规定：车辆驾驶员血液酒精浓度在2080 /100mg mL （不含80）之间，属于酒后驾车；血液酒精浓度在80/100mg mL （含80）以上时，属醉酒驾车。
广东省2019届高三六校第一次联考理科数学试题(解析版)
广东省2019届高三六校第一次联考试题理科数学一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知集合，，则（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】根据形如的分式不等式的解法求集合A，根据指数函数的性质求集合B，再根据补集和交集的运算法则计算【详解】因为，由得，其与不等式为同解不等式，所以；则故选A.【点睛】本题主要考查了集合元素的属性，考查形如不等式的计算方法，即要遵循移项——通分——等效转化的原则进行.2.若复数满足，则的共轭复数的虚部为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】由已知条件得，利用复数的除法运算化简，求出，则共轭复数的虚部可求.【详解】，，共轭复数的共轭复数的虚部1故选C.【点睛】本题考查复数代数形式的除法运算，考查复数的基本概念. 复数除法的关键是分子分母同时乘以分母的共轭复数，解题中要注意把的幂写成最简形式.3.记为等差数列的前项和，若，，则（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】方法一：基本法，将等差数列前项和公式和通项公式代入到已知条件中，联立方程组解得和，即可求得答案. 方法二：性质法，根据已知条件得，再根据，即可求得答案.【详解】方法一：基本法，数列等差数列，，，，整理得，解得方法二：性质法，，，，；；故选D.【点睛】本题考查等差数列的通项公式和前项和公式，考查等差数列的性质与前项和计算的应用，解题时要认真审题，注意灵活运用数列的基本概念与性质.4.在区间上随机取两个实数，记向量，，则的概率为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】建立平面直角坐标系，确定实数所在平面区域，再根据数量积的运算，将转化为，根据面积比即可求出概率.【详解】分别以为横、纵轴建立直角坐标系，由题可知点满足，组成了边长为正方形区域，向量，，则，即，表示正方形内以坐标原点为圆心，为半径的圆以外的部分，如图所示.所以，概率.故选B.【点睛】本题考查了几何概型的概率求法，考查运算求解能力，考查数形结合思想，正确作出几何图形是解题关键.5.已知直线l的倾斜角为，直线与双曲线的左、右两支分别交于M、N两点，且都垂直于x轴（其中分别为双曲线C的左、右焦点），则该双曲线的离心率为( )A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】根据题意设点，，则，又由直线的倾斜角为，得，结合点在双曲线上，即可求出离心率.【详解】直线与双曲线的左、右两支分别交于、两点，且、都垂直于轴，根据双曲线的对称性，设点，，则，即，且，又直线的倾斜角为，直线过坐标原点，，，整理得，即，解方程得，（舍）故选D.【点睛】本题考查双曲线的几何性质、直线与双曲线的位置关系及双曲线离心率的求法，考查化简整理的运算能力和转化思想，属于中档题.圆锥曲线离心率的计算，常采用两种方法：1、通过已知条件构建关于的齐次方程，解出.根据题设条件（主要用到：方程思想，余弦定理，平面几何相似，直角三角形性质等）借助之间的关系，得到关于的一元方程，从而解得离心率.2、通过已知条件确定圆锥曲线上某点坐标，代入方程中，解出.根据题设条件，借助表示曲线某点坐标，代入曲线方程转化成关于的一元方程，从而解得离心率.6.在△中，为的中点，点满足，则A. B.C. D.【答案】A【解析】【分析】利用向量共线的性质得，，再利用向量的三角形法则、即可得出结果.【详解】为的中点，点满足，，故选A.【点睛】本题考查了向量三角形法则、向量共线性质，属于基础题.向量的运算有两种方法，一是几何运算往往结合平面几何知识和三角函数知识解答，运算法则是：（１）平行四边形法则（平行四边形的对角线分别是两向量的和与差）；（２）三角形法则（两箭头间向量是差，箭头与箭尾间向量是和）；二是坐标运算：建立坐标系转化为解析几何问题解答（求最值与范围问题，往往利用坐标运算比较简单）．7.某几何体的三视图如图所示，数量单位为，它的体积是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】由三视图，可知几何体为底面为直角梯形的四棱锥，根据棱锥的体积公式即可求出结果.【详解】如图所示，三视图还原成直观图为底面为直角梯形的四棱锥，故选C.【点睛】本题考查由三视图求几何体体积，解答此类问题的关键是判断几何体的形状及几何尺寸.8.已知是函数的最大值，若存在实数使得对任意实数总有成立，则的最小值为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】利用诱导公式化简函数，确定，再由题意可知，即可求得答案.【详解】，对任意实数总有成立.故选B.【点睛】本题考查三角函数的最值，考查三角函数的诱导公式、正弦型函数的图象和性质，考查逻辑推理能力和转化思想，着重考查正弦函数的图象和性质.9.定义在上的函数满足及，且在上有，则（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】由已知可得函数为定义域内的奇函数，并可以求出函数的周期，利用函数的周期性和奇偶性将转换到范围内，即可求出答案.【详解】及，，函数为周期为4的奇函数.又在上有.故选D.【点睛】本题考查函数值的计算，考查抽象函数的周期性、对称性和奇偶性的关系，考查抽象函数有关的函数性质的应用，根据条件判断函数的周期性和奇偶性是解决本题的关键.10.抛物线上有一动弦，中点为，且弦的长度为，则点的纵坐标的最小值为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】由题意设，，直线的方程为，代入抛物线方程，写出韦达定理关系式及弦长与点的纵坐标关系式，通过基本不等式确定最小值.【详解】由题意设，，，直线的方程为，联立方程，整理得，，，点M的纵坐标，弦的长度为，即，整理得，即根据基本不等式，，当且仅当，时取等，即，，点的纵坐标的最小值为.故选A.【点睛】本题考查直线与抛物线位置关系，考查基本不等式在圆锥曲线综合问题中的应用，解题时要认真审题，注意等价转化思想的合理运用.解决直线与圆锥曲线综合问题基本步骤为：（1）设，即设交点坐标和直线方程，注意考虑直线斜率是否存在;（2）联，即联立直线方程与圆锥曲线，消元;（3）判，即直线与圆锥曲线的位置关系可以通过判别式加以判断;（4）韦，即韦达定理，确定两根与系数的关系.（5）代，即根据已知条件，将所求问题转换到与两点坐标和直线方程相关的问题，进而求解问题.11.已知三棱锥中，，，，，且二面角的大小为，则三棱锥外接球的表面积为（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】由题意可知，三棱锥外接球的球心在过外接圆圆心的法线上，设，由题设条件可知，外接球半径，由此解得，从而求出外接球的半径及表面积.【详解】如图，设中点为，过点作，，过点作垂足为，交于，则为外接圆的圆心，三棱锥外接球球心在直线上，设，，，且二面角的大小为，，，，，，，,在中，；在中，；外接球半径，，解得，外接球表面积故选D.【点睛】本题考查三棱锥外接球表面的求法，涉及到棱锥的结构特征、二面角的平面角、直角三角形的性质、勾股定理和球的简单性质等知识点，解题时要认真审题，注意合理地转化空间几何问题.12.已知数列满足．设，为数列的前项和．若（常数），，则的最小值是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】当时，类比写出，两式相减整理得，当时，求得，从而求得数列和的通项公式.；再运用错位相减法求出，结合的性质，确定的最小值.【详解】①当时，类比写出②由①-②得，即.当时，，，③④③-④得，（常数），，的最小值是故选C.【点睛】本题考查数列通项公式的求法和数列前n项和的计算方法，解题时要认真审题，仔细解答，注意公式的合理选用.1、已知数列的前项和与的关系式，求数列的通项公式的方法如下：（1）当时，用替换中的得到一个新的关系，利用便可求出当时的表达式；（2）当时，求出；（3）对时的结果进行检验，看是否符合时的表达式，如果符合，则可以把数列的通项公式合写；如果不符合，则应该分与两段来写．2、错位相减法：若，其中是等差数列，是公比为的等比数列，那么这个数列的前项和即可用此法来求。
2019届广东省六校联考高三第一次联考理科数学试题(word版)
广东省2019届高三六校第一次联考试题理科数学一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知集合，，则（）A. B. C. D.【答案】A2.若复数满足，则的共轭复数的虚部为（）A. B. C. D.【答案】C3.记为等差数列的前项和，若，，则（）A. B. C. D.【答案】D4.在区间上随机取两个实数，记向量，，则的概率为（）A. B. C. D.【答案】B5.已知直线l的倾斜角为，直线与双曲线的左、右两支分别交于M、N两点，且都垂直于x轴（其中分别为双曲线C的左、右焦点），则该双曲线的离心率为( )A. B. C. D.【答案】D6.在△中，为的中点，点满足，则A. B.C. D.【答案】A7.某几何体的三视图如图所示，数量单位为，它的体积是（）A. B. C. D.【答案】C8.已知是函数的最大值，若存在实数使得对任意实数总有成立，则的最小值为（）A. B. C. D.【答案】B9.定义在上的函数满足及，且在上有，则（）A. B. C. D.【答案】D10.抛物线上有一动弦，中点为，且弦的长度为，则点的纵坐标的最小值为（）A. B. C. D.【答案】A11.已知三棱锥中，，，，，且二面角的大小为，则三棱锥外接球的表面积为（）A. B. C. D.【答案】D12.已知数列满足．设，为数列的前项和．若（常数），，则的最小值是（）A. B. C. D.【答案】C二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13.若满足约束条件则的最大值为______________．【答案】2514.若，则的展开式中常数项为______________．【答案】24015.已知点及圆，一光线从点出发，经轴上一点反射后与圆相切于点，则的值为______________．【答案】16.已知函数满足，则的单调递减区间是______________．【答案】(-1,3)三、解答题：共70分。
广东省2019届高三六校第一次联考理科数学(解析版)
9．答案：D
）
1
B．
4
9 C．
4
1 D．
4
解析：由 f (x) f (2 x) 可知函数 f (x) 关于直线 x 1 对称，由 f (x) f (x) 可知函数 f (x) 关于原点
(0, 0) 对称，所以函数 f (x) 是双对称函数，所以是周期函数，周期T 4 ，
1 7 1 1 1 所以 f 2019 f f f ．
1．答案：A
2
2
x 1
解析：由 ≤1 ，得： 1≤ 0, ≥ 0 ，解得 x ≥1或 x 1，即 A (, 1) [1, ) ，
x 1
x 1
x 1
则 R A [1,1) ．由 2x 1，得 x 0 ，即 B (, 0) ，所以 R A B [1, 0) ．
2．若复数 z 满足 zi 1 2i ，则 z 的共轭复数的虚部为（ ）
2
O
1
P' 2
A T
Q2
4 ax2 bx 满足 f (1 x) f (1 x) 22 0 ，则 f (x) 的单调递减区间是
．
16．答案： (1,3) （注意：写闭区间也给分） 知识点：①若 f (x) 关于点 (a,b) 对称，则 f (a x) f (a x) 2b ；
x
15．已知点 P(1, 2) 及圆 (x 3)2 ( y 4)2 4 ，一光线从点 P 出发，经 x 轴上一点 Q 反射后与圆相切于
点T ，则 PQ QT 的值为
．
15．答案： 4 3
解析：点 P 关于 x 轴的对称点为 P(1, 2) ，如图，连接 PP, PQ ，由对称性可知，PQ 与圆相切于点T ，
n 3n
14
2019届广州一模理科数学答案
所以
1 = ， 4t 2 4t 13 4
13 1 或t （舍去）， 2 22
……………………………………………11 分
3t
解得 t
此时
CG 1 ，得 CG 1 CF 3 . 4 2 CF 4
3 ．…………………………………………12 分 2
即所求线段 CF 上的点 G 满足 CG
设 G 3 ，t ， 0 ， 1 t 5 ， 则 BE 3 ， 2， 3
t 3 ， BG 0 ，，
设平面 BEG 的法向量为 m x ，y，z ，
x 2 t, 3 x 2 y 3 z 0, m BE 0, 则由 得 ，取 y 3, m BG 0, ty 3z 0, z 3t ,
……………………………………………………………………………1 分
样本的质量指标平均值为
3020 30.2 ． ……………………………………………2 分 100
根据样本质量指标平均值估计总体质量指标平均值为 30.2 ． ………………………3 分 （2）根据样本频率分布估计总体分布，样本中一、二、三等品的频率分别为
(6m)2 36 3m2 4 0 ， m R ，
由韦达定理得 y1 y2
6m 9 ，……………………………………8 分 , y1 y2 2 3m 4 3m2 4
SF1 AB
令t
1 F1 F2 y1 y2 y1 y2 2
解得 x
…………………11 分
1 3 ，即所求线段 CF 上的点 G 满足 CG ． 2 2
广东省六校2019届高三第一次联考数学试题及答案(理科)
广东省六校2019届高三第一次联考数学试题及答案（理科）一、选择题：（本大题共8小题，每小题5分，满分40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1．设i z -=1（为虚数单位），则=+zz 22（ ）A ．i --1B ．i +-1C ．i +1D ． i -12．设U=R ，集合2{|2,},{|40}x A y y x R B x Z x ==∈=∈-≤，则下列结论正确的是（ ） A ．(0,)AB =+∞B ．(](),0UC A B =-∞C ．(){2,1,0}U C A B =--D ．(){1,2}U C A B =3．如果直线(2a+5)x+(a －2)y+4=0与直线(2－a)x+(a+3)y －1=0互相垂直，则a =（ ）A ． 2B ．－2C ．2,－2D ．2,0,－2 4. 如果若干个函数的图象经过平移后能够重合，则称这些函数为“同簇函数”． 给出下列函数： ①()sin cos f x x x =； ②()2sin()4f x x π=+；③()sin f x x x =；④()21f x x =+．其中“同簇函数”的是（ ） A ．①② B ．①④ C ．②③ D ．③④5．右图为某几何体三视图，按图中所给数据,该几何体的体积为 （ ） A ．16 B ．163C ．64+163D ． 16+3346．已知实数x ，y 满足约束条件⎪⎩⎪⎨⎧≤-≤≥021y x y x ’则y x z -=2的取值范围是 （ ）A ．[0，1]B ．[1，2]C ．[1，3]D ．[0，2]7．若等边ABC ∆的边长为2，平面内一点M 满足1132CM CB CA =+，则MA MB ⋅=( ) A.98 B.913 C ．98- D ．913- 8．定义：关于x 的不等式||x A B -<的解集叫A 的B 邻域．已知2a b +-的a b +邻域为区间(2,8)-，其中a b、分别为椭圆12222=+by a x 的长半轴和短半轴．若此椭圆的一焦点与抛物线x y 542=的焦点重合，则椭圆的方程为（ ）正视图俯视图侧视图A 1C A ． 13822=+y x B ． 14922=+y x C ．18922=+y x D ．191622=+y x第二部分 （非选择题 满分110分）二、填空题：（本题共7小题，考生作答6小题，每小题5分，满分30分） 必做题（9~13题）9．已知数列{}n a 的首项11=a ，若N n *∀∈，21-=⋅+n n a a ，则=n a ．10．执行程序框图，如果输入4=a ，那么输出=n ．11．某校开设A 类选修课3门，B 类选修课4门，一位同学从中共选3门，若要求两类课程中各至少选一门，则不同的选法共有种(用数字作答) ．12．如图，在棱长为2的正方体1111D C B A ABCD -内 （含正方体表面）任取一点M ，则11≥⋅AA 的概率=p ．13.设函数()y f x =在（-∞，+∞）内有意义．对于给定的正数k ，已知函数(),()k f x k f x k ⎧=⎨>⎩，取函数()f x =xex ---3．若对任意的x ∈（-∞，+∞），恒有()k f x =()f x ，则k 的最小值为 ． 选做题：考生只能选做一题，两题全答的，只计算前一题的得分．14．（坐标系与参数方程选做题）在极坐标系中，过点π4⎛⎫ ⎪⎝⎭作圆4sin ρθ=的切线，则切线的极坐标方程是 ．15．（几何证明选讲选做题）如图所示，圆O 的直径6AB =，C 为圆周上一点，3BC =，过C 作圆的切线l ，过A作l三、的垂线AD ，垂足为D ，则DAC ∠=．解答题：（本大题共6小题，满分80分．解答须写出文字说明 证明过程或演算步骤．）16．(本小题满分12分)设(6cos ,a x =, (cos ,sin 2)b x x =,()f x a b =⋅ （1）求()f x 的最小正周期、最大值及()f x 取最大值时x 的集合； （2）若锐角α满足()3f α=-4tan 5α的值．第15题图17．(本小题满分12分) 某市,,,A B C D 四所中学报名参加某高校今年自主招生的学生人数如下表所示：为了了解参加考试的学生的学习状况，该高校采用分层抽样的方法从报名参加考试的四所中学的学生当中随机抽取50名参加问卷调查．（1）问,,,A B C D 四所中学各抽取多少名学生？（2）从参加问卷调查的50名学生中随机抽取两名学生，求这两名学生来自同一所中学的概率；（3）在参加问卷调查的50名学生中，从来自,A C 两所中学的学生当中随机抽取两名学生，用ξ表示抽得A 中学的学生人数，求ξ的分布列．18．(本小题满分14分) 如图，直角梯形ABCD 中，CD AB //，BC AB ⊥，1=AB ，2=BC ，21+=CD ，过A 作CD AE ⊥，垂足为E ．F 、G 分别是CE 、AD 的中点．现将ADE ∆沿AE 折起，使二面角C AE D --的平面角为0135．（1）求证：平面⊥DCE 平面ABCE ； （2）求直线FG 与面DCE 所成角的正弦值．19．(本小题满分14分) 已知椭圆C 的中心在原点O ，离心率23=e ，右焦点为)0 , 3( F ．（1）求椭圆C 的方程；（2）设椭圆的上顶点为A ，在椭圆C 上是否存在点P ，使得向量OA OP +与共线？若存在，求直线AP 的方程；若不存在，简要说明理由．20．(本小题满分14分)设n S 为数列{}n a 的前n 项和，对任意的n N +∈，都有(1)n n S m ma =+-（m 为正常数）．（1）求证：数列{}n a 是等比数列；（2）数列{}n b 满足11112,,(2,)1n n n b b a b n n N b -+-==≥∈+，求数列{}n b 的通项公式；（3）在满足（2）的条件下，求数列12n n b +⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和n T ．21. (本小题满分14分)设函数21()ln .2f x x ax bx =-- (Ⅰ)当12a b ==时，求函数)(x f 的最大值； (Ⅱ)令21()()2a F x f x ax bx x =+++（03x <≤）其图象上任意一点00(,)P x y 处切线的斜率k ≤21恒成立，求实数a 的取值范围；(Ⅲ)当0a =，1b =-，方程22()mf x x =有唯一实数解，求正数m 的值．参考答案一、选择题 D C C C D D C B 二、填空题 9．⎩⎨⎧-=是正偶数是正奇数，2 , 1n n a n ，或23)1(211±-+-=n n a ； 10．4； 11． 30； 12．43； 13． 2； 14. cos 2ρθ= 15. 30º 16．解：（1）解：2()6cos 2f x a b x x =⋅= …………………1分1cos 2622x x +=⨯3cos23x x =+1sin 232x x ⎫=-+⎪⎪⎭…3分236x π⎛⎫=++ ⎪⎝⎭……4分 最小正周期22T π==π ……5分 当22,6Z x k k ππ+=∈，即,12Z x k k ππ=-∈时，()f x有最大值3，此时，所求x 的集合为{|,}12Z x x k k ππ=-∈．………7分（2）由()3f α=-2336απ⎛⎫++=- ⎪⎝⎭cos 216απ⎛⎫+=- ⎪⎝⎭…9分又由02απ<<得 2666απππ<+<π+， 故26απ+=π，解得512α=π．……11分从而4tan tan 53απ== ………………12分17．解：（1）由题意知，四所中学报名参加该高校今年自主招生的学生总人数为100名，抽取的样本容量与总体个数的比值为．∴应从四所中学抽取的学生人数分别为． …………… 4分（2）设“从50名学生中随机抽取两名学生，这两名学生来自同一所中学”为事件M ，从50名学生中随机抽取两名学生的取法共有2501225C =种，… 5分 来自同一所中学的取法共有22221520105350C C C C +++=． …………… 6分∴3502()12257P M ==． 答：从50名学生中随机抽取两名学生来自同一所中学的概率为27． … 7分 （3）由（1）知，50名学生中，来自,A C 两所中学的学生人数分别为15,10． 依题意得，ξ的可能取值为0,1,2， ………… 8分2102253(0)20C P C ξ===，1115102251(1)2C C P C ξ===，2152257(2)20C P C ξ===．…… 11分 ∴ξ的分布列为： …12分18．（1）证明：DE ⊥AE ，CE ⊥AE ，DE，∴ AE ⊥平面CDE ， ……3分AE ⊂平面ABCE ，∴平面⊥DCE 平面ABCE ．……5分（2）（方法一）以E 为原点，EA 、EC 分别为,x y 轴，建立空间直角坐标系……6分 DE ⊥AE ，CE ⊥AE ，∴DEC ∠是二面角C AE D --的平面角，即DEC ∠=0135，……7分1=AB ，2=BC ，21+=CD ，∴A （2，0，0），B （2，1，0），C （0，1，0），E （0，0，0），D （0，1-，1）．……9分F 、G 分别是CE 、AD 的中点，∴F 1002（，，），G 11122-（，，） ……10分∴FG =1112-(，，)，AE =(2,0,0)-，……11分由（1）知AE 是平面DCE 的法向量， ……12分设直线FG 与面DCE 所成角02παα≤≤（），则22sin ||||33||||22FG AE FG AE α⋅-===⋅⨯，故求直线FG 与面DCE 所成角的正弦值为23． ……14分（列式1分，计算1分） （方法二）作AE GH //，与DE 相交于H ，连接FH ……6分由（1）知AE ⊥平面CDE ，所以⊥GH 平面CDE ，GFH ∠是直线FG 与平面DCE 所成角……7分G 是AD 的中点，GH 是ADE ∆的中位线，1=GH ，22=EH ……8分 因为DE ⊥AE ，CE ⊥AE ，所以DEC ∠是二面角C AE D --的平面角，即DEC ∠=0135…9分在EFH ∆中，由余弦定理得，FEH EHEF EH EF FH ∠⨯⨯⨯-+=cos 222211152(422224=+-⨯⨯-=（或25=FH ）……11分（列式1分，计算1分） ⊥GH 平面CDE ，所以FH GH ⊥，在GFH Rt ∆中， 2322=+=FH GH GF ……13分 所以直线FG 与面DCE 所成角的正弦值为32sin ==∠GF GH GFH ……14分 19．解：（1）设椭圆C 的方程为22221(0)x y a b a b+=>>， ……1分离心率23=e，右焦点为)0 , 3( F ，∴c c a ==∴2a =，21b =…… 3分 故椭圆C 的方程为2214x y +=．…… 4分 （2）假设椭圆C 上存在点P （00,x y ），使得向量+与共线，……5分00(,1)OPOA x y +=+，(FA =，∴001)x y =+ （1） ……6分又点P （00,x y ）在椭圆2214x y +=上，∴220014x y +=（2） ……8分 由（1）、（2）组成方程组解得：(0,1)P -，或1(,)77P -， (11)分 当点P 的坐标为(0,1)-时，直线AP 的方程为0y =， 当点P的坐标为1()7P 时，直线AP440y -+=， 故直线AP 的方程为0y =440y -+=． ……14分20．解：（1）证明：当1n =时，111(1)a S m ma ==+-，解得11a =．…………………1分当2n ≥时，11n n n n n a S S ma ma --=-=-．即1(1)n n m a ma -+=．…………………2分 又m 为常数，且0m >，∴1(2)1n n a m n a m-=≥+．………………………3分 ∴数列{}n a 是首项为1，公比为1mm+的等比数列．……………………4分 （2）解：1122b a ==…5分 ∵111n n n b b b --=+，∴1111n n b b -=+，即1111(2)n n n b b --=≥．…7分∴1n b ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是首项为12，公差为1的等差数列．………………………………………8分∴1121(1)122n n n b -=+-⋅=，即2()21n b n N n *=∈-．……………………………9分（3）解：由（2）知221n b n =-，则122(21)n n nn b +=-．所以2341123122222n n n n nT b b b b b +-=+++++， …10分 即12312123252(23)2(21)n n n T n n -=⨯+⨯+⨯++⨯-+⨯-， ① ……11分 则234122123252(23)2(21)n n n T n n +=⨯+⨯+⨯++⨯-+⨯-， ②………12分②－①得13412(21)2222n n n T n ++=⨯------，……………………13分故31112(12)2(21)22(23)612n n n n T n n -++-=⨯---=⨯-+-．……………………14分21.解：（1）依题意，知()f x 的定义域为(0,)+∞， 当12a b ==时，211()ln 42f x x x x =--，111(2)(1)()222x x f x x x x-+-'=--=………………2分 令，解得 1.(0)x x =>因为()0g x =有唯一解，所以2()0g x =，当01x <<时，()0f x '>，此时()f x 单调递增； 当1x >时，()0f x '<，此时()f x 单调递减。
广东省2019届高三上学期期末联考数学理试卷及答案解析【最新】
华附、省实、广雅、深中2019届高三上学期期末联考理科数学第一部分选择题一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知，则复数的共轭复数的虚部为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】由复数的运算法则直接计算即可.【详解】，，虚部为【点睛】本题主要考查复数的运算法则，属于基础题型.2.设，，则下列不等式中恒成立的是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】由不等式的性质，逐项判断即可.【详解】对于A，当a为正数，b为负数时，，所以，A错误；对于B，当a＝2，b＝时，B不成立，所以错误。
对于C，，所以选项C正确；对于D，取反例：【点睛】本题主要考查不等式的性质，属于基础题型.3.已知是等比数列，，，则（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】先求公比，再求,最后根据等比数列前n项和公式的结果.【详解】，，.，故,选C.【点睛】本题考查等比数列前n项和公式以及通项公式,考查基本求解能力,属基础题.4.祖暅原理：“幂势既同，则积不容异”.意思是说：两个同高的几何体，如在等高处的截面积恒相等，则体积相等.设、为两个同高的几何体，、的体积不相等，、在等高处的截面积不恒相等.根据祖暅原理可知，是的（）A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】B【解析】的体积相等，在同高处的截面积相等，由于A、B体积相等，A、B在同高处的截面积不恒相等，譬如一个为柱体另一个为椎体，所以条件不充分；反之成立，条件是必要的，因此是的必要不充分条件.选B.5.如图是一个算法流程图，若输入的值为，输出的值是，则的取值范围是（）A. B.C. D.【答案】B【解析】分析：模拟执行程序框图，只要按照程序框图规定的运算方法逐次计算，直到达到输出，即可得到输出条件.详解：输入，第一次循环；第二次循环；第三次循环；第四次循环，输出，此时应满足退出循环的条件，故的取值范围是，故选B.点睛：本题主要考查程序框图的循环结构流程图，属于中档题. 解决程序框图问题时一定注意以下几点：(1) 不要混淆处理框和输入框；(2) 注意区分程序框图是条件分支结构还是循环结构；(3) 注意区分当型循环结构和直到型循环结构；(4) 处理循环结构的问题时一定要正确控制循环次数；(5) 要注意各个框的顺序,（6）在给出程序框图求解输出结果的试题中只要按照程序框图规定的运算方法逐次计算，直到达到输出条件即可.6.如图，在正方形区域内任取一点，则此点取自阴影部分的概率是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】利用定积分先求出阴影部分的面积，再由几何概型的计算公式计算即可.【详解】阴影部分的面积，正方形面积为，所以所求概率为.【点睛】本题主要考查与面积有关的几何概型.7.已知函数，R，先将图像上所有点的横坐标缩短到原的（纵坐标不变），再将得到的图像上所有点向右平移个单位长度，得到的图像关于轴对称，则的最小值为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】因，将其图像上的点的横坐标缩短到原的后所得函数的解析式为，图像在轴左侧的第一条对称轴，故至少向右平移个单位就可以得到关于轴对称的图像，选C.点睛：若三角函数的图像平移后得到的图像为奇函数或偶函数的图像，那么最小的平移往往和轴附近的对称轴或对称中心有关.8.的展开式中常数项为( )A. B. C. D.【答案】C【解析】的通项为，，根据式子可知当或时有常数项，令 ; 令;故所求常数项为，故选C.【点睛】求解与二项式相关的复杂式子的一般方法及步骤是：将复杂式子分解转化成与简单的二项式相关的式子根据条件找到符合条件的二项式的项，利用二项式的通项求出符合条件的项，整合最终得出所求9.已知是边长为2的等边三角形边上的动点，则的值（）A. 有最大值B. 是定值C. 有最小值D. 与点的位置有关【解析】【分析】先设=，=，=t ，然后用和表示出，再由=+将=、=t代入可用和表示出，最后根据向量的线性运算和数量积运算可求得的值，从而可得到答案．【详解】设===t则=﹣=﹣，2=4=2•=2×2×cos60°=2=+=+t﹙﹣﹚=﹙1﹣t﹚+t , +=+,•﹙+﹚=﹙﹙1﹣t﹚+t ﹚•﹙+﹚=﹙1﹣t﹚2+[﹙1﹣t﹚+t]+t 2=﹙1﹣t﹚×4+2+t×4=6故答案为：B【点睛】本题主要考查向量的数量积运算和向量的线性运算．高考对向量的考查一般不会太难，以基础题为主，而且经常和三角函数练习起考查综合题，平时要多注意这方面的练习．10.函数的部分图象大致是（）A. B.C. D.【答案】B【解析】由题意结合函数的奇偶性和函数在特殊点的函数值确定函数图像即可.【详解】∵函数f（x）的定义域为（-∞，-）∪（-，）∪（，+∞）f（-x）===f（x），∴f（x）为偶函数，∴f（x）的图象关于y轴对称，故排除A，令f（x）=0，即=0，解得x=0，∴函数f（x）只有一个零点，故排除D，当x=1时，f（1）=＜0，故排除C，综上所述，只有B符合，本题选择B选项.【点睛】函数图象的识辨可从以下方面入手：(1)从函数的定义域，判断图象的左右位置；从函数的值域，判断图象的上下位置．(2)从函数的单调性，判断图象的变化趋势．(3)从函数的奇偶性，判断图象的对称性．(4)从函数的特征点，排除不合要求的图象．利用上述方法排除、筛选选项．11.设、分别是椭圆（）的左、右焦点，若在直线上存在点，使线段的中垂线过点，则椭圆离心率的取值范围是( )A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】结合题意，计算出，结合两点距离公式，距离方程，用c表示m，结合，建立关于e 的不等式，计算范围，即可。
广东省2019届高三上学期期末联考数学理试卷及答案解析[精品]
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华附、省实、广雅、深中2019届高三上学期期末联考理科数学第一部分选择题一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知，则复数的共轭复数的虚部为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】由复数的运算法则直接计算即可.【详解】，，虚部为【点睛】本题主要考查复数的运算法则，属于基础题型.2.设，，则下列不等式中恒成立的是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】由不等式的性质，逐项判断即可.【详解】对于A，当a为正数，b为负数时，，所以，A错误；对于B，当a＝2，b＝时，B不成立，所以错误。
对于C，，所以选项C正确；对于D，取反例：【点睛】本题主要考查不等式的性质，属于基础题型.3.已知是等比数列，，，则（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】先求公比，再求,最后根据等比数列前n项和公式的结果.【详解】，，.，故,选C.【点睛】本题考查等比数列前n项和公式以及通项公式,考查基本求解能力,属基础题.4.祖暅原理：“幂势既同，则积不容异”.意思是说：两个同高的几何体，如在等高处的截面积恒相等，则体积相等.设、为两个同高的几何体，、的体积不相等，、在等高处的截面积不恒相等.根据祖暅原理可知，是的（）A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】B【解析】的体积相等，在同高处的截面积相等，由于A、B体积相等，A、B在同高处的截面积不恒相等，譬如一个为柱体另一个为椎体，所以条件不充分；反之成立，条件是必要的，因此是的必要不充分条件.选B.5.如图是一个算法流程图，若输入的值为，输出的值是，则的取值范围是（）A. B.C. D.【答案】B【解析】分析：模拟执行程序框图，只要按照程序框图规定的运算方法逐次计算，直到达到输出，即可得到输出条件.详解：输入，第一次循环；第二次循环；第三次循环；第四次循环，输出，此时应满足退出循环的条件，故的取值范围是，故选B.点睛：本题主要考查程序框图的循环结构流程图，属于中档题. 解决程序框图问题时一定注意以下几点：(1) 不要混淆处理框和输入框；(2) 注意区分程序框图是条件分支结构还是循环结构；(3) 注意区分当型循环结构和直到型循环结构；(4) 处理循环结构的问题时一定要正确控制循环次数；(5) 要注意各个框的顺序,（6）在给出程序框图求解输出结果的试题中只要按照程序框图规定的运算方法逐次计算，直到达到输出条件即可.6.如图，在正方形区域内任取一点，则此点取自阴影部分的概率是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】利用定积分先求出阴影部分的面积，再由几何概型的计算公式计算即可.【详解】阴影部分的面积，正方形面积为，所以所求概率为.【点睛】本题主要考查与面积有关的几何概型.7.已知函数，R，先将图像上所有点的横坐标缩短到原的（纵坐标不变），再将得到的图像上所有点向右平移个单位长度，得到的图像关于轴对称，则的最小值为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】因，将其图像上的点的横坐标缩短到原的后所得函数的解析式为，图像在轴左侧的第一条对称轴，故至少向右平移个单位就可以得到关于轴对称的图像，选C.点睛：若三角函数的图像平移后得到的图像为奇函数或偶函数的图像，那么最小的平移往往和轴附近的对称轴或对称中心有关.8.的展开式中常数项为( )A. B. C. D.【答案】C【解析】的通项为，，根据式子可知当或时有常数项，令 ; 令;故所求常数项为，故选C.【点睛】求解与二项式相关的复杂式子的一般方法及步骤是：将复杂式子分解转化成与简单的二项式相关的式子根据条件找到符合条件的二项式的项，利用二项式的通项求出符合条件的项，整合最终得出所求9.已知是边长为2的等边三角形边上的动点，则的值（）A. 有最大值B. 是定值C. 有最小值D. 与点的位置有关【答案】B【解析】【分析】先设=，=，=t ，然后用和表示出，再由=+将=、=t 代入可用和表示出，最后根据向量的线性运算和数量积运算可求得的值，从而可得到答案．【详解】设===t则=﹣=﹣，2=4=2•=2×2×cos60°=2=+=+t﹙﹣﹚=﹙1﹣t﹚+t , +=+,•﹙+﹚=﹙﹙1﹣t﹚+t ﹚•﹙+﹚=﹙1﹣t﹚2+[﹙1﹣t﹚+t]+t 2=﹙1﹣t﹚×4+2+t×4=6故答案为：B【点睛】本题主要考查向量的数量积运算和向量的线性运算．高考对向量的考查一般不会太难，以基础题为主，而且经常和三角函数练习起考查综合题，平时要多注意这方面的练习．10.函数的部分图象大致是（）A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】由题意结合函数的奇偶性和函数在特殊点的函数值确定函数图像即可.【详解】∵函数f（x）的定义域为（-∞，-）∪（-，）∪（，+∞）f（-x）===f（x），∴f（x）为偶函数，∴f（x）的图象关于y轴对称，故排除A，令f（x）=0，即=0，解得x=0，∴函数f（x）只有一个零点，故排除D，当x=1时，f（1）=＜0，故排除C，综上所述，只有B符合，本题选择B选项.【点睛】函数图象的识辨可从以下方面入手：(1)从函数的定义域，判断图象的左右位置；从函数的值域，判断图象的上下位置．(2)从函数的单调性，判断图象的变化趋势．(3)从函数的奇偶性，判断图象的对称性．(4)从函数的特征点，排除不合要求的图象．利用上述方法排除、筛选选项．11.设、分别是椭圆（）的左、右焦点，若在直线上存在点，使线段的中垂线过点，则椭圆离心率的取值范围是( )A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】结合题意，计算出，结合两点距离公式，距离方程，用c表示m，结合，建立关于e的不等式，计算范围，即可。
[精编试卷]广东省2019届高三上学期期末联考数学理试卷及答案解析
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华附、省实、广雅、深中2019届高三上学期期末联考理科数学第一部分选择题一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知，则复数的共轭复数的虚部为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】由复数的运算法则直接计算即可.【详解】，，虚部为【点睛】本题主要考查复数的运算法则，属于基础题型.2.设，，则下列不等式中恒成立的是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】由不等式的性质，逐项判断即可.【详解】对于A，当a为正数，b为负数时，，所以，A错误；对于B，当a＝2，b＝时，B不成立，所以错误。
对于C，，所以选项C正确；对于D，取反例：【点睛】本题主要考查不等式的性质，属于基础题型.3.已知是等比数列，，，则（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】先求公比，再求,最后根据等比数列前n项和公式的结果.【详解】，，.，故,选C.【点睛】本题考查等比数列前n项和公式以及通项公式,考查基本求解能力,属基础题.4.祖暅原理：“幂势既同，则积不容异”.意思是说：两个同高的几何体，如在等高处的截面积恒相等，则体积相等.设、为两个同高的几何体，、的体积不相等，、在等高处的截面积不恒相等.根据祖暅原理可知，是的（）A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】B【解析】的体积相等，在同高处的截面积相等，由于A、B体积相等，A、B在同高处的截面积不恒相等，譬如一个为柱体另一个为椎体，所以条件不充分；反之成立，条件是必要的，因此是的必要不充分条件.选B.5.如图是一个算法流程图，若输入的值为，输出的值是，则的取值范围是（）A. B.C. D.【答案】B【解析】分析：模拟执行程序框图，只要按照程序框图规定的运算方法逐次计算，直到达到输出，即可得到输出条件.详解：输入，第一次循环；第二次循环；第三次循环；第四次循环，输出，此时应满足退出循环的条件，故的取值范围是，故选B.点睛：本题主要考查程序框图的循环结构流程图，属于中档题. 解决程序框图问题时一定注意以下几点：(1) 不要混淆处理框和输入框；(2) 注意区分程序框图是条件分支结构还是循环结构；(3) 注意区分当型循环结构和直到型循环结构；(4) 处理循环结构的问题时一定要正确控制循环次数；(5) 要注意各个框的顺序,（6）在给出程序框图求解输出结果的试题中只要按照程序框图规定的运算方法逐次计算，直到达到输出条件即可.6.如图，在正方形区域内任取一点，则此点取自阴影部分的概率是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】利用定积分先求出阴影部分的面积，再由几何概型的计算公式计算即可.【详解】阴影部分的面积，正方形面积为，所以所求概率为.【点睛】本题主要考查与面积有关的几何概型.7.已知函数，R，先将图像上所有点的横坐标缩短到原的（纵坐标不变），再将得到的图像上所有点向右平移个单位长度，得到的图像关于轴对称，则的最小值为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】因，将其图像上的点的横坐标缩短到原的后所得函数的解析式为，图像在轴左侧的第一条对称轴，故至少向右平移个单位就可以得到关于轴对称的图像，选C.点睛：若三角函数的图像平移后得到的图像为奇函数或偶函数的图像，那么最小的平移往往和轴附近的对称轴或对称中心有关.8.的展开式中常数项为( )A. B. C. D.【答案】C【解析】的通项为，，根据式子可知当或时有常数项，令 ; 令;故所求常数项为，故选C.【点睛】求解与二项式相关的复杂式子的一般方法及步骤是：将复杂式子分解转化成与简单的二项式相关的式子根据条件找到符合条件的二项式的项，利用二项式的通项求出符合条件的项，整合最终得出所求9.已知是边长为2的等边三角形边上的动点，则的值（）A. 有最大值B. 是定值C. 有最小值D. 与点的位置有关【答案】B【解析】【分析】先设=，=，=t ，然后用和表示出，再由=+将=、=t代入可用和表示出，最后根据向量的线性运算和数量积运算可求得的值，从而可得到答案．【详解】设===t则=﹣=﹣，2=4=2•=2×2×cos60°=2=+=+t﹙﹣﹚=﹙1﹣t﹚+t , +=+,•﹙+﹚=﹙﹙1﹣t﹚+t ﹚•﹙+﹚=﹙1﹣t﹚2+[﹙1﹣t﹚+t]+t 2=﹙1﹣t﹚×4+2+t×4=6故答案为：B【点睛】本题主要考查向量的数量积运算和向量的线性运算．高考对向量的考查一般不会太难，以基础题为主，而且经常和三角函数练习起考查综合题，平时要多注意这方面的练习．10.函数的部分图象大致是（）A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】由题意结合函数的奇偶性和函数在特殊点的函数值确定函数图像即可.【详解】∵函数f（x）的定义域为（-∞，-）∪（-，）∪（，+∞）f（-x）===f（x），∴f（x）为偶函数，∴f（x）的图象关于y轴对称，故排除A，令f（x）=0，即=0，解得x=0，∴函数f（x）只有一个零点，故排除D，当x=1时，f（1）=＜0，故排除C，综上所述，只有B符合，本题选择B选项.【点睛】函数图象的识辨可从以下方面入手：(1)从函数的定义域，判断图象的左右位置；从函数的值域，判断图象的上下位置．(2)从函数的单调性，判断图象的变化趋势．(3)从函数的奇偶性，判断图象的对称性．(4)从函数的特征点，排除不合要求的图象．利用上述方法排除、筛选选项．11.设、分别是椭圆（）的左、右焦点，若在直线上存在点，使线段的中垂线过点，则椭圆离心率的取值范围是( )A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】结合题意，计算出，结合两点距离公式，距离方程，用c表示m，结合，建立关于e的不等式，计算范围，即可。
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广东省六校（广州二中，深圳实验立等）2019届高三第一次联考理科数学一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知集合，，则∁（）A. B. C. D.2.若复数满足，则的共轭复数的虚部为（）A. B. C. D.3.记为等差数列的前项和，若，，则（）A. B. C. D.4.在区间上随机取两个实数，记向量，，则的概率为，珠海一中，中山纪念，东莞中学，惠州一中（）A. B. C. D.5.已知直线的倾斜角为，直线与双曲线（）的左、右两支分别交于、两点，且、都垂直于轴（其中、分别为双曲线的左、右焦点），则该双曲线的离心率为（）A. B. C. D.6.在△中，为的中点，点满足，则（）A. B. C. D.7.某几何体的三视图如右图所示，数量单位为，它的体积是（）A. B. C. D.8.已知是函数的最大值，若存在实数使得对任意实数总有成立，则的最小值为（）A. B. C. D.9.定义在上的函数满足及，且在上有，则（）A. B. C. D.10.抛物线上有一动弦，中点为，且弦的长度为，则点的纵坐标的最小值为（）A. B. C. D.11.已知三棱锥中，，，，，且二面角的大小为，则三棱锥外接球的表面积为（）A.B.C.D.12.已知数列满足．设，为数列的前项和．若（常数），，则的最小值是（）A. B. C. D.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13.若满足约束条件则的最大值为______________．14.若，则的展开式中常数项为______________．15.已知点及圆，一光线从点出发，经轴上一点反射后与圆相切于点，则的值为______________．16.已知函数满足，则的单调递减区间是______________．三、解答题：共70分。
解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答。
第22、23题为选考题，考生根据要求作答。
17.在△中，角，，的对边分别为，，，且．（1）求角；（2）若，，求△的面积．18.如图甲，设正方形的边长为3，点、分别在、上，且满足，．如图乙，将直角梯形沿折到的位置，使得点在平面上的射影恰好在上．（1）证明：平面；（2）求平面与平面所成二面角的余弦值．19.某市大力推广纯电动汽车，对购买用户依照车辆出厂续驶里程的行业标准，予以地方财政补贴．其补贴标准如下表：2017年底随机调査该市1000辆纯电动汽车，统计其出厂续驶里程，得到频率分布直方图如上图所示．用样本估计总体，频率估计概率，解决如下问题：（1）求该市每辆纯电动汽车2017年地方财政补贴的均值；（2）某企业统计2017年其充电站100天中各天充电车辆数，得如下的频数分布表：（同一组数据用该区间的中点值作代表）2018年2月，国家出台政策，将纯电动汽车财政补贴逐步转移到充电基础设施建设上来．该企业拟将转移补贴资金用于添置新型充电设备．现有直流、交流两种充电桩可供购置．直流充电桩5万元/台，每台每天最多可以充电30辆车，每天维护费用500元/台；交流充电桩1万元/台，每台每天最多可以充电4辆车，每天维护费用80元/台．该企业现有两种购置方案：方案一：购买100台直流充电桩和900台交流充电桩；方案二：购买200台直流充电桩和400台交流充电桩．假设车辆充电时优先使用新设备，且充电一辆车产生25元的收入，用2017年的统计数据，分别估计该企业在两种方案下新设备产生的日利润.（日利润日收入日维护费用）．20.已知圆与定点，动圆过点且与圆相切．（1）求动圆圆心的轨迹的方程；（2）若过定点的直线交轨迹于不同的两点、，求弦长的最大值．21.已知函数．（1）求函数在上的值域；（2）若，恒成立，求实数的取值范围．22.在平面直角坐标系中，将曲线向左平移2个单位，再将得到的曲线上的每一个点的横坐标保持不变，纵坐标缩短为原来的，得到曲线，以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，的极坐标方程为．（1）求曲线的参数方程；（2）已知点在第一象限，四边形是曲线的内接矩形，求内接矩形周长的最大值，并求周长最大时点的坐标．23.已知，．（1）当时，求不等式的解集；（2）若，且当时，恒成立，求的取值范围．广东省六校（广州二中，深圳实验，珠海一中，中山纪念，东莞中学，惠州一中）2019届高三第一次联考理科数学一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知集合，，则∁A. B. C. D.【详解】由，即，解得或，即，∁，解得，即，则∁，故选A.2.若复数满足，则的共轭复数的虚部为（）A. B. C. D.【详解】，，共轭复数的共轭复数的虚部1故选C.3.记为等差数列的前项和，若，，则（）A. B. C. D.【详解】方法一：基本法，数列等差数列，，，，整理得，解得方法二：性质法，，，，；；，故选D.4.在区间上随机取两个实数，记向量，，则的概率为A. B. C. D.【详解】在区间上随机取两个实数，则点在以为边长的正方形内，因为，，则，因为，所以，点在以原点为圆心以为半径的圆外，且在以为边长的正方形内，所以，则的概率为，故选B.5.已知直线的倾斜角为，直线与双曲线（）的左、右两支分别交于、两点，且、都垂直于轴（其中、分别为双曲线的左、右焦点），则该双曲线的离心率为（）A. B. C. D.【详解】直线与双曲线的左、右两支分别交于、两点，且、都垂直于轴，根据双曲线的对称性，设点，，则，即，且，又直线的倾斜角为，直线过坐标原点，，，整理得，即，解方程得，（舍）故选D.6.在△中，为的中点，点满足，则A. B. C. D.【详解】因为为的中点，点满足，所以，，可得,故选A.7.某几何体的三视图如右图所示，数量单位为，它的体积是（）A. B. C. D.【详解】如图所示，三视图还原成直观图为底面为直角梯形的四棱锥，故选C.8.已知是函数的最大值，若存在实数使得对任意实数总有成立，则的最小值为A. B. C. D.【详解】，，周期，又存在实数，对任意实数总有成立，，的最小值为，故选B.9.定义在上的函数满足及，且在上有，则A. B. C. D.【详解】函数的定义域是，关于原点对称，，函数是奇函数，，，函数是以4为周期的函数，，在上有，，，故选D.10.抛物线上有一动弦，中点为，且弦的长度为，则点的纵坐标的最小值为（）A. B. C. D.【详解】由题意设，，，直线的方程为，联立方程，整理得，，，点M的纵坐标，弦的长度为，，即，整理得，即根据基本不等式，，当且仅当，时取等，即，，点的纵坐标的最小值为.故选A.11.已知三棱锥中，，，，，且二面角的大小为，则三棱锥外接球的表面积为（）A. B. C. D.【详解】如图，设中点为，过点作，，过点作垂足为，交于，则为外接圆的圆心，三棱锥外接球球心在直线上，设，，，，且二面角的大小为，，，，，，，,在中，；在中，；外接球半径，，解得，外接球表面积故选D.12.已知数列满足．设，为数列的前项和．若（常数），，则的最小值是（）A. B. C. D.【详解】①当时，类比写出②由①-②得，即.当时，，，③④③-④得，，（常数），，的最小值是，故选C.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13.若满足约束条件则的最大值为______________．【详解】可行域如图，表示可行域内点到原点距离的平方的最大值对应点A，联立，解得，所以的最大值为故答案为.14.若，则的展开式中常数项为______________．【详解】展开式的通项公式为令，即.的展开式中，常数项是15.已知点及圆，一光线从点出发，经轴上一点反射后与圆相切于点，则的值为______________．【详解】点关于轴的对称点为，由反射的对称性可知，与圆相切，圆的圆心坐标为，半径；，，故答案为.16.已知函数满足，则的单调递减区间是______________．【详解】函数满足，，整理得，即，解得函数解析式为，令，解得的单调递减区间是，故答案为.三、解答题：共70分。
解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答。
第22、23题为选考题，考生根据要求作答。
17.在△中，角，，的对边分别为，，，且．（1）求角；（2）若，，求△的面积．【详解】解：（1）因为，由余弦定理，得，所以，由正弦定理，得，又，，所以，，所以．（2）由，，得，，所以，由正弦定理，得，所以△的面积为．18.如图甲，设正方形的边长为3，点、分别在、上，且满足，．如图乙，将直角梯形沿折到的位置，使得点在平面上的射影恰好在上．（1）证明：平面；（2）求平面与平面所成二面角的余弦值．【解析】试题分析：⑴证明：在图甲中，易知,从而在图乙中有，因为平面，平面，所以平面⑵解法1、如图,在图乙中作，垂足为，连接，由于平面，则，所以平面，则，所以平面与平面所成二面角的平面角，图甲中有，又，则三点共线，设的中点为，则，易证，所以，，；又由，得，于是，，在中，，即所求二面角的余弦值为．解法2、如图,在图乙中作，垂足为，连接，由于平面，则，所以平面，则，图甲中有，又，则三点共线，设的中点为，则，易证，所以，则；又由，得，于是，，在中，作交于点，则，以点为原点，分别以所在直线为轴，建立如图丙所示的空间直角坐标系，则、、、，则显然，是平面的一个法向量，设是平面的一个法向量，则，即，不防取，则，设平面与平面所成二面角为，可以看出，为锐角，所以，，所以，平面与平面, 所成二面角的余弦值为．19.某市大力推广纯电动汽车，对购买用户依照车辆出厂续驶里程的行业标准，予以地方财政补贴．其补贴标准如下表：2017年底随机调査该市1000辆纯电动汽车，统计其出厂续驶里程，得到频率分布直方图如上图所示．用样本估计总体，频率估计概率，解决如下问题：（1）求该市每辆纯电动汽车2017年地方财政补贴的均值；（2）某企业统计2017年其充电站100天中各天充电车辆数，得如下的频数分布表：（同一组数据用该区间的中点值作代表）2018年2月，国家出台政策，将纯电动汽车财政补贴逐步转移到充电基础设施建设上来．该企业拟将转移补贴资金用于添置新型充电设备．现有直流、交流两种充电桩可供购置．直流充电桩5万元/台，每台每天最多可以充电30辆车，每天维护费用500元/台；交流充电桩1万元/台，每台每天最多可以充电4辆车，每天维护费用80元/台．该企业现有两种购置方案：方案一：购买100台直流充电桩和900台交流充电桩；方案二：购买200台直流充电桩和400台交流充电桩．假设车辆充电时优先使用新设备，且充电一辆车产生25元的收入，用2017年的统计数据，分别估计该企业在两种方案下新设备产生的日利润.（日利润日收入日维护费用）．【详解】解：（1）依题意可得纯电动汽车地方财政补贴的分布列为：纯电动汽车2017年地方财政补贴的平均数为(万元)．（2）由充电车辆天数的频数分布表得每天需要充电车辆数的分布列：若采用方案一，100台直流充电桩和900台交流充电桩每天可充电车辆数为(辆）；可得实际充电车辆数的分布列如下表：于是方案一下新设备产生的日利润均值为(元）；若采用方案二，200台直流充电桩和400台交流充电桩每天可充电车辆数为(辆）；可得实际充电车辆数的分布列如下表：于是方案二下新设备产生的日利润均值为(元)【点睛】本题考查随机变量分布列的实际应用，考查根据随机变量的分布列计算均值和分析数据的方法，正确计算分布列中各部分的概率是解题关键.20.已知圆与定点，动圆过点且与圆相切．（1）求动圆圆心的轨迹的方程；（2）若过定点的直线交轨迹于不同的两点、，求弦长的最大值．【详解】解：（1）设圆的半径为，题意可知，点满足：，，所以，，由椭圆定义知点的轨迹为以为焦点的椭圆，且进而，故轨迹方程为：．（2）当直线斜率不存在时，，或，，此时弦长．当直线斜率存在时，设的方程为：，由消去得：，由△得，设、，可得：，，，令，则，，，当时，此时，．综上，弦长的最大值为．21.已知函数．（1）求函数在上的值域；（2）若，恒成立，求实数的取值范围．解：（1）易知，在上单调递减，，时，，在上的值域为．（2）令，则，①若，则由（1）可知，，在上单调递增，，与题设矛盾，不符合要求；②若，则由（1）可知，，在上单调递减，，符合要求；③若，则，使得，且在上单调递增，在上单调递减，，，．由题：，即，，即．且由（1）可知在上单调递减，．综上，．22.在平面直角坐标系中，将曲线向左平移2个单位，再将得到的曲线上的每一个点的横坐标保持不变，纵坐标缩短为原来的，得到曲线，以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，的极坐标方程为．（1）求曲线的参数方程；（2）已知点在第一象限，四边形是曲线的内接矩形，求内接矩形周长的最大值，并求周长最大时点的坐标．【详解】解：（1）由得将代入，整理得曲线的普通方程为，设曲线上的点为，变换后的点为由题可知坐标变换为，即代入曲线的普通方程，整理得曲线的普通方程为，曲线的参数方程为(为参数).（2）设四边形的周长为，设点，，且，，，．且当时，取最大值，此时，所以，，，此时.23.已知，．（1）当时，求不等式的解集；（2）若，且当时，恒成立，求的取值范围．【详解】（1）当时，不等式即为，①当时，不等式化为，解得；②当时，不等式化为，解得；③当时，不等式化为，无解；综上，不等式的解集为．（2）当时，，即为恒成立，，即，，即，在上恒成立，所以，只需，解得，所以的取值范围为．。